Relaciones físicas En la Física la ley de Hooke indica la relación entre las magnitudes que intervienen en el Fenómeno físico mediante un análisis cualitativo y cuantitativo. La Ley de Hooke establece que el límite de la tensión elástica de un cuerpo es directamente proporcional proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas, trabajo, fuerzas conservativas y energía de Resortes. Hooke estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida. Para una deformación unidimensional, la Ley de Hooke se puede expresar matemáticamente matemáticamente de la siguiente forma:
= -K Donde: K es la constante de proporcionalidad o de elasticidad. es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del estado que no tiene deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio. es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación.
La ley de fuerza para el resorte r esorte es la Ley de Hooke se da d a Conforme el resorte está estirado (o comprimido) cada vez más, la fuerza de restauración del resorte se h ace más grande y es necesario aplicar una fuerza mayor. Se encuentra que la fuerza aplicada F es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto se puede expresar en forma de una ecuación.
O con X 0 = 0 , F = kX
Como se puede ver la fuerza varía con X. Esto se expresa diciendo que la fuerza es una función de la posición. La k en esta ecuación es una constante de proporcionalidad y comúnmente se llama la constante del resorte o de la fuerza restauradora . Mientras mayor sea el valor de k, más rígido r ígido o fuerte será el resorte .
La anterior relación se mantiene sólo para los resortes ideales . Los resortes verdaderos se aproximan a esta relación lineal entre fuerz a y desplazamiento, dentro de ciertos límites. Por ejemplo, si un resorte se estira más allá de un cierto punto, llamado el límite de elasticidad , se puede deformar y F = kX no se aplica más. Un resorte ejerce una fuerza ( F ) s igual y opuesta
Fs = - k X Fs = -k (X - X 0 ) El signo menos indica que la fuerza del resorte es tá en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o se comprime. Esta ecuación es una forma de lo que se conoce como Ley de Hooke .
La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte que se ha estirado desde s u posición de reposo (X 0 ) a una posición X. La posición de referencia X 0 para el cambio en la longitud de un resorte es arbitraria. La magnitud importante es la diferencia del desplazamiento o el cambio neto en la longitud del resorte. También dado que el desplazamiento tiene posición vertical, las X con frecuencia se reemplazan por Y. Los resortes dan lugar al Movimiento Armónico Simple (M.A.S.).
Relaciones geométricas Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:
Donde son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:
Donde: es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de
la pieza.
son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los
tres ejes y el giro de alabeo.
son las características geométricas de la sección: el área transversal , el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y el momento de alabeo, además es un parámetro adimensional relacionado co n los anteriores (ver prisma mecánico).
, son las coordenadas del centro de cortante.
Como puede verse para piezas con dos planos de s imetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos.
Si una barra o prisma mecánico de longitud L , área transversal A y compuesto de un material con módulo de Young E , se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial N y se tienen en cuenta las relaciones entre tensión normal σ = N /A se obtiene:
Si el elemento tiene un área transversal y una carga axial constantes:
Energía de deformación bajo esfuerzo cortante De forma semejante se obtiene la energía de deformación por esfuerzo cortante:
Energía de deformación bajo flexión pura Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado por:
Tomando el elemento diferencial de volumen como
y teniendo en cuenta que
, entonces la energía viene dada por la expresión:
Para evaluarla primeramente es necesario calcular el momento flector a lo largo del eje de la pieza. Cuando actúan dos momentos en lugar de uno en direcciones perpendiculares, situación que se llama flexión esvida se tiene análogamente:
Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:
Cuando eso sucede decimos que tenemos un sólido elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:
Sólidos elásticos lineales en los que tensiones y deformaciones estén
relacionadas linealmente (linealidad material). Deformaciones pequeñas es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica). Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado
Para determinar la estabilidad de un sistema hay pr esentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.
Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable. La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de s uperficie y depende del punto elegido, del estado tensional de sólido y de la orientación del plano escogido para calcular el límite. Puede probarse que la normal al plano escogido n π y la tensión t π en un punto están relacionadas por:
Donde T es el llamado tensor tensión, también llamado tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3:
Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la s egunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σxx , σyy y σzz dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las componentes σxy , σyz y σzx están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo. En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeñez de las deformaciones es una condición necesaria para poder asegurar que existe una relación lineal entre los desplazamientos y la deformación. Bajo esas condiciones la deformación puede representarse adecuadamente mediante el tensor deformación infinitesimal que viene dada por:
Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos (dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios desplazamientos. Las componentes están linealmente relacionadas con los desplazmientos mediante esta relación:
Relaciones de equilibrio Equilibrio interno Cuando las deformaciones no varían con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensión representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen b = (b x ,b y ,b z ) en todo punto del sólido, lo cual implica que el campo de tensiones satisface estas condiciones de equilibrio:
Equilibrio en el contorno Además de las últimas ecuaciones deben cumplirse las condiciones de contorno, sobre la superficie del sólido, que relacionan el vector normal a la misma n = (n x ,n y ,n z ) (dirigido hacia el exterior) con las fuerzas por unidad de superficie que actúan en el mismo punto de la superficie f = (f x ,f y ,f z ):
Relaciones de compatibilidad
Una ecuación de compatibilidad es una ecuación adicional a un problema mecánico de equilibrio necesaria para asegurar que la solución buscada es compatible con las condiciones de contorno o para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones.
Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones En el planteamiento del problema elástico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en términos de las componentes del tensor tensión.
Elasticidad lineal En elasticidad lineal una deformación será físicamente posible si es compatible con un determinado campo de desplazamientos es decir si se cumplen las siguientes relaciones para las componentes del tensor deformación:
Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que necesitamos una relación expresable sólo en términos d e las componentes del tensor deformación. La expresión buscada es precisamente:
Estas últimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de compatibilidad de la elasticidad lineal.
Elasticidad no-lineal En teoría de la elasticidad no lineal la relación entre el vector de desplazamientos y las componentes del tensor tensión son no lineales y substancialmente más complicadas:
Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal también son no-lineales:
Donde los símbolos de Christoffel vienen dados por:
Esta ecuación se puede reinterpretar en términos de geometría diferencial, si consideramos que el sólido se deforma sobre un espacio euclídeo una vez deformado las coordenadas materiales dejarán de ser cartesianas y la medición de distancias requerirá el us o de un tensor métrico de la forma:
Y en ese caso la condición no expresa más que el tensor de Riemann del espacio euclídeo expresado en esta métrica debe ser nulo
Ecuaciones de compatibilidad en desplazamientos Con frecuencia, en problemas mecánicos o de res istencia de materiales hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado. De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. Así si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en función del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estaría formado por la ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.
En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reaciones observamos que la parte izquierda (entre R A y P ) estátraccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y R B ) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:
Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando el teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente.