Resultantes Tangencial e Centrípeta - Resoluções

Tópico 3 – Resultantes tangencial tangencial e centrípeta

169

| Ft | = 2,0 · 0,50 (N)

Tópico 3

| Ft | = 1,0 N

Considere a situação seguinte, referente aos exercícios de 1 a 5. No esquema abaixo aparece, no ponto P, um carrinho de massa 2,0 kg, que percorre a trajetória indicada da esquerda para a direita. A aceleração escalar do carrinho é constante e seu módulo vale 0,50 m/s 2. As setas enumeradas de I a V representam vetores que podem estar relacionados com a situação proposta. V

P

I

IV

II III

1

A velocidade vetorial do carrinho em P é mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V.

Resposta: c 5

Analise as proposições seguintes: I. Ao longo da trajetória, a componente tangencial da força resultante que age no carrinho tem intensidade variável. II. Ao longo da trajetória, a componente tangencial da força resultante que age no carrinho é constante. III. Ao longo da trajetória, a velocidade vetorial do carrinho tem intensidade variável. IV. Quem provoca as variações do módulo da velocidade do carrinho ao longo da trajetória é a componente tangencial da força resultante que age sobre ele. Responda mediante o código: a) Todas são corretas. d) Somente III e IV são corretas. b) Todas são incorretas. e) Somente II, III e IV são corretas. c) Somente I e II são corretas. Resolução:

Resolução:

A velocidade vetorial é sempre tangente à trajetória e orientada no sentido do movimento. Vetor I Resposta: a

I – Incorreta. | Ft | = 1,0 N (constante) II – Incorreta. Ft varia em direção III – Correta. O movimento é uniformemente variado. IV – Correta.

2

Se o movimento for acelerado, a componente tangencial da força resultante que age no carrinho em P será mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução:

No movimento acelerado, a componente tangencial da força resultante tem sentido sentido igual ao de de V . Vetor I

Resposta: d

Considere o enunciado abaixo para os exercícios de 6 a 8. Abandona-se um pêndulo no ponto A, representado na f igura. igura. Este desce livremente e atinge o ponto E, após passar pelos pontos B, C e D. O ponto C é o mais baixo da trajetória e despreza-se a influência do ar.

Resposta: a

A B

3

Se o movimento for retardado, a componente tangencial da força resultante que age no carrinho em P será mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução:

No movimento retardado, a componente tangencial da força resultante tem sentido oposto ao de V . Vetor V

E D C

6

No ponto B, a componente da força resultante que age na esfera pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor: a)

c)

anteriores.

Resposta: e

b)

d)

4

A intensidade da componente tangencial da força resultante que age no carrinho em P vale: a) zero; b) 2,0 N; c) 1,0 N; d) 0,50 N; e) 0,25 N. Resolução:

| at | = | γ | = 0,50 m/s2 | Ft | = m | at | = m | γ |

e) Nenhum dos

Resolução: Ponto B: movimento acelerado.

Ft tem a mesma direção e o mesmo sentido de V. Resposta: a

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170

PARTE II – DINÂMICA

7

No ponto C, a componente da força resultante que age na esfera pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor: a)

c)

e) Nenhum dos

10

(Cesgranrio-RJ) Uma nave Mariner permanece alguns meses em órbita circular em torno de Marte. Durante essa fase, as forças que agem sobre a nave são, em um referencial inercial ligado ao centro do planeta:

anteriores.

d)

b)

Resolução: Ponto C: local de transição de movimento acelerado para movimento

retardado. at = 0 ⇒ Ft = 0

a)

c)

b)

d)

e)

Resposta: e 8

No ponto D, a componente da força resultante que age na esfera pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor: a)

c)

e) Nenhum dos anteriores.

d)

b)

Resolução:

O movimento da nave é circular e uniforme sob a ação da força gravitacional que faz o papel de resultante centrípeta. Resposta: c

Resolução: Ponto D: movimento retardado.

11

Um avião de massa 4,0 toneladas descreve uma curva circular de raio R = 200 m com velocidade escalar constante igual a 216 km/h. Qual a intensidade da resultante das forças que agem na aeronave?

Ft tem a mesma direção de V, porém sentido oposto. Resposta: d

Resolução:

9

Na f igura igura a seguir, está representada uma partícula de massa m em determinado instante de seu movimento curvilíneo. Nesse instante, a velocidade vetorial é v , a aceleração escalar tem módulo e apenas duas forças agem na partícula: F1 e F2 . v

F1 Trajetória

θ

No movimento circular e uniforme, a resultante das forças que agem no avião é centrípeta. v = 216 km/h = 216 m/s = 60 m/s, 3,6 m = 4,0 t = 4,0 · 103 kg e R = 200 m 2 3 2 Fcp = m v ⇒ Fcp = 40 · 10 (60) (N) R 200 Donde:

Fcp = 7,2 · 104 N = 72 kN

F2

Resposta: 72 kN

No instante citado, é correto que: a) o movimento é acelerado e F1 = m α; b) o movimento é retardado e F1 = m α; c) o movimento movimento é acelerado e F1 + F2 cos θ = m α; d) o movimento é retardado e F1 + F2 cos θ = m α; e) o movimento é retardado e F1 + F2 sen θ = m α. Resolução:

O movimento é retardado, pois a resultante de F1 e F2 na direção tangencial à trajetória tem sentido oposto a V.

12

Considere um carro de massa 1,0 · 103 kg percorrendo, com velocidade escalar constante, uma curva circular de 125 m de raio, contida em um plano horizontal. Sabendo que a força de atrito responsável pela manutenção do carro na curva tem intensidade 5,0 kN, determine o valor da velocidade do carro. Responda em km/h. Resolução:

2 Fcp = Fat ⇒ mRv = Fat 3 2










Graf icamente, icamente, temos:

13

Considere uma partícula de massa m percorrendo a trajetória espiralada esO boçada na f igura, igura, com velocidade escalar constante, no sentido anti-horário a partir x da origem O. Admita que o raio de curva(+) tura da trajetória cresça uniformemente com a coordenada de posição x. Sendo F a intensidade da resultante das forças que agem na partícula, qual dos gráficos a seguir melhor traduz F versus x? a) c) e) F

F

x

0

b)

F

x

0

F1 C

P

Fcp

1

b) No caso de o movimento ser retardado, retardado, a força resultante deve admitir uma componente tangencial (F (Ft ) de sentido contrário ao 2 do movimento. Pelo fato de o movimento ser circular, circ ular, a força resultante deve admitir uma componente centrípeta (F (Fcp2 ). A resultante total, nesse caso, é F2 , dada por:

d)

F

Ft

1

x

0

171

Graf icamente, icamente, temos:

F2 = Ft2 + Fcp2

F

Fcp

P

2

x

0

C

x

0

F2

Ft

2

Resolução:

A resultante das forças que agem na partícula é centrípeta. 2 F = mRv Mas: R = Ro + kx 2 Logo: F = m v Ro + kx Sendo m, v, Ro e k constantes, F é função decrescente de x.

15

A f igura igura abaixo mostra a fotografia estroboscópica do movimento de uma partícula: Normal Tangente

V

P

I

Resposta: c 14

II

E.R .R..

A f igura igura representa uma partícula em movimento circular no instante em que ela passa por um ponto P de sua trajetória. Sabendo que o movimento acontece no sentido anti-horário, reproduza a figura, desenhando o vetor que representa a força resultante sobre a partícula nos seguintes casos:

IV

III

A resultante das forças que atuam na partícula no ponto P é mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução:

C

P

a) quando o movimento é acelerado; b) quando o movimento é retardado. Resolução:

a) No caso de o movimento movimento ser acelerado, a força resultante deve admitir uma componente tangencial (F (Ft1 ) de mesmo sentido que

Admitindo-se que o movimento ocorra da esquerda para a direita, ele será acelerado e, nesse caso, a componente tangencial da força resultante será dirigida para a direita. Por outro lado, como o movimento é curvilíneo, a força resultante deverá admitir uma componente centrípeta. P

Ft

Vetor l









172


Se admitíssemos que o movimento ocorra da direita para a esquerda, ele seria retardado, mas a resposta seria a mesma. Resposta: b

Resolução:

Nos trechos curvos, a resultante centrípeta tem intensidade constante (Fcp). Ponto A:

FA

16

Uma partícula percorre certa trajetória curva e plana, como a representada nos esquemas a seguir. Em P, a força resultante que age sobre ela é F e sua velocidade vetorial é v : I.

II.

III.

FA = P P Ponto B:

FB Fcp = P – F B

v P

v

v

P

F

FB = P – F cp

P

P Ponto C:

F

FC

F

Nos casos I, II e III, a partícula está dotada de um dos três movimentos citados abaixo: A — movimento uniforme; B — movimento acelerado; C — movimento retardado. A alternativa que traz as associações corretas é: a) I – A; II – B; III – C. d) I – B; II – C; III – A. b) I – C; II – B; III – A. e) I – A; II – C; III – B. c) I – B; II – A; A; III – C. Resolução:

Fcp = FC – P FC = P + F cp P

Portanto: Fc > FA > FB Resposta: b 18

Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC, conforme representa a vista aérea abaixo.

Caso I: F = Ft + Fcp 1

1

D

Ft tem o mesmo sentido de V e o movimento é acelerado. 1

Caso II: F = Fcp

2

O

Ft = 0 e o moviment movimentoo é uniforme.

C

2

Caso III: F = Ft + Fcp 3

3

Ft tem sentido oposto ao de V e o movimento é retardado. 3

A

Resposta: c 17

Um carrinho, apenas apoiado sobre um trilho, desloca-se para a direita com velocidade escalar constante, conforme representa a f igura abaixo. O trilho pertence a um plano vertical e o trecho que contém o ponto A é horizontal. Os raios de curvatura nos pontos B e C são iguais. B

A C

Sendo FA, F B e F C, respectivamente, as intensidades das forças de rea-

B

Admita que um carro de massa m percorra a pista com velocidade de intensidade constante igual a v. Sendo R o raio do trecho BC, analise as proposições a seguir: (01) No trecho AB, a força resultante sobre o carro é nula. (02) No trecho CD, a força resultante sobre o carro é não-nula. (04) Em qualquer ponto do trecho BC, a força resultante sobre o carro 2 é dirigida para o ponto O e sua intensidade é dada por m v . R (08) No trecho BC, a força resultante sobre o carro é constante. (16) De A para D, a variação da velocidade vetorial do carro tem intensidade v 2 . Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. Resolução:










(08) Incorreta. Fcp varia em direção ao longo do trecho BC, portanto é variável. (16) Correta. ΔV = VD – VA

173

Resolução:

A força F somada vetorialmente com P deve originar uma resultante resultante centrípeta, conforme indica a f igura igura a seguir.

Teorema de Pitágoras:

F

|ΔV|2 = V2 + V2 g

VD

F + P = Fcp

A

0

Fcp

P

VA

|ΔV | = V 2 Teorema de Pitágoras:

F2 = P2 + F2cp F2 = (m g)2 + (m ω 2 R)2

Resposta: 21 19

Considere uma partícula de massa M descrevendo movimento circular e uniforme com velocidade de intensidade v. Se o período do movimento é igual a T, a intensidade da força resultante na partícula é: a) M v ; d) π M v ; T T b) 2M v ; e) 2π v . T T 2 M v π c) ; T

F = 50 N

F2 = (4,0 · 10)2 + (4,0 · 102 · 7,5)2 ⇒ Resposta:

F

A

0

|F | = 50 N

Resolução:

A força resultante no MCU é centrípeta; logo: 2 Fcp = M v (I) R s 2 R MCU: v = Δ = π Δt T v T R= (II) 2 π 2 Substituindo (II) em (I): Fcp = M v v T 2 π Fcp = 2 π TM v

21

A partícula indicada na f igura igura descreve uma trajetória circular de raio R e centro O. Ao passar pelo ponto A, verif ica-se ica-se que sobre ela agem apenas duas forças: F1 e F2 . A F1

O

Resposta: c 20

Um ponto material de massa 4,0 kg realiza movimento circular e uniforme ao longo de uma trajetória contida em um plano vertical de 7,5 m de raio. Sua velocidade angular é ω = 1,0 rad/s e, no local, |g| = 10 m/s2. No ponto A indicado na f igura, igura, além da força da gravidade P , age no ponto material somente uma outra força, F . Caracterize F , calculando sua intensidade e indicando graf icamente icamente sua orientação. ω

g

F2

Sendo m a massa da partícula e v a sua velocidade vetorial em A, é correto que: 2 a) F1 = m v ; R 2 m b) F2 = v ; R 2 c) F1 + F2 = m v ; R 2 d) F1 + F2 cos θ = m v ; R 2 e) F1 + F2 cos θ + F’ = m v , em que F’ é a força centrífuga. R Resolução:

A

v

θ

Na direção radial: 2 F +F mv









174


22

Um bloco de massa 4,0 kg descreve movimento circular e uniforme sobre uma mesa horizontal perfeitamente polida. Um f io io ideal, de 1,0 m de comprimento, prende-o a um prego C, conforme ilustra o esquema: 1,0 m

Desprezando o efeito do ar e supondo que E 1 e E2 se mantenham sempre alinhadas com o centro, aponte a alternativa que traz o valor correto da relação T1 /T2, respectivamente das forças de tração nos fios (1) e (2): a) 2; b) 3 ; c) 1; d) 2 ; e) 1 2 3 2 .

C

Resolução:

Se a força de tração no fio tem intensidade 1,0 · 10 2 N, qual a velocidade angular do bloco, em rad/s? Resolução:

T MCU de E1: T1 = m ω 2 2 L ⇒ 21 = m ω 2 L MCU de E2: T2 – T1 = m ω 2 · L De (I) e (II): T 3 T T1 2 T2 – T1 = 21 ⇒ T2 = 2 1 ∴ T2 = 3

(I) (II)

Resposta: d

Fcp = T ⇒ m ω 2 R = T 4,0 ω 2 1,0 = 1,0 · 102

25

ω = 5,0 rad/s Resposta: 5,0 rad/s 23

Na f igura igura abaixo, uma esfera de massa m = 2,0 kg descreve sobre a mesa plana, lisa e horizontal um movimento circular. A esfera está ligada por um fio ideal a um bloco de massa M = 10 1 0 kg, que permanece em repouso quando a velocidade da esfera é v = 10 m/s. m

r

E.R .R..

Um carro percorre uma pista circular de raio R, contida em um plano horizontal. O coef iciente iciente de atrito estático entre seus pneus e o asfalto vale e, no local, a aceleração da gravidade tem módulo g. Despreze a influência do ar. a) Com que velocidade linear máxima o carro deve deslocar-se ao longo da pista, com a condição de não derrapar? b) A velocidade calculada no item anterior depende da massa do carro? MCU

Orifício

C

Fn

Fat

M

P

Resolução:

Sendo g = 10 m/s , calcule o raio da trajetória da esfera, observando a condição de o bloco permanecer em repouso. 2

Resolução: (I) Equilíbrio de M: T = M g ⇒ T = 10 · 10 (N)

m v2 ⇒ 100 = 2,0 (10)2 R R

R = 2,0 m Resposta: 2,0 m 24

Fn = P ⇒ Fn = m g

(I)

Já a força de atrito ( Fat ) é a resultante centrípeta que mantém o carro em movimento circular e uniforme (MCU):

T = 100 N (II) MCU de m: T =

a) Na figura, estão representadas as forças que agem no carro: A reação normal da pista (Fn ) equilibra o peso do carro (P ( P ):

A f igura igura representa duas esferas iguais, E 1 e E2, que, ligadas a fios inextensíveis e de massas desprezíveis, descrevem movimento circular e uniforme sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa:

Fat = Fcp ⇒ Fat = m v R

2

(II)

Como não há derrapagem, o atrito entre os pneus do carro e o solo é do tipo estático. Assim: Fat ≤ Fatd ⇒ Fat ≤ μ Fn Substituindo (I) e (II) em (III), vem: m v2 ≤ μ m g ⇒ v ≤ μ g R R

(III)












26

(Unesp-SP) Numa calçada de uma rua plana e horizontal, um patinador vira em uma esquina, descrevendo um arco de circunferência de 3,0 m de raio. Admitindo-se g = 10 m/s2 e sabendo-se que o coef iciente iciente de atrito estático entre as rodas do patim e a calçada é μe = 0,30, a máxima velocidade com que o patinador pode realizar a manobra sem derrapar é de: a) 1,0 m/s. c) 3,0 m/s. e) 9,0 m/s. b) 2,0 m/s. d) 5,0 m/s.

A

l a i c i n i o ã ç e r i D

0

v1

Direção final

Resolução:

A força de atrito que a calçada aplica nas rodas do patim faz o papel da resultante centrípeta: 2 Fat = Fcp = m RV A velocidade escalar máxima ocorrerá quando a força de atrito tiver intensidade máxima: m V2máx µe m g = R 2 Vmáx = µe g R Vmáx = µe g R

B

v2

Considerando-se a f igura, igura, a aceleração da gravidade no local, com módulo de 10 m/s2, e a massa do carro de 1,2 t, faça o que se pede: a) Caso o estudante resolva imprimir uma velocidade de módulo 60 km/h ao carro, ele conseguirá fazer a curva? Justifique. b) A velocidade escalar máxima possível, para que o carro possa fazer a curva, sem derrapar, irá se alterar se diminuirmos sua massa? Explique. Resolução:

a) Cálculo da velocidade máxima do carro na curva: 2 Fat  Fat ⇒ m RV  µe m g d V  µe g R ⇒ Vmáx = µe g R

Vmáx = 0,30 · 10 · 3,0 (m/s) Vmáx = 3,0 m/s Resposta: c

Vmáx = 0,30 · 10 · 48 (m/s) Vmáx = 12 m/s = 43,2 km/h

27

Um carro deverá fazer uma curva circular, contida em um plano horizontal, com velocidade de intensidade constante igual a 1 08 km/h. Se o raio da curva é R = 300 m e g = 10 m/s 2, o coef iciente iciente de atrito estático entre os pneus do carro e a pista ( μ) que permite que o veículo faça a curva sem derrapar: a) é μ ≥ 0,35; b) é μ ≥ 0,30; c) é μ ≥ 0,25; d) é μ ≥ 0,20; e) está indeterminado, pois não foi dada a massa do carro.

O carro não conseguirá fazer a curva (irá derrapar), pois V (60 km/h  43,2 km/h).

Resolução:

(I) (II)



Vmáx

b) Vmáx independe de m. Respostas: a) Não, pois a velocidade do carro (60 km/h) é maior que

a máxima permitida (43,2 km/h); b) Não, pois a velocidade máxima independe da massa do carro. 29

Atrito estático: Fat  Fat ⇒ Fat  µ · Fn d 2 F =F F m v

175

E.R .R..

Na f igura igura seguinte, um carrinho de massa 1,0 kg descreve movimento circular e uniforme ao longo de um trilho envergado em forma de circunferência de 2,0 m de raio: A









176


Resolução:

30

Como o carrinho executa movimento circular e uniforme, em cada ponto da trajetória a resultante das forças que nele agem deve ser centrípeta. Calculemos a intensidade constante dessa resultante: 2 Fcp = m v R 1,0 (8,0)2 Fcp = (N) ⇒ Fcp = 32 N 2,0

(UFRJ) A f igura igura representa uma roda-gigante que gira com velocidade angular constante em torno de um eixo horizontal f ixo f ixo que passa por seu centro C.

C

O peso do carrinho vale: P = m g = 1,0 · 10 (N) ⇒ P = 10 N a) No ponto A, o esquema das forças que agem no carrinho está dado abaixo: A

Fn

A

P O

FnA = força que o trilho exerce no carrinho em A A resultante de Fn e P deve ser centrípeta, isto é: A

FcpA = FnA + P

Em módulo: Calculemos FnA:

FcpA = FnA + P

FnA = FcpA – P ⇒ FnA = (32 – 10) N FnA = 22 N

Numa das cadeiras, há um passageiro sentado sobre uma balança de mola (dinamômetro), cuja indicação varia de acordo com a posição do passageiro. No ponto mais alto da trajetória, o dinamômetro indica 234 N e, no ponto mais baixo, indica 954 N. Calcule: a) o peso da da pessoa; pessoa; b) a intensidade da força resultante resultante na pessoa. Resolução:

O passageiro descreve um MCU; por isso, a força resultante sobre ele é centrípeta, com intensidade constante Fcp = m · ω 2 · R. No ponto mais alto: P – FN = Fcp ⇒ P – Pap = Fcp (I) A A No ponto mais baixo: FN – P = F cp ⇒ Pap – P = F cp (II) B B Comparando (I) e (II), vem: Pap – P = P – P ap ⇒ Pap + Pap = 2 P B A A B Pap + Pap B P= A 2 Sendo Pap = 234 N e Pap = 954 N, temos: A

b) No ponto B, o esquema das forças que agem no carrinho está dado a seguir: O Fn

B

P = 234 + 954 (N) ⇒ 2 b) (I) + (II): Pap – Pap = 2 Fcp B A 954 – 234 = 2 Fcp Fcp = 360 N

B

P = 594 N










Adotando-se g = 10 m/s 2 e π 3, pergunta-se: a) Quanto tempo o avião avião leva para percorrer percorrer o arco BMC? b) Qual a marcação da balança no ponto M (ponto mais baixo da tra jetória)? 

177

b) Ponto B: T – P = F cp T – m g = Fcp ⇒ T – 1,0 · 10 = 2,0 T = 12 N

Resolução:

a) Trecho BMC: MCU V = 900 km/h = 900 m = 250 m/s 3,6 s 2 π r = 2 · 3 · 2500 2 500 (m) Δs = 4 4 3 750 m Δs = 3750 Δ V = s ⇒ 250 = 3 750 Δt Δt

Respostas: a) 2,0 N; b) 12 N 33

Uma moto percorre um morro, conforme ilustra a figura a seguir. Visto em corte, esse morro pode ser comparado a um arco de circunferência de raio R, contido em um plano vertical. Observe:

Δt = 15 s A

b) Pap – P = F cp 2 Pap – m g = mR v Pap = 80

(250)2 + 10 10 (N (N)) 2 500

R

Pap = 2,8 · 10 N 3

C

Respostas: a) 15 s; b) 2,8 · 103 N 32

O pêndulo da f igura igura oscila em condições ideais, invertendo sucessivamente o sentido do seu movimento nos pontos A e C:

Ao passar no ponto A, o mais alto do morro, a moto recebe da pista uma força de reação normal 25% menor que aquela que receberia se estivesse em repouso nesse ponto. Se no local l ocal a aceleração da gravidade vale g, qual será o módulo da velocidade da moto no ponto A? Resolução:

g Fn

A

C v

B

A esfera tem massa 1,0 kg e o comprimento do f io, io, leve e inextenB sível, vale 2,0 m. Sabendo que no ponto (mais baixo da trajetória) a esfera tem velocidade de módulo 2,0 m/s e que |g| = 10 m/s 2, determine: a) a intensidade da força resultante resultante sobre a esfera quando quando ela passa pelo ponto B; b) a intensidade da força que traciona o fio quando a esfera passa passa pelo ponto B.

A

P R

C

Ponto A:









178


O

36

g 1,0 m

A ilustração abaixo representa um globo da morte, dentro do qual um motociclista realiza evoluções circulares contidas em um plano vertical. O raio da circunferência descrita pelo conjunto moto-piloto é igual ao do globo e vale R. A

A lata passa pelo ponto mais alto dos loopings com velocidade de 5,0 m/s e adota-se, no local, |g|= 10 m/s2. Desprezando as dimensões da lata e do bloco, determine a intensidade intensi dade da força vertical que o bloco troca com o fundo da lata no ponto mais alto dos loopings.

g

Resolução:

No ponto mais alto dos loopings, temos: 2 Fn + P = F cp ⇒ Fn = mR v – m · g 2 Fn = 2,0 5,0 – 10 ⇒ 1,0

Fn = 30 N

Resposta: 30 N 35

E.R .R..

No esquema abaixo, um homem faz com que um balde cheio de água, dotado de uma alça f ixa f ixa em relação ao recipiente, realize uma volta circular de raio R num plano vertical. A

g

O ponto A é o mais alto da trajetória e por lá o conjunto moto-piloto, que tem massa M, passa com a mínima velocidade admissível para não perder o contato com a superfície esférica. Supondo que a aceleração da gravidade tenha módulo g, analise as proposições a seguir: (01) No ponto A, a força vertical trocada pelo conjunto moto-piloto e o globo é nula. (02) No ponto A, a força resultante no conjunto moto-piloto tem intensidade M g. (04) No ponto A, o peso do conjunto moto-piloto desempenha a função de resultante centrípeta. (08) No ponto A, a velocidade do conjunto moto-piloto tem módulo gR. (16) Se a massa do conjunto moto-piloto fosse 2M, sua sua velocidade no ponto A teria módulo 2 g R . Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. Resolução:

Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade vale g, responda: qual a mínima velocidade linear do balde no ponto A (mais alto

(01) Correta. O conjunto moto-piloto não comprime o globo.

Resolução:

(02) Correta. A única força atuante no conjunto moto-piloto no ponto A é a força peso (M g), que é a resultante.

Ao passar em A com a mínima velocidade admissível, a água não troca forças verticais com o balde. Assim, a única força vertical que nela age é a da gravidade, que desempenha o papel de resultante centrípeta:

(04) Correta. No ponto A

da trajetória) para que a água não caia?










C g R O

D

179

Na f igura igura a seguir, vemos, de cima, um antigo toca-discos apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o prato do aparelho, que em operação gira no sentido horário, foi colocada uma pequena moeda M, que não escorrega em relação à superfície de apoio.

B M

V IV

III

I II

A

a) Reproduza a figura, fazendo um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto material. b) Qual a velocidade mínima mínima que a motocicleta motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo? globo? Adote |g | = 10 m/s 2. Resolução:

O toca-discos é ligado e, depois de funcionar normalmente durante certo intervalo de tempo, é desligado. O gráf ico gráf ico a seguir mostra a variação da intensidade v da velocidade tangencial de M em função do tempo t.

a) Diagrama de forças:

v C

FC P

D

FD

FB O

P

P FA A P

em que: F = força aplicada pelo pelo apoio P = peso do conjunto conjunto b) Ponto C: FC = 0 m V2mín Fcp = P ⇒ =m g R Vmín = g R ⇒ Vmín = 10 · 3,6 (m/s)

0

B

t1

t2

t3 t

Com base neste enunciado, responda aos três testes seguintes: 38

Qual das setas numeradas de I a V melhor representa a força resultante em M num instante do intervalo de 0 a t 1? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução: Intervalo de 0 a t1: movimento circular acelerado. M

Ft

Movimento

F Fcp

Vmín = 6,0 m/s Respostas: a)

Seta ll











180


40

Qual das setas numeradas de I a V melhor representa a força resultante em M num instante do intervalo de t 2 a t3? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

M

(I) MUV: v = v0 + α t v = 4,0 · 1,0 (m/s) ⇒

v = 4,0 m/s

2 3,0 (4,0)2 (II) Fcp = mRv ⇒ Fcp = 3,0 (N)

Resolução: Intervalo de t2 a t3: movimento circular e retardado. Ft

Resolução:

Fcp = 16 N

Movimento

Ft = 12 N

(III) Ft = m α ⇒ Ft = 3,0 · 4,0 (N) ⇒ F

(IV) Teorema de Pitágoras: F2 = F2t + F2cp Fcp

F2 = (12)2 + (16)2 ⇒

F = 20 N

Seta lV

Fcp O

Resposta: d

F

Ft

41

Na f igura, igura, está representado um pêndulo em oscilação num plano vertical. O f io io é inextensível e de massa desprezível e o ar não influencia signif icativamente icativamente o movimento do sistema. Na posição C, o f io io apresenta-se na vertical. Nas posições A e E, ocorre inversão no sentido do movimento.

Resposta: 20 N 43

Considere um satélite artificial em órbita circular em torno da Terra. Seja M a sua massa e R o raio de curvatura de sua trajetória. Se a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele tem intensidade F, pode-se af irmar irmar que seu período de revolução vale: MR; F b) 2π M R ; F c) 2π M R F ; a)

A

E B

2 d) 4π FM R ;

e) Não há dados para o cálculo.










Resolução:

A força gravitacional que a Terra aplica ao corpo faz o papel de resultante centrípeta. 2 F = Fcp ⇒ F = m ω 2 R ⇒ F = m 2 π R T 2 6 F = 4 π 2m R ⇒ F = 4 · 10 · 90 ·472 · 10 (N) T (9 · 10 ) F 3,1 N 

b) Fat = Fcp ⇒ µA mA g = mA ω 2 40 A

45

Na situação esquematizada na f igura, igura, a mesa é plana, horizontal e perfeitamente polida. A mola tem massa desprezível, constante elástica igual a 2,0 · 10 2 N/m e comprimento natural (sem deformação) de 80 cm.

2 µA = ω g40 (I) Fat = Fcp ⇒ µB mB g = mB ω 2 20 B

µB = ω g20

(II)

ω 2 40 µA µA g = =2 ⇒ µB µB ω 2 20 g Observe que as velocidades angulares de A e B são iguais. Respostas: a)

47

Se a esfera (massa de 2,0 kg) descreve movimento circular e uniforme, qual o módulo da sua velocidade tangencial? Resolução: 2 Fe = Fcp ⇒ K Δx = m v

Resposta: 3,0 m/s

B

2

90 cm

R 2 2,0 · 10 · (0,90 – 0,80) = 2,0 v ⇒ 0,90

A

Dividindo-se (I) por (II), obtém-se:

Resposta: a

2

181

v = 3,0 m/s

vA µ = 2; b) A = 2 vB µB

(Ufla-MG) Um dos fatores que influem no desempenho de um carro de Fórmula 1 é o “efeito asa”. Esse efeito, que pode ser mais ou menos acentuado, surge na interação do ar com a geometria do carro. Quando se altera o ângulo de inclinação dos aerofólios, surge uma força vertical para baixo, de forma que o carro fica mais preso ao solo. Considerando-se um carro com “efeito asa” igual ao seu peso, coef icoef iciente de atrito estático μe = 1,25 entre pneus e asfalto e g = 10 m/s 2, esse carro pode fazer uma curva plana horizontal de raio de curvatura 100 m, sem deslizar, com velocidade escalar máxima de: a) 90 km/h. b) 144 km/h. c) 180 km/h. d) 216 km/h. e) 252 km/h.









182


Resolução:

50

A força de atrito exercida pelo muro é a resultante externa responsável pelo freamento do caminhão. F = Fat m α = µ FN (I) Fat

Fn

Na f igura igura a seguir, representa-se um pêndulo fixo em O, oscilando num plano vertical. No local, despreza-se a influência do ar e adota-se g = 10 m/s2. A esfera tem massa de 3,0 kg e o f io f io é leve e inextensível, apresentando comprimento de 1,5 m. Se, na posição A, o f io io forma com a direção vertical um ângulo de 53° e a esfera tem velocidade igual a 2,0 m/s, determine a intensidade da força de tração no fio. Dados: sen 53° = 0,80; cos 53° = 0,60. O

g 53° Poça de óleo

A Muro lateral

A força normal de contato exercida pelo muro lateral é a resultante centrípeta que mantém o caminhão em trajetória circular. 2 Fn = Fcp ⇒ Fn = mR v (II) Substituindo (II) em (I), temos: 2 m α = µ mR v (20)2 2 α = 0,30 90 (m/s) ⇒ α 1,3 m/s

Resolução: No ponto A:

T – Pn = Fcp A m v2A T – m g cos 53° = L 3,0 (2,0)2 T – 3,0 · 10 · 0,60 = 1,5 T = 26 N O



53°

Resposta: b

T

49

(Mack-SP) Um corpo de pequenas dimensões realiza voltas verticais no sentido horário dentro de uma esfera rígida de raio R = 1,8 m. Na f igura igura a seguir, temos registrado o instante em que sua velocidade tem módulo igual a 6,0 m/s e a força de atrito, devido ao contato com

A Pn 53° P










183

Resolução: Céu

θ

F Fcp

Mar

P

Asa esquerda do avião

Figura A cos θ = P ⇒ cos θ = 1 F n sen2 θ + cos2 θ = 1

(I) Mar

sen2 θ + 12 = 1 n sen θ = 1 n

Rochedo

(II)

n2 – 1

Fcp m v2 ⇒ sen θ = R m g P cos θ Donde:

Asa esquerda do avião

tg θ =

2 R = cosθ v sen θ g

(III)

Substituindo (I) e (II) em (III), temos: v2 1 R= n 1 n2 – 1 g n R=

1

Figura B

(40) (m) 2

Note e adote: π = 3; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,86; tg 30° = 0,60

Módulo da aceleração da gravidade: g = 10 m · s –2 As distâncias envolvidas no problema são grandes em relação às dimensões do avião. a) Encontre uma relação entre θ, V, R e g para a situação descrita. b) Estime o módulo V da velocidade do avião, em m/s ou km/h.









184


m V2 S F R tg θ = x = cp ⇒ tg θ = m g Sy P 2 tg θ = gV R

b) O avião descreve um um arco de comprimento π · R (meia-volta) em 90 s. Portanto: R V = Δst = π tR = 390R ⇒ V = 30 Δ Δ R = 30 V (SI) Substituindo o valor de R na expressão tg θ, temos: 2 tg θ = V 0,60 = V g 30 V ⇒ g 30 V = 0,60 10 30 (m/s) V = 180 m/s = 648 km/h c) O valor do raio raio da curva fica determinado determinado por: R = 30 · V

De (I) e (II), vem: (2 π)2 = g tg θ ⇒ r T

T=2 π

b) Como T é inversamente proporcional à raiz quadrada de g, reduzing do-se a intensidade da aceleração da gravidade g ravidade a , T dobra. 4 r ; b) O período f icaria icaria multiplicado g tg θ por 2, já que ele é inversamente proporcional à raiz quadrada da intensidade da aceleração da gravidade. Respostas: a) T = 2 π

54

(Mack-SP) Na f igura, igura, o f io io ideal prende uma partícula de massa

m a uma haste vertical acoplada a um disco horizontal que gira com

velocidade angular constante. Sabendo que a distância do eixo de rotação do disco ao centro da partícula é igual a 0,10 3 m e que g = 10 m/s2, calcule a velocidade angular do disco.

5 400 m R = 30 · 180 ⇒ R = 5400 Retomando-se a f igura igura anterior e considerando-se o triângulo retângulo ABC, calculamos a altura H do avião. tg θ = HR ⇒ 0,60 = H 5 400

g 60°

Donde: H = 3 240 m ω

V2 ; b) 180 m/s ou 648 km/h; c) 3240 Respostas: a) tg θ = 3 240 m g R 53

No esquema a seguir, representa-se um pêndulo cônico operando em condições ideais. A esfera pendular descreve movimento circular e uniforme, num plano horizontal, de modo que o afasta-

r g tg θ

Resolução: 60°

T

m












Donde:

ω

ω 5,5 rad/s 

Articulação d L

θ

F θ

Fcp m

m

Eixo de rotação

a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre uma das esferas. b) Calcule a velocidade angular ω para a qual θ = 30°. Resolução:

a)

P

Respostas: a)

F P = força da gravidade (peso) F = força aplicada

185









186


Mas: Fn = Fcp Fn = m ω 2 R De (I) e (II), vem:

(II)

g m g  µ m ω 2 R ⇒ ω  µ ⇒ R Resposta:

ω min =

g µ R

g

µ R

57

Considere uma superfície, em forma de tronco de cone, fixa sobre uma mesa, conforme representa a figura. Seja o ângulo formado entre a parede externa da superfície e a mesa. Uma partícula de massa m percorre a parede interna da superfície em movimento uniforme, descrevendo uma circunferência de raio R, contida em um plano horizontal. Desprezando todos os atritos e adotando para a aceleração da gravidade o valor g, calcule a intensidade da velocidade linear da partícula.

Para simular a presença de gravidade, a estação deve girar em torno do seu eixo com certa velocidade angular. Se o raio externo da estação é R: a) deduza a velocidade velocidade angular com que a estação deve girar para que um astronauta, em repouso no primeiro andar e a uma distância R do eixo da estação, fique sujeito a uma aceleração de módulo igual a g. b) suponha que o astronauta, cuja massa vale vale m, vá para o segundo andar, a uma distância h do piso do andar anterior. Calcule o peso do astronauta nessa posição e compare-o com o seu peso quando estava no primeiro andar. O peso aumenta, diminui ou permanece inalterado? Resolução:

a) O peso aparente do do astronauta tem valor igual ao da força normal que ele recebe do piso da estação. Essa força faz o papel de resultante centrípeta no MCU que o astronauta realiza em torno do eixo da estação. Pap = Fcp ⇒ m g = m ω 2 R 1

R C

ω =

1

g R










3) Na direção horizontal, a força resultante é centrípeta:

Resolução:

vmáx = µe g R (Veja Exercício Resolvido 25.) vmáx = 0,40 · 10 · 625 (m/s)

1,0 m

2 ,0 m

R

vmáx = 50 m/s = 180 km/h 1,0 m

Os pilotos que entram na curva com velocidade superior a 180 km/h derrapam. Resposta: c 60

(Unip-SP) Uma pequena esfera E, de massa 1,0 kg, gira em torno de uma haste vertical com velocidade angular constante de 5,0 rad/s. A esfera está ligada l igada à haste por dois fios ideais de 2,0 m de comprimento cada um, que estão em contato com a haste por meio de dois anéis, A e B, a uma distância fixa de 2,0 m um do outro. A esfera E não se desloca verticalmente. Haste

30°

m , 0 2 0

T1 cos 30° + T2 cos 30° = m ω 2 R 1,0 Da figura: tg 30° = R 1,0 10 R= (m) = = 3 = 3 tg 30° 3 3 3 (T1 + T2) 3 = 1,0 (5,0)2 3 2 T1 + T2 = 50 (II) Substituindo (I) em (II), temos: T2 + 20 + T2 = 50 2 T2 = 30 ⇒ Em (II):

T2 = 15 N

187









188


(I) sen 60° = r R r= 3 R 2 (II) tg 60° =

Substituindo (I) em (II), temos: m v2máx m·g (sen θ + µ cos θ) = cos θ – µ sen θ R Donde:

Fcp P

2 g 3 = m ω r ⇒ ω 2 = 3 m g r g 2 g ω 2 = 3 ⇒ ω = R 3 R 2

Resposta: 62

2 g R

Um automóvel está em movimento circular e uniforme com velocidade escalar v, numa pista sobrelevada de um ângulo em relação à horizontal. Sendo µ o coef iciente iciente de atrito estático entre os pneus e a pista, R o raio da trajetória e g a intensidade do campo gravitacional, determine o valor máximo de v, de modo que não haja deslizamento lateral do veículo.

vmáx = R g (sen θ + µ cos θ) cos θ – µ sen θ

Resposta:

63

R g (sen θ + µ cos θ) cos θ – µ sen θ

(Fuvest-SP) Um brinquedo consiste em duas pequenas bolas A e B, de massas iguais a M, e um f io io flexível e inextensível: a bola B está presa na extremidade do f io io e a bola A possui um orifício pelo qual o f io io passa livremente. Para operar adequadamente o dispositivo, um jovem (com treino) deve segurar a extremidade livre do f io io e girá-la de maneira uniforme num plano horizontal, de modo que as bolas realizem movimentos circulares e horizontais, de mesmo período, mas de raios diferentes. Nessa situação, como indicado na f igura igura 1, as bolas permanecem em lados opostos em relação ao eixo vertical f ixo, f ixo, que apenas toca os pontos O e Q do f io. io. Na f igura igura 2, estão indicados os raios das trajetórias de A e B, bem como os ângulos que os dois segmentos do fio fazem com a horizontal.










a) Equilíbrio de B na vertical: F sen θ = M g ⇒ F 0,4 = M g F = 2,5 M g b) Equilíbrio de A na vertical: F sen α = F sen θ + M g 2,5 M g sen α = 2,5 M g 0,4 + M g 2,5 sen α = 2,0 ⇒ K=

sen α = 0,8

sen α 0,8 ⇒ K= ⇒ sen θ 0,4

K=2

c) Movimento circular e uniforme de B: (I) Fcp = F cos θ ⇒ M ω 2 R22 = 2,5 M g cos θ

Para um referencial na Terra e um na Lua, os esquemas corretos são, respectivamente: a) I e II; b) I e III; c) IIII e III; d) I e I; e) II e II. Resposta: a 66

Considere um cilindro oco de raio R, como o esquematizado a seguir, em rotação em torno de um eixo vertical com velocidade angular igual a . Uma pessoa de massa m está acompanhando o movimento do sistema apenas encostada na parede interna do cilindro, porém na iminência de escorregar. As forças horizontais F 1 (reação normal da parede) e F 2 ( F 2 = – F 1) têm sentidos opostos e estão aplicadas no corpo da pessoa.

B

ω 0,10 = 2,5 · 10 · 0,9 ⇒ 2

ω = 15 rad/s

ω

(II) 2 π f = ω ⇒ 2 3 f = 15 f = 2,5 Hz Respostas: a) F = 2,5 M g; b) K = 2; c) 2,5 Hz

189

R

Resultantes Tangencial e Centrípeta - Resoluções

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