Definición de estadística :
La estadística es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población. -Pérez, arcia !lonso "#$$%&. Estadistica aplicada: conceptos básicos. 'spa(a ) *+'.
Concepto : Muestra:
*na muestra ) es un subconunto de casos o indiiduos de una población estadística. Las muestras, se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representatias de la misma. Para cumplir, esta característica la inclusión de suetos en la muestra debe seguir una técnica de muestreo. 'n tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un estudio e/haustio con mayor rapidez y menor coste. 0uestras 1entaas de la 'lección de 0uestra'l estudio de muestras es preferible a los censos "o estudio de toda la población&, por las siguientes razones) 2. La población es muy grande "en ocasiones, infinita, como ocurre en determinados e/perimentos aleatorios& y, por tanto, imposible de analizar en su totalidad. #. Las características, de la población arían si el estudio se prolonga demasiado tiempo. 3. 4educción de costes) al estudiar una peque(a parte de la población, los gastos de recogida y tratamiento de los datos serán menores que si los obtenemos del total de la población. 5. 4apidez) al reducir el tiempo de recogida y tratamiento de los datos, se consigue mayor rapidez. 6. 1iabilidad) la elección de una muestra permite la realización de estudios que serían imposible hacerlo sobre el total de la población. 7. La población es suficientemente homogénea respecto a la característica medida, con lo cual resultaría in8til malgastar recursos en un análisis e/haustio "por eemplo, muestras sanguíneas&.
9. 'l proceso de estudio es destructio o es necesario consumir un artículo para e/traer la muestra "eemplos) ida media de una bombilla, carga soportada por una cuerda, precisión de un proyectil, etc.&.
!utor) Euclides
"33$ a.:. - #96 a.:.& 0atemático griego. ;unto con !rquímedes y !polonio de Perga, posteriores a él, 'uclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la !ntig?>, de las llamadas geometrías no euclidianas. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de 'uclides, pese a ser el matemático más famoso de la !ntig
epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático 0enecmo, como réplica a una demanda similar por parte de !leandro 0agno.
La tradición ha conserado una imagen de 'uclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relatia a su ense(anza, recogida por ;uan 'stobeo) un oen principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizae. 'uclides le e/plicó que la adquisición de un conocimiento es siempre aliosa en sí misma@ y dado que el muchacho tenía la pretensión de obtener alg8n proecho de sus estudios, ordenó a un siriente que le diera unas monedas. Los 'lementos de 'uclides) 'uclides fue autor de diersos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los 'lementos, que rializa por su difusión con las obras más famosas de la literatura uniersal, como la Aiblia o el Buiote. =e trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores "entre los que destaca Cipócrates de Buíos&, a las que superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito. e los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todaía como geometría plana o elemental. 'n ellos 'uclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resoler lo que hoy se consideran eemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas@ se incluye también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a 'udo/o. Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas) las principales propiedades de la teoría de los n8meros "diisibilidad, n8meros primos&, los conceptos de conmensurabilidad de segmentos a sus cuadrados y las cuestiones relacionadas con las transformaciones de los radicales dobles. Los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los
cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que habían sido ya obeto de estudio por parte de Deeteto. e las restantes obras de 'uclides sólo poseemos referencias o brees res8menes de comentaristas posteriores. Los tratados sobre los Lugares superficiales y las :ónicas ya contenían, al parecer, algunos de los resultados e/puestos posteriormente por !polonio de Perga. 'n los Porismas se desarrollan los teoremas geométricos denominados actualmente de tipo proyectio@ de esta obra sólo conseramos el resumen trazado por Pappo de !leandría. 'n Eptica y :atóptrica se estudiaban las leyes de la perspectia, la propagación de la luz y los fenómenos de refle/ión y refracción. os mil a(os de igencia) La influencia posterior de los 'lementos de 'uclides fue decisia@ tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de te/to eemplar en la ense(anza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a 'uclides. Dras la caída del ?mperio 4omano, su obra fue preserada por los árabes y de nueo ampliamente diulgada a partir del 4enacimiento. 0ás allá incluso del ámbito estrictamente matemático, 'uclides fue tomado como modelo, en su método y e/posición, por autores como aleno, para la medicina, o =pinoza, para la ética. 'llo sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su b8squeda de sistemas e/plicatios de alidez uniersal, tuieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de 'uclides. e hecho, 'uclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática) un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios preiamente aceptados. 'n el caso de los 'lementos, los principios que se toman como punto de partida son eintitrés definiciones, cinco postulados y cinco a/iomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido obeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados
y, en particular, al quinto postulado, llamado de las paralelas. =eg8n este postulado, por un punto e/terior a una recta sólo puede trazarse una paralela a dicha recta. =u condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma !ntig?>, cuando algunos trabaos inéditos de :arl Friedrich auss "2999-2%66& y las inestigaciones del matemático ruso +iGolai LobachesGi "29H#2%67& eidenciaron que era posible definir una geometría perfectamente consistente "la geometría hiperbólica& en la que no se cumplía el quinto postulado. =e iniciaba así el desarrollo de las geometrías no euclidianas, de entre las que destaca la geometría elíptica del matemático alemán Aernhard 4iemann "2%#72%77&, uzgada por !lbert 'instein como la que meor representa el modelo de espacio-tiempo relatiista. Pitágoras
"?sla de =amos, actual recia, h. 69# a.:. - 0etaponto, hoy desaparecida, actual ?talia, h. 5H9 a.:.& Filósofo y matemático griego. !unque su nombre se halla inculado al teorema de Pitágoras y la escuela por él fundada dio un importante impulso al desarrollo de las matemáticas en la antigua recia, la releancia de Pitágoras alcanza también el ámbito de la historia de las ideas) su pensamiento, te(ido todaía del misticismo y del esoterismo de las antiguas religiones mistéricas y orientales, inauguró una serie de temas y motios que, a traés de Platón, dearían una profunda impronta en la tradición occidental. =e tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. Parece seguro que fue hio del mercader 0nesarco y que la primera parte de su ida transcurrió en la isla de =amos, que probablemente abandonó unos a(os antes de
la eecución del tirano Polícrates, en el 6## a.:. 's posible que iaara entonces a 0ileto, para isitar luego Fenicia y 'gipto@ en este 8ltimo país, cuna del conocimiento esotérico, Pitágoras podría haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía. !lgunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Aabilonia con :ambises ??, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. =e habla también de iaes a elos, :reta y recia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en la ciudad de :rotona, una de las colonias que los griegos habían fundado dos siglos antes en la 0agna recia "el actual sur de ?talia&, donde gozó de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por conertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derió una reuelta que obligó a Pitágoras a pasar los 8ltimos a(os de su ida en la también colonia griega de 0etaponto, al norte de :rotona.
La comunidad pitagórica estuo siempre rodeada de misterio@ parece que los discípulos debían esperar arios a(os antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las ense(anzas recibidas. Las mueres podían formar parte de la hermandad@ la más famosa de sus adheridas fue Deano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hia y de dos hios del filósofo. La filosofía de Pitágoras Pitágoras no deó obra escrita, y hasta tal punto es imposible distinguir las ideas del maestro de las de los discípulos que sólo puede e/ponerse el pensamiento de la escuela de Pitágoras. e hecho, e/ternamente el pitagorismo más parece una religión mistérica "como el orfismo& que una escuela filosófica@ en tal sentido fue un estilo de ida inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal obetio era la purificación ritual "catarsis& de sus miembros.
=in embargo, tal purificación "y ésta es su principal singularidad respecto a los cultos mistéricos& se lleaba a cabo a traés del cultio de un saber en el que la m8sica y las matemáticas desempe(aban un papel importante. 'l camino hacia ese saber era la filosofía, término que, seg8n la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de Iamor a la sabiduríaJ@ cuando el tirano Leontes le preguntó si era un sabio, Pitágoras le respondió cortésmente que era Iun filósofoJ, es decir, un amante del saber. Pitágoras en La escuela de !tenas "2622&, de 4afael Dambién se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una ense(anza liberal "sin la utilidad por eemplo agrimensora que tenían en 'gipto& mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del conte/to material en que ya eran conocidos algunos de ellos. Kste es, en especial, el caso del famoso teorema de Pitágoras, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo) el cuadrado de la hipotenusa "el lado más largo& es igual a la suma de los cuadrados de los catetos "los lados cortos que forman el ángulo rectángulo&. el uso práctico de esta relación e/isten testimonios procedentes de otras ciilizaciones anteriores a la griega "como la egipcia y la babilónica&, pero se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema, así como otros numerosos aances a su escuela. 'l esfuerzo para elearse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares eemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que ense(aba a conocer el mundo como armonía. 'n irtud de ésta, el unierso era un cosmos, es decir, un conunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los interalos de la octaa musical@ las esferas celestes, al girar, producían la llamada m8sica de las esferas, inaudible al oído humano por ser permanente y perpetua.
'n un sentido sensible, la armonía era musical@ pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el n8mero resultaba ser la clae de todas las cosas. 0ientras casi todos sus predecesores, empezando por Dales y los filósofos milesios, buscaron el aré o principio constitutio de las cosas en sustancias físicas "el agua, el aire, etc.&, los pitagóricos ieron tal principio en el n8mero) las leyes y proporciones numéricas rigen los fenómenos naturales, reelando el orden y la armonía que impera en el cosmos. =ólo con el descubrimiento de tales leyes y proporciones llegamos a un conocimiento e/acto y erdadero de las cosas. La oluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral@ para los pitagóricos, el hombre era también un erdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. 'n este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del indiiduo cuando ésta se iera perturbada, y, siendo la m8sica instrumento por e/celencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tab8es como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas@ se dice que el propio Pitágoras declaró ser hio de Cermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de !polo. La creencia en la metempsicosis, idea orientalizante y e/tra(a a la tradición griega, implicaba la concepción del alma como ente racional inmortal aprisionado en el cuerpo y responsable de sus actos, de forma que de su conducta en la ida dependería el ser en el que se reencarnaría tras la muerte del cuerpo. =u influencia 0ás de un siglo después de la muerte de Pitágoras, en el transcurso de un iae al sur de ?talia efectuado antes de la fundación de la !cademia, Platón tuo conocimiento de la filosofía pitagórica a traés de sus discípulos. =e ha afirmado
que la concepción del n8mero como principio de todas las cosas preparó el terreno para el idealismo platónico@ en cualquier caso, la influencia de Pitágoras es clara al menos en la doctrina platónica del alma "inmortal y prisionera del cuerpo&, que también en Platón alcanza su liberación mediante el saber. e este modo, a traés de Platón, diersas concepciones pitagóricas se conertirían en temas recurrentes o polémicos de la filosofía occidental@ todaía en el siglo >1?? un astrónomo tan insigne como epler, a quien se debe el descubrimiento de las órbitas elípticas de los planetas, seguía creyendo en la m8sica de las esferas. Mtros conceptos suyos, como los de armonía y proporción, quedarían incorporados a la m8sica y las artes. Pitágoras ha sido isto también como el precursor de una aspiración que tendría grandísimo predicamento a partir de la reolución científica de alieo) la formalización matemática del conocimiento. Leonhard Euler
"Aasilea, =uiza, 29$9 - =an Petersburgo, 29%3& 0atemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Aernoulli, ;ohann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de 'uler en la *niersidad de Aasilea. Dras graduarse en dicha institución en 29#3, cuatro a(os más tarde fue initado personalmente por :atalina ? para conertirse en asociado de la !cademia de :iencias de =an Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Aernoulli, aniel, a quien en 2933 releó en la cátedra de matemáticas. ! causa de su e/trema dedicación al trabao, dos a(os más tarde perdió la isión del oo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al n8mero de sus hallazgos. Casta 2952, a(o en que por initación de Federico el rande se trasladó a la !cademia de Aerlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral "no sólo gracias a resultados noedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos&, que conirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. :on ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente "a las
que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales&, además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas "introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales&. 'n 295% publicó la obra ?ntroductio in analysim infinitorum, en la que e/puso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisia con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la conergencia. 'n el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y reolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los n8meros compleos mediante la denominada identidad de 'uler@ a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. 'n el terreno del álgebra obtuo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación c8bica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que llea su nombre. ! lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introduo gran n8mero de nueas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los diisores de un n8mero y e/presión del n8mero imaginario raíz de menos uno. Dambién se ocupó de la teoría de n8meros, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 29%3. ! raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el rande, regresó nueamente a 4usia en 2977, donde al poco de llegar perdió la isión del otro oo. ! pesar de ello, su memoria priilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actiidad científica@ así, entre 297% y 299# escribió sus Lettres N une princesse dO!llemagne, en las que e/puso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la ac8stica y la astrofísica de su tiempo.
e sus trabaos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su moimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del moimiento lunar-, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Dras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo conierte en el matemático más prolífico de la historia.
