Ejercicios Resueltos Resist en CIA de Materiales Bedford Lietchi

c
 En la figura el área de la sección transversal de la barra BE es 3 pulg2. Determine el esfuerzo normal y la magnitud del esfuerzo cortante sobre el plano indicado, en BE

    Análisis de barras

σ ‫ܯ‬஺ ൌ Ͳ

(2)FBE + (6)FCF(sen(63.43)) = 80(6)

£ ‫ܯ‬஽ ൌ Ͳ

(2)FBE + (4)FCF(sen(63.43)) = 0 De las 2 expresiones anteriores se obtiene: FBE = - 480.01 kip FCF = 368.16 kip

Hallando El esfuerzo normal ൌ

୅౥

ୡ୭ୱሺଷ଴ሻ

ൌ

ଷ

ୡ୭ୱሺଷ଴ሻ

ൌ ͵ǤͶ͸ pulg 2

 ൌ ୆୉ …‘• ሺ͵Ͳሻ ൌ ͶͺͲǤͲͳሺͲǤͺ͸͸ ሻ ൌ ͶͳͷǤ͹‹’ ɐൌ

୩୧୮ ൌ ͳʹͲǤͳͶ మ ୮୳୪୥ 

Hallando El esfuerzo cortante

߬ ൌ

      

‫ܨ‬஻ா ‫݊݁ݏ‬ሺ͵Ͳሻ ஺௢

ୡ୭ୱሺଷ଴ሻ

ൌ ͸ͻǤʹͺ

‹’ ’—Ž‰ ଶ

c
 El área de la sección transversal de la barra CF del marco del problema 3-1.26 es 4 pulg 2. Determine el esfuerzo normal y la magnitud del esfuerzo cortante sobre el plano indicado en CF.

    Con el ejercicio anterior se obtubo el valor de F CF = 268.16 kip Hallando El esfuerzo normal Âൌ

 Ͷ ൌ ൌ ͸Ǥͻ͹‫ ݈݃ݑ݌‬ଶ …‘•ሺͷͷሻ …‘•ሺͷͷሻ

 ൌ େ୊ …‘• ሺͷͷ ሻ ൌ ʹ͸ͺǤͳ͸ሺͲǤͷ͹Ͷ ሻ ൌ ͳͷ͵Ǥͻʹ‹’ ɐൌ

୩୧୮ ൌ ʹ͵Ǥ͵ͳ ୮୳୪୥మ 

Hallando El esfuerzo cortante

߬ ൌ

‫ܨ‬஼ி ‫݊݁ݏ‬ሺͷͷሻ ஺௢

ୡ୭ୱሺଷ଴ሻ

ൌ ͵ͳǤͷ

‹’ ’—Ž‰ ଶ

c
 La armadura espacial que se muestra soporta una carga vertical de 800 lb. El área de la sección transversal de las barras es 0.2 pulg2. Determine el esfuerzo normal en el miembro AB.

  

Hallando las direcciones de las fuerzas: Ö

஺஼

ൌ ‫Ͳۦ‬Ǥʹ͸͹ ȁെͲǤͺͲʹ ȁͲǤͷ͵ͷ ۧ

Ö

஺஻

ൌ ‫ۦ‬െͲǤ͸ʹͷȁെͲǤͶ͸ͻȁെͲǤ͸ʹͷۧ

Ö

஺஽

ൌ ‫Ͳۦ‬Ǥ͵͹ͳ ȁെͲǤͷͷ͹ ȁ െͲǤ͹Ͷ͵ ۧ

TAC ൌ 0.267T ACi ʹ 0.802T ACj + 0.535T ACk TABൌ -0.625T ABi ʹ 0.469T ABj - 0.625T ABk TADൌ 0.371T ADi ʹ 0.557TADj ʹ 0.743T ADk

σ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳ

0.627T AC - 0.625TAB + 0.371TAD = 0

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

-0.802T AC - 0.469TAB - 0.557T AD - 800 = 0

σ ‫ܨ‬௭ ൌ Ͳ

0.535T AC - 0.625TAB - 0.743T AD = 0

TAC = -664.82 lb TAB = -378.95 lb TAD = -159.94 lb

Hallando el esfuerzo normal en AB

ߪ஺஻ ൌ 

஺஻

ͲǤʹ

ൌ ͳͺͻͶǤ͹ͷ

௟௕ ௣௨௟௚మ

c
 La armadura espacial del problema 3-1.28 tiene soportes de rodillos en B, C y D. Determine el esfuerzo normal en el miembro BC

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

B + C + D = 800 lb

σ ‫ܯ‬௫ ൌ Ͳ

6 C = 800(4) C = 533.33 lb

´ TCD = - 0.164T CDi ʹ 0.986TCDk TAC = - 0.267T ACi + 0.802T CAj ʹ 0.535T ACk TBC = - 0.64TBCi ʹ 0.768TBCk

σ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳ

0.164T CD- 0.64T BC- 0.267T AC = 0

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

0.802T AC + 533.33 = 0

σ ‫ܨ‬௭ ൌ Ͳ

- 0.986T CD- 0.768TBC- 0.535TAC = 0

TAC = -665 lb TCB = 308.347 lb TCD = 120.654 lb

Hallando el esfuerzo normal en BC ߪ஻஼ ൌ 

஻஼

ͲǤʹ

௟௕

ൌ ͳͷͶͳǤ͹͵ͷ௣௨௟௚ మ

c
c A continuación se muestra el diagrama del cuerpo libre de la parte de la grúa de construcción situada a la izquierda del plano. Las coordenadas de los nudos A,B y C son (1.5, 1.5,0) , (0,0,1), y (0,0, -1), respectivamente. Las fuerzas axiales P1, P2 y P3 son paralelas al eje x. las fuerzas axiales P4, P5, P6 apuntan en las direcciones de los vectores unitarios e4 = 0.64i - 0.64j ʹ 0.426k e5 = 0.64i ʹ 0.64j + 0.426k e6 = 0.832i -0.555k

    ˜Y ˜Y

Ö஺஻ ൌ ‫ۦ‬െͲǤ͸ͶȁെͲǤ͸Ͷȁ൅ͲǤͶʹ͸ۧ ‫ܯ‬ி Ȁಲಳ ൌ  ሾሺ”୅୊ š ሻρ୅୆ ሿρ୅୆

= ሼሾሺെʹͳǤͷ݅ െ ͳǤͷ݆Ͳ݇ሻ‫ݔ‬ሺെͶͶ݆ ሻሿǤ Ö஺஻ ሽÖ஺஻

= -257.927i ʹ 257.92j + 171.68k

˜Y

‫ܯ‬௉య Ȁಲಳ ൌ  ሾሺ”୅େ šଷ ሻρ୅୆ ሿρ ୅୆

= ሼሾሺെͳǤͷ݅ െ ͳǤͷ݆ െ ͳ݇ሻ‫ݔ‬ሺܲଷ ݅ ሻሿǤ Ö஺஻ ሽ Ö஺஻ = -0.819P 3i -0.819P 3j + 0.545P 3k ˜Y

σ ‫ܯ‬Ȁ௫ ൌ Ͳ

-257.92 ʹ 0.819P3 = 0 -257.92 ʹ 0.819 P 3 = 0 68 + 0.545P 3 = 0 P3 = -315.01 x 10 3 N Hallando el esfuerzo en el miembro 3 ߪଷ ൌ 

c 


ܲଷ ൌ െ͸͵‫ܽܲܯ‬ Â

Sobre una barra sin cargar se hacen dos marcas separadas 2 pulg. Cuando la barra se somete a fuerzas axiales P, la separación de las marcas es de 2.004 pulg. ¿Cuál es la deformación axial barra cargada? de la

   Como  ൌ‫‘ א‬ ‫א‬ൌ 

ߜ ͲǤͲͲͶ ൌ ‫ܮ‬ ʹ

= 0.002

c  La longitud total de la barra sin cargar del problema 3-2.1 es 10 pulg. Utilice el resultado del problema 3-2.1 para determinar la longitud total de la barra cargada. Al resolver este problema

 ൌ‫‘ א‬ ͲǤͲͲʹ ൌ  ͲǤͲͲʹ ൌ 

‫ ݂ܮ‬െ ‫ܮ‬ ‫ܮ‬

‫ ݂ܮ‬െ ͳͲ ͳͲ

Lf = 10.02 pulg.

c c Si las ejercidas sobre la barra del problema 3=2.1 son P = 20 kip y el área de la sección transversal de la barra es A = 1.5 pulg 2 .¿Cuál es el modulo de elasticidad del material

   ߪൌ‫אܧ‬

ܲ ൌ‫אܧ‬ Â ʹͲ‫ Ͳͳݔ‬ଷ ൌ ‫ ܧ‬ሺͲǤͲͲʹ ሻ ͳǤͷ ೗್ E = 6.67 x 106೛ೠ೗೒ మ

        c  Una barra prismática con una longitud L = 6m y con una sección transversal circular con un diámetro D = 0.02m se encuentra sometida a fuerzas de compresión de 20

kNen sus extremos. La longitud y el diámetro de la barra deformada se miden y se determinan como L͛ = 5.94m y D͛ = 0.02006m. ¿Cuáles son el modulo de elasticidad y la relación de poisson?

˜Y

‫א‬ൌ 

ହǤଽସ଴ି଺

ߪ ൌ

ଶ଴௫ଵ଴య

଺

ൌ  െͲǤͲͳ

బǤబమ మ

గቀ మ ቁ

ൌ ͸Ǥ͵͹‫ ଻Ͳͳݔ‬೘ಿమ ´

ߪ ൌ ‫א ܧ‬

E = ͸Ǥ͵͹‫ Ͳͳݔ‬ଽ ೘ಿమ

˜Y h ൌ  െ                    

‫ א‬೗ೌ೟ ‫א‬

ൌ

ವ ᇲ షವ ವ ಽᇲ షಽ ಽ

ൌ ͲǤ͵

c  Una Barra que se muestra a continuación tiene un modulo de elasticidad E = 30x10 6 psi y una relación de poisson v = 0.32. Además, tiene una sección transversal circular

con un diámetro D = 0.75 pulg. ¿Qué fuerza de compresión se debe ej ercer sobre el extremo derecho de la barra para aumentar su diámetro a 0.752 pulg.?

˜Y

‫א‬୪ୟ୲ ൌ 

ୈ ᇲ ିୈ

˜Y

h ൌെ

‫ א‬೗ೌ೟

ୈ

ൌ ͲǤͲͲʹ͹

‫א‬

‫א‬ൌ  െͲǤͲͲͺ͵

˜Y

‫א‬ൌ

௅௙ି௅௢ ௅௢

Lf = 8.925 pulg. ˜Y

ி

஺

ൌ‫אܧ‬

ൌ ͵ͲšͳͲ଺ ሺͲǤͲͲͺ͵ ሻ

଴Ǥ଻ହ ଶ

Ɏቀ

ଶ

ቁ

ൌ ͳǤͳšͳͲହ Ž„

   c 

¿Qué tensión se debe ejercer sobre el extremo derecho de la barra del problema 3=2.5 para aumentar su longitud a 9.02 pulg? ¿Cuál será el diámetro de la barra después de aplicar esta carga?

˜Y ˜Y

‫א‬ൌ 

ଽǤ଴ଶିଽ ଽ

ൌ ͲǤͲͲʹ

ൌ ͵ͲšͳͲ ଺ ሺͲǤͲͲʹሻ

Ø

బǤళఱ మ ቁ ቀ మ

 ൌ ʹǤ͸ͷšͳͲ ସ Ž„

˜Y

h ൌെ

‫ א‬೗ೌ೟ ‫א‬

ͲǤ͵ʹ ൌ  െ 

ୈ ᇲ ି଴Ǥ଻ହ ଴Ǥ଻ହ

ͲǤͲͲʹ

D͛ = 0.7495 pulg

c  Una barra prismática tiene una longitud de 300mm y una sección transversal circular con un diámetro de 20mm. Su modulo de elasticidad es 120 GPa y su relación de poisson es 0.33. En los extremos de la barra se aplican fuerzas axiales P que hacen que su diámetro disminuya a 19.948 mm. (a) ¿Cuál es la longitud de la barra cargada?. (b) ¿Cuál es el valor de P?

   ˜Y

‫א‬୪ୟ୲ ൌ 

ୈ ᇲ ିୈ

˜Y

h ൌെ

‫ א‬೗ೌ೟

ୈ

‫א‬

ൌ െͲǤͲͲʹ͸

ൌ ͲǤ͵͵ ൌ 

଴Ǥ଴଴ଶ଺ ‫א‬

‫א‬ൌ ͲǤͲ͹ͺ͹ͻ

˜Y

‫א‬ൌ 

௅௙ି଴Ǥଷ ଴Ǥଷ

ൌ ͲǤͲ͹ͺ͹͹ͻ

Lf = 0.3236 m

˜Y

b

ൌ ͳʹͲšͳͲଽ ሺͲǤ͵ʹ͵͸͵͹ ሻ

బǤబమ మ ቁ ቀ మ

P = 1.22 x 10 7 N

c  La barra de la figura tiene un modulo de elasticidad E = 30x106 psi, una relación de poisson v = 0.32, y una sección transversal circular con diámetro D = 0.75 pulg. Hay una holgura b = 0.02 pulg entre el extremo derecho de la barra y la pared rígida y luego se suelda a esta, ¿Cuál será el diámetro de la barra después de soldada?

௅௙ି௅௢

˜Y

‫א‬ൌ 

˜Y

h ൌെ

௅௢

‫ א‬೗ೌ೟ ‫א‬

ൌ

଴Ǥ଴ଶ ଽ

 ൌ ͲǤͲͲʹʹ

ൌ ͲǤ͵ʹ ൌ െ 

‫ א‬೗ೌ೟

଴Ǥ଴଴ଶଶ

‫א‬௟௔௧ ൌ െͲǤͲͲͲ͹ͲͶ

˜Y

‫א‬୪ୟ୲ ൌ 

ୈ ᇲ ିୈ ୈ

ൌ

ୈƲି଴Ǥ଻ହ ଴Ǥ଻ହ

 ൌ  െͲǤͲͲͲ͹ͲͶ

ᇱ ൌ ͲǤ͹ͶͻͶ͹ʹ’—Ž‰

  c  Después de que la barra del problema anterior haya sido soldada a la pared rígida, ¿Cuál es el esfuerzo normal sobre un plano perpendicular al eje de la barra?

˜Y

௉

஺

ൌ‫אܧ‬ 

଴Ǥ଻ହ ଶ

Ɏቀ

ଶ

ቁ

ൌ ͵ͲšͳͲ଺ ሺͲǤͲͲʹʹሻ

 ൌ ʹͻͳͷ͹ǡͻͳŽ„

c 
 Cuando no están cargadas, las barras AB y AC de la figura cada una tiene una longitud de 36 pulg y un área transversal de 2 pulg 2. Su modulo de elasticidad es E = 1.6 x 106 psi. Cuando el peso W se suspende en A, la barra AB aumenta s u longitud en 0.1 pulg. ¿Cuál es el cambio de longitud de la barra AC?

    Hallando las fuerzas normales P AB y PAC

σ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳ

0.94 P AC + 0.5PAB = 0

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

W + 0.342P AC = 0.866P AB

PAC = - 0.508W PAB = 0.954W

Hallando W

Barra AB ˜Y

௉

஺

ൌ‫אܧ‬

ͲǤͳ ͲǤͻͷͶ ൌ ͳǤ͸šͳͲ଺ ൬ ൰ ͵͸ ʹ

W = 9317,494 lb

Hallando el cambio de longitud de la barra AC ˜Y

௉

஺

ൌ‫אܧ‬

 ୅େ ͲǤͷͲͺ ൌ ͳǤ͸šͳͲ଺ ൬ ൰ ͵͸ ʹ

ɷAC = - 0.0532 pulg.

c 

 Si se suspende un peso W = 12 000lb de la armadura del problema 3 -2.10, ¿Cuáles son los cambios en la longitud de las dos barras?

    Barra AB

˜Y

௉

஺

ൌ‫אܧ‬

 ୅୆ ͲǤͻͷͶሺͳʹͲͲͲሻ ൌ ͳǤ͸šͳͲ଺ ൬ ൰ ͵͸ ʹ

ɷAB = 0.129 pulg.

Barra AC ˜Y

௉

஺

ൌ‫אܧ‬

 ୅େ ͲǤͷͲͺሺͳʹͲͲͲሻ ൌ ͳǤ͸šͳͲ଺ ൬ ൰ ͵͸ ʹ

ɷAC = - 0.069 pulg.

   c 
 En la figura, las barras AB y AC cada una tiene una longitud 300mm y un area transversal de 500m2 y un modulo de elasticidad E = 72 GPa. Si se aplica una fuerza descendente de 24 kN en A, ¿cuál será el desplazamiento resultante del punto A?

    Hallando las fuerzas normales P AB y PAC

σ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳ

PAC = PAB

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

0.5 PAC + 0.5 PAB = 24 kN

PAC = 24 kN PAB = 24 kN

Hallando el desplazamiento de A

˜Y

ி

஺

ൌ‫אܧ‬

ʹͶšͳͲ ଷ ˆ െ ͲǤ͵ ൌ ͹ʹšͳͲ ଽ ൬ ൰ ି଺ ͷͲͲšͳͲ ͲǤ͵ ˆ ൌ ͲǤ͵ͲͲʹ

˜Y

(0.3002) 2 ʹ (0.2598) 2 = X2 X = 0.1504

˜Y

d = X ʹ 0.15 = 0.0004 m = 0.4 mm

c 
c Las barras AB y AC de la armadura del problema 3-2.12 cada una tiene una longitud de 300mm, y un área transversal de 500m 2 y están fabricadas del mismo material. Cuando se aplica una fuerza descendente de 30 kN en el punto A, este se deflecta hacia abajo 0.4mm. ¿Cuál es el modulo de elasticidad del material?

    X = 0.1504 m



Hallando las fuerzas normales PABy PAC

σ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳ

PAC = PAB

σ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳ

0.5 PAC + 0.5 PAB = 30 kN

PAC = 30 kN PAB = 30 kN

Hallando el modulo de elasticidad E

‫ܨ‬ ൌ‫אܧ‬  ͲǤ͵ͲͲʹ െ ͲǤ͵ ͵ͲšͳͲଷ ൌ ൬ ൰ ି଺ ͲǤ͵ ͷͲͲšͳͲ  ൌ ͻͲ ƒ

c 
La barra CF del marco del problema 3-2.18 tiene un área transversal A=0.5 pulg2 y un módulo de elasticidad E=14 x 106 psi. Después de aplicarse una fuerza descendente en C, se mide la longitud y se determina que ha aumentado en 0.125 pulg. ¿Qué fuerza se aplicó en C? Datos.

A=0.5 pulg2 E=14 x 106 psi

ߜ c = 0.125 pulg.

SOLUCION:

ߜc=

୊‫୐כ‬

ா‫כ‬஺

ї FC =

ఋୡ‫כ‬୉‫כ‬୅ ௅




YYYYYYYYYYYYYYYYF Y=   Ree   Y
s YYY   F Y=Y0 125 14 106 0 5 YY=Y195655 95 Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 2я5Y 
Y e Y YeY Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYFY Y YY B YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYFY=Y- FYse YYYYFY=Y195655 95Yse63 430Y=174992 44 Y

FY=Y175YR
Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY Y=Y
-1Y4/2 Y YYYYYYYYYYYYY FYYYYYYYYYYYYYYY=Y63430YY Y Y c   ?Y 
Y  
Y

sY 

sY eeY Y e
Y 
sves
Y eY 0002Y 2Y yY Y  Y eY e
sc
Y ?=70Y 
Y SY seY
c
Y eY Y 
Y  e
Y esce eeY eY 80Y Y  esY sY sY c
sYYes 
esY eY
sY esY eY
sY

s 

Y Y Y
sYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYS LU !"Y  LY eY
Yes c 
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY YYYYYYYYYYYYY=Y0002Y2YYYYYYYYYY Y YYYYYYYYYYYYY?=Y70Y
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYBYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY#Y$BY=Y0Y F=Y80YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYFYYYYYYYYYYYYYYYYYF4 Y=Y

%Y231 YYYYYYYYYYYY

ߜ B  ߜ YY= Y

30YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

%YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

B%Y=Y %Y=Y13852814Y

Y Y



Y
Y

Y YYYYYYYYYYY BYYYYYFY Y YYYYY#F%=Y0YYYYYYY %=Y- Bcs30Y

%300Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY BY=Y-Y15995852Y Y

&Y

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ߜ BY=Y ሺ ሺି

ߜ  YY= ሺ

௫

ଽଽ ଼

ሻሺ

଼

ሻሺ ሻ

௫

వ ሻሺ

଼ వ ሻሺ

ሻ

ሻ ሻ

݉Y=Y528Y Y

݉Y=Y-396Y

c  
SYseY
c
Y 
Y e
Y esce eeY eY200YYeYeY YY eYsse
Y eYe
Y3220Y esYsYsY es

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YyY
Yes 
esY eY Y'YY

    

Y Y Y Y Y Y Y $cY=Y0YYYYB%Y231 =Y2004 YYYY %Y=YB%Y=Y2463YY Y YYYYYYYYYYYYYY eY
Y

Y YYYY Y YYYYYYYYYYYYYYYYYY %Y=Y BYcs30"Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY B=Y400YY Y ൫

ߜ Y=Yሺ

Y

௫ 
 ሺ ሻ

Y=Y989Y ௫
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൫

(YYYYYYYYYYYYY ߜ BY=Yሺ

௫
వ ሻሺሻ

YL $Y=Y400989YY Y Y eY
 YB$ Y Y

š  ሺ  ሻ

Y=Y132YY

YLB$=Y4632YY

231 2Y=YLB$)2Y+YL $)2YʹY2LB$)L $)YcsY YYYYY Y=Y29910Y

Y

 esYYYYLB$YYYY=YYYYYY231Y Se*YYYYYYse2991Y

YYYY*Y=Y89070Y YYYYYYY+Y=Y0930Y

Y Y

eY Y $YY

Y

Y ,Y=YYYYYYYY4+ YYYYYYYY=YYYYYYL $YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY Y=Y936YY Y YYYYYYYYYYYYYYYYSe093YYYYYYse8907YYYYYYYYse90YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYvYY=Y6508YY Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y c   L
sY sY 

sY eY 
Y  
Y eeY Y e
Y 
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Y eY 3Y  2Y yY Y  Y eY e
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Y
Y eY40YYeYY 
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Y Y


sYYYYY=Y3Y 2Y Y?Y=Y12Y-Y106Y/ 2Y FY=Y40YY ߜ B  ߜ  YY='Y

Y Y Y  YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY#F%Y=Y0YYYYYYYYY- Bcs40YʹY cs70Y+YFY=Y0Y YYY Y YYYYYYYYYYF=Y Bcs40Y+Y cs70Y.Y1)Y Y Y 700YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY#F&Y=Y0YYYYYYYYYY Bse70Y+Y se40Y=Y0Y Y FYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY Y =- B0684)Y.Y2)Y 40

0Y

Y 

YY

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY BYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY eY2)YyY1)YYYY40Y=Y Bcs40 Y-Y B0684)cs70 YY BY=Y7517YYY(Y

Y=Y-5142YY Y 
YYY

ߜ BY=Y Y Y

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 — YYYYYYYYR
Y

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  ሻ ሺ ଼ ሻ  ሺ
௫
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Y

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c  c SY seY
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Y eY 40Y Y 
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c
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Y eY sse
Y eY e
Y3-222Y esYsYsY es

esYes 
esYvec
YyY
Y eY Y 'Y Y Y Y Y eYe
Y3-222ߜ BY= — Y ߜ  Y=Y-00192Y Y Y Y SeYeeYL Y=YL1Y=Y6385Y YYYYYYYYYYL1=L1Y-Yߜ  =Y6382 Y YYYYYYYYYYYYYYYYYYLBY=YL2=Y9334Y YYYYYYYYYYYYYYL2Y=YL2Y+Yߜ BY=93534 Y

Y

Y Y Y Y Y Y eY YB YYYYYB YYYYYYY=YYYYYYL1YYYYYYYYYYYYYYYYYB ==4967 YYYYYYYYY YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY Se300YYYYYYYse400Y Y eY YB /YYYYYYYYYYL1F)2Y=YB )2Y+YL2)2YʹY2B )L2)cs?Y Y *Y=Y397580Y Y Y Y

Del triángulo BMA͛: ї MA͛= (60) 2+ (93.534)2-2(60)(93.534)cos50.2420 ї MA͛= 71.905 pulg 71.905 = 93.534 ї = 89.786 , ø = 0.2140 sen50.242 sen Del triángulo MA`N: a= (MA`)sen0.2140 ї a= 0.2685 pulg b= 0.404 pulg 

c La pieza de conexión AB de los alicates que se muestran a continuación tienen un área transversal de 40 mm2 y un módulo de elasticidad E=210 GPa. Si se aplican a los alicates fuerzas F=150 N. ¿Cuál es el cambio de longitud de la pieza de conexión AB? Datos: A = 40 x 10 -3 m2 E = 210 GPaߜ AB =

F = 150 N ߜ AB =?

SOLUCION: ிሺ଻଺Ǥଵହ ௫ଵ଴షయ ሻ

ሺଶଵ଴௫ଵ଴ ሻሺସ଴௫ଵ଴షల ሻ

ߜ AB = (F AB) (9.07x109) ... (1)

Analizando un elemento del alicate: BY

DY єMD = 0 ї F(130) = -BY (30) BY = -650N

F

100mm30mm

Analizando la barra AB:

BY 23.2o

ї



De (1) : ߜ AB = [(-650) (sen23.2 o)](9.07x10-9)

ߜ AB = -0.015mm

pta.

c .Supóngaseque se quiere diseñar los alicates del problema 3-2.24 para que se les puedan aplicar fuerzas F de hasta 450 N. La pieza de conexión AB está fabricada de un material que puede soportar un esfuerzo normal de compresión de 200 MPa. Con base a este criterio. ¿Cuál debe ser el área mínima transversal que debe tener la conexión AB? є MB = 0 ї F (130) = BY (30) ї BY = 1.95 KN De la barra AB:

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Datos: De la figura se tiene: LAB = L1 = 300mm$ L AC =LAD=L2 = 300 sen600=346.41mm

2

A=500 mm E=72 GPa FA= 160 KN ߜ 1= ¿?

Del triángulo A͛BC : $ (L1+ߜ 1)2 + (0.3 tg600)2 = (LF)2 $

(L1+ߜ 1)2 + (0.3 tg600)2 = (L2 + ߜ2)2 ߜ 2=ߜ 1sen60o . (1)

De aquí que: Del equilibrio: F = T1 + 2T2 sen60o ї

, reemplazando la ecuación (1):

160000 = ߜ1*E*A + 2ߜ 2*E*A*sen60o L1 L2

ї

ࢾ
^

  c c
Las barras del problema 3-3.13 están fabricadas de un material que puede soportar sin riesgo un esfuerzo de tensión de 270 MPa. Con base a este criterio, ¿cuál es la máxima fuerza descendente que se puede aplicar sin ningún riesgo en A?  Del ejercicio anterior: ˜Y ߪ 1 = T1 = ߜ1 *E*A = (0.58 x 10-3)(72 x 109) A L 1*A (0.3)

ߪ1 = 139 MPa

ї

˜Y ߪ 1 = T2 = ߜ2 *E*A = (0.58 x 10-3sen260)(72 x 109 ) A L 2*A (0.3)

ї

ߪ1 = 104 MPa

ї La barra de central es la que sufrirá mayor esfuerzo. ї ߪ = T1 ї 270 x 106 = ߜ 1 (72 x 109) ї A 0.3

ߜ1 =1.125mm ߜ2 = 0.974mm

˜Y T1 = ߪ*A = 1.35 x 105 N

L2

˜Y T2 = ߜ2*E*A = (0.974 x 10-3)(72 x 109)(5 x 10-4)sen60o = 1.01 x 105 N 0.3

ї F = T1 + 2 T2 sen60o ^c
 

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Y

ї ߜAB = 0.1mm, ߜCD =0.2mm, ߜEF=0.3mm ˜Y ߪ AB= ߜ AB (E) = 50 MPa L ˜Y ߪ CD= ߜ CD (E) = 100 MPa L ˜Y ߪ EF= ߜEF (E) = 150 MPa L    c c
Las barras AB,CD y EF del problema 3-3.17 están fabricadas de un material que puede soportar sin riesgo un esfuerzo normal de tensión de 340 MPa. Con base en este criterio, ¿cuál es la máxima fuerza ascendente que se puede aplicar sin ningún riesgo en H?  Con los datos del ejercicio anterior, se tiene: ߪ MAX= TEF ї TEF = (340 x 10 6)(25 x 10 -6) = 8.5 KN AY  Además: TEF= ߜEF(200x109)(25x10-6) ї ߜ EF=0.68mm ,ߜ AB=0.227mm,ߜ CD=0.454mm (0.4) Del equilibrio se tiene: 1.6(FH) = TAB(0.4) + TCD (0.8) + TEF(1.2) ... (1) Por tanto, reemplazando datos en (1):

 ^

cc En el problema 3-3.19, ¿cuáles son los esfuerzos normales en las barras AB y AC cuando se aplica una fuerza descendentede200 kN en el punto E de la barra DE?

 

  Ï

  Las deformaciones vienen dadas por:  ߜ௉ ൌ ͲǤʹ͵‫݊݁ݏ‬ሺߙሻ

ߜி ൌ ͲǤͶ‫ ݊݁ݏ‬ሺߙ ሻ…‘•ሺʹͻǤͷ͵ͻሻ

Si se toma momentos con respecto a ͲǤʹ͵ܲ ൅ ͲǤͶ‫ ݏ ܿܨ‬ሺʹͻǤͷ͵ͻ ሻ ൌ ʹͲͲ ሺͲǤ͸ሻ ൌ ͳʹͲ

Como

ͲǤ͵Ͷͷ‫ܨ‬ ͲǤ͵ܲ ‫ߜݕ‬ ൌ ௉ ͳͲ ିସ ൈ ͳͲʹ ൈ ͳͲଽ ͳͲ ିସ ൈ ͳͲʹ ൈ ͳͲ ଽ Luego utilizando el primer par de ecuaciones se tiene que: ܲ ൌ ͲǤ͹͸‫ ܨ‬y utilizando el segundo par de ecuaciones resulta que: ܲ ൌ ͳ͹ͶǤͶͷ‫ ܨݕܰܭ‬ൌ ʹʹͻǤͷ͵‫ ܰܭ‬con lo que los esfuerzos en las barras AB Y AC son respectivamente: ߪ௉ ൌ ͳǤ͹Ͷ‫ߪݕܽ݌ܩ‬௉ ൌ ʹǤ͵Ͳ‫ܽ݌ܩ‬ ߜ௉ ൌ

cc 
En el ejemplo 3-9, ¿cuáles son los esfuerzos normales en las tres barras?

 En la solución del ejemplo ya se puede hallar las deformaciones de cada barra y resulyan: ߜ஺஽ ൌ ͲǤ͵͵͵ ǡ ߜ஺஻ ൌ ͲǤʹͺʹ ǡ ߜ஺஼ ൌ ͲǤʹͶͷ ఋ

Luego los esfuerzos en cada barra se dan por: ߪ ൌ ௅ ‫ܧ‬ ߪ஺஽ ൌ

ͲǤ͵͵͵ ൈ ʹͲͲ ൈ ͳͲ ଽ ൌ ૜૜૜ࡹ࢖ࢇǡ ʹͲͲ ͲǤʹͺʹ ߪ஺஽ ൌ ଶ଴଴ ൈ ʹͲͲ ൈ ͳͲଽ ൌ ૛૝૝Ǥ ૛ࡹ࢖ࢇǡ

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cc  Cada barra de la figura tiene un área transversal de 3 pulg² y un módulo de ( elasticidad E=12 x 10 6 lb pulg 2 Si se aplica una fuerza horizontal de 40 kip en A dirigida hacia la derecha, ¿cuáles son los esfuerzos normales en las barras? 

Primero se analiza el punto A al aplicar la fuerza de 40 kip: P, 70° F, 40°

Q, 50° 40 Kip

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Para las deformaciones se asume que el punto A se ha movido una distancia ‫ ݑ‬hacia abajo y hhacia la derecha. Luego: ߜ஺஻ ൌ ‫ ݊݁ݏݑ‬ሺͶͲሻ ൅ hܿ ‫ ݏ‬ሺͶͲ ሻǡ ߜ஺஼ ൌ ‫ ݊݁ݏݑ‬ሺ͹Ͳሻ ൅ hܿ ‫ ݏ‬ሺ͹Ͳሻ ǡߜ஺஽ ൌ െ‫ ݏ ܿݑ‬ሺͶͲሻ ൅ h‫ ݊݁ݏ‬ሺͶͲሻ Y también: ߜ஺஻ ൌ

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Luego al resolver el sistema de ecuaciones queda: ‫ ܨ‬ൌ ʹʹ͵ͶͶǤͶ݈ܾǡ

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Luego el esfuerzo en cada barra es: ߪ஺஻ ൌ ͹ǤͶͶͺ‫݅ݏܭ‬ǡ

ߪ஺஼ ൌ ͵Ǥͳͻ͵‫݅ݏܭ‬ǡߪ஺஽ ൌ ͳͲͳ͸͹Ǥʹ‫݅ݏܭ‬

cc c Las barras del sistema del problema 3.3.22 están fabricadas de un material que puede soportar sin peligro un esfuerzo normal de tensión de 20 ksi. Con base en este criterio, ¿cuál es la máxima fuerza descendente que se puede aplicar sin ningún riesgo en A?  En este caso en lugar de las ͶͲͲͲͲ݈ܾ en las ecuaciones de equilibrio se pone una fuerza C de manera que las demás fuerzas resulten en función de esta. Y con las mismas ecuaciones anteriores se tiene:

£ ‫ܨ‬௫ ൌ Ͳǡ െ‫ݏ ܿܨ‬ሺͶͲሻ െ ܲܿ ‫ݏ‬ሺ͹Ͳሻ ൅ ܳܿ ‫ݏ‬ሺͷͲሻ ൌ Ͳ‫ݕ‬ £ ‫ܨ‬௬ ൌ Ͳǡ‫ ݊݁ݏܨ‬ሺͶͲ ሻ ൅ ܲ‫ ݊݁ݏ‬ሺ͹Ͳ ሻ ൅ ܳ‫ ݊݁ݏ‬ሺͷͲሻ െ ͶͲͲͲͲ ൌ Ͳ

Para las deformaciones se asume que el punto A se ha movido una distancia ‫ ݑ‬hacia abajo y hhacia la derecha. Luego: ߜ஺஻ ൌ ‫݊݁ݏݑ‬ሺͶͲሻ ൅ hܿ ‫ݏ‬ሺͶͲሻǡ ߜ஺஼ ൌ ‫݊݁ݏݑ‬ሺ͹Ͳሻ ൅ hܿ ‫ݏ‬ሺ͹Ͳሻǡߜ஺஽ ൌ െ‫ݏ ܿݑ‬ሺͶͲሻ ൅ h‫ ݊݁ݏ‬ሺͶͲሻ Y también: ߜ஺஻ ൌ

ிሺ଺଴ሻȀ௦௘௡ ሺସ଴ሻ ଷሺଵଶሻሺଵ଴ల ሻ

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Luego al resolver el sistema de ecuaciones queda: ‫ ܨ‬ൌ ͲǤͷͷͺ͸‫ܥ‬ǡ ܲ ൌ ͲǤʹ͵ͻͷ‫ܥ‬ǡܳ ൌ ͲǤ͹͸ʹͷ‫ܥ‬ Luego el esfuerzo máximo se dará en la barra AD y será: ͲǤ͹͸ʹͷ‫ܥ‬ ߪ ሺƒšሻ ஺஽ ൌ ൌ ͲǤʹͷͶͳͺ‫ ܥ‬ൌ ʹͲͲͲͲ݈‫
݃݁ݑ‬ ͵

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cc En la gráfica, cada barra tiene una longitud de 400 mm, un área transversal A = 100 mm2 y un módulo de elasticidad E= 00GPa.A cadabarralefaltan2mmparaalcanzar el punto G.(Esta distancia aparece exagerada en la figura). Si las barras se unen posteriormente, ¿cuáles son las distancias horizontales y verticales, desde el punto G hasta la posición de equilibrio de los extremos de las barras?

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Y

Y
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Y

L eY
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Y  +, 

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L eYsYv
esY eYh  ‫ݕ‬ 
YsY   (૙ ૛૟૟࢓࢓ ሺࢇࢉ࢏ࢇ ࢇ࢘࢘࢏࢈ࢇሻ .   /  (૙ ૛૛૛࢓࢓ሺࢇࢉ࢏ࢇ 0ࢇ ࢏ࢠࢗ/࢏ࢋ࢘ࢊࢇሻY Y Y Y Y c c Y?YeYe
Y3-324(Y esYsYsYes esY
esYeY
sYesY

sY es ésY eY
eYs Y 
sYcY Y
s
'Y Y

.

  , - Y

L eYsYes esYeYc

Y

YseY
YY

ߪൌ ߪ஼஽ ൌ

‫ܨ‬ Â

ͺͲͻǤ͸͹͹ ͺ͸ͻ͹Ǥͷ͹ͷ ൌ ૡ૟Ǥ ૡࡹ࢖ࢇǡ ߪ஺஽ ൌ ൌ ૡǤ ૙ૠࡹ࢖ࢇǡ ିସ ͳͲ ିସ ͳͲ ͸͹ͺ͸Ǥͳͺ͹ ߪ஺஽ ൌ ൌ ૟ૠǤ ૡ૟ࡹ࢖ࢇ ͳͲିସ

c
El área Transversal de barra de la figura es A= (1+ 0.1x) pulg 2 y el módulo de elasticidad de material es E=8x 10 6 psi. Cuando la barra se somete a fuerzas axiales de tensión P=14 kip en sus extremos, su cambio de longitud es ɷ=0.01 pulg. ¿Cuál es el valor de la constante a? (Estrategia: estime el valor de 7

 ɐሺšሻ ൌ

Luego ɐሺ͸ሻ ൌ

ʹͲͲͲͲ ‫ܨ‬ ൌ ܲ‫݅ݏ‬ Âሺ‫ݔ‬ሻ ͳ ൅ ͲǤͳ‫ݔ‬

ଶ଴଴଴଴ ଵǤ଺

ܲ‫ ݅ݏ‬ൌ ૛Ǥ ૞ࡷ࢙  !"#

%$c  ¿Cuál es el cambio de la longitud de la barra del problema 3 -4.1?  Se tiene ·

ൌ

ఙ ா

y como en este caso

ʹͲͲͲͲ åߜ ൌ·ൌ ሺͳ ൅ ͲǤͳ‫ ݔ‬ሻሺͳʹ ൈ ͳͲ ଺ ሻ å‫ݔ‬

Entonces integrando resulta: ߜൌ

ͷ ൈ ͳͲ ହ ଵ଴ å‫ݔ‬ න ͳʹ ൈ ͳͲ଺ ଴ ͳ ൅ ͲǤͳ‫ݔ‬

Entonces ࢾ ൌ ૙Ǥ ૞૞ ࢔ ࢎǤ!"#$

c c El área de la sección transversal de la barra 3-4.1 es A= (1+ ax) pulg 2 , donde a es una constante y el módulo de la elasticidad del material es E=8x 106 psi. Cuando la barra se somete a fuerzas axiales de tensión P=14 kip en sus extremos, su cambio de longitud es ɷ=0.01 pulg. ¿Cuál es el valor de la constante a mediante una gráfica de ɷ como una función de a?

 En este caso se tiene que: åߜ ൌ reemplazando e integrando:

௉

஺ா

ߜൌ

å‫ ݔ‬, donde A=Área transversal= ͳ ൅ ܽ‫ ݔ‬inch2 luego

ͳͶ ൈ ͳͲଷ ଵ଴ å‫ݔ‬ න ͺ ൈ ͳͲ଺ ଴ ͳ ൅ ܽ‫ݔ‬

Entonces ߜ ൌ ͲǤͲͳ ൌ ͳǤ͹ͷ ൈ ͳͲ ିଷ

De lo que resulta:

ŽሺͳͲܽ ൅ ͳሻ ܽ

‫ ܉‬ൌ ૙ǡ ૡ૙૝ૡ‫܉ܜܘ܀‬Ǥ

 c  En la figura, desde x=0 hasta x=100 mm, la altura de la barra es igual a 20 mm Desde x =100 mm hasta x=200 mm, su altura varía de manera lineal entre 20 mm y 40 mm. Desde X=200 mm hasta x=300 mm, su altura es 40 mm. El espesor de la barra plana es 20 mm. El módulo de elasticidad del material es E=70 GPa. Si la barra se somete a fuerzas axiales de tensión P=50 kN en sus extremos ¿Cuál es su cambio de longitud?

 Cada una de las 3 secciones que tiene la barra están sometidas a ͷͲ‫ ܰܭ‬de fuerza. $&$$"&'&$('

 de área transversal constante se tiene que: Â ൌ ʹͲ ൈ ʹͲሺͳͲ ି଺ ሻ

ଶ

ൌ Ͷ ൈ ͳͲ ିସ

ଶ

ൌ ͳǤ͹ͺͷ͹ǤͳͲ ିଵ

‫ߜݕ‬ଵ ൌ

ͳͲ ିଵ ሺͷͲǤ ͳͲ ଷ ሻ ͹Ͳ ሺͳͲ ଽ ሻሺͶ ൈ ͳͲ ିସ ሻ

$&$$(') *$('

 de área transversal variable: Â ൌ ሺͶ‫ ݔ‬൅ ͲǤͶሻ ͳͲ ିଷ

ଶ

ǡ ‫ݏ ݎݐ݁ ݊݁ݔ‬Ǥ‫ߜݕ‬ଶ ൌ

ͷͲ ൈ ͳͲଷ ଴Ǥଵ å‫ݔ‬ න ൌ ͳǤʹ͵͹ͺǤͳͲ ିଵ ଽ ͹Ͳ ൈ ͳͲ ଴ ሺͶ‫ ݔ‬൅ ͲǤͶሻͳͲ ିଷ

$&$$#'& '&$('

 de área transversal constante  ൌ ͶͲ ൈ ʹͲሺͳͲ ି଺ ሻ

ଶ

ൌ ͺ ൈ ͳͲ ିସ

ൌ ͺǤͻʹͺ͸ǤͳͲ ିଶ

ଶ ‫ߜݕ‬ ଵ

ൌ

ͳͲ ିଵ ሺͷͲǤ ͳͲ ଷ ሻ ͹Ͳ ሺͳͲ ଽ ሻሺͺ ൈ ͳͲ ିସ ሻ

Luego la deformación total será: ଷ

ߜ ் ൌ £ ߜ௜ ൌ ૙Ǥ ૜૛࢓࢓ ௜ୀଵ

c  En la figura desde x= 0 hasta x=10 pulg. El área de la sección transversal de la barra es A = 1 pulg2. El modulo de elasticidad del material es E =12 x 10 6 psi. Hay un holgura b=0.02 pulg entre el extremo derecho de la barra y la pared rígida. Si se estira la barra para que entre en contacto con la pared rígida y luego se suelda a esta ¿Cuál es la fuerza axial en la barra después de haber sido soldada?

   Se sabe que el sólido transmite solo fuerzas luego cada parte estará sometida a la misma fuerza luego ߜଵ ൅ ߜଶ ൌ ܾ .

$&$$"&'&$('

 de área transversal constante se tiene que la deformación: ߜଵ ൌ

ͳͲܲ ൌ ͺǤ͵͵͵͵ ൈ ͳͲ ି଻ ܲ  ͳʹ ൈ ͳͲ଺ ൈ ͳ

$&$$(') *$('

 de área transversal variable:  ߜଶ ൌ

ଶ଴ ܲå‫ݔ‬ ͳ න ൌ ͷǤ͹͹͸ ሺͳͲ ିହ ሻܲ  ଺ ͳʹ ൈ ͳͲ ଵ଴ ሺͲǤͳ‫ ݔ‬ሻ

 ') ͷǤͺͷͻ͵͵ ሺͳͲ ିହ ሻ ൌ ͲǤͲʹ ՜ ‫ ۾‬ൌ ૜૝Ǥ ૜૜૞‫܊ܔ‬

 c  En la figura desde x=0 hasta x=10 pulg. El área transversal de la área del problema 3-4.5 es A=1 pulg 2. Desde x=10 pulg hasta x=20 pulg, A = (0.1x) pulg 2. El modulo de elasticidad del material es E=12 x 10 6 psi. Hay una holgura b=0.02 pulg. entre el extremo derecho de la barra y la pared rigida . Si se aplica una fuerza axial de 40 kip dirigida hacia la derecha en el punto x=10 pulg ¿Cuál es el esfuerzo normal resultante en la mitad izquierda de la barra?

1

  / 0  Y ?Y 


Y eYc eYeY eY
Y

YesY 40000YY

Y Y

1Y

2Y

Y Y #ܲ (  # ܲ
       1 23 4!—3!‹×  54 !"637‹ ‹2‹5358 ߜ
 ߜ ( 9Y Y ߜ


 ܲ
 ܲ;     ‫ݕ‬   ߜ  : Y 



       
 ሺ ሻ

ߜ
 + ሺି ܲ
ሻ    ‫ݕ‬   ߜ  ,ሺି ሻܲ Y &Yee

 YeY
Yec
cY eYc

YyYcY
Ye
Yec
cYseYeeY 1 eY ܲ     + ݈9  yܲ
  ݈9YY eY ê


ܲ
 ૜૙ ૞૞ࡷ ࢏ <࢖࢚ࢇY 

Y Y Y Y Y Y Y c  Y?Y eY eY
YseccY
sves
Ycc 
Y eY
Y

Y eY
Y 
Yv
0
Y eY 
Ye
Y es eY10YYeYs Ye-eY1 e Y
s
Y20YYeYs Ye-eY eecY?Y Y eYe
sc
Y eY
e
YesY?=45Y
YSY
Y

YseYseeY
Y  e
sY
-
esY eYesY=6YeYs sYe-esY YesYeYes eY
YeY-=80Y 'Y Y

 El área en función de ‫ ݕ‬es: Â ൌ ߨ‫ ݕ‬ଶ ൌ ߨሺͲǤͲ͵͵͵‫ ݔ‬൅ ͷሻଶ ͳͲ ି଺ ߪൌ

Luego ߪ ሺͺͲ

ଶ

ǡ ‫݊݁ݔ‬

Ǥ

͸ሺͳͲଷ ሻ Âሺ‫ݔ‬ሻ

ሻ ൌ ૜૛Ǥ ૝ࡹࡼࢇ

c  ¿Cuál es el cambio de longitud en la barra del problema 3 -4.7? 

ߜଶ ൌ

͸ ൈ ͳͲଷ ଴Ǥଵହ å‫ݔ‬ න ଽ ߨ ሺͲǤͲ͵͵͵͵‫ ݔ‬൅ ͲǤͲͲͷ ሻ ଶ Ͷͷ ൈ ͳͲ ଴

Luego ࢾ ૛ ൌ ૙Ǥ ૛ૠ࢓࢓

c  La barra de la figura está fijada en el extremo izquierdo y sometida a una fuerza axial uniformemente distribuida. Tiene un área transversal A y un módulo de elasticidad E. (a) Determine la fuerza axial interna P en la barra expresada como una función de x (b) ¿Cuál es el cambio de longitud de la barra?

 ௅

Debido a que la carga es uniforme: ö௫ å‫ ݔ‬ൌ ܲ ՜ ܲ ൌ ሺ‫ ܮ‬െ ‫ݔ‬ሻ Luego

௅ åߜ ሺ‫ ܮ‬െ ‫ݔ‬ሻ ܲ න ൌ ՜ ߜ ൌ å‫ݔ‬ å‫ ݔ‬Â‫ܧ‬ Â‫ܧ‬ ଴

Y la respuesta es: ࢾൌ

ࡸ૛ ૛࡭ࡱ

c 
. La barra que aparece en el problema3-4.9 tiene una longitud ‫ ܮ‬ൌ ʹ , un área transversal A =0.03 m2 y un módulo de elasticidad E =200 GPa. La barra se encuentra sometida a una fuerza axial distribuida ൌ ͳʹሺͳ ൅ ͲǤͶ‫ݔ‬ሻ‫ܰܯ‬Ȁ . ¿Cuál es el cambio de longitud de la barra?  Para cada diferencial de la barra: Y por la ecuación de esfuerzo deformación: å‫ݔ‬

å‫ݔ‬

Luego ࢾ ൌ ૙Ǥ ૙૟૜૜࢓

ଶ ଶ åߜ ͳʹሺͳ ൅ ͲǤͶ‫ݔ‬ሻͳͲ଺ å‫ݔ‬ ൌ  ՜ åߜ ൌ න න ሺå‫ݔ‬ሻଶ ଽ ൈ ͲǤͲ͵ å‫ݔ‬ ʹͲͲ ൈ ͳͲ Â‫ܧ‬ ଴ ௫

 c 

Una barra cilíndrica con un diámetro de 1 pulg se encuentra encajada de manera forzada en un agujero circular de una lámina con un espesor de 5 pulg. El módulo de elasticidad del material es E = l4 x 10 6 psi. Se aplica una fuerza de tensión de 1000 lb en el extremo izquierdo de la barra haciendo que ésta comience a deslizarse fuera del agujero. En el momento en que comienza a deslizarse, determine (a) la magnitud de la fuerza axial uniformemente distribuida sobre la barra por la lámina; (b) el cambio total de la longitud de la barra.



Cuando empieza a deslizar la fuerza que le ejerce las paredes será 1000 lb. Y si lo consideramos uniformemente distribuida por unidad de longitud. $%Y Debido a que las 1000 lb deben distribuirse a lo largo de 5 pulgadas se tiene que ଵ଴଴଴ ൌ ݈ܾȀ‫ ݈݃ݑ݌‬ൌ ʹͲͲ ݈ܾൗ‫݈݃ݑ݌‬ ହ ହ

Luego ܲ ൌ ö௫ å‫ ݔ‬ൌ ሺͷ െ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ૛૙૙ሺ૞ െ ࢞ሻ0= 

ଵହ

ߜൌන

ହ

గ ସ

െͳͲ ଷ å‫ݔ‬

ൈ ͳͶ ൈ ͳͲ଺

൅න

ହ

଴

R%Y ࢾ ൌ െ૙Ǥ ૙૙૜૟ૡ࢖࢛0>ሺ࢙ ࢇ ࢕࢘ ࢇሻ

ሺʹͲͲ ሺͷ െ ‫ ݔ‬ሻെͳͲ ଷ ሻå‫ݔ‬ గ ସ

ൈ ͳͶ ൈ ͳͲ ଺

c 
 Una barra tiene una sección transversal circular de 0.002 m de diámetro y su módulo de elasticidad E es igual a 86.6 GPa. Se encuentra sometida a una fuerza axial 2 uniformemente distribuida q=75 kN m y a una fuerza axial F = 15 kN. ¿Cuál es su cambio de longitud?

 Como la carga es uniforme ܲ ൌ ሺͲǤͺ െ ‫ݔ‬ሻ ൌ ͹ͷͲͲͲሺͲǤͺ െ ‫ݔ‬ሻܰ Luego la resultante en cada punto será: ܴ ൌ ሺ͹ͷ ൈ ͳͲଷ ‫ ݔ‬െ ͳͷ ൈ ͳͲଷ ሻܰ

ߜൌන

ሺ͹ͷሺͲǤͺ െ ‫ݔ‬ሻ െ ͳͷሻ ൈ ͳͲଷ å‫ݔ‬

଴Ǥ

గሺ଴Ǥ଴଴ଶሻ మ

଴

ସ

Luego

ൈ ͺ͸Ǥ͸ ൈ ͳͲଽ

ࢾ ൌ ૙Ǥ ૙૝૝૙ૠ࢓ 

c
c En el problema 3-4.12. ¿Qué fuerza axial F se requiere para que el cambio de longitud de la barra sea igual a 0?  En este caso: ߜൌͲൌන

଴Ǥ

଴

3esolviendo

ሺ͹ͷሺͲǤͺ െ ‫ݔ‬ሻ െ ͳͷሻ ൈ ͳͲଷ å‫ݔ‬ గሺ଴Ǥ଴଴ଶሻ మ ସ

ൈ ͺ͸Ǥ͸ ൈ ͳͲ ଽ

resulta: ࡲ ൌ ૜૙ࡷࡺ 

c
 Si la barra del problema 3.4.12 se encuentra sometida a una fuerza distribuida 4 q=75(1+0.2x) kN m y a una fuerza axial =15 Kn ¿Cuál es el cambio en su longitud?    En ese caso: Se averigua primero la fuerza que actúa en cada punto de la barra y está dado por ଴Ǥ

ܲൌන

௫

͹ͷ ሺͳ ൅ ͲǤʹ‫ ݔ‬ሻ ൈ ͳͲଷ å‫ ݔ‬ൌ ሺെͳͺ͹ǤͷሺͲǤʹ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ଶ ൅ ʹͷʹǤ͵ሻ ൈ ͳͲ ଷ

Y reemplazando en:

ߜൌන

଴Ǥ

ሺܲ െ ͳͷሻ ൈ ͳͲଷ å‫ݔ‬

గሺ଴Ǥ଴଴ଶሻ మ

଴

ൈ ͺ͸Ǥ͸ ൈ ͳͲଽ

ସ

Luego ࢾ ൌ ૙Ǥ ૙૞૜૞࢓ 

   c
 La barra de la figura está fijada en A y en B y sometida a una fuerza axial uniformemente distribuida. Tiene un área transversal A y un módulo de elasticidad E. ¿Cuáles son las reacciones en A y en B?

 Debido a la carga distribuida la fuerza en cada punto de la barra será:

௅
ሺ௅ି௫ሻௗ௫

ܲ ൌ ሺ‫ ܮ‬െ ‫ݔ‬ሻy la deformación total debido a esta será: ߜ் ൌ ö଴

Luego la reacción en B será:

ఋ೅ ௅

‫ܧ‬ൌ

ிಳ ஺

y reemplazando queda ࡲ࡮ ൌ

஺ா ࡸ

૛

ൌ

௅మ


ଶ஺ா



c 
 ¿Qué punto de la barra del problema 3 -4.15 tiene el mayor desplazamiento y cuál es el valor del desplazamiento?  La fuerza total en la barra será: ܴ ൌ ሺ‫ ܮ‬െ ‫ ݔ‬ሻ െ ‫ܨ‬஻ ൌ cada punto viene dado por ௫ ௗ௫ ߜሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ö଴ y reemplazando queda: ߜ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ஺ா

máximo se da en

‫ݔ‬ൌ

y


ଶ஺ா

‫ܮ‬ ʹ

௅
ଶ

െ ‫ ݔ‬y el desplazamiento en

ሺെ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔܮ‬ሻ luego el desplazamiento

ࢾ ࢓ࢇ࢞Ǥ ൌ

ࡸ૛ ૡ࡭ࡱ

c 
. La barra de la figura tiene un área transversal de 0.0025 m2 y un módulo de elasticidad E =200 GPa. La barra está fijada en ambos extremos y se encuentra sometida a una fuerza axial distribuida   ൌ ͺͲ‫ ݔ‬ଶ ݇ܰȀ . ¿Cuáles son los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la barra?

 Debido a la carga distribuida la fuerza en cada punto de la barra será: ଴ ܲ ൌ ሺʹଷ െ ‫ ݔ‬ଷ ሻy la deformación total será: ଷ ଶ ܲå‫ݔ‬ ൌ ͶǤʹ͸͸͸͸ ൈ ͳͲ ି଻ ߜ் ൌ න ଽሻ ͲǤͲͲʹͷሺʹͲͲ ൈ ͳͲ ଴ Luego la reacción en B será:

ߜ் ‫ܨ‬஻ ‫ܧ‬ൌ ‫ܮ‬ Â

Luego ‫ܨ‬஻ ൌ ͳ͸Ͳܰ Ahora la fuerza total que actúa en la barra será:

ܴൌ൬

ͺͲ ଷ ሺʹ െ ‫ ݔ‬ଷ ሻ െ ͳ͸Ͳ൰ ܰ ͵

Y el esfuerzo en cada punto será: ͺͲ ܴ ൌ ͶͲͲ ൬ ሺʹଷ െ ‫ ݔ‬ଷ ሻ െ ͳ͸Ͳ൰ ߪሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ͵ ͲǤͲͲʹͷ  ')('(+ '&,-.(*'#' ( ('*$ '  ࢞ ൌ ૙/࣌ ൌ ૛૜૜૜Ǥ ૜૜૜ࡼࢇ 0' '(+ '&,-.*' "&'( ('*$'  ࢞ ൌ ૛/࣌ ൌ െ૟૝૙૙૙ࡼࢇ  c
 ¿Qué punto de la barra del problema 3 -4.17 tiene el mayor desplazamiento y cuál es el valor del desplazamiento? 

El desplazamiento en cada punto viene dado por: ௫ ܴå‫ݔ‬ ߜሺ‫ݔ‬ሻ ൌ න ଴ Â‫ܧ‬ y reemplazando queda: ߜ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ െͳǤ͵͵͵ ൈ ͳͲ ି ‫ ݔ‬ସ ൅ ͳǤͲ͸͸͸͹ ൈ ͳͲ ି଻ ‫ݔ‬ Luego el desplazamiento máximo se da en el punto: ‫ ݔ‬ൌ ͳǤʹͷͻͻ Y ࢾ ࢓ࢇ࢞Ǥ ൌ Ǥ ૙૙ૠ ൈ ૙ ିૠ ࢓ c 
, En la figura, la barra tiene un área transversal A y un módulo de elasticidad E. Está fijada en A y hay una holgura b entre el extremo derecho y la pared rígida B si la barra se encuentra sometida a una fuerza axial uniformemente distribuida q dirige hacia la derecha, ¿qué fuerza ejerce la pared B sobre la barra?       Debido a la carga distribuida la fuerza en cada punto de la barra será: ܲ ൌ ሺ‫ ܮ‬െ ‫ݔ‬ሻ Y la deformación debido a esta será:

௅

ߜ் ൌ න

Luego la reacción en B será:

y reemplazando queda

଴

ሺ‫ ܮ‬െ ‫ݔ‬ሻå‫ݔ‬ Â‫ܧ‬

‫ܮ‬ଶ ൌ ʹÂ‫ܧ‬

‫ܨ‬஻ ሺߜ் െ ܾሻ ‫ܧ‬ൌ Â ‫ܮ‬ ࡲ࡮ ൌ

ࡸ ૛ െ ૛࡭ࡱ= ࡸ