PL al combinar combinar tamaños de camiones e n transporte (TAMACA).
Una compañía compañía transportadora transporta dora tiene tiene 10 1 0 camiones camiones con capacidad cap acidad de d e 20 tonelada toneladass y 5 camiones camiones de 15 tonelada toneladas. s. Los camiones camiones grandes tienen costo c ostoss de operaci operac ión de d e $15 $150 0 por kil kilóm ómetro etro recorrido recorrido y los los pequeños pequeños de $ 125 por kil kilóm ómetro etro recorrido. recorrido. En la la sigui siguien ente te semana la compañía compañía requiere transportar transp ortar 200 toneladas toneladas de azúcar azúcar en un recorrido reco rrido de d e 800 kilómetros. kilómetros. La pos posiibilid bilid ad de otros compromi compromisos de transporte, transporte , impone una una políti política ca táctica de mantener en reserva, rese rva, por po r lo menos, dos do s cami camiones pequeños peq ueños por p or cada cad a camión camión grande.¿ Cuál es el núm número óptimo óptimo de cami camiones de ambas ambas clases que se deben deb en util utilizar para transportar transportar el azúc azúcar? ar? Formul Formulee un model modelo o de program programaci ació ó n lineal neal para este problem problema. a.
Figura Figura 1-2. 1-2 . Inform Informació ación: n: cos to s e gún e l tamaño de de camión, camión, recorrid re corrido o y transporte del e je mplo TAMACA. TAM ACA. M odelo de de progr programación amación line line al.
1a parte.parte .- Defi Definició n de variables variables de deci dec isión 2a parte.parte .- Función Función económ eco nómiica u objeti obje tivo: vo: Planteamien Planteamiento to de costo mí mínimo nimo de operar opera r X j camiones
3a parte.- Restri Restricciones cciones o condi condici ciones.ones.- Requerimi Requerimiee nto de carga carga a transportar: transportar:
Restriccio Restriccio nes de camiones camiones disponibles disponibles a utilizar: utilizar: Xg <= 10 ; Xp <= 5 (camiones). Para la la restri res tricción cción de tener en reserva dos cami camiones pequeños peq ueños por cada camión camión grande, se definen definen otras otra s variables variables y significa significan n camiones camiones en reserva reser va para pa ra otro uso: Sea X r j = núm número de cami c amiones ones en reserva de tipo tipo j ( j = g , p) Camiones Camiones grandes reservado re servadoss = total de grandes menos los los utilizados utilizados:: Xrg=10Xrg=10 Xg Camiones Camiones pequeños peq ueños reservados reservado s = total de pequeños peq ueños menos menos los uti utilizado lizadoss : Xrp=5-Xp
4a parte: Condiciones de signo para las variables:
Observaciones al Ejemplo 1-2: Análisis de la propiedad de proporcionalidad:
El cambio para diferentes valores de Xg se mantiene constante (20), o las contribuciones de 20, 40, 60,..., son proporcionales al valor incremental de Xg. En contraste, el valor de las contribuciones 20, 80, 180,..., para diferentes valores de la variable en X2g no se mantiene constante y por lo tanto no hay proporcionalidad. El problema de ejemplo 1.2, como primera parte, es decidir el número de camiones grandes (Xg) y pequeños (X p ) a utilizar para el transporte del azúcar. Para construir la función objetivo de la segunda parte del modelo, hay necesidad de pensar como administrador del transporte, pues en cualquier caso se desea cumplirlo con bajo costo. Puesto que existe diferenc ia al operar camiones de diferente tamaño, pero el recorrido es igual para los grandes y pequeños, en tal caso se calcula el costo del viaje para cada uno de los dos tipos de camión el cual se emplea como coeficiente de costo C j en cada término de la función Z que representa el costo total a minimizar. Las restricciones de la parte 3 del modelo matemático son de tres clases: se debe cumplir un requerimiento ( >=) de transporte de 200 toneladas de azúcar. Para la posible pregunta de por qué no se utiliza un simple signo de igualdad (=), considere que la capacidad de los camiones grandes de 20 toneladas, si es múltiplo de las 200 toneladas a transportar, pero en cambio, la capacidad de 15 toneladas de los camiones pequeños, no es múltiplo de 200, en tal caso, puede no cumplirse en igualdad; por otro lado no se debe olvidar la política de mantener en reserva cierto número de camiones. Posteriormente se trata la conveniencia de evitar, en lo posible, las restricciones estrictas de igualdad (=), pues la programación lineal, las restricciones ( <= ) y ( >= ) no excluyen la posibilidad de cumplir la igualdad y aportan flexibilidad en la búsqueda de la mejor solución. Otra clase de restricción a considerar se refiere al total de camiones existentes de cada tamaño, lo cual se expresa con la desigualdad ( <= ) significando, que
se dispone de un máximo de 10 grandes y 5 pequeños. La restricción para dejar en reserva algunos camiones, necesita una definición adicional para ellos, pues en la primera parte del modelo sólo se definen las variables de decisión para representar los camiones a utilizar. De esta manera, se plantean las expresiones para: Xrg = 10 - Xg ; Xrp = 5 - X p , sustituyéndolas en la interpretac ión de la política de reserva, conteniendo las variables de decisión Xg , X p , así como también las variables que representan los camiones en reserva Xrg , Xrp las cuales sirven para el análisis durante la formulación, pero no permanecen en la presentación final del modelo. Se termina el modelo con la parte 4 en que se condicionan las variables sólo a valor positivo o cero, pues el negativo no tiene significado físico en este problema. PL en la dieta de jugos (BEDIET).
Un proveedor de bebidas dietéticas debe preparar con las existentes de su bodega, un pedido de 500 litros de ponche dietético el cual debe contener por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de betabel. La siguiente tabla informa de 5 bebidas existentes con su contenido de jugos y el costo de las mismas. ¿Qué cantidad de cada bebida deberá de emplear el proveedor para cumplir el pedido a un costo mínimo? Formule un modelo de programación lineal que represente este problema.
Figura 1-5. Información de bebidas almacenadas en ejemplo BEDIET. Modelo de programación lineal.
1a parte.- Definició n de variables:
2a parte.- Función económica u objetivo: 3a parte: Sujeta a restricciones.-
Restricción de proporción de contenido de jugo: Para este tipo de restricción es necesario convertir la información de contenido en por ciento (%) de jugo de la tabla a fracción decimal de un sólo litro del mismo, ya que la definición de significado de las variables en la primera parte del modelo se hizo como litros de bebida j. Por lo tanto, la fracción 0.40 ó 400 mililitros de jugo de naranja multiplicado por XA litros, es la contribución de la bebida A (0.40XA) para cumplir el 20% (0.20 por litro de ponche) de jugo de
naranja en la bebida pedida. También 0.05XB es la contribución de la bebida B y 1XC, es la contribución de C (pura naranja) al ponche pedido. Las restricciones de toronja y betabel se formulan de la misma manera.
4a parte.- Condición de signo para las variables:
PL en la dieta de jugos (BEDIET). Un proveedor de bebidas dietéticas debe preparar con las existentes de su bodega, unpedido de 500 litros de ponche dietético el cual debe contener por lo menos 20% de jugo denaranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de betabel. La siguiente tabla informa de 5bebidas existentes con su contenido de jugos y el costo de las mismas. ¿Qué cantidad decada bebida deberá de emplear el proveedor para cumplir el pedido a un costo mínimo? Formule un modelo de programación lineal que represente este problema.
1-5. PL e n la inversión de capital (INVECAP).
Un banco desea establecer una política de préstamo para el siguiente trimestre y por tal motivo asignó un presupuesto de 12 millones de dólares para prestarle a sus clientes. En la tabla siguiente se anotan los tipos de préstamo con el interés correspondiente y las probabilidades de no-recuperación del capital prestado. Lo que no se puede recuperar no tiene intereses. Por competencia con otros bancos, se requiere asignar préstamos de al menos el 40% del total, a los tipos de préstamo 4 y 5. Con la habitación debe prestarse al menos un 50% de la suma de los préstamos 1, 2, y 3. La política de banco es que la relación total de los irrecuperables sea un máximo de 0.04. Formule un modelo de programación lineal para este problema de inversión.
Figura 1-6. Información de tipo de préstamos bancarios en ejemplo INVECAP. Modelo de programación lineal
1a parte.- Definició n de variables: 2a parte.- Función objetivo:
En este problema, a la función Z a maximizar se le debe formular con la suma de las contribuciones de rendimiento de los cinco tipos de préstamo, pero descontando la fracción de irrecuperables los cuales se estiman en la columna derecha de la tabla:
3a parte.- Sujeto a restricciones.
4a parte.- Condiciones de signo.
Ejemplo 1-9. PL para mínimo desperdicio e n proce so de corte (CORTEPAPEL).
Una papelería recibe un pedido de 500, 300 y 100 rollos de papel de cierta calidad en ancho de 30, 45 y 56 pulgadas, respectivamente. En almacén se tienen rollos de papel de la calidad solicitada pero con un ancho de 108 pulgadas. Si la papelería desea satisfacer el pedido del cliente deberá someter a corte longitudinal los rollos en existencia pero se tendrá obligadamente un desperdicio de papel. Formule un modelo de programación lineal que minimice el desperdicio. Antes de iniciar la formulación del modelo de PL de este problema, se pueden revisar las varias alternativas convenientes para realizar el corte, desde un ancho de 108 pulgadas que tienen los rollos existentes en almacén hasta los anchos del pedido. Para ello se presenta la siguiente tabla que facilita el análisis de cuántos rollos en 30, 45 y 56 pulgadas se pueden obtener en cada proceso de corte, cuidando que las diferentes combinaciones sean posibles y con un desperdicio menor a 30 pulgadas.
Figura 1-12. Tipos de corte conveniente para ajustar anchos solicitados en ejemplo CORTEPAPEL. Modelo matemático de programación lineal.
1a parte.- Definició n de variables: 2a parte.- Función económica u objetivo.Se utiliza el cálculo del desperdicio en pulgadas anotado en la columna derecha de la tabla, para construir los términos correspondientes al desperdicio de cada tipo de corte los cuales sumados, valoran la función Z a minimizar.
3a parte.- Sujeto a restricciones.La misma tabla ordena el dato de número de rollos con determinado ancho, obtenido en cada corte de tipo j, este número multiplicado por el número de cortes j, es el término contribuyente para surtir los rollos de papel pedidos. Así en cada restricción de ancho pedido, se tienen tantos términos como tipos de corte que aportan tal ancho de rollo.
4a parte.- Condiciones de signo para:
