Regresion Lineal Aplicada a La Ing. Química

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL AREA ACADEMICA DE INGENIERIA QUIMICA

TEMA: “REGRESION LINEAL APLICADA A LA INGENIERIA QUIMICA” CURSO: CALCULOS EN INGENIERIA QUIMICA (PI523-A). PROFESOR: OS! DAVILA TAPIA. ALUMNOS: VILLENA ARANCI"IA# ROSARIO ELI$A"ET%. ARTEAGA OROSCO# OSE LUIS RICARDO. SATISTE"AN O"REGON# LUIS STEVEN. FEC%A DE ENTREGA Y EXPOSICI&N: '2*

+NDICE 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA . IN INTR TROD ODUC UCCI CI&N &N 3 2. FUN FUNDAM DAMENT ENTO OT TE&R E&RICO ICO 3 2..

REGRESI&N LI LINEAL SI SIMPLE

2...

3 LA MEOR RECTA DE REGRESI&N

2..2.

* ESTIMACI&N DE PAR,METROS

* 2..2.. M!TO 2..2.. M!TODO DO DE M+NIMOS M+NIMOS CUADRADO CUADRADOS S * 2..2.2. 2.. 2.2. M!TODO M!TODO DE M,XIMA VEROSIMI VEROSIMILITUD LITUD 5 REGRESI&N LINEAL MLTIPLE

2.2.

' MEOR

2.2..

EL

 2.2.2.

ESTIMACI&N

 2.2.2.. M!TODO 2.3.

%IPERPLANO

DE

DE DE

 "ONDAD

REGRESI&N PAR,METROS

M+NIMOS

CUADRADOS

DE

/ 2.3..

COSTRASTE

/ 2.3.2.

COEFICIENTE

AUSTE

DE DE

REGRESI&N DETERMINACI&N

2 3. APL APLICA ICACI& CI&N N DE LA REG REGRES RESI&N I&N LINEAL LINEAL A LA INGENIER INGENIER+A +A QU+MICA QU+MICA 2 3..

PRO"LEMA

DE

3 3.2.

PRO"LEMA

DE

REGRESI&N REGRESI&N

'

2

LINEAL LINEAL

SIMPLE MLTIPLE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA *. CONCLUSIONES / 5. "I"LIOGRAF+A 20

. INTRODUCCION.Históricamente el nombre de reresión lineal se debe a los est!dios de "rancis Galton en biolo#a$ C!ando Galton est!diaba la relación entre las alt!ras de los Hi%os &'( con la de s!s )adres &*( se dio c!enta +!e los ,i%os de )adres altos son m-s altos +!e la media )ero no tanto como los )adres. / los ,i%os de )adres ba%os. en eneral. son m-s ba%os +!e la media )ero no tanto como s!s )adres. es decir. +!e la alt!ra de los ,i%os tiende a 0reresar a la media. de a,# el nombre de reresión$ La reresión lineal es !n mtodo matem-tico / estad#stico !tili3ado )ara modelar la relación entre 4ariables$ El modelo de reresión lineal sim)le consiste en relacionar !na 4ariable denominada de)endiente &'( / otra 4ariable denominada inde)endiente o e5)licati4a &*( a tra4s de !na recta +!e toma el nombre de recta de reresión$

En la reresión lineal m6lti)le mane%aremos m-s de !na 4ariable e5)licati4a. / al i!al +!e la reresión lineal sim)le. 4amos a considerar +!e los 4alores de la 4ariable de)endiente ' ,an sido enerados de !na combinación lineal de los 4alores de las 4ariables e5)licati4as7

8


2.. FUNDAMENTO TEORICO.2...

REGRESION LINEAL SIMPLE:

9ara e5)licar la manera en +!e )rocede este mtodo / la im)ortancia de ser a)licado en la Inenier#a :!#mica tenemos el si!iente e%em)lo7 S!)onamos +!e ,emos reco)ilado datos con in;ormación sobre 8< marcas de cer4e3a / +!e necesitamos est!diar la relación e5istente entre el rado de alco,ol de las cer4e3as / s! contenido calórico$ Como inicio del an-lisis tendremos los datos en !na r-=ca de dis)ersión. +!e se m!estra7

Se obser4a +!e con;orme a!menta el )orcenta%e de alco,ol. tambin a!menta el n6mero de calor#as$ Adem-s )odemos se>alar +!e en esta m!estra no ,a/ cer4e3as +!e teniendo alto contenido de alco,ol tenan )ocas calor#as / tam)oco +!e teniendo m!c,as calor#as tenan )oco alco,ol$ 9ara obtener !na descri)ción m-s concreta de los res!ltados relacionaremos las 4ariables mediante !na ;!nción matem-tica sim)le. a )rimera 4ista !na recta )!ede ser !na b!ena a)ro5imación$

2...

LA MEOR RECTA DE REGRESION:

Si tenemos !na sit!ación ideal en la +!e los datos se m!estren en la r-=ca de dis)ersión en !na l#nea recta. no tendr#amos +!e encontrar la me%or recta +!e describa el com)ortamiento de los datos? )!es tomar#amos 2 )!ntos / mediante relaciones matem-ticas ,allar#amos los )ar-metros obteniendo as# !n b!en a%!ste$ 9ero en !na n!be de )!ntos realista como el de n!estro e%em)lo se )odr#a tra3ar m!c,as rectas di;erentes / cada !na se a%!stara tambin di;erente a la n!be de )!ntos$ E5isten di;erentes mtodos )ara este a%!ste cada !no de ellos intenta minimi3ar !na medida di;erente del rado de a%!ste. )ero el m-s !sado es el @

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA de la recta +!e ,ace mínima la suma de los cuadrados de las diferencias verticales entre cada punto y la recta.

2..2.

ESTIMACION DE PAR,METROS:

2..2.. M!TODO DE M+NIMOS CUADRADOS: En m#nimos c!adrados se estiman los )ar-metros de la recta +!e minimice la 4arian3a de la )ert!rbación aleatoria o 4arian3a resid!al. es decir. se b!scan !nos 4alores de / reresión sea m#nimo$

de ;orma +!e la distancia de cada )!nto a la recta de

Es decir. se calc!lar-n los )ar-metros de la recta de reresión de ;orma +!e dic,a recta )ase lo m-s cerca )osible &en )romedio( de todos los )!ntos$ Deri4ando la e5)resión anterior res)ecto de los )ar-metros. i!alando a cero / a)licando !n )oco de alebra obtenemos las e5)resiones de la estimación de cada )ar-metro$ Deri4ando res)ecto de

7

Deri4ando res)ecto de

7

<


Resol4iendo las ec!aciones 1 / 2 !tili3ando los datos de las mediciones tomadas. se determinan los )ar-metros de la recta de reresión$

2....2.2.

M!TODO DE M,XIMA VEROSIMILITUD:

Si consideramos +!e la )ert!rbación aleatoria si!e !na distrib!ción normal. )odemos a)licar el mtodo de estimación de m-5ima 4erosimilit!d$ La ;!nción de densidad )ara !n caso concreto es7

De donde la ;!nción de so)orte de la m!estra. es decir. la 4erosimilit!d de la m!estra en est!dio es7

El loaritmo de la ;!nción so)orte ser-7

Deri4ando esta e5)resión res)ecto de los )ar-metros / . e i!alando a cero. de ;orma +!e se obtena !nos )ar-metros +!e ma5imicen la 4erosimilit!d de la m!estra. obtendremos7 Deri4ando res)ecto de

7




Deri4ando res)ecto de

7

Al coincidir estas ec!aciones con las obtenidas )or m#nimos c!adrados se dem!estra +!e los )ar-metros estimados )or ambos mtodos 4an a coincidir$

.2. REGRESION LINEAL MULTIPLE: En la reresión lineal m6lti)le 4amos a !tili3ar m-s de !na 4ariable e5)licati4a lo +!e nos sini=car- m-s in;ormación )ara la constr!cción del modelo / en consec!encia reali3ar estimaciones m-s )recisas$ Al mane%ar m-s de !na 4ariable 4amos a considerar +!e los 4alores de la 4ariable inde)endiente ' se eneran )or !na combinación lineal de los 4alores de las 4ariables e5)licati4as / !n trmino aleatorio$

Los coe=cientes se determinar-n de manera +!e la s!ma de c!adrados entre los 4alores obser4ados / los )ronosticados sea m#nima. es decir. +!e se 4a a minimi3ar la 4arian3a resid!al$ La ec!ación mostrada anteriormente recibe el nombre de ,i)er)lano. )!es c!ando tenemos dos 4ariables e5)licati4as. en 4e3 de !na recta tenemos !n )lano7

B


2.2..

EL MEOR %IPERPLANO DE REGRESI&N:

De manera an-loa al caso de la reresión lineal sim)le. en la n!be de )!ntos o ra=ca de dis)ersión )ara la reresión lineal m6lti)le se )!eden tra3ar m!c,os ,i)er)lanos de reresión. )ero debemos eleir !n criterio )ara bas-ndonos en l. determinar el me%or ,i)er)lano de reresión$

.2.2. ESTIMACION DE PAR,METROS: 2.2.2.. M!TODO DE M+NIMOS CUADRADOS: Calc!laremos !n ,i)er)lano de reresión de ;orma +!e minimice la 4arian3a resid!al7

Utili3ando notación matricial7




$' teniendo en c!enta la de=nición de

7

$9or tanto7

$La 4arian3a se )!de e5)resar como7

$Es decir7

$La 4arian3a resid!al es !na ;!nción del 4ector de )ar-metros )ara +!e tena !n m#nimo ser-7



/ la condición

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA $9ara ,acer m-s sencilla la deri4ación desarrollemos la e5)resión de la 4arian3a resid!al7

$I!alando a cero / des)e%ando7

$' se

es matri3 no sin!lar / )or lo tanto tiene in4ersa. tenemos7

$!lti)licando )or

7

Esta e5)resión del estimador de )ar-metros

$

.3. "ONDAD DE AUSTE: 2.3. CONTRASTE DE REGRESI&N: 9ara )ro)oner !n modelo &a%!ste( +!e e5)li+!e el com)ortamiento de !na 4ariable de)endiente res)ecto de s!s 4ariables e5)licati4as. como /a ,emos 4isto. se reali3a !n est!dio con )r!ebas e5)erimentales. es decir. estamos sacando concl!siones de !na m!estra de !n con%!nto am)lio de datos$ Es ob4io +!e distintas m!estras 4an a dar distintos 4alores de los )ar-metros$ Se denomina contraste de reresión al est!dio de la )osibilidad de +!e el modelo de reresión sea n!lo. es decir +!e el 4alor de la 4ariable e5)licati4a &5( no 4an a inF!ir de manera sini=cati4a en la 4ariable /$ eniendo en c!enta 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA el modelo de reresión lineal sim)le. lo anterior ser#a e+!i4alente a a=rmar +!e7

Si esto es cierto. se si!e +!e7

Es decir. la medida de la manit!d 5 no 4a a )ro)orcionar in;ormación sobre el com)ortamiento de /$ 9ara ace)tar o descartar la )osibilidad de n!lidad se ,ace !n est!dio de la 4ariabilidad &V(. en la +!e esta se di4ide en dos com)onentes. !na com)onente e5)licada )or el modelo de reresión &VE( / otra com)onente no e5)licada &VNE($ La si!iente i!aldad es conocida como el teorema ;!ndamental de la descom)osición de la s!ma de c!adrados7

11


2$ Di4idiendo la 4ariabilidad total entre s!s rados de libertad. obtenemos la 4arian3a estimada de la 4ariable de)endiente7

Di4idiendo la 4ariabilidad no e5)licada entre s!s rados de libertad. obtenemos la 4arian3a resid!al de la 4ariable de)endiente7

Di4idiendo la 4arian3a e5)licada entre s!s rados de libertad. obtenemos estimador de la 4arian3a e5)licada7

"!entes

S!ma de c!adrados

Grados de libertad

12

Estimadores


Si los resid!os si!en !na distrib!ción normal /

. tenemos +!e7

9or tanto7

Es decir. el cociente entre la 4arian3a e5)licada / la no e5)licada sera)ro5imadamente 1$ Adem-s. al se!ir !na distrib!ción ". )odemos asinar !na medida de )robabilidad &)4al!e( a la ,i)ótesis de +!e la 4arian3a e5)licada es i!al a la 4arian3a no e5)licada$ En caso contrario la 4arian3a no e5)licada ser- m!/ in;erior a la 4arian3a e5)licada /. )or lo tanto este cociente tendr- !n 4alor m!/ s!)erior a 1$ En eneral. si )4al!e es menor +!e $< se ace)ta +!e el modelo de reresión es sini=cati4o? en caso contrario no )odemos ,ablar de reresión )!es el modelo ser#a n!lo$ Si ace)tamos +!e el modelo de reresión es sini=cati4o. es ,abit!al indicar el )4al!e como dato adicional del a%!ste$

2 .3.2. COEFICIENTE DE DETERMINACI&N (R ):

La 4arian3a resid!al nos )!ede indicar como est-n de cerca las estimaciones res)ecto de los )!ntos. )ero esta 4arian3a est- inF!ida )or la 4arian3a de la 4ariable de)endiente. la c!al a s! 4e3 est- inF!ida )or s! !nidad de medida$ 9or lo tanto. !na medida adec!ada es la )ro)orción de la 4arian3a e5)licada &VE( entre la 4arian3a total &V(? as# de=nimos el coe=ciente de determinación R27 18


Como R2 es el cociente de s!mas de c!adrados es siem)re )ositi4o$ Si la reresión ser#a )er;ecta. la 4arian3a no e5)licada ser- cero. / )or lo tanto7

3. APLICACION DE LA REGRESION LINEAL A LA INGENIERIA QU+MICA.La a)licación del )resente tema de est!dio en la carrera de Inenier#a :!#mica es m!/ basto. )or e%em)lo )ara ,allar la concentración de !n elemento +!e es !no de los )ar-metros de ma/or im)ortancia en los )rocesos +!#micos a)licados en la ind!stria$ Esta c!anti=cación se )!ede obtener mediante !n es)ectro;otómetro. dis)ositi4o +!e re+!iere se calibrado$ 9ara ello se elabora !na recta de calibración +!e se obtiene a )artir de la correlación entre la absorbancia de !n )atrón / la concentración de la s!stancia a controlar. tambin se )!ede !tili3ar en la e4al!ación de las constantes en !n modelo de )romedio de crecimiento de sat!ración +!e caracteri3a a la cintica microbial. entre otros m!c,os e%em)los )or eso a contin!ación se e5)licar-n 2 e%em)los con RLS / RL7

3.. PRO"LEMA DE REGRESION LINEAL SIMPLE:

1@

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 1$ Una ec!ación )ara la 4ariación de la 4iscosidad del l#+!ido con la tem)erat!ra es7 µ a × e =

b T

donde a. b son constantes em)#ricas / .

tem)erat!ra en J  &KC( 2  &N$sM 1 m ( 2

8 ×

−3

@ −3

10

8.08 × 10

< −3

6.53 × 10

−3

5.33 × 10

Estime la 4iscosidad a 2< / 8< KC !tili3ando la ec!ación em)#rica$ So l uc i ó n:

µ a×e

Sacamosl nal aecuaci ón:

=

Ln

2

 &N$sM m (

&J(

−3

=l n( a)+( b

×

1

T )

1M

Ln  −3

1 × 10

28$1<

µ

b T

3.411122292 × 10 −3

88$1<

8.08 × 10

818$1<

6.53 × 10

828$1<

5.33 × 10

3.298697015

−3

3.19335781 × 10

−3

−3

3.0945381 × 10

−3

 $BB<<2B  @$188@  <$818@88  <$28@@@@1

Es t o sdat o sc o nayudadel aHPq ueno sf ac i l i t al as o l uc i ó nde lpr o bl e ma:

1<


1

Una vezque ya hemos c al c ul ado l os val or es de l as c onst ant es de l a ec uac i ón podemosc al c ul arl avi sc osi dadal at emper at ur apedi da:

Reempl azandopar aT=25° Cyl uego35° Cobt enemos:

2$ Se desea determinar la ener#a de acti4ación del )roceso de deradación de !n contaminante a !n )rod!cto inoc!o en ;ase l#+!ida$ En el est!dio de la cintica de la reacción a di;erentes tem)erat!ras se obt!4ieron los si!ientes datos7

So l uc i ó n:

Del aecuaci óndeAr r eni us,det er mi namoselmodel o:

Apl i c andol ogar i t monat ur alaambosmi embr osdel aexpr esi ón:

Obt enemosunar ect adel af or ma: Cal c ul andol o sval o r e sdel o spunt o spar al ar e gr e s i ó n: I ngr esamosl osdat osa Mi ni t ab,l uegovamosalmenú r egr esi ón,gr áficadel í nea aj ust ada:

I nt r o duc i mo sl asvar i abl e ss e gúnno si ndi c aMi ni t ab:

Yl uegoenacept ar :

Delgr áfico:

3.. PRO"LEMA DE REGRESION LINEAL MULTIPLE: 3.La ecuac i ón de Ant oi ne per mi t e cal cul ar l a pr esi ón de v apor de un component epur oenf unci óndel at emper at ur a.

Caract er i zarl aecuaci ón deAnt oi neparaelcál cul odel apr esi ón devapordel pr o pano ,c o nl as i g ui e nt et abl adev a l o r e s :

1 2 8 @ <  B

So l uc i ó n:

 B    <  @  8  2  1

B$8 B $B 2 12$  1$ 2 2$ 8 2<$ @ 81$ @ 8$ 2

11

8

$ 8

12

@

B

18

<

1@



1<

B 12@

1



1B

 1@





1



1

@

1

1

2

<<$ <

2

1  11  12 

1$  1B $1 1@2 $

1B 218 2@

Par apoderobt enerl ospar ámet r osdel aecuaci ón deAnt oni el opr i mer oquese hace es pr i mer ol i neal i zamos l a expr esi ón de l a ec uaci ón apl i cando a cada mi embr ol af unci ónl ogar i t moenbasebase10:

Ahor aes t aúl t i maexpr esi ónt i enel af or made:

Ent o nc e sapl i c a mo su nar e g r e s i ó nl i ne almúl t i pl eal ae c uac i ó n

c o nl o sdat o sde

l at abl apr o po r c i o nada. Par a elcál cul o de l os par ámet r os ut i l i zar emos elsof t war e“ Mi ni Tab 17” .Est e pr ogr amaesf ác i ldemanej aryest o t al ment ec ompat i bl ec onelEx c el . Copi amos l os dat os a de l as vari abl es de l ar egr esi ón di r ect ament e de Exc ela Mi ni t ab. Ahor anosdi r i gi mosalmenúes t adí s t i c as,l uegoar egr esi ón,r egr esi ónyaaj us t ede model o.Luegomi ni t ad nospedi r á queespeci fiquemosl a var i abl er espuest a yl as e x pl i c at i v as ,e nt o nc e sl asse l e c i o namo ss e gúne lmo de l o ,l ue goac e pt ar .

Dei nmedi at oMi ni t abnosmost r ar áunat abl aconl ai nf or maci ónbási cadelmodel o yunanál i s i ses t adí s t i c o:

Del at abl a:

Yl aecuaci óndeAnt oni equedacar act er i zadacomo:

*. CONCLUSIONES.•

•

•

•

El an-lisis de reresión / correlación lineal constit!/en mtodos +!e se em)lean )ara conocer las relaciones / sini=cación entre series de datos$ Lo anterior. es de s!ma im)ortancia )ara la ind!stria /a +!e es a+!# en donde se )resentan 4ariables de res)!esta e inde)endientes las c!ales interact6an )ara oriinar las caracter#sticas de !n )roceso en )artic!lar / )or ende? anali3ar. )redecir 4alores de la 4ariable de)endiente / e5aminar el rado de ;!er3a con +!e se relacionan dic,as 4ariables$ La reresión lineal sim)le / la reresión m6lti)le. anali3a la relación de dos o m-s 4ariables contin!as. c!ando anali3a dos 4ariables a esta se le conoce como 4ariable bi4ariantes +!e )!eden corres)onder a 4ariables c!alitati4as$ La =nalidad de !na ec!ación de reresión es la de estimar los 4alores de !na 4ariable con base en los 4alores conocidos de la otra$ Del mismo modo. !na ec!ación de reresión e5)lica los 4alores de !na 4ariable en trminos de otra$ Es decir. se )!ede int!ir !na relación de ca!sa / e;ecto entre dos o m-s 4ariables$ El an-lisis de reresión 6nicamente indica +! relación matem-tica )odr#a ,aber. de e5istir !na$ 9or otro lado. Al a%!star !n modelo de reresión sim)le o m6lti)le a !na n!be de obser4aciones es im)ortante dis)oner de al!na medida +!e )ermita medir la bondad del a%!ste$ Esto se consi!e con los coe=cientes de correlación$ Si el modelo +!e se a%!sta es !n modelo de reresión lineal. a R se le denomina coe=ciente de correlación / re)resenta el )orcenta%e de 4ariabilidad de la ' +!e e5)lica el modelo de reresión$ Estas tcnicas estad#sticas constit!/en !na ,erramienta 6til )ara el an-lisis de las 4ariables de !n )roceso /a +!e a tra4s de la a)licación de stas. es )osible conocer el modelo +!e si!en / la ;!er3a con +!e se enc!entran relacionadas$ Asimismo. es )osible e5)licar la relación +!e !ardan dos o m-s ca!sas de !n )osible de;ecto$

5. "I"LIOGRAFIA.•

Re)ositorio Instit!cional de la Uni4ersidad de Alicante$ Art#c!lo sobre 9roblemas a)licados a la inenier#a +!#mica$ Alicante. Es)a>a$ Cons!ltado el 1
•

•

Uni4ersidad 9olitcnica de Cartaena$ De)artamento de inenier#a minera eolóica / cartor-=ca$ Art#c!lo sobre 0A)licación de la di;racción de ra/os *$ Cartaena. !rcia. Es)a>a$ Cons!ltado el 1a$ Cons!ltado el 1
•

Tneles Cea DAncona$ De)artamento de Sociolo#a IV. Uni4ersidad Com)l!tense adrid$ Art#c!lo sobre 0An-lisis de reresión lineal$ adrid. Es)a>a$ Cons!ltado el 1
•

9ro;esor "$$ Parón Ló)e3$ Uni4ersidad de -laa$ Unidad docente. atem-tica a)licada / estad#stica$ Art#c!lo sobre 0Reresión lineal$ -laa. Es)a>a$ Cons!ltado el 1

Regresion Lineal Aplicada a La Ing. Química

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