l sistema dl'fo rn,MI(, uurunlo las osdlacionlls .~c considHIl la mi smn qlle la q lll' correspo ut!o a la ~o li cilllciún ' ·.~ I I¡ li c;, del ~is l eml' pror t" ('orrl'spulIdi{'ulc fUl'TW gell{'wlizadll ap licntla 1'11 {·l 1,""1,, ¡junuc $C fija 111 n\a.~a ~'<¡uo Ilclíw ell la miS IHi! ,lit('c\"Ít", 1'11
c'f' e,
Os.::il nÓ II" CS libres de siSle,nftS ,,1'¡sl i"{I~ l"("!dntli en~ ,, ,le ,,, mm.." w... "ia En 1'1
e,
cil~o.Je
s ist.'ma .• lill".11",,,,, le el ,¡"lIl'ln7.;'lIIi,'III<' gelll!,,,1;1.,,,." /) ,Iel 11111110 oIf1 slls¡lellsiún det j)C~". cnrrr~I''''/IIlicn l(l iI),1 "rd"lI e~t,¡ lirl' s"hre l'~le mismo ."11110 .J I' 1'1 cnrr,,~p(lII¡jiCllle ¡,u-rw gl'nernlí w,l;, " ~e "tJli.·"f' r,¡dlm cnt c por fll,'!q,¡j,·r.1 .JI:' los mél"d"s (''' IHlCitj"s y In rigi.lc1. e ,1.·1 si~ t,'n,.l por la ".qJl'l'sioll, .¡('r"'·II'llhle~,
e, , e,
'
el
;21
di ti"'c;);
e;
La ri¡{idn ,Id s isll·{"a r"" U"'l'xi,'", [ln ra¡'·I", ell s .. rie n mi.\I;, do ~llS {'le1lI{'{llOS c llÍs l ;co~ c(>lIl';eIlO ¡)el¡>rmi nnrln recurr;en,lo ,,1 ",él"do ¡;iglli¡>lIt l', Si los el,·mCIII ..s C I:¡ SI¡co.~ lid .-isleFjg. 2111 m3. de rigidece~ C(S{' lI\len ('11 paralelo (l'sqllelll".~ dil In nI;. 2 18, u y b) enlonces In ri gidl'Z del sisleJl1a sc rá, C = ~C¡, (22 1) :;i ."1' Ul)e" 1'11 seri" (fit:. 21Fi. e).
"-'e,
(222)
y si ljIJ lHl(l1l do maner ll mi.llll ([ig. 2 18, d) do 1111 fonnll f/1l0 pll rlcde l(i.~ de rigidllces C , cst lÍu unidos e n paralelo y lo otr~ parlo d o l,,~ (llc m ell t \~~ do rigidecll!! cí ell ser io, e ntonces 111 rigid ez 10101 d el s islllmll sllrl;, cl (lrncn l o~
(223)
CUllU!!Q se I'rescind e de 111 nl:lsn prop ia de l sisl(lma , l~ frccueucia c irculllr dll ln~ "scilnciolllls libres w (numoro dll oscilaciones IlU 2n seg uud os) , 111 rrec uellcia de llls oscil"cioues N (uúmll rfl de oseilacionc~ ¡¡ur !'Cf(ulldo) y el pe rÍ(lIlo de IUl< o~cilaciollcs T (li oHl¡1O l)Cce~llri" pnr'l r..,diznr un ciclo completo) se de ter miu an pvr los rórmul"s sigll i cllte~:
n) I'H el del
e".~ ...
del mo\' irn ionlu illtertl'lli\'o (d e
'''' ",,~e
y
retroce.~")
I"'.~u,
-~ VI ~ l/f:¡¡ III
1
If, I " ,V/::~:" c=_n ,V/~-¡¡' )I
N=~ VZ
I
(221,)
T =2n siondo
lit
,
=!l.... ]" 6
e =!L g
masa del
pe~"
(J, kgf.s'/crn (el] el siSlf) ,u II SI
/fI
es
111 Illasa !lI1 kg '11le so delermina com]lilníndol" e"" In mus" ,mIrón de , kg; el peso Q eH Ilowloncs, V mg); d~sphl zall1 illntu Hilen ! del Iluuto de ¡oplie;,ciún de! Ileso , corrcspolldicll te 11 la acción e.~l¡Í l icu d~ 1" fuenll Q orient"dll Sl'g,íu I~ s oscilaciones, eH c m(m); rigidez del $¡slema, 011 kgf/&m (N / m ó kN / m);
h) elJ el cus\) d e un mOl'imiclllo IlJt l'rnalil'1J de rO lae ióu,
-- ~'1 '" yt.
N=~
"
1=2:t
V~~ J
(225)
siendo
'm= Jp~ dm - ! Jp'clV 1,1
-
, 1'('80 r.'~p('t l "
"W~(' dd (el! el ~istl:'rna S I
mOnwllto de illercin do i:l
~ >;u
eje de r"lneiúlI kgr'Ctn·s·
'm JpI um = 110 J I)~ dV
kg· m' );
y pes" 110T unidad tic "O]UIIWII tlel ll mllSn fijll Ve n kg r/cm'i Po densidad, ,m,sa I)"r ulli,larl do \'" Iumcn ole V cn kg/m ' (en el siste mA SI): 1) di~lalldn del t']ell ll'lIlv ,1.. v.rlllmcn dV u! eje ole rúlae iólI , en tlll(II1);
e = !!.... rigidez
•
o
~i~tcrnll
.'11 kgr ·cm (N· 'u), d"o!!e M es el
11101111'111" que ;j('llia c~I;;licnmcnlc sollro la sl'teión de susponsión d.,1 p('SfI ell la lI irccl'iún ,1,) las I)8eilnciolIes, 1'11 kgf, c lIl (N, 11') Y
,
, '-"
()
f'O "
fig. 21!1
'J T
lIcl
fig. :.!20
Ejemp lo 119. n i, do: (1 1/; kl{f." = 2 cm. 0, 1 :l (rig. 2 1\). 1)"I{'rrni"nr l. /f"'
rc~ulln
/) =-
.It,
Fi l!' . 22'
1::
¡,, ~ n~cilMilllll'S "'''
'r-g
~.
J.. l, ned,/! ,11'1 e.\' l rClllv lihr.' ,le la ";g'. o,igi!!lulll (11" "'El ~. por lo ' arolo,
2. / 0' l'
~g( 'cn,~
Ej" "'I, lo l i O. Dndo: In = 20 kg, b = 8 cm, 1 = 40 cm, N :!1I (¡!Wi [fs y G = 8· 10' MN! IIl' (fig. 220). Dclcrminllr a. 01(11" N
fI ".w'¡lIriÓ /l.
=.;- V ,e _ 1t
r 1m = 2mb1,
ubtcndN.lJUos,
'"
/m'N'}", = HnoN'mú',
t;
P u!.'!'\" 'JIU.' h, I'igidcl. Ir\) 1" ¡'"rn\ ó, 1;, torsi6n
1.''1
,-
C~(; / lor~G O,14a\
-
0. 14 ~', i ú"
--,-_= 8
0,11\(8;
=
,!
Z
e l ""Hllen t " ,le ¡"erda 11 In l"r~ión do la cUlHlrmln ,I!' lad" a. I'csu[tnr¡í,
{j "
o,¡z 1/ m ,.
JI,
I!'IlC-
. V0~" z, V oIl'N'mb =
U=
U,IM;
.'I. !O./j. l 0·.20 . ü" .1U- ·.I¡l/.J(} 0, 110· 8·10
"
Z
, _
= 1,.)<1- 10
-z
_ = 1,!bcJII.
Ej¡'mp lo ! t l . Dado: Q. 11, /. E e I (fig. 22 1). [}Clcrrni""r "', N Y T. }(e,;ullld611. I' u('slo fllI " .,1 :íngulo tll' gifu del [l l's/, Q nlr"(]"do r ,Iel .'1/ 1 I .. I I "nJ'licu I nciuu ti c I HpUyO ¡z,[uien I o C~ q '"" 3E I ' n rJ ~pcIlnlru 'o
dez ,r.· 111
l",rr:1 reStlll;Jr:"
(.' =~= 3EI . 'p
I
" J", =(1 - a.
g
POf Ifts fórmulllS (2:l5) 1118 osd I!lcioucs,
~c
obtiene para lo frcclI tmcia circ ular dll
para JH rrecUCllc ia dI.' 1:0.':1 osci lnciollcs.
JII
("
[V:JEI K
=211 =2:111
""
Ql
y lia ra el perí odo de las osc ilaciones, t
T =7I{= 21t1l
(11
Eje mplo 122. Dnd o: Q; 1; las caraclerís ti cas D , d y 1I del resorle e l " limero do eS I)ir~ s) , G y q u o la barra AB es nbsolu tamente
011
,
r-"'¡ 6
(!
O
1f=Fe ~"5iif, 1 -.--
f ig. 22/,
I'lg. 223
Fi g. 222
ríg id n e imp l> ud crob lo (rig. 222); determ inar 111 frecuencia circu lllr de Ins I>sc ilacif>llcs W 011 función do la pos ic ión 1101 peso Q, es decir, NI función de la distnnc ia x,
/l esoluci6n, La fu er w qlle t rat;c io na el rosorle es P = Q ~ , El ,II'SI, I:walll ir llto
\' ef ti c~ 1
d(!l IllIn to A,
6" _ 81'D'n _ 8QOI' I, -=-
Gd 4
-
Grf
l'
e l dcsp la7,allli ('" to \' er1icol del jlllnll> C.
,,:c '7
x 8QD 3 lJ c =6"i = G'rf
y In
ff(!Cll('n ti~
c irculllf do las uscilac iolles dd peso, w-
, /g _~ , 1
- V "t -
2Dx
G,
V 2QDIi'
Es t(! pr(¡bl em~ se puedo resolver también IIM ti en do 110 del mo\' imiento de t roslaciólJ, s ino de l lll ov imí e nt,o g ir~,t,ori o .1,,1 peso Q. ElIlolWI'S so (Ohtend r{l, liara el dcs pl¡o z¡om iento angular del peso, 'P =
6í' ;
[tam el Illomemto do rCCIII'(!fa.ciú ll , M "" PI; IIIIT,1
la ri g idoz del
~i s telllll,
M P¡I C _ _ "",_ 'p 5"
'07
pnrll (ll 11\01" ""1... (le illcrlli" dl' In IIII' ~" de l pl'~O r('s peut u nll'j" tll' ro lllci(III,
Q •
J m =~.c-;
g
Ej('rnpJu Ji:!. Dlldo: I",rll I n ~ l"IfT
c! =
C _ Gil 1' , _ (J,n¡f,. ,/, - 321, '
G, /p , = (;~(~, l2 32l.
Pues to 'lile la.~ bnrrllS e,~t¡i!l 1",i,I,,~ e" par"I"I", 1,1 rj gi d ,' ~ 11,, 1 si s tCllI1I ,)scih,"l e ~e Obl",'ulr!í IlOr 1" r';'r"mln (22 1), es de cir,
C=C,+Ca=~ (G,tIt+ Gt~ ). 32
El nW'""lllu de ille rcin ,1.., ni eje de rolllc iúlI N',
I~
rl'~ I','tlv
DI!
' S' ' S· g,.
l.
m,1 S11 ,J,,] disco ciJíll,l ri co
DI1.
Im= -
1,
'l' S'
p dV = _ p2"phdp = ,!n - h go C
Por 1.. I';'rtnlll" (22,S) ¡'"lIaulUs Im:io"cs ,,.,1 di sco
I,~
f' dp= -Jl'(hU _ _' . 32g o Irecue tl da " il'clI1.1r do I;, ,~ usc i-
. I G,tIt + (;2al
h, =
~ VE.. =~ 1/ 1m
D ,
_1,___1,_ . X/¡ g
Ejemplo 12". Dudu: para 1" viga 1"
12• E., F2 Y Q (tig. 22") .
I!.'¡ y 1"
p"r" 1" barr.. .
De terminar T. Re$olucitJ/l. La rigidez de la \' ign se bril des all
e
_ 4BE, / , , - l~
40'
la rigidez de la barril 11 la t racción,
C:= E:F1 ,
"
Corno la vign y la barra estiln uoid ~s en serie, por lB. fórmula (224) o blendrern o~ la rigider. del sistema o!cilnntc, I
e - - - - ---,,----'-----c1. +.!. ---.iL + ~ Cr
C:
48E rJ,
EtFl
Por In rórmuln (224.) se halla el período da In OIlCilacioncs del sist emn,
¡',,,blemlls 9.}t¡-9G5. Doterminar In! mllgnitudes que so indica u cund iciones de los problemlls liara los aistemns OIlCillllLte8. rli reccióu tlo In OlICilllciollcs se indIca por flechas situadas s I lado del /)('80.
en
¡ II~ L~
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I [Mi/¡m' ' 9810'
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c ·~ II'IIgI/t",:
.. OIIc:llatlonee Ilb_ de al5temll!l F~ II
el'~IiOO8
t
tnll5.ll
I"ollla
las ~lIaciolleJ libres de un sistema elástico, la Ulalla di~ tri buidll propia mo del sistema IHlede consider~rse de manen Il IJTO" imadi, dllSpluáudola al puuto de sus pem"ÓIl del Ilt'SO y sumándola con la masa m del pelO. So enliende por mua reducida m. la masll COllcent rada en el pu nto de sUlI penllióu del pesó c uya energía cinética es igual a In energía cinética dol mov im lonto dd si~ lem8 de masa mo. La mognitud de I~ mosa roducida Illl lH·olJOrciollal u la do la lUMa real ud si~loma Y !Se determina ¡Jor la rórmula, (220) m, - ~· .. ·mo.
..,
El coefi c ien te !l e reducción de la ma sa km de pende de 111 ley de "'1rin ción tic los velocidades ¡leI m ovimie nt o de los el!lmen t 08 do la ' " lI$1 /l!Q Y S6 f's l nloJece tl f' la igunldnd de 18~ cUllrgíns cinéticas de j "s uo.,,,irnhlll l"S lI u 111, y IIID qu o IIOS 110\'1I a In Ilxprus ión s ig ui ente,
1 k ,"=n/u
J(,,)' -
v
/)
(227)
dmo.
:
,
k"'= 71
J('i )' dx,
(228)
o
"¡{'lI(lo d.c e l l'Il'lIIC'u l" , 1,· IUII¡;ilud .10 la l s u 1,,,,¡;iI IHI . L;. frccul'ncl;1 circ"I "," (oJ, 1" frl'cl1" " c in r.s\;¡ I ;,~iulI('s li lJn';; dcl ~ i .~ I (",w , 'hi.~li c() "11 CllC'"I ;l In ,,,,,-,,,, I'rul,ia . .~" ulJ li l'II CJI I" ,r 1» l'U 1'1 " ,,,vinoiento ;,Jtcl"lI:l l i\"u.
w~
V
e
m + k ", lII"
lJilrr;. , N Y el pl'rínd o T d ll ln s (' 1 (;"-"0 (¡ " I.! ~\I lOllgn c" In s rúrmIlJ;I ~ ~ i g ''¡(' II Il's :
~ ,rL----,l~ li 1
1
,. (lo +'m -( )
, =.,1
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~' f + km~ m
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, (22Q)
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'1;
r
m
+ 1.',. -" m
V-"- (I +1;," Vo ) ~ - , V'-(I + ,. ", _mo), (1
g
_
_ JI
I!
111
siendo
O=
mg y 00 = moJ( los pesos de la SiSlcUHI,
g
el desplnzn mienlo line/l l
1:) =
d ~1
ma~n
a plicada y del
punto de
~llspensión
del peso, debido n In l,l cció u esta t iCII ~l)brll el ~ i s t cnw do 1:, fue u a Q orienlada segÍln las ol,(;i]¡u;iones, b) en el movimi euto nllcrn nl iv o de ro tación
1
(230)
..Q
_'-.LL.. .1 b)
•
1 f ig. 225
sien¡]o 1m Y 1"", los mOlllclIloS d" illereía dI' In mnsa del PI'!!O m y de 1;1 IIlIlSa dl,1 ~ ¡ ~ l e ma mI) res pecto al cje ,[ 0 rolllciÓ n. Vcnmos nlgunos ejcmpl o.~ dOllllc se considrrc 1" masa propin de Ins bnrrns prismáti cAs , en el l (;~~') d ... las osci laciones libres má s si mples.
Eje m p lo 125 . O.~cil~ci o ncs 10n!litudin~lcs. lJad o: (J, l', F.o, b y E (011 cl sislcnw S I se co nsid('rn d ndn, 111 Ul IlSA d ... 1 peso ni 1' 11 kg. In d(' n s i,l~d do In Iwr ra PI) el! kgl m~. F , a, /; y E, fig . 225, o). Dc t('rnlinar T. Q Reso llU:i6/1. Cunlldu 111 (;;1rga Oncl ÍJll llst¡ilicnmellt(', In relación entre los dCSIllaz ll lll ienlOl' line/llcs (nlargH Ill icntos y acorlllmientos) de dos seceio nes nrbilr1\rins (determinados por Ins coord('lmd3l; x, y X2) Y 11\ ~e<:(;iólI do s o spon ~i ón Ile l pe80, su n re~pecti\' nmenle,
,
~- ~
,
y
De la expresión (228) hallam o~ el coefi cient e de redu cción de la m/lS1l ,
Puesto que los tramos de la barra se unen e n I)aralelo, por la rórrnula (221) h allamo~ la rigidez del sist ema,
C =EF +EF =f:, }' a+b. a /J ab l.... , "'asa propia de l sistoma es
1110
=
L
f'
g
(a
+ o),
y la do l peso,
m=!l( e n el sistema SI mQ=ro}'(tI +b) ].
g
J~
Por 1iI!rI' ~
_ n 7'-2 e" ,,1
fór llllll~
(22\1) ]¡allalllÜS el ]Icriodo de lns oscilaciones
del s isleJl1:l.
Vm+ek.
__ :1 ,IIIQ_,)
~ j~tollla
SI
T = 2n 11'111+10,,,111 0
e
2n
V~. ~ ( I+IIU}' .II+b) , EF a+b
3
111
C(J$QS porliClIlures (se 1IIllllizIlll en el sistema técnico do unidades). Si 01 peso Q so sus]Jendo solJre ¡a barra do lo ngitud a, JJlion tras 'lile la tlo longitud b no l'xisto (Iig. 225, /.1), olllunces, SUIHmi(lIldo
bEF
= O.
"ht('nllrf'nHI~
/<; ,:
C ~- ,
F lIIu = L II.
g
a
~.
Si él ptSO Q descnnsa ~u lm) Ifl ha rrfl do longi l,ud /J, rni(mlrns (]uo la lJarn' tlll ¡""gil,,,1 11 " 0 oxistl' (fig. 22;), el, e ntonces E'F - = 0,
a
c - /:"''-
b '
IIIQ =\'" - b Y 1· = 2n. , / Qb ( g EFg
V -,-
];:jenqJI .. 126 . Oscil/lciones l r;lllsvorsnles. Dado: y 1 (fig-.
), , + \'f'b -,3(1 Q, y, p, /, E
226l.
J)"¡ormi na r T. f{ esoluc¡¿i,l. C"n'Hlo el poso Q actún cst:íUcaUlcn tc, 01
de los parámetros de origen,
6 x
De
[11
= ~(ftf.!!..._!L .r). El 2 2 6
c",,(]ieiún tia sin,ctría de In \'iga se dedu ce.
,~ ~ (~_ 'l!...)~ O (d',) dx x - y El 2 1(i
y
,
:11 0 =Q' -
'1 por lo tonto,
"
6,.--~ 4SE/ (3"'-""') f t" '
b) Q
L __ Fi¡r. 226
Fig. 227
Hallalllos pur IR rórmula (228) el coeficienle de reducció n de la 1D888 de la viga,
m
In
•
•
k"~!' 1 J(6·)'d%~32 J( 3 ",_ , ,,, )' ~!3. 61 fl'35 El peSQ propio do la viga es Q = 'if'l. El periodo da lBS oscilaciones li bres da la ,oiga se obliene de la expresi6n (229)"~~_ _--,,,
...
T~2n V~g (1 + k.2c)~~ Q 4
V~ (1 + 13 'PI). 3El g
35
Q
Eje mpl o 127. Oscil l,ciflnes 10f.'lionaI1:'5. Dado; Q, D , y, el, a,
b y G (Hg . .227, a) . Determiunr T. llesolucl6f1. Duralll.C In Ilcc ión es tática del mom(lIIlo dc rolación ((UC actúa lIobre (n sección dc suspensión del disco, 1115 re lacio nes de los desp lazanlÍenlos Illlgulnres (ángu los do giro) ,lo s()ccio,ws arbitrarias (¡ld() rmin,ul.1 l1 pu,' Ills coordeulldn s'x, y x~) y la sección de s usI'l'n~i(,,\ del di!lc" ~'J!\ n'sp!'eliv Amcnte,
= '1'.•. =
6."
~
6". 'Px. r% '6=-;; =1;
r
a
'p
.
Do acuerd" (\"U la [Mmul" (228) el c"l'[icienlo de reducción de la mnsn tle L, I,, 'rno ~.' r ('
"
k",~ _ ,,+' b [r(,"-)'".,+ J " Jr( ·"/, )'''.',l~ .c.1 .
o • P,U'sLo (jitO los t rllrtlos tle In bnrrn es1án uuidús en IIaralelfl, 1'",. la iórmuln (2.21) haJlarl'1I1os 111 \'ig ido¡ de] sislellln
e=
(;1 ,.
+ (,"{/. =G I /.II + /, = ,,/¡
(1"
+ /,
{;,,/f' ." .32 ah
El 1l1Onwn l n do in('rl"Í1l tle la ma s:. de la h"rrn rilíndri ca r('sllect" " ~" "jp goo",é t.ric<> lIf'ri, n \' 32'; /r(a + b).
1m. =
El momeuto do illl'TCia tle In ma s" del
¡!i~
cilíllllrico do l'('lI"
Q y de (li';"lClro D es, (1
J)~
g
"
1" , = - . -
.
P"r la rúrumla (:!:lO) .
T =:!¡¡
~kn,lm"=:!¡¡ e
V
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I m"l!
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CI/SO porliwll/f. Si
".~<.:il~cio!lcs
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.(I+/')
:r.lr Y 12Q
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.
(fig. 227, b) , culoll<.:\'>' e_Gil'
"
1
_ :r.iI'i'"
m.-
32g 1, 15
, T_2" y'1'(1 + "-~) ~".!!. y'~ (1 + 12QD """'z). GI l' 3 1,.. cf lIGg I'rob lCll lllS 96Ii·970. Determ ina r 10lI I;odicieu \cs dc reduc..:iúlI dc lA musa kM do IlIs "¡ga s, co nsidC.rIlntlo (11111 111 IUlIsn se dcsplnzlI 11 Jo s«ción K.
¡
968
t -" tj' 9~9Clijlfcm
ekgl/&m
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0&
-1 I 11
+ e _I 1
I'rohlc lII lIS 97 1·97:; . Dete r mi nor los l)uiodQS
libre! do los
r
de 111.'1 oscilaciones
si ~ t c !ll ll$.
m
e ¡¡,ro e e~Jffcm
, I
'lO
a
If
m
1m
~
O!ei lAdone!l rOnJIdA' ~In ru"'r ... ~ de rf:!Iistendft
Si las oscilocioues forwdlls
'.
.
,
A =---z=~ 1 _ w•
(232)
g.
'
In f(,rrllula (~02) 60 es el
.
>
'
,~O w, ell\('lIces JI_ O y e l pesu .~i~h·nl" elÍtslico permulleeerá prÍtctica llleu to
,¡IIC d escnnsa .~oUrc el ell repos ... Si Wo
c,,"~idl'rable.
l';" la lom, de 1"l'~I"""lci" , C'WII
Wo "" 1,3,
'"
I,, ~ fuerzas
pertllrha dQT.1S 1'1'1 "ti\'ultlc"l o 1)C(IUcñas pu ede ll originar ddurl
el brazo p = 8 cm rea lhando n = 2 1i0Q r.ll.m. (n g. 228, a). El módulo de elast icidad lo ngitudi nal del ma terilll de la ullrra es E ... 2· 10" kgflC ln'. Determina r la ampli t ud de [as osci [ncioHes fou adn ~ ,Id peso prescindiondo 00 In masa do la b.uTa y tic [ns fuerzas 00 resist
,)
'r-'~1 b)
í ," "
. !
~,
'p
,
.1 ______________ _
.) Pp ·PO·lettW.t
p¡, '~5!'II"'r--' q¡
~p.•
0,
p.
r¿.:;;_
Fil/ . 229
f ig . 228
R esoll/ci6/!. P uest.o que el desp lnznnliento linea l (abrgnmienlo) del ¡Junto dondo se fija el peso. al ad uar estáticamentll la fUf'un Q oricntada según lns oscilnciones, es Ql
,~--=
t.:P
=--~=O.OO.J cm,
obtClHlremOl:!, ]lor In rúrmul.l (2210). la c ioneg libres Inllgit udinHIf's
"' =
~
I 2·10
100·100 G 2·10·1
l~
frcc"e" ci" c ircula r de lns
11'*= -V!J81 . 2 . 10·~1,'¡3~ .
Al I!irnr la cllrga desequilibradn O, npnrf'ce uml f'o
=!l.! ",;',¡, g
n~ci
c uya co mpura'lI te
~nbre
fuer~a
In línea do
la~
Cl," trífll ga
o}.O;e ilnc io ne5
cons tituye Ulln Iuen:, IJf'rtur]¡",I"ra Hf rnóniCIl (lig. 228. 11) I' p = -= Po sen "'o t que origina oscilaciones lurzadas. La velocidad angu lar dll rotac ión de l IleSO Q, es al mis ril O tlemJlo lA frecuencia. circular de las O-'!Cilaciones fOf zadas y es igual 11
wQ=~= 11·2400 ~25 1 ..!.., 30
P = Qr o g
'18
s
30
El ,'alor rn,ixirno de 111 fuerw
Iler~url)l!dorn
w~p = 2,25 1 .8 ~ 1030 2
981
es, kgl.
El alllrgll mi lln t o de In barra, orien tado segú n Ins oscilaciones y originado [Jor la acción estáti cn de la fuona Po cs,
'.~
1 030·100 ::::; OO', . ,,_ cm.
Po! EF
2·10",1
Como III cocf icic u tc de ll\llllonL,) do [liS oscilncioll/'s que se obtie ne
por la rórlrlllln (233) es 1
~
251 2 :=::1
w~ -
1,47.
- 1,<\3~
W'
]" IImplit"d de las oscilaciones fO t 1.aclas del sisle!On será,
A =
~be
= 1.'17-0,052
~
0,08
CIIl .
].:" In mitad del din te l ,101 pór li co rC ]Jresenta d o ,'ti ,(¡ so encuen t ra nll motor cl&trico lIQ IJIHsa m = lJU kg. Ln pnr tc dl'~cqlljli¡'rmla del molor l'stá consti t uida IJor un peso conccll trHllo do lllllsa m, = t, kg ' Ille girn cO Il un brazo r ... l¡ cm n lrcdl'do1" del oj.. ,Iel motor ['lIciendo n = 1 500 r.ll. m.
Determina r la lIU1plitud de 1n~ oscilntiollcs fonll,lns ,Icl pórlico 1 cm . el m"mento ,le iU(>TCi:, de In sección lrll nS\'HSIII ,Iel diul!!1 y ,lo Ins cr,luulIlns es I = '¡ OO crn~ y E = 2· 10" " IN/m". I'resciutlnso del peso propio de l portico.
~i!
U"8olllcioll. 1.,11 Fucrl:! de grllvl'dnd .11'1 !lIntor l' lcctrico y su pa rle desequilihfndn l'~ Q = mg = 91,0 N: (J, = m,g = 38,2 N. L~ ... rl'ncciollos loorlw lll:,ll's eu los apoyos del pOrti~.o nrigina das I)(J" In :!cció" esl~1ifn del pe~o Q Sel o h lienl' u ]lor ]:! rórnlll ln (200)
del 111 {'em,ción cnnóuicn del mólodo de
,
11I~ fllerzns
X, = _ 0,'1' . Co mo
"
EIO'f'=-2 í k,xzd71=- Qt'
•,
El o,,=2
2
y
J
.?{d.r,+2fl=%l',
•
resulln
X , = Qt·3 2.8,03
e~l!l li ca
=~Q=~DI¡O=lIr, 1ü
N.
lü
sU5pcu.~ióu de l pe~o Q or igiund a por SlI se obliclIl' por el ",6lnd o de In fuer7.A lI!1i ta r ia
Ln flecha del pUlIto d e nccióu
2
•
= 0,857 · 10-' 111 = U,857 ·IO-~ CII!. I,n frcclIPllfÍa circulor .111 li'" osc i l" cio oes lil>f(~s del pórtico res ult a.
, r¡ :\1
~ir;,r
.'[
,/
".S I
V t= V 0,857. 10- 1
w= pc~o
:\38....!....
O, :'llnrccc In fll('l7." cC lllrHu¡:.•
dcscl[uilibr .. du
1'0 = III" I~!.{) Cll yH cO lllponente soLro In ,lircccitÍn de las oscil"ci,,"P~
(fi g. 229, b) cvus l ituyo UllrI fucr zn !,erl',rhad"rfl HrmÓlliclI I' r = 1'0 se u ~) o l 'lile cn llsa oscilacio ll lJs forz aolns de fnlc ll ellc ia circular.
wo=~ = ¡¡;· I 500 ='1 5i ~ :{():lO
s
El valur m:íx imo de In fUt'n,' pcrl ur h;ulürn sed 1'0 '" 1o·1 57~·;'· 1O -~ = :1 !)!,O N. ¡';st" fucrll', ¡'pli ea dll \l~ t¡ili c;)m c ltlc, origina ell la d e l diul CI In Ik-d a s iguient e :
= ~. Pof =
fj
n
!}1,
El
¡ ·3D/¡Q·t
!.!ü.2.1O" .I¡(IO. IO- s
~cccfón
=3,7. 10- <
IIlcdjll
111 .
C<) I1,,' d (I,eficiculo ,It' '''''tlClll o d(' ¡;os osciln ci"llcs es
la :l11'1,lil,II,1 ,Il' ¡\
=
~<'i.
In~ osc il.~c illn f.''¡ rllrza.t;l~ ,1,·) ~i~l{,n\n scni 1.28·3.7 · 1U- 1 ". 7· 10- ' tn = O.U-'.7 cm.
I' .., b lcma !l7ti. Dcl,'T, n; ... "r e l t"'lIIer" ,le t'I'\'o luci"ttl's /' 0 <1,-1 nwlo .. ('lile Itlll.'
1,.
."
I'roblem a 977. Determinar la a mplitud A de la! oscilado nea del émbolo del indicador de la máquina de vapor que se mueve si n fricción en el ci lindro de di1irnetro D si la pr('~ i ón (Iue IIctilll ~Ob r8 el émbnlo \'lIríll segim In ley P~
- Pm
+ Posen lÜot.
Prob lellllis 97&-980. Dcter lll inar lns amp litudes A (le llls osciladones forzndn s de l o~ sislemns. En los problelllllS 078 y 979 consid ÓI'1!!!e lAmbién 111 masa de las \-igll:<.
Omo/.,.·
-S,fllgf
-;-...,
I'roblcma 98 1. El IJUn! .. de SUSIJCnsióll del n.,¡orte helicoidlll Te;.lil" un mo\'imicnto nrmóni co o;;ellntorio de IIcul' rd.) n la ccuación "" p= lUscn20t. Dl' lermin:lT l~ IImp litud JI do IlIs oscilncioncs f"r7.~do~ (Ie l peso y In~ lC1l.', ioues ,1I1I ;;miCII ~ mlll td s i el ,liI¡metro de 1,] espi rA del re.",rl e l'S D = I D cm , el ti i,; mct ro de l nlH mll re de l r,,~(¡Tte , rI = 1 cm, el 11I'''''l'rO de ("); Ilin.s 11 25)' (,' "" M· I O' kg r/clll·.
lli
d' /,4Icm
,1-,.
M,
la
CI'6íkm
Co6'IOskJI/cmZ M~·'OOQY!fII/IAjf·tm
A- ?
ma~rtf . ?
Oete.",inMi6n de tas
ten5¡O~
)'
rál~ulo
4r- I de la
1"Q¡~en .. ¡~
El desl']¡,lHmie"lo ¡,·.JUl'raIiMUlo .liu¡'imico 6. de
1111 1!Ulllo cun l' Iuier" del sist.e "ln en un 1lI""l1lll lo t arb ilrn.;n de l movimie nlO O!lC ihllorio cons ta dc l ,11!~ pl!ltnl1li ell lo gel1(' rnli7.ndo COII:;lanl(' 6, quo en rre~ l ll)lI(le 111 tip o do dd"rIlI1H:iÓII quo s urRO dura lite el ¡Iroce.'o uscil11lorio j)ero 'lile es debido 11 In IlCciÓII estática IIl' l poso Q y dol peso propjo ,1,,1 ~i~te ma , y del desplnza mi l'lI l o gellc.nliwdo \'nTinblo
421
originado por la carga perlurbllaorll 1'" = I'o~ell (~ ot, ('s dl'{;ir,
(23t,)
Ód
En el caso de sislen ,a~ lim;o:,lcs, de llliln('fll ;lll;iloga, ¡;e delerlUi":,,, IlItnbiell las l ell~iollCs dilli,micns g('ner;oIjzadu~ Pd (Od o Td) en 1m; puntos de Jos elemelll us del sis t.cmo. 1::S decir, J'~ = p-l I\po ."etl '~ ol, (235) siendu {J li' (elisio" gCllera1iwda (o o t) c"rrcspulldicnle al tillu do derUfnlllCioll 'lile lIlIrgu dUrl!lIlll las ,,~cilaciuJles, p,'ru "rigill" do por 1" acción eslatica del peso (1 y del !lCSU prupiu dl)l Sisll'llI:' y Po. In tensión gelll'r;,liwda de bida" la uccióu I'st,ílicn de 1:, fuerZll Im;xi",,, ¡Jerl ur]¡:,dur" I'u. Los ,·,olures e.\lremu" de l:,~ tensioncs apllr('CI'11 ,]urilull' las dc'" viacim'es 1I,,¡ .~imil.~ dcl siSleu,," de la !¡"siciuu d ... 1 C'luilibriv "~I,ític'l
y
F,g. 230
""'1 (:¿;¡(j)
P uesto qllc dlll'llulc lil~ "scilnci,,,,l's las lCII~iOl,l)s ,·"ría" p('riódicamellt c (fig. 230). (lll el CIlSU do pr"cesos dll ¡¡,rg;' dllrlldón, ('1 calculo de In r('sis10nci~ de sjstc"';'~ IIscil"nll's dl'bl'ni nm!i1.nrso por los mé todos e~ta¡'l(lcidu~ pnra IUl! c¿¡lcul'ls dI) C
aiendo
,
60
,
A
ko! = J+~ -= I+
(238)
el coeficiculc dinámico de [ns oscilaciollcs, la tcns ión dinám ica generalizada máxima !iCrlÍ, (239) La cOlld icióll de rl'si stonciu se pude;¡ plantear en 1" fOfma aiguiollto, ltlUX Pd = pk d " " Ipl (240)
p
~ [;J ,
(24 t )
<,
sie ndo IIJl la tensión gcrH.'TnHndfl ndlu isible (101 Ó ITI). Ej em]Jlu 130. En 1/\ scccj{,1I lIledia do ulla vigA do i'!Cceión rec la nguiar F ... bxl, ,,,, 12 x I cm' de IOllgi tutl ¡ _ t m se encuontra un Ill ut or eléctri co que ¡lesn Q = 20 kgf. La parle dcsequililJrada (IlH' giTn e~tá constituida Ilor un peso concentrado Q, "" t kgf ubicado l'obrc el t'je dol motor a UIl/\ distancia ]1 = 4 cm (fig. 231,11) . a) Dctcrmiuar 01 número do revoluciulIl'~ por minuto 11 pflrll (IIIC 111
...o;::
f
I{,'~'
IClIsióu lI"rmnl IIubima ¡>II la >' ig:o ;olc~UICl' el vlllor 1rl~J[ Od = _ 2 UUO kgf/clll~. El pe~o do l.~ uniol"d ,1" \,OIUlll('1I del IlUlt('rinl ~ ,le 1" \'iJ:"H es V - 8 gflcrn~. cl mO1""
dulo tic elasticidad 1:.' - 2· 10' kgr/cm l ,
longi tudinal
1 ~ ~
~ 1 _ -1 1p
.
~
- J... r o) 1& ._-' ~t p,. p, .stI!Co>.t l
h
Col
__ .~_
II csofur/611. El p{'so prvJli" de la viga,
1'11f·
Q~ =- Vf'l
~I
8· 10-'· 12· 1·1 ()1 !J,G kgl. El mvmenlo do inercia ,lo la scccionlrnlls\"l'rsn l tle In ,·ig;' r~~pecl o ni eje neutro y el mutl,,!o do la ~CciÓII so •• rr.' pcetl\"nn.elllr, bh' _ ...::..:...".,.1 I? I bh-z ___ 12· 1 =2 en,.• 1_-cm ', 1V _ 12 12 ij ij \)Ur.1lLt,~ la acei"u esl ol icll d!) la rllcr~a llo"c~'lItr;,da (J y do In disl ribllidn Qa lIOLrc 1;, "igll, llO ICllsión lIofll):,1 m (, ~ima (J,u .. y 111 rlechll IInixim" O"'U Sl'r;in,
(J,nu _
M'''OI =IV
-Ql1, + -001 8 IV
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+~= max(J~= 2000 "",/;,<\5,
la ;'11'1'1;111,1 ;"IJl I¡ ~i hl (' .ti
lino" x (J","~ 3 10 In s ":",,ci l nriu'I':s 1"(' slIltnni
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=5,45 ·0.27 = 1,47 en,.
o"',,.
DLIr;,ul l' la a,,~ióu ('~l;itica ~ "I¡ro 1" vi!:;! ,1" 1,1 fUI'rlo" c,'llc<'!,lr'u1a (1. t, fl,'eI,:. ti ... ~'Il ""H ,;Ilcc¡¡m clIntltuie !"" :situa d!! 11 In rli;¡lllllc ia .1: ,Id "I'''Y'' ¡~. qll¡t'rd". y In ¡!L·dla ti ." , Jól 'uit".! ,l e In I' i gll srr;,n I'l'SJlCC1 j \';1
me",,'
,
QP 20· C ¡Oe 6 ~ -' -8-" -' = "¡"8".C2 .""~O.'.Cl
11Ia~1I ,h~
y eJ .;"l'ficic'llc 0I {' I'.. tlu cci'" ' d e J;l (:!3&), !'oH:;
km =
1;, ,-íg;1 ,
~l'gltn
's" (~)~ dz = ~l'S " (;¡-=_ lo ~)~ J.x = lll
2 /6
•
24
•
cm,
In 1''''lIlIIln
'17 .
35
In r" !"Iuul" (2:!!J) ."e "tJtillllCl la rrt!cllt'lIciil circu lar tll' la", "~cilaci,,",'~ lilJn's do In \' ig:,: 1),-
., (
!)81. 21i.
1
[;
1+ -17 .-U, li
c',m" C"u,;ecucnci<1 ,!<:,I d ... ;..c(\ui!ih "¡" ¡(¡>I d cs¡, rrull;¡ 1" fllcrzH cenlríf" g.:1 J'o
tical (rig. 23 1, /1) J' p = 1'0
S~Hl
~ (o.@) g
"",,61.8
35 2u I'~ so.' (t, '¡lIt'
I /~ .
Ili ,·~ .
"'"
clIyr. cOl1qwlIe"h' \"l'r-
"'o t t's "un fllenll JIl'rlurl¡n'¡" fi'
Ilrmónicn 'jllO or ig irlll osc il llCiollllS furznolll~ ,Ill 1" vigo; ' , I\quí ,"o -
;:;
es 111 fr(!{;ullllci" c i rCllI~r dll In flll'ru, p" rlllrlwd" r n JJ" . el '11lvr máximo de eSln flle l7.lI. CUlIlIllo la fl'('nn P o ftC\iJ ~ esL',licllmclIl¡; 111 i1cthn m[,xi ,u;, de In "¡gll rl'sulln
60 = 424
I'of = t,8 /~' 1
Q,¡3p 1.8E l g
~)~ =
t . JOB./¡ h)g = ~ CJI). "S·2·JOa • t ·!)S I 2/\ ·!)81
De 111 fórmu la (232) se ded uce, z liJ. _ 61,8'. % -O 102 1iJ~ 1,1.7 ( ' ) -" 2 , 24.98 1 1 _~ 2. ·98161,8• -liJoZ - ' 61 8-ffi 2 61,8
.
de dOlllle se obtieno
Así, pu('s, el número¡ de revolucionos por minu to e n cues ti ón C9,
30
30·58.6
•
•
n =-(~o= --- :::::;560
r.p.Ol.
Prnb lemas 982· 98.1 . Dct cnnill ll T IlIs tC1l 5i""e~ dinámica s maxi111 .. 5 ('11 los s i ~ hHIIH~ s umetidos ~ o~. jI (\cioncs fur zl,,!Hs. E l !leso (lo l·~ t a incluido en (J.
m n, ·¡Oilrp¡n.
(J"ZiJOk f
:[N'IU
~
,
'm - -
w. - llJr; M,- 200fH!I'·om
ma' ''J " ?
G' 8·r01ilj1Icml;
(I7~· '¡:a '· ?
§ :r. TIIIJla ct o El
1('11111110) 11 0
\,['I'l\'id,,1I1o'5 de
illlpnclo (){;\l rT\l C1Jalldo vnríHII 1)I'II~CilI1\ Ullt t' las cuer pos, d I! los si¡;tcnws " de ~ II ~ ¡mrtes . {lile
l,,~
Cl ll l'n n 1'11 con t1l ct ",
Analiz:ucmos sula rnl' n\.1l ¡"S casüs Itl lís simples dc choquo ,h: n" c ne rp u en mov imien t o con otro iumó\'iI, O CUII 1110 sistl'ma illm"vil , y ud "li l.irll l!lus In s suposiciones ¡¡iIP,icu l.cs: 1. E l c llerp o fi lie goll)('a l'S absn lutameute rígi do . 2. E l cne rpo g"l l'efulo li ell e IIn grad o de libe rlad y sus ,I " sp l[l~ a mi c II I ()~ gol'II c r"I ;1.,,,I,,s ¡¡OIII I'fi"'l'o rcio llall's a IlIs fuer7." '; gellcfDli7.adas COl"r e~ lJOlHlien l el!. l nnlu ell 1,1 ('"su de occ;"" es l ~ ti c a como e lO el de ntc iún dinámic3. 3. El choque no es e lá ~t i cu (se c" 'I ~ illcrn que dllr;lIlte el cho'llle 11 0 so SelJa ri,n los cuerpos (Iue en t.f"ll ell conlacln). mient ras 'llIe las Ilf·rnrn ", ci "nl'~ g"llrral rs ,Irl curr!!o go lpen \lo ¡¡uf( clüsli cns .
l •• El oS]lecto do la deformación del c uerpo go l¡Jeado ('S idónti co a l d e In ,1l'forlllllción originada por In ,l cción es táli cn do la fuena !,'Oneralizn do cor respoudionto , npli co d a ('u e l lu gar dondo ocu rre el illlpu cl<> y el! 11' d irCl::c ión do tÍslo. ¡,. L" 1'('lncidnd de l cuerpo qU fl go lpen es poqueñl' eu compnnHl i{m COI' la \'e lacida,1 de IJfOpagación de llls olidas d e choque y el tieUlpo qlle ,IUJ'iI e l illlllncto es has ta"te lIIi1yor IIUO el necesario para '1"0 Iils onda s ,lo c hOl]ue so prOI"'g ucn por lod o el \'olullll'u del Clll'fpO goIIJe",t". Admitic,,, lo ('s l as su pos icioues, los (>SfU('fZOS t!i ",i", icos genCTIIliwdu.s I'd, las 10llSio ll('s Pd y los deS IJIIL7.lI rnioulús 6d d el c uer]J(' It"O 5I1f r,' ()! gol jle pu ed en se r ob t enida s, de ma nor a II prox imu.lu. por las Ión""I¡¡s s igu ient es :
Pd =kdP, } (2/12) Pd =k~p, 6d = kdó. Eu estas formulllS P, P y lo cor res llO nd cll 1\ lo ¡¡cción "st
C
kd= l + l ! t+ v! .
1:6 1
+ _. / I + t1aC .
JI
Qg
I = 1+ + k ,. Q.Q
j +k",~
= 1
Q
l' +_.
I
", ~ O
.
U ' +1.:
(24 3)
siend o ó -
e 1.:,"
Q
e
e l desplazomionto
line:¡l de l punto d o impacto
cl.Il!lIdo ac t úa e~l¡jticl!mcnte el peso Q en In direcc ió u del golpe; la rigidez del cllerpo (11.Ie 5e go l¡JOa y que cürresponde ni tip o dado d e Sil de forma ción; coe(¡cientc d e rcduccivn de la ma~a del cuerpo gfJl peado al pUl1lo d ou do ocurro el impaclo, Que se o b, iene pOf el mism o procedimie nlo qu o CII e l caso de las osc il nc ilJne~i
QV: .... ¡., Cirhí t;cll tl cl 1I1(' \' ;'lliculu ,le! [''''s o Q en el 2g .. ,,,.,. .,' ill ~l "Il(¡'
" ,
riel ¡1JI1",,,t,,:
Q6
f,ot'-lIdn) dll la
se guIpen, ,-51" 1;(,, dd I)('SO (J. ('''''1'1'''
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De]" rúrm ula (21.3) ~l' oI (' oI" cl) qu e c ua,,! " IIln y vr :tca I~ ri~jdrz ,1,·1 <';\"-"1'" 'I'w se !i.,lpl''', ¡""lu "wy,'r~cr!, In magniln,¡ ,Id c"ericic lI 1(' ,Ii ,n'lI" ic" e",,,, oI ,, la nU'ga ~)!
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",''',dio'ml"
1027
Cunud(l el ¡I!'SO propio do l cuerpo golpendo!!s muy gr~nde (Qo(0), K" _ 2. 1\1l el c~~" del irnp~c l () horizou lal 1" oXllr('~i':'n (2/,3) deben" ser su~ l illlidn por 1(\ rórrnul", _
1
(248)
En E'~ll' cnso, ni prescindir de In maSH lito] ClIl'TIIO (JI'" Tl'~ibll el im¡Jltcto nlllllenlu la reser\'n de resistencia incluso ~i kd se Ilcl!!rlllin
, ,
!I.
t' ''''0 reS¡H'clO H I,,~ ejl's ,le to lncióll, El cú!elll0 por tesi~ l ellcin "'11 l·1 i"'pncLo se reolizn por lns fórl\1 ulm¡ eSlnblecidns ¡HIt" el cnso d(~ soHci lllCiúlI est átic;:¡, L¡. cond ición de fe~islencill puode t'scribi rsc a~í. m{l .~ Pd = ~'dl'mox IPdl, (21,9)
11,'
I,,~ mn~ll~ 1m
-<
sie nd u mnx Pd lo lensi':' .. dirHimicll gellefa!izntla II,;Íxima; I'mu 1.1 tellSi61\ gener" li uldll máximn cotrcspo nJiollle a In ncción es tú1 iCII de l peso (); IPdl In le nsióll din,irnic;¡ gl'nernlizodll ndmi,~ibl() el)rresIlondiente, En los ci,lculos pn\cticos 90 ,¡elle considerar IIUO tlurnn le la solicilllCiólI por impAc to el CU!!f]IO lie nde;¡ destruirse de IlIllllera frági l, d vpendierulo on nllo grado es ta prO¡liednd del ('oHleoido y de la estruclura de l ,"aleria l del sólido, do In ,'!!Iocidlld de su licHncióu, do In lernp<, ralurll y do 111 conc()l1tración de lag tClIsione,~,
En l o~ problemn~ (I"C Rnalitarnos so s u pone que est os fac to res rundnrnl'ntnles qlle influyen sobre la resistencia dllrnnle e l im pact o, se 11Iln cousidcl'!Hjo nI escoger lu~ le ll ~iolles a dmis i hles. 4 cm; /, = 20 c m : F, ... Ejc lIl lllo 131. Dlldo: m = 10 kg; It = 2 CIII'; I~ !jO cm: = 1, cm": E, 1:.', = 2 x 10· ~ I N / m:( f ig. 232. 11). Se prescinde dc1 llcSO prop io GI dc las bnrrns. Delrtmillar Ud" U~. y I)d. Reso/m:ión. C¡¡ ICll1amOll cl peso del;;ól ido (Iue goll)CIl,
"'2
Q = mg = 'IO·9,81 = 98,1 N. P"csto que las barrns do rigidcces
/:'F
_...::.....=. ~e ulle" I'n p;H~, lclo, p"r
/,
I l:"n"~
In rigide1. de l
e, .s
1" fórmula (221) hll·
~ i slcmn,
EF, EF2 ,, ( F, 2 )~ e = e,+ C' l=-+-~' -1, + "'1, 1, 1
=
2.10"
e'
1
4
10-
0,20
+ t, O,liO . 10-
4 )
= t,
·Ioa
1\/111.
T l'ui(,lId" ,'n elle"l " ' 1"1.' ,\1 Itl'gar e l i"'pHc l",. In "elocidml tlel pesu (J {[IIO cno lihrellHmto d t, la ullu rH f¡ es 110 = V2gli, nhll'lltlrC11l'1S,
'""/,,,0'. , """ ;J2.G· 10.
'"/OC-e'"' -·'C'O"C nS, 1
E~ln
.!i"'"nicn
mngnilud ('9 \lltl grru"lo <[ 110 e l c(,crkienl c ~o IHlede "hlen('r p"r la form "I" (247).
e,,,,,., durilnl c la III'C;OIl l'~I;íLica ¡Jel peso Q 1'1 dl'Spln1.;l'lIic"IO del ,JUIII') de su (I,JIiCI,eion es oS "Srll"T7.0~
IVlIgilndinales en lns SeccioneS
Q _ N,
1\
~
C -~ =c;-.
IrnJls\· r"s,,[¡'.~
dI'
lu~
'"" v.o
I",r ra s
scrúlI.
N,=!1.... C, =_Q_ y N.=!1....C,~_Q_
e
1+ e~ e,
- e
e '
1 +2
e,
~29
lns
IJns tcnsiones lI ormal c.'l d ill lÍ micas en lns ~cccioncs transversa les de Imrrn~ resultan,
od,=!!..!..kd=k,j f,
(1+"'2/' Q ) =571 2.10- 41(
F
F,I~
I
98, 1 4 1,,10-, 0,20 ) 2.10- 4 DAD = I 'ÍO.IO~ .\'/ 111 1 = 1/,0 l\1J\" /l1l l .
+
\l8.1
410- ' ( 1 + 2·10 <,(J'!'O)
571=
'¡.1O- 1 u.20
=/U· IO· N/¡n2=/O ~rN / m·.
El oI{'.. pl~zMnicnto diuumico del punto de illlpflclo
, CIlSO~
"=cQk
I O . 9,8 1 ~_ 1 1 ' 10- ' 4. 108 ", ,::::: ,'1"
d=
10 =
S{'r;;.
00 1' . <.
CIII.
Jlnrliclllarrs.
1) Si C 2 = O (rig. 232. b), (',llouec.'! FF
?
10" 0,20
C=C,=~=----.O.02
1,
1.:" =
V
2hC, = (J
.. /·~2-,C •.~I~ O=" .~2C.~IO~' ~ 4.102; V' \l8.1
Q !lB, 1 z o, =-~·d=--· <, ,,', 2.10- 1 4. 1 (j~200·10e N/m R::200 MN/ 1I12; li¡ = .!:{kd = 98. 1 .1o.10'~2.1O-4 111::>:::0.02 cm. o e 2.10&
e,
o (Iig. 232. el, culouc('s I::F2 2· 10"·4·10- ' C=C 2 = - - = =2 · 10' N/ m; kd=4·lO z; /2 0,'10
2) Si
Q 01 =10·9,8 O"d =-1.-- - .14 . 1O" :::::;_ · 1O· NI' 111 '
1'1
1,
= '00 _
lld=!Lkd =2.1O-' nI=2.JO- 2 cm .
e
EjCllllllo 132. Dado: Q = lo kgf; h = lo cm; dus resorles de ¡lRSO j)cqueiio de características: O "" 2 cm: d = O,li cm, n = 1, espiras,
".
G = 8·
t O~
kgr/cm 1 y u na \' igfl de cara.cteríst icas: 1 = 40 cm,
(l ...
= 3 cm, b = i cm y E = 2· 10" kgf/crn' (rig. 233). So prt'scilldll do los pesos de los T('!ln rleS y de la vigll.
Determi na r mllx
(Jd
IlI3X
Td f'U
en la VigA y
el
Tl'sortc,
despInza miento
lid.
del p\luto do impact o. Ilesoluciv". Como los reso rlCS do ri gideces
el
=
sc;;,:¡ es tán \luidos 011
PIlTnlclo
" SEI ----¡;r-
. J .• J y J1I "Ig., (e Tlgu el. ,. 2
Fig. 233
so
uno
n ellos en ¡;¡·ric. In rigidc~. dl'] sistcmn so cll lc utH~ por In fórm ula (223) cnrrl'Spolldicnlc nI caso de unión mixta de los I'lcmentos, 1
e
----,-co-,------'-=~~~ ~
/j·8·" . li1 · ¡(f· 12 8 ·[01 2.')G·IO- 1 + 'i8.2. ¡(f .3 .¡ ~ hal l .lmo~
1'Ilr 1;, r(¡r!Hula (2105) .. /
11 2 kg r/c llI .
el coeficiento llinám ico •
'!./IC
2·/, ·11 2
.. /
.
""<1= 1+ V 1+ -= 1+ V ' + - -- :=:,;Hi. PUI's tO
']IU!
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0,1,
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" pnra el cocrlc i(>1I1e do nu,ncntn ,lo la!!
h'"sio"es l'U el rl's.-.rtr- C01!lO c(oll.O('cueuri~ de 111 cun'lIl"rll t!(' In espi r.1, oblcmln'llllls k=
"
-
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LM lellsiolles Sf'r,in.
. I.-~ Ú' + 0'('¡ 5= ~+O. ' ''::::::1.3 1. D <\ 5 1
-0.2.-'
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'¡iw;n¡ic.'~ Ill:;~irnns
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max T~ = k~kd:::::: '1,31 1W
1,·<\·2 n.lVi ·I O
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l o~
rCS0rL,'S y ,'u In \" i gQ l
• I G ~ 3 ViO kgf/c Ul ;
Ql <\ IV
I, ·<\O·{¡ • 1 280 kgr1cm-. <\·;-1· 1 El desp l"?",nic"to dinámico del pun to .Ie illlJl(lct" S('f'·'. !Il a J¡a,,= --k,,=--- I G~
&d = -Q k~ = - '.
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11 2
I G ~ 0,5i 1'11' .
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l' III'~ ' " ' IUl' ,'11 In ,_l'cciun d"nd c ~I) u"lie," t:I Jl nr 1' ~ Il'ri"r de rll .. rl"~. (,1 l¡'!Ter ,-se" 1" " de 1" h:lTra se 11 110 C.." los ul r,,~ dos <'11 pr,mlc-JI), In r il: idl'l ' " l nl dl' , ,,da I ~ barra ill li' rjlrelu d a CUI no 1111 si~ t l'm:l dl' d .. · llll' ul,O/I UIl;tI ....~ ,." fla r:t lelo, .'fI°roi
' e¡ = e- " .... +e a- ---+ + GI -- ~ 1 l t - +-Ct +G/- I e, G/ p,
p,
,
p,
~"-I ( ~ + ~ + I,. ) ~ O, ' ''-l ( ...!... +I . .!. . I ¡I,
ti,
I /"
=O.1 2,8.lif ( 20
.."
+.r.)-
~
, + ') ::::: .12'Jv 1 l A' + 1.2' I
kgf/crn.
La IInergía cinéUca del cuerpo quo golpea, en el momonto del illlpflcto, será,
T= Qr..i=Qh kgf .cm.
2,
El ángulo de giro esl:itico de la sección donde se aplica el par do ¡uenas do momento M = Qp, será
M
Qp
e
e
20 ·4 3290
8
.~ - =-=--~-
329
!ad.
La energía Ilotencinl de la ueformación elástica en la torsión estática es,
Como la TeladólI
es pC'lueña, el coeficiente dinámicose IUlllflní ¡lOr 111 rórmulfl (210(1)
El ¡íngulo ele gi ro clin:,micu tic h~ sección de In barra, dendo se (l lllica el mome nto exterior uriginado por el peso quo eno, será 'Pd = ~kd =
8·7,5 32(J R: 0,18'_ rad.
y el desplazamien to lincal din:imico del
pll~O
Q,
/l o!: = P(ld = 0,182· 10 = 0,73 cm.
El momen to reac t ivo en el ctllpot rnmie nt o ucrcc],r. de 111 barra, dllbido a la ll lll icadón csHltica del ¡lIIt ex t erio r de IlH.l']lOlil o M = = Qp resul t a, GI p > l
8 2,8.10'. 0.1
Md.c=q:CI=(JI--~ - ·
1':1 mome nto reactivo M .. = JI! n-BI~
1l1l
329
20
R:
3
4 kgf ,ctll .
el empot ra mien t o izquierdo tic lA bllrrA.
""de. =
20· /¡ - 3/. = /¡G kgf,clll,
y la.'! tl'lIsiOIlIJ~ l!1uglJucinlm! ViglIS, IlIlU T"
¡\f 11 ,
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M,I~t , 31, _ ~ = - - ' ,.·(!:=::; - - I .• ':=::; I 2:10 kgrlcm".
0,2 ·1
Eje uIIIJ" 1:\". lJ adn: 111 = I kg. ,'o = 2 cm, 1
eu Ins I1'alll01l de las
M" , I,li 7 ,a~V"'" 0:'1" =-- "'d~ ---~ 'IV", 0.2· 1/¡
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2·10"
(rig. :!:I.í). El
illllmcl o VII di rigid" lo"ri7")I,I;oI,,,~,,ll·. Sil pr ..sc ind Cl ,1,,1 p,'su pfo;opiu dI' 1;, hann. Dcl er",¡,,!>r ""' .~ (J". nlll~ '[",I~ y ,\¡. Ifesolllci,ín . C.dc"I:"" .. ~ el JU'~" c.. ,'n!! I""'m dicHle el In Jl1a~a /11: (1 = mI[ 9JH X. Co'''''' el sj~llJma 1'~la sOIlH"lid" nI ¡"'pMI" ole la I1l!1~a m ¡¡Ul' ,~l' 1Il1l{'\"IJ 1",rizolll¡dn"·IIII'. "1 cudiric"le ,lil'1;I"ic" SI' dcloer" 11eleI"II, il,n,' p',r la rúrnlllla (21,8)· lIlIsliluyentl" In 'W1;:lIillld /'-",ln a po r la ",n~iI 1111' l'.'! dl'cir,
-'-O
JI/" r:t-·
1 (lJ.!·I + /II,·
"d =
'"
I'lIe~t~) que ~'I ¡J(·spln1.n mi euln lI"ri'''<>1I1,,1 d~1 JlIIIII" de CIl()(III(", origin;uj" pur la túl"S¡ÚII dlJ Jo IHlI"I"" '""rticóll pOI' Ja fuerza Q 11"1' ac t úa ,,~L;íticHn'éIl1o y lJuo \';\ d¡r¡gid" scg(m J¡¡ '¡ ¡fI'CC¡ÚU ,lel in'pncto,
Ml
Qt'
GI"
GI"
Óo~ffJl=--'~ -- .
el sislelllll golpeado se pUCll o interprl'lu r cumu un ~¡Hlou ' ;' con uJliú"
en serie del elemc uto flcxadú lo ori1.
Ic",Qij Q
r~,u~h'e
por
l'fC
en el
Icmlllil -¡;¡--.
C~
!lsC~ma
(;~"
;3H I
dc~p J;, l,;' -
.
SI. eH la fórmula
(21,8) d~b"
(22~) h a ll ~n]f)s
P or la fó r lO lIln
C- - I- 1 ] -f
1
111 ri g icl ez dI) t od o e l
s i .~ l em/l,
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-+- + -(;J /, e, C z :IE I GI ,. 8 · 1O'" . O,I _U,021 ~I '-I'~ I ' -,·O /" ~ lO· 10' N/m.
._1
,_, '
P" rn d cndi ciClI l 1' d i,,¡im ito se ubl icne,
CUllndo lo f uerw () ;o¡,1\I:l <,sl:;1 ¡en me lO te 1'11 la d irflcc iún de l impa ct n _ In \t' lI sió n 1l0TIll;1 ! lIHixi llHl (J,,, .. e n la lla n a hOfÍ'l.o nln l, In !(' lI sión t :lI,g" " cil\ [ m uxilll;1 T mn ('j , 111 IHl rrn vertí c,, 1 y el df'sp lll1." ", iunt o li neal Ó dd l'"" h, tlll ello'1 11o .~{' ..,ill n's]Jecli\'ll nlc u tc ,
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1'.16 .1 0' n,lS l ·!I,1"J 1
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I U"~(I'1 = 5 I.lj·5=2.'")R i\I N/ u,".
", :IX T,I = ;,1.10·2':' Ej<' m/,/u 1;J;1. = 1:1 gflcnr'. f
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1'''I);IC['' l" ng-itlld i llil L 2 111 . ,.. = 1, C1 II ', /;' (ng. 23h),
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:¡, I!i cm.
D:III,,: (,1 = I:! kgL Y .,... 2· 10" kg r/c lll', I(ld] =
Detl'fll1inar h, cons i d~rnndo li! lI1a~a ole l;! lwrrn y pr(>sc ind;endo de ella, /1i-soluri6f1. Cumo en el (".18(, "UHIHlo l¡! cnrgll (1 !le l (1;< e~(:¡t ien mOlllc,
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:::::: 3 1,'-> cm.
Si se prc!:!Cillde de Ja lUasa de la llarr,l,
kd =500=
fl= v'2ht:F= V 2h.2.101·I,=Hhlh <)e
y IlOr lo tanlo h = 2;:;
CII1,
del pesu propin de la bnrra,
pe ligrosa: oJc coíd!\ del
Il o~o
lo que !Ju i.'rl' decir que, al Jlr<'~eiIHJir ~e reduTO I'J "" lur .It! la "llufa no
OH
3 1,5_25 • 100 31,5 4>'
9·2 ·11f
Ql
' 1"" , .
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Ejcm lJlo 136. Choqul" tranS\'l'rsal. Dado: h = 5 cm, ! .,. I m, 1 = 2 000 crn~. IV = 200 cm!, 00 = 25 kgf, f.' 2· 10' kgf/cm' y rO'~1 = [ 200 kgIlcrn 1 (fig. 237), Dl"tcrminnr D cOlIs;¡ll"rnndo la masa de In l' igH y prc&:indicndu de ella. f{ellOluci6l1, Cuand ... 01 IJC~O O ac tita cst¡iliCllnl<'nte, la flecha d,,1 extremo lihr(l d(l la
Q/' \'ign );t'rH 6 = 3EI ; In flecha de IHHI
Fi¡¡-, 237
~ecc;ón
nrhitrnrill ,le la vign, silunda n la dislnllcill x de l em[lOlnl[nienlo, ]Jor In fónllula del 0'610<10 de los llaramelros dc orib'Cn,
Por lo tanlo, ,,1 c(){'fic;cutc de reducció n de I¡l conccntrarl¡, CI! el plinto ue ehoque resultnn;
'J' (')' i
km=¡
Vi
fi.t' = ,
"
Illa~a
de [a viga al
'J' (3"21' -2i' " )JZ= ¡40 33
.
y 1'1 COl'fiticUl(l din{lIlJic
, d=
+
2"3/:,'/
+QT'
I 33
O.
'+ -140 -Q
Por olra ]l1lr!P, (lOIllO el pl"SO Q ni nClunr cn la liga la le,,~i ón lu;;'xinw 1I0rllll,l,
Ql
Q, IOO
IV
200
es t ;; li cam~nlo
origina
Q 2 kgf/c rn , 2
(JmOI=--~--=-
p[
cncficien le dilH;lIIicn
~cn¡ segÍlII
la fórmula (24!)j
1,37
P or lo [,miO,
de dOlld\!
~e
21000
Q
= I
+ .,V/ I -:-
12· 10' Q + ti 6
13QI - (j· IO"Q - 3t.i· Hr- = O, obtleno
Q=!... (3.l\f± -v'9 . 1O' +3ij.IOZ)~ 3 ±
3.7 10', 13
13
DI) c~tas ,Ivs
fuícc~ ~ú l v
oua
s¡¡(i~fa(le I~s
cu ndic iollcs del pro b!eul
Prcsc indiclldo d c lu IlWSll obtclldrell1os,
2·400
Q=
Y 2,'¡.3t'1
--¡¡¡r-
y, por lo In"lo. 1,8 kgL Así, no
s i ~e prescindo de 1" nms" de la v iga, cn l onc('s el pell O d
plll'S.
{lcli gr,,~o
5" '8 ....::....=...! 1 00~8%.
52
Ej('rnl,r'j Ilí. l 'IIpllc1.o !ors i"ulIlIl(', El pl'SI) (J = 3 kgf gira s(J!Jru el brH7.Il (, = S CIII alrede d or del ejl' horf1.un(¡. I;( con ,'cJoc id,u! IIlIg lI 1m cons\¡¡n\u
1))0
y e\\l)cn
COl) \"
I", .. te ~obn.'SH!ic n te d e 1" Iwrra citirul riCl1 de longitud l 40 cm y cll' d ¡,¡melro d = (j cm (fig. 238). Dcterm iuar el niullcro adrnis i lit o de revoluciones n del peso Q fig. 238 IlOf 1l1inuto, si el IICSO do lo uni111111 ~ [e \'OJunH.!U del mutllf inl d e 8 gl/c m", el mó,[ulu del ¡[esliza llli llulO G = lo barru ,~s y "'" 8 . 10S kgf/cJI1' Y la ten sión.l. adnlisililu lungt'llch¡1 ITd l -=
_ 400 kgf/clll'.
lleso luc161! . Cuandu III ro rgn Q !lctón esllÍticlItlllllltu soliro la barra en ésta surg(lJl las tensiOrH'8 tange nciales m:¡ .~iIlIRS siguic nt ~s. Tm ••
'"
Q¡)
Qp
3·8
5
IV"
O.2J"
O,2·ü
!)
= -- ~ - - ~ --3 = -
2
kgr/c,,' .
El coeficiente d iruirnico rCl'lulta,
kd _ ITd l = 400·9 _ 720.
S
T mu
CU II '" 01 mUmllnL(, de ine rcia de In eje dc ru tac ión es l 1.. = -Q (1
g
_
m a.S!1
del
¡¡CIIO
Q respec to a l
3·64 .2 _ _ :::::: 0,2 kg[ ·cm·II . !.lB1
el momen lo de ¡lIareill de la masa de la ba rra , 1
n '1' .. / ", =_·_al::::::O, I 8.10_ _ ·(j• ·40~ O,042 • 32 g !.IB I
01 cocficicnl o do reducció n li t) la Jll IISII de In bnfrn (véaso el ejempl o 127), k m
....
I T,
lo cncrllin cinó t ica del moyj mi(lll lo gi rll tor io del
I",W:
r-
f - 2 - ::::: O,1w¡I kg·cm,
y 111 energía JlQlll llcial¡11J In deFurm llci6n eJásticn e n la torsío" de la lJ urrn nI II cllla r 01 pes" cl! l&ticnlllcnlc, \).(;1,. ,;0 I Q"p'[ U~---~ . - !)· --I ~ k!lr CIIl , 2G/ 2 8 ·' O' ·0, 1· 6
,
¡w r In rór mula (243) hnll llfCItlO!l e l coofi cic l1l e di n{¡m ico,
kd _ I+·,/ I +.!..... U
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1 + 0, 1.00: .9. 111 ::::: I 0,012
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I\~í, !lUl'~, :d pl'l'sci",lir do la 1IH1"" de la Iwr ra, el UílllHJrO aJlllis ible de ro\'oluc io ll t's .:ld Ileso qllo gu l¡Jl''' se redileO 1'11
240-230 V.O . 100 ~ '" ' /U · Prob le m as 9811-100:1. Uotcrmillar las ",aglli tudcs iuJic:¡¡las 011 h~ cOllll icioncs do lus pro Llcllla.~ IHlra lus si ~tc n HlS c[¡is t icQS sO lllot i¡J os
al illll'lIcIO. PI"l'.'lC íudasc d el !:o maS,l pr"pi n d n I r,~ elclIllllllos dc lus s i.~llllllas. 1::11 1"" prohlc,",,~ quo so reslle l\'C II ~ " [oru,,, gllllllnll el codicillllto dillrrm ic" so dC!¡l't{, cu klllur por h, rúnllul" np m ximndn,
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" roblema 100Ii. J)erno~t rD r 11"0 pora las borras indk ndll~. Ins t OIl~iones dimími cas llIax im ns, nblenidu prescindiendo do In mll,lI do la "iga, no depend en de la lIIanera de /lpeyo y de la magnitud a. Co nsidérese que h :> 6.
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Prub lema 1005. Dclerm illar a lIara (I"e 111 Il)n~¡ón max Ud sea mini,no . l'rescínd nse de 1M 1II11!IB do las \'¡gl' ~ y collll¡dérc~o que h oS. ¡' rob lema 1006. De termina r la 10 1l1lio" mil): Td en 01 ojo tille gi ra co n la ve locidad a ll gu lnr !tl y qUIl SO llorl o el v" IHulo de Ill Olnento
>
do ¡llereiA do la ma811 1.. , cuando SIl pllrll 01 ojo brusca ment e: a) en un solo cojinete; b) 011 10ll do' ~.oii ll c lcs s imultánca mcutc.
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Pro blema 1007 . Dllter m inar max 1"4 en Cll árbol de l lI istema t ra nsm isor CUl\ nd o fre nn súbitamente el ext remo de l úr bol en el cojinete A. ¡'ro blemnll 1008-10 11. Determinar las magnitudes ind icada s en las co ndici o nes dll los pro blemnll pafa los lIistemns some tidos al im pacto. Co nsidéll'ge el peso propio de lodos nqne ll os elCllllen loll Ilue Jo tienen indica do. Ténganse en cuenta IlIs observacio nes hec has en los pro ble mas 984-1003.
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I'ro bJellll' ltlJ 2 . II ClIoh·cr el proiJlemn 093 c"u~i, lt'n" Hlo la infl ue nc ia de la mnsa do 111 vigll. S" ¡Il"¡ n cs (Jo. I'ro hle mll IOI :\. l)c lerrnill(lT mllx Td l'U el ¡¡ rlwl. originmj" ¡)(Ir e l i m¡)(Hll o torsioullulo que surge 111 co ncc t nr si.bil ¡. mentc el embrngue lite. Ellte embrllgue co uecta el s istemll en movim iento girnt orio do In pllrte derech" dol arb ol con 111 IlnrLo iZI¡uicrda inmóv il. Pro blemll 10110. De terrni n;u· y couqwmr IlIs le nsin ues ad,' a d,/" a~11I eu 1 ~l s lJil rro1S 1, 1/, 1/1, que S\l r~,,1Jn d\lr~Hl te vI cll<..11I"Q do l mism o ¡lI!SO Q 'tue cne de '" IIÚS lI ll' altura h = 10 cm. 41,3
~,
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XV. TENSIONES A LTEHNAIJAS E" I.'sll' CII "íllulo se 1I,l/lJiun las tellsionell (Iue "lid:... )l(l riódiC;8lOente dllmnlc un ¡"rgo lllp!!O de ti ClllpO. El tonjnu\u de \'/llore5 eOllsecuti\'O!! de las lellsion... s alternadas lInraulc UI1 ciclo ~c denomina ciclo de las lelis/onn. CUllud u ~"bre el ~':'lido ncl¡ian si~len¡¡'l ti cu lllf'lIt e tellsiones alle rIIn dlls. ell los Jugl. rcs de lIu¡ximll co ncclllrnciúlI de Ins IOIl.'~ioJlell Im/Hlon nparClwr griotns (IUO conducen n In destrucción fr{lgll del lIÓlido. El Ilroccsu do .'Iurgirnionlo y dcsó,rrollo do las grial".'! on el nla lerin l del lIulillo, origi uado por 1119 leusio nes ¡¡llernndas 1i0 don e.mirm Jaliga del malfrirJl.
LII resis tenci a del malerinl n las te nsiones Alternadas se denomina reside/Ida Ihl mtllerlal Q la jatiga, Las tensiones máximas de variacl6n periódica (Itle 01 mAteria l puede re~istir indefinidamente .'!O denomin A límite de re'¡"mc/a a la fatiga. Ge nera lm ente SIl clI!cu l¡, el limite CO llvencionol ele t('l!illte ncia 8. la ra ti g1l basándose on un número limitndo do ciclos, por e jllmplo, en 01 ca80 do los meto les fl!f roSOS (5 -;.- 10). 10" ciclos, en 01 caso de metales no ferrOMs, (50 -;.- 100) ·10' ciclos, etC. El ciclo .'!O cafacleriu por el coeficiente do 1Isimetrl1l r que se obtione como 111 rra cci6n a lgebraica
r-~ P ...n
.
('50)
siendo P...n (a .. u y Tm.... ) Y Pmln (alllIO y t",IG) los tensiones máx imas y mínimas de l ciclo. La mag n itud p =P",.. +P"'I"
...
•
2
(251 )
se den omina tensión media del ciclo y (252) amplitud dd ciclo. El limite do res istenci a a la fa ti ga os p, =p:;'.. =p~
+ p~,
(253)
s iendo p:;"" P~ y p~ ¡¡, tons ión mlÍxima, la t ensión media y l a amplitud dol ciclo correspondiente a l caso cuando 01 malorial trabaja on su lím ito do res islencia a iII fati ga.
,
p
•
•
J ~~ _ __ L 'f/!"'fJII
Pmu,!
Pm,., ;
,
L'...j" I I
f'tI1N9 dd QCW
Pmu1
J
P""p r,1'tn
I'ig. 239
,-
l';I:' 2~O
• p
PmaT,
- flrmpo
'.
i" Fil: .
-,
p..u,
.1 Fig. 2~2
2~ t
Si e l ciclo es si mótrico (rig. 239), entonces
P mu = - Pmln;
p ", '" O;
r = - 1;
P. = P_I·
Cunudo el ci clo es do signo COllst,a ut e pus il,i\'(> y asi mc tr ico (fi g. 240), P",u >0; rml .. >0; O < r < 1Cuando el ciclo es asimétri co y de signo olterll
Pm . ' >0;
Pmln < O; - 1 < r
Cuando el ciclu es de pulsación (lig. 2/.2 ), Pmu>O; Pmln=O;
Pruu P", = P~= -2-'
r =O; P, = Po'
§ J. ,,'a cto/'es lJj'-/nc ;lwlel( (jI/ e -I/I/fuyen sobre /1/. ·/'eilistellc-itl. {(el 'II j.!/.f el"iul n I n C~ rácter
fa.Nu,,·
del cicl o y ti po de deformaci6n
1';11 el ca~o do 1111 cid" simétrico 01 límite de resis tenc ia n la ratiga dol Ulnlcrinl (ella" "" las "trlls cur"lici,lUl's son illeut iclIs) IHl quiero su vlII"r ",illill"'. El limit o de f('sistcllcin 11 la rlltiga CII el ciclo 5i mótric" /1- , (0_, Ú T_,) so 110ll' rlllil\:I por 111 c ur\"n (rig. 2ti3) que so
p 1r9'/"'''I1
"
, -~
P'~ l
a
.. ,
; ti",
NI""".,..d< nclos}
con~tr"ye p"r l os IIntos oXl'c rim Cnló,les. Pnrn ul l", c n In I,nrto derec ha do 1" CI\.\"n . nlli dondo!!\l COllvie r te en hori7.0ntl1 l, se traza Unn UHlgn1l t e a la curVIl. L Il ordUllada quo determina osta Itlngcute SI.! ;1(1.1Ii 10 como limito convencioual de r e.~i.~ Lo.)rI c i l\ II la fólt igll. Su hall cstablecidl, IlIs siguil'ntcs rcl¡.ci"ncs al'roxilll,ulas e utro I()s li,"i lf's de re~islu,,,.:iól n I n fntign c n la flexión ~j mélri cu, 0_,; ell la tracc icJlI _ cOIO ])rosiólI ~¡m étri c"s O_llra~ Y tJII la I.uts.ió" simétrico T _ I por UlIól pnrte y el límite
0 _1"'"'
(0,4 -7- 0,6) Or; T _ , "'"'
("1_1 ,rae"'"'
(0,4 -7- 0, i)
para el hiurro fllmlic!o, 0"_, (O,ti -;- 0,5) 0,;
(0,7...;- 0,8)
° _,;
O _ ,;
T_,:::::: (0,7 -;- O,!)) 0"_,;
para los metales no rerrosos 0_1 "'"'
(0,25 -;- 0,5) u r ·
En el CRSO do (111 ciclo asinuilrico, 01 límite do rc~istencin a la fati gn ¡lUodo ob tenerse por In cun';1 uXj)(:rimo ntal de l;l~ nmll Htlldes li mites, C!lll~lru id " e~, el sis temA do coordl'w,dAS p,", Pd (rig. 21i1i). En n le parágrafo &>1" Ml da ell11a l ~ri"l occti!8rio para ....""'her 1011 problema. que ligtlran en el líbro .
.,
Se ('Iltimu!r por Pr. ('11 111 H¡::urll, 1'\ límite de resis tencia del lIu' (I'rinl, corrl.'Spomtwlllc ,,1 til''' dI) ,Ic{¡¡rmnci{m ltnllu del ~ó¡¡ <1o. P alio el c",.rid cu ll' de i,silllt' lríUII {' 1 cido r la
,w' jJ nitlll l ol e l¡r ~
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tlt· ridus) (fil!'. 2",-,).
'1" '''1.[1 "<1,, la lallgclIl,· "" la p" l"I e e.x lm",,, d,' rcth" .1(. 1.1 ""rvll S" ]'1'1l ('] .. j,> .1 .. H>ú rd e",,'¡a8. <,1 IÍlllilc (" ""-'>lIc; ... ",, 1 n 1" Inl;;.:a (T _1 ;::::i 232 I\ I N/ m'. Ej"ml, l" tI!). I)"d" Ip l~ (,J "",L.. ri"J t·~ 'Wpra ür. :L Jos \'" Iurl's
('~I;d .l ,·{',·"" ,~. ,lo· rc~ i~ l "''''i a
":\p.· rill'('III"ll·~
01" 0, = :¡.'l,S k¡:f ' onm!, 0_,
=- 18.;' I,d/ " " ,,' Y d ..
I n~ ""'jtli(,,,k~ l i,,,i( ..·~ 01(· 1 dd u o~ t'"r l'l'~ I)(}"d i " lI h's n JII~ (l'II ~ i,,, ..·~ " ,c'¡i ,,~
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17,:,
110
30 11.:0
Delermina r l1o , ~ ' /l tsolm:ión , Por l,,~ dutos eXIJe ri nll',,1.ale~ construinlOs la c urva de 11IS 1I11111litudes limites cn I' } sis\.unw de e')(Irdcuadlls 11m - l1a (Fir:, 240), COIII O dlíllúlo do rC5i stuuoia a In faligH '1110 ~o tI!llcf!lIina COI'!'('SpOlldo al c iclo 1.simlÍ\rico tic coofi c i\!fll U d" ns iul clría r = U,25, n'sulta
"= -:.:0""2,,,' tgp, - :-1 +0,25
Trozam o.~
por ,,1 or igou dn l¡¡~ cuonlCllmho¡ 1;, rct;\" iuclin;lIla O ~ = :U rC'«I)(!clo 111 oje (1 m' LaS r,llorll.'uadns ,]('1 ¡mu lo de i llll~rsccdvlI do oS lo mela cml In cuna do h~ IImll lil mll's limih'~ ~IlII, o':.;,%> .<:::< 22,5 kgf/mm 2 y o~~ .<:::< 13 kgl/mm 2, y 01 lílllilu de
n'~¡5t e llein
l1o,~=I1::;:!> C.m~ntr8ción
o la fa Liga qlle se bllsca,
+ o ~':' .<:::< 22,5 + 13 =
35,5 kgf/mm2,
de knsion ...
Se entioudo por Cfmctmlración de ¡ellsioues tl l aume ntu IOCfl I de 108 (elisiones en la~ ]lroximi,la dt's dol foco de conc~nlraci61l (es decir , allí donde tiene lugar un a variA ción loca l de 111 configurl1ci6n del sólid o, en forllla de agujeros, surcos, ratlura~, ar istas hucca~, cha fl anes c6ncavos, e tc, ). L ~ razon \lnlre ta lell~i6n lOCAl mftxinll' PI (0"1 6 ti) y 1I1 Ilominal p (11 o t) en la ~ecc¡ón ,lehiti ladn \lor el f\J~o do conce ntr acion (pero obte nida sin considerar lH COnceU1rl1ci6n), que corresponde a In carga estática y qu e se determina ~ upotliendo qne el nmt er ial es absolutame nt e homogéneo, is6tro]Ju y l'}is ti co, S{l denomina coefi ciente teórico de concentración de tmaiones, (l._PI,
a,
,, )
(25<1) ( (l.O=~yaf=-; . P El cooficionte (l. > 1 refleja sO]¡llII cn lo la influoucin do la co nfigu r/lc ión geométrica del foco do Ilonct'ntración sohre la magnitud de la tt'lIsi6n mftxinla locfll. En el caso do tensiones alteruadns sc.inlroduce tarnhi cu el cu ncepto de coeficiente efecliL'o de cOllcen/ració n de tensiones,
Cl..= P-1 _._, (eto.=. Cl..=. ' P_I ,
11_1
y
,
0" _ 1
T_I)
(255)
T_ 1
quo es la rol a.ci 6n del Hm ite de resistencia a 1" fat iga en el ciclo rcsi,~tenc¡ a a la [atig,1 de ot ra prob6t a de las mismas dimo nsiones pero con un foco de conce nlfll cióu P ~.,
simétrico de una probeta lisa p _ 1 allimHe de
'"
El coeficiente CXe reUejo no solamente la infl uencia de la COll rigur:lciün ~eomélricn sobre e l "alor del limite de resis tencin a la fnlig~, sino lambh;n la inrluencia del mnterinl de la Ilrobeta.
Lu rll7.On. ct
_1
e q- -a _ 1
(250)
se !Icnomina cveJiciell/tl de k llsilJilidad c/d ma/I'r ial a la conunlrue/ón dI' Il'Iui!!IIt'6. O -<: (/ l. En el cnso de l hierro fundido '/ ... 0, en el ,je los II ceros para c"n~truccionl'S'/ _ 0,6..;- O,1;j (e ~ \'alor me nor !le feriero a los acerO!! do resislencin nwd il' ye l UUI)·or. a los nccrOll dc nlla resistenc ia) y l!1I l'i tic los acer!!s dI'
<
o. :;:,. 130
k ¡; fh n u,~ ,
'1 ~ 1;
(en 1'1 n pcutlice.j, en la fit:llrH 1 ~Il tlll el ¡;rMico do los ,·"Iorl'>! npro,~ i , u; ...I,,~ 11" '1 Iwrn l!l llI""ro en (uneion ,le o, y aa li ill co n~idl'r"f Jo inflw' uc in ,lO! JI';! d;Ill\'''''iol1e~ de I,,¡; solidos). Como (/ d"pon.le lombi" .. ,IQ la forma y dim ensiones dl·1 ,;úlido e n lo¡; ca lculos Jlr;;clÍl' os ('~ lilas ,
(257)
(cu ~' I Il lui ll,l ico ;1, ,'u In fi,!!!)flo :! ~l' do ... 1 ¡.:r;;fko tl l' lo~ \'ll l" rt'" 01 01:,. e u fu uO'Ív lI 01(' D 1"Oril I v.~ I' r('r,,~ ;1 1 cflrho uo )' n "·,,, ILL~. o·u lo~ en_ do ,Iift' rent ...!! tr;I I ;, ,,, ¡.· ,,I,,~ ole las l' uIK'rficit'lI olt' las I'r.,l",t;, ~. Es lo I(niric., 11111',10 em l, lt·l'r."'· para ,,"n ,¡ ... I,·r rninud'UI l' l, r.,.~ irn lldll do l'~ Inut o 1'11 ... 1 I'''~O .te fle xitill romo l' n ,,1 tl e tOI·.O;'''')' S i ,.J "oefi cicIII O "fl,<: lill) d" conccntroci"u d o Ic n ~¡on e~ so o l>l io l1 o d(' 1 din grn",,, ,¡ UI' clIn.qidl'rl' InrnbitÍlI ,.] r"dor tlo ":!.nt:., l'lIlouce~ 11 0 hny llCCc~id1ll1 d,· in t roducir en los c;i1cuI Ul! currocc ioll n lgUlli1 quo co " ~id,,ro la~ I l illll!,,~ion(')j eI!)1 só lido. U- II ~
'"
EAlado d.e la
"'perllc~
La influencia del ost ado de la superficie del sólido sobre ellimilo de re~i~tencia a la fatiga se cOD~idera , introduciendo el cot:/lcltnle de R1Ulbllidad !u.p«//cla.l, t. < t, que es la relaci6n dellímito de rl'5ill10llcio o lo fatiga do un a probeta con el 08 todo dado de su 9uper(¡cio (p _,), ni de otra ¡lrobo ta igual, pero de 8u¡Jerlicie pulida p _l . (p-,) ,
'.~-- .
p- ,
(258)
(on la fi gura 3 del apán dice 5 se da e. on función de o, parll l o~ di 5_ lilltOll estados de la superficie de las probetas). El elocto do consolidación del ba tid o (endurecimiento por deformación en frío) de la supe rfi cie, de l temple de lo superficie. do In CCn1entllción. de la nil ruro ció n y de otros factores tecnológicos Stl evalúa por el coeficiente ~, que so obtioue de 109 rnllnullle9 cOJ'r(>~pO!l_ diefltell y (IUO so in troduco como fnctor del coeficiente 1':••
§
2.
Cf, lc l¡(o ,fe le' r es i s l encú, en ('1, C(lSO tI#J 1111 (' ,,' m/o ', CllI~;Q'/wl Mu enl y ¡[#JI d es N i:flU/;e u/ o p lt 'ro ( l ul'l
So supone que al variar In ca rga , no vllrío el carácter dd ('stado le nslonnl en el ¡Hlnto dol s61ido que so onalil3 y (lije los l·iclo.~ ,It! las \'Il rinciones de las tell5iones permallocoll semejantes (r "Oll ~t ). I~" 01 ca~o de un ciclo similrico do Ins tonsiones oh('rn:,,!~.,. el codicionle de segu ridnd so eslnbloce por lo magnitud d(J1 lílllilo úo r<'sisteneia Il lo fnti!!'o do In pietll. Lo influencia de los f;l('tOll'(''' eSCllcinlc.!! (concellt ración de tensiones, fa ctores de ost..1.la y ('st;"I(> do In superricio) sobro 11' resistencia 11 la fatigll do la pi"zll so 1'11,,01(' IIprecinr por el eoefici onle general
-.
'dl~ ,_-_o
(25!l)
Por lo tanlo. 01 coeficiente do se~ufidlld eO Il que Ifabnjn la pieza en 01 ciclo simétrico se pueúe evalunr por 1" expresión siguiente,
ep_,
P_.
n~--.
(260)
Ilendo Pmu 1~ tensión m:i .~i Pn;1 (nomina l) ('11 In pieza. LII cOlldicion do resistenci" !!("r.; ,·"t""('I'-".
I'", .• ~
~
1('_.1
(21 ;{ )
y ltl nw¡;nilud de 111 h'usi"n ¡-"Imi,'ihle.
rp-, )= f{lIn-_,l .
(2G2)
siendo [nI el coeficiente do seguridad adm i1Jible (recomendable). En e l callO de UD cIclo asimétrico de "ariaci6n de las tensiones, cuyo coeficiento do asimetrín es r
(ó t g JI
= :
~~)
el coeficiente
de segnriuad por fa liga puedo determinarse por el diagrama simplifi· cado de tus amplitudes límites quo se constru ye por el limite de rc!) i sll~ ll c ia a la fntiga P~I correspondie nte a l cicl o simétrico y por el limite de rotura (resistencia) p, parn lfl tracción estática (fig. 247). P,
D
,-1----".
M
A
P, Fig. 247
Si el ciclo de trnblljo se c¡¡ru clcri7.¡I el! esto dingr"llI" por el punto
e y el cido lími te semejante a é~le. por el punto D, enl onces el codk,irn le dc S<'guridAd p or res is tencia se determina gróficll.rnon te OIJ ' o alla J •ItlclUllente. • pOI' ]a ru ]nCI·6 n 11 = OC
(263)
El! 1,1 (''' F.O de tcnsiollcs alt('rn¡¡d as do a mplitud pCqUCÜII, puede 0('111'1'; 1' 'I " f) u1 r8tado limite del material plástico se dotermino no p nr 1;. f,,¡ig" , ~ illo por la rlut'l! cia (Iromo EM del diag rom») ye nl onces
el rodit"il'JJlc de
s~ g\H·jdlld
se ol.tendrá por
n¡=....!!.!.-=
p¡
~I
límite de fluencill (2M)
Pm+Pa Al r0 1l1rroh~r 1 ~ r c ~ i ~ t('ll c ia se rccomiollllo compnrnr In~ mngnitu· dr ~ ( 1(' l o~ rur fici(, lll('s {le sl'gm itl¡ul , ol!lrJtid~s por 1<15 f'¡rnt\.lns (2t¡;I) ~' (:.'f;l,) ~. nd' uiti,' 1.1 'M nu!' <1 .. ,·I];>s. El coo ficienfl" de ~,'g uri dnd ndn,ilitl u drlJ(' ~rr no ;"r"'-;or ,, 1 :Hl mis;Ll p . n ... la fórlllula (2ü3). iguul:... do /J "" [n I, 11m ' lp m[ y Po = [Pal, ~c oLticllo 1,1 Jl1:lS uilUd Pmu
de la tensión ad mi sible correospomlil'lIto al ciclo as imétrico Ip,j.
[1',1 _ _ _-,'",[1'= , )[",1'IL-----;:(l_r)(p]+( 1 +r)[{1
(265)
d E!..
p, Ipl (101 u [TI). 111 lCIISiúlI "dlllisilJlu II:lra 11. Ln condiriun d,) r~.oi~lcnc i " ~l·r¡,.
~icHdo
p, ...
fI ...
+
P.
-< Ip, l.
(2tiG)
('ara mayor ~in' I Jlifjc"riun ,1 ... lo.'! dlc lll o.~ y l"'nI f:""r('('l'r ul coeficiente ,1,.. .'I<'gll rhl u, l, S(\ 1",,·,11.' ""'I,Io';,r ,,1 ,Iiagrama n>ctiFiclulo de las h'n s io"l'~ u tl"' ¡.~i1,I,·~ 01,· Zodt'rI>I,.. rg (fig. Vi8),
Po
r ¡l:. 2\8
Segun este
,¡¡~gr(\ma.
e l codiciente do seguridad sed, (267)
}' [n magu itud de la ICl1!1ión
adil,j ~ j ('le ,
2fplfp- d r) [fll
+ (1 + r) [1'- 1J
(2GB)
Ejemp lo IIiO. L ~ b~rrn de.'!CCciólI circll lnr dudiámetrod "" 1,0 Inm y de superficie csmarilnda es do III:(' ro CT. 1, pura el clla l, 0, 480 M N/ms y o _, ~ 200 Mfo; / m". Determinar el coeficiente dc l!4.'guridAd /1 , con quo trahnja ht barril sometid a a la rluxión a ltcrllad~ seg un un ciclo !linuílr ico, si Mmu = - M m 1n = 640 N·m. lt~luci6/1. Lal! l ellsi one~ má .~ima }' rnlllirna del ciclo son,
u",•• _
."
-
Al,....
U m.... S3--;:::;
IV
{ViO ,
0, 1 ·4·1 0
.=
10' IN/ m' = 100 '" IN/ 111 ' .
Del A'rMieo de In fi g ura 2 dc l II péndiee 5, pa ra la ba rril do secció n circular do dialllclro d = líO mm, do Hecro al cnriJono y de supe rfiei,) ('s ltIe r i[¡,tlu ('1 rador do esca la es ee = 0,8U. Pur la fúrll ,,, l,, (260) ~e o!J l icllIl para el coefi cienle tlo .'>I!gur id ad,
e ..G _1 ~O,8(; . 200;::; 1,7. 0mn 100
11 =
Ejem p lo I/¡ I . Lu LJnrrn l'sc~ I O " lH la de ~ecc i ')n cfrcuh'f D = 80 mlll y d = líO mili (rig. ViO) C~ pit ra el cUlO l 0, = 1 000 ~IN / m' y O_ur8e =
di{"ndro~ del aCl"'O IíOX,
du
200 ,\ IN / m'. E ro l't c hHfI:i n cunCDvo. ~
=
0,2. 1.,10 s uper-
fi ei" tl e 1:. b" rrn 1'~1,¡ ",i"urjo~um(' ,,1 1l Nu"oriln ¡[n . DCIl'rt(1illnr l'1 "¡,l"r 1I1'·I.\;mu ,l.· 1" c" rgH IOx ia l III1.crIHHIIl J'",., q ue var ía s(' g" " .,1 ciclo simél r iro. I' i ~Il {jui" r" gn rauliwr 1111
oh! i"IIl',
I'"ra
r
J
= u.~.
Im ra
l't "CI)ro
d.,
Fij¡:.
2~'J
o, =
1 000 ,\ ¡XIi ,,", ;"11''"1'01", ,,10. 1') ~()cFie ic() te .'Tutti,,!> rll' C"u~('n ' r" c ió n d,' I (, ,,~io,,('~ «. 1,7. Eu l'1 cn~" ,1(· "', "s nwr¡ l"tlu ",i""c i o.~o, f • ... !. L" I,.. , ~i ún n d rni~ihll' sC' I"ÍJ,
IO - "
'~O
el ,irl'" mí"inw ,1,· 1"
0'-1 , r;,"
2!iO 1,8 ·1 ,7
J =---~--- ~
!tlJa.
~('("c i úu
82
l\¡ N/m ~,
do In I, ... rr;o ,
,
F =¡¡rr =n.4 ;::; 12,G cm'. y la fUHl.ll
",{, .~i,,,a
d
,u i,,] "lll·n, m la. ¡ O~ OOQ:'>l" = 103 kN. ,"tr IJol do sl'cciú n circulnr tlo ¡[¡"melr o nI .. "rLJono, 1"'1"" ,·l !;,n,] 0] , ""' (iD kgflm m',
Fij! . :!:.'iO ltIi" uc ¡ o~"n l('ull' "~ I ,,('ri)lt(ln
' ¡clte "JI n¡;u jcro ci r cu h,r , ']1H) lo a lr,,\· it·~;o. ,le diáu ,..tro a ... ]U mm y ~e l:!o"'elu'" l~ l or~ión nlto rtl nda de ciclo ~imé(.Tico (;0" ,,,;IX /11 1 "" - min 111 , = = 90 kgl· m (fig. 250). Y de SU I't'rf il'i o
1,53
Determinar el coeficien te de seguridad con que trabnja el ñrbol. R~so luci6n, Admitimos que a proximadame nte _t = O,li 0< Y
°
't
_1
= 0,50 _1 = 0 ,2,60 = 12 kgf/mm",
Del grúfico de la figura 5 del apóndice 5, para el
~ICcrú
,le
(1<
""
-= 60 kgf/mm' Sil obtiene el coeficiente efectivo de COllcc"trat;ilÍn d e tensiones que considera ya la influencia de las dimens iollcs lutas del árbol ele "" 1, 77,
Hb~o
El módulo de la sección ell la torsión de ulla secció" ci rculnr , debilitada IJor e l agujero ; = 0,2 segón los da t os de los rn¡\JHHtles os,
W, = Cuando
~c t ú~
~~ 0,81. :>::: 20,6 cm",
muo M, = 90 k¡¡r·m., z
Af, = 9{)·10 :>::: 437 Wt 20,6
'tma. = mil:!:
El coeficiente de seguridad será,
Ejcllll, lo ¡!j3. Determinar In tensión nd misible en la fl eX"i';I¡ nltcrnada de característica del ciclo r = -0, 6 si so caleul,¡ UlIll pil'zn de acero alelldo para construcciones de 0 < = 100 kgf/mm ' yo," = = 80 kgr/mlll' con un coeficiente de sognridlld [n] _ 2, L" p¡"l,:O os do sección circulor de diámotro d = 40 111m y tiene un foco de cmleelltración para el cua l el coeficiente teóri co de coueenlraciólI ,le tensiones es 0:" = 1,6, m coeficien te de consolidación origiuadu pOf el endurecimiento superficia l pOf deformación en frío es ~ ., lA. Resolución. Admitimos (J _1 =- O.I¡; (J, "" 0,4·100 "" loO kgf/cm'. Suponiendo Que el coeficien te de sensibilidad del m[lteriól] es q = "" 0,8 hallamos ¡Jor la fórmula (256) el coeficiente efectlvo de eOIlcentraci6n de t ellsiones, ele '" 1
+ q (O:a
- 1) = 1
+ 0,8 (t ,6 -
1)
=
1,48.
El fa ctor de esco la e,. so obtiene por la curva r; cotrespo!Hliente al acero alcado· con concentración moderada de tel1sioncs del gnifico dI! la figura 2 de l Apéndice 5, es decir, e,.:>::: 0,65, La tensió n admisib le correspondiente a la carga constnnte es
[aJc:.!!..= 80 =40 [IIJ 2
kgf/ mm',
Por la fórmu la (259) 80 obtiene el coefi ciente do Infl uenc ia !lob", la fati ga do los diversO:! factores en 01 caso de un cielo sim~t rl co ,
t,4·1 0615 e= e.~. -;:-::::: O,65·1,48 ~, , por la fórmula (262), la t ensión admisible corroapondill'nto a l cielo simétrico,
[CJ_,1=
IlO' _L __
~
[nJ
0,615·40 _l' , 3 kg Umm• 2
y IJot la fórmula (265), la tensión admisible en 01 ciclo asimét rico do coeficionte de asimotria r = -0,6,
ICJ-o.•l =
_ _ _Oo'1 "'-"11""=--,,,-1_
_ :-_
"a,
( l _r)(O' )+(I +r)lO"_,] -
=
(1
2·40· 12,3 0,6) 12,3·0,8
+ O.(3)1iO + (1 _
~
l'1 , 5 k'g I1 mm. •
EjCIlllllo 1Ii-i . Compro\}nt la rC.'IbtCllcia del árbol c!l(;alonado de !<'eción circular do di áme tros D .. 60 mm y d _ 30 mm (nI:. 25 1) de :lecro nI carbono, marca 1i5, con a, -=
_ iO kgflmm', 1,= 22 kgf"nm' y T., _ 16 kgflmrn', si e l coofieicnlo do scgurhl~d es 1,,1 _ 1,6. En el chaflá n cóncavo,
~
-
O, I Y e l codiciente de endureci-
.";g. 251
mienlo ,",e hido 1\1 chorreado con perdil:"ulIl'~, ~ _ 1,1. El árhol se someto a una torsi611 alternada do 111:"1:\: MI _ liS kgf'lIl Y min .M I =- - 21¡ kgf·m. f{ c!I()lr¡(/(ÍI,. La tensión tangencial admisible para \¡¡ t orsi6o IlO ,,[terna es, Tr lT]=- _22 - ::::I 13,8 kgf/mm.• In.] 1,6
Del g;,Hico 6 del a¡16ndico 5, interpolando, par/l ~ = 0, 1, par/l el acero do o. "" 70 kgf/ mm', se obtiene el coeficiente efecli\' o de conccl1lradón a!::::I 1,28. ¡~ I c(){!ficien lO que considera In influencia do lodos lo~ fn clore. solJre la rC!sisteru: ia n la fati ga es,
~_.t ::::lg::::lO,86;
a:
1,28
Ip te nsión adrni~jblo IH'lrfl .. 1 ciclo lIirnétriru,
I, JI!
(nrut1<' rí~ 1
l'T_r
,_--~
I
O .8G ' _ _·1G _ _ 8' ,li k'g " 111111:
[n1
l.G
¡,'II !ll'1 dd" ,Imln,
-, '"
_'C"C;C"C'C"C'C
,-
r,, ¡, ~
¡I/ ,
1" tI'n,ji;!! nolllli~i101l', p"r 111
rúrt""I"
n.5; (:!I~). ,'u;III,I(o r
U,.-'.
:![T![t d 2·1.1.8·8,li [1 -... 1<= -C--c:;''f: (1 ') I TI+(i+r*_d~( I +().;') t 3.l:I+(1 U.5)·S,ti
~
;::;: !I,fJ k¡.¡flmm!;::;: !r:;'V 1.1If.': III:
)' l a 1<'II';UII
.1 .. t r;,hnju
'1I ;¡~illl" "ri~jll,,,11I
I'ur 1"",\
'lRO,.. _ "II1Xltl r=t,8 •.I?~ ;::;:!JI!ij
IV /.
.1',.
J.d'cm:.
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1111<''''. "IIt"ln ga rantizadn la rt'~is l \'rw¡:l .Id ,¡rbo l.
:1. ( "¡"r .. l"
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"""'JI" -)o
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n ¡,:u ra :!:,:! y r"r rt'~J'{J ll
o la ("liarla
ltil,óIN.i~
,h' n· ... i... t,·nda "11 1"
'oru'''
,·liplil".,
~igu il'ull' .
(2t.i!l)
" quí O"'b~ 10,1
o.. o.; T"' ~1 T", "l~; y he,1 ~(m In .~ ("II~h.. w~ ;,d'll i._ ilJl"s lIor~
m,,1 y t:"'¡':l'ncin l '1'''' >jI> "Llil"a'1I p(,r lu r,', r~ 111,,1:, (2G5 Ú 2(8) do 1Ir1l1'rdo COIl las c;o r;I(·1t'risticlls de los ciclos de 'D r iacio" dI' In~ tl'll~iOIll'S 1l0rm rtl l'.~ y IDllge neiales. El eodieiell to gcue r:, 1 de Sl'gur id a,1 11 ,lo' lro piufI e'Hllll lo :
252
/1=-:Cr'e'"c"~''--7
Vll!+/I~
(2íO)
11, Jo~ coefi cientes de ~(!g\lridud pal'ciól lCII cor~3 J)o n"i(ln les rI'S I!l~c ti"' !lmente " 1 CIIllO clmndo lIolJru 111 I'il'.,a IIcl urou lIolllnn'llto
sielldu 110 y
te nsione! a llernadas (J y al CIUIO cuando actúan exclusivamente leD ~ ione9 Itlteroadas T. E~tO!l coefieien tea parciales do seguridad se determi na n por 111 fórmula (263) 6 (2G7).
~~H~,o ;' :~': n:~arbOI do acero (CT.
5) so someto !I la acci6n que va rí nn pe r iódicn y 5incronillldamente = - 160 N· In Y de momentO.'! 101'301'65 N· m y M , .,. 320 N· m . El :irbol es esC'a lonado do di¡Írn lll ros = ;.0 mm y d _ 40 mm; el rlldio del c1lafllÍn cóncavo es fJ - 0.25 c m. El l1cero CT, 5 lic uo hu~ ca rll cterislic/ls siguientes. cr, _ 540 ~IN I IU~. (JI = 280 ,\I N/m l , T, = 3.50 MN/m' , TI _ 1&1 .\IN / m', 0_, = 2<\ 0 i\IN / IrI ~ Y T_t ... 11,0 MN / m'. ])n! ('rm inM el coefi cien te do seg urid nd n con que trabaja el árbol. II fllO /ución . IlIterpolando en los grMico., dc las figuras 6 y 7 dol PIH!mJ icc 5, st' obti enen los cQ('ficicntcs do concen tración de ten-
do
1[
aio nf's pa ra
~ =~
= 0.0025 y u, "" 5'10 JIIN / m!,
a~. ""'" 1.8 1 ComO' \' 11 ('stc cO.'!O'
y
D 5 (f = T
a~. "",, 1 ,42.
1.25 < 2, so del.len cO'rn'g ir IO's
valorf'!! tic a~ y a!.< DI,I ¡;dfi co de In figura 8 ,Id n pémlico 5, so oh! ienen Jos coeficientes de corrección ~" = 0,83 y~, - 0.70. L o..! \'alort'il d l, rin ilivos do a!. y a! BO ca lculan por In rórmulD dnd a ,,11 In fi ¡:urll 8 dd np,;,,,lirc 5. a:= 1 ¡u (a:. _ 1) ""'" I U,83(1,8 1 _ 1) R;ll ,07
+
+ a; _ I +~, (a:. - 1) ""'" I + tI,70( 1,42 _
De 1;1 cunll
5 11M o. .~ II¡>e rn d¡¡ 1
1) ""'" 1,33.
,~ .I .,J
Il!r;ir if O rc¡lr"!Ml111ado e n In fig ura 3 del ¡¡¡"índice ~,"41 " N I ",~ "'-, ohl i"nl) II I coofici.·"te ,1 ... sc nsi¡,ili d;"t t. lI. b,'(
1. "s l'ocfi c i~nlt'" gcltt'nl l"" q ue rd lejnn 1" influencia sobre 1" 1.1 Int i!:":t dc t odo~ 'us rHelores !lOn:
n.~ ¡ ~ It · "ria ¡,
1' ,
a:
0.88
'. ~ - ~-- """
1,07
05.'
,'~
y
LHS l('u ~ iolll'S m [ix i ll1"~ y milli l ll"~. eorl·t'!! I),,,,tl ioltt,,s 11 111 rll'xiv n y I.Or~iú !l
o
"'R<
~.
e, = a;
0.88 {j tir = 1,;J;J """ . >.
1I0fllllll.,,,
I\l t l' rll :" I;l~
y t;''' Il"(· ndnles. "on:
.... M,""'= ¡\f"'''x _ _ /~_&'i.l0' NJmz=ül¡ MN/m '~ IV nll' - 6.:ul. 10-'
32 O,"'n_ jllml~ = - 160 , _ _ 25,5. 10' N/m2 = _ 25.5 MN/ lll z; IV l>,28·1U-
."
mal: J.1, mal: M. "tmn= - - - _ _ _ _ =
640
nlff'
Wp
•=
t 2,56 ·tQ
5 t .1O~
N/ m z= 5 1 ,\ 1N/mi;
t6 320
",-;;;:;,,,,.= 25,5.10" N/m z=25,S MNJJl)~ 12,56 · tO Lns tens iones modias y las a mplitud es do los c iclos do 111.'1 lCII sio·
!les lJormlll,'s y tangenciales serán: 0"..
= O'mn
+ o"'ln='G4 2
T mu
t' .. =
+
T rnln=
2
25,5 ~ Hl I\I N/rn1:
+ 25,5 ~ 38,2 2
IItN h u";
5 1 - 25,5 ~ 12,7 MN/mz, 2
,:''''''' c-;;:-' 2 : m",,"
"rq =
51
2
P or la ftirmulll (263) ha llam os los coefi cientos de sCg'uri dllJ por l CI1 >;io lll'5 1101"l0a l05 y tangenci a les, 110
0'_.
2100
= 0:-_'-''---::_ - _.0".,+ -cr -2100 . 19+ - '-
=
1,10 7
g
e..
0,
T_ t
11 ,=
Tg
"f_ t
~ T.. +-;-
=
510
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El cocficiClll tl glln crll l de segurid od SO ha llll por la f(u'lIIula (:!7Q), 11_
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+
Ejemp lo 11\6 . La picza de la fi gu ra 253 es do acoro CT. G. Oaolo: , c . = 60 kgflnunt , (JI = 32 kgf/mm' , T r = 22 kgr/ Hlm ~ . (J_, = = 25 kgIlmm', T_, = t 5 kgf/ rnm', D _ 80 mm , d - 40 mili. p ~ _ 0,2 cm, ¡ = 1,0 c m , a = 10 cm, Pg = c ons ~ = 1ü kgi y /' quo v;rín según el ciclo simétr ico de P mu (1 P m 1" = - /'rn a.Dctermi uar el valor IIdmis ible de /'m.. si se req uicrll qu e 111 pie za t onga un coeficiente do !lCguridad (n( = 2. L a sU ]lerfic ie do la ]lieza es t á t ornenda tosC8mon to.
R~wluci6f1 .
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0.2 ... O,OS,
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kgUmm ' ,
se ohtil'uru los COCriciCll tcs de concen t rnci ón do las tensioues en el dla [J.ín cÚll cavo 1X:~ 2,07 ,
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1,56.
P Of In Cll f VIl 4 do In fi gura 3 del apénd ice 5 para a. = 60 kgfJmm' hnll¡,UlOII e l cocJiciento do sensi bilidad SUllerfi cial e. ... 0,8. Loa COC"licit'lIl,es b>ellcralcs quo re fl ejan la p inrJllrnc i:l ¡Jo l odos los fact ores sob re l¡, resiste ncia a la fatiS':l 800 , I
1'.,=~=~~o,38(j IX ~
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0,8 I,SU
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Fig. 253
y In:o I('n~ioncs normales máx imas y mí ni rnAS en el c ha fl á n có nca vo, or i;:inold :':I por I~ flex ión nlte rnada I5eg ün el cic lo a!'! imét rico,
a",.,_ P,+IVI'mul ~
[6+ = IOO+ G251' 0, '1. P",uI,0 61, , ,p" k"""~,,', ..
I'o-I'mu/ a,,"0=--- ~
16 - Pmul,O= 100 _02 51' O, I. M
IV
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"'. ,
kgllc m' •
l." .. h'n~ion('S IIUlb't'llci¡¡les rn i, ... imIlS y m' nirn:ls e n el c1 ra fl an CÚfICIl\" origina das por la lor!'! i"n a h ernlld" l!('gím el c icl o s irn ií lri co ~ r;ln,
p",., ' O= 0732/' , mOl O,2 .V.
I'm.. IV p
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P,nu _ _ a ~ - 07"2/" , " m"'S' '"cm.
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Llls tensiones medi;,s y Ins :U"I,lit ud cs do los ciclO!'! de Ins Il'nsiun,'s norma les y ta ngCllcia lu rl'.!!u lt :lnin, 0", _
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Por 11\ fó rmu la (267) !le obtiene n 1011 coefi cielllNI !le seguridad tOllsiolles lI o rmal{'!! r tllllgcncill ll'l!, 25 25 ~-
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L /ls comli ciu"l's d el prullll'lIl:I N' SI, Usfu('t'u l"ulu lIlcII l c \:ulIlI,l o P",u::::< 7, 2 kgL
Pro bl(' mll 10 15. Dcll'rm ir lll r IIlt',lillll l .· IUI! liUl i t('~ iuleri urc.!! du 118 fu nci on e! em¡) irica~ el ,"nlur nll r(>.\ h n~clo del lim ito do rc~is L IltIl:ia a la fAli gll e n 111 Condón " lt c rIL ll d A ~(' ll íI U 1,1 cid u ~ i tll étri co tic In s jlTl!hl'C l'S de I\cc ro con foco ti c f.UIIn, ,, trAc ilm, ".i a, "" 960 MN / m ' , IX, ¡ ,U Y q = u,9. I'ro h l('tIl l1 10 16. U n1l barra ('¡;ell lo " " d n d e ~'rci óLL circul Rr do d ilÍructr
.,
Prob lema 1017 . La bllrrn eM:lllonnda de sección circ ula r de diómetros D = 00 mm, d, "" 30 rnm y di _ 32 mm I!!I dc acero 20X
(J., \•.., ...
IH. fll el cua l Oc "'" 80 kgf/mm l y
21i kgílmm'. E l1 los ebaflall('scOncn ... ~ ~: _ O,:l Y
10(1
~: _ 0, l . Ln s lllH~rfjc i c de I~ !JI¡rrn Ils tá min .. cio~nll1onto cs mc rihHIII. D c tl~rll1innr d coeficiente
trnbnjn 111 barra
tl "
do 5Cgu ridn d n con que
agua dulce, ~i ~o 1I01l1OIe 11 11l1li
[ Ilcna nxlnl nll('l"Ilnda !' ",n = - I',n l " _ 3\ quo val'Ío ~lIgÍln el ciclo !limé t rico. ¡'ro blc mu 10 18. Det erminar In fuenn floxionallto m:lxinllt /' m... con !J UO l, l urbol do ocero cscn lonndo en rolación pllede I rn]¡"j:lf de IlCllcrdo con el e~(l'lfl' lila do In fisura y ron un coofi ci(lU lo do lICg uri,hul
de I,d - 1.8.
('... 'uli i,ló.....se.
= 7U m m, d
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o.• _ 3GO .\IN/ mi,
= I :!OO ;\IN/ rn t ,
:.0 mm , ~ .- 0. 15, l _
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¡'rn hl cm n 10 19. El ;,r1",1
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D = f.O mm, d _
=- ,,o mm y ~ = 0,05 IraIJnja CI! ligua dulco ~omot i.l o 11 IOl'!JiulI ,, !Iornnda !K'gílll el ddo si nl(il rico con e l ClX'ficicn lo tle !lCguridnd lId -= 1,5. Ln SUl'crri ci,) d,·1 ,¡rIJo] cstli pulida. Dch'rminar c uá l do I/I~ ,los (."'wh·s sed m¡;! fl'sislolllo, /,1 do aCl'fO CT. 5 (a, _ _ 52 ,,~r/ nll,.1 y T_, = !lo kgr/ rn",t) ti ()I ,le acero ~OX (a , = _ 100 I; ll'r/ ",m~ y T-, "" 22 kg"mm'). P m hl e UlII 1020 . 1),,010: Ur! HcetO 30XM ,lo cnrncl.f'tisLic;l.~ a, _ _ 90 Iq( f/ lt1lu' y a_\ t. oc .,. 3(; k~fhn!tt' y do I1mpJilu de~ limilos a~ l)arn 109 VIIJUn;>¡¡ Illcd iOll tlmlus de 1 ;1~ ten¡¡io"es a;;', (J~ kg fltt1m~
20
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Dete rmina r a u.e.
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P ro ble mll 1021. Determi nar a-il.1 para el acero Cllyll Cllr\'n do Ins amplitudes límites (e n los cicles dados a m > O) se dll apro.ximadamente por 1" ccunció":
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20 [ 1 -
( ~~ YJ .
I' ro blelll ll 1022. Determinllr el coeficiente de segllrid"d cnn quo Irabaill 1111" piew de acero sornetl,1a "tl'"sioncs aILl'rIJlld"s,le Irac..c ió n -compres ión , si a,=90 kg r¡mlll~, 01= 70 kgf/ nl!ll~, 11_, l : .c = = 30 kgr/mm" I1 mu = 1ü kgr/ mm" a""n = -6 kgf/mlll', o:., = = 1. 5, ~=O,7, e.= 0,9 y 11= 1,3. I'rob lelllll HJ2:l. Una pieUl do acero debe rá Lr.,b"jar " ne.,ion alternada de amplilud de lns tellsion('s a~ = 200 MN / m' cOIJ un coclicicnlll de srg ur idlld Inl ... 2. Cuál {Iebo ser 01 coc.ficielltc tlo asimetría rl el cielo r, si !Te = t 100 /\IN/m t , a, = !.lOO I\IN/U\~, a_, = 1,80 MN /m". a n = 1,2, q = O,!.l. e. = 0,8. e.'" t Y f\ lA. l'rohlellw lOZA. Determinar el valor m ínimo do la tel11;ióu ,nI misible en IIl1a pieza do acero que Ir¡¡(Wj.l a tracción - couqm:sión allernnda do cMactnist irn de l (;ic!o r = - O,t, y con un coefi ciento de segllrillnd In l = 1,4. El mnlerinl es "cero ni car[¡ono para el cual 11, "" !iO kgf/ nllu' y 0r = 21, kgf/mJll'. Ln lliezn <,s do sección circular de di'l1Iwlro d = 30 mm con llll foco de cOllcen l ración pata el cual a G = 2. El roeficiellto de cOIl~olidacióll debida ~l endurecimienlo de In SII1wdi cio 110r dc-fornwción en frío ~ s ~ = 1,2. ¡'roblclllll W25 -l. El árbol de ncrro (11.' ~eccióJl circular do diáIIId ru ¡{ = "O 111m lielw II n aguj,'ro I rausvrrsn I quu lo cr uza ti c ¡[iúme1ro a = fl 111m y Iralmja ~1'g(1Il el dclo ¡lUls;tIlto (1" = U) ~O ll un coeficiellle de seguridad do 11t1 = 1,8.
D('l erm inar In magnitud del mO l1l1'ulo lorsor al¡eflllldo J1\[¡:xirno Mio si el iírlJOI e~ de acero 30x r CA 1J:\T
• El' tn~ I""hl~",n~ indIcado, {on Bslcri.cos 80 debo f('t urrir 01 diagrama tiru"li¡icoolu ole Z,,,lcrllCrg .
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Probl(' Dl8 1027,·) La barra cillndri ca de acero de sección circular de diámetro d -= 30 mm elltA empotrada en IIUS ext remos, Sobre la ¡ulrle sob resalien te de esta barra actúa la fuerz a P que \'arla I!egú n el ciclo sim6trico.
Dct('rminar el valor de la fuenn máxima 1' .. ."
~i
el llc('ro es d!>
111 I1IMf/l I,OXH para el cua l a, _ 900 hlN /m*, a_1 =1,00 hlN/m*,
T_, _ 21,0 MN/m', El diiimelro de la b/lffa en su parl e llIedi/l es
D .,. (;QIII III , ~ _ 0, 1, l = 32clI1, a _ 10cm, ~ _ 1,2ylld _ I ,G, I'm blt' III A IO~,. El árbol ('~rIlIOlllltl o de acero do ~crric"n rirculn f de J j:i lll<'\ rOli D "" 60 cm y d = 50 mm y de radio del clwfl,iu CÓllr:I vo r .., 5 111111 !C so ull'le H f1exióu y \orlOió" nlt<, rnadns, I)l'hnuina r el fot'fici<,nte de s('guridlld n con que tralwja e l árhol. si "11 111 s{'cei,,,, Jle\igrWiIl (le trll n ~ic ión sutJ:en los UlOIIU' lIlos fll','lor('~ Al n'" 1 '"'" iJ kt\ ,'" Y M ili'" _ 1 ,5 kN · ni Y 101:1 JIlOIIIl'ntOo" lor9"rt',~ mnx M, ~ 2kN, m y min M, _ - 0,5 kN, m, 1:1 (, r!.(¡1 es do ~cero "OXII ]lMn el I'1n,] o, = (JOO MN/ m*,
o, ",... ¡,-,O ,\ IN / m2 , "" ~I I\ ~lN / 1U2,
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"00 MN / rn!, T, '" 390 r.1N lru 2 y T_ 1 _
1'1 " r,'rl" dcenduTf'Cimicnl o de de,., "1111 1"1 coeficiente P "" 1,3,
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