OSCILADOR CUÁNTICO “Sus niveles de energía están igualmente separados” El oscilador cuántico se describe por la energía potencial
1 2 1 2 2 U ( x ) = k x = mω x en la ecuación de Schrödinger 2 2 −ħ2 d 2 ψ 1 2 + k x ψ =Eψ 2 m d x2 2 De antemano, hay que tener en cuenta que la función de onda del estado base debe tener las siguientes características:
ψ debe ser simétrica alrededor del punto medio del pozo de potencial,
x=0 ψ
no debe tener nodos, sino tender a cero para
|x| grande
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
−ħ2 d 2 ψ 1 2 + k x ψ =Eψ 2 m d x2 2 d2 ψ 2 m 1 + 2 E− k x 2 ψ=0 2 2 dx ħ
(
)
d 2 ψ 2 mE mk 2 + − 2 x ψ=0 2 2 dx ħ ħ
(
)
Con el fin de simplificarlos cálculos
β=
2E ħω
2
∝=
mk m2 ω 2 = 2 ħ2 ħ
De forma que
αβ =
mω 2 E 2mE = 2 ħ ħω ħ
De esta manera
2
d ψ ( + αβ−∝2 x2 ) ψ=0 2 dx Haciendo en cambio de variable introduciendo:
ξ=√ α x Utilizando la regla de la cadena se puede realizar el siguiente cambio
dψ dψ d ξ dψ = =√ α dx d ξ dx dξ 2
2
d ψ d dψ d ξ d ψ = =∝ 2 2 d x d ξ dx dx dξ
( )
Esto sustituyendo en la ecuación anterior
d2ψ ( 2 + β−ξ ) ψ =0 2 dξ Ecuación de Schrödinger reducida Ahora se emplea un método conocido como expansión asintótica, para buscar los valores de
ψ
para grandes valores de
ψ
ya que como
sabemos, la función de onda está restringida por el requisito de que cuando
x → ∞ , esta tiende a anularse. Como
β
depende de
E , para cualquier energía finita
despreciable en comparación a
β
es
ξ , l ecuación se reduce a: 2
d ψ∞ dξ
2
2
=ξ ψ ∞
Ecuación cuya solución es de la forma:
ψ ∞=eσ ξ
2
Derivando: 2
d ψ∞ =( 4 σ 2 ξ 2+ 2σ ) eσ ξ 2 dξ
2
Sustituyendo en la ecuación y despreciando el segundo término entre el paréntesis:
4 σ 2 ξ2 ≈ ξ 2
σ =±
1 2
Por lo que la solución de la ecuación es de la forma −ξ 2
2
ψ ∞= A e
2
+B e
ξ 2
Como la segunda parte de la ecuación tiende a infinito cuando
ξ→±∞ ,
por lo que la desechamos y sólo nos queda −ξ 2
2
ψ ∞= A e
Ya que A es una constante arbitraria, podemos por conveniencia hacerla igual a 1, con lo que la expansión asintótica para la función de onda es
ψ ∞=e
−ξ 2
2
Esta ecuación nos da el comportamiento asintótico de grandes de de
ξ . Pero también hay que definir
ψ
ψ
para valores
para valores pequeños
ξ . Para esto se asocia a esta función asintótica, una nueva función que
deberá tener el comportamiento adecuado en la regiones cercanas y regular el comportamiento de
ψ∞
en las zonas alejadas.
Así, se prueba tentativamente como solución general: 2
ψ=ψ ∞ H ( ξ ) =e
−ξ 2
H (ξ )
Derivando esta ecuación obtenemos:
[
]
d ψ dH = −ξH e dξ dξ
−ξ 2
2
[
]
d2 ψ d2 H dH 2 = −2 ξ +ξ H −H e 2 2 dξ dξ dξ
−ξ 2
2
Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger reducida:
[
]
d2 H dH 2 −2ξ +ξ H−H e 2 dξ dξ
Simplificando
2
−ξ 2
2
+ βH e
−ξ 2
2
−ξ H e
−ξ 2
2
=0
2
d H dH ( −2 ξ + β−1 ) H =0 2 dξ dξ Esta ecuación es la “Ecuación diferencial de Hermite” y su resolución consiste en un desarrollo en serie de potencias Sea ∞
H ( ξ ) =∑ c m ξ m=c0 + c1 ξ+ c 2 ξ 2 +c 3 ξ3 +… m=0
∞
dH =∑ m cm ξ m−1=c1 +2 c 2 ξ+3 c 3 ξ 2+ 4 c 4 ξ 3 +… dξ m=1 ∞
d2 H = ∑ m(m−1)c m ξm −2 =2 c2 +6 c 3 ξ+ 12c 4 ξ 2 +20 c 5 ξ3 +… 2 dξ m=2 Reemplazando ∞
∞
∞
m=2
m=1
m=0
∑ m(m−1)c m ξ m−2−2ξ ∑ m cm ξ m−1 +( β−1 ) ∑ c m ξ m=0 ∞
∞
∞
m=2
m=1
m=0
∑ m(m−1)c m ξ m−2 + ∑ −2 mc m ξ m + ∑ ( β−1 ) c m ξ m=0 ∞
2 c 2+ ∑ m( m−1) c m ξ m =3
m−2
∞
∞
+ ∑ −2 m c m ξ + ( β−1 ) c 0 + ∑ ( β−1 ) c m ξ m=0 m
m=1
m=1
∞
∞
∞
m =1
m=1
m=1
2 c 2+ ∑ (m+2)( m+1) c m+2 ξ m+ ∑ −2m c m ξm + ( β −1 ) c 0 + ∑ ( β−1 ) c m ξ m=0 ∞
∑ ξ m [(m+2)(m+ 1)c m+2 −2m c m +( β−1 ) c m ] +2 c 2+( β−1 ) c 0=0 m=1
Entonces debe cumplirse:
( m+ 2 )( m+1 ) c m+2−2m c m + ( β−1 ) c m=0 2 c 2+ ( β−1 ) c 0=0 Despejando:
c 2=
−( β−1 ) c 0 2
c m+ 2=
2 m−( β−1) c ( m+2 ) ( m+ 1 ) m
m=0
Para
c 2=
−( β−1 ) c 0 2 m=1
Para
c 3=
2−( β−1) c1 5 m=2
Para
c4 =
2
4−(β−1) 4−(β−1) −(β−1) c 0 −4 ( β−1 ) c 0 +(β−1) c 0 c 2= = 12 12 2 24
(
)
m=3
Para
c 5=
[
]
2
6−( β−1) 6−(β−1) 2−(β−1) 12−8 ( β−1 ) +( β−1) c 3= c1 = c1 20 20 5 100
Estos coeficientes depende de
c0
y de
c 1 , y deben ser determinados a
partir de las condiciones iniciales. Si estos coeficientes son positivos la serie divergirá para grandes valores de
ξ . Se puede comprobar que estos coeficientes van a ser positivos si cumple la siguiente condición:
2 m+1> β m>
β−1 2
Para que la serie se vuelva divergente es necesario que la terminemos a una cierta potencia máxima dada por:
mmáx =
β−1 =n 2
β=2 n+1=
2 En 2 En = ħω hv
De aquí, lo valores característicos de la energía total quedan dados por:
( 12 ) hv
En= n+
Este espectro de valores de energía es discreto, y distinto del espectro continuo permitido por la mecánica clásica. La diferencia entre estos niveles
hv .
de energía es
Para darnos cuenta de esta diferencia, imaginémonos en el caso clásico, una aparato mecánico que se encuentre vibrando, su frecuencia debe ser de alrededor 1000 y 10000 Hz y la energía del sistema vibrante puede ser de varios julios. La separación entre los niveles de energía sigue siendo ya que
h
6.63 ×10−34 Js , la separación entre niveles
es de alrededor de
está en el rango de
hv , y
10−30 J , que comparada con la total implicada es tan
pequeña que puede tomarse como cero, de manera que el espectro de valores permitidos parece ser continuo. Pero sin embargo, para las dimensiones atómicas y nucleares, la frecuencias pueden exceder fácilmente los
10−24 J
1012 Hz , y la energía estaría en el orden de
o menor. En este caso la separación entre niveles de energía (
6.63 ×10−22 J ), se vuelve muy pronunciada y el espectro de los niveles permitidos de energía es notablemente discreto Un dato interesante el oscilador armónico cuántico es que no puede tener una energía igual a cero. La ecuación que se calculó fija la energía del punto cero igual a
1 hv 2
La relación de recurrencia anteriormente determinada, nos permite hallar los polinomios de Hermite. Además, cortamos la serie utilizando la condición:
mmáx =
β−1 =n 2
Y haciendo
m=m−2 , tenemos:
m−2 ( ¿+2 ) ( (m−2)+ 1 ) ¿ ¿ 2 ( m−2 )−1−2 n−1 c(m−2)+2= ¿ c m−2=
−m(m−1) c 2(n−m+ 2) m
Donde debe cumplirse que
m≤ n . En este caso, debe
cm
viene siendo el
coeficiente de la potencia más alta del polinomio. Como la constante de normalización del polinomio de la función de onda aún no se ha determinado, resulta conveniente expresarlo en la forma:
c n=2
n
Sustituyendo esta ecuación en la función de recurrencia y prosiguiendo de forma iterativa, tenemos:
c n−2=−2n−2 c n−4 =2n−4
n(n−1) 1!
n (n−1)(n−2)(n−3) 2!
Y sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de la función de Hermite, tenemos:
H n ( ξ ) =(2 ξ)n −
n ( n−1 ) n ( n−1 )( n−2 ) ( n−3 ) ( 2 ξ )n−2+ ( 2 ξ )n−4 −… 1! 2!
A este polinomio hay que agregarle par. Si dejamos que
n
c1ξ
tome valores de
si
n
es impar y
c0
si n es
n=0,1, 2, 3,… etc , se obtienen los
Polinomios de Hermite
H 0 ( ξ ) =1 H 1 ( ξ )=2ξ 2
H 2 ( ξ )=4 ξ −2 3
H 3 ( ξ ) =8 ξ −12 ξ ⋮ n
H n ( ξ ) =(−1 ) ξ
2
d n ( −ξ ) e n dξ 2
Donde
ξ=√ α x Lista de valores característicos de características correspondientes
En
de la energía y de las funciones
ψ n para diferentes valores de
n
N
VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA ENERGÍA, En
0
1 E0= hv 2
1
3 E1= hv 2
2
5 E2= hv 2
⋮
( )
1
−ξ 2
2
√α 2 2 ξ e ψ 1= 2 √π
( )
−ξ 2
2
1
√ α 2 (4 ξ2 −2) e ψ 2= 8√π
( )
2
−ξ 2
⋮
1 hv 2
( )
Donde
1
√α 2 e ψ 0= √π
⋮
En= n+
n
FUNCIONES CARACTERÍSTICAS NORMALIZADAS, ψ N
mω 4 π 2 mv α= = ,y ħ h
ψ n=
(√
√α π 2n n !
)
1 2
Hn (ξ )e
−ξ 2
2
H n+1=2 ( ξ ) H n−2 n H n−1
Es interesante recalcar la separación uniforme de los niveles, ampliamente reconocida como el sello característico del espectro del oscilador armónico. La diferencia de energía entre los niveles adyacentes es justamente
∆ E=hv . En estos resultados se encuentra la justificación cuántica de la revolucionaria hipótesis de Planck sobre los osciladores de una cavidad. Recordemos que al deducir su fórmula de radiación de un cuerpo negro,
Planck supuso que estos osciladores, que constituían las paredes de la cavidad, sólo podían poseer aquellas energías que fuesen múltiplos de
h v =ħω . Aunque Planck no hubiese podido prever la energía de punto cero
ħω 2 , no hubiera habido diferencia: sus osciladores seguirían
emitiendo u absorbiendo energía en cuantos reproduce el espectro del cuerpo negro.
∆ E=hv
de forma que se
