Curso ON LINE
001
Tema 5
Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 1200 €. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 600 €. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler. Este mes el número total de operaciones fue 5, la prima total por la venta de pisos fue superior en 2000 € a la obtenida por alquileres y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler). (b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres. (c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres. (d) Si la prima de alquileres fue de 200 €, ¿cuántas operaciones de cada tipo se realizaron?.
2B CCSS PAU Oviedo Junio 2001
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de ventas de pisos nuevos" y ≡ "Número de ventas de pisos usados" z ≡ "Número de alquileres" DETERMINACIÓN DETERMINACIÓ N DE PARÁMETROS
m ≡ "Valor desconocido de la prima por un alquiler" PLANTEAMIENTO:
x+y+z=5 1200x + 600y = 2000 + m·z 1200x = 3·m·z Colocamos términos semejantes en cada miembro, reducimos y obtenemos el siguiente sistema para obtener el número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler)
x+y+z=5 120 000x + 60 000y – mz = 200 000 40 000x – m·z = 0 RESOLUCIÓN apartado (b)
Para estudiar la compatibilidad del sistema, lo resolvemos por el método de Gauss: ( −1200) 1 (1)
1 1 5 (−400) 1200 600 − m 2000 0 0 (1) −m 400
Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª y 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda y derecha, respectivamente: 1 1 5 1 ( −2) 0 − 600 − m − 1200 − 4000 0 − 400 − m − 400 − 2000 (3)
Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda 1 1 5 1 − m − 1200 − 4000 0 − 600 0 2m + 2400 − 3m − 1200 2000 0
Simplificamos la 3º fila: 1 1 5 1 0 − 600 − m − 1200 − 4000 0 − m + 1200 2000 0
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1
Abel Martín
"Matrices"
Obtendremos una solución imposible cuando al estudiar la compatibilidad el sistema es INCOMPATIBLE (– m + 1200) z = 2000 Será incompatible cuando: m = 1200 – m + 1200 = 0 Es imposible que se hayan pagado los alquileres con una prima de 1200 €. RESOLUCIÓN apartado (c)
COMPROBACIÓN:
Para indicar tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres: observamos la matriz del sistema resultante: 1 1 5 1 0 − 600 − m − 1200 − 4000 0 0 − m + 1200 2000
Para m
1200 es sistema es compatible determinado. (– m + 1200)z = 200 000
Pero hay que tener en cuenta que tanto x, y, z, m, atendiendo al contexto del problema , tienen que ser 0 ó números enteros positivos. Comencemos, por tanteo, dándole valores a "z":
z=
2000
− m + 1200
Para z = 0 0=
2000
→
− m + 1200
0 = 2000 NO VÁLIDA
Para z = 1 1=
2000
→
− m + 1200
– m + 1200 = 2000
– m = 2000 – 1200 – m = 800 → m = – 800 (La prima por alquiler tiene que ser positiva y entera)
NO VÁLIDA
Para z = 2 2=
2000
− m + 1200
→
– 2m + 2400 = 2000
– 2m = 2000 – 2400 – 2m = – 400 Para m = 200
→
m = 200
¿VÁLIDA?
1 1 5 1 0 − 600 − 1400 − 4000 0 0 1000 2000
1000z = 2000 z=2
Válida
– 600y – 1400z = – 4000 – 600y – 2800 = – 4000 – 600y = – 4000 + 2800 – 600y = – 1200 y = 2 Válida x+y+z=5
→
x = 5– 2– 2 x = 1 Válida
2
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 5
Para z = 3 3=
2000
→
− m + 1200
– 3m + 3600 = 2000
– 3m = 2000 – 3600 – 3m = – 1600 → m = 1600/3 Para m = 1600/3 1 1 5 1 0 − 600 − 5200 / 3 − 4000 0 0 2000 / 3 2000 2000 3
z = 2000 z=3
– 600y –
5200 3
Válida
z = – 4000
– 1800y – 5200 = – 12000 – 1800y = 5200 - 12000 – 1800y –= – 6800 y = -3.77
No Válida
Para z = 4 4=
2000
− m + 1200
→
– 4m + 4800 = 2000
– 4m = 2000 – 4800 – 4m = – 2800 Para m = 700
→
m = 700
¿VÁLIDA?
1 1 5 1 0 − 600 − 1900 − 4000 0 0 500 2000
500z = 2000 z=4
Válida
– 600y – 1900z = – 4000 – 600y – 7600 = – 4000 – 600y = – 4000 + 7600 – 600y = 3600 y = – 6 No Válida Así pues, sólo es válida para m = 200 RESOLUCIÓN apartado (d)
Este apartado ya ha sido resuelto en el anterior, m = 200, obteniéndose como solución: x=1 ;y=2 ; z=2 1 venta de un piso nuevo, 2 ventas de pisos usados y 2 alquileres.
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3
Abel Martín
"Matrices"
RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORAS GRÁFICAS
Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del enunciado:
m = 1200 1 1 5 1 1200 600 − m 2000 400 0 0 −m
SOLV
F1
La calculadora gráfica no es capar de resolver sistemas incompatibles
m
1200 , por ejemplo m = 200 SOLV
F1
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado.
m
1200 , por ejemplo m = 700 SOLV
F1
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero...
con
soluciones negativas
m
1200 , por ejemplo m = 400 SOLV
F1
La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero... con soluciones fraccionarias
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. ClassPad
4
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 5
a 1 A = 1 a ; B = 1 0
Sean las matrices
002
x ; C = y
1 1 ; D = 0
z z z
BH2
(a) Sabiendo que AB = 2C - D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) donde "a" es cierto valor desconocido. (b) Si se supiera que el sistema tiene solución, ¿podríamos descartar algún valor de "a"?.
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2001
(c) Si se supiera que el sistema tiene solución única, ¿podríamos descartar algún valor de "a"?. (d) ¿Hay algún valor de "a" para que el sistema tenga más de una solución?.
RESOLUCIÓN apartado (a):
AB a 1 ax + y x A·B = 1 a · = x + ay 1 0 y x
3x2
2x1
3x1 AB = 2C - D ax + y x + ay = x
2 2 0
z z z
ax + y x + ay = x
2 − z 2 − z − z
Aplicando la definición de igualdad de matrices: ax + y = 2 − z x + ay = 2 − z x = − z
ax + y + z = 2 x + ay + z = 2 x + z = 0
RESOLUCIÓN apartado (b):
Discutimos el sistema: a 1 1 2 1 a 1 2 1 0 1 0 0 1 0 (− a ) (1) 1 a 1 2 a 1 1 2 (1)
1 0 1 0 1 a 1 2 a 1 1 2
intercambiamos la 1ª y la 3ª fila
(−1) 1
1 0 1 0 (−1) 0 a 0 2 a 0 1 1 − a 2
1 1 0 0 0 a 0 0 a − a2
0
2a − 2 2
(a - a2) z = 2a - 2 a - a2 = 0 a(1 - a) = 0 a=0 ; a=1
a
a = 0 0z = - 2 a = 1 0z = 0 Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado 0 y a 1 p. ej. a = 3 (3 - 32) z = 2·3 - 2 - 6z = 4 Sistema compatible determinado
Si se supiera que el sistema tiene solución, podríamos descartar que sea un sistema es incompatible, es decir, descartar a = 0 RESOLUCIÓN apartado (c):
Si se supiera que el sistema tiene solución única, tendría que ser compatible determinado, así que se descartarían los sistemas incompatibles y los compatibles indeterminados, es decir, se descarta a = 0 y a = 1. RESOLUCIÓN apartado (d):
Para que el sistema tenga más de una solución tiene que ser compatible indeterminado, es decir, a = 1
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5
Abel Martín
003
"Matrices"
En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de las demás. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú. (b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema?. (c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.
BH2
CCSS PAU Oviedo Junio 2002
RESOLUCIÓN apartado a
DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN D DEE I INNCCÓÓGGNNIITTAASS
x ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú normal". y ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú con vitaminas". z ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú anticaspa". DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN D DEE P PAARRÁÁMMEETTRROOSS
m ≡ "Precio desconocido del champú anticaspa" PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO::
2x + 3y + mz = 112 2x + 56 = 3y + mz 3y + mz = m·28 Reducimos y obtenemos el siguiente sistema en función del precio desconocido del champú anticaspa
2x + 3y + mz = 112 2x - 3y - mz = - 56 3y + mz = 28m RESOLUCIÓN apartado b m (−1) 2 3 112 (1) 2 − 3 − m − 56 0 3 m 28m
m 112 2 3 (1) 0 − 6 − 2m − 168 28m m (2) 0 3
m 112 2 3 − 168 0 − 6 − 2m 0 0 0 56m − 168
0z = 56m - 168 56m - 168 = 0 56m = 168 m = 3 0z = 0 Infinitas soluciones Sistema compatible indeterminado para m = 3 m ≠ 3 0z = 56m - 168 p.ej, m = 0 0z = - 168 Sistema incompatible para m 3 Por lo que resolvemos para m = 3 - 6y - 2·3z = - 168 - 6y = - 168 + 6z - 6y = - 168 + 6z y = 28 - z 2x + 3y + 3z = 112 2x + 3(28 - z) + 3z = 112 2x + 84 - 3z + 3z = 112 2x = 28 x = 14 Se trata de un sistema compatible indeterminado, de solución generalizada: (14, 28 - z, z) El precio del anticaspa es de 3€. 6
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 5
RESOLUCIÓN apartado c
Para z = 20: (14, 28 - z, z) (14, 28 - 20, 20) (14, 8, 20) Si vendieron 20 unidades de champú anticaspa, ese mismo mes habrá vendido 14 unidades de champú normal y 8 con vitaminas. RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA
Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del enunciado:
m=3 SOLV
F1
La calculadora gráfica no es capaz de resolver sistemas compatibles indeterminados.
Si sustituimos en el primer sistema, para m = 3 , z = 20 SOLV
F1
La calculadora gráfica no es capar de resolver sistemas compatibles indeterminados.
Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.
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7
Abel Martín
"Matrices"
− 1 2 − 1 Sean las matrices A = 1 1 2 , B= 3 −3 a
004
0 0 a , C = 0 , donde a es desconocido. a 0
(a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B. ¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única?. (b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula 2 de ellas.
BH2
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2002
SOLUCIÓN apartado (a): Para estudiar la compatibilidad del sistema: (1) − 1
(1) 1 3
− 1 0 (3) 1 2 a − 3 a a (1)
− 1 2 − 1 0 a (−1)· 0 3 1 (1)· 0 3 a − 3 a
2
− 1 2 − 1 0 a 1 0 3 0 0 a − 4 0
(a - 4)z = 0 a=4 0z = 0 Infinitas soluciones Sistema compatible indeterminado. 3y + z = a 3y = a - z a
y=
a − z
3
4
Sistema compatible determinado. No hay ningún valor de a que haga que el sistema no tenga solución pues nunca es incompatible. El sistema tiene solución única para a ≠ 4 ya que es compatible determinado. SOLUCIÓN apartado (b):
− 1 2 − 1 0 1 2 0 1 3 − 3 a 0
Al ser un sistema homageneo siempre tendrá, al menos una solución y que es la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0. Tendrá más de una solución para a = 4. (1) − 1
(1) 1 3
− 1 0 (3) 1 2 0 − 3 4 0 (1) 2
− 1 2 − 1 0 (−1)· 0 3 1 0 (1)· 0 3 1 0
3y + z = 0
− 1 2 − 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0
z = - 3y
- x + 2y - z = 0 - x + 2y - (- 3y) = 0 - x + 2y + 3y = 0 - x = - 5y Solución generalizada: (5y, y, - 3y)
8
Para y = 1
(5, 1, - 3)
Para y = 2
(10, 2, - 6)
Matemáticas y TIC
x = 5y
Curso ON LINE
Tema 5
1 2 1 La matriz de coeficientes de un sistema es 1 a a y la de términos independientes 1 4 a 1
005
1 1 . 2a
(a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución?. (b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿tenía más soluciones el sistema?. (c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo.
BH2
CCSS PAU Oviedo Junio 2003
RESOLUCIÓN:
1 2 1 x 1 a a · y = 1 4a 1 z
1 1 2a
Aplicamos la definición de producto de matrices
x + 2 y + z x + ay + az = x + 4ay + z
x + 2 y + z = 1 Aplicando la definición de igualdad de matrices: x + ay + az = 1 x + 4ay + z = 2a
1 1 2a
Para estudiar la compatibilidad del sistema: (−1) 1
2 1 1 ( −1) (1)· 1 a a 1 1 4a 1 2a (1)
2 1 1 1 0 0 a − 2 a −1 0 4a − 2 0 2a − 1
(4a
- 2)y = 2a - 1 2(2a - 1)y = 2a - 1
2a - 1 = 0
2a = 1
a = 1/2 0y = 0 Infinitas soluciones Sistema compatible indeterminado. (a - 2)y + (a - 1)z = 0 (a - 2)y = - (a - 1)z
a=2 0= -z
0y = - z 2(2a - 1)y = 2a - 1 6y = 3 y = 3/6 x + 2y + z = 1
z=0
a=1 - y = 0z y = 0 2(2a - 1)y = 2a - 1 2y = 1 y = 1/2 Incoherencia Imposible Sistema incompatible
y = 1/2
x = 1 - 2· 1 + 0 2
x=0
Sistema compatible determinado SOLUCIÓN apartado (a):
Para que el sistema no tenga solución, ha de ser incompatible y por lo tanto a = 1 SOLUCIÓN apartado (b):
Para que el sistema admita varias soluciones, ha de admitir infinitas y ser un sistema compartible indeterminado, por lo tanto a = 1/2 SOLUCIÓN apartado (c):
Para que el sistema tenga solución única ha de ser compatible determinado, y por lo tanto: a ≠ 1/2 y a ≠ 1 Supongamos a = 0 x + 2 y + z = 1 x + ay + az = 1 x + 4ay + z = 2a
x + 2y + z = 1 www.classpad.tk
x + 2 y + z = 1 x = 1 x + z = 0
1 + 2y + (- 1) = 1
x=1
x+z=0
2y = - 1 + 1 + 1
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2y = 1
z=-1
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y = 1/2 9
Abel Martín
006
"Matrices"
1 1 Sean las matrices A = 0 0 , B = 1 1
x 0 z , C = 0 y 0
0 x 0 1 0 − y − z , D = 1 , E = 0 0 1 0
0 a a
BH2
(a) Sabiendo que (AB – C)D= 2E, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) en función de a. (b) ¿Para algún valor de a el sistema tiene solución única? (c) Para a = 0 encuentra una solución del sistema con z ≠ 0.
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2003
RESOLUCIÓN apartado (a):
AB 1 1 x 0 z = 0 0 · y 0 0 1 1
AB - C x y z 0 0 0 x y z
x y z 0 0 0 x y z 0 0 x
(AB - C)·D
0 x 0 0 − y − z = 0 0 0 y z y z y z
0 y z 1 0 y z · 1 = x y z 1
3x3
y + z y + z x + y + z
3x1
3x1
(AB - C) · D = 2E y + z y + z = x + y + z
0 2a 2a y + z = 0 y + z = 2a x + y + z = 2a
Aplicando la definición de igualdad de matrices:
RESOLUCIÓN apartado (b) Para estudiar la compatibilidad del sistema:
0 1 1 0 0 1 1 2a 1 1 1 2a
1 1 1 2a ( −1)· 0 1 1 0 (1)· 0 1 1 2a
1 1 1 2a 0 1 1 0 0 0 0 2a
0z = 2a a=0 0z = 0 Infinitas soluciones Sistema compatible indeterminado. a
0
Por ejemplo a = 3 0z = 6 Sistema incompatible En ningún caso tiene solución única ya que para ningún valor de a es un sistema compatible determinado. RESOLUCIÓN apartado (c) Para estudiar la compatibilidad del sistema:
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
y=-z
x+y+z=0
x - z +z =0
(0, - z, z) Alguna solución del sistema, con z ≠ 0 podrían ser: para z = 1 (0, - 1, 1) para z = 7 (0, - 7, 7) etc. 10
Matemáticas y TIC
x=0
Curso ON LINE
007
Tema 5
Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0.20 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24 fotografías que le han ocupado un t otal de 9.2 megabytes de memoria. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema. (b) ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima?. (c) La semana pasada también hizo 24 fotos y ocupó 9.2 megabytes de memoria en total. ¿Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana?.
BH2
CCSS PAU Oviedo Junio 2004
RESOLUCIÓN apartado a
DDEETTEERRM DEE I INNCCÓÓGGNNIITTAASS MIINNAACCIIÓÓNN D
x ≡ "Número de fotos realizadas en calidad normal". y ≡ "Número de fotos realizadas en calidad óptima". DDEETTEERRM DEE P PAARRÁÁM MIINNAACCIIÓÓNN D MEETTRROOSS
A ≡ "megabytes de memoria de cada foto de calidad óptima" PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO::
x + y = 24 0.2x + Ay = 9.2 Para estudiar la compatibilidad del sistema:
1 1 24 A 0 . 2 9 . 2
( −0.2) 1
1 24 A 0 . 2 9 . 2
(1)
1 24 1 A 0 0 . 2 4 . 4 −
(A - 0.2)y = 4.4 A = 0.2 0y = 4.4 Sistema incompatible A
0.2 p.ej. A = 1 0.8y = 4.4 Sistema compatible determinado (A - 0.2)y = 4.4 y =
4.4 A − 0.2
x + y = 24 x = 24 -
4.4 A − 0.2
=
24 A − 4.8 − 4.4 A − 0.2
( 24 A − 9.2 , A − 0.2
4 .4 A − 0.2
=
24 A − 9.2 A − 0.2
)
RESOLUCIÓN apartado (b)
Al menos hay una (A = 0.2) que hace que el sistema sea incompatible, pero también habría otras muchas que hacen que "x" e "y" no sean números positivos y enteros, en la solución generalizada expresada anteriormente. RESOLUCIÓN apartado (c)
No, ya que en ningún momento el sistema es compatible indeterminado, momento en el que podrían generarse infinitas soluciones.
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11
Abel Martín
008
"Matrices"
x 2 Sean las matrices A = 2 0 m
5 B = y
0 10 x
C =
1 D = 10 m
E = (3 m )
(a) Calcula cada uno de los tres productos AB, DE, EB. (b) Si AB + C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿es siempre única?.
RESOLUCIÓN apartado (a):
BH2
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2004
AB 2 x 4 5 · = m 0 2 y
10 x + 4 y my 2
DE 10 · (3 m ) = m 10
2x1
(3
30 10m 2 m m 30 10
1x2
EB
2x2
5 m ) · = (15 + my ) y
1x2
2x1
1x1
RESOLUCIÓN apartado (b):
AB + C = D 10 x + 4 y + my 2
0 = x 10
10 x + 4 y = 2my + 10 x
10 m 10
10 10m
Aplicando la definición de igualdad de matrices:
10 x + 4 y = 10 10 x + 2my = 10m
RESOLUCIÓN apartado (b) Para estudiar la compatibilidad del sistema: (−1) 10
4 10 (1) 10 2m 10m
4 10 10 0 2m − 4 10m − 10
(2m - 4)y = 10m - 10 2m - 4 = 0
2m = 4 m = 2 Para m = 2 0y = 10·2 - 10 0y = 10 Sistema incompatible Para m 2 p.ej: m = 4 4y = 30 Sistema compatible determinado. El sistema tiene solución para valores de m 2, ya que es compatible determinado y es siempre única pues en ningún momento obtenemos sistemas compatibles indeterminados.
12
Matemáticas y TIC
Curso ON LINE
Tema 5
x y 0 y
Sean las matrices A =
009
a
B = 1
y ay
C =
6 − ay 1 − a
D =
(a) Si AB – C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de a. (b) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución? ¿es siempre única? Encuentra una solución para a = 1 con y ≠ 1.
BH2
CCSS PAU Oviedo Junio 2005
RESOLUCIÓN apartado (a):
AB x y a · = 0 y 1
2x2
ax + y y
2x1
2x1
AB - C ax + y y
y = ay
ax + y − y y − ay
AB - C = D ax + y − y = y − ay
6 − ay 1 − a
Aplicando la definición de igualdad de matrices: ax = 6 − ay y − ay = 1 − a
ax + ay = 6 (1 − a) y = 1 − a
RESOLUCIÓN apartado (b):
(1 - a) y = 1 - a a = 1 0y = 0 infinitas soluciones Sistema compatible indeterminado. ax + ay = 6 x+y=6 x=6-y Solución generalizada: (6 - y, y) Para a 1 p.ej: a = 3 - 2y = - 2 y = 1 Sistema compatible determinado. a=1 Para a 1
Sistema compatible indeterminado Sistema compatible determinado.
El sistema tiene solución para cualquier valor de "a" , pues siempre es compatible. No es siempre única, pues para a = 1 es un sistema compatible indeterminado de solución general: (6 - y, y) Para a = 1 e y ≠ 1 Por ejemplo para y = 2 (6 - y, y) (4, 2) Por ejemplo para y = 3 (6 - y, y) (3, 3)
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13
Abel Martín
"Matrices"
Sean las matrices
x 1 y 0 −
A =
010
m 0 m 1 −
B =
1 C = 2
2 y 3 2 −
D =
E = (3 2 )
(a) Calcula los productos AB, EA, CE. (b) Si (AB)C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución?¿es siempre única?.
RESOLUCIÓN apartado (a):
(AB) x 1 m 0 · = − y 0 − m 1
A·B =
2x2
2x2
xm − m 1 − my 0
2x2 EA
x
1
= (3 x − 2 y 3) EA = (3 2) · y 0 −
1x2
2x2
1x2 CE
1
3 2
CE = (3 2 ) = 2 6 4
2x1 1x2
2x2
RESOLUCIÓN apartado (b):
(AB)C = D xm − m 1 · − my 0
2x2
1 = 2
2 3 − 2 y
2x1
2x1
Aplicamos la definición de producto de matrices
xm − m + 2 = − my
2 3 − 2 y
Aplicando la definición de igualdad de matrices:
mx = m − my + 2 y = 3
mx = m (−m + 2) y = 3
mx = m
Para m = 0 Infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado. ( - m + 2)y = 3 ( - m + 2) = 0 - m = - 2 m = 2 0y = 3
Para m = 2 Sistema incompatible
Para m ≠ 0 y m ≠ 2
Sistema compatible determinado. El sistema tiene solución para m ≠ 2 En este caso NO es siempre es única, pues para m = 0 tiene infinitas soluciones.
14
Matemáticas y TIC
BH2
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2005
Curso ON LINE
Tema 5
Sean las matrices
3 A = , B = (x 1
011
1 m) , C = 5
− y + 2m + 2 x my 2 5 − − +
1 D = , 9
BH2
E =
(a) Si (AB)(2C – D) = E, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. (b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución?¿cuándo es única? Resuelve el sistema si m = 4.
CCSS PAU Oviedo Junio 2006
RESOLUCIÓN apartado (a):
(AB)(2C – D) 3
3 x 3m m) = x m
A·B = · (x 1
2x1
1x2
2x2
2C - D 2 10
1 = 9
1 1
(AB)(2C – D) 3 x 3m 1 · = x m 1
2x2
2x1
3 x + 3m x + m
2x1 (AB)(2C – D) = E 3 x + 3m = x m +
− y + 2m + 2 x my 2 5 − − +
Aplicando la definición de igualdad de matrices: 3 x + 3m = − y + 2m + 2 x + m = −2 x − my + 5 RESOLUCIÓN apartado (b):
3 x + y = +2m − 3m + 2 3 x + y = 2 − m x + 2 x = −my + 5 − m 3 x + my = 5 − m
(−1) 3
1 2 − m (1)· 3 m 5 − m
1 2 − m 3 3 0 m − 1
(m - 1)y = 3
y=
3 m −1
Para m = 1 el sistema es incompatible. 3x + y = 2 - m 3x +
3 m −1
3x(m - 1) + 3 = (2 - m) (m - 1) x=
= 2 - m
2m − 2 − m 2 + m − 3 3(m − 1)
3x(m - 1) = (2 - m) (m - 1) - 3 =
− m 2 + 3m − 5 3(m − 1)
Para m = 1 el sistema es incompatible. El sistema tiene solución para m 1 y además es única. Sistema compatible determinado. Si m = 4 x=
2 − m 2 + 3m − 5 = − 4 + 3·4 − 5 = −9 9 3(m − 1) 3(4 − 1)
m=4
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=-1 ;
y=
3 m −1
=
3 4 −1
= 1
x=-1 ; y=1
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15
Abel Martín
"Matrices"
Sean las matrices:
x A = , B = (m y
012
1 1) , C = 1
x + m , D = my m +
BH2
my E = y 2 1 +
CCSS PAU Oviedo Septiembre 2006
(a) Si (AB)C = D - E, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en función de m. (b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución?¿cuándo es única? .
RESOLUCIÓN apartado (a):
(AB)C = D - E x
A·B = · (m y
2x1
xm x
1) = ym y
1x2
2x2
xm x · ym y
1 = 1
xm + x ym y +
2x2
2x1
2x1
(AB)C
D-E x + m my + m
my = 2 y + 1
x + m − my my + m − 2 y − 1
(AB)C = D - E xm + x = ym + y
x + m − my my + m − 2 y − 1
Aplicando la definición de igualdad de matrices: xm + x = x + m − my ym + y = my + m − 2 y − 1 xm + x − x + my = m xm + my = m ym + y − my + 2 y = m − 1 3 y = m − 1 RESOLUCIÓN apartado (b): m m m m 0 3 1 −
Analizamos: 3y = m - 1 y =
m −1
3
xm + m m − 1 = m 3
3mx + m(m - 1) = 3m 3mx + m2 - m - 3m = 0 3mx + m2 - 4m = 0 x=
m 2 − 4m
3m
Para m = 0 es sistema es incompatible. El sistema tiene solución para m 0 y además es única. Sistema compatible determinado. para m = 0 el sistema no tiene solución.
16
Matemáticas y TIC
