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C A P ÍT U L O 2
C A P ÍT U L O 3
C A P ÍT U L O 4
1—13
Deform ación por cortante
26
1-14
M ódulo de Elasticidad
1-15
M ódulo de elasticidad a cortante
1-16
M edidas preferidas y perfiles estándar
27 27 27
P R O P I E D A D E S D E D IS E Ñ O D E L O S M A T E R I A L E S
2-1
Objetivos de este capítulo
2 -2
M etales en el diseño mecánico
2 -3
Acero
2 -4
Hierro fundido
45
45 46
55 60
2 -5
Aluminio
2 -6
Cobre, latón y bronce
62
2 -7
Zinc, m agnesio y titanio
2 -8
No m etales en el diseño de ingeniería
2 -9
M adera
2—10
Concreto
66
2-11
Plásticos
67
2 -1 2
M ateriales com puestos
64 64 65
65
67
D IS E Ñ O D E E L E M E N T O S E S T R U C T U R A L E S S O M E T ID O S A E S F U E R Z O D IR E C T O
3-1
Objetivos de este capítulo
3 -2
Diseños de miembros bajo tensión o com presión directa
3 -3
Esfuerzos normales de diseño
3 -4
Factor de diseño
3 -5
Criterios en la determ inación del factor de diseño
3 -6
M étodos para calcular el esfuerzo del diseño
3 -7
Diseño por esfuerzo cortante
82
82 83
84
85 87
88
94
3 -8
Diseño por esfuerzos de apoyo
3 -9
Factores de concentración de esfuerzo
98 103
D E F O R M A C IÓ N Y E S F U E R Z O T É R M IC O
115
4-1
Objetivos de este capítulo
4—2
Deform ación elástica en elem entos sometidos a tensión y com presión
115
4—3
Deform ación que causan cambios de tem peratura
4—4
Esfuerzo térmico
116
120
125
X II
C o n te n id o
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4 -5 C A P ÍT U L O 5
C A P ÍT U L O 6
Elementos estructurales hechos de más de un material
126
E S F U E R Z O C O R T A N T E T O R S IO N A L Y D E F L E X IÓ N T O R S IO N A L 1 3 5
5-1
Objetivos de este capítulo
5 -2
Par de torsión, potencia y velocidad de rotación
135
5-3
Esfuerzo cortante torsional en elementos estructurales de sección transversal circular 139
5—4
Derivación de la fórmula para el esfuerzo cortante torsional
5 -5
Momento polar de inercia de barras circulares sólidas
5 -6
Esfuerzo cortante torsional y momento polar de inercia de una barra circular hueca 145
5 -7
Diseño de elementos circulares sometidos a torsión
5 -8
Com paración de elementos circulares sólidos y huecos
5 -9
Concentraciones de esfuerzo en elementos sometidos a torsión
5-10
T orsión-deform ación torsional elástica
5-11
Torsión en secciones no circulares
136
142
144
147 153 154
161
169
F U E R Z A S C O R T A N T E S Y M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S E N V IG A S
C A P ÍT U L O 7
6-1
Objetivos de este capítulo
6 -2
Cargas en vigas, apoyos y tipos de vigas
181
6-3
Apoyos de vigas y reacciones en los apoyos
6 -4
Fuerzas cortantes
6-5
Momentos flexionantes
6 -6
Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas en voladizo
6 -7
Vigas con cargas distribuidas linealmente variables
6-8
Diagramas de cuerpo libre de componentes de estructuras
6 -9
Análisis matemático de diagramas de vigas
182 191
195 204 214
216 219
223
C E N T R O ID E S Y M O M E N T O S D E IN E R C IA D E Á R E A S
7-1
Objetivos de este capítulo
244
7 -2
El concepto de centroide-form as simples
7 -3
Centroide de formas complejas
245
7—4
Concepto de momento de inercia
7 -5
Momento de inercia de figuras com puestas cuyos componentes tienen el mismo eje centroidal 253
7 -6
Momento de Inercia de figuras com puestas - Caso general - Uso del
246 251
C o n ten ido
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244
teorem a de la transferencia del ej e
C A P ÍT U L O 8
C A P ÍT U L O 9
7 -7
Definición matemática del momento de inercia
7 -8
Secciones com puestas hechas de perfiles com ercialmente disponibles
7 -9
Momento de inercia de perfiles cuyas partes son todas rectangulares
259 260 264 274
E S F U E R Z O C A U S A D O P O R F L E X IÓ N
8-1
Objetivos de este capítulo
8 -2
Fórm ula de flexión
8-3
Condiciones para el uso de la fórmula de flexión
8^t
Distribución del esfuerzo en la sección transversal de una viga
274
275 278
8-5
Derivación de la fórmula de flexión
8 -6
A plicaciones-análisis de vigas
8 -7
A plicaciones-diseño de vigas y esfuerzos de diseño
8 -8
M ódulo de sección y procedim ientos de diseño
8 -9
Concentraciones de esfuerzo
8 -1 0
Centro de flexión (centro de cortante)
8-11
Perfiles preferidos para secciones transversales de vigas
8 -1 2
Diseño de vigas hechas de materiales com puestos
280
281
284 287
289
296 301 304
309
E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S
9-1
Objetivos de este capítulo
9 -2
Visualización de esfuerzos cortantes en vigas
9 -3
Importancia de los esfuerzos cortantes en vigas
326
9 -4
Fórmula general de cortante
9-5
Distribución del esfuerzo cortante en vigas
9 -6
Desarrollo de la fórmula general de cortante
9 -7
Fórmulas del cortante especiales Esfuerzo cortante de diseño Flujo de cortante
328 329
330
9 -8 9 -9 C A P ÍT U L O 1 0
255
337 344
347
351
352
E L C A S O G E N E R A L D E L O S E S F U E R Z O S C O M B IN A D O S Y
10-1
EL
361
C ÍR C U L O D E M O H R
Objetivos de este capítulo
361
10-2
Elemento sometido a esfuerzo
362
10-3
Distribución del esfuerzo creada por esfuerzos básicos
10—4
Creación del elemento sometido a esfuerzo inicial
363
365 C o nten ido
XIV
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10-5
Ecuaciones para determ inar esfuerzos en cualquier dirección
10-6
Esfuerzos principales
376
10-7
Esfuerzo cortante máximo
10-8
Círculo de M ohr para esfuerzo
377
10-9
Ejemplos del uso del círculo de M ohr
379 386
10-10 Condición de esfuerzo en planos seleccionados
C A P Í T U L O 11
C A P ÍT U L O 12
393
10-11
Caso especial en el cual los dos esfuerzos principales tienen el m ismo signo 396
10-12
Teoría de falla del dsfuerzo cortante m áxim o
401
11-1
Objetivos de este capítulo
11—2
Esfuerzos norm ales com binados
11-3
Esfuerzos com binados norm ales y cortantes
405 406 414 429
D E F L E X I Ó N D E V IG A S
12-1
Objetivos de este capítulo
12-2
La necesidad de considerar las deflexiones de vigas
12-3
D efinición de térm inos
12-4
Deflexiones de vigas con el método de la fórm ula
12-5
Superposición mediante fórmulas de deflexión
12-6
Principios básicos para determ inar la deflexión en vigas con el m étodo de integración sucesiva 443
12-7
Deflexión de vigas - método de integración sucesiva - enfoque general
12-8
Deflexión de vigas - método del área de m om ento
12-9
A plicaciones del método del área de m om ento
429 430
431 434 439
460
13-1
Objetivos de este capítulo
13-2
Ejemplos de vigas estáticamente indeterm inadas
13-3
Fórm ulas para vigas estáticamente indeterm inadas
13-4
M étodo de superposición
474 484
484 485 487
497
V igas co n tin u as-teo rem a de los tres m om entos
502 513
COLUM NAS
14—1
446
456
V I G A S E S T Á T I C A M E N T E IN D E T E R M I N A D A S
13-5 C A P ÍT U L 0 14
405
C A S O S E S P E C IA L E S D E E S F U E R Z O S C O M B IN A D O S
12-10 V ig asc o n c arg asd istrib u id as-m éto d o d eláread em o m en to C A P ÍT U L O 1 3
372
Objetivos de este capítulo
513 XV
C o n te n id o
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14-2
Razón de esbeltez
514
14—3
Razón de esbeltez de transición
14-4
Fórm ula de Euler para columnas largas
14-5
F órm uladeJ. B. Johnson para columnas cortas
14-6
Factores de diseño para columnas y carga perm isible
14-7
R esu m en -m éto d o de análisis de columnas
14-8
Perfiles eficientes para secciones transversales de colum na
14-9
Especificaciones del AISC
518 520
521
522
14—11 Colum nas con carga no centrada
528
529 536
R E C I P I E N T E S A P R E S IÓ N
15-1
Objetivos de este capítulo
536
15-2
Distinción entre los recipientes a presión de pared delgada y pared gruesa 537
15-3
Esferas de pared delgada
15-4
Cilindros de pared delgada
15-5
Cilindros y esferas de pared gruesa
15-6
Procedim iento para analizar y diseñar recipientes a presión esféricos y cilindricos 546
539 541 546
15-7 ■ Otras consideraciones de diseño para recipientes a presión C A P ÍT U L 0 16
525
526
14—10 Especificaciones de la Aluminum Association
C A P ÍT U L O 1 5
521
554 560
C O N E X IO N E S
16-1
Objetivos de este capítulo
16-2
Tipos de conexiones
16-3
Modos de falla
16-4
Conexiones rem achadas
16-5
Esfuerzos permisibles
560
561
562 563 565
16-6
Conexiones atornilladas
16-7
Ej emplos - juntas rem achadas y atornilladas
566
16-8
Juntas rem achadas y atornilladas excéntricam ente cargadas
16-9
Juntas soldadas con cargas concéntricas
5 67 569
573 582
A P É N D IC E
635 ÍN D IC E
xv i
C o n te n id o
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11 C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te ria le s
1 -1
O B J E T I V O S D E L L IB R O
Es esencial que cualquier producto, m áquina o estructura sea segura y estable bajo las cargas ejercidas sobre aquéllas durante cualquier uso previsible. El análisis y diseño de estos dispositivos o estructuras, para que garanticen la seguridad, es el principal objetivo de este texto. La falla de un com ponente de una estructura puede ocurrir de diversas formas: 1. El material del com ponente puede fracturarse totalm ente. 2. El m aterial puede deform arse en exceso bajo la carga, de tal m anera que el com ponente ya no sea conveniente para su propósito. 3. La estructura puede hacerse inestable y pandearse, y, por lo tanto, volverse in capaz de soportar las cargas para las que se diseñó. Los ejem plos de estos modos de falla pueden ayudar al lector a com prender la importan cia de conocer bien los principios de la resistencia de m ateriales aplicada, que se descri ben en este texto. P r e v e n c ió n d e f a lla p o r fr a c t u r a s . La figura 1-1 m uestra dos varillas que sopor tan una pesada pieza fundida. Im agine que es usted la persona responsable del diseño de las varillas. Ciertam ente, querría asegurar que las varillas fuesen lo suficientem ente fuer-
1
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C ab le d e la g rú a
F IG U R A 1 - I
D os v a rilla s q u e c arg an un b lo q u e p esado.
tes para que no se rompieran ni perm itiesen que la pieza fundida cayera causando, posi blem ente, grandes daños tanto m ateriales com o a personas. Si usted fuera el diseñador de las varillas, ¿qué información necesitaría? ¿qué decisiones debería tom ar para el diseño? A continuación exponemos una lista parcial. 1. ¿Cuál es el peso y tamaño físico de la pieza fundida? 2. ¿Dónde está su centro de gravedad? Esto es im portante para que usted pueda decidir dónde colocar los puntos de agarre de las varillas con el bloque. 3. ¿C óm o se unirán las varillasa la pieza fundida y al sistem a de soporte en la parte superior? 4.
¿D e qué material deben estar hechas las varillas? ¿Cuál es su resistencia?
5. ¿Cuál será el tam año y form a de la sección transversal de las varillas? 6. ¿C óm o se aplicará inicialm ente la carga de la pieza fundida a las varillas: de m anera lenta, con im pacto, o con movim iento de sacudida? 7. ¿S eutilizarán las varillas para m uchos ciclos de carga durante su vida esperada? C a p itu lo 1 ■
C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te r ia le s
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El conocim iento de estos factores perm itirá a usted diseñar las varillas p ara que sean seguras; es decir, para que no se rom pan en las condiciones de servicio anticipadas. E n los capítulos 1 y 3 esto se tratará con m ayor detalle. P r e v e n c ió n d e d e f o r m a c i ó n e x c e s iv a . Los engranes se utilizan en dispositivos m ecánicos transm isores de potencia com o la transm isión de un cam ión, en bandas trans portadoras o en el uso de una m áquina-herram ienta. Para u n a correcta operación de los engranes, es esencial que estén alineados adecuadam ente, con tal que los dientes del engrane de m ando coincidan con precisión con los del engrane m andado. L a figura 1 -2 m uestra dos flechas con sus engranes trabados. L as flechas están apoyadas sobre cojine tes que están a su v ez montados rígidam ente en la caja de transm isión. Cuando los engra nes transm iten potencia, se desarrollan fuerzas que tienden a separarlos. Estas fuerzas son resistidas por las flechas, de m odo que tienen cargas com o las que se m uestran en la figura 1 -3 . La acción de las fuerzas perpendiculares a las flechas tiende a flexionarlas, lo que causaría que los dientes de los engranes quedaran desalineados. Por consiguiente, los ejes deben tener un diseño tal que el pandeo en los engranes esté a un nivel reducido y aceptable. D esde luego, las flechas deben tener un diseño que las haga seguras bajo las cargas que se les aplican. En este tipo de carga, seconsidera a las flechas com o vigas. Los capítulos 8 y 12 tratan los principios de los diseños de vigas p o r resistencia y deflexión. E s ta b ilid a d y p a n d e o . Una estructura puede desplom arse debido a que uno de sus m iem bros de apoyo más im portantees incapaz de conservar su form a bajo cargas aplica das, aun cuando el material no falle por fractura. U n ejem plo de esto es un poste largo y delgado o colum na, sujeto a una fuerza de com presión dirigida hacia abajo. A cierta carga crítica, la colum na se pandea. Es decir, de repente se dobla, perdiendo su form a recta original. Cuando esto ocurre, si la carga perm anece aplicada, la colum na se colapsará totalm ente. La figura 1- 4 m uestra un dibujo de una colum na de este tipo, relativam ente larga y con una sección transversal rectangular delgada. Se puede utilizar una vara de m edir o una regla común para dem ostrar el pandeo en este tipo de colum na. Para prevenir el pandeo, se debe tener la capacidad para especificar el m aterial, form a y tam año apro piados para la sección transversal de un m iem bro de una longitud dada som etido a com presión, de m odo que perm anezca recto bajo las cargas esperadas. El capítulo 14 presenta el análisis y diseño de columnas.
F IG U R A 1 - 2
S e c c ió n 1 - 1
■
D os flechas con en g ran es trabados.
O b je tiv o s de l lib ro
3
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4. D efinir esfuerzo normal directo y calcular el valor de este tipo de esfuerzo, tanto para carga de tensión com o de compresión. 5. D efinir el esfuerzo cortante directo y calcular su valor. 6. Identificar las condiciones en las que un m iem bro de carga se encuentra som e tido a esfuerzo cortante simple o a esfuerzo cortante doble. 7. D ibujar elementos sometidos a esfuerzo, en los que se m uestren los esfuerzos norm al y cortante que actúan en un punto cualquiera en un m iem bro que sopor ta cargas. 8. D efinir esfuerzo de apoyo y calcular su valor. 9. D efinir la deformación normal unitaria y la deformación p o r cortante uni
taria. 10. D efinir el coeficiente de Poisson y dar su valor para m ateriales típicos que se utilizan en el diseño m ecánico y estructural. 11. Reconocer perfiles estructurales estándar y cuerdas de tom illos estándar, y utilizar datos en relación con éstos. 12. D efinir el módulo de elasticidad a tensión. 13. D efinir el módulo de elasticidad a cortante. 14. Entender las responsabilidades de los diseñadores.
1 -3
S IS T E M A S D E U N ID A D E S B Á S IC A S
Los cálculos que se requieren en la aplicación de la resistencia de m ateriales involucran la m anipulación de varios conjuntos de unidades en ecuaciones. Para obtener precisión num érica, es de gran im portancia asegurar que se utilizan unidades consistentes en las ecuaciones. A lo largo de este texto, se escribirán los núm eros con sus respectivas u ni dades. D ebido a la transición que se está llevando a cabo de las unidades tradicionales en Estados U nidos a unidades del sistem a métrico decim al, en esta obra se utilizan ambas. Se espera que las personas que ingresan a una carrera industrial o van a continuarla dentro de los próxim os años, se familiaricen con am bos sistemas. P o ru n ap arte, m uchos produc tos nuevos, tales com o autom óviles y m aquinaria com ercial, se fabrican utilizando di m ensiones del sistem a métrico. Por consiguiente, las piezas y equipo de fabricación se especificarán en esas unidades. Sin em bargo, esta transición no ocurre uniform em ente en todos los campos. Los diseñadores tendrán que trabajar con artículos com o acero estru c tural, alum inio y m adera, cuyas propiedades y dim ensiones están dadas en unidades anglosajonas en referencias convencionales. Además (en Estados Unidos), los diseñado res, personal de ventas y servicios, y aquellos que laboran en la industria m anufacturera, deben trabajar con equipo que ya se instaló previam ente y que se construyó de acuerdo con las dim ensiones del sistema de unidades anglosajonas. Por consiguiente, parece ló gico que las personas que prestan sus servicios actualm ente en la industria deban ser capaces de trabajar y pensar en la aplicación de am bos sistemas. El nom bre formal para el sistem a de unidades de uso en Estados U nidos es el Siste m a de Unidades G ravitacionales Inglesas (EGU: English G ravitational U nit System). El Sistema m étrico, aceptado intem acionalm ente, se conoce p o r el nom bre en francés de Systéme International d ’Unités, o Sistema Internacional de U nidades que, en el presente texto, se abrevia con las siglas SI. En la m ayoría de los casos, los problem as en este libro se trabajan tanto en el siste m a de unidades estadounidenses com o en el sistem a SI, en vez de m ezclar unidades. En Sección 1 - 3 ■ Sistem as de unidades básicas
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los problemas donde los datos se dan en ambos sistemas de unidades, es deseable cambiar todos los datos al mism o sistema antes de term inar la solución del problem a. El apéndice A - 25 da factores de conversión para utilizarse al m omento de realizar las conversiones. Las magnitudes básicas para cualquier sistema de unidades son: longitud, tiempo, fuerza, masa, temperatura y ángulo. La tabla 1 - 1 es una lista de las unidades para estas magnitudes en el SI, y la tabla 1 - 2 lista las magnitudes en el sistema de unidades anglo sajonas. P r e fijo s p a r a u n id a d e s S I. En el SI, deben utilizarse prefijos para indicar órdenes de magnitud y de este modo eliminar digitosy proporcionarun conveniente sustituto para escribir potencias de 10, como generalm ente se prefiere para cálculos. Se recomiendan los prefijos que representan saltos de 1000. Aquellos que generalm ente se encuentran en la resistencia de materiales, se listan en la tabla 1 -3 . En la tabla 1 - 4 se muestra la forma en que deben convertirse los resultados que se calcularon para utilizarse con los prefijos convencionales de unidades.
TABLA 1- 1 M agnitud Longitud T iem po Fuerza M asa Tem peratu ra Á ngulo
TABLA 1 -2
D im ensiones básicas del sistem a m étrico decim al (SI) U nidad SI m etro(m ) seg u n d o (s) new ton (N) k ilogram o (kg) k elv in (K ) radián
O tras unidades m étricas m ilím etro (m m ) m inuto (m in ), hora (h) k g • m /s N • s2/m g rados C elsiu s (°C ) grado
D im ensiones básicas en el sistem a de unidades anglosajonas
M agnitud
U nidad anglosajona
Longitud Tiem po Fuerza M asa Tem pera! un» Á ngulo
p ic (ft) segundo (s) libra (Ib) slug °F grado
O tras unid ades anglosajonas pulgada (plg) m in u to (m in), hora (h) kip* l b s 2/pie radián (rad)
* 1.0 kip = 1000 Ib. El nom bre se deriva del térm in o A'//í>/>oMw/(kilolibra).
T A B LA 1 -3 P refijo g 'g a m ega kilo m ili m icro
P refijos para unidades SI Sím bolo SI G M k m
M
O tras un id ad es m étricas 1 0 ^= 1 0 0 0 0 0 0 000 106=1 0 00 000 103=1 ooo 10~3 =0.001 I0~6=0.000 001
C a p ítu lo 1 ■ C o n ce p to s b á s ic o s en la re s is te n cia d e m a te ria le s
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TA B LA 1 -4
M éto d o adecu ad o p ara re p o rta r can tid ad es R esu ltad o rep o rtad o
R esu ltad o calcu la d o
5 .48 x 10-3 m , o 5 .4 8 m m 12.75 x l 0 3 N , o l 2 .7 5 k N 3 4.5 x 10 3, o 34.5 M g (m eg ag ram o s)
0 .005 4 8 m 12750N 34 5 0 0 kg
1 -4
R E L A C IO N E S E N T R E M A S A , F U E R Z A Y P E S O
La fuerza y la m asa son m agnitudes separadas y distintas. El peso es una clase especial de fuerza.
La masa se refiere a la cantidad de sustancia que hay en un cuerpo. La fu erza es Ia acción de empujar ojalar que se ejerce sobre un cuerpo, ya sea p o r una fu e n te externa, o por la gravedad. E l peso es la fu erza de la atracción gravltacional sobre un cuerpo. La m asa, la fuerza y el peso, se relacionan por la ley de N ew ton: ftierza = m asa x aceleración Con frecuencia utilizam os los sím bolos F, para fuerza, m para m asa y a p a ra aceleración. Entonces:
F=mxa
o
m = F /a
C uando se involucra la atracción de la gravedad en el cálculo del peso de una m asa, a tom a valor d e g , la aceleración debida a la gravedad. E ntonces, utilizando W para peso,
r * \
R e la c ió n
W=mxg
o
m = W /g
( 1 — 1)
p e s o - m asa
U tilizarem os los siguientes valores p arag: U n id ad e sS I:g = 9 .8 1 m /s2
U nidades anglosajonas: g = 32.2 pies/s2.
U n i d a d e s d e m a s a , fu e r z a y p e s o . En las tablas 1-1 y 1 -2 se m uestran las unida des preferidas, y algunas otras unidades convenientes para m asa y fuerza, en los sistem as de unidades SI y anglosajones. Las unidades para fuerza tam bién se utilizan com o unida des para peso. El new ton (N) en el SI se 1lama así en honor de Isaac N ew ton y representa la canti dad de fuerza que se requiere para dar una aceleración de 1.0 m /s2a una m asa de 1.0 kg. Las unidades equivalentes para el newton pueden obtenerse al sustituir las unidades co rrespondientes en la 2a. ley de Newton:
F= m x a = k g m /s 2 = new ton S e c c ió n 1 - 4
■
R e la c io n e s e n tre m a s a , fu e rz a y p e so
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7
En el sistem a de unidades anglosajonas, la unidad para fuerza se define com o libra, en tanto que la unidad de masa (slug) se d e riv a re la 2a. ley de Newton de la form a siguiente:
En los siguientes ejemplos de problem as se ilustra laconversión de peso y masa.
E je m p lo 1 -1
Un m ontacargas levanta 425 kg de concreto. Calcular el peso del concreto, e s decir, la fuerza que ejerce el concreto sobre el m ontacargas.
( s is te m a S I) S o lu c ió n
E je m p lo
O b je tiv o
Calcular el peso de una m asa de concreto.
D a to s
m = 425 kg
A n á lis is
W = m x g \ g - 9.81 m/s2
R e s u lta d o s
W - 425 kg x 9.81 m/s2 = 4170 k g m /s2 = 4170 N.
C o m e n ta r io
Por consiguiente, 425 kg de concreto p esan 4170 N.
Una tolva de carbón p esa 8500 Ib. Determine su m asa.
1 -2 (S is te m a a n g lo s a jó n ) S o lu c ió n
8
O b je tiv o
Calcular la m asa de una tolva de carbón.
D a to s
W
A n á lis is
m = W /g; g = 3 2 .2 pies/s2
R e s u lta d o s
m = 8500 lb/32.2 pies/s2 = 264 lb s 2/pies = 264 slugs
C o m e n ta r io
Por consiguiente, 8500 Ib de carbón tienen una m a sa de 264 slugs.
= 8500 Ib
C a p itu lo 1 ■ C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia de m a te ria le s
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D e n s id a d y p e s o e s p e c íf ic o . Para caracterizar la m asa o peso de un material en relación con su volum en, utilizam os los térm inos densidad y peso especifico, que se definen de la form a siguiente:
D ensidad es la cantidad de masa p or unidad de volumen de un material. Peso especifico es la cantidad de peso po r unidad de volumen de un material U tilizarem os la letra griega p (rho) com o sím bolo de densidad. Para el peso específico utilizarem os X(gamm a). A continuación se resum en las unidades para densidad y peso específico.
D en sid ad P e so esp ecífico
U n id ad es a n g lo sajo n as
SI
s lu g s/p ies3
k g /m J
lb /p ies3
N /m 3
A lgunas veces se utilizan otras convenciones, que en consecuencia producen confusio nes. P or ejem plo, en Estados U nidos, en ocasiones se expresa la densidad en lb/pies3 o Ib/plg3. Para esto se utilizan dos interpretaciones. U na es que el térm ino im plica la densi dad en peso, con el m ism o significado que el peso específico. O tra es que la m agnitud Ib significa libra-masa en lugar de libra-peso, y am bas tienen valores num éricos iguales.
1 -5
CO NCEPTO DE ESFUERZO
E l objetivo de cualquier análisis de resistencia es establecer la seguridad. L ograr esto requiere que el esfuerzo que se produzca en el m aterial del m iem bro que se analiza esté p o r debajo de un cierto nivel de seguridad, que se describirá en el capítulo 3. Com prender lo que significa esfuerzo en un m iem bro que soporta carga, com o se describe a continua ción, es de la m ayor im portancia para estudiar la resistencia de m ateriales.
Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa. N os interesam os en lo que sucede dentro de un m iem bro que soporta una carga. D ebem os determ inar la m agnitud de fuerza que se ejerce sobre cada área unitaria del m aterial. El concepto de esfuerzo puede expresarse m atem áticam ente com o:
esfuerzo =
D e f in ic ió n d e U /
fuerza
e s fu e rz o
F A
(1- 2 )
E n algunos casos, com o se describe en la siguiente sección que trata del esfuerzo normal directo, la fuerza aplicada se reparte uniform em ente en la totalidad de la sección transver sal del m iem bro. En estos casos, el esfuerzo puede calcularse con la sim ple división de la fuerza total por el área de la parte que resiste la fuerza. Entonces, el nivel de esfuerzo será el m ism o en un punto cualquiera de u n a sección transversal cualquiera. En otros casos, tal como en el caso de esfuerzo debido aflexión que se presenta en el capítulo 8, el esfuerzo variará en los distintos lugares de la m ism a sección transversal. Entonces, es esencial que usted considere el nivel de esfuerzo en un punto. P orlo general, S e cció n 1 - 5
■
C o n c e p to d e e s fu e rzo
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el objetivo es determ inaren qué punto ocurre el esfuerzo m áxim o, y cuál es su magnitud. En el sistem a de unidades anglosajonas, la unidad típica de fuerza es la libra, y la unidad de superficie m ás conveniente es la pulgada cuadrada. P or consiguiente, el esfuer zo se indica en lb/plg2, que se abrevia psi. Los niveles de esfuerzo característicos, en los diseños de m aquinaria y análisis estructurales, son de varios m iles de psi. P or esta razón, con frecuencia se utiliza la unidad de kip/plg2, que se abrevia ksi. P or ejem plo, si se calcula que el esfuerzo es de 26 500 psi, puede reportarse como:
. 26 500 Ib 1 kip 26.5 kip ., . . esfuerzo = ----- — x _____ r„ = ------- — = 26.5 ksi plg2 1000 Ib pig2
En el sistem a de unidades del SI, la unidad convencional para fuerza es el new ton y la superficie o área se expresa en m etros cuadrados. Por consiguiente, la unidad conven cional para esfuerzo está dada en N /m 2, la cual recibe el nom bre d e /ra sc a /y se abrevia Pa. Los niveles típicos de esfuerzo son de varios m illones de pascales, de form a que launidad de esfuerzo m ás conveniente es el m egapascal o M Pa. Esto tam bién es conveniente por otra razón. Al calcular el área de la sección transversal de m iem bros que soportan cargas, con frecuencia se utilizan m ediciones que se expresan en m m . Entonces el esfuerzo esta ría dado en N /m m 2 y puede dem ostrarse que es num éricam ente igual a la unidad de MPa. Por ejem plo, supongam os que se ejerce una fuerza de 15 000 N en un área cuadrada de 50 m m de lado. El área de resistencia sería de 2500 m m 2, y el esfuerzo resultante sería:
, fiierza 15 000 N esfuerzo = —----- = ------
6.0 N
Convirtiendo esto a pascales, obtendríam os:
£ 6.0 N (lOOO^m m 2 esfuerzo = ------- x ---------------- = 6.0 x 10 N/m = 6.0 MPa
E sto dem uestra que la unidad de N /m m 2 es idéntica al M Pa, una observación por la que nos regirem os a lo largo de este texto.
E S F U E R Z O N O R M A L D IR E C T O
U no de los tipos m ás fundam entales de esfuerzo es el esfueno normal , denotado por la letra griega m inúscula
C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te ria le s
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C o m e n ta r io
La figura 1 - 7 m u estra u n a p arte q u e arbitrariam ente s e selec cio n ó de la varilla, d o n d e la c arg a ap licad a e s tá abajo, y el esfu e rz o d e te n sió n inter no s e distribuye uniform em ente so b re el corte d e la sección.
E sfu e rz o d e te n sió n u n ifo im e m e n te d is trib u id o so b re u n a s ec c ió n tra n sv ersa l a rb itra ria m e n te s e le c c io n a d a
F I G U R A 1 - 7 E sfu e rz o d e te n sió n s o b re u n a sec c ió n tra n s v e rsa l a rb itra ria d e u n a v a rilla circ u la r.
1 -7
E L E M E N T O S S O M E T ID O S A E S F U E R Z O P A R A L A V IS U A L IZ A C IÓ N D E E S F U E R Z O S N O R M A L E S D IR E C T O S
L a ilustración de esfuerzos en las figuras 1 - 6 y 1 - 7 son útiles p ara v isu alizar la natura leza de la resistencia interna a la fuerza aplicada ex terna, particu larm en te p ara aquellos casos en d onde los esfuerzos son uniform es sobre la to talid ad de la sección transversal. E n otros casos, es m ás conveniente visu alizar las condiciones de esfuerzo sobre un ele m ento p equeño (infinitesim al). C onsidérese un p equeño cubo de m aterial en alguna parte dentro del eje cuadrado del pedestal de soporte que se m uestra en la figura 1 - 5. Debe h ab er u n a fuerza de com presión neta q u e actúe sobre las caras superior e inferior del Sección 1 -7 ■ Elem entos som etidos a esfuerzos para la visualización de esfuerzos norm ales directos
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13
(a) elem en to trid im en sio n al
(6) elem en to bidim ensional
F IG U R A 1 - 8 E lem entos para la v isu alizació n d e e sfu erzo s d e com presión.
(« ) e lem en to tridim ensional
( b ) elem en to b id im en sio n al
F IG U R A 1 - 9 E lem en to p ara la v isu alizació n d e esfu erzo s d e tensión.
cubo, com o se m uestra en la figura 1- 8(a). Si se considera que las caras son áreas unita rias, estas fuerzas pueden considerarse com o los esfuerzos que actúan sobre las caras del cubo. Un cubo de esta clase se conoce com o elemento sometido a esfuerzo. D ebido a que el elemento se tom a de un cuerpo en equilibrio, el elem ento en sí está tam bién en equilibrio, y los esfuerzos en las caras superior e inferior son iguales. Un elem ento sim ple como éste, con frecuencia se m uestra com o un elem ento cuadrado bidi m ensional en lugar de cubo tridim ensional, com o se m uestra en la figura 1- 8(b). Asim ism o, el esfuerzo de tensión sobre cualquier elem ento de la varilla de la figura 1 - 1 puede m ostrarse com o en la figura 1 - 9 , donde el vector de esfuerzo actúa hacia afuera desde el elemento. Note que los esfuerzos de com presión o tensión m ostrados, actúan en form a perpendicular a la superficie del elemento.
1 -8
E S F U E R Z O C O R T A N T E D IR E C T O
Cortante hace referencia a la acción de corte. Cuando se utilizan unas tijeras dom ésticas norm ales, se hace que una de las dos hojas se deslice sobre la otra para cortar papel, tela o cualquier otro m aterial. Un fabricante de lám ina m etálica utiliza una acción cortante sim ilar al cortar m etal para un ducto. En estos ejem plos, la acción de corte progresa sobre la longitud de la línea que debe cortarse, de forma que sólo una pequeña parte del corte total se haga para un tiempo dado. Y , desde luego, el objetivo de la acción es en realidad cortar el material. Es decir, se quiere que el m aterial se fracture. Los ejem plos descritos en esta sección, junto con las figuras anexas, ilustran varios casos donde se produce cortante directo. Es decir, la fuerza cortante aplicada se resiste uniform em ente por el área de la parte que se corta, lo que produce un nivel uniform e de fuerza cortante sobre el área. El símbolo que se utiliza para el esfuerzo cortante es la r (letra griega minúscula tan). Entonces, el esfuerzo cortante directo puede calcularse a partir de:
E sfu erzo
O
c o r ta n te d ir e c to
esfuerzo cortante = r =
fuerza aplicada área cortante
F_ A.
(1 -3 )
La figura 1 - 10 m uestra una operación de perforación, donde el objetivo es cortar una parte del m aterial del resto. La acción de perforación produce una ranura en la lám ina metálica plana. La parte que se extrae en la operación es el trozo o bocado. M uchas form as di ferentes pueden producirse m ediante perforación, tanto con el trozo com o con 14
C a p ítu lo 1 ■ C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te ria le s
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C o r t a n t e s im p le . Con frecuencia se inserta un perno o un rem ache en un agujero cilindrico a través de partes coincidentes para conectarlas, com o se m uestra en la figura 1 -1 1 . Cuando se aplican fuerzas perpendiculares al eje del perno, existe la tendencia de cortarlo a través de su sección transversal, produciendo un esfuerzo cortante. E sta acción se llam a cortante simple, porque una sola sección transversal del perno resiste la fuerza cortante aplicada. En este caso, generalmente se diseña el perno para que el esfuerzo cor tante esté por debajo del nivel que haría que se fracturase el perno. En el capítulo 3 se hablará m ás acerca de niveles de esfuerzo perm isibles. C o r t a n t e d o b l e . Cuando se diseña una conexión por m edio de pernos com o se m ues tra en la figura 1 - 1 2 , hay dos secciones transversales que resisten la fuerza aplicada. En esta disposición, se dice que el perno está a esfuerzo cortante doble.
E! área so m etid a a co rtan te so n dos seccio n es tra n sv ersa le s d el p ern o
As = 2 U D !/4)
F IG U R A 1 -1 2
Ju n ta m e d ia n te p ern o s q u e ilu stra el e sfu erzo c o rta n te d o b le.
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A n á lis is
El perno es tá a esfuerzo cortante directo, d onde d o s se cc io n es transver sa le s del perno resisten la fuerza aplicada (cortante doble). Utilice la ecuación (1 -3 ).
R e s u lta d o s
El á re a de corte, As es: 7 i(1 0 .0 m m ) 2
4
= 157mm 2
El esfuerzo cortante en el perno es: — = 3550 N- = 22.6 N/mm 2 = 22.6 MPa >4S 157 m m 2 C o m e n t a r io
El esfuerzo cortante que s e obtuvo e s la mitad del valor del cortante simple.
C u ñ a s . La figura 1 - 14 m uestra una im portante aplicación del esfuerzo cortante en las transm isiones m ecánicas. Cuando un elem ento transm isor de potencia, tal com o un en grane, una rueda dentada para cadena o polea de banda transportadora se m ontan en un eje, con frecuencia se utiliza una cuña para conectarlos y transm itir el par de torsión de uno al otro. El par de torsión produce u n a fuerza tangencial en la superficie de contacto entre la flecha y el interior del cubo. A l p ar de torsión se le opone el m om ento de la fuerza en la cuña p o r el radio de la flecha. Es decir, T =F( DI 2) . P o r consiguiente, la fuerza es F = 2 T/D. En la figura 1-14, m ostram os la fuerza F u ejercida por la flecha en el lado izquierdo de la cuña. En el lado derecho, una fuerza igual F2 es la reacción ejercida por el cubo sobre la cuña. E ste p ar de fuerzas tienden a cortar la cuña, produciendo un esfuerzo cortante. N ótese que el área de corte, A„ es un rectángulo de b x L. El siguiente ejem plo ilustra el cálculo del esfuerzo cortante directo en una cuña.
E je m p lo
1 -8
S o lu c ió n
La figura 1 - 1 4 m uestra una cuña insertada entre una flecha y el cubo d e un en g ran e. Si s e transm ite un par d e torsión de 1500 Ibplg d e la flecha al cubo, calcule el esfuerzo cortante en la cuña. Com o dim ensiones d e la cuña, utilice L = 0.75 plg; h = b = 0.25 plg. El diám etro del eje e s 1.25 plg. O b je t iv o
Calcule el esfuerzo cortante en la cuña.
D a to s
T = 1500 Ibplg; D = 1.25 plg; L = 0.75 plg; h = b = 0.25 plg.
A n á lis is
La cuña soporta esfuerzo cortante directo. Utilice la ecuación (1 -3 ).
R e s u lt a d o s
Á rea de corte: As = b x L = (0.25 plg) (0.75 plg) = 0.1875 plg2. La fuerza en la cu ñ a s e produce por la acción del par d e torsión aplicado. Al par de torsión s e le opone el m om ento d e la fuerza en la cu ñ a por el radio d e la flecha. E s decir, T=F(DI2). Por consiguiente, la fuerza es:
F = 2 TI D = (2) (1500 Ib • plg) / (1.25 plg) = 2400 Ib E ntonces, el esfuerzo cortante es:
x = f / a s= 2400 lb/0.1875 plg2 = 12 800 psi
18
C a p ítu lo 1 ■
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x d e b id o a la fu erza
O p u e sta
+
(*) F IG U R A 1 - 1 5 E le m e n to q u e m u e stra el e sfu erzo co rlan te, (a) E lem e n to trid im en sio n al, (b) E le m e n to trid im en sio n al
tendría un esfuerzo cortante que actuaría hacia la izquierda en su superficie superior. P ara el equilibrio del elem ento respecto a fuerzas horizontales, debe haber un esfuerzo igual que actúe hacia la derecha en la superficie inferior. É sta es la acción de co rte característica del esfuerzo cortante. Pero los dos vectores de esfuerzo en las superficies superior e inferior no pueden actuar solos, porque el elem ento tendería a g irar por la influencia del par form ado por las dos fuerzas cortantes que actúan en direcciones opuestas. Para equilibrar este par, se desarrolla un par de esfiierzos cortantes iguales en los lados verticales del elem ento so m etido a esfuerzo, com o se m uestra en la figura 1 - 1 5(a). El elem ento se dibuja con frecuencia en la form a bidim ensional que se m uestra en la figura 1 - 1 5(b). N ótese cóm o los vectores de esfuerzo en los lados adyacentes tienden a unirse en los vértices. Estos elem entos son titiles en la visualización de esfiierzos que actúan en un punto, dentro de un m aterial som etido a fuerza cortante.
ESFUERZO DE APOYO
C uando un cuerpo sólido descansa sobre otro y le transfiere una carga, en las superficies en contacto se desarrol la la form a de esfuerzo conocida com o esfuerzo de apoyo. Al igual q u e el esfuerzo de com presión directo, el esfuerzo de apoyo es una m edida de la tendenc ia q u e tiene la fuerza aplicada de aplastar al m iem bro que lo soporta. El esfuerzo de apoyo se calcula igual que los esfuerzos norm ales directos: _ carga aplicada _ F area de apoyo Ab
tt
a \
En superficies planas en contacto, el área de apoyo es sim plem ente el área sobre la q u e se transfiere la carga de un m iem bro al otro. Si las dos partes tienen áreas distintas, se utiliza el área m enor. O tra condición es que los m ateriales q u e transm iten las cargas deben perm anecer casi rígidos y planos con el fin de conservar su capacidad de trasm itir las cargas. La deflexión excesiva reducirá el área de apoyo efectiva. La figura 1-16 m uestra un ejem plo de la construcción de un edificio, en donde el esfuerzo de apoyo es im portante. U na colum na cuadrada de acero hueca de 4.00 plg descansa sobre una gruesa placa cuadrada de acero de 6.00 plg. La placa descansa sobre C a p itu lo 1 ■
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E s fu e rz o d e a p o y o e n tre la p la c a y la c a ra s u p e rio r d e la p ila d e c o n c re to :
El áre a de apoyo e s la de la placa cu ad rad a, porque e s el á re a m ás p eq u eñ a en la superficie. Gb = F /A b = 30 000 lb/(6.00 plg)2 = 833 psi E s fu e rz o d e a p o y o e n tre la p ila y la g ra v a : El á re a d e apoyo e s la d e un
cuadrado, d e 24 plg de lado. S ú m en se 338 libras por el p eso d e la pila.
0¡,= F /A „ = 30 338 lb/(24.00 plg)2 = 52.7 psi C o m e n t a r io
El capítulo 3 p resen ta algunos d ato s so b re los esfu erzo s de apoyo per misibles.
E s f u e r z o s d e a p o y o e n ju n t a s c o n p e r n o s . Con frecuencia se utilizan pernos cilindricos en el diseño m ecánico y estructural para conectar piezas entre si. En la figura 1- 1 1 se m uestra un diseño de una conexión de esta clase. AI transferir una carga a través del perno, debe calcularse el esfuerzo de apoyo entre el perno y cada uno de los com po nentes. El área de apoyo efectiva de un pem o cilindrico en un agujero de ajuste exacto, requiere que se utilice el área proyectada , que se calcula com o el producto del diám etro del pem o y la longitud de la superficie en contacto.
E je m p lo
1 -1 0
S o lu c ió n
R em ítase a la figura 1 - 1 1 . Calcule el esfuerzo d e apoyo entre el perno d e 10.0 mm de diám etro y el agujero en el eslabón. La fuerza aplicada al eslab ó n e s de 3550 N. El e s p e s o r del eslabón e s de 15.0 mm y su ancho d e 25.0 mm. O b je tiv o s
Calcule el esfuerzo de apoyo entre las superficies en contacto del perno y el interior del agujero del eslabón.
D a to s
C arga = F = 3 5 5 0 N. t = 1 5 .0 m m ;iv = 2 5 .0 m m ;D = 10.0m m . En la figura 1 -1 1 s e m uestra la geom etría d e los m iem bros.
A n á lis is
E sfuerzos d e apoyo: utilice la ecuación ( 1 - 4 ) para c a d a par d e superfi cies en contacto. Utilice el áre a proyectada del agujero com o áre a de apoyo.
R e s u lt a d o s
E n tre e l p e m o y e l e s la b ó n : A b = D x t = (10.0 mm )(15.0 mm) = 150 mm2
P or consiguiente, el esfuerzo d e apoyo es: o¡.
_
3550 N
= 2 3 J N /m m 2 _ 2 3 J M p g
150 mm
Los casos de esfuerzo de apoyo ya considerados en esta m ism a sección son aquellos en donde lo que está en contacto son superficies , y la fuerza
E s fu e rz o d e c o n ta c to .
22
C a p ítu lo 1 ■
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Bola esférica sobre una placa curva en un cojinete de bolas que gira sobre su anillo de rodadura externo. ■
Dos superficies curvas convexas, com o los dientes de engranes en contacto.
Los análisis detallados de esfuerzos de contacto, a los que a veces se les llam a esfuerzos
Hcrtz, no se desarrollan en este libro. Pero es im portante observar que la m agnitud de esfuerzo de contacto puede ser sum am ente elevada. C onsidérese el caso de una bola esférica sobre una placa plana que transm ite una carga dirigida hacia abajo. Una superfi cie de perfección esférica hará contacto con un plano en un solo punto infinitam ente pequeño. E ntonces,al aplicare! coeficiente de esfuerzo de apoyo, o¡ = F/A,„ la m agnitud del área tiende a cero. Luego el esfuerzo tiende a infinito. En realidad, debido a la elasti cidad de los m ateriales en contacto, hay alguna deform ación, y el área de contacto se convierte en un área circular finita, aunque pequeña. Pero el esfuerzo local todavía será m uy grande. Por esta razón, los m iem bros de carga sujetos a esfuerzos de contacto, están típicam ente hechos de m ateriales sum am ente duros y de alta resistencia. A sim ism o, cuando un rodillo cilindrico se pone en contacto con una placa plana, el contacto es teóricam ente una línea de ancho cero. Por consiguiente, el área de apoyo es te ó ricam en te cero. La elasticidad de los m ateriales producirá un área de apoyo real que es un angosto rectángulo, lo que nuevam ente da por resultado un esfuerzo de contacto finito, aunque grande. En el capitulo 3 se habla m ás de los casos especiales de rodillos de acero sobre placas de acero. Consulte las referencias 6 y 7 para análisis m ás detallados.
C O N C E P T O D E D E F O R M A C IÓ N
Todo m iem bro de carga se deform a por la influencia de la carga aplicada. El eje cuadrado del pedestal de apoyo de la figura 1 - 5 se acorta cuando sobre él se coloca equipo pesado. Las varillas que soportan la pieza de fundición de la figura 1 - 1 se alargan al colgar de ellas la pieza de fundición. La deform ación total de un m iem bro de carga puede, desde luego, ser m edido. Más adelante se dem ostrará cóm o puede calcularse la deform ación. La figura 1 -1 8 nos m uestra una fuerza de tensión axial de 10 000 Ib aplicada a una b arra de alum inio con un diám etro de 0.75 plg. A ntes de aplicar la carga, la longitud de la barra era de 10 plg. Luego de aplicar la carga, la lo n g itu d es de 10.023 plg. Por consi guiente, la deform ación total es de 0.023 plg. La deformación que tam bién se conoce com o deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deform ación total entre la longitud original de la barra. La deform ación se denota con la letra griega m inúscula épsilon (£j: deform ación = £ =
d e f o r m a c ió n to ta l lo n g itu d o r ig in a l
(1 -5 )
B arra d e 0.75 p lg d e d iá m e tro
10000 Ib
100001b
F IG U R A 1 - 1 8
—10 p lg -
-
L o n g itu d orig in al
A la rg a m ie n to
0 .023 plg
A la rg a m ie n to d e u n a b a rra e n te n s ió n .
C a p itu lo 1 ■ C o n c e p to s b á s ic o s en la r e s is te n c ia d e m a te ria le s
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Para el caso que se m uestra en la figura 1 -1 8 :
Puede decirse que la deform ación es adim ensional, porque las unidades del num eradory el denom inador se cancelan. Sin em bargo, es m ejor reportar las unidades como plg/plgo m m /m m , para m antener la definición de deform ación p o r unidad de longitud del miem bro. En capítulos posteriores se dirá más acerca de la deform ación.
1 -1 2
C O E F IC IE N T E D E P O IS S O N
Si se rem ite a la figura 1 - 1 9 podrá obtener una com prensión m ás com pleta de la defor m ación de un m iem bro sujeto a esfuerzos norm ales. El elem ento que se m uestra está tom ado de la barra de la figura 1 - 18. La fuerza de tensión en la barra la alarga en la dirección d é la fuerza aplicada, com o sería de esperar. Pero, al m ism o tiem po, el ancho de la barra se acorta. De este m odo, en el elem ento de esfuerzo ocurre un alargam iento y contracción sim ultáneas. Puede determ inarse la deform ación axial a p artir del alarga m iento, y, de la contracción, puede determ inarse la deform ación lateral.
E l coeficiente de la deformación lateraI en el elemento a la deformación axial se conoce como co c fk ien te de Poisson,.y es una propiedad de! material del que está hecho el miembro de carga.
F o rm a in icial \
- ¿o M)
.
D e fo rm a c ió n axial = — ----- =
Al)
llr
D efo rm ació n lateral = — ¡----- ■ = <5
l'U
F IG U R A 1 - 1 9 Ilu stració n de! c o efic ien te de Po isso n para un e le m en to e n tensión.
S ección 1 - 1 2 ■
C o e fic ie n te d e P o is s o n
25
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TA BLA 1 -5
V alo res a p ro x im a d o s d el c o efic ien te d e Po isso n C o efic ien te d e P o isso n , v
M aterial A lu m in io (la m ay o ría d e sus ale ac io n e s)
0.33
B ronce
0.33
H ierro co lad o
0.27
C o n creto
0 .1 0 - 0 .2 5
C o b re
0.33
B ronce al fó sfo ro
0.35
A cero al c arb ó n y alead o
0.29
A cero inox ¡dable ( 1 8 - 8 )
0.30
T itan io
0.30
En el presente texto, se utiliza la letra griega m inúscula ni (v) p ara d en o tar el co efi ciente de Poisson. N ótese que algunas referencias utilizan mi (ju). Los m ateriales m etálicos m ás com únm ente usados tienen un coeficiente de Pois son con valor entre 0.25 y 0.35. Para el concreto, varía am pliam ente según el grado y el esfuerzo aplicados, pero generalm ente cae entre 0,1 y 0.25. Los elastóm eros y el caucho tienen un coeficiente de Poisson que llega a ser hasta de 0.50. En la tabla 1 - 5 se m uestran valores aproxim ados del coeficiente de Poisson.
D E F O R M A C IÓ N P O R C O R T A N T E
L as discusiones anteriores de deform ación, describieron la deform ación norm al, porq u e ésta es causada por el esfuerzo de com presión o tensión norm al, desarrollado en un m iem bro de carga. Bajo la influencia del esfuerzo cortante, se produce la deform ación p o r cortante. La figura 1 -2 0 m uestra un elem ento de esfuerzo sujeto a fuerza cortante. L a acción cortante en las caras paralelas del elem ento tienden a deform arlo angularm ente, com o se m uestra de form a exagerada. El ángulo y (gam m a), m edido en radianes, es la deforma ción p o r cortante. En los problem as prácticos se encuentran sólo valores sum am ente pequeños de defonnación por cortante y, p o r consiguiente, las dim ensiones del elem ento sólo se cam bian levem ente. D efo rm ació n p o r co rta n te
F IG U R A 1 - 2 0
D efo rm ació n p o r cortante e n u n
e le m en to in fin itesim al.
C a p itu lo 1 ■
C o n c e p to s b á s ic o s e n \a re s is te n c ia d e m a te ria le s
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1 -1 4
M Ó D U L O D E E L A S T IC ID A D
Puede obtenerse una medida de la rigidez del m aterial calculando el coeficiente del esfuerzo norm al en un elemento y la deformación correspondiente en el mism o. Esta relación se conoce como m ó d u lo d e elasticid a d , y se denota p o r E. E s decir:
O
M ódulo d e e la stic id a d
m ó d u lo d e e la s tic id a d
=
e sfu e rz o n o rm a l d e f o r m a c ió n n o rm a l
E = -
£
(1- 6 )
Un m aterial con un valor de E elevado se deform ará m enos con u n esfuerzo dado que uno con un valor reducido de E. Un térm ino m ás com pleto p ara E sería el m ódulo de elasticidad a tensión o com presión, porque se define en función del esfuerzo norm al. Sin em bargo, el térm ino “m ódulo de elasticidad”, sin ningún m odificador, generalm ente se considera com o el m ódulo de tensión. En el capítulo 2 se dirá m ás acerca del m ódulo de elasticidad, y ahí tam bién se identificarán los valores típicos.
1 -1 5
M Ó D U L O D E E L A S T IC ID A D A C O R T A N T E
E l coeficiente del esfuerzo cortante y la deformación p o r cortante se conoce como m ó d u lo de e la sticid a d a c o rta n te , o m ó d u lo d e rig id ez, y se denota p o r G . E s decir: M ódulo d e e la stic id a d a c o rta n te
G=
esfuerzo cortante _ T deformación por cortante y
d -7 )
G es una propiedad del m aterial, y se relaciona con el m ódulo de tensión y el coeficiente de P oisson por:
O
rR elación
e n tre G y el co e ficie n te d e P o is s o n
1 -1 6
2 (1 + v )
(1- 8 )
M E D ID A S P R E F E R ID A S Y P E R F IL E S E S T Á N D A R
U na de las responsabilidades del diseñador es especificar las dim ensiones finales d e los m iem bros que soportan carga. L uego de term inar el análisis p ara el esfuerzo y la d efo r m ación, se conocen valores m ínim os aceptables p ara dim ensiones, que asegurarán que el m iem bro satisfaga las condiciones de funcionam iento. D espués, el diseñador típicam enS e c c ió n 1 - 1 6 ■
M e d id a s p re fe rid a s y p e rfile s e s tá n d a r
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27
te especifica las dim ensiones finales com o valores estándar o convenientes, que facilita rán la com pra de m ateriales, y la fabricación de las piezas. E sta sección presenta algunos criterios para ayudar en estas decisiones. M e d id a s b á s ic a s p r e f e r id a s . Cuando la pieza que se diseñó se hace según las es pecificaciones del diseñador, se recom ienda que las dim ensiones finales se especifiquen a partir de un conjunto de medidas básicas preferidas. El apéndice A - 2 lista estos datos para dim ensiones en fracciones de pulgada, dim ensiones de pulgadas decim ales y d i m ensiones m étricas.
Los sujetadores roscados y elem en tos de m áquinas con conexiones roscadas se fabrican en dim ensiones estándar para ase gurar la intercam biabilidad de las partes, y para p en n itiru n a fabricación conveniente con m áquinas y herram ientas estándar. En el apéndice A - 3 aparecen las dim ensiones de cuerdas A m erican Standard Unified. Los tam años m enores de i de plg están dados en núm eros de 0 a 12, en tanto que las m edidas en fracciones de pulgadas se especi fican para I de plg y m ás grandes. Se listan dos series: UNC es la designación para cuerdas gruesas, y UNF para cuerdas finas. A continuación, se listan las designaciones estándar. C u e r d a s d e t o r n il lo s A m e r i c a n S t a n d a r d .
6 - 32 UNC
(medida en núm ero 6 ,3 2 cuerdas por pulgada, cuerda gruesa)
12- 28 UNF
(m edida en núm ero 12,28 cuerdas por pulgada, cuerda fina)
i - 13 UNC
(m edida en fracción d e ip lg , 13 cuerdas p o r pulgada, cuerda gruesa)
I j - 12 UNF
(m edidaen fracción de l j plg, 12 cuerdas por pulgada, cuerda fina)
En las tablas se da el diámetro m ayor básico (D), el núm ero de cuerdas por pulgada (;i), y el área som etida a esfuerzo de tensión que se obtiene de:
d-9)
C uando un miembro roscado se som ete a tensión directa, se utiliza el área de esfuerzo de tensión para calcular el esfuerzo de tensión prom edio. C orresponde al área m ás pequeña que se produciría m ediante un corte transversal a través de la varilla roscada. Para nuestra conveniencia, algunos estándares utilizan el área de la raíz o el área bruta, y ajustan el valor del esfuerzo perm isible. En el apéndice A - 3 aparecen d im en sio n es sim i lares para cuerdas m étricas. Las d esignaciones de las cu erd as m étricas están d ar son
C u e r d a s d e to r n illo m é t r ic a s .
de la forma: M I O x 1.5
donde M significa métrico, el núm ero que le sigue es el diám etro m ayor básico en m ni, y el últim o núm ero es el paso entre cuerdas adyacentes en mm . Por consiguiente, la desig nación anterior denota una cuerda m étrica con un diám etro m ayor básico de 10.0 mm y un paso de 1.5 mm. N ótese que el paso es = 1In. El apéndice A - 4 da las dim ensiones y propiedades de sección para m uchos tam años estándar de vigas de m adera. N ótese que el tam año nom i nal es sim plem ente el “nom bre” de la viga, y se relaciona con el tam año aproxim ado antes
V ig a s e s t á n d a r d e m a d e r a .
C a p ítu lo 1 ■
C o n c e p to s b á s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te ria le s
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del acabado. Las dim ensiones reales acabadas son de m odo significativo menores que los tam años nom inales. Por ejem plo, una tabla com ún “2 x 4 ” es en realidad de 1.5 plg de ancho y 3.5 plg de alto. Tam bién nótese el dibujo de la orientación de las vigas para la designación estándar de los ejes X y Y. Cuando se utiliza com o viga a flexión, la dim en sión larga debe ser vertical para o bteneruna resistencia y rigidez m áxim as. P e r file s e s t r u c t u r a le s d e a c e r o . Los fabricantes de acero proporcionan una am plia variedad de perfiles estructurales estándar, que son eficientes en el uso de materiales, y que son convenientes para especificaciones e instalaciones en estructuras de construc ción o bastidores de m áquinas. Com o se m uestra en la tabla 1 - 6 , se incluyen los ángulos estándar (Perfiles L), canales (Perfiles C), vigas de patín ancho (Perfiles W ), vigas Am e rican Standard (Perfiles S), tubería estructural y tubos. N ótese que en el lenguaje del m edio las form as W y S se conocen com o “vigas 1” porque la fo n n a de la sección trans versal parece la letra m ayúscula I. Las tablas A -5 a A -9 del apéndice dan las propiedades geom étricas de perfiles estructurales seleccionadas que cubren un rango razonablem ente am plio de tamaños. N ótese que en la referencia 2 se presentan muchos m ás tam años. Las tablas del apéndice dan datos para el área de la sección transversal (A), el p e s o p o rp ie d e longitud, la locali zación del centroide de la sección transversal, el m om ento de inercia (I), el m ódulo de sección (S), y el radio de giro (r). Es probable que algunas de estas propiedades sean nuevas para el lector en este m om ento, por lo que se definirán más adelante en este texto, conform e sea necesario. Los valores 1y S son im portantes en el análisis y diseño de vigas. Para el análisis de colum nas, se necesitan I y r.
El apéndice A - 5 m uestra dibujos de las formas típicas de ángulos de acero con longitudes de sus patas iguales o desiguales. Llamados perfiles L debido al aspecto de la sección transversal, los ángulos se utilizan com o m iem bros a tensión de arm aduras y torres, com o m iem bros de estructuras de m aquinaria, din teles sobre ventanas y puertas en la construcción, com oatiesadores de placas grandes que se utilizan en bastidores y vigas, y apoyos tipo anaquel para equipo. H ay quienes se refieren a estas form as como “hierros angulares” . La designación estándar adquiere la form a que se m uestra a continuación, para lo que se utiliza una m edida com o ejemplo: Á n g u lo s d e a c e r o (p e r f ile s L ).
L 4 x 3 X 1/2
donde L se refiere al perfil L, 4 es la longitud de la pata m ás larga, 3 es la longitud de la pata m ás corta, y j es el espesor de las patas. Las dim ensiones están en pulgadas. C a n a le s A m e r ic a n S ta n d a r d ( p e r file s C ). V éase el apéndice A - 6 para el aspec to de los canales y sus propiedades geom étricas. Los canales se utilizan en aplicaciones sim ilares a las que se describieron anteriorm ente para ángulos. El alm a y los dos patines forman un perfil generalm ente más rígido que los ángulos, que son m ás resistentes a la torsión causada p o r carga. El dibujo en la parte superior de la tabla m uestra que los canales tienen patines ahusados y alm as de espesor constante. La pendiente del ahusado de los patines es de aproxim adam ente 2 plg p o rc a d a 12 plg, y esto hace difícil unir otros m iem bros a los patines. Existen arandelas ahusadas especiales que facilitan la sujeción. N ótese la desig nación de los ejes X y Y en el dibujo, definidos con el alm a vertical del canal, lo que le da su característica form a en “C ” . Esto es sum am ente im portante al utilizar canales com o vigas o colum nas. El eje X está situado sobre el eje horizontal de sim etría, m ientras que S ección 1 - 1 6 ■
M e d id a s p re fe rid a s y p e rfile s e s tá n d a r
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29
TABLA 1- 6
D esig n acio n es p ara p erfiles de a cero y a lu m in io
C a p ítu lo 1 ■
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la dim ensiónx, dada en la tabla, sitúa a! eje Y en relación con la parte trasera del alma. El centroide está en la intersección de los ejes X y Y. L a form a de la designación estándar p ara canales es: C 15x50 donde C indica que es un perfil C estándar 15 es la altura nom inal (y real) en pulgadas, con el alm a en posición vertical 50 es el peso p o r unidad de longitud, expresada en lb/pies P e r f i le s d e p a tín a n c h o (p e r f ile s W ). V éase el apéndice A - 7 . É ste es el perfil m ás com ún que se utiliza para vigas, com o se discutirá en los capítulos 7 ,8 y 12. Los perfiles W tienen alm as relativam ente delgadas, y patines un poco m ás gruesos de espesor cons tante. La m ayor parte del área de la sección transversal está en los patines, alejándose del eje centroidal horizontal (eje X), lo que hace que el m om ento de inercia sea sum am ente alto para una cantidad dada de m aterial. N ótese que el m om ento de inercia y el m ódulo de sección son m ucho m ás elevados respecto al eje X que respecto al eje Y. P o r consiguien te, los perfiles W se utilizan típicam ente en la orientación q u e se m uestra en el dibujo del apéndice A - 7. A dem ás, estos perfiles alcanzan su m ayor eficiencia cuando se utilizan a flexión pura sin torsión, porque son sum am ente flexibles a torsión. La designación están dar de los perfiles W presenta m ucha inform ación. C onsidérese el ejem plo,
W 14x43
donde W indica que es un perfil W, 14 es la altura nom inal en pulgadas 43 es el peso p o r unidad de longitud en lb/pies El térm ino altura es la designación estándar de la altura vertical de la sección transversal al colocarse en la orientación que se m uestra en el apéndice A - 7. N ótese, a partir de los datos en la tabla, que la altura real es con frecuencia distinta de la altura nom inal. P ara el caso de W 14 x 43, la altura real es de 13.66 pulgadas. El apéndice A - 8 m uestra las propiedades de perfiles S. G ran parte de la discusión de los perfiles W se aplica tam bién a los perfiles S. N ótese que, nuevam ente, el peso por p ie de lo ngitud se in cluye en la designación, com o el S 1 0 x 3 5 que pesa 35 lb/pie. En la m ayoría, aunque no en todos los perfiles S, la altura real es igual a la nom inal. Los patines de los perfiles S están biselados a u n a pendiente de aproxim adam ente 2 plg p o rca d a 12 plg, com o los patines de los perfiles C. L os ejes X y Y están definidos com o se m uestra con el alm a en posición vertical. Con frecuencia se prefieren los perfiles de patín ancho (perfiles W ) a los perfiles S, p o r sus patines relativam ente anchos, el espesor constante de los patines, y propiedades de sección generalm ente m ás altas para un peso y altura dados. V ig a s A m e r i c a n S t a n d a r d ( p e r f ile s S ).
V éase el apéndice A - 9 para el aspecto de propiedades de la tubería estructural de acero. Estos perfiles se form an gene ralm ente de lám inas planas soldadas a lo largo. L as propiedades de sección tienen en T u b e r í a e s t r u c t u r a l ( c u a d r a d a y r e c t a n g u la r ) .
S e c c ió n 1 - 1 6 ■
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cuenta los radios de las esquinas. N ótense los dibujos que m uestran los ejes X y Y. La designación estándar tom a la fonna: 6 x 4 x 1/4 donde 6 es la altura del lado largo, en pulgadas 4 es el ancho del lado m ás corto, en pulgadas 114 es el espesor de pared, en pulgadas Las tuberías cuadrada y rectangular son sum am ente útiles en estructuras de m áqui nas, porque tienen buenas propiedades de sección para m iem bros cargados com o vigas a flexión, y para cargas de torsión por su sección transversal cerrada. Las caras planas con frecuencia facilitan la sujeción de m iem bros entre sí o la unión de equipo a los m iem bros estructurales. Algunos m arcos se sueldan para form ar una unidad integral que funciona com o un m arco espacial rígido. Con tubería cuadrada puede hacerse una eficiente sec ción para columnas. Las secciones circulares huecas, que p o r lo com ún se les llam a tubos, son sum am ente eficientes para utilizarse com o vigas, m iem bros de torsión y colum na. La colocación uniform edel material lejos del centro del tubo aum enta el m om ento de inercia para una cantidad dada de m aterial, y da al tubo propiedades uniform es respecto a todos los ejes que pasan por el centro de la sección transversal. La fonna cerrada de su sección transversal le da una alta resistencia y rigidez a torsión, así com o a flexión. El apéndice A - 12 da las propiedades de tubo de acero soldado sin costura A m eri can N ational Standard cédula 40. Éste es el tipo de tubo que se utiliza con frecuencia para transportar agua y otros fluidos, pero funciona igualm ente bien en aplicaciones estructu rales. N ótese que los diám etros interior y exterior reales son algo distintos de los nom ina les, excepto para los tam años m uy grandes. El tubo de construcción con frecuencia se llam a tubo de peso estándar y tiene las m ism as dim ensiones que el tubo de cédula 40 de í p lg a 10 plg. Existen otras “cédulas” y “pesos” de tubería con espesores de pared m ás pequeños. O tras secciones circulares huecas com únm ente disponibles se conocen com o tube ría. Éstas están disponibles en acero al carbón, acero inoxidable, alum inio, cobre, bronce, titanio y otros m ateriales. V éanse referencias 2 ,3 , y 4 para la variedad de tipos y tam años de tu bo y tubería. Tubos.
En los apéndices A - l 0 y A - l 1 se dan las dim ensiones y propiedades de sección de canales y vigas I des arrolladas p o r la A lum inum A ssociation (referencia 1). Éstas son de perfiles extruidos con espesor uniform e de las alm as y los patines, con radios am plios donde se tocan. Las proporciones de estas secciones son ligeram ente distintas de las secciones de acero lam i nado ya descritas. La form a extm ida ofrece v en tajasen el uso eficiente de m ateriales y en lau n ió n de m iem bros. En este texto se utilizarán las siguientes form as para ladesignación de secciones de aluminio: C a n a l e s y v ig a s I e s t á n d a r d e la A l u m i n u m A s s o c i a t i o n .
C 4 x 1.738
o
18x6.181
donde C o I indican la form a básica de la sección 4 u 8 indica la altura del perfil en la orientación que sem u estra 1.738 o 6.181 indican el peso por unidad de longitud en lb/pie C a p ítu lo 1 ■
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B IB L IO
R A F IA
1. Aluminum Association, Aluminum Standards and Data, Washington, DC, 1993.
5. Oberg, E., F. D. Jones, and H .L . Horton, M achinery's Handbook, 24th ed., Industrial Press, New York, 1992.
2. American Institute of Steel Construction, Manual o f Steel Construction, 9th ed., Chicago, 1989.
6. Shigley, J. E., and Mischke, C. R., Mechanical Engineering Design, 5th ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1988.
3. Avallone, Eugene A. and Theodore Baumeister III, eds., M arks’ Standard Handbook fo r Mechanical Engineers,
9th ed., McGraw-Hill, New York, 1987.
7. Young, W. C., R o a rk’s Formulas fo r Stress an d Strain, 6th ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1989.
4. Mott, R. L., Applied Fluid Mechanics, 4th ed., Merrill, an imprint of Macmillan Publishing Co., New York, 1994.
P R O B
D efiniciones
E M A S C o n v e rs io n e s m a s a - p e s o
1-1.
Defina la masa y enuncie lasunidades de masa en el sistema de unidades anglosajonas y el sistema métrico SI.
1-2.
Defina el peso, y enuncie sus unidades en ambos sistemas.
1-3.
Defina esfuerzo, y enuncie sus unidades en ambos sistemas.
1-16.
Un camión transporta 1800 kg de grava. ¿Cuál es el peso de la grava en newtons?
1-17.
Un camión de cuatro ruedas con una masa total de 4000 kg está sobre un puente. Si el 60% del peso está sobre las ruedas traseras, y el 40% sobre las delanteras, calcule la fuerza ejercida sobre el puente por cada rueda.
1-18.
Un total de 6800 kg de fertilizante se almacena en un contenedor de fondo plano de 5.0 x 3.5 m. Calcu le la carga sobre el piso en newtons por metro cua drado o en pascales.
1-19.
Una masa de 25 kg está suspendida de un resorte cuya constante es de 4500 N/m. ¿Cuánto se estira rá el resorte?
1 - 20.
Mida la longitud, ancho y espesor de este libro en milimetros.
1-21.
Determine su propio peso en newtons y su masa en kilogramos.
1-22.
Exprese el peso que se obtuvo en el problema 116 en libras.
1-4.
Defina el esfuerzo normal directo.
1- 5.
Explique la diferencia entre esfuerzo de compre sión y esfuerzo de tensión.
1-6.
Defina el esfuerzo cortante directo.
1- 7.
Explique la diferencia entre cortante simple y cor tante doble.
1 -8 .
Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo de tensión directo.
1-9.
Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo de compre sión directo.
1-10.
Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo cortante di recto.
1—11.
Defina la deformación unitaria normal y enuncie sus unidades en ambos sistemas.
1 -1 2 .
Defina la deformación por cortante y enuncie sus unidades en ambos sistemas.
1-23.
Exprese las fuerzas que se obtuvieron en el pro blema 1- 17 en libras.
1-13.
Defina el coeficiente de Poisson y dé sus unidades en ambos sistemas.
1-24.
Exprese la carga en el problema 1- 18 en libras por pie cuadrado.
1-14.
Defina el módulo de elasticidad a tensión y dé sus unidades en ambos sistemas.
1-25.
1-15.
Defina el módulo de elasticidad a cortante y dé sus unidades en ambos sistemas.
Con los datos del problema 1—19, calcule el peso de la masa en libras, la constante del resorte en libras por pulgada, y el alargamiento del resorte en pulgadas. 33
P ro b le m a s
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1-26.
Una base de hierro colado para una máquina pesa 2750 libras. Calcule su masa en slugs.
1-27.
Un rodillo de acero que pende de una báscula, produce una lectura de 12 800 Ib. Calcule su masa en slugs. Determine su propio peso en libras y su masa en slugs.
1 - 28.
a las de la figura 1—21 sostienen la repisa. Cada varilla tiene un diámetro de 12.0 mm. Suponga que el centro de gravedad de los cajones está en la parte media de la repisa. Calcule el esfuerzo a la mitad de las varillas.
C o n v e rs io n e s d e u n id a d e s
1-29.
Un recipiente de presión contiene un gas a 1200 psi. Exprese la presión en pascales.
1-30.
Un acero estructural tiene un esfuerzo permisible de 21 600 psi. Expréselo en pascales.
1-31.
El esfuerzo al que un material se rompe bajo una carga de tensión directa se conoce como resisten cia última. El rango de resistencias últimas para las aleaciones de aluminio varían de 14 000 a 76 000 psi. Exprese este rango en pascales.
1-32.
El eje de un motor eléctrico gira a 1750 rpm. Ex prese la velocidad de rotación en radianes por se gundo.
1 -3 3 .
Exprese un área de 14.1 plg2 en milímetros cua drados.
1- 34.
Una deformación permisible de una cierta viga es de 0.080 plg. Exprese la deformación en milíme tros.
1 - 35.
Una base para una columna de construcción mide 18.0 plg por 18.0 plg de lado, y 12.0 plg de alun a. Calcule el área de la sección transversal en pulga das cuadradas y en milímetros cuadrados. Calcule el volumen en pulgadas cúbicas, pies cúbicos, mi límetros cúbicos y metros cúbicos.
1 - 36.
Calcule el área en pulgadas cuadradas de una va rilla, con un diámetro de 0.505 plg. Luego con vierta el resultado en milímetros cuadrados.
E s fu e r z o s d e c o m p re s ió n y te n s ió n d ir e c to s
1 - 37.M Calcule el esfuerzo en una bañ a redonda sujeta a una fuerza de tensión directa de 3200 N si su diá metro es de 10 mm. 1- 38.M Calcule el esfuerzo en una barra rectangular con dimensiones de sección transversal de 10 mm por 30 mm si se aplica una fuerza de tensión directa de 20 kN. 1- 39.T
Un eslabón de una máquina empacadora automá tica se somete a una fuerza de tensión de 860 Ib. Si el eslabón es cuadrado de 0.40 plg de lado, calcule el esfuerzo sobre el eslabón.
1 - 40.1
Una varilla circular, con diámetro de 3/8 plg so porta un calentador que pesa 1850 Ib. Calcule el esfuerzo en la varilla.
F IG U R A 1 - 2 1
1-42.1
La base para la columna de concreto es circular, con un diámetro de 8 plg, y soporta una carga de compresión directa de 70 000 Ib. Calcule el es fuerzo de compresión en el concreto.
1-43.1
Tres bloques de madera cortos y cuadrados de 3j plg de lado, soportan una máquina que pesa 29 500 Ib. Calcule el esfuerzo de compresión so bre los bloques.
1- 44.M El eslabón de un mecanismo soporta una carga de compresión axial de 3500 N. Si tiene una sección transversal cuadrada de 8.0 mm de lado, calcule el esfuerzo en el eslabón. 1- 45.M Una máquina con una masa de 4200 kg está sobre tres varillas de acero dispuestas como se muestra en la figura 1-22. Cada varilla tiene un diámetro de 20 mm. Calcule el esfuerzo en cada vari Ila. 1 - 46.M Se utiliza una centrifuga para separar líquidos, se gún sus densidades, utilizando fuerza centrífuga. La figura 1-23 ilustra un brazo de una centrífuga con un balde en su extremo para contener el líqui do. En operación, el balde y el líquido tienen una masa de 0.40 kg. La fuerza centrífuga tiene una mag nitud en newtons de:
1 -4 1 .M Se diseña una repisa para sostener cajones con una masa total de 1840 kg. Dos varillas similares 34
S o p o rte d e re p is a d c lp ro b le m a l-4 1 .
C a p ítu lo 1 ■
F = 0 .0 \0 9 1 m R n 2 en donde m = masa en rotación del balde y el líquido (en kilogramos) C o n c e p to s b á s ic o s e n la re s is te n c ia d e m a te ria le s
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F IG U R A I - 27
(A) S e c ció n tra n sv ersa l de los m ie m b ro s AB, B C F IG U R A 1 -2 8
36
M arco d el p ro b le m a I - 50.
(c ) S e c ció n tra n sv ersa l d el m ie m b ro /¿ O
(
A rm a d u ra d el p ro b le m a 1—5 1 .
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V ista d e sd e arrib a
V ista lateral
F I G U R A 1 -4 4
Ju n ta a to p e rem a c h ad a p ara el p ro b le m a 1 -7 1 .
Un tubo de acero cédula 40 de 2 plg se utiliza como pata en una máquina. La carga soportada por la pala es de 2350 Ib. (a )
1 - 75.1
Con los datos del problema 1- 64, calcule el es fuerzo de apoyo sobre el costado de la cuña.
1- 76.1
Con los datos del problema 1- 65, calcule el es fuerzo de apoyo sobre el tubo en las superficies de contacto con el perno y el collarín.
1-77.M
Con los datos del problema 1- 70, calcule el es fuerzo de apoyo en los remaches.
1-78.M
Con los datos del problema 1 -7 1 , calcule el es fuerzo de apoyo en los remaches.
Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso si el tubo está abierto en uno de sus extremos.
(b) Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el pi so si se suelda una placa plana a la parte inferior del tubo con un diámetro igual al diámetro exte rior del tubo. Se utilizan un tomillo y rondana para sujetar una tabla de madera a un cimiento de concreto, como se muestra en la figura 1-46. Se crea una fuerza de tensión de 385 Ib en el tornillo al apretarlo. Calcu le el esfuerzo de apoyo (a) entre la cabeza del tor nillo y la rondana de acero, y (b) entre la rondana y la madera.
1- 79.M El tacón de un zapato de mujer tiene la forma que se muestra en la figura 1- 47. Si la fuerza en el tacón es de 535 N, calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso.
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
El estudio de la resistencia de m ateriales requiere un conocim iento de la form a en que las fuerzas y m om entos externos afectan los esfuerzos y deform aciones que se desarrollan en el m aterial de un m iem bro que soporta carga. Sin em bargo, con el fin de dar a estos conocim ientos u n uso práctico, el diseñador necesita saber cuántas deform aciones y es fuerzos puede resistir el m aterial de m anera segura. D e este m odo, las propiedades de los m ateriales, en lo que se refiere al diseño, deben com prendersejunto con el análisis reque rido para determ inar la m agnitud de los esfuerzos y deform aciones. En este capítulo presentarem os inform ación concerniente a los m ateriales que se utilizan con m ayor frecuencia en la fabricación de com ponentes de estructuras y disposi tivos m ecánicos, poniendo m ás énfasis en las propiedades de diseño de los m ateriales que en su estructura m etalúrgica o com posición quím ica. A unque es verdad que un conoci m iento profundo de la estructura de los m ateriales es u n a buena ayuda p ara el diseñador, es de la m ayor im portancia saber la form a en que los m ateriales se com portan al soportar cargas. É ste es el com portam iento en el que nos concentrarem os en el p resente capítulo. Prim ero, discutirem os los m etales, los m ateriales m ás am pliam ente utilizados en el diseño de la ingeniería. Se describen las im portantes propiedades de los m etales, ju n to con las características especiales de varios m etales distintos. E ntre los no m etales que se presentan se incluye: m adera, concreto, plásticos y los m ateriales com puestos, y se expone la form a en que el com portam iento de estos m ateria les difiere de los m etales, ju n to con algunas de sus propiedades características.
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D espués de terminar el estudio de este capitulo, el lector será capaz de:
1. E num erar los usos típicos de los m ateriales de ingeniería. 2.
D efinir la resistencia última a la tensión.
3. D efinir el punto de cedencia. 4. D efinir la resistencia a la cedencia. 5. D efinir el límite elástico.
6. D efinir el límiteproporcional. 7. D efinir el módulo de elasticidad y describir su relación con la rigidez de los materiales. 8. D efinir la ley de Hooke. 9. D escribir el com portam iento dúctil y frágil de los m ateriales. 10. D efinir el porcentaje de alargamiento y describir su relación con la ductilidad de los m ateriales. 11. D efinir el Sistem a de N um eración U nificado (SN U ) p aram etalesy aleaciones. 12. D escribir el sistem a de designación de cuatro dígitos para aceros. 13. D efinir las propiedades m ás im portantes de los aceros al carbono, aleaciones de aceros, los aceros inoxidables y los aceros estructurales. 14. D escribir el sistem a de designación de cuatro dígitos para aleaciones forjadas y coladas de alum inio. 15. D escribir las designaciones para el tem plado del alum inio. 16. D escribir las propiedades de diseño del cobre, latón, bronce, zinc, m agnesio y titanio. 17. D escribir las propiedades de diseño de hierros colados, incluyendo hierro gris, hierro dúctil, hierro dúctil austem plado, hojalata y hierro m aleable. 18. D escribir las propiedades de diseño de la m adera, el concreto, los plásticos y los m ateriales com puestos.
M E T A L E S E N E L D IS E Ñ O M E C Á N IC O
Los m etales, p o r lo general, se utilizan para m iem bros que soportan carga en edificios, puentes, m áquinas y una am plia variedad de productos para el consum idor. L as vigas y colum nas en los edificios com erciales están hechas de acero estructural o alum inio. En autom óviles, se utiliza un gran núm ero de aceros, entre los que se in cluye lám ina de acero al carbono para paneles de carrocería, aleaciones de corte libre p ara piezas m aquinadas, y aleaciones de alta resistencia para engranes y piezas som etidas a cargas excesivas. El hierro colado se utiliza en bloques de m otores, tam bores de frenos y cabezas de cilindros. Las herram ientas, resortes y otras piezas que requieren de una alta dureza y resistencia al desgaste están hechas de aleaciones de acero que contienen una gran cantidad de carbo no. Los aceros inoxidables se utilizan en equipo de transporte, productos para plantas quím icas y equipos de cocina donde se requiere resistencia a la corrosión. El alum inio tiene m uchas de las aplicaciones del acero; se utiliza en m uchos p ro ductos arquitectónicos y bastidores para equipo m óvil. Su resistencia a la corrosión p er m ite que seutilice en tanques de alm acenaje quím ico, utensilios de cocina, equipo m arino y productos com o postes indicadores para carretera. Los pistones p ara autom óviles, m ol C a p ítu lo 2 ■
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P r o p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
duras y cuerpos troquelados de bom bas y alternadores son d e alum inio. L as estructuras para aviones, las piezas para m otores y los revestim ientos de lám ina m etálica utilizan alum inio por su alta razón de resistencia—peso. El cobre y sus aleaciones, tales com o el latón y el bronce, se u tilizan en conductores eléctricos, intercam biadores de calor, resortes, bujes, herrajes m arinos y piezas p ara in terruptores. C on frecuencia se utiliza el m agnesio en piezas p ara cam iones, ruedas y p iezas de enseres para el hogar. El zinc tiene usos sim ilares, y tam bién p u ed e forjarse en com ponentes de m aquinaria y herraje industrial. E l titanio tiene una alta proporción de resistencia en razón con su p eso y una buena resistencia a laco rro sió n y, p o r consiguiente, se utiliza en piezas p ara aviones, recipientes de p resió n y equipo quím ico. L a selección de m ateriales requiere co n sid erar m uchos factores. P o r lo general, deben evaluarse la resistencia, rigidez, ductilidad, peso, resistencia a la corrosión, cap a cidad de m aquinado, facilidad para trabajarse, soldabilidad, aspecto, costo y disponibili dad. En lo que se refiere al estudio de la resistencia de m ateriales, los prim ero s tres factores son los m ás im portantes: resistencia, rigidez y ductilidad. R e s is te n c ia . Los datos de referencia que listan las propiedades m ecánicas de los m etales casi siem pre incluirán la resistencia última a la tensión y la resistencia a la cedencia deI metal. La com paración entre los esfuerzos reales en una pieza, con la resis tencia últim a a la tensión o la resistencia a la ced en cia del m aterial del que está hecha la pieza, es el m étodo usual para evaluar lo apropiado que puede ser un m aterial p ara sopor tar con seguridad las cargas aplicadas. En el capítulo 3 y los siguientes se tratarán con m ay o r profúndidad los detalles del análisis de esfuerzo. L a resistencia últim a a la tensión y la resistencia a la cedencia se determ inan al p ro b ar una m uestra del m aterial en una m áquina de p ru eb a d e tensión com o la que se ilu straen la fig u ra 2 - 1 . E ntre las m ordazas superior e inferior se coloca una b arra redonda
F IG U R A 2 - 1 M áq u in a u n iv e rs al d e p ru e b a s p ara o b te n e r d a to s de e s fu e rz o -d e fo rm ac ió n d e m a te ria le s. {Fuente: T in iu s O lsen T e s tin g M ac h in e C o ., In c ., W illo w G ro o v e , P a ., E sta d o s U n id o s .)
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ta continuam ente la carga sobre la m uestra, se llega a u n punto que se conoce com o limite elástico, m arcado con la letra B en la figura 2 -3 . A esfiierzos m enores a e ste punto, el m aterial recobrará su tam año y form a originales si se elim ina la carga. A m ayores esfuer zos, el m aterial queda perm anentem ente deform ado. El punto de cedencia es el esfuerzo en el que ocurre un alargam iento notorio sin un increm ento aparente en la carga. E n la figura 2 -3 el punto de cedencia está en C, aproxim adam ente a 36 000 psi1(248 M Pa). Al ap licar cargas aún m ayores, luego de alcanzar el punto de cedencia, hace q u e la curva vuelva a elevarse. Al llegar a un pico, la curva cae de m anera ligera hasta que finalm ente se rom pe la m uestra, term inando así la gráfica. El esfuerzo ap arente m ás elevado y que se to m a del diagram a de esfuerzo-deform ación, se conoce co m o resistencia última. E n la figura 2 - 3 , la resistencia últim a sería aproxim adam ente de 53 000 psi (365 M Pa). E l hecho de que las curvas de esfu erzo -d efo rm ació n en las figuras 2 -3 y 2 -4 caigan luego de llegar a un pico, indica que dism inuye el nivel de esfuerzo. E n realidad no es así; el esfuerzo verdadero continúa elevándose h asta que finalm ente el m aterial se fractura. L a razón para la aparente dism inución en el esfuerzo es que la gráfica q u e se to m a de una típica m áquina de prueba de tensión es en realidad de carga contra alargamiento y no de esfuerzo contra deformación. El eje vertical se convierte en esfuerzo al d ividir la carga (fuerza) sobre la probeta entre el área de sección transversal original d e la probeta. C uan do la probeta se acerca a su carga d e ruptura, se reduce su diám etro y, en consecuencia, su área de sección transversal. El área que se redujo req u irió una fuerza m en o r para seguir alargando la probeta, aun cuando el esfuerzo verdadero sobre el m aterial se increm ente. E sto resulta en la caída de la curva q u esem u estra en las figuras 2 -3 y 2 - 4 . En vista de que es m uy difícil controlar el diám etro decreciente, y debido a q u e los ex perim entos dem os traron que h ay poca diferencia entre el esfuerzo m áxim o verdadero y el q u e se obtuvo para el pico del esfuerzo aparente contra la curva de deform ación, al pico se le acepta com o la resistencia últim a a la tensión del m aterial.
R e s is te n c ia
D e fo rm a c ió n u n ita ria p lg /p lg o m /m
D e sv ia c ió n d e 0.2% £
F IG U R A 2 - 4
=
0 .0 0 2
C u rv a tipien d e e s íu e rz o -d e fo rm a c ió n d el a lu m in io .
Sección 2 -2 ■ Metales en el diseño mecánico
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A continuación, se expone un resum en de las definiciones de las m ás im portantes propiedades de resistencia de los metales:
E l limiteproporcion al es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzodeformación, al que la curva se desvía p or prim era vez, desde una linea recta. E l limite elástico es el valor del esfuerzo en una curva de esfuerzodeformación, en el que el material se deforma plásticamente; es decir, ya no volverá a su fo rm a y tamaño originales luego de elim inar la carga. E l punto de cedencia es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzodeformación, en el que existe un incremento significativo de la deformación, con poco o ningún incremento en el esfuerzo. La resistencia última es el máximo valor del esfuerzo en la curva de esfuerzodeformación. M uchos m etales no presentan un punto de cedencia tan bien definido com o el de la figura 2 -3 . Algunos ejem plos de esto son las aleaciones de aceros de alta resistencia, el alum inio y el titanio. Sin em bargo, estos m ateriales en realidad sí ceden, puesto que se deform an en una cantidad apreciable antes de que ocurra su fractura. Para estos m ateria les, un típico diagram a de esfuerzo-deform ación sería sim ilar al que se m uestra en la figura 2 - 4 . La curva es suave, sin un punto de cedencia pronunciado. Para estos m ateria les, la resistencia a la cedencia se define por una línea com o la M - N con un trazo paralelo a la porción recta de la c u r v a de p r u e b a . El punto M por lo general se determ ina al obtener ese punto en el eje de deform ación que representa una deform ación de 0.002 plg/plg. Este punto tam bién se conoce com o punto de desviación del 0.2% . El punto N, donde la línea de desviación corta la curva, define la resistencia a la cedencia del m aterial, que en la figura 2 - 4 es aproxim adam ente de 55 000 psi. La resistencia últim a está en el pico de esta curva, com o quedó descrito. Para estos m ateriales, se utiliza el térm ino resistencia a la cedencia, en lugar de punto de cedencia. En resum en, para m ateriales que no presentan un punto de cedencia pronunciado, la definición de resistencia a la cedencia es la siguiente:
La resistencia a la cedencia es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzodeformación en el cual una recta que se dibuja desde un valor de deformación de 0.002plg/plg (o m/m), y paralela a la porción recta de la curva de esfuerzodeformación, interseca la cun>a. En la m ayoría de los m etales forjados, el com portam iento de los m ateriales a com presión es sim ilar a los m ateriales que están a tensión, y por esto, generalm ente, no se realizan pruebas separadas de com presión. Sin em bargo, en m ateriales colados y no ho m ogéneos com o la m adera y el concreto, hay grandes diferencias entre las propiedades a tensión y com presión, y deben realizarse pruebas de com presión. R ig id e z . Con frecuencia es necesario determ inar cuánto se deform ará una pieza bajo una carga, para asegurar que la deform ación excesiva no destruya su utilidad. Esto puede ocurrir a esfuerzos m uy inferiores a la resistencia a la cedencia del m aterial, en especial en m iem bros m uy largos o en dispositivos de alta precisión. La rigidez del m aterial es una función de su módulo de elasticidad, al que a veces se le conoce com o módulo de Young.
E l módulo de elasticidad, E, es una medida de la rigidez de un materia!, determinado p o rta pendiente déla porción recta de la curva de esfuerzodeformación. E s la razón de cambio de esfuerzo a cambio en ¡a deformación corr espon dien te. C a p ítu lo 2 ■
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P r o p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te r ia le s
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D u c t ilid a d . Cuando los m etales se rom pen, su fractura puede clasificarse com o dúctil o frágil. U n m aterial dúctil se estira y cede antes de fracturarse, por lo que se origina una notoria dism inución en el área de la sección transversal, en la sección fracturada. P or otra parte, un m aterial frágil se fracturará de repente con poco o ningún cam bio en el área de la sección fracturada. Los m ateriales dúctiles se prefieren para piezas que soportan car gas repetidas o que se someten a carga de impacto debido a que, por lo general, son más resistentes a la fractura por fatiga, y porque absorben m ejor la energía del impacto. L a ductilidad en los m etales se m ide generalm ente durante la prueba de tensión observando cuánto se ha alargado perm anentem ente el m aterial luego de fracturarse. Al inicio de la prueba, se m arca una longitud de calibración en la probeta, com o se m uestra en la figura 2 - 6. La m ayoría de las pruebas utilizan 2.000 plg o 50.0 m m com o longitud de calibración, según se m uestra en la figura. Los aceros estructurales m uy dúctiles a
■*— L o n g itu d d e -*■ calibración P o r lo general, 2 .00 p lg o 50 .0 mm (a)
ib) F IG U R A 2 - 6 L on g itu d de calib ració n en u na p robeta p ara p ru eb as de ten sió n : (a) L o n g itu d d e calib ració n co n m a rc a en una probeta, (b) P ro b eta en un d isp o sitiv o para m arcar lo n g itu d es de calib ració n . ( Fuente: T in iu s O lsen T estin g M ach in e C o., Inc., W illo w G ro v e, Pa., E stad o s U n id o s.)
C a p ítu lo 2 ■
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
veces utilizan 8.000 plg o 200.0 m m com o longitud de calibración. D espués de que la m uestra se som ete a tensión hasta fracturarse, las partes fracturadas se ju n tan , y nueva m ente se m ide la distancia entre las m arcas. C on estos datos, se calcula el porcentaje de alargamiento, com o sigue:
o
.
.
. :
P o r c e n ta je
.
d e a la r g a m ie n t o
. , , . longitud final - longitud de calibración porcentaje de alarg am ien to = ---------- ;— —— — ----- —------------------- x 100% longitud de calibración
(2 -3 )
°
Se considera que un m etal es dúctil si su porcentaje de alargam iento es m ayor del 5% . Un m aterial con un porcentaje de alargam iento m enor del 5.0% se considera frágil y no presenta el fenóm eno de cedencia. L a fractura de estos m ateriales es repentina, sin u n a deform ación notable antes de su fractura definitiva. En la m ayoría de las aplicaciones de diseño estructural y m ecánico es deseable el com portam iento dúctil y el porcentaje de alar gam iento del m aterial debe ser significativam ente m ay o r de un 5.0% . U n alto porcentaje de alargam iento indica un m aterial altam ente dúctil. En resum en, se utilizan las siguientes definiciones p ara describir la ductilidad en m etales:
E l porcentaje de alargamiento es la razón entre el alargamiento plástico de una probeta sometida a tensión, luego de su fra ctu ra definitiva dentro de las marcas de calibración, y la longitud origina! entre las marcas de calibración. E s una medida déla ductilidad. M aterial dúctil es aquel que puede estirarse, fo rm a rse o encogerse a un grado significativo antes defracturarse. Un metal que presenta un porcentaje de alargamiento mayor del 5.0% se considera dúctil. M aterial quebradizo es aquel que se fractura de súbito al som eterse a carga, con poca o ninguna deformación plástica. Un m etal que presenta un porcentaje de alargamiento m enor del 5.0% se considera frágil. V irtualm ente, todas las form as forjadas de aleaciones de acero y alum inio son dúc tiles. P ero las form as d e alta resistencia tienden a tener una m enor ductilidad, y el diseña d o r con frecuencia se ve obligado a acom odar la resisten cia y la ductilidad a la especificación de u n m aterial. El hierro colado gris, m uchas form as de alum inio colado, y algunas form as de alta resistencia del acero forjado o colado son frágiles. M o d o s d e f r a c t u r a . En la m ayoría de los diseños, un elem ento de m áquina o m iem bro estructural se considera que ha fallado cuando:
1. Se rom pe; es decir, el esfuerzo supera a la resistencia últim a del m aterial. 2. El m aterial se deform a plásticam ente; es decir, se ve som etido a un esfuerzo m ayor que su resistencia a la cedencia. 3. O curre una deform ación elástica excesiva que hace que el m iem bro y a n o sea adecuado para su u so p ro p u esto . La deform ación del m aterial antes de que ceda depende de su rigidez, indicada por el m ódulo de elasticidad. En capítulos posteriores se p resentarán m étodos p ara calcular la deform ación total de los m iem bros que soportan carga. N o h ay norm as absolutas en relación con el nivel de deform ación que p o d ría producir u n a fractura. M ás bien, el diseS e c ció n 2 - 2 ■
M e ta le s e n el d is e ñ o m e c á n ic o
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ñador debe ju zg ar con base en el uso de la estructura o la m áquina. La referencia 11 presenta algunos criterios para esto. M uchas asociaciones industria les se encargan de establecer norm as para la clasificación de m etales y aleaciones. Cada una tiene su propio sistema de numeración, conveniente para el metal específico regido por la norm a. Pero esto a veces produce confusión, en especial cuando dos o m ás conven ciones se traslapan, y cuando se utilizan esquem as m uy distintos para denotar los m eta les. Se introdujo el orden en la clasificación de m etales m ediante el uso del Sistem a de Num eración Unificado (SNU), com o se define en la N orm a E 5 2 7 - 74 (Reaprobada en 1981), S ta n d a rd P racticc for N u m b erin g M etals an d AJIoys (U N S) [Prácticas N or mativas para la Num eración de M etales y A leaciones (SNU)] por la A m erican Society forT estingand Materials [Sociedad Estadounidense para Pruebas y M ateriales (ASTM)]. A dem ás de listar los m ateriales controlados por la A STM , la SNU coordina las designa ciones de: C la s if ic a c ió n d e lo s m e t a le s y la s a le a c io n e s .
The Alum inum Association (AA) (Asociación del Alum inio) A m erican Iron and Steel Institute ( AISI) (Instituto Estadounidense del H ierro y el Acero) Copper D evelopm ent Association (CD A) (A sociación del D esarrollo del Cobre) Society o f A utom otive Engineers (SAE) Sociedad de Ingenieros A utom otrices) Las series prim arias de números dentro del SNU aparecen listadas en la tabla 2 -1 , junto con la organización responsable de asignar núm eros dentro de cada serie.
TA BLA 2 -1
S istem a de n u m eració n u n ificad o (S N U ).
T ip o de m etales y aleaciones
N ú m ero de serie
O rganización resp o n sab le
M etales no ferro so s y aleaciones A 0 0 0 0 1 -A 9 9 9 9 9 C 0 0 0 0 1 -C 9 9 9 9 9 E 0 0 0 0 1 -E 9 9 9 9 9 L 0 0 0 0 1 -L 9 9 9 9 9 MOOOO1-M 9 9 9 9 9 N 0 0 0 0 1 -N 9 9 9 9 9 P 0 0 0 0 1 -P 9 9 9 9 9 R 0 0 0 0 1 -R 9 9 9 9 9 ZOOOO1-Z 9 9 9 9 9
A lu m in io y aleacio n es de a lum inio C obre y aleacio n es de cobre T ierras raras y aleaciones M etales de b ajo p u n to d e fusión y aleaciones M etales no ferrosos y aleacio n es m iscelán eo s N íq u el y aleacio n es de níquel M etales precio so s y aleacio n es M etales reactivos y refractario s y aleacio n es Z in c y aleacio n es d e zinc
AA CDA A ST M A ST M A ST M SA E A ST M SA E A ST M
A cero s, con p ro p ied ad es m ecán icas esp ecificad as H ierros y aceros fundidos A ceros al c arb o n o y aleacio n es de a cero (incluye los antiguos aceros al carbono y aleaciones de acero SAE) A ceros H ;c n d u re cib ilid a d esp ecificad a A cero s fun d id o s (ex cep to aceros p ara h erram ien tas) A cero s y a leacio n es ferrosas m iscelán eo s A ceros resisten tes al c alo r y la co rro sió n (inoxidables) A cero s p ara h erram ien tas
SAE A STM AISI
M etales ferro so s y ale aciones D 0 0 0 01-D 99999 F00 0 0 1 -F 9 9 9 9 9 GOOOO1-G 9 9 9 9 9 H 0 0 0 01-H 99999 J 0 0 0 0 1 -J 99999 K 0 0 0 0 I-K 9 9 9 9 9 S 0 0 0 0 1 -S 9 9 9 9 9 T 0 0 0 0 1 -T 9 9 9 9 9
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A ISI A ST M A ST M A ST M A ISI
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C o n te n id o d e c arb o n o N ú m e ro de aleació n ; in d ica p rin c ip a le s e le m en to s d e aleación.
E jem p lo s A IS I
10
2 0
'T _
0 .2 0 % d e c arb o n o A c ero al c arb o n o n o rm al
AISI
4
14 0
'T _
0 .4 0 % d e c arb o n o M o líb d e n o y c ro m o c o m o e le m en to s d e a le ac ió n
F IG U R A 2 - 7
S istem a d e d e sig n a c ió n d el acero .
M uchas aleaciones dentro del SNU retienen los núm eros de los sistem as que duran te m uchos años la asociación indi vidual ha tenido p o r costum bre utilizar. P o r ej em plo, 1a siguiente sección describe el sistem a de designación de cuatro dígitos de la A IS I para aceros al carbono y aleados. La figura 2 - 7 m uestra dos ejem plos: A IS I 1020, u n acero al carbono, y A IS I4 1 4 0 , una aleación de acero. E stos aceros deben tener las designaciones SN U , G 10200 y G 41400, respectivam ente.
ACERO
El térm ino acero se refiere a aleaciones de hierro y carbono y, en m uchos casos, otros elem entos. Por la gran cantidad de aceros disponibles, en la p resente sección se clasifica rán com o aceros al carbono, aceros aleados, aceros inoxidables y aceros estructurales. En el caso de los aceros al carbono y aceros aleados , se utiliza el código de desig nación de 4 dígitos para definir cada aleación. La figura 2 -7 m uestra el significado de cada dígito. Los cuatro dígitos deberían ser los m ism os para aceros clasificados p o r el Instituto A m ericano del H ierro y el A cero [Am erican Iron and Steel Institute] (AISI)] y la Sociedad de Ingenieros autom otrices [Society o f A utom otive E ngineers (SA E)]. La clasificación de la Sociedad estadounidense para Pruebas y M ateriales [Am erican So ciety for Testing and M aterials (ASTM )] se discutirá posteriorm ente. P or lo general, los prim eros dos dígitos en una designación de cuatro dígitos para el acero denotará los principales elem entos de la aleación, adem ás del carbono, presentes en el acero. L os últim os dos díg ito s den o tan el p o rcen taje m edio (o p u n to s) de carbono en el acero. Por ejem plo, si los últim os dos dígitos son 40, el acero tendrá aproxim ada m ente 0.4 % de contenido de carbono. El carbono tiene un lugar tan prom inente en la designación de la aleación, porque, en general, conform e aum enta el contenido de carbo no, tam bién se increm enta la resistencia y dureza del acero. El contenido de carbono, en térm inos generales, varía de un m ínim o deO. 1% aaproxim adam ente 1.0%. C abe hacerse notar que si bien la resistencia aum enta al aum entar el contenido de carbono, el acero tam bién se vuelve m ás frágil. L a tabla 2 - 2 m uestra los principales elem entos de aleación que corresponden a los dos prim eros dígitos de la designación del acero. La tabla 2 -3 da las aleaciones m ás com unes ju n to con los principales u sos de cada una.
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TABLA 2 - 2
Principales elem entos de aleación en las aleacio n es d e acero.
N ú m ero A ISI del acero
E lem entos d e aleación
N ú m ero A ISI del acero
lOxx 1 lx x 13xx 14xx 2xxx 3xxx 4 x xx
C arbono sim ple A zufre (de corte fácil) M anganeso B oro N íquel N íq u el-cro m o M olibdeno
46xx 47xx 48xx 5xxx 6xxx 8xxx 9xxx
41xx 43xx
M olib d en o -cro m o M olibdeno-crom o-níqucl
92 x x
TABLA 2 - 3
A leaciones d e acero m ás com unes y usos tipicos.
N ú m e ro A ISI del acero
U so s típicos
1020 1040 1050 1095 1137 1141 41 3 0 41 4 0 41 5 0 5160 8760
E lem entos d e aleació n M o lib d cn o -n íq u el M o lib d en o -n íq u el-cro m o M o lib d en o -n íq u el C rom o C ro m o -v an ad io N íq u el-cro m o -m o lib d en o N íq uel -c ro m o -m o l ib de no (ex cep to 92xx) S ilicio -m an g an eso
A cero estru ctu ral, barras, placas Piezas de m aq u in aria, flechas Piezas de m aquinaria H erram ientas, reso rtes Flechas, p iezas p ara to m o s d e ro scar (aleacio n es fáciles d e m aq u in ar) Flechas, partes m aquinadas A cero de alta resisten cia para usos generales; flechas, eng ran es, pernos Igual que 4130 Igual que 41 3 0 E ngranes y tornillos de alta resistencia H erram ientas, reso rtes, cinceles
C o n d ic io n e s p a ra a c e r o s . Las propiedades m ecánicas de! carbono y los aceros aleados son sumamente sensibles a la m anera en que se forman, y a los procesos de tratam iento térmico. En el apéndice A - 13 se m uestra una lista de la resistencia últim a, la resistencia a la cedencia y el porcentaje de alargam iento de varios aceros en una amplia variedad de condiciones. Nótese que éstas son propiedades típicas, o ejem plos de éstas, y no pueden servir de base para diseño. Las propiedades de los m ateriales dependen de m uchos factores, entre los que se incluye: tam año de la sección, tem peratura, com posi ción real, variables en su procesam iento y técnicas de fabricación. Es responsabilidad del diseñador investigar el posible rango de propiedades de un m aterial y diseñar m iem bros de carga seguros sin im portar la com binación de factores presentes en una situación dada. Por lo general, cuanto más severo sea el trabajo sobre un acero, más fuerte será éste. A lgunas form as del acero, tales com o lám inas, barras y perfiles estructurales, se produ cen por laminado en caliente, m ientras aún estén a una tem peratura m uy elevada. Esto produce un acero relativam ente blando y de bajaresístencia, de una alta ductilidad y fácil de form ar. L a lam inación del acero en su form a final cuando casi está a tem peratura am biente se conoce com o laminado en frío , y produce una m ayor resistencia y una ducti lidad 1igeramente menor. Puede lograrse una resistencia aún m ayor m ediante estiramien to enfrío , al estirar el m aterial a través de matrices a tem peratura am biente, o casi. De este m odo, para estos tres difundidos métodos deproducción de form as de acero, la form a de estiram iento en frío (CD: cold-draw n) produce la resistencia m ás alta, seguido por el laminado en frío y el laminado en caliente (CR y HR, cold-rolled y hotrolled, respectiva C a p ítu lo 2 ■
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
m ente). Esto puede verse en el apéndice A - 13, al com parar la resistencia del m ismo acero, com o, p o r ejem plo A ISI 1040, en las condiciones de lam inado en caliente y de estirado en frío. En general, los aceros aleados se tratan al calor para desarro llar propiedades espe cíficas. El tratamiento al calor involucra elevar la tem peratura del acero entre 790 y 900 °C (según la aleación) para de inm ediato enfriarlo, tem plándolo en agua o aceite. L uego del tem plado, el acero tiene alta resistencia y dureza, pero tam bién se to m a quebradizo. Por esta razón, se realiza un tratam iento p osterior conocido com o templado (o estirado). El acero se recalienta a una tem peratura en el rango de en tre 205 y 705 °C, y luego se enfría. El efecto de tem plar una aleación de acero puede apreciarse en la figura 2 - 8. D e este m odo, las propiedades de un acero tratado al calor pueden controlarse al especificar una tem peratura de tem plado. E n el apéndice A - 13 se describe la condición de las aleaciones tratadas al calor com o O Q T 400. E sto significa que el acero fue tratado al calor enfrián dolo en aceite y luego tem plándolo a 205 “C. Sim ilarm ente, W Q T 1300 significa que se h a enfriado con agua y se ha som etido a tem plado a 705 °C.
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E fecto de la te m p e ra tu ra d e te m p le e n la re s iste n c ia y d u c tib ilid a d d e u n a a le a c ió n d e acero.
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El normalizado del acero se inicia calentándolo aproxim adam ente a la m ism a tem peratura (conocida com o tem peratura critica máxima) que sería necesaria p ara endure cerlo m ediante tem plado, com o ya se ha descrito. Pero en lugar de tem plarlo, el acero se enfría en aire estático hasta que alcanza la tem peratura am biente. E sto resu lta en una estructura uniform e y de grano fino, una m ayor ductilidad, m ejor resistencia a im pactos y una m aquinabílidad m ejorada. El recocido completo consiste en calentarlo a una tem peratura m ayor a la crítica m áxim a, seguido de un enfriam iento m uy lento hasta la tem peratura crítica m ínim a y luego en aire estático hasta la tem peratura am biente. E sta es una de las form as m ás blan das del acero, siendo así m ás fácil de cortar, form ar y m aquinar. El recocido de alivio de esfuerzos consiste en calentar p o r abajo de la tem peratura crítica m ínim a, m antenerlo para conseguir una tem peratura uni form e en toda la pieza, y luego enfriar hasta la tem peratura am biente. E sto alivia los esfuerzos residuales y evita una distorsión posterior. A c e r o s i n o x id a b le s . Los aceros inoxidables reciben su nom bre p o r su resistencia a la corrosión. El principal elem ento de aleación en los aceros inoxidables es el crom o, que está presente hasta en un 17% en la m ayoría de las aleaciones. Se utiliza un m ínim o de 10.5 % de crom o, y puede variar hasta alcanzar el 27 p orciento. A unque existen más de 40 grados de acero inoxidable en el m ercado, p o r lo general se categorizan en tres series que contienen aleaciones con propiedades sim ilares. E n el apéndice A -1 4 se da una lista de propiedades de algunos aceros inoxidables. Los aceros de las series 200 y 300 tienen alta resistencia y u n a alta tolerancia a la corrosión. Pueden utilizarse a tem peraturas hasta de 650 °C con buena retención de pro piedades. Por su estructura, estos aceros son en esencia no m agnéticos. Su buena ductili dad y dureza, y su buena soldabilidad, los hacen sum am ente útiles para equipos de procesos quím icos, productos arquitectónicos y productos relacionados con los alim en tos. N o son endurecibles por tratam iento térm ico, pero pueden h acerse m ás resistentes al trabajarlos en frío. El rango del trabajo en frío está típicam ente dado com o suave, semisuave, semiduro y duro, donde la resistencia aum enta a m ayor dureza. Pero a m ayor dureza dism inuye la ductilidad. El apéndice A -1 4 m uestra las propiedades de algunas aleaciones de acero inoxidable en dos condiciones: recocido y duro, que son los extrem os disponibles de resistencia. La condición de recocido a veces se conoce com oiw ave. Los aceros de la serie A 1SI400 se utilizan p ara acabados autom otrices y p ara equi po de procesos quím icos, tales como tanques de ácido. Ciertas aleaciones pueden tratarse al calor para que puedan utilizarse com o hojas de cuchillos, resortes, cojinetes de bolas e instrum entos quirúrgicos. Estos aceros son magnéticos. Los aceros endurecidos p o r precipitación, tales com o 17 - 4PH y P H 1 3 - 8M o, se endurecen al mantenerlos a temperaturas elevadas, entre aproxim adam ente 480 y 600 “C. Estos aceros generalm ente se clasifican com o aceros inoxidables de alta resistencia, con resistencias a la cedencia aproxim adam ente de 180000 psi (1240 M P a )o m á s .
A c e r o s e s t r u c t u r a l e s . Los aceros estructurales se producen en form a de lám inas, planchas, barras, tubos y perfiles estructurales com o v i g a s - 1, vigas de patines anchos, canales y ángulos. La Sociedad E stadounidense para Pruebas y M ateriales (A STM ) da una designación num érica a estos aceros, que es el núm ero de la norm a que define las propiedades m ínim as requeridas. En el apéndice A -1 5 se dan los seis grados de los ace ros estructurales de uso m ás frecuente y sus propiedades.
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Un acero que es m uy popular en las aplicaciones estructurales es el A STM A36, acero al carbón utilizado para m uchos perfiles, placas y barras com ercialm ente disponi bles. Tiene un punto de cedencia m ínim o de 36 ksi (248 MPa), es soldable, y se utiliza en puentes, edificios y para propósitos estructurales generales. Al acero ASTM A242 se le conoce com o acero de alta resistencia y baja aleación. Con él se fabrican perfiles, planchas y barras, y puede especificarse en vez del acero A36 para usar miembros más pequeños y ligeros. En tam años hasta d e | d ep lg de espesor tiene un punto de cedencia mínimo de 50 ksi (345 M Pa). En espesores de ^ a 1j plg, se especi fica un punto de cedencia mínimo de 46 ksi (317 MPa). La aleación A 242 sirve para usos estructurales generales, y se conoce como acero de intemperie , puesto que su resistencia a la corrosión es cuatro veces la del acero al carbono nonnal. Desde luego, debe conside rarse el costo antes de especificar esta aleación. El de aleación A514 es de alta resistencia, tratado al calor m ediante enfriado y tem plado hasta un punto de cedencia m ínim o de 100 ksi (690 MPa). Producido como planchas, se utiliza en puentes soldados y estructuras similares. La tubería estructural es redonda, cuadrada o rectangular y con frecuencia se fabri ca de acero A S T M - A501 (formado en caliente) o A STM a A 500 (form ado en frío) (véanse los apéndices A - 9 y A - 15). Otro acero estructural de uso general es el ASTM A 572, disponible en la form a de perfiles, planchas y barras, y en grados de 42 a 65. El núm ero de grado se refiere al punto de cedencia m ínim o del grado en ksi, y puede ser de 4 2 ,4 5 ,5 0 , 55,60 y 65. En resum en, los aceros vienen en muchas form as con una am plia variedad de resis tencias y otras propiedades. La selección del acero más adecuado es ciertam ente un arte, apoyado por el conocim iento de las características significativas de cada aleación.
H IE R R O F U N D ID O
Entre las atractivas propiedades del hierro fundido se cuentan su bajo costo, buena resis tencia al desgaste, buena maquinabilidad, y su capacidad para vaciarse en form as com plejas. A continuación se discutirán cinco variedades: hierro gris, hierro dúctil, hierro dúctil austem plado, hojalata y hierro maleable. E l hierro gi-is se utiliza en bloques de m otores autom otrices, bases para m aquina ria, tam bores de frenos y engranes grandes. Por lo común se especifica con un núm ero de grado correspondiente a la m ínim a resistencia a la tensión última. P or ejem plo, el hierro fundido gris grado 20 tiene una resistencia últim a m ínim a de 20 000 psi (138 M Pa); el grado 60 tiene s„ = 60 000 psi (414 MPa), y así sucesivamente. Los grados que p o r lo general están disponibles van del 20 al 60. El hierro gris es ligeram ente quebradizo, de m odo que su resistencia a la cedencia generalm ente no se reporta com o propiedad. Una notable característica del hierro gris es que su resistenciaalacom presión es m uy elevada, entre 3 y 5 veces m ás que su resistencia a la tensión. Esto debe tom arse en cuenta en el diseño, y en especial cuando una parte se som ete a esfuerzos de flexión, com o se expone en el capítulo 8. Por las variaciones en el régim en de enfriam iento luego de que el hierro fundido se vierte en un molde, la resistencia real de una sección en particular de una pieza fundida depende de su espesor. La figura 2 -1 0 ilustra esto para el hierro gris de grado 40. La resistencia en el lugar de la obra puede variar desde 52 000 psi (359 M Pa) a 27 000 psi (186 MPa). C a p ítu lo 2 ■
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E sp e so r d e la fu n d ic ió n , p lg
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R esiste n cia c o n tra e s p e s o r en h ie rro g ris fu n d id o g ra d o 40.
El hierro dúctil difiere de] hierro gris en que no p resen ta ced en cia y e n q u e tiene un m ay o rp o rcen taje de alargam iento y u n a resisten cia m ás elevada a la tensión. L o s grados del hierro dúctil se designan m ediante un sistem a de tres núm eros, com o p o r ejem plo, 80 5 5 - 6. El prim er núm ero indica la últim a resistencia m ín im a a la tensión, exp resad a en ksi; el segundo, la resistencia elástica expresada en ksi; y el tercero, el p o rcen taje de alargam iento. D e este m odo, el grado 8 0 - 5 5 - 6 tiene una resisten c iaú ltim a de 80 OOOpsi, u n a resistencia elástica de 55 000 psi, y un porcentaje de alargam iento de 6% . E ntre los u sos del hierro dúctil se incluyen cigüeñales y engranes som etidos a g ra n d e s cargas. La resistencia del h ie n o dúctil pu ed e increm entarse p o r casi un factor de 2 m edian te u n proceso que se llam a austemplado. L as tundiciones prim ero se calientan a una te m p eratu ra en tre 815 y 930 °C, y se m a n tien en a estas te m p e ra tu ra s p a ra co n seg u ir u n a estru ctu ra uniform e. L uego se enfrían ráp id am en te a u n a tem p eratu ra m enor, 230 a 4 0 0 °C y de nuev o se m antienen a esa tem peratura. L uego de p erm an ecer varias horas a tem peratura constante se perm ite que las fundiciones se en frien hasta la tem peratura am biente. E l hierro dúctil austemplado (AD I: A ustem pered D u ctile Iron) tiene una m ayor resisten cia y m ejor ductilidad que los hierros dúctiles estándar, com o pued e v erse en el apéndice A - l 6. E sto perm ite que las piezas sean m ás chicas y ligeras, y hace que el hierro dúctil austem plado sea m uy deseable para engranes autom otrices, cigüeñales y m iem bros estructurales para equipo de construcción y transporte, sustituyendo a los aceros tem plados o colados. E l hierro blanco se produce al en friar rápidam ente u n a fundición de hierro gris o dúctil d urante el proceso de solidificación. T ípicam ente, el enfriam iento se ap lica a áreas seleccionadas, que se endurecen m ucho y tienen una alta resistencia al desgaste. E l en friam iento no perm ite que el carbono en el hierro se precipite durante la solidificación, lo que le da su aspecto blanco. Las regiones m ás alejadas del m edio de enfriam iento se solidifican con m ás lentitud y adquieren las propiedades norm ales del h ien o base. U na desventaja del proceso de enfriam iento es que el h ieiro blanco es m uy quebradizo. E l hierro maleable se utiliza en piezas de autom óviles y cam iones, m aquinaria de construcción y equipo eléctrico. Presenta cedencia, tien e resistencias a la tensión co m p a rables a las del hierro dúctil, y tiene resistencias de com presión ú ltim as, ligeram ente m ayores q u e las del hierro dúctil. En general, se u tiliza un núm ero de 5 dígitos p ara s e c c ió n 2 - 4
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H ie rro fu n d id o
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designar los grados del hierro maleable. P o r ejem plo, el grado 40 010 tiene una resistencia a la cedencia de 40 000 psi (276 M Pa) y un porcentaje de alargam iento del 10%. En el apéndice A - 16 se listan las propiedades m ecánicas de varios grados de hierro gris, h ie n o dúctil, hierro dúctil austem plado y hierro m aleable.
A L U M IN IO
Las aleaciones de alum inio se diseñan con el objeto de que adquieran propiedades ópti m as para usos específicos. Algún as se producen prim ariam ente com o lám inas, planchas, barras o alam bre. Con frecuencia, los perfiles estructurales estándar y las secciones espe ciales son extruidas. V arias aleaciones se utilizan para forja, en tanto que otras son alea ciones especiales para piezas fundidas. En el apéndice A—17 aparece una selección en lista de las propiedades de aleaciones de aluminio. El alum inio foijado utiliza una designación de 4 dígitos para definir las diversas aleaciones disponibles. El prim er dígito indica el grupo de aleación según el principal elem ento de aleación. El segundo dígito denota u n a m odificación en la aleación básica. L o s ú ltim o s dos díg ito s id en tifican una aleación e sp ec ífica d entro del grupo. A co n ti n u ació n se da una breve descripción de las siete series principales de las aleaciones de alum inio.
Serie 1000, 99.0% de alum inio o más. Se utiliza en los cam pos quím ico y eléctrico. E xcelente resistencia a la corrosión, fácil de m aquinar, buena conductividad térm i ca y eléctrica. Bajas propiedades m ecánicas.
Serie 2000, donde el cobre es el elem ento de aleación. T ratable al calor con exce lentes propiedades m ecánicas. M enor resistencia a la corrosión que el resto de las dem ás aleaciones. Se utiliza en revestim ientos y estructuras aeronáuticas.
Serie 3000 , donde el m anganeso es el elem ento de aleación. N o es tratable al calor, pero puede obtenerse una resistencia m oderada m ediante trabajado en frío. B uena resistencia a la corrosión y fácil de m aquinar. Se utiliza en equipo quím ico, utensi lios de cocina, revestim ientos residenciales y tanques de alm acenam iento.
Serie 4000, donde el elem ento de aleación es el silicio. N o es tratable al calo r con bajo punto de fusión. Se utiliza com o fundente y com o aleación de soldadura de latón. L aaleación 4032 se utiliza en pistones.
Serie 5000, donde el elem ento de aleación es el m agnesio. N o es tratable al calor, pero puede obtenerse una resistencia m oderada m ediante trabajado en frío. B uena resistencia a la corrosión y soldabilidad. Se utiliza en el servicio m arítim o, reci pientes a presión, acabados autom otrices, herrajes de construcción, estructuras sol dadas, torres de televisión y aparejos de perforación.
Serie 6000, con silicio y magnesio como elementos de aleación. Tratable al calor hasta resistencia moderada. Buena resistencia a la corrosión, form abilidady soldabilidad. Se utiliza en estructuras para trabajos pesados, equipo ferroviario y de camiones, tubería, muebles, extrusiones arquitectónicas, piezas maquinadas y forjas. La aleación 6061 es una de las más adaptables de las comercialmente disponibles.
Serie 7000, con zinc com o elem ento de aleación. Tratable al calor hasta una resis tencia sum am ente elevada. Relativam ente poca resistencia a la corrosión y solda bilidad. Se utiliza ante todo para m iem bros estructurales aeronáuticos. La aleación 7075 tiene una de las resistencias m ás elevadas. Se produce en la m ayoría de las form as lam inadas, troqueladas y extruidas, y tam bién se utiliza en forjas. C a p ítu lo 2 ■
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D e s i g n a c i o n e s p a r a t e m p l a d o s d e a l u m i n i o . P uesto q u e las p ro p ied ad es m ecá nicas de virtualm ente todas las aleaciones de alum inio son en sum o grad o sensibles al trab ajad o en frío o al tratam iento al calor, se aplican sufijos a las d esig n acio n es de cuatro dígitos d e las aleaciones p ara describ ir su tem plado. L as d esig n acio n es de tem plado de u so m ás frecuente se describen com o sigue:
Templado O. T o talm ente recocido p ara o b ten er la m en o r resistencia. E l recocido h ace q u e la m ayoría de las aleaciones sean m ás fáciles d e form ar m ed ian te doblado o estirado. L as piezas form adas en condiciones de reco cid o con frecuencia se tratan al calo r posteriorm ente para m ejo rar sus propiedades. Templado H, endurecido p o r deform ación. Se utiliza para m ejo rar las p ropiedades d e aleaciones no tratables al calo r com o las de las series 1 0 0 0 ,3 0 0 0 y 5000. L a H siem pre v ien e seguida de un núm ero de d o s o tres dígitos p ara d esig n ar un grado e sp ec ífico de e n d u re c im ien to p o r d efo rm ac ió n o p ro c e sa d o e sp ec ial. El se g u n do d ígito después de la H varía de 0 a 8, e indica un g rad o sucesiv am en te m a y o r de en d urecim iento p o r deform ación, lo que resu lta en una m ás alta resistencia. E n el apéndice A - l 7, aparece u n a lista de las p ro p ied ad es d e diversas aleaciones d e alu m inio. L a tabla indica q u e la resistencia a la ced en cia d e la aleación 3003 aum enta de 18 000 psi (124 M Pa) a 27 000 psi (186 M P a), cu an d o el tem plado cam b ia de H 12aH 18. Templado T, tratado al calor. Se utiliza p ara m e jo ra r la resisten cia y lo g rar u n a condición estable. A la T siem pre le sigue u n o o m ás dígitos que indican un tratado al ca lo r m uy particular. Para productos forjados co m o lám inas, p lanchas, extrusio nes, barras y tubos troquelados, las designaciones que se u tilizan con m ay o r fre cuencia son T4 y T6. E l tratam iento T 6 p roduce u n a m a y o r resisten cia pero p o r lo general red u ce la facilidad en el m aquinado. E n el ap én d ice A - l 7 ap arece una lista d e varias aleaciones tratables al calo r en los tem p lad o s O , T 4 y T6 p a ra ilu strar el cam bio de propiedades. L as aleaciones d e alum inio fundido se designan m ediante u n sistem a m odificado de 4 dígitos de la form a X X X .X , en donde el p rim er dígito indica el p rincipal grupo de aleaciones según los principales elem entos d e aleación. L a tabla 2 - 4 m u estra los grupos. Los segundos dos dígitos in dican la aleación específica dentro del grupo, o indican la p u reza del alum inio. El últim o dígito, después del punto decim al, indica la form a del producto: 0 p ara piezas fundidas, y 1 o 2 p ara lingotes. El alum inio es tam bién sensible a la form a en que se produce, al tam año de la sección y a la tem peratura. En el apéndice A - l 7 se p ro p o rcio n a u n a lista de las propieda des típicas, y no pu ed e utilizarse p ara diseño. L as referencias 1 y 2 dan datos sobre las resistencias m ínim as. TABLA 2- 4
G ru p o s d e a le a c io n e s d e a lu m in io fu n d id o .
G rupo 1XX.X 2X X.X 3X X.X 4X X .X 5X X.X 6X X.X 7XX.X 8XX.X 9X X.X
P rin c ip a le s e le m e n to s d e a le ac ió n 9 9 % o m á s d e a lu m in io C o b re S il ic io , co b re , m a g n e sio S ilicio M ag n e s io (S erie n o u tiliz a d a ) Z in c
E staño O tro s e le m en to s
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COBRE, LATÓN Y BRONCE
El térm ino cobre se utiliza de m anera adecuada para denotar al m etal virtualm ente puro, con un 99% o m ás de cobre. Se utiliza principalm ente com o conductor eléctrico, piezas de interruptores y piezas de motores que conducen corriente eléctrica. El cobre y sus aleaciones tienen buena resistencia a la corrosión, son fáciles de fabricar y tienen un aspecto agradable. Las principales aleaciones del cobre son el cobre al berilio, 1os latones y los bronces. Cada uno tiene sus propiedades y aplicaciones especiales. El cobre al berilio tiene una elevada resistencia y buena conductividad eléctrica. Entre sus usos se incluyen las piezas para interruptores, sujetadores de fusibles, conectores eléctricos, fuelles, tubos para m anóm etros B ourdon y resortes. Los latones son aleaciones de cobre y zinc. Tienen buena resistencia a la corrosión, son fáciles de trabajar y debonito aspecto, lo que perm ite aplicaciones a radiadores auto m otrices, bases de lámparas, tubos de cam biadores de calor, herrajes m arinos, cajas para m uniciones y m uebles para el hogar. Si se añade plom o al latón, se m ejora sum aquinabilidad, lo que lo hace atractivo para utilizarse en la fabricación de piezas de tom os de roscas. E ntre las principales familias de los bronces, se incluyen el bronce al fósforo, el bronce al alum inio y el bronce al silicio. Su alta resistencia intrínseca y a la corrosión los hace útiles para aplicaciones marítim as, tom illos, engranes, recipientes a presión, resor tes, bujes y baleros. L a resistencia del cobre y sus aleaciones depende de la dureza que se consigue m ediante el trabajo en frío. Las resistencias sucesivam ente m ayores resultarían de los tem ples designados como semisuave, suave, sem iduro, duro, extraduro, p ara resortes, y extra para resortes. Las resistencias de las cuatro aleaciones de cobre en los tem plados suave y duro aparecen en el apéndice A - l 4.
Z IN C , M A G N E S IO Y T IT A N IO
El zinc tiene una resistencia y dureza m oderadas y excelente resistenciaa la corrosión. Se utiliza en form as forjadas tales com o lám inas y hojas, y varillas o alam bres troquelados. E ntre sus principales aplicaciones están las latas de baterías secas, herrajes para construc ción y placas para fotograbado. M uchas piezas de zinc se hacen m ediante m oldeo a troquel porque su punto de ñisión es de m enos de 427 °C (800 °F), m ucho m enor que otros m etales para m oldeo a troquel. El acabado posterior al fundido es adecuado para m uchas aplicaciones, tales com o piezas para m aquinaria com ercial, cuerpos de bom bas, corazas de m otores y basti dores para máquinas de trabajos ligeros. Cuando se requiere de un aspecto decorativo, puede realizarse fácilmente el electroplateado con níquel y cromo. Piezas tan com unes com o cua drantes de radios, cuerpos de lámparas y molduras automotrices se hacen de esta manera. En el apéndice A—14 aparece una lista de las propiedades de una aleación de zinc fundido. El magnesio es, por lo com ún, el metal m ás ligero que se utiliza en piezas para soportar cargas. Su densidad de sólo 0.066 lb/plg3 (1830 kg/m 3) es una cuarta parte de la del acero y el zinc, un quinto de la del cobre, y dos terceras partes de la del alum inio. Tiene u n a resisten cia m oderada y se presta a aplicaciones en las que el p eso fabricado final de la pieza o la estructura debe ser ligero. Las escaleras, carretillas, piezas de cintas sin fín, herram ientas m ecánicas portátiles y cuerpos de podaderas de césped utilizan m agne sio. En la industria automotriz, las piezas de carrocería, las ruedas de ventiladores, los cu e rp o s de b o m b as y las a b razad e ras están con fre c u e n c ia h e c h a s de m a g n esio . En los aviones, su ligereza hace que este metal sea atractivo para los pisos, estructuras, revestim ientos de fuselaje y ruedas. La rigidez (m ódulo de elasticidad) del m agnesio es C a p ítu lo 2 ■
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baja, lo cual es una ventaja en piezas donde la energía de im pacto debe absorberse. Ade m ás, su ligereza resulta en diseño de bajo peso en com paración con otros m etales sobre una base de rigidez equivalente. V éase el apéndice A -1 4 p ara propiedades de una alea ción fundida de m agnesio. El titanio tiene una alta resistencia, y su densidad es aproxim adam ente la m itad de la del acero. Aunque el alum inio tiene una m enor densidad, el titanio es superior al alum i nio y a la m ayoría de los aceros con base en su resistencia contra peso. Retiene un alto porcentaje de su resistencia a tem peraturas elevadas, y puede utilizarse hasta a 538 °C. La m ayoría de las aplicaciones del titanio están en la industria aeroespacial, en piezas para m otores, piezas de fuselaje y revestim ientos, ductos, estructuras para vehículos espacia les y recipientes a presión. D ebido a su resistencia a la corrosión y su resistencia a las altas tem peraturas, las industrias quím icas utilizan el titanio en intercam biadores de calor, y com o revestim iento para equipo de procesam iento. Su alto costo es un factor principal que debe considerarse. E l apéndice A—14 da las propiedades de una aleación de titanio que contiene alumi nio y vanadio y que se utiliza en las industrias aeroespacial, m arítim a y de procesos quím icos. E sta es una popular aleación tratable al calor donde el térm ino envejecido se refiere a un ciclo de calentam iento y enfriado seguido de un calentam iento a m enor tem peratura.
N O M E T A L E S E N E L D IS E Ñ O D E IN G E N IE R ÍA
L a m adera y el concreto se usan m uy com únm ente en la construcción. Los plásticos y m ateriales com puestos aparecen en casi todos los cam pos del diseño, incluyéndose pro ductos de consum o, equipo industrial, autom óviles, aviones y productos arquitectónicos. Para el diseñador, las propiedades de resistenciay rigidez de los no m etales son de im por tancia vital, de! m ism o modo en que lo son para los m etales. D ebido a las diferencias estructurales en los m etales, su com portam iento es sum am ente distinto de los metales. L a m adera, el concreto, los m ateriales com puestos y m uchos plásticos tienen es tructuras que son anisotrópicas. Esto significa que las propiedades m ecánicas del mate rial son distintas, dependiendo de la dirección de la carga. A dem ás, debido a los cambios quím icos naturales, las propiedades varían respecto al tiem po, y con frecuencia respecto a las condiciones clim áticas. El diseñador debe estar consciente de estos factores.
MADERA
Puesto que la m adera es un m aterial natural, su estructura es dependiente de la forma en que crece, y no de la m anipulación de los seres hum anos, com o en el caso de los metales. La form a larga, esbelta y cilindrica de los árboles resulta en una estructura interna com puesta de células longitudinales. C onform e el árbol crece, se añaden anillos sucesivos a la m adera m ás vieja. D e este m odo, el núcleo interno, que se conoce como corazón o duram en, tiene propiedades distintas a la albura, cerca de la superficie exterior. Las especies de la m adera tam bién afectan sus propiedades, puesto que clases dis tintas de árboles producen m adera m ás dura o m ás blanda, m ás fuerte o débil. Incluso en las m ism as especies ocurre variabilidad debido a las m ism as condiciones de crecim iento, tales com o las diferencias del suelo y la cantidad de sol y lluvia. La estructura celular de la m adera produce su grano, que es tan evidente al cortarse en tablas y m aderos. La resistencia de la m adera depende de si la carga se aplica perpen dicular o paralela al grano. A dem ás, a través de su grano, laresistencia es distinta en una
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dirección radial que en una dirección tangencial respecto al tronco del árbol cilindrico original del que se cortó. O tra im portante variable que afecta la resistencia de la m adera es el contenido de hum edad. Los cam bios de hum edad relativa pueden variar la cantidad de agua absorbida por las células de la madera. La m ayoría de la m adera de construcción se clasifica p o r esfuerzo perm isible con form e a las reglas estándaradoptadas por el U.S. Forest Products L aboratory. El apéndice A - l 8 expone una lista de los esfuerzos perm isibles para diversas especies y grados de m adera. Estos esfuerzos perm isibles son los causantes de la variabilidad debida a las im perfecciones naturales.
2 -1 0
CONCRETO
Los com ponentes del concreto son el cem ento y un agregado. Al añadirse a g u a y m ezclar los com ponentes, se produce una estructura uniform e donde el cem ento recubre todas las partículas agregadas. Luego de curarse, la m asa queda aglutinada de form a segura. A lgu nas d élas variables que intervienen en la determ inación de la resistencia final del concre to son el tipo de cem ento utilizado, el tipo y tam año del agregado, y la cantidad de agua que se añadió. U na m ayor cantidad de cem ento en el concreto produce una m ayor resistencia. Si se dism inuye la cantidad de agua en relación con la cantidad de cem ento se aum enta la resistencia del concreto. D esde luego, debe añadirse agua suficiente para h acer que el cem ento recubra a los agregados y perm ita que el concreto pueda colarse y trabajarse antes de que ocurra un curado excesivo. La densidad del concreto que se afecta por el agregado tam bién es un factor. Es com ún que se agregue una m ezcla de arena, grava y piedra quebrada para el concreto que se utiliza en la construcción. El concreto se clasifica según su resistencia a la com presión, que varía de 2000 psi (14 MPa) a 7000 psi (48 M Pa). La resistencia a la tensión del concreto es en extrem o baja, y una práctica com ún es suponer que es cero. D esde luego, el reforzado del concreto con varillas de acero perm ite utilizarlo en vigas y losas am plias, puesto que el acero resiste las cargas de tensión. El concreto debe cu rarse para d esarro llar su resisten cia nom inal. D ebe m an te nerse húm edo durante por lo m enos 7 días, y en este lapso tiene aproxim adam ente el 75% de su resistencia a la com presión nom inal. A unque su resistencia se increm enta con los años, con frecuencia se utiliza la resistencia a los 28 días para determ inar su resistencia nom inal. L os esfuerzos de trabajo perm isibles en el concreto son típicam ente del 25% de la resistencia nom inal a los 28 días. Por ejem plo, un concreto clasificado com o de 2000 psi (14 M Pa) tendrá un esfuerzo perm isible de 500 psi (3.4 MPa). El peso específico del concreto con base de grava es aproxim adam ente de 150 Ib/pie3. El m ódulo de elasticidad depende de algún m odo del peso específico y de la resistencia nom inal. Según el A m erican C oncrete Institute (Instituto E stadounidense del C oncreto), puede calcularse una estim ación del m ódulo de la form a siguiente:
E c = 33 y M
(2 -4 )
donde Ec= M ódulo de la elasticidad a com presión, psi y - P eso específico, lb /p ie3 sc = Resistencia a la com presión nom inal del concreto, psi C a p ítu lo 2 ■
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P r o p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
U tilizando y = 150 Ib/pie3, los valores esperados de la elasticidad, calculados a partir de la ecuación ( 2 - 4 ) , aparecen a continuación.
R esiste n cia n o m in a \,s c psi
M Pa
psi
2000 3000
13.8 20.7 27.6
2.7 X 106
18.6
34.5 41.4
3.3 3.8 4.3 4.7
10* I0 ft 10* I0 6
22.7 26.2 29.6 32.4
48.3
5.1 X I0 6
35.2
4000 5000 6000 7000
2 -1 1
M ó d u lo d e ela stic id a d , Ec
X X X X
G Pa
P L A S T IC O S
Los plásticos se com ponen de m oléculas de cadena larga llam adas polím eros, y son m a teriales orgánicos sintéticos que pueden form ularse y pro cesarse literalm ente en m iles de form as. Puede hacerse una clasificación entre m ateriales termoplásticos y m ateriales termoendurecibles. Los term oplásticos pueden suavizarse repetidam ente m ediante calenta miento, sin que haya cambio en sus propiedades ni en su com posición química. En cambio, luego del curado inicial de los plásticos tennoendurecibles, y a no pueden suavizarse nuevam ente. D urante el curado ocurre un cam bio quím ico con la presión y el calor. A lgunos ejem plos de los term oplásticos incluyen A B S, acetales, acríbeos, acetatos de celulosa, fluorocarbonos TFE, nylon, polietileno, polipropileno, poliestireno y vinilos. E ntre los plásticos tennoendurecibles se incluyen los fenólicos, epóxicos, poliésteres, silicones, uretanos, alquídicos, alílicos y am ínicos. Con frecuencia se selecciona un plástico en particular, p ara ob ten er una com bina ción de propiedades com o ligereza, flexibilidad, color, resistencia intrínseca y resisten cia quím ica, baja fricción o transparencia. P uesto que los productos disponibles son tan num erosos, en el apéndice A - l 9 sólo se incluye u n a breve tabla de propiedades de los plásticos. L a tabla 2 -5 lista los m ateriales plásticos prim arios que se utilizan para seis distintos tipos de aplicación. En las referencias 4 ,7 y 9 puede hallarse un extenso estudio com parativo de las propiedades de diseño de los plásticos.
2 -1 2
M A T E R IA L E S C O M P U E S T O S
Los m ateriales com puestos tienen dos o m ás constituyentes com binados de una form a que resulta en una unión m ecánica o adhesiva entre los m ateriales. P ara form ar un m ate rial com puesto, se distribuye u n m aterial de relleno en u n a m atriz, de form a que el relleno refuerce la m atriz. Típicam ente, el relleno es un m aterial fuerte y rígido, en tanto que la m atriz tiene una densidad relativam ente baja. C uando los dos m ateriales se unen entre sí, gran parte d é la capacidad de soporte de carga del com puesto es producida p o r el m aterial de relleno. La m atriz sirve para sostener el relleno en una orientación favorable en rela ción con la form a de carga y para distribuir las cargas al relleno. El resultado es u n m ate rial compuesto ligeram ente optim izado que tiene una alta resistencia y rigidez en relación con su bajo peso. S e c c ió n 2 - 1 2 ■
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M a te ria le s c o m p u e s to s
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TABLA 2 - 5
A p licacio n es d e los m ateriales p lástico s.
A p lic a cio n e s
P ro p ied ad es d e se a d as
C u erp o s, recipientes,
A lta resisten cia a im p acto s, rigidez, b ajo co sto , fo rm ab ilid ad , resisten cia al am biente, e sta b ilid a d d im en sio n al
A B S , p o lie stire n o , p o lip ro p ilen o p o lietilen o , a ce ta to de celu lo sa, a crílico s
B aja fricción, baleros, resbalones
B ajo co eficien te d e fricción; resisten cia a la ab rasió n , calor, c o rro sió n
F lu o ro carb o n o s T F E , n y lo n , a cetales
C o m p o n en tes d e a lta resisten cia, en g ran es, levas
A lta resisten cia a la ten sió n y al im p acto , estab ilid ad a altas tem p eratu ras, m aq u in ab le
N y lo n , fen ó lico s, a ce ta le s rellen o s de T F E
E q u ip o q uim ico y térm ico
R esisten cia q u ím ic a y térm ica, b u en a resisten cia, baja ab so rció n d e h u m ed ad
F lu o ro carb o n o s, p o lip ro p ilen o , p o lietilen o , e p o x io s, p o liésteres, s ilic o n es
P artes electro-
R esisten cia e léctrica, resisten cia al c alo r, alta resisten cia a im pactos, estab ilid ad
A lilo s, a lq u id o s, am in o s, ep o x io s, fen ó lico s, p o liésteres, silico n es
ductos
estru ctu rales
P lástico s a d ecu ad o s
d im en sio n al, rig id ez A crilico s, p o lie stire n o , a ce ta to de c e lu lo sa , vin ilo s
B uena tran sm isió n d e la lu z en co lo res tran sp aren tes y tran slú cid o s, form abilidad, resisten cia a roturas
C o m p o n en tes tran sm iso res de luz
Puede producirse una variedad casi ilim itada de m ateriales com puestos al com bi n arse distintos m ateriales de m atrices con rellenos en form as diferentes y en orientacio nes distintas. Algunos materiales típicos aparecen a continuación. M a t e r ia l e s d e m a t r ic e s .
Algunos de los m ateriales de m atrices de uso m ás frecuen
te son: ■
Polím eros term oplásticos: Polietileno, nylon, polipropileno, poliestireno, poliamidas
■
Polím eros term oendurecibles: Poliéster, epoxio, polim ida fenólica
* C erám icas y vidrio ■
Carbono y grafito
■
M etales: A lum inio, m agnesio, titanio
F o r m a s d e lo s m a t e r ia le s d e r e lle n o .
A continuación se listan m uchas form as de
m ateriales de relleno. ■
Cordones de fibras continuas com puestos de m uchos filam entos individuales unidos entre sí
■
Cordones cortos (de 0.75 a 50 mm o 0.03 a 2.00 plg)
■
Cordones esparcidos al azar en form a de tapete
■
H aces de cordones paralelos
■
M aterial entretejido de cordones
■
Fi lamentos o alam bres m etá 1icos
■
M icroesferas m acizas o huecas C a p ítu lo 2 ■
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P r o p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
■
M etal, vidrio u hojuelas de mica
■
G ranos de cristales de m ateriales com o grafito, carburo de silicio y cobre
L os rellenos, que tam bién se conocen com o fi bras, vienen en m uchos tipos, con base en sus m ateriales orgánicos e inorgánicos. A lgu nos de los rellenos m ás populares aparecen a continuación. T ip o s d e m a t e r ia l e s d e r e lle n o .
•
■
Fibras de vidrio en cinco tipos distintos: F ibra de vidrio A: B uena resistencia quím ica que contiene álcalis com o el óxido de sodio F ibra de vidrio C: F órm ulas esp eciales para resisten cia aún m ás alta que la fibra A Fibra de vidrio E: Fibra de vidrio de am plio uso con buena capacidad de aisla m iento eléctrico y buena resistencia Fibra de vidrio S: D e alta resistencia, se utiliza para altas tem peraturas Fibra de vidrio D: M ejores propiedades eléctricas que la fibra de vidrio E Fibras de cuarzo y fibras de vidrio con alto contenido de sílice: B uenas propie dades a altas tem peraturas, hasta 1095 °C
■
Fibras de carbón, hechas de carbono de base P A N (PA N significa poliacrilonitrilo): Con aproxim ación a un 95% de carbono con un elevado m ódulo de elasti cidad
•
Fibras de grafito: Con m ás de 99% de carbono y un m ódulo de elasticidad aún más elevado que el carbono. Son las fibras m ásríg id as que se utilizan típicam en te en los m ateriales com puestos
■
Boro recubierto en fibras de tungsteno: Buena resistencia y un m ayor m ódulo de elasticidad en las fibras de vidrio
•
El carburo de silicio recubierto en fibras de tungsteno: R esistencia y rigidez sim ilares al boro/tungsteno, pero con capacidad p ara tem peraturas m ás elevadas
■
Fibras aram ídicas: U n m iem bro de la fam ilia poliam ídica de los polím eros; m a yor resistencia y rigidez, con m ayor densidad en com paración con el vidrio muy flexible (las fibras aram ídicas producidas p o r D uPont tienen la m arca Kevlar)
Es característico que los diseñadores busquen producir productos que sean seguros, fuertes, rígidos, ligeros y sum am ente to lerantes al entorno en que opera el producto. Los m ateriales com puestos son excelentes p ara satisfacer estos objetivos cuando se com paran con m ateriales alternativos como m etales, m aderas y plásticos sin relleno. D os parám etros que se utilizan para comparar m ateriales son: la resistencia especifica y el módulo especifico , definidos en la fonna siguiente: V e n t a ja s d e lo s m a t e r ia le s c o m p u e s t o s .
La resistencia especifica es la razón entre la resistencia a la tensión de un material y su peso especifico. E l módulo específico es la razón entre el módulo de elasticidad de un material su peso específico. Puesto que el m ódulo de elasticidad es una m edida de la rigidez de un material, el m ódulo específico a veces se conoce com o rigidez especifica. A unque obviam ente no se trata de una longitud, am bas m agnitudes se m iden en unidades de longitud, derivadas de la razón entre las unidades de resistencia o m ódulo de elasticidad y las unidades de peso específico. En el sistem a estadounidense, las unidades S e c c ió n 2 - 1 2 ■
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de resistencia a la tensión y de m ódulo de elasticidad son lb/plg2, m ientras que el peso específico (peso por unidad de volum en) se da en lb/plg3. Por consiguiente, las unidades de la resistencia específica o m ódulo específico son pulgadas. En el sistem a internacional de unidades o sistem a m étrico decim al, la resistencia y el m ódulo están expresados en N /m 2 (pascales) puesto que el peso específico está dado en N /m 3. P o r consiguiente, la unidad para resistencia específica o m ódulo específico es el metro. En la tabla 2 -6 aparecen com paraciones de la resistencia específica y la rigidez específica de m ateriales com puestos con ciertas aleaciones de acero, alum inio y titanio. L a figura 2-11 muestra una com paración de estos materiales, utilizando gráficas de ba rras. L a figura 2—12 es una gráfica de estos datos donde la resistencia específica está en el eje vertical y el m ódulo específico en el eje horizontal. Cuando el peso es crítico, el m aterial ideal debe encontrarse en la parte derecha superior de esta gráfica. N ótese que los datos en estas gráficas y cifras son para m ateriales com puestos que tienen los m ateria les de relleno alineados en la dirección m ás favorable para soportar las cargas aplicadas. Las ventajas de los m ateriales com puestos pueden resum irse de la form a siguiente: 1. Las resistencias específicas de los m ateriales com puestos pueden variar hasta en cinco veces respecto a las aleaciones de acero de alta resistencia. 2. Los valores de módulos específicos de los m ateriales com puestos pueden ser hasta de ocho veces los valores de las aleaciones de acero, de alum inio o de titanio. 3. Los m ateriales com puestos típicam ente funcionan m ejor que el acero o el alu m inio en aplicaciones donde existen cargas cíclicas que producen el potencial de fractura por fatiga. 4. D onde se esperan cargas de impacto y vibraciones, los m ateriales com puestos pueden formularse de m anera especial con m ateriales que proporcionen alta resistencia y un alto nivel de am ortiguación. 5. Algunos materiales com puestos tienen m ayor resistencia al desgaste que los metales. TABLA 2 - 6
C o m p aració n d e resistencia específica y m ó d u lo e sp ecífico de m ateriales seleccio n ad o s R esisten cia Peso a la esp ecífico , M aterial
A cero (E - 30 x 10 6 psi) A I S I 1020 MR A IS I5 1 6 0 O Q T 7 0 0 A lu m in io ( £ = 1 0 x 10 6 psi) 6 0 6 1 -T 6 7 075-T 6 T itan io (E = 16.5 x 106 p si) T Í-6 A 1-4V tem plado y envejecido a 538 °C M aterial c o m p u esto de v idrio/epoxio (E = 4 .0 x 10 6 psi) c o n ten id o de fibra, 34% M aterial com puesto de aram ida/epoxio (E = 1 1.0 x 106 psi) c o n ten id o de fibra, 60% M aterial c o m p u esto de b o ro /ep o x io (E = 30.0 x 106 psi) c o n ten id o de fibra, 60% M aterial c o m p u esto de g rafito /ep o x io (E = 19.7 x 10 p si) c o n ten id o de fibra, 62% M aterial c o m p u esto de g ra fito /ep o x io (E = 4 8 x 106 psi) M ódulo u ltra alto
C a p ítu lo 2 ■
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x
Resistencia
M ódulo
especifica
esp ecífico
(P'g)
( p ie )
ten sió n , su (k si)
(ib /p ig 3)
55 263
0.283 0.283
0 . 1 9 4 x l 0 6 1 .0 6 x 108 0 .9 2 9 X 1 0 6 1.06X 10*
45 83
0.98 0.101
0 .4 5 9 x 106 1.02 X 10® 0 .8 2 2 x 1 0 6 0 .9 9 x 108
160
0 .160
l.O O x lO 6 1.03 x 108
114
0.061
1 .8 7 X 1 0 6 0 .6 6 x 108
200
0.050
4 . 0 x 1 06 2 .2 0 X 1 0 8
270
0.075
3 .6 0 x l O 6 4 .0 0 x 10S
278
0.057
4 .8 6 x 106 3.45 X lO 8
160
0.058
2 .7 6 x 106 8 .2 8 x l O s
i
P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
Resistencia específica ( x l 0 6 p lg ) Rigidez especifica (xl 08 p lg )
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,0
1
------------
2
3
4
5
6
7
8
....... ----------- ------------ ------------ ------------ 1----------- 1 ----------1----------- 1----------- ------------ ------------ ------------ ------------ r — M ate n a l com p u esto de g ra fito /e >0X10
M « e ria l co m p u e sto
de a ra m i la /e p o x ic
• — M ate ria l com p u e s to d b o ro /e p o x io
M aterial :o m p u e s o d e g rai ito /e p o x i 3 m ó d u lo ultra a lto
latería! c
Capítulo 2 ■
^ . T i t a n i o T i - 6 A l —4 V A c e ro A I S I 5 1 6 0 OC J T 7 0 0
P ro p ie d a d e s de diseño
A lu m in io 7 0 7 5 -T 6 | | A lu m in io 6 0 6 1—T 6 • — A c e ro 10 2 0 H R i i
0
1
2
3
4
5
6
M ó d u lo e s p e c ífic o ( x 108 p lg )
de los m a te r ia le s
F IG U R A 2 -1 2
R e s is te n c ia e sp e c ífic a c o n tra m ó d u lo e s p e c ífic o d e m e ta le s y m a te ria le s c o m p u e sto s s e le c c io n a d o s .
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7
8
refuerzo en las direcciones que proporcionen la rig id ez y resistencia requeri das en las condiciones específicas de carga esperadas. 9. Con frecuencia pueden hacerse estructuras de form as com plejas de una sola pieza, reduciéndose de este m odo la cantidad de piezas de un producto y el núm ero de operaciones de sujeción que se requiere. L a elim inación de ju n tas, en general, m ejora la confiabilidad de estas estructuras. 10. Es característico que las estructuras com puestas salgan directam ente en su form a final o casi final, por lo que se reduce la cantidad de operaciones secun darias requeridas.
L im i t a c i o n e s d e lo s m a t e r ia l e s c o m p u e s t o s . L os diseñadores deben balancear m uchas propiedades de m ateriales en sus diseños y co n sid erar al m ism o tiem po las operacionesdefabricación, costos, seguridad, duración y servicio de! producto. En la siguien te lista se consignan las principales preocupaciones al u tilizarm ateriales com puestos.
1. Los costos de m ateriales com puestos son en especial m ayores que los de m u chos m ateriales alternativos. 2. Las técnicas de fabricación son bastante distintas de las que se utilizan p ara darles form a a los metales. Puede requerirse un nuevo equipo de fabricación, ju n to con capacitación adicional p ara los operarios de producción. 3. El com portam iento de los productos hecho con algunas técnicas de produc ción de m ateriales com puestos está sujeto a un m ayor rango de variabilidad que para la m ayoría de las técnicas de fabricación de metales. 4. Los lím ites de tem peratura de operación p ara los m ateriales com puestos de m atriz polim érica son en general de 260 °C. [Pero los m ateriales com puestos con m atrices de cerám ica o m etal pueden utilizarse a tem peraturas m ás eleva das, com o las que se alcanzan en los m otores.] 5. Las p ro p ied ad es de los m ateriales co m p u esto s n o son iso tró p icas. E sto sig n ific a que las p ro p ied ad es v arían d ram áticam en te con la d irecció n de las carg as aplicadas. L os diseñ ad o res d eben to m ar en cu en ta estas v ariacio n es para g aran tizar la seguridad y u n a o p era ció n sa tisfac to ria co n to d o tip o de cargas. 6. En la actualidad, hay una falta general de com prensión del com portam iento de los m ateriales com puestos y los detalles de la predicción de m odos de fractura. A unque se han hecho grandes progresos en ciertas industrias, com o la aeroes pacial y de equipo recreativo, hay u n a necesidad de com prensión m ás general acerca del diseño con m ateriales com puestos. 7. El análisis de estructuras com puestas requiere un detallado conocim iento de m ás propiedades de m ateriales de lo que se requeriría para m etales. 8. L a inspección y las pruebas de las estructuras com puestas son, en general, m ás com plicadas y m enos precisas que las de estructuras m etálicas. E s posible que se requieran técnicas especiales no destructivas pana asegurar q u e no hay va cíos im portantes en el producto final que pudieran debilitar seriam ente la es tructura. Puede requerirse una prueba de la estructura com pleta en lugar de p ro b ar una m u estra del m aterial, deb id o a la in te racc ió n de las d istin tas p iezas entre sí y debido a la d ireccio n alid ad de las p ro p ied a d es de los m ate riales. S e c c ió n 2 - 1 2 ■
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M a te ria le s c o m p u e s to s
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9. L a reparación y m antenim iento de las estructuras com puestas son una grave preocupación. A lgunas de las técnicas iniciales de producción requieren con diciones especiales de tem peratura y presión que difícilm ente pueden repro ducirse en el cam po cuando se requiere la reparación de daños. La unión de una sección reparada a la estructura m adre tam bién puede ser di fícil. C o n s t r u c c i ó n d e m a t e r ia le s c o m p u e s t o s la m in a d o s . M uchas estructuras he chas de m ateriales com puestos están hechas de varias capas del m aterial básico que con tiene tanto la m atriz com o fibras de refuerzo. La form a en que las capas están orientadas, una en relación con la otra, afecta las propiedades finales de la estructura term inada. C om o ilustración, considérese que cada capa está hecha de un conjunto de fibras paralelas del m aterial de relleno de refuerzo, tales com o fibras de vidrio B, incrustadas en la m atriz de resina, com o es el poliéster. En esta forma, el m aterial a veces se conoce com o prepreg indicando que el relleno fue im pregnado en la m atriz antes de form ar la estructu ra y curar el m aterial ensam blado. Para producir rigidez y resistencia m áxim as en una dirección en particular, pueden aplicarse varias capas del prepreg, una sobre la otra, donde todas las fibras están alineadas en la dirección d é la carga de tensión esperada. Esto se conoce com o laminado unidireccional. Después de curado, el lam inado podría tener una alta rigidez y resistencia al cargarse en la dirección de las fibras, llam ada dirección longitudinal. Sin em bargo, el producto resultante podría tener una baja resistencia y rigidez en la dirección perpendicular a la dirección de las fibras, y que se conoce com o dirección transversal. Si aparece una carga fuera de eje, la parte puede fracturarse o deform arse de m anera significativa. La tabla 2 -7 proporciona datos de m uestra p ara el m aterial com puesto unidireccional lam inado de carbono/epoxio. Para superar la falta de resistencia y rigidez descentrada, las estructuras lam inadas deben hacerse con una variedad de orientaciones en sus capas. U na disposición m uy popular aparece en la figura 2 -1 3 . Si se nom bra la dirección longitudinal de la capa de la superficie com o capa de 0o de inclinación, esta estructura se refiere com o:
0o, 90°, +45°, - 4 5 ° ,- 4 5 ° , +45°, 90°, 0°
L a sim etría y b alance de este tip o de técnica de capas resu lta en p ro p ied a d es casi u n ifo rm es en dos direcciones. A veces se u tiliza el térm in o cuasi-isotrópico p ara d escrib ir una estru ctu ra de esta naturaleza. N ó tese que las pro p ied ad es p e rp e n d icu la re s a las caras de la estructura en capas (a través del grosor) sig u en siendo m uy bajas, deb id o a que las fibras no se extienden en esa dirección. A dem ás, la rig id e z y resisten cia en las direcciones prim arias son ligeram ente m enores que si las capas estuvieran alin ead as en la m ism a dirección. En la tab la 2 -7 aparecen datos de u n lam inado cua-
T A B LA 2 -7
E jem p lo s del efe cto d e la c o n stru cc ió n la m in a d a e n la re s iste n c ia y rig id ez R esiste n cia a la te n sió n L o n g itu d in al
M ó d u lo d e ela stic id a d
T ran sv ersal
L o n g itu d in al
T ran sv e rsal
T ip o de la m in ad o
ksi
M Pa
ksi
M Pa
10" psi
G Pa
106 psi
G Pa
U n id ire c c io n al C u asi-iso tró p ico
200 80
1380 552
5 80
34 552
21 8
145 55
1.6 8
lt 55
C a p ítu lo 2 ■
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
(T F IG U R A 2 - 1 3 C o n stru cció n «le un m aterial c o m p u esto lam in ad o en cap a s m ú ltip le s , d ise ñ a d o p ara p ro d u c ir p ro p ie d a d e s cu asi- isolrópicas,
si-iso tró p ico , c o m p arad o s con uno que dispone de fibras unidireccionales en la m isma matriz. P r e d ic c i ó n d e p r o p ie d a d e s d e m a t e r ia l e s c o m p u e s t o s . La siguiente discu sión resum e algunas de las variables más necesarias para definir las propiedades de un m aterial com puesto. El subíndice c se refiere al m aterial com puesto, m se refiere a la m atriz y / a las fibras. La resistencia y rigidez de un m aterial com puesto depende de las propiedades elásticas de la fibra y la m atriz. Pero otro parám etro es el volum en relativo del mater ial com puesto hecho de fibras, Vp y aquel del com puesto del m aterial de m atriz Vn!. Es decir:
V¡ = Fracción de volum en de la fibra en el com puesto V„, = Fracción de volum en de la m atriz en el m aterial com puesto Nótese que p ara un volum en unitario, V; + V„, = 1. E ntonces, K„, - I - V¡. U tilizarem os un caso ideal para ilustrarla form a en que puede predecirse la rigidez y resistencia de un m aterial com puesto. C onsidérese un m aterial com puesto con fibras continuas unidireccionales, alineadas en la dirección de la carga aplicada. I .as fibras son típicam ente más Inertes y rígidas que el m aterial de la m atriz. A dem ás, la m atriz puede sufrir una m ayor deform ación antes de la fractura que las fibras. La figura 2 - 14 m uestra estos fenóm enos en una gráfica de esfuerzo contra deform ación para las fibras y la m a triz. U tilizarem os la siguiente notación para los parám etros m ás im portantes de la finura 2 -1 4 : ■ v„/ = R esistencia últim a de la fibra f .„ j
= D eform ación en la fibra correspondiente a su resistencia últim a
(T,„ - E sfuerzo en la m atriz a la m ism a deform ación que e.u¡ S e cc ió n 2 - 1 2 ■
M a te r ia le s c o m p u e s to s
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D efo rm ació n F IG U R A 2 - 1 4
E sftierzo c o n tra d e fo rm ació n de m ate ria le s d e fib ra y m atriz.
La resistencia última del compuesto, suc, está en un valor intermedio entre s u{ y a m depen diendo de la fracción de volum en de la fibra y la m atriz en el com puesto, es decir: V = V K/ + 0 ‘». ym
(2 -5 )
A cualquier nivel inferior de esfuerzo, la relación entre el esfuerzo general en el m aterial com puesto, el esfuerzo en las fibras, y el esfuerzo en la m atriz, sigue un patrón sim ilar.
(2 -6 )
L a figura 2 -1 5 ilustra esta relación en un diagram a esfu erzo - deform ación. A m bos m iem bros de la ecuación ( 2 - 6 ) pueden d iv id irse en tre la defo rm ació n a la que ocurren estos esfuerzos. Y, puesto que para cada m aterial, o /e = E , puede dem os trarse que el m ódulo de elasticidad para los m ateriales com puesto es:
Ec = Ef Vf +EmVm
(2 -7 )
La densidad de un m aterial com puesto puede calcularse de form a sim ilar.
Pc=PfVf +pmVm
(2 -8 )
La densidad se define com o masa por unidad de volumen. U na propiedad relacionada, el p eso específico, se define com o peso p o r unidad de volumen y se den o ta p o r el sím b o lo y (letra griega gam m a). La relación en tre densidad y peso esp ecífico es sim p le m ente y = pg, donde g es la aceleración de la grav ed ad . A l m u ltip licar cad a m iem bro C a p ítu lo 2 ■
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P r o p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
D e fo rm a c ió n I- IG U R A 2 - 15 R elació n en tre e s fu e rz o s y d e fo rm a c io n e s p ara u n m a te ria l c o m p u e sto y su s m a te ria le s d e fibra y m atriz.
en la ecuación 2 - 8 p o r g, se obtiene la fórm ula p ara el peso específico de un m aterial com puesto: (2 -9 )
Ye = 7) Vf + y,„ K„
La form a de las ecuaciones ( 2 - 6 ) , ( 2 - 7 ) , ( 2 - 8 ) y ( 2 - 9 ) , con frecuencia se conoce com o
regla de mezclas. La tab la 2—8 es una lista de ejem plos de valores de las propiedades de algunos m ateriales de m atriz y de reí leño. R ecuérdese q u e p ueden o cu rrir am plias variaciones en estas propiedades, según la form ulación exacta y la condición d e los m ateriales.
T A B L A 2 -8
E je m p lo s d e p ro p ie d a d e s d e m a te ria le s d e m a tr iz y d e re lle n o R esisten cia a la ten sió n
M ate riale s p a ra m a tric e s: P o lié s te r E p o x io A lu m in io T itan io
P eso e sp e c ífic o
ksi
M Pa
106 psi
10 18
69 124
0.4 0 0.56
45
310 1170
10.0 16.5
2.76 3.86 69 114
12.5 33.5 40
0.09 0.064 0.065
24.4
231 276 690
0.078
21.2
131
0 .052
14.1
170
M a te ria le s de re lle n o : V id rio s C a rb o n o -P A N C a rb o n o -P A N (a lta re siste n c ia ) C arb o n o (m ó d u lo alto ) A ra m id a
M ó d u lo de ten sió n
600
4140
4 70 8 20
3240
325
2200
5 00
3450
56 5 0
100
M a te ria le s c o m p u e s to s
19.0
G Pa
86.2
lb /p lg 3
0 .047 0 .047 0 .100 0 .1 6 0
k N /m 3
12.7 12.7 27.1 4 3 .4
17.4 17.7
77
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E je m p lo
2-1
C a lc u le l a s p r o p i e d a d e s e s p e r a d a s d e r e s i s t e n c i a a la t e n s i ó n ú ltim a , m ó d u lo d e e l a s t ic id a d y p e s o e s p e c í f i c o d e u n m a te r ia l c o m p u e s t o h e c h o d e f ib r a s u n i d i r e c c i o n a l e s d e c a r b o n o - P A N e n u n a m a tr iz e p ó x i c a . L a f r a c c ió n d e v o l u m e n d e l a s f ib r a s e s d e 3 0 % . U tilic e lo s d a t o s d e la ta b l a 2 - 8 .
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a l c u l a r lo s v a l o r e s e s p e r a d o s d e suc, E c y yc p a r a e l m a t e r i a l c o m
D a to s
p u e s to . M a t r i z - e p o x í o : s um= 1 8 k si; E m = 0 . 5 6 x 1 0 6 p s i; /,„ = 0 .0 4 7 lb /p lg 3 F ib ra d e c a r b o n o P A N ; sUf= 4 7 0 k si; E f = 3 3 . 5 x 1 0 6 p s i: yf = 0 . 0 6 4 lb /p lg . F r a c c ió n d e v o lu m e n d e la fib ra , Vf = 0 .3 0 . Y , Vm = 1 . 0 — 0 . 3 0 = 0 .7 0 .
A n á lis is y r e s u lta d o s L a r e s i s t e n c i a ú ltim a a la t e n s ió n , s uc, c a l c u l a d a c o n la e c u a c i ó n ( 2 - 5 ):
Suo= s ul W + a m
P a r a o b t e n e r a m p r im e r o d e b e m o s o b t e n e r la d e f o r m a c ió n a la q u e s e f r a c tu r a r í a n l a s f ib r a s a s u f. S u p o n g a m o s q u e l a s f i b r a s s o n l i n e a l m e n t e e l á s t i c a s a la f r a c tu r a . E n to n c e s :
Ef = Su, l E , = ( 4 7 0 x 1 0 3 p s ¡ ) /( 3 3 .5 x 1 0 6 p s i) = 0 .0 1 4 A e s t a m i s m a d e f o r m a c ió n , e l e s f u e r z o e n la m a tr iz e s :
( j'm —Em£ —( 0 .5 6 x 10® p s i ) ( 0 .0 1 4 ) = 7 8 4 0 p s i L u e g o , e n la e c u a c i ó n ( 2 - 5 ):
suc = ( 4 7 0 0 0 0 p s ¡ ) ( 0 .3 0 ) + ( 7 8 4 0 p s i) ( 0 .7 0 ) = 1 4 6 5 0 0 p s i E l m ó d u lo d e e l a s t ic id a d c a l c u l a d o c o n la e c u a c i ó n ( 2 - 7 ): E c = E fV f + E m Vm = ( 3 3 .5 x 1 0 6) ( 0 .3 0 ) + ( 0 .5 6 x 1 0 e) (0 .7 0 )
E c = 1 0 .4 x 1 0 6 p sí E l p e s o e s p e c í f i c o c a l c u l a d o c o n la e c u a c i ó n ( 2 - 9):
n = 7 iv f + YmVm~ ( 0 .0 6 4 ) ( 0 .3 0 ) + ( 0 .0 4 7 ) ( 0 .7 0 ) = 0 .0 5 2 lb /p lg 3 R e s u m e n d e lo s r e s u lta d o s
s uc = 1 4 6 5 0 0 p s í E c = 1 0 .4 x 1 0 ® p si % =
C o m e n t a r io .
0 .0 5 2 lb /p lg 3
N ó t e s e q u e lo s v a l o r e s d e l a s p r o p i e d a d e s r e s u l t a n t e s p a r a e l m a te r ia l c o m p u e s t o s o n v a l o r e s i n t e r m e d io s e n t r e lo s d e l a s f i b r a s y lo s d e la m a tr iz .
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te r ia le s
B IB L IO G R A F IA
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D e p a r tm e n t
of
A g ric u ltu re
F o re st
P ro d u c ts
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P R O B L E M A S
2-1.
Nombre cuatro tipos de meta Ies que comúnmente se usan para miembros de carga.
2- 2.
Nombre 11 factores que deben considerarse al se leccionar un material para un producto.
2-3.
Defina resistencia última a la tensión.
2- 4.
Defina p u nto de cedencia.
2- 5.
Defina resistencia a la cedencia.
2- 6.
¿Cuándo se utiliza la resistencia a la cedencia en vez de punto de cedencia?
2 - 7.
Defina rigidez.
2-8.
¿Quépropiedad de un material mide su rigidez?
2-9.
Enuncie la ley de Hooke.
2-10.
¿Qué propiedad de un material mide su ductili dad?
2-11.
¿Cuándo se clasifica un material como dúctil o frágil?
2-12.
Nombre cuatro tipos de acero.
2-13.
¿Qué significa la designación A ISI4130 para un acero?
2-14.
¿Cuáles son la resistencia última, la resistencia a la cedencia y el porcentaje de alargamiento de un acero AISI 1040 laminado en caliente? ¿Se trata de un material dúctil o quebradizo?
2-15.
¿Cuál tiene una mayor ductilidad, el acero AISI 1040 laminado en caliente o el AISI 1020 lamina do en caliente?
2-16.
¿Qué significa la designación AISI 1141 OQT 700?
2-17.1
Si la resistencia a la cedencia requerida deun ace ro es de 150 ksi, ¿podría utilizarse el AISI 1141? ¿Porqué?
2 - 18.M ¿Cuál es el módulo de elasticidad del acero AISI I I 41? ¿Del AISI 5160? 2-19.1
Una barra rectangular de acero mide 1.0 plg por 4.0 plg por 14.5 plg. ¿Cuál es su peso en libras?
2 - 20.M Una barra circular mide 50 mm de diámetro y 250 mm de longitud. ¿Cuánto pesa en nevvtons? 2-21.M
Si se aplica una fuerza de 400 N a una barra de titanio y a una barra idéntica de magnesio ¿cuál se alargaría más? 79
P ro b le m a s
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2 - 22.
Mencione cuatro tipos de aceros estructurales y dé el punto de cedencia de cada uno.
2 - 44.
¿Cuál de los materiales de relleno más comunes tiene la mayor rigidez?
2 - 23.
¿Qué significa la designación 6061- T6 para una aleación de aluminio?
2 -4 5 .
¿Qué materiales de relleno deben considerarse para aplicaciones a alta temperatura?
2 - 24.1
Haga una lista de la resistencia última, resistencia elástica, módulo de elasticidad de los aluminios, 6 0 6 1 -0 ,6 0 6 1 -T 4y6061-T 6.
2 - 46.
¿Cuál es una marca comercial común de las fibras aramídicas?
2 -4 7 .
2 - 25.
Haga una lista de cinco usos para el bronce.
Defina la resistencia especifica de un material compuesto.
2 -2 6 .
Hagaunalistadetrescaracterísticas deseablesdel titanio en comparación con el aluminio y el acero.
2 - 48.
Defina el módulo especifico de un material com puesto.
2 - 27.
Nombre cinco variedades de hierro fundido.
2 - 49.
2 - 28.
¿Qué tipo de hierro fundido se considera general mente como quebradizo?
Haga una lista de diez ventajas de los materiales compuestos al compararlos con los metales.
2 - 50.
2 - 29.1
¿Cuáles son las resistencias últimas a tensión y a compresión del hierro fundido ASTM A48 grado 40?
Haga una lista de nueve limitaciones de los mate riales compuestos.
2 -5 1 .
Con los datos de materiales seleccionados en la tabla 2-6, haga una lista de diez materiales, en or den decreciente de resistencia específica. Para cada uno calcule la razón de su resistencia especí fica y la del acero AISI 1020 HR.
2 - 52.
Con los datos de materiales seleccionados en la tabla 2-6, haga una lista de los diez materiales en orden decreciente de módulos específicos. Para cada uno, calcule la razón de su módulo específi co y el acero AISI 1020 HR.
2 - 53.
Describa un laminado unidireccional y sus carac terísticas generales de resistencia y rigidez.
2 - 54.
Describa un laminado cuasi-isotrópico, y sus ca racterísticas generales de resistencia y rigidez.
2-55.
Compare la resistencia específica y característi cas de rigidez que por lo general se esperan de un laminado cuasi-isotrópico con un laminado uni direccional.
2 -5 6 .
Describa un compuesto laminado cuya designa ción sea 0°, + 4 5 °,-4 5 °,-4 5 °, +45°, 0°.
2 - 57.
Describa un compuesto laminado cuya designa ción sea 0°, +30°, +45°, +45°, +30°, 0°.
2 - 58.
Defina el término fracción de volumen de fibras para un compuesto.
2 - 59.
Defina el término fracción de volumen de matriz para un material compuesto. Si un compuesto tiene una fracción de volumen de fibras de 0.60, ¿cuál es la fracción de volumen de la matriz?
2 - 30.
¿Cuáles son las diferencias entre el hierro dúctil y el hierro gris?
2-31.1
Haga una lista de los esfuerzos permisibles a fle xión, tensión, compresión y a cortante de la made ra de abeto Douglas grado 2.
2-32.1
¿Cuál es el rango normal de resistencias a la com presión del concreto?
2 - 33.
Describa la diferencia entre materiales termoplás ticos y termoendurecibles.
2 -3 4 .
Nombre tres plásticos adecuados para utilizarse en la fabricación de engranes o levas en dispositi vos mecánicos.
2 - 35.
Describa el término compuesto.
2 - 36.
Nombre cinco tipos básicos de materiales que se utilizan como matriz de materiales compuestos.
2 - 37.
Nombre cinco termoplásticos distintos que se uti lizan como matrices de materiales compuestos.
2 -3 8 .
Nombre tres plásticos termoendurecibles distin tos que se utilizan como matrices de materiales compuestos.
2-39.
Nombre tres metales utilizados como matriz de materiales compuestos.
2 -4 0 .
Describa nueve formas que pueden adoptar los materiales de relleno al utilizarse en materiales compuestos.
2 -4 1 .
Discuta las diferencias entre hebras, fibras y teji dos como formas distintas de rellenos para mate riales compuestos.
2 - 42.
Nombre siete tipos de materiales de relleno utili zados para materiales compuestos.
2 -4 3 .
Nombre cinco tipos distintos de rellenos de fibra de vidrio utilizados para materiales compuestos y describa las principales características de cada
80
2 - 60.
2 - 61.
Escriba la ecuación para la resistencia última es perada de un material compuesto en función de las propiedades de sus materiales de matriz y de relleno.
2 - 62.
Escriba las ecuaciones para la regla de mezclas tal como se aplica a un material compuesto unidirec cional para el esfuerzo en el compuesto, su módu lo de elasticidad, su densidad y su peso específico.
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P ro p ie d a d e s d e d is e ñ o d e lo s m a te ria le s
2 - 63.M Calcule las propiedades de resistencia última, mó dulo de elasticidad y peso específico que se espe ran de un material compuesto hecho de hebras unidireccionales de fibras de carbono-PAN de alta resistencia en una matriz epóxica. La fracción de volumen de las fibras es del 50%. Calcule la resis
tencia y la rigidez especificas. Utilice datos de la tabla 2-8. 2 - 64.M Repita el problema 2-63 con fibras de carbono de módulo elevado. 2 - 65.M
Repita el problema 2-63 con fibras aramídicas.
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D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
En el capítulo 1 se presentó el concepto de esfuerzo directo ju n to con ejem plos de cálcu los de esfuerzo de tensión directo, esfuerzo de com presión directo, esfuerzo cortante directo y esfuerzo de apoyo. Se enfatizó la com prensión d e lo s fenóm enos, unidades y term inologías básicos, y la m agnitud de los esfuerzos que aparecen en aplicaciones e s tructurales y m ecánicas típicas. Nada se m encionó acerca de la aceptabilidad de los n ive les de esfuerzo que se calcularon ni acerca del diseño de m iem bros que deben soportar una carga dada. Eli este capítulo pondrem os énfasis en el diseño, pues usted, lector, com o d iseña dor, deberá lo m ar decisiones en cuanto a si determ inado diseño propuesto es satisfacto rio, cuál es la form a y tam año de la sección transversal de un m iem bro que soporta carga, y de qué m aterial debe estar hecho este m iem bro. Después de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. D escribir las condiciones que deben satisfacerse para aplicar de m anera ad e cuada las fórm ulas de es fuerzo di recto. 2. D efinir el esfuerzo de diseño y saber cóm o determ inar un valor aceptable para éste, 3. D efinir el fa cto r de diseño y seleccionar valores convenientes para éste según las condiciones presentes en un diseño en particular. 4. D iscutir la relación entre los térm inos esfuerzo dediseño, esfuerzo permisible y esfuerzo de trabajo.
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5. Discutir la relación entre los térm inos fa ctor de diserio, fa c to r de seguridad y
margen de seguridad, 6. D escribir los 11 factores que afectan la especificación del facto rd e diseño. 7. D escribirdiversostiposdc cargas experim entadas por estructuras o m iem bros de m áquinas, en las que se incluya caiga estática, carga repetida, im pacto y golpe. 8. Diseñar m iem bros sujetos a esfuerzos de tensión directos, esfuerzos de com presión directos, esfuerzo cortante directo y esfuerzo de apoyo. 9. D eterm inar cuándo existen concentraciones de esfuerzo y especificar valores convenientes para factores de concentración de esfuerzo. 10. U tilizar factores de concentración de esfuerzo en el diseño.
3 -2
D IS E Ñ O D E M IE M B R O S B A J O T E N S IÓ N O C O M P R E S IÓ N D IR E C T A
En el capítulo 1 sedesarrolló la fórm ula para el es fuerzo directo y se form uló de la m anera siguiente:
F A
(3 -1 )
en donde a = esfuerzo normal directo: tensión o com presión F = directa A = área de la sección transversal de un m iem bro som etido a F Para que la ecuación 3-1 sea válida deben satisfacerse las siguientes condiciones: 1. El m iem bro con carga debe ser recto. 2. El m iem bro con carga debe tener una sección transversal uniform e a lo largo en toda la longitud que se considera. 3. El m aten al del que está hecho el m iembro debe ser hom ogéneo. 4. La carga debe aplicarse a lo largo del eje centroidal del m iem bro de modo que no haya tendencia a que éstese flexíonc. 5. Los m iem bros a com presión deben ser cortos para que n o se pandeen (véase el capitulo 14 para el análisis especial que se requiere para m iem bros largos y esbeltos som etidos a esfuerzos de com presión, y para el m étodo que se utiliza para decidir cuándo debe un m iem bro considerarse largo o corto). Es im portante observar que el concepto de esfuerzo se refiere a la resistencia inter na opuesta por un área unitaria, es decir, un área i nfinitam ente pequeña. C onsideram os al esfuerzo com o si actuara sobre un punto y, en general, puede variar de punto a punto en un cuerpo en particular. La ecuación 3-1 indica que para un m iem bro som etido a tensión o com presión axial directa, el esfuerzo es uniform e a través de toda el área si sesatisfacen las cinco condiciones. En m uchas aplicacioncs prácticas, las variaciones m enores que pueden ocurrir en los niveles locales de esfuerzo se tom an en cuenta al seleccionar con cuidado el esfuerzo perm isible, com o se discutirá m ás adel ante. Sección 3 - 2 •
D is e n o d e m ie m b ro s b a jo te n s ió n o c o m p r e s ió n d ire c ta
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3 -3
E S F U E R Z O S N O R M A L E S D E D IS E Ñ O
Un m iem bro de carga falla cuando se rom pe o deform a en exceso, lo q u e hace que éste sea inaceptable para el uso que se pretende. Por consiguiente, es esencial que el nivel de esfuerzo que se aplica nunca exceda a la resistencia a la tensión últim a o a la resistencia a la cedencia del m aterial. En capítulos posteriores se discutirá lad efo im ació n ex cesiv asin cedencia,
E l esfuerzo de diseño es aquel n i veI de esfuerzo que puede desarrollarse en un material, al tiempo que se asegura que el m iem bro que soporta la carga sea seguro. Para calcular el esfuerzo de diseño, deben especificarse dos factores: el fa ctor de diseño N y la propiedad del materia! en la que se basará el diseño. P o r lo general, en el caso de m etales, el esfuerzo d e diseño se basa en la resistencia a la ccdcnci a s , o en la resistencia última.?,, del m aterial.
E l f a c to r d e d iseñ o N es el núm ero entre el que se divide la resistencia registrada del material para obtener el esfu erzo de d ise ñ o cr¿. Pueden utilizarse las siguientes ecuaciones para calcular el esfuerzo d e diseño p ara un cierto valor de N: E s fu e rz a
O
Oj - -f- basada en la rcsistcnci a a Ia cedencia
(3 -2 )
JV
d e d is e ñ o
o: 0¡r = t ;
JV
basado en la resistencia últim a
(3 -3 )
N orm alm ente el diseñadores quien determ ina, por medí o de su criterio y experien cia, el valor del factor de diseño. En algunos casos, son los códigos, norm as o políticas de la com pañía los que especifican los factores de diseño o los esfuerzos de diseño que se utilizarán. Cuando es el diseñador quien debe determ inar el factor de diseño, su ju ic io debe basarse en una com prensión de cóm o pueden fracturarse las partes, y los factores que afectan el factor de di seño. Las secciones 3 - 4 , 3 - 5 y 3 - 6 dan inform ación adicional acerca del factor de diseño y acerca de la elección de m étodos para calcular los esfuerzos de diseño. O tras referenc ias uti lizan el térm ino fa ctor de seguridad en lugar de fa c to r de dise ño. A dem ás, puede utilizarse esfuerzo permisible o esfuerzo de trabajo en lugar de es fuerzo de diseño. La elección de los térm inos que se utilizan en este texto se hizo para enfatizar el papel del diseñador al especi ficar el esfuerzo de diseño. E n teoría, un m aterial puede som eterse a un esfuerzo d e hasta sy antes de que ceda. E sta condición corresponde a un valor del factor de diseño de / / = 1 en 1a ecuación 3 - 2. A sim ism o, con un factor de diseño de N= 1 en la ecuación 3 - 3 , el m aterial estaría ap u n to de una fractura definitiva. Por consiguiente, N = 1 es el v alo r m ínim o q u e podem os considerar. U n enfoque distinto para evaluarlaaceptabilidad de u n diseño d ad o .y que seutiliza de m anera especial en la industria aeroespacial, es el margen de seguridad,y se define de la form a sig u ie n te : M argen
m argen de seguridad =
do s e g u rid a d
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C a p itu lo 3 ■
resistencia a la cedencia esfuerzo máximo
LO
(3 -4 )
D ise ñ o d e e le m e n to s e s tr u c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to
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c u a n d o e l d ise ñ o se basa en la c e de n c ia d e l m a te ria l. C u a n d o se b a s a e n la re sisten c ia ú ltim a , el m arg e n de se g u ridad es: „ _ , _ , m a rg en de s e g u n d a d =
resistencia ú ltim a , „ — - ----------- — --------- 1.0
esfuerzo m áxim o
( 3-
5)
E n ton c e s, el m ín im o m arg e n d e s e gu rid a d fa c tib le es 0 .0 . E n este lib r o se u tiliz a r á n los co n ce ptos d e e s fu e rz o de d ise ñ o y fac to res d e d is eñ o en c o n tra p o sic ió n co n m a rg e n de se g u rid ad .
3 -4
F A C T O R D E D IS E Ñ O E n la e s p e c ific a c ió n d e l fa c to r d e d is eñ o in te rv ie n e n m u ch o s aspectos d is tin to s d e l p ro b le m a d e d is e ñ o . E n a lg u n o s casos se d esc o n o ce n las c o n d ic io n e s p rec isas d e s e rv ic io . E l d is e ñ a d o r d eb e en tonces h a ce r es tim a c io n e s c o n s e rv a do ra s de las c o n d ic io n e s , es d e c ir, es tim ac ion es q ue h ag an q u e el d is eñ o re su ltan te q u e de d e l la d o s e gu ro c u an d o se co n si dera n todas las v a ria c io n e s p o s ib le s . L a e le cc ió n fin a l d e u n fa c to r d e d ise ñ o d e p e n d e d e las
11 c o n d ic io n e s sig uien tes:
C ó d ig o s y n o r m a s .
S i e l m ie m b ro q u e se diseña ca e b ajo la ju ris d ic c ió n d e u n c ó d ig o o
n o rm a existente, es o b v io que debe elegirse u n factor de d iseño o esfuerzo de d iseñ o que satisfaga esle có d igo o n orm a. A lg u n o s ejem p los d e instituciones q ue im p on en n o rm as son: A m e ric a n In s titu te o f S tee l C o n s tn ic tio n ( A I S C ) (In s titu to E s ta d o u n id en s e d e la C o n stru cc ió n con A c e r o ): e d ific io s , puentes y es tru ctu ras s im ila re s q ue u tiliz a n acero. A liu n itiu m A s s o c ia tio n ( A A ) (A s o c ia c ió n d e l A lu m in io ) : e d ific io s , p ue n te s y es tru ctu ras s im ilares q u e u tiliz a n a lu m in io . A m e ric a n S o c ie ty o f M c c h a n ic a l E n g in ee rs ( A S M E ) (S o c ie d a d E sta d o u n id e n se d e In g en ie ro s M e c á n ic o s ): c a le n ta d ore s, re c ip ie n te s a p re s ió n y fle c h as . R e g la m e n to s es tatales d e c o n s tru c c ió n : e d ific io s , puentes y estru cturas sim ilares q u e afe c ta n la se g u ridad p ú b lic a . D e p a rta m e n to de D e fe n s a d e E stado s U n id o s ; N o rm a s M ilita r e s : estru cturas d e v e h íc u lo s a e ro es p a ciales y o tro s p ro du cto s d e uso m ilita r. A m e ric a n N a tio n a l S tan d ard s In s titu te ( A N S I ) (In s titu to N a c io n a l E s ta d o u n id e n se d e N o rm a s ): una g ra n v a rie d a d d e p ro du ctos. A m e ric a n G e a r M a n u fa c tu re ra A s s o c ia tio n ( A G M A ) (A s o c ia c ió n E s ta d o u n id en se d e F ab ric a n te s d e E n g ran es ): e n g ra n e s y sistem as d e engranes. E s re s p o n sa b ilida d d e l d is e ñ a d o r d e te r m in a r q ué n o rm a s o re g la m e n to s, d e h a b e r los , se a p lic a n al m ie m b ro q u e se d iseñ a, y a s e g u ra rq u e e l d is eñ o satisfag a estas n orm a s .
C r it e r io d e la r e s i s t e n c ia d e l m a t e r ia l .
L a m a y o ría d e los d iseñ os q u e u tiliz a n
m e ta l es se basan en la re siste n c ia a la ce de n c ia, la re s is te n c ia ú ltim a , o a m ba s , c o m o y a se e x p lic ó . E s to se d e b e a q u e la m a y o ría d e las teo rías de la frac tu ra de los m e ta les m u es tran u n a es trech a re la ció n e n tre el e s fu e rz o d uran te la f a lla y las p ro pied ad es de estos m a te r ia les. A d e m á s , estas p ro pied ad es casi s ie m p re se re po rta n p a ra m a te ria le s q u e s e u tiliz a n en d ise ñ o d e in g e n ie ría . E l v a lo r d el fa c to r d e d is eñ o será d is tin to , según la re s iste n c ia d el m a te ria l que se u tilic e c o m o c r ite rio p a ra e l d is eñ o , c o m o s e d e m o s tra rá m á s ad e la n te . S e c c ió n 3 - 4 ■
F a c to r d e d is e ñ o
•
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T ip o d e m a t e r ia l .
U n a co n side ra ción im p o rta n te resp ec to al tip o d e m a te r ia l es su
d u c tilid a d . L o s m o d os de fra ctu ra de m a teria le s q ue b ra d izo s son m u y d istin to s a lo s d e m a teria le s d úc tile s , P uesto q ue los m a te ria le s q u e b rad izo s c o m o el h ie rro c o la d o no p re sentan c e d e n cia , los d iseñ os se basan siem p re en la resiste n c ia ú ltim a . P o r lo g e n eral se co n s id e ra q u e u n m e ta l es q u e brad iz o si su p o rc en ta je de a la rg a m ie n to en u na lo n g itu d de c a lib ra c ió n d e 2 p lg es m e n o r al 5 % . E x c e p to p a ra a le a c io n e s a lta m e n te e n d u re c id a s , d e h ech o to do s los aceros son d ú c tiles . E l a lu m in io es d ú c til, e x c e p to en e l caso d e fu n d i ciones. O íro s factores en re la ció n con el m a te ria l que p ue de n a fe c ta rla re siste n c ia de u na p ie z a son su u n ifo rm id a d y la c o n fian z a en las p ro pied ad es e s tab lecidas .
F o rm a d e c a rg a .
P ueden id e ntifica rse tres tip o s p rin c ip a le s d e c a rg a. U n a c a rg a
e s tá tic a es a q u e lla q u e se a p lic a lenta y g ra d u alm e n te a una p ie z a y q u e p e rm a n e c e a p li ca da o , p o r lo m e no s, se a p lic a y e lim in a con poca fre c u e n c ia d u ran te la v id a d iseñ ad a de la p ie z a . L a s c a rg a s re p e lid a s son aq u ellas q u e se a p li can y re tira n v a rio s m ile s d e veces d u ra n te la v id a d is eñ ad a de la p ie za . B a jo cargas re p e tid a s, u n a p ie z a se fra c tu ra p o r el m e ca n is m o de fa tig a a un n iv e l de es fue rzo m u ch o m e n o r q u e e l q u e p o d ría ca us ar fra c tu ra b ajo u n a carga estática. E sto re qu ie re el uso de u n fa c to r d e d is eñ o m ás e le v a d o p a ra carg as re p e tid a s q u e p a ra cargas estáticas. L as p ie zas sujetas a im p a c to a g o lp e req u ieren e l uso d e un fa c to r d e diseño m u y elevad o p o r dos ra zon es . P rim e ro , u n a c a rg a q u e se a p lic a de repente causa es fue rzo s en la p ie z a q u e son va rias veces m a y o re s q u e a q u ello s q u e p o d ría n ca lc u la rs e m e d ia n te fó rm u la s c o n ve nc io na le s . S eg u n d o , b a jo c a rg a d e im p acto, se re q u ie re q u e e l m a te ria l d e la p ie z a absorba e n e rg ía d e l c u e rp o de im p a c to . T a m b ié n d e b e co n side ra n te la c e rtid u m b re con la q u e el d is e ñ a d o r c o no c e la m a g n itu d d e las cargas esperadas al espcci fic a r e l fa c to r de d is eñ o.
P o s i b le m a l u s o d e la p ie z a . E n la m a y o ría de los casos, el d is e ñ a d o r 110 tie n e c o n tro l so b re las c o n d ic io n e s reales de uso d e l p ro d u cto q ue d iseñ a. L e g a lm e n tc , es re sp on s a b ilid a d del d is eñ ad or c on s ide ra r c u a lq u ie r uso o m a l uso d e l p ro d u cto ra zo n a b le m e n te p re d e c ib le , y g a ra n tiz a r la se gu ridad d el p ro d u cto. D e b e c o n s id e ra rs e la p o s ib ilid a d de u n a so b recarga ac c id e n ta l sobre c u a lq u ie r p ie z a d e un p ro d u c to .
C o m p l e ji d a d d e l a n á li s is d e e s f u e r z o .
C o n fó r m e s e hace m á s c o m p le ja la fo rm a
d e c a rg a o la g e o m e tr ía de una es tru ctu ra o una p ie za , e l d is e ñ a d o r tie n e m e n o s p o s ib ili dades de r e a liz a r u n a n álisis p reciso de las c o n d icio n e s de e s fu e rzo . P o r c o n s ig u ie n te, la c o n fia n z a en los resultados d e los cá lc u lo s del a n álisis d e e s fu e rz o afe c ta n la e le c c ió n d e un fa c to r d e diseño.
M e d io a m b ie n t e .
L os m a te r ia le s s e c o m p o rt a n d e fo rm a d ife re n le e n d is tin ta s c o n d i-
c io n c s d e l m e d io a m b ie n te . D e b e n considerarse los efectos d e la te m p e ra tu ra , h u m e d ad , ra d ia c ió n , c lim a , lu z s o lar y atm ós feras co rros ivas s o b re el m a te r ia l d u ran te la v id a de d ise ñ o d e la p ieza.
E f e c t o d e l t a m a ñ o , a l q u e a v e c e s s e le lla m a e f e c t o d e m a s a .
Los m e ta les
p resentan d istin tas resistencias c o n fo rm e v a ría e l área d e la se cc ió n tra n s ve rsa l d e una p ie z a . L a m a y o r ía de los datos d e p ro p ied ad es de los m a te r ia le s se o b tie n e n u tiliz a n d o m u estras e s tán d a r a p r o x im a d a m e n te d e 12 .5 m m de d iá m e tro . L as p ie z as c o n secciones m á s g ran d es p o r lo g en era l tien en resistencias m eno res. P iez as de tam a ñ os m á s re d u c i d os , c o m o p o r e je m p lo a lam b re e s tirad o , tien en resistencias m u c h o m á s e le v ad a s . E n la tab la 3 - 1 se m u es tra un e je m p lo d e l e fe c to d e tam añ o. C o n t r o l d e c a lid a d .
C u a n to m á s cu ida d o so y c o m p le to sea u n p ro g ra m a de co n tro l
de c a lid a d , m e jo r sabe el d iseñ ad o r la fo rm a en q ue fu n c io n a rá u n p ro d u c to al estar en s e rv ic io . C o n un d e fic ie n te c o n tro l d e c alid ad , d eb e u tiliz a rs e un fa c to r d e d is eñ o m ás elevad o , C a p itu lo 3 ■
D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to
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TABLA 3 -1
E fcd o del tam año en el Accra AISI 4140 O Q T 1100
T a m a ñ o de
Re sist e n cia
Re sist e n cia
La p r o b et a
a la t en sió n
a l a ced en cia
k si
M Pa
k si
M Pa
p lu
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Por cen t aj e de alar g am ie n t o e n 2 ¡>lj¡
0.511
12.5
15»
1039
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lg
1.00
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20
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22 22
2 .0 0
Í 0.H
128
4 .0 0
LUL-ft
1 17
807
R ie s g o s q u e s e p r e s e n t a n p o r u n a f a l l a .
E l d is e ñ a d o r d e b e c o n s id e ra r las con
se cu en cias de u na fa lla en u n a p ie z a en p a rtic u la r . ¿ P o d ría o c u rr ir u n c o la p s o c a ta s tró fi co? ¿ Q u e d a ría n las p ersonas e xp u e stas al p e lig ro ? ¿ Q u é o tro e q u ip o q u e d a ría dañado? C o n s id e ra c io n e s d e es te tip o p o d ría n ju s tif ic a r el u so d e un fa c to r d e d ise ñ o m ás e le va d o d e lo n o r m a l.
C o s to .
C o n fre c u en c ia d eb en hacerse c o m p ro m is o s en el d ise ñ o c o n e l in te rés de lim i
ta r e l costo a u n v a lo r ra z o n a b le en c o n d icio n e s n o rm a le s d e m e rc a d o . D e s d e lu e g o , si e x is te p e lig ro de d añ os a v id a s o p ro p ie d a d e s , n o d e b e n h ace rs e c o m p ro m is o s q ue p o d ría n a fe c ta r s e ria m e n te la s e gu rid a d d e l p ro d u cto o la es tru ctura .
C R IT E R IO S E N L A D E T E R M IN A C IÓ N D E L F A C T O R D E D IS E Ñ O P a ra d e te rm in a r u n fa c to r d e d is eñ o, d eb en a p lic a rs e la e x p e r ie n c ia en e l d ise ñ o y el c o n o c im ie n to de las c o n dic io n e s an te rio re s. L a ta b la 3 - 2 in c lu y e c r it e r io s q u e se u tiliz a rán en este te x to p a ra s e le c c io n a r fac to res d e d is eñ o. É sto s d e b e n co n sid e ra rs e c o m o v a lo re s p ro m e d io . L as c o n d icio n e s e s peciales o la in c c r tid u m b r e a c e rc a d e estas c o n d i c io n e s p ue d e n ju s ti fic a r e l uso d e o tro s v a lo re s. E l fa c to r d e d ise ñ o se u tiliz a p a ra d e te rm in a r el e s fu e rz o d e d is e ñ o c o m o se m u es tra en la s e c u a c i o n e s 3 - 2 y 3 - 3 . S i e l e s fu e rz o so b re u n a p a rte y a se c o n o c e y s e d e se a e le g ir un m a te r ia l p ro p io p a ra u n a a p lic a c ió n p a r tic u la r , se c o n sid e ra q ue el e s fu e rz o q u e se c a lc u ló es e l e sfu e rz o de d is eñ o. L a c e d e n cia re q u e rid a o re s iste n c ia ú ltim a se o b tie n e a p a rt ir de:
sy = N ■
(W c o n b a s e en la re s iste n c ia a la c e d e n c ia )
o:
s „ = N -
(J V c o n b a s e e n la re s iste n c ia ú lt im a )
T A B L A 3 - 2 Criterios para esfuerzo de diseño; esfuerzos norm ales directos Forma de Estática Repetida D e impacto o de choque
Material dúctil
e n la d e te rm in a c ió n d e l fa c to r d e d is e ñ o
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Material i|uL-bf jd iiú
V i - í„/G ÍTd = Í ./1 0 a s = j„/L 5
87
3 -6
M É T O D O S P A R A C A L C U L A R E L E S F U E R Z O D E D IS E Ñ O C o m o se m e n c io n ó en la se cc ió n 3 - 3 , un im p o r ta n te fa c to r q u e d e b e c o n s id e ra rse al c a lc u la r el e s fu e rz o d e d is eñ o es la fo rm a en q u e u n a p ie z a p u e de f a lla r a l v erse s o m e tid a a carg as. E n esta se cc ió n , se c o n s id e ra n los m o d o s d e fa lla c o rre s p o n d ie n tes a p iezas so m e tida s a carg as d e ten sión y c o m p re sió n . M á s ad e la n te se d is c u tirá n o tra s clases d e ca rg a. L o s m o d o s de fa lla y los co n s ig u ie n te s m é tod o s p a ra c a lc u la r e s fu e rzo s d e d is eñ o p u e d e n c la s ific a rs e según el tip o d e m a te r ia l y la fo rm a d e c a rg a. L o s m a te ria le s d ú c tile s , q u e tie n e n m á s d e l 5 % d e a la rg a m ie n to , presen tan m o d os d e fa lla lig e r a m e n te d is tin to s a los d e los m a te r ia le s q u e brad izo s. L as carg as estáticas, cargas re p e tid a s y ca rg as d e c h o q u e p ro du ce n m o d o s d is tin to s d e fa lla .
M a t e r ia l e s d ú c t il e s b a jo c a r g a s e s t á t ic a s .
L o s m a te r ia le s d ú c tile s s u frirá n
g ran d e s d e fo rm a c io n e s p lástica s c u a n d o e l e s fu e rz o lle gu e a la re s iste n c ia a la ce de nc ia d e l m a te ria l. E n la m a y o ría d e las c o n d ic io n e s de uso, esto h a ría q u e la p ie z a q u e d a ra in s e rv ib le p ara su uso. P o r c o n sig u ien te, para m a teria le s d ú c tile s s o m e tid o s a cargas es tática s, e l e sfu e rz o d e diseñ o g e n e ra lm e n te se basa en la re s is te n c ia a la c e d e n cia . Es d e c ir:
C o m o se in d ic a en la ta b la 3 - 2 , u n fa c to r de d is eñ o d e A f= 2 se ría un a e le c c ió n ra z o n a b le en c o n d ic io n e s p ro m e d io .
M a t e r ia l e s d ú c t il e s b a jo c a r g a s r e p e t i d a s .
B a jo c a rg a s re p e tid a s, lo s m a te ria le s
d ú c tile s fa lla n p o r un m e c a n is m o al q u e se le W^ratí fa t ig a . E l n iv e l d e e s fu e r z o a l q u e o c u rre la fa tig a es m e n o r q u e la re s iste n c ia a la ce de n cia. A l p r o b a r a lo s m a te ria le s b a jo ca rg as re p e tid a s, p u e d e m e di rsc e l e s fu e rzo al q u e o cu rre la fa lla . S e u tiliz a n lo s té rm in o s
re s is te n c ia d e f a t ig a o lim it e d e fa tig a p a ra d en ota r el n iv e l d e e s fu e rzo . S in e m b a r g o , c o n fre c u e n c ia los v a lo re s de re sisten c ia d e la fa tig a no están d is p o n ib les . A d e m á s , fac to res c o m o e l a c ab ad o d e u na s u p e rfic ie , el p atró n p reciso d e ca rg a y e l ta m a ñ o d e u n a p ie z a ta m b ié n e je rce n u n m a rc a d o e fe cto en la resisten c ia a la fa tig a rea l. P a ra s u p era r estas d ific u lta d e s , c o n fre c u e n cia es c o n v e n ie n te u tiliz a r u n a lto v a lo r p a ra e l fa c to r de d iseñ o a l c a lc u la r e l e s fu e rz o d e d ise ñ o p a ra una p ie z a su jeta a carg as re p e tid a s. T a m b ié n se re c o m ie n d a q u e se u tilic e la resisten c ia ú ltim a c o m o b ase p a ra e l e s fu e rz o d e d is eñ o , p o rq u e las p ru eb as d em u es tra n q u e h a y u na b u e na c o rre la c ió n e n tre la re s is te n c ia a la fa tig a y la re sis te n c ia ú ltim a . P o r co n sig u ie n te , p a ra m a te ria le s d ú c tile s s o m e tid o s a c a r gas re p e tid a s, el e sfu e rz o d e diseñ o p ue d e c a lc u la rs e a p a r tir de:
E n c o n d ic io n e s p r o m e d io , se ria ra z o n a b le u n fac to r de diseñ o d e N -
8.
A d e m á s , las
c o n c e n tra d o nes de e s fu e rzo , q u e se e xp o n e n en la secció n 3 - 9 , d eb en to m a r s e e n cu e n ta p u e sto q ue las fa lla s p o r fa tig a co n fre cu e n c ia se o rig in a n en p un tos d e c o n c e n tra c ió n de e s fu e rzo . 88
C a p í t u lo s ■
D is a n o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e r z o d ire c to
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C u a n d o se cu en ta con datos p a ra e l lim ite d e fa tig a d e u n m a te ria l, e l e s fu e rzo d e d is eñ o p u e de c a lc u la rse de:
en d on d e ^ es el s ím b o lo p a ra re sistencia a la fa tig a . V é a s e re fe r e n c ia
M a t e r ia l e s d ú c t ile s b a jo c a r g a s d e im p a c t o o c h o q u e .
6.
L o s m o d o s d e fa lla de
p ie z a s sujetas a cargas d e im p ac to o c ho q u e son en e x tre m o co m p le jo s . D e p e n d e n d e la c a p a c id a d d e l m a te r ia l d e a b s o r b e r e n e r g ía y d e la f l e x i b i l i d a d d e la p ie z a . D e b id o a la in c a p a c id a d g e n c ra l de los d iseñ ad ores p a ra re a liz a ra n á lis is preciso s d e es fue rzo s b ajo carg as de ch o q u e, se re c o m ie n d a n factores d e d is e ñ o g ran d es . E n este lib ro u tiliza rem o s:
c on N - 12 p a ra m a te ria le s d ú c tile s sujetos a cargas d e im p a c to o choque.
M a t e r ia l e s q u e b r a d i z o s .
Puesto que los m a te ria le s q u e b ra d iz o s n o p resen tan ce
d e n c ia , el e s fu e rz o d e diseño d eb e basarse e n la re s iste n c ia ú ltim a . Es d e c ir
co n W -
6
para carg as estáticas, N =
10
para cargas re p e tid a s, y N = 15 para cargas de
im p a c to o choque.
E s f u e r z o s d e d i s e ñ o d e c ó d ig o s s e le c t o s . cio n e s p a ra es fu e rzo s
de dis eñ o
L a ta b la 3 - 3 re s u m e las es p e cific a
d e fin id o s p o r el A m e r ic a n In s t it u lc o f S tee l C o n s tn ic tio n
( A I S C ) p a ra a c ero es tru ctu ral, y p o r la A lu m in u m A s s o cia tio n p a ra aleacion e s d e a lu m i n io . Estos datos se re fie re n a m ie m b ro s carg ad o s a ten sión b a jo carg as estáticas c o m o las q u e a p arec en en estructuras d e e d ific io s . V é a n s e las re fe ren c ia s I y 2 para u na d iscusión m á s d e ta lla d a de estas es p e c ific a c io n es .
T A B L A 3 - 3 D iseño por es fuerzo de reglamen los seleccionados; esfuerzos normales directos; cargas estáticas en cstm ctuias de construcción, Acero estructural (A ISC ): Círf- V 1 67 = 0 /stí O - J41/2-OÜ = 0.50 su el que sea menor A lum inio (Aluminum A ssocialion): - £ ,7 1 .6 5 = 0,61 Sy el que sea menor
o
d¿ = j j /1 .9 5 - 0.51 j (r
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E je m p lo 3 -1
S o lu c ió n
U n soporte estructural de una m áquina se v erá som etido a una carg a de tensión estática d e 1 6 .0 kN . S e p lan ea fabricar una varilla cu ad rad a d e acero A IS 1 1 0 2 0 lam in ad o en caliente. E specifique las dim ensiones propias para la s e c d ó n transversal de la varilla. O b je tiv o
Especificar las dim ensiones de la sección transversal d e la va rillá
D ato s
i s 1 6 .0 kN = 1 6 0 0 0 N d e c a r g a estálica. Material; A IS 1 1 020 H R ; sr = 2 0 7 M P a; 2 5 % d e a la rga m ien to (dúctil). (D a lo s tom ados del ap énd ice A -1 3 .)
A n á lis is
S e a a = ¡7tí = syl2 (tabla 3 - 2 ; m aterial dúctil, carg a estática). Análisis del esfuerzo: a = F ! A \ entonces, el á re a req u erid a = A = F /a a. P ero A = a 2 (a = longilud de un lado del cuadrado). M ínim a dim ensión perm isible a = -JA.
R e s u lta d o s
E je m p lo
Un m iem bro d e una a rm ad u ra de techo para un edificio d eb e soportar una carg a de
3 -2
tensión axia I estática de 19 3 0 0 Ib. S e propone el uso d e un ángulo de acero estructural es tán d ar de aletas iguales para esta aplicación utilizando ac ero estructural A S T M A 36 . U tilice el código A IS C . C o n s ú lte s e el a p én d ic e A - 5 para e s p e c ific a r un á n g u lo a d e cu ad o .
S o lu c ió n
O b je tiv o
Especificar un ángulo de acero e stán d ar d e ale ta s iguales.
D a to s
F = 1 9 80 0 Ib de carg a estática. M aterial: A S T M A 35; sy= 3 6 0 0 0 psi; $u = 5 8 0 0 0 psi. (D a lo s del ap én d ice A - 1 5 .)
A n á lis is
S e a a = (7t(= 0 .6 0 s y o arf = 0 .5 0 s„(tab la 3 - 3 ) . Análisis del esfuerzo: tr= F /A ; entonces el á re a req u erid a = A = F /o ^
R e s u lta d o s
00 = 0 .6 0 Sy = 0 .6 0
(3 6 0 0 0 psi) = 2 1 6 0 0 psi
o o „ = 0 .5 0 su = 0 ,5 0 (5 8 0 0 0 psi) = 2 9 0 0 0 psi Ú sese el valor m ínimo; o d = 2 1 6 0 0 psi.
Á re a requerida: A = F lo a = ( 19 8 0 0 lt>)/(21600 lb/plg2) = 0 .9 1 7 plg2 É sta es el á re a m ínim a perm isible. Especificación: ángulo de acero L2 x 2 x 1/4 (ap én d ice A - 5 ; perfil m ás ligero). A = 0 .9 3 8 plg2; peso = 3 .1 9 Ib/pie.
E je m p lo
3—3
U n elem en to d e una m áquina e m p ac ad ora se so m ete a una carg a d e tensión de 3 6 .6 kN q ue se repetirá varios miles d e v eces du ran le la vida de la m á q u in a . La sección transver sal del elem ento es de 12 m m de e sp eso r y 2 0 m m de ancho. E specifiqu e un m aterial a decu ad o para hacer el elem ento.
90
C a p it u lo 3 ■
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S o lu c ió n
O b je tiv o
E specificar la carga de com presión axial perm isible sobre el soporte.
D a to s
M aterial; H ierro co la d o gris, g rad o 2 0 ; s „ = 8 0 ksi a co m p resión (tabla A - 1 6); el m aterial es q uebradizo. S up o n gam os q u e la carg a es estática. La form a del soporte es la q ue a p a re c e en la figura 3 - 1 . El m iem bro es corto, as í que no h ay pandeo.
A n á lis is
A nálisis del esfuerzo: a - F /A , á rea calculada con la figura 3—1 . S ea a =
R e s u lta d o s
£7,*=s ^ 6 = 8 0 0 0 0 psi/6 = 13 3 0 0 psi. La sección transversal del soporte es igual a la vista d e sd e arriba. El área neta p uede calcularse tom ando el á re a d e un rectángulo de 3 .0 0 plg por 4 .0 0 plg, y restando el á re a d e la m u esca y los cuatro vértices redondeados. R ectán gu lo ; A R = (3 ,0 0 p1gK4.00 plg) = 12.00 plg2
M uesca;
A s = (0 .7 5 )(1 .2 5 ) + Jr^°'7 5 '1 = 1 .3 8 plg1 4
E lá re a de cada redondeo puede calcularse m ed ian te la d iferen cia entre el á re a d e un cuadrado con lados ¡guales al rad io del vértice (0 .5 0 plg) y un cuarto de círculo del m ism o radio. Entonces: V értice redorxteado:
n
AF = r * —
1 4
-ñ
)
A f = ( 0 . 5 0 ) 2 - ^ t « - ( 0 . 5 0 ) 2) = 0 .0 5 3 7 p lg 2 4 Entonces el área total es:
A =a
r
- A s - 4A f = 12 . 0 0 - 1.3 8 - 4 ( 0 .0 5 3 7 ) = 10.41 plg2
A ho ra leñ em o s los datos necesarios para calcular la carga perm isible. P = A f f a= (10.41 p l g ^ l 3 3 0 0 Ib/plg2) = 138 5 0 0 Ib
Esto com pleta el ejem plo.
E je m p lo
3 -5
S o lu c ió n
92
La figura 3 - 2 m uestra una p ieza de un e q u ip o d e fabricación al q ue se le llam a prensa de m a rco -C que s e utiliza para troquelar productos d e lám ina m etálica. El m artinete se im pulsa hacia ab ajo con gran fuerza, cerrando los troqueles y form ando la p ieza . La acció n d e troq u elad o h ac e q u e el e x trem o ab ierto d e la p ren sa tien d a a e x p a n d irse , una acción indeseable, si la deformación es excesiva. Para ayudar a limitar la expansión, se instalan varillas a Iravés de la abertura del m arco-C y s e a seg u ran con una carg a de tensión m uy alta. D urante la operación de troquelados se aplica una fuerza de tensión m áxim a d e 4 0 0 0 0 Ib a los rodillos con choque m oderado. Especifique un m aterial a d e cu ado para las varillas, y calcule el diám etro requerido. O b je tiv o
Especificar un m aterial para las varillas y el diám etro requerido,
D a to s
F = 4 0 0 0 0 Ib de tensión; choque m o d e ra do y repetido en ca da ciclo d e la prensa. C a p itu lo 3 ■
D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e r z o d ir e c to
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3 -7
D IS E Ñ O P O R E S F U E R Z O C O R T A N T E C u a n d o se s o m c lcn m ie m b ro s a es fue rzo s c o rtan te s, e l d ise ñ o d ebe b asarse en e l d i s e ñ o
p o r e s f u e r z o c o r l a n t e , Td.
D is e ñ o p o r
O
~ 7 co n N
rd =
e s fu e rz o c o rta n te
b as c en la re s is te n c ia s la c e d e n cia a c o rta n te
(3 -G )
R e sisten cia a la cedencia a c o rta n te . L a re s is te n c ia a la c e d e n c ia a c o rta n te , s ,,, es e l n iv e l d e e s fu e rz o c o r ta n te a l q u e e l m a t e r ia l p re s e n ta r ía e lfe n ó m e n o d e c e d e n c ia . E s d e c ir, s u f r i r í a u n a s ig n if ic a t iv a c a n tid a d d e d e fo rm a c ió n p o r c o rta n te , c o n p o c o o n in g ú n a u m e n to e n lu c a rg a tip o c o r ta n te a p lic a d a . D e h ech o todos los diseños de m ie m b ro s so m etid o s a co rta nte re qu ie ren q u e el e s fu e rzo c o rta n te re a l esté m u y p o r d e b a jo d e l v a lo r d e
c o m o lo in d ic a la e c ua ció n 3 - 6 . L a
selección de factores de diseño se hace en la tab la 3 - 4 . C onsúltese tam b ién la sección 3—4 p a ra o tra s co n side ra cion es e n la se le c c ió n de u n fa c to r d e d is eñ o. L a s c o n d ic io n e s q u e son m á s severas q u e las q u e aparecen n o rm a lm e n te o d o n d e h ay u n a s ig n ific a tiv a c a n ti dad d e in c e rtid tim b re acerca de la c a ntid a d d e la m a g n itu d de cargas o p ro pied ad es m a te ria le s , ju s tific a ría n factores d e diseñ o m ás e levad o s. D e s d e lu e go , si lo s v a lo res d e la res isten c ia a la c e de n c ia a c o rta n tes están d is p o n i b les, p u e d e n u tiliz a r s e en las ec u aciones d e e s fu e rz o de d is eñ o . P e ro , p o r d es g ra cia, con fre c u e n c ia n o se re po rta n estos v a lo re s y es n ec e sa rio basarse en e s tim ac io n es . Para la resisten c ia a la c e de n c ia a c o rtan te, u na e s tim a c ió n q u e c o n fre c u en c ia se ú til iz a es:
O
E s tim a c ió n d e la
0.5.1,
re s is te n c ia a la
(3 -7 )
c e de nc ¡a a c o rta n te E s te v a lo r p ro v ie n e de la o b s erv ac ió n d e un a p ru e b a de te n sió n típ ic a en d on d e el e s fu e rzo c o rta n te es la m ita d del e s fu e rzo d e ten sión d ire c to . E s te fe n ó m e n o , re la c io n a d o c o n la
te o r ía d e f a l l a d e l es fu e rz o c o rta n te m á x im o , es a lg o co n ser v a d o r y se d isc uli rá p o s te rio r m e n te en el c a p ítu lo
10 .
R esisten cia ú ltim a a c o rta n te . L a re s is te n c ia ú ltim a a c o rta n te , s„„ es e l n iv e l d e e s fu e rz o c o r ta n te a l q u e e l m a f e r ia l s e f r a c t u r a . H a y a lgu n as a p lic ac io n e s p rácticas del e s fu e rz o c o rta n te c u a n d o se re q u ie re la fra c tu ra d e l m ie m b ro s o m e tid o a co rta nte y , p o r c o n sig u ien te, se n ec e sita u n a e s tim a c ió n de sur E n tre los e je m p lo s se in c lu y e e l p e r n o c o rta b le u tiliz a d o c o m o e le m e n to en e l tren de T A B L A J —♦ C r ite r io s d e e s f u e r z o d e d i s e ñ o p a r a la d e te r m in a c ió n d e la tu e rz a c o rla n te .
Furnia de eürgíi
D iseño por e s til CT 7 .o ; materiales dúctiles s v íff= s y / 2JV
Estática
U se ,V= 2
fj = V 4
Repelida
U srW M
W
Impacto
U se V =15
i - V 4
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4
F1G U HA 3 - 3
P ern o d e tra n s m is ió n d e h é lic e d e l e je m p lo 3 - 6.
tra n s m isió n d e m áqu inas c o n co m p o ne nte s costosos. L a fig u ra 3 - 3 m u e s tra u n eje d e trans m is ió n d e u n a hé I ice d e u n b o te , e n d o n d e e l p a r d e to rs ió n d e s d e e le je d e t r a n s m is ió n s e tra n s m ite a tra v é s d e l p e rn o a l cu b o d e la h é lic e . E l p e rn o d e b e e s ta r d is e ñ a d o p a ra tra n s ir) it ir u n n iv e l de p a r d e to rs ió n q u e se e n c u e n tra típ ic a m e n te a l m o v e rs e e l b o te e n e l ag u a. S in e m b a r g o , si la h é lic e se to p a c o n u n a o b s tru c c ió n c o m o u n tro n c o s u m e rg id o , s e ría d e s e a b le q u e e l p e rn o (q u e es p o c o c o s to s o ) fa lla r a e n lu g a r d e l a h é lic e (q u e es m á s c o s to s a ). V é a s e el e je m p lo 3 - 6. O tr o e je m p lo d o n d e se re q u ie re u n a e s tim a c ió n d e la re s is te n c ia ú ltim a a c o rta n te es e l caso de la o p e ra c ió n d e p e rfo ra c ió n d e s c rita en el c a p ítu lo
1y
q u e se m u e s tra en la
fig u ra 1 - 5 . E n este caso, se es p e ra q u e el p u n z ó n e n tre s a q u e c o m p le ta m e n te la p arte d ese ad a d e la h o ja de m a te r ia l. P o r c o n s ig u ie n te , lo s lad o s c o rta d o s d e la p ie z a d eb en s o m e te rse a e s fu e rz o h asta a lc a n z a r la re s is te n c ia ú ltim a a c o rta n te . C u a n d o se c o n o c e n los datos d e la re s is te n c ia ú lt im a a c o rta n te , éstos d e b en u t ili z a rse . P o r e je m p lo , el a p é n d ic e A —1 6 d a a lg u n o s v a lo re s p a ra h ie rro s c o la d o s y e n el a p é n d ic e A - l 7 a p a rec e n d alo s p a ra a le a c io n e s d e a lu m in io . P e r o , p a ra la s o c a s io n e s en q u e n o se c u en ta co n d a to s p u b lic a d o s , las e s tim a c io n e s p u e d e n c a lc u la rs e c o n las re la c io n e s d ad as en la ta b la 3 - 5 , to m a d a s d e la r e fe r e n c ia 4 .
M a te r ia le s q u e b r a d iz o s .
E l d is e ñ o p o r e s fu e rz o s c o rta n te s p a ra m a te ria le s q u e bra
d iz o s d eb e b asarse e n la re s is te n c ia ú ltim a a c o rta n te p u e sto q u e n o p re s e n ta n c e d e n cia. D e b e uti li zarse un fa c to r d e diseño m ás e le v ad o q ue e l u sad o p a ra m a te ria le s d úc tile s , porque lo s m a te r ia le s c o n fre c u e n c ia son d e e s tru c tu ra m e n o s c o n sis te n te . S in e m b a rg o , no se
TABLA 3 - 5
Estim aciones para la resistencia última
acortante. Fórmula 0.65 f U
*«=<>‘82™
Material A leaciones de alum inio A cero Hierro m aleable y aleac iones de cobre
r „ — I.j Oiu
Hierro colado gris
95
D ise ño p or e sfu e rz o cortante
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cu en ta con d a los p u b lic a d o s p ara factores de d ise ñ o a c ep tab les. S e re c o m ie n d a q ue se re a lic e n p ru e b a s en p ro to tipo s reales d e m ie m b ro s co n c arg as c o rtan tes h ech o s d e m a te ria le s q u e brad iz o s .
E je m p lo 3—6
S o lu c ió n
La Iig u r a 3 - 3 m uestra una hélice d e bote m ontada en u n e je c o n un perno de transm isión cilindrico insertado a través del cubo y el eje. El p ar de torsión requerido para im p u lsara la hélice es de 15 7 5 Ib-plg, y el diám etro del eje dentro del cubo es d e 3 .0 0 plg. G e n e ra l m en te. el par de torsión es constante y es d eseable diseñar un perno que se a seguro en esta condición. Especifique un m aterial a d e c u a d o y el diám etro del perno. O b je tiv o
Especificar un m aterial y el diám etro del perno.
D a to s
P ar de torsión = T = 157 5 Ib -p lg (constante). D iám etro del e je = O = 3 .0 0 plg.
A n á lis is
1. El perno se som etería a fu erza cortante directa en la superficie de
F IG U R A 3 - 4 Sección transversal a través del cubo de la hélice y el cje.
contacto entre el eje y el interior del cubo, com o s e m uestra e n la figura 3 - 4 . El p ar de torsión generado por el eje produce dos fuerzas iguales q u e actúan perpendicularm ente al e je del perno en los lados opuestos del eje, form ando un par. E s decir: T -F D
Por consiguiente, F - 7 /0 . 2. Es d e se ab le un m aterial con una resistencia de m o d erad a a e lev a d a para que el p em o no s ea m uy g ran de. T a m b ié n d e b e te n er b u en a ductilidad debido a que es muy probable una leve carg a d e choque d e ve 2 en cuando. P ued e eleg irse de entre varios m ateriales. 3. Análisis de esfuerzo: r = F ÍA , d on d e A = nd7! 4. Ésta es un á re a de sección transversal para el perno. C a p itu lo 3 ■
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C o m e n ta rlo
E n com paración con el p ar de torsión que n o rm alm en te s e a plica, este valo r es m uy alio. La ra zó n del p ar d e torsión norm al al req u erid o para ro m p er el perno, es: R az ó n = 7 3 5 0 /1 5 7 5 = 4 .6 7
E sto indica q u e el perno no se rom p ería e n las condiciones an ticipad as. S in em b arg o , p osiblem en te s e a d em a siad o elevad o para pro teg er la hélice. La hélice d e b e so m e te rse a p ru ebas.
3 -8
D IS E Ñ O P O R E S F U E R Z O S D E A P O Y O E l e s fu e rz o d e a p o y o es u n fe n ó m e n o lo c a liz a d o q u e se c re a c u a n d o d o s p ie z a s d e c a rg a se p o n e n e n c o n ta c to . L a c o n d ic ió n de e s fu e rz o en r e a lid a d es u n e s fu e rz o d e c o m p re s ió n , p e r o d e b id o a la n a tu ra le z a lo c a liz a d a d e l e s fu e rz o , se u tiliz a n e s fu e rz o s p e r m is ib le s d is tin to s . A c e ro .
S e g ú n e l A f S C , el e s fu e rz o d e a p o y o p e r m is ib le en e l a c e r o en e l c a so d e s u p e r
fic ie s p la n a s , o en el c a s o d e l á r e a p ro y e c ta d a d e p ern o s en a g u je ro s p e rfo ra d o s , t a la d ra d o s o e s c a riad o s es:
D is e ñ o p o r ct 1bí =
e s fu e rz o d e a p o y o
(3 -8 )
0 . 9 0 í j,
p a ra e i a c e r o C u a n d o se u tiliz a n ro d illo s o b ala n c in e s p a ra s o p o rta r u n a v ig a u o tro m ie m b r o d e c a ig a p a ra p e r m it ir q u e se e x p a n d a , e l e s fu e rz o d e a p o y o d e p e n d e d e l d iá m e tr o d e l r o d illo o b a la n c ín , d y d e su lo n g itu d , L . E l e s fu e r z o es in h e r e n te m e n te m u y e le v a d o p o r q u e la c a rg a la s o p o rta u na s u p e rf ic ie re c ta n g u la r re d u c id a . E n te o ría , e l c o n ta c to e n tre la s u p e r f ic ie p la n a y e l r o d il l o es en si u n a lin e a ; p e ro d e b id o a la e la s tic id a d d e lo s m a te r ia le s , la s u p erfic ie re al es re cta n g u lar. E n lu g a r d e e s p e c ifica r u n e sfu e rzo d e a p o y o p e rm is ib le, la n o rm a A 1 S C p e r m ite el c á lc u lo d e la c a rg a d e a p o y o p e rm is ib le ,
C a rg a d e a p o y o
O
Wh=-
p e r m is ib le p ara ro d illo s efe a c e r o
s: -
13
20
a p a r tir de:
(0.66 dL)
(3 -9 )
e n d o n d e s„s e e x pre s a en k s i, d y L en p u lg a d a s , y Wh en k ip s .
E je m p lo 3- 8
U na viga corta, com o la q ue se m u estra en la figura 3 - 5 , e s tá h ech a d e una barra de a c e ro rectang u lar, de 1 .2 5 plg d e esp esor y 4 .5 0 plg d e alto. En c ad a extrem o , la long itud
■ 2.00plg
j~ l.2 S p ] g —
Dan
|—
4.50 plg' I VLsladc un e x tre m o d e la b a rra
F IG U R A 3 - S
98
V iga del ejem plo 3 - 8 . C a p it u lo 3 ■
D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ir e c to
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R e s u lta d o s
La carga d e apoyo perm isible es; 3 6 -1 3
( C . 6 6 ) ( 2 .0 0 ) ( 1 .2 5 ) = 1 , 9 0 k ip
20
Ésta seria la reacción perm isible en ca da apoyo. La carg a total es:
W = 2 W „ = 2 (1 .9 0 kip) = 3 .8 0 kip C o m e n ta rio s
A lu m in io .
N ótese q u e ésta es s ignificativam ente m enor q u e la carga perm isible p ara las superficies del ejem plo 3 - 8 . C ie rta m e n te, el esfu erzo d e apoyo en el rodillo p ued e limitar la carg a q u e podría so po rtarse con seguridad.
L a A lu m in u m A s s o c ia tio n ( I ) b asa lo s e s fiie rz o s d e a p o y o p e rm is ib le s en
a le ac io n e s de a lu m in io para su p e rfic ies p la n a s y p ern o s en la re s is te n c ia a la c e d e n c ia d e
apoyo.
Oíw
(3 -1 0 )
L o s v a lo r e s m ín im o s p a ra la re s iste n c ia a la c e d e n cia d e a p o y o a p a rec en e n la re fe re n c ia 1. P e ro m u ch as re fe ren c ia s , in c lu id a s las tab las d e los a p é n d ic e s d e l p res e n te te x to , no v a n a c o m p a ñ a d a s de estos d alos . U n a n á lis is d e los d atos m u es tra q u e p a ra la m a y o ría d e las a le a c io n e s d e a lu m in io , la re s iste n c ia a la c e d e n cia d e a p o y o es a p r o x im a d a m e n te 1 .6 0 v e c e s m á s g ra n d e q u e la re s is te n c ia a la c e d e n c ia a te n s ió n . E n to n c e s , la e c u a c ió n 3 - 10 p ue d e re fo rm u la rs e c o m o
||||\
D is e ñ o p o r
e s fu e rz o d e a p o y o
(Jhd-
p a ra el a lu m in io
1.60.?, IT T
Íí(> 5 í.
U tiliz a r e m o s esta fo rm a p a ra el d is e ñ o p o r e s fu e rz o de a p o y o p a ra el a lu m in io , a lo larg o d e to d o el lib ro .
E je m p lo 3 -1 0
S o lu c ió n
S e utiliza una barra rectangular com o soporte colgante, com o se m uestra en la figura 3 - 7 . C alcu le la carga perm isible con base en el esfu erzo d e ap oyo e n la conexión con perno si la b arra y la horquilla son de a lu m in io 6 0 6 1 -T 6 . El p em o d eb e fa b rica rse d e un m aterial m á s resistente. O b je tiv o D a to s
C alcular la carg a perm isible en el soporte colgante. La carg a es com o se indica en la figura 3 - 7 . D iám etro del perno = d = 18
mm, E spesor del soporte colgante = t ( = 2 5 m m ; an cho = w - 5 0 mm . E spesor de c ad a parte d e la horquilla = t2 = 12 mm . M aterial del soporte y la horquilla: alum inio 6 0 6 1 - T 6 (sy = 1 4 5 M P a ). El p em o es m ás resistente q ue el soporte y la horquilla. A n á lis is
P ara pernos cilindricos en agujeros de aju ste ap retad o , el esfu erzo de ap oyo se basa ert el á re a p ro ye c ta d a som etida a esfu erzo d e ap oyo q ue se o btiene con el d iám etro del p em o multiplicado p o rla longitud sobre la que se distribuye la carga. F
F
A*
dL
o¡,= — = —
100
C a p itu lo 3 ■
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TABLA 3 -
6
E sfb c re o s d e ap o y o p e rm isib le s e n m a n ip o stería.
Esfuerzo d e apoyo perm isible J)Í1
¡vlalcrfel
2.76 1.72
490 25 0 0.3 StrL
Arena. y piedra cali la Ladrillo con mortero de cem ento Concreto: en área lolal de apoyo ( trc - resistencia especificada del concreto)
£r.= 1ÍO0 [Mi
3.62 4.Í3 ñ.03 7.24
525 100 875 lo s a
crÍJ=0.3SOe'í í 7 7 i r área d e apoyo A ¡ - área total de apoyo C on un m áxim o de fr¿j=0.7<^-
TABL A 3 -7
Capacidad de sustentación segura de sucios, Capacidad de sustentación segura psi
ItPa
Roca dura sólida
350
2400
Pizarra o roca mediana
140
9 60
Roca bLinda
70
4B0
A rcilla dura o grava compacta
55
330
A rcilla suave o arena sucha
15
100
Naturaleza del suelo
S in d atos e s pe c ífic o s , e l A 1 S C ( 2 ) re c o m ie n d a los e s fu e rz o s d e a p o y o p e rm is ib le s q u e ap arec en e n la ta b la 3 S u e lo s .
6.
L o s ap o yo s d e m a n ip o s te ría o d e co n c reto c o n fre c u e n c ia se c o lo c a n so b re el
s u e lo p a ra tra n s fe r ir las ca rg as d ire c ta m e n te a tie rra . E n el M a r k s ’ S ta n d a r d H a n d b o o k
f o r M e c h a n ic a lE n g in e e rs ( 3 ) [M a n u a l M a r k s d e N o rm a s p a ra In g e n ie ro s M e c á n ic o s (3 ) ] se dan v a lo re s d e la c a p a c id a d d e su ste n tació n segura d e su elo s , segú n se m u e s tra en la ta b la 3 - 7 . S o n d e esperarse v a ria c io n e s y d eb en o bte n e rs e d atos d e p ru e b a s ie m p re q u e se a p o s ib le .
E je m p lo
L a fig u ra 1 - 4 5 m u e s tra u n a c o lu m n a a p o y a d a s o b re un c im ie n to y q u e s o p o rta una
3 - 11
c a rg a d e 2 6 0 0 0 Ib. D e te rm in e si los e s fu e rz o s d e a p o y o s o n a c e p ta b le s p a ra e l c o n c re to y el s u e lo . E l c o n c re to tie n e u na re s is te n c ia e s p e c ífic a de 2 0 0 0 psi y el s u e lo e s g ra v a c o m p a c ta .
S o lu c ió n
O bjetivo D ato s
¿ S o n s e g u ro s los e s fu e rz o s d e a p o y o s o b re el c o n c re to y el s u e lo ? L a c im e n ta c ió n s e m u e s tra e n la fig u ra 1 - 4 5 d e l c a p itu lo 1 . C a rg a = F 260001b.
P a ra el co n c re to :
= 2 0 0 0 psi.
P a r a el s u e lo (g ra v a c o m p a c ta ):
\Q 2
C a p lt u lo 3 ■
= 5 5 psi (ta b la 3 - 7 ).
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A n á lis is y R e s u lta d o s P a ra el co n c re to : L a c a rg a se tra n s fie re d e la c o lu m n a al c o n cre to a
P o r c o n sig u ie n te , la c a rg a d e a p o y o a c tú a s o b r e u n á r e a m e n o r q u e la d e l c o n cre to . E n to n ce s , d e la ta b la 3 -
6:
El e s fu e rz o d e a p o y o e je rcid o s o b re el c o n cre to p o r la p la c a d e a c e r o e n la b a s a d e la c o lu m n a es:
F
2 6 OOP Ib
-
180 psi
(12 PI9)J P o r c o n sig u ien te, e l e s fu e r z o d e a p o y o e s a c e p ta b le . P a ra el su elo (g ra v a) e n la b a s e d e la c im e n ta c ió n :
F_ _ 26 000 Ib At
= 20.1 psi
[3 6 p lg )2
E s te v a lo r e s a c e p ta b le p o rq u e e l e s fu e rz o d e a p o y o p e im is ib le p a ra la g ra v a c o m p a c ta es d e 5 5 psi.
3 -9
F A C T O R E S D E C O N C E N T R A C IÓ N D E E S F U E R Z O A l d c f in ir c l m é to d o para c a lc u la r el e s fu e rzo q u e causa la c a rg a d e te n s ió n o c o m p re sió n d ire c ta sobre u n m ie m b ro , se puso énfasis e n q u e e l m ie m b r o d ebe te n e r u n a secció n tra n s ve rsa l u n i fo rm e p a ra q u e la e c u a ció n o —F IA sea v á lid a . L a ra z ó n d e esta re stric ció n es q ue d on d e c a m b ia la g e o m e tr ía d e un m ie m b r o s o m e tid o a c a rg a , el e s fu e rzo real d e s a rro lla d o es m a y o r que el que p o d ría p re d ec irse m e d ia n te la e c u a c ió n estándar. E ste fe n ó m e n o se c o no c e c o m o c on c e ntra ció n de e s fu e rzo , p o rq u e es tu d io s q u e se han h ech o co n d e ta lle re v e la n q u e los es fue rzo s ele v a d o s y lo c a liz a d o s p a re c e n co n ce n tra rs e a lre d e d o r de secciones d o n d e o cu rren c a m b ios d e g e o m e tría . L a fig u r a 3 - 8 ilu stra el caso de c o n ce n tra c ió n d e e sfu e rz o s en e l e je m p lo de u n a b arra re d o n d a c a rg ad a a x ia lm e n te a ten s ió n q u e tie n e dos d iá m e tro s co n u n escaló n e n tre e llo s . N ó te s e q u e h a y un p eq ue ño re d o n d e o en la base d e l es ca ló n . S u im p o r ta n c ia se a n a liz a r á m á s a d e la n te . B a jo el d ib u jo d e la b aiT a es ca lo n ad a h a y u n a g rá ñ e a d e e s fu e rzo co n tra p o s ic ió n en la b a rra . E n la sección 1, d o n d e el d iá m e tro d e la b a rra es D y se h a lla en un p un to m u y a le ja d o d e l es ca ló n , el e s fu e rzo p u e d e c a lc u la rse con: o-,
= F / A , = F /{ t t D -/A)
E n la secció n 2 , d o n d e e l d iá m e tro d e la b a rra tie n e e l v a lo r m e n o r d e d , el e s fu e rz o es:
0-3 =
S e cció n 3 - 9
■
f/A j =
F /( ir d 7 4 )
F a c to re s d e c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rz o
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103
Esfuerzo de tensión
;
Esfuerzo nomina]
ii \
:
„
Jisca lón
2
_
f
_
f
Om-n= (T?
\
Posición en la barra FIG U R A 3 - 8
Distribución de esfuerzos carca üe un cam bio de geoincirnt.
E n to n c e s , es d e e s p e ra rse q u e la g rá fic a de e sfu e rz o co n tra p o s ic ió n a p a re z c a c o m o líneas rectas c o n un sal to a b ru p to en el luga r dond e c a m b ia el d i á m e tr o . P e ro las p ru eb as d e m o s tra ría n q ue la d is trib u c ió n d e e s fu e rz o real se a s e m e ja r ía m á s a la lín e a c u rv a : u n id a a las dos lin c a s rectas en p u n to s a le ja d o s d e l es ca ló n , p ero c o n u n a fu e rte e le v a c ió n c erca d el iti is in o es ca ló n . P a ra lo m a r en c u e n ta el e s fu e rzo m a y o r al p re d ic h o en e l es ca ló n , m o d ific a re m o s la fó rm u la d e e s fu e rz o d ire c to para in c lu ir im f a c t o r d e c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rz o , K „ con el fin d e p ro d u c ir la fo rm a q u e se m u es tra a c o n tin u a ció n :
0
-
12)
en d on d e, e n este caso, e l e s fu e rzo n o m in a l se basa en la se cc ió n m e n o r 2. Es d e c ir:
«■ ni.n, =
0 -2 = F /A 1 = F H ir d 1! 4 )
E n to n c e s el v a lo r de K , re pres en ta e l fa c to r p o r el cu al el e s fiie rz o re a l es m a y o r q u e el e s ftie rz o n o m in a l c a lc u la d o co n la fó r m u la estándar. L a s c o n ce ntra cio n e s d e e s fu e rzo p ro v o ca n m ás d añ os en e l caso d e ca rg as d in á m i cas tales c o m o cargas rep e tid a s, de im p a c to o c h o q u e. D e h e c h o , las fa lla s p o r fa tig a o c u rre n con m a y o r fre cu e n c ia ce rca d e los lug ares d on d e s e c o n ce n tra n lo s es fu e rz o s co n p eq ue ña s g rietas loc ales q ue crecen co n el tie m p o h asta q u e la s e cc ió n restante y a no p u e de s o p o rta r la c a rg a. B a jo carga e stática , el e le v a d o e s fu e rz o c erca d e la d is c o n tin u i d a d p uede causar ce dc nc ia lo c al q u e re d is trib u ir ía e l e s fu e rz o a u n v a lo r p ro m e d io m e n o r q u e la re sisten c ia a la ce dc nc ia y , p o r c o n sig u ien te, la p ie z a s e g u iría s ie nd o segu ra. V a l o r e s d e lo s f a c t o r e s d e c o n c e n t r a c ió n d e e s f u e r z o .
L a m a g n itu d d e l fa c
to r de c o n c e n tra ció n d e e s fu e rz o , K „ d ep en de de la g e o m e tr ía d el m ie m b r o c e rc a de la d is c o n tin u id a d . L a m a y o ría d e los datos se o b tu v ie r o n p o r e x p e rim e n to s m e d ia n te c u id a dosas m e d ic io n e s d el e s fu e rzo m á x im o , c r ^ , en las q u e se u tiliz a r o n téc nicas e x p e rim e n C a p itu lo 3 ■
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tales de a n á lis is d e e s fu e rz o tales c o m o m c d ic ió n d e d e fo rm a c io n e s o fo to c la s tic id a d . L o s en fo q u es c o m p u ta riz a d o s q u e u tiliz a n a n á lis is d e e le m e n to s fin ito s ta m b ié n p o d ría n u tiliz a rs e . E n to n c e s , e l v a lo r de íf,s e c a lc u la a p a rt ir de: F a c to rd e U
/ c o n c e n t r a c ió n
(3 -1 3 )
ele e s f u e r z o d on d e
es el e s fu e rzo q u e se c a lc u la ría en la s e cc ió n d e in te rés s in c o n s id e ra r la
c o n c e n tra ció n de e s fu e rzo . E n el caso q u e ah o ra se d is cu te , el e s fu e r z o d e te n s ió n d ire c to ,
0non.= ™ . E l ap én d ice A - 21 c o n tie n e v a ri as g rá fic a s q ue p u e d e n u ti 1iz arse p a ra d e te r m in a r el v a lo r d e K , p a ra u na v a rie d a d de g e o m e tría s . A —2 1 — 1:
B a rra re d o n d a con c a rg a a x ia l de te n sió n co n re b a je c irc u la r,
A - 2 1 -2 :
B a rra re d o n d a co n ca rg a a x ia l d e te n s ió n co n u n e sc a ló n y u n b o rd e
A -2 1 -3 :
P lac a p la n a co n c a rg a a x ia l de ten s ió n c o n u n e s ca lón y u n b o rd e re d o n
re do n d e ad o.
dead o . A - 2 1 - 4:
P lac a p la n a c o n u na p e rfo ra c ió n c e n tra l.
A—21- ■ 5:
B a rra re d o n d a con una p e rfo ra c ió n tra ns ve rs a l.
L a g r á fic a e n el a p é n d ic e A - 2 1—1 m u e s tra e l p a tró n típ ic o p a ra p re s e n ta r v a lo re s d e fac tores de c o n ce n tra c ió n de es fuerzo s. E l e je v e rtic a l d a e l v a lo r d e l m is m o K ,. L os fa cto res pert m entes d e g e o m e tr ía son el d iá m e tro de la to ta lid a d d e la s ec c ió n re d o n d a , D , el d iá m e tro en la base d e l re b a je , dp y el ra d io d e l re b a je c irc u la r, r . C o n estos datos p u e de n c a lcu la rse d o s p ará m e tro s . E l e je h o r iz o n ta l es la ra z ó n d e r / d v L a fa m ilia de c u rv a s en la g rá fic a es p a ra v alo res d is tin tos d e la re la c ió n d e D /d g. E l uso n o r m a l d e esta g rá lic a , c u a n d o se c o n oc e la g e o m e tría c o m p le ta , es lo c a liz a r c l v a lo r d e r /r f^ en la g rá fic a , tra z a r u na lín e a v e rtic a l hasta la c u rv a de D /dg, y lu e g o u n a h o riz o n ta l h a sta el e je v e rtic a l p a ra le e r K ,. C o n fre c u en c ia es n ecesaria la in te rp o la c ió n e n tre las cu rv as d e la g rá fic a . N ó te s e q u e e l e s fu e rz o n o m in a l p a ra la b a rr a re d o n d a re b a ja d a se basa en el e s fu e rz o en e l f o n d o d e l re b a je , la m e n o r s u p e rfic ie en la v e c in d a d . A u n q u e e s to e s típ ic o , es im p o r tan te q u e el le c to r sepa en q ué se basa e l e sfu e rz o n o m in a l c n c u a lq u ie r g rá fic a d e c o n c e n tra c ió n de es fue rz os . C o n fre c u e n c ia se u tiliz a n re b a je s d e fo n d o c ir c u la r p a ra d is tr ib u ir a c e ite u o tro s lub ric a n te s en un
eje.
L a g rá fic a d el a p é n d ic e A - 2 1 - 2 p a ra la b arra re d o n d a e s ca lo n ad a tie n e tre s fac tores g e o m é tric o s : el d iá m e tro m a y o r, D , el d iá m e tro m e n o r, d , y e l re d o n d e o en e l escaló n d o n d e c a m b ia el d iá m e tr o . N ó te s e q ue e l v a lo r d e K , a u m e n ta r á p id a m e n te c o n v a lo re s p eq ue ño s d e l ra d io d e l re d o n d e o. C o m o d is e ñ ad o r, el le c to r d e b e c o n s id e ra r el m a y o r ra d io p rá c tic o p a ra este re d o n d e o y asi m a n te n e r un e s fu e rz o m á x im o r e la tiv a m e n te re d u c id o en el es ca ló n . U n im p o rta n te uso d e la g rá fic a d el a p én d ic e A - 2 1 - 2 es e l a n á lis is d e fa c to res de c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rzo s p a ra b arras redo n da s c o n re ba je s p a ra a n illo s d e re te n c ió n , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 3 - 9. L a g e o m e tr ía típ ic a d el re b a je , q u e e s p e c ific a e l fa b r i c a nte de a n illo s , ap arec e en la fig u ra 3 - 10, E l fo n d o d e l re b a je es p la n o , y e l re d o n d e o en c a da e x tre m o es m u y re d u c id o p a ra q u e h ay a u n a g ran s u p e rfic ie v e rt ic a l p a ra c o lo c a r el a n illo . E l re s u ltad o es que el re b a je actúa c o m o d os es ca lo n es m u y c e rc a n o s e n tre sí. E n to n c e s p u e d e u tiliz a rs e e l a p é n d ic e A - 2 1- 2 p a ra d e te r m in a r e l v a lo r d e K ,. A veccs, la g e o m e tría d el re b a je re su ltara en v a lo re s K , q ue están m u y p o r e n c im a d e los v a lo re s m á x im o s d e la g rá fic a . E n estos casos, es r a z o n a b le u n v a lo r e s tim a d o d e K , m 3 .0 , p ero d eb en b u scarse datos a d ic io n ale s. L a g rá fic a d e l a p é n d ic e A - 2 1 - 4 c o n tie n e tres c u rv a s , toda s en re la c ió n co n u na p la ca p la na q ue tie n e u na p e rfo ra c ió n c e n tral. L a c u r v a A es p a ra el caso en q u e la p la c a
105
F a c to re s d e c o n c e n tr a c ió n d e e s fu e r z o
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F IG U R A 3 - 9
Eje escalonado con ranura para anillo '
F IG U R A 3 -1 0
_ . . ____ _ . ______ _______ O etim ctna muestra üe iirarunn n para anillo
de rctcnción en una barra redolida,
se s o m e ta a e s fu e rz o d e te n sió n d ire c to a tra v é s d e la to ta lid a d de su s ec c ió n tra n s ve rsa l c e rc a d e la p e rfo ra c ió n . L a c u rv a B es p a ra e l caso en q ue se in s e rta u n p e m o d e a ju ste, a p re ta d o e n la p e rfo ra c ió n , y la c a rg a d e ten s ió n se a p lic a a tra v é s d e l p e m o . L o s fac to res de c o n c e n tra c ió n de e s fu e r z o resu ltan tes so n lig e r a m e n te m a y o re s p o r la m a y o r c o n c e n tra c ió n d e ca rg a. L a c u rv a C es p a ra e l caso de la p la ca a fle x ió n , y esto se a n a liz a r á e n el c a p ítu lo 8 . S in e m b a r g o , en ca da caso, n óte se q u e e l e s fu e rz o n o m in a l se b a s a e n la
s e c c ió n n e ta a tra vé s d e la p la c a en e l lu g a r d e la p e rfo ra c ió n . P a ra c a rg a d e te n s ió n , se u tiliz a el á re a n e to p a ra
E s to es:
F /( w - í i ) t en d o n d e w = a n c h o d e la p la ca
i = es pe so r d = d iá m e t r o d e la p e r f o r a c ió n . L a g rá fic a en e l a p é n d ic e A - 2 1 - 5 para la b a rra re d o n d a co n u n a g u je ro tra ns ve rs a l c o n tie n e v a rio s d atos p a ra d is tin to s tip o s de carga: te n s ió n , fle x ió n y to rs ió n . P o r lo p r o n to , s ó lo n o s in te res am o s e n la c u rv a A p ara el caso d e te n s ió n a x ia l. L a to r s ió n s e d is c u tirá e n e l c a p ítu lo 5 , y la fle x ió n en e l c a p itu lo 8. N ó te s e ta m b ié n q u e el fa c to r d e c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rzo se basa en la s e c c ió n b r u ta , n o en la se cc ió n n eta en la p e rfo ra c ió n . E sto s ig n i fic a q u e K , in c lu y e los e fe cto s d e la re m o c ió n d e m a te r ia l y la d is c o n tin u id a d , lo q u e p ro d u c e v a lo res m u y e le v a d o s. S in e m b a rg o , f a c ilita el uso d e la c arta p a ra u sted , q u e es e l d is e ñ a d o r, p o r q u e n o tie n e q u e c a lc u la r e l á re a d e la s e cc ió n neta,
E je m p lo
L a b a rr a e s c a lo n a d a q u e a p a r e c e e n la fig u ra 3 - 8 s e s o m e te a u n a fu e rz a d e te n sió n
3 -1 2
a x ia l d e 12 5 0 0 Ib. C a lc u le el e s fu e r z o d e ten sión m á xi m o e n la b a r ra p a r a la s s ig u ie n te s d im e n s io n e s ;
0 = 1 .5 0 p lg :
S o lu c ió n
106
0 .7 5 plg;
r = 0 .0 6 0 plg
O b je t iv o
C a lc u la r el e s fu e rz o d e te n s ió n m á x im o .
D a to s
F = 1 2 5 0 0 Ib; D = 1 .5 0 plg: d = 0 .7 5 plg; r = 0 .0 6 0 plg C a p itu lo 3 ■
D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e r z o d ire c to
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A n á lis is
P o r e l c a m b io d e d iá m e tro , u tilice la e c u a c ió n ( 3 - 1 2 ) . U tilic e la g rá fic a d e l a p é n d ic e A - 2 1 - 2 p a ra o b te n e r e l v a lo r d e K ¡ utili z a n d o r / d y D / d c o m o p a rá m e tro s .
R e s u lt a d o s
0^ = « í í W
„
0^ = = F / A j = F l l n d 2IA ) = 0-™ = 2 8 2 9 4 ^ ! ^ .
„ ( 1 2 5 0 0 l b V W 0 . 7 5 p lg ) 2/4 ],
r/d = 0 . 0 5 / 0 . 7 5 - 0 .0 8 0 y D / d - 1 . 5 0 / 0 . 7 5 = 2 .0 0 . L e a K r= 2 . 1 2 e n e l a p é n d ic e A - 2 1 - 2 . E n to n c e s C o m e n ta r io
0^ 4* = K i O nam- 2 .1 2
( 2 8 2 9 4 p s i) = 5 9 9 B 3 p si.
El e s fu e rz o m á x im o re a l, d e a p r o x im a d a m e n te 6 0 0 0 0 p s i, e s m á s d el d o b le d e l v a lo r q u e p o d ría p re d e c irs e c o n la fó rm u la c o n v e n c io n a l.
b i b l i o g r a f í a
t. A lu m in u m As&ociation, S pe cifica tion s J a r A tum inum
6.
M o tt, R, L ., M ac h in e E lem ents in M e c h a n ic a l D e stín . 2nd ed., M e r r ill, A lt Im p rin t o f M a c m illa n , New
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P R O B L E M A S 3 -1 .M
de 1 7 20 Ib, que se repite varias veces. E l eslabón
Especifiquesc una aleación de alum inio conve niente para una barra redonda con un diám etro de
es cuadrado, de 0 .4 0 p lg de lado. Especifique un
10
acero propio para e l eslabón.
m m som etida a una fuerza de tensión directa
estática de 8 .5 0 k N .
3 - 4 .1
U n a va rilla circu lar de acero de 3 /8 p lg d e diám e tro soporta un calentador y somete a una carga de
3 -2 .M
U n a barra rectangular con sección transversal de
tensión estática de 1850 Ib. Especifique un acero
10 m m p o r 3 0 m m está s o m e tid a a una fu e rz a
estructural que convenga a la va rilla .
de tensión directa de 2 0 .0 k N . Si la fuerza debe aplicarse varias veces, especifique un acero satis factorio.
3 - 5.1
U n m iem b ro de tensión en una arm adura de ma dera de un techo debe soportar una fuerza de ten sión estática de 5 2 0 0 Ib. Se propone u tiliza r un
3 - 3 .1
U n eslabón de una m áquina em pacadora autom á
tablón estándar de 2 x 4 de pino del sur, N o . 2.
tica está som etido a una fuerza de tensión directa
¿Sería éste aceptable?
107
P r o b le m a s
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3 - 6 .1
3 - 7.1
3 - 1 2 .M
C o n los dalos del problem a 3 - 5, sugiera un dise
circular de concreto con una resistencia de 3000
Puede especificarse un m iem bro de tamaño dis
psi (20 .7 M P a ). Especifique un diámetro acepta
tinto o un material diferente.
ble para la pila si debe soportar una carga (le com presión directa de 1.50 M N .
U n tirante de alambre para una torre de antena debe 3 -1 3 .1
ser de a lu m in io , con un esfuerzo p erm is ible de
3 —H .M
U n a n illo de a lum inio tiene un d iám etro externo
1 2 0 0 0 psí. Si la carga m áxim a que se espera en el
de 1 2 .0 m m y u n diámetro interno de 10 m m . Si el
cable es de 6 4 0 0 Ib, determ ine el diámetro de!
ani lio es co rtoy está hecho de 2 0 14 - T 6, calcule la
alam bre que se requiere.
fuerza que se necesita para producir una falla ú lti m a por compresión en el a n illo. Suponga q u e d e s
U na tolva con una masa de 1150 kg tiene un dise
igual a tensión y a compresión.
ño para soportar una carga de sal a granel con una 3 -H .M
masa de 6 3 5 0 kg. L a tolva debe suspenderse m e
Un cubo de madera de 4 0 m m de lado está hecho
diante cuatro flej es rectangulares, donde cada uno
de abeto N o . 2. C alcule la fuerza de compresión
soporta unacuarta parte de la carga. Para hacer los
perm isible que podría aplicarse al cubo, ya sea pa ralela o perpendicular a su grano.
flejes se u tiliza una plancha (le acero con un espe sor de 8.0 m m . ¿Cuál debe ser el ancho para lim i
3 -1 5 .1
tar el esfuerzo a 7 0 M P a? 3 -9 .M
Para soportar una colum na, se construye una p ila
ño alternativo que sea seguro para la carga dada.
U n a barra redonda de acero estructural A S T M A 2 4 2 se u tiliz a rá com o tirante para tensar un
Se diseña una repisa para sostener cajones con
m arco. Si se espera una carga estática m á xim a
una masa total de 184 0 kg. Dos varillas, como las
de 4 0 0 0 Ib, especifique e l diám etro co n v e nien te para la barra.
que se muestran en la figura 3 - 1 1, sostendrán la repisa. Suponga que el centro de gravedad de los
3 -1 6 .1
U na porción de una pieza fundida de hierro cola
cajones está en la parte m edia de la repisa. Especi
do gris A S T M A 4 8 , grado 20 , tiene la form a que
fique el diám etro de las varillas circulares que se
se muestra en la figura 1- 32 y está sometida a una
requiere para lim itar el esfuerzo» 110 M P a .
fuerza de compresión alineada con el eje centroidal de la sección. Si el m iem bro es corto y soporta una carga de 52 0 0 0 Ib, calcule el esfuerzo en la sección y el factor de diseño.
3-
17. M
U n a pieza de un sistema de suspensión de camión debe soportar una carga de compresi ón de 13 5 k N con la posibilidad (le cargas de choque. D ebe uti
Desvaí-illas
lizarse hierro maleable A S T M A 2 2 0 grado 45008.
soportan la repisa
La sección transversal debe ser rectangular, siendo el lado largo el doble del lado corto. Especifique d i mensiones convenientes para la pieza. 3 - 18.1
El eslabón rectangular de plástico de una im pre sora de ofici na se tiene que hacer de un copolim ero de acclal relleno de fibra de vidrio (véase el apendie A - 19). Debe soportar una fuerza de ten
F IC ÍU R A 3 - 11
V arillas de soporte de la repisa del problema 3 - 9 .
sión de 1 10 Ib. Las lim itaciones de espacio o b li gan a que el eslabón tenga un espesor m áxim o de 0.20 plg. Especifique un ancho idóneo del esla bón si se espera un factor de diseño de S con base en la resistencia» la tensión del plástico. 3 - 1 9 .M
3 —10.1
L a base de una colum na de concreto es circular,
de compresión estática de 640 k N . Especifique el
con un diámetro de 8.0 plg, y soporta una carga de compresión directa y estática de 70 0 0 0 Ib. Espe cifique la resistencia que se pide del concreto se gún las recomen daciones de la sección 23 - 11.1
2 9 5 0 0 Ib y comparten la carga por igual. Especi fique un tipo ilc madera que convenga para los bloques.
108
malerial propio para c 1m iem bro. 3 -2 0 .M
C a p itu lo 3 ■
La figura 1 - 2 5 m ucstraun ab arraq u e soportavarias cargas estáticas. Si la barra es de acero cslntc-
10 .
Tres bloques cortos de madera hechos de postes estándar de 4 x 4 soportan una m áquina que pesa
La figura 1 - 3 3 muestra la sección transversal do un m iem b ro corto que debe soportar una carga
luíal A S T M 3 -2 I.M
A3 í j ,
¿es segura?
En la figura 1 -3 0 , especifique una aleación de alu m inio conveniente para el miem bro A lt si la carga debe repetirse varias veces. Considere sólo la parte cuadrada cerca de la pane media del m iem bro.
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10 000 Ib sobre la mesa de m odo que se reparta en las cuatro patas. Luego sugiera otro diseño para las patas si se desea conservar el esfuerzo de apo yo a menos d e 4 0 0 p s i. 3 - 3 0 .C
U n extrem o de una viga está apoyado sobre un balancín con un radio de
200 m m
y un ancho de
I SO m m . Si el balancín y la placa en la que está apoyado son de acero estructural A S T M A 3 6 es pecifique la reacción m ín im a perm isible en este extrem o de la viga. 3 -3 1 .1
U n engrane transmite 5 0 0 0 lb p lg de par de tor sión a un eje circular con un diám etro de 2 .2 5 plg. U na cuña cuadrada de 0 .5 0 p lg de lado conecta el
F IG U R A 3 - 1 4
eje al cubo del engrane, com o se muestra en la figura 1 - 14. L a cuña es de accro estirado en frío
B ase de rodillos para m over maquinaria para los
A IS I 1020. Determ ine la longitud que se requiere de la cuña, ¿ , para que esta sea segura a cortante y
problem as 3 -2 6 y 3 -2 7 .
a esfuerzo de apoyo. U tilic e un factor de diseño de
2.0 basado en la ccdcncia acortante y e n e l esfuer zo de apoyo A IS C permisible. de sustentación de la placa de acero tic 1.25 plg de
3 -2 7 .1 3 -2 8 .1
3 - 32.1
E l apoyo de una v ig a está hecho com o se m ues
espesor y está hccha de acero estructural A S T M
tra en la figu ra 3 - 1 6 . D e term in e el espesor re
A 3 6?
q u e rido del a p o yo vo la d o a si e l m á x im o
Repita el problem a 3 - 2 6 con placa de acero de
esfuerzo cortante debe ser de 6 0 0 0 psi. L a carga
baja aleación y alta resistencia A S T M A 24 2 .
en el apoyo es de 21 0 0 0 Ib.
La figura 3 - 1 5 muestra un diseño alternativo para la base transportadora de maquinaria descrita en el problem a 3 - 2 6 . C alcule la carga perm isible para este diseño si está apoyada sobre acero (a) A S T M A 3 6 o (b ) accro A S T M A 2 42 .
F IG U R A 3 - 16
A p o y o d e v ig a d el problema 3 - 32.
1-25 plg de espesor F IG U R A 3 - 1 5
Dase dé rodillos para m over maquinaria para
el problema 3 - 28.
3 - 3 3 .1
U na sección de tubo está soportada por una es tructurado form a de c aballete q ue, a su ve z, está apoyada en dos pernos de accro, co m o se ilustra en la figu ra 3 - 1 7 . Si la carga sobre el caballete
3 -2 9 .1
1 10
U na mesa pesada para uso industrial tiene cuatro
es de 4 2 00 0 Ib, determ ine el diám etro que se re
patas hechas de tubo de acero cuadrado de 2 x
2x
quiere y la longitud de los pemos. U tilic e accro
1/4. C alcule el esfuerzo de apoyo que ejerce cada pata sobre el piso, si se coloca una carga total de
estirado en frío A IS I 1040. Considere tanto las
C a p itu lo 3 ■
fuerzas cortantes com o las de apoyo.
D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to
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La fuerza centrífuga somete a cortante directo al pe m oque sostiene el balde. C alcule el esfuerzo en el perno producido por una velocidad de rotación de 30 00 rpm . Luego, especifique un acero conve niente para el perno, considerando que la carga se repite. 3 -3 6 .M
Se utiliza un punzón circular para hacer un aguje ro de 20.0 m m de diám etro en una plancha de ace ro laminado en caliente A IS I 1020 con un espesor de 8.0 m m . C a lc ule la fuerza que se requiere para sacarel bocado.
3 -3 7 .M
F IG U R A 3 - 17
3 -3 4 .M
C aballclc para e l tubo del problema 3 - 33.
3 -3 8 .M 3 -3 9 .M
Repita el problem a 3 - 3 6 , pero con m aterial de
3 -4 0 .M
Determ ine la fuerza requerida para p erfora r un
acero inoxidable duro A IS I 43 0.
diante un perno de acero redondo de 16 m m de diámetro. Dos lados del brazo le transfieren car
bocado con la fo rm a mostrada en la figura 1 - 3 6 de una lám ina de acero lam inado en caliente A IS I
gas del chasis, com o se indica en la figura 3 - 18. ¿Cuánta fuerza cortante podría soportar el perno, si éste es de acero estirado en frió A IS I 1040 y se dcseüun factor de diseño de 6 con base en la resis
1020con un espesor de 5 .0 m m . 3 - 4 1 .1
Se utiliza una centrífuga para separar liquidosse gún s j s densidades, y se usa fuerza centrifuga. La
Determ ine la fuerza requerida p ara perforar un bocado de la form a mostrada en la figura 1 - 3 7 de una lám ina de alu m inio 3 0 0 3 - H 18 con un espesor
tencia a la cedencia a cortante? 3 - 3 5 .M
Repita el problem a 3 - 3 6 , pero con m aterial de co bre duro C 14500.
E l brazo de control infe rior de un sistema de sus pensión autom otriz está conectado al chasis me
Repita el problem a 3 - 3 6 , pero con m aterial de a lu m in io 6 0 6 1 T 4 .
de 0 . ‘: 9 4 pulgadas. 3 - 4 2 .1
Se hace una muesca en una pieza de madera, come se m uestra en la figura 1 - 3 5 , para soportar una carga extem a de 1800 Ib. C alcule el esfiterzo cortante en la m adera. ¿Es segura la muesca? (Véase el apéndice A - 18.)
3 - 4 3 .1
Calcule la fuerza requerida para cortar un borde recto de una lám ina de acero estirado en frío A IS I 1040 con un espesor de 0 .1 05 plg. La longitud del borde es de 7 .5 pulgadas.
3 - 4 4 .1
FIG U R A 3 - 1 8 problema 3 - 3 4 .
Repita el problem a 3 - 4 3 , pero con m aterial de acero A IS I 5 1 6 0 O Q T 70 0.
V isto desde arriba Perno del sistem a de suspensión automoir ¡2 del
3 - 45.1
Repitacl problema 3 - 43 , pero con material deacero
3 - 4 6 .1
Repita el problema 3 - 43, pero con material de bron
inoxidable duro A I S I 301. ce duro C 3 60 00 .
figura 1 - 2 3 ilustra un brazo de una centrifuga con
3 - 4 7 .1
En operación, el b alde y el líqu ido tienen una
R cpiU el problem a 3 - 4 3 , pero con m aterial de alum inio 5 1 5 4 - H 3 2 .
un balde en su ex tre m o para contener el líq u id o . 3 -4 8 .M
Para la palanca acodada que se m uestra e n la
masa de 0.40 kg. La fuerza centrífuga tieneuna m ag
figura 3 - 1 9 , ca lcu le el d iá m e tro que se requiere
nitud en newtonsde:
del perno A si la carga se re p ite y e l p ern o es de cobre duro C 17 000. L as cargas se repiten m u
F = 0 .0 1 0 9 7 - n i-R -n 2
chas veces.
d o n d e m ^ m a s a e n rotación del balde y el liquido (kg )
3 - 4 9 .M
Para la estructura que se ilustra en la figura 3 - 20, determine el diám etro requerido de cada perno si está hecho de acero estirado en frío A IS I 1020.
U = radio al centro de masa (m etros) = v e lo c id a d d o ro ta c ió n (rpm )
Cada perno está a cortante d oble y la carga es está tica.
111
P r o b le m a s
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3-52.1
La figuro 3-22 ilustra un tipo de cadena que se utiliza para bandas transportadoras. Todos los componentes son de acero estirado en frío AISI 1040. Evalúe la fuerza de tensión permisible (re petida) en la c a d e n a con respecto a; (a) Fuerza cortante del perno. (b) Esfuerzo de apoyo del perno en las placas late rales. (c) Tensión en las placas laterales.
2801b
l-uer2a d e alzamiento
E j e - O.SQpIgdediúm. F I G U R A 3 - 21
F IG U R A 3 - 2 0
Estnictura conectada con pernos, para el
p ro b le m a 3 - 4 9 .
3-5Ü .M Para la estructura que se muestra en la figura 128. determine el diámetro que convenga de cada perno si está hecho de acero estructural de alta re sistencia y de baja aleación de columbio-vanadio ASTM A572, grado 50. Cada pemo está a cortan te doble y la carga es estática. 3-51.1
112
Una palanca como la que se muestra en la figura 3 - 2 1, se utiliza para generar una gran fuerza me cánica para alzar máquinas pesadas. Un operador puede ejercer una fuerza de 280 Ib en la manija. Calcule la fuerza de levantamiento y el esfuerzo cortante en el eje de la me da. C a p it u lo 3 ■
Palanca d e l problem a 3 - 5 1.
3 - 53.1
La figura 3 -2 3 muestra un yunque para un marti llo de impacto sostenido en un soporte por un per no circular. Si la fuerza es de 500 Ib, especifique un diámetro conveniente para el perno de accro si éste debe hacerse de AISI 1040 WQT900.
3-54.1
La figura 3 -2 4 muestra una brida de acero forjada integralmente con el eje que debe ser cargado a torsión. Ocho tornillos sirven para acoplar la bri da a una brida coincidente. Suponga que cada tor nillo soporta una carga igual. Calcule el par de torsión máximo permisible en el acoplamiento si el esfuerzo cortante en los tomillos no debe exce der de 6000 ps¡.
3 - 55.M La figura 3 - 25 muestra un eje circular sometido a una carga de tensión axial repetida de 25 kN. El eje es de accro AISI4140 OQT 1100. Determine el factor de diseño en el agujero y el redondeo. 3 - 56.M Un vastago de válvula en un motor automotriz se somete a una carga de tensión axial de 900 N pro ducida por el resorte de la válvula, como se mues tra en la figura 3 -2 6 . Calcule el máximo esfuerzo en el vástago donde la fuerza del resorte actúa contra el reborde. 3 - 57. M Un eje redondo tiene dos muescas en donde secolocan anillos para mantener en posición a un en grane, según se muestra en la figura 3 -27. Si el eje
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4 D e fo rm a c ió n y e s fu e rz o té rm ic o
4 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
E l estudio de la resistencia de los m ateriales com prende la determ inación tanto de esfuer zos en elem entos estructurales de carga com o de la deflexión o deform ación de los m is m os. En general, se requiere el análisis tanto del esfuerzo com o de la deformación unitaria, tal com o se definieron en el capítulo 1. El m aterial expuesto en los capítulos 1, 2 y 3 perm ite calcular la m agnitud de los esfuerzos que se generan en elem entos estructu rales som etidos a fuerzas axiales directas, sean de tensión o com presión. Este capítulo am plia el conocim iento de tales elem entos estructurales al incluir la deform ación. En este capítulo se presentan dos clases de deform ación, la deformación elástica, provocada por las cargas externas y la deformación térmica, provocada por los cam bios de tem peratura. Cuando un material se calienta tiende a expandirse y luego que se enfría tiende a contraerse. Si se perm ite que las deform aciones térm icas ocurran sin restricción, no se producirán esfuerzos. Pero si se im pide que el m iem bro estructural se m ueva, se desarrollarán esfuerzos. Estos esfuerzos se llaman esfuerzos térmicos. Los principios de la deform ación elástica tam bién se pueden usar para resolver algunos problem as m ás o m enos com plejos en los que elem entos estructurales hechos de más de un m aterial se som eten a cargas. Dichos elem entos estructurales a m enudo son estáticamente indeterminados, es decir, no se pueden determ inar las fuerzas ni los es fuerzos internos con ecuaciones de estática sim ples. Se dem ostrará el uso com binado de la estática, el análisis del esfuerzo y el análisis de la deform ación elástica para resolver problem as com o los antes mencionados. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. C alcular la cantidad de deform ación elástica de un m iem bro estructural som eti do a una carga de tensión o com presión ax ial. 115
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2. Diseñar elem entos estructurales som etidos a cargas axiales para lim itar su de form ación a u n valor específico. 3. D efinir el coeficiente de expansión térmica y seleccionar el valor propio a usar se en el cálculo de la deform ación térm ica. 4. Calcular la cantidad de deform ación térm ica de un elem ento sujeto a cam bios de tem peratura cuando la deform ación no es restringida. 5. C alcularel esfuerzo térm ico resultante de un elem ento restringido sujeto acam bios de tem peratura. 6. C alcular el esfuerzo en com ponentes de una estructura com puesta que tenga elem entos hechos de más de un m aterial som etido a cargas axiales.
D E F O R M A C IÓ N E L Á S T IC A E N E L E M E N T O S S O M E T ID O S A T E N S IÓ N Y C O M P R E S IÓ N
D eform ación se refiere a cualquier cam bio en las dim ensiones de un m iem bro estructural de carga. El poder calcular la m agnitud de la deform ación es im portante en el diseño de m ecanism os de precisión, m áquinas-herram ienta, estructuras de edificios y estructuras de m áquinas. En la figura 3 -2 se m uestra una troqueladora con tensores de acero de sección transversal circular conectados a ella, donde la deform ación es im portante. Los tensores experim entan tensión cuando la troqueladora se encuentra en operación. C om o los ten sores contribuyen a la rigidez de la troqueladora, la deform ación que sufren a consecuen cia de una carga es algo que el diseñador ha de ser capaz de determ inar. Para deducir la relación con la que se pueda calcular la deform ación en elem entos som etidos a tensión o com presión axial, se tienen que revisar algunos de los conceptos del capítulo 1. La deformación unitaria se define com o la razón de la deform ación total a la longitud original de un elemento. Con el símbolo e para la deformación unitaria, 5 para la deform ación total y L para la longitud, la fórm ula para la deform ación unitaria se convier te en:
. - {
(4 -1 )
La rigidez de un m aterial es una función de su m ódulo de elasticidad E, que se define como:
E-
deformación
- -
e
(4 -2 )
Al resolverse para la deform ación unitaria se obtiene: € = y
E
(4 -3 )
A hora se pueden igualar las ecuaciones (4—1) y (4—3):
— = — L E C a p ítu lo 4 ■
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(4 -4 )
D e fo rm a c ió n y e s fu e rz o té r m ic o
A l resolverse para la deform ación se obtiene: (4 -5 )
C om o esta fórm ula se aplica a elem entos som etidos tanto a fuerzas directas de tensión com o de com presión, se u sa la fórm ula del esfuerzo directo p ara calcular el esfuerzo o. E s decir, a = F I A , donde F e s la carga aplicada y A es el área de la sección transversal del elem ento. Al sustituir esta expresión en la ecuación (4 -5 ) se tiene:
O
D e fo r m a c ió n
_
a x ia l
E
FL
(4 -6 )
~ AE
La ecuación ( 4 - 6 ) se usa para calcular la deform ación total de cualquier elem ento de carga, siem pre que satisfagan las condiciones que se definen en relación con el esfuerzo directo de tensión y com presión. Es decir, el elem ento ha de ser recto y de sección tran s versal constante; el m aterial debe ser hom ogéneo, la carga axial directa y el esfuerzo m eno rq u e el lim ite proporcional del m aterial. R ecuerde que el valor del lím ite proporcio nal se aproxim a a la resistencia a la cedencia, sy.
E je m p lo 4_ 1
S o lu c ió n
L o s t e n s o r e s d e la t r o q u e l a d o r a q u e s e ilu s tr a n e n la fig u r a 3 - 2 s o n d e a l e a c i ó n d e a c e r o A IS I 5 1 6 0 O Q T 1 0 0 0 . El d i á m e t r o d e c a d a t e n s o r e s d e 2 . 0 0 p lg y s u lo n g itu d in ic ia l d e 6 8 . 5 p lg . S e a p l i c a u n a f u e r z a d e t e n s i ó n a x ia l d e 4 0 0 0 0 Ib a c a d a t e n s o r d u r a n t e e l f u n c i o n a m i e n t o d e la t r o q u e l a d o r a . C a lc u le la d e f o r m a c ió n d e lo s t e n s o r e s . O b je t iv o D a to s
C a lc u la r la d e f o r m a c ió n d e la s v a r illa s . L o s t e n s o r e s s o n d e a c e r o , A IS I 5 1 6 0 O Q T 1 0 0 0 ; d i á m e t r o = D = 2 .0 0 p ig L o n g itu d = L = 6 8 . 5 p lg . F u e r z a a x ia l = F = 4 0 0 0 0 Ib.
A n á lis is
S e u s a r á la e c u a c i ó n ( 4 -
6) y
s e v e r if ic a r á e l e s f u e r z o q u e a c t ú a e n lo s
t e n s o r e s p a r a a s e g u r a r s e d e q u e e s t é a b a j o d e l lím ite p r o p o r c i o n a l . R e s u Ita d o s
E s fu e rz o d e te n s ió n a x ia l: a = F /A .
L uego, a -
4 0 0 0 0 Ib
= 1 2 7 0 0 p si.
3 .1 4 p lg 2 El a p é n d i c e A - 1 3 d a la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e l a c e r o c o m o d e 1 3 2 k s i. P o r c o n s i g u i e n t e , e l e s f u e r z o s e e n c u e n t r a m u y p o r d e b a j o d e l lím ite p r o p o r c io n a l. D e fo rm a c ió n a x ia l: U s e la e c u a c i ó n ( 4 - 6 ) . T o d o s lo s d a t o s s e c o n o c e n e x c e p t o e l m ó d u lo d e e l a s t ic id a d E. E n l a s n o t a s a l p i e d e l a p é n d i c e A 1 3 s e e n c u e n t r a q u e E = 3 0 x 1 0 6 p s i. E n t o n c e s : y
C o m e n t a r io
FL
( 4 0 0 0 0 lb ) (6 8 .5 p lg )
AE
(3 .1 4 p lg 2)(3 0 x 1 0 6 lb /p lg 2)
= 0 .0 2 9 plg
L a a c e p t a b i l i d a d d e e s t a c a n t i d a d d e d e f o r m a c i ó n a x ia l s e t e n d r í a q u e d e t e r m i n a r m e d i a n t e u n a n á l i s i s d e l s i s t e m a d e t o d a la t r o q u e l a d o r a .
Sección 4 - 2 ■
D e fo rm a c ió n e lá s tic a e n e le m e n to s s o m e tid o s a te n s ió n y c o m p re s ió n
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117
E je m p lo
4 -2
S o lu c ió n
U n p é n d u l o s e c o m p o n e d e u n a b o la d e 1 0 .0 k g q u e c u e l g a d e u n a l a m b r e d e a lu m in io d e 1 .0 0 m m d e d i á m e tr o y 6 .3 0 m d e lo n g itu d . E l a lu m in io e s u n a a l e a c i ó n 7 0 7 5 - T 6 . C a lc u le e l a l a r g a m i e n t o d e l a l a m b r e q u e s e o r ig in e p o r e l p e s o d e la b o la d e 1 0 k g . O b je tiv o
C a lc u la r e l a l a r g a m i e n t o d e l a l a m b r e .
D a to s
E l a l a m b r e e s d e u n a a l e a c i ó n d e a lu m in io 7 0 7 5 - T 6 ; d iá m e t r o = D = 1 .0 0 m m . L o n g itu d = L = 6 .3 0 m ; la m a s a d e la b o la e s d e 1 0 .0 k g .
A n á lis is
L a f u e r z a q u e a c t ú a e n e l a l a m b r e e s ig u a l a l p e s o d e la b o la , la c u a l s e p u e d e c a l c u l a r m e d i a n t e w = m g. E n s e g u i d a s e t i e n e q u e v e r if ic a r el e s fu e rz o q u e a c tú a e n el a la m b re p a ra a s e g u r a r s e d e q u e s e e n c u e n tra p o r d e b a j o d e l lím ite p r o p o r c io n a l. P o r ú ltim o , c o m o e l e s f u e r z o r e s u l t a q u e y a s e c o n o c e , s e u s a r á la e c u a c i ó n ( 4 - 5 ) p a r a c a l c u l a r e l a l a r g a m ie n to d e l a l a m b r e .
R e s u lt a d o s
F u e rz a e n e l a la m b re : F - w - m g - 1 0 . 0 k g x 9 . 8 1 m / s 2 = 9 8 .1 N. E s fu e r z o d e te n s ió n a x ia l: a = F /A A =
ttD2
w(1.00 mm)2
4
4
F
98.1 N
A = 0 .7 8 5 m m 2
= 0 .7 8 5 m m 2
= 1 2 5 N /m m 2 = 1 2 5 M P a
El a p é n d i c e A - 1 7 d a la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e la a l e a c i ó n d e a lu m i n io 7 0 7 5 - T 6 c o m o d e 5 0 3 M P a . El e s f u e r z o s e e n c u e n t r a m u y p o r d e b a j o d e l lím ite p r o p o r c io n a l. A la r g a m ie n to : C o m o y a s e d i s p o n e d e t o d o s lo s d a t o s , e x c e p t o d e l m ó d u lo d e e l a s t ic id a d , E, s e p u e d e u s a r l a e c u a c i ó n ( 4 - 5 ) . L a n o t a a l p ie d e l a p é n d i c e A - 1 7 d a e l v a l o r d e E = 7 2 G P a = 7 2 x 1 0 9 P a . P o r lo ta n to :
o-L _ (1 2 5 M P a) (6 .3 0 m ) _ (1 2 5 x 10 6 P a ) ( 6 .3 0 m)
8 = __ = E
7 2 x 10 9 P a
72 G P a
5 = 10.9 x 1 0 ~3 m = 10.9 m m
E je m p lo
4- 3
S o lu c ió n
U n e s l a b ó n d e te n s ió n d e u n a m á q u i n a d e b e t e n e r 6 1 0 m m d e lo n g itu d y s e s o m e t e a u n a c a r g a a x ia l r e p e t i d a d e 3 0 0 0 N. S e p r o p u s o q u e e l e s l a b ó n s e f a b r i q u e d e a c e r o y q u e s u s e c c i ó n t r a n s v e r s a l s e a c u a d r a d a . D e te r m in e l a s d i m e n s i o n e s q u e s e r e q u i e r e n d e l e s la b ó n si e l a l a r g a m i e n t o d e b i d o a la c a r g a n o d e b e e x c e d e r d e 0 . 0 5 m m . O b je tiv o
D e te r m in a r la s d i m e n s i o n e s q u e s e n e c e s i t a n d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c u a d r a d a d e l e s l a b ó n p a r a lim ita r e l a l a r g a m i e n t o , S, a 0 .0 5 m m o m e no s.
D a to s
C a r g a a x ia l e n e l e s l a b ó n = F - 3 0 0 0 N;
lo n g itu d = L = 6 1 0 m m .
El e s l a b ó n s e f a b r i c a r á d e a c e r o ; p o r c o n s i g u ie n te , E - 2 0 7 G P a = 2 0 7 x 1 0 9N /m 2. ( A p é n d ic e A - 1 3 ) A n á lis is
118
E n la e c u a c ió n ( 4 - 6 ) p a r a la d e f o r m a c ió n a x ia l, s e a S = 0 . 0 5 m m . L u e g o t o d o s lo s d a t o s s e c o n o c e n e x c e p t o e l á r e a d e la s e c c i ó n tr a n s v e r s a l . L a e c u a c i ó n ( 4 - 6 ) s e p u e d e r e s o l v e r p a r a A . S e a d c a d a u n o d e lo s la d o s d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l c u a d r a d a . P o r lo ta n to A = d 2 y el v a lo r m ín im o a c e p t a b l e p a r a d s e c a lc u la c o n d = -Ja . T r a s d e e s p e c if ic a r u n a d im e n s ió n c o n v e n ie n te p a r a d, s e tie n e q u e v e rific a r p a r a a s e g u r a r s e d e q u e el e s f u e r z o e s s e g u r o y q u e s e e n c u e n t r a p o r d e b a j o d e l lím ite p r o p o rc io n a l. C a p ítu lo 4 ■
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D e fo rm a c ió n y e s fu e r z o té rm ic o
R e s u lta d o s
S i la e c u a c i ó n ( 4 - 6 ) s e r e s u e l v e p a r a A y s e s u s t i t u y e n lo s v a l o r e s s e o b tie n e : ( 3 0 0 0 N ) (610 m m )
ES
(2 0 7 x 10 9 N /m 2) (0 .0 5 m m )
= 1 7 6 .8 x
10 6 m 2
C o n v ir tie n d o e n m m 2:
-4 = 1 7 6 .8 x 10 y:
6 m 2 x (1° 3 ™m )* = m2
1 7 6 .8 m m 2
d = V a = V 1 7 6 .8 m m 2 = 1 3 .3 m m
El a p é n d i c e A - 2 d a la d i m e n s i ó n s i g u i e n t e m a y o r p r e f e r i d a c o m o d e 1 4 .0 m m . El á r e a r e a l d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l e s A = d 2 = ( 1 4 .0 m m )2 = 1 9 6 m m 2.
cr = F /A = 3 0 0 0 N /1 9 6 m m 2 = 15.3 N /m m 2= 15.3 M P a . P a r a e l 3 -2 r e c o m i e n d a q u e e l e s f u e r z o d e d i s e ñ o s e a ad = s ul 8. S i ad = a, e l v a lo r q u e s e b u s c a p a r a la r e s i s t e n c i a E sfu e rz o :
c a s o d e u n a c a r g a r e p e t i d a , la t a b l a ú ltim a e s : s„ = C o m e n t a r io s
8(o-)
= 8 (1 5 .3 M P a ) = 1 2 3 M P a
E n el a p é n d ic e A - 13 s e v e q u e c a s i c u a lq u ie r a c e r o tie n e u n a r e s is te n c ia ú ltim a m u c h o m a y o r q u e 1 2 3 M P a . A m e n o s q u e e x i s t i e s e n m á s re q u is ito s d e d is e ñ o , s e d e b e e s p e c ific a r el a c e r o m á s b a r a to . L u e g o s e e s p e c ific a rá :
d = 1 4 .0 m m El a c e r o la m i n a d o e n c a l i e n t e Al S 1 1 0 2 0 d e b e s e r e l d e m e n o r c o s t o . s„= 448 M Pa N ó t e s e q u e e l a l a r g a m i e n t o p e r m i s i b l e lim itó e s t e d i s e ñ o y q u e e l e s f u e r z o r e s u l t a n t e e s r e l a t i v a m e n t e b a jo .
E je m p lo
4 -4
L a f i g u r a 1 - 2 6 i l u s t r a u n t u b o d e a c e r o q u e s e u tiliz a p a r a s o p o r t a r e q u i p o p o r m e d i o d e c a b l e s c o m o s e m u e s tra . L a s f u e rz a s s o n F , =
8 000
Ib y F 2= 2 5 0 0 Ib. E lija e l tu b o d e
a c e r o c é d u l a 4 0 d e m e n o r d iá m e t r o q u e lim ita rá e l e s f u e r z o a n o m á s d e 1 8 0 0 0 p s i. E n s e g u i d a , p a r a e l t u b o q u e s e e s c o g i ó , d e t e r m i n e la d e f le x ió n to ta l d e l p u n t o C d ir ig id a h a c i a a b a j o e n la c a r a in fe rio r d e l tu b o c u a n d o s e a p l i c a n l a s c a r g a s . S o lu c ió n
O b je tiv o
E s p e c i f i c a r la m e d i d a a d e c u a d a d e u n t u b o d e a c e r o c é d u l a 4 0 e s t á n d a r y d e t e r m i n a r e l a l a r g a m i e n t o d e l m is m o .
D a to s
L a s c a r g a s q u e a p a r e c e n e n la fig u ra 1 - 2 6 ; F , = F 2 = 2 5 0 0 Ib.
8 000
Ib ( d o s f u e r z a s ) -
L o n g itu d d e l tu b o d e A a B : L A_B = 4 . 0 0 p i e s ( 1 2 p lg /p ie ) = 4 8 p lg . L o n g itu d d e l tu b o d e B a C : L B_C = 3 . 0 0 p i e s ( 1 2 p lg /p ie ) = 3 6 . 0 p lg . E s f u e r z o m á x im o p e r m is ib le = A n á lis is
18
0 0 0 p s i; £ = 3 0 x 10 6p s i ( a c e r o ) .
L a f u e r z a d e t e n s i ó n a x ia l m á x i m a q u e a c t ú a e n e l t u b o e s la s u m a d e F 2 m á s lo s c o m p o n e n t e s v e r t i c a l e s d e l a s f u e r z a s F , . E s t o o c u r r e e n e l s e g m e n t o d e A a B. L a m e d i d a d e l t u b o y e l á r e a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l r e s u lta n te d e b e n d a r c o m o c o n s e c u e n c ia u n e s f u e r z o e n d ic h o s e g m e n t o d e 1 8 0 0 0 p s i o m e n o r . D e B a C , la f u e r z a d e t e n s i ó n a x ia l e s F b_c = 2 5 0 0 Ib. C o m o la f u e r z a e s d i f e r e n t e e n l a s d o s s e c c i o n e s ,
S ección 4 - 2 ■
D e fo rm a c ió n e lá s tic a e n e le m e n to s s o m e tid o s a te n s ió n y c o m p re s ió n
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cia, una pieza de una m áquina co m ienza a operar a tem p eratu ra am biente y luego se calienta dem asiado durante el funcionam iento de la m áquina. A lgunos ejem plos son p iezas d e m otores, hornos, m áquinas cortadoras de m etal, tren es de lam inación, equipo de m oldeo y extrusión de plásticos, equipo p ro cesad o r de alim entos, com presores de aire, m ecanism os hidráulicos y neum áticos y equipo autom ático de alta velocidad. C uando una p ieza m etálica se calienta, se expande. Si la expansión no se restringe, las dim ensiones de la pieza se increm entan pero en el m etal n o se g en era esfuerzo. Sin em bargo, en algunos casos la pi eza se restringe, lo que im pide q u e cam bien sus dim ensio nes. E n tales circunstancias, se p resentan esfuerzos. L os diferentes m ateriales cam bian de dim ensiones a diferentes tasas cuando se exponen a cam bios de tem peratura. L a m ayoría de los m ateriales se dilatan al aum entar la tem peratura, au nque algunos se contraen y otros de hecho perm anecen del m ism o tam año. El coeficiente de expansión térmica rige la deform ación y el esfu erzo térm icos que experim entó u n m aterial.
E l coeficiente de expansión térmica, a, es la propiedad de u n m aterial que indica la cantidad de cam bio unitario dim ensional con un cam bio unitario de temperatura. L a letra griega alfa m inúscula, a , d e n o ta e lc o e fic ie n te d e e x p a n sió n té rm ic a . L a su n id a d e sd e o r se derivan de su definición. Si se en u n c ia d e u n a m anera un poco diferente, a es la m edida del cam bio de longitud d e u n m aterial p o r lo n g itu d u n ita ria con un cam bio de tem peratura de 1.0 grado. P o r lo tanto, las unid ad es d e oren el sistem a de unidades estadounidense serían: plg/(plg -°F )
o
1/°F
o
°F^'
E n unidades SI, a e s t a r í a e n : ' m /(m -°C )
o
m m /( m m ° C )
o
1/°C
o
°C _1
Para usarse en los cálculos, la últim a form a de cada tipo de unid ad es la m ás conveniente. Sin em bargo, la prim era nos ayu d a a recordar el significado físico del térm ino. D e la definición del coeficiente de expansión térm ica se desprende q u e el cam bio de longitud 5 d e un m iem bro estructural se pu ed e calcu lar co n la ecuación:
en donde L = longitud original del m iem bro estructural A t = cam bio de tem peratura L a tabla 4-1 da valores representativos del coeficiente de expansión de v ario s m e tales, cristal, m adera de pino y concreto. El valor real de cu alq u ier m aterial v aría u n poco con la tem peratura. L os valores de la tab la 4—1 son valores aprox im ad am en te prom edio en el intervalo de tem peraturas desde 32 °F (0 °C ) hasta 212 °F (100 °C). L a tabla 4—2 contiene valores de orcorrespondientes a seis m ateriales plástico s que se selccionaron. N ó tese que los valores reales dependen en gran m ed id a de la tem peratura y de la inclusión de cualquier m aterial de aporte en la resin a plástica. P ara cada plástico listado, los valores aproxim ados de a corresponden a resin a sin m aterial de aporte y a resin a 3 0 % de vidrio.
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TABLA 4 -1 C o eficien tes d e e x p an sió n térm ica, a , d e alg u n o s m etales, v id rio c ilin d ra d o , m adera y concreto.
a M aterial
°F 1
°C 1
A cero , A ISI 6.5 6.3 6.2 6.5 6 .0
1020
1040 4140 A cero estru ctu ral H ierro fu n d id o gris A cero in o x id ab le A I S I 301 A I S I 4 30 A I S I 501 A leacio n es d e a lu m in io 2014 6061 7075 Latón, C 3 6 0 0 0 B ro n ce, C 2 2000 C o b re, C 14500 M ag n esio , A S T M A Z 6 3 A -T 6 T itan io , T i - 6 A 1 - 4 V V id rio cilin d rad o M ad e ra (p in o ) C o n creto
T A B L A 4 -2
X 10" X 10" X 1 0 '" X 10" X 10"
9 .4 X 1 0 " 5.8 X 1 0 " 6 .2 X 1 0 " 12.8 13.0 12.9 11.4 10.2 9.9 14.0 5.3 5.0 3.0 6.0
X X X X X X X X X X X
10" 10" 10" 10" 10" 10" 10" 10" 10" 10" 10"
11.7 11.3 11.2 11.7 10.8
X 10"
X 10" X 10" X 10" X 10"
16.9 X 1 0 " 10.4 X 1 0 " 11.2 X 1 0 " 23.0 X 1 0 " 23.4 X 1 0 " 23.2 X 1 0 " 20.5 X 1 0 " 18.4 X 1 0 " 17.8 X 1 0 " 25.2 X 1 0 " 9.5 X 1 0 " 9.0 X 1 0 " 5.4 X 1 0 " 10.8 X 1 0 "
C o eficien tes d e ex p an sió n térm ica, a, d e p lástico s seleccio n ad o s.
a o p -l
M aterial A B S -re s in a sin relleno A B S /rellen o d e fibra de v idrio A c eta l-re sin a sin rellen o
53 16 45
A cetal/rellen o de fibra de v id rio N y lo n 6 /6 -r e s in a sin rellen o N y lo n 6 /6 -re lle n o d e fibra de vidrio P o licarb o n ato -r e s in a sin relleno P o licarb o n ato /rellen o de fibra de vidrio P o lié s te r-re s in a sin relleno P o liéster/rellen o d e fibra de v idrio P o liestire n o -resin a sin relleno P o liestiren o /rellen o d e fibra de v idrio
•c
-1
X
1 0 "
9 5 .4
X
X
1 0 "
2 8 .8
X
1 0 "
X
1 0 "
8 1 .0
X
1 0 "
22
X
1 0 "
3 9 .6
X
1 0 "
45 13 37 13 53 12 36 19
X
1 0 "
8 1 .0
X
1 0 "
X
1 0 "
2 3 .4
X
1 0 "
1 0 "
X
1 0 "
6 6 .6
X
1 0 "
X
1 0 "
2 3 .4
X
1 0 "
X
1 0 "
9 5 .4
X
1 0 "
X
1 0 "
2 1 .6
X
1 0 "
X
1 0 "
6 4 .8
X
1 0 "
X
1 0 "
3 4 .2
X
1 0 "
L os com puestos se describieron en el capítulo 2 com o m ateriales que com binan una m atriz con fibras de refuerzo hechas de diferentes m ateriales tales com o vidrio, polí m ero aram ida, carbón o grafito. Los m ateriales que constituyen la m atriz pueden ser polím eros tales com o poliéster o resina epóxica, cerám ica o algunos m etales com o aluC a p ítu lo 4 ■
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a T ran sv ersal
L o n g itu d in al ojr-l
M aterial V id rio E /fib ras ep ó x icas un id ireccio n ales A ram id a/fib ras ep ó x icas u n id ireccio n ales C arb ó n /fib ras ep ó x icas u n id ireccio n ales C arb ó n /fib ras ep ó x icas cu asi-iso tró p icas
o p -l
°C “ I
°cr'
3 .5
X
10"6
6 .3 0
X
I 0 '6
11
X
1 0 "
1 9 .8
X
-l.l
X
10"6
- 1 .9 8
x
10~6
38
X
10
6 8 .4
X
1 0 "
0 .0 5
X
I0 "h
0 .0 9
x
1 0 -6
9
X
1 0 "
1 6 .2
X
1 0 "
1 .6
X
10
2 .8 8
X
I 0 '6
1 .6 X
X
1 0 "
h
6
10"6
2 .8 8
1 0 "
minio. El valor de a en el caso de las fibras en general es m ucho m enor que en el caso de la m atriz. Además, existen varias m aneras de colocar las fibras en la m atriz. P or consi guiente, el coeficiente de expansión térm ica en el caso de com puestos es m uy difícil de generalizar. La tabla 4 -3 da valores representativos para unas cuantas form as de com puestos. Recúrrase al capítulo 2 para lo que se refiera a la descripción de los térm inos unidireccional y cuasi-isotrópico. En particular, con la colocación unidireccional de las fibras en la m atriz, existe una dram ática diferencia en el valor del coeficiente de expan sión térm ica com o una función de la orientación del m aterial. En la dirección longitudi nal, alineado con las fibras, el bajo valor de a correspondiente a las fibras tiende a producir un valor general bajo. Pero en la dirección transversal, las fibras no son m uy efectivas y el valor general de a es m ucho más alto. N ótese, adem ás, que en el caso del com puesto particular unidireccional aram ida/fibras epóxicas listado, el valor de a d eh ech o es nega tivo, lo que significa que este com puesto se contrae a m edida que se increm enta la tem peratura.
E je m p lo
4_5
U n a v a rilla d e a c e r o A IS 1 1 0 4 0 s e u s a c o m o e s l a b ó n e n e l m e c a n i s m o d e d ir e c c ió n d e u n c a m i ó n . S i s u lo n g itu d n o m in a l e s d e 5 6 p lg , c a l c u l e s u c a m b i o d e lo n g itu d c u a n d o la te m p e r a tu ra c a m b ia d e - 3 0 ° F a 1 1 0 ° F .
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a lc u la r e l c a m b i o d e lo n g itu d d e l e s l a b ó n .
D a to s
E s l a b ó n d e a c e r o A I S 1 1 0 4 0 ; lo n g itu d = 1 = 5 6 p lg . T e m p e r a t u r a in ic ia l = t-¡ = - 3 0 °F . T e m p e r a t u r a fin a l = t2 = 1 1 0 °F .
A n á lis is
Ú s e s e la e c u a c ió n ( 4 - 7 ) . E n la ta b l a 4 - 1 , a = 6 .3
x 1 0 ~ 6 ° F _1.
A f = f 2 — /, = 1 1 0 ° F - ( - 3 0 ° F ) = 1 4 0 °F R e s u lt a d o s C o m e n ta r io
5 = a - L • A f = ( 6 . 3 x 1 0 ”®° F - 1) (5 6 p lg ) (1 4 0 °F ) = 0 . 0 4 9 p lg . El s ig n if ic a d o d e e s t a c a n t i d a d d e d e f o r m a c ió n s e t e n d r í a q u e e v a l u a r e n e l d i s e ñ o g lo b a l d e l m e c a n i s m o d e d ir e c c ió n d e l c a m i ó n .
E je m p lo
4 -6
U n a v a rilla d e e m p u j e d e l m e c a n i s m o d e v á l v u l a s d e l m o t o r d e u n a u to m ó v il t i e n e u n a lo n g itu d n o m in a l d e 2 0 3 m m . S i la v a rilla e s d e a c e r o A IS I 4 1 4 0 , c a l c u l e e l a l a r g a m i e n t o q u e c a u s a u n c a m b io d e te m p e ra tu ra d e - 2 0 °C a 1 4 0 °C .
S o lu c ió n Sección 4 - 3
■
O b je t iv o
C a lc u la r e l c a m b io d e lo n g itu d d e la v a r illa d e e m p u je .
D e fo rm a c ió n q u e c a u s a n lo s c a m b io s d e te m p e ra tu ra
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R e s u lta d o s
4 .3 5 0 m -
A, =
4 .3 4 7 m
(2 3 .4 x 1 0 ^ ° C " 1) (4 .3 5 0 m ) - (9 .0 x 10"® ° C " 1) ( 4 .3 4 7 m ) 0 .0 0 3
° C = 4 8 °C
(0.000102) - (0.000039) E n t o n c e s , t2 = f, - Ai = 35 ° C - 4 8 °C = - 13 °C C o m e n t a r io s
C o m o e s t e v a lo r d e t e m p e r a t u r a q u e d a c o m p r e n d i d o d e n t r o d e l i n t e r v a lo d e t e m p e r a t u r a a m b i e n t e e n u n e d if ic io , e s t a v e n t a n a p o d r í a c r e a r u n a s i t u a c ió n p e l i g r o s a . El m a r c o d e la v e n t a n a y el v id rio s e c o n t r a e r í a n s in e s f u e r z o h a s t a a l c a n z a r u n a t e m p e r a t u r a d e - 1 3 ° C . S i la t e m p e r a t u r a d i s m i n u y e r a a ú n m á s , e l m a r c o s e c o n t r a e r í a m á s r á p i d o q u e e l v id r io y s e g e n e r a r í a e s f u e r z o e n é s t e . P o r s u p u e s t o , s i e l e s f u e r z o e s lo b a s t a n t e g r a n d e , e l v id rio s e p o d r í a r o m p e r y ta l v e z h e r i r a l o s in q u ilin o s d e l e d ific io . S e d e b e m o d ific a r la v e n t a n a p a r a q u e h a y a u n a m a y o r d i f e r e n c ia d e t a m a ñ o e n t r e e l v id rio y e l m a r c o d e a lu m in io .
4 -4
E S F U E R Z O T E R M IC O
En la sección anterior, las piezas estructurales som etidas a cam bios de tem peratura se encontraban libres, de m anera que podían d ilatarsey contraerse con libertad. Si laspiezas se sujetaran de tal m odo que se im pidiera la deform ación, se generarían esfuerzos. C onsidérese un m iem bro estructural de acero en un hom o que se calienta m ientras que los elem entos a los cuales está conectado se m antienen a una tem peratura m ás baja. Si se supone el caso ideal, los apoyos se considerarían rígidos e inm óviles. D e este m odo se im pediría la expansión del elem ento de acero. Si se perm itiera que la pieza de acero se expanda, se alargaría en u n a proporción de S = a L Aí. Pero com o está sujeta, esta cantidad representa la deform ación total aparen te del acero. Luego la deform ación unitaria sería: a-L-A/ L
L
= a(At)
(4 -8 )
El esfuerzo resultante en la pieza se puede hallar por m edio de:
a = Ee
O
E s fu e r z o té r m ic o
a = Ea(Al)
(4 -9 )
E je m p lo
U n m ie m b ro e s tr u c tu r a l d e a c e r o A I S 1 1 0 2 0 e n u n h o m o e x p e r i m e n t a u n in c r e m e n to d e
4 -8
t e m p e r a t u r a d e 9 5 °F m ie n tr a s q u e s e s u j e ta p o r s u s e x t r e m o s . C a lc u le el e s f u e r z o r e s u l t a n te e n el a c e ro .
S o lu c ió n
S e cció n 4 - 4
■
O b je tiv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o t é r m ic o e n e l a c e r o .
D a to s
El a c e r o e s A I S 1 1 0 2 0 ; e n la t a b l a 4 - 1 , a = 6 . 5 x 1 0 " 6oF _1. £ = 3 0 x 1 0 6 p s i; A f = 9 5 ° F .
125
E s fu e rz o té r m ic o
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F IG U R A 4 -1
P o ste d e a ce ro y co n creto .
L a figura 4-1 m uestra un tubo de acero relleno de concreto que se usa p ara soportar parte de una gran estructura. La carga se distribuye uniform em ente en la cara superior del tubo. Se desea determ inar el esfuerzo tanto en el acero com o en el concreto. En la deducción de la solución a este problem a se deben entender dos conceptos. 1. El acero y el concreto com parten la carga total F de tal m odo que F = F S + FC. 2. Bajo la carga de com presión F, el apoyo com puesto se deform a y los dos m ate riales tam bién se deform an en la m ism a cantidad. Es decir, S¡ = Sc. C om o el acero y el concreto originalm ente tenían la m ism a longitud:
Si = S, L L Pero:
:c
Asim ism o:
Ec Por consiguiente:
a,
ac
Al resolver para crs se obtiene:
cr,
(4 -1 0 )
E sta ecuación da la relación entre los dos esfuerzos. S ección 4 - 5
■
E le m e n to s e s tru c tu ra le s h e c h o s de m á s d e u n m a te ria l
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Con la ecuación (4 -1 0 ) se obtiene: _
3 .3 x 10 6 p si
Ec ~
= 1 7 6 9 6 p si
Estos esfuerzos son bastante elevados. Si se quisiera ten er por lo m e nos un factor de diseño de 2 .0 con b ase en la resistencia a la cedencia del acero y de 4 .0 con b ase en la resistencia nom inal del concreto, las resistencias requeridas serían:
Acero: sy = 2 (1 7 6 96 psi) = 35 3 92 psi Concreto: crc nominal = 4 (1 9 4 6 psi) = 7 7 8 4 psi El acero podría ser sem ejante al A IS 1102 0 recocido o a cualquier otro de m ayor resisten cia. U na resistencia nominal de 3 00 0 psi para el concreto no sería satisfactoria.
R e s u m e n . El análisis del problem a 4 -1 0 se puede generalizar p ara cualquier situa ción en la que dos o m ás elem entos estructurales hechos de diferentes m ateriales com par tan las cargas siem pre y cuando experim enten deform aciones iguales. Si se reemplazan los subíndices s y c en el análisis precedente p o r los subíndices m ás generales 1 y 2, las ecuaciones (4 -1 2 ) y (4 -1 0 ) se plantean com o sigue:
o-2 ai =
FE , A i E\ + A 2E 2 (T2E \
(4-13) (4-14)
P R O B L E M A S
una barra metálica que parece estar hecha de alu minio o magnesio. Su sección transversal es cua drada de 0.25 plg de lado. Analice dos métodos con los que se podría determinar de qué material se trata.
D e fo rm a c ió n e lá s tic a
4-1.1
Un poste de abeto clase 2 tiene 6.0 pies de longi tud y una sección transversal cuadrada de 3.50 plg de lado. ¿Qué tanto se acortaría cuando se somete a su carga de compresión permisible aplicada pa ralela a la veta?
4-2.M
Determine el alargamiento de una tira de plástico de 0.75 mm de espesor por 12 mm de ancho y 375 mm de longitud cuando se somete a una carga de 90 N y se fabrica de a) vidrio con refuerzo de ABS o b) resina fenólica (véase el apéndice A - 19).
4-3.1
Un cilindro hueco de aluminio 2014-T4 tiene un diámetro extemo de 2.50 plg y un espesor de pa red de 0.085 plg. Su longitud es de 14.5 plg. ¿Qué fuerza de compresión axial haría que el cilindro se acorte 0.005 plg? ¿Cuál es el esfuerzo resultante en el aluminio?
4 - 4 .1
E n u n c a jó n d e e x is te n c ia s d e m a te ria l se e n c o n tró
4-5 . M
Se va a diseñar un tirante para un automóvil. Debe soportar una carga repetida de 3500 N y no alar garse más de 0.12 mm en su longitud de 630 mm. Use un factor de diseño de 8 basado en la resisten cia última y calcule el diámetro necesario de una varilla redonda que satisfaga estos requisitos utili zando a) Acero AISI 1020 laminado en caliente, b) Acero AISI 4140 OQT 700 y c) Aleación de aluminio 6 0 6 1 -T6. Compare la masa de lastres opciones.
4 - 6.M
La porción sin roscar de un perno de acero tiene 12.0 mm de diámetro. Determine el alargamiento en una longitud de 220 mm si se aplica una fuerza de 17.0 kN. 129
P rob lem as
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4 - 7.M
En la estructura de una aeronave, se diseña una varilla de 1.25mde longitudy sección transversal cuadrada de 8.0 mm de lado. Calcule el alargamien to que experim entaría si se fabrica de a) tita nio T Í-6 A 1 -4 V y b) acero inoxidable AIS! 501 OQT 1000. La carga esde5000N .
4 - 8.1
Un tirante de 13.0 pies en una armadura soldada se somete a una fuerza de 35 000 Ib. Elija un ángu lo de patas iguales de acero ASTM A36 que limite el esfuerzo a 21 600 psi. Luego calcule el alarga miento del ángulo debido a la fuerza. Use E= 29.0 x 106psi para acero estructural.
4-9.1
Un eslabón en un mecanismo es una barra rec tangular de acero que se somete de manera al ternada a una carga de tensión de 450 Ib y a una de compresión de 50 Ib. Sus dimensiones son: longitud = 8.40 plg, ancho = 0.25 plg, espesor = 0.125 plg. Calcule el alargamiento y la compre sión del eslabón.
4 - 10.1
Una barra de acero con su extremo superior fijo se somete a tres cargas axiales, como se muestra en la figura 4 - 2. El área de su sección circular es de 0.50 plg'. Determine la deflexión del extremo libre.
tro interno = 1.126 plg, longitud = 36.0 plg. Calcule la fuerza necesaria para producir una deflexión de la barra de 0.050 plg. ¿Sería seguro el esfuerzo produ cido por la fuerza que se acaba de determinar, si ésta se aplica repetidamente? 4-12.1
Un tirante de una armadura se somete a una carga estática de 2500 Ib. Sus dimensiones son: longi tud = 8.75 pies, diámetro externo = 0.750 plg, diá metro interno = 0.563 plg. En primer lugar especifique una aleación de aluminio que sea se gura. Luego calcule el alargamiento del tirante.
4-13.M
Un tubo hueco de aluminio 6061-T4, d e 40 mm de largo, se usa como espaciador en una máqui na y se somete a una fuerza de compresión axial de 18.2 kN. El diámetro externo del tubo es de 56.0 mm y el interno de 48.0 mm. Calcule la deflexión del tubo y el esfuerzo de compresión resultante.
4-14.1
Un tirante de acero AISI 1020 CD tiene 135 pies de longitud y 0.375 plg de diámetro. Calcule el esfuerzo en el tirante y su deflexión cuando se so mete a una fuerza de tensión de 1600 Ib.
4 - 15.M Calcule el alargamiento total de la barra de titanio T Í-6A 1-4V mostrada en la figura 1-24. 4-16.1
Durante una prueba de una barra metálica se en contró que una fuerza de tensión axial de 10 000 Ib produjo un alargamiento de 0.023 plg. Las dimen siones originales de la baña eran: longitud = 10.000 plg,diámetro=0.750plg. Calcule el módulodeelasticidad del metal. ¿De qué clase de metal estaba he cha la baña?
4 - 17.M La barra que ilustra la figura 1- 25 soporta tres cargas. Calcule la deflexión del punto D con res pecto al punto A. La barra es de plástico policarbonato.
F IG U R A 4 - 2
130
Una columna se compone de una base cilindrica de concreto que soporta un tubo de acero de 4 x 4 x 1/2 cuadrado hueco estándar, de 8.60 pies de longitud. La base tiene 3.0 pies de longitud y 8.00 plg de diámetro. En primer lugar, especifique el concreto de la sección 2-10 con una resistencia nominal propia para soportar una carga de com presión de 64 000 Ib. En seguida, si se supone que la columna no se pandea, calcule la cantidad total en que la columna se acortará.
4 - 19.1
Un cable eléctrico de cobre (C14500, duro) cali bre 14 de 10.5 pies de longitud se fija rígidamente en el extremo superior de una viga. El diámetro del cable es de 0.064 plg. ¿Cuánto se alargaría si una persona que pesa 120 Ib se cuelga del extremo inferior? ¿Cuánto se alargaría si la persona pesa 200 Ib?
B a r r a d e l p r o b l e m a 4 - 10 s u j e t a
a t e n s i ó n a x ia l .
4 - 1 1.1
4 - 18.1
Un eslabón en una máquina empacadora automáti ca es un tubo hueco de aluminio 6061-T6. Sus di mensiones son: diámetro extemo = 1.250 plg, diáme
C a p ítu lo 4 ■
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D e fo rm a c ió n y e s fu e r z o té rm ic o
4-20.1
4-21.1
Una cinta de medir como la que utilizan los car pinteros es de 25.00 pies de longitud y está hecha con una tira de acero plana con las dimensiones siguientes: ancho = 0.750 plg, espesor = 0.006 plg. Calcule el alargamiento que experimenta y el es fuerzo en el acero si se le aplica una fu era de ten sión de 25.0 Ib. Se fabrica un poste con un tablón estándar de 4 x 4 (Apéndice A - 4) de pino del sur clase 2, calcule la carga de compresión axial que podría soportar an tes de que alcance su esfuerzo permisible de com presión paralelo a la veta. En seguida, si el poste es de 10.75 pies de longitud, calcule la cantidad que se acortaríapor la acción de la carga mencionada.
4- 22.M Con un hierro dúctil, ASTM A536, grado 60-40 18, se forma un perfil cuadrado hueco, de 200 mm de dimensión externa y 150 mm de dimensión in terna. Calcule la carga que produciría un esfuerzo de compresión axial en el hierro de 200 MPa. En seguida, con esa carga, calcule el acortamiento del perfil a partir de su longitud original de 1.80 m.
a)
La tolerancia entre las piezas a - 40 °C.
b)
El esfuerzo en las varillas generado por la ele vación de la temperatura a 116 °C.
Suponga que las piezas en contacto son rígidas. 4 - 30.1
La plataforma de un puente es una losa continua de concreto de 140 pies de longitud a 30 °F. Deter míne el ancho de las juntas de expansión que se requiere en los extremos del puente, suponiendo que no se debe generar esfuerzo cuando la tempe ratura varíe de +30 °F a +110 °F.
4 -31.1
Cuando se instaló la plataforma del puente del pro blema 4-30, el ancho de la junta de expansión en cada extremo era de sólo 0.25 plg. ¿Qué esfuerzo se producirá si los apoyos son rígidos? Para el concreto usesc=4000 psi y halle/Ten la sección 2-10.
4 - 32.1
Para la plataforma del puente del problema 4-30, suponga que aquélla debe hacer contacto con su apoyo j usto a la temperatura de 110 °F. Si la plata forma se ha de instalar cuando la temperatura sea de 60 °F, ¿cuál debería ser la separación entre la plataforma y su apoyo?
4-23.M Un alambre de latón (C36000, duro) tiene un diá metro de 3.00 mm y una longitud inicial de 3.600 m. En esta condición, el extremo inferior, con una placa para aplicar una carga, está a 6.0 mm del suelo. ¿Cuántos kilogramos de plomo se tendrían que agregar a la placa para que apenas toque el suelo? ¿Cuál sería el esfuerzo en el alambre en ese momento?
4 - 33.M Se tiene que montar un anillo de acero inoxidable AISI 301 en una flecha que está a una temperatura de 20 °C y cuyo diámetro es de 55.200 mm. El diámetro interno del anillo es de 55.100 mm. ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo para que su diámetro sea de 55.300 mm y se pueda des lizar en la flecha?
4-24.M Calcule el alargamiento de la barra cuadrada AB que ilustra la figura l- 3 0 s ie s d e 1.25 m de longi tud y está hecha de aluminio 6061-T6.
4 - 34.M Cuando el anillo del problema4-33 se montaen la flecha y luego se enfría de nuevo a 20 °C, ¿qué esfuerzo de tensión se desarrollará en él?
D e fo rm a c ió n t é r m ic a
4-25.1
Una losa de concreto en una carretera es de 80 piesde longitud. Determine el cambio de longitud de la losa si la temperatura cambia de - 30 °F a + 110 °F. 4-26.M Un riel de acero laminado en caliente AISI 1040 para guía de ferrocarril es de 12.0 m de longitud. Determine el cambio de longitud del riel si la tem peratura cambia de - 34 °C a +43 °C. 4-27.M Determine el esfuerzo que se generaría en el riel del problema 4-26 si estuviera restringido por completo, lo que impediría que se expandiera. 4-28.M Las varillas de empuje que accionan las válvulas en un motor de seis cilindros son de acero AISI 1040 y de 625 mm de longitud y 8.0 mm de diáme tro. Calcule el cambio de longitud de las varil las si su temperatura varía de - 40 °C a +116 °C consi derando que nada impide su dilatación. 4- 29.M Si las varillas del problema 4 - 28 se instalaron con tolerancia cero con respecto a otras piezas del meca nismo de válvulas a 25 °C, calcule lo siguiente:
4 - 35.M Un intercambiador de calor se arma disponiendo varios tubos de latón (C36000) en el interior de una coraza de acero inoxidable (AISI 430). Al principio, cuando la temperatura es de 10 °C, los tubos son de 4.20 m de longitud y la coraza de 4.50 m de longitud, respectivamente. Determine el alargamiento de cada uno de los componentes cuando se calienten a 85 °C. 4 - 36.1
En Alaska, un tramo de oleoducto de acero AISI 1020 y que tiene 40 pies de largo, puede experi mentar variaciones de temperatura desde -5 0 °F rasBáp ?s}¿ 3 iejzpejiaüK? sminioaie ¿fe* .haxt? +140 °F cuando por él circula petróleo caliente. Calcule el cambio de longitud del tramo de oleo ducto en estas condiciones.
4 - 37.M A 20 °C las dimensiones de una barra cuadrada de magnesio son de 30 mm de lado y 250.0 mm de longitud. Se coloca entre dos apoyos rígidos se parados 250.1 mm entre sí. Acto seguido la barra se calienta a 70 °C mientras que los apoyos no se mue ven. Calcule el esfuerzo resultante en la barra. 131
Problem as
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4 - 38.M Una barra cuadrada, de 8.0 mm de lado, es de ace ro AISI 1040 estirado en frió y su longitud es de 175 mm. Se coloca sin holgura entre dos apoyos inmóviles sin ningún esfuerzo en ella. En seguida la temperatura se incrementa en 90 °C. ¿Cuál es el esfuerzo final en la varilla? 4-39.1
4 - 40.1
4 - 41.1
La longitud de una varilla cuadrada de aluminio 6061-T 4a75°F esde 10.500 plg. Se coloca entre dos apoyos rígidos separados 10.505 plg entre sí. Si los apoyos no se mueven, describa lo que le ocurriría a la barra cuando su temperatura se eleve a400°F.
E le m e n t o s h e c h o s d e d o s m a t e r ia le s
4 - 45.M Se fabrica unpostecortosoldandoplacasdeacero en forma de cuadrado, como se muestra en la figu ra 4 - 4 y en seguida se rellena de concreto el área interna. Calcule el esfuerzo en el acero y en el con creto si b= 150 mm, t = 10 m m y el poste soporta una carga axial de 900 kN. Véase la sección 2 - 10 en busca de las propiedades del concreto. Use sc= 6000 psi. A cero C o n creto
Un nivel de carpintero se coloca sobre dos bañas; una de resina de poliéster y la otra de titanio T i6A1—4V. La distancia entre las barras es de 24.00 plg. A una temperatura de 65 °F, el nivel se en cuentra perfectamente nivelado y la longitud de las barras es de 30.00 plg. ¿Cuál seria el ángulo de inclinación del nivel cuando la temperatura se elevaa212°F?
>Ó.Q.;- V'q ..sj-c^o.'pr.cfS vC1o '2 ¡ ¿'tóSJSrV[Vo. 'c i'Q wi'tf Ti‘~> - A
T
Cuando se fabricó, la longitud de una cinta de me dir de acero (AISI 1040) era exactamente de 25.000 pies de largo a una temperatura de 68 °F. Calcule el error que resultaría si la cinta se usa a -15 °F.
4 - 42.M La figura 4 - 3 muestra dos barras de diferentes materiales separadas por 0.50 mm cuando la tem peratura es de 20 °C. ¿A que temperatura se toca rían? 4 -4 3 .M Un alambre de acero inoxidable (AISI 1030) se estira entre dos soportes rígidos de manera que se induce un esfuerzo de 40 MPa en el alambre a una temperatura de 20 °C. ¿Cuál seria el es fuerzo a -15 °C?
F IG U R A 4 - 4 y 4 -4 6 .
P o ste d e lo s p ro b lem as 4 - 45
4-46.1
Se fabrica un poste corto y se rellena de concreto un tubo de acero estándar de 6 x 6 x 1/2, como se muestra en la figura 4 - 4. El esfuerzo permisi ble del acero es de 21 600 psi. La resistencia nominal del concreto es de 6000 psi pero, en este caso, el esfuerzo se debe limitar a 1500 psi. Véase la sec ción 2 - 10 donde se da el módulo de elasticidad del concreto. Calcule la carga permisible en el poste.
4-47.1
Se va a diseñar un poste corto para que soporte una carga de compresión axial de 500 000 Ib. Se tiene que fabricar soldando placas de acero A36 de 1/2 plg de espesor en forma de cuadrado y llenando el área interna de concreto, como se muestra en la
4 - 44.M Enlascondicionesdescritasenelproblema4-43, ¿a qué temperatura sería nulo el esfuerzo en el alambre?
S e p a r a c ió n in ic ia l ------ "
A c e ro in o x id a b le -A IS I 4 3 0
L a t ó n - C 3 6 00 0
b a r r a c u a d r a d a - 12 m m d e la d o
b a rra c u a d ra d a - 8 m m d e lad o
F IG U R A 4 - 3
132
d e 0 .0 5 m m
P ro b lem a 4 - 4 2 .
C a p ítu lo 4 ■
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D e fo rm a c ió n y e s fu e rz o té rm ic o
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5 E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
5 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
T orsión se refiere a la carga de un m iem bro estructural que tiende a torcerlo. Sem ejante carga se llam a p a r de torsión, momento de torsión o par. C uando se aplica u n p ar de torsión a un m iem bro estructural, tal com o una flecha circular, se genera esfuerzo cortan te en ella y se crea una deflexión torsional, la cual produce un áng u lo d e torsión en un extrem o de la flecha con respecto al otro. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. D e fin irp a r de torsión y calcular el par de torsión que se ejerce en un m iem bro estructural sujeto a una carga torsional. 2. D efinir la relación entre las tres variables críticas que intervienen en la trans m isión de potencia: potencia, par de torsión y velocidad de rotación. 3. M anejar las unidades de potencia, par de torsión y velocidad de rotación tanto en el sistem a m étrico decim al com o en el sistem a estadounidense. 4. C alcular el esfuerzo cortante m áxim o en un m iem bro estructural som etido a una carga de torsión. 5. D efinir el momento polar de inercia y calcular su v alor p ara flechas redondas sólidas (o m acizas) y huecas. 6. C alcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de un elem ento som etido a torsión. 7. E specificar un diseño conveniente por esfuerzo cortante para un m iem bro es tructural som etido a torsión. 135
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8. D efinir el módulo de sección polar y calcular su valor para flechas redondas sólidas y huecas. 9. D eterm inar el diám etro que se requiere de una flecha p ara que soporte, con seguridad, un par de torsión dado. 10. C om parar el diseño de flechas sólidas y huecas con base en la m asa de las m ism as requerida para soportar un cierto par de torsión al m ism o tiem po que se lim ita el esfuerzo cortante torsional a un cierto valor de diseño. 11. A plicar factores de concentración de esfuerzo a elem entos estructurales que se som eten a torsión. 12. C alcular el ángulo de torsión de un m iem bro estructural que se som ete a tor sión. 13. D efinir el módulo de cortante de elasticidad. 14. A nalizar el m étodo para calcular el esfuerzo cortante y la deflexión torsionales en el caso de elem entos estructurales de secciones transversales no circulares. 15. D escribir las form as generales de elem entos estructurales que disponen de una rigidez torsional relativam ente elevada.
P A R D E T O R S IÓ N , P O T E N C IA Y V E L O C ID A D D E R O T A C IÓ N
U na tarea necesaria cuando se trata de calcular el esfuerzo cortante torsional y la defle xión torsional es la com prensión del concepto de p ar de torsión y la relación entre las tres variables criticas que intervienen en la transm isión de potencia: p a r de torsión, potencia y velocidad de rotación. La figura 5-1 m uestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un perno. El par de torsión, que se aplica tanto al perno, com o a la extensión, es el producto
C a p itu lo 5 ■
E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to r s io n a l
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S is te m a m é tric o d e c im a l. L a p o te n c ia se d e fin e c o m o la v e lo c id a d d e tra n s fe re n c ia de e n e rg ía .
En el SI, el joule es la unidad estándar de energía y equivale a N -m , la unidad estándar de par de torsión. Es decir: 1.0 J = 1.0 N -m Luego la potencia se define como: HV
. energía joule J N-m „ . .. potencia = —— = —-----— = - = ----- = watt = W tiem p o segundo s s
U n id a d e s d el SI de p ote n c ia
(5 -3 )
O bsérvese que 1.0 J/s se define com o 1.0 watt (1.0 W). El watt es una unidad algo peque ña, por lo que a m enudo se usa el kilowatt (1.0 kW = 1000 W). La unidad estándar de velocidad de rotación en el SI es radianes p o r segundo, rad/s. Con frecuencia, sin em bargo, la velocidad de rotación se expresa en revoluciones por minuto, rpm. La conversión que se necesita, se ilustra a continuación, al convertir 1750 rpm en rad/s. 1750 rev 2ir rad 1 min _ ., n -------------X ----------X ---------= 183 rad/s min
rev
60 s
Cuando se utiliza n en rad/s en la ecuación (5 -2 ), el radián no se considera com o unidad , tal com o se ilustra en el ejemplo siguiente.
E jem p lo
5-
2
S o lu c ió n
La flecha motriz del bote que s e ilustra en la figura 5 -2 transm ite 95 kW de potencia cuando gira a 525 rpm. Calcule el par de torsión en la flecha. O b jetivo
Calcular el par de torsión en la flecha.
D ato s
P =95 kW = 95 000 W = 95 000 N ■ m/s; n = 525 rpm
A n á lis is
La ecuación (5-2) se resolverá para T con el fin de calcular el par de torsión. P = Tir>; luego, T=P/n Pero n d eb e ex p resarse en rad/s, com o a continuación se determ ina: 525 rev
R es u lta d o s
2ir rad
1 min 60 s
El par de torsión es: „ P 95 000 N-m 1 T = — = --------------x ------------n s 55.0 rad/s
C o m e n ta rio
138
55.0 rad/s
1727 N-m
N ótese que la unidad de radián s e ignoró en los cálculos.
C a p ítu lo 5 ■
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U n id a d e s e s ta d o u n id e n s e s . Las unidades características de par de torsión, po tencia y velocidad de rotación en el sistem a estadounidense de m edidas son:
T = par de torsión (Ib plg) n = velocidad de rotación (rpm ) P = potencia (caballos de fuerza, hp) N ótese que 1.0 hp = 6600 Ib ■ plg/s. Entonces, las conversiones de unidades necesarias para garantizar la com patibilidad de las unidades son: . . ( rev A 1 min 2 n rad 1 hp potencia = T(lb plg) x n\ —— x ------- x -------- x ---------- ------^min J 60 s rev 6600 Ib plg/s
U n id a d e s
Tn
potencia =
e s ta d o u n id e n s e s
63 000
d e p ote n c ia
E je m p lo
5-3 S o lu c ió n
Calcule la potencia, en caballos de fuerza, transm itida por una flecha q u e g en e ra un par d e torsión de 15 000 Ib- plg a 525 rpm. O b je tiv o
Calcular la potencia transm itida por la flecha.
D ato s
T = 15 000 Ib plg; n = 525 rpm
A n á lis is
S e u sará la ecuación (5-4) directam ente porque T y n están en las uni d a d e s propias d e Ib plg y rpm. La potencia s e calculará en caballos de fuerza.
R e s u lta d o s
La potencia es:
P=
5 - 3
(5 -4 )
Tn 6 3000
(15 000) (525) = 125 hp 63000
E S F U E R Z O C O R T A N T E T O R S IO N A L E N E L E M E N T O S E S T R U C T U R A L E S D E S E C C IÓ N T R A N S V E R S A L C IR C U L A R
C uando un m iem bro estructural se som ete a un par de torsión extem o, en el m aterial del que está hecho el m iem bro estructural se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el m aterial. L a figura 5 -3 (a) m uestra una barra circular que se som etió a un par de torsión, T. La sección N gira con respecto a la sección M com o se indica. Si se aísla un elem ento en la superficie de la barra, se verá que se som etió a fuerzas cortantes que actúan en las caras paralelas a las secciones transversales M y N, com o se ilustra. Estas fuerzas cortantes crean esfuerzos cortantes en el elem ento. Para que el elem ento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elem ento deben actuar esfuerzos cortantes de la m ism a magnitud. S ección 5 - 3 ■
E s fu e rz o c o rta n te to r s io n a l e n e le m e n to s e s tr u c tu ra le s d e s e c c ió n tra n s v e rs a l c irc u la r
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139
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Si se resuelve para el par de torsión T se obtiene: 63 0 0 0P
n R ecuérdese que esta ecuación da el valor del par d e torsión de m anera directa en Ib • plg cuando P e s tá en caballos de fu erza y n en rpm. Por lo tanto: 63 0 0 0 (1 2 5 )
T
”
525
= 15 000 Ib
n D ‘ _ n (1 .25 plg)4 J
32 ~
32
plg
= 0.240 plg4
y, por último: 7c
(15 0 00 Ib
C o m e n ta rio
5 -4
plg)(0.625 plg)
= 39 100 psi
0.240 plg4
J
Este nivel de esfuerzo ocurrirá en todos los puntos de la superficie de la flecha.
D E R IV A C IÓ N D E L A F Ó R M U L A P A R A E L E S F U E R Z O C O R T A N T E T O R S IO N A L
La form a estándar de la fórm ula para el esfuerzo cortante torsional en una barra circular que se som etió a un par de torsión externo se presentó com o la ecuación (5 -5 ) y su uso se ilustró en los ejem plos 5 - 4 y 5 -5 . Esta sección dem ostrará la derivación de d icha fórm u la. Las figuras 5 -3 y 5 - 4 ilustran la naturaleza general de las cargas de torsión y el efecto del par de torsión en el com portam iento de la barra circular. En esta derivación, se supone que el m aterial de la barra se com porta según la ley de H ooke; esto es, el esfuerzo es directam ente proporcional a la deform ación. A dem ás, las propiedades de la barra son hom ogéneas e isotrópicas; es decir, el m aterial reacciona igual sin cuidado de la dirección de las cargas aplicadas. A sim ism o, se supone que la barra es de sección transversal constante cerca de la sección de interés. Si se consideran dos secciones transversales M y N, en diferentes lugares de la barra, y si la sección JVgira un ángulo Q con respecto a la sección M, las fibras del m aterial experim entarán una deform ación que alcanza su valor m áxim o en la superficie extem a de la barra y que varía linealmente con la posición radial hasta un valor nulo en el centro de la m ism a. Puesto que en el caso de m ateriales elásticos que obedecen la ley de H ooke, el esfuerzo es proporcional a la deform ación, el esfuerzo m áxim o tam bién ocurrirá en el exterior de la barra, com o se m uestra en la figura 5 - 4. Se m uestra tam bién la variación lineal del esfuerzo, r, con la posición radial, r, en la sección transversal. Asi pues, por la proporción de triángulos sem ejantes:
r 142
C a p ítu lo 5 ■
c
(5 -8 )
E s fu e rz o c o rta n te to r s io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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P o r consiguiente, el esfuerzo cortante en cualquier radio puede expresarse com o una función del esfuerzo cortante m áxim o que actúa en la superficie externa de la flecha:
T = tmi, X -
(5 -9 )
c
Es de hacerse notar que el esfuerzo cortante r actúa de m odo uniform e en una pequeña área anular, dA, de la flecha, com o se ilustra en la figura 5 -5 . A hora bien, com o la fuerza es igual al esfuerzo por el área, la fuerza en el áreaí//f es:
dF = rd A - rmix — X dA
I__ L J esfu e rz o
á re a
El siguiente paso es considerar que el par de torsión d T que se generó p o r esta fuerza es el producto de í/F p o r la distancia radial a dA. Luego: r
d T = d F X r = Tmáx- d A
X r
i_ _ i_i u fu e rz a
r 2
=
Z ^ -d A
c
r a d io
E sta ecuación es el par de torsión resistente interno desarrollado en la pequeña área dA. El p ar de torsión total que actúa en toda el área sería la sum a de todos los pares de torsión individuales que actúan en todas las áreas de la sección transversal. El proceso de sum a se logra m ediante la técnica m atem ática de integración, que a continuación se ilustra:
T = í dT = í r mix- d A J a
Ja
c
En el proceso de integración, las constantes tales com o y la ecuación se escribe como:
Sección 5 - 4
■
D e riv a c ió n d e la fó rm u la p a ra el e s fu e r z o c o rta n te to r s io n a l
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y c se sacan del signo integral,
14 3
En mecánica, el térm ino I r^dA recibe el nom bre de momento polar de inercia y se identi fica con el sím b o lo /. La derivación á e J se da en lasiguiente sección. La ecuación (5 -1 0 ) se escribe entonces:
T = rm„,
^
c
= y
(5 -H )
El m étodo de evaluar ./s e describe en la siguiente sección. La ecuación (5-11), que es idéntica a la ecuación (5 -5 ), se usa para calcular el esfuerzo cortante m áxim o en una barra circular sujeta a torsión. El esfuerzo cortante m áxim o se presenta en cualquier parte de la superficie exterior de la barra.
M O M E N T O P O L A R D E IN E R C IA D E B A R R A S C IR C U L A R E S S Ó L ID A S
Recurra a la figura 5-5 que muestra una sección transversal circular sólida. Para evaluar ./con:
J = | r 2dA
se considera que dA es el área de un pequeño anillo de espesor dr que se localiza a una distancia r del centro de la sección. Con dr de pequeña magnitud, el área es la de un listón de longitud igual a la circun ferencia del anillo por su espesor.
r - e s p e s o r d e l a n illo
n
dA — 27rr X dr h
d
c ir c u n f e r e n c ia d e u n a n illo e n el r a d io
r
Por consiguiente, el momento polar de inercia de toda la sección transversal se determ ina cuando se integra desde r = 0 en el centro de la barra hasta r —R en la superficie exterior.
J
f*
=
J
r 2d A
f*
=
J
r (2irr) d r
f* =
2irR*
,
2 n r dr
=
ttR =
4
—
En general, conviene más usar el diámetro en lugar del radio. Luego com o R = DI2: _ -tt(d/2)* = v ¡ y 2 C a p ítu lo 5 ■
(5_ 12)
32 E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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T A B L A 5 -1
F acto res d e d iseñ o y esfu erzo s co rta n te s d e d is e ñ o p a ra m e ta les d ú ctiles T ip o d e c a rg a
F a c to r d e d is e ñ o
T o r s ió n e s tá tic a
2
T o r s ió n c íc lic a
4
I m p a c to o c h o q u e to n sio n a l
6
D is e ñ o p o r e s f u e r z o c o r ta n te
rd = s v/ 2 N
- svl 4 syi 8
*
Tj = s v/ \2
D onde los valores de svs no están disponibles, pero se pueden calcular com o sy/2. Asi se obtienen valores razonables y, por lo general, conservadores, para m etales dúcti les, en especial el acero. Por consiguiente: D is e ñ o p o r
O
e s fu e rz o
Tj
c o rta n te
N
(5-14)
2N
En un problem a de diseño el par de torsión T se debe conocer. Luego, en la ecuación (5 -1 1 ), sólo c y J n o se conocen. N ótese que tanto c com o J s o n propiedades geom étricas del m iem bro que se va a diseñar. En el caso de m iem bros circulares sólidos (flechas), el diám etro define la geom etría por com pleto. Se dem ostró que: D
y: J =
7TDA 32
A hora conviene señalar que si forma el cociente Jlc, se obtiene una expresión sim ple que incluye D. En el estudio de la resistencia de m ateriales, el térm ino J/c recibe el nom bre de módulo de sección polar, y se usa el sím bolo Zp para denotarlo. M ó d u lo d e s e c c ió n
J
p o la r -f le c h a s
Zp~ c ~
s ó lid a s
nDA
32
I
X £>/ 2
ttP
16
3
(5-15)
Si se sustituye J/c por Z , e n ía ecuación (5 -1 1 ) se obtiene: E s fu e rz o
O
(5-16)
c o rta n te m á x im o
Para usar esta ecuación en el diseño, se puede hacer rmLl= rd y en seguida resolverse para Z ,.
Os e cMc ióó dnuploo lader re q u e rid o
T
z' = 7
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(5-17)
La ecuación ( 5 - 17) da el valor que se requiere del m ódulo de sección polar de una flecha circular que lim ita el esfuerzo cortante torsional a trfcuando se som ete a un par de torsión T. L uego la ecuación (5 -1 5 ) se usa para determ inar el diám etro necesario de una flecha circular sólida. Resolviéndola para D se tiene:
a
D iá m e tro
D =
(5-18)
v D t - P,4 D„
(5-19)
re q u e rid o
Si se va a diseñar una flecha hueca:
M ó d u lo d e s e c c ió n ( ^ \ p o la r -f le c h a s huecas
16
En este caso, uno de los diám etros o la relación entre los dos diám etros se tendría que especificar para definir la geom etría com pleta de la flecha hueca.
EJEM PLO PROGRAM ADO
E je m p lo
5- 7
L a t r a n s m i s i ó n d e u n a t r a n s p o r t a d o r a q u e a l i m e n t a c a r b ó n a u n c a r r o d e f e r r o c a r r il e s u n a f l e c h a q u e s e s o m e t e a t o r s ió n p u r a y q u e t r a n s m i t e u n p a r d e to r s i ó n d e 8 0 0 N m . U n d i s e ñ o p r o p u e s t o e x i g e q u e la f l e c h a t e n g a u n a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l s ó l i d a . C o m p l e t e e l d i s e ñ o y e s p e c i f i q u e p r im e r o u n a c e r o c o n v e n i e n t e p a r a la f l e c h a y lu e g o e l d i á m e t r o .
S o lu c ió n
O b je tiv o
1. E s p e c i f i c a r u n a c e r o q u e c o n v e n g a p a r a la f l e c h a . 2 . E s p e c i f i c a r e l d i á m e t r o d e la f l e c h a .
D a to s
P a r d e to rsió n a p lic a d o =
T= 8 0 0
N m.
L a fle c h a im p u lsa a u n a tr a n s p o r ta d o r a d e c a rb ó n .
A n á lis is
La solución de e ste problema s e exp o n e en un formato programado. U sted d eb e contestar cada pregunta, a m edida que se van plantean do, antes de p a sa r a la siguiente sección, d esp u é s d e la linea que las separa. E ste proceso tiene el propósito de que u ste d intervenga en las actividades de toma de decisiones con las que s e encuentra a diario un diseñador. E n p r im e r lu g a r , c o m o u n a a y u d a e n la s e l e c c i ó n d e u n m a t e r i a l a d e c u a d o , ¿ q u é tip o d e c a r g a e x p e r i m e n t a r á la f l e c h a e n s e r v i c i o ? E s p r o b a b l e q u e la t r a n s m i s i ó n d e u n a t r a n s p o r t a d o r a d e c a r b ó n e x p e r i m e n t e u n tip o d e s e r v i c i o e n e x t r e m o s e v e r o c o n f o r m e e l c a r b ó n s e v a c í a s o b r e la b a n d a t r a n s p o r t a d o r a . P o r c o n s i g u i e n t e , e n e l d i s e ñ o s e d e b e n te n e r e n c u e n ta la s c a r g a s d e im p a c to y c h o q u e . A h o ra , ¿ q u é p r o p i e d a d e s d e b e p o s e e r e l a c e r o p a r a la f l e c h a ? S e d e b e u s a r u n m a t e r i a l m u c h o m u y d ú c til p o r q u e lo s m a t e r i a l e s c o n e s a c a r a c t e r í s t i c a s o p o r t a n c a r g a s d e c h o q u e m u c h o m e j o r q u e lo s f r á g ile s . El a c e r o d e b e t e n e r u n a r e s i s t e n c i a m o d e r a d a m e n t e e l e v a d a d e
S ección 5 - 7 ■
D is e ñ o d e e le m e n to s c ir c u la re s s o m e tid o s a to rs ió n
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m o d o q u e e l d i á m e tr o r e q u e r id o d e la f le c h a s e a r a z o n a b l e . E s im p o r t a n t e q u e s e s e l e c c i o n e u n a c e r o m a q u i n a b l e p o r q u e e s p r o b a b l e q u e la f l e c h a r e q u i e r a m a q u i n a d o d u r a n t e s u f a b r ic a c ió n . ¿ C u á l e s la m e d i d a d e la d u c tilid a d d e lo s a c e r o s q u e , p o r lo g e n e r a l , s e u s a ? E n e l c a p i t u l o 2 s e m e n c i o n ó q u e e l p o rc e n ta je d e a la rg a m ie n to d e u n a c e r o e s u n a in d ic a c ió n d e s u d u c tilid a d . P a r a q u e s o p o r t e c a r g a s d e im p a c to o c h o q u e , s e d e b e e s p e c ific a r u n a c e r o c o n u n p o rc e n ta je d e a la r g a m ie n to d e m á s d el 10% . A h o ra e s p e c ifiq u e u n a c e r o c o n v e n ie n te . E x is te n m u c h o s a c e r o s q u e p u e d e n d a r r e s u l t a d o s s a t is f a c t o r i o s . E s p e c if iq u e a c e r o A IS 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 . T o m e lo s d a t o s p e r t i n e n t e s d e l a p é n d ic e A - 1 3 . T a l v e z e n c o n t r ó q u e s y = 4 6 9 M P a y q u e e l a l a r g a m i e n t o d e l 2 8 % in d ic a u n a e l e v a d a d u c tilid a d . A s im is m o , n ó t e s e , ta l c o m o s e p l a n t e ó e n el c a p i t u l o 2 , q u e lo s a c e r o s d e la s e r i e 110 0 t i e n e n b u e n a m a q u in a b ilid a d p o r s u c o n t e n i d o d e a z u f r e r e l a t i v a m e n t e e l e v a d o e n la a l e a c i ó n . S e u tiliz a rá n l a s e c u a c i o n e s ( 5 - 1 6 ) , ( 5 - 1 7 ) y ( 5 - 1 8 ) p a r a c o n t i n u a r e l p r o c e s o d e d i s e ñ o c o n e l o b je tiv o fin a l d e e s p e c i f i c a r u n d i á m e tr o i d ó n e o p a r a la f le c h a . S e s a b e q u e e l p a r d e to r s ió n a p l i c a d o e s d e 8 0 0 N m . El s i g u i e n t e p a s o c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r u n e s f u e r z o c o r t a n t e d e d i s e ñ o a c e p t a b l e . ¿ C ó m o lo h a r í a ? L a ta b l a 5 - 1 r e q u i e r e r tf= s y /2 N c o n N = 6 ; e s d e c ir , ?<,= s y / 1 2 . P o r lo t a n t o , Td = S y /1 2 = 4 6 9 M P a /1 2 = 3 9 .1 M P a = 3 9 .1 N /m m 2. ¿ C u á l s e r í a el sig u ie n te p a s o ? S e p u e d e u s a r la e c u a c i ó n ( 5 - 1 7 ) p a r a c a l c u l a r e l v a lo r q u e s e r e q u i e r e d e l m ó d u lo d e s e c c i ó n p o la r d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e la f l e c h a . H á g a lo a h o r a . U s te d d e b e t e n e r a h o r a e l Zp = 2 0 . 5 x 1 0 3 m m 3 n e c e s a r i o , d e t e r m i n a d o c o m o s ig u e :
T 800 N m 10 m m Z p --------- ----------------- ; x -----------= 2 0 .5 x 10 3 m m 3 Td 39.1 N /m m 2 m
¿ C u á l e s el s ig u ie n te p a s o ? C o n la e c u a c i ó n ( 5 - 1 8 ) s e c a l c u l a e l d i á m e t r o m ín im o a c e p t a b l e d e la f le c h a . H á g a l o a h o r a . D min = 4 7 .1 m m s e c a l c u l a c o m o s i g u e ,
1 6 (2 0 .5 x 103) m m 3
= 47.1 m m
S e r í a c o n v e n i e n t e e s p e c i f i c a r u n d i á m e t r o p a r a la f le c h a u n p o c o m a y o r q u e e l v a lo r a n te r io r . U s e e l a p é n d i c e A - 2 c o m o g u í a y e s p e c i f i q u e u n d iá m e tr o . S e p r e f ie r e D = 5 0 m m .
C a p itu lo 5 ■
E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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R e su m e n de los re su ltad o s L a f le c h a s e f a b r ic a r á d e a c e r o A IS 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 c o n u n d iá m e t r o d e 50 mm.
C o m e n ta rio s
El e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o e n la s u p e r f i c i e e x t e r n a d e la f le c h a d e 5 0 m m d e d i á m e tr o d e h e c h o e s m e n o r q u e e l e s f u e r z o d e d i s e ñ o p o r q u e s e e s p e c i f i c ó u n d i á m e tr o u n p o c o m a y o r q u e e l d i á m e t r o r e q u e r id o d e 4 7 .1 m m . A c o n tin u a c ió n s e c a lc u l a e l e s f u e r z o m á x im o r e a l e n la f l e c h a . E n p r im e r lu g a r , s e c a lc u l a e l m ó d u lo d e s e c c i ó n p o l a r d e la f l e c h a d e 5 0 m m d e d iá m e tr o .
p
7r O 3
7 í( 5 0 ) 3 m m 3
16
16
2 4 .5 x 10 3 m m 3
L u e g o , e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o e s :
800 N m Zp
2 4 .5 x 10 3 m m 3
103 m m 1m
3 2 .6 N /m m 2 = 3 2 .6 M P a
A hora se dem ostrará, con un ejem plo, que las flechas huecas son m ás eficientes que las sólidas. En este caso el térm ino eficiencia se usa com o una m edida de la m asa del material que se necesita de una flecha para soportar un par de torsión dado con un cierto nivel de esfuerzo cortante. El ejem plo siguiente ilustra el diseño de una flecha hueca con diám etro externo un poco m ás grande que desarrolla el m ism o esfuerzo cortante m áxim o que la flecha sólida de 50 mm de diám etro que se acaba de diseñar. P or consiguiente, la m asa de la flecha hueca es equiparable a la de la flecha sólida.
E je m p lo
5- 8
U n d i s e ñ o a l t e r n o d e la f le c h a d e l e je m p lo 5 - 7 s e r í a u n t u b o h u e c o . S u p o n g a q u e e l tu b o d e 6 0 m m d e d i á m e t r o e x t e r n o e s t á d i s p o n ib le e n e l m i s m o m a te r ia l q u e s e e s p e c i f i c ó p a r a la f le c h a s ó lid a ( A IS 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 ) . C a lc u le e l d i á m e t r o i n te r n o m á x im o q u e el tu b o p u e d e t e n e r p a r a q u e s e p r o d u z c a u n e s f u e r z o e n e l a c e r o ig u a l a l d e la f l e c h a s ó lid a de 50 mm.
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a lc u la r e l d i á m e tr o in te r n o m á x im o p e r m is ib le p a r a la f l e c h a h u e c a .
D ato s
S e g ú n e l e je m p lo 5 - 7 , e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o = rmáx= 3 2 .6 M P a . D 0 = 6 0 m m . P a r d e t o r s ió n a p l i c a d o = T = 8 0 0 N m .
A n álisis
C o m o e l e s f u e r z o c o r t a n t e to r s io n a l e s i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l al m ó d u lo d e s e c c i ó n p o la r , s e r e q u i e r e q u e e l tu b o h u e c o t e n g a e l m is m o v a lo r d e Z p q u e e l d e la f l e c h a s ó lid a d e 5 0 m m d e d i á m e t r o . E s d e c ir , Zp = 2 4 . 5 x 1 0 3m m 3. A h o r a b ie n , ¿ c u á l e s la f ó rm u la p a r a Zp e n e l c a s o d e u n a f le c h a h u e c a ?
n D i - D! 16
D„
S e s a b e q u e e l d i á m e tr o e x t e r n o D 0e s d e 6 0 m m . L a e c u a c i ó n s e r e s u e l v e p a r a e l d i á m e tr o in te r n o q u e s e r e q u i e r e , D¡. H á g a l o a h o r a .
S e cció n 5 - 7
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D is e ñ o d e e le m e n to s c irc u la re s s o m e tid o s a to rs ió n
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5 - 8
C O M P A R A C IÓ N D E E L E M E N T O S C IR C U L A R E S S Ó L ID O S Y H U E C O S
En m uchas situaciones de diseño, la econom ía en el uso de m aterial es un im portante criterio del desem peño de un producto. En aplicaciones aeroespaciales, cualquier reduc ción en la m asa de la aeronave o vehículo espacial increm enta la carga útil. Los autom ó viles consum en m enos com bustible cuando son m ás ligeros. A sim ism o, com o la m ateria prim a se adquiere con base en un precio por unidad de m asa, una pieza ligera casi siem pre cuesta m enos. Para econom izar m aterial en la fabricación de m iem bros de carga se requiere que éstos se som etan a un nivel de esfuerzo próxim o al esfuerzo de diseño seguro. D e esta m anera cada porción del m iem bro soporta una parte de la carga. Para ilustrar este punto se pueden usar los ejem plos 5—7 y 5—8. R ecuérdese que los dos diseños que se ilustran en la figura 5 -7 producen el m ism o esfuerzo cortante torsional en la flecha de acero. El diám etro externo de la flecha hueca es un poco m ás grande, pero el volumen de m etal es lo que determ ina la m asa de la flecha. C onsidérese un segm ento de flecha de 1.0 m de longitud. El volum en de la flecha sólida es igual al área de la sección transversal por la longitud. ttD
1
V, = AL = — — L 4
7t (50 m m )2
X
1.0 m X
1 m" (10 m m )
= 1.96 X 10"’ m 3
La m asa es el volum en por la densidad, p. El apéndice A -1 3 da la densidad del acero com o 7680 kg/m 3. Por lo tanto, la m asa de la flecha sólida es Vs x p.
M, = 1.96
10~3 m 3 X 7680 k g /m 3 = 15.1 kg
X
A hora el volum en de la flecha hueca es:
VH = AL — — (D i - D}) (L) 4
= —
(602 - 4 8 . 4 2) m m 2 X 1.0 m X
1m (10 mm)*
= 0.988 X 10“’ m 3 L a m asa de la flecha hueca es VH x p.
M h = 0.988
X
10~3 m 3 X 7680 k g /m 3 = 7.58 kg
D e este m odo se puede ver que la flecha hueca tiene casi la mitad de la masa de la flecha sólida, aun cuando a am bas se les som etió al m ism o nivel de esfuerzo con un par de torsión dado. ¿P or qué? La razón de que la flecha hueca sea m ás ligera es que la m ay o r parte de su m aterial se som ete a un nivel de esfuerzo m ás elevado que en la flecha sólida. La figura 5 -4 S ección 5 - 8
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C o m p a ra c ió n d e e le m e n to s c ir c u la re s s ó lid o s y h u e c o s
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m uestra la distribución del esfuerzo en la flecha sólida. El esfuerzo m áxim o, 32.6 M Pa, ocurre en la superficie externa. El esfuerzo en tal caso varía linealm ente con el radio en otros puntos de la flecha hasta cero en el centro. Por consiguiente el m aterial cerca de la parte m edia de la flecha, en este caso, no se usa con eficiencia. C om párese lo anterior con la flecha hueca de la figura 5 -6 . A sim ism o, el esfuerzo en la superficie externa es el m áxim o, 32.6 MPa. El esfuerzo en la superficie interna de la flecha hueca se determ ina con la ecuación (5 -6 ).
T — rmá* ~ En la superficie interna, r = R¡ = D /2 = 48.4 m ra/2 = 24.2 mm. A dem ás, c = R0= D J2 = 60 m m /2 = 30 mm. Luego:
t
24.2 = 32.6 M P a— = 26.3 MPa
El esfuerzo en puntos entre las superficies interna y externa varía linealm ente con el radio en cada punto. Por consiguiente, todo el m aterial de la flecha hueca expuesto en la figura 5 -6 está som etido a un esfuerzo bastante elevado pero seguro. E sto ilustra p o r qué la sección hueca requiere m enos m aterial. D esde luego, los datos específicos que exhibe la ilustración anterior no se pueden generalizar a todos los problem as. Sin em bargo, se puede concluir que, en el caso de carga torsional de m iem bros circulares, una sección hueca se puede diseñar de m odo que sea más ligera que una sección sólida, si bien el m aterial de am bas se ve som etido al m ism o esfuerzo cortante torsional m áxim o.
C O N C E N T R A C IO N E S D E E S F U E R Z O E N E L E M E N T O S S O M E T ID O S A T O R S IÓ N
Los miem bros som etidos a torsión, en especial las flechas transm isoras de potencia, con frecuencia se fabrican con cam bios de geom etría en varias posiciones. La figura 5-8
F IG U R A 5 -8
F lech a co n co n ce n trac io n e s de e sfu erzo .
C a p itu lo 5 ■
E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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m uestra un ejem plo. Éste es un segm ento de una flecha en la que se va a m ontar un elem ento transm isor de potencia com o, por ejem plo, un engrane. El diám etro del agujero en la m aza del engrane es tal que perm ite deslizarlo en el extrem o derecho de la flecha donde el diám etro de ésta e s d = 25 mm . En el cuñero se inserta una cuña rectangular y habría un cuñero correspondiente en la m aza del engrane para que se deslice sobre la cuña. El engrane se deslizaría entonces de derecha a izquierda hasta que se detuviera contra el hom bro de la sección 2 por el increm ento en el diám etro de la flecha a D = 40 m m . Para m antener el engrane en posición, se inserta un anillo de sujeción en la ranura de la sección 4. Los cam bios de la sección transversal de un m iem bro som etido a torsión provocan que el esfuerzo local cerca de los cam bios sea m ayor que el que se pronosticó m ediante el uso de la fórm ula para el esfuerzo cortante torsional. El nivel real de esfuerzo en tales casos se determ ina de m anera experim ental. En tal caso se determ ina un fa cto r de concen tración de esfuerzo que perm ita que el esfuerzo m áxim o en diseños sim ilares se calcule con la relación: =
K ,T „ om
= K,(T/ZP)
(5 -2 0 )
El té rm in o r„omes el esfu e rz o n o m in al c a u sa d o p o r la to rsió n q u e se d esarro llaría en las piezas si la concentración de esfuerzo no estuviera presente. Por consiguiente, para calcular el esfuerzo nom inal se usan las fórm ulas para esfuerzo cortante torsional están d ar [ecuaciones (5 -5 ) y (5 -1 6 )]. El valor de K ,e s un facto rp o r el cual el esfuerzo m áxim o real es m ayor que el esfuerzo nominal. Si se recurre de nuevo a la figura 5 -8 , se observa que habría varios niveles de esfuerzo en diferentes lugares a lo largo de la barra, aun cuando el par de torsión que se aplica fuera el m ism o a lo largo de toda ella. Los diám etros diferentes y la presencia de concentraciones de esfuerzo ocasionan los niveles de esfuerzo variables. El esfuerzo en la sección 1, donde D = 40 m m , sería relativam ente bajo, p o r la presencia de un diám etro grande y un m ódulo de sección polar que, en correspondencia, sería tam bién grande. En la sección 2, el diám etro de la flecha se reduce a d = 25 m m y el escalón produce una concentración de esfuerzo que tiende a elevar el nivel de esfuerzo local. P o r esta razón, el cuñero en la sección 3 produce una concentración de esfuerzo diferente. En la sección 4 concurren dos factores im portantes que tienden a increm entar el esfuerzo local. El corte de la ranura para anillo reduce el diám etro a. dg = 16 m m y tam bién produce dos escalones m uy cercanos entre sí con radios de redondez un tanto pequeños en el fondo de la ranura. En la sección 5, lejos de la ranura, el esfuerzo sería igual al esfuerzo nom inal en la flecha de 25 m m de diám etro. El ejem plo 5 -1 0 ilustra todas estas situaciones m ediante cálculos reales de los esfuerzos en las cinco secciones de la flecha. Prim ero, se analizará m ás a fondo la naturaleza de los factores de concentración de esfuerzo. La lista siguiente de gráficas de apéndices da datos sobre varios casos repre sentativos. A péndice A - 2 1-5 : Barra redonda con un agujero transversa] som etida a torsión A péndice A - 2 1-6: Barra redonda ranurada som etida a torsión A péndice A - 2 1-7: Barra redonda escalonada som etida a torsión A péndice A - 2 1-11: Flechas con cuñeros (véase tam bién la figura 5 -9 ) B a rra r e d o n d a c o n u n a g u je ro tr a n s v e r s a l. El objeto de perforar un agujero en una flecha es insertar un pasador a través del agujero y a través del agujero correspondien te en la maza de un elem ento de m áquina tal com o un engrane, polea o rueda dentada para S ección 5 - 9
■ C o n c e n tra c io n e s d e e s fu e rz o e n e le m e n to s s o m e tid o s a to r s ió n
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cadena. El pasador sirve para situar el elem ento de m áquina axialm ente en la flecha al m ism o tiem po que tam bién transm ite el par de torsión de la flecha al elem ento o de éste a la flecha. El agujero en la flecha es un cam bio repentino de geom etría y causa una concen tración de esfuerzo. El apéndice A - 2 1-5 es una gráfica de este caso con la que se puede determ inar K,. La curva C corresponde al caso de flechas som etidas a torsión. N ótese que la fórm ula para el esfuerzo nom inal en la flecha se basa en toda la sección transversal circular bruta de la flecha.
B a rra re d o n d a ra n u ra d a . Las ranuras de fondo redondeado se cortan en las barras redondas con el objeto de instalar sellos o para distribuir aceite lubricante alrededor de una flecha. El factor de concentración de esfuerzo depende de la relación del diám etro de la flecha al diám etro de la ranura y de la relación del radio de la ranura al diám etro de la m ism a. La ranura se corta con una herram ienta de boca redondeada que produce la ranura de fondo redondeado. El radio ha de ser tan grande com o sea posible p ara reducir al m ínim o el factor de concentración de esfuerzo. N ótese que el esfuerzo nom inal se basa en el diám etro en la base de la ranura. V éase el apéndice A - 2 1-6.
B a r r a r e d o n d a e s c a lo n a d a . Las flechas con frecuencia se fabrican con dos o más diám etros, lo que da por resultado una flecha escalonada com o la que se m uestra en el apéndice A - 2 1-7. La cara del escalón sirve para localizar un lado de un elem ento que se m onta en la flecha, tal com o un cojinete, engrane, polea o una rueda dentada para cadena. Se debe tener cuidado al definir el radio de la base del escalón, llam ado radio de redon deo. D eben evitarse los vértices puntiagudos, porque provocan factores de concentración d e esfuerzo m uy elevados. El radio ha de ser tan grande com o sea p osible y al m ism o tiem po com patible con los elem entos m ontados en la flecha. Los anillos de retención que se asientan en las ranuras cortadas en la flecha, a m enudo se usan para localizar elem entos de m áquina, com o se m uestra en la figura 5 -8 . Las ranuras p o r lo general son de fondo plano con radios pequeños en los costados. A lgunos diseñadores tratan a tales ranuras com o si fueran dos escalones m u y ju n to s en la flecha y utilizan la gráfica de flechas escalonadas (apéndice A -2 1 - 7 ) p ara determ inar el factor de concentración de esfuerzo. Por el radio pequeño en la base de la ranura, el radio relativo con frecuencia es bastante pequeño, lo cual resulta en que se tom en valores elevados de K, de la gráfica. En tales casos, suele usarse un valor de K, = 3.0.
F le c h a s c o n c u ñ e r o s . Los elem entos transm isores de potencia por lo general trans m iten un par de torsión hacia y desde las flechas por m edio de cuñas que se insertan en cuñeros en la flecha, com o se m uestra en la figura 5 -9 . La polea de banda en V m ontada en el extrem o de la flecha m otriz constituye un ejem plo. D os tipos de cuñeros son los de uso m ás frecuente: los cuñeros de extremo y los de perfil. Para cortar el cuñero de extrem o, por lo general en el extrem o de una flecha, se usa una fresa circular de espesor igual al ancho del cuñero, com o se m uestra en la figura 5 -9 (b ). Al final del corte, la fresa deja un radio pequeño, com o se ilustra en la vista lateral, q u e d a d , = 1.6 com o valor de diseño. Un cuñero de perfil se corta con una fresadora escariadora de diám etro igual al ancho del cuñero. Cortado, por lo general, en un lugar distante a los extrem os de la flecha, deja esquinas interiores a escuadra en los extrem os del cuñero visto de lado, com o se m uestra en la figura 5 -9(c). Éste es m ás severo que el cuñero de extrem o y se usa un valor de K ,= 2.0. N ótese que los factores de concentración de esfuerzo tienen en cuenta tanto la rem oción de m aterial de la flecha com o el cam bio de geom etría. S e c ció n 5 - 9
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A h o r a y a s e p u e d e c a l c u l a r e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o .
^rnax — C o m e n ta rio s
E je m p lo 5 -1 0
( 1 .5 5 X 4 5 0 0 Ib p lg ) • = 18 0 .3 8 3 p lg 3
K ,T
200
psi
N ó t e s e q u e e l e s f u e r z o e n la r a n u r a e s s u s t a n c i a l m e n t e m á s e l e v a d o q u e e n la p a r t e d e l d iá m e t r o m á x im o d e la f l e c h a . A d e m á s , e l u s o d e l f a c t o r d e c o n c e n t r a c i ó n d e e s f u e r z o e s e s e n c i a l p a r a p r e d e c i r e l n iv e l d e e s f u e r z o m á x im o r e a l e n la r a n u r a .
L a f ig u r a 5 - 8 m u e s t r a u n s e g m e n t o d e u n a f le c h a d o n d e s e v a a m o n t a r u n e n g r a n e s o b r e e l c u ñ e r o d e la s e c c i ó n 3 . S e a p o y a r á c o n t r a e l h o m b r o d e la s e c c i ó n 2 y s e m a n t e n d r á e n p o s ic ió n c o n u n a n illo d e r e t e n c i ó n q u e s e i n s e r t a e n la r a n u r a d e la s e c c i ó n 4 . S e a p lic a u n p a r d e t o r s ió n c íc lic o d e 2 0 N m a lo la r g o d e la f l e c h a . C a lc u le e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o e n l a s s e c c i o n e s 1 , 2 , 3 , 4 y 5 d e la f l e c h a . E n s e g u i d a e s p e c i f i q u e u n a c e r o i d ó n e o p a r a la f a b r ic a c ió n d e la fle c h a .
S o lu ció n
O b je tiv o
1 . C a lc u la r lo s e s f u e r z o s e n l a s s e c c i o n e s 1 , 2 , 3 , 4 y 5 . 2. E s p e c i f i c a r u n a c e r o c o n v e n i e n t e p a r a la f le c h a .
D ato s
A n á lis is
L a g e o m e t r í a d e la f l e c h a q u e s e ilu s tr a e n la fig u ra 5 - 8 . T = 2 0 N m , c íc lic o . El e s f u e r z o e n c a d a u n a d e l a s s e c c i o n e s s e a n a l i z a r á a p a r t e e n c a d a s e c c i ó n s e p a r a d a p o r u n a lín e a h o r iz o n ta l a t r a v é s d e la p á g i n a . R e c o m e n d a m o s a l le c to r r e a l i z a r lo s c á l c u l o s q u e s e s e ñ a l a n a n t e s d e c o n s u l t a r lo s r e s u l t a d o s q u e s e p r o p o r c i o n a n . E n c a d a c a s o , e l a n á l i s i s r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la e c u a c i ó n ( 5 - 2 0 ) . ^"m áx “
K iT IZ p
S e c o n s i d e r a r á q u e e l p a r d e t o r s ió n s i e m p r e e s d e 20 N m . S e d e b e e v a l u a r e l f a c t o r d e c o n c e n t r a c i ó n d e e s f u e r z o y e l m ó d u lo d e s e c c i ó n p o l a r q u e c o n v e n g a a c a d a s e c c i ó n . N ó t e s e q u e K , = 1 .0 d o n d e la g e o m e tr ía n o c a m b i a . A h o r a c a l c u l e e l e s f u e r z o e n la s e c c i ó n 1.
S e c c ió n 1. L a g e o m e t r í a n o c a m b i a , a s í q u e K , = 1 .0. El d iá m e t r o d e la f l e c h a e s D = 40 m m . E n to n c e s :
7r D 3
rr(4 0 m m )3
16
16
20 N m 12 5 7 0 m m 3
« 12 5 7 0 m m 3
10 m m , „ N x ----------- --- 1 .5 9 = 1 .5 9 M P a m mrrr
A h o r a c a l c u l e e l e s f u e r z o e n la s e c c i ó n 2 .
S e c c ió n 2. L a f le c h a e s c a l o n a d a y e l r e d o n d e o d e l h o m b r o p r o d u c e n u n a c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rz o q u e s e d e b e e v a lu a r c o n el a p é n d ic e A - 2 1 - 7 . El m ó d u lo d e s e c c i ó n p o l a r d e b e b a s a r s e e n e l d i á m e t r o m e n o r; d = 2 5 m m . L o s r e s u l t a d o s s o n : 20 N m
1
ttc /7 1 6
103 m m
[tt(2 5 )3/1 6 ] m m 3
= 6 .5 2 N /m m 2 = 6 .5 2 M P a Sección 5 - 9
■
C o n c e n tra c io n e s d e e s fu e r z o e n e le m e n to s s o m e tid o s a to rs ió n
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R e s u m e n d e lo s r e s u lta d o s
E x is te u n a a m p lia v a r i e d a d d e n i v e l e s d e e s f u e r z o c e r c a d e l lu g a r e n la f le c h a d o n d e s e v a a m o n t a r e l e n g r a n e .
t, = 1 .5 9 M P a t
¡
=
9 .4 5 M P a
r 3 = 1 3 .0 4 M P a t , = 7 4 .7 M P a = 6 .5 2 M P a
D = 4 0 m m . K , = 1.0.
d = 2 5 m m . K , = 1 .4 5 . E s c a l ó n o r e s a l t o . d = 2 5 m m . K , = 2 .0 . C u ñ e r o . d g = 16 m m . K , = 3 .0 . R a n u r a p a r a a n illo . d = 2 5 m m . K , = 1.0.
L a e s p e c i f i c a c i ó n d e u n m a te r ia l a d e c u a d o s e d e b e b a s a r e n e l e s f u e r z o q u e a p a r e c e c o n s i g n a d o e n la s e c c i ó n 4 d o n d e s e lo c a liz a la r a n u r a p a r a a n illo . C o n s i d e r e q u e e l d i s e ñ o p o r e s f u e r z o Td s e a ig u a l a e s e n iv e l d e e s f u e r z o y d e t e r m i n e la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a r e q u e r i d a d e l m a te r ia l. S e d e b e o b t e n e r u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a r e q u e r i d a d e s y = 5 9 8 M P a . P a r a e l p a r d e t o r s ió n c íc lic o , e n la t a b l a 5 - 1 s e r e c o m i e n d a A/ = 4 , c o n lo q u e s e o b t i e n e : Ttf = S y / 2 N = S y / 8 L u e g o , si s e r e s u e l v e p a r a s r s e o b t i e n e :
sy -
8(t„ )
= 8 ( 7 4 .7 M P a ) = 5 9 8 M P a
A h o r a e s p e c i f i q u e u n m a te r ia l c o n v e n i e n t e . S e g ú n e l a p é n d i c e A - 1 3 , d o s a c e r o s q u e c o n v i e n e n p a r a e s t e r e q u is ito s o n A IS I 1 0 4 0 W Q T 9 0 0 y A IS I 4 1 4 0 O Q T 1 3 0 0 . A m b o s t i e n e n u n a r e s i s t e n c i a b u e n a y u n a a l t a d u c tilid a d d e a c u e r d o c o n s u p o r c e n t a j e d e a l a r g a m i e n t o . S in d u d a , s e p o d r í a n u s a r o t r a s a l e a c i o n e s y t r a t a m i e n t o s t é r m ic o s . C o m e n t a r io
5 -1 0
R e v i s e lo s r e s u l t a d o s d e e s t e e je m p l o , e l c u a l ilu s tr a la i m p o r t a n c ia d e c o n s i d e r a r lo s d e t a l l e s d e l d i s e ñ o d e u n a f l e c h a e n c u a l q u i e r á r e a lo c a l d o n d e p u d i e r a n o c u r r ir c o n c e n t r a c i o n e s d e e s f u e r z o s .
T O R S IÓ N - D E F O R M A C IÓ N T O R S IO N A L E L Á S T IC A
La rigidez adem ás de la resistencia es una im portante consideración de diseño de m iem bros sujetos a torsión. La m edida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segm ento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión. En aplicaciones de transm isión de potencia m ecánica, la excesiva torsión de una flecha pued e p ro v o car p ro b lem as de v ib ració n que, a su vez, p u ed en p ro v o car ru id o y una sincronización im propia de las piezas m óviles. U na indicación por lo que se refiere a rigidez torsional tiene que ver con el grado de precisión que se desea, com o se indica en la tabla 5 -2 (véanse las referencias 1 y 3). En el diseño estructural, los m iem bros de carga en ocasiones se som eten a torsión así com o tam bién a tensión o flexión. La rigidez de una estructura depende entonces de la rigidez torsional de sus com ponentes. C ualquier carga aplicada fuera del eje de un m iem bro y transversal al m ism o producirá torsión. Esta sección analizará la torsión de miemS e c c ió n 5 - 1 0 ■
T o rs ió n -d e fo rm a c ió n to r s io n a l e lá s tic a
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T A B L A 5 -2
R ig id eces to rsio n ales reco m en d ad as: á n g iü o de to rsió n p o r unid ad d e longitud. D eflex ió n to rsio n al rad/m
g rad o s/p lg
A p licació n
1 x lO -3 a 1 x 1(T2 2 x l( r 5 a 4 x l< r4 1 x 10-6 a 2 x 10-5
Pieza d e m áq u in a en general P recisió n m od erad a A lta p recisió n
6.9 x MT4 a 6.9 x 1(TJ 1.4 x l O - 5 a 2 .7 X 1 0 - 4 6.9 x 10"7 a 1.4 x 10-5
bros circulares, tanto sólidos com o huecos. Los perfiles no circulares se estudiaran mas adelante Es muy importante señalar que el com portam iento de un perfil abierto tal como un canal o ángulo es muy diferente del de un perfil cerrado tal com o un tubo circular o rectangular. En general, los perfiles abiertos tienen una rigidez torsional muy baja. Com o una ayuda en el desarrollo de la relación para calcular el ángulo de torsion de un m iem bro circular, considérese la flecha que ilustra la figura 5 -3 . U no de sus extrem os se m antiene fijo m ientras se aplica un par de torsión T al otro. En estas condiciones la flecha se torcerá entre los dos extrem os a través de un ángulo 6. La derivación de la fórmula para el ángulo de torsión depende de algunas suposi ciones básicas con respecto al com portam iento de un m iem bro circular que se som ete a torsión. Conform e se aplica el par de torsión, un elem ento a lo largo de la superficie externa del m iem bro, inicialm ente recto, gira un pequeño ángulo y (gam m a). Asimismo, un radio del m iem bro en una sección transversal gira en un pequeño ángulo 0. En la figura 5 -3 las rotaciones y y O guardan relación con la longitud del arco AB en la superficie de la barra. Por la geom etría, para ángulos pequeños, la longitud del arco es el producto del ángulo en radianes y el radio m edido a partir del centro de rotación. P o r consiguiente, la longitud del arco AB puede expresarse como:
AB = yL
AB = 0c en donde c es el radio externo de la barra. Estas dos expresiones para la longitud del arco
AB pueden igualarse entre sí: yL = 0c Si se resuelve para y , se obtiene:
0c
y“
(5 -2 1 )
El ángulo y mide la deform ación por cortante m áxim a en un elem ento de la super ficie extem a de la barra. En el capítulo 1 se vio que la deform ación por cortante y, se relaciona con el esfuerzo cortante, r, por el m ódulo de elasticidad a cortante, G. Esa re lación se expresó com o la ecuación (1-7): T
G -----
(1 -7 )
y
C a p ítu lo 5 ■
E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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En la superficie extem a, por consiguiente: t
= Gy
Pero la fórm ula para el esfuerzo cortante torsional [ecuación (5 -1 1 )] establece:
7
=
— J
Al igualar estas dos expresiones para y, se obtiene:
A hora, al sustituirse la ecuación (5 -2 1 ) por y, se obtiene:
GOc Te L ~ J A hora se puede elim inar c y resolver para 6:
El ángulo de torsión resultante, 0, está en radianes. C uando en el cálculo se utilizan unida des com patibles para todos los térm inos, todas las unidades se elim inan y queda un núm e ro adim ensional. Éste, puede interpretarse com o el ángulo, 0, en radianes. La ecuación (5 -2 2 ) puede usarse para calcular el ángulo de torsión de una sección de una barra circular, ya sea sólida o hueca, con respecto a otra donde L es la distancia en tre ellas, siem p re que el p ar de torsión T, el m o m en to p o lar de in ercia, y, y el m ódulo de elasticidad a cortante, G, sean los m ism os a lo largo de L. Si alguno de estos factores varía en un problem a dado, la barra puede subdividirse en segm entos donde sean cons tantes para calcular ángulos de rotación de tales segm entos. L uego los ángulos que se calcularon se pueden com binar algebraicam ente para obtener el ángulo total de torsión. Este principio, llam ado superposición , se ilustrará por m edio de ejem plos. El m ódulo de elasticidad a cortante, G, m ide la rigidez torsional del m aterial de la barra. La tabla 5 -3 da valores de G para m ateriales que se seleccionaron.
T A B LA 5 -3
M ó d u lo d e e la stic id a d a c o rta n te , G. M ó d u lo a c o rta n te , G
M aterial A c ero s al c arb ó n y a le a c io n e s c o m u n es A cero in o x id ab le tip o 3 04 A lu m in io 6 0 6 1 -T 6 C o b re a l b e rilio M ag n e sio A leació n de titan io
S ección 5 - 1 0 ■
T o r s ió n -d e fo rm a c ió n to r s io n a l e lá s tic a
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G Pa 80 69 26 48 17 43
psi 11.5 10.0 3.75 7 .0 2.4 6 .2
X X X X X X
10" 10“ 10“ 10“ 106 10“
163
E je m p lo
5_ 11
D e t e r m i n e e l á n g u l o d e t o r s ió n e n g r a d o s e n t r e d o s s e c c i o n e s c o n u n a s e p a r a c i ó n d e 2 5 0 m m e n u n a v a rilla d e a c e r o d e 10 m m d e d i á m e t r o c u a n d o s e a p l i c a u n p a r d e to r s ió n d e 1 5 N m . L a fig u r a 5 - 3 ¡lu s tr a la d i s p o s i c i ó n d e la f le c h a .
S o lu c ió n
O b je tiv o D a to s
C a lc u la r e l á n g u l o d e to r s ió n e n g r a d o s . P a r d e t o r s ió n a p l i c a d o = T = 1 5 N m . B a r r a c ir c u la r: d i á m e t r o = D = 1 0 m m . L o n g itu d = L = 2 5 0 m m .
A n á lis is
S e p u e d e u s a r la e c u a c i ó n ( 5 - 2 2 ) . C a lc u le J = 710*132. G = 80 G P a = 80
R e s u lta d o s
. -
x 1 0 9 N /m 2 ( ta b la 5 - 3 ) .
i
JG
E l v a lo r d e J e s :
*0* = « 1 0 m m f = 982 mm4 32
32
L uego:
g = JL = JG
( 10 3 m m )3
(1 5 N m ) (2 5 0 m m ) ( 9 8 2 m m 4) (8 0
= 0 .0 4 8 ra d
1 m3
x 1 0 9 N /m 2)
O b s e r v e q u e t o d a s l a s u n i d a d e s s e e lim in a n , y s i e l á n g u l o s e e x p r e s a e n g r a d o s s e o b tie n e :
6 = 0 .0 4 8 ra d x
E je m p lo
5 -1 2
S o lu c ió n
180 g ra d o s
= 2 .7 3 g r a d o s
tt ra d
D e t e r m i n e e l d iá m e t r o c o n v e n i e n t e d e u n a f le c h a r e d o n d a d e a l e a c i ó n d e a lu m in io 6 0 6 1 - T 6 s i n o s e d e b e t o r c e r m á s d e 0 .0 8 g r a d o s e n 1 .0 p ie d e lo n g itu d c u a n d o s e e a p l i c a u n p a r d e t o r s ió n d e 7 5 I b p l g . O b je tiv o D a to s
A n á lis is
C a lc u la r e l d iá m e t r o n e c e s a r i o , D , d e la f l e c h a r e d o n d a . P a r d e t o r s i ó n q u e s e a p l i c a = 7 = 7 5 Ib p lg . L o n g it u d = L = 1 .0 p i e s = 1 2 p lg . Á n g u lo m á x im o d e t o r s ió n = 0 .0 8 g r a d o s . A lu m in io 6 0 6 1 - T 6 . L a e c u a c i ó n ( 5 - 2 2 ) p u e d e r e s o l v e r s e p a r a J p o r q u e J e s la ú n i c a e x p r e s i ó n q u e in c lu y e e l d iá m e t r o d e s c o n o c i d o , D . L u e g o , d e s p e j e D d e la e x p r e s i ó n J = « 0 V 3 2 . G = 3 .7 5
R e s u lt a d o s
x 1 0 6p s i ( t a b l a 5 - 3 ) .
TL 9 = — JG
J =±
eG
E l á n g u l o d e t o r s ió n d e b e e x p r e s a r s e e n r a d i a n e s .
n ra d 9 = 0 .0 8 g r a d o s x
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C a p itu lo 5 ■
E s f u e r z o
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= 0 .0 0 1 4 ra d
180 g rad o s c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n to rs io n a l
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El p r im e r p a s o e s c a l c u l a r la m a g n itu d y d ir e c c ió n d e lo s p a r e s d e t o r s ió n q u e s e a p l i c a n a c a d a d i s c o , B , C y D. H á g a l o a h o r a . R e c u e r d e la d e f in ic ió n d e p a r d e t o r s ió n d e la e c u a c i ó n ( 5 - 1 ) . _______________________ P o r lo q u e s e r e f ie r e a la s d i r e c c i o n e s , s e s u p o n d r á u n p u n t o d e v i s t a a lo l a r g o d e la v a rilla a p a r tir d e l e x t r e m o d e r e c h o . L a m a g n itu d d e l p a r d e t o r s ió n e n c a d a u n o d e lo s d i s c o s e s e l p r o d u c t o d e la f u e r z a q u e a c t ú a e n s u p e r ife r ia p o r s u r a d io . P o r c o n s i g u ie n te , s i s e c o n s i d e r a e l s e n t id o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j c o m o p o s itiv o : P a r d e t o r s ió n e n d i s c o B , e n e l s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l relo j: 7 fl = ( 1 0 0 N ) (1 5 0 m m ) = 1 5 0 0 0 N m m = 1 5 N m P a r d e t o r s ió n e n e l d i s c o C , e n e l s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l reloj:
Tc = - ( 2 5 0 N ) (1 5 0 m m ) = - 3 7 5 0 0 N •m m = - 3 7 . 5 N m P a r d e t o r s ió n e n e l d i s c o O , e n e l s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l relo j
T0 = - ( 5 0 N ) (1 5 0 m m ) =
-7500
N m m = - 7 . 5 N •m
A h o r a d e t e r m i n e e l p a r d e to r s ió n e n c a d a s e g m e n t o d e la v a rilla . S e d e b e t r a z a r u n d i a g r a m a d e c u e r p o lib re d e c a d a u n o d e lo s s e g m e n t o s d e la v a rilla e n t r e lo s e x t r e m o s d e c a d a s e g m e n t o “c o r t a n d o " la v a rilla y c a l c u l a n d o la m a g n i t u d d e l p a r d e t o r s i ó n q u e s e a p l i c ó a la v a r i l la a la d e r e c h a d e l c o r te . El p a r d e t o r s ió n i n te r n o e n la v a rilla d e b e s e r d e la m is m a m a g n itu d y d e d ir e c c ió n o p u e s t a a l p a r d e t o r s i ó n e x t e r n o a p li c a d o p a r a q u e s e m a n t e n g a e l e q u ilib rio . S e s u g ie re q u e c o m ie n c e e n el e x tre m o d e r e c h o A. L a c h u m a c e r a p e r m ite la lib re r o ta c ió n d e la v a rilla e n d ic h o e x t r e m o . E n s e g u i d a , m u é v a s e a la iz q u ie r d a y c a l c u l e e l p a r d e t o r s i ó n e n lo s s e g m e n t o s A B , BC ,
C D y D E . ¿ C u á l e s e l p a r d e to r s i ó n e n e l s e g m e n t o A B ? _______________ E n e l s e g m e n t o A B , h a s t a B, p e r o s in q u e s e in c lu y a e l d i s c o B, e l p a r d e to r s ió n e s c e r o p o r q u e la c h u m a c e r a p e r m ite la lib re r o ta c ió n . A h o r a , c o n s i d e r e e l p a r d e t o r s ió n a p l i c a d o p o r e l d i s c o B y d e t e r m i n e e l p a r d e t o r s ió n e n e l s e g m e n t o BC. ____________________________________________ S i s e c o r t a la v a rilla e n u n p u n t o c u a l q u i e r a a la d e r e c h a d e C e n el s e g m e n t o B C s e te n d r í a u n p a r d e to r s ió n e x t e r n o d e 1 5 N m e n e l s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j, d e b i d o a l p a r d e t o r s ió n d e l d i s c o B. P o r c o n s i g u ie n te , e l p a r d e t o r s ió n a lo la r g o d e l s e g m e n t o B C e s .
Tbc = 1 5 N m ( s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j) S e c o n s i d e r a r á q u e e s t e p a r d e t o r s ió n a c t ú a e n e l s e n t i d o d e l a s m a n e c illa s d e l re lo j y q u e e s p o s itiv o p o r q u e t i e n d e a g ir a r la v a r illa e n e l s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j. A h o r a d e te r m in e el p a r d e to r s ió n e n el s e g m e n t o C D , lla m a d o TCp ■ S i s e c o r ta la v a rilla e n u n p u n t o c u a l q u i e r a e n t r e C y D s e t e n d r í a ta n t o 7 c c o m o Td a c t u a n d o e n la v a rilla a la d e r e c h a d e l c o r t e . P e r o a c t ú a n e n s e n t i d o o p u e s t o , u n o e n e l s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j y e l o tr o e n e l s e n t id o c o n tr a r io a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j. A s í e l p a r d e to r s ió n n e t o a p l i c a d o a la v a rilla e s la d i f e r e n c ia e n t r e e llo s . E s d e c ir :
7c0 = - r c + r s = - 37 . 5 N m + 1 5 N m = - 2 2 . 5 N m
( e n e l s e n tid o
c o n tr a r io a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j) A h o r a c o n t i n ú e e s t e p r o c e s o p a r a e l s e g m e n t o fin a l, D E. _______________
C a p ítu lo s ■
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P o r c o n s ig u ie n te :
C a p ítu lo 5 ■
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En la figura 5 -1 7 se m uestra una interesante ilustración de la escasa rigidez de los perfiles abiertos esbeltos. La placa delgada (a), el ángulo (b) y el canal (c) tienen el mismo espesor y área de sección transversal y casi la m ism a rigidez torsional. A sim ism o, si con la placa esbelta va a formarse un perfil circular (d) con una abertura, su rigidez seguiría baja. Sin em bargo, si va a cerrarse por com pleto com o en la figura 5 - 1 6(a) soldándolo o estirándolo com o los tubos sin costura se tendría un elem ento un tanto rígido. La com prensión de estas com paraciones sirve para seleccionar un perfil conveniente para ele m entos sujetos a torsión. La figura 5 -1 8 m uestra siete casos de secciones transversales no circulares de uso com ún en el diseño de m áquinas y en análisis estructural. El cálculo del esfuerzo cortante m áxim o y el ángulo de torsión se puede llevar m odificando un poco la fórm ula que se utiliza para secciones transversales circulares dadas aquí.
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E je m p lo
5- 14
C o n u n a lá m in a d e a c e r o d e 4 . 0 0 m m d e e s p e s o r s e f o r m a u n p e rfil c i r c u la r d e 9 0 m m d e d iá m e t r o e x t e r n o . El p a s o fin al e s s o l d a r la c o s t u r a a lo la r g o d e l tu b o . L a s f ig u r a s 5 . 1 7 ( a ), 5 - 1 7 ( d ) y 5 - 1 6 ( a ) ilu s tr a n l a s e t a p a s d e l p r o c e s o . R e a l ic e lo s c á l c u l o s s i g u i e n t e s p a r a c o m p a r a r e l c o m p o r t a m ie n t o d e l t u b o s o l d a d o u n a v e z c e r r a d o c o n e l d e u n t u b o a b ie r to .
(a) C a lc u le e l p a r d e t o r s ió n q u e p r o d u c ir ía u n e s f u e r z o d e 1 0 M P a e n e l tu b o c e r r a d o so ld a d o .
(b) C a lc u le e l á n g u l o d e t o r s ió n d e u n s e g m e n t o d e 1 .0 m d e lo n g itu d d e l tu b o c e r r a d o c o n e l p a r d e t o r s ió n d e s c r i t o e n e l in c is o (a ). (c) C a lc u le e l e s f u e r z o e n e l tu b o a b i e r t o c o n e l p a r d e t o r s ió n d e s c r i t o e n el in c is o (a ).
(d) C a lc u le e l á n g u l o d e t o r s ió n d e u n s e g m e n t o d e 1 .0 m d e lo n g itu d d e l tu b o a b i e r t o c o n el p a r d e t o r s ió n q u e s e d e t e r m i n a e n e l in c is o (a ). (e) C o m p a r e e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n d e l tu b o a b i e r t o c o n lo s d e l t u b o c e r r a d o . S o lu c ió n
L a s o lu c ió n s e re a liz a rá s i s e s ig u e u n fo rm a to p ro g ra m a d o e n c a d a u n a d e s u s p a rle s , (a )-(e ), d a d a s c o m o s e c c io n e s s e p a ra d a s . C a d a p a rte d e la s o lu c ió n p u e d e a b o rd a rs e c o m o u n p ro b le m a d ife re n te c o n la s s e c c io n e s O b je tiv o , D a to s , A n á lis is y R es ultad os . C o m p l e t e e l in c is o (a ) a h o r a .
O b je tiv o
C a lc u la r e l p a r d e t o r s ió n e n e l tu b o c e r r a d o q u e p r o d u c ir ía u n e s f u e r z o c o r t a n t e to r s io n a l d e 1 0 M P a .
D ato s
E l t u b o e s d e a c e r o . D0 = 9 0 m m . E s p e s o r d e p a r e d = t = 4 .0 m m .
D, = D 0- 2 t = 9 0 A ná lis is
m m - 2 (4 .0 m m ) = 82 m m .
U s e la e c u a c i ó n 5 - 1 1 p a r a e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o y r e s u é l v a l a p a r a T.
Te
R e s u ltad o s
(5 -1 1 )
L uego:
J s e c a l c u l a c o n la e c u a c i ó n ( 5 - 1 3 ) :
J - £ W - V )
( 5 -1 3 )
C o n D „ = 9 0 m m = 0 .0 9 m y D, = 8 2 m m = 0 . 0 8 2 m :
J = — (0 .0 9 4 - 0 .0 8 2 4) m 4 = 2 .0 0 x 10 32
6m4
A h o r a , s e a r máx= 1 0 M P a = 1 0 x 1 0 6 N /m 2, p o r c o n s i g u ie n te :
r m4x J
(10
x 10 6 N /m 2) (2 .0 0 x 10 6 m 4) 0 .0 4 5 m
c
172
C a p ítu lo 5 ■
= 444 N m
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L u e g o la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a q u e s e r e q u i e r e d e l m a t e r i a l p a r a q u e s e a s e g u r o a u n e s f u e r z o d e 3 1 1 M P a y u n f a c t o r d e d i s e ñ o d e 2 .0 e s :
N ra
2(311 M P a)
05
0 .5
1244 M Pa
S ó lo u n o s c u a n t o s d e lo s a c e r o s t é r m i c a m e n t e t r a t a d o s q u e a p a r e c e n e n e l a p é n d i c e A - 1 3 t i e n e n e s t e v a lo r d e r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a .
B IB L IO G R A F IA
1. B lod gett, O .W .,
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2. B oresi, A . P ., O . M . S id e b o tto m , F. B. S e e ly , and J O . S m ith ,
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P R O B L E M A S
5-l.M
Calcule el esfuerzo cortante torsional que se produciría en una flecha circular sólida de 20 mm de diámetro cuando se somete a un par de torsión de280N m .
5-2.M
Calcule el esfuerzo cortante torsional en una fle cha hueca de 35 mm de diámetro externo y 25 mm de diámetro interno, cuando se somete a un par de torsión de 560 N m.
5.3.1
Calcule el esfuerzo cortante torsional en una fiecha cuyo diámetro es de 1.25 plg cuando transmi te un par de torsión de 1550 Ib •plg.
5-4.1
Un tubo de acero se usa como flecha para transmi tir 5500 lb p lg de par de torsión. Su diámetro ex temo es de 1.75 plg y su espesor de pared de 1/8 plg. Calcule el esfuerzo cortante torsional en las superficies extema e interna del tubo.
5-5.M
5-6.M
El mecanismo impulsor de un proyector de cine funciona por un motor de 0.08 kW cuyo eje gira a 180 rad/s. Calcule el esfuerzo cortante torsional en su eje de 3.0 mm de diámetro. Las aspas de una batidora giran a 42 rad/s y requie ren 35 kW de potencia. Calculeel esfuerzo cortan te torsional en el eje que las impulsa suponiendo que esté hueco, y cuyos diámetros extemo e inter no son de 40 mm y 25 mm, respectivamente.
5-7.1
La flecha motriz de una fresadora transmite 15.0 hp a una velocidad de 240 rpm. Calcule el esfuer zo cortante torsional en la flecha si es sólida y de 1.44 plg de diámetro. ¿Sería segura la flecha si el par de torsión se aplica con golpe y si está hecha de acero AISI4140 OQT 1300?
5-8.1
Repita el problema 5-7 suponiendo que la flecha contiene un cuñero de perfil.
5-9.1
La figura 5-19 muestra el extremo de la flecha vertical de una podadora de pasto rotatoria. Cal cule el esfuerzo cortante torsional máximo en la flecha si tiene que transmitir 7.5 hp a las cuchillas cuando gira a 2200 rpm. Especifique un acero adecuado para la flecha.
5-10.1
La figura 5-20 muestra una flecha escalonada so metida a torsión. La sección de mayor diámetro tiene un agujero que la atraviesa de lado a lado. (a )
Calcule el esfuerzo cortante máximo en el es calón cuando se le aplica un momento de tor sión de 7500 lbplg.
(b )
Determine el agujero de mayor diámetro que se podría perforar en la flecha de modo que con tinúe con el esfuerzo cerca del agujero a un valor igual o menor que el que se produce en el escalón. 175
P rob lem as
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le el esfuerzo cortante torsional en el eje sólido de 0.860 plg de diámetro. 5-15.1
La flecha de entrada del mando de engranes des crita en el problema 5-14 también transmite 7.5 hp, sólo que ahora gira a 1140 rpm. Determine el diámetro que se necesita en la flecha de entrada para que soporte el mismo esfuerzo que la fle cha de salida.
5-16.1
Determine el esfuerzo que se produciría en una 1/2 plg en un tubo de acero cédula 40 cuando un plomero aplica una fuerza de 80 Ib en el extremo de una llave de tuercas de 18 plg de largo.
5-17.1
Un anuncio giratorio completa 1 revolución cada 5 segundos. Cuando el viento sopla con fuerza, se requiere un par de torsión de 30 lb pie para mantener la velocidad de rotación. Calcule la fuerza que se requiere para impulsar el anuncio. Calcule también el esfuerzo en la flecha motriz final si su diámetro es de 0.60 plg. Especifique un acero adecuado para la flecha para estipular un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia a cortante.
5-18.M
Se suelda una barra cilindrica corta en un extremo de una placa rígida, y en seguida se aplica una par de torsión en el otro. Si la barra tiene un diámetro de 15 mm y es de acero AIS11020 estirado en frío, calcule el par de torsión que se le debe aplicar para someterla a un esfuerzo igual a su resistencia a la cedencia a cortante. Use sv¡ = sy/2.
5-19.1
Una flecha propulsora de hélice en un barco debe transmitir 2500 hp a 75 rpm. Se tiene que fabricar de acero A1SI 1040 WQT 1300. Use un factor de diseño de 6 que se base en la resistencia a la ceden cia a cortante. La flecha tiene que ser hueca, con su diámetro interno igual a 0.80 veces su diáme tro externo. Determine el diámetro requerido de la flecha. Si la flecha propulsora del problema 5-19 tuviera que ser sólida en lugar de hueca, determine el diá metro que se requiere. A continuación calcule la relación del peso de la flecha sólida al de la flecha hueca.
0 .7 5 p lg d e d iá m .
FIG U R A 5 -1 9
F le c h a d e l p r o b le m a 5 - 9 .
d - 1 .5 0 p lg d e d ¡ á m .
F IG U R A 5 -2 0
D =2 . 0 0 p l g d e d i á m .
F l e c h a d e l p r o b l e m a 5 - 1 0.
5-1 l.M
Calcule el esfuerzo cortante torsional y el ángulo de torsión en grados en un tubo de aluminio, de 600 mm de largo, 60 mm de diámetro interno y 80 mm de diámetro extemo cuando se somete a un par de torsión constante de 4500 N ■ m . A conti nuación especifique una aleación de aluminio propia para el tubo. 5 -1 2.M Se tienen en mente dos diseños para una flecha. Ambos son de 50 mm de diámetro externo y 600 mm de largo. Uno es una barra sólida y el otro es una barra hueca de 40 mm de diámetro interno. Las dos barras son de acero. Compare el esfuerzo cortante torsional, el ángulo de torsión y la masa de los dos diseños cuando se someten a un par de torsión de 850 N m. 5-13.M
Determine los diámetros interno y externo que se requieren para que una flecha hueca transmita un par de torsión de 1200 N •m con un esfuerzo cor tante torsional máximo de 45 MPa. Haga que la relación del diámetro extemo al diámetro interno sea aproximadamente de 1.25.
5-14.1
El eje de una fresadora impulsado por engranes transmite 7.5 hp a una velocidad de 240 rpm. Calcu
176
5-20.1
5 -2 l.M
El vástago de un potente destornillador tiene un diámetro de 5.0 mm. ¿Qué par de torsión se puede aplicar al destornillador si el esfuerzo limitante que causa la torsión es de 80 MPa?
5-22.M
Una extensión de una llave de dado similar a la expuesta en la figura 5-1 tiene un diámetro de 6.0 mm y una longitud de 250 mm. Calcule el esfuer zo y el ángulo de torsión en la extensión cuando se le aplica un par de torsión de 5.5 N m. La exten sión es de acero.
5-23.M
Calcule el ángulo de torsión en una flecha de ace ro de 15 mm de diámetro y 250 mm de largo cuan do se le aplica un par de torsión de 240 N m.
C a p ítu lo 5 ■
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5-24.M
Calcule el ángulo de torsión en un tubo de alumi nio cuyos diámetros extemo e interno son de 80 mm y 60 mm, respectivamente, cuando se somete a un par de torsión de 2250 N ■ m . El tubo es de 1200 mm de largo.
5-25.1
Una varilla de acero de 8.0 pies de largo y 0.625 plg de diámetro se usa como llave para desatorni llar un tapón en el fondo de un estanque. Si se re quieren 40 Ib-pie de par de torsión para aflojarlo, calcule el ángulo de torsión de la varilla.
5-26.1
¿Qué diámetro debe tener la varilla del problema 5-25 si se desea que experimente solamente 2.0 grados de torsión cuando se somete a 40 Ib-pie de par de torsión? Calcule el ángulo de torsión del extremo libre con respecto al extremo fijo de la barra de acero que ilustra la figura 5-21.
5-27.M
F IG U R A 5 -2 1
5-28.M
base en la resistencia a la cedencia a cortante del tubo si el tubo es de aleación Ti-6A I-4V, vieja. 5-31.M
Para la flecha en la figura 5-22 calcule el ángulo de torsión de las poleas B y C con respecto a la A. El diámetro de la flecha de acero es de 35 mm a todo lo largo de ésta. Los pares de torsión son T| = 1500 N m, r 2 = 1000 N m, T¡ = 500 N m. Las longitudes son = 500 mm y L2= 800 mm.
5-32.M
Una barra de torsión de una suspensión de camión tiene que ser de acero y de 820 mm de largo. Se somete a un par de torsión de 1360 N m y debe limitarse a 2.2 grados de torsión. Determine el diá metro necesario de la barra circular sólida. En se guida calcule el esfuerzo en la barra.
5-33.M
La flecha motriz de acero de un automóvil es un tubo hueco de 1525 mm de largo. Su diámetro ex terno es de 75 mm y su diámetro interno de 55 mm. Si la flecha transmite 120 kW de potencia a una velocidad de 225 rad/s, calcule el esfuerzo cor tante torsional en el la y el ángulo de torsión de uno de sus extremos con respecto al otro.
5-34.M
El eje trasero de un automóvil es una flecha sólida de acero cuya configuración es la expuesta en la figura 5-23.
B a rra d e l p ro b le m a 5 -2 7 .
Un calibrador de par de torsión se vale del ángulo de torsión de una flecha para medir el par de tor sión. La flecha tiene que ser de aleación de alumi nio 6061-T6 y de 150 mm de longitud. Determine el diámetro requerido de la flecha si se desea que experimente un ángulo de torsión de 10.0 grados cuando se aplica un par de torsión de 5.0 N m al calibrador. Para la flecha con este diseño, calcule el esfuerzo cortante torsional y luego calcule el factor de diseño resultante para la misma. ¿Es sa tisfactorio? Si no lo es, ¿qué haría usted?
5-29.M
Un alambre de cobre al berilio de 1.50 mm de diá metro y 40 mm de largo se usa sometiéndolo a torsión en un instrumento. Determine el ángulo de torsión que se produce en el alambre cuando se somete a un esfuerzo de 250 MPa.
5-30.M
Un tubo de combustible de un avión es de aleación de titanio. El tubo tiene un diámetro extemo de 18 mm y un diámetro interno de 16 mm. Calcule el esfuerzo en el tubo si un tramo de éste de 1.65 m se debe torcer en un ángulo de 40 grados durante su instalación. Determine el factor de diseño con
d e diám .
F IG U R A 5-23
Eje d el p ro b le m a 5 -3 4 .
177
P ro b le m a s
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Secciones no c ir c u la re s
5-49.1
Para la flecha de acero expuesta en la figura 5 - 29, calcule el ángulo de torsión de un extremo con respecto al otro si se aplica de modo uniforme un par de torsión de 850 Ib plg uniformemente a todo lo largo de ésta.
5-50.1
Repita el problema 5-48 con todos los datos igua les excepto que se maquinan dos rebajes en la fle cha, que dan una medición total a través de ellos de 1.25 plg.
5-40.M
Calcule el par de torsión que produciría un esfuer zo cortante torsional de 50 MPa en una barra de acero cuadrada de 20 mm de lado.
5-41.M
Para la varilla del problema 5-40 calcule el ángu lo de torsión que produciría el par de torsión que se determina en el problema a lo largo de 1.80 m.
5—42.1
Calcule el par de torsión que produce un esfuerzo cortante torsional de 7500 psi en una varilla de aluminio cuadrada, de 1.25 plg de lado.
5-51.1
Para la varilla del problema 5-42 calcule el ángu lo de torsión que produciría el par de torsión que se determina en el problema a lo largo de 48 plg.
Repita el problema 5-49 con una flecha que tiene dos rebajes, que dan una medición total a través de ellos de 1.25 plg.
5-52.M
Se fabrica de titanio TÍ-6A1-4V, viejo, un perno cuadrado de 200 mm de largo y 8 mm de lado. ¿Qué ángulo de torsión se produce cuando una llave de tuercas aplica un par de torsión puro que produce un esfuerzo igual a la resistencia a la cedencia del material a cortante?
5-53.1
Un tubo de acero estructural cuadrado estándartiene las dimensiones de sección transversal de 4 x 4 x 1/4 plg y es de 8.00 pies de longitud. Calcule el par de torsión que se necesita para torcerlo 3.00 grados.
5-54.1
Calcule el esfuerzo cortante máximo en el tubo del problema 5-53 cuando se tuerce 3.00 grados. ¿Seria seguro este ángulo de torsión si el tubo es de acero estructural ASTM ASO 1 y la carga fuera estática?
5-55.1
Repita el problema 5 -5 3 para un tubo rectangular d e 6 x 4 x 1/4.
5-56.1
Repita el problema 5 - 54 para un tubo rectangular d e 6 x 4 x 1/4.
5-57.1
Un tubo de acero cédula 40 de 6 plg estándar tiene aproximadamente la misma área de sección trans versal que un tubo cuadrado de 6 x 6 x 1/4, por lo que un segmento de ambos de una misma longitud pesaría lo mismo. Si se les aplicara el mismo par de torsión a ambos, compare el esfuerzo cortante torsional y el ángulo de torsión resultantes en los dos perfiles.
5-43.1
5-44.1
Calcule el par de torsión que produce un esfuerzo cortante torsional de 7500 psi en una varilla de aluminio rectangular de 1.25 plg de espesor por 3.0 plg de ancho.
5-45.1
Para la barra descrita en el problema 5-44, calcule el ángulo de torsión que produce el par de torsión que se calculó en el problema a lo largo de 48 plg.
5-46.M
El perfil de una barra extraída de aluminio es un triángulo equilátero de 30 mm de lado. ¿Qué par de torsión se requiere para producir un ángulo de tor sión en la barra de 0.80 grados a lo largo de 2.60 m?
5-47.M
5-48.1
¿Qué esfuerzo se desarrollaría en la barra triangu lar del problema 5-46 si transmite el par de torsión determinado en el problema? El segmento de una flecha de acero que se muestra en la figura 5-29 tiene un rebaje plano maquinado en un lado. Calcule el esfuerzo cortante torsional tan to en la sección circular como en la rebajada cuan do se aplica un par de torsión de 850 Ib •p Ig.
S e c ció n /( - /( FIGURA 5 -2 9
Sección B -B
Problem as 5—48 y 5 -4 9 .
179
P ro b le m a s
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T A R E A S
DE
1. Se precisa diseñar una flecha circular sólida para un par de torsión dado, una resistencia a la cedencia del material dada y un factor de diseño dado; calcule el diámetro que se requiere para la flecha. A d ic io n e s a la ta re a 1 (a) Para una potencia transmitida y velocidad de rota
ción dadas, calcule el par de torsión aplicado. (b) Incluya una tabla de materiales de entre los cuales el
diseñador pueda seleccionar uno. En seguida y de manera automática busque la resistencia de ceden cia. (c) Incluya la tabla de factores de diseño, tabla 5-1. En seguida, pídale al diseñador que especifique el tipo de carga únicamente y que determine el factor de di seño apropiado con la tabla incluida en el programa. 2. Repíta la tarea 1, pero ahora diseñe una flecha circular hueca. Existen tres posibles procedimientos de solución: (a) Para un diámetro externo dado, calcule el diámetro
interno que se requiere. (b) Para un diámetro interno dado, calcule el diámetro
extemo que se requiere. (c) Para una relación dada de D¡/£>„, determine tanto D¡ como Da. A d ic io n e s a la ta re a 2 (a) Calcule la masa del diseño resultante para una longi
tud y densidad del material dadas. (b) Si la computadora cuenta con tarjeta de gráficos,
dibuje la sección transversal resultante y dimensiónela.
18 0
C O M P U T A C IÓ N
3. Introduzca las curvas del factor de concentración de es fuerzo en el programa y considere el cálculo automático de K, para factores dados tales como radio de redondeo, relación de diámetros, diámetro de agujero, etc. Se podría usar cualquiera de los casos expuestos en los apéndices A-21 -5 , A -2 1-6 o A -2 1-7. Este programa puede ejecu tarse por sí mismo o como anexo de otros programas de análisis de esfuerzo. 4. Calcule el ángulo de torsión con la ecuación (5-21) con T, L ,G yJdados. A d ic io n e s a la ta re a 4 (a) Calcule Jco n dimensiones dadas de la flecha, ya sea
sólida o hueca. (b) Incluya una tabla de valores de G, tomados de la tabla 5-3 en el programa. 5. Calcule el diámetro que se requiere de una flecha circular sólida para limitar el ángulo de torsión a un valor especí fico. 6. Calcule el ángulo de torsión de un extremo de una flecha de varias secciones con respecto al otro, como en el ejem plo 5-13. Considere longitudes, diámetros, materiales y pares de torsión diferentes en cada sección. 7. Escriba un programa para calcular los valores del módulo de sección efectivo, Q, y la constante de rigidez torsional, K, con base en la figura 5-18 en uno o todos los casos. A d ic ió n a la ta re a 7
Determine las ecuaciones para Cj, C2, C} y C4 en función de la relación h/r, para flechas con rebajes planos. Use una ruti na de ajuste de curva.
C a p ítu lo 5 ■
E s fu e rz o c o rta n te to rs io n a l y d e fle x ió n torsio na l
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1
F u e rz a s c o rta n te s y m o m e n to s fle x io n a n te s en v ig a s
6 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
La mayor parte del planteamiento en los seis capítulos siguientes se ocupa de las vigas. U n a v ig a e s un m ie m b r o q u e s e s o m e te a c a r g a s tr a n s v e r s a le s , e s d e c ir , p e r p e n d ic u la r e s a lo la r g o d e s u eje.
Tales cargas provocan es fu e rz o s c o r ta n te s en la viga y le imparten su figura carac terística de pandeo, lo que también da como consecuencia e sfu e rz o s fle x io n a n te s . Para calcular los esfuerzos cortantes y los momentos flexionantes, se precisa deter minar la magnitud de lasf u e r z a s c o r ta n te s internas y los m o m e n to s fle x io n a n te s que se desarrollan en vigas causados por una amplia variedad de cargas. Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. Definir el ténnino v ig a y reconocer cuándo un miembro de carga es una viga. 2. Describir varias clases de patrones de carga de vigas: c a r g a s c o n c e n tr a d a s , c a r g a s u n ifo rm em e n te d istrib u id a s , c a r g a s d is tr ib u id a s lin e a lm e n te v a r ia b le s y m o m e n to s c o n c e n tra d o s.
3. Describir varias clases de vigas según el tipo de sus apoyos: v ig a sim p le , v ig a sa lie n te , v ig a en v o la d iz o y v ig a c o m p u e sta de más de un componente. 4. Dibujar diagramas de cueipo libre de vigas y de sus componentes que mues tren todas las fuerzas y reacciones externas.
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2
5. Calcular la magnitud de las reacciones y los momentos y determinar sus direc ciones. 6. D e ñ n 'n f ie r z a c o r ta n te y determinar su magnitud en cualquier parte de la viga. 7. Dibujar diagramas de cuerpo libre de c o m p o n e n te s de vigas y mostrar las fuer zas cortantes internas. 8. Dibujar diagramas de fuerza cortante completos de vigas que soportan varios patrones de carga y con varias condiciones de apoyo. 9. Definir m o m e n to J le x io n a n te y determinar su magnitud en cualquier parte de una viga. 10. Dibujar diagramas de cuerpo libre de c o m p o n e n te s de vigas y mostrar los mo mentos flexionantes internos. 11. Dibujar diagramas de momento flexionante completos de vigas sometidas a varios patrones de carga y con varias condiciones de apoyo. 12. Usar las leye s d e lo s d ia g ra m a s d e v ig a s para relacionar los diagramas de carga, cortante y momento flexionante entre sí y dibujarlos. 13. Dibujar diagramas de cuerpo libre de elementos de vigas y estructuras com puestas y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante correspon dientes a cada uno. 14. Considerarcon propiedad los m o m e n to s c o n c e n tr a d o s en el análisis de vigas.
6 -2
C A R G A S E N V IG A S , A P O Y O S Y T IP O S D E V IG A S
Recuérdese la definición de viga. U n a v ig a e s un m ie m b r o q u e s e s o m e te a c a r g a s tr a n s v e r s a le s , e s d e c ir, p e r p e n d ic u la r e s a lo la r g o d e su eje.
Cuando se analiza una viga para determinar las reacciones, las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes internos, conviene clasificar el patrón de carga, el tipo de apoyos y el tipo de viga. Las vigas se someten a varios patrones de carga, incluidas: Cargas concentradas normales Cargas concentradas con inclinación Cargas uniformemente distribuidas Cargas variables distribuidas Momentos concentrados Los tipos de apoyos incluyen: Apoyo simple de rodillo Apoyo de pasador Apoyo fijo o empotrado
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3
Los tipos de vigas incluyen: Vigas simplemente apoyadas; o vigas simples Vigas salientes Vigas en voladizo; o voladizas Vigas compuestas Vigas continuas La comprensión de todos estos términos sirve para comunicar las características sobresa lientes de los diseños de vigas y para realizar los análisis que se requieren. A continuación se da una descripción de cada uno de ellos junto con ilustraciones que permiten visuali zarlos. P a tro n e s d e c a r g a
En esta sección se demostrará que la naturaleza del patrón de carga determina lavariación de la fuerza cortante y el momento flexionante a lo largo de la viga. Se definen los cinco patrones de carga más usuales y se dan ejemplos de cada uno. A menudo se pueden analizar patrones de carga más complejos considerándolos como combinaciones de dos o más de los tipos básicos. C a rg a s c o n c e n tr a d a s n o r m a le s
Una carga norm al concentrada es la que actúa perpendicular (norm al) al eje m ayor déla viga en un solo punto o a lo largo de un segmento muy pequeño de la viga.
La figura 6-l(a) muestra la forma característica de representar una viga que se somete a cargas concentradas normales. Cada una de las cargas se muestra como un vector que Cargas concentradas normales
*2 (o) Representación esquemática de una viga con cargas y reacciones
(b) Representación pictórica de una viga con cargas
FIG U RA 6 -1 normales.
Viga simple con cargas concentradas
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actúa en la viga perpendicular a su eje mayor. La parte (b) ilustra una situación que produ ce cargas concentradas. El peso de los tubos y su contenido determinan las magnitudes de las cargas. Si bien con frecuencia se visualizan cargas que actúan con dirección hacia abajo debido a la gravedad, las cargas reales pueden actuaren cualquier dirección. Sobre todo en la maquinaria mecánica, las fuerzas que se producen por los enlaces, actuadores, resortes, mordazas y otros mecanismos pueden actuar en cualquier dirección. La figura 6-2 muestra un ejemplo simple. Las cargas concentradas normales tienden a provocar flexión pura en las vigas. La mayoría de los problemas de este capítulo incluyen este tipo de carga. El análisis de los esfuerzos flexionantes que se originan se presenta en el capítulo 8. C a r g a s c o n c e n tr a d a s co n in c lin a c ió n
Una carga concentrada inclinada es la que actúa efectivamente en un punto, pero cuya línea de acción form a un ángulo con el eje p rincipal de la viga.
La figura 6-3 muestra un ejemplo. La carga con inclinación y que ejerce el resorte provo ca una combinación de esfuerzos flexionantes y axiales en la viga. El capítulo 11 presenta las técnicas de análisis de este patrón de carga. C a r g a s u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a s
Las cargas de m agnitud constante que actúan perpendiculares al eje de una viga a lo largo del segmento significativo de la viga se llam an cargas uniform em ente distribuidas.
Un ejemplo de este tipo de carga sería el peso de la nieve de espesor uniforme sobre un techo soportado por vigas horizontales planas. Asimismo, los materiales que componen
FIG U RA 6—2 Palanca de una máquina que se comporta como una viga simple sometida a cargas concentradas normales.
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(a) Representación esquemática de una viga con carga y reacciones FIGURA 6 - 4
(/,) Ejemplo pictórico
Viga sim ple sometida a una carga uniformemente distribuida.
la estru ctu ra de techo, propiam ente dicha, con frecuencia se instalan uniform em ente distribuidos. L a figura 6 -4 ilustra un patrón de carga de ese tipo y m uestra cóm o se representan las cargas uniform em ente distribuidas en los problem as de este libro. El área rectangular som b read a define la extensión de la carga a lo largo de la viga. La m agnitud de la carga se indica por m edio de una “ razó n ” de carga tv, en unidades de fuerza p o r unidad de longitud. Las unidades representativas serian lb/plg, kN /m o K /pie. R ecuérdese que 1 K = 1 k ip = 1000 Ib. Por ejem plo, si la carga que actúa en la viga
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mostrada en la figura 6-4 fuera de w= 150 lb/plg, entonces cada 1.0 plg de longitud de la viga soportaría 150 Ibde carga. C a r g a s v a r ia b le s d is tr ib u id a s
Las cargas de m agnitud variable que actúan perpendiculares al eje de una viga a lo largo de un segmento significativo de una viga se llam an cargas variables distribuidas.
En las figuras 6-5 y 6-6 se muestran ejemplos de estructuras de cargas variables distri buidas. Cuando las cargas varían linealmente, éstas se cuantifican mediante el valor de w en cada extremo de la línea de pendiente que representa la carga. Para un análisis más a fondo de las variaciones no lineales, se deben diseñar otros esquemas para obtener la magnitud de la carga. Un momento es una acción que tiende a hacer girar un obje to. Los momentos pueden producirse porun par de fuerzas paralelas que actúan en direc-
M o m e n to s c o n c e n tr a d o s .
(a) Representación esquemática de una viga con carga, reacción y momento y datos muestra FIG U R A 6 - 5
(é) Ejemplo pictórico - carga de nieve sobre un techo sal ¡ente
Ejemplo de carga linealmente variable sobre un voladizo. w = 1.2 kN/m
(a) Representación esquemática de una viga con carga, reacciones y datos muestra FIG U R A 6 - 6
(b) Ejemplo pictórico—grava sobre una plataforma
Ejemplo de una carga linealmente variable sobre una viga simple.
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ciones opuestas; esta acción se llam a par. L a acción contra una m anivela o una palanca tam bién produce un m om ento. C u a n d o u n m o m e n to a c tú a en u n p u n to d e u n a v ig a d e m a n e r a q u e tie n d e a p r o v o c a r le ro ta c ió n p u r a , se lla m a m o m e n to c o n c e n tr a d o .
La figura 6 -7 m uestra un ejem plo. Las fuerzas que actúan en los extrem os de los brazos verticales forman un par que tiende a flexionar la viga com o se indica. El hecho de que las dos fuerzas que com ponen el par sean iguales y opuestas hace que ninguna fuerza hori zontal neta resulte aplicada en la viga. Los m om entos concentrados tam bién pueden ser el resultado de una fuerza que actúa sobre una viga paralela a su eje con su línea de acción a ú n a cierta distancia de éste. Esta situación se ilustra en la figura 6 -8 . L a diferencia en este caso radica en que tam bién hay una fuerza horizontal desbalanceada aplicada en la viga. T ip o s d e a p o y o s
Todas las vigas han de tener un apoyo de una m anera estable para que se m antengan en equilibrio. Todas las cargas y m om entos externos deben ser resistidos p o r uno o m ás apoyos. Los diferentes tipos de apoyos ofrecen diferentes tipos de reacciones.
Apoyo simple o de rodillo U n a p o y o s im p le es u n o q u e p u e d e r e s is tir sólo fu e rz a s q u e a c tú a n p e r p e n d ic u la r e s a u n a v ig a .
«i
R (a) R ep resen tació n e sq u em ática del c o m p o n en te h o rizo n tal d e u n a v ig a co m p u esta so m etid a a un m o m en to c o n cen trad o
(a ) R ep resen tació n e sq u e m á tic a del c o m p o n en te h o rizo n tal d e u n a v ig a c o m p u e sta q u e m u estra u n m o m en to co n ce n trad o y una re a cc ió n h o rizo n tal
F
F (A) V ig a c o m p u e sta
(b) V iga co m p u esta FIG U R A 6 - 7
M o m en to co n ce n trad o en u n a v ig a com puesta.
F IG U R A 6 - 8
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M o m en to co n ce n trad o en u n a viga co m p u esta.
8
r
....
_
1
-i f
i
(a) Viga sobre dos rodillos FIG U RA 6 - 9
h. a U i
.,
---
J -t f
(b) Viga con un apoyo de pasadory otro de rodillo
(c) Diagrama de cuerpo libre de (a) o (6)
Ejemplos de apoyos simples,
Una de las mejores ilustraciones de los apoyos simples es el par de rodillos teóricamente libres de fricción en los extremos de la viga según la figura 6-9(a). Generan apoyo dirigi do hacia arriba contra la acción dirigida hacia abajo de la carga que actúa en la viga. Conforme la viga tiende a flexionarse por la influencia de la carga aplicada y de las reacciones, la flexión no la resistirían los rodillos. Pero si hubiera componentes horizon tales de la carga, los rodillos rodarían y la viga estaría suelta. Por consiguiente, el uso de los dos rodillos solos no es conveniente. Un ejemplo de un apoyo de pasador es una bisagra que puede resis tir fuerzas en dos direcciones pero quepermite rotación con respecto al eje de su pasador. La figura 6-9(b) muestra la misma viga de la figura 6—9(a) con el rodillo del extremo izquierdo que se reemplazó por un apoyo de pasador. Este sistema produce un apoyo adecuado al mismo tiempo que deja que la viga se flexione. Cualquier fuerza horizontal la resistiría lajunta de pasador.
A poyo d e pa sa d o r.
A p o y o J ijo o e m p o tr a d o
Un apoyo fijo es el que se mantiene sujeto con firm eza de tal manera que resiste fuerzas en cualquier dirección y también im pide la rotación de la viga en el apoyo.
Una manera de crear un apoyo fijo es producir una cavidad de ajuste apretado en una estructura rígida en la que se inserta el extremo de una viga. El apoyo fijo resiste momen tos lo mismo que fuerzas porque impide larotación. La figura 6-10 muestra dos ejemplos del uso de apoyos fijos. T ip o s d e v ig a s
El tipo de viga se determina por los tipos de apoyos y su colocación. V ig a s im p le . Una viga simple es la que soporta sólo cargas que actúan perpendiculares a su eje y que tiene sus extremos sobre apoyos simples que actúan perpendiculares a su eje. La figura 6-1 es un ejemplo de viga simple. Cuando todas las cargas actúan con dirección hacia abajo, la viga adopta la figura flexionada clásica cóncava hacia arriba. Ésta se conoce como flexión positiva. V iga s a lie n te . Una viga saliente es aquella en la que la viga con carga sobresale de los apoyos. La figura 6-11 da un ejemplo. Las cargas que actúan en los extremos salientes tienden a flexionarlos hacia abajo, o sea, a producirles una flexión negativa. V ig a en v o la d iz o . Una viga en voladizo sólo tiene un extremo con apoyo, como se ve en la figura 6-12, que tiene una pluma de grúa firmemente unida a una columna vertical rígida. Es esencial que el apoyo esté fijo porque debe servir de apoyo vertical para las
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sim plem ente apoyado en el extrem o. N ótese que h ay dos fuerzas que no se co nocen y un m om ento desconocido. Las figuras 6 - 1 0(c) y (d) m uestran una v ig a con dos extrem os fijos q u e tam bién es estáticam ente indeterm inada p o rq u e hay dos fuerzas y dos m o m en to s de reacción que deben determ inarse. E l capítulo 13 p resen ta las técnicas de análisis de vigas estáticam ente indeterm inadas.
6 - 3
A P O Y O S D E V IG A S Y R E A C C IO N E S E N L O S A P O Y O S
E l prim er paso en el análisis de u n a v ig a p o r lo que se refiere a su seguridad bajo u n patrón de carga d ado es m o strar en su totalidad las cargas y las reacciones en los apoyos en un diagram a de cuerpo libre. Es m u y im portante que se p uedan trazar los diagram as de cuerp o libre con b ase en la ilustración o descripción física de la v ig a co n carga. E sto es lo que se hizo en cada uno de los casos expuestos en las figuras desde 6 - 1 a 6 - 1 4 . D espués de dibujar el diagram a de cuerpo libre, es preciso calcu lar la m ag n itu d de todas las reacciones en los apoyos. Se p resum e que los m éto d o s usad o s para h allar las reacciones ya se estudiaron con anterioridad. P o r consiguiente, sólo se dan unos pocos ejem plos com o repaso y com o ilustración de las técnicas que se aplican en este libro. Se recom ienda el siguiente procedim iento general p ara determ inar las reacciones en vigas sim ples o salientes. In d ic a c io n e s p a ra d e te r m in a r la s r e a c c io n e s
1. D ibuje el diagram a de cuerpo libre. 2. U se la ecuación d e equilibrio I M = 0 sum ando m om entos co n resp ecto al punto de aplicación de u n a d e las reacciones de apoyo. L a ecu ació n resultante entonces se pu ed e reso lv er p ara la otra reacción. 3. U se E M - 0 sum ando los m om entos con respecto al pu n to d e ap licación d e la segunda reacción para determ inar la prim era. 4. U se E F = 0 p ara com probar la exactitud de los cálculos.
E jem p lo 6 -1
La figura 6 - 1 5 m u estra el diagram a d e cuerp o libre d e la viga q u e so p o rta tubos, y q u e en su form a original ¡lustra la figura 6 - 1 . C alcule las rea ccio n e s en la s varillas de apoyo.
4.3 kN
F IG U R A 6 -1 5
1.2 kN
C a rg a s s o b re u n a viga.
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S o lu c ió n
O b je tiv o D a to s
C a lc u la r la s fu e r z a s d e re a c c ió n e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a . Ilu s tra c ió n d e la v ig a m o s tr a d a e n la fig u ra 6 - 1 . El d ia g r a m a d e c ue rp o lib re q u e m u e s tr a la c a r g a e s la fig u ra 6 - 1 5 . L a s c a r g a s a c tú a n e n los p u n to s 8 , C , D y E . L a s r e a c c io n e s a c tú a n e n lo s p u n to s A y F y se d e s ig n a n R A y R F .
A n á lis is
S e e m p le a r á n la s in d i c a c i o n e s p a r a d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s . La fig u r a 6 - 1 5 e s e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e , a s í q u e s e c o m e n z a r á con el p a s o 2.
R e s u lta d o s
P a r a d e te r m in a r la re a c c ió n R F, s u m e lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to al p u n to A .
£
M * = 0 = 3 .5 (4 0 0 ) + 4 .3 (8 0 0 ) + 1 .2 ( 1 2 0 0 ) + 2 .8 (1 5 0 0 ) -
R F(1 80 0 )
O b s e r v e q u e to d a s la s f u e r z a s e s tá n e n k ilo n e w to n s y la s d is ta n c ia s en m ilím e tr o s . A h o ra re s u e lv a p a ra R F. 3 .5 (4 0 0 ) + 4 .3 ( 8 0 0 ) + 1 .2 (1 2 0 0 ) + 2 .8 (1 5 0 0 ) 1800
F
A h o r a p a ra d e t e r m in a r
] T / Wf = o
s u m e lo s m o m e n to s c o n re s p e c to a l p u n to F.
= 2.8(300) + 1.2(600) + 4.3(1000) + 3.5(1400) - R„(1800)
2.8(300) + 1.2(600) + 4.3(1000) + 3.5(1400) R a =
1800
A h o r a a p liq u e
IF = 0
= 5 .9 8 kN
e n la d ir e c c ió n v e rt ic a l c o m o c o m p r o b a c ió n .
F u e r z a s co n d ire c ció n h a c ia a b a jo : ( 3 . 5 + 4 .3 + 1 .2 + 2 .8 ) k N =
1 1 .8 kN
R e a c c io n e s c o n d ir e c c ió n h a c ia a rr ib a : ( 5 . 8 2 + 5 . 9 8 ) k N = 1 1 .8 kN (c o m p ro b a c ió n ) C o m e n t a r io
M u e s tr e la s fu e r z a s d e la s r e a c c io n e s R A y R F e n lo s p u n t o s d e la viga d o n d e a c tú a n .
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D a to s
L a v i g a q u e a p a r e c e e n la f i g u r a 6 - 1 6 ( a ) . L a c a r g a d i s t r i b u i d a d e 2 2 0 0 i b /p ie s e a p l i c a a lo la r g o d e 1 0 p i e s a p a r t i r d e l e x t r e m o i z q u i e r d o d e la v ig a . L a s r e a c c i o n e s a c tú a n e n lo s p u n to s A y C y s e d e s ig n a n R A y R c.
A n á lis is
S e e m p l e a r á n l a s in d ic a c io n e s p a r a d e t e r m in a r la s re a c c io n e s . L a f ig u r a 6 - 1 6 ( b ) e s u n d i a g r a m a d e c u e r p o lib re e q u i v a l e n t e c o n la r e s u l t a n t e d e la c a r g a d i s t r i b u i d a q u e m u e s t r a s u a c t u a c i ó n e n e l c e n t r o i d e d e la ca rg a .
R e s u lta d o s
£ M A-
0 = 2 2 0 0 0 Ib (5 p i e s ) -
R c = 2 2 ° ° ° lb 1 2 p ie s X w c= 0
R c (1 2 p ie s )
= 9 1 6 7 Ib
= 2 2 0 0 0 Ib (7 p i e s ) -
f? „ (1 2 p ie s )
„ 2 2 0 0 0 Ib ( 7 p i e s ) R c = ---------------- — — - = 1 2 2 8 3 Ib 1 2 p ie s P o r ú ltim o , c o m o c o m p r o b a c i ó n , e n la d i r e c c i ó n v e r t i c a l :
2
=
f
o
F u e r z a s c o n d i r e c c i ó n h a c i a a b a j o : 2 2 0 0 0 Ib F u e r z a s c o n d ir e c c ió n h a c i a a r r ib a : Ra + R c = 1 2 8 3 3 + 9 1 6 7 = 2 2 0 0 0 Ib ( c o m p ro b a c ió n )
C o m e n ta r io
O b s e r v e q u e la r e s u l t a n t e s e u s a s ó l o p a r a d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s . M á s a d e l a n t e , c u a n d o s e d e t e r m i n e n f u e r z a s c o r t a n t e s y m o m e n t o s f le x i o n a n t e s , s e d e b e u s a r la m i s m a c a r g a d i s t r i b u i d a .
E je m p lo
C a l c u l e l a s r e a c c i o n e s e n la v ig a s a l i e n t e d e la f ig u r a 6 - 1 7 .
6 -3
1000 N
800 N
50 [ ~ - 150 m m ^
100 mm p -----200 mm"
B ‘
1200 N
C
D
250 mm
Rb F IG U R A 6 - 1 7
S o lu c ió n
O b je tiv o D a to s
Cargas sobre una viga.
C a lc u la r la s r e a c c i o n e s e n lo s p u n to s S y D. L a s c a r g a s q u e a c t ú a n e n la v i g a e x p u e s t a e n la f i g u r a 6 - 1 7 . L a s r e a c c i o n e s s o n R a y Re-
A n á lis is
S e e m p l e a r á n l a s in d ic a c io n e s p a r a d e t e r m in a r la s re a c c io n e s .
R e s u lta d o s
E n p r i m e r l u g a r , s i s e s u m a n l o s m o m e n t o s c o n r e s p e c t o a l p u n t o B:
2
M e = 0 = 1 0 0 0 (2 0 0 ) -
f í o (2 5 0 ) + 1 2 0 0 ( 4 0 0 ) -
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8 0 0 (1 0 0 )
14
E je m p lo
C a lc u le la s re a c c io n e s e n la v ig a v o la d iz a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 1 8 .
6 -4
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E n e l c a s o d e v ig a s v o la d iz a s , la s r e a c c io n e s e n e l m u r o s e c o m p o n e n d e u n a fu e rz a co n d ire c c ió n h a d a a rrib a
RA la c u a l d e b e e q u ilib ra r
to d a s la s fu e rz a s c o n d ire c c ió n h a c ia a b a jo q u e a c tú a n e n la v ig a y un m o m e n to d e re a c c ió n M A q u e d e b e o p o n e r s e a la te n d e n c ia q u e tie n e n las c a rg a s a p lic a d a s a g ira r la v ig a . E n la fig u ra 6 - 1 8 ( b ) s e m u e s tr a n la s re a c c io n e s . T a m b ié n s e m u e s tra la re s u lta n te , 6 0 k N , d e la c a rg a d istribu ida . R e s u lta d o s
P o r ta n to , al s u m a r la s fu e r z a s e n la d ire c c ió n v e r tic a l, s e o b tie n e :
Ra = 6 0 kN + 4 kN = 6 4 kN A l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n to
Ma =
6 -4
6 0 k N (1 .0 m ) + 4 k N ( 2 . 5 m )
A s e o b tie n e :
= 70
k N -rn
FUERZAS CORTANTES Más adelante se verá que las dos clases de esfuerzos que se desarrollan en una viga son esfuerzos cortantes y esfuerzos flexionantes. Para calcularlos, se requiere conocer la magnitud de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en todos los puntos de la viga. Por consiguiente, aunque posiblemente aún no se comprenda el uso final de estos factores, es necesario aprender cómo se determina la variación de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en vigas con muchos tipos de cargas y combinaciones de apoyos. Las fuerzas cortantes se definen como sigue: L a s f u e r z a s c o r ta n te s so n f u e r z a s in te r n a s q u e s e g e n e r a n en e l m a te r ia l d e u n a viga p a r a e q u ilib r a r la s f u e r z a s a p lic a d a s e x te r n a m e n te y p a r a g a r a n tiz a r e l e q u ilib rio en to d a s s u s p a rte s.
La presencia de fuerzas cortantes se puede visualizar considerando cualquier seg mento de la viga como un cuerpo libre con todas las cargas externas aplicadas. La figura 6-19 muestra un ejemplo. La viga en conjunto está en equilibrio bajo la acción de las reacciones de 500 N en los apoyos. Y, cualquier segmento de la viga también debe estar en equilibrio. Un segmento se forma al cortar la viga en un punto de interés y al considerar laparte de la viga a un lado del corte. Normalmente, se considera que el segmento de interés es el de la izquierda del corte, como se muestra en la figura 6-19(a) cuya longitud es de 0.5 m. Por tanto, para que el segmento esté en equilibrio, en general, debe haber una fuerza interna que actúa perpendicular al eje de la viga en el corte. En este caso, la fuerza interna debe ser de 500 N con dirección hacia abajo. Ésta es la fuerza cortante y se usará el símbolo V para denotarla. Es decir, V = 500 N. Este proceso para determinar fuerzas cortantes se puede generalizar enunciando la regla siguiente: La magnitud de la fuerza cortante en cualquier parte de una viga es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas externas que actúan a la izquierda de la sección de interés.
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1000 N — 1.0 m
1.0 m
Y Rc = 500 N (a)
- 0.5 m V = 500N Fuerza corlante
(.b ) 1000 N 1.0 m -
B
A R. = 500 N
1.5 m
V = 500 N Fuerza cortante
(c) FIG U RA 6 -1 9
Uso de diagramas de cuerpo libre para determinar fuerzas cortantes en vigas.
Nótese que, aunque el diagrama de cuerpo libre, figura 6-19(b) está en equilibrio con respecto a fuerzas verticales, aún n o está en equilibrio con respecto a rotación. La reacción R Ay la fuerza cortante V forman un par que tiende a girar el segmento en sentido de las manecillas del reloj. En la siguiente sección se demostrará que allí también debe haber un momento interno, llamado m o m en to fle x io n a n te , para mantener el equilibrio. Continuando con el análisis de las fuerzas cortantes, nótese que para cualquier segmento de la viga que ilustra la figura 6—19 desde la reacción izquierda en A hasta el punto de api icación de la carga de 1000 N en B , el diagrama de cuerpo 1ibre sería como el de la parte (b) de la figura. Por lo tanto, la fuerza cortante en cualquier punto de la viga entre A y B sería de 1000N. Ahora considérese un segmento de la viga de 1.5 m de largo, como se muestra en la figura 6-19(c). Para que este segmento esté en equilibrio, en la viga debe existir una fuerza cortante interna de 500 N con dirección hacia arriba. Esta situación sería la misma si la viga se cortara en cualquier punto entre B y C. D ia g ra m a s de fu e r z a c o rta n te . Conviene graficar los valores de la fuerza cortante contra su posición en la viga como se muestra en la figura 6—20. Tal gráfica se llama d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te y lo que sigue es un análisis del método para crearlo. Tam bién se establecen las reglas generales para trazar el diagrama de cualquier viga que sólo se somete a cargas concentradas normales.
■ El diagrama de fuerza cortante es una gráfica donde la vertical representa el valor de la fuerza cortante en cualquier sección de la viga. Este eje se debe
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1000 N 1.0 m
1.0 m
B Rr = 500 N
Ra =500 N 500 Fuerza cortante, KN) 0
FIG U RA 6-20
B
A
C
Diagrama de fuerza cortante.
rotular como se muestra en la figura 6-20, con el nombre de la cantidad que se va a graficar, la fuerza cortante, su símbolo V y las unidades, en este caso newtons (N). El eje horizontal da la posición en la viga y se acostumbra a dibujar paralelo al dibujo de la viga de modo que se pueda visualizar la correspondencia entre la carga real que actúa en la viga y las fuerzas cortantes. ■ Si cualquier segmento de la viga se prolonga hacia la izquierda de la reacción en A , la fuerza cortante sería cero porque no habría ninguna fuerza externa. Lo mismo se puede afirmar con respecto a puntos a la derecha del punto C en el extremo derecho de la viga. Por consiguiente, una regla general es: Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los extre mos de la viga. ■ Luego, en A, donde actúa la reacción izquierda, la fuerza cortante izquierda cambia de modo abrupto a 500 N con dirección hacia abajo para equilibrar la reacción con dirección hacia arriba. Se adoptará la siguiente convención de sig nos para fuerzas cortantes: Las fuerzas cortantes internas que actúan con dirección hacia abajo se consi deran positivas. Las que lo hacen hacia arriba se consideran negativas.
En seguida el diagrama de fuerza cortante se eleva de repente desde cero hasta 500 N en A. Esto se puede enunciar matemáticamente como: = 0 + 500 N = 500 N
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Una regla general es: Una carga concentrada o reacción dirigida hacia abajo provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante. ■ Tal como se muestra en la figura 6-19(b), la fuerza cortante permanece en el valor de 500 N en cualquier punto entre A y B . La razón de esto es que no hay cargas externas adicionales aplicadas. Esta observación se puede expresar en la forma: VV„ = 500 N El subíndice, A - B , indica que el valor es para todo el segmento de la viga desde hasta B. La regla general es:
A
En cualquier segmento de una viga donde no hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante se mantiene constante, lo que da por resultado una línea horizontal recta en el diagrama de fuerza cortante. ■ En el punto B donde actúa la carga de 1000 N, en la figura 6-19(c) se demos tró que la fuerza cortante interna cambió de manera repentina de ser una fuerza de 500 N con dirección hacia abajo (positiva) a una fuerza de 500 N con dirección hacia arriba (negativa). El cambio total de la fuerza cortante es de 1000 N. Esto es: VB =
500 N - 1000 N = -500 N
La regla general es: Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de la carga y en la dirección de ésta. ■ Entre B y C, no hay cargas aplicadas, así que el diagrama de fuerza cortante es una línea recta horizontal en -500 N. Es decir: VB. C
= -500 N
■ En Clareaccióncondirecciónhaciaarribade500N provoca un cambio repen tino del valor de la fuerza cortante de la misma magnitud, lo que hace que la gráfica vuelva a cero. Es decir: Vc =
-500 N + 500 N = 0
Esto concuerda con la primera regla que se enunció con anterioridad.
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De esta m anera se term ina el trazo del diagram a de fuerza cortante. Si bien la producción de diagram as de cuerpo libre de segm entos de la viga fue útil al desarrollar el concepto de fuerza cortante, en general, no es necesario hacerlo. L as reglas que se acaban de dar se pueden resum ir com o un conjunto de indicaciones generales para el trazo de diagram as de fuerza cortante. In d ic a c io n e s p a ra el t r a z o d e . d i a g r a m a s d e fu e rz a c o rta n te d e v ig a s s o m e tid a s a carg as co n cen tra d a s n o rm a le s
1. Trace los ejes vertical y horizontal del diagram a en relación con el diagra m a de carga de la viga com o se m uestra en la figura 6 -2 0 . 2. R otule el eje vertical com o fu erza cortante, V, y d éle las unid ad es de fuerza. 3. Prolongue las líneas de cada carga aplicada o reacción en la viga hacia abajo hasta el diagram a de fuerza cortante. R otule los puntos de interés com o referencia. Se rotularán con letras los puntos donde actúan cargas o reacciones, a partir del extrem o izquierdo de la viga. 4. Construya la gráfica de fuerza cortante e inicie desde el extrem o izquierdo de la viga prosiguiendo hacia la derecha, y aplique las reglas siguientes.
Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los extremos de la viga. 6. Una carga concentrada o reacción con dirección hacia arriba provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante. 5.
7. En cualquier segmento de la viga donde no hay cargas aplicadas, el valor
de la fuerza cortante permanece constante, lo que da po r resultado una linea recta horizontal en el diagrama de fuerza cortante. 8. Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la
fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de Ia carga y en la dirección de ésta. 9. M uestre el valor de la fuerza cortante correspondiente a puntos estratégi cos en el diagram a, por lo general, en los puntos donde actúan fuerzas o reacciones.
Al exam inar el diagram a de fuerza cortante com pleto de la figura 6 -2 0 , se ve que el valor m áxim o de la fuerza cortante es 500 N. N ótese que aun cuando hay una carga con aplicación de 1000 N, la fuerza cortante m áxim a en la viga es de sólo 500 N. A continuación se considerará otra viga sometida a cargas concentradas en un ejem plo. El procedim iento general em pleado con anterioridad es válido para cualquier viga que se som ete a cargas concentradas.
E je m p lo
T r a c e e l d i a g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e c o m p l e t o d e la v ig a e x p u e s t a e n la f ig u ra 6 - 2 1 .
6 -5 S o lu c ió n
O b je tiv o
T ra z a re l d ia g ra m a d e fu e rz a c o rta n te c o m p le to .
D a to s
L a s c a r g a s e n la v ig a , in c lu id o s lo s v a l o r e s d e l a s r e a c c i o n e s , c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra 6 - 2 1 . S e t r a t a d e u n a v ig a s i m p l e m e n t e a p o y a d a s o m e t i d a a c a r g a s c o n c e n t r a d a s n o r m a l e s . E s t a e s la m i s m a v ig a d e l e j e m p l o 6 - 1 p a r a la q u e s e d e t e r m i n a r o n l a s r e a c c i o n e s .
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E n tr e A y B : C o m o n o h a y c a r g a s a p lic a d a s , la f u e r z a c o r ta n te p e r m a n e c e c o n s ta n t e , E s d e c ir: VA- B = 5 .9 8 k N
P u n to B : L a c a r g a a p lic a d a d e 3 .5 k N p r o v o c a u n a d is m in u c ió n r e p e n ti n a e n V. VB =
5 .9 8 k N -
3 .5 k N = 2 .4 8 k N
E n tr e B y C: L a f u e r z a c o r ta n te p e r m a n e c e c o n s t a n t e . VB. C = 2 .4 8 kN
P u n to C: L á c a r g a a p l i c a d a d e 4 . 3 k N p r o v o c a u n a d is m in u c ió n r e p e n t in a e n V. Ve = 2 . 4 8 k N -
4 .3 k N =
- 1 .8 2 kN
E n tr e C y D : L a fu e r z a c o r ta n te p e r m a n e c e c o n s t a n t e . VC- d = - 1 . 8 2 kN
P u n to D: L a c a r g a a p lic a d a d e 1 .2 k N p r o v o c a u n a d is m in u c ió n r e p e n ti n a e n V. VD =
- 1 . 8 2 kN -
1.2 kN =
- 3 . 0 2 kN
E n tr e D y E: L a f u e r z a c o r ta n te p e r m a n e c e c o n s ta n t e . V0 -E =
- 3 . 0 2 kN
P u n to E: L a c a r g a a p lic a d a d e 2 . 8 k N p r o v o c a u n a d is m in u c ió n r e p e n ti n a e n V. VE =
- 3 . 0 2 kN -
2 .8 k N =
- 5 . 8 2 kN
E n tr e E y F: L a fu e r z a c o r ta n t e p e r m a n e c e c o n s t a n t e . V£ - F =
- 5 . 8 2 kN
P u n to F: L a fu e r z a d e r e a c c ió n d e 5 . 8 2 k N p r o v o c a u n a u m e n t o r e p e n ti n a e n V. VF =
C o m e n ta r io
- 5 . 8 2 k N + 5 .8 2 k N = 0
O b s e r v e q u e lo s v a lo r e s d e la s f u e r z a s c o r ta n te s e n p u n to s e s t r a té g ic o s s e m u e s tr a n ju s to e n e l d ia g r a m a e n d ic h o s p u n to s .
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o rta n te p a ra c a r g a s d is trib u id a s . La variación de la fuerza cortante con la posición en la viga que se somete a cargas distribuidas es diferente de la de vigas sometidas a cargas concentradas. El método del diagrama de cuerpo libre sirve para visualizar tales variaciones. Considérese la viga que aparece en la figura 6-23, sometida a una carga distribuida unifonnemente de 1500 N/m en una parte de su longitud. Se desea determinar la magni tud de la fuerza cortante en varios puntos de la viga para dibujar un diagrama de fuerza
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Para un segmento de 6 m de largo, la figura 6-24(c) sería el diagrama de cuerpo libre. Luego debe haberuna fuerza cortante V á e 3000 N con dirección hacia arriba. En el punto correspondiente a 8 m, la figura 6-24(d) muestra otra vez la fuerza V = 3000 N con dirección hacia arriba. Esta situación se mantiene en los úl timos 3 mde laviga, puesto que no hay cargas externas aplicadas en este segmento. En suma, las fuerzas cortantes que se calcularon fueron: En el puntos
V=
6000 N con dirección hacia abajo
A2 m
V —3000 N con dirección hacia abajo
A4m
V=0
A6m
V=
3000 N con dirección hacia arriba
Entre B y C
V=
3000 N con dirección hacia arriba
Por convención, las fuerzas cortantes con dirección hacia abajo se consideran positivas, y 1as que tienen di recci ón hacia arriba negativas. Si estos valores se marcan en una gráfica de fuerza cortante contra posición en la viga, se produciría el diagrama de fuerza cortante que ilustra la figura 6-25. Nótese que en la porción de la viga que soporta la carga uniformemente distribuida, la curva de la fuerza cortante es una línea recta. Ésta es una característica representativa de tales cargas. De este ejemplo se derivan las reglas generales siguientes. Para la parte de una viga que se somete a una carga uniformemente distribuida: 1. Alo largo del segmento de una viga que soporta una carga uni formemente distribuida, el diagrama de fuerza cortante es una linea recta. 2. El c a m b io d e la f u e r z a c o r ta n te entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de carga entre dichos puntos. 3. Lapendiente de la recta que representa la fuerza cortante es igual a la razón de la carga sobre la viga, es decir, carga por unidad de longitud.
1500N/m
R, = 6000 N
6000 Fuerza cortante, KN)
-3000 F IG U R A 6 - 2 5
D ia g r a m a d e fu e rz a c o rta n te .
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En este ejem plo, la regla 2 qu ed a ejem plificada p o r el hecho de que en tre los puntos
A y B la fuerza cortante dism inuye 9000 N desd e un valor positivo de 6 000 N h asta un v alor negativo de 3000 N. Esta es el área bajo la cu rv a d e carga calcu lad a com o sigue: (1 5 0 0 N /m )(6 m ) = 9 0 0 0 N La regla 3 establece que la fuerza cortante d ism inuye 1500 N por cad a m etro de longitud de la viga. Los principios generales derivados tanto para caig as concentradas com o p ara car gas distribuidas deben aplicarse en la solución de algunos problem as. Se deben aplicar los siguientes pasos:
I n d ic a c io n e s p a r a el tra z o d e d ia g r a m a s d e fu e rz a c o rta n te
1. D eterm ine las fuerzas de las reacciones en los apoyos. 2. H aga un bosquejo de la viga. C onviene trazarlo con aproxim ación a esca la. 3. T race líneas verticales hacia abajo de los puntos clave d e la v iga cargada hasta donde se dibujará el diagram a de fuerza cortante. 4 . D ibuje el eje horizontal del diagram a de fuerza cortante con una longitud
igual a la de la viga. R otule el eje vertical con el sím bolo y las unidades de las fuerzas cortantes que se van a graficar. 5. Si se parte del extrem o izquierdo de la viga, g rafique la variación de la fuerza cortante de extrem o a extrem o de la m ism a. R ecuerde que: a. La fuerza cortante cam bia de m anera rep en tin a en los pu n to s donde actúa una carga concentrada. El cam bio de la fuerza co rtan te es igual a la carga. b. La curva de la fuerza cortante es u n a línea recta horizontal en tre los puntos donde no hay cargas aplicadas. c. La c u rv a de la fuerza cortante es una linea recta que tiene inclinación en tre los puntos donde se aplican uniform em ente cargas distribuidas. L a pendiente de la línea es igual a la razón de la carga. d. El cam bio de la fuerza cortante entre puntos es igual al área b ajo la curva de la carga en tre dichos puntos. 6. M uestre el v alo r de la fuerza cortante en los puntos don d e ocurren cam bios im portantes, tales com o cargas concentradas y al p rincipio y al final de cargas distribuidas.
6 - 5
M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S
L os m om entos flexionantes, adem ás de las fuerzas cortantes, se desarrollan en vigas por la aplicación de cargas perpendiculares a la viga. E stos m om entos flexionantes son los que hacen que la viga asum a su figura característica curvada o “flex io n ad a” . C uan d o se ejerce presión a la m itad de una vara esbelta, co m o p o r ejem plo u n a reg la con apoyo en sus extrem os, se tiene una ilustración de lo anterior. La determ inación de la m agnitud de los m om entos flexionantes en u n a v ig a es otra aplicación del principio de equilibrio estático. En la sección anterior, se an alizaron las
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fuerzas en la dirección vertical con el objeto de determinar las fuerzas cortantes en laviga que han de desarrollarse para mantener todas las partes de la viga en equilibrio. Para ello, se consideraron todas las partes de la viga como diagramas de cuerpo libre paravisualizar lo que sucede en el interior de la misma. Un procedimiento similar sirve para ilustrar los momentos flexionantes. La figura 6-26 muestra una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro. Toda la viga está en equilibrio lo mismo que cualquier parte de ella. Examine los diagramas de cuerpo libre que se muestran en las partes (b), (c), (d) y (e) de la figura 6-26. Con la suma de momentos con respecto al punto donde se cortó la viga se obtiene la magnitud del momento flexionante interno necesario para mantener al segmento en equilibrio. En la figura 6—26(b) se muestra el primer segmento de 0.5 m. La suma de momentos con respecto al punto B da: = 500 N (0.5 m) = 250 N-m
M„
La fuerza cortante, que se dio con anterioridad en la figura 6-19, también se muestra.
1000 N |«- 0.5 m
0.5 m -*
B
M
0.5 m
C
0.5 m -»j
D
|
t Ra = 500 N
(a) Carga sobre una viga U -0 .5 m —|
I)
M„ = 250 N-m
V = 500 N RA = 500 N (b)
1000 N Aíc = 500 N-m
C\ V = 500 N
C(
V = 500 N («0
( c)
1000 N *------- 1.0 m ------- * - ° ' 5 ^ | DI /
V = 500 N R i = 500 N (e) F IG U R A 6 - 2 6
D ia g r a m a s d e c u e r p o lib re u tiliz a d o s p a r a d e te r m in a r m o m e n to s f le x io n a n te s .
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En la figura 6-26(c), un segmento de 1.0 m de longitud, el cual incluye la mitad izquierda de la viga pero n o la carga de 1000 N, se dibujó como cuerpo libre. La suma de momentos con respecto a C da: Mr =
500 N (1.0 m) = 500 N-m
Si se hubiera tomado en cuenta la carga de 1000 N como se indica en la figura 6-26(d), el resultado sería el mismo, puesto que la carga actúa justo en el punto C y, por consiguien te, no hay momento con respecto a dicho punto. La figura 6-26(e) muestra un segmento de 1.5 m de la viga aislado como cuerpo libre. Al sumar los momentos con respecto al punto D se obtiene: M„
= 500 N (1.5 m) - 1000 N (0.5 m) = 250 N-m
Si se considera toda la viga como cuerpo libre y se suman los momentos con respec to al punto E en el extremo derecho de la viga, se obtiene: M e = 500 N (2.0 m) - 1000 N (1.0 m) = 0
Un resultado similar se obtendría para el punto A en el extremo izquierdo. De hecho, una regla general es: Los momentos flexionantes en los extremos de una viga simplemente apoya da son cero. En suma, en la viga de la figura 6-26, los momentos flexionantes son: Punto A : 0 Punto 5: 250 N-m Punto C : 500 N-m Punto D : 250 N-m Punto E \ 0 La figura 6-27 muestra estos valores en el diagrama de momento flexionante bajo el diagrama de cortante que se desarrolló con anterioridad para la misma viga. Nótese que entre A y Clos valores del momento flexionante quedan sobre una línea recta. Asimis mo, entre C y E , los puntos quedan sobre una línea recta. Esta es una característica propia de los segmentos de vigas que sólo soportan cargas concentradas. Una regla general, entonces, es: . La curva del momento flexionante será una línea recta a lo largo de los seg mentos donde la curva de fuerza cortante tiene un valor constante. La figura 6-27 también ilustra otra regla general El cambio del momento entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los mismos dos puntos.
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Después de completar la integración se obtiene M„ -
M A = V (x„ -
x A)
(6-4)
Este resultado concuerda con la regla que antes se enunció. Nótese que M „ - M A es el del momento entre los puntos A y B . El miembro derecho de la ecuación (6-4) es el área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B.
c a m b io
Una vez que se comprende el principio en el que se fundamenta la regla del área, no es necesario realizar la integración para resolver problemas en los que las áreas se pueden calcular por geometría simple. Con los datos de la figura 6-27, por ejemplo, entre A y B: I lu s t r a c ió n d e la r e g la d e l á r e a .
M b ~ M.\ = V'Ufl - .v,,) = (500 N )(0.5 m - 0) = 250 N-m
Es decir, el momento flexionante aumentó 250 N-m a lo largo del claro A - B . Pero en A el momento M Á = 0. Por lo tanto: M„ = M A
+ 250 N-m = 0 + 250 N-m = 250 N-m
Asimismo, entre B y C: M c ~ M„
=
V (x c ~ X/,)
= (500 N)(1.0 m - 0.5 m) = 250 N-m
Entonces: Mc
=
Mn
+ 250 N-m
Pero M B= 250 N-m. Por lo tanto: = 250 N-m + 250 N-m = 500 N-m
Mc
Entre Cy D , K=-500N. Por consiguiente: (-500 N )(1.5 m - 1.0 m) = -250 N-m - 250 N-m = 500 N-m - 250 N-m = 250 N-m
M n ~ M i■ = V (x „ M0
=
Mc
xc) =
Entre Z) y E \ Me - M n =
v (x e
Me = M „
= (-500 N)(2.0 m - 1.5 m) = -250 N-m - 250 N-m = 250 N-m - 250 N-m = 0 ~
x D)
Estos resultados son idénticos a los que se determinaron con el método del diagrama de cuerpo libre. Se utilizará la regla del área para generar el diagrama de momento flexio nante con el diagrama de fuerza cortante y que ya se conoce en los problemas restantes de esta sección y siempre que los cálculos del área se puedan hacer de forma simple.
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E n e l p u n t o A : S e u sa la re g la q u e e s ta b le c e q u e e l m o m e n to fle x io n a n te e s c e ro e n lo s e x tre m o s d e u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . Es d e c ir, M A = 0.
P u n t o B : P a ra é s te y c a d a u n o d e lo s p u n to s s u b s e c u e n te s , s e a p lica la re g la d e l á re a . El p a tró n g e n e r a l es: M g = Mfy + [Á re a ]¿ 0 en d on de
[Área]„Q= á re a
b a jo la c u rv a d e fu e rz a c o rta n te e n tre A y B.
C o n lo s d a to s d e la c u rv a d e fu e rz a c o rta n te : [ÁreaJ^B = VAB x a n c h o d e l s e g m e n to AB P e ro , VAB = 5 .9 8 kN a lo la rg o d e l s e g m e n to A B c u y a lo n g itu d e s de 0 .4 0 m . P o r lo ta n to : [Á re a ]AB = 5.98 kN (0 .40 m) = 2.39 kN -m P o r ú ltim o :
M r = M a + [Á re a ]AS = 0 + 2 .39 kN -m = 2 .39 kN -m E ste v a lo r s e m a rc a e n el p u n to 6 d e l d ia g ra m a d e m o m e n to fle x io n a n te . E n s e g u id a se tra z a u n a lín e a re c ta d e M Aa M g p o rq u e la fu e rz a corta nte e s c o n s ta n te a lo la rg o d e d ic h o s e g m e n to . L o s v a lo re s d e l m o m e n to fle x io n a n te e n C, D, E y F s e d e te rm in a n d e la m is m a m a n e ra .
P u n to C: M c = Mb + [Á re a ]sc [Á re a ]flC= 2 .4 8 k N (0 .4 0 m ) = 0 .9 9 k N -m
M c = 2 .3 9 k N -m + 0 .9 9 k N -m = 3 .3 8 kN -m P u n to D: M D = M c + [Á re a ]Co [Á re a ]co = - 1 .82 k N (0 .4 0 m ) = - 0 . 7 3 k N -m
M d = 3 .3 8 kN -m - 0 .7 3 kN -m = 2 .6 5 kN -m O b s e rv e q u e el [Á re a ]CDe s n e g a tiv a p o rq u e e s tá d e b a jo d e l e je.
P u n to E: M E = M D + [Á re a ]D£ [Á re a ]DE = - 3 . 0 2 k N (0 .3 0 m ) = - 0 .9 1 kN -m
Me = 2 . 6 5 k N - m - 0 . 9 1 k N - m = 1.74 kN -m P u n to F: M F = M E + [Á re a ]ep [Á re a ]£p = - 5 . 8 2 k N (0 .3 0 m ) = - 1 . 7 4 k N -m
M e = 1.74 k N - m - 1 .74 k N -m = 0 k N -m R e s u m e n y c o m e n ta rio s
L o s v a lo re s d e l m o m e n to fle x io n a n te s e m u e s tra n en el
d ia g ra m a e n s u s p u n to s re s p e c tiv o s d e m o d o q u e lo s u s u a rio s d e l d ia g ra m a p u e d a n v e r lo s v a lo re s re la tiv o s . El h e c h o d e q u e M F= 0 c o m p ru e b a lo s c á lc u lo s p o rq u e la re g la pa ra v ig a s s im p le m e n te a p o y a d a s e s ta b le c e q u e el m o m e n to fle x io n a n te e n F d e b e s e r ce ro . E l o b je tiv o d e d ib u ja r el d ia g ra m a d e l m o m e n to fle x io n a n te c o n fre c u e n c ia e s lo c a liz a r el p u n to d o n d e o c u rre el m o m e n to fle x io n a n te m á x im o . E n e s te c a s o M c = 3 .3 8 k N -m e s e l v a lo r m á x im o .
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30
R e g la d e l m o m e n to fle x io n a n te m á x im o .
que se puede enunciar como sigue:
El ejemplo 6-6 ilustró una útil regla
El momento flexionante máximo ocurrirá en un punto donde la curva de la fuerza cortante corta el eje horizontal. La regla del área conduce a esta regla. Para ilustrarla, en el ejemplo 6—6, las áreas bajo la curva de la fuerza cortante en los primeros dos segmentos son positivas (encima del eje) y, por consiguiente, el momento flexionante se in c r e m e n ta hasta el punto C. Pero las áreas a la derecha del punto C son negativas (debajo del eje) y el momento flexionante d is m in u y e . Por consiguiente, el momento flexionante máximo ocurre en el punto C. En los casos en que la curva de la fuerza cortante corta el eje más de una vez, todos los puntos de intersección se tienen que investigar para determinar cuál es el máximo. D ia g r a m a s d e m o m e n to fle x io n a n te p a ra c a r g a s d is t r ib u id a s . Los ejem plos anteriores ilustraron el cálculo de momentos flexionantes y el trazo de sus diagramas de vigas que sólo se sometieron a cargas concentradas. Ahora se considerarán las cargas distribuidas. El método del diagrama de cuerpo libre se usará de nuevo para visualizar la variación del momento flexionante como función de la posición en la viga. La viga que ilustra la figura 6-29 se utilizará para mostrar los resultados repre sentativos de cargas distribuidas. Esta es la misma viga para la que se determinó la fuerza cortante, como se muestra en las figuras 6-23 a 6-25. Los diagramas de cuerpo libre de segmentos de la viga que se consideraron como incrementos de 2 m, se usarán para calcular los momentos flexionantes (recúrrase a la figura 6-30). Para un segmento del lado izquierdo de la viga, de 2 m de largo, el momento flexio nante se detennina al sumar los momentos con respecto al extremo izquierdo provocados por todas las cargas externas que actúan a la izquierda de la sección, según muestra la figura 6-23(a). Nótese que la resultante de la carga distribuida se muestra actuando a la mitad del segmento de 2 m. Por tanto, como el segmento está en equilibrio:
M2
= 6000 N (2 m) - 3000 N (lm ) = 9000 N-m
1500N/m C
6m
-3 m -
f . Ra = 6000 N
Rc =3000 N
6000 Fuerza cortante,
\3 000
K(N) 0
0
F IG U R A 6 - 2 9
i
6
1
i
D ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n to f le x io n a n te .
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8
9
31
3000 N — ¡ 1m
6000 N ---
*-*—2 m V v / 4 = 12 0 0 0 N •
1 t ♦
i
-•— 2 m — *-
= 9 0 0 0 N *m
V
V, = 3 0 0 0 N
A = 6000 N
V. = 0
4 ni
. Ka
(a)
(*) 9000 N ----- 3 m
= 90 0 0 N -m -
6 m
Ka = 6 0 0 0 N (c)
9000 N
U------------5 m
' —»
1 1 v
VB = 3 0 0 0 N
^ ,W X== 3 0 0 0 N -m
/?., = 6 0 0 0 N
(d)
FIG U R A 6 - 3 0
Diagramas de cuerpo libre utilizados para determ inarm om entos flexionantes.
El símbolo M 2 indica el momento flexionante que actúa en el punto a 2 m del extremo izquierdo de la viga. Con un método similar en los puntos a 4 m, 6 m y 8 m del extremo izquierdo de la viga, como se muestra en la figura 6-30(b), (c) y (d), se obtendría:
= 60 0 0
N (4 m)
-
6000
N (2 m)
=
12 0 0 0
N-m
M h = 60 00 N (6 m ) - 9 0 0 0 N (3 m ) = 9 0 0 0 N -m A /s
= 600 0
N (8 m)
-
9 0 0 0 N (5 m ) = 30 00 N -m
Recuérdese que en los extremos de la viga el momento flexionante es cero. Ahora ya se tienen varios puntos que se pueden marcar en un diagrama de momento flexionante bajo el diagrama de fuerza cortante, como se muestra en la figura 6-31. Primero examínese la sección de la viga donde actúa la carga distribuida, los primeros 6 m. Al unir los puntos correspondientes que se marcaron al momento flexionante con una curva uniforme, se obtiene el perfil característico de una curva de momento flexionante para una carga dis tribuida. En los últimos 3 m, donde no hay cargas aplicadas, la curva es una línea recta, como fue el caso en los ejemplos anteriores. Con base en la figura 6-31 se pueden hacer observaciones importantes, las cuales se pueden generalizar como reglas para el trazo de diagramas de momento flexionante.
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P o sició n e n la v ig a , m F IG U R A 6 -3 1
R e g la s p a r a d ib u ja r d ia g ra m a s d e m o m e n to f le x io n a n te
D ia g ra m a s d e carg a, fu erza c o rlan te y m o m e n to d e flex ió n c o m p leto s.
1. En los extrem os de una viga sim plem ente apoyada, el m om ento flexio nante es cero. 2. El cambio del momento flexionante entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre dichos puntos. Así pues, cuando el área bajo la curva de fuerza cortante es positiva (enci ma del eje), el m om ento flexionante se increm enta y viceversa. 3. El m áxim o m om ento flexionante ocurre en un punto donde la curva de la fuerza cortante corta su eje cero. 4. En una sección de la viga donde actúan cargas distribuidas, el diagram a de m om ento flexionante será curvo. 5. En una sección de la viga donde no hay cargas aplicadas, el diagram a del m om ento flexionante será una línea recta. 6. Lapendiente de la curva de m om ento flexionante en un punto cualquiera es igual a la m agnitud de la fuerza cortante en dicho punto.
C onsidérense estas reglas con aplicación a la viga de la figura 6 - 3 1 . Es obvio que la regla 1 se satisface, puesto que el m om ento en cada extrem o es cero. La regla 2 se puede usar para veri ficar los puntos trazados en el diagram a de m om entos a los intervalos de 2 m. Para los prim eros 2 m, el área bajo la curva de fuerza cortante se com pone de un rectángulo y un triángulo. Por lo tanto, el área es: A o. 2 = 3000 N (2 m) + y (3000 N )(2 m) = 9000 N-m
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Éste es el cambio del momento entre el punto 0 y el punto 2 en la viga. Para el segmento entre 2 y 4, el área bajo la curva de fuerza cortante es un triángulo. Luego: A2-4 = y (3000 N) (2 m) = 3000 N-m
Como éste es el cambio del momento entre el punto 2 y el punto 4: Mi
=
Mi +
/U-j = 9000 N-m + 3000 N-m = 12000 N-m
Asimismo, para los segmentos restantes: ¿ 4.6 = -^-(—3000 N) (2 m) = -3000 N-m M„ = M i + A i . 6 =
12000 N-m - 3000 N-m = 9000N-m /Vx = (-3000 N)(2 m) = -6000 N-m M x = M h + /4t-8 = 9000 N-m - 6000 N-m = 3000 N-m A8_9 = (-3000 N)(1 m) = (3000 N-m) M , = Mu + = 3000 N-m - 3000 N-m = 0 En este caso el hecho de que M 9 = 0 comprueba el proceso por el que la r e g la ¡ se debe satisfacer. La r e g la 3 se ilustra en el punto 4. En el punto donde ocurre el máximo momento flexionante, la curva de la fuerza cortante corta el eje cero. Para dominar la r e g la 6 se requiere algo de práctica, la cual es en extremo útil cuando se trata de bosquejar diagramas de momento. Por lo general, el bosquejar es suficiente. El uso de las seis reglas que se enunciaron permite bosquejar con rapidez el perfil del diagrama y calcular los valores clave. Al aplicar la r e g la 6, recuérdense los conceptos básicos con respecto a la pendiente de una curva o línea, como se ilustra en la figura 6-32. Se muestran siete segmentos diferentes, con curvas del diagrama de fuerza cortante y del diagrama de momento, en las que se incluye las más usuales en el trazo de tales diagramas. Por consiguiente, al dibujar una parte de un diagrama, en el que la curva de la fuerza cortante tiene una forma particu lar, la forma correspondiente de la curva de momento debe ser como se ilustra en la figura 6-33. Al aplicar este método al diagrama de momento de la figura 6-31, nótese que la curva del punto 0 al punto 4 es como la de tipo 5 de la figura 6-32. Entre los puntos 4 y 6, la curva es como la 6. Entre los puntos 6 y 9, se usa la línea recta de pendiente negativa, curva 3. 6 -6
F U E R Z A S C O R T A N T E S Y M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S E N V IG A S E N V O L A D IZ O
El tipo de apoyo de una viga en voladizo hace que el análisis de sus fuerzas cortantes y momentos flexionantes sea algo diferente del de vigas simplemente apoyadas. La dife rencia más notable es que el apoyo de la viga es fijo y, por tanto, puede resistir momentos. Por eso, en el extremo fijo de la viga, el momento flexionante no es cero, como en el caso
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+ Fuerza cortan le
0
©
©
G
Pendiente Pendiente positiva nula constante i constante
Pendiente negativa constante
Pendiente creciente positiva
Pendiente decreciente positiva
Pendiente creciente negativa
Pendiente decreciente negativa
M om ento llexionante
F IG U R A 6 - 3 2
F o r m a s g e n e r a le s d e la s c u rv a s d e m o m e n to en r ela ció n c o n la s c u r v a s d e fu er z a corta n te
co r r e sp o n d ie n te s .
4 kN R a = 64 k
M A = 7 0 k N -m
FIGURA 6 -3 3
Carga y reacciones en una viga.
de vigas simplemente apoyadas. De hecho, el momento flexionante en el extremo fijo de la viga por lo general es el m áxim o. Considérese la viga en voladizo que muestra la figura 6-33. En el ejemplo 6-4, se demostró que las reacciones en el apoyo A son una fuerza vertical R A = 64 kN y un mo mento Ma = 70 kN •m. Estos valores son los valores de la fuerza cortante y el momento flexionante en el extremo izquierdo de la viga. De acuerdo con la convención de signos adoptada, la fuerza de reacción RAes positiva y el momento MA en sentido contrario al de las manecillas del reloj es negativo y dan los valores iniciales de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que muestra la figura 6-34. Las reglas que con anterio ridad se desarrollaron para el trazo de diagramas de fuerza cortante y momento flexio nante se pueden usar entonces para completar los diagramas. La fuerza cortante disminuye en forma de línea recta de 64 kN a 4 kN en el intervalo entre A y B. Nótese que el cambio de la fuerza cortante es igual a la magnitud de la carga distribuida, 60 kN. La fuerza cortante permanece constante entre B y C, donde no hay cargas aplicadas. La carga de 4 kN en Chace que la curva regrese a cero. El diagrama de momento flexionante comienza en —70 kN •m debido al momento de reacción M A. Entre los puntos A y B, la curva tiene una pendiente positiva decreciente
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FIG U R A 6 - 3 4
Diagramas de carga, fuerza corlante y momento flexionante completos
(curva 5 en la figura 6-32). El cambio del momento entre A curva de la fuerza cortante entre A y B. El área es:
y B
es igual al área bajo la
A a _b = 4 kN (2 m) + y (60 kN)(2 m) = 68 kN-m
Por tanto, el momento en B es: M b — M ..\ +
A a. b =
—70
kN-m
+
68 kN-m
=
—2 kN-m
Por último, entre B y C : Mc
=
Mb +
A B- c
=
~2
kN-m + 4 kN (0.5 m) = 0
Como el punto Ces el extremo lib r e de la viga, el momento debe ser cero. 6 -7
V IG A S C O N C A R G A S D I S T R IB U ID A S L IN E A L M E N T E V A R IA B L E S
Las figuras 6-5 y 6-6 de la sección 6-2 ilustran dos ejemplos de vigas que se sometieron a cargas distribuidas linealmente variables. A continuación se demostrará el método para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de tales vigas y la deter-
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minación de los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante. En la práctica éstos son los objetivos principales. Más adelante, en la sección 6-9, seplanteaun método matemático que da una definición más completa de la forma de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Recúrrase ahora a la figura 6-35 que muestra el diagrama de carga de la viga en voladizo de la figura 6-5. El régimen de carga varía linealmente desde vv= -200 lb/pie (hacia abajo) en el apoyo A hasta w = cero en el extremo derecho B. Esta curva de línea recta se conoce como c u r v a d e p r im e r g r a d o porque la carga varía de modo directo con la posición, A-, en la viga. Con una carga como ésa, la reacción en A , y que se llama/?,,, es la resultante de la carga distribuida total, la cual se determina al calcular el área bajo la curva de forma triangular. Es decir: Ra = j (-200 lb/pies)(8 pies) = -800 Ib
El momento flexionante en el apoyo, al que se le llama M A, debe ser igual al momento de toda la carga aplicada a la derecha d e A . Éste se determina al considerar que la resultante actúa en el centroide de la carga distribuida. En la curva de carga de forma triangular, el centroide está a 1/3 de la longitud de la viga a partir del punto A . Si esta distancia se designa como.v, entonces: x —LJ3 = (8 pies)/3 = 2.667 pies
Por tanto, el momento en A es el producto de la resultante por.v. Es decir, /V/., = /?+*:= (800 Ib) (2.667 pies) = 2133 lbpie Los valores RA = 800 Ib y M A = 2133 lb pie son los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante, respectivamente. En la mayoría de los casos, ése es el objetivo del análisis. De ser así, el análisis se puede dar por terminado. Pero, si se desean los diagramas de fuerza cortante y el momento flexionante, se pueden trazar con base en los principios que se plantearon con anterioridad en este capí tulo. La figura 6—36 muestra los resultados. El diagrama de fuerza cortante parte d e A con el valor de 800 Ib, igual a la reacción RÁ. El valor de la fuerza cortante disminuye entonces en puntos a la derecha de A conforme se aplican cargas adicionales. Nótese que la curva
»i'i = -2 0 0 Ib-pies
R = resultante = área bajo la curva de carga R = (w,L) = W -200)(8) = - 800 Ib Curva de primer grado (linea recta) . H=0
MA = R (L/ 3) íV^, = 2133 lb pies
pies
FIG U RA 6 -3 5 Diagrama de carga, reacción y momento de una viga en voladizo sometida a una carga distribuida linealmente variable.
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o M om ento flexionante, M (lb p ie )
F IG U R A 6 - 3 6 D iagram as de carga, fuerza corlante y m om ento flexionante correspondientes a la carga aplicada a la viga de la figura 6 -3 5 .
de la fuerza cortante no es una línea recta porque el régimen de carga disminuye de/l hacia B . En B el régimen de carga es cero, por lo que el valor de la fuerza cortante en B es cero. La pendiente de la curva de fuerza cortante en cualquier punto es igual al régimen de carga en el punto correspondiente del diagrama de carga. Así pues, la curva de la fuerza cortante comienza en A con una pendiente negativa relativamente grande, la cual dismi nuye de manera progresiva a medida que la curva se aproxima a B . Esta curva por lo general se llama c u r v a d e s e g u n d o g r a d o porque su valor varía con el cuadrado de la distancian. El diagrama de momento flexionante se traza al observar en primer lugar que M Á = -2133 Ib •pie. La curva tiene una pendierrte positiva digamos un tanto grande e n A debido al gran valor positivo de la fuerza cortante en dicho punto. Luego, la pendiente disminuye de manera progresiva, conforme aumenta la distancia hasta cero en el punto B . El hecho de que el valor del momento flexionante sea igual a cero en B se puede demostrar, también, si se calcula el área bajo la curva de la fuerza cortante d e A a B . El apéndice A -l incluye fórmulas para calcular el área bajo una curva de segundo grado del tipo expuesto en el diagrama de fuerza cortante. Es decir: Área = (l/3)(800 lb)(8 pies) = 2133 lb pie Éste es el c a m b i o del momento flexionante d e A a B , que hace que la curva del momento flexionante sea cero en B .
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6 -8
D IA G R A M A S D E C U E R P O L IB R E D E C O M P O N E N T E S DE E S TR U C TU R A S
Los ejemplos que hasta ahora se consideraron fueron de vigas generalmente rectas con todas las cargas transversales, es decir, cargas que actúanperpendiculares al eje principal de la viga. Muchos elementos de máquinas y estructuras son más complejos, con compo nentes alejados de la parte principal en forma de viga. Por ejemplo, considérese el poste simple con un brazo extendido como el que se muestra en la figura 6-37 queconstadeun componente verticalyuno horizontal. El poste vertical tiene su base finnemente sujeta. En el extremo del brazo horizontal extendido, se aplica una carga con dirección hacia abajo. Un ejemplo de semejante carga es un sistema de sustentación de una señal de carretera. Otro sería el poste de sustentación de una canasta de baloncesto en el que la fuerza con dirección hacia abajo podría ser unjugador colgado del aro después de una clavada. Una aplicación en el diseño mecánico es una ménsula que soporta piezas de máquina durante el procesamiento. En esas condiciones, conviene analizar el elemento de una estructura o máquina al considerarse cada elemento aparte y al trazarun diagrama de cuerpo libre de cada uno. En lasjuntas entre piezas, una pieza ejerce fuerzas y momentos en la otra. Con este método, se puede diseñar cada pieza con base en su patrón de carga, si se utilizan los principios básicos del análisis de vigas de este capítulo y de los restantes. P o ste con un b razo e x te n d id o . E l objetivo del análisis es dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos de los componentes horizontal y verti cal de la estructura poste/brazo expuesta en la figura 6-37. El primer paso consiste en “desprender” el brazo del poste en el codo a 90°. La figura 6-38 muestra el brazo horizontal como diagrama de cuerpo libre con la carga F , aplicada en su extremo derecho. El resultado es similar al de la viga en voladizo
F IG U R A 6 - 3 8 F IG U R A 6 - 3 7
P o s le c o n un brazo e x te n d id o .
D ia g r a m a s d e c u e rp o lib re, fuerza
cortante y m o m e n to fle x io n a n te d e l brazo h orizon tal
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que con anterioridad se explicó en este capítulo. Se sabe que el brazo está en equilibrio com o parte de la estructura com pleta y, por consiguiente, debe estarlo cuando se conside ra solo. Por lo tanto, en el extrem o izquierdo, donde se une al poste vertical, debe haber una fuerza igual a F q u e actúa de m odo vertical con dirección hacia arriba para mantener la sum a de las fuerzas verticales igual a cero. Pero las dos fuerzas verticales form an un par que tiende a girar el brazo en el sentido de las m anecillas del reloj. Para m antener el equilibrio rotacional, en el extrem o izquierdo del brazo debe haber un m om ento que actúa en sentido contrario al de las m anecillas del reloj de m agnitud M = F -a, donde a es la longitud del brazo. Con el diagram a de cuerpo libre com pleto, se trazan los diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante com o se indica en la figura 6 -3 8 . La fuerza cortante es igual a Fa todo lo largo del brazo. El m om ento m áxim o flexionante ocurre en el extrem o izquierdo del brazo d o n d e M= F a. En la figura 6 - 3 9 se m uestra el diagram a de cuerpo libre del poste vertical. En el extrem o superior del poste se m uestran una fuerza con dirección hacia abajo y un mo m ento que actúa en sentido de las m anecillas del reloj, ejercidos en el poste vertical por el brazo horizontal. N ótese el par de acció n -reacció n que existe en las ju n ta s entre las pie zas. En las dos piezas actúan cargas iguales pero opuestas. Para com pletar el diagram a de cuerpo libre del poste se requiere una fuerza con dirección hacia arriba y un m om ento en sentido contrario al de las m anecillas del reloj en su extrem o inferior, provocados por el m ecanism o de fijación de la base. Por últim o, la figura 6 - 3 9 m uestra los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante del poste, dibujados en posición vertical para relacionar los valores con las posiciones en él. N o hay fuerza cortante porque no hay fuerzas transversales que actúen en el poste. D onde no existe fuerza cortante, el momento flexionante no cambia y éste se man- tiene constante a lo largo del poste. La figura 6 - 4 0 m uestra un brazo en form a de L que se extiende bajo la viga principal que soporta una fuerza inclinada. La viga principal
V ig a c o n u n b ra z o e n fo r m a d e L.
F I G U R A 6 - 3 9 D ia g ra m a s d e c u erp o libre, fu erza c o rta n te y m o m e n to fle x io n a n te del p o s te v ertical.
F IG U R A 6 - 4 0
V ig a c o n un b razo en fo rm a d e L.
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tan sólo se apoya en A y C. El apoyo C tiene un diseño para que reaccione a cualquier fuerza horizontal en desequilibrio. El objetivo es dibujar los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante com pletos de la viga principal y los diagram as de cuerpo libre de to das las partes del brazo. En este caso conviene usar tres diagram as de cuerpo libre: uno p ara la p arte h ori zontal del brazo, uno para la parte vertical del brazo y uno para la viga principal. Pero p rim ero conviene descom poner la fuerza aplicada en sus com ponentes vertical y h ori zontal, com o se indica por m edio de los vectores de puntos en el extrem o del brazo. L a figura 6-41 m uestra los tres diagram as de cuerpo libre. Si se co m ienza con la parte D E expuesta en (a), las fuerzas aplicadas en E deben estar equilibradas p o r las fuerzas que actúan en D en dirección opuesta p ara que haya equilibrio en las direcciones vertical y horizontal. Pero el equilibrio rotacional debe originarse p o r un m om ento inter no en D. Al su m ar los m om entos con respecto al punto D se d em u estra que:
M
d
= F s f d = (16.4 kN ) (0.6 m) = 9.84 kN -m
En la figura 6-41 (b) las fuerzas y los m om entos que actúan en D tienen los m ism os valores pero direcciones opuestas a los que actúan en D en la parte (a) de la figura. Las condiciones de equilibrio vertical y horizontal m uestran las fuerzas que actúan en B igua-
= 5 .2 4 k N -m
2 .0 m
b= 1.2 m M b = 5.24 kN-m
A
C
B
-E M Fa, = 7.22 kN
FCx = 11.5 kN
F„t = 11.5 kN FCy= 9.18 kN
F„y = 16.4 kN
D ia g ra m a s d e c u erp o libre, (a ) D ia g ra m a d e c u erp o lib re de la p ie z a 0 £ . (b ) D ia g ra m a d e c u erp o lib re d e la p ie z a flD .
(c) D iagram a d e c u erp o lib re d e la p ie z a A B C , la v ig a p rin cip al.
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lesa las que actúan en D . El momento que actúa en B sedetermina mediante la suma de los momentos con respecto a B como sigue:
Por tanto: M „ = M n ~ Fd ,-c = 9.84 k N -m -
(11.5 k N ) ( 0 .4 m ) = 5.24 k N -m
Ahora se analiza la viga principal A B C . Las fuerzas y el momento se muestran aplicados en B con los valores que se tomaron del punto B de la parte B D . Paradeterminar las reacciones en A y C primero se suman los momentos con respecto al punto Ccomo sigue:
Nótese que se incluye el momento M B aplicado en B . Si se resuelve para F.,v.se obtiene rM
(F ,ly-b) - M „ (16.4 kN) (1 .2 m) - 5 .2 4 kN-m = --------- ----- = ---------------- — ----------------- = a + b 2.0 m
7.22
kN
Asimismo, si se suman los momentos con respecto al punto A se obtiene:
Obsérvese que el momento M¡, aplicado en B es positivo porque actúa en el mismo senti do que el momento causado por F By Al resolver para F Cy se obtiene: (Fuy-a)
+
M„
(16.4 k N ) (0.8 m ) + 5 .2 4 k N -m 2 .0 m
= 9.18 kN
El cálculo de las fuerzas se comprueba sumándolas en la dirección vertical verificando que la suma sea cero. La terminación del diagrama de cuerpo libre de la viga principal requiere la inclu sión de la reacción horizontal en C igual a la fuerza horizontal en B. La figura 6-42 muestra los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga principal A B C . El diagrama de fuerza cortante se traza a la manera tradicional con los cambios de la fuerza cortante que ocurren en cada punto de aplicación de carga. La diferencia del desarrollo anterior radica en el diagrama de momento. Se utilizaron los siguientes pasos: 1. El momento en A es igual a cero porque A es un apoyo simple. 2. El incremento del momento en A y B es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B , 5.78 kN-m. 3. En el punto B el momento M¡¡ se considera que es un m o m e n to c o n c e n tr a d o el cual produce un cambio repentino del valor del momento flexionante igual al
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lesa las que actúan en D . El momento que actúa en B sedetermina mediante la suma de los momentos con respecto a B como sigue:
Por tanto: M„
=
M„
-
F n.-c
= 9.84 kN-m - (11.5 kN)(0.4 m) = 5.24 kN-m
Ahora se analiza la viga principal A B C . Las fuerzas y el momento se muestran aplicados en B con los valores que se tomaron del punto B de la parte B D . Paradeterminar las reacciones en A y C primero se suman los momentos con respecto al punto Ccomo sigue:
Nótese que se incluye el momento M B aplicado en B . Si se resuelve para F.,v.se obtiene rM
(F ,ly-b) - M „ (16.4 kN)(1.2 m) - 5.24 kN-m = --------- ----- = ----------------— ----------------- = 7.22 kN a + b 2.0 m
Asimismo, si se suman los momentos con respecto al punto A se obtiene:
Obsérvese que el momento M¡, aplicado en B es positivo porque actúa en el mismo senti do que el momento causado por F By Al resolver para F Cy se obtiene: (Fny-a) + M „
(16.4 kN) (0.8 m) + 5.24 kN-m 2.0 m
= 9.18 kN
El cálculo de las fuerzas se comprueba sumándolas en la dirección vertical verificando que la suma sea cero. La terminación del diagrama de cuerpo libre de la viga principal requiere la inclu sión de la reacción horizontal en C igual a la fuerza horizontal en B. La figura 6-42 muestra los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga principal A B C . El diagrama de fuerza cortante se traza a la manera tradicional con los cambios de la fuerza cortante que ocurren en cada punto de aplicación de carga. La diferencia del desarrollo anterior radica en el diagrama de momento. Se utilizaron los siguientes pasos: 1. El momento en A es igual a cero porque A es un apoyo simple. 2. El incremento del momento en A y B es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B , 5.78 kN-m. 3. En el punto B el momento M¡¡ se considera que es un m o m e n to c o n c e n tr a d o el cual produce un cambio repentino del valor del momento flexionante igual al
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este capítulo son propias y convenientes. Se puede analizar una am plia variedad de tipos de vigas y cargas con suficiente detalle para lograr un diseño lógico de las vigas que garantice la seguridad y que lim ite las deflexiones a valores aceptables. Los m étodos para alcanzar estos objetivos se presentan en los capítulos 8 -1 2 . Sin em bargo existen algunos tipos de carga y de técnicas de diseño que pueden sacar provecho de la representación de los diagram as de carga, fuerza cortante y m om en to flexionante m ediante ecuaciones m atem áticas. E sta sección presenta los m étodos de crear tales ecuaciones. Lo que sigue es una serie de instrucciones sobre cóm o derivar ecuaciones que definan por com pleto la carga, la fuerza cortante y el m om ento flexionante com o función de la posición en la viga.
In s t r u c c io n e s p a r a d e r iv a r e c u a c io n e s d e d ia g r a m a s d e v ig a s
1. T race el diagram a de carga con todas las cargas externas aplicadas y las reacciones. 2. C alcule los valores de todas las reacciones. 3. M arque los puntos a lo largo de la viga donde actúan cargas concentradas o donde com ienzan y term inan cargas distribuidas. 4. D ibuje los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante valiéndo se de las técnicas expuestas con anterioridad en este capítulo y señale los valores en los puntos críticos que se definen en el paso 3. 5. E stablezca convenciones para denotar las posiciones en la viga y los sig nos de las fuerzas cortantes y el m om ento flexionante. En lam ay o ría de los casos, se utilizarán las siguientes convenciones: a. L aposición en la viga se denotará por la v ariab le* m edida con respecto al extrem o izquierdo de la viga. b. Las cargas con dirección hacia abajo serán negativas. c. Lina carga cortante positiva es aquella que actúa h acia abajo dentro de una sección dada de una viga. U n m étodo alterno para determ inar el signo de la carga consiste en analizar la fuerza vertical extem a neta que actúa en la parte de la viga a la izquierda de la sección de interés. Si la siguiente fuerza externa actúa hacia arriba, la fuerza cortante interna en la viga es positiva. V éanse las figuras 6 - 1 9 a 6 - 2 5 . d. U n m om ento flexionante positivo es aquel que actúa en sentido contra rio al de las m anecillas del reloj dentro de una sección dada de una viga. V éanse las figuras 6 -2 6 a 6 -3 1 . U n m om ento flexionante positivo ten derá a flexionar una viga en una forma cóncava hacia arriba, p ropia de una viga sim plem ente apoyada que soporta cargas con dirección hacia abajo entre los apoyos. 6. C onsidere por separado cada segm ento de la viga entre los puntos que se definen en el paso 3. La curva de la fuerza cortante debe ser continua dentro de cada segm ento. 7. Si el diagram a de fuerza cortante se com pone de líneas rectas debido a cargas concentradas o uniform em ente distribuidas, se pueden usar los prin cipios fundam entales de la geom etría analítica para escribir las ecuacio nes de la fuerza cortante contra la posición en cada segm ento de la viga. Las ecuaciones resultantes tendrán la form a:
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Constante (ecuación de grado cero) VBc = a x + b (ecuación de primer grado)
V,B =
Los subíndices definen el comienzo y el final del segmento de interés. 8. Si el diagrama de fuerza cortante contiene segmentos curvos causados por cargas distribuidas variables, primero escriba ecuaciones para la carga ve rsu s posición de la viga. Luego derive las ecuaciones para la fuerza cortante ve rsu s la posición en la viga como sigue:
Ku= j
WÁBdx + C
donde wAB es la ecuación para la carga que actúa en el segmento A B como función de.vy Ces unaconstante de integración. Laecuación de la fuerzacortante resultante seráde segundo grado o mayor, según lacom plejidad del patrón de carga. Calcule el valor de las constantes de inte gración por medio de valores conocidos de V en puntos dados x. 9. Derive ecuaciones para el momento flexionante como función de la po sición en cada segmento de laviga, por medio del método:
MáB= \ Vab dx + C
Este es el equivalente matemático de la re g la d e l á re a para el trazo de diagramas de vigas que se utilizó con anterioridad porque el proceso de integración determina el áreabajo la curva de la fuerza cortante. Calcu le el valor de las constantes de integración por medio de valores conoci dos de M en.vpuntos dados. 10. El resultado es un conjunto de ecuaciones parafuerzacortantey momen to flexionante en cadasegmento de la viga. Convendría comprobarlas en cuanto a exactitud sustituyendo los valores clave de x para los que se conoce la fuerza cortante y el momento flexionante en las ecuaciones para garantizar que se obtendrán los valores correctos para V y M. 11. Determine los valores máximos de la fuerza cortante y el momento fle xionante si aún no se conocen sustituyendo valores de x en las ecuacio nes apropiadas donde se esperan los máximos valores. Recuerde la regla con respecto a que el momento máximo flexionante ocurrirá en el punto donde la curva de la fuerza cortante cruza el ejex, es decir, donde V = 0 .
Este procedimiento se ilustra con los cuatro ejemplos siguientes. El objetivo es escri bir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga y patrón de carga como se muestran en la figura 6-43, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. V ig a s im p le m e n te a p o y a d a c o n u n a c a rg a c o n c e n tr a d a .
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Por tanto, C= 0. La ecuación final se escribe como: M u: =
16a
Como comprobación, se ve que en,v=3 m, el momento flexionante A/fl= 48 kN-m, como se muestra en el diagrama de momento flexionante. A continuación se deriva la ecuación del momento flexionante en el segmento BC.
Para evaluar la constante C correspondiente a este segmento, se usa la condición de que enx - 5, M b c = 0. Por tanto: 0 = -24(5) + C Por consiguiente, C = 120. La ecuación final es: = -24.v + 120 Para comprobarla, se sustituye.v = 3. M b c = - 24(3)+
120 = -72+ 120 = 48 (comprobación)
En suma, las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son En el segmento A B desde.v—0 hastax = 3 m: VAB
= 16
Mu, =
16.v
En el segmento B C desde x = 3 m hasta x = 5 m: VV = -24 -24.v + 120
M IIC =
Los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante se ven con claridad en los diagramas. = -24 kN a través del segmento B C Mm* = 48 kN-m en el punto B (.r= 3 m) Con esto se termina el ejemplo. V ig a s im p le m e n t e a p o y a d a c o n u n a c a r g a p a r c ia l u n ifo r m e m e n t e d i s t r i b u id a . El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y
momento flexionante de la viga y el patrón de carga que se muestran en la figura 6-44, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que ésta es la misma viga y patrón de carga de la figura 6-31.
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FIG U RA 6 - 4 4
Viga simplemente apoyada con una carga parcial con distribución uniforme.
Ya se completaron los pasos del 1al 4 los cuales se muestran en la figura 6-44. Los puntos de interés se designaron como A en el apoyo izquierdo, B en el punto donde termina la carga distribuida y Cen el apoyo derecho. Se desarrollarán ecuaciones para los dos segmentos A B y B C , e n donde A B comprende desde.v = 0 hasta ,v= 6 m y B C desde x = 6 m hasta.v = 9 m. El paso 5(b) puede usarse para escribir una ecuación para la carga en el segmento A B:
wAB = —1500 N /m
El paso 7 se usa para escribir las ecuaciones de la curva de fuerza cortante. En el segmento A B , la curva es una línea recta, así que se escribe como sigue: V,\B = o x
+
b
en donde a es la pendiente de la línea y b es la intersección de la línea con el eje V enx = 0. Un método conveniente para determinar la pendiente consiste en observar que la pen diente es igual al régimen de carga en el caso de una carga distribuida. Es decir, a =-1500 N/m. El valor de la intersección b se determinaen el diagrama de fuerza cortante; b = 6000 N. Por consiguiente la forma final de la ecuación de la fuerza cortante es: VAB = -1500a- + 6000
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La ecuación se comprueba sustituyendo * = 6 my calculando V„. VAR
= -1500(6) + 6000 = -3000
Este valor concuerda con el valor que ya se conoce de la fuerza cortante en el punto B. Nótese que se pudo usar el paso 8 para determinar la ecuación de VAB. Obsérvese que: h ', i s
=
—1500 N/m
Por lo tanto: VAB = J wABdx + C
=
J —1500 dx + C =
-1500.V 4- C
El valor de C se determina al sustituir VAB= 6000 enx = 0. 6000 = -1500(0) + C Luego, C=6000. Por último: VAB ---- 15()0.v
+ 6000
Este valores idéntico al resultado precedente. En el segmento BC la fuerza cortante es un valor constante: VBC
= -3000
Antes de proceder a determinar las ecuaciones del momento flexionante recuérde se que un punto crítico ocurre donde la fuerza cortante cruza el eje cero. Dicho punto corresponde al punto donde ocurre el momento máximo flexionante. Sea este punto D y determine el valor de.Vo, donde V = 0 igualando la ecuación de Vw a cero y resolviéndola para.vfl. 0 = — 1 5 0 0 * 0 + 6000 = 6000/1500 = 4.0 m
VAB =
xn
Más adelante se usará este valor para determinar el momento flexionante en D. El paso 9 de las instmcciones se usa para determinar las ecuaciones del diagrama del momento flexionante. Primero en el segmento/ífí: M ah = | VABdx +
C=
J( - 1 5 0 0 *
+ 6000) dx +
Mab = - 7 5 ( k : + 6000.V + C
Para evaluar C, nótese que en*=0,M/)í=0. Por lo tanto, C=0. Y: Mab = -750*2 + 6000*
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C
50
La ecuación se comprueba determinando M¡, en.v = 6 m. M„
= - 750(6)2 + 6000(6) = 9000 (comprobación)
Además, se requiere el valor del momento máximo en D , donde x = 4.0 m. Mn
= -750(4)2 + 6000(4) = 12 000 (comprobación)
Para el segmento B C \ M ac = J VBCd x + C = j
-
3000 d x
+ C =
-3000.x + C
Pero, en .v= 9 m, M BC = 0. Por lo tanto: 0 = -3000(9) + C y C = 27000. Por último: M fíC =
—3000.Í + 27000
Se comprueba esta ecuación en el punto B parax M¡i
=
6 m.
= —3000(6) + 27000 = —18000 + 27000 = 9000 (comprobación)
En suma, las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son: En el segmento A B desde.v = 0 hasta.v = 6 m: -1500* + 6000 = —750.V2 + 6000.V
VAB =
Mab
En el segmento B C desde.v = 6 m hasta* = 9 m: -3000 = -3000.V + 27000
VBC =
M bc
Los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante son evidentes en los diagramas. Fmáx = 6000 N en el extremo izquierdo de/1 Mmáx= 12 000 N ■ m en el punto D ( x ~ 4 m) Con esto se concluye el ejemplo. El objetivo es escribirlas ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante correspondientes V ig a e n v o la d iz o c o n u n a c a rg a d is trib u id a v a r ia b le .
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a la viga y carga según la figura 6-4 5, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que la viga y la carga son las mismas que se mostraron en la figura 6— 36. Eneste ejemplo habrásólo un segmento, que comprende toda la longitud de laviga, porque las curvas de la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante son continuas. Primero se escribe una ecuación de la carga que varía linealmente desde unarazón de-200 bl/pie en el extremo izquierdo A hasta cero en el punto B donde a:= 8 pies. Es de hacerse notar que la carga se muestra al actuar sobre la viga con dirección hacia abajo conforme a la convención usual. Pero la carga con dirección hacia abajo es en realidad negativa. Como ayuda para escribir la ecuación, se podría dibujar el diagrama de carga como unagrá fic a de carga contra la posición*, como se muestra en la figura 6—46. Luego se escribe la ecuación de la línea rf*cta: w Á!¡
=
a.x
+
b
La pendiente, a, se evalúa con la razón del cambio de vva lo largo de una distancia dada*. Si se usa toda la longitud de la viga se obtiene: W| — vv2
a
—200 — 0 0 - 8
= 25
I— V3
it'l = - 2 0 0 lb p ie
R = resultante = área bajo la curva de carga R = '/i (*v,L) = '¿(-200)(8) = - 800 Ib » = 25* -200 , Curva de primer grado (linea recta)
(
0
0 Momento flexionante, M (Ib pie)
Ai = 4.167a3 - lOO.r + 800.V - 2133 curva de tercer grado
-Mnúx = - 2133 FIGURA 6 - 4 5
V ig a en v o la d iz o c o n u na carga d istrib u id a varia b le.
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F I G U R A 6 - 4 6 Representación alterna de la carga sobre la viga de la figura 6 - 4 5 .
El valor de b = -200 se observa en el diagrama de la figura 6-46. Entonces la ecuación final de la carga es: wAB =
25* - 200
Esta ecuación se comprueba al evaluar w enx = 8 pies al final déla viga. wAB =
25(8) —200 = 0 (comprobación)
A continuación se deduce la ecuación para el diagrama de fuerza cortante. VAB = J wABd x + C = I (25x - 2 0 0 ) d x +
C
= 12.5 * 2 - 2 0 0 * + C
Use la condición de que en.v= o ,y M = 800 para evaluar C. 800 = 12.5(0)2 - 200(0) +
C
Por lo tanto, C = 800. Y la ecuación final de la fuerzacortante es: VÁB = 12.5jc 2 -
200*
+
800
Esta ecuación se comprueba evaluando V en,v = 8 pies al final de la viga. VAB =
12.5(8)2 — 200(8)
+
800 = 0 (comprobación)
Ahora se deduce la ecuación del diagrama del momento flexionante. M ab = J VABd x M ab = 4 .1 6 7 * 3 -
+
C
=
I (1 2 . 5jc2 - 20 0 *
100*2 + 8 00* +
+
800) d x
C
Si se u tiliz a la c o n d ic ió n d e q u e e n * = 0,M ^,s = - 2 1 3 3 , se e v a lú a C.
-2133 = 4.167(0)’ - 100(0)2 + 800(0) +
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C
+
C
53
Por lo tanto, C=-2133. La ecuación final del momento flexionante es: Mab = 4.167x3 - lOO.r2 + 800* - 2133
Esta ecuación se comprueba evaluando M en x = 8 pies al final de la viga. Mab = 4.167(8)3 —100(8)2 + 800(8) —2133 = 0
(comprobación)
En resumen, las ecuaciones de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante de la viga que ilustra la figura 6-45 son: w Afí VM
Mab
(una curva de primergrado; una línea recta)
25.V-200
(una curva de segundo grado) = 12.5.ir-200.í+ 800 = 4.167.v3- 1OO.v2+ 800.r- 2133 (una curva de tercer grado)
Con esto se concluye el ejemplo. El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga y carga como se muestran en la figura 6- 47, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. La figura 6 -6 ilustra cómo se crea este patrón de carga. Por la simetría de la carga, las dos reacciones son de igual magnitud. Cada una es igual al área bajo una mitad del diagrama de carga. Si tal área se descompone en un rectángulo de 0.2 kN/m de alturapor 2.30 mde ancho y untriángulo de 1.0 kN/mde altura por 2.30 mde ancho, se calcula:
V ig a s im p le m e n te a p o y a d a con una ca rg a d is trib u id a v a ria b le .
Ra = R c = (0.2) (2.30) + 0.5(1.0)(2.30) = 0.46 + 1.15 = 1.61 kN
En la figura 6- 47 se muestran las formas generales de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Se ve que la curva de la fuerza cortante cruza el eje cero a la mitad de la viga en.v = 2.30 m. Por consiguiente, el momento máximo flexionante ocurre en dicho punto. En principio, la magnitud del momento máximo flexionante es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los puntos A y B. Pero el cálculo de esa área es difícil porque la curva es de segundo grado y no comienza en su vértice. Por lo tanto no se pueden usar las fórmulas del apéndice A-l de manera directa. Por eso se desarrollan las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. En primer lugar escríbase la ecuación de la carga que actúa en la mitad izquierda de la viga desde A hasta B. La razón de la carga comienza como -20 kN/m (con dirección hacia abajo) y se incrementa a —1.20 kN/m. Asimismo, tal como se hizo en el ejemplo precedente, conviene dibujar el diagrama de carga como si fuera una gráfica, como se muestra en la figura 6- 48. A continuación se escribe la ecuación de la línea recta como sigue: wAB = ax
+
b
La pendiente, a, se calcula con la razón del cambio de w a lo largo de una distancia dada Al utilizar la mitad del largo de la viga se obtiene:
x.
a —
Wi -
w2 = - 0 .2 0 -
x¡ — x-i
(-1 .2 0 )
0 - 2.30
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= -0.4348
54
- 1 .2 0 k N /m
F IG U R A 6 - 47
V iga sim plem ente apoyada con una carga distribuida variable.
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El valor de b = -0.20 se obtiene del diagrama expuesto en la figura 6-47. Luego la ecuación final de la carga es: wAn = a x
+
b
= —0.4348* - 0.20
Esta ecuación se comprueba enx = 2.30 a la mitad de la viga. Wab = —0.4348.V - 0.20 = 0.4348(2.30) - 0.20 = 1.20 kN/m (comprobación)
A continuación se deriva la ecuación del diagrama de fuerza cortante correspon diente al segmento /IB.
VAB
=
wAHclx
+
C
=
(—0.4348* - 0.20)d x + C = -0.2174*2 - 0.20* + C
Para evaluar C use la condición de que en .v= 0, forma final de la ecuación es: VAH = —0.2I74*2 -
VAB =
0.20*
1.61. Por lo tanto, C = 1.61 y la
+
1.61
Esta ecuación se comprueba a la mitad de la viga sustituyendo* = 2.30 m. VAH =
-0.2174(2.30): - 0.20(2.30)
+
1.61
=
0 (comprobación)
A continuación se deriva la ecuación para el diagrama del momento flexionante. M ab
=
J VAHd x
+
C =
J (—0.2174*2 -
0.20* + I.6IU/* +
C
Máh = -0.07246*5 - 0.10*2 + 1.61* + C
Utilizando la condición de que en x = 0, M ,w = 0, se evalúa C= 0. Y: Mah = -0.07246*' - 0.10*2 + 1.61*
Con * = 2.30 mse obtiene M B = 2.292 kN-m. La ecuación de los diagramas del lado derecho se derivan de la misma manera. Pero, por la simetría de los diagramas, las curvas del lado derecho son idénticas a las del lado izquierdo. En suma, las ecuaciones de la mitad izquierda de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante son: wAH =
VAB = M ,n =
-0.4348* - 0.20 -0.2174*2 - 0.20* + 1.61 -0.07246*’ - 0.10*2 + 1.61*
La fuerza cortante máxima es de 1.61 k-N en cada uno de los apoyos y el momento máximo flexionante es de 2.292 kN-m a la mitad de la viga. Con esto se concluye el ejemplo.
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4 0 kN
800 Ib
6p l g
3 0 0 Ib ,
{
10 kN
2 2.5m
Il. j
6 p lg
10 kN
2.5 m
2p l g .■ P 6 -7
P 6 -2
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10 kN
2.5 m 1.2
57
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58
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59
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60
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61
4 0 kN
1 40 I b
2 .5 m
2 .0 m 5 0 kN /m
1.0 m
5 0 kN /m
P 6 -6 0
25 K
15 K
12 5 0 N
P 6 -6 3 600 N
0 .6 m
I
0 .4 m
I
1 * 6 -5 8 P 6 -6 4
3 0 kN
8 0 0 Ib/pie
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62
40 kN
140 Ib
2.5 m
2.0 m 50 kN/m
1.0 m
50 kN/m
P6 -6 0
25 K
15 K
1250 N
P6 -6 3
600 N
0.6 m
I
0.4 m
I
1*6-58 1* 6-64
3 0 kN
800 Ib/pie
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63
6 0 0 N /m
2.0 m
4.0 m
2.0 rn
P6 - 7 2
P6 -6 6
500 N/ n i
P6 -6 7
30 Ib/plg
18 plg
P6 -6 8
l Opl g
|
12 plg
P6 - 7 0
P ro b le m a s c o rr e s p o n d ie n te s a las fig u ra s P 6 -7 7 a P 6 -8 4 1200 lb/pie | 3 pies
6 pies
P 6 -7 1
3 pies
Cada una de las figuras muestraun dispositivo mecánico con una o más fuerzas aplicadas paralelas y alejadas del eje del miembro principal de forma de viga. Los dispositivos se apoyan en cojinetes en los lugares marcados con una x los cuales pueden crear fuerzas de reacción en cualquier direc ción perpendicular al eje de la viga. Uno de los cojinetes es
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64
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C e n tro id e s y m o m e n to s d e in e rc ia de á re a s
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
En el capítulo 6 se aprendió a determ inar el valor de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en todos los puntos de vigas como fundam ento para el cálculo de esfuerzos cortantes y esfuerzos flexionantes de capítulos posteriores. Este capítulo continúa esta pauta al presentar las propiedades del perfil de la sección transversal de la viga, necesa rias también para com pletar el análisis de esfuerzos y deform aciones de vigas. Las propiedades del área de la sección transversal de vigas que son de interés en este caso son el centroide y el momento de inercia con respecto al eje centroidal. Algunos lectores ya han manejado estos tem as gracias al estudio de la estática. Para ellos este capítulo constituirá un valioso repaso y una adaptación del tem a a las aplicaciones de interés en la resistencia de materiales. Para aquellos que no han estudiado centroides y m om entos de inercia, los conceptos y las técnicas que se exponen en este capítulo les perm itirán resolver los problem as de análisis de vigas incluidos en este libro y en muchas situaciones reales de diseño. Después de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. Definir el térm ino centroide. 2. Localizar el centroide de formas sim ples por observación. 3. Calcular la localización del centroide de formas com plejas tratándolas como com puestas por dos o más figuras simples. 4. Definir momento de inercia tal y com o se aplica al área de la sección transversal de vigas.
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denotadas por C. Si estos perfiles se fabricaran con esmero y se local izara el centroide con precisión, los perfiles se podrían equilibrar sobre la punta de un lápiz colocada en el centroide. D esde luego, se requiere una mano firme. ¿Está firme su mano? El apéndice A - l es una fuente más completa de datos en lo que se refiere a centroi des y otras propiedades de áreas de diversos perfiles.
3
C E N T R O ID E D E F O R M A S C O M P L E J A S
Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide, como más adelante se demos trará. Otro concepto que ayuda en la localización de centroides es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizará en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por consiguiente, el centroide se localiza en la inter sección de estos dos ejes. La figura 7 -2 muestra ejemplos donde ocurre esto. En los casos en que no hay dos ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considérese el área que ilustra la figura 7-3. Tiene un eje vertical de simetría pero no uno horizontal. Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples en las cuales se puede localizar el centroide aplicando el siguiente principio:
El producto del área total por la distancia al centroide del área total es igual a la suma de los productos del área de cada com ponente por la distancia a su centroide, con las distancias medidas a partir del mism o eje de referencia.
Este principio utiliza el concepto de momento del área , es decir, el producto del área por la distancia de un eje de referencia al centroide del área. El principio establece:
El momento del área total con respecto a un eje particulares igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mism o eje.
Éste se expresa matemáticamente como:
A rY = 2(A:y<)
(7-1)
en donde A T= área total de la forma compuesta
Y = distancia al centroide de la forma compuesta m edida con respecto a un eje de referencia
A, = área de un componente de la forma y¡ = distancia del centroide del com ponente al eje de referencia. C a pítulo 7 ■
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C e n troid e s y m o m e n to s d e in e rcia d e áreas
F IG U R A 7 -2
F o r m a s c o m p u e s t a s q u e t ie n e n d o s e j e s d e s im e tr í a . E l c e n t r o i d e s e d e n o t a c o m o C .
------ 4 0 m m ------- ►
F IG U R A 7 -3
S e cción 7 - 3 ■
P e rfil d e l e je m p lo 7 - 1 .
C e n tro id e d e fo rm a s c o m p le ja s
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247
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R e s u ltad os
L a ta b l a q u e s i g u e fa c ilita lo s c á l c u l o s d e lo s d a t o s r e q u e r id o s p o r la e c u a c ió n ( 7 - 2 ) .
P a rte
A,
yt
A ,y
1
3200 mm2
40 mm
128000 mm3
2
600 mm 2
90 mm
54 000 m m 3
T= 3800 m m 2
2 (A y ,
=
182000 mm3
A c o n tin u a c ió n s e c a lc u la Y:
E s t e v a lo r lo c a liz a e l c e n t r o i d e c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 7 - 4 .
C o m e n ta rio
E n s u m a , e l c e n t r o i d e s e lo c a liz a e n e l e j e v e r tic a l d e s i m e t r í a a 4 7 . 9 m m h a c i a a r r ib a d e la b a s e d e la fo rm a .
El m étodo del área com puesta tam bién sirve para secciones donde se agregan o quitan partes. En este caso el área que se quita se considera negativa. El ejem plo siguiente ilustra el método.
E jem p lo
L o c a lic e e l c e n t r o i d e d e l á r e a q u e m u e s tr a la fig u ra 7 - 5
7-2
F IG U R A 7 -5
Sección 7 - 3 ■
Perfil del ejem p lo 7 -2 ,
C e n tro id e d e fo rm a s c o m p le ja s
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O b je tiv o
D e te r m in a r la lo c a liz a c ió n d e l c e n tro id e .
C a p ítu lo 7 ■
C e n tro id e s y m o m e n to s d e in e r c ia d e á re a s
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uso eficiente de material, colocar todo el m aterial alejado del eje centroidal que resulte práctico. E sta observación se basa en la definición de m om ento de inercia que aquí se da.
E l momento de inercia de un área con respecto a un eje particular se define como la suma de los productos obtenidos al multiplicar cada elemento infinitesimal de ella por el cuadrado de su distancia al eje. D e este m odo, el lector puede deducir que si la m ayor parte del área se coloca lejos del eje centroidal, el m om ento de inercia tenderá a ser elevado. La fórmula m atem ática del m om ento de inercia, I, se desprende de la definición. Un m étodo que se aproxim a im plica el proceso de sumatoria, indicado por E.
(7-3)
Tal proceso requiere que el área total se divida en m uchas partes pequeñas, las cuales se representan por AA, y que la distanciayal centroide de cada una de las partes con respecto al ejed e interés se determ ine. Porlo tanto, el producto d e y 2(AA) se calcula para cadaparte pequeña, y a continuación se sum an todos los productos. Éste es un proceso m uy tedioso, y, por fortuna, uno que rara vez se utiliza. U n refinam iento del m étodo de la sum atoria y que señala la ecuación (7 -3 ) es el proceso de integración, el cual consiste en la técnica m atem ática de sum ar cantidades infinitesim ales por toda un área. La definición m atem ática efectiva de m om ento de iner cia requiere el uso de integración com o sigue:
(7 -4 )
Aquí, el térm ino dA es un área de tam año infinitesim alm ente pequeño y y, com o con anterioridad, es la distancia al centroide de dA. En una sección subsecuente se dem ostrará el uso de la ecuación (7 -4 ). No obstante, en muchos problemas prácticos, no se requiere el proceso de integración. Existen varios métodos para determ inar la m agnitud del m om ento de inercia. 1. Para form as sim ples conviene usar fórm ulas estándar derivadas de la definición básica que ya se proporcionó. La figura 7-1 m uestra las fórm ulas de cuatro figuras y el apéndice A - l da varias más. La referencia 2 incluye una tabla de fórmulas de /d e 42 figuras diferentes. 2. Para perfiles estándar com ercialm ente disponibles tales com o vigas de patín ancho (perfiles W), canales (perfiles C), ángulos (perfiles L )y tubos, los valores de m om ento de inercia se tabulan en referencias publicadas com o la referencia 1. V éanse tam bién los apéndices A - 4 a A - l 2. 3. Para figuras más com plejas y para las que no hay fórm ulas estándar, a menudo conviene dividirlas en com ponentes que son figuras sim ples. En las figuras de la 7 - 4 a 7 - 8 se proporcionan ejem plos. L os detalles del cálculo del m om ento de inercia de formas com o ésas, llamadas form as compuestas, dependen de la C a p itu lo 7 ■
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C e n tro id e s y m o m e n to s d e in e r c ia d e á re a s
naturaleza de las formas y se dem ostrarán más adelante en este capítulo. A con tinuación se enuncian algunos conceptos im portantes.
a.
Si todos los com ponentes de una forma com puesta tienen el m ism o eje centroidal, su m om ento total de inercia se determ ina sum ando o res tando los m om entos de inercia de sus com ponentes con respecto al eje centroidal. V éase la sección 7 -5 .
b.
Si todos los com ponentes de una form a com puesta n o tienen el m ism o eje centroidal, se requiere el uso de un proceso llam ado te o r e m a d e la tr a n s fe r e n c ia d e l e je . V éase la sección 7-6.
4. La definición fundamental de m om ento de inercia, ecuación (7 -4 ), se usa cuan do la geom etría de la figura se puede representaren térm inos m atem áticos inte grables. (V éase la sección 7-7 .) 5. M uchos sistem as de diseño de “softw are” con la ayuda de lacom putadora inclu yen el cálculo autom ático de la localización del centroide y el m om ento de iner cia de cualquier forma cerrada dibujada en el sistema. 6. En el caso de un perfil que se puede representar como una com binación de rectán gulos que tienen lados perpendiculares o paralelos al eje centroidal, se aplica una técnica de tabulación especial descrita en la últim a sección de este capítulo. Esta técnica, por sí m isma, proporciona una buena solución valiéndose de una calculadora program able o un sim ple program a de com putación.
7 -5
M O M E N T O D E IN E R C IA D E F O R M A S C O M P U E S T A S C U Y O S C O M P O N E N T E S T IE N E N E L M IS M O E J E C E N T R O ID A L
Un perfil com puesto es el integrado por dos o m ás com ponentes que p o r sí m ism os son perfiles sim ples de los cuales hay fórm ulas para calcular su m om ento de inercia, I. Un caso especial es cuando todas las partes tienen el m ism o eje centroidal. En tal caso el m om ento de inercia del perfil com puesto se determ ina com binando los valores de / de todas las partes de acuerdo con la regla siguiente:
Si las partes de un área com puesta tienen el m ismo eje centroidal, el m om ento total de inercia se determ ina sumando o restando los m om entos de inercia de las partes con respecto al eje centroidal. E l valor de / se sum a cuando la parte es un área sólida positiva. Si la parte es hueca, el valor de I se resta.
La figura 7 -9 m uestra un ejem plo de un perfil, com puesto de un vástago central vertical, de 30 m m de ancho y 80 mm de altura, y dos partes laterales, de 30 m m de ancho y 40 mm de altura. N ótese que el eje centroidal de las partes coincide con el eje centroidal x - x de la sección com puesta. La regla que se acaba de enunciar se puede usar entonces para calcular el valor total de I para la cruz cuando se sum an los valores de / de cada una de las tres partes. V éase el ejemplo 7 -3 . S e c c ió n 7 - 5 ■
M o m e n to d e in e rc ia d e fo rm a s c o m p u e s ta s c u y o s c o m p o n e n te s tie n e n e l m is m o e je c e n tro id a l
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E l e n u n c i a d o g e n e r a l d e l t e o r e m a d e la t r a n s f e r e n c i a d e l e j e es :
El m om ento de inercia de una forma con respecto a un cierto eje es igual a la sum a del m om ento de inercia de la form a con respecto a su propio eje centroidal m ás una cantidad denom inada t é r m in o d e t r a n s fe r e n c ia que se calcula con A d 1, en donde A es el área de la form a y d es la distancia del centroide de la formu al eje de interés.
E ste teorem a se puede aplicar para calcular el m om ento de inercia total de una forma com puesta general, siguiendo el procedim iento siguiente. En este caso, el eje de interés es el eje centroidal de la form a com puesta que se debe localizar con el m étodo propuesto en la sección 7-3.
P r o c e d im ie n to g e n e ra l p a r a c a lc u la r el m o m e n to d e in e r c ia d e u n a fo r m a c o m p u e s ta
1. Divida la form a com puesta en form as sim ples que dispongan de fórm ulas para calcular su m om ento de inercia con respecto a su propio eje centroi dal. Identifique las partes como l, 2 , 3, etcétera. 2. Localice la distancia del centroide de cada com ponente a algún eje de referencia conveniente, por lo general, la base de la sección com puesta. D esigne estas distancias como_y,,_y2,.}’3, etcétera. 3. Localice el centroide de la sección com puesta utilizando el m étodo pro puesto en la sección 7 -3 . Designe la distancia del eje de referencia del paso 2 al centroide, com o Y. 4. Calcule el m om ento de inercia de cada parte con respecto a su propio eje centroidal y designe estos valores com o h , etcétera. 5. Det ermine la distancia del centroide de la form a com puesta al centroide de cada parte y designe estos valores com o d h d2, d}, etc. Observe que d¡ = Y —_y,, = Y - y 2,d } = Y -y¡, etc. Use el valor absoluto de cada distancia. 6. Calcule el término de transferencia de cada parte con A,d] en d onde/i, es el área dél a parte y d¡ es la distancia calculada en el paso 5. 7. C alculeel m om ento tota! de inercia de la sección com puesta con respecto a su eje centroidal con: (7 -5 )
La ecuación (7 -5 ) se conoce com o el teorem a de la transferencia del eje porque define cóm o transferirel m om ento de inercia de un área de u n eje a cualquier eje paralelo. Tal com o se aplica aquí, los dos ejes son el eje centroidal de la parte com ponente y el eje centroidal de la sección com puesta. Para cada una de las partes de una sección com pues ta, la sum a I ’r A d 2es la m edida de su contribución al m om ento total de inercia. La ejecución del Procedimiento general para calcular el momento de inercia de una form a compuesta se facilita con la preparación de una tabla que puede ser una arn256
C a p ítu lo 7 ■
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P a s o 6.
T é r m in o d e tr a n s fe r e n c ia d e c a d a u n a d e la p a rte s :
A s d\ =
(4 .0 p lg 2) ( 1 .2 5 p lg ) 2 = 6 .2 5 p lg 4
A2 (% =
(4 .0 p lg 2)(1 -25 p lg ) 2 = 6 .2 5 p lg 4
E s m e r a c o i n c i d e n c i a q u e lo s t é r m i n o s d e t r a n s f e r e n c i a d e c a d a u n a d e la s p a r te s s e a n ig u a le s e n e s t e p ro b le m a .
P a s o 7.
M o m e n to to ta l d e i n e r c i a :
'j —
+ Ay
+ ¡2 + A2 c/2
= 5 .3 3 p lg 4 + 6 .2 5 p lg 4 + 0 .3 3 p lg 4 + 6 .2 5 p lg 4 = 1 8 .1 6 p lg 4
C o m en ta rio
N ó t e s e q u e lo s t é r m in o s d e t r a n s f e r e n c i a c o n t r i b u y e n c o n c a s i 2 / 3 d e l v a l o r to ta l d e l m o m e n t o d e in e r c ia .
7 -7
D E F IN IC IÓ N M A T E M Á T IC A D E L M O M E N T O D E IN E R C IA
Según el planteam iento de la sección 7 - 4 , el m om ento de inercia, I, se define com o la sum a de los productos que se obtienen al m ultiplicar cada elem ento del área p o r el cua drado de su distancia al eje de referencia. L a fórm ula m atem ática p ara el m om ento de in ercia se d esp ren d e de esa d efinición y a co n tin u ació n se da. N ó tese que el p ro ceso d e sum ar p o r toda el área se logra m ediante integración.
(7 -4 )
La figura 7 -1 3 ilustra los térm inos de esta fórm ula p ara el caso especial de un rectángulo, para el que se pretende calcular el m om ento de inercia con respecto a su eje centroidal. El elem ento infinitesim al de área se m uestra com o una tira delgada paralela al eje centroidal donde su ancho es el ancho total del rectángulo, b, y su espesor es un v alo r infinitesim al, dy. P or lo tanto el área del elem ento es:
dA = b d y L a distancia, y, es la distancia del eje centroidal al centroide del área elem ental m ostra da. La sustitución de estos valores en la ecuación (7—4) perm ite la derivación de la fórm u la p ara el m om ento de in ercia del rectán g u lo con resp ecto a su eje cen tro id al. N ó tese que la integración p o r toda el área requiere que los lím ites de la integral vayan de - h l l a
+hl2.
I =
S e cció n 7 - 7 ■
y 2dA =
D e fin ic ió n m a te m á tic a d e l m o m e n to d e in e rc ia
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y \b d y )
259
F I G U R A 7 -1 3 D ato s u tiliz a d o s en la d eriv ació n d el m o m e n to de in e rc ia d e u n rectán g u lo .
C om o b es una constante, se puede sacar de la integral, com o sigue:
/ = b
Í
+U2 IV > ‘ '2 y 1dy = b \ y- \
J-M2
|_ J j- W 2
Insertando los lím ites de la integral se obtiene:
É sta es la fórm ula que dan las tablas. Se pueden usar procedim ientos sim ilares para des arrollar fórm ulas para otras figuras.
7 - 8
S E C C IO N E S C O M P U E S T A S H E C H A S D E P E R F IL E S C O M E R C IA L M E N T E D IS P O N IB L E S
En la sección 1-16 se describieron perfiles estructurales de m adera, acero y aluminio, com ercialm ente disponibles. En las siguientes tablas de apéndices se dan propiedades de tam años representativos de estos perfiles. A péndice A - 4 para vigas de m adera A péndice A -5 para ángulos estructurales de acero A péndice A -6 para canales estructurales de acero A péndice A -7 para perfiles estructurales de acero de patín ancho A péndice A -8 para vigas A m erican Standard estructurales de acero A péndice A -9 para tubería estructural-cuadrada y rectangular 260
C a p ítu lo 7 ■
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A n á lis is
U s e e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e s c r i t o c o n a n t e r i o r i d a d e n e s t e c a p í t u lo . C o m o p a so 1 , d iv id a e l p e rfil d e la v ig a e n t r e s p a r t e s . L a p a r t e 1 e s la v ig a e n I; la p a r te 2 e s la p la c a Inferior; la p a r t e 3 e s la p l a c a s u p e r io r . C o m o
pasos 2 y 3, e l c e n tr o id e c o in c id e c o n e l c e n t r o i d e d e la v ig a e n I p o r q u e el p e rfil c o m p u e s t o e s s i m é tr ic o . P o r e s o , / = 5 . 5 0 p lg , o la m ita d d e la a l t u r a to ta l d e l p e rfil c o m p u e s t o . N o s e r e q u i e r e u n c á l c u l o a p a r t e d e ?. R e s u lta d o s
L a t a b l a s i g u i e n t e r e s u m e e l j u e g o c o m p l e t o d e d a t o s u til i z a d o s e n los p a s o s 4 - 7 p a r a c a l c u l a r e l m o m e n t o to ta l d e i n e r c i a c o n r e s p e c t o al c e n t r o i d e d e la v ig a e n I. A l g u n o s d e lo s d a t o s s e m u e s t r a n t a m b i é n e n la fig u r a 7 - 1 4 . S e h a c e n c o m e n t a r i o s a q u í s o b r e c ó m o s e o b t u v i e r o n c ie r to s d a to s .
P arte
Ai
y¡
1
8 .7 4 7
5 .5 0
-
2
3 .0 0
0 .2 5
-
0 .0 6 3
3
3 .0 0
1 0 .7 5
-
0 .0 6 3
A t = I A ¡ = 1 4 .7 4 7 p lg2
A ,y.
2 ( A f l) =
D ista n cia al c en tro id e = Y = ^
P a s o 4.
aT
Al
1, + A t f
0
1 5 5 .7 9
5 .2 5
8 2 .6 9
8 2 .7 5
5 .2 5
8 2 .6 9
d i= Y -y i
>i 1 5 5 .7 9
0
lT=Z(li+A¡d?) =3 2 1 .2 9
"
8 2 .7 5 plg4
= 5 .5 0 plg (por in s p e c c ió n )
P a r a c a d a p la c a re c ta n g u la r:
l2 = /3 = b h 3n 2 = ( 6 .0 ) ( 0 .5 ) 3/ 1 2 = 0 . 0 6 3 p lg 4 P a s o 5.
D ista n c ia d e l c e n tro id e g e n e r a l al c e n tr o id e d e c a d a u n a de la s p a rte s : cf, = 0 .0 p lg d e b i d o a q u e lo s c e n t r o i d e s c o i n c i d e n
d2 -
5 .5 0 -
0 .2 5
d 3 = 1 0 .7 5 P a s o 6.
-
5 .2 5 plg
5 .5 0 = 5 .2 5 plg
T é r m in o d e t r a n s f e r e n c i a d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s :
A yd \ = 0 .0
p o rq u e
d , = 0 .0
A 2d \ = A 3c% = ( 3 .0 0 ) ( 5 .2 5 ) 2 = 8 2 .6 9 p lg 4 P a s o 7.
M o m e n to to ta l d e in e r c ia :
l j — I] + ¡2
A 2d 2 + 1$ + A 3C/3
l T = 1 5 5 .7 9 + 0 .0 6 3 + ( 3 .0 ) ( 5 .2 5 ) 2 + 0 .0 6 3 + ( 3 .0 ) ( 5 .2 5 ) 2 = 3 2 1 .2 9 p lg 4
C o m e n ta rio
N ó t e s e q u e l a s d o s p l a c a s a ñ a d i d a s c r e a n u n m o m e n t o d e i n e r c ia c u y o v a l o r e s m á s d e l d o b l e d e l d e la v ig a e n I o r ig in a l. A s im is m o , c a s i t o d o el v a l o r a g r e g a d o s e d e b e a lo s t é r m in o s d e t r a n s f e r e n c i a y n o a l m o m e n to b á s i c o d e in e r c ia d e l a s m i s m a s p l a c a s . C a p ítu lo 7 ■
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v a s , d a d a t o s d e u n á n g u l o s ó l o e x im o r e f e r e n c i a . L a fila 3 d a l o s d a t o s d e lo s c u a t r o á n g u l o s . P o r t a n t o , lo s r e s u l t a d o s f i n a l e s s e d e t e r m i n a n s u m a n d o l a s fila s 1 y 3.
P arte
A y,
i.
1
8 .0 0
8 .0 0
-
1 7 0 .6 7
(2)
3 .7 5
1.18
-
5 .5 6
-
-
2 2 .2 4
i( A y ,) =
-
4 x (2 )
A
1 5 .0 0
A t = I A ¡ = 2 3 .0 0 p lg 2
D istan cia al cen tro id e = Y = £ ^ ^
at
P a s o 4.
d ¡= Y -y , 0
Af
ll+ A tf
0
1 7 0 .6 7
6 .8 2
174.42
179.98
-
6 9 7 .6 8
7 1 9 .9 3
h = Z(I¡+A,d?) = 8 9 0 .6 0 pl 34
= = 8 .0 0 plg (por in s p e c c ió n )
P a r a la p l a c a r e c t a n g u l a r v e r tic a l: /2 = W73/ 1 2 = ( 0 .5 ) ( 1 6 ) 3/ 1 2 = 1 7 0 .6 7 p lg 4
P a s o 5.
D is t a n c i a d e l c e n t r o i d e g e n e r a l a l c e n t r o i d e d e c a d a u n a d e la s p a rte s :
d 1= 0 .0 p lg d e b i d o a q u e l o s c e n t r o i d e s c o in c i d e n d 2 = 8 .0 0 - 1 . 1 8 = 6 . 8 2 p lg P a s o 6.
T é r m in o d e t r a n s f e r e n c i a d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s : = 0 .0
p o rq u e
A 2d ¡ = P a s o 7.
= ( 3 .7 5 )(6 .8 2 )2 = 1 7 4 .4 2 p /g 4
M o m e n to to ta l d e in e r c ia :
l T = 1 7 0 .6 7 = 1 7 0 .6 7 C o m e n t a r io
d , = 0 .0
+ 4 [5 .5 6 + 3 . 7 5 ( 6 . 8 2 ) 2] + 7 1 9 .9 3 = 8 9 0 .6 0 p lg 4
L o s c u a t r o á n g u l o s c o n t r i b u y e n c o n c a s i e l 8 0 % d e l v a l o r to ta l d e l m o m e n t o d e in e r c ia .
7 -9
M O M E N T O D E IN E R C IA D E P E R F IL E S C U Y A S P A R T E S SON TO DAS RECTANG ULARES
A continuación se describe un m étodo para calcular el m om ento de inercia de perfiles especiales que pueden dividirse en partes, las cuales son rectángulos con sus lados per pendiculares y paralelos al eje de interés. Un ejem plo sería la figura en T que se analizó en el ejem plo 7 -5 y m ostrado en la figura 7 -1 1 . El m étodo es u n poco m ás sim ple que el m étodo descrito en la sección 7 -6 , donde se usó el teorem a de la transferencia del eje, aunque am bos m étodos se basan en los m ism os principios fundam entales. 264
C a p itu lo 7 •
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C e n tro id e s y m o m e n to s d e in e rc ia d e áre a s
El método incluye los pasos siguientes: 1. Di vida la sección com puesta en un núm ero conveniente de partes de tal modo que cada una sea un rectángulo con sus lados perpendiculares y paralelos al eje horizontal. 2. Para cada una de las partes, identifique las siguientes dim ensiones: -
b = ancho y, = distancia de la base de la sección com puesta a la base de la parte y 2= distancia de la base de la sección com puesta a la parte superior de la parte 3. C alcule el área de cada una de las partes con la ecuación:
A = b(y2 - yi) 4. Calcule el m om ento del área con la ecuación:
M = b (yl - y ?)/2 5. Calcule la localización del centroide con respecto a la base de la sección com puesta con:
Y = M/A 6. C alcule el m om ento de inercia con respecto a la base de la sección com puesta con:
h = b(y¡ ~ y ] ) /3 7. Calcule el m om ento de inercia con respecto al centroide de la sección com puesta con:
lc = I¡, — A t Y~ en donde A T = área total = sum a de las áreas de todas las partes. E ste proceso se presta m uy bien para su cálculo autom ático con una calculadora program able, un program a de cóm puto o una hoja de cálculo. C om o ilustración, la figura 7—16 m uestra el cálculo por m edio de una h oja de cálculo del m om ento centroidal de inercia del perfil T que ilustra la figura 7 -1 1 , cuyo cálculo de su m om ento de inercia se hizo en el ejem plo 7—5 con el teorem a de la transferencia del eje. L os resultados son, por supuesto, idénticos. V éase tam bién la figura 7—17 que m uestra los datos. N ótese que hay líneas en blanco en la hoja de cálculo porque se dejó espacio hasta para seis partes de la sección com puesta m ientras que ésta tiene sólo dos. L a hoja de cálculo se podría expandir para incluir cualquier núm ero de partes. S e c ció n 7 - 9
■ M o m e n to d e in e rc ia d e p e rfile s c u y a s p a rte s s o n to d a s re c ta n g u la re s
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265
Momento d e i n e r c i a d e un p e r f i l
con t o d a s s u s p a r t e s r e c t a n g u l a r e s
P r o b l e m a ID: E j e m . 7 - 5
Para cad a p a r t e : b - a n ch o ; yj - d i s t a n c i a a la b a s e de la p a r t e ; y 2 = d i s t a n c i a a la p a r t e s u p e r i o r d e 1a pa r t e
Di m e n s i o n e s
b U nidades: Parte Parte Parte P arte Parte Parte
1 2 3 4 5 6
Área, A
plg
plg
plg
1.000 4.000
0.000 4.000
4.000 5.000
b íy 2z - y ¡ 2 ) / 2
)
b<.y¿ -
J' l
plg2
TOTALES
I con r e s p e c to a la base. I b
Momento, M
b(yp
plg3
- yj3)/3 plg4
4.000 4.000 0.000 0.000 0.000 0.000
8.000 18.000 0.000 0.000 0.000 0.000
21.333 81.333 0.000 0.000 0.000 0.000
8.000
26.000
102.667
D i s t a n c i a d e l a b a s e a l c e n t r o i d e - Y: Y - MI A3.25 plg Momento d e i n e r c i a Ic -
Ib - At ?
c on r e s p e c t o a l c e n t r o i d e = I c: 1 8 .1 6 7
■
p lg
F I G U R A 7 - 1 6 S o lu c ió n del e je m p lo 7 -5 u tilizan d o una h o ja d e c álcu lo y el p ro c e d im ie n to d e so lu ció n p a ra el m o m e n to d e in ercia e x p u esto en la secció n 7 - 9.
4 p lg -
i
b = 4 .0 0 p lg b = 1.00 p lg
i pig
y 2 - 4 . 0 0 p lg
4 plg
y , = 4.00 p lg
y 2 = 5 .0 0 p lg
7 = 3 .2 5 p lg ^ = 0 .0 plg E je d e re fe re n c ia de b ase —
1p lg U -
(a ) P e rfil en T c o m p u esto F IG U R A 7 -1 7
(6) P arte 1
(c) P a rte 2
P e rfil T q u e ilu stra e l m éto d o p a ra c alc u la r m o m en to s d e in ercia d e sc rito e n la sec c ió n 7 -9 .
B IB L IO G R A F IA 1. A m e r ic a n I n s t i t u t e o f S te e l C o n s t r u c t i o n , M a n u a l o f
S te e l C o n s tr u c tio n , 9 t h e d . , C h ic a g o , I L , 1 9 8 9 .
266
2 . O b e r g , E r i k , e t a l . , M a c h in e r y 's H a n d b o o k , 2 4 t h e d ., I n d u s t r i a l P r e s s , N e w Y o rk , 1 9 9 2 .
C a p ítu lo 7 ■
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D im en sio n es e n p u lg ad as
P7-15
P7-16
190 mm 250 m m
— 60 mm
P7-17 P ro b le m a s
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P 7 -3 4
p laca d e V splg
P 7 -38
P 7-36
P 7 -39
v ig a e n fo rm a d e I
P 7 -4 0
P 7 -3 7
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C a p ítu lo 7 ■
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C e n tr o id e s y m o m e n to s d e in e r c ia d e áreas
T A R E A S
DE
1. Para un perfil en I generalizado cuyos patines superior e inferior son iguales al de la figura P7-2, escriba un pro grama de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de iner cia con respecto al eje centroidal horizontal para cual quier juego de dimensiones reales que pueda luego introducir el operador del programa. 2. Para el perfil T generalizado, similar al de la figura P74, escriba un programa de cómputo para calcular la ubi cación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal ho rizontal para cualquier juego de dimensiones reales que pueda introducir el operador del programa. 3. Para el perfil en I generalizado y similar al de la figura P7-5, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal hori zontal para cualquier juego de dimensiones reales que deben ser introducidas por el operador del programa. 4. Para cualquierperfil generalizado y que se pueda subdividir en un cierto número de componentes rectangu lares con ejes horizontales, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquier juego de dimensiones reales y que debe introducir el operador del programa. Use el teorema de la transfe rencia del eje. 5. Para el perfil en forma de sombrero generalizado simi lar al de la figura P 7 -1 1, escriba un programa de cómpu to para calcular la ubicación del eje centroida! horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquierjuego de dimensio nes reales con el fin de que los introduzca el operador del programa. 6. Dado un juego de tablones de madera de dimensiones estándar, calcule el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para el perfil tubu lar generalizado y similar al de la figura P7-22. Los da tos de los tablones los debe introducir el operador del programa. 7. Construya un archivo de datos que contenga las dimen siones de unjuego de tablonesde madera estándar. Lue go, el operador del programa debe seleccionar las medidas de los miembros superior e inferiory de losdos miembros verticales del perfil tubular expuestos en la figura P7-22. En seguida, calcule el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal del perfil que habrá de diseñarse.
C O M P U T A C IÓ N
8. Escriba un programa de cómputo para calcular el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal ho rizontal de un perfil W o S estándar con placas idénticas conectadas a los patines superior e inferior similar al de la figura 7—14. Los datos del perfil de viga y las placas las debe introducir el operador del programa. 9. Construya una base de datos de perfiles W o S están dar. En seguida escriba un programa de cómputo para calcular el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal de un perfil de viga selec cionado con placas idénticas conectadas a los patines superior e inferior, como se m uestra en la figura 7—14. Los datos de las placas debe introducirlos el operador del programa. 10. Al dársele un perfil W o S estándar y sus propiedades, escriba un programa de cómputo para calcular el espe sor requerido de las placas que deben conectarse a los patines superior e inferior para crear un momento de inercia especificado de la sección compuesta que se mues tra en la figura 7-14. Haga que el ancho de las placas sea igual al ancho de los patines. Calcule el área total de la sección resultante. 11. Con el programa de cómputo escrito para la tarea 1 co rrespondiente al perfil en I generalizado, analice el área (/(), el momento de inercia (/) y la relación de / a A, conforme el espesor del alma cambia dentro de un inter valo especificado. Mantenga el resto de las dimensio nes del perfil iguales. Observe que la relación de / a A es de hecho la misma que la razón de la rigidez de una viga que tiene este perfil a su peso, porque la deflexión de una viga es inversamente proporcional al momento de inercia y el peso de la viga es proporcional al área de su sección transversal. 12. Repita la tarea 11 pero cambie la altura de la sección al tiempo que todaslas demás dimensiones permanecen iguales. 13. Repita la tarea 11 pero varíe el espesor del patín mien tras todas las demás dimensiones permanecen iguales. 14. Repita la tarea 11 pero varíe el ancho del patín mientras que todas las demás dimensiones permanecen iguales. 15. Escriba un programa de cómputo para calcular el mo mento de inercia con respecto al eje centroidal horizon tal de cualquier perfil compuesto que se pueda dividir en partes rectangulares con sus lados perpendiculares y paralelos al eje horizontal con el método descrito en la sección 7—9. Obtenga datos de salida del programa para cualquiera de los perfiles que aparecen en las figuras de la P7-1 a la P 7-15 y de la P 7 -2 1 a la P7-24.
P ro b le m a s
273
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r fle x ió n
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
En el capítulo 6 las vigas se definieron com o m iem bros en los que actúan cargas perpen diculares a su eje m ayor. Se presentaron m étodos para determ inar el m om ento flexionante en cualquier punto de una viga. El m om ento flexionante, que actúa en el interior de una viga, hace que ésta se flexione y desarrolle esfuerzos en sus fibras. La m agnitud de los esfuerzos así desarrollados depende del m om ento de inercia de la sección transversal, calculado con los m étodos expuestos en el capítulo 7. E ste capítulo utiliza la inform ación de los capítulos precedentes para calcular el esfuerzo causado porflexión en vigas. L os objetivos específicos son: 1. A prender el enunciado de la fórm ula de flexión y aplicarla debidam ente en el cálculo del esfuerzo m áxim o causado por flexión en las fibras externas de una viga. 2. Poder calcular el esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal de una viga y describir la variación del esfuerzo con la posición en la m isma. 3. E ntender las condiciones para el uso de la fórm ula de flexión. 4.
R econocer que es necesario garantizar que la viga no se flexione bajo la in fluencia de las cargas flexionantes.
5. D efinir el eje neutro y entender que coincide con el eje centroidal de la sección transversal de una viga.
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6. E ntender la derivación de la fórm ula de flexión y la im portancia del m om ento de inercia en relación con el esfuerzo flexionante. 7. D eterm inar el esfuerzo de diseño apropiado a usarse en el diseño de vigas. 8. D iseñar vigas que soporten con seguridad una cierta carga. 9. D efinir el módulo de sección de la sección transversal de una viga. 10. Seleccionar perfiles estructurales estándar que van a u sarse com o vigas.
11. R econocer cuándo es preciso utilizar factores de concentración de esfuerzo en el análisis de esfuerzo causado por flexión y ap licar debidam ente los factores adecuados. 12. D efinir el centro de flexión y describir su uso apropiado en el análisis de esfuer zo causado por flexión.
8 -2
F Ó R M U L A D E F L E X IÓ N
Las vigas han de diseñarse para que sean seguras. C uando se aplican cargas p erpendicu lares al eje m ayor de una viga, se producen m om entos flexionantes en su interior, que hacen que se flexione. Si se observa una v iga esbelta, la form a característicam ente curva m ostrada en la figura 8-1 es evidente. L as fibras de la v iga próxim as a su cara superior se acortan y se ven som etidas a com presión. P or otra parte, las fibras próxim as a la cara inferior se alargan y se ven som etidas a tensión. D e la viga de la figura 8-1 se tom a un segm ento corto y en la figura 8 - 2 se ilustra el cam bio de form a que sufriría por la influencia de los m om entos flexionantes internos. En la parte (a) el segm ento tiene su form a recta original cuando no está som etido a carga. La
P
P
p o sició n in icial
V ig a d esp u é s d e a p lic ar la carg a F I G U R A 8 -1
E jem p lo d e u n a viga.
C a ra su p e rio r a co rta d a p o r c o m p re sió n
a larg ad a p o r ten sió n (a ) S e g m e n to d e v ig a re c to sin c arg a F IG U R A £ -2
Sección 8 - 2
■
(b) S eg m en to c o m b a d o c u an d o se so m ete a u n m o m e n to flex io n an te
In flu en cia d el m o m e n to flex io n an te en u n seg m e n to d e v ig a.
275
F ó rm u la d e fle x ió n
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parte (b) m uestra el m ismo segm ento deform ado por la aplicación del m om ento flexionante. Las líneas que inicialm ente eran rectas se curvaron. Los extrem os del segmento, inicialm ente rectos y verticales, ahora están inclinados po r haber girado con respecto al eje centroidal de la sección transversal de la viga. El resultado es que el m aterial a lo largo de la cara superior se som ete a com presión y, por consiguiente, se acorta. P or otra parte, el m aterial a lo largo de la cara inferior se som ete a tensión y se alarga. D e hecho, todo el material arriba del eje centroidal está som etido a com presión. No obstante el acortam iento m áxim o (deform ación unitaria p o r com presión) ocurre en la cara superior. Com o el esfuerzo es proporcional a la deform ación unitaria, entonces se deduce que el esfuerzo m áxim o de com presión ocurre en la cara superior. Asimismo, todo el m aterial bajo el eje centroidal está som etido a tensión. Pero el alargam iento máxi m o (deform ación unitaria por tensión) ocurre en la cara inferior y produce el esfuerzo m áxim o de tensión. T am bién se puede concluir que, si la parte superior de la viga está a com presión y la inferior a tensión, entonces debe haber un lugar en la viga donde no haya ninguna defor m ación. E se lugar se llam a eje neutro y más adelante se dem ostrará que coincide con el eje centroidal de la viga. En sum a, se concluye que:
E n una viga sometida a momento flexio n a n ted el tipo mostrado en la figura 8-2, el materia! sobre el eje centroidal estará a compresión con el esfuerzo de compresión m áximo en la cara superior. E l material bajo el eje centroidal estará a tensión con el esfuerzo de tensión m áximo en la cara inferior. A lo largo del mismo eje centroidal, la deformación y el esfuerzo son cero debido a la flexión. A esto se le llama eje neutro. En el diseño o análisis de vigas, lo que se pretende por lo general es determ inar los esfuerzos m áxim os de tensión y com presión. Del planteam iento anterior se deduce que estos esfuerzos m áxim os dependen de la distancia del eje neutro (eje centroidal) a las caras superior e inferior. Esa distancia se designará, c. El esfuerzo causado p o r flexión tam bién es pro p o rcio n al a la m agnitud del mo m ento flexionante aplicado a la sección de interés. La form a y las d im ensiones de la sección transversal de una viga establecen su capacidad de so p o rtar el m om ento fle x io n an te aplicado. M ás adelante se probará que el esfuerzo flexionante es inversa m ente p roporcional al m om ento de in ercia de la sección tran sv ersal con respecto a su eje centroidal horizontal. A continuación se enuncia lafórm ula deflexión que se usa para calcular el esfuerzo m áxim o producido por flexión.
Me I
( 8 - 1)
donde a míx = esfuerzo m áxim o en las fibras externas de la viga
M = m om ento flexionante en la sección de interés c = distancia del eje centroidal de la viga a las fibras externas / = m om ento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroi dal C a p itu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión
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Si bien la lista de condiciones parece larga, la fórm ula sigue siendo válida para una am plia variedad de casos reales. Las vigas que violan algunas de las condiciones se ana lizan con una fórm ula m odificada o con un m étodo de esfuerzo com binado. P or ejem plo, en el caso de la condición 2, un cam bio en la sección transversal provocará concentracio nes de esfuerzo que se m anejan com o se describe en la sección 8 -9 . Los esfuerzos flexionante y axial o los esfuerzos flexionante y torsional com binados que se producen por violar la condición 3 se estudian en el capítulo 11. Si se violan las dem ás condiciones, se requieren análisis especiales, los cuales no se abordan en este libro. La condición 4 es im portante, y se debe prestar atención al perfil de la sección transversal para tener la seguridad de que no ocurre torsión. En general, si la viga tiene un eje vertical de sim etría y si las cargas se aplican a través de dicho eje, no habrá torsión. La figura 8 -4 m uestra algunos perfiles representativos usados para vigas que satisfacen la condición 4. Por otra parte, la figura 8 -5 m uestra varios que no lo hacen; en cada uno de estos casos, la viga tendería a torcerse lo m ism o que a flexionarse conform e se aplica la carga, tal y com o se m uestra. D esde luego, estas secciones pueden soportar algo de carga, pero la condición de esfuerzo real en ellas es diferente del que se pronosticaría con la fórm ula de flexión. En la sección 8 -1 0 estos tipos de vigas se estudian m ás a fondo. L a condición 8 es im portante porque los m iem bros largos esbeltos y, en ocasiones, las secciones esbeltas de los m iem bros tienden a pandearse a niveles de esfuerzo m uy por debajo de la resistencia a la cedencia del material. Este tipo de falla se llam a inestabilidad y se debe evitar. Con frecuencia, se agregan sujetadores cruzados o rigizadores locales a las vigas para contrarrestare! problem a de inestabilidad. Un ejem plo se puede ver en la construcción de pisos con viguetas de m adera de m uchas casas y edificios com erciales. L a viguetas de m adera relativam ente esbeltas se suj etan cerca de su punto m edio p ara que no se pandeen.
F IG U R A 8 - 4
E jem p lo de p erfiles d e v ig as con carg as q u e actú an a trav és de un eje d e sim etría.
Sección 8-3 ■ Condiciones para el uso de la fórmula deflexión
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F IG U R A 8 - 5 E jem p lo d e p erfiles de v ig as co n cargas q u e no actúan a través d e u n eje de s im etría y q u e p ro d u cen to rsión d e la viga.
D IS T R IB U C IÓ N D E L E S F U E R Z O E N L A S E C C IÓ N T R A N S V E R S A L D E U N A V IG A
R ecúrrase de nuevo a la figura 8 -2 que m uestra cóm o se deform a un segm ento de viga por la influencia de un m om ento flexionante. El segm ento asum e la form a “flexionada” ca racterística al acortarse las fibras superiores y al alargarse las fibras inferiores. El eje neutro que coincide con el eje neutro de la sección transversal de la viga, se flexiona pero no se deform a. Por consiguiente, en el eje neutro el esfuerzo causado por flexión es cero. La figura 8 -2 también m uestra que los extrem os del segm ento de viga que inicial m ente eran rectos y verticales, se mantienen rectos. Pero cuando se aplica el momento flexionante giran. La distancia lineal de un punto localizado sobre la línea final vertical inicial al punto correspondiente sobre la linea final girada indica la cantidad de deforma ción producida en dicho punto de la sección transversal. Se infiere, por consiguiente, que la deform ación varia linealm ente con la posición en la sección transversal, es decir, la d istan c ia al eje n eutro. D esp u és del eje n eu tro h acia la p arte s u p e rio r de la sección la deform ación por com presión es m ayor m ientras que hacia la parte inferior la deform a ción por tensión es mayor. En m ateriales que satisfacen la ley de H ooke, el esfuerzo es proporcional a la deform ación. L a distribución de esfuerzo resultante, p o r consiguiente, es com o se m uestra en la figura 8-6. Si se desea representar el esfuerzo en algún punto de la sección transversal, puede expresarse en función del esfuerzo m áxim o teniendo en cuenta su variación lineal con la distancia al eje neutro. Si esa distancia se designay, se puede escribir una ecuación para el esfuerzo, <7, en cualquier punto como:
a
=
( 8- 2) C a p ítu lo 8 ■
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E s f u e rz o c a u s a d o p o r flexión
°máx d e tensión
F IG U R A 8 - 6
D istrib u ció n del esfu erzo en u na secció n sim étrica.
°máx d e tensión F IG U R A 8 - 7
D istrib u ció n del esfu erzo en una secció n n o sim étrica.
La form a general de la distribución del esfuerzo m ostrada en la figura 8 -6 podría ocurrir en cualquier sección de viga cuyo eje centroidal sea equidistante de las caras superior e inferior. En tales casos, el esfuerzo de com presión m áxim o sería igual al es fuerzo de tensión máximo. Si el eje centroidal de la sección no está a la m ism a distancia de las caras superior e inferior, la distribución del esfuerzo sería la m ostrada en la figura 8 -7 . Con todo, el esfuerzo en el eje neutro sería de cero. N o obstante, el esfuerzo varía linealm ente con la distancia al eje neutro. Ahora bien, el esfuerzo m áxim o en la cara inferior de la sección es m ayor que aquél en la cara superior porque está m ás alejado del eje neutro. Con las distancias cby c, tal como se indican en la figura 8 -7 , los esfuerzos serían:
8 - 5
amix = - y -
(tensión en la cara inferior)
Me, Omís — —
. (com presión en la cara superior)
D E R IV A C IÓ N D E L A F Ó R M U L A D E F L E X IÓ N
Si se sigue el análisis utilizado para derivar la fórm ula de flexión se puede com prender m ejor el fundam ento en que está basada. Aquí se em plean los principios de equilibrio estático para dem ostrar dos conceptos que se introdujeron al principio de este capítulo y que se enunciaron sin com probación. Uno es que el eje neutro coincide con el eje centroiS e c c ió n 8 -5 ■
D e riv a c ió n d e la fó rm u la d e fle x ió n
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281
d a l de la sección transversal. El segundo es la fórm ula de flexión en sí y el significado del
m om ento de inercia de la sección transversal. R ecúrrase a la figura 8 - 6 , que m uestra la distribución del esfuerzo en la sección transversal de una viga. El perfil de la sección transversal carece de im portancia en el análisis y el perfil en I se m uestra m eram ente com o ejem plo. L a figura m uestra unaparte de una viga, cortada en una sección arbitraria, con un m om ento flexionante interno ac tuando en ella. Los esfuerzos, algunos de tensión y otros de com presión, tienden a produ cir fuerzas en la sección cortada en la dirección axial. El equilibrio requiere que la suma neta de estas fuerzas sea cero. En general, la fuerza es igual al esfuerzo por el área. Como el esfuerzo varía con la posición en la sección transversal, habrá que exam inar la fuerza en cualquier área elem ental infinitesim al y luego sum ar las fuerzas que actúan en toda el área m ediante el proceso de integración. Estos conceptos se dem uestran analíticamente com o sigue: Condición de eq u ilib rio : ^ F = 0 Fuerza en cualquier elem ento de área dA = odA Fuerza total en el área de la sección transversal: =
" Z f
Ja
adA
= 0
( 8 -3 )
A continuación se puede expresar el esfuerzo erque actúa en cualquier punto en función del esfuerzo m áxim o con la ecuación (8 -2 ):
^
y
^
en donde y es la distancia del eje neutro al punto donde el esfuerzo es igual a a. Sustitu yendo ésta en la ecuación (8 -3 ) se obtiene:
2
F =
í crdA =
Ja
[ (Tnúx — d A = 0
Ja
c
Pero com o <7máx y e son constantes, se sacan de la integral.
Z F
= ^
c
\ydA = 0
Ja
Ni <7máx ni c son cero, así que el otro factor ¡ A y d A , debe ser cero. Pero por definición y com o se ilustró en el capítulo 7:
y d A = Y (A) JA
en donde Y es la distancia al centroide del área m edida a partir del eje de referencia y A el área to tal. De nuevo, A no puede ser cero, así que, por últim o, debe ser cierto que Y - 0. C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión
C om o el eje de referencia es el eje neutro, esto dem uestra que el eje neutro coincide con el eje centroidal de la sección transversal. La derivación de la fórm ula de flexión se basa en el principio de equilibrio, el cual requiere que la sum a de m om entos con respecto a cu alquierpunto sea cero. L a figura 8-6 m uestra que un m om ento flexionante M actúa en la sección cortada. É ste debe ser equili brado por el m om ento neto creado p o r el esfuerzo en la sección transversal. Pero el m o m ento es el producto de fuerza por la distancia del eje de referencia a la línea de acción de la fuerza. Tal com o se expresó con anterioridad:
Si la expresión anterior se m ultiplica por la d istan cia^ se obtiene el m om ento resultante de la fuerza el cual debe ser igual al m om ento flexionante interno M. Es decir,
fuerza
b razo de m o m e n to área e sfu erzo
Sim plificando, se obtiene:
P or definición y tal com o se ilustró en el capítulo 7, el últim o térm ino de esta ecuación es el m om ento de in e rc ia /d e la sección transversal con respecto a su eje centroidal.
Entonces:
c L a que si se resuelve para
É s t a e s la f ó r m u l a d e f l e x i ó n m o s t r a d a a n t e r i o r m e n t e c o m o la e c u a c ió n ( 8 - 1 ) . Sección 8 - 5 ■
D e riv a c ió n de la fó rm u la d e fle x ió n
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A n á lis is
U s e la e c u a c i ó n ( 8 - 1 ) . E n la f ig u r a 8 - 1 1 , i d e n tif iq u e e l m o m e n t o fle x io n a n t e m á x im o d e 9 1 1 1 3 1 b - p i e q u e a c t ú a e n e l p u n t o q u e lo s v a l o r e s d e / y
c en
Fde
la v ig a . B u s
la t a b l a d e p r o p i e d a d e s p a r a p e r f i l e s W e n el
a p é n d ic e A -7 .
/ = 4 2 8 p lg 4 c = p ro fu n d id a d /2 Me
R e s u lta d o s
C o m e n ta rio
Cmáx = — I
= 6 .8 3 p lg
1 2 p lg 6 .8 3 p lg = 9 1 1 1 3 lb P ¡e x — :----- * ------------ 7 = 1 7 4 5 0 p ie s 4 2 8 p lg 4
, , !b /p !g
E s t e e s f u e r z o m á x im o o c u r r ir á c o m o e s f u e r z o d e t e n s i ó n e n la c a r a in f e r io r d e la v ig a y c o m o e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n e n la c a r a s u p e r i o r e n la p o s i c ió n
8 -7
= 1 3 .6 6 p l g / 2
F.
A P L IC A C IO N E S - D IS E Ñ O D E V IG A S Y E S F U E R Z O S D E D IS E Ñ O
Para diseñar una viga, deben especi ficarse su m aterial, longitud, colocación d é la s cargas, colocación de los apoyos y el tam año y la fo rm a d e su sección transversal. N orm alm ente, la longitud y la colocación de las cargas y los apoyos se determ inan según los requisitos del uso pensado. A continuación el diseñador d eterm ín alas especificaciones delm aterial y el tam año y la form a de la sección transversal. El deber principal del diseñ ad o res garantizar la seguridad del diseño. E sto requiere un análisis del esfuerzo en la viga y una decisión p o r lo concerniente al esfuerzo perm isi b le o de diseño al cual puede verse som etido el m aterial seleccionado. Los ejem plos que aquí se presentan se concentrarán en estos puntos. T am bién son de interés para el diseñad o rel costo, la apariencia, el tam año físico, el peso, la com patibilidad del d iseñ o co n otros com ponentes de la m áquina o estructura y la disponibilidad del m aterial o el perfil. Se dem ostrarán dos m étodos básicos de diseño de vigas. U no im plica la especifica ción del material con el cual se fabricará la viga y su perfil general (circular, rectangular, viga W, etc.), con la subsecuente determ inación de las dim ensiones requeridas de la sección transversal de la viga. El segundo requiere que se especifiquen las dimensiones y el perfil de la viga y que a continuación se calcule la resistencia requerida de un m aterial con el que se fabricará la viga. Luego se especifica el m aterial. E s f u e r z o d e d i s e ñ o p a r a m e t a l e s - r e c o m e n d a c i o n e s g e n e r a le s . C uando se esp ecifiq u en esfu erzo s de diseño es im p o rtan te que se ten g a en cuenta que en las vigas se producen esfuerzos tanto de com presión com o de tensión. Si el m aterial es razonable m ente hom ogéneo e isotrópico y tiene la m ism a resistencia a tensión o a com presión, entonces el diseño se basa en el esfuerzo m áxim o desarrollado en la viga. C uando un m aterial tiene diferentes resistencias a tensión y a com presión, com o en el caso del hierro colado o m adera, entonces se tendrán que analizartanto los esfuerzos de tensión com o los de com presión. El m étodo utilizado con m ás frecuencia en este libro p ara determ inar esfuerzos de diseño es sim ilar al descrito en las secciones 3 -3 a la 3 -6 , las cuales convendría repasar en este m om ento. La tabla 8-1 contiene instrucciones sobre esfuerzo de diseño que se Sección 8 - 7 ■
A p lic a c io n e s - d is e ñ o d e v ig a s y e s fu e r z o s d e d is e ñ o
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287
T A B L A 8 -1 In d icacio n es p ara d eterm in ar el e sfu erzo d e d is e ñ o esfu erzo s fle xionantes. Patrón de carga
M aterial dúctil
M aterial q u eb rad izo o frágil
cr,, = sv/ 2 (Tj = s„f 8 0\/ = s j 12
E stática R ep etid a Im p acto o cho q u e
(T,l = s,J 6 <7,1 = .?„/10 0\/ = í «/I5
usarán para vigas de m áquinas y estructuras especiales en condiciones en que las cargas y las propiedades del m aterial se conocen a la perfección. Se pueden usar factores más grandes en los casos de m ayor incertidum bre. La tabla 8-1 se u saráp ara los problem as de este libro que incluyen metales, a m enos que se diga lo contrario. E s f u e r z o s d e d is e ñ o t o m a d o s d e r e g la m e n t o s s e le c c i o n a d o s . La tabla 8-2 da un resum en de esfuerzos flexionantes definidos por el A m erican Institute o f Steel Construction (AISC) para acero estructural y por la A lum inum A ssociation para aleacio nes de alum inio. Estos datos atañen a vigas som etidas a cargas estáticas com o las que se encuentran en estructuras de edificios. Se requiere un análisis adicional de las partes de vigas som etidas a esfuerzos de com presión por la posibilidad de pandeo local, sobre todo en perfiles esbeltos o patines extendidos. Las vigas largas tam bién deben verificarse por lo que se refiere a la posibili dad de torsión. Con frecuencia se requiere que los apoyos laterales de los patines de vigas largas sujetos a com presión resistan la tendencia de la viga a torcerse. V éanse las refe rencias 1 y 2 para un análisis m ás detallado de estas especificaciones. E s f u e r z o s d e d is e ñ o p a r a n o m e t a le s . Cuando los problem as incluyen no meta les tales com o m adera, plásticos y com puestos, en general no se usa el concepto de resis tencia a la cedencia. Adem ás, las resistencias que vienen en la tablas con frecuencia están basadas en prom edios estadísticos de m uchas pruebas. Las variaciones en la composi ción y la estructura del m aterial pueden conducir a variaciones en las propiedades de resistencia. Siem pre que sea posible, el m aterial que va a ser utilizado en una estructura debe probarse para determ inar su resistencia. El apéndice A - l 8 contiene valores de esfuerzo permisible para tres clases de ma dera de acuerdo con los grados que aparecen en la tabla para aplicaciones en estructuras de edificios y usos sim ilares que im plican carga estática. Si las condiciones de carga se conocen a la perfección, una viga se puede cargar hasta los valores de esfuerzo flexionante que vienen en la tabla. Si existe incertidum bre con respecto a las condiciones de carga,
T A B L A 8 -2 E sfu erzo s de d iseñ o to m ad o s de reg lam en to s se le c c io n ad o s-e sfu erzo s fle x io n a n te s-ca rg a s estáticas so b re e stru ctu ra s de edificios. A cero estru ctu ral (A IS C ):
S r / 1 . 5 = 0 .6 6
sy
A lu m in io (A lu m in u m A sso ciatio n )
&d = fv/1-65 = 0.61 sx
o
a-j =
s „ /1 .9 5
= 0.51
.v„
el q u e s ea m e n o r
C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión
se pueden aplicar factores de diseño a los valores de la tabla con lo que se reducen los esfuerzos de diseño. Aquí no se dan indicaciones rigurosas y se recom ienda recurrir a las pruebas. Se utilizarán los esfuerzos perm isibles listados, a m enos que se indique de otra manera. Las propiedades de plásticos listadas en el apéndice A -1 9 se pueden considerar representativas de los tipos listados. Pero es de hacerse notar que existen m uchas varia bles que intervienen en la producción de plásticos y es im portante que se obtengan datos m ás com pletos de los fabricantes o se pruebe el m aterial a ser utilizado. A dem ás, los plásticos difieren extraordinariam ente entre sí, por lo que se refiere a su capacidad de soportar cargas, choques e im pactos cíclicos. En este capítulo, la resistencia a la flexión del apéndice A -1 9 se considerará com o la resistencia representativa de los plásticos listados cuando se utilicen en vigas. Se supondrá que la falla es in m in en te a estos n iveles de esfuerzo. En los casos g enerales de carg a estática, se ap lica rá u n factor de d iseño N = 2 a esos valores p ara d eterm in ar el esfu erzo de diseño. Los com puestos ofrecen m uchas ventajas cuando se aplican al diseño de vigas porque la colocación del m aterial se puede optim izar para tener vigas eficientes ligeras. Pero p o r lo general la estructura resultante no es hom ogénea, así que las propiedades son sum am ente anisotrópicas. Por tanto, no se puede tener la certeza de que la fórm ula de flexión tal com o está enunciada en las ecuaciones (8 -1 ) y (8—2) dé valores de esfuerzo precisos. M ás adelante en este capítulo se analizarán m étodos generales en relación con el uso de com puestos en vigas.
8 - 8
M Ó D U L O D E S E C C IÓ N Y P R O C E D IM IE N T O S D E D IS E Ñ O
El análisis del esfuerzo requiere el uso de la fórm ula de flexión:
_
Mc_
^máx — j
N o obstante una form a m odificada es deseable en los casos en que se tienen que determ i nar las dim ensiones de una sección. N ótese que tanto el m om ento de inercia I com o la distancia c son propiedades geom étricas del área de la sección transversal de una viga. Por consiguiente, el cociente l/c tam bién lo es. Por conveniencia, se define un térm ino nuevo, módulo de sección, denotado por la letra S.
O
S = -
M ó d u lo de s e c c ió n
(8 -4 )
c
La fórm ula de flexión se transform a com o sigue:
M
Oini, = - j
(8 -5 )
É sta es la form a a ser usad a en el diseño. C o n ejem plos se ilu stra rá el uso del m ódulo de sección. E s de h acer notar que algunos diseñadores utilizan el sím bolo Z en lugar de 5 p ara d en o tar el m ódulo de sección. El apéndice A—1 da fórm ulas p ara 5 de algunos perfiles. P r o c e d i m i e n t o s d e d is e ñ o . Aquí se dem uestran dos m étodos de abordar proble m as de diseño. El prim ero es aplicable cuando el patrón de carga y el m aterial se conocen Sección 8 - 8 ■
M ó d u lo d e s e c c ió n y p ro c e d im ie n to s d e d is e ñ o
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y se tiene que determ inar el perfil y las dim ensiones de la sección transversal de una viga. El segundo es aplicable cuando el patrón de carga, el perfil de la sección transversal de una viga y sus dim ensiones ya se especificaron y el objetivo es especificar un material adecuado para la viga que garantice la seguridad. A. Procedim iento de diseño para determ inar las dim ensiones requeridas de una viga. Datos: El patrón de carga y el material con el cual se fabricará la viga. 1. Determ ine el m omento flexionante m áxim o en la viga, por lo general dibujando los diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante completos. 2. D etennine el m étodo aplicable para especificar el esfuerzo de diseño de la sección 8-7. 3. Calcule el valor del esfuerzo de diseño. 4. Con la fónnula de flexión expresada en función del m ódulo de sección, ecuación (8 -5 ), resuélvala para el m ódulo de sección, 5. A continua ción considere el esfuerzo m áxim o igual al esfuerzo de diseño y calcu le el valor m ínim o requerido del m ódulo de sección para lim itar el esfuerzo real a un valor no m ayor que el del esfuerzo de diseño. 5. Para un perfil de viga de diseño especial, determ ine las dim ensiones m ínim as requeridas del perfil para obtener el m ódulo de sección requerido. En seguida, especifique las dim ensiones convenientes más grandes siguientes con las tablas de tam años preferidos del apéndice A -2 . 6. Para seleccionar un perfil estructural estándar com o los de los apéndi ces A -4 a A - l 2, consulte la tabla de datos apropiada y especifique uno que por lo menos tenga el valor del m ódulo de sección, S, calculado en el paso 4. Por lo general, se recom ienda que se especifique el perfil apropiado más ligero porque el costo de la viga hecha de un material dado en general está relacionado directam ente con su peso. La refe rencia 1 incluye tablas m uy com pletas de perfiles para viga con sus valores de m ódulo de sección ordenados por el peso de la sección con el objeto de facilitar la selección de la viga más ligera. En los casos en que existen lim itaciones de espacio, deben considerarse las dim ensio nes reales del perfil. B. Procedim iento de diseño para especificar un m aterial para una viga dada. Datos: El patrón de carga, el perfil y las dim ensiones de la viga. 1. D eterm ine el mom ento flexionante m áxim o en la viga, por lo general con los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante com ple tos.
2. Calcule el m ódulo de sección de la sección transversal. 3. Calcule el esfuerzo flexionante máximo con la fórmula de flexión, ecua ción (8-5). 4. D eterm ine el m étodo aplicable para especificar el esfuerzo de diseño de la sección 8 -7 y especifique un factor de diseño adecuado. 5.
Iguale el esfuerzo m áxim o calculado en el paso 3 a la fórmula para el esfuerzo de diseño.
C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexió n
6. Resuelva para el valor m ínim o requerido de la resistencia del m aterial, ya sea sv o s„, 7. Seleccione el tipo de m aterial con el que se fabricará la viga tal com o acero, alum inio, hierro fundido, titanio o cobre. 8. C onsulte las tablas de datos en busca de las propiedades del m aterial com o las que vienen en los apéndices A -1 3 a A -1 9 e identifique un grupo de m ateriales candidatos que tengan p o r lo m enos la resistencia requerida. 9. Considerando cualquier factor apropiado a la aplicación, tal com o duc tilidad, costo, corrosión, potencial, facilidad de fabricación o peso, especifique el m aterial a ser usado. En el caso de m etales, es esencial que se especifique la condición del m aterial adem ás de la aleación.
A continuación se dan ejem plos que ilustran estos procedim ientos.
E je m p lo 8 -4
S e p r e t e n d e d i s e ñ a r u n a v ig a q u e s o p o r t e l a s c a r g a s e s t á t i c a s m o s t r a d a s e n la f ig u r a 8 - 1 2 . L a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e la v ig a s e r á r e c t a n g u l a r y s e f a b r i c a r á d e p l a c a d e a c e r o e s t r u c t u r a l A S T M A 3 6 d e 1 .2 5 p lg d e e s p e s o r . E s p e c i f i q u e u n a a l t u r a a d e c u a d a p a r a la s e c c ió n tra n s v e rs a l.
♦ 3 p ie s * j
|* 3 p ie s * > ♦ A
------ h
- A ..............
b -1.25 plg Sección transversal de una v iga-S ección A -A F IG U R A 8 - 1 2
Carga y sección transversal de la viga del
ejem plo 8 - 4 .
S o lu c ió n
O b je t iv o
E s p e c i f i c a r la a l t u r a d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l r e c t a n g u l a r .
D a to s
El p a t r ó n d e c a r g a ¡ lu s tr a d o e n la f ig u r a 8 - 1 2 . A c e r o e s t r u c t u r a l A S T M A 3 6 . A n c h o d e la v ig a d e 1 .2 5 p lg . C a r g a s e s t á t i c a s .
A n á lis is
S e u tiliz a rá e l p r o c e d i m i e n t o d e d i s e ñ o A d e e s t a s e c c i ó n .
R e s u lta d o s
P a s o l.
L a fig u ra 8 - 1 3 m u e s t r a lo s d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n t o f le x io n a n te c o m p l e t o s . E l m o m e n t o f le x io n a n te m á x im o e s d e 4 5 9 0 0 Ib • p lg e n t r e l a s c a r g a s , a la m ita d d e l c la r o d e la v ig a e n t r e
P a s o 2.
3 .0 p i e s y 9 .0 p i e s .
D e la t a b l a 8 - 1 , p a r a c a r g a e s t á t i c a s o b r e m a t e r i a l d ú c til, CTd = S y l 2
Sección 8 - 8
■
M ó d u lo d e s e c c ió n y p ro c e d im ie n to s d e d is e ñ o
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i 3 pies K36 p l g f |
3 pies i (36 plg) |
* ---------------------- 1 2 p i e s ---------------------- ►
12751b
12751b
FIG U R A 8 -1 3 Diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante del ejemplo 8 - 4 .
C a p ítu lo 8 ■
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Paso 5.
S e a o f I,áx= 1 6 3 M P a = o-(J= s u/8 .
P a s o 6.
R e s o lv ie n d o p a r a
sus e
o b tie n e :
s ü = 8 ( c f„ J = 8 (1 6 3 M P a) = 130 4 M P a
P a s o 7.
S e d e c id ió u s a r a c e r o .
P a s o 8.
El a p é n d i c e A - 1 3 e n u m e r a v a r i a s a l e a c i o n e s d e a c e r o co m u n e s . D e e s a t a b l a s e s e l e c c i o n a n m a t e r i a l e s c a n d id a to q u e t e n g a n b u e n a d u c tilid a d y u n a r e s i s t e n c i a ú ltim a d e por lo m e n o s 1 3 0 4 M P a . A c o n t i n u a c i ó n s e e n u m e r a n c u a tr o . A I S 1 1 0 8 0 C ) Q T 7 0 0 ; s u = 1 3 0 3 M P a ; 1 2 % d e a la r g a m ie n to A I S 1 1 1 4 1 O Q T 7 0 0 ; s u = 1 3 3 1 M P a ; 9 % d e a la r g a m i e n t o A I S I 4 1 4 0 0 Q T 7 0 0 ; s u = 1 5 9 3 M P a ; 1 2 % d e a la r g a m ie n to A I S I 5 1 6 0 0 Q T 9 0 0 ; s u = 1 3 5 1 M P a ; 1 2 % d e a la r g a m ie n to
P aso
9.
P a r a u s a r s e c o m o v ig a s s o m e tid a s a c a r g a s r e p e tid a s , se a c o s t u m b r a u s a r u n a c e r o a l c a r b o n o m e d i a n o . S e p o d ría u s a r e l A I S I 4 1 4 0 o e l A I S I 5 1 6 0 . C o n 1 2 % d e a la r g a m ie n to , la d u c tilid a d d e b e s e r a d e c u a d a .
C o m e n t a r io
E n e l a p é n d i c e A - 1 3 s e v e q u e la r e s i s t e n c i a ú ltim a d e l A IS I 4 1 4 0 O Q T 9 0 0 e s d e 1 2 8 9 M P a y s u a l a r g a m i e n t o d e 1 5 % . L a r e s i s t e n c i a e s tá d e n t r o d e l 2 % d e l v a lo r c a l c u l a d o . P u e d e s e r a d e c u a d o e l e s p e c if ic a r e s t e m a te r ia l p a r a t e n e r u n a m e j o r d u c tilid a d . E l f a c t o r d e d i s e ñ o s e r e d u c e u n p o c o . P e r o c o m o lo s v a l o r e s d e la t a b l a 8 - 1 s o n u n tan to c o n s e r v a d o r e s , e s t o n o r m a l m e n t e s e ju s tif ic a r ía .
8 -9
C O N C E N T R A C IO N E S D E E S F U E R Z O
Las condiciones especificadas para el uso válido de la fórm ula de flexión en la sección 8 -3 incluian la propuesta de que la viga debe tener una sección transversal uniform e. Los cam bios de la sección transversal producen esfuerzos locales m ayores que los pronosti cados con la aplicación directa de la fórm ula de flexión. En capítulos anteriores se hicie ron observaciones sim ilares con respecto a las esfuerzos axiales directos y los esfuerzos cortantes torsionales. El uso de factores de concentración de esfuerzo perm ite analizar vigas que no incluyen cam bios de sección transversal. En el diseño de flechas circulares que llevan m ontados elem entos transm isores de potencia, el uso de escalones o resaltos en el diám etro es frecuente. En el capítulo 5 se m ostraron ejem plos, donde se analizaron los esfuerzos cortantes torsionales. L a figura 8 -1 8 m uestra una flecha com o ésa. Si se considera la flecha com o una viga som etida a m om entos flexionantes, se presentarán concentraciones de esfuerzo en el hom bro (2), el cunero (3) y la ranura (4). En las secciones donde ocurren concentraciones de esfuerzo, el esfuerzo causado p o r flexión se calcularía con una fórm ula de flexión m odificada, F ó r m u la d e
O
f le x ió n c o n c o n c e n t r a c ió n
McK, °¡nix
I
MK, S
(8 - 6 )
d e e s fu e rz o
El factor de concentración de esfuerzo K, se determ ina experim entalm ente, con los valo res reportados en gráficas com o las del apéndice A -2 1 , casos 4 ,5 ,8 ,9 ,1 0 y 11. 296
C a p ítu lo 8 ■
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F IG U R A 8 - 1 8
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p r o d u c e n c o n c e n tr a c io n e s d e e s f u e r z o .
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C o n c e n tr a c io n e s d e e s f u e r z o
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m e n t e e l r a d io d e l r e d o n d e o . El f a c t o r d e c o n c e n t r a c i ó n d e e s f u e r z o p e rm is ib le m á x im o s e d e te r m in a r e s o lv ie n d o la e c u a c ió n d e l e s f u e r z o p a r a
K,
y con
a = od = 8 7 5 0
lb /p lg 2. P o r
ta n to : =
= (0 .3 3 3 p lg 3)(8 7 5 9 lb /p lg 2) = 1 g 4
'
1 5 0 0 Ib plg
M
D e a c u e r d o c o n e l a p é n d i c e A - 2 1 - 1 0 , e l v a lo r m ín im o d e r/h = 0 .0 8 p a r a l i m i t a r l a 1 .9 4 . P o r lo ta n t o , rmln= 0.08(h) = 0 .0 8 ( 2 .0 0 ) = 0 .1 6 . S e a r= 0 .2 0 p lg ; r/h = 0 .2 0 / 2 .0 0 = 0 .1 0 ; K,= 1 .8 0 . L u e g o :
MK, _ ( 1 5 0 0 1b■ p lg )( 1.8 0 ) s
C o m en tario
8 1 0 0 lb /p lg 2 O K
0 .3 3 3 p lg 3
E s t e p r o b l e m a e s u n a b u e n a ilu s tr a c ió n d e la n e c e s i d a d d e a n a l i z a r c u a l q u i e r p u n to d e la v ig a d o n d e p u d i e r a o c u r r ir u n e s f u e r z o e l e v a d o a c a u s a d e u n m o m e n t o f le x io n a n te e l e v a d o , u n a c o n c e n t r a c i ó n d e e s f u e r z o e l e v a d a , u n p e q u e ñ o m ó d u lo d e s e c c i ó n o u n a c o m b i n a c i ó n d e é s t o s . A d e m á s d e m u e s t r a u n m é t o d o d e r e d i s e ñ a r u n a v ig a p a r a g a r a n t iz a r la s e g u r i d a d .
8 -1 0
C E N T R O D E F L E X IÓ N ( C E N T R O D E C O R T A N T E )
La fórmula de flexión sirve para calcular el esfuerzo en una viga siem pre que las cargas aplicadas pasen p o ru n punto llamado centro deflexión, o en ocasiones, centro de cortan te. Si una sección tiene un eje de sim etría y si las cargas pasan por él, entonces tam bién lo hacen p or el centro de flexión. Las secciones de viga m ostradas en la figura 8 -4 son de este tipo. En secciones donde la carga se aplica fuera del eje de sim etría, debe localizarse la posición del centro de flexión, indicado por Q. En la figura 8 -5 se identificaron tales secciones. Para que produzcan flexión pura, las cargas deben pasar por Q, com o se m uestra en la figura 8-21. Si no lo hacen, entonces se presenta una condición de flexión asimétrica y se tendrían que realizar otros análisis los cuales no se abordan en este libro. Las secciones del tipo m ostrado en la figura 8-21 son de uso frecuente en estructuras. Algunas se pres tan m uy bien para su fabricación por extrusión y por tanto son m uy económ icas. Pero com o existe la posibilidad de producir flexión asim étrica, se debe tener cuidado en su aplicación.
E jem plo 8 -9 S o lu ció n
L o c a lic e e l c e n t r o d e f le x ió n d e la s d o s s e c c i o n e s m o s t r a d a s e n la f ig u ra 8 - 2 2 .
O bjetivo
L o c a lic e e l c e n t r o c o r t a n t e , O , d e lo s d o s p e r file s .
D ato s
L o s p e r f ile s e n la fig u ra 8 - 2 2 ; e l c a n a l e n la 8 - 2 2 ( a ) ; e l p erfil a c o p a d o e n la 8 - 2 2 ( b ) .
A nálisis
E n la f ig u r a 8 - 2 1 s e m u e s tr a la u b ic a c ió n g e n e r a l d e l c e n t r o d e c o r t a n t e d e c a d a p erfil ju n to c o n e l p r o c e d im ie n to p a r a c a l c u l a r e l v a lo r d e e q u e lo c a liz a a Q c o n r e s p e c t o a c a r a c t e r í s t i c a s d is tin tiv a s d e lo s p e r file s .
Sección 8 - 1 0 ■
C e n tr o d e fle x ió n (c e n tro d e c o rta n te )
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301
C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r fle xió n
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P E R F IL E S P R E F E R ID O S P A R A S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S D E V IG A S
R e cu érd ese el p la n team ien to al p rin cip io de este cap itu lo d e la d istrib u c ió n d el esfu en la secció n tran sv e rsal de u n a viga c aracteriza d a p o r las ecu acio n es: <7máx = M C/I= M /S en la fib ra m ás e x tern a de u n a v ig a
o =
(«)
(c) F IG U R A 8 -2 3
(*)
W)
(e)
P e rf ile s e fic ie n te s p a ra u s a r s e c o m o v ig a s.
C a p í t u lo 8 ■
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E s fu e r z o c a u s a d o p o r fie
C om enzando con el perfil rectangular sim ple m ostrado en la figura 8.23(a), se pre fiere orientar la dim ensión larga verticalm ente com o se m uestra porq u e el m om ento de inercia es proporcional al cubo de la altura del rectángulo, donde la altura es la dim ensión perpendicular al eje neutro. Por ejemplo, considérese el caso de un rectángulo de 40 m m x 125 m m y com párense los valores resultantes de / y S.
D im e n sió n v e rtic a l de 125 m m
D im e n sió n v ertical d e 4 0 m m
1 = Wi’/ n
/, = (4 0 ) (1 2 5 )5/1 2 = 6.51 X 106 m m 4
h = ( 1 2 5 ) ( 4 0 ) 7 l 2 - 0 .6 6 7
S = bh2/6
S, = (4 0 ) (1 2 5 ) 7 6 = 1.04 X 10s m m 5
S¡ = (1 2 5 ) ( 4 0 ) 7 6 -
X I06 m m 4
0 .3 3 3 X 105 m m 3
Al com parar estos resultados se obtiene:
/,
6.51 X 106 mm4
¡i ~ 0.667 X 106 m m 4 “
5, '
1.04 X 105 mm3
S2 ~ 0.333 X 105 m m 3
^ ^ '
La com paración de los valores del m ódulo de sección, S, es lo m ás pertinente cuando se trata de com parar esfuerzos en vigas porque contiene tanto el m om ento de inercia, I, com o la distancia, c, a la fibra m ás externa de la sección transversal de la viga. Si bien una sección con la dim ensión larga en posición vertical tiene un m om ento de inercia casi diez veces el de una sección con la dim ensión larga en posición horizontal, es m ás de tres veces m ás alta, lo cual se traduce en una m ejora del m ódulo de sección en aproxim adam ente tres veces. N o obstante, ésa es una m ejora significativa. Un factor afín en la com paración de perfiles de vigas es que la deflexión de una viga es inversam ente proporcional al m om ento de in ercia,/, com o se dem ostrará en el capítulo 12. P o r consiguiente, es de esperarse que la viga rectangular alta del ejem plo anterior se deflexione sólo 1/9.76 veces tanto com o la corta, o sea casi un 10%. El perfil m ostrado en la figura 8.23(b) es la m uy conocida “v iga I” . El colocar la m ayor parte del m aterial en los patines horizontales o sea en los extrem os superior e inferior de la sección los sitúa en las regiones de los esfuerzos m áxim os, con lo que se obtiene la m áxim a resistencia al m om ento flexionante. El alm a vertical relativam ente esbelta sirve para m antener los patines en posición y genera resistencia a las fuerzas cortantes, tal com o se describe en el capítulo 9. C onvendría estudiar las proporciones de los perfiles 1 estándar de acero y de alum inio que vienen en los apéndices A -7 , A -8 y A - l 1 para darse una idea de los espesores razonables de patines y alm a. El esp eso r del patín som etido a com presión es crítico con respecto a pandeo cuando la v iga es relativa m ente larga. Las referencias 1 y 2 contienen datos sobre proporciones adecuadas. El tu bo rectangular alto m ostrado en la figura 8 -2 3 (c) es m uy sim ilar al perfil I por lo que se refiere a su resistencia a m om entos flexionantes provocados p o r cargas vertica les. Los dos lados verticales desem peñan una función sim ilar a la del alm a del perfil I. De hecho, el m om ento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal del tubo m ostrado en (c) sería idéntico al del perfil I m ostrado en (b) si el espesor de las partes horizontales superior e inferior fuera igual y si los lados verticales del tubo tuvieran cada un o 1/2 del espesor del alm a del perfil I. El tubo es superior al perfil I cuando se esperan com binacio nes de cargas que provocan flexión con respecto a am bos ejes, el vertical y el horizontal, porque la colocación de los lados verticales alejados del eje increm enta el m om ento de in erciacon respecto a dicho eje. El tu bo tam bién es superior cuando se aplica cualquier torsión, tal com o se planteó en el capítulo 5. C uando la torsión o la flexión con respecto al eje vertical es significativa, puede que sea preferible usar el perfil de tubo cuadrado m ostra do en la figura 8-23(d). S ección 8 - 1 1
■
P e rfile s p re fe rid o s p a ra s e c c io n e s tra n s v e rs a le s d e v ig a s
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305
L os tubos circulares m ostrados en la figura 8 -2 3 (e) producen vigas m uy eficientes p o r las m ism as razones antes enum eradas p ara tubos cuadrados. Y son superiores a los tubos cuadrados cuando la torsión y la flexión se presentan con m agnitudes significati vas. U n ejem plo obvio de donde se prefiere un tubo circular es el caso de una flecha giratoria que soporta tanto cargas flexionantes com o torsionales tal com o la flecha motriz y los ejes de un autom óvil o cam ión. P e r f ile s h e c h o s d e m a t e r ia l e s d e lg a d o s . La producción económ ica de vigas de dim ensiones m oderadas puede lograrse m ediante el lam inado o troquelado de láminas m etálicas planas relativam ente delgadas. El alum inio y m uchos plásticos se extruyen para producir perfiles de sección transversal uniform e, a m enudo de paredes delgadas y patines extendidos. En las figuras P 7 -1 0 a P 7 -2 0 se m uestran algunos ejem plos. Tales perfiles se adaptan sobre to do al uso de la viga. V ea si usted puede identificar miembros sem ejantes a vigas con perfiles especiales en tom o suyo. En su h o g ar usted podría encon trar tales vigas usadas com o rieles de puerta de arm ario, varillas p ara cortinas, estructuras de m uebles m etálicos, cubiertas o toldos para patios, escaleras, partes de juguetes de plástico, herram ientas en el taller o partes de aparatos electrodom ésticos o herram ientas p ara m antenim iento de jardines. En su autom óvil, observe los brazos de los lim piaparabrisas, los elem entos de la suspensión, las palancas de velocidades, varillajes o soportes en el com partim iento del m o to r y las defensas. Las estructuras de aviones contienen num erosos ejem plos de. perfiles de pared delgada diseñados p ara sacar provecho de su peso extrem adam ente ligero. L a figura 8 -2 4 m uestra tres ejem plos de perfiles extruidos o lam inados de uso dom éstico. La parte (a) m uestra una carretilla de puerta de arm ario donde el carril para los r o d illo s q u e s o p o rta n la p u erta se p ro d u c e n co m o u n a p a rte in te g ra l de la extrusión de alum inio. El arm azón lateral de una escalera extensible de alum inio se ilustra en la parte (b). La parte (c) m uestra una porción de una cubierta de patio lam inada hecha de lám ina de alum inio de 0.025 plg (0.64 m m ) de espesor. La figura está especialm ente diseñada para em bonar entre sí con el objeto de form ar un panel continuo para cubrir un área am plia. A lgunas características de diseño de estas secciones son de hacerse notar. Los patines extendidos se refuerzan con salientes en form a de bulbo que les imparten rigidez local para que resistan el arrugam iento o el pandeo. L as áreas planas am plias se rigidizan p o r m edio de nervaduras o corrugaciones lam inadas, tam bién para inhibir el pandeo local. Las referencias 1 y 2 contienen instrucciones p ara el diseño de tales carac terísticas.
El diseño de vigas que deben fabri carse de m ateriales con diferentes resistencias a tensión y a com presión requiere una atención especial. La m ayoría de los tipos de hierro colado, por ejem plo, son m ucho más resistentes a com presión que a tensión. El apéndice A -1 6 enum era las propiedades de hierro m aleable A STM A 220, grado 80002 com o sigue:
V ig a s h e c h a s d e m a t e r ia l e s a n is o t r ó p ic o s .
R esistencia últim a a la tensión: R esistencia últim a a la com presión:
s„= 655 M P a (95 ksi) suc= 1650 M P a (240 ksi)
U n perfil de viga eficiente que podría tom ar en cuenta esta diferencia es el perfil I modi ficado m ostrado en la figura 8 -2 5 . C om o el m om ento flexionante positivo usual somete al patín inferior a tensión, con un patín inferior m ás grande se baja el eje neutro y tiende a reducirse el esfuerzo de tensión resultante en él con respecto al esfuerzo de compresión en el patín superior. El ejemplo 8 -1 0 ilustra este resultado con el factor de diseño basado en la resistencia a la tensión casi igual al basado en la resistencia a la com presión. C a p ítu lo 8 ■
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E jem plo 8 -1 0
L a f ig u r a 8 - 2 5 m u e s t r a la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e u n a v ig a h e c h a d e h ie r r o m a le a b le , A S T M A 2 2 0 , g r a d o 8 0 0 0 2 . L a v ig a s e s o m e t e a u n m o m e n t o f l e x i o n a n t e m á x im o de 1 0 2 5 N m , q u e a c t ú a d e ta l m o d o q u e s o m e t e a la c a r a in fe rio r d e la v ig a a t e n s i ó n y a la c a r a s u p e r i o r a c o m p r e s i ó n . C a lc u le e l f a c t o r d e d i s e ñ o r e s u l t a n t e p a r a la v ig a b a s a d o en la r e s i s t e n c i a ú ltim a d e l h ie r r o . El m o m e n t o d e in e r c ia d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l e s de 1 . 8 0 x 1 0 5 m m 4.
S o lu c ió n
O bjetivo
C a lc u la r e l f a c t o r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a ú ltim a .
D ato s
El p erfil d e v ig a m o s t r a d o e n la f ig u r a 8 - 2 5 . 1 = 1 . 8 0 x 1 0 5 m m 4. M = N m . El m a te r ia l e s h ie r r o m a l e a b l e , A S T M A 2 2 0 , g r a d o 8 0 0 0 2 .
A n álisis
C o m o la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e la v ig a n o e s s i m é t r i c a , e l v a l o r d e l e s f u e r z o d e t e n s i ó n m á x im o e n la c a r a in f e rio r d e la v ig a , a,b, s e r á m e n o r
1025
q u e e l e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n m á x im o e n la c a r g a s u p e r i o r , aa . S e c a lc u l a r á :
o¡b = M c bl l
y
a a = M e ,II
e n d o n d e cb = Y = 14.04 m m y e , = 5 0 -1 4 .0 4 = 35.96 m m . El e s f u e r z o de t e n s i ó n e n la c a r a in fe rio r s e c o m p a r a r á c o n la r e s i s t e n c i a ú ltim a p ara d e t e r m i n a r e l f a c t o r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la t e n s i ó n , N ,, c o n :
o¡b=suIN, o N,=sula,b d o n d e su = 6 5 5 M P a e n e l a p é n d i c e A - 1 6 . E n s e g u i d a s e c o m p a r a r á el e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n e n la c a r a s u p e r i o r c o n la r e s i s t e n c i a ú ltim a a la c o m p r e s i ó n p a r a d e t e r m i n a r e l f a c t o r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la c o m p r e s i ó n , A/c c o n :
@ct sucINc d o n d e s uc= 6 5 5 M P a e n e l a p é n d i c e A - 1 6 . El m e n o r d e lo s d o s v a lo re s d e N s e r á e l f a c t o r d e d i s e ñ o fin a l p a r a la v ig a :
R e s u lta d o s
E n la c a r a in fe rio r d e la v ig a :
Mc„ (1 0 2 5 N m ) (1 4 .0 4 m m ) (1 0 0 0 m m ) j----------------------- --- 7 9 .9 5 M P a
= M c , = (1 0 2 5 N m ) (3 5 .9 6 m m ) (1 0 0 0 m m ) _ 2Q 4 Q M Rg aa Nc =
C o m en ta rio
I s uc/ ( T „
1 .8 0 x 105 m m 1
'
m
'
= 1 6 5 0 M P a /2 0 4 .8 M P a = 8 .0 6
E l e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n e n la c a r a s u p e r i o r d e la v ig a e s e l valor lim ita n te e n e s t e p r o b l e m a p o r q u e a llí s e e n c u e n t r a e l f a c t o r d e d is e ñ o m e n o r . P e r o o b s é r v e s e q u e lo s d o s v a l o r e s d e l f a c t o r d e d i s e ñ o r e s u lta ro n c a s i ig u a l e s , lo q u e in d ic a q u e la f o r m a d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l s e o p tim iz ó r a z o n a b l e m e n t e b ie n p a r a l a s d i f e r e n t e s r e s i s t e n c i a s a la te n s ió n y a la c o m p r e s i ó n .
C a p ítu lo 8 ■
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8 -1 2
D IS E Ñ O D E V IG A S H E C H A S D E M A T E R IA L E S C O M P U E S T O S
Los m ateriales com puestos, descritos en el capítulo 2, ofrecen propiedades superiores cuando se usan en el diseño de vigas por la capacidad de adaptación de los constituyentes del com puesto y su colocación en la viga. El procesam iento com puesto a m enudo perm ite que diseñen perfiles únicos que optim izan la geom etría de la estructura con respecto a la m agnitud y la dirección de las cargas a ser soportadas. La com binación de estas caracte rísticas sobresalientes con las ventajas inherentes de los com puestos en función de las relaciones de elevada resistencia a peso y de rigidez a peso los hacen sum am ente desea bles para usarse en vigas. El planteam iento de la sección 8 -1 0 se adapta perfectam ente bien al diseño de vigas com puestas. El diseñador debe elegir un perfil para la sección transversal de la viga que sea, por sí m ism o, eficiente al resistir m om entos flexionantes. A dem ás, el diseñador puede exigir que la m ayor parte de las fibras m ás resistentes y m ás rígidas se concentre en las regiones donde se anticipan los m ayores esfuerzos: es decir, en las fibras m ás externas de la viga, o sea, en el lugar más alejado del eje neutro. En las regiones de esfuerzo elevado se pueden colocar más capas de relleno tipo tela. Una técnica efectiva de diseño de vigas com puestas es em plear un núcleo de m ate rial m uy ligero en estructuras hechas de una espum a rígida o de un m aterial apanalado, cubierto por capas relativam ente delgadas de fibras resistentes rígidas en una m atriz de polím ero. Si se sabe que los m om entos flexionantes siem pre van a actuar en la m ism a dirección, la fibras del com puesto pueden alinearse con la dirección de los esfuerzos de tensión y com presión en la viga. Si se espera que los m om entos flexionantes actúen en varias direcciones, se puede especificar una colocación m ás dispersa de las fibras o se pueden colocar capas de tela a varios ángulos, com o se sugiere en la figura 2 -1 3 . Se debe tener cuidado al diseñar y al som eter a p rueba a estructuras arm adas con vigas com puestas a causa de los m últiples m odos de falla posibles. La estructura puede fallar en la región de esfuerzo de tensión elevado p o r la falla de las fibras o la m atriz o por el desprendim iento de las fibras de la matriz. Pero tal vez un m odo de falla m ás probable de un com puesto lam inado es la falla por cortante interlam inar en regiones de esfuerzo cortante elevado cerca del eje neutro, tal com o se plantea en el capítulo 9. La falla tam bién podría ocurrir en la región expuesta a esfuerzo de com presión por pandeo local del perfil o p o r deslam inación. C uando la viga se diseñó con la suposición de flexión en un cierto plano, es esencial que las cargas se apliquen correctam ente y que el perfil m ism o prom ueva la flexión pura y no una com binación de flexión y torsión. Se debe repasar el análisis del centro de flexión , sección 8-9. El perfil y las dim ensiones de la sección transversal de una viga se pueden m odifi car según la m agnitud del m om ento flexionante en varias posiciones en u n a viga. Por ejem plo, una viga en voladizo que soporta una carga concentrada en su extrem o libre experim enta el m om ento flexionante m áxim o en el punto de apoyo y su m agnitud dism i nuye linealm ente hacia su extrem o libre. P or tanto, la sección transversal puede ser m ás alta en el apoyo y progresivam ente m ás baja hacia el extrem o libre. U na viga sim plem en te apoyada con una carga en el centro experim enta su m om ento flexionante m áxim o en el centro y d ism inuye hacia cada apoyo. Por consiguiente la viga puede ser m ás gruesa en el centro y m ás delgada hacia los extrem os. Las vigas con superficies planas o curvas generosas, com o las alas de un avión, se deben diseñar para rigidez de los am plios paneles, lo m ism o que para una resistencia adecuada. Puede suceder que la piel del panel tenga que ser soportada por nervaduras internas para dividirlo en áreas más pequeñas. Las penetraciones en una viga com puesta se deben diseñar con cuidado para garan tizar la transferencia uniform e de las cargas de una parte a otra de la viga. D e ser factible, S e c c ió n 8 - 1 2 «
D is e ñ o d e v ig a s h e c h a s d e m a te ria le s c o m p u e s to s
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309
la colocación de las penetraciones se hará en las regiones de esfuerzo reducido. Asimis m o, los sujetadores se diseñarán con cuidado para garantizar el acoplam iento adecuado en el m aterial com puesto fibroso. Se puede pensar en protuberancias engrosadas, en donde se van a colocar los sujetadores. Se puede reducir al m ínim o el núm ero de sujeta dores m ediante la configuración intel igente de la estructura, com o, por ejem plo, median te el moldeo de m énsulas integradas a la estructura principal. En sum a, el diseñador de vigas com puestas ha de analizar con cuidado la distribu ción del esfuerzo en la viga e intentar optim izar la colocación del m aterial para aprove char al m áxim o el perfil y las dim ensiones de la viga. El diseñador debe visualizar la trayectoria de la transferencia de la carga desde su punto de aplicación hasta el último punto de apoyo.
B IB L IO G R A F IA
1. A lu m in u m A s s o c ia tio n , S p e c ific a tio n s f o r A lu m in u m
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A d v a n sta r C o m m u n ic a tio n s, I n c ., D u lu th , M N , 1993.
P R O B L E M A S
8-5.1
A n á lis is d e e s f u e r z o s f le x io n a n te s
8-1 .M
portada p or una v ig a d e a c er o W 12 x 16. C alcule
S e u sa u n a b a ñ a cuadrada d e 3 0 m m d e lad o c o m o v ig a s im p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a un m o m e n to fle x io n a n te d e 4 2 5 N -m . C a lc u le e l e sfu e r
el e sfu e r z o c a u sa d o por fle x ió n .
8-6.1
C a lc u le e l e s f u e r z o m á x im o o r ig in a d o p o r f le x ió n en u n a v a r illa c ir c u la r d e 2 0 m m d e d iá m e
fu er z o c a u sa d o por fle x ió n .
8-7.1
d e 1 2 0 N -m .
c a d o c o n la s p atas h a cia abajo d e tal m o d o que la cara p lan a d e 4 p lg sop o rta las ca rgas aplicadas.
U n m o m en to fle x io n a n te d e 5 8 0 0 lb p l g se aplica
C a lc u le lo s e sfu e r z o s m á x im o s d e te n s ió n y com p resió n en e l canal.
a u n a v ig a d e s e c c ió n transversal rectan gular de 0 .7 5 p lg x 1.50 p lg . C a lc u le el e sfu e r z o fle x io n a n
8-8.1
te m á x im o en la v ig a (a) si el lad o vertical e s de
soportada por un tu bo d e a c er o estándar, cédula 4 0 d e l j p lg . C a lc u le e l e sfu e r z o e n e l tu b o creado
U n a v ig a d e m ad era soporta un m o m en to fle x io na n te de 15 5 0 0 lb p lg . S u s e c c ió n transversal es r ectan gu lar d e 1 .5 0 p lg d e a n ch o por 7 .2 5 p lg de
La carga d e 6 5 0 Ib ap lica d a en el cen tro d e la barra d e 2 8 p lg d e largo m o strad a en la figu ra P 6 - 1 es
1 .5 0 p lg , y (b ) si el la d o vertical es d e 0 .7 5 plg.
8-4.1
L a v ig a de 2 4 p lg d e largo m ostrad a en la figura P 6 - 1 0 e s un can al d e a lu m in io , C 4 x 2 .3 3 1 , c o lo
tro c u a n d o s e s o m e te a un m o m en to fle x io n a n te
8-3.1
U n a v ig a A m e r ica n Standard, S 12 x 3 5 , soporta la c arga m o strad a en la figu ra P 6 - 1 1. C a lc u le el es
z o m á x im o ca u sa d o p or fle x ió n en la barra.
8-2.M
L a carga m ostrad a en la figu ra ¥ 6 - 4 d e b e ser so
por fle x ió n .
8-9.M
L a v ig a fab ricada m ostrada en la figu ra P 7 -2 8
altura. C a lc u le el e sfu e r z o m á x im o orig in a d o por
d e b e soportar la carga m ostrad a en la figu ra P 6 -7 .
fle x ió n en la v ig a .
C a lc u le el e sfu e r z o ca u sa d o p o r fle x ió n .
310
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8-10.C
U n a v ig a I d e a lu m in io , 19 x 8 .3 6 1 , sop orta la car ga m ostrad a e n la fig u ra P 6 —8 . C a lc u le e l e sfu e rz o
8-17.1
U n o le o d u c to tie n e q u e ser so p o r ta d o p o r v ig a s h o r iz o n ta les a p o y a d a s e n e l s u e lo , d e 14 p ie s de lo n g itu d . C o n s id e r e la s v ig a s c o m o v ig a s s im p le
o c a sio n a d o p or fle x ió n e n la v ig a .
8-11.1
m en te a p o y a d a s en s u s e x tr e m o s. C a d a u n a sop or
U n a p arte d e u n c h a s is d e c a m ió n s e c o m p o n e de d o s m ie m b r o s a c a n a la d o s , c o m o s e m u estra en
ta el p e s o c o m b in a d o d e 5 0 p ie s d e tu b o d e 4 8 p lg de d iám etro y el p e tr ó le o q u e c ir c u la a tr a v és d e él, a p r o x im a d a m e n te 4 2 0 0 0 Ib. S u p o n ie n d o q u e la
la fig u r a 8 - 2 6 . S i e l m o m e n to en e s a p arte e s d e 6 0 0 0 0 Ib • p ie , c a lc u le el e s f u e r z o fle x io n a n te e n el
carg a a ctú a e n e l cen tro d e la s v ig a s , e sp e c ifiq u e el
chasis. Su p on ga qu e lo s d o s canales actúan co m o
m ó d u lo d e s e c c ió n req u erid o d e la v ig a para lim i tar el e sfu e r z o fle x io n a n te a 2 0 0 0 0 lb /p lg 2. A c o n
u n a v ig a sim p le .
tin u a ció n e sp e c ifiq u e u n p atín d e a n c h o a d ec u a d o o u n a v ig a A m e r ic a n S tandard.
— 3 p lg -—
8-18.1
S e tie n e q u e c on stru ir un a p la ta fo rm a c o n m ad era de c o n s tr u c c ió n term in ad a y m a d era co n tra ch a pad a están d ar u tiliz a n d o la s e c c ió n transversal
12 p lg
m ostrad a e n la fig u ra P 7 - 2 3 . ¿ S ería seg u ra la p la
¡p lg -
taform a si cu atro h o m b r es d e 2 5 0 Ib c a d a u n o , se pararan a 2 p ie s u n o d e o tro, c o m o s e m u estra en la
F I G U R A 8 -2 6
figu ra 8 - 2 7 ? C o n s id e r e s ó lo e s f u e r z o s fle x io n a n -
C o m p o n e n tes del ch asis d el
tes (v é a s e el ca p ítu lo 9 p o r lo q u e se refie re a e s
cam ió n d e l e je m p lo 8 -1 1 .
fu er z o s corta n tes). 250 Ib
2501b
250 Ib
250 Ib
Diseño d e v ig a s 8-12.M C a lc u le e l
2 I
21
2 pies l pies
3 pies
pies |
P latafo rm a
3 pies
-1 2 p ie s -
d iá m etro req u erid o d e u n a barra c ircu
F IG U R A 8 - 2 7
C arg as so b re la p latafo rm a del e je m p lo 8 -1 8 .
lar u tiliz a d a c o m o v ig a para soportar u n m o m en to fle x io n a n te d e 2 4 0 N m c o n u n e sfu e rz o n o m a y o r q u e 125 M P a.
8-13.M
S e v a a usar u n a barra rectan gu lar c o m o u n a v ig a so m e tid a a u n m o m e n to fle x io n a n te d e 145 N m . S i su altura tien e qu e ser tres v e c e s su a ncho, c alcu le la s d im e n s io n e s req u erid as d e la barra para li
8-19.1
U n tram p olín tie n e u n a s e c c ió n tra n sv ersa l r e c tan gular d e 3 0 p lg d e a n c h o p or 3 .0 p lg d e e sp e s o r y está a p o y a d o c o m o s e m u estra e n la fig u ra 8 - 2 8 . C a lc u le e l e s f u e r z o m á x im o c a u s a d o p or fle x ió n en é l cu a n d o una p e r so n a d e 3 0 0 Ib s e para en su
m itar e l e sfu e r z o a 5 5 M P a.
8-14.M
L a s e c c ió n T m ostrad a en la figu ra P 7 - 4 tie n e qu e soportar un m o m e n to fle x io n a n te d e 2 8 .0 kN -m .
3001b
S e tie n e q u e form ar c o n p la c a s d e a c er o so ld a d a s m u erta, ¿ seria s a tisfa c to r io e l a cero A I S I 1 0 2 0 la
i
m in a d o en c a lie n te para la s p la ca s?
A
entre sí. Si la ca rga so b r e la v ig a e s una carga
8-15.M
L a s e c c ió n I m o d if ic a d a m o str a d a en la fig u ra P 7 - 5 s e tie n e q u e extruir d e a lu m in io . E s p e c ifi
6 pies
A y B so n ap o y o s
qu e u n a a le a c ió n d e a lu m in io a d ecu a d a para q u e
B
r
*
m ^ 8 p ies C
RB
(a ) C arg as so b re un tram p o lín
la v ig a so p o r te una c a rga rep etid a q u e p ro d u ce un m o m e n to fle x io n a n te d e 2 7 5 N -m .
8-16.1
S e tie n e q u e usar un tu b o d e a cero estándar c o m o barra fija para h a cer e je r c ic io . L a barra tie n e q u e
2 plg
3 Plg
ser d e 4 2 p lg d e largo y estar sim p le m e n te a p o y a d a en su s e x tr em o s. E sp e c ifiq u e u n tu b o d e d iá m etro a d e c u a d o si e l e sfu e r z o d e fle x ió n d eb e
( i ) S ección A -A a trav és d e un tab ló n
lim ita rse a 10 0 0 0 lb /p lg 2 cu a n d o un h om b re de 2 8 0 Ib s e c u e lg a d e una m a n o e n el cen tro.
F I G U R A 8 -2 8
T ram p o lín d e l ejem p lo 8 -1 9 .
311
P ro b le m a s
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extremo. ¿Sería seguro el trampolín si estuviera hecho de aluminio 6061-T 4 extruido y la persona cayera en su extremo con un impacto? 8-20.M
8-21.M
8-22.M
La carga mostrada en la figura P6-6 tiene que ser soportada por una viga de sección acopada de alu minio extruido cuya sección transversal es la mostrada en la figura P 7 -1 1. Calcule el esfuerzo máximo causado por flexión en la viga. Si se fa brica de aluminio 6061-T4 extruido y las cargas son cargas muertas, ¿sería segura la viga? El perfil extruido mostrado en la figura P7-12 se tiene que usar para soportar las cargas mostradas en la figura P6-5, el cual es un componente del armazón de una máquina industrial. Las cargas se deben a un motor montado en el armazón y se pue den considerar como cargas muertas. Especi fique una aleación de aluminio adecuada para la viga.
4800 Ib, cada una colocada a 14 plg de un extre mo. Especifique el tubo de acero más ligero ade cuado para la viga, cuadrado o rectangular, para producir un factor de diseño de 4 basado en la re sistencia a la cedencia. El tubo se tiene que formar en frío con acero ASTM A500, grado A. 8-25.1
Repita el problema 8-24, pero ahora especifique viga I de aluminio estándar más ligera del apéndi ce A -l 1. La viga se extruirá utilizando aleación 6061-T6.
8-26.1
Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el perfil de acero de patín ancho más ligero del apéndice A -l. La viga se fabricará de acero es tructural ASTM A36.
8-27.1
Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el canal de acero estructural más ligero del apén dice A-6. El canal se tiene que instalar con las patas hacia abajo de modo que las cargas se pue dan aplicar al dorso plano del alma del canal. El canal se fabricará de acero estructural ASTM A36.
8-28.1
Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el tubo de acero cédula 40 estándar más ligero del apéndice A-12. El tubo tiene que ser de acero ASTMA501 formado en caliente.
8-29.1
Repita el problema 8-24, pero ahora diseñe la viga de cualquier material y perfil de su elección que sea segura y más ligera que las de los proble mas 8-24 a 8-28.
8-30.1
El perfil mostrado en la figura P 7-15 tiene que ser de plástico extruido y usarse como viga simple mente apoyada, de 12 pies de largo, para soportar dos cables eléctricos cuyo peso total es de 6.5 Ib/pie de longitud. Especifique un plástico adecuado para que la extrusión produzca un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia a la flexión.
8-31 .C
La carga mostrada en la figura P6-34 representa la carga sobre una viga de piso de un edificio comer cial. Determine el momento flexionante máximo en la viga y, a continuación, especifique un patín de perfil ancho que limite el esfuerzo a 150 MPa.
8-32.M
La figura P6-35 representa la carga sobre una fle cha de motor; los dos apoyos son cojinetes en el bloque del motor. La carga mayor entre los apo yos se debe al rotor más las fuerzas dinámicas. La menor se debe a las cargas externas. Utilizando acero AIS11141 O Q T 1300 para la flecha, especi fique un diámetro adecuado basado únicamente en el esfuerzo de flexión. Use un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última.
8-33 a 8-42.
Utilizando la carga indicada especifique el perfil de patín ancho estándar más ligero (perfil W) que limite el esfuerzo originado por flexión al esfuer zo permisible de la especificación AISC. Todas
Se va a diseñar una viga para soportar las cargas mostradas en la figura 8-28. Las cuatro formas propuestas son: (a) una barra circular, (b) una ba-
7.5 kN
1.5 m
A
7.5 kN
3 m
1.5 m
B
D
Kd F IG U R A 8 -2 9
V ig a d el p ro b le m a 8 -2 2 .
rra cuadrada, (c) una barra rectangular cuya altura es cuatro veces su espesor y (d) la viga American Standard más ligera. Determine las dimensiones requeridas de cada forma propuesta para limitar el esfuerzo máximo originado por flexión a 80 MPa. En seguida compare la magnitud de las áreas de las secciones transversales de las cuatro formas. Como el peso de la viga es proporcional a su área, la de menor área será la más ligera. 8-23.1
8-24.1
Un patio de juegos para niños incluye una viga que soporta cuatro columpios, como se muestra en la figura 8-30. Suponga que cada columpio carga 300 Ib. Se pretende usar un tubo de acero estándar para la viga, manteniendo el esfuerzo originado por flexión a menos de 10 000 lb/plg2. Especifique el tubo de diámetro adecuado para usarlo como viga. Un viga de 60 plg de largo simplemente apoyada en sus extremos tiene que soportar dos cargas de
312
C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexió n
F I G U R A 8 -3 0
C o lu m p io s del p ro b le m a 8 -2 3 .
las cargas son estáticas y las vigas son de acero estructural ASTM A36. 8-33.1
Use la carga de la figura P6-3.
j
8-34.C Use la carga de la figura P6-7. 8-35.C Use la carga de la figura P6-8. 8-36.C Use la carga de la figura P6—11. 8-37.C Use la carga de la figura P6-16. 8-38.C Use la carga de la figura P6-36. 8-39.C Use la carga de la figura P6-40. 8-40.C Use la carga de la figura P6-52. 8—41 .C Use la carga de la figura P6-63.
8-65.1
8-42.1
Use la carga de la figura P6-64.
8-43 a 8-52
Repita los problemas 8-33 a 8-42 pero ahora especifique la viga American Standard más ligera (perfil S).
8-53 a 8-62
Repita los problemas 8-33 a 8-42 pero ahora use acero estructural de baja aleación y alta resisten cia ASTM A572 grado 60.
8— 63.1
Una vigueta de piso de un edificio tiene que ser una vigueta de madera estándar seleccionada del apéndice A-4. Si la vigatienequeestarsimplemente apoyada en sus extremos y soportar una carga uni formemente distribuida de 125 lb/pie a lo largo de
p
los 10 pies de longitud, especifique un tamaño ade cuado para la viga. La viga será de pino del sur grado núm. 2. Considere sólo esfuerzo flexionante. Una banca para jugadores de fútbol debe soportar la carga mostrada en la figura 8-31 que se produce cuando 10 jugadores, cada uno de 300 Ib de peso, se sientan muy cerca uno del otro de modo que cada uno ocupa 18 plg de longitud de la banca. Si la sección transversal de la banca es como se muestra en la figura 8-31, ¿seria segura para es fuerzo flexionante? La madera es de abeto grado núm. 2. Se va a diseñar una banca para jugadores de fút bol. Tiene que soportar la carga mostrada en la figura 8-31 que se produce cuando 10 jugadores, cada uno de 300 Ib de peso, se sientan codo con codo de modo que cada uno ocupe 18 plg de la longitud de la banca. La banca debe tenerperfil de T y estar hecha de abeto grado núm. 2, como se muestra el tablónde asiento de2 x 12. Especifique el miembro vertical requerido de la T si la banca debe ser segura para esfuerzo flexionante.
t
Repita el problema 8—65, pero ahora use la sec ción transversal mostrada en la figura 8-32.
8-67.1
Repita el problema 8-65, pero utilice cualquier sección transversal de su elección hecha de vigas de madera estándar dadas en el Apéndice A-4. 313
Problem as
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.
...
■■■ .......... -
........
2 00 lb /p ie ,
Suelo - 10.0 p ie s ----------------------- ► [•■ 2.5 pies ♦
«•2.5 p ie s * |* —
|- —
11.25 — - |
2 x 1 2 — •* / ; / / / / / / ; / * ' v ig a de m ad era 2x4
1.50
D im en sio n es e n p ulgadas 2 x
1.50
3 .5 0 (só lo p ara el p ro b le m a 8 -6 4 )
S ección/l-y4
12
\
F I G U R A 8 -3 1
B an ca y c arg a de lo s p ro b le m a s 8 - 6 4 , 8 - 6 5 , 8 - 6 6 y 8-67.
M iem b ro s v e rtic a les a s e r esp ecificad o s
F I G U R A 8 - 3 2 S ecció n tran sv ersal d e la b an ca del p ro b le m a 8—66.
Trate de lograr un diseño más ligero que el del pro blema 8-65 u 8-66. Observe que un diseño más lige ro tendría una menor área de sección transversal. 8-68.1
Se va a diseñaruna cubierta de madera para sopor tar una carga uniformemente distribuida de 100 lb/pie2 sobre toda su área. Las viguetas se tienen que disponer como se muestra en la figura 8-33, a 16 plg entre centros. Si la cubierta tiene que ser de 8 por 12 pies, determine el tamaño requerido de las viguetas. Use secciones de madera estándar del apéndice A—4 y abeto núm. 2.
8-69.1
Repita el problema 8-68 con las viguetas dispues tas a lo largo de la longitud de 12 pies y no a lo largo del ancho de 8 pies.
8-70.1
Repita el problema 8-68, con vigas de apoyo a 18 plg desde los extremos de las viguetas en lugar de en los extremos.
8-71.1
Repita el problema 8-69, con vigas de apoyo a 18 plg de los extremos de las viguetas en lugar de en los extremos.
8-72.1
Para el diseño de la cubierta mostrada en la figura 8-33 especifique un tamaño adecuado para las vi gas transversales que soportan las viguetas.
8.73.1
Diseñe un puente sobre un pequeño arroyo. Su ponga que se dispone de apoyos rígidos en ambas márgenes del arroyo, separados 10 pies. El puente tiene que ser de 3.0 pies de ancho y soportar una carga uniformemente distribuida de 60 lb/pie2so bre toda su área. Diseñe sólo los tablones de la cubierta y las vigas. Use dos o más vigas de cual
quier tamaño de las que vienen en el apéndice A-4 u otras de su propio diseño. 8-74.1
¿Sería seguro el puente que diseñó en el problema 8-73 si un caballo y su jinete que pesan 2200 Ib pasaran lentamente a través de él?
8-75.1
El montador de transmisiones en una fábrica tiene que suspender una máquina de 10 500 Ib de una viga de 12.0 pies de longitud de modo que un ca mión pueda retroceder debajo de ella. Suponga que la viga está simplemente apoyada en sus ex tremos. Dos cables soportan la carga, cada uno a 3.0 pies de uno de los apoyos. Diseñe una viga adecuada. Considere vigas estándar de madera o acero o una de su propio diseño.
8-76.1
En una producción de teatro experimental, un pirata debe cumplir con el castigo de “caminar sobre el tablón” hasta que se caiga al mar. Si el pirata pesa 220 Ib, ¿sería seguro el diseño mos trado en la figura 8-34? De no serlo, diseñe uno que sí lo sea.
8-77.M Una rama de un árbol tiene las dimensiones apro ximadas mostradas en la figura 8-3 5. Suponiendo que la resistencia a la flexión de la madera sea si milar a la del abeto núm. 3, ¿seria seguro para una persona de 135 kg de masa sentarse en el colum pio? 8-78.1
¿Sería seguro utilizar un tabla estándar de 2 x 4 de pino del sur grado 2 como palanca, como se muestra en la figura 8-36, para levantar un lado de una máquina? Si no, ¿qué sugeriría utilizar? C a p ítu lo 8 ■
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220 N
le el esfuerzo máximo causado por flexión en la flecha, teniendo en cuenta las concentraciones de esfuerzo.
280 N
8-91.M
F IG U R A 8 - 3 7
V ig a d e u n a im p reso ra d e co m p u tad o ra,
Las fuerzas mostradas en la flecha de la figura 8 40 se deben a los engranes montados en B y C. Calcule el esfuerzo máximo originado por flexión en la flecha. - 50 mm
p ro b lem a 8 - 8 2 . C o jin e te,
V ig a s c o n c o n c e n t r a c io n e s d e e s fu e r z o y s e c c io
1250 N 2800 N - 50 m m — *4»—50 mm -
o .
Cojinete
n e s t r a n s v e r s a le s v a r ia b le s
8-89.1
C im eros d e perfil
En la figura 8-38 el tubo de 4 plg acopla perfecta mente con su apoyo, de modo que no hay concen tración de esfuerzo en D. En Cel tubo de 3 1/2 plg se coloca en el interior del tubo de 4 plg con un anillo espaciador para un ajuste perfecto. En se guida se usa una soldadura de filete de 1/4 bien redondeado para fijar las secciones. Teniendo en cuenta la concentración de esfuerzo en la junta, determine qué tan afuera debe quedar el punto C para limitar el esfuerzo a 20 000 lb/plg2. Use el apéndice A-21-9 para determinar el factor de con centración de esfuerzo. ¿Es seguro el tubo de 4 plg en D?
18 m m d e d iá m . F I G U R A 8 - 40
8-92.1
La figura 8-41 muestra un flecha de una máquina soportada por dos cojinetes en sus extremos. Las dos fuerzas son ejercidas contra la flecha por en granes. Considerando sólo esfuerzos flexionantes, calcule el esfuerzo máximo en la flecha y señale dónde ocurre.
8-93.1
La figura 8-42 muestra una palanca hecha de una barra rectangular de acero. Calcule el esfuerzo provocado por flexión en el punto de apoyo de la palanca, a 20 plg del pivote y en cada uno de los agujeros de la barra. El diámetro de cada agujero es de 0.75 plg.
8.94.1
Repita el problema 8-93, pero use el diámetro de los agujeros como de 1.38 plg.
8-95.1
En la figura 8-42, los agujeros en la barra permi ten cambiar la longitud de la palanca con respecto al pivote. Calcule el esfuerzo flexionante máximo en la palanca conforme el pivote se cambia a cada uno de los agujeros. Use el diámetro de los aguje ros como de 1.25 plg.
8-96.M
La ménsula mostrada en la figura 8-43 soporta las cargas opuestas creadas por un resorte. Si la fuerza F es de 2500 N, calcule el esfuerzo flexionante en una sección, como la A-A, afuera de los agujeros.
S o ld ad u ra, 'a p lg d e rad io
y T u b o cédula 4 0 d e 3 '/i plg
T u b o céd u la 4 0 d e 4 plg 'lg 6 p ies F IG U R A 8 - 3 8
8-90.M
\
I
350 Ib
350 Ib
— ~f*~2 pies-»)
D alo s p ara el p ro b lem a 8 - 8 9 .
La figura 8-39 muestra una flecha circular de una transmisión. En los puntos A, C y E se montan engranes. En B y D van los cojinetes de apoyo. Se muestran las fuerzas transmitidas por los engra nes a la flecha, todas dirigidas hacia abajo. Calcu
D ato s p ara el p ro b lem a 8 -9 1 .
12.5 kN
8.0 kN
10.5 kN r = 1.5 m m -
= 2 mm
r = 2 mm c 55 mm
---
35 mm _ * __
íl
- r = 1.5 mm
---- r
"l
- + -----
45 mm
r
30 mm ___ L
B
«•—150 m m —«
-1 5 0 mm -
F IG U R A 8 -3 9
-1 5 0 m m -
-1 5 0 mm -
D ato s p a ra el pro b lem a 8 -9 0 .
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8—97.M
Si la fuerza, F, en la figura 8—43 es de 2500 N, calcule el esfuerzo flexionante en una sección que pase por los agujeros, tal como la B-B. Use d = 12 mm como diámetro de los agujeros.
8-98.M
Repita el problema 8-97 con d = 15 mm como diámetro de los agujeros.
haga que el esfuerzo flexionante en el redondeo sea igual al que se crea en el punto de aplicación de la carga. 8-104.M Repita el problema 8-100 con el peralte de la ba rra cambiado de 60 mm a 75 mm. 8-105.M En labarraescalonadaplana de la figura 8-44, ¿se podría perforar un agujero a la mitad del peralte de 60 mm de la barra entre las dos fuerzas sin que se incremente el esfuerzo flexionante máximo en la barra? De ser posible, ¿cuál es el tamaño máximo del agujero que se puede perforar?
8-99.M
Para el esfuerzo resultante calculado en el proble ma 8-98, especifique un acero adecuado para la ménsula si la fuerza se repite miles de veces. 8-100.M La figura 8-44 muestra un barra plana escalonada sometida a flexión. Si la barra es de acero AISI 1040 estirado en frío, calcule la fuerza máxima repetida, F, que se puede aplicar a la barra con seguridad.
8-106.M La figura 8-45 muestra una barra escalonada pla na que soporta tres cargas concentradas. Sea P = 200 N,L¡= 180 mm, ¿ 2 = 80 mm y Z,3 = 40 mm. Calcule el esfuerzo máximo creado por flexión y el lugar donde ocurre. La barra se refuerza contra flexión y torsión lateral. Observe que las dimen siones en la figura no están dibujadas a escala.
8-101.M Repita el problema 8-100 con r = 2.0 mm como radio del redondeo. 8-102.M En la barra escalonada plana mostrada en la figura 8—44 cambie la dimensión de 75 mm que localiza el escalón por un valor que haga que el esfuerzo flexionante en el escalón sea igual al que se crea en el punto de aplicación de la carga.
8-107.M Con los datos del problema 8-106, especifique un material adecuado para la barra que produzca un fac tor de diseño de 8 basado en la resistencia última. 8-108.M Repita el problema 8-107 con r - 1.50 mm como radio del redondeo.
8-103.M En la barra escalonada plana mostrada en la figura 8 - 44 cambie el tamaño del radio de redondeo que
F
F
--------- 150 mm - 75 mm
- 100 mm -
40 mm
60 mm
- 150 m m --------|*«- 75 mm -
t
,
- 'v T
B arra p la n a - e s p e s o r = 12 m m
r= lO m m usual
-1 4 0 m m -
-1 0 0 mm — ► )*•— 100 mm 2P
12 m mm ili |-------j-
140 mm
P laca p lan a t =8 mm
r = 3 mm usual
F IG U R A 8 - 4 4 B arra p lan a escalo n ad a de los p ro b lem as 8 -1 0 0 a 8 -1 0 5 .
\r
< -n -
24 nmm — 36 m m --------- 48 mm
i i -¿2-
F IG U R A 8 - 45
P laca plana e scalonada de los p ro b lem as 8 -1 0 6 a 8 -1 1 0 .
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pesaría 312 Ib para los 12 pies de longitud. Una viga W12 x 16 pesaría sólo 192 Ib pero su módulo de sección, S , no sería suficiente. Para incremen tarlo, se propone añadir placas de acero de 0.25 plg de espesor y 3.50 plg de ancho, tanto al patín superior como al inferior a la mitad de la viga. Rea lice los siguientes análisis: (a) Calcule el módulo de sección de la porción de la viga W12 x 16 con los cubreplacas. (b) Si el resultado del inciso (a) es satisfactorio para limitar el esfuerzo a un nivel aceptable, calcule la longitud requerida a lo largo de la cual se tendrían que aplicarlas placas al 0.5 pie más cercano.
8-119.M Una compañía planea fabricar tres vigas de perfil en U laminándolas de lámina de aluminio plana. Cada canal debe tener las dimensiones externas mostradas en la figura 8-48, pero diferentes espe sores, 0.50, 1.60 y 3.00 mm. Para cada diseño, calcule el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal y localice el centro de fle xión, medido a partir de la cara izquierda del alma vertical. 8-120.1
Localice el centro de flexión de la sección acopa da que se muestra en la figura 8-49 y que se midió a partir de la cara izquierda del alma vertical.
(c) Calcule el peso resultante de la viga compues ta y compárelo con la viga original W 14 x 26. 8-117.1
La figura P7-26 muestra una viga compuesta de un canal y un perfil de viga American Standard. Si la viga está simplemente apoyada y soporta una carga uniformemente distribuida sobre un claro de 15.0 pies, calcule la carga permisible en la viga compuesta y en el mismo perfil S solo. La carga es estática y se debe usar la especificación del AISC para acero estructural A36.
C e n tro d e fle x ió n 8-118.M Localice el centro de flexión del canal mostrado en la figura 48 medido a partir de la cara izquierda del alma vertical. F IG U R A 8 -4 9 p ro b lem a 8 -1 2 0 .
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S ección aco p ad a del
8-129.M El perfil de la figura P7-6 se somete aú n a carga concentrada única aplicada en el centro de su cla ro de 1200 mm. La resistencia permisible a ten sión es de 100 MPa, mientras que la compresión es de más o menos 70 MPa. Calcule la carga per misible. 8-130.M Repita el problema 8-129 con un giro de 180° en la sección. 8-131.M Repita el problema 8-129 con el perfil mostrado en la figura P7-8. 8-132.M Repita el problema 8-129 con el perfil mostrado en la figura P7-9.
F I G U R A 8 - SO p ro b le m a 8 -1 2 2 .
8-133.M El perfil T mostrado en la figura P7—4 se tiene que fabricar de hierro colado gris, ASTM A48 grado 40. Debe soportar dos cargas iguales P, aplicadas a 1.0 m de los extremos de la viga de 2.80 m de longitud. Especifique la carga estática máxima P que la viga podría soportar. Use N = 4.
C an al a la b iad o del
dimensiones externas mostradas en la figura 8 50, pero diferentes espesores, 0.50, 1.60 y 3.00 mm. Para cada diseño, localice el centro de fle xión, medido a partir de la cara izquierda del alma vertical. 8-124.M Localice el centro de flexión de un tubo de 50 mm de diámetro externo y 4 mm de espesor de pared. 8-125.1
8-134.M El perfil I modificado mostrado en la figura P7—5 debe soportar una carga estática uniformemente distribuida a todo lo largo de su longitud de 1.20 m. Especifique lacarga máxima permisible consi derando que la viga tiene que ser de hierro malea ble, ASTM A220, clase 80002. Use N = 4. 8-135.M Repita el problema 8-134 con un giro de 180° en la viga. 8-136.M Para la viga mostrada en la figura 8-51 de hierro dúctil, ASTM A536, grado 120-90-2, calcule la carga máxima P que puede soportar con factor de
En un canal de aluminio C2 x 0.577 con su alma en posición vertical, localice el centro de flexión. Ignore el efecto de los redondeos entre los patines y el alma.
8-126.M Si la sección acopada mostrada en la figura P 7 -1 1 se girara 90° apartir de la posición mostrada, loca lice su centro de flexión. V ig a s h e c h a s d e m a te r ia le s a n i s o tr ó p i c o s
8-127.1
La sección de viga mostrada en la figura P 7 -15 se tiene que fabricar de aluminio 6061-T6 extruido. La resistencia a la tensión permisible es de 19 ksi. Debido a las patas largas relativamente delgadas en la parte superior, la resistencia a la compresión permisible es de sólo 14 ksi. La viga debe cubrir un claro de 6.5 pies y estará simplemente apoyada en sus extremos. Calcule la carga máxima permi sible que se distribuye de modo uniforme sobre la viga
8-128.1
Repita el problema 8-127 con un giro de 180° en la sección. Con las patas hacia abajo, se ven some tidas a tensión y son capaces de soportar 19 ksi. La parte de la sección sometida a compresión en la parte superior ahora está perfectamente apoya da y puede soportar 21 ksi.
P
0.8 m
'
P
0.8 m
p
0.8 m
P
0.8 m
<
0.8 m
S e c c i ó n ^ - *4-s e c c ió n tra n sv ersa l d e v ig a F IG U R A 8 - 5 1
P ro b le m a s
V ig a a n ch a del p ro b le m a 8 - 1 3 6 .
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diseño resultante de 10 basado ya sea en la resis tencia última a la tensión o a la compresión. 8-137.M Repita el problema 8-136 con el peralte de las nervaduras verticales incrementado por un factor de 2.0. 8-138.M Losproblemas del 8-133 al 8-137 ilustran que un perfil I modificado es el que casi optimiza el uso de la resistencia disponible de un material de dife rentes resistencias a tensión y a compresión. Dise-
T A R E A S
DE
1. Escriba un programa para calcular el esfuerzo flexionante máximo en una viga simplemente apoyada some tida a una sola carga concentrada en su centro. Deje que el operador introduzca la carga, el claro y las propieda des de sección de la viga. Los datos de salida deben in cluir el momento flexionante máximo y el esfúerzo flexionante máximo e indicar dónde ocurre el esfuerzo máximo. A d ic io n e s a la t a r e a 1
(a) Para el esfuerzo calculado, determine la resistencia del material requerida para que la viga produzca una factor de diseño dado. (b )
Además de (a) incluir una tabla de propiedades de un material seleccionado tal como los datos para acero del apéndice A-13. A continuación busque un acero adecuado en la tabla del cual se pueda ha cer la viga.
2. Repita la tarea 1 con una carga uniformemente distribuida. 3. Repita la tarea 1 con una viga en voladizo sometida a una sola carga concentrada aplicada en su extremo libre. 4. Escriba un programa para calcular el momento flexio nante máximo en una viga simplemente apoyada some tida a una sola carga concentrada aplicada en su centro. Deje que el operador introduzca la carga y el claro. En seguida calcule el módulo de sección requerido de la sección transversal de la viga para limitar el esfuerzo flexionante máximo a un nivel determinado o para lo grar un factor de diseño dado para un material igual mente dado. Los datos de salida deben incluir el momento flexionante máximo y el módulo de sección requerido. A d ic io n e s a la ta r e a 4
(a) Después de calcular el módulo de sección requeri do, haga que el programa termine el diseño de la sección transversal de la viga con un perfil general
ñe un perfil I que tenga un factor de diseño casi uniforme de 6 basado en la resistencia última, ya sea a tensión o a compresión, hecho de hierro gris, grado 20, sometido a una carga uniformemente distribuida de 20 kN/m a lo largo de su longitud de 1.20 m. (Nota: Es posible que desee usar el pro grama de cómputo de la tarea 3 al final del capítu lo 7 para que se le faciliten los cálculos. Se puede usar un procedimiento de tanteo.)
C O M P U T A C I Ó N
determinado, tal como uno rectangular, con una re lación específica de espesor a peralte (véase el pro blema 8-13), o circular. ( b)
Incluya una tabla de propiedades de secciones de viga estándar como las de los apéndices A—4 a A12 y haga que el programa busque una sección de viga adecuada que produzca el módulo de sección requerido.
5. Repita la tarea 4, pero ahora con una carga uniforme mente distribuida. 6. Repita la tarea 4 con la carga descrita en el problema 8- 22.
7. Repita la tarea 4 con el patrón de carga asignado por el instructor. 8. Escriba un programa de cómputo que facilite la solución del problema 8-138, incluidoel cálculo de las propiedades de sección del perfil I modificado con las técnicas del capí tulo 7. Use el patrón de carga de la figura P6-3, pero deje que el usuario especifique el claro de la viga, la magnitud de la cargay la ubicación de la misma. 9. Escriba un programa de cómputo que facilite la solu ción de problemas como el problema 8-116. Generali ce el programa, permitiendo que el usuario pueda introducir la carga sobre la viga, las propiedades de sec ción deseadas y las dimensiones de las placas que vayan a ser añadidas a la sección de viga básica. 10. Escriba un programa de cómputo para realizar los cálcu los exigidos en el problema 8-1 11, pero haga el progra ma más general y permita que el usuario introduzca los valores de la carga, el claro, las dimensiones de la sec ción transversal de la viga y el intervalo para calcular el esfuerzo flexionante. Haga que el programa dibuje la gráfica de esfuerzo contra posición en la viga. 11. Escriba un programa de cómputo para localizar el cen tro de flexión de la sección en U generalizada mostrada en la figura 8-48. Permita que el usuario introduzca to das las dimensiones. C a p ítu lo 8 ■
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E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión
12. Escriba un programa para localizar el centro de flexión de la sección acopada generalizada mostrada en la figu ra 8 - 49. Permita que el usuario introduzca todas las di mensiones. Se pueden usar técnicas de ajuste de curvas e interpolación para interpretar la gráfica mostrada en la figura 8-21.
13. Escriba un programa de cómputo para localizar el cen tro de flexión del canal alabiado mostrado en la figura 8-50. Deje que el usuario introduzca todas las dimen siones. Se pueden usar técnicas de ajuste de curvas e interpolación para interpretar la gráfica de la figura 8- 2 1 .
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9 E s fu e rz o s c o rta n te s e n v ig a s
9 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
C ontinuando con el análisis de vigas, este capítulo se ocupa de los esfuerzos creados en u n a viga p o r la presencia de fuerzas cortantes. Tal com o se m uestra en la fig u ra 9 -1 , las fuerzas cortantes se visualizan actuando en la sección de una v iga,en form a transversal, es decir, perpendiculares al eje de la viga. P o r tanto tienden a cre ar esfuerzos cortantes transversales , en ocasiones llam ados esfuerzos cortantes verticales. P ero si se aísla un pequeño elem ento som etido a tales esfuerzos, com o se muestra en la figura 9 -2 , se ve que tam bién deben existir esfuerzos cortantes horizontales para que el elem ento esté en equilibrio. D e este m odo, tanto los esfuerzos cortantes verticales com o los horizontales, que tienen la m ism a m ag n itu d en un punto dado, son creados por esfuerzos cortantes en vigas. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lecto r será cap az de: 1. D escribir las condiciones en las cuales se crean los esfuerzos cortantes en vigas. 2. C alcular la m agnitud de los esfuerzos cortantes en vigas con la fó rm u la general de cortante. 3. D efinir y evaluar el momento estático requerido en el análisis de esfuerzos cor tantes. 4. E specificar dónde ocurre el esfuerzo cortante m áxim o en la sección transversal de una viga. 5. C alcular el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal de una viga. 326
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9. D esarrollar y usar fórm ulas especiales de cortante para calcular el máximo esfuerzo cortante en vigas con secciones transversales rectangulares o circula res sólidas. 10. E ntender el desarrollo de relaciones aproxim adas para estim ar el esfuerzo cor tante m áxim o en vigas que tienen secciones transversales con alm as altas es beltas o aquellas con perfiles tubulares huecos de pared delgada. 11. Especificar un esfuerzo cortante de diseño adecuado y aplicarlo para evaluarla aceptabilidad de un diseño de viga dado. 12. D efinir flujo de cortante y calcular su valor. 13. U sar el flujo de cortante para evaluar el diseño de secciones de viga fabricadas, unidas con clavos, pernos, adhesivos, soldadura u otro m étodo de sujeción.
9 - 2
V IS U A L IZ A C IÓ N D E E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S
La existencia de esfuerzo cortante horizontal en vigas tam bién se observa en vigas hechas de varias tiras planas, com o se ilustra en la figura 9 -3 . Se puede hacer un m odelo con cartón, lámina, plástico u otros m ateriales. U na tira plana delgada sería una viga muy deficiente para usarse com o viga simple m ente apoyada en sus extrem os y som etida a una carga concentrada a la m itad de su claro. La viga se deflexionaría m uchísim o y tendería a rom perse con una carga m uy reducida. AI colocar varias tiras una encim a de la otra se produce una viga m ás resistente que se deflexiona m enos con una carga dada, pero sólo hasta cierto grado. Tal com o se mues tra en la figura 9 -3 (b ), las tiras se deslizarían una con respecto a la otra en las superficies de contacto y la viga seguiría siendo relativam ente flexible y débil. Se puede hacer una viga m ás resistente y m ás rígida sujetando las tiras de tal modo que se evite el deslizam iento entre ellas. Esto se puede hacer con adhesivo, soldadura, soldadura de latón o sujetadores m ecánicos tales com o rem aches, tom illos, pernos, pasa dores, clavos o incluso grapas. De esta m anera, se evita la tendencia a que una tira se deslice con respecto a la siguiente y los sujetadores se ven som etidos a una fuerza cortante
(«)
T ira s apiladas su eltas, d escarg ad as
ib) L as tiras se d e sliza n u n a co n resp ecto a la o tra c u an d o se s o m eten a u n a carg a
(c) T ira s p eg ad as en tre sí. E l p eg am en to se so m ete a co rtan te y re siste el d e slizam ien to en tre las tiras. F IG U R A 9 -3 e n u n a viga.
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Ilu stració n d e la p resen cia d e esfu erzo cortante
C a p ítu lo 9 ■
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E s fu e rz o s c o r ta n te s en vigas
dirigida horizontal, paralela al eje neutro de la viga. A sí es com o se visualiza el esfuerzo
cortante horizontal en u n a viga. V éase la figura 9 -3 (c). En una v ig a m aciza existe u n a condición sim ilar. En este caso la ten d en cia al desli zam iento horizontal de una parte de la viga con respecto a otra encim a o debajo de ella es resistida p o r el material de la viga. P o r consiguiente, en cualq u ier plano horizontal se desarrolla un esfuerzo cortante. P o r otra p an e, según se m uestra en la figura 9 -2 , existen esfuerzos cortantes al m ism o tiem po en el plano vertical para m antener el equilibrio de cualquier elem ento infinitesim al som etido a esfuerzo.
9 - 3
IM P O R T A N C IA D E L O S E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S
En el diseño práctico se presentan varias situaciones en las q u e el m odo de falla tal vez sea el cizallam iento d e una parte o de un sujetador de u n a viga com puesta. A quí se describen cuatro situaciones com o ésas. V ig a s d e m a d e r a . La m adera es p or naturaleza débil a cortante, a lo largo de los planos paralelos a su veta. C onsidérese la viga m ostrada en la figura 9 - 4 , la cual es similar a las viguetas usadas en estructuras de piso y techo de construcciones de m adera. L a veta generalm ente corre paralela al eje largo en la m adera de construcción com ercial m ente disponible. C uando se som ete a cargas transversales, es p robable que la falla inicial en u n a viga de m adera sea por separación a lo largo de la veta de la m adera, a causa de un esfuerzo cortante horizontal excesivo. N ótese en el apéndice A -1 8 q u e el esfuerzo cor tante perm isible en clases com unes de m adera v aría de sólo 70 a 95 lb/plg2 (0.48 a 0.66 M Pa), valores q u e son extrem adam ente bajos. V i g a s d e a lm a e s b e lt a . U na sección transversal de viga eficiente sería u n a con p a tines horizontales relativam ente gruesos arriba y abajo con u n alm a vertical esbelta que los conectara. E sta es la descripción general de la conocida “v ig a en I”, la viga de patín ancho o la viga A m erican Standard, ilustrada en la figura 9 -5 . En los apéndices A -7 , A -8 y A - l 1 se dan dim ensiones reales de este tipo de secciones de viga. Pero si el alm a es excesivam ente esbelta, no ten d ría suficiente rigidez y estabilidad p ara m antener su form a y fallaría p o r la presencia de esfuerzo cortante en ella. El A m eri can Institute o f Steel C onstruction (A ISC ) define el esfuerzo co rtan te p erm isible en las alm as de vigas de acero. V éase la referencia 1. V éase tam bién la fórm ula del esfuerzo cortante en alm as , definida m ás adelante en la sección 9 - 7 de este capítulo.
C arg a
1.50 p lg
co rta n te a lo larg o d e la v e ta F IG U R A 9 -4
te c c ió n 9 - 3 ■
S e c c ió n ^ - A
F a lla p o r c o rta n te en u n a v ig a d e m a d e ra .
Im p o rta n c ia d e lo s e s fu e rz o s c o rta n te s e n v ig a s
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P a tín
0 .4 4 0 p lg
l
A lm a 12.34 plg
P erfil de a cero W 1 2 x 3 0 F IG U R A 9 -5
-X - 0 .2 6 0 p lg
/x = 2 3 8 p lg 4
E je m p lo d e un p erfil d e v ig a de a lm a esbelta.
V ig a s c o r t a s . En vigas m uy cortas, es probable que el m om ento flexionante y por tanto el esfuerzo flexionante, alcancen valores reducidos. En vigas de ese tipo, el esfuer zo cortante puede ser el esfuerzo lim itante.
Tal com o se m uestra en la figura 9—3, los suje tadores en una sección de viga com puesta están som etidos a esfuerzos cortantes. El con cepto á t flujo de cortante , desarrollado m ás adelante, se usa para evaluar la seguridad de vigas com o ésas o para especificar el tipo, el núm ero y la separación requeridos de los sujetadores que van a ser utilizados. A sim ism o, las vigas hechas de m ateriales compues tos son ejem plos de vigas fabricadas. L a separación de las capas del com puesto, llamada cortante interlaminar, es un m odo potencial de falla. S u j e t a d o r e s e n v ig a s fa b r i c a d a s .
E s t r u c t u r a s r e c u b ie r t a s d e lá m in a s d e m e t a l s o m e t i d a s a e s f u e r z o . Las estructuras de aviones y naves espaciales y algunos vehículos terrestres y equipo indus trial se fabrican utilizando un diseño á t lámina de metal sometida a esfuerzo. Las llama das en ocasiones estructuras monocasco están diseñadas para soportar la m ayor parte de la carga en sus delgadas capas m etálicas. Por lo general se usa el m étodo del flujo de cortan te p ara evaluar estructuras com o ésas, aunque éste no se desarrolla en este libro.
FÓ RM ULA G ENERAL DE CORTANTE
A quí se presenta la fórm ula general de cortante con la que se puede calcular la magnitud del esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una sección transversal de una viga some tida a una fuerza vertical. En la sección 9 -7 se desarrolla la fórm ula. E s posible que se desee estudiar la fórmula ju n to con esta sección. L a fórm ula general de cortante se expresa com o sigue:
VQ It
(9-1)
en donde V= fuerza cortante vertical en la sección de interés. El valor de V puede cal cularse con el diagram a de fuerza cortante descrito en el capítulo 6. En general, se usa el valor m áxim o absoluto de V, ya sea positivo o negativo. / = momento de inercia de la sección transversal com pleta de la viga con respecto a su eje centroidal. É ste es el m ism o valor de I usado en la fórm ula de la flexión ( t 7 = M cl) para calcular el esfuerzo flexionante. t = espesor de la sección transversal medido en el eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. Q = momento estático. C a p ítu lo 9 ■
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E s fu e rz o s c o rta n te s en vigas
El momento estático se define com o el m om ento, con respecto al eje centroidal general, del área de la parte de la sección transversal alejada del eje donde se v a a calcular el esfuerzo cortante. P o r definición: M o m e n to
O
Q
e s tá tic o
=
(9 -2 )
A„y
en donde Ap = área de la parte de la sección transversal distante del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante.
y = distancia al centroide Ap m edida a partir del eje centroidal de la sección transversal com pleta. N ótese que el m om ento estático es el momento de un área ; es decir, área p o r distancia. P o r consiguiente, sus unidades serán de longitud al cubo, tales com o p lg 3, m 3 o m m 3. L a evaluación cuidadosa del m om ento estático Q es crítica p ara el uso correcto de la fórm ula de cortante. E s conveniente b o sq u ejar la sección transversal de la v ig a y en seguida realzar el área parcial Ap. L uego se localiza el centroide del área p arcial en el bosquejo. L a figura 9 -6 m uestra un ejem plo de lo anterior. E n éste, el objetivo es calcular el esfuerzo cortante en el eje a-a. El área som breada es Ap, m o strad a com o la parte que está alejada del eje a-a. Los tres ejem plos siguientes ilustran el m étodo p ara calcular Q. E n cada uno de ellos, se u sa el procedim iento siguiente.
M é to d o p a ra calcu lar el m o m e n to e s tá tic o , Q
1. L ocalice el eje centroidal de la sección transversal com pleta. 2. T race el eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. 3. Identifique el área parcial Ap, alejada del eje de interés y som bréela p ara resaltarla. Si el área parcial Ap es un área sim ple en la que ya se localizó el cen tro id e p o r m edio de cálculos sim ples, use los pasos 4 - 7 p ara calcu lar Q. D e lo contrario, use los pasos 8 -1 1 . 4. C alcule la m agnitud de Ap. 5. L ocalice el centroide del área parcial. 6. C alcule la d ista n c ia ^ del centroide de toda la sección al centroide del área parcial. 7. C alcule Q = A py . C uando el área parcial es un área com puesta de varias partes, se u tilizan los paso s 8 -1 1 . 8. D ivida el área Ap en sus com ponentes, las cuales so n áreas sim ples, y desígnelas A ¡,A 2, A 3, etc. C alcule sus valores. 9. L ocalice el centroide de cada u n a de las áreas com ponentes. 10. D eterm ine las distancias del eje centroidal de toda la sección transversal al centroide de cada área com ponente y desígnelas y ,, yz^yi, y así su cesi vam ente. 11. C alcule con A = Apy de:
Q = ¿ Py = A , y, + A¡y2+A3y 3+ . . .
S ección 9 - 4
■
F ó rm u la g e n e ra l d e c o rta n te
(9 -3 )
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C o m e n t a r io
P a s o 2.
El e j e d e i n t e r é s , a - a , e s t á e n e l e x t r e m o s u p e r i o r d e l a l m a , j u s t o a b a j o d e l p a tín .
P a s o 3.
El á r e a p a r c i a l s o b r e e l e j e
P a s o 4.
A p = (8 p lg ) (2 p lg ) = 1 6 p lg 2
P a s o 5.
El c e n t r o i d e d e A p e s t á 1 .0 p lg a b a j o d e la c a r a s u p e r i o r d e l p a tín , e l c u a l e s t á a 9 .0 p lg s o b r e la b a s e d e la T .
P a s o 6.
y = 9 .0 p lg - Y
P a s o 7.
Q
a -a
e s to d o el p a tín .
= 9 . 0 p l g - 6 . 8 6 p lg = 2 . 1 4 p lg
= Apy= ( 1 6 p lg 2) ( 2 .1 4 p lg ) = 3 4 . 2 p lg 3
E s d e h a c e r s e n o ta r q u e el v a lo r d e Q s e r ía el m is m o a u n q u e el e je d e in te r é s
a -a
s e h u b i e r a c o n s i d e r a d o e n la c a r a in f e rio r d e l p a t í n j u s t o
a r r i b a d e l a l m a . P e r o e l e s p e s o r d e la s e c c i ó n , t, s e r í a ig u a l a l a n c h o d e l p a t í n , m i e n t r a s q u e c o n e l e j e a -a u tiliz a d o e n e s t e p r o b l e m a , s e u s a el e s p e s o r d e l a lm a . L o s e s f u e r z o s c o r ta n te s r e s u lta n te s s e r ía n p o r c o m p le to d i f e r e n t e s . E s t o s e d e m o s t r a r á m á s a d e l a n t e .
U s o d e la f ó r m u l a g e n e r a l d e c o r t a n t e . Los ejem plos se p resentan para ilustrar el uso de la fórm ula general de cortante [ecuación (9 -1 )] para calcular el esfuerzo cortante vertical en una viga. El procedim iento siguiente es el usual en la solución de problem as de ese tipo.
I n s t r u c c io n e s p a ra c a lc u la r e s f u e r z o s c o r t a n t e s e n v ig a s
El objetivo general es calcular el esfuerzo cortante en cu alq u ier posición especificada en la viga y en cualquier eje especificado en la sección transver sal con la fórm ula general de cortante:
VQ It
(9 -1 )
1. D eterm ine la fuerza cortante vertical Ven la sección de interés. Puede que se requiera trazar el diagram a com pleto de fuerza cortante siguiendo los procedim ientos del capítulo 6. 2. L ocalice el centroide de la sección transversal com pleta y trace el eje n eu tro a través del centroide. 3. C alcule el m om ento de inercia de la sección con respecto al eje neutro. 4. Identifique el eje con respecto al cual se va a calcu lar el esfu erzo cortante y determ ine el espesor ten dicho eje. Incluya todas las partes com ponentes de la sección cortada p o r el eje de interés cuando se calcule t. 5. C alcule el m om ento estático del área parcial desde el eje de interés con respecto al eje neutro. U se el procedim iento desarrollado en esta sección. 6. C alcule el esfuerzo cortante con la ecuación (9 -1 ).
e c c ió n 9 - 4
■
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F ó r m u la g e n e ra l d e c o r ta n te
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E je m p lo 9_ 4 S o lu c ió n
C a l c u l e e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n e l e j e a - a d e la v ig a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l r e c ta n g u la r m o s t r a d a e n la f ig u r a 9 - 6 . L a f u e r z a c o r t a n t e , V , e n la s e c c i ó n d e i n t e r é s e s d e 1 2 0 0 Ib. O b je tiv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n e l e j e a - a .
D a to s
E l p erfil y l a s d i m e n s i o n e s d a d a s e n la f ig u r a 9 - 6 . V = 1 2 0 0 1 b .
A n á lis is
S e s i g u e n l a s in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s e n vigas.
R e s u lta d o s
P a s o 1.
V = 1 2 0 0 Ib ( d a to )
P a s o 2.
E n u n p e rfil r e c t a n g u l a r , e l c e n t r o i d e e s t á a m e d i a a ltu ra, c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 9 - 6 y c o i n c i d e c o n e l e j e a - a . y = 5 . 0 0 p lg .
P a s o 3.
/= fa/?3/12 = (2.0)(10.0)3/12 = 166.7 plg4
P a s o 4.
E s p e s o r = t = 2 . 0 p lg e n e l e j e a - a .
P a s o 5.
N o r m a l m e n t e s e c a l c u l a r í a Q = Apy c o n e l m é t o d o m o s tr a d o c o n a n t e r i o r i d a d e n e s t e c a p í t u l o . P e r o e l v a l o r d e Q p ara la s e c c i ó n d e la f ig u r a 9 - 6 s e c a l c u l ó e n e l e j e m p l o 9 - 1 . U se
Q = 25.0 plg3. P a s o 6.
C o n la e c u a c i ó n ( 9 - 1 ) : ( 1 2 0 0 lb ) ( 2 5 .0 p lg 3)
VQ _ T
E je m p lo
9- 5
( 1 6 6 .7
lt
Plg4)(2-0
9 0 .0 lb /p lg :
p lg )
C a l c u l e e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n l o s e j e s a - a y b - b d e u n a v i g a T c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 9 - 8 . E l e j e a - a e s t á e n e l e x t r e m o s u p e r i o r d e l a l m a v e r tic a l, j u s t o a b a j o d e l patín. E l e j e b - b e s t á e n la c a r a in f e rio r d e l p a t í n . L a f u e r z a c o r t a n t e , V, e n la s e c c i ó n d e in terés e s d e 1 2 0 0 Ib.
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a lc u la r el e s f u e r z o c o r ta n te e n lo s e j e s a - a y b -b .
D a to s
E l p e rfil y l a s d i m e n s i o n e s d a d a s e n la f ig u r a 9 - 8 . V = 1 2 0 0 Ib.
A n á lis is
S e s i g u e n l a s in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s e n vigas.
R e s u lta d o s
P a r a el e je a -a :
P a s o 1.
V = 1 2 0 0 Ib ( d a to ) .
P a s o 2.
E s t e p e rfil T p a r t i c u l a r s e a n a l i z ó e n e l e j e m p l o 9 - 3 . Use
Y = 6 . 8 6 p lg . P a s o 3.
S e u tiliz a r á n l o s m é t o d o s d e l c a p í t u l o 7 p a r a c a l c u l a r /. S ea e l a l m a la p a r t e 1 y e l p a tín la p a r t e 2 . P a r a c a d a u n a d e las p a r t e s , 1= b h 3/ '\ 2 y d = Y - y . P arte
/
1
6 4 .0 0
2
5 .3 3
A
I+ A (f
d
AcP
1 2 .0
2 .8 6
9 8 .1 5
1 6 2 .1 5
1 6 .0
2 .1 4
7 3 .2 7
7 8 .6 0
/ total = 2 4 0 .7 5 plg4
C a p ítu lo 9 ■
336
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E s fu e rz o s c o rta n te s en vigas
P aso 4.
E spesor
P aso 5.
= t = 1 .5 p lg e n e l e j e a - a e n e l a l m a .
N o rm a lm e n te s e c a lc u la r ía
Q = Apy c o n e l m é t o d o m o s t r a
d o c o n a n te rio rid a d e n e s te c a p ítu lo . P e r o el v a lo r d e Q p a ra la s e c c i ó n d e la f ig u r a 9 - 8 s e c a l c u l ó e n e l e j e m p l o 9 - 3 . U s e Q = 3 4 .2 p lg 3.
P aso 6.
C o n la e c u a c i ó n ( 9 - 1 ) :
It P a ra el e je a-a .
b-b.
( 2 4 0 .7 5 plg )(1 *5 p lg )
A l g u n o s d e lo s d a t o s s e r á n lo s m i s m o s q u e p a r a e l e j e
P aso 1.
V=
P aso 2.
D e n u e v o , u s e Y = 6 . 8 6 p lg .
P aso 3.
/ = 2 4 0 . 7 5 p lg 4.
P aso 4.
E spesor
P aso 5.
De nuevo, u se Q
1 2 0 0 Ib ( d a to ) .
= t = 8 .0 p lg e n e l e j e b -b e n e l p a t í n . = 3 4 . 2 p lg 3. El v a l o r e s e l m i s m o q u e e n el
e je a - a p o rq u e ta n to
P aso 6.
t
b
VQ=
It C o m e n t a r io
9 - 5
Ap c o m o
y s o n lo s m i s m o s .
C o n la e c u a c i ó n ( 9 - 1 ): ( 1 2 0 0 lb ) (3 4 .2 p lg 3)
= ^
( 2 4 0 .7 5 Plg ) ( 8 .0 p lg )
O b s e r v e la e x t r a o r d i n a r i a r e d u c c i ó n d e l v a l o r d e l e s f u e r z o c o r t a n t e c u a n d o s e tr a s la d a d e l a lm a al p a tín .
D IS T R IB U C IÓ N D E L E S F U E R Z O C O R T A N T E E N V IG A S
L a m ayoría de las aplicaciones requieren que se determ ine el esfuerzo co rtan te m áxim o p ara evaluar la aceptabilidad del esfuerzo con respecto a algunos criterios d e diseño. En la m ayoría de las secciones usadas p ara vigas, el esfuerzo cortante m áxim o ocurre en el eje neutro, coincidente con el eje centroidal, con respecto al cual ocurre la flexión. Se p u ede usar la regla siguiente para decidir cuándo aplicar esta observación.
Siem pre que el esp eso r en el eje centroidal no sea m ay o r que en algún o tro eje, el esfuerzo cortante m áxim o en la sección transversal de un a viga ocurre en el eje centroidal. D e este m odo el cálculo del esfuerzo cortante únicam ente en el eje centroidal daría el esfuerzo cortante m áxim o en la sección, lo que hace qu e los cálculos en otros ejes sean innecesarios. L a lógica detrás de esta regla se p uede visualizar exam inando la ecu ació n (9 -1 ), la fórm ula general de cortante. P ara calcular el esfuerzo cortante en cu alq u ier eje, los valo res de la fuerza cortante V y el m om ento de inercia / s o n los m ism os. C om o el espesor, t, está en el denom inador, el espesor m ínim o tendería a p ro d u cir el esfuerzo co rtan te m áxi> e c c ió n 9 - 5 ■
D is trib u c ió n d e l e s fu e rz o c o rta n te e n v ig a s
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337
( a)
(i)
(c)
F IG U R A 9 -9 S eccio n es tra n s v ersa le s d e v ig a en las q u e el e sfu e rz o c o rta n te m á x im o n o p u e d e o c u rrir e eje c en tro id a l c-c.
m o, tal com o se sobreentiende en el enunciado de la regla. Pero el v alo r del momento estático Q tam bién varía en diferentes ejes y dism inuye a m edida que el eje de interés se recorre hacia afuera de la sección. R ecuérdese que Q es el producto del área parcial A„ y la d ista n c ia ^ al centroide de Ap. En el caso de ejes alejados del eje centroidal, el área dism inuye m ás rápido de lo que se in crem en ta, lo que provoca que el valor de Q dism inu ya. P or tanto, el valor m áxim o de Q será el que corresponde al esfuerzo calculado en el eje centroidal. Se desprende que el esfuerzo cortante m áxim o siempre ocurrirá en el eje cen troidal, a menos que el espesor en algún otro eje sea menor que aquél en el eje centroidal. L os perfiles m ostrados en las figuras 9 -6 , 9 - 7 y 9 -8 son ejem plos que acatan la regla de que el esfuerzo cortante m áxim o ocurre en el eje neutro porque el espesor míni m o de cada uno de ellos ocurre en el eje neutro. L a figura 9 -9 m uestra tres ejemplos, donde la regla no se aplica. En ellos, en algunos ejes alejados del eje neutro, el espesores m enor que aquél en el eje neutro. En esos casos, el esfuerzo cortante m áxim o puede o currir en algún otro eje. El ejem plo siguiente ilustra esta observación con el análisis de una sección triangular. Las secciones circulares sólidas y huecas son ejem plos im portantes de dónde ocu rre, en efecto, el esfuerzo cortante m áxim o en el eje neutro, aun cuando el espesor dismi n uya en otros ejes. Se puede dem ostrar que la relación Q/t dism inuye de m anera continua en ejes distantes del eje neutro en el diám etro. L os ejem plos siguientes ilustran la distribución del esfuerzo cortante en vigas de distintos perfiles. N ótense los com entarios al final de cada ejem plo por lo que se refiere a algunas conclusiones generales.
E je m p lo
C a lc u le la d istribución d e l e s fu e rz o c o rta n te co n re s p e c to a la p os ición e n la sección
9 -6
tra n s v e rs a l d e la v ig a d e perfil re c ta n g u la r m o s tra d a e n la fig u ra 9 - 6 . L a s dim ensiones re a le s son 2 .0 plg p or 1 0 .0 plg. G ra fiq u e los re su lta d o s . L a fu e r z a c o rta n te , V, en la s ec c ió n d e in te ré s e s d e 1 2 0 0 Ib.
S o lu c ió n
O b je t iv o
C a lc u la r el e s fu e rz o c o rta n te e n varios e je s y grafica r r c o n tra la posición.
D a to s
E l perfil y las d im e n s io n e s e n la figu ra 9 - 6 . V = 1 2 0 0 Ib.
A n á lis is
S e s ig ue n las in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s en vigas. C o m o el p erfil e s s im é tric o c o n re s p e c to a l e je c e n tr o id a l, s e decide c a lc u la r los e s fu e rz o s c o rta n te s en la p a rte s u p e rio r e n los e je s a - a , b-b,
c - c y d - d , c o m o s e m u e s tra e n la figu ra 9 - 1 0 . P o r ta n to , los valores de
338
C a p ítu lo 9 ■
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e l v a l o r d e Q p a r a e s t a s e c c i ó n e n e l e j e c e n t r o i d a l s e c a lc u ló e n e l e j e m p l o 9 - 1 , d o n d e s e d e t e r m i n ó Q = 2 5 . 0 p lg 3. En la t a b l a d e s p u é s d e l p a s o 6 s e r e s u m e u n c á l c u l o sim ilar, c o n lo s d a t o s d e la fig u r a 9 - 1 0 .
P a s o 6.
C o n la e c u a c i ó n ( 9 - 1 ) , s e c a l c u l a e l e s f u e r z o c o r t a n t e en e l e j e n e u t r o a - a . E l c á l c u l o s e r í a ig u a l e n l o s d e m á s e je s y ú n i c a m e n t e c a m b i a r í a e l v a l o r d e Q . V é a s e la t a b l a si g u ie n te .
VQ _
( 1 2 0 0 lb ) (2 5 .0 p lg 3) ( 1 6 6 .7 p lg “)(2 .0 p lg )
lt
= 9 0 .0 lb /p lg 2
V
/
t
A.
y
12 0 0
1 6 6 .7
2 .0
1 0 .0
2 .5
2 5 .0
9 0 .0 lb/plg2
b-b
1200
1 6 6 .7
2 .0
8 .0
3 .0
2 4 .0
8 6 .4 lb/plg2
c-c
12 0 0
1 6 6 .7
2 .0
4 .0
4 .0
5 7 .6
5 7 .6 lb/plg2
d-d
1200
1 6 6 .7
2 .0
0 .0
5 .0
0 .0
0 .0 lb/plg2
II
Q = A „y
Q
Eje
a-a
E n la fig u ra 9 - 1 1 s e m u e s tr a n lo s r e s u l t a d o s d e l e s f u e r z o cor t a n t e c o n tr a la p o s ic ió n a lo la r g o d e la s e c c i ó n r e c ta n g u la r .
Trf = 0
5 7 .6 lb /p lg
Tb
E je n eu tro
= 8 6 .4 lb /p lg
r0 = 9 0 .0 lb /p lg 2 = ^
d' F IG U R A 9 -1 1
C o m e n t a r io s
— d'
E je r
D istrib u ció n d el e sfu erzo c o rtan te en la sección re c ta n g u lar del e jem p lo 9 -6 .
O b s e r v e q u e e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o o c u r r e e n e l e j e n e u tr o , tal y c o m o s e e s p e r a b a . L a v a r i a c i ó n d e l e s f u e r z o c o r t a n t e c o n la p o si c i ó n e s p a r a b ó l i c a y t e r m in a c o n u n e s f u e r z o d e c e r o e n l a s s u p e rfic ie s s u p e r i o r e in fe rio r.
E je m p lo
9-
7
S o lu c ió n
P a r a la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l t r ia n g u la r d e v ig a m o s t r a d a e n la f ig u r a 9 - 1 2 , c a lc u le el e s f u e r z o c o r t a n t e q u e o c u r r e e n lo s e j e s a a g, s e p a r a d o s 5 0 m m e n t r e s í. G r a fiq u e la v a r i a c i ó n d e l e s f u e r z o c o n la p o s ic ió n e n la s e c c i ó n . L a f u e r z a c o r t a n t e e s d e 5 0 kN . O b je tiv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n s i e t e e j e s y g r a f i c a r r c o n t r a la p osición.
D a to s
L a s e c c ió n tr a n s v e r s a l y la s d im e n s i o n e s d a d a s e n la fig u ra 9 - 1 2 . y = 5 0 k N .
340
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E s fu e rz o s c o rta n te s en vigas
F IG U R A 9 -1 2
S ecció n tran sv ersa! trian g u la r d e u n a v ig a en la q u e e l e sfu erzo c o rta n te m á x im o n o
o c u rre e n el eje c en tro id al.
A n á lis is R e s u lta d o s
S e s i g u e n l a s in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s e n vig as. E n la f ó r m u la g e n e r a l d e c o r t a n t e , l o s v a l o r e s d e V e l s e r á n lo s m i s m o s e n t o d o s lo s c á l c u l o s . V e s d e 5 0 kN y:
, bh 3 (3 0 0 ) (3 0 0 )3 „ „ . / = ---- = 1----- ------ - = 225 x 106 mm4 36
36
L a t a b l a 9 - 1 m u e s t r a lo s c á l c u l o s r e s t a n t e s . O b v i a m e n t e , e l v a l o r d e Q c o r r e s p o n d i e n t e a lo s e j e s a - a y g - g e s c e r o p o r q u e e l á r e a h a c i a a f u e r a d e c a d a e j e e s c e r o . O b s e r v e q u e p o r e l p e rfil ú n ic o d e l tr iá n g u lo d a d o , e l e s p e s o r t e n c u a l q u i e r e j e e s ig u a l a la a l t u r a d e l t r iá n g u lo s o b r e e l e j e .
T A B L A 9 -1
Ap
y
Q = A ,y
1
T
E je
(m m 2)
(m m )
(m m 3)
(m m )
(M P a )
a-a b-b c-c d-d e-e
0 13 7 50 20000
100 75.8 66.7 100.0
0 1.042 X 106
300 250 200 150 100 50 0
0 0.92 1.48 1.67 1.48 0.92
f- f 8-8
11250 5000 1250 0
133.3 166.7 200
1.333 X 106 1.125 X 106 0 .6 6 7 X 106 0 .2 0 8 X 10" 0
0
L a f ig u r a 9 - 1 3 in c lu y e u n a g r á f i c a d e e s t o s e s f u e r z o s . E l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o o c u r r e a la m i t a d d e la a l t u r a d é l a s e c c i ó n , y e l e s f u e r z o e n e l c e n t r o i d e ( a h l3 ) e s m e n o r . E s t o ilu s tr a e l e n u n c i a d o g e n e r a l c o n r e s p e c t o a q u e e n s e c c i o n e s c u y o e s p e s o r m ín im o n o o c u r r e e n e l e j e D is trib u c ió n d e l e s fu e rz o c o rta n te e n v ig a s
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varía con la posición en la sección transversal. D e acuerdo con la fórm ula de flexión, < esfuerzo flexionante en cualquier posición y con respecto al eje neutro es:
My
Por tanto la fuerza total que actúa en el área som breada de la cara izquierda del segment de la viga es:
„
Fi =
í
Ja
[n M , y
adA =
Jy„
—— dA
(9-7;
I
donde dA es un área pequeña dentro del área som breada. Los valores de M, e / son cons tantes y se pueden sacar del signo de integración. L a ecuación (9 -7 ) entonces, queda:
y dA
(9-8¡
L a últim a parte de la ecuación (9 -8 ) corresponde a la definición del centroide de área som breada. Es decir:
yd A = yAp
(9-9)
donde Ap es el área dentro de la parte som breada de la cara izquierda del segm ento y y es la distancia del eje neutro al centroide de Ap. E ste producto d e j ^ , se llam a momento estático Q en la fórm ula general de cortante. Al sustituir en la ecuación (9 -8 ) se obtiene:
M>f”
M 'Q
=T L
= T y p= ~T~
(9-10)
Se puede usar un razonam iento sim ilar para desarrollar la expresión de la fuerza F 2 que actúa en la cara derecha del segm ento:
M 2Q
F2 =
(9-11)
Para com pletar el desarrollo de la expresión de la fuerza cortante se sustituyen F, y
F 2en la ecuación (9 -6 ): „ „ „ M-iQ M ,Q Q Fs = F2 - F, = - ^ - - p = y ( M Y a se h abía definido
2-
M ,)
(9-12)
= dM. P or tanto: Q{dM) 1
C a p ítu lo 9 ■
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(9-13)
E s fu e rz o s c o r ta n te s en vigas
L u e g o , e n la e c u a c ió n ( 9 - 5 ) :
T
Fs t(dx )
Q(dM) It(dx)
Pero, según la ecuación (9 -4 ), V=dM/dx. P o r consiguiente:
É sta es la form a de la fórm ula general de cortante [ecuación ( 9- 1)] u tilizad a en este capítulo.
9 -7
F Ó R M U L A S D E L C O R T A N T E E S P E C IA L E S
Tal com o se dem ostró en varios ejem plos, se puede u sar la fórm ula general de cortante p ara calcular el esfuerzo cortante en cualquier eje de cualquier sección transversal de una viga. Sin em bargo, con frecuencia se desea conocer sólo el esfuerzo cortante máximo. Para m uchos perfiles com unes usados com o vigas, es posible d esarro llar fórm ulas sim plificadas especiales q u ed arán el esfuerzo cortante con rapidez. El rectángulo, el círculo, el tubo hueco de pared delgada se pueden analizar de esta m anera. E n esta sección se desarrollan las fórm ulas. E n todas estas secciones, el esfuerzo cortante m áxim o ocurre en el eje neutro. El rectángulo y los p erfiles de alm a esbelta se ajustan a la regla enunciada en la sección 9-5 porque el espesor en el eje neutro no es m ayor que en otros ejes en la sección. El círculo y el tu bo de pared d elgada no se ajustan a la regla. Sin em bargo, se pu ed e dem ostrar q u e la relación Q/t en la fórm ula general de cortante dism inuye de m anera co n tin u a a m edida q u e el eje de interés se aleja del eje neutro, lo que produce la dism inución del esfuerzo cortante. P e r f il r e c t a n g u l a r .
La figura 9 -1 7 m uestra u n a sección transversal típica de espesor
t y altura h. L os tres térm inos geom étricos en la fórm ula general de cortante se pueden expresar en térm inos de t y h. _ th 3 ~~ ~ ñ
t = t Q = Apy (para el área sobre el eje centroidal) _ th h _ th2
~ J'J ~ T
Al p o n er estos térm inos en la fórm ula general de cortante se obtiene:
— 11 J . _ L v
8 ' th3' t ~ ~2~th
S ección 9 - 7 ■
F ó rm u la s d e l c o rta n te e s p e c ia le s
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El espesor del alm a es t. El procedim iento m ás sim ple sería considerar a h com o la altura total de la viga. Esto produciría un esfuerzo cortante casi 15% m enor que el esfuerzo cortante m áxim o real en el eje centroidal d e perfiles de v ig a representativos. C on sólo la altura del alm a entre los patines se tendría una m ejo r aproxim ación del esfuerzo cortante m áxim o, probablem ente m enos del 10% m ás bajo que el v alo r real. E n problem as que usan la fórm ula de cortante en alm as, se u sa toda la altura de la sección transversal a m enos q u e se indique lo contrario. E n sum a, p ara perfiles de alm a esbelta, calcule el esfuerzo cortante co n la fórm ula d e cortante en alm as utilizando toda la altura de la v ig a com o h y el esp eso r real del alm a com o t. A sí pues, para obtener una estim ación m ás p recisa del esfuerzo cortante m áxim o, increm ente este valor en casi un 15%.
E je m p lo
9 - 11 S o lu c ió n
C o n la f ó r m u la d e c o r t a n t e e n a l m a s , c a l c u l e e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n u n a v ig a W 1 2 x 1 6 c u a n d o s e s o m e t e a u n a f u e r z a c o r t a n t e d e 2 5 0 0 0 Ib. E n e l a p é n d i c e A - 7 p a r a v i g a s W s e e n c o n t r ó q u e e l e s p e s o r d e l a l m a e s d e 0 . 2 2 0 p lg y q u e e l p e r a l t e to t a l ( a ltu r a ) d e la v ig a e s d e 1 1 .9 9 p lg . P o r c o n s i g u i e n t e , c o n la e c u a c i ó n ( 9 - 1 7 ) s e o b tie n e :
2 5 0 0 0 Ib) ( 0 .2 2 0 p lg ) ( 1 1 .9 9 p lg )
9 -8
E S F U E R Z O C O R T A N T E D E D IS E Ñ O
El esfuerzo cortante de diseño depende en gran m edida del m aterial del cual se v a a hacer la viga y de la form a del m iem bro som etido al esfuerzo cortante. E n este libro se p resenta u n a cantidad lim itada de datos y el lector h aría bien en consultar referencias m ás com ple tas, com o las referencias 1,2 y 3. P ara vigas de m adera, en el apéndice A - l 8 se dan v alo res de esfuerzo cortante horizontal perm isible. O bsérvese que los valores son algo bajos, en general de m enos de 100 lb/plg 2(0.69 M Pa). C on frecuencia, la falla por cortante es el factor lim itante p ara vigas de m adera. P ara esfuerzo cortante en las alm as de perfiles de acero lam inado, el A ISC en g ene ral recom ienda: t
= 0 . 4 0 Sv
(9-18)
Sin em bargo, existen planteam ientos extensos en la referencia 1 sobre casos especiales de vigas cortas, de vigas con alm as inusualm ente altas y esbeltas y de vigas con rigidizadores aplicados en la dirección vertical u horizontal. Se reco m ien d a u n a consideración esm erada de estos factores. L a A lum inum A ssociation tam bién proporciona datos extensos p or lo que se refie re a varias condiciones de carga y de geom etría de vigas. P o r ejem plo, la referen cia 2 da valores reales de esfuerzo cortante perm isible de las aleaciones de alum inio m ás conoci das para varias aplicaciones. N o es práctico que se resum an tales datos en este libro. C om o recom endación general, se u sará el m ism o esfuerzo cortante de diseño para m etales dúctiles som etidos a cargas estáticas del capítulo 3, tab la 3 - 4 . E s decir, se sugiere S e c c ió n 9 - 8 ■
351
E s fu e rz o c o rta n te d e d is e ñ o
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un factor de diseño de N = 2 basado en la resistencia a la cedencia del m aterial, s vs, some tido a cortante. Y una aproxim ación del valor de sys es la m itad de la resistencia a la cedencia a tensión, st. En suma: s„
0.55v
Sy
N
2Ñ
(9-19)
Con N= 2: t j
=
—
4
=
0 .2 5 iv
FLUJO DE C O RTANTE
L as secciones arm adas usadas com o vigas, com o las m ostradas en la figuras 9 -2 0 y 9-21, se deben analizar para determ inar el tam año y la separación adecuados de los sujetadores. El planteam iento en las secciones precedentes dem ostraron q u e existen fuerzas cortantes horizontales en los planos unidos p o r los clavos, pernos y rem aches. P or tanto, los sujeta dores se som eten a cortante. P or lo general, el tam año y el m aterial del sujetador permiten especificar una fuerza cortante perm isible en cada uno de ellos. L uego, se debe analizar la viga para determ inar la separación adecuada de los sujetadores que garantice que todas las partes de la viga actuarán com o una sola. El térm ino flu jo de cortante es útil para analizar secciones arm adas. Llam ado q, el flujo de cortante se determ ina m ultiplicando el esfuerzo cortante que actúa en una sección p o r el espesor en dicha sección. E sto es:
q =
F IG U R A 9 -2 0
tí
(9-20)
P e rfil de v ig a d e l e je m p lo 9 - 1 2 .
C a p ítu lo 9 ■
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E s fu e rz o s c o r ta n te s en vigas
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R e s u lta d o s
L a f u e r z a c o r t a n t e m á x i m a e n la v i g a e s d e 5 0 0 Ib y s e p r e s e n t a e n t r e l o s a p o y o s y la s c a r g a s a p lic a d a s .
P a s o 1.
El m o m e n t o d e i n e r c ia s e p u e d e c a l c u l a r r e s t a n d o l o s d o s r e c t á n g u l o s d e e s p a c i o a b i e r t o a lo s l a d o s d e l a l m a d e l r e c t á n g u l o c o m p l e t o q u e r o d e a e l p e rfil I.
P a s o 2.
7 .2 5 ( 1 0 .2 5 ) 3
2 ( 2 .8 7 5 ) ( 7 . 2 5 ) ‘
12
12
4 6 8 .0 p lg 4
E n e l l u g a r d o n d e lo s c l a v o s u n e n l a s t a b l a s , Q s e e v a l ú a p a r a e l á r e a d e l p a t í n s u p e r i o r (o in fe rio r).
Q = A py = ( 1 .5 p lg ) ( 7 .2 5 p l g ) ( 4 .3 7 5 p lg ) = 4 7 . 6 p lg :
P a s o 3.
E n t o n c e s , e l flu jo d e c o r t a n t e e s :
Q=
( 5 0 0 lb ) (4 7 .6 p lg 3) d 4 6 8 pig
VQ /
5 0 .9 Ib /p lg
E s t o s ig n if ic a q u e l a s 5 0 . 9 Ib d e f u e r z a d e b e n s e r r e s i s t i d a s a lo l a r g o d e c a d a p lg d e lo n g itu d d e la v i g a e n e l p u n t o e n t r e e l p a tín y e l a l m a .
P a s o 4.
C a d a c l a v o e s c a p a z d e s o p o r t a r 2 5 0 Ib, y la s e p a r a c i ó n m á x im a e s : 2 5 0 Ib
q P a s o 5.
= 4 .9 2 plg
5 0 .9 Ib /p lg
U n a s e p a r a c i ó n d e 4 . 5 p lg s e r í a r a z o n a b l e .
El p rincipio del flujo de cortante tam bién se aplica a secciones com o las m ostradas en la figura 9 -2 1 , donde una sección de viga se fabrica rem achando barras cuadradas a u n a placa v ertical para form ar un perfil I. El flujo de cortante p arte del alm a h acia los patines. P o r tanto, cuando se evalúa el m om ento estático 0 , se co n sid era que el área p arcial A p es el área de una de las barras patín.
E je m p lo
U n a v i g a s e f a b r i c a r e m a c h a n d o b a r r a s c u a d r a d a s d e a lu m in io a u n a p l a c a v e r tic a l,
9 - 13
c o m o s e m u e s t r a e n la f i g u r a 9 - 2 1 . L a s b a r r a s s o n d e 2 0 m m p o r l a d o . L a p l a c a e s d e 6 m m d e e s p e s o r y d e 2 0 0 m m d e a ltu ra . L o s r e m a c h e s p u e d e n s o p o r ta r 8 0 0 N d e fu e rz a c o r t a n t e d e u n l a d o a o tr o d e la s e c c i ó n . D e t e r m i n e la s e p a r a c i ó n r e q u e r i d a d e l o s r e m a c h e s c u a n d o s e a p lic a u n a f u e rz a c o r ta n te d e 5 kN .
S o lu c ió n
O b je tiv o D a to s
E s p e c ific a r u n a s e p a r a c ió n a d e c u a d a d e lo s r e m a c h e s . F u e r z a c o r t a n t e = 5 k N , F sd= 8 0 0 N / r e m a c h e . El p e rfil y l a s d i m e n s i o n e s q u e a p a r e c e n e n la fig u ra 9 - 2 1 .
Sección 9 - 9 ■
355
F lu jo d e c o rta n te
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9-5.M
Use un perfil circular de 50 mm de diámetro. V= 4500 N.
9-24.1
Use una viga de madera estándar de 2 x 12 con la dimensión larga en posición horizontal.
9-6.M
Use un perfil circular de 38 mm de diámetro. V= 2500 N.
9-25.1
Use una viga de madera estándar de 10 x 12 con la dimensión larga en posición vertical.
9-7.1
Use un perfil circular de 2.0 plg de diámetro. V= 7500 Ib.
9-26.1
Use una viga de madera estándar de 10 x 12 con la dimensión larga en posición horizontal.
9- 8.1
Use un perfil circular de 0.63 plg de diámetro. V= 8501b.
9-27.1 9-28.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-22.
9-9.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-16. V 1500 Ib.
9-29.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-23.
9-10.1
Use el perfil m ostrado en la figura P 7 -2 . V 8501b.
9-30.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-24.
9-31.1
9-11.1
Use el perfil m ostrado en la figura P 7 -3 . V = 8501b.
Para una viga que tiene el perfil I mostrado en la figura P7-2, calcule el esfuerzo cortante en ejes horizontales separados 0.50 plg entre sí entre el ex tremo inferior y el extremo superior. En los extre mos del alma donde se une a los patines, calcule el esfuerzo tanto en el alma como en el patín. Use una fuerza cortante de 500 Ib. Luego grafique los resul tados.
9-32.1
Para una viga que tiene la sección transversal tubu lar mostrada en la figura P7-3, calcule el esfuerzo cortante en ejes horizontales separados 0.50 plg entre sí entre el extremo inferior y el extremo supe rior. En los extremos de los lados verticales donde se unen a los patines, calcule el esfuerzo tanto en el alma como en el patín. Use una fuerza cortante de 500 Ib. Luego grafique los resultados.
9-33.1
Para una viga de acero estándar W 14 x 43, calcule el esfuerzo cortante en el eje neutro cuando se so mete a una fuerza cortante de 33 500 Ib. Use la fórmula general de cortante. Ignore los redondeos en la intersección del alma con los patines.
9-34.1
Con las mismas condiciones del problema 9-33, calcule el esfuerzo cortante en varios ejes y grafi que la variación del esfuerzo con la posición en la viga.
9-35.1
Para una viga de acero estándar W 14 x 43, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma cuando soporta una fuerza cortante de 33 500 Ib. Compare este valor con el que se calculó en el problema 9-33 y trácelo en la gráfica del problema 9-34.
9-36.1
Para una viga Aluminum Association Standard 18 x 6.181, calcule el esfuerzo cortante en el eje neutro cuando se somete a una fuerza cortante de 13 500 Ib. Use la fórmula general de cortante. Ig nore los redondeos en la intersección del alma con los patines.
9-37.1
Con las mismas condiciones del problema 9-36, calcule el esfuerzo cortante en varios ejes y grafi-
9-12.M Use el perfil mostrado en la figura P 7 - 4. V = 112 kN. 9-13.M Use el perfil mostrado en la figura P7-17. V = 71.2 kN. 9-14.M Use el perfil mostrado en la figura P7-18. V = 1780 N. 9-15.M U se el perfil m ostrado en la figura P 7-5. V = 675 N. 9-16.M Use el perfil m ostrado en la figura P 7 -6 . V = 2.5 kN. 9-17.M Use el perfil m ostrado en la figura P 7 -8 . V = 10.5 KN. 9-18.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-14. V = 1200 Ib.
9—19.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-15. V = 7751b.
9-20.1
Use el perfil mostrado en la figura P7-33. V = 2500 Ib. En los problemas del 9-21 al 9-30, suponga que el perfil indicado es la sección transversal de una viga de madera que tiene un esfuerzo cortante per misible de 70 lb/plg2, la cual es de pino del sur gra do núm. 2 enumerada en el apéndice A -l 8. Calcule la fuerza cortante máxima permisible para cada perfil. Use la fórmula general de cortante.
9-21.1
Use una viga de madera estándar de 2 x 4 con la dimensión larga en posición vertical.
9-22.1
Use una viga de madera estándar de 2 x 4 con la dimensión larga en posición horizontal.
9-23.1
Use una viga de madera estándar de 2 x 12 con la dimensión larga en posición vertical.
Use el perfil mostrado en la figura P 7-21.
357
P ro b le m a s
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que la variación del esfuerzo con la posición en la viga. 9-38.1
9-43.1
Especifique un tubo de acero estándar adecuado del apéndice A -l 2 que vaya a ser fabricado de ace ro A IS I1020 laminado en caliente que deba sopor tar la carga mostrada en la figura P 6 -5 1, basada en el esfuerzo de diseño a flexión con un factor de diseño de 3. A continuación, para el tubo seleccio nado, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante especial para tubos huecos y calcule el factor de diseño resultante con la fórmula de es fuerzo cortante de diseño.
9- 44.1
Se va a especificar un canal Aluminum Association estándar (apéndice A -l 0) que soporte la carga mostrada en la figura P6-9 con un factor de diseño de 4 a flexión. Las patas del canal deben apuntar hacia abajo. El canal esde aluminio 6061-T6. Para el canal seleccionado, calcule el esfuerzo cortante
9-45.1
Una vigueta de madera en el piso de un edificio tiene que soportar una carga uniformemente distribuida de 200 lb/pie a lo largo de 12 pies. Especifique un perfil de madera estándar de abeto grado núm. 2 para la vigueta, para que sea segura tanto a flexión como a cortante (véanse los apéndices A -4 y A-18).
Parauna viga de aluminio 18 6.181, calcule la fuer za cortante con la fórmula de cortante en alma cuando la viga soporta una fuerza cortante de 13 500 Ib. Compare este valor con el que se calculó en el problema 9-36 y trácelo en la gráfica del pro blema 9-37.
Nota: En los problemas que piden esfuerzos de di seño, use lo siguiente: Para acero estructural: A flexión: Acortante:
= 0.4s..
Para cualquier otro metal: A flexión: A cortante:
d
s. N
= — 0.5 :
N
Para madera: Use los esfuerzos permisibles del apéndice A -l 8. 9-39.1
9-40.1
9—41.1
Una viga de acero W10 x 15debesoportarlacarga mostrada en la figura P6-4. Calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma. Ade más, calcule el esfuerzo flexionante máximo. Lue go compare los esfuerzos con los esfuerzos de diseño para acero estructural ASTM A36. Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la car ga mostrada en la figura P 6—4 basada en el esfuer zo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en el alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño. Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la car ga mostrada en la figura P6-52 basada en el esfuer zo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño.
9-42.C Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la car ga mostrada en la figura P6-54 basadaen el esfuer zo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño.
9-46.C Una viga de madera de una estructura para exterio res debe soportar la carga mostrada en la figura P6-53. Si se tiene que hacer de abeto Douglas gra do núm. 3, especifique una viga de madera que sea segura, tanto a flexión como a cortante (véanse los apéndices A -4 y A -l 8). 9-47.1
La viga tubular mostrada en la figura P7-22 debe ser de pino del sur grado núm. 1. Debe ser de 14 pies de longitud y soportar dos cargas concentra das iguales cada una a 3 pies de los extremos. La viga está simplemente apoyada en sus extremos. Especifique la carga máxima permisible para que la viga sea segura tanto a flexión como a cortante.
9-48.C Una viga I de aluminio, 19x8.361, soporta la car ga mostrada en la figura P 6- 8. Calcule el esfuerzo cortante en la viga con la fórmula de cortante en alma. 9^49.C Calcule el esfuerzo flexionante para la viga del problema 9-48. 9-50.1
Una viga de piso de madera de 2 x 8 en una casa está simplemente apoyada. Mide 12 piesde largoy soporta una carga uniformemente distribuida de 80 lb/pie. Calcule el esfuerzo cortante en la vigue ta. ¿Sería segura si fuera de madera de pino del sur grado núm. 2?
9-51.1
Se fabrica una viga de acero con sección rectangu lar, de 0.50 plg de ancho por 4.00 plg de altura. (a) Calcule el esfuerzo cortante en la viga si debe soportar la carga mostrada en la figura P6-10. (b) Calcule el esfuerzo causado por flexión.
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ser de acero AISI 1020 laminado en caliente. El factor de diseño mínimo tiene que ser de 4 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a flexión o a cortante. Especifique un tamaño adecuado para el tubo del apéndice A-12 si su longitud es:
(c) Especifique un acero adecuado para la viga con un factor de diseño de 3, ya sea a flexión o a cortante. 9-52.M Se fabrica una viga de aluminio con sección rec tangular, de 16 mmpor 60 por mm de altura. (a ) (b )
Calcule el esfuerzo cortante en la viga si so porta la carga mostrada en la figura P 6- 6.
(a )
1.5 plg
(b )
3.0 plg
Calcule el esfuerzo causado por flexión.
(c) 4.5 plg
(c) Especifique un aluminio adecuado para la viga con un factor de diseño de 3 ya sea a fle xión o a cortante. 9-53.M Se piensa usar una barra rectangular para soportar la carga mostrada en la figura P6-47. Su espesor debe ser de 12mm y estar hecha de aluminio 6061T 6. Determine la altura requerida del rectángulo para producir un factor de diseño de 4 a flexión basado en la resistencia a la cedencia. En seguida, calcule el esfuerzo cortante en la barra y el factor de diseño resultante a cortante.
(d )
P r o b le m a s d e flu jo d e c o r t a n t e
9-59.1
El perfil mostrado en la figura P7-14 se tiene que formar pegando la placa plana a la sección acopa da. Si la viga hecha con este perfil se somete a una fuerza cortante de 1200 Ib, calcule el flujo de cor tante en la unión. ¿Cuál debe ser la resistencia al cortante del adhesivo en lb/plg2?
9-60.1
El perfil que aparece en la figura P7-26 se hizo para utilizarse en metal unido con adhesivo entre la viga S y el alma del canal. Calcule el flujo del cor tante en la unión y la resistencia al cortante que se requiere del adhesivo para una fuerza cortante de 25001b.
9-61.1
El perfil mostrado en la figura P7-33 se fabrica remachando la placa inferior a los ángulos y luego soldando la placa superior a los ángulos. Cuando se usa como viga, existen cuatro modos potencia les de falla: esfuerzo flexionante, esfuerzo cortante en los ángulos, cortante en las soldaduras y en los remaches. El perfil se tiene que usar como el asien to de una banca que soporta una carga uniforme mente distribuida a lo largo de un claro de 10.0 pies. Calcule la carga distribuida máxima permisi ble para los siguientes limites de diseño.
9-54.M Una flecha circular, de 40 mm de diámetro, sopor ta la carga mostrada en la figura P 6- 48. Calcule el esfuerzo cortante máximo en la fle cha. (b ) Calcule el esfuerzo máximo originado por fle xión. (c) Especifique un acero adecuado para la flecha de manera que se produzca un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a flexión o a cortante. 9-55.M Calcule el diámetro requerido de unabarracircular para soportar la carga mostrada en la figura P6-47 al mismo tiempo que se limita el esfuerzo causado por flexión a 120 MPa. A continuación, calcule el esfuerzo cortante resultante en la barra y compáre lo con el esfuerzo flexionante. (a )
9-56.1
9-57.1
9-58.1
Calcule la fuerza cortante vertical máxima permi sible en una clavija de alineación de madera de 1.50 plg de diámetro, si el esfuerzo cortante máxi mo permisible es de 70 lb/plg2. Se debe seleccionar un tubo de acero estándar del apéndice A-12 que se usará como barra fija en un gimnasio. Va a estar simplemente apoyada en los extremos de longitud de 36 plg. Se espera que hombres hasta de 400 Ib de peso se cuelguen de ella con una o dos manos en cualquier lugar a lo largo de ella. El tubo tiene que ser de acero A1SI 1020 laminado en caliente. Especifique un tubo adecuado para producir un factor de diseño de 6 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a fle xión o a cortante. Un tubo de acero estándar debe estar simplemente apoyado en sus extremos y soportar una sola carga concentrada de 2800 Ib en su centro. El tubo debe
6.0plg
(a )
El material de todos los componentes es alu minio 6061-T4 y se requiere un factor de dise ño de 4 ya sea a flexión o a cortante.
(b )
El flujo de cortante permisible en cada solda dura es de 1800 lb/plg.
(c) Los remaches se colocan a 4 plg uno de otro a lo largo de la viga. Cada remache es capaz de soportar 600 Ib de cortante. 9-62.1
Un diseño alterno de la banca descrita en el proble ma 9-61 debe usar el perfil T armado mostrado en la figura P7-24. La madera tiene que ser de pino del sur grado núm. 3. Se tiene que hincar un clavo en cada una de la tablas verticales de 2 x 12. Cada clavo puede soportar 160 Ib a cortante y los clavos están separados 6.0plg entre si a lo largo de la viga. Calcule la carga distribuida máxima permisible sobre la viga.
9-63.1
El perfil mostrado en la figura P 7 -2 1 se forma pe gando sus componentes entre si y la resistencia al 359
P ro b le m a s
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cortante permisible del pegamento es de 800 lb/plg2. Los componentes son de abeto Douglas grado núm. 2. Si la viga está simplemente apoyada y soporta una sola carga concentrada en su centro, calcule la carga máxima permisible. La longitud es de 10pies. 9-64.1
La sección I mostrada en la figura P7-21 consta de tres tablas de madera clavadas a los patines supe rior e inferior. Cada clavo puede soportar 180 Ib de fuerza cortante. Si una viga que tiene esta sección soporta una fuerza cortante vertical de 300 Ib, ¿qué separación se requeriría entre los clavos?
9-65.1
La sección armada mostrada en la figura P7-22 se formó hincando un clavo en las tablas superior e inferiorde 11/2 plg de espesor. Si cada clavo es capaz de soportar 150 Ib de fuerza cortante, determine la sepa ración requerida de los clavos cuando la viga se so mete a una fuerza cortante vertical de 600 Ib.
9-66.1
La plataforma cuya sección transversal se muestra en la figura P7-23 se armó con pegamento. ¿Qué tanta fuerza por unidad de longitud de la platafor ma debe soportar el pegamento si trasmite una fuerza cortante vertical de 500 Ib?
9-67.C La sección mostrada en la figura P7-25 se arma pasando dos remaches de 3/8 plg a través de las placas superior e inferior de la viga. Cada remache soportará 2650 Ib de cortante. Determine la sepa ración requerida de los remaches a lo largo de la viga si soporta una fuerza cortante de 175 kN. 9-68.1
Una viga fabricada cuya sección transversal es la mostrada en la figura P7-26 soporta una fuerza cortante de 50 kN. El canal se remacha a la viga S con dos remaches de 1/4 plg de diámetro y cada uno puede soportar 1750 Ib a cortante. Determine la separación requerida de los remaches.
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10 El c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y el c írc u lo d e M o h r
1 0 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
En los capítulos precedentes de este libro la atención se centró en el cálculo de esfuerzos simples, aquellos casos en los que sólo un tipo de esfuerzo era de interés. Se estudiaron los esfuerzos directos provocados por tensión, compresión, apoyo y cortante; esfuerzo cortante torsional; esfuerzo provocado por flexión; y esfuerzos cortantes en vigas. Tam bién se presentaron muchos problemas prácticos en los que el cálculo del esfuerzo simple era el método de análisis apropiado. Pero un gran número de problemas reales prácticos incluyen es fu e rz o s c o m b in a d o s , situaciones en las que dos o más componentes diferentes de esfuerzo actúan en el mismo punto de un miembro estructural de carga. En este capítulo se desarrollan los procedimientos generales utilizados para combinar los esfuerzos de manera adecuada. En el capítulo 11 se desarrollan varios casos especiales prácticos que incluyen esfuerzos combinados. Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. Reconocer los casos de esfuerzos combinados. 2. Representar la condición de esfuerzo en un elemento sometido a esfuerzo. 3. Comprender el desarrollo de las ecuaciones de esfuerzos combinados, con las que se puede calcular lo siguiente: a. Los esfuerzos principales máximo y mínimo. b. La orientación del elemento principal sometido a esfuerzo. c. El esfuerzo cortante máximo en un elemento. d. La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo. 361
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e. E! esfu erzo norm al que actúa ju n to con el esfu erzo co rtan te m áxim o. f. L os esfu erzo s norm al y co rtan te que ocurren en el elem ento orientado en
cu alq u ier dirección. 4. C o n stru ir el círculo de M ohr para esfu erzo biaxial. 5. In terp reta rla inform ación d isp o n ib le en el círculo de M o h r so b re la condición de esfu erzo en un punto orientado en cu alq u ier dirección.
6.
1 0 -2
U sar los datos del círculo de M o h r para d ib u ja r el elem en to so m etid o al esfuerzo principal y el elem ento som etido a esfu erzo cortante.
E L E M E N T O S O M E T ID O A E S F U E R Z O
En g eneral, esfuerzo com binado se refiere a los casos en q u e dos o m ás tip o s de esfuerzo actúan en un punto dad o al m ism o tiem po. L os esfu erzo s co m p o n en tes pueden ser o norm ales (es decir, de tensión o com p resió n ) o esfu erzo s cortantes. C uan d o un m iem bro de carg a se som ete a dos o m ás clases d iferen tes de esfuerzos, la p rim era tarea es calcu lar el esfuerzo prov o cad o p o rc a d a com ponente. A continuación se tom a una d ecisión sobre q u é punto del m iem bro soporta la combinación de esfuerzos m ás elevada y se com pleta el análisis del esfu erzo co m b in ad o en dicho punto. En algunos caso s especiales, se desea con o cer la condición de esfu erzo dad o sin cu id ad o de si es o no es el punto de esfuerzo m áxim o. E jem plos serían los p u n to s cerca de sold ad u ras en una estru ctu ra fabricada, a lo largo de la veta de un m iem bro de m adera, o c e rca del punto de conexión en tre m iem bros. C on el p u n to de interés identificado, se determ ina, d e ser posible, la condición de esfu erzo en dicho punto con las relaciones clásicas para el an álisis d e esfu erzo presenta das en este libro. En o casiones, p o r la co m p lejid ad d e la g eo m etría del m iem bro o el p atró n de carga, no se puede realizar un an álisis d e esfuerzo co n fiab le com pleto por m edio d e cálculos. En esos casos puede uti lizarse un análisis de esfu erzo experim ental en el que m ed id o res de d eform ación, m o d elo s fotoelásticos o rev estim ien to s sensibles a la defo rm ació n dan datos de m anera experim ental. A sim ism o , con la ay u d a d e técnicas de an álisis de esfuerzo p o r elem ento finito basad as en la com p u tad o ra, se p u ed e determinar la con d ició n d e esfuerzo. L u eg o d e u sa r u n o d e es to s m é to d o s, se te n d rá la in fo rm a c ió n re q u e rid a para c o n s tru ir el elem ento som etido a esfuerzo inicial, c o m o se m u e stra en la fig u ra 10- 1. Se su p o n e q u e el elem e n to es in fin ite sim a lm e n te p eq u e ñ o y q u e e s tá a lin e a d o con las d ire c c io n e s c o n o c id a s en el m iem b ro q u e se v a an a liz ar. El e le m e n to c o m p leto , como se m u e stra, p o d ría te n e r un esfu e rz o n o rm al (de te n sió n o c o m p re sió n ) actu an d o en ca d a p a r d e ca ras o rie n ta d a s en d ire c c io n e s m u tu a m e n te p e rp e n d ic u la re s, general m e n te d esig n ad a s co m o ejes.v y y. T al co m o el n o m b re esfuerzo n orm al lo dice, estos e s fu e rz o s ac tú a n n o rm ales (p e rp e n d ic u la re s) a la s c a ra s . Y tal co m o se in d ic a, cresta alin ea d o con el eje.v y es un e sfu erz o de te n sió n q u e tie n d e a ja la r al elem e n to . R ecuér d ese q u e los e s fu e rz o s de te n sió n se co n s id e ra n p o sitiv o s. P o r ta n to , av es d e com pre sió n , p u esto q u e tien d e a a p la sta r al elem e n to . L o s es fu e rz o s de co m p re sió n se co n s id e ra n n eg a tiv o s. A dem ás, p u ed e h ab er esfu erzo s cortantes actuando a lo larg o de las caras del ele m ento com o si cada una estu v iera siendo d esp ren d id a del m aterial adyacen te. Recuérde se q u e cuando se analizaron los esfuerzos cortantes se vio que en c u alq u ier elem ento en eq u ilib rio existen cuatro cortantes, d e m agnitud igual. E n dos caras o p u estas cualesquie362
C a p it u ló l o
■
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Gy(d e c o m p resió n , - )
D is trib u c ió n d e l e s fu e rz o c re a d a p o r e s fu e rz o s b á s ic o s
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363
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(c) D istrib u ció n d el e sfu e rz o in tern o
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E C U A C IO N E S P A R A D E T E R M IN A R E S F U E R Z O S E N C U A L Q U IE R D IR E C C IÓ N
El elemento sometido a esfuerzo inicial analizado en la sección 1 0 - 4 estaba orientado en una dirección conveniente con respecto al m iem bro que se estaba analizando. Los méto dos de esta sección perm iten calcular los esfuerzos en cualquier dirección y calcular los esfuerzos norm ales m áxim os y el esfuerzo cortante m áxim o de m anera directa. L afig u ra 10-11 m uestra un elem ento con los ejes ortogonales u y v superpuestos en el elem ento inicial, de tal m odo que el eje u form a un ángulo
(a)
(*> FIG URA 1 0 -1 1
E lem e n to so m etid o a e sfu erzo in icial c on lo s eje s u y v in clu id o s, (a) E lem e n to co n u n a cara inclinada. (b ) E lem en to trid im en sio n a l q u e m u e stra la cu ñ a.
C a p ítu lo 1 0 ■
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T am bién se deben considerar los esfuerzos que actúan en la cara inclinada de la cuña:
fuerza producida p o r r 1 fuerza producida por
T„y t
„v =
—1- — •
eos cp
A hora, con el principio de equilibrio, se pueden sum ar las fuerzas en la dirección u. La ecuación resultante se puede resolver para au. El proceso se facilita descom poniendo todas las fuerzas en sus com ponentes perpendiculares y paralelas a la cara inclinada de la cuña. L a figura 10-13 m uestra lo anterior para cada una de las fuerzas excepto para las producidas por a„ y r,„. las cuales ya están alineadas con los ejes u y v. P o r tanto:
2 Fu — 0 = — — r
eos
—
- a-vh z tan sen 4> + r xvh 2 sen <¿>
Ty, h 2
tan 4> eos <¿>
V
F I G U R A 1 0 -1 3 D e sc o m p o sició n d e la s fu erzas e n la s d ireccio n es u y v. (a ) C o m p o n e n tes d e fu erza o rig in ad a s p o r g x . (b) C om ponentes d e fu e rz a o rig in a d a s p o r x.
374
C a p it u ló l o ■
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Com o prim er paso para resolver la ecuación anterior para au, todos los térm inos que incluyen h2, se eliminan. Además, se observa que t v = T„ y, por tanto, tan . La ecuación de equilibro se vuelve entonces:
0=
a„ . cr, sen 4>sen <¡> . , , t xy sen 4> eos 4> ---------- cr„ eos t¡>------ ;--------- --------- t ,, sen eos ó eos
A hora, m ultipliqúese por eos
0=
<7,,
- <7r eos 2 - o-,-sen 2 + t„ sen é eos + t , v sen é eos é
C om bínense los dos últim os térm inos y resuélvase para au.
+ ~
2t , ,
sen 4> eos 4>
E sta fónnula se puede usar para calcular
3 + 5 eos 2$ 5 ~ í eos 2 = 5 sen 2
eos 2 (¡> = sen 2 = sen eos D espués de las sustituciones se obtiene:
(r„ = V , + \ a x eos 2 + \ - r „ sen 2(¡> Al com binar los térm inos, se obtiene:
O
E s fu e rz o n o rm a l
cr„ = \(trx + a y) + \(crx - cr,.) eos
en la d ire c c ió n / i
2 - rxy sen 2<¡>
(
10 - 1)
La ecuación (1 0 -1 ) se puede usar para calcular el esfuerzo norm al en cualquier dirección siem pre que la condición de esfuerzo en alguna dirección, indicada por lo ejes x y y , se conozca. E s f u e r z o c o r t a n t e , t w , q u e a c t ú a p a r a le lo a l p la n o d e c o r t e . A hora, se des arrollará la ecuación del esfuerzo cortante, T„, que actúa paralelo al plano de corte y perpendicular a O,,. De nuevo, recurriendo a las figuras 10-12 y 10-13, se pueden sum ar las fuerzas que actúan en el elem ento en form a de cuña en la dirección v.
2 Fv = 0 =
r h2 i - + crxh2 sen - u yh2 tan <¡) eos eos +
S e cció n 1 0 - 5 ■
E c u a c io n e s
Txyh 2
eos
-
Tyxh 2
p a ra d e te rm in a r e s fu e rz o s e n c u a lq u ire r d ire c c ió n
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tan
sen 4>
375
C o n las m ism as técn icas an terio res, esta ecu ació n se p u ed e sim p lifica r y reso lv e r para •zapara obtener: ..E s f u e r z o c o rta n te ,
Tuvq u e a c t ú a e n
t,„.
= -
3(0-,
— o-,.) sen
2<^!> — t , v
eos 2 é
(1 0 -2 )
la c a r a d e l e le m e n t o
L a ecuación (1 0 -2 ) se puede usar para calcular el esfuerzo cortante que actúa en la cara del elem ento a cualquier orientación angular.
1 0 -6
E S F U E R Z O S P R IN C IP A L E S
E n el diseño y en el análisis del esfuerzo, con frecuencia se requieren los esfuerzos máxi m os para garantizar la seguridad del m iem bro de carga. Se puede u sar la ecuación (10-1) para calcular el esfuerzo norm al m áxim o si se se sabe a qué ángulo ocurre <¡>. P o r el estudio del cálculo, se sabe que el valor del ángulo
D ividiendo entre eos 2 tp y sim plificando da:
0=
—(tr, — exy) tan 2<¡> — 2r , v
Si se sustituye el valor de ^definido por las ecuaciones (1 0 -3 ) y ( 1 0 -4 ) en la ecuación ( 10- 1), se deriva una ecuación para el esfuerzo norm al m áxim o que actúa en el elemento. A dem ás, se deriva la ecuación para el esfuerzo norm al m ínim o. Estos dos esfuerzos se llam an esfuerzos principales, usando 05p ara denotar el esfuerzo principal máximo y a, para denotar el esfuerzo principal mínimo. N ó tese en la ecuación (1 0 -1 ) que se requieren los valores de sen 2 0 y eos 2
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É sta es la fórm ula que da el prom edio de los esfuerzos norm ales iniciales, o ¡ y <5. Por consiguiente, se puede concluir:
E n el elem ento en el que ocurre el esfuerzo cortante m áxim o tam bién h ab rá u n esfuerzo norm al, igual al prom edio de los esfuerzos norm ales iniciales.
1 0 -8
C ÍR C U L O D E M O H R P A R A E S F U E R Z O
El u so de las ecuaciones (1 0 -1 ) a (1 0 -1 0 ) a m enudo p resen ta dificultades p o r las n u m e rosas com binaciones posibles de los signos de los térm inos cr„
■ C írc u lo d e M o h r p a ra e s fu e rz o
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F IG U R A 10—16
Pasos 1 al 7 del procedim iento de construcción del círculo de M ohr.
P r o c e d im ie n t o p a r a d ib u ja r e l c ír c u lo d e M o h r
1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo com o el elemento sometido a esfuerzo inicial com o se m u estra en la figura 10- 1 . 2. L a com binación de
T ra ce u n a línea recta en tre los dos puntos.
5. E sta línea cruza el eje a en el centro del círculo de M ohr, el cual tam bién es el v alo r del esfuerzo norm al prom edio aplicado al elem en to so m etid o a esfuerzo inicial. La localización del centro se p u e d e o b serv ar co n los datos utilizados p ara trazar los puntos o se pu ed e calcu lar con la ecuación ( 10 10), repetida aquí:
P o r conveniencia, designe el centro com o O.
6.
Identifique la línea que parte de O y p asa p o r el pu n to 1 (
7. Los puntos O, ax y el punto 1 form an un im p o rtan te trián g u lo rectángulo porq u e la distancia de O al punto 1, la h ip o ten u sa d el triá n g u lo , es igual al
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10. Identifique los puntos en el eje cr en los extrem os del diám etro horizontal com o cr, a la derecha (el esfuerzo principal m áxim o) y cr2a la izquierda (el esfuerzo principal m ínim o). O bserve que el esfuerzo co rtan te es cero en esos puntos. 11. C alcule los valores de cr, y cr2con:
tJl = “0 " + R
(10-11) ( 10- 12)
donde “O ” representa la co ordenada del centro del círculo, a prom, y R el radio. P o r consiguiente las ecuaciones (1 0 -1 1 ) y (10 - 1 2 ) son idénticas a las ecuaciones (1 0 -5 ) y ( 1 0 - 6) d e los esfuerzos principales. Los pasos que siguen determ inan los ángulos de orientación del ele m ento som etido a esfuerzo principal y del elem ento som etido a esfuerzo cortante máxim o. Un concepto im portante a recordar es que los ángulos obtenidos con el circulo deM ohrson el doble de los ángulos reales. L a razón de esto es que las ecuaciones en las que se basa son funciones de 2
20= ta n ~ ' — a
El argum ento de esta función tangente inversa corresponde al v alo r ab so luto del argum ento m o strad o en la ecu ació n ( 1 0 -4 ) . L o s p ro b lem as con
E le m e n to s o m e tid o a e s f iie iz o in ic ia l (« ) F IG U R A 1 0 -1 8
382
E le m e n to s o m e tid o a e s fu e r z o p r in c ip a l
E le m e n to s o m e tid o a e s fu e r z o c o rta n te m á x im o
(b )
(c)
F o r m a g e n e ra l d e lo s r e s u lta d o s fin a le s d e l a n á lis is c o n e l c ír c u lo d e M o h r.
C a p it u ló l o ■
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signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del eje x al eje a,, com o horaria en este ejem plo. L uego, el elem ento som eti do a esfuerzo principal se h ac e girar en la misma dirección a p a rtird e l eje x en una cantidad
D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo principal en su orientación ad e cuada determ inada con el paso 12 con los dos esfuerzos prin cip ales <7, y
14.
L a orientación del elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o se determ ina con el ángulo del e je x al eje r m áJ0designado 2tp' en la fig u ra 10-17. En este ejem plo:
2.P or tanto, se trata de una evaluación efectiva d e la ecuación (10 8), derivada para determ inar el ángulo de orientación del elem ento en el que actúa el esfuerzo cortante m áxim o. D e nuevo, los problem as con signos p ara el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del e je x al eje r mil(en el círculo, com o antihoraria en este ejem plo. P o r tanto, el elem ento som etido a m áxim o esfuerzo cortante se hace g irar en la misma dirección a p artir del e je x una cantidad / para localizar la cara en la q u e actúa el esfuerzo cortante m áxim o. 15 .
E je m p lo 10 -2
D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o en su orienta ción apropiada determ inada con el paso 14 con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo norm al prom edio actuando en las cuatro caras [véase la figu ra 1 0 -1 8(c)]. En general, la figura 1 0 -18 es el resultado deseado de un análisis con el círculo de M ohr. Se m uestran el elem ento som etido a esfuerzo inicial que establece los ejes x y y , el elem ento som etido a es fuerzo principal dib ujado con su rotación apropiada con respecto al e je x y el elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o tam bién dibujado con su rotación apropiada con respecto al ejex .
S e d e te rm in ó q u e un p u n to d e un m ie m b ro d e c a rg a s e e n c u e n tra s o m e tid o a la s ig u ie n te c o n d ic ió n d e c a rg a:
ay = -3 0 0 M P a
r , y = 2 0 0 M P a (S H )
R ealice lo siguiente:
S ección 1 0 - 8 ■
(a )
D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo inicial.
(b )
D ibuje el círculo de M o h r com pleto con los puntos críticos m arcados.
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E l c e n tr o O d e l c ír c u lo e s tá e n Oprom*
Oprom = f a * + ° v ) = i t 400 + ( ' 3 0 0 >] =
50 M P a
El l a d o in f e rio r d e l tr iá n g u lo : a = \ ( a , - a y) = £ [4 0 0 -
(-3 0 0 )] = 350 M Pa
El l a d o v e r tic a l d e l t r iá n g u lo :
b = r xy = 2 0 0 M P a
E l r a d io d e l c ír c u lo :
R = V a 2 + b 2 = V ( 3 5 0 ) 2 + ( 2 0 0 )2 = 4 0 3 M P a El p a s o d e lo s p a s o s
8 e s e l t r a z o d e l c ír c u lo . L o s p u n t o s 9 - 11 s e r e s u m e n a c o n t i n u a c i ó n .
c o r r e s p o n d i e n t e s a d a t o s s i g n if ic a tiv o s
Cprom = 5 0 M P a ( ig u a l a la l o c a liz a c ió n d e O ) TmáX = 4 0 3 M P a ( ig u a l a l v a l o r d e R) cr, = O + R = 5 0 + 4 0 3 = 4 5 3 M P a tr 2 = O -
R = 50 - 403 = - 3 5 3 M Pa
L o s p a s o s 1 2 - 1 5 s e c o m p le ta n e n la s fig u ra s 1 0 - 1 9 y 1 0 - 2 0 . L o s c á lc u lo s d e lo s á n g u lo s s e r e s u m e n a c o n tin u a c ió n .
2* N o te q u e
20
= ,a n "’ 7 = ,a n ” Ü
= 29J4°
e s t á m e d i d o e n s e n t i d o h o r a r i o a p a r tir d e l e j e x h a c i a cr, e n e l c ír c u lo .
74°
* =
= 14-87°
A s í p u e s , e n la f ig u r a 1 0 - 2 0 ( b ) , e l e l e m e n t o s o m e t i d o a e s f u e r z o p r in c ip a l s e d ib u ja g i r a d o 1 4 .8 7 ° e n s e n t i d o h o r a r io a p a r tir d e l e j e o r ig in a l x h a c i a la c a r a e n la q u e a c t ú a o v
2 = 9 0 ° O b se rv e q u e
2
2 0 = 9 0 ° - 2 9 .7 4 ° = 6 0 .2 6 °
m e d i d o e n s e n t i d o a n t i h o r a r i o a p a r tir d e l e j e x h a c i a r m¿x e n el
c í r c u lo . „
v
_
= 3 0 .1 3 ° 2
P o r t a n t o , e n la f ig u r a 1 0 - 2 0 ( c ) e l e l e m e n t o s o m e t i d o a e s f u e r z o c o r t a n t e m á x i m o s e d i b u j a g i r a d o 3 0 .1 3 ° e n s e n t i d o a n t i h o r a r i o a p a r tir d e l e j e x o r i g in a l h a c i a la c a r a e n la q u e a c tú a S e cción 1 0 - 8 ■
7m¿x. t
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C o n e s t o q u e d a t e r m in a d o e l e je m p lo 1 0 - 2 .
R e s u m e n d e lo s re s u ta d o s de l e je m p lo 1 0 - 2 D a to s
ax = 4 0 0 M P a
R e s u lta d o s
ay = - 3 0 0 M P a
rxy = 2 0 0 M P a S H
F ig u ra s 1 0 - 1 9 y 1 0 - 2 0 .
o, =
453 M Pa
= 403 M Pa
C o m e n ta rio
1 0 -9
C írc u lo d e M o h r
c¡2 = - 3 5 3 M P a o V0m = 5 0 M P a
= 1 4 .8 7 ° S H
El e j e x q u e d a e n e l p r im e r c u a d r a n t e .
E J E M P L O S D E L U S O D E L C ÍR C U L O D E M O H R
Los datos del ejem plo 10 -2 de la sección anterior y de los ejem plos 10-3 a 10-8 siguien tes, se seleccionaron para dem ostrar una variedad de resultados. U n a variable importante es el cuadrante donde queda el e je x y la definición correspondiente de los ángulos de rotación del elem ento som etido a esfuerzo principal y del elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o. L os ejem plos 1 0 -6 ,1 0 -7 y 10-8 presentan los casos especiales de esfuerzo biaxial sin cortante, tensión uniaxial sin cortante y cortante puro. É stos deben ayudar a entender el com portam iento de los m iem bros de carga som etidos a esos esfuerzos. La solución de cada ejem plo es el círculo de M ohr ju n to con los elem entos, adecua d am ente m arcados. En cada problem a, los objetivos son: (a ) D ibujare! elem ento som etido a esfuerzo inicial. (b ) D ibujare! círculo de M ohr com pleto con sus puntos críticos debidam ente mar
cados. (c) D ibujar el elem ento som etido a esfuerzo principal com pleto. (d ) D ibujar el elem ento som etido a esfuerzo cortante com pleto.
E je m p lo 1 0 -3
ax - 60
D a to s
ay = - 4 0
k si
k si
rxy = 30
k si S A H
C írc u lo d e M o h r R e s u lta d o s
F ig u r a
10-21.
G\ = 6 8 .3 k si
Tmáx = 5 8 .3 C o m e n ta rio 386
ksi
<7prom
= - 4 8 .3 k si
<¡>
= 1 5 .4 8 ° S A H
= 1 0 k si
=
60.48° S A H
El e je x q u e d a e n el s e g u n d o c u a d r a n te .
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1 0 -1 0
C O N D IC IÓ N D E E S F U E R Z O E N P L A N O S S E L E C C IO N A D O S
E xisten algunos casos en los cuales conviene conocer la condición de esfuerzo en un elem ento a un ángulo de orientación seleccionado con respecto a las direcciones de refe rencia. L as figuras 10-27 y 10-28 m uestran ejem plos. El bloque de m adera en la figura 10-27 m uestra que la veta de la m adera está inclinada a un ángulo de 30° en sentido antihorario ap a rtir del ejex dado. C om o la m adera es m uy débil a cortante paralelo a la veta, es conveniente conocer los esfuerzos en esa dirección. L a figura 10—28 m uestra un m iem bro estructural fabricado soldando dos com po nentes a lo largo de u n a costura inclinada a un cierto ángulo con respecto al e je x dado. L a operación de soldadura podría debilitar el m aterial cercano a la soldadura, sobre todo si los com ponentes son de acero tratado al calo r antes del proceso de soldadura. L o m ism o puede decirse tam bién de m uchas aleaciones de alum inio. En tales casos los esfuerzos perm isibles son un poco m ás bajos a lo largo del cordón de soldadura. Las condiciones am bientales a las que la parte está expuesta durante su funciona m iento tam bién pueden afectar las propiedades del m aterial. Por ejem plo, u n a pieza de ho m o puede verse som etida a calentam iento local producido p o r la energía radiante a lo largo de una línea particular. La resistencia del m aterial calentado será m enor que la del que perm anece frío y p o r tanto es conveniente co n o cerla condición de esfuerzo a lo largo del ángulo de la zona afectada p o r el calor. Se puede usar el círculo de M o h rp ara determ inar la condición de esfuerzo a ángu los específicos de orientación del elem ento som etido a esfuerzo. El procedim iento se describe a continuación y se dem uestra con el ejem plo 10-9.
P r o c e d im ie n t o p a r a d e t e r m in a r el e s f u e r z o a u n á n g u lo e s p e c íf ic o
D ato s:
La condición de esfuerzo en el elem ento dado alineado en las direcciones* y y .
O b jetiv o : D eterm inar los esfuerzos norm al y cortante en el elem ento a un ángulo específico, [i, con respecto a la dirección x dada. P aso 1:
D ibuje el círculo de M ohr com pleto p ara el elem ento.
P aso 2:
Identifique la línea que representa el e je x en el círculo.
P aso 3.
M ida el ángulo 2/?a partir del e je x y trace una línea por el centro del círculo de M ohr, prolongándola hasta las dos intersecciones con el círculo. E sta línea representa el eje alineado con la direc ción de interés.
P aso 4:
Con la geom etría del círculo, determ ine las coordenadas (cry r ) del prim er punto de intersección. El com ponente a es el esfuerzo norm al que actúa en el elem ento en la dirección de ¡i. E l com po nente r es el esfuerzo cortante que actúa en las caras del elem en to. Las coordenadas del segundo punto representan los esfuerzos norm al y cortante que actúan en las caras del elem ento de interés paralelos al eje /J.
P aso 5:
S e cció n 1 0 - 1 0 ■
D ibuje el elem ento de interés m ostrando los esfuerzos norm al y cortante que actúan en él.
C o n d ic ió n d e e s fu e rz o e n p la n o s s e le c c io n a d o s
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393
E le m e n to s o m e tid o a e s f u e r z o in ic ia l a lin e a d o c o n el e j e *
P = 30°
m
_
L E le m e n to s o m e tid o a e s f u e r z o in ic ia l a l in e a d o c o n el e j e * V e ta de
la m a d e ra
FIG URA 10-27 S e c c ió n tr a n s v e rs a l d e u n p o s te d e m a d e r a c o n la v e ta a 3 0 ° c o n r e s p e c to a l e j e * .
E je m p lo
1 0 -9
FIGURA 10-28
B a r r a p la n a s o ld a d a a lo la r g o d e u n a ju n t a in c lin a d a s 20°.
E n la b a r r a p l a n a s o l d a d a a lo l a r g o d e la j u n t a q u e f o r m a u n á n g u l o d e 2 0 ° e n s e n tid o a n t i h o r a r i o c o n e l e j e x , e l e l e m e n t o p a r a l e l o a lo s e j e s x y y e s t á s o m e t i d o a l o s e s f u e r z o s s ig u ie n te s : C7X—
400M P aay= -3 0 0 M P a r„ = 2 0 0 M P a S H
D eterm ine la condición de esfuerzo en el elem ento inclinado a un ángulo de 20°, alineado con la ju n ta soldada. S o lu c ió n
O b je t iv o
D ib u ja r e l e l e m e n t o s o m e t i d o a e s f u e r z o a l i n e a d o c o n la j u n t a s o l d a d a a r e s p e c t o a l e j e x.
20 ° c o n D a to s
O b s e r v e q u e e l e l e m e n t o d a d o e s e l m is m o d e l e j e m p l o 1 0 - 2 . El circulo d e M o h r b á s i c o d e e s e p r o b l e m a s e m u e s t r a e n la f ig u r a 1 0 - 1 9 y se r e p r o d u c e e n la f ig u r a 1 0 - 2 9 .
A n á lis is
S e s i g u e e l p ro c e d im ie n to p a ra d e te rm in a r e l e s fu e rz o a u n á n g u lo es p e c ific o .
R e s u lt a d o s
L o s p a s o s 1 y 2 s e m u e s t r a n e n e l c ír c u lo d e M o h r o r ig in a l. P a s o 3.
El e j e d e s e a d o e s u n o in c lin a d o a 2 0 ° e n s e n t i d o an tih o ra rio a p a r tir d e l e j e x . R e c o r d a n d o q u e lo s á n g u l o s e n e l círculo d e M o h r s o n e l d o b le d e lo s r e a l e s , s e p u e d e t r a z a r una l í n e a p o r e l c e n t r o d e l c ír c u lo a u n á n g u l o d e 2 p = 4 0 ° en s e n t id o a n tih o r a r i o a p a r tir d e l e j e x . L a i n t e r s e c c i ó n d e es ta l í n e a c o n e l c ír c u lo , m a r c a d a A e n la f ig u r a , l o c a l i z a e l punto d e l c ír c u lo q u e d e f i n e la c o n d ic ió n d e e s f u e r z o d e l e le m e n to d e s e a d o . L a s c o o r d e n a d a s d e e s t e p u n t o (
P a s o 4.
e s fu e rz o s n o rm a l y c o rta n te q u e a c tú a n e n u n ju e g o d e ca r a s d e l e le m e n to d e s e a d o . C o n tr ig o n o m e t r í a s i m p l e y la g e o m e t r í a b á s i c a d e l círculo s e d e t e r m i n a n <7„y ^ p r o y e c t a n d o l í n e a s v e r tic a l y h o riz o n t a l m e n t e d e s d e e l p u n t o A h a s t a l o s e j e s er y t , r e s p e c tiv a m e n t e . El á n g u l o to ta l d e l e j e a a lo s e j e s h a s t a e l e j e qu e
394
C a p ítu lo 1 0 ■
E l c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e r z o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr
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r(S A H )
(a) C írcu lo d e M o h r
y
F I G U R A 1 0 -2 9
C irc u lo d e M o h r c o m p le to d el e je m p lo 1 0 -9 q u e m u estra los e sfu erzo s en un ele m en to in c lin a d o a 2 0° e n sentido
a n tih o ra rio a p a rtir del e je x .
Sección 10-10 ■ Condición de esfuerzo en planos seleccionados
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p a s a p o r e l p u n t o A , l l a m a d o r¡ ( e t a ) e n la fig u r a , e s la s u m a d e 2 0 y 2/5. E n e l e j e m p l o 1 0 - 2 , s e d e t e r m i n ó 2 0 = 2 9 .7 4 ° . L uego:
7) =
2
E n la f ig u r a 1 0 - 2 9 s e id e n tific ó u n tr iá n g u lo c o n s u s la d o s d e s i g n a d o s d, g y R. C o n e s t e tr iá n g u lo , s e p u e d e c a lc u la r:
d - R e o s t j = (4 0 3 ) e o s 6 9 .7 4 ° = 1 4 0 g = R s e n r] = ( 4 0 3 ) s e n 6 9 .7 4 ° = 3 7 8 E s t o s v a l o r e s p e r m i te n c a l c u l a r :
aA = O + d = 5 0 + 1 4 0 = 1 9 0 ta
= g = 3 7 8 M P a SH
e n d o n d e O in d ic a e l v a l o r d e l e s f u e r z o n o r m a l e n e l c e n tro d e l c ír c u lo d e M o h r. L o s e s f u e r z o s e n e l j u e g o d e c a r a s r e s t a n t e d e l e le m e n t o d e s e a d o s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o A ' lo c a liz a d o a 1 8 0 ° d e A e n e l c ír c u lo y, p o r c o n s i g u i e n t e , a 9 0 ° d e las c a r a s e n la s c u a l e s a c t ú a n (cxA, r ¿ ) . P r o y e c t a n d o lín e a s v er tical y h o r iz o n ta lm e n te d e s d e A ! h a s t a lo s e j e s a y z s e loca liz a n aK y r A-. P o r t r iá n g u l o s s e m e j a n t e s s e p u e d e d e c ir q u e
c f = d y g ' = g. P o r c o n s i g u i e n t e : aA = O + d ta
C o m e n ta rio
= 50 -
140
= -1 9 0
= g ' = 3 7 8 M P a SAH
L a f ig u r a 1 0 - 2 9 ( c ) m u e s t r a e l e l e m e n t o fin a l in c l i n a d o a 2 0 ° c o n r e s p e c to a l e j e x . É s t a e s la c o n d i c i ó n d e e s f u e r z o e x p e r i m e n t a d a p o r e l m a te rial a lo l a r g o d e la j u n t a s o l d a d a .
1 0 -1 1
C A S O E S P E C IA L E N E L C U A L L O S D O S E S F U E R Z O S P R IN C IP A L E S T IE N E N E L M IS M O S IG N O
E n las secciones precedentes que se ocuparon del circulo de M ohr, se utilizó la conven ción de que <7, es el m áxim o esfuerzo principal y cr2es el m ínim o esfuerzo principal. Esto es cierto en los casos de esfuerzo plano (esfuerzos aplicados en u n solo plano) cuando cr, y <7, tienen signos opuestos, es decir, cuando uno es de tensión y el otro de compresión. A dem ás, en esos casos, el esfuerzo cortante determ inado en la parte superior del círculo (igual al radio, R ) es el esfuerzo cortante m áxim o real que actúa en el elem ento. Sin em bargo se debe tener un cuidado especial cuando el círculo de M ohr indique que (T¡ y <72 tienen el m ism o signo. A un cuando se trata de esfuerzo plano, el elemento som etido al esfuerzo real es tridim ensional y se debe representar com o un cubo en lugar de u n cuadrado, com o se m uestra en la figura 10—30. L as caras 1 ,2 ,3 y 4 corresponden a 396
C a p it u ló l o ■
E l c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr
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E l lad o 6 es la c ara “ trasera”
E l lad o 5 es la c a ra “d e la n te ra ” L o s e s fu e rz o s e n lo s la d o s 5 y 6 so n c e ro (a)
(*)
F I G U R A 1 0 -3 0 E sfu e rz o p la n o m o stra d o c o m o e le m en to s b id im e n s io n a le s y trid im e n s io n a le s s o m e tid o s a esfu erzo , (a) E le m e n to b id im e n s io n al s o m etid o a esfu erzo , (b ) E lem e n to trid im e n s io n a l s o m e tid o a e s fü e rz o .
los lados del elem ento cuadrado y las caras 5 y 6 son las “delanteras” y “ traseras” . En el caso de esfuerzo plano los esfuerzos en las caras 5 y 6 son cero. En el elem ento tridim ensional existen tres esfuerzos principales, llam ados a¡, a 2y que actúan en los lados m utuam ente perpendiculares del elem ento. L a convención dicta el orden siguiente:
<72 >
c r3
P or tanto, (7} es el m inim o esfuerzo principal real y
W
= {(cr, -
(10-13)
L a figura 10-31 ilustra un caso en el que se debe considerar el elem ento tridim en sional. El elem ento som etido a esfuerzo inicial, m ostrado en la parte (a), soporta los esfuerzos siguientes: crt = 400 MPa
crv = -300 MPa
r„ = 200 MPa SH
La parte (b) de la figura m uestra el círculo de M o h r tradicional, dibujado según el proce dim iento descrito en la sección 10—8. N ótese q u e 0\ y 02 son p ositivos o de tensión. L uego, considerando que el esfuerzo en las caras “ delantera” y “ trasera” es cero, éstos son los esfuerzos principales m ínim os reales. Entonces, se p u ed e d ecir que:
(7-3 = 0 M Pa S e cc ió n 1 0 -1 1
■
C a s o e s p e c ia l e n e l c u a l lo s d o s e s fu e rz o s p rin c ip a le s tie n e n e l m is m o s ig n o
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397
(a ) E lem en to so m etid o a esfu erzo inicial
r(S H )
D e acuerdo con la ecuación (1 0 -1 3 ), el esfuerzo cortante m áxim o real es: W
= i(o-, - a ,) = 5(216.6 - 0) = 108.3 M Pa
Estos conceptos se pueden visualizar gráficam ente con tres círculos de Mohr en v ez de uno. L a figura 10-32 m uestra el círculo obtenido del elem ento som etido aesfueizo inicial, un segundo círculo que incluye <7! y cr3y un tercero que incluye ar y
El c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e r z o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr
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F I G U R A 1 0 -3 2
T re s c írc u lo s d e M o h r re la c io n a d o s q u e m u e stra n
a 2, 0 j y
r mix.
L a figura 10-33 ilustra otro caso en el q u e los esfuerzos principales del elem ento som etido a esfuerzo inicial tienen el m ism o signo, am bos n eg ativ o s en este caso. Los esfuerzos iniciales son:
ax = -5 0 MPa
a, = -180 MPa
= 30 MPA SAH
E n este caso, tam bién, se deben trazar los círculos com plem entarios. Pero, el esfuerzo cero en las caras “delantera” y “ trasera” del elem ento se tran sfo rm a en el esfuerzo p rin ci pal máximo (£7,). Es decir:
W
-
o -j ) = jtO -
(-1 8 6 .6 )) = 93.3 M Pa
C aso especial en el cual los dos esfuerzos principales tienen el mismo signo
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399
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B.
Si los dos esfuerzos principales son de tensión (positivos): [V éa se el ejem plo ilustrado en la figura 10-32.] 1. C onsidere que el esfuerzo cero que actúa en la dirección p erpendicu lar al elem ento som etido a esfuerzo inicial es el esfuerzo principal m ínim o real. E ntonces, es necesario d efinir tres esfuerzos p rin cip a les com o sigue: o; = E sfuerzo principal m áxim o del prim er círculo de M ohr. o j = E sfuerzo principal m ínim o del prim er círculo de M ohr.
1 0 -1 2
T E O R ÍA D E F A L L A D E L E S F U E R Z O C O R T A N T E M Á X IM O
U no de los principios de diseño m ás am pliam ente utilizados es la teoría de fa lla del esfuerzo cortante máximo, la cual establece que:
Es de esperarse que un m aterial dúctil falle cuando el esfuerzo co rtan te m áxi m o al cual está som etido el m aterial sobrepasa la resisten cia a la cedencia de éste a cortante.
S e cció n 1 0 - 1 2 ■
T e o ría d e fa lla d e l e s fu e rz o c o rta n te m á x im o
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401
D esde luego, para aplicar esta teoría, es necesario que se pueda calcular la m agnitud del esfuerzo cortante m áxim o. Si el m iem bro se som ete a cortante puro, tal com o esfuerzo cortante torsional, esfuerzo cortante directo o esfuerzo cortante en vigas som etidas a flexión, el esfuerzo cortante m áxim o se puede calcular directam ente con fórm ulas como las que se desarrollaron en este libro. Pero si existe una condición de esfuerzo combinado, se debe usar la ecuación (1 0 -9 ) o el círculo de M ohr p ara determ inar el esfuerzo cortante m áxim o. U n caso especial de esfuerzo com binado que ocurre a m enudo es aquel en que un esfuerzo norm al en una sola dirección se com bina con un esfuerzo cortante. P or ejemplo, una barra circular se podrí a som eter a tensión axial directa al m ism o tiem po que se tuerce. En m uchos tipos de transm isiones de potencia m ecánica, las flechas se som eten a flexión y torsión sim ultáneam ente. C ierta clase de sujetadores pueden som eterse a tensión com binada con cortante directo. Se puede desarrollar una fórm ula sim ple para tales casos con el círculo de Mohr o la ecuación (1 0 -9 ). Si sólo un esfuerzo norm al en la dirección x,
(1 0 -1 4 )
E sta fórm ula se puede desarrollar con la ecuación (1 0 -9 ) haciendo ay - 0.
E jem p lo 1 0 -1 0
S o lu c ió n
Una barra circular sólida d e 45 mm d e diám etro s e so m e te a una fuerza d e tensión axial de 120 kN com binada con un par d e torsión de 1150 N m . Calcule el esfu erzo cortante m áximo en la barra. O b je tiv o
C alcular el esfuerzo cortante m áxim o en la barra.
D a to s
Diám etro = D = 45 mm. Fuerza axial = F= 120 kN = 120 000 N. P ar de torsión = 7 " = 1 1 5 0 N m = 1 150 000 N m m .
A n álisis
S e u s a la ecuación (1 0 -1 4 ) p ara calcular r máX-
R e s u lta d o s
1. En prim er lugar, el esfu erzo norm al aplicado s e p u ed e determinar con la fórmula del esfuerzo directo.
(T = F/A A = 7tD 2/4 = 7r (45 mm)2/4 = 1590 mm 2 a = (120000 N)/(1590 mm2) = 75.5 N/mm 2= 75.5 MPa 2. A continuación, el esfu erzo cortante aplicado s e p u ed e calcular con la fórmula del esfu erzo cortante torsional. r = T/Zp Z p = ttD 3/16 = tt(45 mm)3/16 = 17892 mm 3 t
402
C a p ítu lo 10 ■
= (1150000 N mm )/(17892 mm3) = 64.3 N/mm 2= 64.3 MPa
E l c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y el c írc u lo de Mohr
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3 . L u e g o c o n la e c u a c ió n ( 1 0 - 1 4 ) s e o b tie n e :
Tmix = y J { 75\ MPaJ + (64.3 MPa)2= 74.6 MPa C o m e n ta rio
E ste esfu erzo d eb e co m p ararse con el esfu erzo cortante de diseño.
B IB L IO
1. M u v d i, B . B ., a n d J .W . M c N a b b , E n g in e e r in g M e c h a n
te s o f M a te r ia ls , 3 rd e d ., S p r in g e r - V e r la g , N e w Y o rk ,
R A F IA
3 . S h íg l e y , J . E ., a n d C . R . M i s c h k e , M e c h a n ic a l E n g in e e r
in g D e sig n , 5 t h e d . , M c G r a w - H i l l , N e w Y o rk , 1 9 8 9 .
1990. 2. P o p o v , E . P ., E n g in e e r in g M e c h a n te s o fS o lid s , P r e n t i c e H a ll, E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 9 0 .
P R O B
A. En los problemas del 10-1 al 10-28, determine los es fuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial. Rea lice las operaciones siguientes:
E M A S
Problema 1 0 -9 1 0 -1 0 1 0 -1 1
(a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos rom.
1 0 -1 2
(b) En el círculo de Mohr, indique la línea que repre senta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo ini cial.
1 0 -1 5
(c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el ejex hacia el eje o¡ y el eje
1 0 -1 3 1 0 -1 4
1 0 -1 6 1 0 -1 7 1 0 -1 8 1 0 -1 9
^"m áx-
(d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial.
1 0 -2 0 1 0 -2 1 1 0 -2 2 1 0 -2 3 1 0 -2 4 1 0 -2 5 1 0 -2 6
Problema 1 0 -1 1 0 -2 1 0 -3 1 0 -4 1 0 -5 1 0 -6 1 0 -7 1 0 -8
cr, 300 250 80 150
MPa MPa MPa MPa 20 ksi 38 ksi 55 ksi 32 ksi
cr>. - 100 MPa - 5 0 MPa - 1 0 MPa 10 MPa - 5 ksi -2 5 ksi 15 ksi —50 ksi
1 0 -2 7
80 MPa SH 40 MPa SH 60 MPa SH 100 MPa SH 10 ksi SAH 18 ksi SAH 40 ksi SAH 20 ksi SAH
1 0 -2 8
0 \r
-900 kPa -580 kPa -840 kPa -325 kPa -1800 lb/plg2 -6500 lb/plg2 -4250 lb/plg2 -150 lb/plg2 260 MPa 1450 kPa 22 ksi 6750 lb/plg2 0ksi 0 MPa 0 MPa OkPa 225 MPa 6250 lb/plg2 775 kPa 38.6 ksi
600 kPa !30kPa -3 5 kPa 50 kPa 300 lb/plg2 1500 lb/plg2 3250 lb/plg2 8600 lb/plg2 0 MPa OkPa 0ksi 0 lb/plg2 -2 8 ksi 440 MPa 260 MPa -1560 kPa -8 5 MPa -875 lb/plg2 -145 kPa -13.4 ksi
TXy 350 kPaSAH 75 KPa SAH 650 kPa SAH HOkPa SAH 800 lb/plg2SH 1200 lb/plg2SH 2800 lb/plg2SH 80 lb/plg2SH 190 MPa SAH 830 kPaSH 6.8 ksi SH 3120 lb/plg2SAI 12 ksi SH 215 MPa SH 140 MPa SAH 810 kPaSAH 0 MPa 0 lb/plg2 OkPa 0 ksi
B. En los problemas en que los esfuerzos principales calcu lados con el círculo de Mohr resulten con el mismo signo, 403
Problemas
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use los procedimientos de la sección 10-11 para dibujar circuios suplementarios y determinar lo siguiente: (a) Los tres esfuerzos principales: a¡, cr2y CT}.
elemento girado con la relación correcta que guarda con el elemento sometido a esfuerzo inicial e indique los esfuer zos normal y cortante que actúan en él.
(b) El esfuerzo cortante máximo real.
Problema 10-29 10-30 10-31 10-32 10-33 10-34 10-35 10-36 10-37 10-38 10-39 10-40
ir í
'7,
Problem a
Tlv
300 MPa 100 MPa 80 MPaSH 250 MPa 150 MPa 40 MPaSH 180 MPa 110 MPa 60 MPaSH 150 MPa 80 MPa 30 MPaSH 30 ksi 15 ksi 10 ksiSAH 38 ksi 25 ksi 8ksiSAH 55 ksi 15 ksi 5 ksiSAH 32 ksi 50 ksi 20 ksiSAH -840 kPa -335 kPa 120 kPaSAH -325 kPa -5 0 kPa 60 kPaSAH -1800 Ib/plg2 -300 lb/plg2 80 lb/plg2SH -6500 Ib/plg2 -2500 Ib/plg2 1200 lb/plg2St-I
10-41 10-42 10-43 10-44 10-45 10-46 10-47 10-48 10-49 10-50
Datos para el problema de esfuerzo inicial
Ángulo de rotación respecto al eje .v
10-1 10-1
30 grados SAíl 30 grados Sil 70 grados SAH 20 grados Si l 50 grados SAH 45 grados SH 10 grados SAI 1 25 grados SH 80 grados SH 65 grados SH
10-4
10-6 10-8 10-10 10-13 10-15 10-16 10-18
D. En los problemas siguientes, use la ecuación (10-14) para calcular la magnitud del esfuerzo cortante máximo con los datos del problema indicado. C. En los problemas siguientes, use los datos del problema indicado para el elemento sometido a esfuerzo inicial para dibujar el circulo de Mohr. En seguida determine la condición de esfuerzo en el elemento al ángulo de rota ción especificado con respecto al eje.v dado. Dibuje el T A R E A S
DE
1. Escriba un programa para computadora, hoja de cálcu lo o calculadora programable que ayude en la cons trucción del círculo de Mohr. Introduzca los esfuerzos iniciales, crv, av y txy Haga que el programa calcule el radio del círculo, los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo pro medio. Use el programa junto con el dibujo a pulso del circulo correspondiente a los datos de los problemas 10-1 a 10-24. 2. Amplíe el programa de la tarea 1 para que calcule el ángu lo de orientación del elemento sometido a esfuerzo inicial
404
C a p ítu lo 1 0 ■
10-51. Use los datos del problema 10-17. 10-52. Use los datos del problema 10-18. 10-53. Use los datos del problema 10-19. 10-54. Use los datos del problema 10-20. C O M P U T A C IO N
y el ángulo de orientación del elemento sometido a es fuerzo cortante máximo. 3. Amplíe el programa de la tarea 1 para que calcule los es fuerzos normal y cortante en el elemento girado a un án gulo específico con respecto al eje original x. 4. Amplíe el programa de la tarea 1 para que detecte si los esfuerzos principales del círculo de Mohr inicial son del mismo signo; y, en tal caso, imprima los tres esfuerzos principales en el orden apropiado, o¡, <7,. Asimismo, haga que el programa calcule el esfuerzo cortante máxi mo real de la ecuación (10-13).
El c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr
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11 C a s o s e s p e c ia le s d e e s fu e rz o s c o m b in a d o s
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
E ste capítulo se puede estudiar después de com pletar el capítulo 10, o independiente m ente de él. Existen varios casos prácticos que im plican esfuerzos com binados que se pueden resolver sin recurrir a los procedim ientos m ás rigurosos y tardados presentados en el capítulo 10, aun cuando las técnicas analizadas en este capítulo están basadas en los principios del capítulo m encionado. Cuando una viga se som ete tanto a flexión com o a esfuerzo axial directo, sea de tensión o de com presión, se puede usar la superposición sim ple de los esfuerzos aplica dos para determ inar el esfuerzo com binado. M uchos equipos transm isores de potencia incluyen flechas que se som eten a esfuerzo cortante torsional ju n to con esfuerzo flexionante. Tales flechas se pueden analizar con la teoría de falla del m áxim o esfuerzo cortante y con la técnica de análisis del par de torsión equivalente. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. C alcular el esfuerzo norm al com binado producido por el esfuerzo flexionante ju n to con esfuerzos de tensión o com presión directos valiéndose del principio de superposición. 2. R econocer la im portancia de visualizar la distribución del esfuerzo en la sección transversal de un m iem bro de carga y considerar la condición de esfuerzo en un punto. 3. R econocer la im portancia de los diagram as de cuerpo libre de com ponentes de estructuras y m ecanism os en el análisis de esfuerzos com binados.
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4. Evaluar el factor de diseño en el caso de esfuerzo norm al com binado, incluidas
las propiedades de los m ateriales isotrópicos o anisotrópicos. 5. Optim izar el perfil y las dim ensiones de un m iem bro de carga con respecto a la variación del esfuerzo en él y sus propiedades de resistencia. 6. A nalizarm iem bros som etidos sólo a torsión y flexión com binadas con el cálcu lo del m áxim o esfuerzo cortante resultante. 7. Usar la teoría de falla del máximo esfuerzo cortante de m anera adecuada. 8. Aplicar la técnica de par de torsión equivalente para analizarm iem bros someti dos a flexión y torsión com binadas. 9. Considerar los factores de concentración de esfuerzo cuando se utilice latécnica del par de torsión equivalente.
1 1 -2
E S F U E R Z O S N O R M A L E S C O M B IN A D O S
La prim era com binación a considerar es la flexión con tensión o com presión directa. En cualquier problem a de esfuerzo com binado, conviene visualizar la distribución del es fuerzo producida por los diversos com ponentes del patrón de esfuerzo total. Se debe revisar la sección 10-3 en busca de los resúm enes de la distribución del esfuerzo en el caso de flexión y tensión y com presión directas. N ótese que la flexión produce esfuerzos de tensión y com presión, al igual que la tensión y com presión directas. Puesto que se produce la m ism a clase de esfuerzos, una suma algebraica de los esfuerzos producidos en un punto cualquiera es todo lo que se requiere para calcular el esfuerzo resultante en dicho punto. Este proceso se llama superposición.
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m entó flexionante m áxim o, calcule el esfuerzo flexionante con la fórm ula de flexión, a - M / S . El esfuerzo m áxim o ocurrirá en las fibras m ás ex ter n as de la sección transversal. O bserve en qué puntos el esfuerzo es de tensión y en cuáles es de com presión. 5.
Las fuerzas o com ponentes que actúan paralelas al eje neutro pero cuya línea de acción está distante de éste tam bién provocan flexión. E l m om en to flexionante es el producto de la fuerza por lad istan ciap erp en d icu lard el eje neutro a la línea de acción de la fuerza. C alcule el esfuerzo flexionante producido por m om entos com o ésos en cualquier sección donde el esfuer zo com binado pueda ser el m áxim o.
6. C onsiderando todos los esfuerzos norm ales calculados en los pasos 1-5, u se la superposición para com binarlos en cualquier punto de cualquier sección transversal donde el esfuerzo com binado pueda ser m áxim o. La superposición se logra con la sum a algebraica de todos los esfuerzos que actúan en un punto, teniendo cuidado de observar si cada esfuerzo com p o nente es de tensión (+) o de com presión (-). Es p osible que se requiera evaluar la condición de esfuerzo en dos o m ás puntos si no es obvio dónde ocurre el esfuerzo com binado m áxim o. En general, el proceso de superpo sición se puede expresar como: _ ^com b
, F —
,
M —
o
( 11 - 1)
en donde el térm ino ±F /A , incluye todos los esfuerzos de tensión y com presión directos que actúan en el punto de interés y el térm ino ±M /S, inclu ye todos los esfuerzos flexionantes que actúan en dicho punto. El signo de cada esfuerzo se debe determ inar de m anera lógica con base en la carga que provoca el esfuerzo individual. El esfuerzo m áxim o com binado en el m iem bro se puede com parar en to n ces con el esfuerzo de diseño del m aterial con el cual se va a fabricar el m iem bro para calcular el factor de diseño resultante y para ev alu ar la se guridad del m iem bro. En m ateriales isotrópicos, el esfuerzo de tensión o de com presión podría provocar la falla, cualquiera que sea el m áxim o. Para m ateriales no isotrópicos con diferentes resistencias a tensión y co m presión, se tiene que calcular el factor de diseño resultante co rrespondien te tanto al esfuerzo de tensión com o al de com presión para determ inar cuál de los dos es el crítico. A dem ás, en general, se requerirá considerar la estabilidad de aquellas partes de los m iem bros som etidos a esfuerzos de com presión m ediante el análisis de la tendencia al pandeo o al deterioro local del m iem bro. V éase el capítulo 14 para lo referente al p andeo de m iem bros som etidos a com presión sem ejantes a colum nas. El análisis con respecto al deterioro y pandeo de partes de m iem bros requerirá referencia a otras fuentes. V éanse las referencias al final de los capítulos 8 ,9 y 10.
En la figura 11-1 se m uestra un ejem plo de un m iem bro en el que se desarrollan tanto esfuerzos flexionantes com o esfuerzos de tensión directos. Las dos vigas horizon tales soportan una carga de 10 000 Ib p or m edio de cables. L as vigas están firm em ente unidas a colum nas, de m odo que actúan com o vigas en voladizo. La carga en el extrem o S e cc ió n 1 1 - 2 ■
E s fu e rz o s n o rm a le s c o m b in a d o s
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407
5000 Ib = F eos 60°
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5000 Ib = F eos 60°
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P a s o 4.
L a f u e r z a v e r tic a l, F v, p r o v o c a f le x ió n d ir ig id a h a c i a a b a j o d e ta l m o d o q u e la c a r a s u p e r i o r d e la v ig a e s t á a t e n s i ó n y la c a r a in fe rio r a c o m p r e s i ó n . E l m o m e n t o f l e x i o n a n t e m á x im o o c u r r ir á e n e l a p o y o i z q u ie r d o , d o n d e :
M = F ¿ 2 .0 p ie s ) = (5 0 0 lb )(2 .0 p ie s ) ( 1 2 p lg /p ie ) = 1 2 0 0 0 0 Ib p lg
E n t o n c e s e l e s f u e r z o f l e x i o n a n t e m á x im o p r o v o c a d o p o r e s te m o m e n to e s : 1 2 0 0 0 0 Ib plg -
= 1 6 3 7 1 p si
7 .3 3 p lg 3
U n e s f u e r z o d e e s t a m a g n itu d o c u r r e c o m o e s f u e r z o d e t e n s ió n e n la c a r a s u p e r i o r y c o m o e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n e n la c a r a in f e rio r d e la v ig a e n e l a p o y o .
P a s o 5.
E s te p a s o n o s e a p lic a a e s t e p ro b le m a p o r q u e n o h a y u n a f u e r z a h o r iz o n ta l q u e a c t ú e a u n a c i e r t a d i s t a n c i a d e l e je n e u tr o .
P a s o 6.
S e p u e d e c o n c lu ir q u e e l e s f u e r z o m á x im o c o m b i n a d o o c u r re e n la c a r a s u p e r i o r d e la v ig a e n e l a p o y o , p o r q u e ta n t o el e s f u e r z o d e te n s ió n d ire c to , c a lc u la d o e n e l p a s o 3 , com o el e s fu e r z o fle x io n a n te , c a lc u la d o e n el p a s o 4 , p ro v o c a n te n s ió n e n d ic h o s p u n to s . P o r c o n s ig u ie n te , s e su m a rá n . P o r s u p e rp o s ic ió n : '- 'c a r a s u p e r io r
= 2 5 2 7 p s i + 1 6 3 7 1 p s i = 1 8 8 9 8 p s i d e te n s ió n
P o r c o m p a r a c i ó n , e l e s f u e r z o c o m b i n a d o e n la c a r a in ferio r d e la v ig a e s : creara interior = 2 5 2 7 p s i - 1 6 3 7 1 p s i = - 1 3 8 4 4 p s i d e c o m p r e s ió n L a f ig u ra 1 1 - 4 m u e s t r a u n j u e g o d e d i a g r a m a s q u e ¡lu stran e l p r o c e s o d e s u p e r p o s i c i ó n . L a p a r t e ( a ) c o r r e s p o n d e al e s f u e r z o e n la v ig a p r o v o c a d o p o r f le x ió n . L a p a r t e (b) m u e s t r a e l e s f u e r z o d e t e n s i ó n d i r e c t o p r o v o c a d o p o r F v. La p a r t e (c ) m u e s t r a la d i s tr ib u c ió n d e l e s f u e r z o c o m b i n a d o .
o¡, = + 1 6 3 7 1 lb/plg
^carasuperi!>r = 0¡>+ ° ) = 1 8 8 ?» Ib/plg"'
_ _V
( a) D istrib u ció n del
e sfu erzo flex io n an te F IG U R A 1 1 -4
(Z>) D istrib u ció n d el esfu erzo d e ten sió n directa
( c) D istrib u c ió n del
e sfu erzo co m b in ad o
D iag ram a del p rin c ip io d e su p erp o sic ió n a p licad o a las v ig as d e la figura 11—1.
C a p ítu lo 11 ■
C a s o s e s p e c ia le s d e e s fu e r z o s com b inado s
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(a) D ia g ra m a
d e c u erp o lib re d e la m e sa
F M = FR
E sfu e rz o d e c o m p re sió n m á x im o c o m b in a d o e n el lad o d e re ch o
M =FR F ( b ) D ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l tu b o
F IG U R A 1 1 -6 D ia g ra m a s d e c u erp o lib re d e la m e sa y el tu b o del e je m p lo 1 1 -2 .
c r e t o , e s u n a f u e r z a d ir ig id a h a c i a a r r i b a , c o m b i n a d a c o n u n m o m e n to d e s e n t i d o a n t i h o r a r i o . S i g a l a s In s tru c c io n e s p a ra re s o lv e r p ro b le m a s
c o n e s fu e rz o s n o rm a le s c o m b in a d o s . R e s u lt a d o s
P a s o 1.
L a f ig u r a 1 1 - 6 m u e s t r a e l d i a g r a m a d e c u e r p o lib re . L a fu e r z a e s la a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o n a l d e la m a s a d e 1 3 5 k g .
F = m g = 1 3 5 k g -9.81 m / s 2 = 1 3 2 4 N P a s o 2. P a s o 3.
N o a c t ú a n f u e r z a s i n c l i n a d a s c o n r e s p e c t o a l e j e d e l tu b o . A h o r a b i e n , e l e s f u e r z o d e c o m p r e s i ó n a x ia l d i r e c t o e n el tu b o e s :
F
P ero :
A =
7t (D q - P,2) _ 4
C a p itu lo 11 ■
t t (1702 -
1 6 3 2) m m : 4
= 1831 m rrí
C a s o s e s p e c ia le s d e e s fu e rz o s c o m b in a d o s
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C o m e n t a r io
E s t o s v a l o r e s b a s a d o s e n lo s e s f u e r z o s n o r m a l e s d e t e n s i ó n y c o m p r e s i ó n d e b e n s e r a c e p t a b l e s p a r a e s t a a p l i c a c i ó n . L a t a b l a 3 - 2 d e l c a p ítu lo 3 s u g i e r e N = 2 b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a e n e l c a s o d e c a r g a e s t á t i c a y N = 1 2 b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a ú ltim a e n e l c a s o d e im p a c to . S i la p e r s o n a s e s i e n t a e n e l b o r d e d e la m e s a , la c a r g a s e c o n s i d e r a r í a e s t á t i c a . P e r o si la p e r s o n a s a l t a s o b r e e l b o r d e la c a r g a s e r í a d e im p a c to . El f a c to r d e d i s e ñ o d e 1 1 .9 e s c a s i e i v a lo r r e c o m e n d a d o d e 1 2 . S in e m b a r g o , s e t i e n e q u e lle v a r a c a b o u n a n á l i s i s a d ic io n a l p a r a e v a l u a r la t e n d e n c i a d e l t u b o a p a n d e a r s e c o m o s i f u e r a u n a c o lu m n a , ta l c o m o s e v e r á e n e l c a p í t u l o 1 4 . A d e m á s , la r e f e r e n c i a 1 d e f i n e los p r o c e d i m i e n t o s p a r a e v a l u a r la t e n d e n c i a a l p a n d e o lo c a l d e u n tu b o c i r c u la r h u e c o s o m e ti d o a c o m p r e s i ó n .
1 1 -3
E S F U E R Z O S N O R M A L Y C O R T A N T E C O M B IN A D O S
Las flechas giratorias de m áquinas transm isoras de potencia son buenos ejem plos de m iem bros cargados de tal m odo que producen flexión y torsión com binadas. La figura 11 - 7 m uestra una flecha con dos ruedas dentadas para cadena. La potencia se transm ite a la flecha p o r m edio de la rueda en C y h acia abajo de aq u élla h asta la rueda e n 5 , la que, a su vez, la transm ite a otra flecha. P orque está transm itiendo potencia, la flecha entre B y C soporta un par de torsión y un esfuerzo cortante torsional, com o se vio en el capítulo 5. Para que las ruedas dentadas transm itan torsión, deben ser arrastradas p or un lado de la cadena. E n C, el lado trasero de la cadena debe tirar hacia abajo con la fuerza F¡ para im pulsar la rueda dentada en sentido horario. Com o la rueda dentada en B acciona a otra rueda dentada, el lado delantero de la cadena estaría a tensión por la acción de la fuerza F2. Las dos fuerzas, F , y F2, que actúan dirigidas hacia abajo, provocan flexión de la flecha. P or eso, la flecha se debe analizar tanto con respecto a esfuerzo cortante torsional com o con respecto a esfuerzo flexionante. En tal caso, com o am bos esfuerzos actúan en el m ism o lugar de la flecha, se tiene que determ inar su efecto com binado. El m étodo de análisis que se va a utilizar se llam a teoría defalla del esfuerzo cortante máximo, la cual se describe a continuación. Luego se presentaran algunos ejem plos. C uando el esfuerzo de tensióno com presión provocado por flexión ocurre en el m ism o lugar donde ocurre un esfuerzo T e o r ía d e fa lla d e l m á x im o e s f u e r z o c o r t a n t e .
F I G U R A 1 1 -7
414
F lech as tran sm iso ras de p o ten cia.
C a p ítu lo 11 ■
C a s o s e s p e c ia le s d e e s fu e rz o s c om b inado s
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cortante, las dos clases de esfuerzo se com binan para producir un esfuerzo cortante de m ayor m agnitud. El esfuerzo m áxim o se calcula con:
+ T
( 11- 2 )
En la ecuación (1 1 -2 ), e s e refiere a la m agnitud del esfuerzo de tensión o com presión en un punto, y Tes el esfuerzo cortante en el m ism o punto. El resultado rmáx es el esfuerzo cortante m áxim o en el punto. El fundam ento de la ecuación (11—2) se dem ostró con el círculo de M ohr en la sección 10-12. La teoría de falla del esfuerzo cortante m áxim o establece que un m iem bro falla cuando el esfuerzo cortante m áxim o excede la resistencia a la cedencia del m aterial a cortante. E sta teoría de falla guarda una buena correlación con los resultados de prueba de m etales dúctiles com o la m ayoría de los aceros. P a r d e t o r s ió n e q u i v a le n t e . La ecuación (1 1 -2 ) se pu ed e expresar en una form a sim plificada para el caso particular de una flecha circular som etida a flexión y torsión. Si se evalúa el esfuerzo flexionante por separado, el esfuerzo m áxim o de tensión o com pre-
5 en donde: S=
= m ódulo de sección
D = diám etro de la flecha M = m om ento flexionante en la sección El esfuerzo m áxim o producido por flexión ocurre en la superficie externa de la flecha, com o se m uestra en la figura 11-8. A hora, considérese el esfuerzo cortante torsional p o r separado. En el capítulo 5 se derivó la ecuación del esfuerzo cortante torsional:
en donde: Z =
= m ódulo de sección polar
T = par de torsión en la sección ✓ E sfu e rz o d e c o m p re sió n m áx im o .
í \
1 E je n eu tro
N 1
>
E sfu e rz o d e te n sió n m á x im o
S e c c ió n 1 1 - 3 »
E s fu e rz o s n o rm a l y c o rta n te c o m b in a d o s
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F IG U R A 1 1 -8 D istrib u c ió n d el e sfu erzo flex io n an te e n u n a fle c h a circular.
415
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L as ecuaciones (1 1 -4 ) y (1 1 -5 ) sim plifican en gran m edida el cálculo del esfuerzo cor tante m áxim o en una flecha circular som etida a flexión y torsión. En el diseño de flechas circulares som etidas a flexión y torsión, se puede especifi car un esfuerzo de diseño dando el esfuerzo cortante m áxim o perm isible. E sto se hizo en el capítulo 5:
Td =
N
en donde s v¡ es la resistencia a la cedencia del m aterial som etido a cortante. C om o ^„rara vez se conoce, se puede usar el valor aproxim ado determ inado con sy¡= sy/2 . P or tanto:
(
Td = w
11- 6 )
en donde sy es la resistencia a la cedencia a tensión, tal com o se reporta en la m ayoría de las tablas de propiedades de m ateriales, com o las de los apéndices A -1 3 a A -1 7 . Se recom ienda que el valor del factor de diseño no sea menor que 4. U na flecha giratoria som etida a flexión es un buen ejem plo de una carga repetida e invertida. Con cada revo lución de la flecha, un punto particular de la superficie se som ete al esfuerzo de tensión m áxim oy luego al esfuerzo de com presión m áxim o. Así pues, la fatig aes el m odo de falla esperado, y se recom ienda N= 4 o m ayor, basado en la resistencia a la cedencia. C o n c e n tr a c io n e s d e e s fu e r z o . En flechas, las concentraciones de esfuerzo se crean p o r los cam bios repentinos de geom etría, tales com o cuñeros, hom bros y ranuras. V éase el apéndice A -21 donde se dan valores de factores de concentración de esfuerzo. La aplicación apropiada de factores de concentración de esfuerzo a las ecuaciones (1 1 -4 ) y (1 1 -5 ) de par de torsión equivalente se debe considerar con cuidado. Si el valor de K ,e n una sección de interés es igual tanto a flexión com o a torsión, entonces se puede aplicar directam ente a la ecuación (11-5). Es decir:
T,K,
(11-7)
L a form a de la ecuación (1 1 -7 ) tam bién se puede aplicar com o un cálculo conservador de r máx seleccionando K, com o el valor m áxim o a torsión o a flexión. Para tener en cuenta el K, apropiado tanto para torsión com o para flexión, la ecua ción (1 1 - 4 ) se puede m odificar com o sigue:
Tt =
+ (K , t T ) 2
( 11- 8)
Entonces la ecuación (1 1 -5 ) se puede usar de m anera directa para calcular el esfuerzo cortante m áxim o. E s fu e rz o s n o rm a l y c o rta n te c o m b in a d o s
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E s p e c i f i q u e u n m a te r ia l a d e c u a d o p a r a la f le c h a m o s t r a d a e n la f ig u r a 1 1 - 7 . L a fle c h a t i e n e u n d iá m e tr o u n if o rm e d e 5 5 m m y g ir a a 1 2 0 r p m a l m is m o ti e m p o q u e tr a n s m ite 3 .7 5 k W d e p o t e n c i a . L a s r u e d a s d e n t a d a s B y C s e m o n t a n e n la f l e c h a p o r m e d io d e c u ñ a s . L a r u e d a d e n t a d a C r e c i b e la p o t e n c i a y la 6 la e n t r e g a a o tr a f le c h a . L o s c o jin e te s e n A y D f u n c io n a n c o m o a p o y o s s i m p l e s p a r a la f le c h a . O b je tiv o
E s p e c if ic a r u n m a te r ia l a d e c u a d o p a r a la f le c h a .
D a to s
L a f le c h a y l a s c a r g a s m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 1 - 7 . P o t e n c i a = P = 3 .7 5 k W . V e lo c id a d d e r o ta c ió n = D iá m e tr o d e la f l e c h a = D = 5 5 m m . C u ñ e r o s e n S y C. A p o y o s s im p le s e n
A n á lis is
n=
1 2 0 rp m .
A y D.
A c o n t in u a c ió n s e d e s c r i b e n lo s d i v e r s o s p a s o s q u e s e s i g u e n e n la s o lu c ió n d e e s t e p r o b le m a . 1 . El p a r d e to r s ió n e n la f le c h a s e c a l c u l a r á p a r a la p o t e n c i a y la v e lo c i d a d d e r o ta c ió n c o n o c i d a s c o n T = P/n, ta l c o m o s e d e s a r r o l l ó e n el c a p ítu lo 5. 2 . S e c a l c u l a r á n l a s t e n s i o n e s e n l a s c a d e n a s d e l a s r u e d a s B y C. É s t a s s o n l a s f u e r z a s q u e p r o d u c e n f le x ió n e n la f le c h a . 3 . S i s e c o n s i d e r a la f l e c h a c o m o u n a v ig a , s e d ib u j a r á n s u s d ia g r a m a s d e c o r t a n t e y m o m e n t o fle x io n a n te .
4.
E n la s e c c i ó n d o n d e o c u r r e e l m á x im o m o m e n t o f le x io n a n te , s e cal c u l a r á e l p a r d e to r s ió n e q u i v a l e n t e 7 e c o n la e c u a c i ó n ( 1 1 - 4 ) .
5 . S e d e t e r m i n a r á n e l m ó d u lo p o l a r d e s e c c i ó n tr a c ió n d e e s f u e r z o K , .
Zp y
el fa c to r d e c o n c e n
6 . El e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o s e c a l c u l a r á c o n la e c u a c i ó n ( 1 1 - 7 ) . 7 . L a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a r e q u e r id a d e l m a te r ia l d e la fle c h a s e c a l c u l a r á c o n r m¿x= r tfe n la e c u a c i ó n ( 1 1 - 6 ) y r e s o l v i é n d o l a p a r a or R e c u é rd e se q u e d e b e s e r = 4 o m ay o r.
N
8 . D e l a p é n d i c e A - 1 3 s e s e l e c c i o n a r á u n a c e r o q u e t e n g a u n a su fic ie n te r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a .
R e s u lta d o s
P a s o 1.
L a u n i d a d d e s e a b l e p a r a e l p a r d e t o r s ió n e s e l N m . E n tal c a s o e s m u y c o n v e n i e n t e o b s e r v a r q u e la u n i d a d d e p o te n c ia d e k ilo w a tts e s e q u iv a le n te a la u n i d a d e s d e k N -m /s. Asi m is m o , la v e lo c id a d d e ro ta c ió n d e b e e x p r e s a r s e e n ra d /s. 12 0 re v 2t t r a d 1 m in ,, n = ----- :— x ----------x — — = 1 2 .5 7 r a d /s m in re v 60 s A h o r a s e p u e d e c a l c u l a r e l p a r d e to r s ió n .
P 3 .7 5 kN m T = — = --------------- x n s P a s o 2.
1 1 2 .5 7 r a d /s
= 0 .2 9 8 kN -m
E n la fig u ra 1 1 - 7 s e in d ic a n la s t e n s i o n e s e n l a s c a d e n a s p o r m e d io d e l a s f u e r z a s F , y F 2. P a r a q u e la f l e c h a e s t é en C a p itu lo 1 1 »
C a s o s e s p e c ia le s de e s fu e rz o s c om b inado s
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P o r t a n to :
P a s o 8.
s y = 2A/rmáx = (2) (4) (5 3 .9 M P a ) = 43 1 M P a
E n e l a p é n d i c e A - 1 3 s e v e q u e s e p o d r í a n u s a r v a r i a s a le a c i o n e s . P o r e j e m p l o , e l a c e r o A IS I 1 0 4 0 e s t i r a d o e n frío, t i e n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e 4 9 0 M P a . L a a le a c ió n A I S 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 t i e n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a de 4 6 9 M P a y t a m b i é n u n a e x c e l e n t e d u c t i l i d a d , i n d i c a d a por s u 2 8 % d e a l a r g a m i e n t o . C u a l q u i e r a d e é s t a s s e r í a u n a op c ió n r a z o n a b l e .
B I B L I O G R A F I A 1. A lu m in u m A s s o c ia tio n , S p e c ific a tio n s f o r A lu m in u m
S tr u c tu r e s , W a s h in g to n . D C , 1986. 2. A m e r ic a n In stitu te o f S te e l C o n s tr u c tio n , M a n u a l o f
4. S h ig le y , J. E ., and C . R . M is c h k e , M e c h a n ic a l Engi-
n e e r in g D e sig n , 5th e d ., M cG ra w -H ill B o o k Com pany, N e w Y ork, 1989.
S te e l C o n s tr u c tio n , 9 th e d ., C h ic a g o , 1989. 3. M o tt, R ob ert L ., M a c h in e E le m e n ts in M e c h a n ic a l D e-
s ig n , 2n d e d ., M e r r ill, an im p rin t o f M a c m illa n P ublis h in g C o ., N e w Y ork, 1 9 92.
P R O B
EM A S
E s fu e rz o s n o rm a le s c o m b in a d o s 1 1 - 1 .1
Se utiliza un tubo de acero cédula 40 de 2 1/2 plg como soporte de un tablero de baloncesto, como se muestra en la figura 11—11. Está firmemente afianzado en el suelo. Calcule el esfuerzo que se de sarrollaría en el tubo si un jugador de 230 Ib se cuelga de la base del aro de la canasta.
11-2.M
La ménsula mostrada en la figura 11-12 tiene una sección transversal rectangular de 18 mm de an cho por 75 mm de altura. Está firmemente empo trada en el muro. Calcule el esfuerzo máximo en la ménsula.
1 1 - 3 .1
La viga mostrada en la figura 11-13 soporta una carga de 6000 Ib aplicada aúna ménsula debajo de ella. Calcule el esfuerzo en los puntos M y Ndon de se fija a la columna.
1 1 - 4 .1
Para la viga mostrada en la figura 11-13, calcule el esfuerzo en los puntos M y N si la carga de 6000 Ib actúa verticalmente dirigida hacia abajo en lugar de inclinada.
1 1 - 5 .1
Para la viga mostrada en la figura 11-13, calcu le el esfuerzo en los puntos M y N si la carga de 6000 Ib actúa hacia ía columna a un ángulo de 40° por debajo de la horizontal en lugar de como se muestra.
420
F IG U R A 1 1 -1 1
T a b le r o d e b a l o n c e s to d e l
p r o b le m a 11—1.
C a p ítu lo 11 ■
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2101b
6 plg
6 plg
6 plg
10501b
450 Ib
6 plg
B C o jin ete P o lea de 12 plg
C o jin ete
P o lea d e 8 p lg
P o lea de 4 p lg
P o leas m o n tad as en la flecha p o r m e d io d e cu ñ as
FIGURA 11-30
11-33.M La flecha vertical mostrada en la figura 11-31 dis pone de dos poleas impulsadas por correas. Se muestran las fuerzas de tensión en las correas en operación. Además, la flecha soporta una carga de compresión axial de 6.2 kN. Considerando es fuerzos de torsión, flexión y de compresión axial, calcule el esfuerzo cortante máximo con la ecua ción (1 1-2).
2401b
Fle cha d el p ro b le m a 11-32.
11-34.M Parala flecha del problema 11-33, especifique un acero adecuado que produzca un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia a cor tante. E s fu e r z o s d e t e n s ió n a x ia l y c o r ta n te d ir e c to c o m b in a d o s
11-35.1
P = 6.2 kN
200 mm
11-36.1
C ojinete d e em p u je
P o leas m o n tad as e n la flech a p o r m e d io d e cu ñ as
P = 6.2 kN
FIGURA 11-31
F lech a d el p ro b le m a 1 1-33.
Un tomillo de máquina tiene roscas UNC Ameri can Standard Número 8-32 (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza de tensión axial que produce un esfuerzo de tensión directa en las roscas de 15 000 lb/plg2 basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sección debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sec ción también se somete a una fuerza cortante di recta de 120 Ib. Calcule el esfuerzo cortante máximo en esta sección. Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son de 1/4-20 UNC American Stand ard y la fuerza cortante es de 775 Ib.
11-37.1
Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son No. 4—48 UNF American Stand ard y la fuerza cortante es de 50 Ib.
11-38.1
Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son 1 l/4 -1 2 U N F y la fuerza cortante es de 2500 Ib.
200 mm
200 mm
12001b
11-39.M Un tomillo de máquina tiene roscas métricas con un diámetro mayor de 16 mm y un paso de 2.0 mm (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza axial que produce un esfuerzo de ten sión directo en las roscas de 120 MPa basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sec ción debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sec 427
P ro b le m a s
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ción también se somete a una fuerza cortante di recta de 8.0 kN. Calcule el esfuerzo cortante má ximo en esta sección. 11-40.M Un tomillo de máquina tiene roscas métricas con un diámetro mayor de 48 mm y un paso de 5.0 mm (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza axial que produce un esfuerzo de ten sión directo en las roscas de 120 MPa basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sec ción debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sec ción también se somete a una fuerza cortante di recta de 80 kN. Calcule el esfuerzo cortante máximo en esta sección. E s fu e r z o s fle x io n a n te y c o rt a n te v e rt ic a l c o m b in a d o s
11-41.1 Una barra rectangular se usa como viga sometida a una carga concentrada de 5500 Ib a la mitad de su claro de 60 plg. La sección transversal es de 2.0 plg de ancho por 6.00 plg de altura, con la dimen sión de 6.00 plg orientada verticalmente. Calcule el esfuerzo cortante máximo que ocurre en la ba ñ a cerca de la carga en los siguientes puntos de la sección: (a ) (b )
En la cara inferior de la barra. En la cara superior de la barra.
(c) En el eje neutro. (d )
En un punto a 1.0 plg sobre la cara inferior de la barra.
(e) En un punto a 2.0 plg sobre la cara inferior de ¡abarra. 11-42.1 Repita el problema 11-41 excepto que la viga es una viga I de aluminio, 16 x 4.692. 11-43.1 Repita el problema 11-41 excepto que la carga es una carga uniformemente distribuida de 100 lb/plg a todo lo largo de la viga. Considere seccio
nes transversales cerca del centro de la viga, cerca de los apoyos y a 15 plg del apoyo izquierdo. S e c c io n e s n o c ir c u la r e s - e s f u e r z o s n o r m a l y c o r ta n te to r s io n a l c o m b in a d o s
11- 44.M Una barra cuadrada de 25 mm de lado soporta una carga de tensión axial de 75 kNjunto con un par de torsión de 245 N m. Calcule el esfuerzo cortante máximo en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.) 11- 45.M Una barra rectangular con sección transversal de 30 mm por 50 mm soporta una carga de tensión axial de 175 kNjunto con un par de torsión de 525 N m. Calcule el máximo esfuerzo cortante en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.) 11-46.M Una barra tiene una sección transversal en forma de triángulo equilátero, de 50 mm de lado. Sopor ta una fuerza de tensión axial de 115 kN junto con un par de torsión de 775 N m. Calcule el máximo esfuerzo cortante en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.) 11-47.1 Un eslabón de un mecanismo de grandes dimen siones está hecho de un tubo estructural de 3 x 3 x 1/4 (véase el apéndice A-9). Originalmente se di señó para que soportara una carga de tensión axial que produce un factor de diseño de 3, basado en la resistencia a la cedencia del acero estructural ASTM A500 formado en frió, grado C. (a) Determine la carga y el máximo esfuerzo cor tante que se produce en el tubo. (b )
En operación, el tubo experimenta un par de torsión de 950 Ib-pie además de la carga axial. Calcule el esfuerzo cortante máximo produci do por esta carga combi nada y calcule el factor de diseño resultante basado en la resistencia a la cedencia del acero a cortante. (Véase la sec ción 5-11 y la figura 5-18.)
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12 D e fle x ió n d e v ig a s
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
E l funcionam iento adecuado de las piezas de una m áquina, la rigidez estructural de los edificios, los chasises de vehículos y m áquinas y la tendencia de una pieza a v ibrar de penden de la deform ación de vigas. Por consiguiente, la facultad de analizar vigas para detectar deflexiones por la acción de una carga es m uy im portante. En este capítulo se presentan los principios en los que se basa el cálculo de la deflexión de vigas, ju n to con cuatro conocidos m étodos de análisis de deflexión: el méto do de la fórm ula , el método de superposición, el método de integración sucesiva y el
método del área de momento. C ada uno de ellos ofrece ventajas y desventajas, y la decisión de qué m étodo va a ser utilizado depende de la naturaleza del problem a. El m étodo de la fórm ula es el m ás sim ple, pero depende de la disponibilidad de una fórm ula adecuada que case con la apli cación. El m étodo de superposición, una extensión m odesta del m étodo de la fórm ula, am pl ía de m anera dram ática el núm ero de problem as prácticos que se pueden resolver sin un aum ento significativo en la com plejidad de la solución. El m étodo del área de m om en to es bastante rápido y sim ple, pero en general se usa para calcular las deflexiones de sólo uno o unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de com prensión del principio de m om entos y de las técnicas de preparar diagram as de m om ento flexionante. El método de integración sucesiva tal vez es el más general, y se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determ inadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante y de derivar las ecuaciones de la pendiente y la
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deflexión de una viga por m edio del cálculo integral. El m étodo de integración sucesiva produce ecuaciones para la pendiente y la deflexión en toda la viga y perm ite la determ i nación directa del punto de m áxim a deflexión. A lgunas fórm ulas publicadas se desarro llaron con el m étodo de integración sucesiva o el m étodo del área de m om ento. Existen varios program as de análisis de vigas asistidos p o r com putadora que redu cen el tiem po y el cálculo requeridos para determ inar la deflexión de vigas. Si bien alige ran la carga de trabajo del diseñador, se recom ienda que se entiendan los principios en los que están basados antes de utilizarlos. D espués de term inar el estudio de este capitulo, el lector será capaz de: 1. E ntender la necesidad de considerar las deflexiones de vigas. 2. Entender el desarrollo de las relaciones entre el patrón de carga y los apoyos en una viga y la deflexión de ésta. 3. M ostrar con una gráfica las relaciones entre las curvas de carga, fuerza cortante, m om ento flexionante, pendiente y deflexión de vigas. 4. U sar fórm ulas estándar para calcular la deflexión de vigas en puntos selecciona dos. 5. U sar el principio de superposición ju n to con fórm ulas estándar para resolver problem as de m ayor com plejidad. 6. D esarrollar fórm ulas de la deflexión de vigas para ciertos casos con el método de integración sucesiva. 7. Api icar el m étodo de integración sucesiva a vigas que poseen una am plia varie dad de condiciones de carga y apoyo. 8. U sar el m étodo del área de m om ento para determ inar la pendiente y la deflexión de vigas. 9. E scribir program as de cóm puto que sirvan de ayuda al utilizar los diversos mé todos de análisis de vigas descritos en este capítulo. L a organización del capítulo perm ite u n a cobertura selectiva. En general, toda la inform ación necesaria para usar cada uno de los m étodos se in cluye en esa parte del capítulo. U na excepción es que se requiere lacom prensión del m étodo de la fórm ula antes de u sar el m étodo de superposición.
L A N E C E S ID A D D E C O N S ID E R A R L A S D E F L E X IO N E S D E V IG A S
El huso de un torno o prensa taladradora y el árbol d e u n a fresadora portan herram ientas de corte para m aquinar metales. L a deflexión del huso o del árbol tendría un efecto adver so en la precisión de la m áquina. El tipo de carga y apoyo de estos elem entos de máquina indican que son vigas, y el procedim iento p ara calcular su deflexión se analizará en este capítulo. El equipo de precisión para m edición tam bién se debe diseñar para que sea rígido. L a deflexión provocada por la aplicación de las fuerzas de m edición reduce la precisión de la m edición deseada. Las flechas transm isoras de potencia que portan engranes deben ser suficiente m ente rígidas para garantizar que los dientes de los engranes se traben adecuadam ente. La deflexión excesiva de las flechas tendería a separar los engranes com pañeros, lo que haría que el punto de contacto entre los dientes de los engranes no fuera el óptim o. La C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
generación de ruido, la reducción en la capacidad de transm itir potencia y el desgaste increm entado serían el resultado. P ara engranes rectos, se recom ienda q u e el m ovim iento entre dos engranes no sea de m ás de 0.005 plg (0.13 mm ). E ste lím ite es la suma del m ovim iento de las dos flechas que portan los engranes acoplados e n el lugar donde van m ontados. L os pisos de edificios deben ser suficientem ente rígidos p ara soportar las cargas esperadas. L os ocupantes del edificio no deben notar las deflexiones del piso. L as m áqui nas y otros equipos requieren u n p iso estable para su funcionam iento adecuado. L as vigas que soportan cielos rasos enyesados no se deben deflexionar en exceso p ara que no se agriete el yeso. L a deflexión a m enudo se lim ita a 1/360 v eces el claro de la viga que soporta un cielo raso. Los bastidores de vehículos, m áquinas form adoras de m etal, aparatos autom áticos y equipo de proceso tam bién deben poseer suficiente rigidez p ara garantizar el funciona m iento adecuado del equipo soportado p o r el bastidor. L a cabeza de u n to m o , la corona de u n a prensa punzonadora, la estructura de un m ecanism o de ensam ble autom ático y el chasis de un cam ión son algunos ejem plos. L as oscilaciones de las piezas de una estructura o m áquina provocan vibración. L a tendencia a v ibrar a una cierta frecuencia y la severidad de las vibraciones son funciones de la flexibilidad de las piezas. D esde luego, flexibilidad es un térm ino u sado para descri b ir el punto al cual se deflexiona una pieza por la acción de u n a carga. Los problem as de vibración pueden resolverse incrementando o disminuyendo la rigidez de una pieza, se gún las circunstancias. En uno u otro caso, es im portante entender cóm o se calculan las deflexiones de vigas. L ím i t e s d e d e f le x i ó n r e c o m e n d a d o s . E sresp o n sa b ilid ad d eld ise ñ ad o resp e cificar la m áxim a deflexión perm isible de una viga de m áquina, chasis o estructura. El cono cim iento de la aplicación debe servir de guía. En ausencia d e esta guía, en las referencias 2 y 3 se sugieren los lím ites siguientes:
Pieza general de m áquina: Precisión m oderada: A lta precisión:
1 2 -3
_y,„¿x= 0.0005 a 0.003 plg/plg o m m /m m de longitud de viga. ymix~ 0.00001 a0 .0 0 0 5 p lg /p lg o m m /m m de longitud de viga. 0.000001 a 0.00001 plg/plg o m m /m m de longitud de viga.
D E F IN IC IÓ N D E T É R M IN O S
P ara describir de m anera gráfica la condición de una viga que soporta un patrón de carga, se usan cinco diagram as, com o se m uestra en la figura 12-1. Y a se usaron los prim eros tres diagram as en capítulos anteriores de este libro. El diagrama de carga es el diagram a de cuerpo libre en el cual se m uestran todas las cargas extem as y las reacciones en los apoyos. A partir de éste, se desarrolló el diagrama de fuerza cortante , el cual perm ite calcular los esfuerzos cortantes en cualquier sección de una viga. El diagrama de momen toflexionante es u n a curva de la variación del m om ento flexionante con la posición en la v iga incluidos los resultados utilizados p ara calcular el esfuerzo causado p o r flexión. El eje horizontal de estas curvas es la posición en la viga, llam ada .r. Se acostum bra m ed irx con respecto al extrem o izquierdo de la viga, aunque se puede u sar cualquier punto de referencia. D ia g r a m a d e d e f l e x i ó n . Los últim os dos diagram as tienen que ver con la deform a ción de la viga som etida a las cargas. C onviene com enzar el análisis con el últim o diagraS e c c ió n 1 2 - 3 ■
431
D e fin ic ió n d e té rm in o s
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D ia g r a m a d e la p e n d ie n t e . Una línea trazada tangente a la curva de deflexión en un punto de interés define la pendiente de la curva de deflexión en dicho punto. L ap en d ien te se indica com o el ángulo 6; m edido en radianes con respecto a la horizontal, com o se m uestra en la figura 12-1. La representación gráfica de la pendiente com o u n a función de la posición en la viga es la curva de la pendiente, dibujada bajo la curva del m om ento flexionante y sobre la curva de la deflexión. N ótese en la viga dada que lap en d ien te de la porción izquierda de la curva de la deflexión es negativa y la de la porción derecha es positiva. El punto donde la línea tangente es horizontal es el punto de pendiente cero y define la ubicación de la deflexión m áxim a. Esta observación se usará en el análisis del m étodo del área de m om ento y del m étodo de integración sucesiva, m ás adelante en este capítulo. R a d io d e c u r v a t u r a . La figura 12-2 m uestra el radio de curvatura, R, en un punto particular. E n vigas prácticas, la curvatura es m ínim a, lo que produce un valor de R muy grande. P or conveniencia, la form a de la curva de la deflexión se exageró para poder visualizar los principios y las variables im plicadas en el análisis. R ecuérdese que según la geom etría analítica el radio de curvatura en un punto es perpendicular a la línea trazada tangente a la curva en dicho punto.
C en tro de cu rv atu ra
con d eflex ió n
F IG U R A 1 2 -2
S e c c ió n 1 2 - 3 ■
Ilu stració n del ra d io d e cu rv atu ra y p en d ien te d e la c u rv a de d efle x ió n de u n a viga.
433
D e fin ic ió n d e té rm in o s
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La relación entre pendiente y deflexión tam bién se ilustra en la figura 12-2. A lo largo de una pequeña distancia dx, la deflexión cam bia u n a p equeña cantidad dy. Una pequeña parte de la curva de la deflexión en sí com pleta el triángulo rectángulo del cual se define:
ta n
0 = í~
(1 2-1 )
dx
El valor absoluto de 6 será m uy pequeño porque la curvatura de la v iga es mínima. E ntonces, se puede sacar provecho de la observación de que, para ángulos pequeños, tan 9 = 0. P or tanto:
Por consiguiente, se puede concluir que:
La pendiente de la curva de la deflexión en un p u n to es igual a la razón de! cambio de la deflexión al cambio deposición en la viga. R ig id e z d e u n a v ig a , Más adelante se demostrará que la cantidad de deflexión de una viga es inversam ente proporcional a su rigidez, indicada p o r el producto El, en donde:
E = m ódulo de elasticidad del m aterial de la viga / = m om ento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto al eje neutro
D E F L E X IO N E S D E V IG A S C O N E L M É T O D O D E L A F Ó R M U L A
P ara m uchas configuraciones prácticas de cargas y apoyos de vigas, se han derivado fórm ulas que perm iten calcular deflexión en cualquier punto de una viga. El m étodo de integración sucesiva o m étodo del área de m om ento, m ás adelante descritos, se pueden usar para desarrollar las ecuaciones. Los apéndices A -2 2 , A -2 3 y A -2 4 incluyen mu chos ejem plos de fórm ulas de deflexiones de vigas. L as fórm ulas de deflexión son válidas sólo en los casos donde la sección transver sal de la viga es uniform e a lo largo de ella. La aplicación de las fórm ulas se demostrará con ejem plos. El apéndice A -2 2 incluye diez condiciones diferentes de carga sobre vigas sim ple m ente apoyadas, es decir, vigas que cuentan con dos y sólo dos apoyos sim ples. Algunas son vigas en voladizo. Con anterioridad se dem ostró que las vigas com o ésas se pueden analizar con respecto a los valores de las reacciones con las ecuaciones estándar de equi librio. L uego se pueden desarrollar los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante con los m étodos del capítulo 6, con los cuales se puede com pletar el análisis del esfuerzo de la viga, com o se vio en los capítulos 8 y 9. Para evaluar la aceptabilidad de un diseño de viga se tendrá que com pletar tanto el análisis del esfuerzo com o el análisis de la deflexión. Las condiciones de carga en el apéndice A -2 2 incluyen cargas concentradas úni cas, dos cargas concentradas, una variedad de cargas distribuidas y un caso con un mo m ento concentrado. El m om ento concentrado se podría desarrollar com o en los ejemplos C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
de la sección 6 -8 . La línea tenue delgada en los diagram as es un bosquejo de la form a de la viga deflexionada, un tanto exagerada. Esta sirve para visualizar dónde se pueden esperar los puntos críticos de deflexión. Tengase cuidado cuando se rotulen las cargas y las dim ensiones en los diagram as de deflexión de vigas. Es esencial que la viga real que se va a analizar concuerde con la form a general de un caso dado y que se identifiquen con precisión las variables em plea das en las fórm ulas a la derecha de los diagram as. En la m ayoría de los casos, se dan fórm ulas para la deflexión m áxim a anticipada, para las deflexiones en los extrem os vola dizos y para las deflexiones en puntos de aplicación de cargas concentradas. Algunos casos incluyen fórmulas para la deflexión en un punto cualquiera seleccionado. N ótese la form a general de las fórm ulas de deflexión. M ientras que algunas son m ás com plejas que otras, se pueden observar las siguientes características generales. La com prensión de estas observaciones sirve para tom ar buenas decisiones cuando se dise ñan vigas. 1. La variable^ denota las deflexiones, las cuales son el cam bio de posición del eje neutro de la viga desde su condición sin carga hasta la condición cargada final, m edidas perpendiculares al eje neutro original. 2. Las deflexiones hacia arriba son positivas; hacia abajo son negativas. 3. La variable a-, cuando se utiliza, denota la posición horizontal en la viga, m edida a partir de uno de los apoyos. En algunos casos, se indica una segunda variable de posición v, m edida a partir del otro apoyo. 4. Las deflexiones son proporcionales a la carga aplicada a la viga. 5. Las deflexiones son inversam ente proporcionales a la rigidez de la viga, defini das com o el producto de E, la rigidez del m aterial del cual está hecha la viga, e /, el m om ento de inercia de la sección transversal de la viga. 6. Las deflexiones son proporcionales al cubo de alguna dim ensión de longitud crítica, por lo general en el claro entre los apoyos o la longitud de un extrem o en voladizo. El apéndice A -23 incluye cuatro casos de vigas en voladizo que soportan cargas concentradas, cargas distribuidas o un m om ento concentrado. La deflexión m áxim a ob viam ente ocurre en el extrem o libre de la viga. El extrem o fijo lim ita la viga contra rotación en el apoyo de m odo que la curva de la deflexión tiene una pendiente cero en dicho lugar. El apéndice A -2 4 incluye diez casos de vigas estáticamente indeterminadas. Este térm ino significa que las reacciones no se pueden calcular con la aplicación de las ecua ciones estándar de equilibrio. Por consiguiente, se dan fórm ulas para las reacciones y m om entos flexionantes clave juntos con fórm ulas de la deflexión. Tam bién se dan las formas de los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante y, en general, son bastante diferentes de los de vigas estáticam ente determ inadas. En el capítulo 13 se am plía el tem a de la vigas estáticam ente indeterm inadas.
E je m p lo 1 2 -1
S ección 1 2 - 4 ■
D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a d e u n a v ig a s i m p l e m e n t e a p o y a d a q u e p o r ta u n c ilin d ro h id r á u lic o d e u n a m á q u i n a u tiliz a d a p a r a i n s e r t a r b u j e s a p r e s i ó n e n u n a p i e z a f u n d id a , c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra 1 2 - 3 . L a f u e r z a e j e r c i d a d u r a n t e la o p e r a c i ó n d e p r e n s a d o e s d e 1 5 kN . L a v ig a e s r e c t a n g u l a r , d e 2 5 m m d e e s p e s o r y 1 0 0 m m d e a ltu r a , y e s t á h e c h a d e a c ero .
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O b je tiv o
C a lc u la r la d e f le x ió n m á x i m a d e la v ig a d a d a .
D a to s
E l s i s t e m a m o s t r a d o e n la f ig u r a 1 2 - 3 . C a r g a = P = 1 5 k N . C la r o = L = 1 .6 0 m . S e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e la v ig a : 2 5 m m d e a n c h o p o r 1 0 0 m m de a l t u r a . V ig a d e a c e r o .
A n á lis is
L a v ig a d a d a s e p u e d e c o n s i d e r a r c o m o u n a v ig a s i m p l e m e n t e a p o y a d a c o n u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a a p l i c a d a d ir ig id a h a c i a a r r i b a e n s u cen tro . E s te p ro b le m a c o r re s p o n d e al c a s o a d e l a p é n d ic e A - 2 2 .
R e s u lta d o s
C o n la f ó rm u la d e l a p é n d i c e A - 2 2 - a , s e d e t e r m i n a la d e f le x ió n m áx im a c o m o s ig u e :
y =
PL-3 485/
E n e l a p é n d i c e A - 1 3 , p a r a a c e r o , E = 2 0 7 G P a = 2 0 7 1 0 9 N /m 2. P a r a la v ig a r e c t a n g u l a r :
(25 )(100)3 = 2083 x i o W 12 P o r ta n to :
y
(15 x 103 N) (1.6 m )3
PL 3
= 48El
(1 0 3 m m ) 5
4 8 ( 2 0 7 x 109 N /m 2) (2 .0 8 3 x 106 m m 4)
y = 2 .9 7 m m C o m e n ta rio
É s t a e s u n a d e f le x ió n r e l a t i v a m e n t e e l e v a d a q u e p o d r í a t e n e r u n efecto a d v e r s o e n la p r e c i s i ó n d e la o p e r a c i ó n d e m o n t a j e d e l b u j e . S e d e b e c o n s i d e r a r u n p erfil d e v ig a m á s r íg id o ( u n o c o n u n m a y o r m o m e n to de in e r c ia , /)• P o r o tr a p a r t e , e l s i s t e m a d e a p o y o s e p o d r í a m o d ific a r c o n el o b j e t o d e d is m in u ir e l c la r o e n t r e lo s a p o y o s , u n a s o l u c ió n d e s e a b le p o r q u e la d e f le x ió n e s p r o p o r c io n a l a l c u b o d e la lo n g itu d . S i s e s u p o n e q u e la o p e r a c i ó n g e n e r a l d e l s i s t e m a p e r m i te r e d u c i r e l c la r o a la mitad d e l c la r o d a d o (0 .8 0 m ), la d e fle x ió n s e r i a d e s ó lo 0 .3 7 m m , 1 /8 la d e l d ise ñ o dado. C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
F u e rz a
co rtan te, V (k N ) q
-7 .5 M o m en to
0
flex io n an te, M (kN -m )
F I G U R A 12-4
D iag ram as d e la v ig a del ejem p lo 12-1.
El e s f u e r z o e n la v ig a t a m b i é n d e b e c a l c u l a r s e p a r a e v a l u a r la s e g u r i d a d d e l d i s e ñ o . L a fig u ra 1 2 - 4 m u e s t r a lo s d i a g r a m a s d e c a r g a , d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o f le x io n a n te d e l d i s e ñ o o rig in a l d e la v ig a c o n lo s q u e s e d e t e r m i n ó q u e e l m á x im o m o m e n t o f le x io n a n te e n la v ig a e s d e M = 6 .0 0 k N -m . P a r a c a l c u l a r e l e s f u e r z o s e p u e d e u s a r la f ó r m u la d e la fle x ió n .
Me (6 .0 0 kN -m ) (5 0 m m ) 103 N 103 m m ir = — = - ---------------- ----------- r 1 - -------------------------- 1 4 4 M P a / 2 .0 8 3 x 105 m m 4 kN m É s t e e s u n n iv e l d e e s f u e r z o r e l a t i v a m e n t e a lto . P a r a c o n t i n u a r e l a n á l i s i s , o b s e r v e q u e la v ig a s e v e r í a s o m e t i d a a u n e s f u e r z o f le x io n a n te r e p e t i d o . P o r c o n s i g u i e n t e , e l e s f u e r z o d e d is e ñ o re c o m e n d a d o e s :
U n a f le c h a c ir c u la r, d e 4 5 m m d e d i á m e tr o , s o p o r t a u n a c a r g a d e 3 5 0 0 N , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 5 . S i la f le c h a e s d e a c e r o , c a l c u l e la d e f le x ió n e n e l p u n t o d e a p lic a c ió n d e la c a r g a y e n e l p u n to C , a 1 0 0 m m d e l e x t r e m o d e r e c h o d e la f le c h a . C a lc u le t a m b i é n la m á x im a d e f le x ió n .
S o lu c ió n
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C a lc u la r la d e f le x ió n e n lo s p u n t o s S y C y e n e l p u n t o d o n d e o c u r r e la m á x im a d e f le x ió n .
D a to s
L a v ig a m o s t r a d a e n la f ig u ra 1 2 - 5 . C a r g a = P = 3 5 0 0 N L a v ig a e s u n a f l e c h a c ir c u la r; D = 4 5 m m . V ig a d e a c e r o .
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F IG U R A 1 2 -8
Ilu stra c ió n del p rin c ip io d e su p erp o sició n .
m ente distribuida de 800 lb/pie y tam bién una parte de un equipo de proceso que produce una carga concentrada a la mitad. La figura 1 2 -8 m uestra la m anera en que las cargas se consideran p o r separado. C ada carga com ponente produce u n a deflexión m áxim a a la m itad. P o r consiguiente, la deflexión m áxim a total tam bién ocurrirá allí. H agam os que el subíndice 1se refiera al caso de la carga concentrada y el subíndice 2 al caso de la carga distribuida. P or tanto:
-P Ü
y1~~
48£7
y2 ~
384 El
- 5 WL1
L a deflexión total será: y-r = y t + y i
Los térm inos L , E e l serán los m ism os para am bos casos.
L = 16 pies x 12 plg/pie = 192 plg E = 30 x 106lb/plg 2para acero / = 103 plg 4para viga W 12 x 16 Para calcular
sea P = 2500 Ib. -2 500 (192 )3
.
A im
.
y, = -------------- ---------plg = - 0 .1 1 9 plg 48(30 x ]0 )(103)
Para c a lc u la r ^ , W es la resultante total de la carga distribuida. ^ = ( 8 0 0 lb/pie)(l 6 pies) =
12 800 Ib
P or consiguiente: -5 (1 2 800)(192)3
.
,
y 2 = ------------------------ - plg = - 0 .3 8 2 plg 384(30 x 10 )(103)
y T = 7, + 72= -0 .1 1 9 p lg - 0 .3 8 2 plg = -0 .5 0 1 plg C a p ítu lo 1 2 ■
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R e s u lta d o s
P a r a e l c o m p o n e n t e 1:
- P,a2b 2 Vb’ “
3 EIL
- ( 3 . 5 X 103) ( 2 5 0 ) 2(1 5 0 )2
~
3 (1 6 .6 4 x 1 0 '2)
-
= - 0 .0 9 8 5 m m
1502 -
1 0 0 2) ------ 0 .0 6 7 0 m m
P a r a el c o m p o n e n t e 2 , la c a r g a s e r á d e 2 .1 kN e n e l p u n t o
(4 0 0 2 -
- P2a2b2 3 EIL
10 0 2 -
- ( 2 .1 x 103) (3 0 0 )2(100)2
~
3 (1 6 .6 4 X 1 0 ’2)
C. E n t o n c e s :
1 5 0 2) = - 0 . 0 4 0 2 m m
= - 0 .0 3 7 8 m m
A h o ra , p o r s u p e rp o s ic ió n :
Yb = Ym + Yb2 = —0 .0 9 8 5 m m - 0 .0 4 0 2 m m — - 0 . 1 3 8 7 m m Ye = y c i + y C2 = - 0 . 0 6 7 0 m m - 0 .0 3 7 8 m m = - 0 . 1 0 4 8 m m
C o m e n ta rio
E n la s e c c i ó n 1 2 - 2 s e o b s e r v ó q u e u n lím ite r e c o m e n d a d o p a r a e l m ovim ie n to d e u n e n g r a n e c o n r e s p e c to a s u e n g r a n e a c o p l a d o e s d e 0 .1 3 m m . P o r c o n s i g u ie n te , e s t a f l e c h a e s d e m a s i a d o f le x ib le p u e s t o q u e la d e f l e x ió n e n B e s d e m á s d e 0 .1 3 m m , a u n s in c o n s i d e r a r la d e f le x ió n d e la fle c h a a c o p la d a .
1 2 -6
P R IN C IP IO S B Á S IC O S P A R A D E T E R M IN A R L A D E F L E X IÓ N E N V IG A S C O N E L M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N S U C E S IV A
E n esta sección se m uestran las relaciones m atem áticas entre las curvas de m om ento, pendiente y deflexión con las cuales se pueden resolver las ecuaciones reales para una viga dada som etida a una condición de carga y sustentación dada. L a figura 12-11 m uestra un pequeño segm ento de una v iga en su form a inicial recta y en su form a deflexionada. Los lados del segm ento perm anecen rectos al deflexionarse la viga, pero giran con respecto a un punto del eje neutro. Esto produce com presión en la cara superior del segm ento y tensión en la cara inferior, un hecho em pleado en el desarro llo de la fórm ula de la flexión en el capítulo 8. Los lados girados del segm ento se intersecan en el centro de curvatura y form an el pequeño ángulo d6. N ótese tam bién el radio de curvatura, R, m edido del centro de curva tura al eje neutro. P or la geom etría m ostrada en la figura: A í = R(dd)
S e c c ió n 1 2 - 6 ■
P rin c ip io s b á s ic o s p a ra d e te rm in a r la d e fle x ió n e n v ig a s c o n el m é to d o d e in te g r a c ió n s u c e s iv a
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(12-3) 443
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La ecuación (1 2 -8 ) indica que la curvatura aum enta a m edida que se increm enta el mo m ento flexionante, lo cual parece lógico. A sim ism o, la curvatura dism inuye a medida que se increm enta la rigidez, El, de la viga. Otro principio de geom etría analítica establece que si la ecuación de una curva se expresa com o> -= /(*), esto es, y es una función dc.v, entonces la curvatura es:
Al com binar las ecuaciones (12-8) y (1 2 -9 ) se obtiene:
M _ d 2y E l~ d ?
( 1 2 - 10)
o:
(
12 - 11)
Las ecuaciones (1 2 -1 0 ) y (12-11) son útiles en el desarrollo del m étodo de integración sucesiva para determ inar deflexiones de vigas, descrito a continuación.
D E F L E X IÓ N D E V IG A S - M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N S U C E S IV A -E N F O Q U E G E N E R A L
A continuación se presentará un enfoque general que perm ite determ inar la deflexión en cualquier punto de una viga. Las ventajas de este enfoque se dan a continuación. 1. El resultado es un conjunto de ecuaciones para determ inar la deflexión en todas las partes de la viga. La deflexión en cualquier punto se puede determ inar enton ces sustituyendo las propiedades de rigidez de la viga, E e /, y la posición de la viga. 2. L os datos se obtienen con facilidad con los cuales se pu ed e traz ar la curva de la deflexión. 3. Se desarrollan las ecuaciones para la pendiente de la viga en cualquier punto. Esta es im portante en algunas aplicaciones de m aquinaria tales com o flechas sobre cojinetes y flechas que portan engranes. Una pendiente excesiva de la flecha ocasionaría un desem peño deficiente y una vida corta de los cojinetes o engranes. 4. Las relaciones fundam entales entre las cargas, el tipo de apoyos, las propieda des de rigidez de la viga, la pendiente y las deflexiones se recalcan en el proce dim iento de solución. El diseñador que las entienda puede hacer diseños más eficientes. 5. El m étodo requiere la aplicación de sólo conceptos m atem áticos sim ples. C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
6. El punto donde ocurre la m áxim a deflexión se puede determ inar de m anera directa con las ecuaciones resultantes. El fundam ento del m étodo de integración sucesiva se desarrolló en las secciones 12-3 y 12-6. Se prepararán los cinco diagram as de la viga, tal com o se m uestran en la figura 12-1, para correlacionar las cargas, las fuerzas cortantes, los m om entos flexionantes, las pendientes y las deflexiones a lo largo de la viga. Los diagram as de carga, fuerza cortante y m om ento flexionante se trazan utilizan do los principios del capítulo 6. Luego se derivan ecuaciones para el m om ento flexionan te en todos los segm entos del diagram a de m om ento flexionante. L a ecuación (1 2 -1 1 ) entonces se utiliza para desarrollar las ecuaciones para la pendiente y deflexión a partir de las ecuaciones de m om ento integrando dos veces con respecto a la posición, x, en la viga, com o sigue.
( 12- 11)
A hora, integrando una vez con respecto a x s e obtiene:
( 1 2 - 12)
Con anterioridad, en la sección 12-3, ecuación (1 2 -2 ), se dem ostró que dy/dx = 6, la pendiente de la curva de la deflexión. Por esta razón:
(12-13)
La ecuación (1 2 -1 2 ) se puede integrar de nuevo, para obtener:
EWdx = El
í d\ ~ydx = E l y = y El dx
(12-14)
Una vez que los valores finales de E W y E Iy se han determ inado, se dividen entre la rigidez de la viga, E l, para obtener los valores de la pendiente, 6, y la deflexión, y. Los pasos indicados por las ecuaciones (1 2 -1 1 ) a (1 2 -1 4 ) se tienen que com pletar para cada segm ento de la viga donde el diagram a de m om ento es continuo. A dem ás, com o el objetivo es obtener ecuaciones discretas para la pendiente y la deflexión en el caso de patrones de carga-viga particulares, se tendrá que evaluar una constante de inte gración por cada integración realizada. El desarrollo de las ecuaciones para el m om ento flexionante contra la posición a m enudo se logra integrando las ecuaciones para la fuerza cortante contra x, com o se m uestra en el capítulo 6. Esto se desprende de la regla de que el cam bio del m om ento flexionante entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los m ism os dos puntos. S e cc ió n 1 2 - 7 ■
D e fle x ió n d e v ig a s - m é to d o d e in te g ra c ió n s u c e s iv a -e n fo q u e g e n e ra l
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El m étodo paso a paso utilizado para determ inar la deflexión de vigas utilizando el enfoque general es el siguiente. P a s o s d e l m é to d o d e in te g ra c ió n
1. D eterm ine las reacciones en los apoyos de la viga.
s u c e s iv a p a ra
2. D ibuje los diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante utilizando los procedim ientos presentados en el capítulo 6, e identifique las m agnitu des en los puntos críticos.
d e te rm in a r d e fle x io n e s d e v ig a s
3. D ivida la viga en segm entos en los que el diagram a de fuerza cortante es continuo identificando los puntos donde ocurren cam bios repentinos con las letras, A, B ,C ,D , etcétera. 4.
E scriba ecuaciones para la curva de la fuerza cortante en cada segm ento. En la m ayoría de los casos, éstas serán ecuaciones de líneas rectas, es decir, ecuaciones que incluyen x a la prim era potencia. E n ocasiones, com o en el caso de vigas que soportan cargas concentradas, la ecuación será sim plem ente de la forma:
V= constante 5. Para cada segm ento, realice el proceso:
M
- i
Vdx + C
Para evaluar la constante de integración que vincula la ecuación de m o m ento con los valores particulares ya conocidos del diagram a del m om en to, inserte condiciones lim itantes conocidas y resuelva para C. 6. Para cada segm ento, realice el proceso:
6EI
M dx + C
La constante de integración generada aquí no se puede ev alu ar directa m ente de inm ediato. A sí pues cada constante se tiene que identificar por separado por m edio de un subíndice com o sigue: C 1( C2, C3, etc. Luego, cuando se evalúen (en el paso 9), se pueden poner en sus lugares apropia dos. 7. Para cada segm ento, realice el proceso:
y E l = Jf 6EI dx + C D e nuevo, las constantes se deben identificar con subíndices.
8. E stablezca condiciones de frontera para los diagram as de la pendiente y la deflexión. Las condiciones de frontera se deben identificar de la m isma m anera que las constantes desconocidas de los pasos 6 y 7. Las condicio nes de frontera expresan m atem áticam ente los valores especiales de la pendiente y deflexión en ciertos puntos y el hecho de que tanto la curva de
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la pendiente com o la curva de la deflexión sean continuas. Las condiciones de frontera típicas son: a. La deflexión de la viga en cada apoyo es cero. b. La deflexión de la viga en el extrem o de un segm ento es igual a la defle xión de la viga al principio del siguiente segm ento. E sto se desprende del hecho de que la curva de la deflexión es continua, es decir, no experi m enta cam bios repentinos. c. La pendiente de la viga en el extrem o de un segm ento es igual a la pen diente al principio del siguiente segm ento. L apendiente no experim enta cam bios bruscos. d. En el caso especial de una viga en voladizo, su pendiente en el apoyo tam bién es cero. 9. C om bine todas las condiciones de frontera para evaluar todas las constan tes de integración. E sto en general im plica la solución de un conjunto de ecuaciones sim ultáneas cuyo núm ero de ecu acio n es es igual al núm ero de constantes de integración. Los program as de cóm puto para solucionar ecuaciones o las calculadoras son m uy útiles en este paso. 10. Sustituya las constantes de integración de nuevo en las ecuaciones de la pen d ien te y la deflexión, y de este m odo quedan com pletas. E l v alo r de la pendiente o la deflexión en cualquier punto se pueden evaluar sim ple m ente con sustituir en la ecuación el valor adecuado de la posición en la viga. Tam bién se pueden determ inar los puntos de deflexión m áxim a en cualquier segm ento.
A continuación se ilustrará el m étodo con un ejem plo.
E jem plo
L a f ig u ra 1 2 - 1 2 m u e s t r a u n a v ig a u tiliz a d a c o m o u n a p a r t e d e la e s t r u c t u r a e s p e c i a l d e
1 2 -4
u n a m á q u i n a . L a c a r g a d e 2 0 K ( 2 0 0 0 0 Ib) e n A y la d e 3 0 K ( 3 0 0 0 0 Ib) e n C r e p r e s e n t a n lo s p u n t o s d e a p o y o d e l e q u i p o p e s a d o . E n tr e lo s d o s a p o y o s e n 6 y D, la c a r g a u n ifo r m e m e n t e d is tr ib u id a d e 2 K /p ie ( 2 0 0 0 Ib /p ie ) s e d e b e a m a t e r i a l e s a g r a n e l a l m a c e n a d o s e n u n r e c i p i e n t e s o p o r t a d o p o r la v ig a . T o d a s l a s c a r g a s s o n e s t á t i c a s . P a r a m a n t e n e r l a p r e c i s i ó n d e lo s p r o d u c t o s p r o d u c i d o s p o r la m á q u i n a , la d e f le x ió n m á x i m a p e r m is ib le d e la v ig a d e b e s e r d e 0 .0 5 p lg . E s p e c if iq u e u n a v ig a d e a c e r o d e p a t í n a n c h o a c e p t a b l e , y a d e m á s v e r ifiq u e e l e s f u e r z o e n la v ig a . 30 K 20 K 6 pies 3 pies
A
2 pies
2 K 7pie
C
B
D
8 p ie s F IG U R A 1 2 -1 2
S o lu ció n
O bjetivo
V ig a d e l e je m p lo 1 2 -4 .
E s p e c if ic a r u n perfil d e a c e r o d e p a tín a n c h o p a r a lim ita r la d e f le x ió n a 0 .0 5 p lg . V e r ific a r e l e s f u e r z o e n la v ig a s e l e c c i o n a d a p a r a g a r a n t i z a r la s e g u rid a d .
S e cc ió n 1 2 - 7 ■
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D a to s
L a s c a r g a s s o b r e la v ig a m o s t r a d a s e n la f ig u r a 1 2 - 1 2 .
A n á lis is
S e a n a l i z a r á la v ig a p a r a d e t e r m i n a r d ó n d e o c u r r ir á la d e f le x ió n m á x im a . E n s e g u i d a s e d e t e r m i n a r á e l m o m e n t o d e i n e r c i a r e q u e r i d o p a r a lim ita r la d e f le x ió n a 0 . 0 5 p lg . S e s e l e c c i o n a r á u n a v i g a d e p a t í n a n c h o c u y o m o m e n t o d e in e r c ia s e a e l r e q u e r id o . S e u tiliz a rá e l p r o c e d i m i e n t o d e d i e z p a s o s a n t e s d e s c r i t o . L a s o l u c ió n s e p r e s e n t a e n u n f o r m a t o p r o g r a m a d o . U s te d d e b e ir r e s o l v i e n d o e l p r o b l e m a p o r s u c u e n t a a n t e s d e c o n s u lta r el r e s u lta d o s ig u ie n te .
R e s u lta d o s
L o s p a s o s 1 y 2 r e q u i e r e n d i b u j a r d i a g r a m a s d e la f u e r z a c o r t a n t e y d e l m o m e n t o f le x io n a n te . H a g a e s t o a h o r a , a n t e s d e v e r if ic a r e l r e s u l t a d o q u e s e d a a c o n tin u a c ió n .
30 K
L a fig u ra 1 2 - 1 3 m u e s t r a lo s r e s u l t a d o s . A h o r a p r o s i g a c o n e l p a s o 3. S e r e q u i e r e n t r e s s e g m e n t o s , A B , B C y C D . É s t o s s o n lo s s e g m e n t o s d o n d e e l d i a g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e e s c o n t i n u o . A h o r a p r o s i g a c o n el p a s o 4 p a r a o b t e n e r l a s e c u a c i o n e s d e la c u r v a d e la f u e r z a c o r ta n te .
C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
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A h o r a , e n e l p a s o 7 , i n t e g r e l a s e c u a c i o n e s (g ), (h ) e (i) p a r a o b t e n e r las e c u a c i o n e s d e y E I.
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El v a lo r d e l l a d o d e r e c h o d e la e c u a c i ó n 3 e s t á e x p r e s a d o c o n u n a p r e c i s ió n e x c e s iv a . E s to a m e n u d o n o e s n e c e s a r io , p e ro e n e s t e e je m p lo s e h iz o p a r a e lim in a r la a c u m u l a c i ó n d e e r r o r e s d e r e d o n d e o a r r a s t r a d o s e n la s o lu c ió n . E x is te n m u c h o s p a s o s p a r a l l e g a r a la s o l u c ió n fin a l, y la s i m p r e c i s i o n e s p u e d e n p r o d u c i r u n a v a r i a c i ó n s ig n if ic a tiv a e n lo s r e s u l t a d o s q u e p o d r í a n s e r f r u s t r a n t e s a l p r o s e g u i r c o n la s o l u c ió n . N ó t e s e q u e la e s c r i t u r a d e la c o n s t a n t e e n la e c u a c i ó n 3 c o m o - 6 5 4 4 . 0 8 3 3 In d ic a q u e lo s 3 s e r e p i t e n h a s t a e l in fin ito . P o r e s t a r a z ó n é s t a e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n I n h e r e n t e m e n t e i m p r e c i s a d e l n ú m e r o . S i s e I n tr o d u c e e l n ú m e r o c o m o la f r a c c ió n e x a c t a ( - 7 8 5 2 9 / 1 2 ) e n u n s o l u c i o n a d o r d e e c u a c i o n e s s e e lim in a r ía e l e r r o r . A q u í e s d o n d e e l u s o d e u n s o l u c i o n a d o r d e e c u a c i o n e s b a s a d o e n la c o m p u t a d o r a ta l c o m o e l M A T H C A D , e l s o l u c i o n a d o r T K , e l M A T L A B o e l M A P L E f a c ilita n lo s l a b o r i o s o s c á l c u lo s im p lic a d o s a l fin a l d e l p r o c e d i m i e n t o . M u c h a s c a l c u l a d o r a s d e a lto n iv e l c o n c a p a c i d a d p a r a p r o d u c ir g r á f i c a s t a m b i é n c o n t i e n e n s o lu c io n a d o r e s d e e c u a c io n e s sim u ltá n e a s . A h o ra , r e s u é lv a n s e la s s e is e c u a c io n e s s im u ltá n e a m e n te p a ra lo s v a l o r e s d e C^ a C 6. L os re s u lta d o s so n : C , = 1 3 2 .3 3 3 = 3 9 7 /3
C 2 = 3 3 4 .8 3 3 = 4 0 1 8 /1 2
C 3 = - 8 8 0 . 1 6 6 = 5 2 8 1 /6
C 4 = - 3 0 7 (e x a c to )
C 5 = - 5 0 7 .2 5 (e x a c to )
C 6 = 3 1 3 7 .7 5 ( e x a c t o )
A h o ra y a s e p u e d e n e s c rib ir la s e c u a c io n e s p a r a 0 y y, s u s titu y e n d o la s c o n s t a n t e s e n l a s e c u a c i o n e s (g ) a (I). L o s r e s u l t a d o s s e d a n a c o n t i n u a c ió n . II
ÜJ ñ
0 bc E l
Oc d EI
- 1 0 x 2 + 1 3 2 .3 3 3
' - X 3/ 3 + 1 4 .5 x 2 -
-
x
1 3 8x + 3 3 4 .8 3 3
3/3 - x 2/ 2 + 1 3 2 x -- 8 8 0 .1 6 6
y a a El — -1 0 x 3/3 + 1 3 2 .3 3 3 x - 3 0 7 YbcEI = - x 4 / 1 2 + 1 4 .5 x 3/ 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x - 5 0 7 .2 5 ycoEl = - x 4/1 2 -- x 3/ 6 + 6 6 x 2 - 8 8 0 .1 6 6 x + 3137.75
C o n la s e c u a c io n e s c o m p le ta s , s e p u e d e d e te rm in a r el p u n to d o n d e o c u r r e la d e f le x ió n m á x i m a , q u e e s e l o b je tiv o p r im o r d ia l d e l a n á l i s is . B a s á n d o s e e n la c a r g a , la f o r m a p r o b a b l e d e la v i g a d e f l e x l o n a d a s e r í a c o m o la d e la fig u ra 1 2 - 1 4 . P o r c o n s i g u i e n t e , la d e f le x ió n m á x i m a p o d r í a o c u r r ir e n e l p u n to A a l fin al d e l e x t r e m o s a l i e n t e , e n u n p u n t o a la d e r e c h a d e B ( h a c i a a r r ib a ) , o e n u n p u n t o c e r c a d e la c a r g a e n C ( h a c i a a b a j o ) . T a l v e z e x i s t a n d o s p u n t o s d e p e n d i e n t e c e r o e n lo s p u n t o s E y F, c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 1 2 - 1 4 . S e t e n d r í a q u e s a b e r d ó n d e la e c u a c i ó n d e la p e n d i e n t e 0s c E / e s ig u a l a c e r o c o n e l o b j e t o d e d e t e r m i n a r d ó n d e o c u r r e la m á x im a d e f le x ió n . N ó t e s e q u e la e c u a c i ó n e s d e t e r c e r g r a d o . El u s o d e u n a c a l c u l a d o r a c a p a z d e p r o d u c ir g r á f i c a s y d e u n s o l u c i o n a d o r d e e c u a c i o n e s fa c ilita la l o c a liz a c ió n d e lo s p u n t o s d o n d e Ob c EI ~ 0 . L a fig u ra 1 2 - 1 5 m u e s t r a u n a g r á f ic a a m p lif ic a d a d e l s e g m e n t o B C d e la v ig a e n la q u e s e v e q u e lo s p u n t o s c e r o o c u r r e n e n x = 3.836 p i e s y e n x = 8 .3 6 6 p ie s . A h o r a s e p u e d e n d e t e r m i n a r lo s v a l o r e s d e yEI e n lo s p u n t o s A, y S e c c ió n 1 2 - 7 ■
F p ara
E
in d a g a r cu á l e s el m ay o r.
D e fle x ió n d e v ig a s - m é to d o d e in te g ra c ió n s u c e s iv a - e n fo q u e g e n e ra l
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453
F o rm a p ro b ab le de la viga d eflex io n ad a (ex ag erad a)
F IG U R A 1 2 -1 4
C u rv as d e p en d ien te y d eflex ió n del ejem p lo 1 2 -4 .
P u n to A . E n x = 0 e n e l s e g m e n t o A B : y ABE I = - 1 0 x 7 3 + 1 3 2 .3 3 3 x - 3 0 7 y A E I = - 1 0 ( 0 . 0 0 ) 7 3 + 1 3 2 .3 3 3 (0 .0 0 ) - 3 0 7 y AE I = - 3 0 7 K p i e 3 P u n to E. E n x = 3 .8 3 6 p i e s e n e l s e g m e n t o B C : yac E l = - x 4/1 2 + 1 4 .5 x 3/ 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x - 5 0 7 .2 5 y EE I -
- ( 3 . 8 3 6 ) 7 1 2 + 1 4 .5 ( 3 .8 3 6 ) 7 3 - 6 9 ( 3 .8 3 6 ) 2 + 3 3 4 .8 3 3 ( 3 .8 3 6 ) - 5 0 7 .2 5
y EE I = + 1 6 .6 2 K p ie 3 P u n t o F. E n x = 8 . 3 6 6 p i e s e n e l s e g m e n t o B C : y BCE I = - x 7 1 2 + 1 4 . 5 x 7 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x -
5 0 7 .2 5
y FE t = - ( 8 . 3 6 6 ) 7 1 2 + 1 4 .5 ( 8 .3 6 6 ) 7 3 - 6 9 ( 8 .3 6 6 ) 2 + 3 3 4 .8 3 3 ( 8 .3 6 6 ) - 5 0 7 .2 5
y FE I = + 1 1 3 .5 K p i e 3
C a p ítu lo 12 ■
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6E1, K p ie '
F IG U R A 1 2 -1 5 G ráfica que m uestra los p u n to s d e p en d ien te cero.
El v a l o r m á x im o o c u r r e e n e l p u n t o A , d e m o d o q u e e s e l p u n t o c r ític o . S e d e b e s e l e c c i o n a r u n a v ig a q u e lim ite la d e f l e x i ó n e n A a 0 . 0 5 p lq o m enos.
yA E I = - 3 0 7 K p i e 3 S e a y A = - 0 . 0 5 p lg . E n t o n c e s e l I r e q u e r id o e s :
I
0 8 K p ie .3.... ..... E yA
^
1 0 0 0 Ib x
(1 2 p lg ) 3
K
( - 3 0 7 ) (1 0 0 0 ) (1 7 2 8 ) Ib p lg 3 (3 0 x
1 0 6 Ib /p lg )(—0 .0 5 p lg )
p¡e
= 3 5 4 p lg 4
C o n s u l t e la t a b l a d e v i g a s d e p a t í n a n c h o y s e l e c c i o n e u n a v ig a a d e cuada. L a v ig a W 1 8 x 4 0 e s la m e jo r o p c ió n d e l a p é n d i c e A - 7 p u e s t o q u e e s la v ig a m á s lig e r a c u y o v a lo r d e / e s s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e . P a r a e s t a v ig a / = 6 1 2 p lg 4, y e l m ó d u lo d e s e c c i ó n e s S = 6 8 .4 p lg 3. A h o r a c a lc u le el e s f u e r z o f le x io n a n te m á x im o e n la v ig a . E n la fig u ra 1 2 - 1 5 s e v e q u e e l m o m e n t o f le x io n a n te m á x im o e s d e 6 0 K p ie . L uego:
M S
60 K p ie 1 00 0 Ib 12 plq --------------- x ------------ x — = K pie 6 8 .4 p lg
_ . 10 5 2 6 p si
C o m o e l e s f u e r z o p e r m is ib le p a r a a c e r o e s t r u c t u r a l s o m e ti d o a u n a c a r g a e s t á t i c a e s c a s i d e 2 2 0 0 0 p s i, la v ig a s e l e c c i o n a d a e s s e g u r a .
S e c ció n 1 2 - 7 ■
D e fle x ió n d e v ig a s - m é to d o d e in te g ra ció n s u c e s iv a -e n fo q u e g e n e ra l
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1 2 -8
D E F L E X IÓ N D E V IG A S - M É T O D O D E L Á R E A D E M O M E N T O
El procedim iento semigráfico para determ inar deflexiones de vigas, llam ado método del área de momento , es útil en problem as que incluyen patrones de carga com plejos o cuan do la viga tiene una sección transversal variable a lo largo de ella. Tales casos son difíciles de m anejar con los otros métodos presentados en este capítulo. Las flechas de transm isiones m ecánicas son ejem plos donde la sección transversal varía a lo largo del miembro. La figura 12-16 m uestra una flecha diseñada para portar dos engranes donde los cambios de diám etro fonnan hom bros en los cuales se recargan los engranes y cojinetes para su ubicación axial. N ótese, adem ás, que el m om ento flexionan te dism inuye hacia los extremos de la flecha, lo que perm ite que las secciones de m enor tam año sean seguras con respecto a esfuerzo flexionante. En aplicaciones estructurales de vigas, las secciones transversales variables a me nudo se usan para abaratar los miembros. Las secciones grandes con m om entos de inercia elevados se utilizan donde el m om ento flexionante es elevado m ientras que las secciones de m enor tam año se usan donde el mom ento flexionante es bajo. La figura 12-17 muestra un ejemplo. El m étodo del área de m om ento utiliza la cantidad M/EI, el m om ento flexionante divido entre la rigidez de la viga, para determ inar la deflexión de la viga en puntos selec cionados. Entonces, es conveniente preparar tal diagram a com o parte del procedim iento
PI
P2
]_______ _ _ _ _ _ _ _
i V iga Ic ó n dos cu b replacas
F IG U R A 1 2 -1 6
F lecha de sección transversal variable.
F IG U R A 1 2 -1 7
¡ V iga Ic ó n una cu breplaca
V ig a l sola
V ig a en v o ladizo con secciones transversales variables.
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Pero obsérvese que dy/dx se define com o la pendiente de la curva de la deflexión, 0 ; es decir, dy/dx = 6. Por tanto:
tfy
de
dx1
dx
Luego la ecuación (1 2 -1 0 ) se puede reescribir:
M_d6 El ~ dx R esolviéndola para ddáa:
de = ^ dx El
(12-15)
En la figura 12-19 se puede ver la interpretación de la ecuación (1 2 -1 5 ) donde el lado derecho ( M/EI)dx , es el área bajo el diagram a M /EIn lo largo de la pequeña longitud dx. Por tanto, d 0 e s el cam bio del ángulo de la pendiente a lo largo de la m ism a distancia dx. Si se trazan líneas tangentes a la curva de la deflexión de la viga en los dos pim tos que m arcan el principio y el final del segm ento dx, el ángulo entre ellos es dO.
p
F IG U R A 1 2 -1 9
,
Pi
P rin cip io s del m éto d o d el área d e m o m en to para d eterm in ar la d eflex ió n d e vigas.
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Las ecuaciones (1 2 -1 7 ) y (1 2 -1 8 ) constituyen el fundam ento de los dos teoremas del método del área de momento para determinar deflexiones de vigas. Ellos son: T e o re m a 1
El cam bio del ángulo, en radianes, entre tangentes trazadas en dos p u n to s/í y
B en la curva de deflexión de una viga, es igual al área bajo el diagram a M /EI entre A y B.
T e o re m a 2
La desviación vertical del punto/) en la curva de deflexión de una viga a partir de la tangente que pasa por otro punto B de la curva es igual al m om ento del área bajo la curva A //£ /c o n respecto al punto A.
1 2 -9
A P L IC A C IO N E S D E L M É T O D O D E L Á R E A D E M O M E N T O
En esta sección se dan varios ejem plos del uso del m étodo del área de m om ento para determ inar la deflexión de vigas. Se desarrollan procedim ientos para cada clase de viga según el tipo de carga y apoyos. Las que se consideran son: 1. Vigas en voladizo con una am plia variedad de cargas 2. Vigas sim plem ente apoyadas sim étricam ente cargadas 3. V igas con sección transversal variable 4. Vigas sim plem ente apoyadas asim étricam ente cargadas La definición de una viga en voladizo incluye el requisito de que esté firm em ente sujeta a una estructura de apoyo de tal m odo que la viga no pueda girar en el apoyo. Por consiguiente, la tangente a la curva de deflexión en el apoyo siem pre está alineada con la posición original del eje neutro de la viga en su estado descargado. Si la viga es horizontal, com o casi siem pre se ilustra, la tangente tam bién es horizontal. El procedim iento para determ inar la deflexión de cualquier punto de una viga en voladizo, descrito a continuación, utiliza los dos teorem as desarrollados en la sección 12-8 ju n to con la observación de que la tangente a la curva de deflexión en el apoyo es horizontal.
V ig a s e n v o la d iz o .
P ro c e d im ie n to p a r a d e te rm in a rla d e f le x ió n d e u n a v ig a e n v o la d iz o -m é to d o d el á r e a d e m o m e n to
1. Dibuje los diagram as de carga, fuerza cortante y m om ento flexionante. 2. Divida los valores del m om ento flexionante entre la rigidez de la viga, El, y dibuje el diagram a M/El. La unidad de la cantidad M /E l es (longitud)”'; p o r ejem plo, m-1, pie-1 o p lg -1. 3. Calcule el área del diagram a M /EI y localice su centroide. Si la fo n n a del diagram a no es sim ple, divídalo en partes y determ ine el á re ay el centroide de cada una por separado. Si se desea la deflexión en el extrem o de la viga en voladizo, se usa toda el área del diagram a M/EI. Si se desea la deflexión de otro punto, se usa sólo el área entre el apoyo y el punto de interés.
460
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E n la fig u ra 1 2 - 2 2 s e d ib u ja e l d i a g r a m a M /E I. O b s e r v e q u e lo s ú n ic o s c a m b i o s e n e l d i a g r a m a d e l m o m e n t o f le x io n a n te s o n l a s u n i d a d e s y los v a l o r e s p o r q u e la rig id e z d e la v ig a e s c o n s t a n t e a lo la r g o d e s u lo n g itu d .
P a s o 3.
El á r e a d e s e a d a e s la d e la fig u ra t r ia n g u la r d e l d ia g r a m a M /E t, lla m a d a A ba p a r a in d ic a r q u e s e u s a p a r a c a lc u la r la d e f le x ió n d e l p u n to S r e s p e c t o a A .
A ba = (0 .5 )(2 4 .1 5 x 1CT3 m “') ( 1 .2 0 m ) = 14 .5 x 10 3 rad El c e n t r o i d e d e e s t e á r e a q u e d a a d o s t e r c i o s d e la d is ta n c ia d e 6 a A , 0 .8 0 m .
P a s o 4.
P a r a p o n e r e n p r á c t i c a e l t e o r e m a 2 , s e ti e n e q u e c a lc u la r el m o m e n to d e l á r e a d e t e r m i n a d a e n e l p a s o 3 . E s t e e s ig u a l a tBA, la d e s v ia c ió n v e r tic a l d e l p u n to S a p a r tir d e la ta n g e n te t r a z a d a a la c u r v a d e d e f le x ió n e n e l p u n t o A.
¡ ba = A ba x x = (14.5 x 1 0 “3 ra d ) (0 .8 0 m)
íba = ya=
11.6 x 1 0 " 3 m
= 11.6 m m
D e b id o a q u e la t a n g e n t e al p u n t o A e s h o r iz o n ta l, tBA e s ig u a l a la d e f le x ió n d e la v ig a e n s u e x tr e m o , p u n t o S . C o m e n ta rio
E s t e r e s u l t a d o e s id é n tic o a l q u e s e e n c o n t r a r í a c o n la f ó rm u la d e l c a s o a e n e l a p é n d i c e A - 2 3 . El v a lo r d e l m é t o d o d e l á r e a d e m o m e n to e s m u c h o m á s e v i d e n t e c u a n d o in te r v ie n e n v a r i a s c a r g a s o c u a n d o la viga e n v o la d iz o ti e n e u n a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l v a r i a b l e a lo l a r g o d e to d a su e x te n s i ó n . C a p ítu lo 12 ■
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d o n d e l a s á r e a s y l a s d i s t a n c i a s x s e m u e s t r a n e n la fig u ra 1 2 - 2 3 . O b s e r v e q u e l a s d i s t a n c i a s s e m id e n del punto C a l centroide del área componente. A s í p u e s :
A cá1 X X, = (0 .0 0 4 0 2 5 m ') (1.0 m ) (0 .5 0 m ) = 2.01 x 10 3 m A c k x x 2 = (0.5) ( 0 .0 2 0 1 2 5 m 1)(1 .0 m ) (0 .6 6 7 m ) = 6.71 x 10 3 m í Ca = Ye = (2.01 + 6.71) (10 3) m = 8 .7 2 m m
C o m o c o n a n t e r i o r i d a d , c o m o la t a n g e n t e a l p u n t o A e s h o riz o n ta l, la d e s v i a c i ó n v e r tic a l, p u n to C.
tCA, e s
la d e f le x ió n r e a l del
Esta clase de pro blemas tiene la ventaja de que se sabe que la deflexión m áxim a ocurre a la m itad del claro de la viga. En la figura 12-24 se m uestra un ejem plo, donde la viga soporta dos cargas idénticas colocadas a la m ism a distancia de los apoyos. N aturalm ente, cualquier carga para la cual se pueda predecir el punto de deflexión m áxim a se puede resolver con el procedim iento descrito a continuación.
V ig a s s im p le m e n t e a p o y a d a s y s im é t r i c a m e n t e c a r g a d a s .
P ro c e d im ie n to p a r a d e te rm in a rla d e fle x ió n d e u n a v ig a s im p le m e n te apoyada y s im é tric a m e n te c a rg a d a -m é to d o d e l á r e a d e m o m e n to
1. D ibuje los diagram as de carga, fuerza cortante y m om ento flexionante. 2. Divida los valores del m om ento flexionante entre la rigidez de la viga, El, y dibuje el diagram a M/EI. 3. Si se desea la deflexión m áxim a a la m itad del claro, u se la parte del d iag ram a M /E I en tre el ce n tro y u n o de lo s ap o y o s; es d ec ir, la m itad del d iag ram a. 4. U se el teorem a 2 para calcular la desviación vertical del punto en uno de los apoyos de la tangente al eje neutro de la viga a la m itad de ésta. Debido a que la tangente es horizontal y a que la deflexión en el apoyo de hecho es cero, la desviación encontrada es la deflexión real de la viga a la m itad de ésta. 5. Para determ inar la deflexión en otro punto de la m ism a viga, use el área del diagram a M /EI entre el centro y el punto de interés. U se el teorem a 2 para calcular la desviación vertical del punto de interés respecto al punto de deflexión m áxim a a la m itad de la viga. En seguida, reste esta desviación de la deflexión m áxim a determ inada en el paso 4.
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F IG U R A 1 2 -2 4 y 1 2 -8 .
A n á lis is
D ia g ra m a s d e carg a, fiierza co rta n te y m o m e n to flex io n an te de los e je m p lo s 1 2 -7
U s e e l p roced im ien to p a ra d e te rm in a rla d eflexió n d e u n a viga sim p le
m e n te ap o ya d a sim étricam ente c a rg a d a -m é to d o d e l á re a d e m o m ento , p a s o s 1 - 4 . C o m o e l p a tr ó n d e c a r g a e s s im é tr ic o , la d e f le x ió n m á x im a o c u r r ir á a la m ita d d e la v ig a .
R e s u lta d o s
P a s o 1.
P a s o 2.
L o s d i a g r a m a s d e c a r g a , f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n t o fle x io n a n t e s e m u e s t r a n e n la f ig u r a 1 2 - 2 4 , p r e p a r a d o s d e la m a n e r a tr a d ic io n a l. El m o m e n t o f l e x i o n a n t e m á x i m o e s d e 7 2 0 0 Ib p lg e n tr e B y C. L a r ig id e z d e la v ig a , £ / , s e d e t e r m i n a c o n d a t o s d e lo s a p é n d i c e s . S e g ú n e l a p é n d i c e A - 1 7 , E p a r a e l a lu m in io 6 0 6 1 - T 6 e s d e 1 0 x 10 6 lb /p lg 2. S e g ú n e l a p é n d i c e A - 1 0 , el m o m e n t o d e in e r c ia d e la c a n a l , c o n r e s p e c t o a l e j e Y - Y , e s d e 1 .5 3 p lg 4. E n to n c e s :
E l = (1 0 x
10 6
lb /p lg 2)( 1 .5 3 p lg 4) = 1 .5 3 x 10 7 Ib p lg 2
C o m o la r ig id e z d e la v ig a e s u n if o r m e a lo l a r g o d e t o d a s u lo n g itu d , la f o r m a d e l d i a g r a m a ig u a l a la d e l d i a g r a
M/Eles
m a d e m o m e n t o f l e x io n a n te , a u n q u e lo s v a l o r e s s o n d if e r e n t e s , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 1 2 - 2 5 . E l v a lo r m á x im o d e M ' © e s d e 4 . 7 1 x l O ^ p l g -1 .
P a s o 3.
P a r a d e t e r m i n a r la d e f le x ió n a la m ita d d e la v ig a , s e u s a u n a d e l a s m i t a d e s d e l d i a g r a m a M /E I. P o r c o n v e n i e n c i a , é s t e s e d e s c o m p o n e e n u n r e c t á n g u l o y u n t r iá n g u lo c o n e l c e n tro id e d e c a d a u n o m o s tra d o .
P a s o 4.
S e ti e n e q u e d e t e r m i n a r tAE, la d e s v i a c i ó n v e r tic a l d e l p u n to A r e s p e c t o a la t a n g e n t e a la c u r v a d e d e f le x ió n t r a z a d a e n e l p u n t o E, e l c e n t r o d e la v ig a . P o r e l t e o r e m a 2 : tA E =
A
a
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EI X Xytt +
A
a e í
X
Xaz
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R e s u lta d o s
S e p u e d e u s a r e l m é t o d o d e l á r e a d e m o m e n t o p a r a d e t e r m i n a r la d e s v ia c ió n v e r tic a l, d e l p u n to B a p a r tir d e la t a n g e n t e a l p u n to £ a la m ita d d e la v ig a . L u e g o , r e s t á n d o l a d e l v a l o r d e ^ c a l c u l a d o e n e l e j e m p lo 1 2 - 7 d a la d e f le x ió n v e r d a d e r a d e l p u n t o B. E n la fig u ra 1 2 - 2 6 s e m u e s tr a n lo s d a t o s n e c e s a r i o s p a r a c a l c u l a r tBE.
tbe =
x x
81=
( 4 . 7 1 x 1 0 ^ p l g '1) ( 1 2 p lg )(6 p lg ) = 0 .0 3 4 plg
4.71 x 10"4 p lg " 1
^ BE\
T an g en te e n £ lBE
F IG U R A 1 2 -2 6
D iag ram a M / E I y cu rv a d e d eflex ió n d el ejem p lo 12-8,
O b s e r v e q u e la d i s t a n c ia x s1s e d e b e m e d i r á p a r t i r d e l p u n t o B. P o r t a n t o , la d e f le x ió n d e l p u n to B e s : y s = (a e ~ (b e = 0 - 2 6 0 - 0 .0 3 4 = 0 .2 2 6 p lg
Uno de los usos principales del método del área de m om ento es para calcular la deflexión de una viga de sección transversal variable a lo largo de su longitud. Se requiere sólo un paso adicional en com paración con las vigas de sección transversal uniform e, com o las consideradas hasta ahora. En la figura 12-27 se m uestra un ejem plo de una viga de ese tipo. N ótese que es una m odificación de la viga usada en los ejem plos 12—7 y 12-8 m ostrada en la figura 12-24. En este caso se agregó una placa rectangular, de 0.25 plg p o r 6.0 plg, a lap arte inferior del canal original a lo largo de 48 plg interm edias de la longitud de la viga. El perfil tubular increm enta la rigidez de m anera significativa, por lo que se reduce la deflexión de la viga. El esfuerzo en la viga tam bién se reduciría. El cam bio del procedim iento para analizar la deflexión de la viga radica en la pre paración del diagram a M/EI. La figura 12-28 m uestra los diagram as de carga, fuerza cortante y m om ento flexionante com o antes. En la prim era y las últim as 12 plg del diagra-
V ig a s c o n s e c c ió n t r a n s v e r s a l v a r ia b le .
S e c c ió n 1 2 - 9 ■
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E n e l p u n to S , d o n d e M = 7 2 0 0 I b p l g y E / = 4 . 6 5 x 10 7lb -p lg 2:
M
7 2 0 0 Ib plg
El
4 .6 5 x 1 0 7 Ib p lg 2
= 1.55 x 10 -4 plg-1
E s t o s v a l o r e s e s t a b l e c e n lo s p u n t o s c r ític o s e n e l d i a g r a m a
M/EI. P a s o 3.
El á r e a d e m o m e n t o d e la m ita d iz q u ie r d a d e l d i a g r a m a u s a r á p a r a d e t e r m i n a r e l v a lo r d e tAB c o m o e n e l e je m p lo 1 2 - 7 . P o r c o n v e n i e n c i a , e l á r e a to ta l s e d iv id e e n c u a t r o p a r t e s , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 2 6 , c o n l a s u b i c a c i o n e s d e lo s c e n t r o i d e s i n d i c a d a s c o n r e s p e c t o a l p u n to A . L a s d i s t a n c i a s s o n :
M/EI s e
x , = ( 2)
( 12 p lg )
=
8 p lg
*2 =
( j)
( 12 p lg )
+
12
p lg = 1 8 p lg
x 3 = ( i)
(12 p lg )
+
12
p lg =
20 p lg
x 4 = ( i) (1 2 p lg ) + 2 4 p lg = 3 0 p lg A p lic a c io n e s de l m é to d o d e l á re a d e m o m e n to
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P a s o 4.
A h o r a s e p u e d e u s a r e l t e o r e m a 2 p a r a c a l c u l a r e l v a lo r d e
tA£l la d e s v i a c i ó n d e l p u n to A a p a r ti.-d e la t a n g e n t e a l p u n to £ , c a lc u l a n d o e l m o m e n to d e c a d a u n a d e la s c u a t r o á r e a s m o s t r a d a s s o m b r e a d a s e n e l d i a g r a m a M /E I d e la fig u ra 1 2 -2 8 .
tAE= y E = Z C o m e n ta r io
(Ax¡) -
9309 x
10 '2p lg
= 0 . 0 9 3 p lg
C o m o a n t e s , e s t e v a lo r e s ig u a l a la d e f le x ió n d e l p u n to E a la m ita d d e la v i g a . C o m p a r á n d o l a c o n la d e f l e x i ó n d e 0 . 2 6 0 p lg d e t e r m i n a d a e n el e j e m p l o 12 - 8 , la a d ic ió n d e la c u b r e p l a c a r e d u jo la d e f le x ió n m á x im a e n casi 64% .
La diferencia princi pal entre este tipo de viga y las antes consideradas es que el punto de deflexión máxima no se conoce. Se debe tener un especial cuidado al describir la geometría del diagrama M /EIy de la curva de deflexión de la viga. El procedim iento general para determ inar la deflexión en cualquier punto de la curva de deflexión en el caso de una viga sim plem ente apoyada asim étricam ente cargada se describe a continuación. D ebido a los innum erables patrones de carga diferentes, la m anera específica de aplicar este procedim iento se tiene que ajustar a cualquier proble ma dado. Se recom ienda verificar los principios fundam entales del m étodo del área de m om ento al term inar de resolver un problem a. El m étodo se ilustrará con un ejemplo. V ig a s s im p le m e n te a p o y a d a s a s im é tr ic a m e n te c a r g a d a s .
P r o c e d im ie n to p a ra d e t e r m in a r la d e fle x ió n d e u n a v ig a s im p le m e n te apoyada a s im é tr ic a m e n te c a rg a d a -m é to d o d e l á r e a d e m o m e n to
1. D ibuje los diagram as de carga, fuerza cortante y m om ento flexionante. 2. C onstniya el diagram a M/EI y divida el m om ento flexionante en cualquier punto entre el valor de la rigidez de la viga, El, en dicho punto. 3. Bosqueje la forma probable de la curva de deflexión. En seguida trace la tangente a la curva de deflexión en uno de los apoyos. Con el teorem a 2, calcule la desviación vertical del otro apoyo con respecto a la línea tangen te. Se requiere el mom ento del diagram a M /EI com pleto con respecto al segundo apoyo.
4. Utilizando proporciones, calcule la distancia del eje cero a la línea tangen te del paso 3 en el punto donde se desea detenninar la deflexión. 5. Con el teorema 2, calcule la desviación vertical del punto de interés con respecto a la línea tangente del paso 3. Se usará el m om ento de la parte del diagram a M/EI entre el prim er apoyo y el punto de interés. 6. Reste la desviación calculada en el paso 5 de la determ inada en el paso 4. El resultado es la deflexión de la viga en el punto deseado.
470
C a p ítu lo 12 ■
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S e u tiliz a rá E = 2 0 7 G P a p a r a a c e r o . E n e l a p é n d i c e s e e n c u e n t r a / = 2 .5 2 p lg 4, y é s t e s e d e b e c o n v e r t i r e n u n i d a d e s m é t r ic a s .
/ = W
= 1 049 x 1 0 , m<
5^ 1.0
pig
P o r ta n t o , la r ig id e z d e la v ig a e s :
E l = ( 2 0 7 X 10 9 N /m 2) (1 .0 4 9 x 1 0 “ m 4) = 2 .1 7 x 10 5 N m A h o r a y a s e p u e d e c a l c u l a r e l v a lo r d e M /E I e n e l p u n t o
2
8 de
la v ig a .
2400 N m
M \
2 .1 7 X 10 5 N m 2
E l) a
= 0 .0 1 1 0 6 m
,
1
E n la f ig u ra 1 2 - 2 9 s e in c lu y e e l d i a g r a m a M /E I. S e d e s e a c a l c u l a r la d e f le x ió n d e la v ig a e n s u p u n t o m e d io , m a r c a d o c o m o p u n t o O. E n la fig u ra 1 2 - 2 9 la c u r v a d e d e f le x ió n d e la v ig a a p a r e c e e x a g e r a d a . E s p r o b a b l e q u e la d e f le x ió n m á x i m a o c u r r a m u y c e r c a d e l c e n t r o d e la v ig a d o n d e s e t i e n e q u e d e te r m i n a r la d e f le x ió n , p u n to D . L a f ig u r a 1 2 - 3 0 m u e s t r a la t a n g e n t e a la c u r v a d e d e f le x ió n e n e l p u n t o A e n e l e x tr e m o iz q u ie r d o y la d e s v i a c i ó n v e r tic a l d e l p u n t o C a p a r tir d e e s ta l ín e a . O b s e r v e q u e e l p u n t o C e s u n p u n t o c o n o c i d o d e la c u r v a d e d e f le x ió n p o r q u e la d e f le x ió n allí e s c e r o . A h o r a s e p u e d e u s a r e l t e o r e m a 2 p a r a c a l c u l a r t CA■ S e u s a e l d i a g r a m a M /E I c o m p le to , d e s c o m p u e s t o e n d o s tr iá n g u lo s .
te* — A CA: X C1
+
A.CA2*C2
A C/n * c i = (0 .5 )(0 .0 1 1 0 6 m " ’) (0 .8 m ) (0 .5 3 3 m ) = 0 .0 0 2 3 5 9 m A c /a X a = (0.5) (0 .0 1 1 0 6 m '') ( 1 . 2 m ) (1 .2 m ) = 0 .0 0 7 9 6 3 m
P o r ta n to :
tCA = 0 .0 0 2 3 5 9 + 0 .0 0 7 9 6 3 = 0 .0 1 0 3 2 2 m = 1 0 .3 2 2 m m U s e e l p r in c ip io d e l a s p r o p o r c i o n e s p a r a d e t e r m i n a r la d is t a n c i a D D " d e D a la lí n e a t a n g e n t e .
te*
_ PP"
CA ~
D P" =
Ic a
AD
AD 1.0 m „ _ x — = (1 0 .3 2 2 m m ) x = 5.161 m m
C a p ítu lo 1 2 ■
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M. ~EÍ
_u
>
D e f le x ió n ,
F IG U R A 1 2 -3 1
D ia g ra m a s d e á re a d e m o m e n to d e l e je m p lo 1 2 -1 0 .
V IG A S C O N C A R G A S D IS T R IB U ID A S -M E T O D O DEL Á REA DE M OM ENTO
El procedim iento general para determ inar la deflexión de vigas som etidas a cargas distri buidas es el m ism o que se dem ostró para vigas som etidas a cargas concentradas. Sin em bargo, la form a de las curvas del m om ento flexionante y dsM /E Ies diferente y requie re el uso de otras fórm ulas para calcular el á re a y la ubicación del centroide que se usan en el m étodo del área de m om ento. El ejem plo siguiente ilustra las diferencias que cabe esperar. C a p ítu lo 1 2 ■
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t a n g e n t e a la f o rm a d e f le x io n a d a d e la v ig a e n e l p u n to A , d o n d e la v ig a e s t á e m p o t r a d a . P o r ta n to , e n e l e x t r e m o d e r e c h o d e la v ig a , la d e s v i a c ió n d e la c u r v a d e d e fle x ió n d e la v ig a r e s p e c t o a la t a n g e n t e , tBA, e s ig u a l a la d e fle x ió n d e la v ig a . U tiliz a n d o e l t e o r e m a 2 , la d e s v ia c ió n tBA e s ig u a l a l p r o d u c to d e l á r e a d e la c u r v a M /E I e n t r e S y A p o r la d i s t a n c ia d e l p u n to S a l c e n tr o id e d e l á r e a . E s d e c ir: Iba =
A b a • Xg
R e c o r d a n d o q u e lo s d i a g r a m a s d e c a r g a , f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n to f le x io n a n te e s t á n r e l a c i o n a d o s e n t r e s í d e ta l m o d o q u e la c u r v a d e a rri b a s e a la d e r i v a d a d e la c u r v a d e a b a jo , s e p u e d e c o n c lu ir lo s ig u ie n te : 1 . L a c u r v a d e la f u e r z a c o r t a n t e e s u n a c u r v a d e p r im e r g r a d o (lín e a r e c ta d e p e n d i e n t e c o n s t a n t e ) . S u e c u a c ió n e s d e la fo rm a :
V = m -x + b e n d o n d e m e s la p e n d i e n t e d e la lín e a y b e s s u in te r c e p c ió n c o n el e je v e rtic a l. L a v a r ia b le x e s la p o s ic ió n e n la v ig a . 2 . L a c u r v a d e l m o m e n to f le x io n a n te e s u n a c u r v a d e s e g u n d o g r a d o , u n a p a r á b o l a . L a e c u a c ió n g e n e r a l d e la c u r v a e s d e la fo rm a :
M = a x
2+ b
El a p é n d i c e A - 1 m u e s tr a l a s r e l a c i o n e s p a r a c a l c u l a r e l á r e a y la u b ic a c ió n d e l c e n tr o id e d e á r e a s d e l i m i t a d a s p o r c u r v a s d e s e g u n d o g r a d o . P a r a u n á r e a c u y a f o rm a s e a la d e la s c u r v a s d e l m o m e n t o flexio n a n t e o M /E I : áre a =
L h
L
x = — 4
e n d o n d e L = lo n g itu d d e la b a s e d e l á r e a
h = a ltu r a d e l á r e a x = d i s t a n c ia d e u n la d o d e l á r e a a l c e n t r o i d e O b s e r v e q u e la d is ta n c ia c o r r e s p o n d i e n t e d e l v é r tic e d e la c u r v a a l c e n tr o id e e s :
A h o r a , c o n lo s d a t o s m o s t r a d o s e n la f ig u ra 1 2 - 3 3 : .
(1 8 p lg ) ( - 4 .6 8 x K T * p l g '1) = — = ------= 2 .8 0 8 x 1(T 3
L h
,
A ba 3 xs
=
3L
3
=
3 J1 8 Ü Ü
=
m
p |g
C a p ítu lo 12 ■
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1 2 - 3 .M
Para la flecha del problema 12-1, calcule la defle xión suponiendo que los extremos están fijos con tra rotación en vez de simplemente apoyados.
1 2 - 4 .M
Para la flecha del problema 12-1, calcule la defle xión suponiendo que la flecha es de 350 mm de largo y no de 700 mm.
1 2 - 5 .M
Para la flecha del problema 1 2 -1 , calcule la defle xión suponiendo que el diámetro es de 25 mm y no de 32 mm.
1 2 - 6 .M
Para la flecha del problema 12-1, calcule la defle xión suponiendo que la carga se coloca a 175 mm del extremo izquierdo y no en el centro. Calcule la deflexión tanto en el punto de aplicación de la car ga como en el centro de la flecha.
12-7.1
Una viga de acero de patín ancho, W 12 x 16, so porta la carga mostrada en la Figura P6-4. Calcule la deflexión en las cargas y en el centro de la viga.
1 2 -8 .1
Un tubo de acero estándar cédula 40 de 1 1/2 plg soporta una carga de 650 Ib en el centro de su claro de 28 plg, simplemente apoyado. Calcúlela defle xión del tubo en el punto de aplicación de la carga.
1 2 -9 .1
Una viga I estándar Aluminum Association, 18 x 6.181, soporta una carga uniformemente distribuidade 1125 lb/pieenunclarode lOpies. Calcu le la deflexión en el centro del claro.
1 2 -1 0 .1
Para la viga del problema 12-9, calcule la defle xión en un punto a 3.5 pies del extremo izquierdo de la viga.
12-11.1
Una viga de patín ancho de acero, W12 x 3 0 ,so porta la carga mostrada en la figura P6—12. Calcu le la deflexión en la carga.
12-12.1
1 2 -1 3 .1
Para la viga del problema 12-11, calcule la defle xión en la carga suponiendo que el apoyo izquier do se recorre 2.0 pies hacia la carga. Para la viga del problema 12-11, calcule la defle xión máxima hacia arriba y determine su ubica ció n .
1 2 -1 4 .1
Un tubo de acero cédula 40 de 1 plg se utiliza como viga en voladizo de 8 plg de longitud para soportar una carga de 120 Ib en su extremo. Calcu le la deflexión del tubo en el extremo.
12-15.M Se tiene que usar una barra de acero circular para soportar una carga concentrada única de 3.0 kN en el centro de un claro de 700 mm de longitud sobre apoyos simples. Determine el diámetro re querido de la barra si su deflexión no debe exceder de0.12mm. 1 2 - 1 6 .M
Para la barra diseñada en el problema 12-15, calcu le el esfuerzo en la barra y especifique un acero
adecuado que produzca un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última. 12-17.1
Una solera plana de acero de 0.100 plg de ancho y 1.200 plg de largo se sujeta por un extremo y se carga en el otro como viga en voladizo (como en el caso a del apéndice A-23). ¿Cuál debe ser el espe sor de la solera para que se deflexione 0.15 plg bajo una carga de 0.52 Ib?
1 2 -1 8 .1
Una vigueta de madera de un edificio comercial es de 14 pies 6 plg de longitud y soporta una carga uniformemente distribuida de 50 lb/pie. Es de 1.50 plg de ancho por 9.25 plg de altura. Supo niendo que es de pino del sur, calcule la deflexión máxima de la viga. Además, calcule el esfuerzo en la vigueta causado por flexión y cortante hori zontal, y compárelo con los esfuerzos permisibles para madera de pino del sur grado núm. 2.
S u p e rp o s ic ió n 1 2 - 1 9 .M
Una viga de aluminio extruido (6061-T6) soporta las cargas mostradas en la figura P6-6. Calcule la deflexión de la viga en cada una de las cargas. En la figura P 7 -1 1 se muestra el perfil de la viga.
12-20.M Las cargas mostradas en la figura P6-5 repre sentan las patas de un motor colocado sobre un bastidor. El bastidor tiene la sección transversal mostrada en la figura P7-12 cuyo momento de inercia es de 16 956 mm4. Calcule la deflexión en cada una de las cargas. El bastidor es de aleación de aluminio 2014-T4. 12-21 .C Calcule la deflexión máxima de una viga de acero W18 x 55 cuando se somete a la carga mostrada en la figura P6-7. 1 2 -2 2 .1
Un tubo de acero cédula 40 de 1 plg soporta las dos cargas mostradas en la figura P6-18. Calcule la deflexión del tubo en cada una de las cargas.
12-23.M Una viga en voladizo soporta dos cargas como se muestra en la figura P 6 -2 1. Si la viga es una barra de acero rectangular de 20 mm de ancho por 80 mm de altura, calcule la deflexión en su extremo. 1 2 - 2 4 .M
Para la viga del problema 12-23, calcule la defle xión suponiendo que la barra es de aluminio 2014-T4 y no de acero.
1 2 - 2 5 .M
Para la viga del problema 12-23, calcule la defle xión suponiendo que la barra es de magnesio, ASTM AZ 63 A-T6, y no de acero.
12-26.1 La carga mostrada en la figura P6—55 es soportada por una barra circular de acero de 0.800 plg de diámetro. Calcule la deflexión de su extremo de recho.
478
C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
12-31.C En la figura P 12-31 se muestra la carga. La viga es un tubo de acero cédula 40 de 2 1/2 plg. 12-32.1 En la figura P12-32 se muestra la carga. La viga es un perfil de patín ancho de acero W24 x 76.
12-35.C En la figura P 12-35 se muestra la carga. Seleccione una v*ga I de aluminio que limite el esfuerzo a
P ro b le m a s
479
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20 kN
30 kN
0.8 m
I 0.4
4.0 kN
1.0 kN
I
0.8 m
0.2 I 0.2 l /I
| B
0.4 m
0.8 m
D
C
|
E
T
R*
Rd
FIGURA P12-35
FIGURA P12-37
120 MPa; en seguida calcule la deflexión máxima en la viga. 12-36.C Una viga de acero de patín ancho W 14 x 26 sopor ta las cargas mostradas en la figura P12-36. Calcu le la deflexión máxima entre los apoyos y en cada extremo. 20 kN
30 kN
4m
W 14 x
I
v it
i* 26
4m
I
B
20 kN
4m
C
Rb
12-39.1
Para la viga mostrada en la figura P12-29, calcule la deflexión a la mitad, a 8.0 plg de uno u otro apoyo. La viga es una barra rectangular de acero de 1.0 plg de ancho por 2.0 plg de altura.
12-40.1
Para la viga mostrada en la figura P12-30, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un per fil de patín ancho de aceroW 18x 55.
12 r
12-41 .C Para la viga mostrada en la figura P 12-31, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un tubo de acero cédula 40 de 2 1II plg.
ID E
12-42.1
Rd
Para la viga mostrada en la figura P 12-32, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un per fil de patín ancho de acero W24 x 76.
12-43 .M Para la viga mostrada en la figura P 12-33, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es una barra circular de aluminio 6061-T6 de 100 mm de diámetro.
FIGURA P12-36
12-44.C Para la viga mostrada en la figura P 12-34, calcule la deflexión en el extremo derecho, punto C. La viga es un tubo cuadrado de acero estructural de 2 x 2 x 1/4.
12-37.M Lafigura 12-37 representa una flecha de acero de máquina. Las cargas se deben a los engranes mon tados en la flecha. Suponiendo que el diámetro de la flecha no cambia, determine el diámetro reque rido para limitar la deflexión en cualquiera de los engranes a 0.13 mm.
12-45.C Para la viga mostrada en la figura P12-35, calcule la deflexión en el punto C. La viga es una viga 1,17 X5.800, de aluminio 6061-T6. 12-46. C Para la viga mostrada en la figura P 12-36, calcule la deflexión en el punto A. La viga es un perfil de patín ancho de acero W 14 x 26.
M é to d o d e l á r e a d e m o m e n to
Utilice el método del área de momento para la solución de los problemas siguientes: 12-38.1
3.0 kN
12-47.1
Para la viga mostradaen lafigura P 12-29, calcule la deflexión en la carga. La viga es una barra rec tangular de acero de 1.0 plg de ancho por 2.0 plg de altura.
La figura P 12-47 muestra una flecha circular de acero escalonada que soporta una carga concen trada única en su centro. Calcule la deflexión bajo la carga.
6001b -4 .0 p lg -
-3 .0 p lg -
-4 .0 p lg -
-3 .0 p lg -
Los co jin etes fu n cio n an com o apoyos sim p les
B
C
D
— 1.40 p lg de diám .
Re
- 0.75 p lg d e d iá m .-a m b o s ex trem o s
480
FIGURA P12-47 C a p ítu lo 12 ■
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D e fle x ió n d e vigas
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|* ------------------
286
----------------- | - -----------------------------------------------
Tablón de madera de 4
x 12
286
----------------- ►
Tablón de madera de 4
x 12
Tablón de madera de 2 x 12 Dimensiones en mm Sección A-A F IG U R A P 1 2 -5 1
Sección B-B Tram polín del problem a 12-51.
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T A R E A S
DE
1. Escriba un programa para evaluar la deflexión de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concen trada entre los apoyos utilizando las fórmulas dadas en el caso b del apéndice A-22. El programa debe aceptar la introducción de datos como la carga, la longitud del ex tremo saliente, si lo hay, los valores de rigidez de la viga (£ e /), y el punto en donde se va a calcular la deflexión.
C O M P U T A C I Ó N
2. Repita la tarea 1 para cualquiera de los patrones de carga y apoyos mostrados en el apéndice A-22. 3. Escriba un programa como el de la tarea 1 para el caso b del apéndice A-22, pero haga que acepte dos o más car gas concentradas en cualquier punto de la viga y calcule la deflexión en puntos específicos con el principio de su perposición.
(b) Además de calcular la deflexión de la serie de pun tos, haga que el programa trace la curva de deflexión en un graficadoro impresora.
4. Combine dos o más programas que determinen la deflexión de vigas sometidas a un patrón de carga dado, de modo que se pueda usar el principio de superposición para calcular la deflexión en cualquier punto a causa de la carga combinada. Por ejemplo, combine los casos b y d del apéndice A-22 para manejar cualquier viga con una combinación de cargas concentradas y una carga uniformemente distribuida com pleta. O, añada el caso g para incluir una carga distribuida sobre sólo una parte de la longitud de la viga.
(c) Haga que el programa calcule la deflexión máxima en el punto donde ocurre.
5. Repita las tareas 1 a 4 para las vigas en voladizo del apén dice A-23.
A d icio n es (a) Diseñe el programa de modo que calcule la deflexión en una serie de puntos para trazar la curva de defle xión completa.
483
T a re a s d e c o m p u ta c ió n
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13 V ig a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s
13 -1
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
Las vigas consideradas en los capítulos anteriores fueron vigas con dos y sólo dos apoyos sim ples y en voladizo con un extrem o fijo y el otro libre. Se dem ostró que todas las fuerzas de reacción y los m om entos flexionantes desconocidos se podían determ inar con las ecuaciones clásicas de equilibrio.
r \
l.F = 0
en cualquier dirección
Z.M = 0
con respecto a cualquier punto
E c u a c io n e s d e e q u ilib rio
Estas vigas se llam an estáticamente determinadas. E ste capítulo se ocupa de vigas que no quedan com prendidas dentro de las catego rías antes m encionadas y por tanto se llaman estáticamente indeterminadas. Para anali zar tales vigas se requieren m étodos diferentes los cuales se dem ostrarán en este capítulo. A sim ism o, se com parará el com portam iento de vigas diseñadas para realizaruna función sim ilar pero provistas de sistem as de apoyo diferentes, de las cuales unas son estática m ente determ inadas y otras estáticam ente indeterm inadas. 484
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D e s p u é s d e t e r m in a r e l e s t u d io d e e s t e c a p í t u l o , e l le c t o r s e r á c a p a z d e :
1. D efinir los conceptos de estáticamente determinada y estáticamente indetermi
nada. 2. Reconocer las vigas estáticam ente indeterm inadas a partir de las descripciones de las condiciones de carga y apoyo. 3. D efinir las vigas continuas. 4. D efinir una viga en voladizo soportada. 5. D efinir una viga con un extremo fijo. 6. U sar las fónnulas establecidas para analizar ciertos tipos de vigas estáticam ente indeterm inadas. 7. U sar el principio de superposición para com binar casos sim ples para los que haya fónnulas disponibles para resolver casos de carga m ás com plejos. 8. U sar el teorema de los tres momentos para analizar vigas continuas con tres o más apoyos som etidas a cualquier com binación de cargas concentradas y distri buidas. 9. C om parar la resistencia y la rigidez relativas de vigas con diferentes sistem as de apoyo y patrones de carga.
1 3 -2
E J E M P L O S D E V IG A S E S T Á T IC A M E N T E IN D E T E R M IN A D A S
Las vigas con m ás de dos apoyos sim ples, las vigas en voladizo con un segundo apoyo o las vigas con dos extrem os fijos son ejem plos im portantes de vigas estáticam ente inde term inadas. La figura 13-1 m uestra el m étodo trad icio n al de rep rese n tar esto s tipos de vigas. Las form as representativas, si bien exageradas, de las curvas de deflexión de las vigas tam bién se m uestran. Son de n otarse las d iferen cias sig n ificativ as en tre éstas y las curvas de las vigas del capítulo anterior. L a figura 13—1(a) se llam a viga continua y el nom bre proviene del hecho de que la viga es continua sobre varios apoyos. Es im portante señalar que la form a de la curva de deflexión tam bién es continua a través de los apoyos. Este hecho es útil al analizar tales vigas. Las vigas continuas ocurren con frecuencia en estructuras de edificios y en puen tes de carreteras. M uchas casas cam pestres con sótanos contienen vigas de ese tipo dis puestas de un lado al otro de la casa para soportar las cargas producidas por las viguetas de piso y los m uros divisorios. Los puentes sobre autopistas para el tráfico local con frecuencia están apoyados en los extrem os a am bos lados de la autopista y tam bién a la m itad en el cam ellón central. Nótese que las vigas de puentes com o éstos por lo general son de una pieza o están conectadas para form ar una viga continua rígida. La viga con un extremo fijo m ostrada en la figura 13—1(b) se usa en estructuras de edificios y tam bién en estructuras de m áquinas por el elevado grado de rigidez provisto. La creación de la condición de extrem o fijo requiere que las conexiones en los extrem os im pidan la rotación de éstos así com o tam bién para que desem peñen la función de apoyo para las cargas verticales. La figura 13-2 m uestra una m anera de lograr la condición de apoyo fijo. Soldando una viga transversal en las colum nas de apoyo se obtendría el m is m o resultado. Se debe tener cuidado al evaluar vigas con extrem os fijos para garantizar que las conexiones im pidan la rotación de la viga en el apoyo y resistan los m om entos S e cció n 1 3 - 2 »
E je m p lo s d e v ig a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s
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485
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fuerza cortante y m om ento flexionante y la fórmulas necesarias para calcular los valores en puntos críticos. Las características generales de las vigas estáticam ente indeterm inadas son bastan te diferentes de las estáticam ente determ inadas estudiadas en los capítulos anteriores. Éstas se ven con toda claridad en la m anera de calcular las fuerzas y m om entos de reac ción en los apoyos, la distribución del m om ento flexionante con respecto a la posición en la viga, la m agnitud de la deflexión en varios puntos de la viga y la form a general de la curva de deflexión. Las fórmulas incluidas en el apéndice A -2 4 se derivaron utilizando los principios estudiados en los capítulos 6 ,7 y 12 de este librojunto con consideraciones especiales para adecuar la naturaleza estáticam ente indeterm inada de las condiciones de carga y apoyo. Se pueden usar las técnicas de superposición y el teorema de los tres momentos m ás adelante analizados en este capítulo para derivar estas fórmulas. Al revi sar las fórmulas que vienen en el apéndice A -2 4 , nótense las siguientes características generales. C a r a c te r ís tic a s g e n e r a le s d e la s v ig a s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s
Vigas en voladizo apoyadas (Casos a a d en el apéndice A -2 4 ) 1. El extremo fijo funciona com o un apoyo rígido que resiste cualquier ten dencia a girar de la viga. Por tanto en general se produce un m om ento flexionante significativo en ese lugar. 2. El segundo apoyo se considera com o apoyo sim ple. Si el apoyo sim ple se localiza en el extremo libre de la viga, com o en los casos a , b y c , el m o m ento flexionante allí es cero. 3. Si la viga en voladizo apoyada dispone de un extrem o saliente, com o en el caso d, el m áximo momento flexionante a m enudo ocurre en el apoyo simple. La forma de la curva del m om ento flexionante por lo general es opuesta a la de los casos sin extremo saliente. 4. Existe un punto de mom ento flexionante cero en una viga en voladizo entibada, por lo general cerca del extrem o fijo.
Vigas con extrem osfijos (Casos e , f y g del apéndice A -2 4 ) 1. Los m om entos flexionantes en los extrem os fijos no son cero y pueden ser los m áximos en la viga. 2. Cuando las cargas están dirigidas hacia abajo en una viga con los extrem os fijos, los mom entos flexionantes en los extrem os son negativos , lo que indica que la curva de deflexión cerca de ellos es cóncava hacia abajo. 3. Cuando las cargas están dirigidas hacia abajo, los m om entos flexionantes cerca del centro de las vigas con extrem os fijos son positivos, lo que indica que la curva de deflexión allí es cóncava hacia arriba. 4. Por lo general existen dos puntos de m om ento flexionante cero en las vigas con extrem os fijos. 5. La pendiente de la curva de deflexión de una viga con extrem os fijos es cero en éstos por la restricción creada allí contra rotación.
6. Los sujetadores utilizados para fijar los extrem os de una viga deben ser capaces de resistir los m om entos flexionantes y las fuerzas cortantes en estos puntos. Se debe consultar el capítulo 16 sobre C onexiones con respecto a las técnicas de diseño y análisis de conexiones a prueba de m om entos.
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Vigas continuas (Casos h, i y j del apéndice A -2 4 ) 1. Los puntos de m omento flexionante m áxim o positivo por lo general ocu rren cerca del centro de los claros entre los apoyos. 2. Los mom entos flexionantes máximos negativos por lo general ocurren en los apoyos interiores y con frecuencia son los m om entos flexionante m á ximos. 3. Sobre todo en el caso de vigas continuas, con frecuencia es económ ica m ente deseable diseñar la sección transversal y sus dim ensiones para re forzar las secciones sometidas a valores localm ente elevados de los m om entos flexionantes. Un ejemplo seria diseñar el perfil principal de la viga para que soporte el m om ento m áxim o positivo entre los apoyos y en seguida agregar placas de refuerzo a la caras superior e inferior de la viga cerca de los apoyos para increm entar el m om ento de inercia y el m ódulo de sección en las regiones de m om ento flexionante elevado. O tro enfoque sería increm entar el peralte de la viga cerca de los apoyos. L os pasos ele vados sobre carreteras y los puentes sobre ríos con frecuencia poseen estas características de diseño. 4. En los casos en que las vigas continuas que se tienen que fabricar con secciones que se sujetan entre sí en el sitio de la obra, conviene colocar las conexiones cerca de un punto de m om ento flexionante cero para sim plifi car su diseño.
C o m p a r a c ió n d e l tip o d e a p o y o d e u n a v ig a c o n e l u s o d e f ó r m u la s e s t á n d a r. La aplicación de las fórmulas de vigas estáticam ente indeterm inadas es sim ilar al proceso utilizado en el capítulo 12 para v i g a s estáticam ente determ inadas. En los ejem plos siguientes se dem uestra el uso de varias fórmulas contenidas en los apéndices A -2 2 , A -2 3 y A -2 4 y también se generan datos con los cuales se com para el desem peño de cuatro tipos diferentes de apoyos para alcanzar el mism o objetivo; es decir, soportar una carga dada a una distancia dada de uno o dos apoyos. La com paración se basa en la m agnitud del esfuerzo flexionante y la deflexión en las cuatro vigas del m ism o material, perfil y tamaño. La viga de m ejor desem peño, por tanto, es aquella con el m enor esfuerzo y m enor deflexión. Los parám etros de las com paraciones son los siguientes:
1. Los cuatro tipos de viga a ser com parados son: a. Viga en voladizo b. Viga sim plem ente apoyada c. Viga en voladizo apoyada d. Viga con am bos extremos fijos o em potrados 2. Cada viga debe soportar una carga concentrada estática única de 1200 Ib. 3. La carga se debe colocar a 30 plg de cualquiera de los apoyos. 4.
Las vigas serán de acero estructural A36 A STM cuyas propiedades son las si guientes: sy= 36 000 lb/plg2; E - 30 x 106 lb/plg2.
5. El esfuerzo flexionante m áxim o perm isible se basará en la norm a A1SC:
ad= 0.66sy= 0.66(36 000 lb/plg2) = 23 760 lb/plg2 Sección 1 3 - 3 »
F ó r m u la s
para vigas estáticamente indeterminadas
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m á x im a a L /3 6 0 . El c a n a l d e b e c o l o c a r s e c o n l a s p a t a s h a c i a a b a j o y la c a r a p la n a d e l a l m a h a c i a a r r ib a p a r a m o n ta r la c a r g a . P a r a e l p erfil d e v ig a s e l e c c i o n a d o c a lc u le e l m á x im o e s f u e r z o y d e f le x ió n e s p e r a d o s . S o lu c ió n
O b je tiv o
D i s e ñ a r la v ig a e n v o l a d i z o y c a l c u l a r e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n r e s u l ta n te .
D a to s
L a s d i m e n s i o n e s d e la v ig a y la c a r g a m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 3 - 4 . El p erfil d e b e s e r u n c a n a l d e a c e r o e s t á n d a r c o n l a s p a t a s h a c i a a b a j o . crtf= 2 3 7 6 0 lb /p lg 2;
A n á lis is
y máx= L /3 6 0
c o n L = Lc = 3 0 plg
L a fig u ra 1 3 - 4 c o n t i e n e lo s d i a g r a m a s d e c a r g a , f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n t o fle x io n a n te c o n lo s c u a l e s s e d e t e r m i n a q u e M máx= 3 6 0 0 0 Ib p lg . P o r ta n to :
a = £T
/ = 4 .4 7 p lg 4;
w = 2 5 Ib /p ie
D e fle x ió n : L a m á x im a d e f le x ió n p e r m is ib le e s : y máx= - L / 3 6 0 = - ( 3 0 p lg ) /3 6 0 = - 0 . 0 8 3 3 p lg S e g ú n e l a p é n d i c e A - 2 3 , la f ó rm u la p a r a la d e f le x ió n m á x im a e s : y máx= _ p l 3/ 3£ /
e n e l e x t r e m o lib re d e la v ig a e n v o la d iz o
P o r ta n to e l m o m e n t o d e in e r c ia r e q u e r id o e s : / = - P L 3/3 E ym i,
-(1200 lb)O0 Plg)3
I =
. 4.32p!g4
3 ( 3 0 x 1 0 ) ( - 0 .0 8 3 3 p lg ) El p erfil d e v ig a p r e v i a m e n t e s e l e c c i o n a d o e s s a tis f a c t o r i o c o n r e s p e c t o a d e f le x ió n . E s fu e rz o fle x io n a n te re a l:
a - M /S = (3 6 0 0 0 Ib p lg ) /( 1 .88 p lg 3) = 1 9 1 5 0 lb /p lg 2 D e fle x ió n re a l:
Yméx —
S e c c ió n 1 3 - 3 ■
-P L
3
3El
- ( 1 2 0 0 lb X 3 0 p lg )3------- --- _
0 0805
plg
3 ( 3 0 x 1 0 6 lb /p lg 2) (4 .4 7 p lg 4)
F ó r m u la s p a r a v ig a s e s tá tic a m e n t e in d e t e r m in a d a s
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S o lu c ió n
O b je t iv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n m á x im o s . C o m p a r a r c o n la v ig a e n v o la d iz o .
D a to s
L a s d i m e n s i o n e s d e la v ig a y la c a r g a m o s t r a d a s e n la fig u ra 1 3 - 6 . El p erfil e s u n a c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n l a s p a t a s h a c ia a b a jo . P r o p i e d a d e s : S = 1 .88 p lg 3; 1 = 4 .4 7 p lg 4
A n á lis is
C o n b a s e e n la fig u ra 1 3 - 6 s e e n c u e n t r a q u e M m ix= 1 3 5 0 0 Ib -plg. P o r ta n to , E s fu e rz o fíe x io n a n te re a l:
a = M /S = (1 3 5 0 0 Ib p lg ) /( 1 .88 p lg 3) = 7 1 8 0 lb /p lg 2 D e fle x ió n re a l: S e g ú n e l a p é n d i c e A - 2 4 ( a ) :
Ymdx
R e s u lta d o s
- P L 3 ________
-(1200 lb )(6 0 p lg )3 x 10® lb /p lg 2)(4 .4 7
1 0 7 5 / ~~ 1 0 7 ( 3 0
= - 0 .0 1 8 1 plg p lg 4)
C o m p a ra c ió n d e lo s re s u lta d o s co n lo s d e la v ig a e n vo la d izo . U tiliz a n d o e l s u b í n d i c e 1 p a r a la v ig a e n v o la d iz o y 3 p a r a la v ig a e n v o la d iz o a p o yada: o -j / ct , = ( 7 1 8 0 lb /p lg 2)/(1 9 1 5 0 lb /p lg 2) = 0 .3 7 5
y j/y , = ( - 0 .0 1 8 1 p lg )/(—0 .0 8 0 5 p lg ) = 0 .2 2 5 C o m e n ta rio
E s t o s r e s u l t a d o s s e c o m p a r a r á n c o n lo s o t r o s d i s e ñ o s d e l e je m p lo 1 3 - 5 .
E je m p lo
L a v ig a c o n a m b o s e x t r e m o s fijo s m o s t r a d a e n la fig u ra 1 3 - 7 s e t i e n e q u e h a c e r c o n un
1 3 -4
c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n la s p a t a s h a c i a a b a j o . C a lc u le e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n m á x im o s e s p e r a d o s y c o m p á r e l o s c o n lo s r e s u l t a d o s d e l e je m p lo 1 3 - 1 d e la v ig a e n v o la d iz o .
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C a lc u la r el e s f u e r z o y la d e f le x ió n m á x im o s . C o m p a r a r c o n lo s re s u lta d o s d e la v ig a e n v o la d iz o .
D a to s
L a s d i m e n s i o n e s d e la v ig a y la c a r g a m o s t r a d a s e n la fig u ra 1 3 - 7 . El p erfil e s u n c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n l a s p a t a s h a c i a ab a jo . P r o p i e d a d e s : S = 1 .8 8 p lg 3, / = 4 . 4 7 p lg 4
A n á lis is
C o n b a s e e n la f ig u ra 1 3 - 7 s e e n c u e n t r a q u e M mi% = 9 0 0 0 Ib-plg. P o r ta n to , E s fu e rz o fíe x io n a n te rea l:
a = M /S = ( 9 0 0 0 Ib p lg )/(1 .88 p lg 3) = 4 7 8 7 lb /p lg 2 D e fle x ió n re a l: S e g ú n e l a p é n d i c e A - 2 4 ( e ) , -P L 3 Xmáx
494
192E/
-(1200
lb )(6 0 p lg )3
= -
0.0101
plg
1 9 2 ( 3 0 x 10® lb /p lg 2)(4 .4 7 p lg 4)
C a p ítu lo 13 ■
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1 3 -4
M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N
Considérese en prim er lugar la viga en voladizo apoyada m ostrada en la figura 13-9. Debido a la restricción en A y al apoyo sim ple en B, las reacciones desconocidas incluyen: 1. La fuerza vertical RB 2. La fuerza vertical RÁ 3. El m om ento restrictivo MÁ Las condiciones supuestas para esta viga son que los apoyos en A y B son absoluta m ente rígidos y que están al m ism o nivel, y que la conexión en A im pide la rotación de la viga en dicho punto. Por otra parte, el apoyo en B perm ite rotación y no puede resistir m om entos. Si se quita el apoyo en B, la viga se deflexionaria hacia abajo, com o se m uestra en la figura 1 3 -1 0(a), una c a n tid a d ^ , debido a la carga P. A hora bien, si se quita la carga y la reacción RB se aplica hacia arriba en B, la viga se deflexionaria hacia arriba una cantidad y m, com o se m uestra en la figura 13—10(b). En realidad, am bas fuerzas están aplicadas, y la deflexión en B es cero. El principio de superposición perm ite concluir entonces que:
yn +>,í 2 = 0
(1 3 -1 )
E sta ecuación, ju n to con las ecuaciones norm ales de equilibrio, perm iten evaluar las tres incógnitas, com o se dem uestra en el ejem plo siguiente. Se debe reconocer que los princi-
( a)
B
F IG U R A 1 3 -9
V iga en v o lad izo apoyada.
S e c c ió n 1 3 - 4 ■
F IG U R A 1 3 -1 0
S u p erp o sició n ap licad a a la viga e n v o lad izo apoyada.
M é to d o d e s u p e rp o s ic ió n
497
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C o n e s to s v a lo r e s e n la e c u a c ió n ( 1 3 - 1 ) s e o b tie n e :
- 2 6 2 1 N -m 3 + f l s (1 .9 4 4 m 3) = Q
El
El
El té r m in o E l s e e lim in a , c o n lo q u e s e o b t i e n e la s o lu c ió n p a r a RB.
Rs =
2 6 2 1 N -m 3 1 .9 4 4 m 3
= 1348 N
L o s v a l o r e s d e RA y M A s e d e te r m i n a n a h o r a c o n l a s e c u a c i o n e s d e e q u ilib rio e s tá tic o . R e a c c ió n e n A , R A
2 F = 0 r a +
Rb — p =
(in t h e v e r tic a l d ire c tio n )
o
Ra = P - Rg = 2 6 0 0 N - 1 3 4 8 N = 1 2 5 2 N M o m e n to fíe x io n a n te e n A , M A S i s e s u m a n lo s m o m e n to s c o n r e s p e c t o a l p u n to A s e o b tie n e : 0 = Ma - 2 6 0 0 N (1.2 m) + 1 3 4 8 N (1.8 m)
M a = 6 9 3 N-m El s ig n o p o s itiv o d e l r e s u l t a d o in d ic a q u e e l s e n t id o s u p u e s t o d e l m o m e n to d e r e a c c ió n e n la fig u ra 1 3 - 9 e s e l c o r r e c to . S in e m b a r g o , é s t e e s u n m o m e n to n e g a tiv o p o r q u e h a c e q u e la v ig a s e d e f le x io n e c ó n c a v a h a c i a a b a j o c e r c a d e l a p o y o A.
D ia g ra m a s de fu e rz a co rta n te y m o m e n to fíe x io n a n te A h o r a y a s e p u e d e n d ib u ja r lo s d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n to fíe x io n a n te c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 3 - 1 1 , u tiliz a n d o la s t é c n i c a s tr a d ic io n a le s . El m o m e n to f íe x io n a n te m á x im o o c u r r e e n la c a r g a d o n d e M = 8 0 9 N -m . D is e ñ o de la viga A h o r a y a s e p u e d e d i s e ñ a r la v ig a . S u p ó n g a s e q u e la in s ta la c ió n re a l e s s im ila r a la ilu s tr a d a e n la fig u ra 1 3 - 1 2 , c o n e l e x t r e m o iz q u ie r d o d e la v ig a s o l d a d o y c o n e l e x t r e m o d e r e c h o a p o y a d o e n o tr a v ig a . U n a b a r r a r e c ta n g u l a r tr a b a j a r í a b ie n d i s p u e s t a d e e s t a m a n e r a y s e s u p o n d r á u n a re la c ió n d e h = 3 1. U n a c e r o a l c a r b ó n c o m o e l A IS 1 1 0 4 0 la m in a d o e n c a lie n te , p r o p o r c io n a u n a r e s i s t e n c i a ú ltim a d e 6 2 1 M P a . S u p o r c e n t a j e d e a l a r g a m ie n to , 2 5 % , s u g i e r e u n a b u e n a d u c tilid a d , la q u e a y u d a r á a r e s is tir la r e p e tic ió n d e l a s c a r g a s . El d i s e ñ o d e b e b a s a r s e e n e l e s f u e r z o f íe x io n a n te :
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F I G U R A 1 3 -1 1 e je m p lo 1 3 - 6 .
D iag ram as d e fu erza c o rta n te y m o m e n to fle x io n a n te d e la v ig a e n v o la d iz o a p o y ad a del
F I G U R A 1 3 -1 2
M o n taje físico d e u n a v ig a en v o la d iz o apoyada.
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retiran y que se reem plaza la reacción Rc, resultaría la deflexión hacia arriba y a . Se pueden usar las fórm ulas del caso a del apéndice A -22. D e nuevo en este caso, la deflexión real en C es cero debido al apoyo firm e. Por consiguiente:
> ci +
ycz
— 0
A partir de esta relación se puede calcular el valor de Rc. Las reacciones restantes RAy RE se determ inan de la m anera tradicional, lo que perm ite el trazo de los diagram as de fuerza cortante y m om ento fíexionante.
13- 5
V IG A S C O N T IN U A S - T E O R E M A D E L O S T R E S M O M E N T O S
Con el teorema de los tres momentos se puede analizar una viga apoyada por cualquier núm ero de apoyos. D e hecho el teorem a relaciona los m om entos flexionantes en tres apoyos sucesivos entre sí y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con únicam ente tres apoyos, el teorem a perm ite el cálculo directo del m om ento en el apoyo interm edio. Las condiciones conocidas en los extrem os proporcionan datos para calcular los m om entos en ellos. Luego se puede usar el principio de estática p ara determ inar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorem a se aplica en sucesión ajuegos de tres apoyos adyacentes (dos claros), para obtener un juego de ecuaciones que se pue den resolver sim ultáneam ente para los m om entos desconocidos. Se puede usar el teorem a de los tres m om entos para cualquier com binación de cargas. Se desarrollaron formas especiales del teorem a para cargas uniform em ente dis tribuidas y concentradas. En este capítulo se usarán estas formas. C a r g a s u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a s e n c la r o s a d y a c e n t e s . La figura 13-15 m uestra la disposición de las cargas y la definición de los térm inos aplicables a la ecua ción (13-2). E cu ac ió n d e lo s tres m o m e n to s -c a r g a s
(1 3 -2 )
d is trib u id a s
Los valores de w , y w2 se expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud tales com o N/m , lb/pie, etc. Los m om entos flexionantes en los ap o y o s ^ , B y C son MÁ, M„y
C arg as u n ifo rm em en te / d istrib u id as \
A
L,
B
C
F IG U R A 1 3 -1 5 C arg as u n ifo rm em en te d istrib u id as so b re una v ig a co n tin u a d e do s claros.
502
C a p ítu lo 13 ■
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indica en la figura 13-17. La ecuación general de una carga com o ésa es unacom binación de las ecuaciones (13-2) y (13—4), dada com o ecuación (13-6). E c u a c ió n de los
O
tres m o m e n to s -
M ÁL , + 2 M b (L \ +
L2) + MCL2 = - S
fo rm a g e ne ra l
P¡ai -r1
■,
. L'
w,L
i - a >)
.i
- 2
w2Z.2
P¡b¡ , , " - ^ ( L l - bf) (13-6)
El térm ino entre corchetes con el subíndice I se tiene que evaluar para cada carga concen trada en el claro 1 y luego sum arse los resultados. Asim ism o, el térm ino del subíndice 2 se aplica repetidam ente para todas las cargas que actúan el claro 2. N ótese que las distan cias a¡ se miden a partir de la reacción en A para cada carga que actúa en el claro 1, y las distancias b, se m iden a partir de la reacción en C p a ra cada carga que actúa en el claro 2. Los m om entos en los extrem os A y C pueden ser producidos por m om entos concentrados aplicados allí o por cargas aplicadas en extremos salientes más allá de los apoyos. Cual quiera de los térm inos de la ecuación (13-6) se puede ignoraren la solución de un proble ma si no existe una carga o m om ento apropiado en una sección particular para la que se va a escribir la ecuación. Se podrían incluir otras cargas concentradas adem ás de las m ostradas en la figura 13-17.
E je m p lo 1 3 -7
S e ti e n e q u e a n a l i z a r la c o m b in a c ió n d e c a r g a s d i s tr ib u id a s y c a r g a s c o n c e n t r a d a s m o st r a d a e n la f ig u ra 1 3 - 1 8 , p a r a d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s e n lo s t r e s a p o y o s y lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n to f le x io n a n te c o m p l e t o s . L a v ig a d e 1 7 m s e v a a u s a r c o m o v ig a d e p is o e n u n a n a v e in d u s tria l.
20 kN 12 kN
15 kN
18 kN 3 m
2m
I 2m
1
4 m
1 50 kN/m
3 0 k N /m -8 m -
F IG U R A 1 3 -1 8
S o lu c ió n
■7m
V iga del ejem p lo 13-7.
O b je tiv o
D e te r m in a r l a s r e a c c i o n e s e n lo s a p o y o s y d ib u ja r lo s d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n t o f le x io n a n te .
D ato s
L a s c a r g a s m o s t r a d a s e n la fig u ra 1 3 - 1 8 .
A n á lis is
C o m o e l p a t r ó n in c lu y e t a n t o c a r g a s c o n c e n t r a d a s c o m o c a r g a s unifor m e m e n t e d is tr ib u id a s , s e d e b e u s a r la e c u a c i ó n ( 1 3 - 6 ) . El s u b í n d i c e 1 s e re fie r e a l c la r o 1 e n t r e lo s a p o y o s A y 8 , y e l s u b í n d i c e 2 a l c la r o 2 e n tre lo s a p o y o s B y C . S e d e b e e v a l u a r la m a g n itu d r e a l d e M A y M c p a ra f a c ilita r la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 1 3 - 6 ) . C o m o e l p u n t o C e s t á e n el e x t r e m o d e u n a c la r o s i m p l e m e n t e a p o y a d o ,
504
4m
1 2m
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Mc =
0 . E n e l p u n to
A se
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E n c a d a c a s o , c u a n d o la v ig a s e d iv id e e n 8 , e l m o m e n t o M B s e m u e s tr a a c t u a n d o e n la s e c c i ó n c o r t a d a p a r a m a n t e n e r e l e q u ilib rio . L u e g o , utili z a n d o e l s e g m e n t o iz q u ie r d o , s e p u e d e n s u m a r lo s m o m e n t o s c o n r e s p e c t o a 8 y r e s o l v e r p a r a la r e a c c i ó n iz q u ie r d a , R A.
X M b = 0 — 12 kN (10 m) + 15 kN (6 m ) + 3 0 0 kN (5 m) - 281 kN -m -
R t (8 m)
R a = 183 kN A s im is m o , la u tiliz a c ió n d e l s e g m e n t o d e r e c h o y la s u m a d e lo s m o m e n t o s c o n r e s p e c t o a l p u n to 8 p e r m ite n c a l c u l a r la r e a c c i ó n d e r e c h a , R c -
2 M b = 0 = 2 0 kN (3 m) + 3 5 0 kN (3.5 m ) - 281 kN -m - R c (7 m)
R c = 14 3 kN
A h o r a s e p u e d e u s a r la I.F V= 0 p a r a c a lc u la r la r e a c c i ó n in te r m e d ia , R B.
X Fv = 0 = 12 kN + 15 kN + 18 kN + 2 0 kN + 3 0 0 kN + 3 5 0 kN - 183 kN - 1 4 3 kN - R s
R b = 3 8 9 kN D ia g ra m a s d e fue rza c o rta n te y m o m e n to fle x io n a n te . Y a s e tie n e n los d a t o s n e c e s a r i o s p a r a d ib u ja r lo s d i a g r a m a s c o m p l e t o s , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 3 - 2 0 . C o m e n ta rio
E n s u m a , la s re a c c io n e s so n :
R a = 18 3 kN R b = 3 8 9 kN R c = 1 4 3 kN L a f ig u ra 1 3 - 2 0 m u e s tr a q u e lo s m á x im o s m o m e n t o s f le x io n a n te s p o s i tiv o s lo c a l e s o c u r r e n e n t r e lo s a p o y o s , y q u e lo s m o m e n t o s m á x im o s f le x io n a n te s n e g a t i v o s l o c a l e s o c u r r e n e n lo s a p o y o s . El m á x im o m o m e n to f le x io n a n te p o s itiv o to ta l e s d e 2 0 4 k N -m e n u n p u n to a 2 .8 6 m d e C d o n d e la c u r v a d e f u e r z a c o r t a n t e c r u z a e l e j e c e r o . El m o m e n to fle x io n a n t e n e g a tiv o m á x im o r e a l e s d e - 2 8 1 k N -m e n e l a p o y o 8 . S i s e u s a u n a v ig a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l u n if o rm e s e t e n d r í a q u e d i s e ñ a r p a r a q u e s o p o r t e u n m o m e n to f le x io n a n te d e 2 8 1 k N -m . P e r o n ó t e s e q u e é s t e e s u n p ic o p e r f e c t a m e n t e lo c a liz a d o e n e l d i a g r a m a d e m o m e n to fle x io n a n t e . P u e d e r e s u l t a r e c o n ó m ic o d i s e ñ a r la v ig a p a r a q u e s o p o r t e el m o m e n to f le x io n a n te d e 2 0 4 k N -m y l u e g o a g r e g a r p l a c a s d e r e f u e r z o c e r c a d e l a p o y o 8 p a r a i n c r e m e n t a r e l m ó d u lo d e s e c c i ó n e n e s e lu g a r a u n n iv e l s e g u r o p a r a e l m o m e n to d e 2 8 1 k N -m . P r o b a b l e m e n t e u s t e d h a o b s e rv a d o m u c h o s p a s o s e le v a d o s d e c a r r e te ra s d is e ñ a d o s d e e s ta m an era.
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tipo de apoyos, longitud de claro, y patrón de carga parti culares de una viga. c. Complete el diseño de la viga especificando un material adecuado, y el perfil y el tamaño para la sección transver sal. La norma de diseño debe incluir laespecificación con respecto a que los esfuerzos flexionantes y los esfuerzos cortantes sean seguros para el material dado. A menos que se especifique de otra manera en la tarea, considere que to das las cargas son estáticas. d. Complete el diseño de la viga para limitar la deflexión máxima a un valor especificado en la tarea. Sin un valor especificado, use Z./360 como deflexión máxima permi sible donde L es el claro entre los apoyos o la longitud total de la viga. El diseño debe especificar un material adecuado, y el perfil y el tamaño de lasección transversal. Esta tarea se puede vincular con la parte b donde la defle xión se calculó en función de la rigidez de la viga, El. En seguida, por ejemplo, puede especificar el material y su valor de£, calcular la deflexión limitante, y resolver para el momento de inercia requerido, /. El perfil y el tamaño de la sección transversal se pueden determinar entonces. Tenga en cuenta que también se debe demostrar la segu ridad de cualquier diseño con respecto a esfuerzos flexio nantes y esfuerzos cortantes como en el inci so c.
Use la fórmula A-24(j) con w = 400 lb/pie, ¿ = 3.5 pies. 13-17.1 Use la fórmula A -2 4 0 con w= 501b/plg,Z. = 4.0 Plg13-18.M Use la figura P 13-1.
13-1.M Use la fórmula A-24(a) con P= 35 kN, £ = 4.0 m. 13-2.M Use la fórmula A-24(b) con P= 35 kN, L =4,0 ni, a = 1.50m.
1 3 -1 9 .M
13-3.M 13-4.1
13-16.1
50 kN/m | B
/\
*---- 1.6 m —
----- l . 6 m ~
Rg
R,
F IG U R A P 1 3 -1
20 kN/m
1.8 m ■
F IG U R A P 1 3 -2
Use la figura P 13-2. 12001b
Use la fórmula A-24(b) con P =25 kN, L = 4.0 m, a = 2.50m. Use la fórmula A-24(c) con w = 400 lb/pie, L 14.0 pies.
10 pies
1
8 pies
8
13-5.1
Use la fórmula A-24(c) con w = 50 Ib/plg, L = 16.0 plg.
13-6.1
Use la fórmula A -24(d) con P = 350 Ib, L = 10.8 plg, a = 2.50 plg.
13-7.M
Use la fórmula A-24(e) con P = 35 k N ,I = 4.0 m.
13-21.M Use la fórmula A -24(d) con P = 18 kN, L = 2.75 m ,a= 1.40 m.
Use la fórmula A-24(f) con P = 35 kN, L =4.0 m,
13-22.1
13-8.M
a= 1.50m. 13-9.M
Use la fórmula A -24(f)con/>= 35 kN, ¿ = 4.0m, a = 2.50m.
13-10.1
Use la fórmula A-24(g) con vv = 400 Ib/pie, L = 14.0 pies.
13-11.1
Use la fórmula A-24(g) con w = 50 Ib/plg, L = 16.0 plg.
13-12.1
Use la fórmula A-24(h) con vt>= 400 lb/pie, L = 7 pies.
F IG U R A P 1 3 -3
13-20.1
Use la figura P 13-3.
Use la fórmula A -24(f) con P = 8500 Ib, L = 109 plg, a = 75 plg. 13-23.1 Use la fórmula A-24(h) con w = 4200 lb/pie, L = 16.0 pies. 13-24.M Use la fórmula A-24(i) con vv = 50 kN/m, L = 3.60 pies. 13-25.1 Use la fórmula A -24(j) con w = 15 Ib/plg, L = 36 plg. 13-26.1
Use la fórmula A-24(e) con P = 140 Ib, £ = 54 plg.
13-27.M Use la fórmula A -24(b) con P = 250 N, L = 55 mm, a= 15mm.
13-13.1
Use la fórmula A-24(h) con P = 50 Ib/plg, L = 8.0 plg.
13-14.1
Use la fórmula A -24(i)con w = 400 lb/pie, L 56 plg.
13-28.M Compare los problemas 13-4,13-10,13-12,13 14 y 13-16 con respecto a los valores máximos de fuerza cortante, momento flexionante y deflexión.
13-15.1
Use la fórmula A-24(i) con m’ = 50 Ib/plg, L = 5.333 plg.
13-29.M Compare los problemas 13-5,13-11,13-13,13 15 y 13-17 con respecto a los valores máximos de
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TAREAS
D
1. Escriba un programa para calcular las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes críticos para cualquiera de los tipos de viga estáticamente indeterminada del apéndice A-24. A m p liacio n es d e la ta re a 1 (a) Use el modo gráfico para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos de las vigas. (b) Calcule el módulo de sección requerido de la sección transversal de la viga para limitar el esfuerzo causado por flexión a una cantidad especificada. (c) Incluya una tabla de propiedades de sección para vi gas de patín ancho de acero e indague los tamaños adecuados para soportar la carga. (d) Suponiendo que la sección transversal de la viga será una sección transversal circular sólida, calculeel diá metro requerido. (e) Suponiendo que la sección transversal de la viga será un rectángulo con una relación dada de altura a espe sor, calcule las dimensiones requeridas. (f) Suponiendo que la sección transversal de la viga será
512
COMPUTACIÓN un rectángulo con una altura o espesor dado, calcule la otra dimensión requerida. (g) Suponiendo que la viga tiene que ser de madera y de perfil rectangular, calcule el área requerida de la sec ción transversal de la viga para limitar el esfuerzo cortante a un valor especificado. Use la fórmula de cor tante especial para vigas rectangulares del capí tulo 9. (h) Añada el cálculo de la deflexión en puntos específi cos de la viga utilizando las fórmulas del apéndice A-24. 2. Combine dos o más fórmulas del apéndice A-22 en un programa con el objeto de usar el método de superposi ción para determinar las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en una viga estáticamente indeterminada utilizando el método descrito en la sec ción 13-4. 3. Escriba un programa para solucionar la ecuación (13-6), el teorema de los tres momentos aplicado a una viga con tinua de dos claros con combinaciones de cargas uniforme mente distribuidas y varias cargas concentradas. Observe que esta ecuación se reduce a la ecuación (13-2), (13-3), (13-4) o (13-5) cuando ciertos términos son cero.
C a p ítu lo 13 ■
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V ig a s e s tá tic a m e n te in de te rm in a d a s
14 C o lu m n a s
1
O B J E T IV O S
D E E S T E C A P ÍT U L O
U n a c o lu m n a es u n m ie m b r o r e la tiv a m e n te la r g o , c a rg a d o a c o m p re s ió n .
El análisis de colum nas es diferente de lo antes estudiado porque el m odo de falla es diferente. En el capítulo 3, cuando se analizó el esfuerzo de com presión, se supuso que el m iembro fallaba por cedencia del material cuando se aplicaba un esfuerzo m ayor que la resistencia a la cedencia del m aterial. E sto es cierto en el caso de m iem bros cortos. Una colum na alta esbelta falla por pandeo, nom bre com ún que recibe la inestabili dad elástica. En lugar de aplastar o d esm em brar el m aterial, la colum na se d eflexiona de m anera drástica a una cierta carga crítica y luego se desplom a repentinam ente. Se puede usar cualquier m iem bro delgado para ilustrar el fenóm eno de pandeo. Inténtelo con una regla de m adera o plástico, una barra o solera delgada de m etal, o un popote p ara beber. A l irse in crem en tan d o la fuerza de m anera g rad u al, aplicada directam ente hacia abajo, se alcanza la carga crítica cuando la colum na com ienza a flexionarse. N orm alm ente, se puede retirar la carga sin que provoque un daño perm anente puesto que no hay cedencia. A sí pues, una colum na falla por pandeo a un esfuerzo m enor que la resistencia a la ceden cia del m aterial en la colum na. El objetivo de los m étodos de análisis de colum nas es p redecir la carga o el nivel de esfuerzo al cual u n a colum na se volvería inestable y se pandearía. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. D efinir una columna. 2. D iferenciar entre una colum na y un m iem bro corto som etido a com presión. 3. D escribir el fenóm eno de pandeo, tam bién llam ado inestabilidad elástica.
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4.
D efinir r a d io d e g i r o de la sección tran sv ersal de u n a co lu m n a y ser capaz de calcu lar su m agnitud.
5.
E n ten d er que es de esp erarse que u n a colum na se p an d ee con respecto al eje para el cual el radio de g iro es m ínim o.
6. D efin ir el f a c t o r d e f ija c ió n d e lo s e x tre m o s , K.
7. E sp ecificar el v alo r apropiado del facto r d e fijació n d e los ex trem o s, K, según los tipos de apoyos d e los extrem os de u n a colum na. 8. D efin ir lo n g it u d e fe c tiv a , L €. 9. D efin ir ra z ó n d e e s b e lte z y calcu lar su valor.
10. D efin ir ra z ó n d e e s b e lte z d e t r a n s ic ió n , tam bién co n o cid a co m o c o n s ta n te de c o lu m n a , C c, y calcu lar su valor. 11. U sar los valores de la razó n d e esb eltez y de la co n stan te d e colum na para d eterm in ar cuándo u n a co lu m n a es la r g a o c o rta . 12.
U sar la f ó r m u l a d e E u le r para calcu lar la carga d e p an d eo crítica en columnas largas.
13. U sar la f ó r m u l a d e J. B. J o h n s o n p ara calcu lar la ca rg a crítica en columnas cortas. 14. A p licar un factor de d iseñ o a la carg a crítica de p an d eo para determ inar la c a r g a p e r m is ib le en una colum na. 15.
R eco n o cer los perfiles eficientes p ara seccio n es tran sv ersales de columna.
16. D ise ñ ar co lu m n as p ara q u e soporten con seg u rid ad carg as ax iales d e compren sión dadas. 17.
A p licar las esp ecificacio n es del A m erican Institute o f Steel Construction (A IS C ) al análisis de colum nas.
18. A p licar la esp ecificació n de la A lu m in u m A sso ciatio n al an álisis d e columnas.
RAZÓN
DE
ESBELTEZ
Hemos definido a la columna como un miembro esbelto relativamente largo cargadoa compresión. Esta descripción se plantea en términos relativos y no es muy útil parael análisis. La medida de laesbeltez de una columna hade tenerencuenta la longitud, el perfil de la sección transversal y las dimensiones de la columna, y la manera de sujetar los extremos de la columna en las estructuras que generan las cargas y las reacciones enla columna. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la razón de esbeltez, definida como: KL L, SR — ------ =— r r
(14-1)
endonde L = longitud real de lacolumnaentrelos puntosdeapoyoo de restricciónlateral K =fa c to r de fijación de los extremos Le = longitud efectiva, teniendoencuenta lamanerade fijarlos extremos (ob serve que L ,= KL) r
- ■
radio de giro mínimo d e
la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e la c o lu m n a C a p ítu lo 14 ■
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C olum nas
A c o n t i n u a c i ó n s e a n a l i z a c a d a u n o d e e s t o s t é r m in o s .
Longitud real, L. En una colum na sim ple con la carga aplicada en un extrem o y la reacción creada en el otro, la longitud real es, obviam ente, la longitud entre sus extrem os. Pero en com ponentes de estructuras cargados a com presión que disponen de m edios de sujeción laterales que im piden que se pandee, la longitud real se considera entre los puntos de restricción. C ada una de las partes, entonces, se considera com o u n a colum na aparte. Factor de fijación de los extremos, K. El factor de fijación de los extrem os m ide el grado de lim itación contra rotación de cada extrem o. P o r lo general, se consideran tres tipos clásicos de conexiones de extrem os: el extrem o de pasador, el extrem o fijo y el extrem o libre. L afig u ra 14—1 m uestra varias com binaciones de tipos d e extrem os con los valores correspondientes de K. O bsérvese que se dan dos valores de K. U no es el valor teórico y el otro es el que p o r lo general se usa en situaciones prácticas, aunque se debe rec o n o ce r que es difícil lo g rar el ex trem o v erd ad eram en te fijo, co m o se v erá a co n ti nuación. Los extrem os de pasador están im posibilitados contra rotación. C uando una co lum na con sus dos extrem os de pasador se pandea, adopta la form a de una curva uniform e entre sus extrem os, com o se m uestra en la figura 14(a). É ste es el caso básico de pandeo de colum na y el valor de K = 1.0 se aplica a colum nas con dos extrem os de pasador. Un tipo ideal de extrem o de pasador es la articulación de rótula que perm ite el g iro de la colum na en cualquier dirección con respecto a cualquier eje. U na ju n ta de pasad o r cilin drico, perm ite la libre rotación con respecto al eje del pasador, aunque crea algo de res tricción en el plano perpendicular a su eje. P or esta razón se debe ten er cuidado al aplicar factores de fijación a pasadores cilindricos. Se supone que el extrem o de p asad o r está guiado de tal m odo que la línea de acción de la carga axial no cam bia. En teoría, los extrem os fijos im piden perfectam ente la rotación de colum na en sus extrem os. A m edida que la colum na tiende a pandearse, la curva de deflexión del eje de la
F
^
F o rm a d e la c o lu m n a p an d ea d a
/
\
T
\
L V alo res teó rico s V alo res p rá c tic o s
F I G U R A 1 4 -1
A m b o s e x tre m o s d e p a sa d o r K = I .O
A m b o s e x tre m o s fijo s 0 .5
U n e x tre m o fijo y el o tro lib re K = 2.0
K= 1.0
K = 0.65
K = 2.I0
( o)
(6 )
(c)
U n e x tre m o fijo y el o tro d e p a sa d o r a : =0.7 K = 0 .8
id)
V a lo re s d e K p ara lo n g itu d e fe ctiv a, Le = K L , p ara d ife re n te s c o n ex io n e s d e e x tre m o s.
515
Sección 14-2 ■ Razón de esbeltez
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colum na debe aproxim arse al extrem o fijo con una pendiente cero, com o se ilustra en la figura 14—l(b). L a figura pandeada se arquea hacia afuera a la m itad pero exhibe dos puntos de inflexión donde se invierte la dirección de la curvatura cerca de los extremos. El v alor teórico del factor de fijación de los extrem os es K = 0.5, el cual indica que la colum na actúa com o si fuera sólo la m itad de larga de lo que realm ente es. Las columnas con extrem os fijos son m ucho m as rígidas que las colum nas con extrem os de pasador y, po r consiguiente, son capaces de soportar cargas m ayores antes de pandearse. Se debe entender que es m uy difícil fijar los extrem os de una colum na a la perfección. Se requiere que la conexión a la colum na sea rígida y firm e y que la estructura a la que se transfieren las cargas tam bién sea rígida y firm e. Por ello, en la práctica se recom ienda el valor mayor de A: = 0.65. El extrem o libre de una colum na puede girar y tam bién trasladarse. Pero como puede m overse en cualquier dirección, éste es el p eo r caso de fijación de los extrem os de una colum na. El único m odo práctico de usar una colum na con un extrem o libre es tener el extrem o opuesto fijo, com o se ilustra en la figura 14. l(c). U na colum na com o ésa en ocasiones se conoce com o el caso del astabandera porque el extrem o fijo se comporta com o un astabandera insertada profundam ente en un orificio de ajuste apretado, mientras el otro extrem o libre puede m overse en cualquier dirección. C onocida com o la condición de extrem o libre, el valor teórico de K es 2.0. U n valor práctico es K = 2.10. En la figura 14-1 (d) se m uestra la com binación de un extrem o fijo y un extrem o de pasador. N ótese que la curva de deflexión se aproxim a al extrem o fijo con una pendiente cero m ientras que el extrem o de pasador gira librem ente. El valor teórico de K = 0.7 se aplica a esa condición de fijación m ientras que en la práctica se recom ienda K = 0.8 0 . La longitud efectiva com bina la longitud real con el factor de fijación de extrem os; Lt = KL. En los problem as de este libro se usan los valores prácticos recom endados del factor de fijación de extrem os, com o se m uestra en la figura 14-1. En sum a, para calcular la longitud efectiva se usarán las siguientes relaciones: L o n g it u d e f e c t iv a , L e.
1. C olum nas con extrem os de pasador:
Le= KL= 1.0(¿) = ¿
2. C olum nas con extrem os fijos:
Le=KL = 0,65(Z.)
3. C olum nas con extrem os libres:
L ,= K L = 2.\0(L )
4. C olum nas con pasadores fijos y el otro fijo:
L ,= K L = 0.S0(L)
R a d í o d e g ir o , r. La m edida de esbeltez de la sección transversal de la colum na es su radio de giro, r, definida como:
en donde / = m om ento de inercia de la sección transversal de la colum na con respecto a uno de los ejes principales.
A = área de la sección transversal. C om o tanto / com o A son propiedades geom étricas de la sección transversal, el radio de giro, r, tam bién lo es. En el apéndice A - l sed an fórm ulas para calcular/-de varios perfiles com unes. A dem ás de r se dan otras propiedades de algunos de los perfiles estándar del apéndice. Para los que no se da r, con los valores disponibles d e l y A y la ecuación (14-2) se puede calcular r de m anera m uy sim ple. C a p itu lo 14 ■
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C o lu m n a s
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L a s re g la s s ig uien te s tie n e n q u e v e r c o n el v a lo r d e C c.
C u a n d o se v a a a n a liz a r u n a c o lu m n a d a d a p a ra d e te r m in a r la c a rg a q u e s o p ortará, e n p r im e r lu g a r h a b rá q u e c a lc u la r el v a lo r d e C c y la ra z ó n re a l L J r p a ra d e c id ir q u é m é to d o d e a n á lis is se d eb e usar. N ó te s e q u e Cc d e p e n d e d e la re s is te n c ia a la c e d e n c ia , sy y d e l m ó d u lo de e la s tic id a d E d e l m a te r ia l. C u a n d o se tra b a ja co n a c ero , p o r lo g e n e ra l se c o n s id e ra E = 2 0 7 G P a ( 3 0 x 10 6 lb /p lg 2) . C o n e s te v a lo r y s u p o n ie n d o u n in te r v a lo d e v a lo re s d e re s iste n c ia a la c e d e n c ia , se o b tie n e n los v a lo re s d e C c m o s trad o s e n la fig u ra 1 4 -3 .
R e s is lc n c ia a la c e d e n c ia ,s ,.(k s i)
0 150 •
1
140 130 120 110 R azó n d e *** e s b e lte z d e . . . _ (MI tra n s ic ió n , Cc
80 70 60 50 40 0 L— 1----- — I------— I___ __ I___ ___I___ ___I___ ___I___ ___I___ ___I___ ___I___
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800 2000
R e s is te n c ia a la c ed e n c ia , í v (M P a ) F I G U R A 1 4 -3
S e c c ió n 1 4 -3 ■
R azó n d e e s b e lte z d e tra n sic ió n Cc c o n tra re s iste n c ia a la c e d e n c ia d e l acero .
R a z ó n d e e s b e lte z d e tra n s ic ió n
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519
R esistencia a la cedencia, j,.(k si) 20
10
\ \\ \
Razón de esbeltez de
30
40
50
60
ninio £ = ( >9 GPa (1 0 .0 )< I06 lb
\
70
W)
80 70 60 50
o‘
• t)
100
.
200
300
400
500
Resistencia a la cedencia, i v.(M P a) F IG U R A 1 4 - 4
Razón de esb eltez de transición Cc contra resistencia a la cedencia del alum inio.
Para alum inio, E es aproxim adam ente de 69 G Pa (10 x 106 Ib/plg2). En la figura 14-4 se m uestran los valores correspondientes de Cc.
1 4 -4
FÓRM ULA
DE EULER
PARA
COLUM NAS
LARGAS
P ara colum nas largas cuya razón de esbeltez es m ay o r que el v alor d e transición C0 se pu ed e u sar la fórm ula de E uler p ara p red ecir la carga crítica con la q u e la colum na comen zaría a pandearse. La fórm ula es: F ó r m u la d e E u le r
O
tt
p a ra c o lu m n a s
'E A
(14-4)
(Ljrf
la rg a s
en donde A es el área de la sección transversal de la colum na. O tra form a de expresar esta fórm ula sería en función del m om ento de in ercia, puesto que r* =l/A. E ntonces, la fórmu la se transform a en: F ó r m u la d e E u le r
O
p a ra c o lu m n a s
t t /> c r =
la rg a s
520
EI
(14-5)
L) C a p it u lo 14 ■
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C o lu m n a s
1 4 -5
FÓRM ULA
DE J. B. JO H N S O N
PARA COLUM NAS
CORTAS
S i la ra z ó n d e e s b e lte z e fe c tiv a re al d e u n a c o lu m n a , L J r , es m e n o r q u e e l v a lo r de tra n s i c ió n C „ la fó rm u la d e E u le r p r e d ic e u n a c a rg a c r ític a e x o r b ita n te . U n a f ó r m u la re c o m e n d a d a p a ra el diseño de m áqu inas en e l in te rv a lo de L e/ r m e n o r q u e Cc es la fó rm u la d e J. B Jo h nson .
F ó r m u la d e J . B.
(14-6)
J o h n s o n p a ra
O
c í o lu m n a s c o rta s É s ta es u na fo rm a de u n c o n ju n to d e e c u a cio n e s lla m a d a s e c u a c io n e s p a ra b ó lic a s , y c o n c u e rd a p e rfe c ta m e n te b ie n co n e l c o m p o rta m ie n to d e c o lu m n a s d e a c e ro d e m a q u in a ria típ ic a . L a fó rm u la d e Joh nson d a el m is m o re s u lta d o q ue la fó r m u la d e E u le r d e la c a rg a c rític a a la ra z ó n d e e s b e ltez d e tra n s ic ió n C c E n to n c e s , en e l c a so d e c o lu m n a s m u y co rta s , la c a rg a c r ític a se a p ro x im a a la p ro n o s tic a d a p o r la e c u a c ió n d e l e s fu e r z o de c o m p re sió n d ir e c to , a = P /A . P o r c o n s ig u ien te , se p u e d e d e c ir q u e la fó rm u la de J o h ns on se a p lic a m e jo r a c o lu m n a s d e lo n g itu d in te rm e d ia .
1 4 -6
FACTORES
D E D IS E Ñ O
PARA COLUM NAS Y CARGA
P E R M IS IB L E
D e b id o a q ue u n a c o lu m n a f a lla p o r p a n d e o y p o r f a lla ú ltim a o c e d e n c ia d e l m a te r ia l, los m é to d o s antes u tiliz a d o s p a ra c a lc u la r el e s fu e rz o d e d is e ñ o n o se a p lic a n a c o lu m n a s . A s í q ue , la c a r g a p e r m is ib le se c a lc u la d iv id ie n d o la c a rg a d e p a n d e o c r ític a co n la fó rm u la d e E u le r [e c u a ció n ( 1 4 - 4 ) ] o la fó r m u la d e Jo h n s o n [e c u a c ió n ( 1 4 - 6 ) ] p o r un fa c to r d e d is e ñ o , N . E s d e c i r
O
C a rg a p e rm is ib le
(14-7)
s o b r e u n a c o lu m n a
en d o n d e P a = c a rg a s e g u ra p e rm is ib le
P „ = c a rg a de p a n d e o c r ític a N = fa c to r d e d is eñ o L a s e lec c ió n d e l fa c to r de d ise ñ o es la re sp o n s a b ilid a d d e l d is e ñ a d o r a m e n o s q ue el p ro y e c to fig u re en un re g la m e n to . L o s fac to res a c o n s id e ra r en la s e le c c ió n d e u n fa c to r d e d is e ñ o so n s im ila r e s a los u tiliz a d o s p a ra d e te r m in a r fa c to r e s d e d is e ñ o a p lic a d o s a e s fu e rzo s . U n fa c to r c o m ú n u tiliz a d o en el d ise ñ o m e c á n ic o es N = 3 .0 , y la ra z ó n p o r la q u e se s e lec c io n ó este v a lo r es la in c e r tid u m b re c o n re s p ec to a las p ro p ie d a d e s d e l m a te r ia l, la fija c ió n de los e x tre m o s , lo re cto d e la c o lu m n a o la p o s ib ilid a d d e q ue la c a rg a se a p liq u e c o n a lg o d e e x c e n tr ic id a d y n o a lo la rg o d e l e je d e la c o lu m n a . E n o c a s io n es se usan fa c to res m a y o re s en situ a c io n e s c rític a s y p a ra c o lu m n a s m u y larg a s. E n la c o n stru c c ió n d e e d ific io s , d o n d e el d ise ñ o está re g id o p o r las e s p e c ific a c io n e s d e l A m e r ic a n In s titu te o f S tee l C o n s tru c tio n , A I S C , se re c o m ie n d a u n fa c to r d e 1 .9 2 p a ra c o lu m n a s larg as . L a A lu m in u m A s s o c ia tio n re q u ie re N = 1 .9 5 p a ra c o lu m n a s larg a s. V é a n s e las se cc io n es 1 4 - 9 y 1 4 - 1 0 . S e c c ió n 1 4 - 6 ■
F a c to re s d e d is e ñ o p a ra c o lu m n a s y c a rg a p e rm is ib le
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521
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7 . E s p e c ifiq u e e l fa c to r d e d is e ñ o , / /. 8 . C a lc u le la c a rg a p e r m is ib le , P a,
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P a s o 6.
C o m p a r e C e c o n L J r y d e c id a s i la c o lu m n a e s la r g a o c o rt a .
A c o n t i n u a c i ó n u s e la f ó r m u l a a p r o p i a d a p a r a c a l c u l a r la c a r g a d e p a n d e o c r í t ic a . C o m o L J r e s m e n o r q u e C 0 s e d e b e u s a r l a f ó r m u la d e J o h n s o n ( e c u a c i ó n 1 4 - 6 ) .
El á r e a d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c u a d r a d a e s :
A = b 2 = (12 m m f = 1 4 4 m m 2
E n to n c e s :
P „ = (1 4 4 m m 2)
/ 414 N \
(4 1 4 x
\ mm2 /
10 6
N /m 2) (6 9 .4 )'
4t!-2( 2 0 7 x 109 N /m 2)
= 4 5 .1 kN
1 4 -8
P E R F IL E S
P a s o 7.
S e e s p e c ific a u n fa c to r d e d is e ñ o d e N = 3 .
P a s o 8.
L a c a r g a p e r m i s i b l e , P a, e s :
E F IC IE N T E S
P A R A S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S
DE COLUM NA C u a n d o se d ise ñ a u n a c o lu m n a q u e v a a s o p o rta r u n a c a rg a e s p e c ific a d a , el d is e ñ ad o r tie n e la re sp o n s a b ilid a d d e s e le c c io n a r la fo rm a g e n e ra l d e su s ec c ió n tra n s v e rsa l y d e te r m in a r las d im e n s io n e s re qu erid a s. L o s p rin c ip io s s ig u ie n tes p u e de n a y u d a r en la s e le c c ió n in ic ia l d e l p e r fil. U n p e r fil e fic ie n te es a q u e l q ue u t iliz a u na p e q u e ñ a c a n tid a d d e m a te r ia l p a ra r e a li z a r u n a fu n c ió n d ad a. P a ra c o lu m n a s , e l o b je tiv o es in c re m e n ta r a l m á x im o e l ra d io de g ir o c o n el o b je to d e re d u c ir la ra z ó n d e e s be ltez. N ó te s e ta m b ié n q u e c o m o r = y I l/ A , m a x im iz a n d o e l m o m e n to d e in e rc ia p a ra u n á rea d a d a tie n e e l m is m o e fe cto . C u a n d o se a n a liz ó e l m o m e n to d e in e rc ia e n lo s c a p ítu lo s 7 y 8 , se s eñ a ló q u e es d es e ab le d is p o n e r to d a el á rea p o s ib le d e la s ec c ió n tra n s v e rsa l tan le jo s d e l c e n tro id e c o m o sea p o s ib le. E n las v ig a s , a n a liz a d a s en e l c a p ítu lo 8 , p o r lo g e n era l s ó lo u n e je e ra e l im p o r ta n te , el e je c o n resp ec to al c u a l o c u rría la fle x ió n . E n c o lu m n a s , el p a n d e o en g e n e ra l p u e de o c u rr ir en c u a lq u ie r d ire c c ió n . P o r c o n s ig u ie n te , es d e se ab le q ue las p ro p ie d a d e s sean u n ifo rm e s co n resp ec to a c u a lq u ie r e je . L a s e cc ión c ir c u la r h u e c a , c o m ú n m e n te lla m a d a tu b o , es un p e r fil m u y e fic ie n te p a ra usarse c o m o c o lu m n a . L e s ig ue de c e rc a e l tu b o c u a d ra d o h ue co . T a m b ié n se p u e de n u sa r s e cc ion es c o m p u e s ta s d e s e cc io nes e stru ctu rales es tán d a r, c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 4 - 5 . L a s c o lu m n a s d e e d ific io s c o n fre c u e n c ia se a r m a n c o n p e rf ile s e s p e ciale s d e p a tín a n ch o lla m a d a s s e c c io n e s p a r a c o lu m n a . C u e n ta n c o n p a tin e s re la tiv a m e n te a n ch o s y g ru eso s en c o m p a ra c ió n co n los p e rfile s p o r lo g e n e ra l s e le cc io n a d o s p a ra v ig a s . E sto h ace q u e el m o m e n to de in e rc ia c o n re sp ec to al e je Y—Y sea m á s s im ila r a a q u é l con S e c c ió n 1 4 - 8 ■
P e rfile s e fic ie n te s p a ra s e c c io n e s tra n s v e rs a le s d e c o lu m n a
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525
(e)
W)
(/)
F IG U R A 1 4 -5 E je m p lo s d e p e rfile s d e c o lu m n a e fic ie n te s , (a ) T u b o d e s e c c ió n c irc u la r h u e co , ( b ) Tubo c u a d ra d o h u e c o , (c ) S e c c ió n tu b u la r h e c h a d e v ig a s d e m a d e ra , ( d ) Á n g u lo s d e p a ta s ig u a le s c o n p lacas. (e ) C a n a le s d e a lu m in io c o n p lacas. ( 0 D o s á n g u lo s d e p a ta s ig u ales.
re s p e c to a l e je X - X . E l re s u lta d o es q u e lo s ra d io s d e g ir o c o n re s p e c to a los dos ejes ta m b ié n son casi ig u a le s . L a fig u r a 1 4 - 6 m u e s tra u n a c o m p a r a c ió n d e d os p e rfile s de p a tin a n c h o d e 12 p lg ; u n o es u na s e cc ió n d e c o lu m n a y e l o tro es u n p e r f il d e v ig a típico. N ó te s e q u e e l ra d io d e g ir o m ín im o se d e b e u t iliz a r a l c a lc u la r !a ra z ó n d e e s b e lte z .
1 4 -9
E S P E C IF IC A C IO N E S
D E L A IS C
L a s c o lu m n a s so n e le m e n to s e s en c ia le s d e m u c h a s e s tru c tu ra s . E l d is e ñ o y e l a n á lisis de c o lu m n a s d e a c e ro en a p lic a c io n e s d e c o n s tru c c ió n están re g id a s p o r las e s pe cificac ion es d e l A I S C , e l A m e r ic a n In s titu te o f S tee l C o n s tru c tio n ( 1 ) . L a e s p e c ific a c ió n d e fin e una c a rg a o e s fu e rz o u n ita r io p e rm is ib le p a ra c o lu m n a s e l c u a l es la c a rg a a x ia l p e rm is ib le d iv id id a e n tre e l á rea d e la s ec c ió n tra n s v e rs a l d e la c o lu m n a . L a s fó rm u la s d e diseño e s tán e x pre s a d a s e n fu n c ió n d e la ra z ó n d e e s b e lte z d e tra n s ic ió n C „ d e fin id a s en la e c u a c ió n ( 1 4 - 3 ) , la re s is te n c ia a la c e d e n c ia d e l m a te r ia l d e la c o lu m n a y la ra zó n de e s b e lte z e fe c tiv a L J r . C u a n d o L J r < C c\
en d on d e P „ = c a rg a p e rm is ib le o d e d iseñ o :
Cc —
2 i r 2E ——
( U s e £ = 2 9 x 10 6 lb /p lg J [ 2 0 0 G P a ] p a r a a c e ro e s tru ctura l)
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(6 ) S ecció n d e c o lu m n a W 12 x 65
(a ) P erfil d e v ig a W 12 x 16
Á re a = 19.1 p lg 2
Á re a = 4 .7 1 p lg 2 Ix - 103 p lg
/ , = 5 33 p lg 4
ly rx ry r jr y
/,. = 2 . 8 2 p lg 4
rx “ 4 .6 8 p lg ry « 0 .7 7 p lg rx try = 6 .0 8
= = = =
175 p lg 4 5 .2 8 p lg 3 .0 2 p lg 1.75
ry c asi ig ual a rx
FIG URA 14-6
C o m p a ra ció n d e un p erfil d e v ig a de p a tín a n ch o co n u n a secció n d e co lu m n a .
E l C o lu m n R e se arc h C o u n c il d e s a rro lló la e c u a c ió n ( 1 4 - 8 ) , la c u al es id é n tic a a la fó rm u la Jo hnson. E l fa c to r de se gu rid a d F S es u n a fu n c ió n de la ra z ó n e n tre la e s b e lte z e fe c tiv a y C c c o n el o b jeto d e in c lu ir el e fe c to d e e n c o rv a d u ra a c c id e n ta l, u n a p e q u e ñ a e x c e n tr ic i d a d d e la c a rg a, e sfu e rz o s re sidu a les y c u a le sq u ie ra in c e rtid u m b re s en la e v a lu a c ió n del fa c to r d e lo n g itu d e fe c tiv a K . L a e c ua ció n p a ra F S es: _5 3
3( L J r ) _ ( L J r ) 8C,
8C l
(1 4 -9 )
E l v a l o r d e F S v a r ía d e s d e 1 .6 7 c u a n d o la r a z ó n ( L t / r ) / C c - 0 h a s ta 1 .9 2 c u a n d o
( L J r ) t C c = 1.0. P a ra c o lu m n a s larg as , L J r > C n se u sa la e c u a c ió n d e E u le r c o m o se d e fin ió antes p e ro co n u n fa c to r d e s e g u rid ad d e 1 .9 2.
P a ra a c e ro e s tru c tu ral co n £ = 2 9 x 10 6 lb /p lg 2:
(1 4 -1 1 )
527
E s p e c if ic a c io n e s d e l A IS C
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E n el siste m a S I, c o n E = 2 0 0 G P a p a ra a c e ro e s tru c tu ral:
K =
1 4 -1 0
E S P E C IF IC A C IO N E S
1028
( L' / r f
-4
GPa
D E L A A L U M IN U M
( 1 4 - 12 )
A S S O C IA T IO N
L a p u b lic a c ió n d e la A lu m in u m A s s o c ia tio n , S p e c ific a tio n s f o r A lu m in u m S tru c tu re s ( 2 ) , d e fin e e sfu e rz o s p e rm is ib le s p a ra c o lu m n a s p a ra c a d a u n a de v a ria s a le ac io ne s de a lu m in io y sus tra ta m ie n to s té rm ic o s . S e d an tre s e c u a c io n e s d ife re n te s p a ra colum nas c o rta s , in te rm e d ia s y la rg a s d e fin id a s c o n re s p ec to a lím ite s d e e s b e lte z . L a s ecuaciones son d e la fo rm a :
P, _ s v A ~ FS P, _
(c o lu m n a s c o rta s)
(14-13)
(c o lu m n a s in te r m e d ia s )
(14-14)
(c o lu m n a s la rg a s)
(14-15)
B, - D, (L/r)
A
FS
Pa _ it 2E A ~ FS(Lfr)1
E n los tres casos, se re c o m ie n d a F S = 1 .9 5 p a ra e d ific io s y es tru ctu ras s im ila re s . El a n á lis is d e c o lu m n a s co rta s p re s u p o n e q u e n o o c u rr ir á p a n d e o y la s e g u rid a d d e p en de de la re s is te n c ia a la c e d e n cia d el m a te r ia l. L a e c u a c ió n ( 1 4 - 1 5 ) p a ra c o lu m n a s larg a s es la f ó r m u la d e E u le r c o n un fa c to r d e s e g u rid a d a p lic a d o . L a fó rm u la p a ra c o lu m n a in te rm e d ia (e c u a c ió n 1 4 - 1 4 ) d e p en d e d e las c o n stan tes d e p a n d e o B c y D „ las c u ale s son fu nc io n es d e la re s iste n c ia a la c e d e n cia d e la a le a c ió n d e a lu m in io y e l m ó d u lo d e elasticidad. L a d iv is ió n e n tre c o lu m n a s in te rm e d ia s y la rg a s es s im ila r a la C c u tiliz a d a p re v ia m e n te e n es te c a p ítu lo . L a s s ig u ie n te s son e c u a cio n e s e s p e c ífic a s p a ra la a le a c ió n 6 0 6 1 - T 6 e m p le a d a en e s tructura s d e e d ific io s en la fo r m a d e lá m in a , p la ca , e x tru sio n e s y p e rf ile s estructurales, v a r illa s , b arras y tu bo s. L a ra z ó n de e s b e lte z L / r se d e b e e v a lu a r co n la lo n g itu d real L (e x tre m o s arm a do s c o n p as a d o res ). S e su p o n e q u e en e l fa c to r d e s e g u rid a d se in c luye c u a lq u ie r tip o d e re s tric c ió n de los e x tre m o s . C o lu m n a s co rtas: L / r < 9 . 5
— -
A
19 k s i (131 M P a )
(14-16)
C o lu m n a s in te rm e d ia s : 9 .5 < L / r < 6 6
j
=
^ 2 0 .2 -
j
=
^139 -
0 . 1 2 6 j j ks i
0 .8 6 9 -^
528
(14—17a) (14—17b)
MPa
C a p ítu lo 14 ■
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C o lu m n as
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3 y 4 p ro p o rc io n a n m é tod o s a d ic io n a le s p a ra o cu p a rs e de las c o lu m n a s c o n cargas no centrad as . C u a n d o e x is te u na p eq ue ña c a n tid ad d e e n c o rv a d u ra o e x c e n tr ic id a d , e l uso de un fa c to r d e d is eñ o m a y o r q u e el n o rm a l te n d e ría a co m p en s ar.
B IB L IO 1. A m e r ic a n I n stilu te o f S te e l C o n s tr u c tio n . M a n u a l o f
R A F ÍA 4 . T im o s h e n k o . S .. an d G e r e. J. M .. T h e o r y o f E la stic
S ta h ility , 2n d e d .. M cG ra w -H ill B o o k C o m p a n y . 1961.
S te e l C o n s tr u c tio n . 9 th e d ., C h ic a g o . 1989. 2. A lu m in u m A s s o c ia tio n . S p e c ific a tio n s f o r A lu m in u m
S tr u c tu r e s . 5 th e d .. W a s h in g to n . D C . 1986. 3. M o tt. R o b eri L .. M a c h in e E le m e n ts in M e c h a n ic a l D e-
s ig n , 2nd e d .. M a c m illa n P u b lis h in g C o .. N e w Y ork. 1992.
P R O B
1 4 - l.M
D e te r m in e la ca rg a critica para una c o lu m n a c o n
EM AS
1 4 - 9 .1
p o r 4 0 p ie s y s e v a a d ise ñ a r para q u e s o p o rte una
c ircu la r d e a c er o A IS1 1 0 2 0 la m in a d o en c a lie n te .
c a rg a u n ifo r m e d e 7 5 lib ra s p or p ie cuadrado. Se
E l d iá m etro d e la barra e s d e 2 0 m m , y su lo n g itu d
p r o p o n e q u e s e u s e un a tu b o d e a c e r o c é d u la 4 0 de 3 p lg c o m o c o lu m n a s para so p o rta r la plataform a
de 800 mm.
1 4 - 2 .M
a 8 p ie s so b r e e l p is o c o n la b a s e fija y e l extrem o
R e p ita e l p r o b le m a 1 4 -1 c o n la lo n g itu d d e 3 5 0
s u p erio r lib re. ¿ C u á n ta s c o lu m n a s s e requerirían
mm.
1 4 - 3 .M
s i s e d e s e a u n fa c to r d e d is e ñ o d e 3 .0 ? U s e s v =
R e p ita e l p r o b le m a c o n la barra h e c h a d e a lu m in io 6 0 6 1 - T 6 e n lu g a r d e a cero .
1 4 -4 .M
R e p ita el p r o b le m a 1 4 -1 c o n lo s e x tr e m o s d e la
3 0 0 0 0 lb /p lg 2. I 4 - 1 0 .M
e x tr e m o s d e p a sa d o r. C o n la s e c u a c io n e s (1 4 - 1 6 )
R e p ita e l p r o b le m a 1 4 -1 c o n u n a barra cuadrada
a (1 4 —18 b ), c a lc u le la c a rg a p e r m is ib le sobre la
d e a c e r o c o n la m is m a área d e s e c c ió n transversal
c o lu m n a .
q u e la barra circu lar.
1 4 - 6 .M
1 4 -1 l . M
Para u n tu b o d e a c e r o c é d u la 4 0 d e 1 p l g y 2 . 0 5 m c rític a . E l m aterial e s s im ila r al a c e r o A IS I 1 0 2 0 la m in a d o en c a lie n te . C a lc u le la c a rg a critica en
g itu d e s d e s ó lo 1 .4 0 m . 1 4 - 1 2 .1
U n a v ig a W 8 x 15 d e a c e r c A S T M A 3 6 y 12.50 pies d e la rg o s e u sa c o m o c o lu m n a . S u s e x tr e m o s están a fia n z a d o s d e tal m o d o q u e L e e s aproxim ada
ca d a una d e la s c u a tro c o n d ic io n e s de e x tr e m o s d e s c r ita s en la fig u ra 1 4 - 1 .
m e n te 0 .8 0 ¿ . C o n la s fó r m u la s A I S C , determ ine
U n a barra r ec ta n g u la r d e a c er o tie n e una s e c c ió n tran sversa] d e 12 m m por 2 5 m m y e s d e 2 1 0 m m d e la r g o . S u p o n ie n d o q u e lo s e x tr e m o s d e la barra s o n d e p a sa d o r y q u e e stá h e c h a d e a cero A IS I 1141 O Q T 1 3 0 0 , c a lc u le la carga critic a cu a n d o la barra s e s o m e te a u n a ca rga d e c o m p r e sió n a x ia l.
1 4 - 8 .M
C a lc u le la c a rg a p e r m is ib le para la c o lu m n a des crita e n e l p r o b le m a 1 4 - 1 0 s u p o n ie n d o q u e la lon
d e la r g o , u s a d o c o m o c o lu m n a , d e te r m in e la carga
1 4 - 7 .M
U n a v ig a I d e a lu m in io 6 0 6 1 - T 6 d e 2 .8 0 m d e lar g o , 1 10 x 8 .6 4 6 , s e u s a c o m o c o lu m n a c o n su s dos
c o lu m n a f ij o s en lu g a r d e articu la d o s.
1 4 - 5 .M
E l área d e un a p la ta fo r m a e le v a d a e s d e 2 0 pies
a m b o s e x tr e m o s d e p a sa d o r h e c h a d e una barra
la ca rg a p e r m is ib le s o b r e la c o lu m n a .
1 4 -1 3 .1
U n a c o lu m n a s e c o m p o n e d e c u a tro ángulos, c o m o s e m u estra e n la figu ra 1 4 - 8 . L o sá n g u lo s s e m a n tie n e n u n id o s c o n barras d e e n la c e , la s cuales s e p u ed en ign orar en e l a n á lisis d e la s propiedades g e o m é tr ic a s. U tiliz a n d o la s e c u a c io n e s estándar
C a lc u le la ca rga p e r m is ib le so b re u n a c o lu m n a
d e J o h n so n o d e E u le r c o n L e = L y u n factor de
c o n s u s e x tr e m o s f ijo s, si e s un a v ig a S 6 x 1 2 .5 d e
d is e ñ o d e 3 .0 , c a lc u le la c a rg a p e r m is ib le sobre la
5 .4 5 m d e largo. E l m aterial e s a c er o A S T M A 3 6 .
c o lu m n a si e s d e 1 8.4 p ie s d e la rg o . L o s ángulos
U s e la fó rm u la A IS C .
so n d e a c e r o A S T M A 3 6 .
530
C a p itu lo 1 4 ■
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Colum nas
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tie n e una lo n g itu d m á x im a d e 19 0 m m . L a b ie la e s
1 4 - 1 8 .1
1 4 - 2 1 .1
para probar p ie z a s tiran d o d e e lla s rep etid am en te
trem o d e p a sa d o r y e l o tro fijo. ¿ Q u é ca rga d e
c o n e l c ilin d ro h id rá u lic o . É ste p u e d e soportar
c o m p r e sió n a x ia l a p lica d a a la b ie la seria d e un
una fu erza m á x im a d e 3 0 0 0 Ib. L a s p ie z a s d el en
te r cio d e la c a rg a d e p a n d e o crítica?
s a m b le d e in terés e n e s t e c a s o s o n la s colu m n as.
U n a barra e s t a b iliz a d o r a d e la s u s p e n s ió n d e un
S e p r o p o n e q u e la s d o s c o lu m n a s sea n barras cua
a u t o m ó v il e s u n a barra c ir c u la r c a r g a d a a c o m
dradas d e 1 1/4 p lg d e la d o d e a le a c ió n d e a lum i
p r e s ió n . S e s o m e t e a u n a c a rg a a x ia l d e 1 3 7 5 Ib
n io 6 0 6 1 - T 6 .
y e stá a p o y a d a e n s u s e x t r e m o s p o r c o n e x io n e s
em p otrad a y su e x tr e m o su p erio r libre. D eterm ine la a c ep ta b ilid a d d e la p rop u esta .
d e p a s a d o r , a 2 8 .5 p lg u n o d e o tro . ¿ S e r ía s a t is fa c to r ia u n a barra d e a c e r o A I S I 1 0 2 0 la m in a d a
1 4 - 1 9 .1
1 4 - 2 2 .1
su base
L afigu ra 1 4 -1 3 m uestra el d ise ñ o p ropu esto de una prensa hidráulica utilizada para com p actar desechos só lid o s. El p istón d e la d erech a e s ca p a z d e ejercer
S e v a a d ise ñ a r una estru ctura para q u e so p o rte
una fuerza d e 12 5 0 0 Ib por m e d io delab iela a la riete.
una to lv a so b r e un a m áq u in a d e extruir p lá s tic o ,
L a b ie la e s recta y e stá c e n tr a lm e n te carg a d a y es
c o m o s e m u estra en la figu ra 1 4 - 1 1 . L a to lv a d e b e
d e acero A IS I 1 0 4 0 O Q T 1100. C a lcu le el factor de
la c a rg a por ig u a l. La estru ctura s e refu erza c o n
d ise ñ o resultante en e ste diseño. 1 4 - 2 3 .1
Para la s c o n d ic io n e s d e s c r it a s e n e l problem a
riostras cru za d a s. S e p r o p o n e q u e la s co lu m n a s
1 4 -2 2 , e sp ec ifiq u e el d iám etro requerido d e la biela
sea n d e tu b o c é d u la 4 0 están d ar d e 2 p lg . S e e m p o
s u p o n ie n d o q u e e s una s e c c ió n tra n sversal circu lar só lid a . U s e un fa cto r d e d is e ñ o d e 4 .0 .
trarán en e l s u c io . D e b id o al arriostrain ien to trans v e r s a l, e l e x tr e m o su p erio r d e la s c o lu m n a s está g u ia d o d e m o d o q u e s e c o m p o r te c o m o si e s t u v ie
1 4 - 2 4 .1
ra r e d o n d e a d o o arm ad o c o n pasador. Hl tu b o e s
d o para u sa rse c o m o b ie la . U s e un factor d e diseño d e 4 .0 . El tu b o está h e c h o d e a c e r o estructural A S T M ASO 1.
está d ise ñ a d a para soportar 2 0 0 0 0 Ib d e p lá s tic o m o lid o . ¿ S o n la s c o lu m n a s p ro p u esta s a d ecu a d a s para e sta carga? A n a lic e c ó m o s e v ería a fe c ta d o e l d is e ñ o d el pro b le m a 14—19 si el d e s c u id a d o c o n d u cto r de un m o n ta c a rg a s e m b istie r a la s riostras c ru za d a s y las rom p iera.
Para la s c o n d ic io n e s d e scr ita s en e l p ro b lem a 14 2 2 , e s p e c ifiq u e un tu b o d e a c e r o e stá n d a r adecua
d e a c er o A IS I 1 0 2 0 la m in a d o en c a lie n te . La to lv a
1 4 - 2 0 .1
L a s c o lu m n a s tie n e n
e n c a lie n t e d e 0 . 8 0 0 p lg d e d iá m e tr o e n e s t e tip o d e a p lic a c ió n ?
ser sop ortad a p or cu atro c o lu m n a s q u e co m p a rten
t
E l e n s a m b le m o stra d o en la fig u ra 1 4 - 1 2 s e usa
d e a c e r o A IS I 1141 O Q T 1 3 0 0 . C o n sid e r e un e x
1 4 - 2 5 .1
Para la s c o n d ic io n e s d e s c r it a s e n e l problem a 1 4 - 2 2 , e sp ec ifiq u e una v ig a I estándar, propia para u sa rse c o m o b ie la . U s e un fa ctor d e d is e ñ o de 4.0. L a v ig a I tie n e q u e ser d e a le a c ió n d e alum inio 6 0 6 1 -T 6 . L a c o n e x ió n en tre la b ie la y e l pistón es c o m o s e m u estra e n la figu ra 1 4 - 1 4 .
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N ota: El cilin d ro tira hacia arrib a el eslabón d e tensión y hacia ab ajo la viga con una fuerza d e 3 0 0 0 Ib. F IG U R A 1 4 -1 2
M áquina d e p ru eb a del p ro b lem a 1 4-21.
D esecho sólido a ser com pactado
P ro b le m a s
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P asad o r de a ju ste ap retad o
/
I
,
/
-
""
H -
N
----------
---
—
---
---
-
B lo q u e d e rellen o V ista d e ex trem o V ig a I d e alu m in io a ser esp ecificad a
F IG U R A 1 4 -1 4
14 - 2 6 .1
14 -27 .1
14 -2 8 .1
C o n ex ió n d e u n ex trem o de la viga I del p ro b lem a 1 4 -2 5 .
U n tu bo cuad rad o h u e c o d e 3 x 3 x 1/4, d e a cero
rra so n d e 6 0 m m p o r 4 0 m m . S u lo n g itu d e s de
A S T M A 5 0 0 , grad o B s e u tiliz a c o m o c o lu m n a d e
7 5 0 m m y su s e x tr e m o s s e su e ld a n a p la c a s planas
e d ific io d e 1 6 .5 p ie s d e lo n g itu d . C o n L e = 0 .8 0 L , c a lc u le la carga p e r m isib le so b re la co lu m n a para
g r u esa s, la s c u a le s está n a p o y a d a s e n la bancada p lan a d e la p rensa y la cara in ferio r p lan a d el arie
u n factor d e d is e ñ o d e 3 .0 .
te. E sp e c ifiq u e u n a carg a seg u ra q u e s e podría a p lic a r a la riostra.
U n tu b o recta n g u la r h u e c o de 4 x 2 x 1/4, d e a cero A S T M A 5 0 0 , grad o B s e u sa c o m o c o lu m n a de
1 4 -3 0 .M S e p ie n s a usar un a ca n a l d e a lu m in io 6 0 6 1 -T 4 ,
e d ific io d e 1 6 .5 p ie s d e lo n g itu d . C o n L e = 0 .8 0 L , c a lc u le la c a rg a p e r m isib le so b re la c o lu m n a para
C 4 x 1 .7 3 8 , c o m o c o lu m n a d e 4 .2 5 m d e longitud. S e c o n s id e r a q u e lo s e x tr em o s so n d e pasador.
un fa cto r d e d is e ñ o d e 3 .0 .
C a lc u le la carga p e r m is ib le so b r e la c o lu m n ap ara un fa cto r d e d is e ñ o d e 4 .0 .
U n a c o lu m n a s e arm a so ld a n d o d o s á n g u lo s de a cero están d ar d e 3 x 3 x 1/4, c o m o s e m u estra en
1 4 -3 1 .M E n un in ten to por m ejorar la ca p a c id a d d e sopor
la figu ra 14 - 5 ( f ) . L o s á n g u lo s s o n d e a c er o estru c
tar ca rg a d e la c o lu m n a d e s c r ita en e l problem a
tural A S T M A 3 6 . Si la lo n g itu d d e la c o lu m n a e s
1 4 - 3 0 , s e p r o p o n e la a le a c ió n 6 0 6 1 - T 6 en lugar
d e 1 6 .5 p ie s y L e = 0 .8 L , c a lc u le la c a rga p e r m isi
d e la 6 0 6 1 - T 4 para a p ro v ech a r su m a y o r resisten
b le so b r e la c o lu m n a para un fa ctor d e d is e ñ o de
c ia . E v a lú e e l e fe c t o de e ste c a m b io p rop u esto de la ca rga p erm isib le.
3 .0 .
1 4 - 2 9 .M U n a barra recta n g u la r d e a c er o A I S I 1 0 2 0 lam in a d o en c a lie n te , s e u sa c o m o riostra d e segu rid ad para sujetar e l ariete d e una gran p rensa p u n z o n a dora m ien tras s e in sta la n lo s tr o q u ele s en ella . L as d im e n s io n e s d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l de la b a
T A R E A S
DE
1. E sc r ib a un p rogram a d e c ó m p u to para an alizar lo s d is e
14 -32 .1
C a lc u le la ca rga p e r m isib le so b re la s e c c ió n de c o lu m n a W 1 2 x 6 5 d e a cero A S T M A 3 6 y 22.5 p ie s d e lo n g itu d m ostrad a e n la figu ra 14—6 (b ) e in stalad a d e tal m o d o q u e ¿ e = 0.8Z,. U s e el regla m en to A IS C .
C O M P U T A C IÓ N (b) D is e ñ e e l p rogram a para m an ejar c o lu m n a s de sec
ñ o s d e c o lu m n a p r o p u e s to s c o n e l p r o c ed im ie n to d e scrito
c ió n transversal circu la r só lid a y para q u e ca lc u le las
e n la s e c c ió n 1 4 - 7 . H a g a q u e e l u su ario in trod u zca to d o s
p r o p ie d a d es d e s e c c ió n transversal para u n diámetro
lo s d a to s e s e n c ia le s d e d is e ñ o c o m o so n el m aterial, la fija ció n d e lo s e x tr e m o s, la lo n g itu d y la s p r o p ied a d es de
d ad o.
la s e c c ió n tran sversal. H a g a q u e el program a d é la carga c ritica y la ca rga p e r m isib le para un factor d e d ise ñ o d ad o.
( c ) A g r e g u e un a tab la d e d a to s d e tu bería cuadrada de a c er o estructural están d ar a ser u tiliz a d o s p or el pro gram a para determ inar la p r o p ie d a d es d e sección transversal d e un tam a ñ o e sp e c ific a d o .
A d ic io n e s a la tare a 1
(a) In c lu y a una tab la d e d a to s so b r e tu b o de a cero c éd u la
(d) H a g a q u e el p rogram a u s e la s e s p e c ific a c io n e s del
4 0 a ser u tiliz a d o s p o r el p rogram a para determ inar
A IS C c o m o s e in d ic a e n la s e c c ió n 1 4 - 9 para calcu
las p r o p ie d a d es d e s e c c ió n transversal d e un tam año
lar la carga p e r m isib le y e l fa cto r d e segu rid ad para
d e tu b o e sp e c ific a d o .
c o lu m n a s d e a cero.
534
C a p ítu lo 14 ■
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C o lum n as
c ió n 1 4 - 1 0 para ca lcu la r la carga p erm isib le para c o
3 . E scriba un program a para d iseñ ar una co lu m n a d e s e c c ió n transversal cuadrada só lid a para q u e sop orte una carga dada c o n u n factor de d is e ñ o dad o.
lu m n as h ec h a s d e 6 0 6 1 - T 6 .
4 . E scriba un program a para s e le c c io n a r un tu b o de acero
(e ) H aga q u e e l program a u se las e sp e c ific a c io n e s d e la A lu m in u m A ss o c ia tio n c o m o s e in d ica en la s e c
2 . E sc r ib a u n pro g ra m a para d ise ñ a r una c o lu m n a d e s e c c ió n tra n sv ersa l cir cu la r só lid a para q u e so p o r te una c a r g a d a d a c o n u n f a c to r d e d is e ñ o d a d o . O b s e r v e q u e e l p rogram a tendrá que v erificar q u e s e está u tilizan d o e l m é to d o d e a n á lisis co rrecto, o la fórm ula de E uler para c o lu m n a s largas o la fórm u la de J o h n so n para c o lu m n a s c o r t a s , u n a v e z q u e s e h a g a un a s u p o s ic ió n
c éd u la 4 0 a d ecu a d o para q u e so p o rte un a carga dada c o n un factor d e d is e ñ o dad o. S e pod ría d iseñ ar e l program a para que b u sq u e en una tab la d e d a to s d e s e c c io n e s de tu b o estándar d e sd e la m ás p eq u eñ a hasta la m á s grande hasta q u e encu en tre un tu b o a d ecu a d o . Para cad a s e c c ió n d e prueba, s e pod ría ca lcu la r la carga p e r m isib le c o n la fórm ula de E uler o la fórm u la d e Joh n so n , c o m o s e re q uiera, y com parar c o n la carga d e d ise ñ o .
in ic ia l.
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15 R e c ip ie n te s a p re s ió n
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
Las form as m ás com unes de los recipientes a presión diseñados para contener líquidos y gases a presión interna son las esferas y los cilindros con sus extrem os cerrados. La presión interna tiende a hacer estallar el recipiente debido a los esfuerzos de tensión presentes en sus paredes. El objetivo general de este capítulo es describir cóm o se des arrollan estos esfuerzos y presentar fórm ulas que se puedan usar para calcular su mag nitud. D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. D eterm inar si un recipiente a presión se debe clasificar com o de pared delgada
o gruesa. 2. D ibujar el diagram a de cuerpo libre de una parte de una esfera som etida a pre sión interna para identificar la fuerza que la pared de la esfera debe resistir. 3. D escribir el esfuerzo anular tal com o se aplica a esferas som etidas a presión interna. 4.
E stablecer la fórmula para calcular el esfuerzo anular desarrollado en la pared de una esfera de pared delgada por la presión interna.
5. U sar la fórmula del esfuerzo anular para calcular el esfuerzo m áxim o en la pared de una esfera de pared delgada. 6. Determ inar el espesor de pared requerido de la esfera para resistir una presión interna dada.
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7. Dibujar el diagram a de cuerpo libre de una parte de un cilindro sometido a presión interna para identificar la fuerza que su pared debe resistir. 8. D escribir el esfuerzo anular tal com o se aplica a cilindros som etidos a presión interna. 9. E stablecer la fórmula para calcular el esfuerzo anular desarrollado en la pared de un cilindro de pared delgada producido p o r la presión interna. 10. U sar la fórm ula del esfuerzo anular para calcular el esfuerzo m áxim o en la pared de un cilindro de pared delgada. 11. D eterm inar el espesor de pared requerido del cilindro para que resista con seguridad una presión interna dada. 12. Describir el esfuerzo longitudinal tal com o se aplica a cilindros som etidos a presión interna. 13. Establecer la fórmula para calcular el esfuerzo longitudinal en la pared de un cilindro de pared delgada producido por una presión interna. 14. U sar la fórmula del esfuerzo longitudinal para calcular el esfuerzo en la pared de un cilindro de pared delgada que actúa en la dirección paralela al eje del cilindro. 15. D eterm inar el espesor de pared requerido de un cilindro de pared delgada para que resista una presión interna dada con seguridad. 16. Identificar el esfuerzo anular, el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo radial des arrollados en la pared de una esfera o cilindro de pared gruesa producidos por presión interna. 17. A plicar las fórmulas para calcular los valores m áxim os del esfuerzo anular, el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo radial en la pared de una esfera o cilindro de pared gruesa. 18. A plicar las fórmulas para calcular las m agnitudes del esfuerzo anular, el es fuerzo longitudinal y el esfuerzo radial en cualquier radio en la pared de un cilindro o esfera de pared gruesa.
1 5 -2
D IS T IN C IÓ N E N T R E L O S R E C IP IE N T E S A P R E S IÓ N D E P A R E D DELGADA Y PARED GRUESA
En general, la m agnitud del esfuerzo en la pared de un recipiente a presión varía en fu n ció n de la p o sició n en la p ared . Un an álisis p rec iso p e rm ite c a lc u la r el esfu erzo en cualquier punto. Las fórm ulas para llevar a cabo tal cálculo se dem ostrarán en una sección posterior. Sin em bargo, cuando el espesor de pared del recipiente a presión es pequeño, la suposición de que el esfuerzo es uniform e en toda la pared produce un error insignifican te. Adem ás, esta suposición perm ite desarrollar fórmulas relativam ente sim ples para el esfuerzo. La figura 15-1 m uestra la definición de diám etros, radios y espesor de pared claves para cilindros y esferas. S e c c ió n 1 5 - 2 ■
D is tin c ió n e n tre lo s re c ip ie n te s a p re sió n d e p a re d d e lg a d a y p a re d g ru e s a
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537
F IG U R A 15 -1
D efin ició n de d iám etro, rad io s y espesores d e p ared clave de cilin d ro s y esferas.
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Com o el diám etro es dos veces el radio, el criterio para que un recipiente se considere de pared delgada es:
(1 5 -4 )
i
Obviam ente, si el recipiente no satisface los criterios expresados en las ecuaciones (15 2) y (1 5 -4 ), se considera com o de pared gruesa. A dem ás de las ecuaciones (1 5 -1 ) y (1 5 -3 ) para el radio m edio y el diám etro medio, las formas siguientes pueden ser útiles:
R, = R„ t
Rm
2
Rm = /?, + — 2
=
Di
D0
- 2t
D „ = D„
—t
D,„ — D i
+ t
Las dos secciones siguientes se dedican al análisis de esferas y cilindros de pared delgada. Posteriorm ente, en la sección 15-5, se analizarán las esferas y cilindros de pa red gruesa.
1 5 -3
ESFERAS DE PARED DELGADA
En el análisis de un recipiente a presión esférico, el objetivo es determ inar el esfuerzo en su pared para garantizar la seguridad. Debido a la sim etría de una esfera, un cuerpo libre conveniente para usarse en el análisis es la mitad de la esfera, com o se m uestra en la figura 15-2. La presión interna del líquido o gas contenido en la esfera actúa perpendicular a las paredes, uniform em ente sobre toda la superficie interior. C om o la esfera se cortó a través de un diámetro, todas las fuerzas actúan en dirección horizontal. P or consiguiente, sólo se tiene que considerar el com ponente horizontal de las fuerzas creadas p o r la presión del fluido para determ inar la magnitud de la fuerza en las paredes. Si una presión P actúa en un área A, la fuerza ejercida en el área es:
F = pA
(1 5 -5 )
Considerando que la fuerza actúa en toda la superficie interior de la esfera y determ inan do el com ponente horizontal, la fuerza resultante en la dirección horizontal es:
Fr
S e c c ió n 1 5 - 3 ■
= pAP
(1 5 -6 )
539
E s fe ra s d e p a re d d e lg a d a
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Diagrama de cuerpo libre, semiesfera con presión interna/?
Área de la sección transversal de la pared de una esfera
FIG U R A 15-2
Diagrama de cuerpo libre de una esfera que soporta una presión interna.
en donde Ap es el área proyectada de la esfera en el plano que pasa por el diámetro. Por consiguiente:
t t
D ;„
(15-7)
Por el equilibrio de las fuerzas horizontales en el cuerpo libre, las fuerzas en las paredes también deben ser iguales a calculada con la ecuación (15-6). Estas fuerzas de tensión que actúan en el área de la sección transversal de la paredes de la esfera crean esfuerzos de tensión. Es decir:
Fr
(15-8)
en donde A„ es el área del anillo cortado para crear el cuerpo libre, mostrado en la figura 15-2. El área real es: 7r 4
•>
A. = — (Di
D¡)
C a p ítu lo 15 ■
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(15-9)
R e c ip ie n te s a pre sió n
Sin embargo, en esferas de pared delgada con un espesor de pared I, menor que 1/10 del radio de la esfera, el área de la pared se puede aproxim ar como:
A w = nD„,t
(15-10)
Ésta es el área de una tira rectangular de espesor t y longitud igual a la circunferencia media de la esfera, nDm. Las ecuaciones (15-6) y (15-8) se pueden com binar para obtener una ecuación del esfuerzo:
Expresando Ap y A,,e n función de D,„ y t de las ecuaciones (1 5 -7 ) y (15-10) se obtiene:
<7
P ( t t D Í / 4)
_ pD,„
irD,„t
41
(15-12)
Ésta es la expresión del esfuerzo que actúa en la pared de una esfera de pared delgada sometida a presión interna. El error que resulta por usar el diámetro extem o o el interno en lugar del diámetro medio es muy pequeño (menos del 5%).
Ejem p lo 1 5 -1
S olució n
C a lc u le el e s f u e r z o e n la p a r e d d e u n a e s f e r a d e 3 0 0 m m d e d iá m e tr o in te r n o y 1 .5 0 m m d e e s p e s o r d e p a r e d c u a n d o c o n tie n e g a s n itró g e n o a 3 5 0 0 k P a d e p r e s ió n in te r n a .
O b jetivo
C a lc u la r e l e s f u e r z o e n la p a r e d d e la e s f e r a .
Datos
P = 3 5 0 0 k P a ; D, = 3 0 0 m m ; t = 1 .5 0 m m .
A n álisis
E n p r im e r lu g a r h a b r á q u e d e te r m in a r si la e s f e r a s e p u e d e c o n s i d e r a r d e p a r e d d e l g a d a c a l c u l a n d o la r e l a c i ó n d e l d i á m e t r o m e d i o a l e s p e s o r d e p a re d .
D m = Di + t = 3 0 0 m m + 1.50 m m = 3 0 1 .5 m m Dm/ t = 30 1 .5 m m /1 .5 0 m m = 201 C o m o é s t a e s m u c h o m a y o r q u e e l lím ite in fe rio r d e 2 0 , la e s f e r a e s d e p a r e d d e l g a d a . E n to n c e s s e d e b e u s a r la e c u a c ió n ( 1 5 - 1 2 ) p a r a c a lc u la r el e s f u e r z o .
pDm _
R esultados
4f
( 3 5 0 0 x 103 P a ) (301.5 m m ) 4 (1 .5 0 m m )
a = 175.9 x 106 P a = 175.9 M P a
1 5 -4
C IL IN D R O S D E P A R E D D E L G A D A
Con frecuencia se usan cilindros como recipientes a presión, por ejemplo, como tanques de almacenamiento, actuadores hidráulicos y neumáticos, y tubería para conducir fluidos S e cc ió n 1 5 - 4 ■
C ilin d ro s d e p a re d de lg a d a
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541
a presión. Los esfuerzos en las paredes de los cilindros son sim ilares a los que actúan en esferas, si bien el valor máximo es mayor. Aquí se demuestran dos análisis distintos. En un caso, se determina la tendencia de la presión interna a tirar del cilindro en una dirección paralela a su eje. Ésta se llama esfuerzo longitudinal. A continuación, se analiza un anillo alrededor del cilindro para determ inar el esfuerzo que tiende a tirar de él. Éste se llama esfuerzo anular, o esfuerzo
tangencial. E s fu e r z o lo n g itu d in a l. La figura 15-3 m uestra una parte de un cilindro, la cual está som etida a una presión interna, cortado perpendicular a su eje para crear un cuerpo libre. Suponiendo que el extrem o libre del cilindro está cerrado, la presión que actúa en el área circular del extrem o producirá una fuerza resultante de:
Fg = pA = p ( ^ ~ j
(15-14)
Esta fuerza debe ser resistida por la fuerza en las paredes del cilindro, la que, a su vez, crea un esfuerzo de tensión en la paredes. El esfuerzo es:
F IG U R A 1 5 - 3
D ia g ra m a d e c u e rp o lib re de u n c ilin d ro s o m e tid o a p re s ió n in te rn a q u e m u e s tra el esfu erzo
lo n g itu d in a l.
C a p ítu lo 15 ■
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R e c ip ie n te s a presión
Suponiendo que las paredes son delgadas, como se hizo en el caso de las esferas:
A„- = 7t D j en donde t es el espesor de pared. Ahora com binando las ecuaciones (15-14) y (15-15), E sfu erzo o lo n g itu d inal en un c ilin d ro de pared d e lg a d a
p(n D j/4 ) 7TDnít
pDm 41
( 1 5- 16)
Éste es el esfuerzo en la pared del cilindro en una dirección paralela al eje, llamado esfuerzo longitudinal. N ótese que tiene la m ism a m agnitud que el determ inado para la pared de una esfera. Pero éste no es el esfuerzo máximo, com o se dem ostrará a conti nuación. E s fu e r z o a n u la r . La presencia de una esfuerzo tangencial o anular se puede visuali zar aislando un anillo del cilindro, como se muestra en la figura 15-4. La presión interna em puja hacia afuera alrededor del anillo. El anillo debe desarrollar un esfuerzo de tensión en una dirección tangencial a la circunferencia del anillo para resistir la tendencia de la presión a hacer estallar el anillo. La m agnitud del esfuerzo se puede determ inar u tili zando la mitad del anillo como cuerpo libre, como se m uestra en la figura 15—4(b).
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La resultante de las fuerzas creadas por la presión interna se deben determ inar en la dirección horizontal y equilibrar con las fuerzas en la paredes del anillo. Con el mismo razonam iento que se utilizó en el análisis de la esfera, se halla que la fuerza resultante es el producto de la presión y el área proyectada del anillo. Para un anillo de diámetro D y longitud L: (1 5 -1 7 )
F „ = p A p = p (D ,„ L )
El esfuerzo de tensión en la pared del cilindro es igual a la fuerza resultante dividida entre el área de la sección transversal de la pared. D e nuevo suponiendo que la pared es delgada, el área de la pared es: (1 5 -1 8 )
Entonces el esfuerzo es: F r
a
_
A,
F r
(1 5 -1 9 )
2 lL
Com binando las ecuaciones (15-17) y (15-19) se obtiene: E s fu e r z o a n u la r e n
O
El A,.
u n c ilin d r o d e p a re d d e lg a d a
pDm L
pDjn
2 IL
21
(1 5 -2 0 )
É sta es la ecuación del esfuerzo anular en un cilindro de pared delgada som etido a presión interna. O bsérvese que la m agnitud del esfuerzo anular es dos veces la del esfuerzo lon gitudinal. Asim ism o, el esfuerzo anular es dos veces el esfuerzo en un contenedor esféri co del m ismo diám etro sometido a la m isma presión.
E je m p lo 1 5 -2
U n t a n q u e c ilin d ric o q u e c o n t i e n e o x í g e n o a 2 0 0 0 k P a d e p r e s i ó n ti e n e u n d iá m e tr o e x t e r n o d e 4 5 0 m m y u n e s p e s o r d e p a r e d d e 1 0 m m . C a lc u le e l e s f u e r z o a n u l a r y el e s f u e r z o lo n g itu d in a l e n la p a r e d d e l c ilin d ro .
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o a n u l a r y e l e s f u e r z o lo n g itu d in a l e n la p a r e d del c ilin d ro .
D a to s
p = 2000 kP a; D0 = 4 5 0 m m ; t = 10 m m .
A n á lis is
E n p r im e r lu g a r s e tie n e q u e d e t e r m i n a r s í e l c ilin d ro s e p u e d e c o n s id e r a r c o m o d e p a r e d d e l g a d a c a lc u l a n d o la r e la c ió n d e l d iá m e t r o m e d io al e s p e s o r d e p ared .
D m = D„ -
f = 450 mm -
10 m m - 4 4 0 m m
Dm/ t = 4 4 0 m m /1 0 m m = 4 4 C o m o é s t a e s m u c h o m a y o r q u e el lím ite in fe rio r d e 2 0 , e l c ilin d ro e s d e p a r e d d e l g a d a . E n to n c e s s e d e b e u s a r la e c u a c ió n ( 1 5 - 2 0 ) p a r a c a lc u la r e l e s f u e r z o a n u l a r y la e c u a c ió n ( 1 5 - 1 6 ) p a r a c a l c u l a r e l e s fu e r z o lo n g itu d in a l.
544
C a p ítu lo 15 ■
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C IL IN D R O S Y E S F E R A S D E P A R E D G R U E S A
Las fórmulas para cilindros y esferas de pared delgada en las secciones precedentes se derivaron bajo la suposición de que el esfuerzo es uniform e en toda la pared del recipien te. Tal com o se planteó, si la relación del diám etro del co ntenedor a su espesor de p a re d es m ayor que 20, esta su p o sició n es razo n ab lem en te co rrecta. P o r o tra parte, si la relación es m enor que 20, las paredes se consideran gruesas, y se requiere una técnica de análisis distinta. L a derivación detallada de las fórmulas para contenedores de pared gruesa no se abordará aquí debido a su com plejidad. V éanse las referencias 1 y 2. Pero sí se dem ostrará la aplicación de la fórmulas. Para un cilindro de pared gruesa, la figura 15-5 m uestra la notación a ser utilizada. La geom etría se caracteriza por el radio interno a, el radio externo b , y cualquier posición radial entre a y b, llam ada r. El esfuerzo longitudinal se llam a a , ; el esfuerzo anular es
P R O C E D IM IE N T O P A R A A N A L IZ A R Y D IS E Ñ A R R E C IP IE N T E S A P R E S IÓ N E S F É R IC O S Y C IL ÍN D R IC O S
A quí se p resenta un resum en de los principios p lanteados en este capítulo relaciona dos con el análisis del esfuerzo de esferas y cilindros de pared delgada y gruesa. El resum en se da en la form a de procedim ientos generales p ara an alizar y diseñar reci pientes a presión. Por lo que se refiere a esfuerzos de diseño, se recom ienda que se revise la sección 3 -3 . Se supondrá que la falla de un recipiente a presión sometido a
<7j = e sfu erzo lo n g itu d in al
Oj - esfu erzo rad ial
<7¡ -
02= esfu erzo tangencial
(T2 = e sfu erzo an u lar F I G U R A 1 5 -5
N o tació n p ara lo s esfu erzo s q u e actú an en cilin d ro s y esferas de p ared gruesa.
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T A B L A 15 -1
E sfu erzo s en cilin d ro s y esferas de p ared g ru e s a . E sfu erzo en la po sició n r
E sftierzo m áx im o
C ilin d ro d e p a re d g ru e s a
pa2
pa2
L o n g itu d in al
A n u la r (tan g en cial)
p a \ b 2 4- r 2) cri = —;— ;------ — r '( b ' - a -)
0-1
h1.2 — a 2
bL- - a 2 (u n ifo rm e en to da la pared)
cr-» —
p (b 2 +
,
b- - a '
(e n la su p erfic ie in tern a)
—p a 2(b2 - r 2)
(T\
R adial
, ,,
,
ct
r (b~ - a ')
\
= —p. (e n la su p erficie in terna)
E s fe ra d e p a re d g ru e s a T an g en cial
(Ti
— (T> •
p a y(by + 2 r ' ) ,
2 r \b
,
,
- a )
p (b ' + 2 a ') (Ti = (T- = ----- ;-------j— ' 2(b - a') (e n la su p erficie in tern a)
- p a \ b y - r ')
R adial
-Vi..'
r (b - a )
(T; = ~ p (en la su p erficie in tern a)
L o s sím b o lo s u tilizad o s aq u í so n los sig u ien tes: a = rad io in tern o ; b = r a d io e x te m o ; r = c u alq u ier ra d io en tre a y b ; p = presión interna, unifo rm e en todas las direcciones. L os esfuerzos son de tensión cuando son positivos, y d e c o m p resió n c u an d o s o n n eg a tiv o s.
presión interna se debe a los esfuerzos de tensión que ocurren tangencialm ente en las paredes del recipiente. Los esfuerzos de diseño deben tener en cuenta el m aterial del cual está hecho el recipiente, el am biente de operación, y si la presión es constante o variable de m anera cíclica. V éase tam bién la sección 15-7 con respecto al análisis de otros m odos de falla en recipientes que tienen penetraciones, apoyos estructurales, anillos de refuerzo y otras características que los hacen distintos de los recipientes cilindricos y esféricos simples. E s f u e r z o s d e d is e ñ o . En el caso de presión estable, el esfuerzo de diseño se puede basar en la resistencia a la cedencia del material: Od =
S y /N
L a selección del factor de diseño, N, con frecuencia se hace conform e a un reglam ento debido al peligro creado cuando un recipiente a presión falla. Esto es particularm ente cierto en el caso de recipientes que contienen gases o vapor a presión porque las fallas producen la expulsión violenta del gas al 1iberarse un alto nivel de la energía alm acenada. Sin un reglam ento, se usará N= 4 como valor m ínim o y se deben usar valores m ayores en aplicaciones críticas o donde exista incertidum bre con respecto a las condiciones de operación o las propiedades del material. Otra recom endación sugerida es lim itar la pre sión en un recipiente a no más de 1/6 de la presión de ruptura pronosticada. Esto de hecho dem anda un esfuerzo de diseño relacionado con la resistencia últim a a la tensión del m aterial de: o ’d — su/ N = s„ / 6
En el caso de presión cíclica, básese el esfuerzo de diseño en la resistencia última: (T d =
S e c c ió n 1 5 - 6 ■
sjN
P r o c e d ím íe n to p a r a a n a liz a r y d is e ñ a r r e c ip ie n te s a p r e s ió n e s fé r ic o s y c ilín d r ic o s
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Utilícese N = &como m ínim o para producir una esfuerzo de diseño relacionado con la resistencia a la fatiga del material. A . P ro c e d im ie n to p a r a a n a liz a r
D atos
re c ip ie n te s a p re s ió n
O b jetiv o
Presión interna en el recipiente,/?. M aterial del que está hecho el recipiente. Se supone que es metal dúctil. D iám etro extem o, D„, diámetro interno, D¡, y espesor de pared t, para el recipiente. Determ inar el esfuerzo m áxim o en el recipiente y verificar la se guridad de ese nivel de esfuerzo con respecto al esfuerzo de dise ño en el material del que está hecho el recipiente.
1. Calcule el diám etro m edio, Dm, del recipiente con la ecuación (15-3): D,„ =(D0+D¡)/2. 2. Calcule la relación del diámetro m edio al espesor de pared del recipiente,
D J t. 3. Si D J t > 20, el recipiente se puede considerar com o de pared delgada. U se la ecuación (15-12) para esferas o la ecuación (1 5 -2 0 ) para cilindros para calcular el esfuerzo tangencial m áxim o en las paredes del recipiente.
a - pD m/4t
para esferas
(15-12)
a = pD mf l t
para cilindros
(15-20)
4. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar com o de pared gruesa. Use las ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anu lar m áxim o en las paredes del recipiente.
a= a=
p(bb3 + 2a3) — -- -- -- -- -- -- -
-
paraesferas
2(63 - a3)
P(b2 + a2) b2 - a1
para cilindros
5. Calcule el esfuerzo de diseño para el m aterial del que está hecho el reci piente. 6. El esfuerzo m áxim o real debe ser m enor que el esfuerzo de diseño por seguridad. B. P ro c e d im ie n to p a ra d is e ñ a r r e c ip ie n te s
D atos
a p re s ió n d e u n m a te ria l d a d o
O b jetiv o
Presión interna en el recipiente, p. M aterial del que está hecho el recipiente. Se supone que es metal dúctil. Diám etro interno nominal del recipiente basado en la capacidad volum étrica deseada. Especificar el diámetro externo, D 0, el diám etro interno, D„ y el espesor de pared, t, del recipiente con el objeto de garantizar la
C a p ítu lo 15 ■
548
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R e c ip ie n te s a p re sió n
seguridad del recipiente con respecto a esfuerzo de diseño en el material del que está hecho. 1. Use el diámetro dado como una estim ación del diámetro m edio, D„„ del recipiente. 2. En principio suponga que el recipiente será de pared delgada y que el esfuerzo máximo se puede calcular con la ecuación (1 5 -1 2 ) para una esfe ra o con la ecuación (15-20) para un cilindro. Esta suposición se verificará más adelante. 3. Calcule el esfuerzo de diseño del material del que está hecho el recipiente. 4. En la ecuación de esfuerzo apropiada, sustituya el esfuerzo de diseño co rrespondiente al esfuerzo máximo y resuélvala para el espesor de pared m ínim o requerido, t. 5. Especifique valores convenientes de t, D¡ y D,„ basados en los espesores del material disponibles. Tam bién se puede usar la tabla A -2 del apéndice para especificar las dim ensiones básicas preferidas. 6. Calcule el diámetro medio real del recipiente utilizando las dim ensiones especificadas. 7. Calcule la relación del diámetro medio al espesor de pared del recipiente,
D J t. 8. Si D J t > 20, el recipiente es de pared delgada com o se supuso y el diseño está term inado. 9. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar com o de pared gruesa. Use las ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anu lar m áximo en las paredes del recipiente y com párelo con el esfuerzo de diseño. Si el esfuerzo real es m enor que el esfuerzo de diseño, el diseño es satisfactorio. Si el esfuerzo máximo real es m ayor que el esfuerzo de dise ño, incremente el espesor de pared y calcule de nuevo el esfuerzo resultan te. Continúe este proceso hasta que se obtenga un nivel de esfuerzo satisfactorio y las dim ensiones convenientes del recipiente. Este proceso se facilita con un programa de cóm puto o una calculadora capaz de resol ver ecuaciones.
1. Calcule el diám etro medio, D„„ del recipiente con la ecuación (15-3): D,„
= (D0+ D,)/2. 2. Calcule la relación del diámetro m edio al espesor de pared del recipiente,
D J t. 3. Si Dmit > 20, el recipiente se puede considerar com o de pared delgada. Use la ecuación (15—12) para esferas o la ecuación (1 5 -2 0 ) para cilindros para calcular el esfuerzo m áxim o tangencial en las paredes del recipiente.
S e c c ió n 1 5 - 6 ■
P ro c e d im ie n to p a ra a n a liz a r y d is e ñ a r re c ip ie n te s a p re s ió n e s fé ric o s y c ilin d ric o s
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a = pDm/4 1
para esferas
( 15 - 1 2 )
a = pD mf l l
para cilindros
(15-20)
4. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar com o de pared gruesa. Use ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anular m áxim o en las paredes del recipiente.
a =
+ 2a
para esferas
2(¿>3 - a 3)
p(b2 + a 2)
para cilindros
5. Especifique una ecuación adecuada para el esfuerzo de diseño con base en el planteam iento al principio de esta sección. 6. Iguale el esfuerzo de diseño al esfuerzo m áxim o calculado en el paso 3 o 4. En seguida calcule la resistencia del material apropiada, ya sea sy o su, con la ecuación del esfuerzo de diseño. 7. Especifique un material adecuado cuya resistencia sea m ayor que el valor mínim o requerido.
Ejem plo 1 5 -4
S o lu ció n
Calcule la magnitud de los esfuerzos longitudinal, anular y radial m áximos en un cilindro que contiene helio a una presión constante de 10 000 lb/plg2. El diámetro externo e s de 8.00 plg y el interno de 6.40 plg. Especifique un material ad ecu ad o para el cilindro. O bjetivo
Calcular los esfuerzos máximos y especificar un material.
D atos
Presión = p = 10 000 lb/plg2. D0 = 8.00 plg. D¡ = 6.40 plg.
A nálisis
S e usa el procedimiento C de esta sección.
R e su lta d o s
Paso 1.
Dm = (D0 + D¡)I2 = (8.00 + 6.40)/2 = 7.20 plg
Paso 2.
t = (D0- D,)l2 = (8.00 - 6.40)/2 = 0.80 plg Dmlt = 7.20/0.80 = 9.00
Paso 3.
Este p aso no s e aplica. El cilindro e s grueso.
Paso 4.
Use ecuaciones de la tabla 15-1. a = D ,/2 = 6 .4 0 /2 = 3.20 plg
b = D0/ 2 = 8 .0 0 /2 = 4.00 plg tr, =
=2 pa"
(10 000 lb/plg2)(3.20 plg)2
b2 - a2
(4.002 - 3.202) plg2
= 17 780 lb/plg2 longitudinales 550
C a p ítu lo 15 ■
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a2 03
=
=
p ( b 2 + a 2)
(1 0 0 0 0 Ib /p lg 2) ( 4 . 0 0 3 . 2 0 2) p lg 2
b2 - a2
( 4 .0 0 2 - 3 . 2 0 2) p lg 2
~P = - 1 0 0 0 0 Ib/plg
=4 5 5 6 0 Ib/plg a n u la r
radial
L o s t r e s e s f u e r z o s a l c a n z a n s u v a lo r m á x im o e n la s u p e rf i c ie in te r n a d e l cilin d ro .
crd = sy/4.
P a s o 5.
S e a el e s fu e rz o d e d is e ñ o =
P a s o 6.
El e s f u e r z o m á x im o e s e l e s f u e r z o a n u l a r , o ^ - 4 5 5 6 0 Ib/plg2. P o r ta n to , la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a r e q u e r id a d e l m a te r ia l e s :
Sy = A /(o j)= 4 ( 4 5 5 6 0 Ib /p lg 2) = 1 8 2 2 0 0 Ib /p lg 2 = 1 8 2 ksi P a s o 7.
Ejem plo 15 -5
S olución
D e la p é n d ic e A - 1 3 ,s e p u e d e e s p e c if ic a r e la c e r o A I S I 4 1 4 0 O Q T 7 0 0 q u e ti e n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e 2 1 2 ksi.
C a lc u le la m a g n itu d d e lo s m á x im o s ta n g e n c ia l y ra d ia l e n u n a e s f e r a q u e c o n t i e n e h e lio a u n a p r e s ió n c o n s t a n t e d e 1 0 0 0 0 Ib /p lg 2. El d iá m e tr o e x t e r n o e s d e 8 .0 0 p lg y el d i á m e tro in te r n o e s d e 6 .4 0 p lg . E s p e c if iq u e el m a te r ia l c o n v e n i e n t e p a r a e l c ilin d ro .
O bjetivo
C a lc u la r lo s e s f u e r z o s m á x im o s y e s p e c i f i c a r u n m a te r ia l.
D atos
P r e s i ó n = p = 1 0 0 0 0 Ib /p lg 2. D„ = 8 .0 0 p lg .
A nálisis
Ú s e s e el p r o c e d im ie n to C d e e s t a s e c c i ó n . E s t o s d a t o s s o n lo s m is m o s q u e lo s q u e s e a p lic a n e n e l e je m p lo 1 5 - 4 . A lg u n o s v a l o r e s s e tr a n s f e r i r á n h a c ia a d e l a n t e .
R esu lta d o s
P a s o s 1 ,2 ,3 . L a e s f e r a e s d e p a r e d d e l g a d a . U s e la s e c u a c io n e s d e la ta b la 1 5 - 1 . a = 3 .2 0 plg.
P a s o 4.
03
D, = 6 .4 0 plg
0 2
p (6
+ 2a '
2 (b3 -
(1 0 0 0 0 Ib /p lg )[4 .0 0
a3)
b = 4 .0 0
plg.
+ 2 ( 3 . 2 0 f ] p lg 3
2 ( 4 .0 0 3 - 3 . 2 0 3) p lg 3
= 2 0 7 4 0 Ib /p lg 2 ta n g e n c ia l
= - P = - 1 0 0 0 0 Ib /p lg 2 rad ial C a d a u n o d e e s t o s e s f u e r z o s a l c a n z a n s u v a lo r m á x im o e n la s u p e r f ic ie in te r n a .
P a s o s 5, 6. P a r a u n e s f u e r z o m á x im o d e 2 0 7 4 0 Ib /p lg 2, la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c ia q u e s e r e q u i e r e p a r a e l m a te r ia l e s : sy=
P a s o 7.
C om en tario
S e c ció n 1 5 - 6 ■
N(ff¿ = 4 ( 2 0 7 4 0 Ib /p lg 2) = 8 2 9 6 0 Ib /p lg 2 = 8 3 ksi
D e la p é n d ic e A - 1 3 ,s e p u e d e e s p e c if ic a r e la c e r o A I S I 4 1 4 0 O Q T 1 3 0 0 q u e tie n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e 101 k si. S e p o d r ía n u s a r o tr o s a c e r o s .
El e s f u e r z o m á x im o e n la e s f e r a e s m e n o r a la m ita d q u e e l d e l c ilin d ro d e l m is m o t a m a ñ o , y p e r m ite e l u s o d e u n m a te r ia l c o n u n a r e s is te n c ia m u c h o m e n o r . P o r o tr a p a r te , s e p o d r ía d i s e ñ a r la e s f e r a c o n e l m is m o m a te r ia l p e r o c o n u n e s p e s o r d e p a r e d m e n o r .
P ro c e d im ie n to p a ra a n a liz a r y d is e ñ a r re c ip ie n te s a p re sió n e s fé ric o s y c ilin d ric o s
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551
E je m p lo 1 5 -6
U n r e c ip ie n te c ilin d ric o t i e n e u n d i á m e tr o e x t e r n o d e 4 0 0 m m y u n d i á m e tr o in te r n o d e 3 0 0 m m . P a r a u n a p r e s i ó n in te r n a d e 2 0 .1 M P a , c a lc u l e e l e s f u e r z o a n u l a r ,
S o lu c ió n
O b je tiv o
C a lc u la r e l e s f u e r z o r a d ia l e n p o s i c io n e s e s p e c í f i c a s e n la p a r e d d e l c ilin d ro .
D a to s
P r e s i ó n = p = 2 0 .1 M P a . D o = 4 0 0 m m , D , = 3 0 0 m m . S e u s a n i n c r e m e n t o s d e 1 0 m m p a r a e l r a d io d e s d e la s u p e r f ic ie e x t e r n a h a s t a la s u p e r f ic ie in te r n a .
A n á lis is
S e u s a n lo s p a s o s 1 - 4 d e l p r o c e d im ie n to A d e e s t a s e c c i ó n .
R e s u lta d o s
P a s o 1.
D m = (D 0 + 0 ,) /2 = (4 0 0 + 3 0 0 ) /2 = 3 5 0 m m
P a s o 2.
t = (D 0 - D ,)/2 = (4 0 0 - 3 0 0 ) /2 = 5 0 m m D J t = 3 5 0 / 5 0 = 7 .0 0 < 2 0 ; e l c ilin d ro e s d e p a r e d g r u e s a
P a s o 3.
E s t e p a s o n o s e a p lic a .
P a s o 4.
U s e la e c u a c ió n d e l e s f u e r z o t a n g e n c i a l d e la ta b l a 1 5 - 1 .
p a 2(b 2 + r 2) " 2~
r 2(b2 - a 2)
a = D ,/2 = 3 0 0 /2 = 150 m m b = D 0/ 2 = 4 0 0 /2 = 2 0 0 m m L o s r e s u l t a n d o s s e m u e s t r a n e n la t a b l a s i g u i e n t e .
r(m m )
C o m e n ta rio
E je m p lo 1 5 -7
( r 2 (M P a )
200
5 1 .7
190
5 4 .5
180
5 7 .7
170
6 1 .6
160
6 6 .2
150
7 1 .8
( M ín im o e n la s u p e r fic ie e x te rn a )
( M á x im o e n la s u p e r fic ie in te rn a )
L a fig u ra 1 5 - 6 m u e s tr a la g r á f ic a d e l e s f u e r z o ta n g e n c i a l c o n t r a la p o s i c ió n e n la p a r e d . L a g r á f ic a ilu s tr a c o n t o d a c la r id a d q u e la s u p o s i c i ó n d e e s f u e r z o u n if o rm e e n la p a r e d d e u n c ilin d ro d e p a r e d g r u e s a n o s e r ía v á lid a .
D i s e ñ e u n c ilin d ro q u e ti e n e q u e s e r d e tita n io e n v e j e c i d o T Í - 6 A 1 - 4 V p a r a a l m a c e n a r g a s n a t u r a l c o m p r im id o a 7 5 0 0 lb /p lg 2. El d iá m e t r o in te r n o d e b e s e r d e 2 4 .0 0 p lg p a r a p r o p o r c i o n a r e l v o lu m e n n e c e s a r i o . El e s f u e r z o d e d i s e ñ o d e b e s e r 1 /6 d e la r e s is te n c ia ú ltim a d e l tita n io .
S o lu c ió n
O b je tiv o
D i s e ñ a r el c ilin d ro .
D a to s
P r e s i ó n = p = 7 5 0 0 lb /p lg 2. D ,= 2 4 .0 p lg . T ita n io T i- 6 A 1 ^ 1 V ; s u = 1 7 0 ksi ( A p é n d ic e A - 1 4 ) C a p ítu lo 15 ■
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F IG U R A 1 5 -6
V ariació n del esfu erzo ta ngencial en la p ared del cilin d ro de p ared g ru e s a d e l ejem p lo 1 5 -6 .
A n álisis
S e u s a e l p r o c e d im ie n to B d e e s t a s e c c i ó n .
R e su lta d o s
P a s o l.
Sea
P a s o 2.
S u p o n g a q u e e l c ilin d ro e s d e p a r e d d e l g a d a .
P a s o 3.
E s f u e r z o d e d is e ñ o :
Dm= 2 4 .0 0
p lg .
ffá - s u /6 = (1 7 0 0 0 0 lb /p lg 2)/o = 2 8 3 3 3 I b /p lg 2
U s e la e c u a c ió n ( 1 5 - 2 0 ) p a r a c a l c u l a r e l v a lo r n o m in a l d e
P a s o 4.
t =
pDm
( 7 5 0 0 lb /p lg 2)(2 4 .0 p lg )
2od
2 ( 2 8 3 3 3 Ib /p lg 2)
t = 3.50
t.
3 .1 8 plg
D0 = O, + 2f = 31.00
P a s o 5.
P r u e b a #1: D, = 24.00;
P a s o 6.
Dm = D ( + f = 2 4 .0 0 + 3 .5 0 = 2 7 . 5 0 p lg .
P a s o 7.
D J t = 2 7 .5 0 / 3 .5 0 = 7 .8 6 < 2 0 ; e l c ilin d ro e s d e p a r e d g r u e s a .
P a s o 8.
E s t e p a s o n o s e a p lic a .
P a s o 9.
U s e la e c u a c ió n d e o 2 d e la ta b l a 1 5 - 1 .
a =
p(b
=
31.00/2 = 15.50 plg
+ a 2)
( 7 5 0 0 Ib/plg ) (1 5 .5 0
02 =
+ 1 2 .0 0 2)
-
(1 5 .5 0
P a s o 5.
p lg .
D,/2 = 24.00/2 = 12.00 plg
b = DJ2 ct2 =
p lg ;
- 1 2 .0 0 )
2 9 9 4 0 Ib /p lg 2 lig e r a m e n te e le v a d o . R e p ita lo s p a s o s 5 y 9. I n c r e m e n te f = 3 . 7 5 p l g ; D o = D , + 2 f = 3 1 . 5 0 p l g ; e l c i l i n d r o e s d e p ared g ru e sa .
S e c c ió n 1 5 - 6 ■
P ro c e d im ie n to p a r a a n a l i z a r y d i s e ñ a r r e c i p i e n t e s a p r e s i ó n e s f é r i c o s y c il í n d r i c o s
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L as técnicas de diseño y análisis presentadas hasta ahora tuvieron que ver sólo con el análisis del esfuerzo básico de cilindros y esferas ideales sin considerar penetraciones y otros cam bios de geom etría. D esde luego, los recipientes a presión m ás prácticos incor poran varias características que hacen que el recipiente se aparte de la form a ideal. A de m ás, con frecuencia se aplican cargas externas que crean esfuerzos que se com binan con el esfuerzo producido por la presión interna. P or ejem plo: ■
U n recipiente a presión esférico o cilindrico por lo general tiene una o m ás lum breras para llenarlo o vaciarlo. Las lum breras a m enudo se sueldan en el reci piente con lo que se provoca una discontinuidad en la geom etría así como tam bién una m odificación de las propiedades del m aterial cerca de la soldadura.
■
A lgunos recipientes a presión utilizados para reacciones quím icas u otras apli caciones de procesamiento de materiales contienen m irillas p ara observar el pro ceso. Las m irillas pueden contener bridas para sujetar la ventana transparente.
■
L os recipientes cilindricos con frecuencia se fabrican con sus extrem os above dados o hem isféricos para crear un diseño óptim o resistente a lap resió n interna. Pero, debido a que el esfuerzo tangencial en el extrem o esférico es m enor que el que actúa en el cilindro, se debe prestar una especial atención al diseño en la intersección de los extrem os con la porción cilindrica recta.
■
Los cilindros grandes pueden contar con bandas o nervaduras aplicadas al inte rior o exterior p ara reforzarlos estructuralm ente.
■
L os cilindros y las esferas grandes pueden experim entar esfuerzos elevados a causa de su peso y contenido que se com binan con los esfuerzos producidos por la presión interna. P or ejem plo: un tanque cilindrico relativam ente largo en po sición horizontal y apoyado cerca de sus extrem os se ve som etido a esfuerzos flexionantes; un tanque cilindrico es colocado con su eje en posición vertical se ve som etido a un esfuerzo de com presión axial.
■
Los cilindros y las esferas grandes deben estar equipados con apoyos que trans m itan el peso del recipiente y su contenido a un piso o la tierra. C erca de tales apoyos existen condiciones de esfuerzo especiales.
■
Los recipientes a presión utilizados en equipo de transporte terrestre a menudo ex p erim en tan carg as dinám icas p ro v o cad as p o r paro, arran q u e, m ovim iento del p roducto d entro del recip ien te y v ib ració n p ro v o ca d a p o r cam inos acci dentados.
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■
Los recipientes a presión en aviones y naves espaciales se ven sometidos a fuer zas de aceleración elevadas durante los aterrizajes, despegues, lanzamientos y m aniobras rápidas.
■
Las juntas entre las secciones de los recipientes a presión com puestos de dos o más piezas a menudo contienen discontinuidades geom étricas que requieren técnicas de análisis especiales y una cuidadosa fabricación.
Las técnicas de análisis en esas condiciones no se abordan en este libro. Algunas se plantean en el referencias 2 ,3 y 4. El Boiler andPressure Vessel Code, publicado por la A m erican Society o f Mechanical Engineers (ASM E), contiene num erosas norm as y téc nicas de análisis que rigen el diseño, la fabricación y la inspección de calderas y recipien tes a presión para proteger la vida y la propiedad de una m anera razonable. M uchos proveedores com erciales ofrecen paquetes de “softw are” que realizan los com plejos cálculos requeridos para analizar y diseñar recipientes a presión y sus accesorios. Las aplicaciones y ejem plos presentados en este capítulo recalcan el uso de metales para las paredes estructurales de los recipientes a presión. O tros m ateriales, en particular los m ateriales com puestos y los plásticos reforzados, a m enudo tam bién se usan. Se deben entender las características especiales de estos m ateriales cuando se usen en los recipientes a presión. R e c ip ie n t e s a p r e s ió n c o m p u e s t o s . Los m ateriales com puestos de alta resisten cia son adecuados para la fabricación de recipientes a presión. El hecho de que los esfuer zos principales sean tangenciales (anulares) o longitudinales obligan al diseñador de recipientes com puestos a alinear las fibras com puestas en la dirección de los esfuerzos máximos. La envoltura circunferencial de cinta preim pregnada alrededor de cascos de metal o plástico ofrece ahorros significativos de peso en com paración con un diseño únicam ente de metal o plástico. Para resistir los esfuerzos longitudinales causados por la presión interna junto con otras fuerzas externas, algunos tanques se envuelven helicoi dalm ente además de circunferencialmente. El espesor y la dirección de las capas se pue den adaptar a las cargas específicas esperadas en una aplicación particular. Los m ateriales seleccionados para recipientes a presión com puestos incluyen fibra de vidrio E/resina epóxica, fibra de vidrio estructural/resina epóxica y carbono/resina epóxica. El costo es una factor de im portancia en la especificación del material. Los usos principales de los recipientes a presión com puestos incluyen aquellos en los que el peso ligero es un objetivo de diseño im portante. El tanque de sum inistro de aire para los aparatos de respiración autónoma (SCBA) utilizados por los bom beros es un buen ejemplo porque los tanques ligeros permiten una m ayor m ovilidad y m enos fatiga. El peso reducido en aviones y naves espaciales perm ite m ayores cargas útiles o un mejor desem peño de los vehículos aeroespaciales. El desarrollo de vehículos terrestres de gas natural com prim ido (CNG) requiere la producción de cilindros ligeros para alm acenar el com bustible CNG. Se están llevando a cabo dem ostraciones en autobuses, flotillas de vehículos com erciales y en algunos vehículos de pasajeros. En la referencia 1 se reportan ejem plos de ahorros prácticos de peso. Un depósito de aire com prim ido com puesto para vehículos de transporte que pesa 27 libras reem plazó a uno de acero y se ahorraron casi 100 libras. Un tanque SCBA de fibra de vidrio estructural/resina epóxica pesa 18 libras com parado con uno de aluminio que pesa 36 libras. Se debe tener cuidado para garantizar que el material com puesto se adhiera bien y se adapte a la geom etría de cualquier recipiente. Se requiere una atención particular en los extrem os abovedados de los cilindros de presión y en la localización de las lumbreras. Éstas por lo general se colocan arriba o abajo en los polos de los extrem os abovedados de tal m odo que las fibras com puestas queden continuas. La colocación de las lum breras en los costados de un tanque interrumpiría la integridad del devanado de los filamentos. S e c c ¡ó n 1 5 -7 ■
O tra s c o n s id e ra c io n e s d e d is e ñ o p a ra re c ip ie n te s a p re s ió n
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A dem ás, la geom etría del tanque con frecuencia se adapta para producir esfuerzos gra dualm ente variables en las ju n tas entre las lum breras cilindricas y los extrem os aboveda dos. El espesor de las capas com puestas tam bién se m odifica según los esfuerzos esperados.
B IB LIO 1. A d v a n s t a r C o m m u n i c a t i o n s , In c ., D e sig n G u id e f o r
R A F ÍA 3. M u v d i. B . B .. a n d J. W . M c N a b b . E n g in e e r in g M e c h a n ic s
A d v a n c e d C o m p o site s A p p lic a tio n s , D u lu th , M N , 1 9 9 3 .
o f M a te r ia ls , 3 rd e d ., S p r in g e r -V e rla g , N e w Y o rk , 1 990.
E n g in e e rs , A S M E
4 . Y o u n g , W a r r e n C ., R o a r k ’s F o r m u la s f o r S tr e s s a n d
2. A m e r i c a n
S o c ie ty
o f M e c h a n ic a l
B o ile r & P re ssu re VesseI C o d e. F a i r f i e l d , N J, 1 9 9 2 .
PR O B
15 -l.M
Calcule el esfuerzo en una esfera de 200 mm de diámetro externo y 184 mm de diámetro interno cuando se aplica una presión de 19.2 MPa.
15-2.M
Un gran tanque esférico de almacenamiento de aire comprimido en una planta química es de 10.5 m de diámetro y está hecho de placa de acero A1SI 1040 laminada en caliente, de 12 mm de espesor. ¿Qué presión interna podría soportar el tanque si se desea un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia a la cedencia?
15-3.M
15-4.M
Se tiene que usar titanio 6A1^4V para fabricar un tanque esférico de 1200 mm de diámetro extemo. La presión de trabajo en el tanque tiene que ser de 4.20 MPa. Determine el espesor requerido de la pared del tanque si se desea un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia a la cedencia. Sí el tanque del problema 15-3 fuera de lámina de aluminio 2014-T6 en lugar de titanio, calcule el espesor de pared requerido. ¿Cuál diseño pesaría menos?
15-5.1
Calcule el esfuerzo anular en las paredes de un tubo de acero cédula 40 de 10 plg si transporta agua a 150 lb/plg2.
15-6.M
Un cilindro neumático tiene un diámetro interior de 80 mmy un espesor de pared de 3.5 mm. Calcu le el esfuerzo anular en la pared del cilindro si se aplica una presión interna de 2.85 MPa.
15-7.M
Un cilindro de acetileno tiene un diámetro de 300 mm y lo mantiene a 1.7 MPa. Si se desea un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia, calcule el espesor de pared requerido para el tanque. Use acero A IS I1040 estirado en frío.
S tra in , 6 t h e d ., M c G r a w - H ill , N e w Y o rk , 1 9 8 9 .
EM AS
15-8.M
El cilindro de oxígeno compañero del de aceti leno del problema 15-7 contiene oxigeno a 15.2 MPa. Su diámetro es de 250 mm. Calcule el espesor de pared requerido utilizando el mis mo criterio.
15-9.M
Un tanque de propano de un vehículo recreativo es de acero AISI 1040 laminado en caliente, de 2.20 mm de espesor. El diámetro del tanque es de 450 mm. Determine qué factor de diseño resul taría basado en la resistencia a la cedencia si el tanque se llena de propano a 750 kPa.
15-10.M El tanque de suministro de propano en las instala ciones del proveedor es un cilindro de 1800 mm de diámetro. Si se desea obtener un factor de dise ño de 4 basado en la resistencia a la cedencia del acero AISI 1040 laminado en caliente, calcule el espesor requerido de las paredes del tanque cuan do la presión interna es de 750 kPa. 1 5 -ll.M El oxígeno en una nave espacial se transporta a una presión de 70.0 MPa para reducir al mínimo el volumen requerido. El recipiente esférico tiene un diámetro extemo de 250 mm y un espesor de pa red de 18 mm. Calcule los esfuerzos tangencial y radial máximos en la esfera. 15-12.M Calcule los esfuerzos longitudinal, anular y radial máximos en la pared de un tubo de acero cédula 40 estándar de 1/2 plg cuando se somete a una pre sión interna de 1.72 MPa (250 lb/plg2). 15-13.M El cañón de una gran pieza de artillería de campo tiene un diámetro interno de 220 mm y un diáme tro externo de 300 mm. Calcule la magnitud del esfuerzo anular en el cañón en puntos a 10 mm C a p itu lo 15 ■
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R e c ip ie n te s a p re sión
uno de otro desde la superficie interna hasta la su perficie externa. La presión interna es de 50 MPa. 15-14.M Un tubo de acero cédula 40 de I 1/2 plg de diáme tro tiene un radio medio de menos de 10 veces el espesor de pared y por tanto se debe clasificar como un cilindro de pared gruesa. Calcule los es fuerzos máximos que resultarían con las fórmulas tanto para pared delgada como pared gruesa pro ducidos por una presión interna de 10.0 MPa. 15-15.M Un cilindro tiene 50 mm de diámetro externo y 30 mm de diámetro interno. Calcule el esfuerzo tangencial máximo en la pared del cilindro produ cido por una presión interna de 7.0 MPa. 15-16.M Para el cilindro del problema 15-15, calcule el es fuerzo tangencial en la pared a incrementos de 2.0 mm de adentro hacia afuera. Luego grafique los resultados del esfuerzo contra el radio. 15-17.M Para el cilindro del problema 15-15, calculeel es fuerzo radial en la pared a incrementos de 2.0 mm de adentro hacia afuera. Luego grafique los resul tados del esfuerzo contra el radio. 15-18.M Para el cilindro del problema 15-15, calcule el es fuerzo tangencial pronosticado con la teoría de la pared delgada en vez de con la teoría de la pared gruesa. Compare el resultado con el esfuerzo calcu lado en el problema 15-15.
tos de 10.0 mm. Use una presión de 10.0MPa.En seguida calcule la relación D Jt y grafique la dife rencia en porcentaje entre el esfuerzo calculado con la teoría de la pared gruesa y la teoría de la pared delgada contra dicha relación. Observe el incremento de la diferencia en porcentaje confor me el valor á eD Jt disminuye, es decir, conforme t se incrementa. 15-23.M El diámetro externo de una esfera es de 400 mm y el interno de 325 mm. Calcule la variación del esfuerzo tangencial de adentro hacia afuera en incrementos de 7.5 mm. Use una presión de 10.0 MPa. 15-24.M Una esfera tiene un diámetro extemo de 400 mm y un diámetro interno de 325 mm. Calcule la va riación del esfuerzo radial de adentro hacia afuera en incrementos de 7.5 mm. Use una pre sión de 10.0 MPa. 15-25.1
El apéndice A-12 da las dimensiones del tubo de acero cédula 40 American National Standard. ¿Cuáles de estos tamaños se deben clasificar como de pared gruesa y cuáles se pueden conside rar como de pared delgada?
15-26.1
Diseñe un recipiente a presión cilindrico que con tendrá aire comprimido para una aparato de respi ración autónoma utilizado por bomberos cuando trabajan en edificios invadidos de humo. El diá metro interno mínimo tiene que ser de 6.00 plg y la longitud de la porción cilindrica del tanque de 15.0 plg. Debe soportar una presión de servicio de 4500 lb/plg2. Use un esfuerzo de diseño de s„/8 para tener en cuenta un gran número de ciclos de presurización. Además, verifique el diseño final con respecto a su capacidad de soportar una pre sión máxima de 13 500 lb/plg2 calculando el fac tor de diseño basado en la resistencia a la cedencia. El tanque tiene que ser de aleación de aluminio 6061-T6. Calcule el peso de sólo la porción cilin drica.
15-27.1
Repita el problema 15-26, pero use titanio Ti6A1-4V.
15-28.1
Repita el problema 15-26 pero use acero inoxida ble 17-4PHH900.
15-29.1
Para cualquiera de los diseños del cilindro de aire SCBA de los problemas 15-26, 15-27 o 15-28, dibuje el tanque completo con cabezas hemisféri cas en cada extremo. Muestre una lumbrera en un extremo para montar el mecanismo de descarga y el regulador de presión. Suponiendo que el espe sor de pared de las cabezas es el mismo que el espesor de pared de la porción cilindrica, calcule el peso aproximado del tanque completo.
15-19.M Una esfera de acero inoxidable AISI 501 OQT 1000 tiene un diámetro extemo de 500 mm y un espesor de pared de 40 mm. Calcule la presión máxima que se podría aplicar en la esfera supo niendo que el esfuerzo máximo tiene que ser un cuarto de la resistencia a la cedencia del acero. 15-20.M Para una esfera de 500 mm de diámetro extemo y 420 mm de diámetro interno, calcule el esfuerzo tangencial en su pared a incrementos de 5.0 mm de adentro hacia afuera. En seguida grafique los resultados. Use una presión de 100 MPa. 15—21.M Para una esfera de 500 mm de diámetro externo y 420 mm de diámetro interno, calcule el esfuerzo radial en su pared a incrementos de 5.0 mm de adentro hacia afuera. Por último grafique los re sultados. Use una presión de 100 MPa. 15-22.M Para visualizar la importancia de usar las fórmu las de pared gruesa para calcular esfuerzos en las paredes de un cilindro, calcule el esfuerzo tangen cial máximo pronosticado en la pared de un cilin dro con las fórmulas tanto para pared delgada como para pared gmesa en las siguientes condi ciones. El diámetro extemo de todos los diseños tiene que ser de 400 mm. El espesor de pared debe variar desde 5.0 mm hasta 85.0 mm en incremen
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P ro b le m a s
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15-30.1
15-31.1
Repita el problema 15-26 pero ahora use el mate rial compuesto de grafito y resina epóxica inclui do en la tabla 2-6 del capítulo 2 cuya resistencia a la tensión es de 278 ksi. Verifique el diseño final calculando el factor de diseño con respecto a re sistencia a la tensión con la presión máxima de 13 500 lb/plg2. El tanque se cubrirá con una película polimérica delgada y se envolverá por completo con el compuesto unidireccional en un patrón cir cunferencial con el objeto de resistir el esfuerzo anular en el cilindro. Ignore la contribución del recubrimiento en el análisis y en el cálculo del peso. (Observe que el cilindro tal vez también requiera que se apliquen algunas capas en un patrón heli coidal para resistir el esfuerzo longitudinal y para permitir la formación de los extremos aboveda dos. Por consiguiente, el peso final será algo más elevado que el calculado para la parte circunfe rencialmente envuelta.)
DE
1. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial en la pared de una esfera de pared delgada. Incluya el cálculo del diámetro medio y la relación del diámetro me dio al espesor para verificar que sea de pared delgada. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangen cial en la pared de un cilindro de pared delgada. Incluya el cálculo del diámetro medio y la relación de éste al espesor para verificar que sea de pared delgada.
3. Escriba un programa para calcular el esfuerzo longitu dinal en lapared deun cilindro de pared delgada. Inclu ya el cálculo del diámetro medio y la relación de éste al espesor para verificar que sea de pared delgada. 4.
15-32.1
Repita el problema 15-31 pero ahora con alea ción de aluminio 7075-T6.
15-33.1
Repita el problema 15-31 pero ahora con alea ción de titanio TÍ-6A1-4V.
15-34.M Diseñe un tanque cilindrico para gas natural com primido a 4.20 MPa. El diámetro mínimo interno tiene que ser de 450 mm. Use aleación de alumi nio 6061-T6 y un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última. 15-35.1
Diseñe un tanque esférico para contener oxígeno a una presión de 3000 lb/plg2 con un diámetro in terno de 18.0 plg. Use acero inoxidable AISI 501
T A R E A S
2.
OQT 1000 y un factor de diseño de 6 basado en la resistencia última. Calcule el peso del tanque.
Combine los programas de las tareas 2 y 3.
5. Combine los programas de las tareas 1,2 y 3 y deje que el usuario especifique si el recipiente es un cilindro o una esfera. 6. Reescriba los programas de las tareas 1,2 y 5 de modo que el objetivo sea calcular el espesor de pared requeri do del recipiente a presión para producir un esfuerzo máximo a una presión interna dada. 7. Escriba un programa para calcular los esfuerzos longi tudinal, anular y radial máximos en la pared de un cilin dro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15—1.
Diseñe un tanque cilindrico para aire comprimido que se usará para proporcionar servicio remoto para la reparación de llantas de camión. La pre sión del aire será de 300 lb/plg2. El diámetro inter no mínimo del tanque tiene que ser de 24 plg. Use acero AISI 1040 estirado en frío y un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última. Veri fique el diseño final con respecto a una presión máxima de 900 lb/plg2 calculando el factor de di seño basado en la resistencia a la cedencia.
C O M P U T A C IÓ N
8. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangen cial en cualquier radio dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15—1. 9.
Escriba un programa para calcular el esfuerzo radial en cualquier radio dentro de la pared de un cilindro de pa red gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1.
10. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangen cial en cualquier radio dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. 11. Escriba un programa para calcular el esfuerzo radial en caulquier radio dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. 12. Combine los programas de las tareas 8 a 11. 13. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo tangencial dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comien ce en el radio interior y especifique un número de incre mentos de adentro hacia afuera. 14. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo radial dentro de la pared de un cilindro de pa red gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incre mentos de adentro hacia afuera. C a p ítu lo 1 5 ■
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R e c ip ie n te s a p re sión
15. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo tangencial dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comien ce en el radio interior y especifique un número de incre mentos de adentro hacia afuera. 16. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo radial dentro de lapared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incremen tos de adentro hacia afuera.
17. Escriba un programa para realizar cálculos como los del problema 15-22. 18. Escriba un programa para realizar cálculos como los del problema 15-22, excepto que en este caso son para una esfera. 19. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangen cial máximo en cualquier tubo cédula 40 estándar para una presión interna dada. Incluya una tabla de datos para las dimensiones de los tubos enumerados en el apéndice A-12. Incluya un procedimiento de verifica ción para ver si el tubo es de pared gruesa o delgada.
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16 C o n e x io n e s
O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O
Los m iem bros de carga que forman parte de estructuras y m áquinas deben actuar juntos para realizar sus funciones deseadas. D espués de com pletar el diseño o el análisis de los m iem bros principales, se requiere especificar las conexiones adecuadas entre ellos. Com o su nom bre lo indica, las conexiones enlazan los miembros. El objetivo prim ordial de este capítulo es proporcionar datos y m étodos de análisis para el diseño seguro de juntas rem achadas, juntas atornilladas y juntas soldadas. Des pués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 1. D escribir la geom etría típica de las juntas rem achadas y atornilladas. 2. Identificar los m odos probables de falla de una junta. 3. Reconocer los estilos típicos de remaches. 4. Identificar cuándo un sujetador está a cortante sim ple o a cortante doble. 5. A nalizar una ju n ta rem achada o atornillada con respecto a su capacidad de resis tir fuerza cortante. 6. A nalizaruna ju n ta rem achada o atornillada con respecto a su capacidad de resis tir fuerza de tensión. 7. A nalizarunajunta rem achada o atornillada con respectoa su capacidadde resis tir esfuerzo de apoyo. 8. U sar los esfuerzos perm isibles para conexiones de acero estructural publicadas por el American Institute o f Steel Construction (AISC). 9. Describir la diferencia entre una conexión tipo fricción y una conexión tipo apoyo y com pletar el análisis apropiado.
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10. U sar los esfuerzos perm isibles para conexiones estructurales de aluminio pu blicadas por la Aluminum Association. 11. Analizar las juntas cargadas tanto sim étrica com o excéntricam ente. 12. Analizar las juntas soldadas con cargas concéntricas.
1 6 -2
T IP O S D E C O N E X IO N E S
Las estructuras y los dispositivos mecánicos dependen de las conexiones entre los ele m entos de carga para mantener su integridad. Las conexiones constituyen la ruta por la que las cargas se transfieren de un elemento a otro. Los tres tipos com unes de conexiones son las rem achadas, la soldadas y las atorni lladas. L afigura 16-1 m uestra una tolva para alm acenar m aterial a granel suspendida por soleras rectangulares de una viga en T. Durante la fabricación de la tolva, se soldaron orejetas de apoyo en el exterior de la paredes laterales. Las orejetas contienen un arreglo de agujeros, que permiten que las soleras se atornillen en el sitio de ensam ble. Antes de la instalación de la viga en T, las soleras se remacharon en su alma.
F IG U R A 1 6 -1
S e cc ió n 1 6 - 2 ■
Ilu stració n de tres tipos d e ju n tas: rem achada, atornillada y soldada.
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T ip o s d e c o n e x io n e s
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de gota
C abeza avellanada plana F IG U R A 1 6 -3
de latonero
C abeza avellanada oval
A vellanada, sem itubular
plana
O valada sem itubular
Ejem plos de estilos de rem aches.
y sujetan las dos placas. En una buena junta remachada, el cuerpo del rem ache también se recalca un poco, loque provoca que llene por completo el agujero. Así se forma unajunta apretada que no perm ite el movimiento relativo de los miembros unidos. Cuando la junta se somete a una fuerza de tensión, se transm ite una fuerza cortante a través de la sección transversal de los remaches entre las dos placas. Por tanto lafalla po r cortante es un modo de falla de junta. El cuerpo del rem ache debe ejercer presión contra el material de las placas que se van a unir, con la posibilidad de falla por apoyo o aplastamiento. Esto provocaría el aplastamiento del material, norm alm ente en las placas. L a falla por tensión de las placas que se van a unir se debe investigar porque la presencia de los agujeros para los remaches provoca que la sección transversal del material en la ju n ta sea m enor que en la parte principal del miembro sometido a tensión. El cuarto modo de falla posible es desprendimiento de extremo, en el cual el rem ache hace que el material entre el borde de la placa y el agujero se desprenda. Las juntas rem achadas y atornilladas adecuadam ente diseñadas deben tener una distancia del centro del remache o tomillo al borde de la placa que se va a unir de por lo menos dos veces el diámetro del tom illo o remache. La distancia al borde se m ide en la dirección hacia la cual está dirigida la presión de apoyo. Si se hace caso a esta recom en dación, entonces no debe ocurrir el desprendimiento del borde. Esto se supondrá en los ejem plos de este capítulo. Así pues los modos de falla por cortante, apoyo y tensión sólo se considerarán al evaluar la resistencia de la junta. Las ju n tas soldadas fallan p o r cortante en el m aterial de la soldadura o p o r frac tura del metal base de las partes unidas p o r las soldaduras. U n aju n ta adecuadam ente fabricada y con buen diseño, que se suelda, siem pre fallará en el m etal base. P or tanto el objetivo del diseño de las conexiones soldadas es determ inar el tam año y la longi tud requeridos de la soldadura en la junta.
1 6 -4
C O N E X IO N E S R E M A C H A D A S
En las conexiones remachadas, se supone que las placas unidas no están fuertemente sujetas entre sí como para provocar fuerzas de fricción entre ellas y transm itir cargas. Por Conexiones remachadas
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consiguiente, los rem aches ejercen presión en los agujeros, y se debe investigar la falla por apoyo. Tam bién podría ocurrir la falla tanto por cortante com o por tensión. El m étodo de análisis de estos tres m odos de falla se describe a continuación. F a lla p o r c o r ta n te . Se supone que el remache se ve sometido a cortante directo cuando se aplica una carga de tensión a la junta, siem pre que la línea de acción de la carga pase por el centroide de la disposición de rem aches. Tam bién se supone que la carga total aplicada se reparte por igual entre todos los rem aches. La capacidad de una ju n ta con respecto a cortante del rem ache es:
F, = en donde
t
(16-1)
„A ,
Fs = capacidad de la ju n ta a cortante T„ = esfuerzo cortante perm isible en los rem aches
A, = área som etida a cortante El área som etida a cortante depende del núm ero de secciones transversales de remaches disponibles para resistir el cortante. Si este núm ero se designa
A, =
N ,t t D
(16-2)
en donde D es el diám etro del remache. En algunos casos, sobre todo en el caso de rem a ches hincados calientes, el cuerpo se dilata para llenar el agujero, y por tanto de dispone de un área m ayor para resistir el cortante. Sin em bargo, el increm ento es pequeño, y en este caso se usará sólo el diámetro nominal. Para determ inar N„ se debe observar si existe cortante simple o cortante doble en la junta. La figura 16-2 m uestra un ejem plo de cortante sim ple. Sólo una sección trans versal de cada rem ache resiste la carga aplicada. Luego N¡ es igual al núm ero de remaches en la junta. Las soleras utilizadas para soportar la tolva m ostrada en la figura 16-1 pone a los rem aches y tom illos a cortante doble. Dos secciones transversales de cada remache resisten la carga aplicada. Por tanto Ns es dos veces el núm ero de rem aches en la junta. F a lla p o r a p o y o . Cuando un rem ache cilindrico ejerce presión contra la pared de un agujero en la placa, existe una presión no uniform e entre ellas. Com o una simplificación de la distribución del esfuerzo real, se supone que el área som etida a apoyo, A h es el área rectangular calculada multiplicando el espesor de la placa t por el diám etro del remache D. Esta área se puede considerar com o el área proyectada del agujero del rem ache. Por tanto la capacidad de resistir apoyo o aplastam iento de una ju n ta es:
Fb = a-baA b en donde
(16-3)
Fk = capacidad de la ju n ta de resistir al apoyo o aplastam iento (jfa = esfuerzo de apoyo perm isible (16-4)
A„ = área som etida a apoyo = N¡pt N„ = núm ero de superficies som etidas a apoyo t = espesor de las placas C a p ítu lo 16 ■
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C o ne x ion e s
F a lla p o r te n s ió n . U na fuerza de tensión directa aplicada a través del centroide del arreglo de rem aches produce un esfuerzo de tensión. Por tanto la capacidad de la junta a tensión sería:
F, =
(16-5)
F, = capacidad de la ju n ta a tensión
en donde
a,a = esfuerzo perm isible a tensión A, = área neta som etida a tensión L a evaluación de A, requiere la sustracción del diám etro de todos los agujeros del ancho de las placas que se van a unir. Por consiguiente:
A, = (w - NDH)t en donde
(1 6 -6 )
w = ancho de la placa
D„ = diám etro del agujero (en estructuras se usa Df,= D + l/1 6 p lg o D = 2m m )
N = núm ero de agujeros en la sección de interés t = espesor de las placas
1 6 -5
E S F U E R Z O S P E R M IS IB L E S
En el caso de m iem bros no cubiertos p o r reglam entos y especificaciones, los esfu er zos perm isibles se pueden determ inar con los factores de diseño presen tad o s en el apéndice A -2 0 . Para el diseño de estructuras de acero p ara edificios, p o r lo g eneral se usan las especificaciones del A m erican Institute o f Steel C onstruction (A IS C ) (1).
T A B L A 1 6 -1
E sfu erzo s p erm isib les p ara co n ex io n es de acero estructural E sfu erzo co rtan te p erm isib le
R em aches
ksi
M Pa
17.5 22
121 152
E sfu erzo de ten sió n perm isib le ksi
M Pa
23 29
159 200
A ST M A 502 G rad o 1 G rad o 2
•
E sfu erzo co rta n te p erm isib let T o m illo s A ST M A325 A ST M A 490 M iem b ro s co n ectad o s T o d as las aleacio n es
E sfu erzo de ten sió n p erm isib le
ksi
M Pa
ksi
M Pa
17.5 22
121 152
44 54
303 372
E sfu erzo co rtan te p e rm is ib le ^
1.20j „
E sfu erzo de ten sió n perm isible* 0. 6
•E sp ec ific a c io n es A ISC . f Para c o n ex ió n d e fricción. P ara c o n ex ió n de apo y o sin ro scas en la p lan o d e co rtan te, u se 30 ksi (207 M P a) p ara A 32S y 40 k si (2 7 6 M P a) p ara A 490. *V é ase e l ap én d ice A - l 5 co n re sp ec to a aceros estructurales. ^E1 e sfu erzo d e ap o y o n o se co n sid era en las ju n ta s ato rn illad as de fricción.
S e c c ió n 1 6 - 5 ■
E s fu e rz o s p e rm isib le s
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T A B L A 1 6 -2
E sfuerzos p erm isib les p ara conexiones estructurales d e a lu m in io . R em aches A leación y tem ple
A n tes de h incarlos
E sfuerzo cortante perm isible
D espués de hin carlos*
1 100-H14 2017-T 4 6053-T61 6061-T 6
1100-F 2017-T 3 6053-T61 6061-T 6
ksi
M Pa
4 14.5 8.5 11
27 100 58 76
Tornillos E sfuerzo co rtan te perm isible*
E sfu erzo d e tensión perm isib le*
A leació n y tem ple
ksi
M Pa
ksi
M Pa
2024-T 4 6061-T 6 7075-T 73
16 12 17
110 83 117
26 18 28
179 124 193
M iem bros co n ectad o s E sfuerzo d e apo y o p erm isible A leación y tem ple
ksi
M Pa
1 100-H14 2014-T 6 3003-H 14 6061-T 6 6063-T 6
12.5 49 15 34 24
86 338 103 234 165
Fuente'. A lu m in u m A ssociation, Specificationsfor Aluminum Structures, 5a. ed., W ashington, D C , 1986. * T o d o s los h in cad o s en frío. * L o s esfu erzo s está n basad o s en el área correspondiente al d iám etro nom inal del to m illo a m en o s que las ro scas qu ed en en el plano d e cortante. P o r tanto, e l área cortante se basa e n el diám etro de raíz.
Para estructuras de alum inio, la A lum inum A ssociation publicó sus Specifications fo r Aluminum Structures (2). La tabla 16-1 da esfuerzos perm isibles para estructuras de acero. La tabla 16-2 resum e algunos esfuerzos perm isibles para aluminio.
C O N E X IO N E S A T O R N IL L A D A S
El análisis de conexiones atornilladas es igual al de conexiones rem achadas si se perm ite que el tom illo ejerza apoyo en el agujero, com o en una conexión som etida a apoyo. Esto ocurriría en las juntas donde la fuerza de sujeción provista por los tom illos es pequeña. Sin em bargo, la m ayoría de las conexiones atornilladas se hacen con tom illos de alta resistencia, como los A325 y A490, apretados a un elevado nivel de tensión. Las grandes fuerzas de sujeción resultantes forman una ju n ta de fricción donde las fuerzas de fricción entre las dos superficies acopladas transm iten la m ayor parte de la carga soportada por la junta. Los tom illos también se diseñan para cortante, con las resistencias enum eradas en la tabla 16-1. Pero el esfuerzo de apoyo no se considera en una ju n ta de fricción. C a p ítu lo 16 ■
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C o n e x io n e s
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F a l l a p o r t e n s i ó n . L a s p l a c a s f a lla ría n a t e n s ió n a t r a v é s d e u n a s e c c ió n q u e p a s a p o r lo s a g u j e r o s d e lo s r e m a c h e s , c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 1 6 - 2 ( c ) . F, = cr,a A ,
S e g ú n la ta b l a 1 6 - 1 :
= 0 . 6 s y = 0 .6 ( 3 6 0 0 0 lb /p lg 2) = 21 6 0 0 lb /p lg 2 El á r e a n e t a s o m e ti d a a t e n s ió n , s u p o n i e n d o q u e D H= D + 1 /1 6 p lg , e s :
A, = (w-ND H)t= [2 .0
p lg - 2 ( 0 .2 5
+ 0 .0 6 3 ) plg] ( 0 .2 5 p lg )
= 0 .3 4 4 p lg 2 L a c a p a c i d a d d e la j u n t a a t e n s ió n e s :
F, = (21 6 0 0 lb /p lg 2) ( 0 .3 4 4 p lg 2) = 7 4 2 5 Ib C o m e n ta rio
E je m p lo 1 6 -2
S o lu c ió n
C o m o la fa lla p o r c o r t a n t e o c u r rir ía c o n u n a c a r g a d e 1 7 1 5 Ib, é s a e s la c a p a c i d a d d e la ju n ta .
D e te r m in e la c a r g a p e r m is ib le p a r a u n a j u n t a d e l a s m i s m a s d i m e n s i o n e s q u e la j u n t a d e l e je m p lo 1 6 -1 , p e r o a h o r a u s e d o s to rn illo s A S T M A 4 9 0 d e 3 /8 p lg d e d i á m e tr o e n u n a c o n e x i ó n d e a p o y o s in r o s c a s e n e l p la n o d e c o r ta n te . O b je tiv o
C a lc u la r l a c a r g a p e r m is ib le e n la j u n ta .
D a to s
E s p e s o r d e l a s p l a c a s = t = 0 .2 5 p lg ; a n c h o d e la s p l a c a s = m = 2 .0 0 plg L a s p l a c a s s o n d e a c e r o e s tr u c t u r a l A S T M A 3 6 . T o rn illo s: D iá m e tr o = D = 0 .3 7 5 p lg ; A S T M A 4 9 0 C o n e x ió n tip o a p o y o ; s in r o s c a s e n e l p la n o d e c o r ta n te .
A n á lis is
Al ig u a l q u e e n e l e je m p lo 1 6 - 1 , s e in v e s ti g a r á n la fa lla p o s i b l e a c o r t a n te , a p o y o y t e n s ió n . El m e n o r d e lo s t r e s v a l o r e s e s la c a r g a lím ite e n la ju n ta .
R e s u lta d o s
F a lla p o r c o r ta n te
Fs = *• As ra = 4 0 0 0 0 lb /p lg 2 „
_ 2 ^ ( 0 .3 7 5 p lg )2 S
=
(N o ta al p ie d e la ta b la 1 6 - 1 ) = 0 .2 2 1 p lg 2 4
P o r lo ta n to :
Fs = (4 0 0 0 0 lb /p lg 2) (0 .2 2 1 p lg 2) = 8 8 4 0 Ib
568
C a p ítu lo 16 ■
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F a lla p o r a p o y o Fb =
o baA b
o ba = 1 .2 0 (5 8 0 0 0 lb /p lg 2) = 6 9 6 0 0 psi A b = N b D t = ( 2 )( 0 .3 7 5 p lg )(0 .2 5 p lg ) = 0 .1 8 8 p lg 2 P o r c o n s ig u ie n te :
F „ = (6 9 6 0 0 lb /p lg 2) ( 0 .1 8 8 lb /p lg 2) = 1 3 0 5 0 Ib
F a lla p o r te n s ió n
= o tg A t
o¡a = 0 .6 ( 3 6 0 0 0 lb /p lg 2) = 21 6 0 0 lb /p lg 2 A, = [2 .0 plg -
2 ( 0 .3 7 5
+ 0 .0 6 3 ) p lg ](0 .2 5 p lg ) = 0 .2 8 1 p lg 2
P o r c o n s ig u ie n te :
F, = (21 6 0 0 lb /p lg 2) (0 .2 8 1 p lg 2) = 6 0 7 0 Ib C o m e n ta rio
16 -8
E n e s t e c a s o la c a p a c i d a d a t e n s ió n e s la m e n o r , a s í q u e la c a p a c i d a d d e la j u n t a e s d e 6 0 7 0 Ib.
J U N T A S R E M A C H A D A S Y A T O R N IL L A D A S E X C É N T R IC A M E N T E C A R G A D A S
Las juntas previam ente consideradas se limitaron a casos en los que la línea de acción de la carga en la junta pasaba p o r el centroide del arreglo de rem aches o tom illos. En esos casos, la carga aplicada se reparte por igual entre todos los sujetadores. Cuando la carga no pasa por el centroide del arreglo de sujetadores, se llam a junta cargada excéntrica mente, y en los sujetadores ocurre una distribución no uniform e de fuerzas. En juntas excéntricam ente cargadas, se debe considerar el efecto del m om ento o par en el sujetador. La figura 16-4 m uestra una m énsula afianzada unida a la cara de una colum na y utilizada para soportar un m otor eléctrico. L a fuerza neta dirigida hacia abajo por el peso del m otor y la tensión de la banda actúa a una distancia a del centro del patín de la columna. Por tanto el sistem a de fuerzas total que actúa en los tom illos de la m énsu la se com pone de la fuerza cortante directa P más el m om ento P x a. Cada una de estas com ponentes se puede considerar por separado y luego sum adas utilizando el principio de superposición. La figura 16-5(a) m uestra que por lo que se refiere a la fuerza cortante P, se supone que cada tom illo soporta unaparte igual de la carga, com o en las juntas concéntricam ente cargadas. Pero en la parte (b) de la figura, debido al m om ento, cada tom illo se ve som eti do a una fuerza que actúa perpendicular a una línea radial que parte del centroide del S e c c ió n 1 6 - 8 ■
J u n ta s re m a c h a d a s y a to rn illa d a s e x c é n tric a m e n te c a rg a d a s
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569
F IG U R A 1 6 -4
C arg a ex cén trica e n u n a ju n ta atornillada.
arreglo de tom illos. Se supone que la m agnitud de la fuerza en un to m illo producida por el m om ento es proporcional a su distancia r del centroide. E sta m agnitud es:
R, = en donde
Mr,
(1 6 -7 )
R¡ = fuerza cortante en el tom illo i debido al m om ento M r¡ = distancia radial al tom illo i a partir del centroide del arreglo de tom illos Z r 2 = sum a de las distancias radiales a todos los tom illos del arreglo elevadas al cuadrado
Si es m ás conveniente trabajar con com ponentes horizontales y verticales, se pue den determ inar com o sigue:
R,< =
Rn =
en donde
My, =
My,
(1 6 -8 )
2>2 2(*2+ / ) Mx¡ _
Mx¡
(1 6 -9 )
Z ^ = S (*2+ y2)
= distancia vertical al tom illo i a partir del centroide x¡ = distancia horizontal al tom illo i a partir del centroide Z(jc2+ y > = sum a de las distancias horizontales y verticales elevadas al cuadrado de todos los tom illos que integran el arreglo
P or últim o, todas las fuerzas horizontales y todas las fuerzas verticales se suman para cualquier tom illo particular. En seguida se determ ina la resultante de las fuerzas horizontales y verticales. C a p ítu lo 16 ■
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P a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n c a d a to rn illo p r o d u c id a p o r la f u e r z a c o r t a n t e v e r tic a l d i r e c ta P = 2 6 .4 kN , s e s u p o n e q u e c a d a u n o d e lo s s e i s to rn i llo s s o p o r t a u n a p a r t e ig u a l d e la c a r g a . P o r t a n t e s e u s a r á n la s e c u a c io n e s ( 1 6 - 8 ) y ( 1 6 - 9 ) p a r a c a l c u l a r l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n e n e l to rn illo s o m e tid o a m a y o r e s f u e r z o p a r a re s is tir la c a r g a d e l m o m e n to , e n d o n d e : M = P x a L a s f u e r z a s r e s u l t a n t e s s e c o m b i n a r á n v e c t o r i a l m e n t e p a r a d e te r m i n a r la c a r g a r e s u l t a n t e e n e l to rn illo s o m e ti d o a m a y o r e s f u e r z o . P o r t a n t e el t a m a ñ o r e q u e r id o d e e s e to rn illo s e c a l c u l a r á b a s a d o e n e l e s f u e r z o c o r t a n t e p e r m is ib le p a r a to rn illo s A S T M A 3 2 5 .
F u e rz a c o r ta n te d ire c ta . L a f u e r z a c o r t a n t e to ta l d ir ig id a h a d a a b a j o s e r e p a r te e n t r e s e i s to rn illo s . P o r c o n s i g u ie n te la c a r g a e n c a d a to rn illo , ll a m a d a R p, e s : P 2 6 .4 kN A A ... fl(, = - = - _ _ - = 4 .4 k N
L a fig u ra 1 6 - 5 ( a ) m u e s tr a q u e é s t a e s u n a f u e r z a d e r e a c c i ó n d irig id a h a c i a a r r ib a e n c a d a to rn illo . F u e rz a s q u e r e s is te n e l m o m e n to . E n l a s e c u a c i o n e s ( 1 6 - 8 ) y ( 1 6 - 9 ) , s e r e q u i e r e e l té r m in o s ig u ie n te : 2 ( x 2 + y 2) = 6 (1 0 0 m m )2 + 4 ( 7 5 m m )2 = 8 2 5 0 0 m m 2 El m o m e n to e n la ju n t a e s :
M= P
x a
= 2 6 .4 kN (0 .7 5 m ) = 19.8 kN m
C o m e n z a n d o c o n e l to rn illo 1 a r r ib a a la d e r e c h a ( v é a s e la f ig u ra 1 6 - 6 ) :
M y,
’* = £ ( x 2 + y 2) ~
R 1y ~-
m
_ (19.8 k N m ) ( 1 0 0 m m ) x 103 m m
M*'
£ ( x 2 + y 2)
R ,r = 2 4 .0 kN
103 m m
82 500 m m 2 ( a c t ú a h a c i a la iz q u ie r d a )
R u = 18.0 kN “
19.8 kN m (7 5 m m )
t
82 500 m m 2
m
( a c t ú a h a c i a a r rib a )
A h o r a y a s e p u e d e d e t e r m i n a r la r e s u l t a n t e d e e s t a s f u e r z a s . E n la d ir e c c ió n v e r tic a l, R p y R 1ya c t ú a n h a c i a a r rib a .
R „ + R iy = 4 .4 kN + 2 4 .0 kN = 2 8 .4 kN S ó lo R u a c t ú a e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l. S i la f u e r z a r e s u l t a n t e e n el to rn illo 1, s e d e n o m i n a R (1:
R n = V 2 8 . 4 2 + 18.02 = 3 3 .6 kN
C a p ítu lo 16 ■
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C o n e x io n e s
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la carga. El esfuerzo cortante m áxim o ocurre en la garganta del filete (véase la figura 16-7), donde el espesor es 0.707 veces el tamaño nom inal de la soldadura. Por tanto el esfuerzo cortante en la soldadura producido por la carg a P es:
t
=
—
(1 6 -1 0 )
Lt
en donde L es la longitud de la soldadura y t es el espesor de la garganta. La ecuación (16—10) se u sa sólo para miembros concéntricam ente cargados. Esto requiere que la línea de acción de la fuerza en las soldaduras pase por el centroide del arreglo de la soldadura. L a excentricidad de la carga produce un m om ento, adem ás de la fuerza cortante direc ta, el cual debe ser resistido por la soldadura. Las referencias 1, 3 y 4 al final de este capítulo contienen inform ación pertinente con respecto a ju n ta soldadas excéntrica m ente cargadas. En la soldadura de arco eléctrico, utilizada principalm ente en conexiones estructu rales, norm alm ente se usa una varilla de aporte para agregar metal a la zona soldada. Cuando las dos partes que se van a imir se calientan al rojo, se agrega el metal de aporte, el cual se com bina con el metal base. Al enfriarse, el metal de soldadura resultante nor m alm ente es más fuerte que el metal base original. Por consiguiente, una ju n ta soldada diseñada y hecha de m anera adecuada debe fallar en el metal base y no en la soldadura. En la soldadura estructural, a los electrodos se les asigna un código que com ienza con una E seguida de dos o tres dígitos, es decir E60, E80 o E100. El núm ero denota la resistencia últim a a la tensión en ksi del metal de soldar contenido en la varilla. Así pues, una varilla E80 tendría una resistencia a la tensión de 80 000 lb/plg2. Se pueden agregar otros dígitos al núm ero de código para denotar propiedades especiales. Las norm as ASTM A233 y A 3 16 contienen especificaciones completas. El esfuerzo cortante perm isible para solda duras de filete utilizando electrodos es 0.3 veces la resistencia a la tensión del electrodo según el AISC. La tabla 16-3 enum era algunos electrodos com unes y sus esfuerzos per misibles. Los productos de alum inio se sueldan con un proceso de arco protegido y gas inerte o un proceso de soldadura por resistencia. Para el proceso de arco protegido y gas inerte, la Aluminum A ssociation especifica aleaciones de aporte para unir aleaciones de metal base particulares, com o se indica en la tabla 16-4. Se dan los esfuerzos cortantes perm i sibles para tales soldaduras. Es de hacerse notar que el calor de la soldadura reduce las propiedades de la m ayoría de las aleaciones de aluminio a 1.0 plg de la soldadura, por lo que esto se debe tener en cuenta en el diseño de ensam bles soldados.
T A B L A 1 6 -3
T ip o de electrodo E60 E70 E80 E90 E100 E110
S e c c ió n 1 6 - 9 ■
Pro p ied ad es de electrodos d e so ld ar para acero. E sfu erzo cortante perm isible
R esisten cia a la tensión m ínim a ksi
M Pa
ksi
M Pa
60 70 80 90 100 110
414 483 552 621 690 758
18 21 24 27 30 33
124 145 165 186 207 228
J u n ta s s o ld a d a s co n c a rg a s c o n c é n tric a s
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M etales típicos unidos A 36, A500 A242, A441 A 572, G rado 65 — —
.
A514
575
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S e a r ig u a l a l e s f u e r z o p e r m is ib le d e 1 8 k s¡, d a d o e n la ta b la 1 6 - 3 . El e s p e s o r íe s : í = 0 . 7 0 7 (f p lg ) = 0 .2 6 5 plg A h o r a s e p u e d e r e s o l v e r p a r a P.
P = raL t= (1 8 0 0 0 I b / p I g ^ . O p lg ) ( 0 .2 6 5 p lg ) = 3 8 2 0 0 Ib
B IB L IO 1. A m e r ic a n I n s t i t u t e o f S te e l C o n s t r u c t i o n , M a n u a l o f
S te e l C o n str u c tio n , 9 t h e d ., C h ic a g o , I L , 1989. 2. A lu m in u m
R A F IA 4 . M o tt, R . L ., M a c h in e E le m e n ts in M e c h a n ic a l D esign, 2 n d e d „ M e r r i l l , a n im p r i n t o f M a c m illa n P u b li s h in g
A s s o c ia tio n , S p e c ific a tio n s f o r A lu m in u m
C o ., N e w Y o rk , 1 992.
S tr u c tu re s, 5 th e d ., W a s h in g to n , D C , 1986. 3. B lo d g e tt, O .W ., D esig n o fW e ld m e n ts , J a m e s F. L in c o ln A re W e ld in g F o u n d a tio n , C le v e la n d , O H , 1 963.
PR 16 -1.1
Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-9. Los sujetadores son remaches de acero ASTM A502, grado 1. Las pla cas son de acero ASTM A36.
16 -2.1
Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-10. Los sujetadores son remaches de acero ASTM A502, grado 2. Las pla cas son de acero ASTM A242.
16 -3.1
Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-9. Los sujetadores son tomillos de acero ASTM A325 que forman una junta de fricción. Las placas son de acero ASTM A242. Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-10. Los sujetadores son tomillos de acero ASTM A490 que forman una junta de fricción. Las placas son de acero ASTM A514.
16 -4.1
16-5.1
Determine el diámetro requerido de los tomillos utilizados para fijar la viga en voladizo en la co lumna, como se muestra en la figura 16-11. Use tomillos de acero ASTM A325.
16 - 6 .M
Diseñe la conexión del canal con la columna para el soporte colgante mostrado en la figura 16-12. Ambos miembros son de acero ASTM A36. Es pecifique el tipo de sujetador (remache, tornillo), y el arreglo y separación, el número de sujetado res y el material para los sujetadores. Use especi ficaciones del AISC.
B L E M A S 16 -7.1
Para la conexión mostrada en la figura 16-9(a), suponga que, en lugar de los dos remaches, las dos placas se soldaron de un extremo a otro de las pla cas de 3 plg de ancho con soldaduras de 5/16 plg. Las placas son de acero ASTM A36 y se usa la técnica de soldadura de arco eléctrico con electro dos E60. Determine la carga permisible en la co nexión.
16-8.1
Determine la carga permisible en la junta mostra da en la figura 16-10(c) si se aplicaron soldaduras de 1/4 plg utilizando electrodos E70 a lo largo de los dos extremos de las cubreplacas de acero ASTMA242.
16 - 9 .M
Diseñe la junta en el extremo superior de las sole ras mostradas en la figura 16-1. Si la carga total en la tolva es de 54.4 megagramos (Mg). La viga es un perfil WT12 x 34 de acero ASTM A36 con alma de 10.6 mm de espesor. La altura vertical libre del alma es aproximadamente de 250 mm. Use remaches de acero y especifique el arreglo, el número de remaches, el diámetro de los rema ches, el material de los remaches, el material y las dimensiones de las soleras. Especifique las di mensiones, utilizando los tamaños métricos mos trados en el apéndice A-2.
1 6 -1 0 .M
Diseñe la junta en el extremo inferior de las sole ras mostradas en la figura 16-1 si la carga total en la tolva es de 54.4 Mg. Use tomillos de acero y una conexión de apoyo. Especifique el arreglo, el '
P ro b le m a s
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577
F I G U R A 1 6 -9
J u n tas d e lo s p ro b le m a s 16 -1 y 1 6 -3 .
C a p ítu lo 16 ■
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C o n e x io n e s
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número de tornillos, el diámetro de los tomillos, el material de los tomillos, y el material y las di mensiones de las soleras. Tal vez desee coordinar el diseño de las soleras con los resultados del pro blema 16-9. El diseño de la orejeta del problema 16-11 también se ve afectado por el diseño de la junta atornillada.
16-1 l.M Diseñe la orejeta que se va a soldar en la tolva para conectar las soleras de apoyo, como se muestra en la figura 16-1. La carga en la tolva es de 54.4 Mg. El material del que está hecho la tolva es acero ASTM A36. Especifique el ancho y el espesor de la orejeta y el diseño de la junta soldada. Tal vez desee coordinar el diseño de la orejeta con la co nexión atornillada del problema 16-10.
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A -2
T am añ o s b ásico s preferidos M étrico s (m m ) P rim ero S egundo
D ecim ales (plg)
Fracciones (plg) 0.015 625
5
5.000
0 .010
2.00
8.50
0 .0 3 1 2 5
5;
5.250
0.012
2.20
9.00
0 .0 6 2 5
5;
5.500
0.016
2.40
9.50
¿
0.093 75
5j
5.750
0.020
2.60
10.00
i
0 .1 2 5 0
6.000
0.025
2.80
10.50
¿
0 .1 5 6 2 5
6 65
6.500
0.032
3.00
11.00
i
0 .1 8 7 5
7
7.000
0.040
3.20
11.50
i
0 .2 5 0 0
75
7.500
0.05
3.40
12.00
^
0 .3 1 2 5
8.000
0.06
3.60
12.50
|
0 .3 7 5 0
8 85
8.500
0.08
3.80
13.00
1h
0.437 5
9
9.000
0.10
4 .0 0
13.50
¿ ¿
¿
0 .5 0 0 0
9.500
0 .1 2
4.20
14.00
Ti
0 .5 6 2 5
10
10.000
0.16
4.40
14.50
f
0.625 0
10;
10.500
0 .2 0
4.60
15.00
ü
0.687 5
11
11.000
0.24
4.80
15.50
;
0 .7 5 0 0
11;
11.500
0.3 0
5.00
16.00
¡
0 .8 7 5 0
12
12.000
0.40
5.20
16.50
1.000
12;
12.500
0.50
5.40
17.00
1.250
13
13.000
0.60
5.60
17.50
1.500
13*
13.500
0.80
5.80
18.00
14
14.000
1.00
6.00
18.50
1 1¿
9;
lj
1.750
2
2.000
14 j
14.500
1.20
6.50
19.00
2;
2.250
15
15.000
1.40
7.00
19.50
2j
2.500
15;
15.500
1.60
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20.00
2\
2.750
16
16.000
1.80
8.00
3
3.000
16;
16.500
3¿
3.250
17
17.000
35
3.500
17 5
17.500
3j
3.750
18
18.000
4
4.000
18;
18.500
4;
4.250
19
19.000
4j
4.500
19*
19.500
4Í
4.750
20
20.000
P rim ero S egundo
100
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1
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160
16
200
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25
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30
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40
500
50
600
60
800
80 9
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700
70
7
8
550
55
5.5
6
450
45
4.5 5
350
35
3.5 4
280
28
2.8 3
220
22
2.2 2.5
180
18
1.8 2
140
14
1.4
1.6
110
11
1.1 1.2
P rim ero Segundo
900
90
1000
A -3
R oscas de tom illos (a) D im ensiones d e roscas A m erican S tandard, tam años num erados R oscas gruesas: U N C D iám etro m ayor básico, D
Área a esfuerzo de tensión
R oscas finas: UNF Área a esfuerzo de tensión
(plg)
H ilos por pulgada, n
(Plg2)
H ilos por pulgada, n
0
0 .0 6 0 0
—
—
80
0.001 80
1
0.073 0
64
0.00263
72
0.002 78
2
0 .0 8 6 0
56
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64
0.0 0 3 9 4
3
0 .0 9 9 0
48
0.004 87
56
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4
0 .1 1 2 0
40
0.0 0 6 0 4
48
0.00661
5
0 .1 2 5 0
40
0.0 0 7 9 6
44
0.008 30
6
0 .1 3 8 0
32
0.0 0 9 0 9
40
0.010 15
T am año
(p ig 2)
8
0 .1 6 4 0
32
0 .0 1 4 0
36
0.014 74
10
0 .1 9 0 0
24
0 .0 1 7 5
32
0 .0 2 0 0
12
0 .2 1 6 0
24
0.024 2
28
0.025 8
(b ) D im ensiones de roscas A m erican Standard, tam años en fracciones R oscas gruesas: U N C D iám etro m ayor b á s ic o ,/) Tam año
(pig)
Hilos por pulgada, n
Área a esfuerzo de tensión
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(pig2)
R oscas finas: U N F
H ilos por pulgada, n
Área a esfuerzo de tensión (p ig 2)
(c) Dimensiones de roscas métricas R o sc a s g ru esa s 'iá m etro m a y o r b á s ic o , D
R o s c a s fin a s
A r ea a e s f u e r z o
A r ea a e s f u e r z o
P aso
d e te n s ió n
P aso
d e te n s ió n
(m m )
(m m )
( m m 2)
(m m )
( m m 2)
1
0 .2 5
0 .4 6 0
1.6
0 .3 5
1.27
0 .2 0
1.57
2
0 .4
2 .0 7
0 .2 5
2 .4 5
___
__
2 .5
0 .4 5
3 .3 9
0 .3 5
3 .7 0
3
0 .5
5 .0 3
0 .3 5
5.61
4
0 .7
8 .7 8
0 .5
5
0 .8
1 4 .2
0 .5
16.1
6
1
2 2 .0
9 .7 9
2 0 .1
0 .7 5
8
1.25
3 6 .6
1
3 9 .2
10
1.5
5 8 .0
1.2 5
6 1 .2
8 4 .3
1.2 5
12
1 .7 5
16
2
157
20
2 .5
24
3
30
3.5
9 2 .1
1.5
16 7
245
1.5
272
353
2
384
561
2
62 1
817
3
865
36
4
42
4 .5
1 121
—
—
48
5
1473
—
—
5 8 7
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OI 00 00
A-4
Propiedades de v ig a s de madera estándar Área de secció n
T am año real Tam año nom inal
P lg
mm
P lg2
m m z X 10
M ódulo d e sec c ió n , 5 ,
M om ento de inercia, Ix
~3
Plg4
mm
4X
10
~6
Plg3
2 .2 3
3 .0 6
8.66
7 .5 6
mm
3X
5 0 .1
2 X 4
1.5 X 3 .5
3 8 X 89
5 .2 5
3 .3 9
5 .3 6
2X 6 2X 8
1.5 X 5 .5
3 8 X 14 0
8 .2 5
5 .3 2
20.8
1.5 X 7 .2 5
3 8 X 18 4
1 0 .8 7
7 .0 1
4 7 .6
19 .8
1 3 .1 4
215
2 X 10
1.5 X 9 .2 5
38 X 235
1 3 .8 7
8 .9 5
9 8 .9
4 1 .2
2 1 .4
351
74 .1
3 1 .6
518
124
2 X 12
1.5 X 1 1 .2 5
38 X 286
1 6 .8 7
10.88
4 X 4
3 .5 X 3 .5
8 9 X 89
1 2 .2 5
7 .9 0
4 X 6
3 .5 X 5 .5
8 9 X 140
1 9 .2 5
1 2 .4 2
4 X 8
3 .5 X 7 .2 5
8 9 X 184
2 5 .4
1 6 .3 9
111.1
4 6 .2
3 0 .7
503
4 X 10
3 .5 X 9 .2 5
89 X 235
3 2 .4
2 0 .9 0
231
9 6 .1
4 9 .9
818
415
1 78 12.51 4 8 .5
5 .2 1
7 .1 5
11 7
20.2
1 7 .6 5
289
7 3 .9
1211
3 1 .8
2 7 .7
454
8 0 .3
5 1 .6
846
8 2 .7
1355
4 X 12
3 .5 X 1 1 .2 5
89 X 286
3 9 .4
2 5 .4 2
6X 6X 6X 6X 8X 8X 8X
6 8
5 .5 X 5 .5
140 X 140
3 0 .3
1 9 .5 5
5 .5 X 7 .5
1 4 0 X 191
4 1 .3
2 6 .6 5
1 93
10
5 .5 X 9 .5
1 4 0 X 24 1
5 2 .3
3 3 .7 4
393
16 4
12 8
5 .5 x
140 X 292
6 3 .3
4 0 .8 4
697
290
7 .5 X 7 .5
191 X 191
5 6 .3
3 6 .3 2
264
110
10
7 .5 X 9 .5
191 X 24 1
7 1 .3
4 6 .0 0
536
223
11 3
1852
12
7 .5 X 1 1 .5
191 X 2 9 2
8 6 .3
5 5 .6 8
951
396
16 5
2704
1 0 X 10
9 .5 X 9 .5
2 4 1 X 24 1
9 0 .3
5 8 .2 6
679
283
14 3
2343
1 0 X 12
9 .5 X 1 1 .5
241 X 2 9 2
1 0 9 .3
7 0 .5 2
1204
5 01
209
3425
12 X 12
1 1 .5 X 1 1 .5
292 X 292
1 3 2 .3
8 5 .3 5
1458
607
253
4146
1 1 .5
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7 6 .3
17 2
121 7 0 .3
10~J
1983 1152
A -5
P ro p ied ad es d e á n g u lo s d e a cero
P a ta s ig u ales y p atas d esig u ales P erfiles L* Peso
E je
X -X
E je
Y-Y
E je Z - Z
por D e s ig n a c ió n
8X 8x 1 8X 8x i L 8X 4 X 1 L8X 4 X 5 L6x 6x * L6X 6x ¡ L6x 4 X J L6 X 4 X ¡
L L
/
S
y
/
S
X
(Ib )
(P lg 4)
(P lg 3)
( p lg )
( P lg 4)
(P lg 3)
(p lg )
(p ig )
(g rad o s)
5 1 .0
8 9 .0
15.8
15.8
2 6 .4
4 8 .6
3 7 .4
6 9 .6
5 .7 5
19.6
3 8 .5
7 .4 9
2.86
8 .4 4
2 8 .7
2 8 .2
6.66
1.78
15.0 7 .7 5
11.0
2 .3 7
1.56
4 5 .0
8 .3 6
2 .1 9
1.59
4 5 .0
3 .0 5
11.6
3 .9 4
1.05
0 .8 4 6
13.9
6 .7 4
2 .1 5
0 .8 5 9
0 .8 6 5
14.9
2 8 .2
6.66
1.78
1.17
4 5 .0
15.4
14.9
15.4
3 .5 3
1 .6 4
3 .5 3
1.64
1.19
4 5 .0
2 4 .5
6 .2 5
2 .0 8
8.68
2 .9 7
1.08
0 .8 6 0
2 3 .2
3.61
12.3
13.5
3 .3 2
1.94
4 .9 0
1.6 0
0 .9 4 1
0 .8 7 7
2 4 .0
3 .7 5
5 .5 6
1.97
1.18
5 .5 6
1.97
1.18
0 .7 8 2
4 5 .0
3 .0 4
1.05
1.0 9
3 .0 4
1.05
1.0 9
0 .7 9 5
4 5 .0
5 .0 5
1.89
1.33
2 .4 2
1.12
0 .8 2 7
0 .6 3 9
2 8 .5
1.94
ll. l
L3 X 3 X
8 9 .0 4 8 .6
2 3 .6
3 .2 5
X
14.1
2 .3 7 2 .1 9
6 .9 4
L4 X 3 X j
3
8 .3 6
4 .3 6
L4 X 4 X J
L4 X
a
p ie
( p i e 2)
12.8 6.6
L4 X 4 X j
r
Á re a
J
1.69
5 .8
2 .7 7
1.00
1.2 4
1.36
0 .5 9 9
0 .8 9 6
0 .6 5 1
2 9 .2
5
2 .7 5
9 .4
2.22
1.07
0 .9 3 2
2.22
1.07
0 .9 3 2
0 .5 8 4
4 5 .0
L3 X 3 X J
1.44
4 .9
1.2 4
0 .5 7 7
0 .8 4 2
1.24
0 .5 7 7
0 .8 4 2
0 .5 9 2
4 5 .0
L2 X 2 X
1.3 6
4 .7
0 .4 7 9
0 .3 5 1
0 .6 3 6
0 .4 7 9
0 .3 5 1
0 .6 3 6
0 .3 8 9
4 5 .0
L2 X 2 X j
0 .9 3 8
3 .1 9
0 .3 4 8
0 .2 4 7
0 .5 9 2
0 .3 4 8
0 .2 4 7
0 .5 9 2
0 .3 9 1
4 5 .0
2X 2x
0 .4 8 4
1.65
0 .1 9 0
0 .1 3 1
0 .5 4 6
0 .1 9 0
0 .1 3 1
0 .5 4 6
0 .3 9 8
4 5 .0
L
l
j
* D ato s to m ad o s d e v arias fu en tes. L o s tam añ o s relacio n ad o s son u n a p eq u eñ a m u estra d e lo s ta m a ñ o s d isp o n ib les. E jem p lo d e d e sig n ació n : L 4 x 3 x 1/2 4 = lo n g itu d d e la p ata m á s larga (p lg ), 3 = lo n g itu d d e la p ata m ás co rta (p lg ), 1/2 = esp e so r d e las p atas (p lg ) Z - Z e s el eje del m o m e n to d e in e rc ia m ín im o (/) y el ra d io d e g iro (r)
I = m o m e n to d e in ercia, S = m ó d u lo d e secció n , r = ra d io d e g iro
Oí 00
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5 90 A -6
P ro p ied a d es d e c a n a le s d e a cero A m e r ica n Standard
P e r file s C * Patín E sp eso r
E sp eso r D e sig n a c ió n
E je Y - Y
E ¡e X -X
Á rea
Peralte
d e l a lm a
A ncho
p r o m ed io
l
5
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S
X
(P 'g 2)
(P 'g)
(p lg )
(P lg)
(P lg )
(P 'g4)
(P 'g 3)
(P lg 4)
(p lg 3)
(p lg )
11.0
C 15 X 50
14.7
15.00
0 .7 1 6
3 .7 1 6
0 .6 5 0
404
5 3 .8
C 15 X 40
11.8
15.00
0 .5 2 0
3 .5 2 0
0 .6 5 0
34 9
4 6 .5
3 .7 8
0 .7 9 8
9 .2 3
3 .3 7
0 .7 7 7
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* D a to s to m a d o s d e varias fu en te s. L o s tam añ os r ela cio n a d o s son u na p eq u eñ a m u estra d e lo s tam a ñ o s d is p o n ib le s. E je m p lo d e d e sig n a c ió n : C 1 5 x 5 0 5 = p era lte (p lg ), 5 0 = p e s o p or u n id a d d e lo n g itu d (lb /p ie ) / = m o m en to d e in ercia , S = m ó d u lo d e s e c c ió n
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7.51 3.86
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‘ D a to s to m a d o s d e v a ria s fu e n te s. L o s ta m a ñ o s re la c io n a d o s s o n u n a p e q u e ñ a m u e s tra d e lo s ta m a ñ o s d is p o n ib le s . E je m p lo d e d e s ig n a c ió n : W 14 x 4 3 14 = p e ra lte n o m in a l (p lg ), 4 3 = p e so p o r u n id a d d e lo n g itu d (Ib /p ie ) / = m o m e n to d e in e rc ia , S = m ó d u lo d e s e c c ió n
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10.2 8.51 5 .4 6
2 0 .3
6 .2 4
1.90
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P rop ied a d es de v ig a s d e acero A m erican Standard
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27.7
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S18 X 70
2 0 .6
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1 5 .00
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5 .5 7 5 .7 4
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S 5 X 10
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♦ D a to s to m a d o s d e varias fu en tes. L o s tam años r elacion ad os son una p eq u eñ a m uestra d e lo s tam años d isp o n ib le s. E jem p lo d e d e sig n a ció n : S 1 0 x 3 5 10 = p eralte n om in al (p lg ), 3 5 = p e s o por unidad d e lon g itu d (Ib /p ie) / = m o m en to d e inercia, S = m ó d u lo de s e c c ió n
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3 .7 3 3 .1 7
1.86 1.64
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6 = p e ra lte v ertical (p lg ), 4 = a n ch o (p lg ), \ = e s p e s o r de p ared (p lg ) / = m o m e n to d e in e rc ia , S = m ó d u lo d e s ec c ió n , r = ra d io d e g iro
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5.87
8.22
• D a to s to m a d o s d e v a ria s fu en tes. L o s ta m a ñ o s re la c io n ad o s son u n a p e q u e ñ a m u e stra d e lo s ta m a ñ o s d isp o n ib le s.
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5.59
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7.63
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1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.25 2.75 2.50 3.25 2.75 3.50 3.00 3.75 3.25 4.00 3.50 4.25 4.00 5.00
0.491 0.911 0.965 1.358 1.478 1.982 1.881 2.627 2.410 3.427 2.725 4.009 3.526 4.923 4.237 5.927 5.218 7.109 7.036 10.053
Peso (lb/pie) 0.577 1.071 1.135 1.597 1.738 2.331 2.212 3.089 2.834 4.0 30 3.205 4.715 4.147 5.789 4.983 6.970 6.136 8.360 8.274 11.822
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0.288 0.546 1.41 1.97 3.91 5.21 7.88 11.14 14.35 21.04 22.09 33.79 37.40 52.69 54.41 78.31 83.22 116.15 159.76 239.69
0.288 0.546 0.94 1.31 1.95 2.60 3.15 4.45 4.78 7.01 6.31 9.65 9.35 13.17 12.09 17.40 16.64 23.23 26.63 39.95
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0.35 0.35 0.35 0.35 0.40 0.40 0.45
Fuente : A lum inum A sso ciatio n , Aluminum Standards and Data , 1 la. ed., W ash in g to n , D C , © 1993, pág. 187. V éan se las n o tas al pie de la tab la A —11.
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1.21 1.20 1.63 1.62 2.05 2.06 2.44 2.48 2.85 2.90 3.26 3.27 3.58 3.63 3.99 4.04 4.77 4.88
1.13 0.96 1.20 1.02 1.27 1.10 1.35 1.25 1.60
A -l 1
V ig as I están d ar de la A lu m in u m A ssociation: dim en sio n es, áreas, p eso s y p ro p ied ad es de se cción P ro p ied ad es de sección*
T am añ o -----------------P eralte, A n ch o ,
A
B
A rea*
(P 'g )
(plg)
(Plg2)
3.00 3.00 4.00 4.00 5.00 6.00 6.00 7.00 8.00 8.00 9.00 10.00 10.00 12.00 12.00
2.50 2.50 3.00 3.00 3.50 4.00 4.00 4.50 5.00 5.00 5.50 6.00 6.00 7.00 7.00
1.392 1.726 1.965 2.375 3.146 3.427 3.990 4.932 5.256 5.972 7.110 7.352 8.747 9.925 12.153
E spesor de patín,
E spesor del alm a.
P eso (lb /p ie)
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1
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(Plg)
( P lg )
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( p lg )
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( p l g 3)
( P lg )
1.637 2.030 2.311 2.793 3.700 4.0 30 4.692 5.800 6.181 7.023 8.361 8.646 10.286 11.672 14.292
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R a d io de red o n d eo ,
E jeX -X
Eje Y-Y
----------------------------------------
-------------------------------------
Fuente: A lu m in u m A sso ciatio n , Aluminum Standards and Data, 1 la. ed ., W ashington, D C , O 1 9 9 3 ,p ág. 187. • L a s áreas relacio n ad as e stán basad as en d im en sio n es n om inales. +L os p eso s p o r p ie están basad o s e n d im en sio n es n o m in ales y en un a densidad de 0 .0 9 8 lib ras po r p u lg ad a cúbica, la cu al es la d en sid ad de la aleación 6061. * / = m o m en to d e inercia; S= m ódulo d e sección; r = rad io de giro.
OI <0 OI
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0.42 0.54 0.69 0.87 1.31 1.55 1.87 2.57 2.92 3.42 4.44 4.93 6.01 7.69 10.14
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596 A -l
2
P ro p ie d a d e s d e tu b o d e a c e ro fo ija d o sin c o s tu ra y so ld a d o cé d u la 4 0 e s tá n d a r n a c io n a l a m e ric a n o
N o m in a l i I 4 3 8 1 2 3 4
P ro p ie d a d e s d e se c c io n e s
Á re a de se c c ió n
D iá m e tro (p lg )
M ó d u lo d e
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z , , ( p i g 3)
0 .2 6 9
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1.0 49
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li
1.380
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•j
1.610
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2j
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P ro p ie d a d e s r e p re s e n ta tiv a s d e a c e r o s a le a d o s y al c a rb ó n * R e s is te n c ia a la
R e s is te n c ia
c e d e n c ia , s v
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P o rc e n ta je de
M a te ria l A IS I n ú m .
C o n d ic ió n *
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M Pa
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a la rg a m ie n to
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R e c o c id o
57
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E s tira d o e n frío
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R e c o c id o
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E s tira d o e n frío
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103
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23
* O tra s p r o p ie d a d e s a p r o x im a d a m e n te ig u a le s p a ra to d o s lo s a c e ro s a le a d o s y a l c a rb ó n : M ó d u lo d e e la s tic id a d a te n s ió n = 3 0 0 0 0 0 0 0 lb /p lg 2 (2 0 7 G P a ) M ó d u lo d e e la s tic id a d a c o rta n te = 11 5 0 0 0 0 0 lb /p lg 2 (8 0 G P a ) D e n s id a d = 0 .2 8 3 lb „ /p lg 3 ( 7 6 8 0 k g /m 3) * O Q T s ig n if ic a te m p la d o y e n f ria d o e n a c e ite (o il-q u e n c h e d a n d te m p e re d ). W Q T s ig n if ic a te m p la d o y e n fria d o e n a g u a (w a te r -q u e n c h e d a n d te m p e re d .)
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A -l 4
Propiedades representativas de aceros inoxidables y m etales no ferrosos R e s i s t e n c ia ú ltim a ,
su
R e s i s t e n c i a a la
M ó d u lo d e
c e d e n c ia ,ív
D e n s id a d
e la s tic id a d ,
E
P o r c e n ta je d e
M a te r ia l y k si
c o n d ic i ó n
M Pa
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M Pa
a la r g a m ie n to
ib /p i s 3t
k g /m J
lb / p l g 2 x 10-6
GPa
A c e ro s in o x id a b le s A I S I 301 re c o c id o
110
758
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0 .2 9 0
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A I S I 301 d u ro
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A IS I 4 3 0 re c o c id o
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A IS I 4 3 0 d u ro
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A IS I 501 re c o c id o
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A I S I 501 O Q T 1 0 0 0
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1 7 -4 P H H 9 0 0
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P H 1 3 -8 M o H 1 0 0 0
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2 9 .4
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Cobre y sus aleaciones C o b re C 14500 C o b re C 17000 B ro n c e C 5 4 4 0 0 L a tó n C 3 6 0 0 0
suave
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M agnesio-fundido A S T M A Z 6 3 A -T 6
Zinc-fundido Z A
12
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1 6.5
45 83
Aleación d e titanio T Í -6 A 1 - 4 V e n v e je c id o
’ É s t a s e p u e d e u s a r c o m o p e s o e s p e c í f i c o o c o m o d e n s i d a d d e m a s a e n l b „ / p l g 3.
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A -l 5
P r o p ie d a d e s d e a c e r o s e s tr u c tu r a le s
Resistencia última. 5..* Material ASTM núm. y productos
Resistencia a la cedencia, i,.*
Porcentaje de alargamiento en 2 plg
• ksi
MPa
ksi
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58
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483 462 434
50 46 42
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21 21 21
A 500-Tubería estructural formada en frío Redonda, grado A Redonda, grado B Redonda, grado C Perfilada, grado A Perfilada, grado B Perfilada, grado C
45 58 62 45 58 62
310 400 427 310 400 427
33 42 46 39 46 50
228 290 317 269 317 345
25 23 21 25 23 21
ASO 1-Tubería estructural formada en caliente, redonda o perfilada
58
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23
758 690
100 90
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18 16
414 448 517 552
42 50 60 65
290 345 414 448
24 21 18 17
A 36-Perfiles, placas y barras de acero al carbón A 242-Perfiles, placas y barras de baja aleación y alta resistencia < 3/4 plg de espesor 3/4 a l 1/2 plg de espesor 1 1/2 a 4 plg de espesor
A 5 14-Placa de acero aleado templado y enfriado de alta resistencia a la cedencia 110 < 2 1/2 plg de espesor 100 2 1/2 a 6 plg de espesor A 572-Perfiles, placas y barras de acero de baja aleación de colum bio-vanadio de alta resistencia 60 Grado 42 65 Grado 50 75 Grado 60 80 Grado 65
•V alores mínimos; pueden ser m ás elevados. El American Institute o f Steel Construction especifica E = 29 x 106 lb/plg2 (200 GPa) para acero estructural.
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A -1 6
Propiedades rep resen tativ as del h ierro colado* R esistencia ú ltim a
R esistencia a la c ed c n c ia
Sus T ipo d e m aterial y grado H ierro gris A S T M A 48 G rad o 20 G rad o 4 0 G ra d o 60
**
:
ksi
M Pa
ksi
M Pa
ksi
M Pa
ksi
M Pa
20 40 55
138 276 379
80 140 170
552 965 1170
32 57 72
221 393 496
— — —
— — —
60 80 100 120
414 552 690 827
— — —
— — —
57 73 —
393 503 —
180
1240
—
—
40 55 70 90
125 150 175 200
862 1034 1207 1379
— — —
— — —
— — —
— — —
—
—
—
65 80 95
448
552
240 240
655
240
49 65 75
M ódulo de elasticidad, £ * lh /p lg 2 x 10-6
12.2 19.4
P orcentaje de G Pa alarg am ien to
21.5
84 134 148
<1 < 0 .8 < 0 .5
276 379 483 621
24 24 24 23
165 165 165 159
18 6 3 2
—
85 100 120 140
586 690 827 965
24 24 24 24
165 165 165 165
10 7 4 2
338 448 517
45 60 80
310 414 552
26 27 27
170 186 186
8 4
H ierro d ú ctil A S T M A 5 3 6 6 0-40-18 80-55- 6 100-70- 3 120-90- 2 H ierro d úctil a u stem p lad o (A D I) G rad o 1 G rad o 2 G rad o 3 G rad o 4 H ierro m aleab le A ST M A 220 45008 60004 80002
1650 1650 1650
♦ L a d en sid ad d el h ie rro co lad o v aría d e 0.25 a 0 .2 7 Ib n /p lg 3 (6 9 2 0 a 7480 k g /m 3). *V alo res m ín im o s; p u ed en ser m ayores. *V alo res ap ro x im ad o s; p u ed en s e r m ay o res o m en o res en a p ro x im ad am en te 15% .
600
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2
A -1 7
P ro p ie d a d e s r e p re s e n ta tiv a s d e a le a c io n e s d e a lu m in io *
Resistencia última, su
Resistencia a la cedencia
Aleación y temple
ksi
MPa
ksi
MPa
Porcentaje de alargamiento
1100-H12 1100-H18
16 24
110 165
15 22
103 152
25 15
2014-0 2014-T4 2014-T6
27 62 70
186 427 483
14 42 60
97 290 414
3003-0 3003-H12 3003-H18
16 19 29
110 131 200
6 18 27
5154-0 5154-H32 5154-H38
35 39 48
6061-0 6061-T4 6061-T6
18 35 45
241 269 331 124 241 310
7075-0 7075-T6
33 83
228 572
Aleaciones fundidas (moldeo de fundición permanente) 331 48 204.0-T4 228 33 356.0-T6
Resistencia a cortante, ksi
MPa
18 20 13
10 13 18 38 42
69 90 124 262 290
41 124 186
40 20 10
11 12 16
76 83 110
17 30 39
117 207 269
27 15 10
22 22 28
152 152 193
8 21 40
55 145 276
30 25 17
12 24 30
83 165 207
15 73
103 503
16 11
22 48
152 331
29 22
200 152
8 3
♦ Módulo de elasticidad £ para la mayoría de aleaciones de aluminio, entre las que se incluye 1100,3003, 6061 y 6063 es lO x 106lb/plg2(69GPa).Para2014 .£ = 10.6x 10 lb/plg (7 3 G Pa).Para5 1 5 4 ,£ -1 0 .2 x 106lb/plg2 (70 GPa). Para 7075, E = 10.4 x 106lb/plg2 (72 GPa). La densidad en la mayoría de las aleaciones de aluminio es de casi 0.10 lbm/plg3 (2770 kg/m ).
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602 A -1 8
Propiedades representativas de la madera Esfuerzo permisible Com presión
Tensión paralela a la veta
Flexión Tipo y grado
lb/plg2
Cortante horizontal
Perpendicular a la veta lb/plg2
MPa
Paralela a la veta lb/plg2
M ódulode elasticidad
MPa
lb/plg2
MPa
lb/plg2
MPa
M Pa
ksi
1750 1450 800
12.1 10.0 5.5
1050 850 475
7.2 5.9 3.3
95 95 95
0.66 0.66 0.66
385 385 385
2.65 2.65 2.65
1250 1000 600
8.62 6.90 4.14
1800 1700 1500
12.4 11.7 10.3
1400 Núm . 1 1150 Núm . 2 625 Núm . 3 ino del su r-2 1/2 a 4 plg de espesor, 6 plg y m ás ancho
9.6 7.9 4.3
825 675 375
5.7 4.7 2.6
75 75 75
0.52 0.52 0.52
245 245 245
1.69 1.69 1.69
1000 800 500
6.90 5.52 3.45
1500 1400 1200
10.3 9.7 8.3
1400 1000 650
9.6 6.9 4.5
825 575 375
5.7 4.0 2.6
80 70 70
0.55 0.48 0.48
270 230 230
1.86 1.59 1.59
850 550 400
5.86 3.79 2.76
1600 1300 1300
11.0 9.0 9.0
Pino D ouglas-2 a 4 plg de espesor, 6 plg y m ás ancho Núm. 1 Núm. 2 Núm. 3 A b eto - 2 a 4 plg de espesor, 6 plg y m ás ancho
Núm. 1 Núm. 2 Núm. 3
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GPa
A -l 9
Propiedades representativas de plásticos seleccionados Resistencia a la tensión Tipo*
ABS A cetal copolím ero R esina epóxica, m oldeada N ylon 6/6 Policarbonato Poliéster PE T Polipropileno P oliestireno
M ódulo de tensión
R esistencia flexional
D ensidad
ksi
MPa
ksi
MPa
ksi
GPa
lb /p lg 3
k g /m J
7 9 15 26 9 16 22 27 10 12
48 62 103 179 62 110 152 186 69 83
11 13 30 35 18 19 31 50 14 17
76 90 207 241 124 131 214 345 97 117
360 400 3000 1300 2500 860 1700 3200 800 800
2.5 2.8 20.7 9.0 17.2 5.9 11.7 22.1 5.5 5.5
0.036 0.051 0.069 0.041 0.066 0.049 0.059 0.069 0.041 0.042
995 1410 1910 1135 1825 1355 1630 1910 1135 1165
•R efo rzad o con fibra d e v idrio y otras fibras.
A -2 0
R ecom endaciones para esfu erzo de diseñ o -esfu erzo s
norm ales directos Tipo de carga Estática R epetida Im pacto o choque
M aterial dúctil
M aterial frágil
|
|
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A -2 1
A -2 1 -1
F acto res de co n cen tració n d e esfu erzo
B arra c irc u la r ran u rad a ax ialm en te carg ad a a tensión
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A -2 1 -3
P laca p lan a escalo n ad a ax ialm en te carg ad a a tensión
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A -2 1 -4
P la c a p la n a c o n u n a g u je r o e n e l c e n t r o s o m e ti d a a te n s ió n y a f le x ió n
Geom etría básica
onom basado
en la sección neta
Curva B Carga de tensión aplicada a través de un pasador en el agujero
Curva A Tensión directa en la placa
Curva C Flexión en el plano de la placa
neto
F= carga total
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1.0 cuando d/w< 0.5
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A - 2 1 -6
B a rr a c ir c u la r r a n u ra d a s o m e tid a a to rs ió n
1.1
0
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610
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A -2 1 -9
B arra c irc u la r esc a lo n a d a s o m etid a a flexión
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A -2 1 -1 0
P la c a p la n a e s c alo n a d a s o m e tid a a f le x ió n
r/h
A -21-11 Flechas con cuneros-som etidas a flexión y torsión Tipo de cuñero Extremo Perfil
K,* 1.6 2.0
*K, se debe aplicar al esfuerzo calculadopara el diámetro nominal completo de la flecha donde se localiza el cuñero.
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M o m e n to s
MÁ = M„ = M c = y
D e fle x io n e s E n el c e n tro
B: 192 El
y B: —Px2 --------(3 L - 4x) 4 8 El
E n tre ,4
y 7
=
(e) R e a c c io n e s
Pb2
Ra =
+
Pa2
Re -
b)
+ fl)
M o m e n to s
—Pab1 2Pa b L' —Pa2b Mc L2
■
'
D e fle x io n e s En
B d o n d e a c tú a
v« = En
<0
la ca rg a :
- /v V
3EIL*
D d o n d e x\
=
2
al
3a + b —2Pab 3EI(3a + ¿>)
E n tre A y
B (s e g m e n to m á s la r g o ) : Px2 b2 -V -y-[2a(L - x) + L (a 6EIL E n t r e B y C (s e g m e n to m á s co rto ): -
-P v 2a2
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A -2 5
F acto res de conversión M u ltip liq ú ese el valor d ado p o r el facto r para convertir:
C antidad Á rea C arga M om ento flexionante D ensidad F uerza L ongitud M asa P ar d e to rsión Potencia Esfuerzo o presión
U nidad estadounidense p ig ' pie1 lb/plg1 lb/pie1 l b p lg lb p ie lbm/p lg 3 lb « /p ie3 Ib k ip p ig p ie lb„ l b p lg hp lb/plg1 ksi lb /plg2 ksi
U nidad SI mm2 m2 kPa kPa Nm N-m k g /m 3 k g /m 3 N kN mm m
M ódulo de secció n
p ig 3
kg Nm kW kPa M Pa G Pa G Pa mm3
M o m en to de inercia
p ig
mm4
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D e unid ad estad o u n id en se a unidad SI 6 4 5 .1 6
D e unid ad SI a unid ad estadounidcn 1 .5 5 0
0 .0 9 2 9
10"3
X
10“ 5
0 .1 4 5 0
6 .8 9 5 0 .0 4 7 9
2 0 .8 9
0 .1 1 3 0
8 .8 5 1
1 .3 5 6
0 .7 3 7 6
2 .7 6 8
X
1 0 .7 6
X
104
3 .6 1 3 0 .0 6 2 4
1 6 .0 2
0 .2 2 4 8
4 .4 4 8 4 .4 4 8
0 .2 2 4 8
2 5 .4
0 .0 3 9 3 7
0 .3 0 4 8
3 .2 8 1
0 .4 5 4
2 .2 0 5
0 .1 1 3 0
8 .8 5 1
0 .7 4 5 7
1 .3 4 1
6 .8 9 5
0 .1 4 5 0 0 .1 4 5 0
6 .8 9 5 6 .8 9 5
X
10"6
6 .8 9 5
X
1 0 -3
1 .6 3 9
X
104
4 .1 6 2
X
105
X
105
6 .1 0 2
X
1 0"5
2 .4 0 3
X
10"6
1 .4 5 0 1 4 5 .0
R e s p u e s ta s a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s
C a p it u lo 1 1 - 1 7 . 7.85 k N enfrente 11.77 k N detrás 1 - 1 9 . 5 4 .5 m m 1 - 2 3 . 1765 Ib enfrente 2 6 4 6 Ib detrás
1 - 4 3 . 8 0 3 lb /p lg 2 1 - 4 5 .
1 -2 S . 5 5 .1 1 b 2 5 .7 Ib/plg 2 .1 4 p lg 1 - 2 7 . 39 8 slugs 1 - 2 9 . 8 2 7 4 kP a 1 - 3 1 . 9 6 .5 a 5 2 4 M Pa 1 -3 3 . 9 0 9 7 m m 2 1 - 3 5 . Á rea = 3 2 4 p lg 2 Á rea = 2 .0 9 x 10 5 m m 2 V o l. = 3 8 8 8 p lg 3 V o l. = 6 . 3 7 x 1 0 7m m 5 V o l . = 6 . 3 7 x 10r2m 3
— 122 M Pa ten sió n
1 - 4 9 .
1 - 3 7 . 4 0 .7 M Pa
1 - 6 3 . 2 4 .7 M Pa
1 - 3 9 . 5 3 7 5 lb /p lg 2
1 - 6 5 . Pasador: z = 5 0 9 3 0 lb /p lg 2
1 - 4 1 . 7 9 .8 M Pa
C ollar: r = 3 8 8 0 0 lb /p lg 2
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1 -6 7 .
183 MPa
1 -6 9 .
73.9 MPa
1 -7 1 .
22.6 MPa
1 -7 3 .
(a) 2187 lb/plg2 (b) 530 lb/plg2
1 -7 5 . 1 -7 7 .
18963 lb/plg2 28.3 MPa
1 -7 9 .
5.39 MPa
3 - 3 3 . rfm¡„= 0.808 basada en cortante
Para d= 1.00 pig, apoyo o empuje 3 -3 5 . X =
C a p ítu lo 2 2 -1 5 .
1020 H R
2 -1 9 .
16.4 Ib
3 -3 7 .
151 MPa; requerido i„ = 1473 MPa 83 kN
3 -3 9 .
256 kN
3 -4 1 . 3 -4 3 .
18 300 1b 62 650 Ib
3 -4 5 .
119500 1b
0.285 pig para esfuerzo de
3 -4 7 .
119 700 1b
3 -4 9 .
Pasador A: dM„= 13.8 mm Pasadores en B y C: dmi„= 17.7 mm
Fuerza de elevación = 2184 Ib r = 6275 lb/plg2si el pasador está sometido a cortante doble 3-53. ¿min=0.199plg 3 -5 1 .
2-21. Magnesio 2-29. sü, = 40 ksi; .vLK . = 140 ksi 2-31. Flexión: a¿ = 1450 lb/plg2 Tensión: a¿ = 850 lb/plg2 Compresión: a¿ = 1000 lb/plg2paralelo a la veta Compresión: ad = 385 lb/plg2perpendicular a la veta Cortante: td = 95 lb/plg2
3-55. iVen el agujero = 3.91 ¿Ven los redondeos = 7.20
C a p ítu lo 3
C ap ítu lo 4
3 -3 .
Se requiere.?^ 216 MPa Se requiere su= 86 000 lb/plg2
3 -5 .
No. esfuerzo de tensión excesivo
3 -7 .
dmin= 0.824 pig dm¡„= 12.4mm Se requiere ad> 803 lb/plg2
3 -1 .
3 -9 . 3 -1 1 . 3 -1 3 .
16.7 kN
3 -1 5 .
3 -1 7 .
En los lados B y H: !},*„= 22.2 mm; H„r„=44.4mm Se requiere ^ .= 3 6 0 MPa Se requieres,,=400 MPa
3 -1 9 . 3 -2 1 . 3 -2 3 . 3 -2 5 .
3 -5 7 .
19.15 MPa en las ranuras circulares
4 -1 .
0.041 pig
4_3.
Fuerza = 2357 Ib <7 = 3655 lb/plg2
4 -5 .
(a)y (b)í/„,¡n= 10.63 mm; masa = 0.430 kg
(c)d„¡„= 18.4 mm; masa = 0.465 kg 4-7. (a) 0.857 mm (b) 0.488 mm
202601b 0.577 m en un lado
4 -9 .
Alargamiento = 0.0040 pig Compresión = 0.00045 pig
4 -1 1 . 4 -1 3 .
Fuerza = 32141b;insegura 5 = 0.016 mm a = 27.9 MPa
4 -1 5 .
0.804 mm
4 -1 7 .
2.22 mm más corto
4 -1 9 .
(a) a = 0.276 pig; tr=37 300 lb/plg2(valor próximo a sy) (b) a = 62 200 lb/plg2—mayor que su. El alambre se romperá Fuerza = 67371b ¿ = 0.055 pig Masa = 132 kg a - 183 MPa 0.806 pig 180 MPa
3 -2 6 .
36.4 kip
3 -2 7 .
52.3 kip
3 -2 8 .
(a) 30.4 kip (b) 43.6 kip
4 -2 1 .
3 -2 9 .
(a) (T„ = 1572 psi (b) Un diseño posible: Una placa cuadrada en la parte inferior de cada pata; 2.50 pig por lado
4 -2 3 .
3 -3 1 .
£ mjn= 0.556 pig basada en cortante
4 -2 7 .
4 -2 5 .
624
R e s p u e s ta s a p ro b le m a s s e le cc io n a d o s
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4 -29. (a) 0.459 mm (b) 213 M P a
5-45. 0.0667 rad
4-31. 693 lb/plg2
5-49. 0.00363 rad
4 -33. 234.8 °C
5-51. 0.0042 rad
4 -35. Latón: S = 6.46 m m A cero inoxidable: S = 3.51 mm
5-53. 82 750 lb plg
5-47. 1.82 MPa
5-55. 153 600 lb p lg
4-37. 38.7 M Pa 4-39. a = 37500 lb/plg2de com presión. La barra fallaría a com presión o se pandearía
5-57. W / W 1-028 ^tubería/$ubo= 1.186
4-41. 0.157 plg 4-43. 154 MPa 4-45. a , = 17.1 MPa; a , = 109 MPa 4 -4 7 . 13.8 plg
C a p ítu lo 6
4 -4 9 . d m¡„= 6.20 mm 4 -5 1 . o-, = 427 MPa; tra = 49.4 MPa
NOTA: Las respuestas siguientes se refieren a las figuras P6-1 a P6-84. Por lo que se refiere a las reacciones, R, es la de la izquierda; R2 es la de la derecha. V y M se refieren a los valores m áxim os absolutos de la fuerza cortante y el m om en to flexionante, respectivam ente. Las soluciones com pletas requieren la construcción de los diagramas completos de fuer za cortante y m om ento flexionante.
C apítulo 5
P 6 -1 . R, = R 2 = 325 Ib V = 325 Ib M = 4550 lb plg
5 -1 . 178 MPa 5 -3 . 4042 lb/plg2
P 6 -3 . R, = 11.43 K; R 2 = 4.57 K V = 11.43 K M = 45.7 K-pie
5 -5 . 83.8 M Pa 5 -7 . r = 6716 lb/plg2; seguro
P 6 -5 . R, = 575 N; R¡ = 325 N V = 575 N M = 195 N m
5 -9 . r = 5 1 9 0 lb/plg2; se requiere sy = 62 300 lb/plg2 5 -1 1 . r = 52.8 MPa; 0 = 0.030 rad; se req u ieres, = 211 MPa
P 6 -7 .
M = 71.54 kN m
5 -1 5 . d min= 0 .5 1 2 p lg 5 -1 7 . Potencia = 0.0686 hp; r = 8488 lb/plg2; se requiere s, = 67 900 lb/plg2 5-19. D ,= 12.09 plg; D „= 15.11 plg 5 -21. 1.96 N m 5 -23. 0.1509 rad 5 -2 5 . 0.267 rad 5 -27. 0.0756 rad 5 -2 9 . 0.278 rad 5-3 1 . 0AB = 0.0636 rad; 0 AC = 0.0976 rad 5-33. r = 9.06 MPa; 8 = 0.0046 rad 5-35. 49.0 MPa 5-37. 1370 lb p lg 5-39. 2902 lb plg 5-41. 0.083 rad 5-43. 0.112 rad
= 46.36 kN; R 2 = 23.64 kN V = 46.36 kN
5 -1 3 . D¡ = 46.5 m m ; D„ = 58.1 mm
P6—9. R, = 1557 Ib; R 2 = 1743 Ib V = 1557 Ib M = 6228 lb plg P 6-11. R, = 7.5 K; R 2 = 37.5 K V = 20 K M = 60 K pie P 6-13. R, - R 2 = 250 N V = 850 N M = 362.5 N m P 6-15. R¡ = 37.4 kN (hacia abajo); R 2= 38.3 kN (hacia arriba) V = 24.9 kN M = 50 kN m P 6-17. R = 120 Ib V = 120 Ib M = 960 lb plg P 6-19. R = 24 K V = 24 K M = 168 K pie 625
R e sp u e s ta s a p ro b le m a s se le c cio n a do s
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P 6 -2 1 . R = 1800 N V = 1800 N M = 10 2 0 N m P 6-2 3 . R = 120 k N V = 120 k N
M
P 6 -5 3 .
R , = 49 5 0 N; R 2 = 3100 N V = 2950 N M = 3350 N m
P 6 -S 5 .
R = 236 Ib V = 236 Ib
= 240 kN m
P 6-2S . R , = R 2 - 180 Ib V = 180 Ib
M
M = 1504 lb plg P 6 -5 7 .
V = 1130 N M = 709 N m
= 810 lb -p lg
P 6 -2 7 . R , = 2 4 0 Ib; R 2 = 1 20 Ib V = 2 4 0 Ib
R = 1130 N
P 6 -S 9 .
R = 23 0 kN V = 230 kN M - 4 3 0 kN -m
P 6 -6 1 .
R = 1400 Ib V = 1500 Ib
P 6 -6 3 .
R = 1250 N V = 1250 N M = 1450 N-m
P 6-33. R , = R 2 = 4 4 0 Ib V >= 2 4 0 Ib M = 3 6 0 lb p lg
P 6 -6 5 .
P 6-35. R i = 1456 N ; R , = 6 4 4 N V == 9 5 6 N M ■= 125 N m
R , = 1333 Ib; R 2 = 26 6 7 Ib V = 26 6 7 Ib M = 5132 Ib fi
P 6 -6 7 .
P 6-3 7 . R i = 3 5 .3 N ; R , = 9 2 .3 N V = 5 2 .2 N M ■ = 4 .0 N m
R, = R 2 = 75 N V = 75 N A/ — 15 N-m
P 6 -6 9 .
R i « 8 .6 0 kN ; R 2 = 12.2 kN V = 12.2 kN M = 9 .3 0 k N m
P 6 -7 1 .
R, = R 2 = 5 4 0 0 Ib V = 5 4 0 0 Ib M = 19 8 0 0 Ib-ft
P 6 -7 3 .
R = 10.08 k N y = 10.08 kN M = 8 .0 6 4 k N m
P 6 -7 5 .
R = 7875 Ib
M
= 6 4 0 lb p lg
P 6 -2 9 . R¡ = 9 9 .2 N ; R , = 6 5 .8 N V = 9 9 .2 N M = 9 .9 N m P 6 -3 1 . R , = 4 2 k N ; R 2 = 5 0 k N V -■= 5 0 k N
M
M = 9 9 0 0 0 lb p lg
= 1 5 2 .2 k N m
P 6 -3 9 . R = 3 6 0 Ib V = 3 6 0 Ib
JW == 16 2 0
lb p lg
P 6 -4 1 . R = 6 0 0 N V = 600 N M =■ 2 0 0 N m P 6 -4 3 . R , =■ R 2 = 3 3 0 Ib V = 3 3 0 1b M =■ 4 2 0 0 lb p lg P 6-45. R, = = 3 6 .6 K ; R 2 = 3 0 .4 K V = 3 6 .6 K
M=
183.2 K p ie
P 6-4 7 . R, = ■ R 2 = 4 5 0 N V = 450 N M = 1 7 2 .5 N m P 6-4 9. R, = 180 k N ; R , = 190 k N
= Ai =
M-
P a ra los p ro b le m a s P 6 - 7 7 a P 6 -8 3 , los re su lta d o s se dan sólo p a ra la se cció n p rin cip al h o rizo n tal. P 6 -7 7 .
= R 2 = 162 N V = 162 N M = 4 2 .2 N-m
630 kN m
8 0 4 Ib 2 5 2 8 lb p lg
R , = R 2 = 282 N V = 282 N M 120 N-m
P 6 -7 9 . R ,
1 90 k N
P 6-51. R , = * 3 6 Ib ; R , = 1 3 4 4 Ib
=
V = 7875 Ib M = 2 1 0 6 3 lb-ft
P 6 -8 1 .
R , = 165.4 N; R 2 = 18.4 N V = 165.4 N M = 16.54 N-m
626
R e s p u e s ta s a p ro b le m a s s e le c cio n a do s
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A = 4 8 0 m m 2; h /b = 3.33 b = 14 m m ; h = 35 m m ; 5 = 2858 m m 3; A = 4 9 0 m m 2; h /b = 2 .5
P 6 -8 3 . R¡ = 4 .3 5 N; R 2 = 131.35 N V = 127 N M = 6 .3 5 N-m
8 - 1 5 . S e requiere s „ = 2 9 0 M Pa; m aterial p o sib le - 6 0 6 1 - T 6
C apítulo 7 N O T A : Las respu estas sig u ie n te s se refieren a las figuras P 7 - 1 a P 7 - 3 9 . El prim er núm ero e s la distan cia de la b a se de la s e c c ió n al cen troide a m e n o s qu e se indique d e otra m an e ra. El seg u n d o núm ero e s el m om en to de inercia co n respecto al eje centroidal horizontal. P 7—1. 0 .6 6 3 pig; 0 .3 1 5 6 p ig 4
8 -1 7 . S e requiere 5 = 8 8 .2 p ig 3; v ig a d e acero W 2 0 x 6 6 8 -1 9 . S e requiere s„ = 1 0 .6 ksi; O K p a r a 6 0 6 1 -T 4 8 - 2 1 . S e requiere s y = 2 8 4 M P a; O K para 2 0 1 4 -T 4
8 -2 3 . S e requiere S = 1 .3 5 p ig 3; tubo d e acero c éd u la 4 0 de 3 p ig 8 - 2 4 . S e r e q u ie r e S = 6 .8 9 p lg 3; t u b o d e a c e r o 6 x 4 x l / 4 u
P 7 - 3 . 4 .0 0 pig; 184 p ig 4
8 x 2 x 1/4
P 7 - 5 . 3 5 .0 m m ; 2 .6 6 X I05 m m 4
8 - 2 5 . S e requiere S = 6 .7 2 p ig 3; v ig a d e a lu m in io 6 1 x 4 .0 3 0
P 7 - 7 . 2 0 .0 m m ; 7 .2 9 X I04 m m 4 P 7 - 9 . 2 0 .0 m m ; 1.35 X 105 m m 4
8 - 2 6 . S e requiere S = 7 .4 7 p ig 3; v ig a de a cero W 8 x 10
P 7 - 1 1 . 21.81 m m ; 1.86 X 105 m m 4
8 - 2 7 . S e requiere 5 = 7 .4 7 p ig 3; nin gú n canal a d ecu ad o
P 7 - 1 3 . 2 3 .33 m m ; 1.41 X I05 m m 4
8 - 2 8 . S e requiere S = 7 .4 7 p ig 3; tubo d e acero céd u la 4 0 d e
P 7 -1 5 .
1.068 pig; 0 .3 5 7 2 p ig 4
6 p ig
P 7 - 1 7 . 1 2 5 m m ; 6 .7 3 x 107m m 4
8 -3 1 .
S e requiere S = 9 .7 6 p ig 3; v ig a d e acero W 1 0 x 12
P 7 - 1 9 . 0 .9 3 0 5 p ig; 1.2 5 0 6 p ig 4
8 -3 3 .
S e requiere 5 = 23.1 p ig 3; v ig a de a cero W 1 4 x 2 6
P 7 - 2 1 . 4 .2 5 pig; 1 5 1 .4 p ig 4
8 -3 5 .
S e requiere S = 16.1 p ig 3; v ig a de a cero W 1 2 x 16
P 7 - 2 3 . 2 .2 5 pig; 1 0 7 .2 p ig 4 P 7 - 2 5 . 7 .3 3 pig; 1155 p ig 4 P 7 - 2 7 . 7 .4 0 pig; 4 2 3 .5 p ig 4 P 7 - 2 9 . 3 . 5 0 pig; 8 8 .9 4 p ig 4 P 7 - 3 1 . 3 .0 0 p ig a partir d el centro de cualquiera de lo s tubos;
8 -3 7 .
S e requiere S = 6 3 .3 p ig 3; v ig a d e acero W 1 8 x 4 0
8 -3 9 .
S e requiere S = 2 0 .2 p ig 3; v ig a d e acero W 1 4 x 2 6
8 -4 1 .
S e requiere 5 = 0 .5 4 0 p ig 3; v ig a de a cero W 8 x 10
8 -4 3 . S e requiere S = 2 3 .1 p ig 3; v ig a d e acero S 1 0 x 2 5 . 4 8 -4 5 . S e requiere 5 = 1 6 . 1 p ig 3; v ig a d e acero S 8 x 23
2 2 .91 p ig 4
8 -4 7 . S e requiere S = 6 3 .3 p ig 3; v ig a d e acero S 15 x 5 0
P 7 - 3 3 . 2 .7 2 3 pig: 4 6 .6 4 p ig 4 P 7 - 3 5 . 2 .6 1 2 pig; 5 8 .1 7 p ig 4
8 -4 9 . S e requiere 5 = 2 0 .2 p ig 3; v ig a de a cero S 10 x 2 5 .4
P 7 - 3 7 . 3 .5 0 pig; 1 7 .8 9 p ig 4
8 -5 1 . S e requiere S = 0 .5 4 0 p ig 3; v ig a de acero S 3 x 5 . 7
P 7 - 3 9 . 3 .3 5 5 pig; 4 5 .0 7 p ig 4
8 -5 3 . S e requiere S = 1 3 .85 p ig 3; v ig a de a cero W 1 2 x 16 8 -5 5 . S e requiere 5 = 9 .6 6 p ig 3; v ig a d e a cero W 1 0 x 12
Capítulo 8
8 -5 7 . S e requiere S = 3 8 .0 p ig 3; v ig a d e acero W 1 2 x 3 0 8 -5 9 . S e requiere S = 1 2 .12 p ig 3; viga d e a cero W 1 0 x 1 5
8 - 1 . 9 4 .4 M Pa 8 -3 . (a ) 2 0 6 2 0 lb/plg2 (b )
8 -6 1 . S e requiere S = 0 .3 2 p ig 3; v ig a de a cero W 8 x 10
41 2 4 0 lb /p lg 2
8 -6 3 . S e requiere S = 1 8 .8 p ig 3; v ig a d e m adera d e 2 x 10
8 - 5 . 21 0 5 0 lb /p lg 2
8 -6 5 . V ig a de m adera de 2 x 8
8 - 7 . a, = 6 8 8 2 lb /p lg 2 a c = 12 9 7 0 lb /p lg 2
8 - 6 8 . S e requiere 5 = 11.1 p ig 3; v ig a d e m adera d e 2 x 8
8 -9 . 5 7 9 4 lb /p lg 2 (3 9 .9 M P a)
8 -6 9 . S e requiere 5 = 2 5 . 0 p ig 3; v ig a de m adera d e 2 x 12
8 -1 1 . 13 9 6 3 lb /p lg 2 8 -1 3 . S e r e q u ie r e s 1® 2 6 3 6 m m 3; para h /b = 3.0; b = 12.1 m m ; A = 3 6 .3 m m D im e n sio n e s c o n v e n ie n te s tom adas d el a p én d ice A -2: b = 1 2 m m ;/t = 4 0 m m ; 5 = 3 2 0 0 m m ’;
8 -7 0 . S e requiere S - 2 .7 9 p ig 3; v ig a d e m adera d e 2 x 4 8 - 7 1 . S e requiere 5 = 12.5 p ig 3; v ig a d e m adera d e 2 x 8 8 -7 5 . V ig a d e m ad era d e 10 X 12; p in o d el sur no. 2 V ig a de a cero W lO x 12; a cero A S T M A 3 6
R e s p u e s tas a p ro b le m a s s e le cc io n a d o s
627
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8 -7 7 .
|
x (m m ) 0 40 80 120 160 20 0 240
4 .3 M Pa
E n A : < 7 = 3 .8 1 M Pa; O K En B: cr = 5 . 1 6 M P a; inseguro E n C: <7 = 4 .6 2 M P a; inseguro 8 - 7 9 . 5.31 N /m m 8 - 8 1 . 1180 N 8 - 8 3 . 1045 Ib
o- (M P a) 0 52.1 76.5 87.9 9 2 .6 93.8 112.5
8 - 1 1 3 . h i = 2 2 m m ; h¡ = 2 2 m m
8 - 8 5 . 102 Ib
8 - 1 1 5 . S e r e q u ie r e S = 2 2 .7 3 p l g 3
8 - 8 7 . 6 .7 7 lb /p lg
W 14 X 26
8 - 8 9 . 3 .2 0 p ie s del m uro a la ju n ta e l t u b o d e 4 p l g e s seg u ro en e l m uro
8 - 1 1 7 . Para v ig a com pu esta: w = 4 .1 8 k /p ie Para v ig a S sola: w = 3 .5 8 k /p ie
8 - 9 1 . 3 9 8 M P a en C
8 - 1 1 8 . 11.5 mm
8 - 9 3 . En el fu lcro, a = 8 0 0 0 lb /p lg 2 E n el agujero inferior, o = 5 0 6 7 lb /p lg 2 E n el agujero sig u ien te, <7 = 3 8 0 0 lb /p lg 2 E n el a gujero sig u ien te, a = 2 5 3 4 lb /p lg 2 E n el a gujero sig u ie n te , a = 1 2 6 7 lb/plg2
8 - 1 2 0 . 0 .8 0 5 in 8 - 1 2 2 . 2 5 .5 m m 8 - 1 2 4 . 4 6 m m del centro 8 - 1 2 6 . e = 12.9 m m 8 - 1 2 7 . 4 .9 4 lb /in
8 - 9 4 . E n el fu lcro, <7 = 8 0 0 0 lb /p lg 2
8 -1 2 9 . 822 N
En el agujero inferior, a = 10 0 0 0 lb /p lg 2 E n el agujero sig u ien te, a = 7 5 0 6 lb/plg2 E n el agujero sig u ien te, <7 = 5 0 0 4 lb /p lg 2 E n e l agujero sig u ien te, a = 2 5 0 0 lb /p lg 2 8 - 9 5 . (a ) C o n p iv o te e n e l agujero e x trem o c o m o se m uestra: E n el fu lcro, a = 8 0 0 0 lb /p lg 2 E n el a gujero inferior, a = 8 0 6 4 lb /p lg 2 C on el p iv o te en cualqu ier otro agujero, e l e sfu erzo m á x im o ocurre en e l fu lcro. C on el p iv o te en:
8 -1 3 1 . 625 N 8 - 1 3 3 . 2 1 .0 kN 8 - 1 3 4 . 6 .9 4 kN /m 8 - 1 3 5 . 9 .6 9 kN /m 8 - 1 3 6 . 4 8 .0 k N 8 - 1 3 7 . 126 kN
A g u je r o 2: <7= 6 8 0 0 lb /p lg 2 A g u je r o 3: c r = 5 6 0 0 lb /p lg 2 A g u je r o 4: <7= 4 4 0 0 lb /p lg 2
Capítulo 9
A g u je r o 5: <7= 3 2 0 0 lb /p lg 2 8 - 9 7 . 109 M Pa
9 - 1 . 1.125 M Pa
8 - 9 8 . 149 M Pa
9 - 3 . 1724 psi
8 - 9 9 . S e req uiere s„= 1 195 M P a A IS I 4 1 4 0 O Q T 9 0 0 (otros p o sib le s)
9 - 5 . 3 .0 5 M Pa 9 - 7 . 3180 psi
8 - 1 0 0 . 2 513 N
9 - 9 . 1661 psi
8 - 1 0 1 . 1622 N
9 - 1 1 . 6 9 .3 psi
8 - 1 0 3 . Im p osib le 8 - 1 0 5 . Sí.
8 - 1 0 9 . £ lmta= 2 0 6 m m
L2mi, =
83 .4 m m
£ 3 ,ni* = 2 4 .7 m m
9 - 1 3 . 7 .4 6 M Pa 9 - 1 5 . 2 .7 9 M Pa 9 - 1 7 . 10.3 M Pa 9 - 1 9 . 2 3 4 2 psi 9 - 2 1 . 2 4 5 Ib 9 - 2 3 . 788 Ib 9 - 2 5 . 5 0 9 8 Ib 9 - 2 7 . 661 Ib 9 - 2 9 . 787 Ib
628
R e sp u e s ta s a p ro b le m a s se le ccio n a d o s
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9 - 3 1 . S eajy = d is ta n c ia a p a r t i r d e la b a s e d e l p e rfil I:
y (in )
9 -3 9 . r = 4 3 5 2 lb /p lg 2; Td = 1 4 4 0 0 lb /p lg 2; O K a = 2 6 100 lb /p lg 2;
T ( PSÍ)
0.0
0.0
0 .5
5 .6 5
1.0( - ) l- 0( + )
6 3 .2 5
(Td = 2 3 7 6 0 lb /p lg 2; in s e g u r o 9 - 4 1 . W 1 8 X 5 5;
10.54
1.5
6 7 .3 9
2.0
7 0 .7 8
2.5
7 3 .4 2
3 .0
7 5 .3 0
3 .5
7 6 .4 3
4 .0
76.81
r = 2 4 0 4 lb /p lg 2;
Tj = 8 0 0 0 lb /p lg 2; O K
9 -4 5 . V ig a d e 4 x 1 0 9 -4 7 . 1 2 5 6 Ib 9 -4 9 . 116.3 M P a 9 -5 1 . (a) r = 1125 lb /p lg 2;
9 - 3 5 . C o n la f ó r m u la p a r a c o r ta n te e n el a lm a
(b ) o- = 6 7 5 0 lb /p lg 2;
r = 8 0 4 1 p si
8%
(c) sy = 2 0 2 5 0 lb /p lg 2; c u a l q u ie r a c e r o
m á s b a jo c o m p a r a d o c o n z¡,láx
9 -5 3 . 3 5 .4 m m ; t = 1.5 9 M P a ; N = 8 6 .7 p a r a c o r ta n te
d e l p r o b le m a 9 -3 3 9 - 3 7 . S e a 7 = d is ta n c ia a p a r tir d e la b a s e d e l p e rfil I:
y (in)
9 -5 5 . 2 4 .5 m m ; r = 1.28 M P a ;
T (P S Í)
0
0.0
= 6 3 0 0 lb /p lg 2;
9 -4 3 . T u b o c é d u l a 4 0 d e 1 1 /4 p ig
9 - 3 3 . 8 6 9 8 p si
A p r o x im a d a m e n te
t
r d = 1 4 4 0 0 lb /p lg 2; O K
9 -5 7 . S e re q u ie r e S = 0 .4 5 p ig 3; tu b o c é d u l a 4 0 d e 2 p ig
0 .1 7 5
155
0 .3 5 (-)
303
0 .3 5 ( + )
6582
1.0 2.0
7073
3 .0
7976
9 -6 5 . S e p a r a c i ó n m á x im a = 4 .3 6 p ig
4 .0
8089
9 -6 7 . S e p a r a c i ó n m á x im a = 3 .0 3 p ig
9 -5 9 . q = 7 3 6 lb /p lg ; r = 5 2 6 lb /p lg 2 9 -6 1 . 4 3 1 lb /p ie b a s a d a e n la r e s is te n c ia d e lo s re m a c h e s 9 -6 3 . 1 7 2 2 Ib b a s a d a e n fle x ió n
7638
C a p ítu lo 10 N O T A : L a s s o lu c i o n e s c o m p le ta s d e lo s p r o b le m a s 10-1 a 1 0 -2 7 r e q u ie r e n la c o n s tr u c c ió n d e l c ír c u lo d e M o h r c o m p le to y el tra z o d e l e le m e n to s o m e t id o a e s f u e r z o p rin c ip a l y d e l e le m e n to s o m e tid o a e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o . A c o n tin u a c ió n s e d a n lo s r e s u lta d o s n u m é r ic o s s ig n if ic a tiv o s . ( s h = s e n tid o h o ra rio , s a h = s e n tid o a n tih o r a r io ) ► b.Núm.
(T\
0 (g r a d o s )
&2
^ináx
^prom-
<¡f( g r a d o s ) 34.1
sah
1
3 1 5 .4 M P a
1 1 5 .4 M P a
1 0.9 sh
2 1 5 .4 M P a
1 0 0 .0 M P a
3
1 1 0 .0 M P a
-4 0 .0 M Pa
2 6 .6 sh
7 5 .0 M P a
3 5 .0 M P a
18.4 s a h
5
2 3 .5 k si
—8.5 k si
19.3 s a h
16.0 k si
7 .5 ksi
6 4 .3 s a h
7
7 9 .7 k si
- 9 . 7 k si
3 1 .7 s a h
4 4 .7 ksi
3 5 .0 ksi
9
6 7 7 .6 k P a
-9 7 7 .6 kPa
7 7 .5 s a h
8 2 7 .6 k P a
-1 5 0 .0 kPa
7 6 4 .5 k P a
7 6 .7 s a h 5 7 .5 sh
11
3 2 7 .0 k P a
-1 2 0 2 .0 kPa
6 0 .9 s a h
- 4 3 7 .5 kPa
74.1 s h
13
5 7 0 .0 lb /p lg 2
- 2 0 7 0 . 0 lb /p lg 2
7 1 .3 sh
1 3 2 0 .0 lb /p lg 2
- 7 5 0 . 0 lb /p lg 2
2 6 .3 sh
15
4 1 8 0 .0 lb /p lg 2 3 6 0 .2 M P a
- 5 1 8 0 . 0 l b /p lg 2
7 1 .6 sh
4 6 8 0 .0 lb /p lg 2
- 5 0 0 . 0 lb /p lg 2
2 6 .6 s h
17 19
2 3 .9 k si
-1 0 0 .2 M Pa
2 7 .8 s a h
2 3 0 .2 M P a
- 1 . 9 ksi
15.9 s h
12.9 ksi
1 3 0 .0 M P a
11.0
ksi
21
4 .4 k si
—3 2 .4 k si
2 0 .3 sh
18.4 k si
23
3 2 1 .0 M P a
-6 1 .0 M Pa
6 6 .4 s a h
1 9 1 .0 M P a
13 0 .0 M P a
25
2 2 5 .0 M P a
-8 5 .0 M Pa
1 5 5 .0 M P a
7 0 .0 M P a
27
7 7 5 .0 k P a
-1 4 5 .0 kPa
0.0 0.0
4 6 0 .0 k P a
- 1 4 . 0 ksi
3 1 5 .0 k P a
7 2 .8 s a h 29.1 s a h 2 4 .7 s a h
68.6
sh
4 5 .0 s a h 4 5 .0 s a h
629
R e s p u e sta s a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s
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E n lo s p r o b le m a s 10—2 9 a 10—3 9 , e l c irc u lo d e M o h r tra z a d o c o n lo s d a to s d a d o s d a c o m o r e s u lta d o q u e lo s d o s e s f u e r z o s p rin c ip a le s te n g a n e l m is m o s ig n o . E n e s ta c la s e s e p ro b le m a s , se d ib u ja e l c írc u lo s u p le m e n ta rio s ig u ie n d o lo s p r o c e d im ie n to s d e s c r it o s e n la s e c c ió n 1 0 -1 1 d e l te x to . L o s re s u lta d o s in c lu y e n tre s e s f u e r z o s p r in c ip a le s d o n d e cr, > cr3. A d e m á s , el e s f u e r z o c o rta n te m á x im o s e c a lc u la c o n e l ra d io d e l c írc u lo q u e c o n tie n e <7, y a¡, y e s ig u a l a 1/2 cr, o 1/2 a ,, c u a l q u ie r a q u e s e a m a y o r. N o s e p id e n lo s á n g u ló s d e ro ta c ió n d e lo s e le m e n to s re s u lta n te s . P ro b .
(T i
29
328.1 M P a
7 1 .9 M P a
0 .0 M P a
31
2 1 4 .5 M P a
7 5 .5 M P a
0 .0 M P a
10.0 ksi 14.4 ksi
0 .0 ksi
33
3 5 .0 ksi
35
5 5 .6 ksi
1 6 4 .0 M P a 107.2 M P a 17.5 ksi 2 7 .8 ksi
37
0 .0 k P a
-3 0 7 .9 kPa
0 .0 ksi -8 6 7 .1 kP a
39
0 .0 lb /p lg 2
- 2 9 5 . 7 lb /p lg 2
-1 8 0 4 .3 lb /p lg 2
4 3 3 .5 kP a 9 0 2 .1 lb /p lg 2
E n lo s p ro b le m a s 1 0 - 4 1 a 10 - 4 9 , s e u s a n lo s c irc u io s d e M o h r d e p ro b le m a s p r e c e d e n te s p a r a d e te r m in a r la c o n d ic ió n d e e s f u e r z o e n el e le m e n to a u n á n g u lo d e r o ta c ió n e s p e c ific a d o . L o s r e s u lta d o s e n u m e r a d o s in c lu y e n lo s d o s e s f u e r z o s n o rm a le s y el e s f u e r z o c o r ta n te e n e l e le m e n to e s p e c i fic a d o . P ro b . n ú m .
ov
41
1 30.7 M P a
43 45
-3 7 .9 M Pa 3 .6 ksi
47
- 2 0 1 0 . 3 lb /p lg 2
5 1 0 .3 lb /p lg 2
8 3 6 3 .5 lb /p lg 2
8 6 .5 lb /p lg 2
49
10-51.
213.2 31.6 43.9 392.6 1421.2
6 9 .3 M P a 197.9 M P a - 2 1 . 6 ksi
M P a sh M Pa sah ksi sh psi sh psi sh
= 230.2 MPa
10-53. 1*, = 12.9 ksi 11-27. 5 1 .6 M P a
C ap itu lo 11
11-29. 9 8 2 M P a 11-31. r = 9 9 2 3 p s i, s , = 119 k si
11-1. - 1 0 5 1 0 lb /p lg 2 11-3. 11-5.
11-33. 5 1 .5 M P a
~ 7 5 3 0 lb /p lg 2
11-35. 7 5 4 8 lb /p lg 2
1 3 9 8 0 lb /p lg 2 ;
11-37. 7 1 4 9 lb /p lg 2
orM = - 1 5 931 lb /p lg 2
11-7. - 6 4 . 3 M P a
11-39. 6 1 .5 M P a
11-9. 4 1 5 N
11-41. (a) 3 4 3 8 p si (b ) 3 4 3 8 p si
1 1 -1 1 . a = 7 2 4 M Pa; s e r e q u ie re
(c) 3 4 4 p si
s, = 1 4 4 8 M P a ;
(d ) 2 3 0 0 p si
A IS I 4 1 4 0 O Q T 7 0 0
11-13. E n B : <7= 2 4 1 8 3 lb /p lg 2 te n s ió n e n la c a r a s u p e r io r d e la v ig a <7= —18 6 7 4 lb /p lg 2 c o m p re s ió n e n la c a r a in fe rio r d e la v ig a
11-15. C a r g a = 9 6 5 0 N ; M asa = 983 kg
11-17. 2 6 m m 11-19. 18.7 m m 11-21. 7 1 .6 M P a 11-23. 2 5 4 8 p si 11-25. 7189 psi
(e) 1186 p si A la m ita d
11-43. d e la v ig a (a) (b)
1875 psi
(c ) (d )
0 psi
(e)
1875 psi
C erca de lo s a p o y o s 0 p si 0 p si
A 15 p lg d e A 1406 psi 14 0 6 psi
1 2 5 0 psi
3 7 5 psi 2 0 8 psi
9 4 3 psi
6 2 5 psi
3 3 3 psi
4 9 8 psi
188 psi
11-45. 7 5 .3 M P a 11-47. (a) P - 4 3 1 6 7 Ib; Tnto = 83 3 3 p si (b )
630
= 8 8 6 2 p si; N = 2 .8 2
R e sp u e s ta s a p ro b le m a s seleccio na do s
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C a p í t u lo 12
d e f le x ió n . L a s d e fle x io n e s e s ta rá n e n la u n id a d d e lo n g itu d d a d a c u a n to E e / e s t á n e n la s m is m a s u n id a d e s d e f u e rz a y lo n g itu d d a d a s e n la s re s p u e s ta s . P o r e je m p lo , e n e l p r o b le m a
12- 1. - 2 . 0 1 m m
13 -1 , la lo n g itu d e s tá e n m , la f u e r z a e n
12-3. - 0 . 5 0 3 m m
x ió n e s tá e n m c u a n d o E e s tá e n N /m 2 (P a ) e / e s t á e n m 4.
12-5. - 5 . 4 0 m m
13-1.
12-7. E n la s c a r g a s : - 0 .2 5 1 p ig
R a = Va = 2 4 0 6 3 N ,
la d e f le
R c = ~ V C = 10938 N
A/„ = - 2 6 2 5 0 N m , M„ = 2 1 8 7 5 N m ,
E n e l c e n tro : - 0 . 3 8 5 p ig
Mc = 0 N m
12-9. - 0 . 4 2 4 p ig
y»*, = ( —2 0 9 3 4 ) / £ / a l . 7 9 m d e C .
12-11. - 0 . 2 7 1 p ig
13-3. R A = VA = 1 8 7 6 0 N , R c = ~ V C = 1 6 2 3 5 N
12-13. + 0 .0 9 3 p i g d e d e f le x ió n e n je = 6 9 .2 p ig
M A = - 2 2 5 6 0 N m , M„ = 2 4 3 5 3 N m , Mc — 0 N m y B = ( - 2 1 6 2 9 ) /E I e n la c a r g a
12-15. D = 6 4 .8 m m 12-17. I = 0 .0 2 0 p ig 12-19. y B = - 1 .2 9 1 m m e n la c a r g a d e 8 4 0 N
13-5. R A = VA = 5 0 0 Ib , R a = - V , - 3 0 0 Ib
y c — —3 .0 5 5 m m e n la c a r g a d e 6 0 0 N y D = - 1 . 3 5 3 m m e n la c a r g a d e 1 2 0 0 N
M a = - 1 6 0 0 l b p l g , M l ( m á x ) = 9 0 0 lb -p lg e n jc = 1 0 .0 p lg ,A f ( ,= 0 lb -p lg
12-22. y B = - 0 . 0 1 4 0 e n la c a r g a d e 8 5 Ib
yc
N. P o r ta n to
= ( - 1 7 7 1 2 ) /E l e n x = 9 . 2 6 4 p l g
= - 0 . 0 2 6 2 e n la c a r g a d e 7 5 Ib a p lic a d a e n e l e x tre m o
12-23. - 0 . 8 6 9 m m
13-7.
Ra
= Va = 1 7 5 0 0 N , R c = - V f = 1 7 5 0 0 N -1 7 5 0 0 N m , M B = 17500 N m,
Ma =
12-25. - 3 . 9 9 7 m m
Mc = -1 7 5 0 0 N m ^m ix= ( - 1 0 1 2 7 ) /E l e n B e n e l c e n tro
12-26. - 0 . 0 4 9 8 p ig 12-29. y - - 0 . 0 0 7 8 p ig e n x = 8 .5 6 p ig
13-9.
VA = 1 1 0 7 4 N , R c = - V c = 2 3 9 2 6 N
Ra =
12-31. y = —3 .7 9 m m
Ma =
12-33. D = 6 9 .2 m m
Mc = -2 0 5 0 8 N m
-1 2 3 0 5 N m, M* =
15381 N m ,
= ( —1 0 12 7 ) / £ / e n B e n e l c e n tro
12-35. V ig a d e a lu m in io 1 7 x 5 . 8 0 0 y — - 5 . 3 7 m m e m = 1.01 m
13-11.
12-37. D = 109 m m
R„ = ~V„ = 4 0 0 Ib - 1 0 6 7 l b p l g , M b= 5 3 3 l b p l g ,
R a - V a = 4 0 0 Ib, Ma =
M c = -1 0 6 7 lb p lg
12-39. - 0 . 0 0 7 8 p ig
^míx
12-41. - 3 . 7 9 m m 13-13.
12-43. —3 .4 4 5 m m
( - 8 5 3 3 ) /E I e n e l c e n t r o
R a = VA =
1 5 0 Ib , R
b
= 5 0 0 Ib,
« c ------ Vc = 1 50 Ib
12—45. —5 .1 3 m m
M b = - 4 0 0 lb -p lg , M c ~ 0 lb -p lg de A y C J W 1 ( - 1 1 01)1 E l e n x = 3 .3 7 2 p i g a p a r tir d e A o C M a - 0 lb p lg ,
12-47. - 0 . 0 1 1 3 8 p ig
M d = M c = 2 2 5 lb -p lg e n x = 3 .0 0 p i g a p a r tir
12-49. - 0 . 2 5 7 p ig 12-51. - 7 1 . 7 m m
13-15. R A = R p = 106.7 Ib , R B = R c — 2 9 3 .3 Ib VA = - V „ = 106.7 Ib , —VB = Vc = 160 Ib
C ap ítu lo 13
P a r a lo s p r o b le m a s 13-1 a 1 3 -2 7 , s e re p o r ta n lo s v a lo r e s s ig u ie n te s :
A yD
13-17. « < = / ? £ = 7 8 .6 Ib, R B = R D = 2 2 8 .6 Ib,
R e a c c io n e s e n to d o s lo s a p o y o s
R c = 185.6 Ib
F u e r z a s c o r ta n te s e n p u n to s c rític o s M o m e n t o s f le x io n a n te s e n p u n to s c rític o s D e f le x ió n m á x im a o d e f le x ió n e n p u n to s s e le c c io n a d o s e x p re sa d a
= M d = 0 lb -p lg , M„ = W c = - 1 4 2 . 2 lb -p lg M a = 3 5 .6 lb -p lg M c = M r = 1 1 3 .8 lb -p lg e n x = 2 .1 3 p ig a p a r tir d e M a
como, y = C¿/El
V^ = - V £ = 7 8 .6 Ib , - V B = VD = 121.4 Ib,
Vc = 9 2 .8 Ib e = 0 lb -p lg , M
M a =M
b
= M
d
= - 8 5 .7 lb -p lg ,
A / c = - 5 7 .1 lb -p lg
C u a n d o e s p e c if iq u e e l m a te r ia l, e l p e rfil y la s d im e n s io n e s d e
M f = M = 6 1 - 8 lb -p lg e n x = 1 .5 6 p ig a p a r tir d e
la v ig a , p u e d e c a l c u la r s u rig id e z , El, y u s a r la p a r a c a l c u la r la
Mc = M
h
R e s p u e sta s a p ro b le m as s e le c c io n a do s
AyE ByD
= 2 9 . 1 lb -p lg e n x = 2 .1 6 p i g a p a r tir d e
631
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13-19. R A = VA = 2 2 5 0 0 N , R„ = V, = 13 5 0 0 N y mAx
M a = - 8 1 0 0 N m , M £ = 4 5 5 6 N m a 0 .6 7 5 p lg
-1 .4 8 8 x 10” 1b p ie 1)/AY a 6.74 pies de A o C
('
d e fl
13-25. R„ = R e = V a = - Ve = 2 1 2 Ib,
^ , = - 1 1 3 5 / £ 7 a 1 .0 4 2 d e A Vs = - 1 8 0 0 0 N
Rn — R d = 6 17 Ib, /? c = 501 Ib Vn = = 3 2 8 Ib, Vc = 251 Ib
12 6 0 0 N m , M„ = - 2 5 2 0 0 N m , M c = 0 Y c = - 4 0 7 1 9 /E I e n e l e x t r e m o d e r e c h o d e l
M h = M d =
13-21. R A - VA = - 1 3 7 5 0 N . R„ = 3 1 7 5 0 N
V„ = - V c = 2 5 2 0 0 Ib , R„ = 8 4 0 0 Ib Vs = 4 2 0 0 0 Ib
R a = /J c =
Aí„ = Mc =
-
0,
13-27. R A = VA = 2 2 4 .6 N , R c = - V c = 2 5 .4 N
pie
- 1 3 4 4 0 0 lb
M a = - 2 .3 5 5 N -m , M , = 1.014 N -m , M c = 0 ye = ( - 1 .3 8 6 X IO~4) / £ / e n la c a r g a
A o C
M d = M , = 1 5 5 8 7 Ib -p ie e n x = 6 .0 p ie s a p a r tir d e
- 2 0 8 2 lb p lg
M r = M ,= 1501 l b - p l g a 1 4 .0 4 p lg á c A o E M c = M h - 7 0 S l b - p l g a 1 9 .4 4 p l g d e B o D
s e g m e n to s a lie n te
13-23.
M e = 0 , M c - ------1388 lb p lg
M a =
M a =
13-29. C o m p a r a c ió n d e lo s r e s u lta d o s d e c in c o p ro b le m a s : v /v ,
M m^x
M /M ,
y^nix
y /y i
1. 1 3 -5
5 0 0 Ib
1.0
900
lb p lg
1.0
17 7 1 2 / El
2 . 1 3 -1 1
4 0 0 Ib
0 .8 0
lb p lg
1.19
8 5 3 3 / El
3 . 1 3 -1 3
5 0 0 Ib
1.0
-1 0 6 7 400
lb p lg
0 .4 4 4
4 . 1 3 -1 5
1 60 Ib
0 .3 2 0
142
lb p lg
0 .1 5 8
5. 1 3 -1 7
121 Ib
0 .2 4 3
- 8 5 . 7 lb p lg
1.0 0 .4 8 2
- 1 1 0 7 /E l __
0 .0 9 5 2
0 .0 6 2 5
_
—
—
C o m p a r a c ió n d e lo s r e s u lta d o s d e tr e s p ro b le m a s : v /v ,
M /M ,
A U
JW ,
y/y\
A /A ,
a
1. 1 3 -3 0
1 4 4 0 Ib
1.0
103 6 8 0 lb p lg
1.0
- 8 9 6 X 106/ £ /
1.0
6 3 .3
in 2
2. 1 3 -3 1
9 0 0 Ib
0 .6 2 5
1.0
2 5 9 2 0 lb p lg
0 .2 5
- 3 7 2 X 106/ E /
0 .4 1 5
2 5 .4
in 2
0 .4 0 1
3. 1 3 -3 3
5 7 6 Ib
0 .4 0
—
—
1 0 .8 7 in 2
0 .1 7 2
9 2 1 6 lb p lg
0 .0 8 9
13-35. C o m p a r a c ió n d e lo s d o s d is e ñ o s m o s tr a d o s e n la f i g u r a 1 3 -4 : V = y = (b ) V = y = (a )
2 2 5 0 N , M = - 4 5 0 0 N -m , - 2 2 5 0 0 /E l 3 3 7 5 N , M = - 4 5 0 0 N -m , - 2 0 2 5 0 / E l = 0 .9 0 y a
E s c a s a d if e r e n c ia e n e l c o m p o r ta m ie n to d e lo s d o s d is e ñ o s .
13-37.
Ra = M a =
VA = 3 2 .7 5 k N , R„ = - V i = 1 9.65 k N - 4 2 . 9 k N - m , M c = 2 4 .1 k N -m
13-39. C o m p a r a c ió n d e c u a t r o d is e ñ o s d e v ig a s p a r a s o p o r ta r u n a c a r g a u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a : ^«ix
V/V,
M mi,
M /M ,
3600 N
1.0
3 6 0 0 N -m
1.0
(b )
7200 N
2.0
— 1 4 4 0 0 N -m
4 .0
-6 0 0 0 /E l - 5 7 600/E l
(c )
4500 N
1.25
- 3 6 0 0 N -m
1.0
-2 4 9 0 /E l
0 .4 1 5
(d )
3600 N
1.0
- 2 4 0 0 N -m
0 .6 7
—1200/ El
0 .20
(a)
> má,
y/yi i.o 9 .6
13-41. R A = VA = 2 2 5 0 0 N , R „ = V B = 1 3 5 0 0 N M t = - 8 1 0 0 N -m , M £ = 4 5 5 6 N -m a 0 .6 7 5 p lg de B —1 1 3 5 /£ /a 1,042 p lg d e /I 632
R e s p u e s ta s a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s
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R Á = R c = 371 Ib e n lo s e x t r e m o s d e la v i g a R c = 858 Ib e n e l a p o y o in te rm e d io
1 3 -4 3 .
K é . = 4 2 9 Ib d e B a D e n tre la s d o s c a r g a s d e 8 0 0 Ib M inJ, = 1 1 13 lb p ie b a jo c a d a u n a d e la s c a rg a s
1 4 -2 5 .
S e r e q u ie re 1 = 5 .0 2 pig"1; 1 7 x 5 .8 0 0
1 4 - 2 7 . 5 8 6 9 Ib 1 4 -2 9 . 245 kN 1 4 - 3 1 . N a d a d e m e jo ra
1 3 -4 5 . R a = 5 6 .5 k N , R¡ = 135 k N e n e l a p o y o in te rm e d io
R„ = 16.5 k N e n el e x tre m o d e re c h o F¡„(, = - 8 7 . 5 k N e n C
Mn¡x = 3 2 .4 k N -m e n la c a r g a d e 8 0 k N 1 3 -4 7 . R a — 4 0 0 9 Ib e n e l e x tre m o fijo
Capítulo 15
R n = 1991 Ib e n e l a p o y o d e re c h o l^mix= 4 0 0 9 Ib e n A
1 5 -1 .
M mx = - 8 4 9 0 l b p i e en A 1 3 -4 9 . R¿ = R f: = 371 Ib e n lo s e x tre m o s d e la v ig a
R c = 8 58 Ib e n e l a p o y o in te rm e d io = 4 2 9 Ib d e B a D e n tre la s d o s c a rg a s d e 8 0 0 Ib 1 3 -5 1 .
115 M P a
1 5 - 3 . 4 .7 0 m m m ín im o 1 5 -5 .
21 3 4 lb /p lg 2
1 5 -7 .
1.80 m m
1 5 -9 .
N = 3 .8 0
Ai»»* = 11 1 3 lb -p ie b a jo c a d a u n a d e la s c a rg a s
1 5 -1 1 .
Oí = 212 M P a ;
R A = 5 6 .5 k N , R , = 135 k N e n e l a p o y o in te rm e d io R„ = 16.5 k N e n e l e x tre m o d e re c h o
1 5 -1 3 .
R a d io (m m )
= -8 7 .5 k N en C = 3 2 .4 k N -m e n la c a r g a d e 80 k N
110 120
166 s u p e r fic ie in te rn a
130
136
R„ — 6 .0 0 k N e n e l e x tre m o d e re c h o
140
= 18 .0 k N e n C M mix = 8 .9 k N -m e n f i e n la c a rg a d e 25 k N
150
125 116 s u p e rfic ie e x t e r n a
1 3 -5 3 . R,s = 8 .9 0 k N , R c = 34.1 k N e n e l a p o y o in te rm e d io
1 3 -5 5 . R A = 21.1 k N , R , = 101.8 k N e n e l a p o y o in te rm e d io
R f: = 37.1 k N
1 5 -1 5 .
149
1 4 .8 8 M P a
ir, (M P a )
1 5 - 1 7 . R a d io (m m )
Kmix = 6 2 . 9 k N e n C
M míx = 3 1.7 k N -m e n B b a jo la c a rg a d e 6 0 k N
- 7 . 0 0 s u p e r fic ie in te rn a
15 17 19
-
21
-1 .6 4
23
-0 .7 1
-4 .5 8 2 .8 8
0.00
25
Capítulo 14 1 4 - 1 . 25.1 k N
1 5 -1 9 .
86.8 M P a
1 5 -2 1 .
R a d io (m m )
s u p e r fic ie e x t e r n a
100.0
-
8.35 k N
210 215
1 4 - 5 . 2 6 .2 k N
220
-
225 230
-5 4 .1
2 35
- 2 9 .7
1 4 -1 1 . 499 kN
240
-1 9 .0
1 4 - 1 3 . 65 3 0 0 1b
245
- 9 .1
1 4 -3 .
1 4 -7 .
111 k N
14_9.
p o=
1 4 -1 5 .
7318 Ib /c o lu m n a ; u s e 9 c o lu m n a s
F u e rz a a x ia l = 3 1 .1 k N ; c a r g a c rític a = 2 6 0 k N ;
6 8 .0
-4 1 .4
0.00 s u p e r fic ie e x t e r n a a i (M P a )
1 5 - 2 3 . R a d io (m m )
N = 8 .3 7 O K 1 4 -1 7 .
15.1 k N
1 4 -1 9 .
C a r g a c ritic a = 10 9 1 4 Ib; c a r g a re a l = 5 0 0 0 Ib;
1 4 -2 1 .
250
s u p e rfic ie in te rn a
-8 3 .3
162.5
22.35 2 0 .9 9
iV = 2 .1 8 ;b a ja
170 177.5
C a r g a c rític a = 2 8 4 9 Ib; c a r g a re a l = 1 5 0 0 1 b ;
185
N = 1 .9 0 ; b a ja
192.5
18.88 18.06 17.35 s u p e r fic ie e x t e r n a
1 4 - 2 3 . 2 .6 8 p ig
200
s u p e r fic ie in te rn a
19.84
633
R e spu estas a pro b le m a s s e le ccio n a d o s
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15-25. Los tamaños de 1/8 a 4 son para pared gruesa. Los tamaños de 5 a 18 son para pared delgada. C a p ítu lo 16
16-3. (a)F,= l l 780 Ib (permisible); Ft = 31 5001b; F, = 21 083 Ib (c)F,= 13 253 Ib (permisible); Fb=23 625 Ib; F,=23 895 Ib 16-4. (a) F,= 17 279 Ib (permisible); F,= 86 220 Ib;
16-1. (a) F, = 6872 Ib (permisible); Fb= 26 1001b; F,= 15 179 Ib (c) F, = 7732 Ib (permisible); Fb= 19595 Ib; F,= 172041b 16-2. (a) F, = 17 279 Ib (permisible); F„= 84 000 Ib; F,=43 1101b (c) F, = 34 558 Ib (permisible); Fb= 84 000 Ib; F, = 43 1101b
(c) F ,= 34 558 Ib (permisible);F,= 86 220 Ib; 16-5. 1.25 plg 16-7. 23 860 Ib en las soldaduras
634
R e s p u e s ta s a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s
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