Experimento 5: Calibração de Termômetro. Disciplina: BC1707 - Métodos Experimentais em Engenharia. Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Raian Bolonha Castilho Spinelli Turma: A/Diurno Prof ª. Dra. Léia Bernardi Bagesteiro.
Santo André, 25 de Julho de 2011 2011
Sumário 1. 2. 3. 4.
RESUMO .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ............................... ........ 2 INTRODUÇÃO............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ....................... 3 OBJETIVOS .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 4 PARTE EXPERIMENTAL.................................................. ......................................................................... .............................................. .......................4 4.1. Materiais ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 4 4.2. Métodos .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 5 4.2.1. Construção de escala termométrica ............................................... ...................................................................... ....................... 5 4.2.2. Calibração da escala termométrica ........................................ ............................................................... ............................... ........ 5 4.2.3. Medidas de temperatura.................................. temperatura......................................................... .............................................. ............................... ........ 6 4.2.4. Determinação da constante térmica t érmica de resfriamento res friamento de d e um resistor resist or .................... .................... 6 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................. .................................................................... .......................................... ................... 9 5.1. Construção de escala termométrica .............................................. ..................................................................... ............................... ........ 9 5.2. Calibração da escala termométrica ............................................................... ............................................................................ ............. 10 5.3. Medidas de temperatura ............................................. .................................................................... .............................................. ........................... 11 5.4. Determinação da constante co nstante térmica de resfriamento resfriament o de um resistor resisto r ......................... ......................... 12 6. CONCLUSÃO........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ........................... 20 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................. .................................................................... ................................ ......... 21 8. APÊNDICES ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ........................... 22 8.1. Medidas de dispersão ................................................. ........................................................................ .............................................. ........................... 22 8.2. Mínimos quadrados adaptado a este tipo de calibração cal ibração ........................................... ............................................... 22 8.3. Aplicação em engenharia ............................................... ...................................................................... ............................................ ..................... 23 8.4. Dedução matemática m atemática da d a constante co nstante de resfriamento resfri amento k .............................................. .................................................. 27 8.5. Dedução matemática do erro uk ............................................. .................................................................... .................................... ............. 28
2
1. RESUMO Desde a antiguidade os termômetros vêm sendo desenvolvidos pela necessidade de se medir temperaturas, tanto de objetos parados com em movimento. Inicialmente diversos materiais poderiam ser utilizados como referencia para escalas termométricas, hoje, utiliza-se o ponto triplo da água para esse padrão. Neste relatório um termômetro de mercúrio foi calibrado a partir de um termômetro já calibrado que se utilizava do mesmo princípio de funcionamento. Após a calibração do mesmo foi possível observar que quanto maior a temperatura medida maior o erro cometido pelo termômetro sendo que os erros variaram entre 0,17 e 0,03 em uma faixa de 80 a 47 °C, mesmo assim tendo erros relativos baixos. Em uma segunda fase foi determinada a constante de resfriamento de um resistor de 120 ohm, obtendo-se o resultado de k = 0,00840 s -1.
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2. INTRODUÇÃO A temperatura se caracteriza por medir o grau de agitação das moléculas em um sistema em equilíbrio térmico. Essa medida não tem um valor fixo, ela depende da referência adotada. Hoje em dia existem diversas escalas de medição de temperatura, sendo as mais utilizadas as escalas Celsius (°C), Kelvin (K) e Fahrenheit (°F). Para se determinar uma escala é normal que se utilize como parâmetros fixos as temperaturas de fusão e ebulição da água e depois se determinam os pontos além e entre essas duas medidas. A substância água destilada é utilizada por seu fácil acesso. Uma nova escala termométrica pode ser determinada a qualquer momento dependendo do experimento que uma pessoa queira realizar, tudo depende dos pontos de referência adotados, pois pode ser que seja interessante que o ponto de ebulição do álcool seja adotado como o 0 da escala ao invés do ponto de ebulição da água como na escala Celsius. Os termômetros podem ser construídos a partir de diversos ramos da física. A princípio os mais conhecidos provêm de escalas térmicas a partir da dilatação da coluna de um líquido com coeficiente de dilatação bastante sensível. Também podem ser encontrados outros tipos como, por exemplo, alguns que se utilizam da resistência elétrica e outros da intensidade do espectro, da radiação eletromagnética para determinar temperatura, e estes muitas vezes mais precisos que os primeiros mais tradicionais [1]. Além do já dito sobre diversos tipos de termômetro também é importante salientar que dependendo da situação em que o material a ser medido está, um tipo de termômetro é utilizado, por exemplo, objetos em movimento não podem medir temperatura por contato como um termômetro convencional mede a febre de uma criança, ou um material muito pequeno não pode ser medido por contato também pó conta do equilíbrio térmico que acabará por elevar ou diminuir sua temperatura. Cada situação pede um tipo de termômetro, mas todos eles têm um ponto em comum, o fato de terem de ser calibrados sempre e terem definidas uma escala a qual qualquer pessoa que os estude possa utilizá-los de forma clara e repassar essas informações a qualquer outra pessoa.
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3. OBJETIVOS Construir uma escala de temperatura a partir de um capilar com mercúrio, determinando-se dois pontos fixos, ponto triplo e ponto de ebulição da água. Calibrar o termômetro a partir de um termômetro pré-calibrado e determinar seu erro a partir do método de mínimos quadrados. A partir desse novo termômetro calibrado, determinar o ponto de ebulição do álcool etílico e a temperatura ambiente. Utilizando um termopar, determinar a constante térmica de resfriamento de uma resistência elétrica e estimar as incertezas obtidas.
4. PARTE EXPERIMENTAL 4.1. Materiais •
Termômetros de mercúrio com e sem escala
•
2 Béqueres
•
Placa de aquecimento
•
Água quente, gelo e álcool etílico
•
Régua
•
Lápis
•
Cronômetro
•
Fonte de Alimentação
•
Protoboard
•
Termopar
•
Resistor
•
Multímetro
•
Planilha Microsoft Excel 2010®
5
Tabela 1 – Caracterização dos materiais utilizados
Marca
Modelo
Valor de Fundo
Menor divisão da escala
Incerteza
Fonte de Alimentação
Minipa
MPL-3303
30 V
0,1 V
0,05 V
Cronômetro
Cronobio
-
99:9999
00:0001
0,005s
Termômetro Termôm etro
Incoterm Incote rm
L-057/07 L-057/0 7
10°C
1°C 1°C
0,5°
Béquer
J Prolab
-
250 mL
5 mL
2,5 mL
Régua
Acrimet
-
300 mm
1 mm
0,5 mm
Placa de Aquecimento
Diag Tech
DT3120
Tamb
-
-
Ajustável
De acordo com escala de fundo
Eq. (7)
Multímetro digita
4.2.
Minipa
ET-2510
Métodos
4.2.1. Construção de escala termométrica Inicialmente foi colocar dentro de um béquer uma mistura composta por água e gelo. Colocou-se o termômetro já graduado e o termômetro a ser graduado dentro da mistura e quando temperatura esperada de 0° foi atingida no primeiro termômetro, a altura da coluna de mercúrio do segundo foi marcada em uma fita que estava grudada a ele. Assim obteve-se a M1 = T min = 0°C, ponto de fusão da água. Um segundo béquer cheio de água foi colocado sobre uma chapa para aquecer, quando o líquido entrou em fervura, o mesmo procedimento anterior foi realizado, inseriram-se os dois termômetros e quando as colunas de mercúrio estabilizaram-se foi feita uma segunda marca, M2 = T máx = a temperatura de fervura da água no local do experimento. Após as duas medidas foi determinada a altura de M2 em relação a M1, e depois, a partir de uma regra de três foi estipulada uma primeira aproximação para a escala termométrica do termômetro novo a ser graduado.
4.2.2. Calibração da escala termométrica Foi colocado dentro de um béquer cerca de 100 mL de água aquecida a 50°C. Dentro do béquer foram inseridos os dois termômetros (o já graduado e o a ser
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graduado) e quando as duas colunas de mercúrio foram estabilizadas no seu máximo marcou-se esse ponto no termômetro a ser graduado e depois foi repetida essa marcação a cada diminuição de 2 graus no termômetro já graduado. Foram feitas 9 marcações. A partir destas medições foi possível determinar a curva que melhor se aproxima dos pontos obtidos pelo método dos mínimos quadrados adaptado (Anexo 8.2) e assim determinar a real escala termométrica e seu erro associado.
4.2.3. Medidas de temperatura Os dois termômetros utilizados foram inseridos nas outras etapas dentro de um béquer com água em temperatura ambiente e após as duas colunas de mercúrio estabilizarem foi marcada a altura da coluna na fita grudada no termômetro a ser graduado. O mesmo procedimento foi feito em um béquer com aproximadamente 20 ml de álcool etílico (99,5%). Colocou-se o béquer para esquentar em cima da chapa quente e quando este começar a ferver, utilizou-se os termômetros para determinar a altura da coluna de mercúrio no termômetro a ser graduado. A partir da equação determinada pelo método dos mínimos quadrados foi possível determinar o valor da temperatura ambiente na nova escala termométrica determinada.
4.2.4. Determinação da constante térmica de resfriamento de um resistor O termopar foi conectado ao multímetro, observando se os seus terminais estão corretamente conectados ao aparelho de medida, e em seguida o termopar e um termômetro graduado de referência foram colocados num béquer com água e álcool etílico (99,5%) para ter a referência da temperatura ambiente, sendo anotadas a temperatura indicada no termômetro e a tensão no multímetro. Em seguida o procedimento foi repetido colocando os equipamentos em um banho de água fervente. Para aquecer o resistor, ele foi posicionado na protoboard (com seus terminais bem afastados entre si) e conectado à fonte de tensão contínua.
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De acordo com a especificação da potência máxima sobre o resistor utilizado, ajuste a fonte de tensão para uma tensão abaixo da máxima que o resistor pode suportar dado pela equação (1). Este procedimento é adotado a fim de aquecer o resistor para posterior medida de sua temperatura. 2
P=
V
R
⇒V
(1)
= + P.R
Foram realizados três procedimentos de resfriamento anotando a tensão indicada no multímetro em intervalos regulares. No primeiro resfriamento foram anotados de 15 em 15 segundos, nos dois seguintes de 10 em 10 segundos, pois se percebeu que a variação inicial dos valores era rápida e a escala de 15 em 15 não contemplava muito bem estes dados iniciais. A conversão dos valores de tensão para valores de temperatura foram calculados a partir de um ajuste ao polinômio descrito equação (2). 2
(2)
T = a 0 + a1 X + a2 X + ... + an X
Sendo
n
coeficientes constantes que dependem do termopar
utilizado e X é o valor da tensão medida dado em milivolts. Estes coeficientes podem ser ajustados por interpolação interpolação dos dados dados coletados. No experimento, por terem sido tomados 2 pontos de referência, foi ajustada uma reta, i.e., foram usados apenas a 0 e a1, calculados de acordo com o procedimento descrito na equação (3). T (V ) = a0 + a1 X ; a1 =
(T2 − T 1 ) ( X 2 − X 1 )
;
(3)
a0 = T − a1 X1
Onde Ti e X i são os respectivos valores de temperatura e tensão medidos com auxílio do termômetro de referência. O cálculo da constante de tempo térmica, dada pela equação (4) (cuja dedução se encontra no Anexo 8.4) e seu respectivo erro é dado por (5) (cuja dedução se encontra no Anexo 8.5). Onde T0 é a temperatura na qual se desligou a fonte de tensão e iniciou o processo de resfriamento, T f é a temperatura final medida no resfriamento, esta temperatura pode ser interpretada como a temperatura T no instante t em que se faz a medida como se as medições terminassem naquele instante t, e T a (Tamb) é a temperatura ambiente considerada fixa durante todo o resfriamento. T (t ) = Tamb + (T0 − Tamb )e − ⇒ k = kt
1 T (t ) ln t
− T amb
T0 − T amb
(4)
8
∴ uk =
uT ( t ) t (T (t ) − Tamb )
2
uT0 + t (T0 − Tamb )
2
(T0 − T f )uT + t (T (t ) − Tamb )(T0 − Tamb ) amb
2
k .u t + t
2
(5)
O cálculo do erro associado à temperatura é dado por (6) ∴ uT ( t ) =
∂ ( a0
1
)
+ a1 X + ... + an X n
∂ X
uX
2
n ( i −1) = ∑ ( ai X i ) uX i =1
(6)
O erro uX de leitura do multímetro é dado por (7) ∴ u X = uV =
(7)
0, 0005(Vlido ) + 2 D
Onde D é a casa decimal do último digito exibido no multímetro. Outra forma de se obter o valor da constante k é por meio do ajuste de uma função exponencial aos dados coletados. Todavia o software soft ware escolhido realiza ajuste de funções exponenciais do tipo
y = aebx ,
portanto é necessário retrabalhar a partir
da equação (4) para se obter o correto ajuste. kt kt kt T (t ) = Tamb + (T0 − Tamb )e − ⇒ T (t ) − Tamb = (T0 − Tamb )e − ⇒ ∆T = Ce −
(8)
Para todas as medições, foram anotadas as tensões até 0,1 mV nos respectivos intervalos de tempo, depois, percebendo-se o comportamento do experimento, optou-se por usar os dados até o mesmo intervalo de tempo, sendo escolhido o total de 6 minutos (360 segundos) de resfriamento.
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Figura 1 – Layout planilha Excel® para coleta de dados e cálculo da constante de resfriamento de Newton (Há uma tabela para cada resfriamento).
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO 5.1.
Construção de escala termométrica
A Tabela 2 apresenta valores relacionados de temperatura e alturas medidos com um termômetro e uma régua, respectivamente. Estes valores foram correlacionados conhecendo-se a altura em 0°C e a altura no ponto 94°C e os demais valores foram obtidos a partir de uma proporção linear entre estas temperaturas. Tabela 2 – Valores iniciais de calibração do termômetro Temperatura (°C) (°C)
0
11,75
23,5 23,5
35,25
47
58,75
70,5
82,25
94
Altura (mm)
0
15,5
31
46,5
62
77,5
93
108,5
124
10
Figura 2 – Gráfico de relação entre a altura e a possível temperatura a ela associada.
Na Figura 2 se nota uma possível relação inicial entre a temperatura do termômetro e a altura da coluna de mercúrio. Esta relação foi obtida admitindo-se uma relação linear entre temperatura e altura da coluna de Hg dada pela equação geral y = a + bx e os parâmetros a e b foram determinados com os pontos de altura em 0°C e 94°C e então se obteve a equação y=0,758x que é uma primeira aproximação para essa calibração. 5.2.
Calibração da escala termométrica
A Tabela 3 mostra os valores de temperatura e altura obtidos a partir dos dois termômetros, sendo a temperatura Tk o valor obtido pela equação de reta usada para calibrar o novo termômetro. A incerteza de todas as alturas é de 0,5mm e da temperatura real é de 0,5°C. 0,5°C. A incerteza associada à temperatura k é dada por (9): Tk =
2
∂T y = 0, 758 x ⇒ u x ⇒ uT = 0, 758 ∴ uT = ∂ x ∂x ∂Tk
2
k
k
=
0, 758 .0, 5 = 0, 379 ≅ 0, 4
(9)
Tabela 3 – Valores de temperatura obtidos a partir da equação de reta da calibração inicial do termômetro. N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Altura da coluna de mercúrio (mm)
63
61
57
55
53
50
47
44
41
Temperatura "real" (°C) (°C)
47
45
43
41
39
37
35
33
31
Temperatura k (°C) (°C)
47,8
46,2
43,2
41,7
40,2
37,9
35,6
33,4
31,1
11
A partir do método de mínimos quadrados foi possível obter os fatores de correção a partir de (10) para cada temperatura k obtida. Na Tabela 4 esses valores podem ser observados e também o erro associado a cada uma delas. (10)
b(T ) = 0,08 ,0842 − 0,03 ,0358x; x = T − T0
Tabela 4 – valores de temperatura corrigidos. N
1
Valor de temperatura corrigido (°C) (°C)
2
3
4
5
6
7
8
9
46,77 45,32 42,40 40,94 39,49 37,30 35,11 32,93 30,74
fator de correção aplicado b(T)
-0,99
-0,93
-0,81
-0,75
-0,69
-0,61
-0,52
-0,43
-0,34
u²[b(T)]
0,06
0,06
0,05
0,05
0,05
0,04
0,04
0,03
0,03
É possível observar na Tabela 4 que, à medida que o valor da temperatura corrigido diminui a incerteza relacionada ao valor de b(T), fator de correção da temperatura, também diminui e isto era esperado, pois o cálculo dessa incerteza depende da diferença entre a temperatura medida e a temperatura ambiente e esta diferença diminui com a diminuição da temperatura medida se aproximando da ambiente. 5.3.
Medidas de temperatura
A Tabela 5 mostra os valores das variáveis necessários para o cálculo da Temperatura k, temperatura medida com o termômetro calibrado. Estes cálculos foram utilizados para estimar a temperatura ambiente e a temperatura de ebulição do álcool etílico 99,5% PA. Tabela 5 – Temperaturas obtidas para a temperatura ambiente e de fusão do álcool etílico T ambiente
T álcool (99,5%)
Altura
25,00
102,00
Temperatura "real"
19,50
77,30
Temperatura k
18,95
77,33
bk (Tr-Tk)
0,55
-0,03
-1,05
57,33
temperatura corrigida
19,08
77,41
fator de correção
0,12
0,09
Erro
0,01
0,17
θk
(Tk-Tamb)
12
É possível observar na Tabela 5 que o erro na medida da temperatura de ebulição do álcool etílico 99,5% PA é maior que no caso da medida da temperatura ambiente e este valor de erro maior era esperado devido à incerteza relacionada a b(T), i.e., quanto maior a temperatura medida, maior será o erro associado a esta medida. Para comparar os valores de temperaturas entre o termômetro padrão e o termômetro calibrado foi calculado o erro relativo e estes valores estão dispostos na Tabela 8. Tabela 6 – Erro relativo entre a medida de referência e a medida do termômetro calibrado.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T. ambiente
T. álcool
Er (%)
0,48
0,70
1,39
0,14
1,25
0,81
0,32
0,22
0,84
2,17
0,14
Observando-se os resultados da Tabela 6, pode-se perceber que os erros relativos entre as medidas são pequenos e estes ocorreram devido a erros relacionados às medidas de altura da coluna de mercúrio, pois além da incerteza do instrumento, houve incerteza correspondente ao operador do instrumento, à posição não vertical do termômetro no momento da medição e dificuldade em marcar a posição da coluna de mercúrio no instrumento na fita adesiva que estava colada no mesmo. 5.4.
Determinação da constante térmica de resfriamento de
um resistor
A Tabela 7 mostra os valores das temperaturas de referência medida com o termômetro e a respectiva tensão dada pelo termopar. O erro da medida da temperatura ambiente, que também será usado nos demais cálculos para cada resfriamento, é metade da escala graduada do termômetro de referência. Tabela 7 – Referências do Termopar T ref Ambiente Água em Ebulição uTamb
22,00 °C 93,00 °C
V ref -0,20 mV 2,80 mV 0,50 °C
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Com estes dados e uso da equação (3) foram calculados os coeficientes da reta sendo estes valores usados para calcular todas as colunas “Temperatura (°C)” das tabelas dos resfriamentos. (11)
a0 = 26,73; a1 = 23,67
A fonte de tensão foi ajustada em 21V em todos os procedimentos. A Tabela 8 apresenta os valores das tensões dadas pelo termopar após o tempo de desligamento da fonte de tensão que aquecia o resistor, tal como a temperatura calculada a cada instante e o coeficiente de resfriamento considerando o caso do experimento para naquele mesmo instante e os respectivos erros. Tabela 8 – 1º Resfriamento
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345
Tempo (min:s) 00:00 00:15 00:30 00:45 01:00 01:15 01:30 01:45 02:00 02:15 02:30 02:45 03:00 03:15 03:30 03:45 04:00 04:15 04:30 04:45 05:00 05:15 05:30 05:45
Tensão (mV) 7,6 6,4 5,5 4,7 4,0 3,4 2,9 2,5 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,7 0,6 0,6 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,3
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
360
06:00
0,3
0,2
Tempo (s)
uV
Temperatura ± uT (°C) (°C) 206,600 0,005 178,200 0,005 156,900 0,005 137,967 0,005 121,400 0,005 107,200 0,005 95,367 0,005 85,900 0,005 78,800 0,005 71,700 0,005 64,600 0,005 59,867 0,005 55,133 0,005 50,400 0,005 45,667 0,005 43,300 0,005 40,933 0,005 40,933 0,005 38,567 0,005 36,200 0,005 36,200 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 33,833
0,005
k (1/s)
± uk (1/s)
--0,01114 0,01046 0,01033 0,01032 0,01031 0,01025 0,01010 0,00982 0,00972 0,00978 0,00960 0,00954 0,00960 0,00978 0,00960 0,00949 0,00893 0,00893 0,00900 0,00855 0,00872 0,00833 0,00796
--0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00009 0,00010 0,00011 0,00011 0,00013 0,00012 0,00011
0,00763
0,00011
De acordo com Tabela 8, o valor da constante de resfriamento k = 0,00763 ± 0,00011 s-1, pois este é o valor da última linha da Tabela 8.
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A Figura 3 exibe as temperaturas em função do tempo e a função exponencial ajustada, nota-se que o ajuste não ficou satisfatório e a constante obtida a partir do gráfico é 0,00509 s -1, que é bem distinta do calor calculado pela Tabela 8. Dessa forma construiu-se o gráfico da Figura 4 utilizando a manipulação descrita pela equação (8), ou seja, os valores ∆T do gráfico são os valores das linhas da Tabela 8 subtraídos da temperatura ambiente (Tabela 7). A partir do ajuste da função exponencial deste gráfico, obteve-se o valor de k =0,00809 s -1, nota-se que neste gráfico a função possui coeficiente de ajuste (R²) de 98,08%, maior que 94,14% do gráfico da Figura 3.
Figura 3 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 4 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a equação (8).
15
Os dados do 2º resfriamento encontram-se na Tabela 9. Neste resfriamento o valor de k = 0,00832 ± 0,00014 s -1. Tabela 9 – 2º Resfriamento
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Tempo (min:s) 00:00 00:10 00:20 00:30 00:40 00:50 01:00 01:10 01:20 01:30 01:40 01:50 02:00 02:10 02:20 02:30 02:40 02:50 03:00 03:10 03:20 03:30 03:40 03:50 04:00 04:10 04:20 04:30 04:40 04:50 05:00 05:10 05:20 05:30 05:40 05:50
Tensão (mV) 7,8 6,8 6,1 5,5 5,1 4,4 4,0 3,6 3,3 2,9 2,5 2,2 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
360
06:00
0,2
0,2
Tempo (s)
uV
Temperatura ± uT (°C) (°C) 211,333 0,005 187,667 0,005 71,100 0,005 156,900 0,005 147,433 0,005 130,867 0,005 121,400 0,005 111,933 0,005 104,833 0,005 95,367 0,005 85,900 0,005 78,800 0,005 76,433 0,005 71,700 0,005 69,333 0,005 64,600 0,005 62,233 0,005 57,500 0,005 55,133 0,005 52,767 0,005 50,400 0,005 45,667 0,005 45,667 0,005 43,300 0,005 43,300 0,005 40,933 0,005 38,567 0,005 38,567 0,005 36,200 0,005 36,200 0,005 36,200 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 31,467 0,005 31,467
0,005
k (1/s)
± uk (1/s)
--0,01335 0,01194 0,01130 0,01029 0,01107 0,01074 0,01063 0,01033 0,01053 0,01086 0,01095 0,01039 0,01029 0,00990 0,00994 0,00968 0,00985 0,00968 0,00956 0,00949 0,00990 0,00945 0,00950 0,00910 0,00921 0,00937 0,00902 0,00925 0,00893 0,00863 0,00894 0,00866 0,00840 0,00815 0,00856
--0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00005 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 0,00007 0,00007 0,00009 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00011 0,00010 0,00012 0,00011 0,00011 0,00013 0,00012 0,00012 0,00012 0,00014
0,00832
0,00014
16
Tal como no 1º resfriamento foram construídos os gráficos com os dados do resfriamento e com a subtração da temperatura ambiente. Novamente o valor de k de 0,00516 (Figura 5) sem a correção da temperatura ambiente está bem distante do valor de k = 0,00830 da Figura 6 com a correção para o correto ajuste por parte do software e coeficiente de ajuste de 98,91%.
Figura 5 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 6 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a equação (8).
A Tabela 10 apresenta os dados coletados durante o 3º resfriamento. Neste resfriamento foi obtido k= 0,00901 ± 0,00019 s -1.
17
Tabela 10 – 3º Resfriamento Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Tempo (min:s) 00:00 00:10 00:20 00:30 00:40 00:50 01:00 01:10 01:20 01:30 01:40 01:50 02:00 02:10 02:20 02:30 02:40 02:50 03:00 03:10 03:20 03:30 03:40 03:50 04:00 04:10 04:20 04:30 04:40 04:50 05:00 05:10 05:20 05:30 05:40 05:50
Tensão (mV) 7,5 6,6 6,0 5,4 4,8 4,3 3,9 3,5 3,1 2,8 2,6 2,3 2,1 1,8 1,7 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,6 0,5 0,4 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
360
06:00
0,1
0,2
uV
Temperatura ± uT (°C) (°C) 204,233 0,005 182,933 0,005 168,733 0,005 154,533 0,005 140,333 0,005 128,500 0,005 119,033 0,005 109,567 0,005 100,100 0,005 93,000 0,005 88,267 0,005 81,167 0,005 76,433 0,005 69,333 0,005 66,967 0,005 62,233 0,005 57,500 0,005 55,133 0,005 52,767 0,005 50,400 0,005 48,033 0,005 45,667 0,005 43,300 0,005 40,933 0,005 40,933 0,005 38,567 0,005 36,200 0,005 36,200 0,005 36,200 0,005 33,833 0,005 33,833 0,005 31,467 0,005 31,467 0,005 31,467 0,005 29,100 0,005 29,100 0,005 29,100
0,005
k (1/s)
± uk (1/s)
--0,01243 0,01083 0,01062 0,01079 0,01074 0,01050 0,01047 0,01059 0,01047 0,01012 0,01023 0,01007 0,01037 0,01000 0,01007 0,01022 0,01003 0,00988 0,00978 0,00973 0,00972 0,00976 0,00985 0,00943 0,00959 0,00982 0,00945 0,00911 0,00943 0,00911 0,00954 0,00924 0,00896 0,00954 0,00927
--0,00004 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00008 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00010 0,00011 0,00012 0,00012 0,00012 0,00014 0,00013 0,00016 0,00016 0,00015 0,00020 0,00019
0,00901
0,00019
18
Para este resfriamento o valor sem correção (Figura 7) de k = 0,00536, distante do valor obtido por meio da Tabela 10, com a correção da temperatura (Figura 8) o valor de k = 0,00907 com coeficiente de ajuste de 99,64%
Figura 7 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 8 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a equação (8).
19
A Tabela 11 é um resumo das constantes de resfriamento obtidas em cada procedimento. Tabela 11 – Resumo dos três resfriamentos.
1º Resfriamento
2º Resfriamento
3º Resfriamento
k (tabela) (s-1)
0,00763 ± 0,00011
0,00832 ± 0,00014
0,00901 ± 0,00019
k (gráfico) (s-1)
0,00809
0,00830
0,00907
A média das constantes calculadas com base nas tabelas é 0,00832 s -1 e a média com base nos gráficos é 0,00849 s -1, sendo então a média dos dados de 0,00840 s-1. A pequena diferença nos valores de k obtidos nos três resfriamentos mostrados na Tabela 11 deve-se ao tempo de atraso do operador em olhar a contagem do tempo mostrada no cronômetro e o valor de tensão mostrado no visor do multímetro e este atraso ocorreu principalmente nos valores de tensão iniciais do resfriamento, pois estes decrescem mais rapidamente no tempo. Buscando minimizar esta fonte de incerteza, foi incluído mais um operador neste procedimento para minimizar o tempo de atraso na medida. O procedimento experimental para determinação de uma escala termométrica para um termômetro apresenta algumas incertezas relevantes nas medidas. Por exemplo, na medida da altura da coluna de mercúrio, há o erro do operador, pois este deve posicionar a régua em uma posição paralelamente vertical ao termômetro para que a medida seja realizada com maior precisão, o que não ocorre em todos os casos. Também relacionado à medida da altura da coluna de mercúrio, a pessoa que está realizando a experiência deve marcar a posição, em uma fita adesiva presa ao termômetro, da altura da coluna de mercúrio em uma determinada posição e essa medida é difícil de ser realizada, pois o operador tem que virar o termômetro para uma posição, olhar a altura, e virar o termômetro para outra posição, que não dá para verificar a correspondência da altura, e assim realizar a marcação gerando assim uma incerteza a mais na medida. Outra medida apresentada neste experimento que apresenta fonte de incerteza que influência de forma considerável na medida é o tempo de atraso na leitura do tempo no cronômetro e a leitura da tensão correspondente no multímetro, sendo esse atraso mais significativo no inicio das medidas, pois a variação da tensão era maior nestes pontos iniciais.
20
6. CONCLUSÃO Este experimento mostrou que a temperatura de um corpo pode ser determinada de diferentes formas como, por exemplo, através de um termômetro de mercúrio ou através de um termopar. Estes diferentes métodos apresentam suas incertezas associadas características e pela análise dos dados e resultados, percebeu-se que a maior incerteza se concentra nas medidas realizadas com um termômetro de mercúrio calibrado com o método comparativo entre altura e temperatura, pois há mais fontes de incertezas que no caso de um termopar, que mede a tensão em função da temperatura, pois os dados são coletados com um multímetro, que possui maior precisão que uma régua para medição de altura. Porém este método mostrou-se eficiente, pois a incerteza no valor de correção da temperatura, do termômetro de calibração, foi, em média, de 0,05°C. Por outro lado, as medidas de temperatura de diversos métodos podem determinar valores de variáveis importantes como o coeficiente de resfriamento de Newton calculado, neste experimento, realizado com um termopar, valor encontrado 0,00840 s-1 com uma incerteza de ±0,00015 s-1 mostrando a eficiência deste método.
21
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] BALBINOT, Alexandre; BRUSAMARELLO, Valner J. Instrumentação e fundamentos de medidas. medidas. Rio de janeiro: LTC, 2006. V.1. [2] TERMORRESISTÊNCIAS. Disponível em . Acesso em 04 de ago. 2011 [3] FREIRE, Amaury. Instrumentação Industrial: Industrial: Temperatura Disponível em . Acesso em 04 de ago. 2011 [4] TERMÔMETROS de Radiação. Disponível em: . . Acesso em 03 de ago. de 2011 [5] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Essencial: Equações Diferenciais Ordinárias Disponível em . Acesso em 05 de ago. 2011
22
8. APÊNDICES 8.1.
Medidas de dispersão
As medidas de dispersão como média, variância, incerteza da média e desvio padrão foram calculadas de acordo com as equações (12), (13), (14) e (15) respectivamente. x =
1 n
1
2
s =
n
∑1 x
(12)
i
i=
n
( x − x )2 ∑ ( n − 1) 1
(13)
s2
(14)
i
i=
um =
n
u = + s2
8.2.
(15)
Mínimos quadrados adaptado a este tipo de calibração
A calibração será feita a partir da comparação entre valores lidos de temperatura Tk e do termômetro de referência T c o desvio é dado por (16)
bk = Tc − T k
De onde se obtêm a curva linear de calibração (17)
b(T ) = y1 + y2 x ; x = T − T0
Onde: y1 é o coeficiente linear da curva, y2 é o coeficiente angular da curva , T é um valor qualquer de temperatura na qual se deseja aplicar a correção ao termômetro (é a variável independente); b(T) é a correção que deve ser aplicada ao termômetro no valor de temperatura T (é a variável dependente); T 0 é uma temperatura exata qualquer de referência convenientemente escolhida, que servirá de localização da curva (deve ser escolhida de preferência abaixo do primeiro valor de temperatura medido). Definindo
θ k = Tk − T 0
e
∑
∆ = N
2
θk −
2
( ∑θ ) , sendo N o número de amostras, k
tem-se as equações para y1 e y2: b ∑θ 2 − ∑ b θ ∑θ ∑ y1 = k
k
k
k
k
∆
y2 =
N
∑ b θ − ∑ b ∑θ k
k
k
∆
k
(18) (19)
23
Os respectivos desvios-padrão dos coeficientes são dados por: 2
2
σ y = 1
σ
2 θ ∑ ∆
(20)
k
2
2
σ y =
N
2
σ
(21)
∆
A medida de incerteza total do ajuste dada por (22)
∑ [b =
2
k
σ
2
− b (T k )]
(22)
N − 2
Após encontrar o valor previsto para a correção do termômetro a uma determinada temperatura, calcula-se a incerteza dessa correção que resultará em um intervalo. Esta é calculada a partir da seguinte expressão: 2
2
2 2
uc [b(T )] = u y1 + x uy2 + 2 xu y1 u y2 r ( y1 , y2 )
(23)
e “r” é o coeficiente de correlação dado por (24) r ( y1 , y2 ) =
8.3.
∑ ( y1. y2 ) − ∑
( y1). ).∑ ( y2 ). n
(24)
Aplicação em engenharia
Termômetro de Resistência (RTD) Um dos métodos elementares para medição de temperatura envolve mudança de resistência elétrica de certos materiais em função da temperatura. Estes tipos de termômetros são geralmente chamados de bulbo de resistência e são largamente utilizados nas indústrias por ter alta estabilidade e repetitividade, baixa contaminação, menor influência de ruídos e uma boa exatidão. Devido a essas qualidades, tornou-o um instrumento padrão internacional (ITS-90) para medição de temperatura temper atura na faixa fai xa de -259°C -259°C a 962°C. 962°C. O princípio de funcionamento deste sensor consiste no princípio de variação da resistência ôhmica em função da temperatura. Seu elemento sensor consiste de uma resistência na forma de fio de platina de alta pureza, de níquel ou de cobre encapsulado num bulbo de cerâmica ou vidro.
24
A equação matemática que modela a variação da resistência em função da temperatura chama-se de equação Callendar-Van Dusen dada por (25) para faixa de temperatura de -200°C a 0°C e (26) para a fixa entre 0 a 850°C. Rt = R0 .1 + At + Bt 2 + Ct 3 .(t − 100)
(25)
Rt = R0 1 + At + Bt 2
(26)
Onde Rt é a resistência na temperatura t, R 0 a resistência a 0°C, t a temperatura em °C e A,B e C são coeficientes determinados pela calibração e seus valores são 3,90802.10³ (°C -1), -5,802.10-1 (°C (°C-2) e -4,27350.10 -12 (°C (°C-4), respectivamente. O número que expressa a variação da resistência em função da temperatura é denominado alfa e se relaciona de acordo com (27) e a unidade no SI é °C °C-1.
α =
R100 − R0
100. R0
(27)
Onde R100 é a resistência a 100°C e R 0 é a resistência a 0°C [2]. Termômetro à dilatação de sólido (termômetro bimetálico) O termômetro bimetálico baseia-se no fenômeno de dilatação linear dos metais com a temperatura, dado por (28) e a variação de temperatura dada por (29). Lt = L0 (1 − α ∆T )
(28)
∆T = T − T 0
(29)
Onde T é a temperatura do metal em °C, T 0 a temperatura de referência do metal em °C, L0 o comprimento do metal à temperatura de referência e Lt o comprimento do metal à temperatura T em °C e α o coeficiente de dilatação linear dado em °C-1. Baseado no fato de que dois metais diferentes modificam as suas dimensões de modo desigual ao variar a temperatura, o termômetro bimetálico consiste em duas lâminas de metal justapostas, formando uma só peça e geralmente na forma helicoidal. Uma extremidade da hélice é fixa e a outra é ligada a um ponteiro que pode girar livremente sobre uma escala circular graduada.
25
Para a construção de um termômetro bimetálico, normalmente usa-se o Invar (64%Fe e 36%Ni) como metal de baixo coeficiente de dilatação e o latão como metal de alto coeficiente de dilatação, porém, para temperaturas mais elevadas, utiliza-se também o níquel como metal de alto coeficiente de dilatação térmica. Estes termômetros têm aplicação similar às dos termômetros de vidro, porém, por serem resistentes, admitem condições de estresse mais rígidas. Então estes tipos de dispositivos de temperatura medem temperaturas na faixa de -50°C a 500°C com precisão de ±1%, no qual respostas rápidas não são exigidas [3]. Pirômetro O pirômetro mede a temperatura de corpos a partir da radiação emitida por eles. Para cada intensidade espectral, dependendo da faixa do espectro eletromagnético (Figura 9), existe uma temperatura associada e cada aparelho que se utiliza da radiação como método de medida utiliza uma faixa, no caso do pirômetro, a faixa do espectro utilizado é o vermelho, 0,65 µm µ m (Figura 10) [4].
Figura 9 – Temperatura associada a cada comprimento de onda dependendo da intensidade espectral. Fonte http://www.ir-impac.com/englisch/Pyrometerhandbook.pdf
26
Figura 10 – Esquema de funcionamento do pirômetro.
A medição de temperatura com esse método é utilizada para corpos em movimento ou longe do alcance de contato, o que não pode ser realizado na utilização de termopares ou termômetros, por exemplo, pois além de não necessitar do contato também mede a intensidade do espectro de forma instantânea ao invés de necessitar do alcance de “equilíbrio” como em outros aparelhos. A grande desvantagem deste método é que a emissividade, ε, do objeto a ser medido deve ser conhecida (Tabela 12) e essa é alterada dependendo da rugosidade e irregularidade da superfície, tais desvios são levados em consideração ou antes de fazer a medição ou depois no momento de se calcular o erro. Tabela 12 – Emissividade de alguns materiais.
Material óxido de magnésio preto ouro ferro quartzo porcelana
ε
0,9 0,82 0,82 0,14-0,38 0,93 0,92
Para efeito de cálculos qualquer procedimento que se utilize da radiação eletromagnética para determinar a temperatura de corpos se utiliza das mesmas equações, as mudanças são referentes ao comprimento de onda utilizado. Os erros relacionados às medidas são muito pequenos devido a se utilizar como referencia inicial o corpo-negro ( ε = 1) em que o erro não existe. A temperatura aparente medida inicialmente pelo procedimento é dada pela Equação (30) .
27
E a σ
T a =
1 4
(30)
Para se determinar o erro associado a esse valor utiliza-se a Equação (31) Erro =
8.4.
T − Ta T
=1−
T a T
=1
1 − ε 4
(31)
Dedução matemática da constante de resfriamento k
A demonstração a seguir é baseada nas notas de aula do profº Ulysses Sodré [5]. Considerando a equação diferencial para a variação da temperatura em função do tempo quando este está cedendo calor ao meio ambiente e, considerando que o meio ambiente como um reservatório infinito, i.e., não sofre variações de temperatura de acordo com a variação de temperatura de corpos em seu interior. dT dt
(32)
= − k (T − T amb )
Por notação, prefere-se utilizar a letra “k” na posição descrita por (32), dessa forma “k” terá unidade de “s -1” (Hz), outra forma de se definir tal constante para que tenha unidade de tempo é considerando o inverso de k como
τ =
k −1 .
A EDO em (32) é do tipo separável, assim: dT
∫ (T − T
) amb
∫
= − kdt
⇒ ln(T − Tamb ) = − kt + k0
(33)
Aplicando a função exponencial e reunindo as constante em uma única: kt kt T (t ) − Tamb = Ce − ⇒ T (t ) = Tamb + Ce −
(34)
Sendo a temperatura no instante t=0 conhecida e denotada por T 0, obtém a constante C: T (0) = T0 = Tamb + Ce 0 ⇒ C = T0 − Tam b
(35)
Logo, tem-se a equação (36): T (t ) = Tamb + (T0 − Tamb )e −
kt
Da qual foi isolada a constante k na equação (4) da seção 4.2.4
(36)
28
8.5.
Dedução matemática do erro u k k
A equação (37) é a forma geral do erro na medição da constante de resfriamento k. ∂k u T (t ) ∂T (t )
uk =
2
∂k uT0 + ∂T0
2
∂k uT + ∂Tamb amb
2
(37)
Calculando as derivadas parciais T (t )
∂k ∂t
∂k
=
∂Tamb ∂k ∂Tamb ∂k ∂Tamb
=
=
−1
ln =
− T amb
T0 − T amb t2
= − k
(38)
t
T0 − Tamb ∂k T (t ) − Tamb
t T (t ) − Tamb ∂Tamb T0 − Tamb −1
T0 − Tamb −1(T0 − Tamb ) − (T (t ) − Tamb )(−1) t T (t ) − Tamb T0 − Tamb T0 − T (t ) −1 1 t T (t ) − Tamb T0 − Tamb
∂k ∂T0 ∂k ∂T0 ∂k ∂T0
∂k ∂T (t ) ∂k ∂T (t ) ∂k ∂T (t )
=
=
=
=
=
=
(39)
−1 T0 − Tamb
∂k T (t ) − Tamb t T (t ) − Tamb ∂T0 T0 − Tam b −1 T0 − T amb − ( T (t ) − T amb ) 2 t T (t ) − Tamb (T0 − T amb )
(40)
−1
t (T0 − Tamb )
−1 T0 − Tamb
∂k T (t ) − Tamb t T (t ) − Tamb ∂T (t ) T0 − Tam b −1 T0 − Tamb T0 − Tamb 2 t T (t ) − Tamb ( T0 − T amb )
(41)
1 t (T (t ) − Tamb )
Reunindo os termos tem-se a equação utilizada no experimento: ∴ uk =
uT ( t ) t (T (t ) − Tamb )
2
uT0 + t (T0 − Tamb )
2
(T0 − T f )uT + t (T (t ) − Tamb )(T0 − Tamb ) amb
2
k .u t + t
2
(42)
