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Cinemática del movimiento circular uniformemente variado Universidad de San Carlos, Facultad de Ingeniería Departamento de Física Laboratorio de Física 1 2011-14025 José Manuel Pérez Arredondo 2011-13808 Luis Esteban Polanco Trujillo 2011-14156 Fernando Amílcar Arévalo Moran
Resumen—Para describir la cinemática cinemática del Movimiento Movimiento circular uniformemente variado se procedió a realizar una práctica en la cual se han tomado distintas posiciones angulares respecto a distin distintos tos tiempos, tiempos, para así hacer una conclu conclusió sión n de cómo cómo se comporta comporta dicho movimie movimiento nto basánd basándose ose en grafica graficas, s, la cual cual se comporta de forma parabólica seguidamente linealizandola y así obtene obtenerr un modelo modelo matemá matemático tico que se adecue adecue al movimi movimient ento o antes mencionado. Se relaciono la posición angular-tiempo para obtener la velocidad angular y al graficar se obtiene la pendiente la cual será la aceleración angular, conllevando a la deducción que la aceleración es constante. Por último se relaciona la aceleración angular con la aceleración lineal para obtener el radio teórico del disco que girara y se compara con el radio experimental.
I.
movi movimi mien ento to circ circul ular ar
Most Mostra rarr que que la acel aceler erac ació ión n angu angula larr, al igua iguall que que la aceleración lineal son constantes. Predecir el radio de giro del disco y compararlo con la medida experimental. Proponer Proponer un modelo modelo funcional funcional matemáti matemático co de posición posición angular-tiempo y rapidez angular-tiempo.
II. II .
angular en un instante de tiempo t, esta dado por:
θ = 12 αt2 y w = αt Entonces si en el siguiente experimento se logra mostrar que un grafico grafico posición posición angularangular-tiem tiempo po represent representaa una parábola parábola ó un grafico grafico rapide rapidezz angula angularr-ti tiemp empo o repres represent entaa una recta, recta, entonces podemos afirmar, que el disco gira con aceleración constante. Si el disco gira con aceleración angular constante la masa que cuelga se mueve con aceleración lineal a constante de modo
1
Objetivos
Demo Demost stra rarr la cine cinemá máti tica ca del del uniformemente variado
velocida idad d angula angularr inicia iniciall wo = 0rad/s y su to = 0s, la veloc posición angular es θo = 0rad 0 rad. La posición angular y rapidez
Marco Teórico
En el estudio del movimiento circular una cantidad cinemática de interés interés es la aceleraci aceleración ón angular angular instantán instantánea ea α, o sea la medida medida de la razón razón de cambio cambio de la veloc velocida idad d angula angularr en
dw
el tiempo: tiempo: α = ; se consid considera era el caso caso especi especial al en que dt la acelerac aceleración ión angular instantánea instantánea es constante, constante, se dice que le movimien movimiento to circular circular es uniformem uniformemente ente variado, variado, se puede predecir las cantidades cinemáticas como la
1 2
Posición angular θ = θ ◦ +w ◦ + αt2 Rapidez angular w = w ◦ +αt ó w 2 = w 2 ◦ +2α +2α∆θ Nos pregun preguntam tamos os si la rueda rueda gira gira con aceler aceleraci ación ón angula angularr constante para ello si las condiciones iníciales del disco para
que: y = at2 2 esta aceleracion se relaciona con la aceleracion tangencial y la aceleracion angular. a = Rα. Uno de los objetivos de la práctica es predecir el radio R del disco (donde se enrolla la pita), conociendo experimentalmente ambas ambas aceler aceleraci acione oness se puede puede predec predecir ir el radio radio R: y luego luego compararlo con la medida directa del radio del disco. III.
Diseño Diseño Experimental Experimental
Procedimiento Colocar la varilla en el trípode en forma de V y luego ajustar el disco. Medir el Radio del segundo disco con el vernier. Enrollar el hilo de cáñamo alrededor del segundo disco; al final de dicho hilo sujetar la masa de 30g. Elegir un punto de referencia arbitrariamente, para luego soltar la masa del reposo. Medir el tiempo que tarda el disco en dar una revolución respecto respecto al punto punto seleccio seleccionado; nado; realizar esta medición medición tres veces. Repeti Repetirr el proced procedimi imient ento o con dos revo revoluc lucion iones, es, tres tres revoluci revoluciones ones,, hasta llegar a siete siete revoluc revoluciones iones,, (en este caso solo se llego a 5 revoluciones).
2
Magnitudes físicas a medir Posición angular θ del disco, respecto a un punto de referencia arbitrariamente escogido. Tiempo t que tarda el disco en completar n revoluciones. Radio R del disco que enrolla la pita de cáñamo. Altura h arbitraria Tiempo que tarda la masa que cuelga en recorrer la altura
h Instrumentos
IV.
Resultados
Tabla 1 Posición angular versus tiempo No. 1 2 3 4 5
θ (rad) 2π 4π 6π 8π 10π
t1 s
t2 s
t3 s
2.88 3.84 4.81 5.43 6.17
2.90 4.00 4.84 5.50 6.16
2.82 3.88 4.71 5.43 6.19
Fuente: Datos originales
Gráfico 1 Posición angular vs tiempo
1. Disco con su eje 2. Trípode en forma de V 3. Varilla de 1m 4. Dos metros de hilo de cañamo 5. Cronómetro 6. Soporte de masa de 10g 7. Dos masas de 10g 8. Vernier 9. Regla de madera
Diagrama representativo Gráfico 2 Posición angular vs z
Modelo matemático
θ = (0.8540
±
0.013)z - (0.6049
±
0.1879)
3
Gráfico 3 Rapidez angular vs t
tiempos hasta ciertos puntos aceptables o correctos dentro del margen de incerteza. Al linealizar la curva posición angular versus tiempo se obtuvo una recta la cual representa, que el modelo matemático es preciso y aceptable. En el gráfico 3 se observa una recta que relaciona rapidez angular versus tiempo, la cual indica que la aceleración es constante y por lo tanto la aceleración lineal también lo es. Al relacionar la aceleración tangencial y la aceleración angular se obtiene el radio teórico y al compararlo con el experimental, Se observa que está dentro del rango de incerteza. Las incertezas según los gráficos, No es más que el mismo error humano, ya que la persona debe tener una buena percepción para poder observar el intervalo de tiempo que tarda en dar una vuelta el disco. VI .
1. Existe un movimiento circular uniformemente variado, debido a que su velocidad angular como tangencial varian continuamente.
Modelo matemático
w = (1.65
±
0.4)t + (0.0239
±
0.021)
Aceleración lineal
a = (0.1275
±
0.00109) m/s2
Aceleración angular
α = (3.3
±
0.8) rad/seg 2
Radio
R = (0.03863
±
Conclusiones
2. La velocidad angular depende de un desplazamiento angular o dirección y tiempo. 3. La fuerza que se ejerce a un cuerpo circular, lo hace girar en torno a donde va la fuerza esto hace que acelere y aumente su velocidad. 4. La incertezas del radio experimental y el radio teórico se determino mediante la aceleración angular y aceleración lineal.
0.09696) m
Rango de Incerteza
VII.
Fuentes de consulta
César Izquierdo. Cinematica del movimiento circular uniformemente variado. Manual de laboratorio de Física 1. (pág. 2 - 8). Guatemala. Equipo editorial Océano (2001). Dinámica del movimiento circular. Mentor Interactivo Enciclopedia Temática Estudiantil. (pág. 294- 297). Editora Océano. España: Barcelona.
VIII.
Anexos
Tabla 1 datos calculados
V.
Discusión de Resultados
Se pudo comprobar que la aceleración angular del disco es constante, que para todo cuerpo rígido, su movimiento circularen una vuelta es 2 π y que debido a una fuerza gravitacional (peso) acelera el movimiento circular. En el gráfico 1 Se puede observar que la posición angular varía polinomialmente respecto del tiempo. Los puntos forman una semi-parábola, lo cual no indica que se han tomado los
No. 1 2 3 4 5
θ (rad) 2π 4π 6π 8π 10π
t1 s
t2 s
t3 s
2.88 3.84 4.81 5.43 6.17
2.90 4.00 4.84 5.50 6.16
2.82 3.88 4.71 5.43 6.19
A partir de la tabla 1 se sacaron los datos para las siguientes tablas:
2,88 + 2,90 + 2,82 t¯ = = 2,86 3
4
∆t =
(2,88
−
2,86)2 + (2,9 − 2,86)2 + (2,82 − 2,86)2 3
∆b =
−0,5861 + 0,6237
2
= ±0,1879
θ = (0.8540±0.013)z + (-0.6049± 0.1879)
∆t = ±0,03 Tabla 2 posición angular vs tiempo No. 1 2 3 4 5
θ (rad) 2π 4π 6π 8π 10π
t¯ s
∆t s
2.86 3.90 4.78 5.43 6.17
±0.03 ±0.06 ±0.05 ±0.03 ±0.08
∆z = 2 t¯∆t
z = t2 z = (2,86)2 = 8,17
∆z = 2(2,86)(0,03) = ±0,17
De la tabla 2
θn+1 − θn−1 tn+1 − tn−1 6π − 2π w2 = = 6,54rad/s 4,78 − 2,86 wn =
Tabla 4 rapidez angular vs t No. 1 2 3
w (rad/s)
ts
6.54 8.10 9.04
3.90 4.78 5.45
Tabla 3 velocidad angular vs z ( t2 ) No. 1 2 3 4 5
θ (rad) 2π 4π 6π 8π 10π
Modelo matemático
z = t2 s
∆z s
8.17 15.21 22.84 29.70 38.06
±0.17
Modelo matematico
θ = az + b θ1 − θ0 z1 − z0 10π − 2π a1 = = 0,8408 38,06 − 8,17 8π − 4π a2 = = 0,8672 29,70 − 15,21 amax + amin ¯= a 2 0,8408 + 0,8676 a ¯= = 0,8540 2 amax − amin ∆a = 2 0,8672 − 0,8408 ∆a = = ±0,013 2 a=
±0.46 ±0.47 ±0.32 ±0.98
w = (a ± ∆a)t + (b ± ∆b) w3 − w1 t3 − t1 9,04 − 6,54 a1 = = 1,61 5,45 − 3,90 −8,1 = 1,69 a2 = −4,78 1,61 + 1,69 a ¯= = 1,65 2 1,69 − 1,61 ∆a = = ±0,4 2 a1 =
b = w − ct b1 = 6,54 − (1,61)(3,90) = 0,261 b2 = 8,10 − (1,69)(4,78) = 0,218 ¯b = 0,261 + 0,218 = 0,239 2 0,261 − 0,218 ∆= = ±0,021 2 w = (1,65 ± 0,4)t + (0,0239 ± 0,021)
b = θ0 − az0 b1 = 2π − (0,8408)(8,17) = −0,5861
Aceleración lineal
b2 = 4π − (0,8672)(15,21) = −0,6237
a=
¯b = bmax + bmin 2 −0,5861 − 0,6237 ¯b = = −0,6049 2 bmax − bmin ∆b = 2
∆a = a( ∆hh +
2h t2 2(9,7) a= = 0,1275m/s2 (3,9)2 2∆t t
)
∆a = 0,01275( 00,,005 97 +
2(0,01) 3,82 ) =
0,001093
5
Aceleración angular
α = 2c α = 2(1,65) = 3,3rad/s2 ∆α2(0,4) =
±0,8
Radio
a α 0,1275 R= = 0,3863m 3,3 ∆a ∆α ∆R = R( + ) a α 0,01093 0,8 ∆R = 0,3863( + )= 0,1275 3,3 R=
±0,09696
