Contenido
Capitulo: Desplazamientos de Barras
originados por cargas arbitrarias §37. Energía Potencial de la barra en el caso general de solicitación
§38. Teorema Castigliano
§39 Teorema de Mohr
§40 Método Vereschaguin
§41 Determinación de los Desplazamientos y las tensiones en muelles espirales
§42 Teorema de Reciprocidad de los trabajos y desplazamientos
DESPLAZAMIENTO EN BARRAS ORIGINADAS POR CARGAS ARBITRARIAS
§37
Energía potencial de la barra en el caso general de solicitación
Anterior Anteriormente mente se estudiar estudiaron on los desplazam desplazamient ientos os en barr barras as rect rectas as en los los caso casos s de trac tracci ción ón,, trac tracci ción ón y flex flexió ión n .Vea .Veamo mos s ahor ahora a el caso caso gene genera rall de soli solici cita taci ción ón de la barr barra, a, cuando en las secciones transversales pueden surgir fuerzas normales y cortantes, momentos torsores y flectores simu simult ltán ánea eame ment nte. e. Para Para ampl amplia iarr el círc círcul ulo o de prob proble lema mas s a analizar, consideramos también que la barra puede ser no solo recta, sino también de pequeña curvatura, o estar constituida por tramos rectos que forman un sistema plano o estéreo. La solución de este problema es necesaria, no solamente para la determinación de los valores de los desplazamientos y para juzgar sobre la rigidez de la estructura. Sobre la base de los desplazamientos obtenidos se crean los métodos generales de determinación de los factores de fuerza interiores en los sistemas hiperestáticos, de lo que hablaremos en el capitulo sigui siguient ente. e. La determ determin inaci ación ón de los despla desplazam zamien ientos tos resul resulta ta nece necesa sarria tam también bién par para invest vestig igar ar el pro problem blema a de las oscilaciones en sistemas elásticos. La manera más fácil de determinar los desplazamientos es por las relaciones energéticas basadas sobre la expresión general de la energía potencial de la barra solicitada. solicitada. Antes Antes de determ determina inarr la energ energía ía potenc potencial ial se reali realiza za el análisis de los factores de fuerza interiores que aparecen en la barr barra. a. Este Este anál anális isis is se llev lleva a a cabo cabo,, como como se sabe sabe,, por por el método de las secciones y termina con la construcción de los diagra diagramas mas de los moment momentos os flecto flectores res y torso torsores res y, cuando cuando resulta necesario, con la construcción de los diagramas de las fuerzas normales y cortantes. En todo todos s los los caso casos, s, los los diag diagra rama mas s de los los fact factor ores es de fuer fuerza za inte interi rior ores es se cons constr truy uyen en sobr sobre e el eje eje de la barr barra. a. La magnitud de la la fuerza interior interior se sitúa sitúa normalmente en eje de la barra. La magnitud de la fuerza interior se sitúa normalmente al eje como se indica, por ejemplo, en la figura 180. En el caso de un una a barr barra a esté estére rea a el eje eje se dibu dibuja ja en pers perspe pect ctiv iva a y los los
diagra diagramas mas de los los moment momentos os flecto flectores res se repres represent entan an en los planos de flexión flexión correspondientes correspondientes (figura (figura 181). El diagrama de los momentos torsores no se relaciona con un plano ano determ determina inado do y, a difere diferenci ncia a del diagr diagrama ama de los moment momentos os flectores, se raya con líneas helicoidales.
.
Para determinar la energía potencial, separamos de la barra un tramo elemental de longitud dz (figura 182). La barra puede ser recta o tener una curvatura inicial pequeña. En cada una de las secciones tran transv sver ersa sale les, s, en el caso caso gene genera ral, l, de soli solici cita taci ción ón,, apar aparec ece e seis seis fact factor ores es de fuer fuerza zas s inte interi rior ores es:: tres tres mome moment ntos os y tres tres fuer fuerza zas. s. Consid Considera eramos mos que estos estos tres tres factor factores es son exteri exterior ores es respec respecto to al tramo tramo element elemental al separad separado o y determ determina inamos mos el trabajo trabajo que ellos ellos realizan al deformarse el elemento. Este trabajo se transforma en energía potencial acumulada en el tramo elemental de la barra. La sección izquierda del elemento (figura 182) la consideraremos convencionalmente inmóvil, para que el trabajo de todas las fuerzas que se aplican a la sección extrema izquierda, sea igua iguall a cero. cero. El pu punt nto o de apli aplicac cació ión n de las las fuer fuerza zas s de la secc secció ión n derecha recibe, al deformarse el elemento, ciertos desplazamientos pequ pequeñ eños os sobr sobre e los los qu que e se real realiz iza a trab trabaj ajo o en cu cues esti tión ón.. Es mu muy y importante el hecho de que a cada uno de los seis factores de fuerza interiores la corresponde su desplazamiento, sobre el cual, ninguno de los cinco factores de fuerza interiores restantes realiza ningún trabajo. Así, por ejemplo, el momento Mt origina el giro de la sección respec respecto to al eje z. en este este despl desplaza azamie miento nto angula angularr reali realiza za trabaj trabajo o solamente este momento Mt. El desplazamiento lineal según el eje y surge como consecuencia de la fuerza cortante Q Y, y solamente esta fuerza realiza trabajo en este desplazamiento. Por lo tanto, la energía potencial del elemento se puede interpretar como la suma de los trabajos independientes independientes de cada uno de los seis factores de fuerza, es decir, como las unas de las energías correspondientes a la torsión, flexión, tracción y distorsión distorsión respectivamente, dU
=
dU(Mt)+dU(Mx)
+dU(My)+dU(N)+dU(Q x)+dU(Qy).
(5.1) Las exp expresiones de los cu cua atro primeros sumandos y las conocemos,
dU (Mt) = M2tdz/2GIt,
dU (Mx) = M2xdz/2EIx,
dU (My) = M2ydz/2EIy,
dU (N) = N2dz/2EF,
Queda por determinar la energía de la distorsión dU (Q x) y dU (Qy). Para calcular la magnitud de dU (Qy), analicemos un prisma elemental de área de la base dF y de la longitud dz (figura 183). La energía
acum acumul ulad ada a en est este volu volume men n es U0dF dz, dz, siendo endo U0, la ener energí gía a pote potenc ncia iall un unit itar aria ia de la disto distors rsió ión. n. De acuerd acuerdo o a (2.3 (2.3)) del del § 20 20,, obtendremos, U0 = τ2y/2G Así pues, U0 dF dz = (τ2y/2G) dF dz. Integrando sobre el área F, hallaremos, dU (Qy) = (dz/2G)
∫F
τ2y dF.
Según la fórmula de Zhuravski (4.2) del § 30,
Y por lo tanto,
Introduciendo la notación,
Obtendremos,
Y
de mane manera ra
anál análog oga, a,
Los coeficient coeficientes es kx y ky son magnitudes magnitudes adimensi adimensional onales es que dependen de la configuración geométrica de la sección. Por ejemplo en el caso de una sección rectangular de dimensiones b y h (figura 184) en momento estático del área
respecto al eje x será,
Como, dF = b dy, F = bh, Ix = bh3/12, Despu espué és de cier cierta tas s obtendremos,
tran trans sfor formaci aciones ones,,
por por
la
for formu mulla
(5.2 (5.2), ),
k = kx = ky = 6/5. En el caso de una sección circular maciza k = 10/9. En el de una sección circular de paredes delgadas k = 2, etc. La expresión (5.1) adquirirá ahora al aspecto siguiente
Para obtener la energía potencial de toda la barra falta solamente integrar a expresión obtenida sobre la longitud de la barra es decir,
Si la estructura es complicada y consta de varios elementos en forma de barras, entonces una vez realizada la integración sobre cada
Una de las barras barras se deben deben sumar sumar las energías de todos los elementos que constituyen la estructura. No siempre todos los sumandos de la expresión (5.3) tienen la misma importancia. En la mayoría de los sistemas que se encuentran en la práctica, donde los elementos que constituyen la estructura, trab trabaj ajan an a flex flexió ión n o tors torsió ión, n, los los tres tres últi último mos s suma sumand ndos os de (5.3 (5.3)) resu result ltan an ser ser mu much cho o meno menore res s qu que e los los tres tres prim primer eros os.. Es deci decir, r, la energí energía a corres correspon pondie diente nte de la tracci tracción ón y distor distorsió sión, n, como como norma norma general, resulta muy inferior a la energía de la flexión y torsión. Al mismo tiempo pueden ocurrir casos cuando los sumandos del mismo orden. Así, por ejemplo, en el caso de una barra fraccionada excé excént ntri rica came ment nte e (fig (figur ura a 18 185) 5),, cu cuan ando do el braz brazo o a es pequ pequeñ eño, o, la energía de la flexión y la de la tracción son magnitudes del mismo orden.
§ 38 Teorema de Castigliano Como Como base base para para la determ determin inaci ación ón de los despla desplazam zamien ientos tos de una barra puede servir el teorema de castigliano cuyo enunciado es: la deri deriva vada da pa parc rcia iall de la ener energí gía a pote potenc ncia iall de un sist sistem ema a respecto a la fuerza es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en dirección a ella. Este Este enunci enunciado ado requie requiere re una aclara aclaració ción. n. Entend Entendere eremos mos por desp despla laza zami mien ento to en un una a dire direcc cció ión n dada dada la proy proyec ecci ción ón del del desp despla laza zami mien ento to comp comple leto to sobr sobre e dich dicha a dir direcci ecció ón, es deci decirr, que el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en dirección a esta se debe interpretar como la proyección del desplazamiento completo del punto sobre la dirección de esta fuerza. Veamo Veamos s un solo solo elásti elástico co soli solicit citado ado por un sistema arbitrario de fuerzas y fijado de tal manera que queden elimin eliminado ados s los los despl desplaza azamie miento ntos s del sólid sólido o como como un cuerp cuerpo o rígid rígido o (figura 186). Sea U la energía potencial de la deformación acumulada en el volumen del sólido como resultado del trabajo realizado de las fuerzas exteriores. Demos a una de estas fuerzas, por ejemplo a Pn,
un incremento de de dPn.. Entonces la energía potencial U recibirá el incremento correspondiente correspondiente (∂U/∂Pn) dPn y será igual a U + (∂U/∂Pn) dP n (5.4) Vari Variem emos os ahor ahora a el orde orden n de apli aplica caci ción ón de las las fuer fuerza zas, s, apli aplica cand ndo o prim primer ero o la fuer fuerza za dPn. dPn. En el pu punt nto o de apli aplica caci ción ón de esta esta fuer fuerza za ocurrirá el desplazamiento pequeño correspondiente, cuya proyección sobre la dirección de la fuerza dPn será a dP ndδn/2. Apliquemos ahora todo el sistema de fuerzas exteriores. Si no existiese la fuerza dPn, la energí energía a potenc potencial ial del sistem sistema a seria seria de nuevo nuevo U. pero pero ahora ahora esta esta energí energía a variar variara a en una magni magnitud tud igual igual al traba trabajo jo comple complemen mentar tario io dPnδn que realiza la fuerza dPn en el desplazamiento δ n originado por todo el sistema de fuerzas exteriores. La magnitud δn es de nuevo la proyec proyecció ción n del despl desplaza azami mient ento o comple completo to sobre sobre la direc direcció ción n de la fuerza Pn. El coeficiente ½ ante el producto dPnδn en este caso no figur figura a puesto puesto que la fuerza fuerza dPn perman permanece ece consta constante nte durant durante e el desplazamiento δn. Como resultado, en el caso de que las fuerzas se apliquen en orden inverso, la expresión de la energía potencial será, U + dP nδn + ½ dPn dδn (5.5) Igua Iguala land ndo o esta esta expr expres esió ión n a (5.4 (5.4)) y pres presci cind ndie iend ndo o del del prod produc ucto to dPnd dPndδ δn/2 que es una magni agnitu tud d peq pequeñ ueña de orden rden sup uper eriior, obtendremos, δn = ∂U/∂Pn. Así pues, derivando la energía potencial respecto a una de las fuerzas exte exteri rior ores es (per (perma mane neci cien endo do las las otra otras s cons consta tant ntes es)) se obti obtien ene e el desplazamiento del puto de aplicación de esta fuerza en la dirección de ella. Si analizamos otra vez detalladamente la demostración anterior veremos veremos fácilmente fácilmente que en la expresión expresión (5.6) (5.6) la fuerza Pn se puede puede interpretar como una fuerza generalizada, es decir, como un factor de fuerza. Entonces δn se deberá interpretar como un desplazamiento generalizado, es decir, como cierto parámetro geométrico en el cual por Pn el moment momento o exteri exterior or (figur (figura a 186 186), ), entonc entonces es δn será será el desplazamiento angular en el punto de aplicación del momento y en
dirección a éste, entonces al derivar la energía potencial respecto a la presión hidrostática, entonces al derivar la energía potencial respecto a la presión, obtendremos la variación del volumen del cuerpo. Al demostrar el teorema de castigliano, no se impuso ninguna limitación, ni sobre la forma del cuerpo, ni sobre el sistema de fuerzas exteriores. Incluso ni se plantea la condición de que el material siga la ley ley de Hook Hooke. e. Pero Pero de un una a mane manera ra indi indire rect cta a esta estas s limi limita taci cion ones es existen. Si entre las fuerzas y desplazamientos existe relación no lineal, entonces el trabajo realizado por el sistema de fuerzas exteriores será distinto según sea el orden de aplicación de las fuerzas, es decir, según se aplique el sistema de fuerzas antes o después de las fuerza dPn. En otras palabras, el sumando U de las expresiones (5.4) (5.5) no será será el mism mismo. o. En este este caso caso el teore teorema ma de cast castig igli lian ano o no serí sería a aplicable. En la mayoría de los problemas en la que nos encontramos en la práctica, la relación de fuerzas y los desplazamientos el lineal y es aplicable completamente el teorema de castigliano, al resolver estos problemas. Se deben excluir los sistemas en los cuales no se puede aplicar el principio de invariabilidad de las dimensiones originales y el pri princ nciipio de sup superp erposici sición ón de las fuer fuerza zas. s. Al deter etermi min nar los desplazamientos de estos sistemas es inadmisible aplicar el teorema de castigliano en la forma que se hizo aquí. En el caso de dependencia no lineal entre las fuerzas y los desplazamientos, se emplea otra relación energética, más general, que se obtiene sobre la base del principio de los desplazamientos posibles. Recibe un enunciado mas general, en este caso, el teorema de castigliano que se interpreta aquí como el teorema del mínimo del así denominado, trabajo suplementario. suplementario. Veamo Veamos s los los ejempl ejemplos os más simpl simples es de determ determin inaci ación ón de los desplazamientos por el teorema de castigliano. Ejemplo Ejemplo 5.1. Determ Determina inar, r, por el teorem teorema a de castig castigli liano ano,, el ángu ángulo lo de giro giro del del extr extrem emo o dere derech cho o de las las barr barra a (fig (figur ura a 18 187) 7)
solicitada por el momento
.
La energía potencial interior de la barra en la torsión de obtiene de la expresión (5.3)
Como Mt =
y la rigidez se considera constante, 2
U= Derivando respecto a
/2GIt
, obtendremos Φ = ∂U/∂
=
/GIt
Resultado que coincide con la expresión conocida para el ángulo de torsión. Ejemplo Ejemplo 5.2 determ determina inarr la flecha flecha del voladi voladizo zo (figur (figura a 188 188)) solicitado por la fuerza P en el extremo.
La energía potencial de la barra en la flexión se obtiene de la expresión,
A una distancia z del extremo de la viga, Mx = -Pz Cuando EIx es constante,
El desplazamiento del extremo de la viga será,
El valor de la flecha obtenida se cálculo ya anteriormente integrando la línea elástica de la viga.
Ejemplo 5.3- Determinar el desplazamiento vertical del punto A en el caso de la estructura de la figura 189. Las rigideces de las barras son iguales, EF.
De no emplear el teorema de castigliano este problema sería difícil de resolver. Sería necesario determinar los alargamientos de toda todas s las las barr barras as y desp despué ués, s, medi median ante te cier cierta tas s tran transf sfor orma maci cion ones es geométricas, determinar las posiciones de los nudos de la armadura defor deformad mada. a. Median Mediante te el teorem teorema a de castig castigli liano ano este este proble problema ma se resuelve con mayor facilidad.
Seccionado los nudos obtenemos los esfuerzos en cada barra y ubicamos los valores de N en la tabla 4.
Calculamos después el valor de la energía potencial para cada barra,
Y llenamos la última columna de la tabla. Sumando obtendremos, U = (P2
/2EF) (7 + 4√2)
El desplazamiento del punto A será entonces δA = ∂U ∂U/∂P /∂P = (P /EF) EF) (7 (7 + 4√ 4√2 2) §39. Integral de Mohr
La determ determina inació ción n de los los despl desplaza azamie miento ntos s por el teorem teorema a de castigliano, como se pudo observar de los ejemplos anteriores, tiene el inconveniente de que permite calcular solamente los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores y, solamente, en la dirección de estas fuerzas. En la práctica, surge también la necesidad de determinar los desplazamientos de puntos cualesquiera y en dirección cualquiera. El método para vencer esta dificultad resulta bastante simple. Si se requiere determinar el desplazamiento de un punto donde no está aplicada ninguna fuerza exterior, aplicamos una fuerza exterior en este este pu punt nto o Φ y en la dire direcc cció ión n qu que e nos nos inte intere resa sa.. Plan Plante team amos os después la expresión de la energía potencial del sistema, cons consid ider eran ando do tamb tambié ién n la fuer fuerza za Φ, calc calcul ulam amos os la deri deriva vada da de la energía respecto a Φ y hallamos así el desplazamiento del punto en cuestión en la dirección de la fuerza aplicada Φ. Falta solamente tener en cuenta que la fuerza Φ en realidad no existe y considerarla igual a cero, así se determina el desplazamiento. Hallemos el desplazamiento del punto A en dirección al eje x1 en el caso de la barra solicitado por un sistema arbitrario de fuerzas exteriores (figura 190). Apli Apliqu quem emos os al pu punt nto o A en dire direcc cció ión n de x1 la fuer fuerza za Φ. Los Los factores de fuerza interiores en cada sección transversal de la barra, en el caso general, variarán en ciertas magnitudes que dependen de la fuerza Φ. Así, por ejemplo, el momento torsor en cierta transversal será.
Dond nde e el prim rimer sum sumando ando clar claro o, qu que e los facto actorres de fuer uerza adicionales y son funciones de z, es decir, varían a lo largo de la altura. De manera análoga aparecerán sumandos adicionales en el caso de los otros factores de fuerza interiores,
Esta Esta absol absoluta utamen mente te claro claro,, que los factor factores es de fuerza fuerza adicio adicional nales es , y otro otros s son son prop propor orci cion onal ales es a la fuer fuerza za Φ. Si, Si, por por ejemplo, duplicamos la fuerza Φ entonces se duplicarán respectivamente los factores de fuerza adicional. Por lo tanto,
Siendo Siendo etc., ciertos ciertos coeficient coeficientes es de proporci proporcional onalidad idad que dependen de la posición de la sección en cuestión, es decir, que varí varían an a lo larg largo o de la barr barra. a. Si reti retira ramo mos s el sist sistem ema a de fuer fuerza zas s exteriores y sustituimos la fuerza Φ por otra unitaria, entonces
Es decir que representan los fact actores ores de fuer fuerza za inter nteriiores qu que e apar aparec ecen en en la secc secciión transversal cuando actúa la fuerza unitaria aplicada en el punto que se considera y en la dirección dada. Volvamos ahora a la expresión de la energía (5.3) y sustituyamos, en ella, los factores de fuerza interiores por sus nuevos valores (5.7). Entonces obtendremos,
Derivando esta expresión respecto a Φ y suponiendo después que Φ = 0, determinaremos así el desplazamiento desplazamiento del punto A.
Las integrales obtenidas se denominan integrales de mohr. Obser Observem vemos os que las las integ integral rales es de Mohr Mohr se pueden pueden obtene obtenerr tambié también, n, sin sin recurr recurrir ir al teorem teorema a de castig castigli liano ano,, de razona razonamie miento ntos s geomét geométri ricos cos elemen elemental tales. es. Veamos Veamos,, por ejempl ejemplo, o, una barra barra plana plana (figur (figura a 191 191)) y determ determin inare aremos mos el despla desplazam zamien iento to del pun punto to A en dirección a x1. Para simplificar el problema consideremos que este desplazamiento esta originado exclusivamente por la flexión. El tramo elemental de la barra, de longitud dz, ocurriría una variación de la curvatura de la barra y entonces la sección derecha girara respecto a la izquierda un ángulo, dθ = (1/ρ – 1/ρ0) dz, Siendo 1/ρ, la curvatura nueva de la barra y 1/ρ0, la vieja, Como consecuencia de la aparición del ángulo de giro local, la parte derecha de la barra girará, como un todo rígido, y entonces el punto A se desplazará en dirección a x1 en la magnitud dδA =
= AA´sen α = OA sen α dθ
Pero Como OA sen α = OB, resultará que dδA = OB dθ. El segmento OB representa el momento de la fuerza unitaria, respecto al punto O. aplicada en el
Punto A y en dirección de x1. Así pues,
De donde se obtiene
De manera análoga se pueden plantear las expresiones de los desplazamientos para los casos se torsión, tracción y distorsión. En el caso general,
La expresión (5.9) es más general que (5.8) puesto que en ella no se sobreentiende la dependencia lineal entre θ, (1/ρ – 1/ρ 0), etc., por una parte, y los factores de fuerza interiores, por otra. Ella es aplicable, por ejemplo, también en el caso de la flexión o torsión no elásti elásticas cas de de la barr barra. a. Si el el materi material al sigue sigue la la ley de de Hooke Hooke,, entonc entonces es
Resultado expresión (5.9) se transforma en (5.8).
que
la
Ejempl Ejemplo o 5.4. 5.4. Determ Determin inar ar el despla desplazam zamien iento to horizo horizonta ntall del
punto A de la barra barra de la figura figura 192, a si la rigidez rigidez tramos es constante.
de todos todos los
En esta barra, el papel principal lo juegan: los desplazamientos originados por la flexión. Los que se deben a la tracción y distorsión son tan pequeños, en comparación con los primeros, como lo es la energía de la tracción y distorsión en comparación con la energía de la flex flexiión. Por lo tanto anto,, de las seis eis integr tegral ales es de Mohr Mohr (5.8 (5.8)) mantenemos solamente u na, la de la flexión,
(La flexión en el otro plano y la torsión no existen).
El momento flector originado por La fuerza P en el tramo AB
Será igual a cero. En el tramo BC, Mp = Pz Y en el tramo CD Mp = PR (1 + sen
).
El momento originado por la fuerza unitaria en el tramo AC es nulo, mientras que en el tramo CD será M1 = -1.R (1 – cos
)
El sign signo o nega negati tivo vo indi indica ca qu que e el mome moment nto o flec flecto torr un unit itar ario io está está orientado en dirección opuesta a Mp.
El producto MpM1 en el tramo AC es igual a cero. Por lo tanto, la integració ción se lleva a cabo solamente sobre el tramo CD. Sust Su stit ituy uyen endo do de de por por R d , obte obtend ndre remo mos. s.
De donde hallamos,
El signo negativo indica que el desplazamiento horizontal del punto A está dirigido en dirección contraria, es decir, hacia la izquierda (figura 192, b). Ejemplo 5.5. Determinar la apertura de la holgura del anillo seccionado (figura 193) bajo la acción de las fuerzas P. la rigidez del
anillo es . En el pun punto B (figura 193) el mo momento fle flector de las fuerzas dadas P es Mp = PR (1 - cos ) Siendo Siendo , el ángulo ángulo centra central. l. Suponi Suponiend endo o que el extrem extremo o izquier izquierdo do del anillo esta empotrado, aplicamos al derecho una fuerza unitaria para determinar el desplazamiento de una extremo respecto al otro (figura 194, a). La reacción de apoyo será igual a la unidad y, por lo tanto, serán equivalente los dos dibujos 194, a y 194, b. De esto, entre otras cosas, se deduce que, en general, cuando se requiere determinar el desplazamiento mutuo de dos puntos, se debe aplicar, en estos puntos, dos
Fuerzas unitarias iguales, pero de sentido opuesto, que actúen en la recta que une estos puntos. El momento de la fuerza unitaria es. M1 = R (1 – cos ). El desplazamiento mutuo de las secciones A será
Ejem Ejempl plo o 5.6. 5.6. Dete Determ rmin inar ar el desp despla laza zami mien ento to mu mutu tuo o de las las secciones AA en el mismo anillo (véase el ejemplo anterior), pero solicitado por fuerzas que actúan perpendicularmente al plano del anillo (figura 195). Vemos el anillo en su plano (figura 196). En la sección B surge no solo un momento flector, sino también un momento torsor. El primero de ellos es igual al momento de la fuerza P respecto al eje y, el segundo, el momento de la misma fuerza respecto al eje x (figura 196). Está claro que My = PR sen ,
Mt = PR (1- cos
) Aplicamos en los puntos AA fuerzas unitarias en lugar de P. entonces obtendremos,
My1 = Rsen ,
Mt1 = R (1-cos
)
Volviendo a la expresión (5.8) y considerando a los dos primeras integrales hallaremos,
El desplazamiento en cuestión depende aquí de la rigidez del anillo a la torsión y de la rigidez a la flexión.
De los ejemplos analizados se deduce que al determinar los desplazamientos de la barra, cuya configuración coincide con el arco de un circun circunfer ferenc encia, ia, resul resulta ta necesa necesari rio o calcul calcular ar las las integr integrale ales s de dive divers rsas as comb combin inac acio ione nes s de las las func funcio ione nes s trig trigon onom omét étri rica cas s más más simples. Como estas combinaciones son bastante típicas, conviene tabular (tabla 5) las integrales más frecuentes en los problemas de este tipo. §40 Método de Vereschaguin
el defecto principal de la determinación de los desplazamientos por la formula de Mohr consiste en la necesidad de plantear las expresiones analíticas de las funciones integrando. Esta incomodidad se agrava cuando se determinan los desplazamientos en barras de muchos tramos. tramos. Sin embargo, embargo, cuando la barra consta de tram tramos os rect rectos os de rigi rigide dez z cons consta tant nte e en cada cada un uno o de ello ellos s la
operación de integración se puede simplificar. Esta simplificación de basa basa en el hech hecho o de qu que e los los gráf gráfic icos os de los los fact factor ores es de fuer fuerza za unitarios en los tramos rectos de la barra, resultan ser lineales. Supongamo Supongamos s que que en tramo de longitud longitud la integral del producto de dos funciones
se necesita necesita calcular calcular ,
Con la condición de que, por lo menos, una de las funciones es lineal. Supongamos que
Entonces la expresión (5.10) será,
La primera de estas dos integrales constituye el área limitada por la curva f 1 (z) figura 197, es decir, el área del diagrama de f 2 (z),
La segunda integral constituye el momento estático de esta área respecto al eje y1, es decir,
Sien Siendo do zc.g. La coor coorde dena nada da del del cent centro ro de grav graved edad ad del del prim primer er diagrama. Así pues, obtenemos
Pero
Por lo tanto,
Así pues, en el método de Vereschaguin, la integración se sustituye por el producto del área del primer diagrama por la ordenada del segundo (lineal) bajo el centro de gravedad del primer diagrama. Cuando las dos funciones son lineales, el producto de los diagramas resulta ser conmutativo. En este caso, el resultado no
Altera, Altera, si se multipli multiplica ca el área del primer diagrama diagrama por la ordenada ordenada del segundo p el área del segundo por la ordenada del primero. En cada una de las integrales del Mohr (5.8) figura el producto de las funciones etc. El método de Vereschaguin se puede aplicar a cada una de las seis integrales y la multiplicación de los gráficos se realiza de la misma forma, independiente de los diagramas se hayan construido para los momentos flectores, para los momentos torsores o para las fuerzas normales o transversales. La diferencia consiste solamente en que el <
> de los diag diagra rama mas s no no se se div divid ide e por por la rigi rigide dez z como como en el caso caso de la flexió flexión, n, sino sino por , en el caso caso de la torsió torsión, n, por por en el de tracci tracción ón por , en el de la distorsión. A primera vista puede parecer que el método de Vereschaguin no proporciona grandes simplificaciones, puesto que para aplicarlo es necesario determinar el área de los diagramas de los momentos y la posición del centro de gravedad, lo que, en el casi de diagramas comple complejo jos, s, exige, exige, sin sin embarg embargo, o, los diagr diagrama amas s de los los moment momentos os flectores que se dan en la práctica, como regla general, se pueden desc descom ompo pone nerr en figu figura ras s elem elemen enta tale les s como como el rect rectán ángu gulo lo,, el triangulo y el triangulo parabólico (figura 198), para las cuales, tanto el área área Ω, como como la posi posici ción ón del del cent centro ro de grav graved edad ad son son bien bien cono conoci cido dos. s. En los los caso casos s de tors torsió ión, n, trac tracci ción ón y dist distor orsi sión ón los los diag diagra rama mas s resu result ltan an más más simp simple les s aun, aun, pu pues es son son gene genera ralm lmen ente te
lineales y están constituidos por rectángulos y triángulos en diversas combinaciones.
Ejem Ejempl plo o 5.7. 5.7. Por Por el méto método do de Vere Veresc scha hagu guin in,, calc calcúl úles ese e el desplazamiento del punto A para el caso de la viga de la figura 199, a. Construimos el diagrama de los moment entos flectores correspondientes a las fuerzas dadas P (figura 199, b). Retiramos después las fuerzas exteriores, aplicamos en el punto A una fuerza unitaria y construimos el diagrama correspondiente correspondiente
(Figura 199, c y d). Hallaremos ahora el producto de los diagramas. En el tramo BC, el área del diagrama de los momentos de las fuerzas dadas es,
La ordenada del diagrama unitario, bajo el centro de gravedad del diagrama de los momentos de las fuerzas dadas, será en este tramo,
Multiplicando Multiplicando estas magnitudes, hallaremos,
El tramo BD no se puede considerar enteramente puesto que, en el diagrama de los momentos de la fuerza unitaria está constituido por una línea quebrada. Tomamos solamente la mitad del tramo, es decir, el segmento AB. Aquí,
Sumando los resultados de las multiplicaciones obtendremos.
En los tramos situados ala derecha del punto A, de la condición de sime simetr tría ía,, se obti obtien ene e el mism mismo o resu result ltad ado. o. Dupl Duplic icam amos os pu pues es la expr expres esió ión n hal halla lada da y, un una a vez vez divi dividi dida da por por obte obtend ndre remo mos s el el desplazamiento que se busca,
Ejemplo 5.8. En el sistema de la figura 200, a determinar la separación de los puntos A originada por la fuerza P.
Construimos los diagramas de los mome moment ntos os de las las fuer fuerza zas s dadas P y de las fuerzas unitarias las aplicadas en los puntos A (figura 200, b y c). Está claro que el producto de los diagramas en
los los tram tramos os vert vertic ical ales es será será igua iguall a cero cero.. En el tram tramo o hori horizo zont ntal al hallaremos,
Y por lo tanto,
Ejemplo 5.9. Determinar el desplazamiento del punto A del voladi voladizo zo solici solicitad tado o por una carga carga unifor uniformem mement ente e distri distribui buida da de intensidad q (figura 201, a). Construimos los diagramas de los momentos de las fuerzas dadas y de la fuerza unitaria aplicada al punto A (figura 201, b y c). La multipli multiplicació cación n de los diagram diagramas as se debe realizar realizar por tramos tramos,, o sea, para la parte derecha y para la parte izquierda de la barra por separado. En la parte izquierda, el diagrama de los momentos de las fuerzas dadas está constituido por un trapecio parabólico cuya área y posi posici ción ón del del cent centro ro de grav graved edad ad con con desc descon onoc ocid idos os.. Por Por ello ello descomponemos el diagrama. En lugar del diagramas de la figura 201, b construimos, por separado, el diagrama correspondiente a la carga que se encuentre a la derecha y el diagrama correspondiente a la carga ubicada a la izquierda del punto A (figura 201, d).
Ahor Ahora, a, en el tram tramo o izqu izquie ierd rdo, o, en luga lugarr del del trap trapec ecio io para parabó bóli lico co,, figuran un triangulo, un rectángulo y un triangulo parabólico. Las
aéreas y las posiciones de los centros de gravedad de estas figuras son conocidas. El producto de los diagramas en el tramo derecho es igual a cero. cero. En el tramo tramo izqui izquierd erdo, o, se obtien obtiene e los los sigui siguient entes es sumand sumandos os corres correspo pondi ndient entes es al rectán rectángul gulo, o, triang triangulo ulo y triang triangul ulo o parabó parabóli lico co respectivamente,
De donde hallamos,
Ejem Ejempl plo o 5.10 5.10.. Veam Veamos os el ejem ejempl plo o de un sist sistem ema a esté estére reo. o. Determinemos el desplazamiento del punto A en la dirección k en el caso caso de la barr barra a esté estére rea a de la figu figura ra 20 202, 2, a. la rigi rigide dez z de los los elem elemen ento to a la flex flexió ión n en los dos dos plano planos s es igua iguall a . La rigi rigide dez z a la torsión es . Los despla desplazam zamien ientos tos fundam fundament entale ales s en el sistem sistema a son los los relacionados con la flexión y la torsión dela barras. Construidos los diagramas de os momentos flectores y torsores correspondientes a las fuer fuerza zas s dadas adas y a la fuer uerza un uniitar taria (figu figurra. 202 02,, b y c). c). Multiplicamos Multiplicamos los diagramas de los omentos flectores. Se multiplican solamente los diagramas que se encuentran en un mismo plano. Esto se deduce de la expresión (5.8) donde, dentro de las integrales, se multiplican multiplican solamente los momentos los momentos
y
pero no
.
El resu result ltad ado o de la mu mult ltip ipli lica caci ción ón de los los diag diagra rama mas s de los los momentos flectores en los tramos AB, BC, CD, y DE respectivamente es,
Como la rigidez a la flexión en los dos planos y en todos los tramos en las misma, todas estas magnitudes deberías sumarse y dividirse por
Entonces obtendremos,
Los Los diag diagra rama mas s de los los mome moment ntos os tors torsor ores es se mu mult ltip ipli lica can n solamente en el tramo CD. Como los momentos tienen el mismo signo, hallaremos,
El desplazamiento en cuestión será,
En el caso de una barra de sección circular,
Y por lo tanto,
§41 Determinación de los desplazamientos desplazamientos y las tensiones en muelles espirales
Los muelles espirales son unos de los elementos elástico mas difundidos en la construcción de maquinas. Se emplean en las más diversas estructuras como acumuladores de energía elástica en los disp dispos osit itiv ivos os de amor amorti tigu guac ació ión, n, de avan avance ce y en otro otros s mu much chos os dispositivos. El cálc cálcul ulo o y dise diseño ño de mu muel elle les s espi espira rale les s se estu estudi dia a en los los cursos de piezas de maquinas o instrumentos. Sin embargo, debido
a las las trad tradic icio ione nes s esta establ blec ecid idas as,, las las form formul ulas as prin princi cipa pale les s para para el cálcul cálculo o se deduce deducen n genera generalme lmente nte en el curso curso de resis resisten tencia cia de materiales, puesto que el cálculo de los muelles ilustra claramente los métodos de determinación de los desplazamientos. En mu muel elle le espi espira rall se pu pued ede e inte interp rpre reta tarr como como un una a barr barra a alabeada en el espacio, cuya línea axial, en el caso más simple, es una línea
Helico Helicoid idal. al. La forme forme geomét geométri rica ca de la líne línea a axia axiall se dete determ rmin ina a por por el diámetro de la esp espira D, por el numero de espiras n y por el ángulo de elevación α (véase en desarrollo de la figura 203). La elevación de la espira se puede caracterizar también por el paso s del resorte, S = ∏Dtgα, En todos los muelles que se encuentran en la práctica, el paso s es muy inferior a ∏D y el ángulo de elevación α se puede considerar como una magnitud pequeña. Generalmente α<50. Las propiedades del resorte dependen también de la forma de la sección transversal de la espi espira ra.. Gene Genera ralm lmen ente te se hace hacen n de alam alambr bre e redo redond ndo o cu cuyo yo diámetro se denota por d (figura 203). Según sea el tipo de las cargas de trabajo que actúan los muelles espirales se dividen en muelles de tracción (figura 204, a), muelles de compresión (figura 204, b) y muelles de torsión (figura 204, c). En los dos primeros casos, los muelles se cargan por fuerzas, cuyas resultantes están orientadas según el eje del muelle. El muelle de torsión se solicita por dos momentos situados en los planos perpendiculares al eje del muelle. La particularidad constructiva de los muelles citados consiste en la terminación de los extremos. Las espiras extremas de los muel mu elle les s de trac tracci ción ón y tors torsió ión n se dobl doblan an de tal tal mane manera ra qu que e sea sea fact factiible, en cada ada caso aso, la fij fijaci ación del del mu muel ellle con con las piezas ezas adya adyace cent ntes es.. En el caso caso de mu muel elle les s de comp compre resi sión ón,, las las espi espira ras s extr extrem emas as se comp compri rime men n y se esme esmeri rila lan n en los los extr extrem emos os para para conseguir así los planos de apoyo.
Al determinar los desplazamientos y las tensiones estas particularidades de los muelles no se tienen en consideración y se prescinde generalmente de las espiras extremas. Hallem Hallemos os la depend dependenc encia ia entre entre la variac variació ión n de la altura altura del muelle de tracción---compresión y la fuerza axial P. en toda sección transversal arbitraria de la espira del muelle de tracción parece la fuerza interior resultante P (figura 205, a) y un momento M= PD/2. La fuerza completa en la sección es paralela al eje del muelle y el plano del momento M coincide con el plano del par de las fuerzas P. la sección transversal normal de la espira esta girada respecto a este este plan plano o con con un ángu ángulo lo α. Desc Descom ompo poni nien endo do al mome moment nto o y la fuerza sobre los ejes relacionados con la sección (figura 205, b), hallaremos,
Para hablar el desplazamiento axial λ, aplicamos a los extremos del muel mu elle le fuer fuerza zas s un unit itar aria ias s y calc calcul ulam amos os los los fact factor ores es de fuer fuerza za interiores que en este caso surgen. Estos factores se determinan, claro está, por la expresión expresión (FIGURA 5.11) 5.11) considerando que P = 1,
Para determinar los desplazamientos en el muelle helicoidal es necesario, pues, plantear cuatro integrales de Mohr de las seis que figu figura ran n en la form formul ula a (fig (figur ura a 5.8) 5.8).. Sin Sin emba embarg rgo, o, resu result lta a qu que e los los desplazamientos originados por las fuerzas normal y cortante, como en el caso de cualquier otra barra, son pequeños y debido a que α es
Pequeño será pequeño también el desplazamiento axial relacionado con la flexión de las espiras. Por lo tanto
Siendo , la rigidez de la espira a la torsión, suponiendo que cos α 1, obtendremos,
Siendo es,
, la longitud total de la parte de trabajo trabajo de las espiras que
Así pues,
Al determinar la magnitud de n, en el caso del muelle de tracción de part parte e dobl doblad ada a de las las espi espira ras s en los los extr extrem emos os no se tien tiene e en consideración. En el caso de los muelles de compresión, del número total de espiras se resta ¾ de espira en cada extremo, puesto que estas espiras están en contacto con las espiras adyacentes y no pued pu eden en form formar arse se libr librem emen ente te.. Así Así pu pues es,, se supo supone ne qu que e espi espira ra y media no trabajan.
Si el muelle se forma de una alambre redondo,
Y entonces, la formula (5.12) se escribiría así,
Como Como las las espi espira ras s del del mu muel elle le de trac tracci ción ón – comp compre resi sión ón trab trabaj ajan an principalmente principalmente a torsión,
Cuando la sección transversal es circular,
Pasando a los muelles de torsión conviene señalar que al calcularlos, el máximo máximo interés interés presenta presenta la determinac determinación ión del desplazam desplazamiento iento angular de un extremo respecto al otro. En las las secc seccio ione nes s tran transv sver ersa sale les s de la espi espira ra del del mu muel elle le de torsión surge el momento total Descomponiéndolo Descomponiéndolo según los ejes obtendremos,
(figura
206).
Una vez aplicados a los extremos del muelle los momentos unitarios hallaremos,
Como Como el ángulo ángulo α es pequeñ pequeño, o, presci prescindi ndimos mos del despla desplazam zamien iento to relacionado con la torsión de las espiras y consideramos que cos α es igual a la unidad. Entonces obtendremos,
La tensión máxima originada por la flexión será,
Los problemas problemas que surgen surgen en el cálculo de los muelles muelles espirales espirales no se limi limita tan n a lo expu expues esto to.. Cuan Cuando do el diám diámet etro ro del del alam alambr bre e d es comparable con la la dela espira D resulta necesario necesario introducir ciertas ciertas correc correccio ciones nes debidas debidas a que la curvatu curvatura ra es grande. grande. En alguno algunos s casos es necesario necesario determina determinarr los desplazam desplazamient ientos os denominad denominados os secundarios, por ejemplo la variación del diámetro o la variación del número de espiras del muelle de tracción. En toda una serie de caso asos presenta cierto interés la creación de muelles con depe depend nden enci cia a no line lineal al entr entre e el asie asient nto o λ y la fuer fuerza za P. esto esto se consigue con el hecho de que, al deformarse el muelle, parte de las espi espira ras s dej deja de trab trabaj ajar ar.. Se encu encuen entr tran an tamb tambié ién n prob proble lema mas s relacionados con el cálculo de muelles no cilíndricos y otros muchos. Todos ellos, sin embargo, salen fuera de los marcos de curso de resistencia de materiales y, por lo tanto, aquí no se analizan. §42 Teorema de desplazamientos
reciprocidad
de
los
trabajos
y
los
El teorema de reciprocidad de os trabajos, así como el teorema de castigliano, figura entre los teoremas generales de la resistencia de materiales. Se deduce directamente del principio de superposición de fuerzas y se aplica a todos los sistemas que se atienden a este principio. Veamos un cuerpo elástico con una fuera P1 aplicada en el punto A y otra P2, en el punto B (figura 207). Suponiendo que se puede aplicar al sistema el principio de superposición de las fuerzas,
determinemos el trabajo que realizan las fuerzas P1 y P2, al aplicarlas en orden directo e inverso. Apli Aplica camo mos s prim primer eram amen ente te en el pu punt nto o A la fuer fuerza za P1 que realizara entonces el trabajo ½ P1δA1 siendo δA1, el desplazamiento del punto A en dirección a la fuerza P1 originado por la misma fuerza P1. Apli Aplica camo mos s desp despué ués s en el pu punt nto o B la fuer fuerza za P1 que reali realizar zara a un trabajo cuya expresión será análoga a la anterior, es decir ½ P2δB2. Simultáneamente a este trabajo, realizara cierto trabajo también la fuerza P1 puesto que al aplicar la fuerza P2 se desplaza al punto A. el trabo de la fuerza P1 será P1δA2, siendo δA2 el desplazamiento del punto
A en dirección a la fuerza P1 originado por la fuerza P2 aplicada al punto B. Como resultado se obtiene la siguiente suma de los trabajos correspondiente correspondiente al orden directo de aplicación de las fuerzas,
Invertimo Invert imos s ahora ahora el orden orden de aplica aplicació ción, n, aplica aplicando ndo primer primero o P2 y después P1. Entonces la expresión del trabajo realizado será,
Igualando estos trabajos obtendremos,
El resultado obtenido se puede resumir de la forma siguiente. El trabajo de la primera fuerza en el desplazamiento del punto de su aplicación y debido a la acción de la segunda fuerza es igual al
trabajo realizado por la segunda fuerza en el desplazamiento del punto de su aplicación y originado por la primera fuerza. En esto consiste el teorema de reciprocidad de los trabajos. Este ste teo teorema ema req requier uiere e mayo mayorr gen general eraliidad dad si se tien tiene e cons consid ider erac ació ión n qu que, e, en este este caso caso,, como como cu cuan ando do se dedu deducí cía a el teo teorema ema de cast castiigli gliano ano, por P1 y P2 se puede uede ent entende enderr no simplemente fuerzas, sino fuerzas generalizadas y por δA2 y δB1, desplazamientos generalizados. Algunas veces el teorema de reciprocidad de los trabajos se le atribuye un contenido mucho más estrecho y se interpreta como el teor teorem ema a de reci recipr proc ocid idad ad de los los desp despla laza zami mien ento tos. s. Si P1=P P1=P2 2 la expresión (5.14) será el siguiente.
El desplazamiento del punto A originado por la fuerza aplicada en el punto B es igual al desplazamiento del punto B originado por la misma fuerza, pero aplicada en el punto A Esto puede ser ilustrado en el ejemplo de una viga solicitada por la fuerza P que se aplica consecutivamente en los puntos A y B (figura 208). Según el teorema de reciprocidad de los despl desplaza azamie miento ntos, s, los los segmen segmentos tos δA2 y δB1 repres represent entado ados s en la figura, deberán ser iguales. Los teoremas de reciprocidad de los trabajos y los desplazamientos resultan ser muy útiles, puesto que permiten, en muchos casos, simplificar considerablemente la solución de muchos problemas de la
Resistencia de materiales. En algunos casos, el teorema de reciprocidad de los trabajos perm permit ite, e, de mane manera ra mu muy y simp simple le,, reso resolv lver er,, en form forma a gene genera ral, l,
problemas, que, por otros métodos, se pueden resolver solamente después de vencer serias dificultades. Ejemplo 5.11. Determinar la variación del volumen del cuerpo elástico de configuración arbitraria solicitado por dos fuerzas iguales y de dirección opuesta P (figura 209). La distancia entre puntos de apli plicaci cación ón H. las cons consttant antes de ela elasti sticida cidad d del del mater ateriial se consideran dadas.
Está claro que obtener la solución solución del problema problema planteado planteado en form forma a tan tan gene genera rall resu result lta a difí difíci cil. l. Sin Sin emba embarg rgo, o, si recu recurr rrim imos os al teorema de reciprocidad de los trabajos el problema se simplifica. Anal Analiz izam amos os simu simult ltán ánea eame ment nte e a la carg carga a p qu que e actú actúa a sobr sobre e la superf superfici icie. e. Obtend Obtendrem remos os entonc entonces es dos fuerza fuerzas s genera generali lizad zadas: as: el sistema de dos fuerzas P, por una parte, y la presión p, por otra. Según el teorema generalizado de reciprocidad de los trabajos podemos afirmar que,
Siendo ∆Hp, el desplazamiento mutuo de los puntos de aplicación de las fuerzas originado por la presión p y ∆Vp, la variación que se busca del volumen del cuerpo originada por la fuerza P. Al cargar el cuerpo con una presión uniformemente distribuida en cada área de éste aparece una tensión a la presión p para el volume volumen n elemen elemental tal de la (figur (figura21 a210), 0), la compr compresi esión ón unitar unitaria ia en cualquier dirección es, según la ley de Hooke
, Los puntos de aplicación de las fuerzas P (figura 209) se acercaran bajo la acción de la presión p en la magnitud siguiente,
Introduciendo ∆Hp en la expresión (5.16) obtendremos,
Ejemplo 5.12. El anillo de rigidez absoluta a la tracción está solicitad solicitado o en su plano por un sistema arbitra arbitrario rio de fuerzas fuerzas (figura (figura 211). Demostrar que el área limitada por el anillo no varía durante la flexión.
La variación del área se considera como el desplazamiento genera generali lizad zado. o. La fuerza fuerza genera generali lizad zada a q consta constante nte.. Por lo tanto, tanto, anali analizam zamos, os, simul simultán táneam eament ente e distr distribu ibuida ida de intens intensid idad ad q (figur (figura a 121). Entonces, según el teorema de reciprocidad de los trabajos obtendremos,
Sien Siendo do
la vari variaci ación ón qu que e se bu busc sca a del del área área,, orig origin inad ada a por por la
carga arbitraria arbitraria y , la suma de los trabajos de estas fuerzas en los desplazamientos originados por las fuerzas distribuidas q. Bajo la acción de las fuerzas q no surgirán desplazamientos en el anillo, puesto que este es absolutamente rígido a la tracción y por lo tan tanto
. Es de decir, el se segundo mie miembro de la la ecu ecuación (5. (5.17)
resulta a cero y
, lo que se pretendía demostrar.
Está claro que el resultado obtenido es justo solamente en el caso caso de despl desplaza azamie miento ntos s pequeñ pequeños, os, cuando cuando resul resulta ta aplica aplicabl ble e al sistema el principio de superposición de las fuerzas.
EJERICICIOS
BIBLIOGRAFIA:
http://www.scribd.com/doc/305851/Resistencia-de-materialesProblemas-resueltos?autodown=pdf Resistencia de los Materiales V.I FEODOSIEV editorial MIR MOSCU Resistencia de los Materiales Luis Ortiz Berrocal editorial McGraw-hill
