PROBLEMA Nº 48 Demostrar que si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, la condición necesaria y suficiente para que A y B sean permutables es que A+ kl y B + kl también lo sean, k escalar no nulo.
PROBLEMA Nº 2 Cuales son verdaderas: I. Sí: A es involutiva: A 51 = 1 II. Si A es idempotente A 48 = A III. Si N n > 1 y A n = 1, entonces A es periódica PROBLEMA Nº 3 Demostrar que A es involutiva (I+A) = 0
PROBLEMA Nº 49 Si A es una matriz nilpotente de índice 2, demostrar que: A(1+A) n = A; n Z+.
(I-A)
PROBLEMA Nº 50 Hallar todas las matrices de orden 4 que sean permutables con:
PROBLEMA Nº 12
1
0
0
1
Considerando la matriz A =
0 0 A 0 0
Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. An = 1 n N n es par II. An = A n N es impar III. AB = BA A = B, donde B es de orden 2. IV.
A
V.
A
n
n
I
0
N N n es par
I
0
n N es impar
Sabiendo que:
2
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
A
1 3 2 1
Calcular: Traza (A -4) Donde: A-1: Inversa de la matriz A PROBLEMA Nº 52
1 Dada la matiz: A 0
1 1
Encontrar la matriz M sí: M = A + A 2 + A3 +… +An; n N n > 3
PROBLEMA Nº 47 Si A es una matriz involutiva, demostrar que: 1 1 I A y 1 A son idempotentes 2 2 1
0
PROBLEMA Nº 51
PROBLEMA Nº 46 Dadas las matrices regular A y B de orden n; si A y B son permutables, demostrar que también son permutables: a) A-1 y B b) A y B-1 c) A-1 y B-1
1
PROBLEMA Nº 53
Sea la matriz:
B
0 1 1 1
Y el polinomio: P (x) = X34 – 2X 2X9 +1 Hallar la sumatoria de los elementos de la matriz: P (B)
1
I A I A 0 2
1
PROBLEMA Nº 54 PROBLEMA Nº 59 2 Sabiendo Que: F(x) = X – (a+d) (a+d) X + ad – a b c bc Calcular: A a b c a b c
Determine la suma de los elementos de F (A) donde:
A
a c
a b c
a b c
a b c a b
a b
c
c
a b c
b
PROBLEMA Nº 60 Calcular: A
d
PROBLEMA Nº 55 Hallar el período de la matriz: A =
1 cos cos
1
4 1 4 1 4
A
PROBLEMA Nº 57 Si la característica de la matriz:
1 A 1 1
x
x 2 2
2
2x x
4x
2
x
2
4
i sen
cos
cos
2
cos
2
i sen
1
a 2h
.
.
.
a n 1 h
a
a
0
.
.
.
0
0
a
a
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
a
PROBLEMA Nº 62 Calcular el determinante de la matriz de orden n: 1
0
0
.
.
.
0
1
2
1
0
.
.
.
0
0
1
2
1
.
.
.
0
0
0
1
2
.
.
.
0
.
.
.
.
.
a
.
.
.
a
a
x
a
.
.
.
a
a
a
x
.
.
.
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
.
.
.
.
a
a
a
.
ah
2
A=
x
2
.
.
.
2
2
2
a
.
i sen
x
.
i sen
a
PROBLEMA Nº 58
A
1
No es igual igual a 3, Calcular un valor valor de x.
Calcular:
i sen
PROBLEMA Nº 61 Calcular:
2 1 ; Hallar: A-1 4 1 2
1
i sen
PROBLEMA Nº 56
0 1 0 1 1 1 0 0 1
1 4 1 Sí: A= 2 3 4
cos
PROBLEMA Nº 63
1
3 1
Calcular: =
1 3
A
A
0
...
0
0
1 b 2
b3
...
0
0
1 b3
...
0
0
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
0
0
0
0
... 1 b n
0
0
0
0
...
1
3
A
.
1
1 1 b1
1
1
0
x
.
.
.
x
x
1
x
0
.
.
.
x
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
x
x
.
.
.
0
x
0
1
x
x
.
.
.
x
0
0
0
.
.
.
1
1
0
...
0
0
a2
...
0
0
...
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
1
1
1
...
A
a1
a1
a2
1
1
...
1
1
0
1
...
1
1
1
0
...
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
1
1
1
1
a3
an
an
1
1
PROBLEMA Nº 68
Calcular:
0
PROBLEMA Nº 66 Calcular:
A
1 2
3
x
2
3
2
3 5
2
3
1
2
3
1
PROBLEMA Nº 69 x y
Calcular: A
2
0
9
x2
...
0
0
0
x
y ...
0
0
0
0
x
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
x
y
y
0
0
...
0
x
...
b n 1 b n
PROBLEMA Nº 67 Calcular:
0
...
1
1
PROBLEMA Nº 65 Calcular el valor del determinante de orden
n:
b 2
1
PROBLEMA Nº 64
Calcular:
0
0
1
.
0
1
1
.
...
1
3
1
0
1
1
1
0
1
1
0
b1
Siendo A una matriz cuadrada de orden n y además regular A 0 , demostrar que:
PROBLEMA Nº 70 Calcular:
A
a1
a2
0
...
0
0
0
a2
a3
...
0
0
0
0
a3
...
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
a n 1
an
1
1
1
...
1
1 a n
PROBLEMA Nº 84 Demostrar que: Si A es una matriz simétrica simétrica Si A es una matriz hermética hermética
1
1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
z
Sean
a 1
=0
a2
a1 a1 a 2 x
ADJ (A) es ADJ (A) es
las
matrices:
A
a 0
n 1a n 4 ;C= n 5 a a 0
a
1
; B =
a
n 5
0
PROBLEMA Nº 86 Sea A = a ij una matriz triangular superior
de orden 4, tal que: a ij= 1, si i < j y B = b ij = An ; n N n > 2
PROBLEMA Nº 72 Resolver la ecuación: a1
A
PROBLEMA Nº 85
PROBLEMA Nº 71 Calcular x al resolver la ecuación: x
A n-2 .
ADJ (ADJ) (A)) =
Hallar: b14
a3
a4
...
an
a3
a4
...
an
a4
...
an
a 3 a 4 x ...
an
a1
a2
a 2 a3 x
a1
a2
a3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1
a2
a3
a4
... a n 1 a n
PROBLEMA Nº 87
sen cos Dada la matriz: C = cos sen 0
n
Se define el polinomio: Px
k 1
Calcular el determinante de: P (c) x
PROBLEMA Nº 88 2 1 1
PROBLEMA Nº 82 Si A es una matriz cuadrada tal que: A n = 0 An-1 0 con n entero positivo, hallar la inversa de (A-1)
1
1 1
3 1 1 1
Calcular: A 1 1
4 1 1
1 1 1
5 1
1 1 1 1
PROBLEMA Nº 83
4
6
X
k
PROBLEMA Nº 89 Calcular el determinante de orden n: x
a
a x a a
a
...
a
a
a
...
a
a
x
...
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
x
a a a
...
PROBLEMA Nº 90 Dada la matriz cuadrada de orden 6 definida por: A = a ij donde
0
0
...
0
0
n
x2
2
0
...
0
0
0
n 1
x4
3
...
0
0
0
0
n 2
x 6 ...
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
...
x 2 n 1
n
0
0
0
0
...
1
x 2n
Calcular:
1
2
3
...
1
1
1
...
1
1
1
...
.
.
.
.
.
.
. 1
. 1
. n
1
...
n
1
A
0
1
1
0
1
x
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
x
1
0
1
1
0
x
x
1
PROBLEMA Nº 94 Calcular:
n
1
2
3
4
...
1
2
1
2
3
...
n
.
.
3
2
1
2
...
n
2
.
.
4
3
2
1
...
n
3
1 1
x
A
PROBLEMA Nº 91
Calcular:
1
PROBLEMA Nº 93
1; si i j a ij 0; si i j 1; si i j Calcular:
x
1 n
n
A
n
.
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
PROBLEMA Nº 92 Calcular:
n
n
1
n
2
n
3
...
1
1
PROBLEMA Nº 95 n
Siendo:
Sn
k , k 1
determinante:
5
calcular
el
A
S1
S1
S1
...
S1
S1
S1
S2
S2
...
S2
S2
S1
S2
S3
...
S3
S3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
S1
S2
S3
...
Sn
S1
S2
S3
...
Sn
1
Sn
1
1
Sn
A es involutiva
PROBLEMA Nº 96 Calcular el valor de: 1
A
2
3
...
9
2
3
4
...
1
3
4
5
...
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
1
2
...
A
n
N
n
1 0
8
> 2
0
1
1 0 1 0 1 0 . 0 1 0 1 = l 0 1
A2 =
A2 = l A es involutiva A2 = A2 . A = 1 . A; A 4 = A3.A = A.A = A2 = 1 A5 = A4. A = l . A = A; A 6 = A5. A = A.A = A2 =1 En general: An = 1 ; si n es un número par An = A; si n es un número impar Luego:
(II) A es idempotente A2 = A, de donde: An = A, n Z + n > 2
(l-A) (l+A) = 0
RESOLUCIÓN Nº 12
RESOLUCIÓN Nº 2 (I) A es involutiva A2 = l, de donde An = l, si n es par y A n = A, si n es impar. Entonces (1) es Falsa:
(III) Si An = l, periódica.
Acomodando: l . l – A . l+ 1 . A-A.A=0 Por propiedad: (l-A) l + (l-A) A = 0 (l-A) (l+A) = 0 Si: (l-A) (l+A) = 0 (l-A) l + (l-A) A =0 l.l – A. l+l. A-A. A = 0 l – A2 = 0 l = A2 A2 = l A es involutiva.
A
(I) es Verdadera (II) es Verdadera
m n Sea: B tal que p q
1 0 0 1
m p
es
Entonces (III) es Verdadera.
n
m = p q
n 1 0 m
1
m m
;
n n m n p q p p
RESOLUCIÓN Nº 3 Suponiendo que A es involutiva, es decir: A2 = l Entonces: l – A2 = 0 l – A+A – A2=0
qq
6
q 0
n = q
p
m
n
p 0
;
q
0
m 0 Por lo que: 0 q
Luego:
Entonces (III) no es verdadera: Anteriormente se vio que: A n = 1 si n es par An + 1 = 21
RESOLUCIÓN Nº 47 Por condición del problema: A 2 = 1 Con las propiedades: A.1 = 1.A = A 1; n Z+ se tiene que:
A-1 y B-1 son permutables
Entonces (IV) no es verdadera: También: An = A si n es impar 1 = A-1 A
n
1
A
1
2
An -
2
1 * 1 A = 2
0
0
0
1 A 1 A =
0
1
=
4
Entonces (V) es verdadera
1 2
1n =
1 A . 1 1 A 1 2
1
1 4
4
2A A
2
l 2a l 1 2l 2A 2 l A 4
4
2
1 1 1 l A l A l A 2 2 2
3 son verdaderas
Es idempotente RESOLUCIÓN Nº 46 Se sabe que: AB = BA (son permutables) (a) A-1 (AB)A-1 = A1 (BA) A-1 (A-1) BA -1 = A-1 B(AA-1)
La 1 2
demostración
A2
Si:
1
Luego:
(b) B (AB)B = B (BA)B B A(BB ) = (B-1B) AB-1 B-1A.1 = 1.AB-1 B-1A=AB-1 -1
-1
-1
1
*
-1
1 4
2
A y B-1 son permutables -1
-1
-1
-1
-1
1 2
1 A
y
1 2
1 A
son
-1
1 A 1 1 A 1 1 A 1 A 2
4
l 4
2
AAA
2
1 4
1
A
2
1
4
l l 1 .0
Luego:
-1
(c) A B (AB)A B = A B (BA)A B A-1(B-1A) (BA-1)B-1 = A-1(B-1B) (AA-1)B-1 A-1(AB-1)(A-1B)B-1 = A-1(1)(1)B-1 (A-1A)B-1A-1 (BB-1) = A-1B-1 1.B-1A-1.1 = A-1B-1 B-1A-1 = A-1B-1
Si:
7
=
l A l l A A 1
Luego:
-1
para
Idempotentes
A-1 y B son permutables -1
análoga
l A (queda para el lector)
1.BA-1 = A-1 B.1 BA-1 = A-1B
-1
es
A
2
l
1 2
l A 1 l A 0 2
4
RESOLUCIÓN Nº 48 * Asumiendo que AB = BA; siendo k un escalar no nulo: (A+kl) (B+kl) = A(B+kl) + kl (B+kl) = AB+kAl + klB + k 2l2
Si: A2 = 0 A(l+A)n = A; n Z+ RESOLUCIÓN Nº 50 Sea la matriz cuadrada: a b
e f g h B i j k l m n p q
= BA + klA + Bkl + kl . kl =
B kl A B kl kl B kl A kl
Luego: A+kl y B + kl son permutables
Tal que: AB = BA, donde: 0 1 0 0 a b
* Asumiendo ahora que A+kl y B+kl son permutables k escalar no nulo:
kl B kl BA kl kl A kl 2 2
AB kAl klB k l 2
2 2
BA kBl klA k l
e i m 0
2
AB kA kB k l
BA kB kA k l
AB
BA
Luego A y B son permutables: A y B son permutables permutables; k 0
A+kl y B+kl son a e BA i m
RESOLUCIÓN Nº 49 Teniendo en cuenta que: A.l = l.A = A, se tiene: 2
l A l 2A A l A 3 l 3A 3A 2 A3 l A l nA n n 1 A 2
f
g
h
j
k
l
….+
1n .A n ; n Z Pero, A2 = 0 A p = 0; pZ+ p > 2
n p
q
0
0
0
b
c
d 0 1
0
0
f
g
h 0 0 1
0
j
k
n p
l 0 0 0 1
q 0 0 0
0 a 0 e = 0 i 0 m
2
2
d
c
0 0 1 0 e f g h = AB 0 0 0 1 i j k l 0 0 0 0 m n p q
A klB kl B kl A kl A B kl
d
c
b
c
f
g
0
j k n p
Igualando: e = i = m = n = p = 0 f = a;g = b; h = c; e = j = 0; f = k = q = a; g =l=b
Luego: (1+A) n = 1+nA
Luego:
A(l+A)n = A(l+nA) = Al+n.A.A = A+na 2 = A+0 = A
8
a 0 B 0 0
b
c
a
b
0
a
0
0
d
Traza (A-4) = 34
, a; b; c; d b a c
RESOLUCIÓN Nº 52
Siendo
RESOLUCIÓN Nº 51 A-n = (A-1)n ; n Z+ 1 3 Si: A A = - 1 ADJ (A) 2 1 1 3 = 2 1
A
1
ADJ (A)
Entonces:
A
2
A
A
1
A
A
*
A
3
1 2 1 1 1 3 A 2 .A 0 1 0 1 0 1 1 3 1 1 1 4 0 1 0 1 0 1
Luego:
1 1 ADJ A 2 3
3
10
A
n
1 n ; n Z+ 0 1
Entonces: M = A+A2+A3 +…+
A
n
n 1 2 3 ... n 0 n
=
1 1 2 1 A 2 .A 1 7 2 3 4
n M 0
17
n n 1 2 n
5
RESOLUCIÓN Nº 53 B
4
3
1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 2 2 3 4 2 3 7
=
A
2
1 1 0 1
* A 4 A 3 .A
1 1 = 2 3 1
*
A
5 1 1 3 A 3 .A 1 10 17 2 3 B
7 12 24 41
0 1 1 1 2
0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
=
1 1 0 1 1 0 B B .B 1 1 0 1 1 0 1 3
Luego: Traza
A 7 41 34 4
B
9
4
2
B3.B 1.B B
5
B B
4
B .B
B .B
6
B.B
B .B
5
B
2
RESOLUCIÓN Nº 55
2
B
1
3
0 1 0 A 1 1 1 0 0 1
1
Luego B es una matriz periódica de período 6, de donde: B
34
B
9
B
30
.B
6
B .B
4
3
1B
1B
4
B
3
B
4
3
0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 A 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
B
1
Entonces: PB
34
B
9
2B
1 B
1 1
2
0 1 3 0 3 1 p B B 3l 1 1 0 3 1 2
1 1 1 0 1 0 1 3 A 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 A
Pij 5
4
5 Luego: A
RESOLUCIÓN Nº 54 FX
FX
FX
FX
X
2
X
2
A
a d Xl adl2 bcl
aXl dXl
2
adl
bcl
A .A
A .A
A .A
4 5
A
A.A
A .A
2
A
1 0
0
1 1 0
2
A
3
1;
Es general: A3 = l
X alX X aldl bcl X alX dl bcl
6
3
0
El período de la matriz A es 3.
RESOLUCIÓN Nº 56
A
1 1 2 1 Por propiedad: A 2 1 1 a b a 0 a b d 0 . 4 FA c d 3 1 2 0 a c d 0 d 1 1 2 bc 0 1 0 bc 1 A 2 1 3 4 2 3 1 0 b a d b bc 0 bc 0 FA c 0 bc 0 bc c d a 0 A 1 2 4 3 6 4 1 A
Luego:
FA
al A
dl
bcl
4
bc - 0
0 0 bc 0
3
1 16
0
0
f ij 0
También si:
A
1 ADJ (A) = 4 10
1
4
B
y es de orden 3
2
ADJ B
problema, la característica r de la matriz A no es 3, es decir r < 3, entonces:
1 1 2 Donde: B 2 1 1 y 3 1 2 1 0 1 ADJ(B) = 1 8 5 1 4 3 Como:
A
1
1
A 1
,
reemplazando
.ADJ A
A
x
1
2x
1
x
2
2
x 2 4x
2
x
2
0
x
2
x
2 x
2
2x
4
2x x 2 0
1 0 1 1 1 . . 1 8 5 1 4 1 4 3 16
x = 0 x = -1 x = 2
2
A
0
xx 1x 23 0; de donde:
se tiene que:
1
RESOLUCIÓN Nº 58 Considerando el determinante de orden n; sumando todas las columnas a la primera, luego sacando el factor que se repite en la primera columna, se tiene:
1 0 1 1 8 5 1 4 3
n 1a x n 1a x n 1a
a
a
.
.
.
a
x
a
.
.
.
a
a
x
.
.
.
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
A
1
1 1 1
0 8 4
5 3 1
A
RESOLUCIÓN Nº 57 Sabemos que en una matriz cuadrada A de orden n y características r: r
por otro lado:
1
1
1
a
b
c
a
2
b
2
c
2
1
a
a
2
1
b
b
2
1
c
c
2
x
=
c a c b b a Se denomina determinante de Vandermonde de orden 3. Luego, en el 11
n 1a a a . = x n 1a
.
1 a
a
.
.
.
a
1 x
a
.
.
.
a
1 a
x
.
.
.
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 a
a
.
.
.
a
.
x
Restando la primera fila de las demás, resulta:
A
1
a
a
.
.
.
a
0
xa
0
.
.
.
0
0
0
xa
.
.
.
0
x n 1a . .
.
.
=
A
a(a-b)-c(c-a)] A
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
xa
n 1
n 1
A
c
a
b
2a
a
b
c
a
c
a
c
2c
b
c
a
b
c
= 2(a+b+c)
a
1
1
1
a
b
c
b
c
a
b
c
a
b
a
3
b
3
b
c
3
2
c
2
A
CiS
CiS CiS
1
CiS
2 CiS CiS
2
1
2 CiS CiS CiS 2 CiS CiS CiS CiS CiS A
1 CiS
2 2 CiS CiS
c
A
1 CiS
3
3 CiS CiS
0
CiS
0
CiS0
Ahora f 3-f 2:
A 2 a b c
4 3abc
1
b
2 b
2
RESOLUCIÓN Nº 60 Tener en cuenta que: cos + i sen = CiS ; CiS . CiS = CiS(+ ) y cos - i sen = CiS (-), luego:
x n 1a x a
b
4 a b c ab bc ca a
A
RESOLUCIÓN Nº 59 Sumando todas las filas en la primera y también: f 2 + f 3, luego extrayendo los factores comunes, se obtiene: a
.
x n 1a .x a
A = 2(a+b+c)[b(a-b)+a(c-a)+c(b-c)-b(b-c)-
1
1
1
a
b
c
b c
ca
a b
Regla de Sarrus:
A 1 cos ; por la
3
i sen
3
cos
3
i sen
3
1 11
Luego, reemplazando el valor del cos, resulta:
12
A
2
A
n 1nh
A
0
0
...
0
1
4
3
0
...
0
0
2
6
4
...
0
0
0
3
8
...
0
2.3.4...n .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
2
0
0
0
...
0
1
3
0
0
...
0
0
2
4
0
...
0
0
0
3
5
...
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
1
ah
a 2h
.
.
.
a n 1 h
0
a
0
.
.
.
0
0
a
a
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
a
2
2
2
RESOLUCIÓN Nº 61 Se observa que el determinante es de orden; sumando todas las columnas a la primera resulta: na
2
n
Desarrollando el determinante, por propiedad, con respecto a la primera columna: a 0 0 . . . 0
a
A na
n 1nh 2
0
a
0
.
.
.
0
a a
.
.
.
0
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
De donde:
A
1
n!
...
...
n
1
=
.
n!
2n
1
2.3.4.5… n 1
1 n!
n 1 ! A
n 1
a n 1
RESOLUCIÓN Nº 63 A
n 1nh n 1 .a na 2
RESOLUCIÓN Nº 62 Multiplicando cada columna, a partir de la segunda por 2; 3; 4; -; no respectivamente, (recuerde que el determinante quedará dividido entre 2. 3. 4… n). luego, a cada columna – a partir de la segunda – restándole la anterior, se obtiene:
3 a ; y efectuando c 1 - c2, Haciendo: para luego realizar f 1 – f 2, se obtiene:
13
a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
a
a 1
1
1
1
a 1
a
1
1
0
1
a
1
0
1
1
a
a
=
2
a
1
1
0
0
a
1
1 1
0
1
a
0
1
1
n n n
a
x
Desarrollando con respecto a la primera columna, por la propiedad: a
1
1
2 1
a
1 a 1
1
1
a 1
0
0
1
a
1
1
1
a
a
3
2 a 1 1 a a a a 1 a 1
3
a
2 a a 2 a 1
factorizando
a
2
1 a
2
3
2
; pero: a =
2
.
.
.
x
x
0
x
.
.
.
x
x
x
0
.
.
.
x
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
x
.
.
.
0
x
x
x
.
.
.
x
0
2
n n
x
1
1x 1x
x
1x
1x 1x
Sacando el factor (n-1)x, luego restando a cada fila la primera resulta:
a
1
1
x
x
...
x
x
1
a
1
0
x
...
x
x
1
x
0
...
x
x
1x .
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
x
x
...
0
x
1
x
x
...
x
0
,
1
A
n
x
3 a =-3 2
Reemplazando: 0 1
RESOLUCIÓN Nº 64 Considerando al determinante de orden n; primero, multiplicando por x la primera fila y la primera columna luego, sumando todas las columnas a la primera, se obtiene lo siguiente:
A
1
x
2
x
0
n
x
x
...
x
x
0
...
0
0
...
0
0
0
0
1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
x
0
x
x
.
.
.
x
x
0
0
0
...
x
0
x
.
.
.
x
x
0
0
0
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
x
x
.
.
.
0
x
x
x
x
.
.
.
x
0
=
Luego:
A
n
x
A
14
1
x n n 1
1
x
0
1
.n
1x
n 2
0
x
RESOLUCIÓN Nº 65 Sumando todas las columnas en la primera; luego sacando el factor (n-1), se tiene: n
1
1
1
1
...
1
n
1
0
1
1
...
1
1
n A
n
1
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
...
agregarla a la tercera; la tercera resultante a la cuarta y así, se obtiene:
A
1
1
1
1
...
1
1
0
1
1
...
1
1
1
0
1
...
1
= n 1. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
=
0
Restando la primera fila de las demás, resulta:
A
0
...
b1
0
0
...
0
0
0
1
b 2
0
...
0
0
1 b 2
b3
...
0
0
0
1
1
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
1 b n
1
1
1 b n
1
b1
0
0
...
0
0
0
1
b 2
0
...
0
0
0
0
1
b3
...
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
...
1
b n
0
0
0
0
...
1
1 b n
1
b1
0
0
...
0
0
1
1
1
1
...
1
0
1
b 2
0
...
0
0
0
1
0
0
...
0
0
0
1
b 3
...
0
0
0
0
1
0
...
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n 1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
...
1
b n
0
0
0
0
1
0
0
0
0
...
0
1
...
n 1
A 1
A
n 1. 1
A
n 1
. n 1
RESOLUCIÓN Nº 66 Nótese que el determinante es de orden (n+1). Agregando la primera fila a la segunda; luego la segunda que resulte
A
b n
1
RESOLUCIÓN Nº 67 Nótese que el determinante es de orden n+1; sumando todas las columnas a la primera, se tiene:
15
A
0
a1
0
...
0
0
1
1
2
3
0
a2
a2
...
0
0
0
1
0
0
0
0
a3
...
0
0
0
1
3
1
.
.
.
.
.
0
1
3
3 x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
an
an
n 1
1
1
...
1
1
Desarrollando por la propiedad respecto a la primera columna: A
Ahora realizando: f 3-f 2 y f 4-f 2; para luego efectuar: f 4-f 3:
A
con
1 x2
1
2
3
00
1
0
0
0
0
0
3 3
1 2 3 x
1
1
2
3
0 1
0
0
1 4 x2
n2
0
0
...
0
0
a2
a2
0
...
0
0
0
a3
a3
...
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
an
an
...
Luego:
A
0
0
3
0
0
0
A
Luego: A
n2
1
. n 1 .a1a 2a 3...a n
RESOLUCIÓN Nº 68 Efectuando las siguientes transformaciones: f 2-f 1; f 3 – 2f 1 y f 4-2f 1 y luego sacando un factor f 2, se obtiene:
1 A
1
n 11
a1
1
0 1 x 0
1
0
1
2
2
3
0
0
3 1 3 3 x2
2
1
x
2
.1.1.
3x
2
3 4
1 x
1 x 2
x
2
4
2
.
RESOLUCIÓN Nº 69 Por propiedad, desarrollando con respecto a la primera columna, asumiendo que la matriz es de orden n:
1 x 2 .
A
16
x.
x
y
0
...
0
0
x
y ...
0
0
0
x
0
11 1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
...
x
y.
11
n
y
0
0 ...
0
1
1
0
...
0
0
x
y
0 ...
0
0
1
1
...
0
0
0
x
y ...
0
0
0
1
...
0
0
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0 ...
y
0 1
0 1
0 1
1 1
0 1
a1
Cada una de las matrices que se observan son triangulares y son de orden n-1, luego:
A
n
n 1
A x . x n 1 1
x
n 1
1
. y . yn 1
.y
A
A
1
0
...
0
0
0
1
1
...
0
0
0
0
1
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 1
0 1
0 1
1 1
1
1
a1
a2
a3
a n 1
an
A
...
... ...
1
a3
a n 1
.
1 a1
1
a2
respecto
a
a3
...
la
1 an
1
última
1 1 1 1 a 1a 2 a 3 ....a n . ... 1 an a 1 a 2 a 3
nn
1
a1.a 2 .a 3 ...a n
1
...
Desarrollando columna:
n
RESOLUCIÓN Nº 70 El determinante es de orden n. sacando el factor a1 de la primera columna a 2 de la segunda, a 3 de la tercera y así sucesivamente. Luego, sumando todas las columnas a la última, se tiene:
a2
...
1
1
0
...
0
0
1
1
...
0
0
0
1
...
0
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
1
Luego: A
1 1 1 1 a1a 2a 3...a n ... 1 an a1 a 2 a 3
RESOLUCIÓN Nº 71 Aplicando el procedimiento empleado en el problema 59, donde: a = 1 n = 5 se obtiene: (x+4) (x-1) 4 = 0
x 4 x 1
a1a 2 a 3 ...a n
17
RESOLUCIÓN Nº 72 Restando la primera fila de las demás, reobtiene: a1
a2
0
a1
a3
a4
...
an
0
0
...
0
0
...
0
...
0
x
0
0
a2
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
x a3
x
...
an
1
A
x
x a2
a1 x
a2
x a3
x
x ... a n
a3 x
1
x
x
0
a 3 ... x
l
1
l
A
A
2
...
A
n 1
RESOLUCIÓN Nº 83 Se sabe que: A.ADJ (A) = Diag ( A; A; A; …;A) = A.l
0
Luego: a1 a1
a n 1
RESOLUCIÓN Nº 82
Entonces: ADJ(A) . ADJ (ADJ) (A)) = Diag ( ADJ (A); ADJ(A); ADJ(A)) ; ...; ADJ (A)) = ADJ(A). L Pero también se sabe que: ADJ(A) = An-1, luego: ADJ (A). ADJ (ADJ(A)) = An-1. l Multiplicando por A ambos miembros: A . ADJ(A) . ADJ (ADJ(A)) = A . An-1. l = An-1 . A A. ADJ(ADJ(A)) = An-1.A Luego:
n
De las condiciones: A 0 A Z+ y con las propiedades:
n 1
0
ADJ(ADJ(A)) = An-2.A
, n
Al = lA = A AA-1 = l se tiene: l = l l = l – A + A – A2 + A2 -… -An-1 + An-1 – An + An
RESOLUCIÓN Nº 84 Sea A = a ij una matriz cuadrada
simétrica de orden n, es decir: A t = A. Si Mij es la matriz de orden n-1 que se obtiene al eliminar la i- ésima fila y la j – ésima columna de A, entonces: M ij = (Mij)t (la comprobación queda para el lector).
l = (l-A) + (A-A 2) + (A2-A3) + … + (An-1 – An) + An l = -(A-1) – A(A-l) – A2 (A-1) - …-An-1 (A1); An = 0
Luego: Mij
Mij t
Mij
Mij
Multiplicando ambos miembros de la Nótese que Mij, es general, es distinto de igualdad por (A-l) -1: l(A-1) -1 = -(A-1) (A-1) -1 – A(A-l) (A-l) -1- Mij aún siendo A simétrica. A2(A-l) (A-1)-1-…An-1 (A-l) (A-l) Por otro lado: ADJ(A) = ij donde ij es l(A-l)-1 = -l-A.l-A2 . l… -An-1.l el adjunto de a ij y ij = (-1) i+j Mij = (-1) j+i. Luego:
Mij = ij 18
como:
ij= jiADJ (A) es simétrica l.q.q.d A= a ij una
Sea:
matriz
1
At =
A
Si Mij es la matriz de orden n-1, obtenida de A luego de eliminar la i- ésima fila y la jésima columna, entonces:
Mij
M ij M ij
1i
(-1)i+j. Mij
j
M ji
ij
es el
t 1 j i .
. Mij
Mij
ij = 1 j Como:
ij
i
. M ji
=
Pero:
B
1
1
a
a n 0
ADJ(A)
na
n 1
a
a 1 2 a
n
p r
a 1
a n p na n 1r a n q na n 1s = n n a . r a . s na n 3 n4 a
es hermética
De donde:
RESOLUCIÓN Nº 85 Siendo: 0
A a
2
a 1
a 2 A 0
2a a
a 1
a 2 a 0
1
a 3 3a 2 2 3 1 a a 0 a 0
a 2 3a 2 a 0 a 4 A 3 1 a 0 a 0 4
Generalizando, para n
n
n
1 a
2a a
2
a n4 0
a .s 0 s 0 a .r a
n 4
r a
4
a n q na n 1.s a n 4 q a 4 n
a p na 3
n 1a n 4 = n 5 s a
q
0
l.q.q.d
a A 1
2
a 1 0 a 1 a 2 a
a 1 0
p q Asumiendo que: X . al reemplazar r s
ji
ji
n
en (), se tiene:
Luego: ADJ(A) = [ ji] donde adjunto de a ij y:
ij =
a
n 1
A
A A
t
na
Luego, en la condición: An. X.B = C An. X.BB-1 = CB-1 An. X = C.B -1
Además, por propiedad, se sabe que:
t
a n 0
cuadrada
hermética de orden n, es decir: A
A
n
n 1
.r na
n 3
p 0
Por lo tanto:
0 x 4 a
3 4a
a 4
Z+ 19
a4 0
a
n 5
0
RESOLUCIÓN Nº 86
1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 A2 A 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
3
4
2
3
1 1
.
3 6 10…
1
2
0
1
Donde: b12 es el término enésimo en la sucesión: 1 2 3 4 … b12 = n b13 es el término enésimo en la sucesión: 1 b13
A
3
1 0 0 0
1 0 A 4 A3 .A 0 0
4
2
3
1
2
0
1
0
0
. 2 1
3
6
10
1
3
0
1
0
0
3
1
3
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
En general, para n
4
10
1
4
0
1
0
0
2
0
1
0
0
n n 1 n
2
6
RESOLUCIÓN Nº 87 1 sen cos C 1 cos sen sen cos sen cos C cos sen cos sen 1 0 0 1 1 2
3 1 6
1
1 1
Luego C es involutiva, y en consecuencia:
Cn = l, n par y Cn = C; n impar: 6 0 1 1 1 3 0 0 1 1 Entonces: 1 0 0 0 1 n PC
1 0 0 0
1 0 0 0
3 6 10 1
n n 1
y b14 es el término enésimo es la sucesión: 1 4 10 20 …
b14
1 0 2 A .A 0 0
20
4 1
10
C
k
2
3
C C C ... C
n
k 1
PC
* Si n es par: n 2
PC
20
C l C l ... l =
C l
Z +
1 b12 b13 b14 0 1 b b 12 13 n A B bij 0 0 0 b12 0 0 0 1
n 1 sen 2
cos
cos
1 sen
De donde: =
n2 4
PC
2
n 2
1 sen . cos
cos
1 1 1 1 1
1 sen
0 3 1 1 1 + 0 1
0 0
4 1 1
0 1 1
5 1
0 1 1 1 6 * Si n es impar:
PC
C l C l ... C
n 1 n 1 PC C l 2 2 n 1 n 1 n 1 sen cos 2 2 2 n 1 n 1 n 1 cos .sen 2 2 2
En el primer determinante, restando la primera fila de las demás y en el segundo, desarrollando con respecto a la primera columna, resulta: 1
A
De donde: 2
n 1 n 1 PC 2 2
2
sen
2
n 1 2
2
1
2
cos
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
0
2
A
RESOLUCIÓN Nº 88 Acomodando los elementos de la primera columna y luego descomponiendo como la adición de dos determinantes; se obtiene: 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1 0
1
4
1
1
1
1
4
1
1
1 0
1
1
5
1
1
1
1
5
1
1 0
1
1
1
6
1
1
1
1
6
0
0
3
1
1
1
1
4
1
1
1
1
5
1
1
1
1
6
5
En el segundo determinante, empleando el mismo procedimiento anterior:
1.2.3.4.5
P(C) = 0; si n es par P(C) = -n; si n es impar
1
n 1 n 1 PC n 2 2
A
1
0
0
2
1
A 5!
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
5
1
1
1
1
6
1
1
1
1
0
3 0
0
0
0
4 0
0
0
0
2
1
1
1
0
4
1
1
0
1
5
1
0
1
1
6
4 1 1
21 5 1 1 1 6
5
1
1
1
5!3.4.5 2 1
5
1
1
1
6
3
1
1
20
5
1
0
1
6
Finalmente: A
21
5!3.4.5 2.4.5 2.3.29
A
determinante es fácil de calcular; agregando la primera fila a las demás, se obtiene: a(x+a) n-2
394
RESOLUCIÓN Nº 89 Llamando n a éste determinante. Restando la segunda columna de la primera, se obtiene: x a
a
a
...
a
Luego:
x a x a
n
n 1
a x a
n x a n 1 a x a
n 2
n 2
a
n x a
2
n 2 a x a x a
n 2
xa
a x
x
a
...
a
a
0
a
x
...
a
a
.
.
.
.
.
n x a 2 x a n 3 a x a n 3
.
.
.
.
.
a x a x a n 2 x a n 1
.
.
.
.
.
n
0
a
a
n 1
a xa
a
x
Desarrollando, por propiedad, con respecto a la primera columna, resulta:
n x a
3
n 3
a xa
2
n 1
n 3
x a
xa
n 2
n 1
x a
Luego: x
n
a
...
a
x
x
...
a
a
a
x
...
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
a
a
a
a
a
...
a
a
x
a
...
a
a
a
x
...
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
a
a
a
.
k
k
a
x
x a .
a
...
...
n x a n k a
n 1 i l x a x a i l
Haciendo: k = n -1 y teniendo en cuenta que: l = x, se tiene: n 1
n x a
.1 a
n 1 i 1 x a . x a i 1
x
n x a n 1.x a x a n 1 x a n 2
x a x a .x a ... x a x a n 3
n 1
n x a
x
El primer determinante es el mismo que el inicial, pero de orden (n-1); en éste si realizamos los mismos pasos iniciales se obtendrá un resultado similar. El segundo
n 1
Finalmente:
22
n 2
x a n 1 x a n 1 .x a x a . x a x a x a n 1 x a n 1 .x x a . 2
n 1
n x a
2
n
x a
n
x a
n
2
1 n n
RESOLUCIÓN Nº 90 Con las condiciones dadas, se obtiene:
A
2
1
1
1
...
1
1 n
1
1
1
...
1 n
1
1
1
1
...
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
1
1
1
1
.
.
.
1
0
1
1
1
1
1
1 n
1
...
1
1
1
1
0
1
1
1
1 n
1
1
...
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
Sumando todas las filas ala primera y luego agregar ésta primera a las demás filas, resulta: 1
1
1
...
1
1
1
1
1
...
1 n
1
1
1
1
...
1
1
n n 1
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1 n
1
...
1
1
1 n
1
1
1
1
1
Este es un caso particular del problema anterior con: x = 0; a = 1 y n = 6 6
Luego:
A
0 1
6
0 1
2
A
A
1
RESOLUCIÓN Nº 91 Sumando todas las columnas a la primera; luego desarrollando por propiedad, con respecto a la primera columna, se tiene:
n n
A
1
2
3
...
n
1
n 1
n
1
1
1
...
1
0
0
0
...
0
0
0
...
n n 1
.
.
2
.
2 0
1
1
...
1
1 n
0
1
1
...
1 n
1
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
1
...
1
1
0
1 n
1
...
1
1
n
n
1
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
0
0
...
0
0
0
...
0
0
Por propiedad y teniendo en cuenta que el determinante ahora es de orden (n-1): n
A
. 1
n n 1 2
n 2 n 1 2
.
1 n n n ... n n 2factores
23
A
n n 1
1
n 2 n 1
.
2
2
n 2
.n
Desarrollando el determinante con respecto a la primera fila, para luego darle forma al menor obtenido, se obtiene:
n 3
Luego: A
1
n 2 n 1 .
2
n 1.n
2
x 1
RESOLUCIÓN Nº 92 Observe que el determinante es de orden n+1, considerándolo como una función de x, denotémoslo por: n+1(x); realizando las siguientes transformaciones a cada fila sumarle todas las que le siguen, comenzando por la primera.
xn
xn
xn
xn
...
xn
n
x n 1
xn
xn
...
xn
0
n 1
0
n 1 0
n 1 x
xn
n 1 x x n .
n 2
1
0
0
...
0
x 3
2
0
...
0
x 5
3
...
0
x 7
...
0
n 2
n 3
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
n 1
0
0
0
0
...
x 2n 1
n 1 x x n .
xn
...
xn
0
2 n 2
x n 3
...
xn
x 1
1
0
0
...
0
.
.
.
.
.
n 1
x 1 2
2
0
...
0
.
.
.
.
.
0
...
0
.
.
.
.
x 1 4
3
.
n 2
0
0
0
0
0
...
xn
n 3
x 1 6 ...
0
0 0
0
0
0
...
x 2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
De cada columna restarle la anterior, empezando por la última; se obtiene:
.
.
.
.
.
0
0
0
0
n 1 x
n 1
0
0
0
0
x 1 2 n 1
x
n
n
0
x
0
0
0
...
0
1
1
0
...
0
2
...
0
...
0
n 1
x
3
n 2
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
x
5
n x
El determinante obtenida tiene la misma forma que el inicial pero de orden n y en función de x-1, luego:
n 1 x x n . n x 1
Si efectuamos el mismo procedimiento anterior, obtendremos:
1
2n
1
n x 1 x n . n 1 x 2
24
n 1 x 2 x n . n 2 x 3
Así, hasta: 2 x n 1 x n 1 x n Donde:
1 x n x n
Finalmente, reemplazando sucesiva, resulta:
en
forma
n 1 x x n x n x n ...x n n 1veces
n 1 x x n
n 1
25
