REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR Considérese un sistema de fuerzas F1 , F2 , F 3 ... que actúan so bre un cuerpo rígido en los tores de posición r1,r2, r 3, ... etc. (fıgura a). puntos A1, A2, A3…, definidos por los vec vectores
Puede ser trasladada de A1 a un punto dado O, si se agrega al sistema original de fuerzas un par de momento M , igual al momento r1 F 1 de F con respecto a O. Si se repite este procedimiento con F2 , F 3 ... se obtiene el sistema mostrado en la fıgura b, actuando en O, que consta de: las fuerzas originales, ahora actuando y los vectores de par que han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R . De manera similar similar,, los vectores de par M1 , M2 , M3 , pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector de par M RO . Por tanto, cualquier sistema de fuerzas, sin F 1
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importar qué tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza- par par que actúa a ctúa en un punto dado O (fıgura (f ıgura c). Se debe obser var var que mientras cada uno de los vectores perpendicular ular a la de par M1 , M2 , M3 ... en la fıgura b es perpendic
fuerza que le corresponde, en gene ral la fuerza resultante R y el vector de par resultante M RO en la figura c no serán perpendiculares perpendic ulares entre sí. El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones.
R M M R O M O (r F ) Las cuales expresan que la fuerza R se se obtiene sumando todas las fuerzas fuerzas del del sistema, sistema, R mientras que el momento del vector vector de par resultante M O , denominado momento resultante del del sistema, se obtiene sumando los momentos momentos de todas las fuerzas fuerzas del sistema sistema con respecto a O. Una vez que un sistema de fuerzas fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par par que actúa en el punto punto O, dicho sistema puede puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier
otro punto O'. Mientras que la fuerza resultante R permanecerá inalterada, el nuevo momento R
resultante M será igual a la suma de
R
el
otro punto O'. Mientras que la fuerza resultante R permanecerá inalterada, el nuevo momento R
resultante M O será igual a la suma de M OR y el '
momento con respecto a O' de la fuerza R unida a O. Entonces se tiene (Ver imagen).
R R M O ' M O s R
SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS
En la sección anterior se vio que cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede reducirse a un sistema fuerza-par actuando en un punto dado O. Este sistema equivalente fuerza-par caracteriza completamente el efecto del sistema de fuerzas dado sobre el cuerpo rígido. Por tanto, dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado O. Recuérdese que el sistema fuerza par en O se define por medio de las ecuación R M M RO M O (r F ) se establece que dos sistemas de fuerzas F1 , F2 , F 3... y F '1, F '2 , F '3 ... , que actúan sobre el mismo cuerpo rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas de los momentos con respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son iguales. Expresadas en forma matemática, las condiciones necesarias y suficientes para que los dos sistemas de fuerzas sean equivalentes son las siguientes: F F '
y
M O M 'O
Obsérvese que para demostrar que dos sistemas de fuerzas son equivalentes, la segunda de las relaciones F F ' y M O M 'O se debe establecer con respecto a un solo punto O. Sin embargo, ésta se cumplirá con respecto a cualquier punto si los dos sistemas de fuerzas son equivalentes. Al descomponer las fuerzas y los momentos de la ecuación en sus elementos rectangulares, pueden expresarse las condiciones necesarias y suficientes para la equivalencia de dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido de la siguiente manera:
F F '
F F '
F F '
F x Fx '
Fy Fy '
Fz F z '
M x M 'x
M x M 'x
M z M 'z
Estas ecuaciones tienen una interpretación física simple; expresan que dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a impartirle al cuerpo rígido. 1) la misma traslación en las direcciones de X , Y y Z 2) la misma rotación alrededor de los ejes X , Y y Z respectivamente.
SISTEMAS EQUIPOLENTES DE VECTORES
Cuando dos sistemas de vectores satisfacen las ecuaciones F F ' y M O M 'O O F x Fx '
Fy Fy '
Fz F z '
M x M 'x
M x M 'x
M z M 'z
Esto es, cuando respectivamente sus resultantes y sus momentos resultantes con respecto a un punto arbitrario O son iguales, se dice que los dos sistemas son equipolentes. Por tanto, el resultado que se acaba de establecer en la sección anterior se puede enunciar como sigue: si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equipolentes, entonces ambos también son equivalentes. Es importante señalar que este enunciado no se aplica a cualquier sistema de vectores. Considérese, por ejemplo, un sistema de fuerzas que actúan sobre un conjunto independiente de partículas que no forman un cuerpo rígido. Es posible que un sistema de fuerzas diferentes que actúan sobre las mismas partículas pueda ser equipolente al primero, esto es, que dicho sistema tenga la misma resultante y el mismo momento resultante. Sin embargo, como ahora actuarán diferentes fuerzas sobre cada una de las partículas, los efectos de dichas fuerzas sobre estas partículas serán diferentes; en un caso similar, aunque los dos sistemas de fuerzas sean equipolentes, no son equivalentes.
OTRAS REDUCCIONES DE UN SISTEMA DE FUERZAS
OTRAS REDUCCIONES DE UN SISTEMA DE FUERZAS
Se vio que cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par en O, que consta de una fuerza R igual a la suma de fuerzas del sistema y de un vector de par cuyo momento es igual al momento resultante del sistema Cuando R = 0, el sistema fuerza-par se reduce a un vector de par M RO Entonces, el sistema de fuerzas dado puede ser reducido a un solo par, que recibe el nombre de par resultante del sistema. A continuación se procede a investigar las condiciones necesarias para que un sistema dado de fuerzas pueda ser reducido a una sola fuerza. A partir DE LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA EN O Y UN PAR se concluye que un sistema fuerza par en O puede ser reemplazado por una sola fuerza R que actúa a lo largo de una nueva línea de acción si R y M OR son mutuamente perpendiculares. Por tanto, los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una sola fuerza o resultante, son aquellos sistemas para los cuales la fuerza R y el vector de par M RO son mutuamente perpendiculares. Aunque, en general, esta condición no se cumplirá para sistemas de fuerzas en el espacio, sí se cumplirá para sistemas constituidos por: 1) Fuerzas concurrentes. 2) fuerzas coplanares. 3) fuerzas paralelas. Estos tres casos se estudiarán en forma separada. 1. Las fuerzas concurrentes están aplicadas en el mismo punto y, por tanto, pueden ser sumadas directamente para obtener su resultante R. Por consiguiente, éstas siempre se reducen a una sola fuerza. 2. Las fuerzas coplanares actúan en el mismo plano, el cual se puede suponer que es el plano
de la figura. La suma R de las fuerzas del sistema también estará en el plano de la figura, mientras que el momento de cada fuerza con respecto al O y, por consiguiente, el momento resultante M OR , serán perpendiculares a dicho plano. De esta forma, el sistema fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y por un vector de pa r M RO que son mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas pueden reducirse a una sola fuerza R , moviendo R en el
plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a M OR . La distancia desde O hasta la línea de acción de R es d M RO / R
plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a M OR . La distancia desde O hasta la línea de acción de R es d M RO / R
3. Las fuerzas paralelas tienen líneas de acción paralelas y pueden o no tener el mismo sentido. Suponga que las fuerzas son paralelas al eje y, se observa que su suma R también será paralela al eje y. Por otra parte, como el momento de una fuerza dada debe ser perpendicular a dicha fuerza, el momento con respecto a O de cada una de las fuerzas del sistema y, por consiguiente, el momento resultante M RO estará en el plano zx. De esta forma el sistema fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y un vector de par M RO mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas se pueden reducir a una sola fuerza R o, si R = 0, a un solo par cuyo momento sea igual a M RO
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA LLAVE DE TORSIÓN O TORSOR
En el caso general de un sistema de fuerzas en el espacio, el sistema equivalente fuerza-par en O consta de una fuerza R y un vector de par M OR , ambos distintos de cero, que no son perpendiculares entre sí. Por tanto, el sistema de fuerzas no puede ser reducido a una sola fuerza o a un solo par. Sin embargo, el vector de par puede ser reemplazado por otros dos vectores de par obtenidos al descomponer M OR en una componente M1 a lo largo de R y una componente M2 en un plano perpendicular a R . Entonces, el vector de par M2 y la fuerza R pueden reemplazarse por una sola fuerza R que actúa a lo largo de una nueva línea de acción. Por tanto, el sistema original de fuerzas se reduce a R y al par vector M1; de esta forma, el sistema se reduce a R y un par que actúa en el plano perpendicular a R . A este sistema fuerza-par, en particular, se le conoce como llave de torsión debido a que la combinación resultante de empuje y torsión es la misma que produciría una llave de torsión
real. A la línea de acción de R se le conoce como eje de la llave de torsión y a la razón M1 / R se le denomina paso de la llave de torsión. Por consiguiente, una llave de torsión está constituida por dos vectores colineales, específicamente, una fuerza R y un vector de par
M1 R.......(1) Recuerde la expresión de la fórmula de la proyección de un vector sobre la línea de acción de otro
M1 R.......(1) Recuerde la expresión de la fórmula de la proyección de un vector sobre la línea de acción de otro vector, se observa que la proyección de M OR sobre la línea de acción de R es igual a R
M 1
R . M O R
Por tanto, el paso de una llave de torsión puede ser expresado como
M 1 R
R . M OR R
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Para definir el eje de una llave de torsión se puede escribir una relación que involucre al vector de posición r de un punto arbitrario P localizado sobre dicho eje. Fijando la fuerza resultante R y el vector de par M1 en P y expresando que el momento con respecto a O de este sistema fuerza-par, es igual al momento resultante M RO del sistema original de fuerzas, se escribe. M 1 r R M R O
De acuerdo con la ecuación 1, R r R
EJERCICIOS
R
M O
EJERCICIOS Sustituir las dos fuerzas y el torsor negativo por una fuerza R aplicado en A y el correspondiente par M.
SOLUCIÓN Las fuerzas resultantes tienen las componentes [ R X FX ] RX 500 cos 40 700sen60 928N [ RY FY ] RY 600 500cos 40 cos 45 871N [ R Z FZ ] RZ 700 cos 60 500co 40sen 45 621N Luego
R 928i 871 j 621k N R 9282 8712 6212 1416N
El par que hay que añadir consecuencia del traslado de la fuerza de 500N. M r F
M 500 (0.08i 0.12 j 0.05k ) 500(sen 40i cos 40cos 45 j cos 40sen 45k)
Donde r es el vector que va de A a B. El desarrollo termino a término o el determinante da
M 500 18,95i 5,59 j 16,90k N .m El momento respecto a A de la fuerza de 600N se escribe por inspección de sus componentes x y z, dado
M 600 (600)(0.06)i (600)(0.04) k 36i 24 k N.m El momento respecto de A de la fuerza de 700 N se obtiene fácilmente a partir de los momentos de las resultantes de x y z de la fuerza resulta.
M 600 (600)(0.06)i (600)(0.04) k 36i 24 k N.m El momento respecto de A de la fuerza de 700 N se obtiene fácilmente a partir de los momentos de las resultantes de x y z de la fuerza resulta.
M 700 (700cos60)(0.03)i (700sen 60)(0.06) (700cos60)(0.1) j (700sen 60)(0.03) k 10.5i 71, 4 j 18.9k N .m Además el par del torsor dado se puede escribir de la forma
M ' 25(isen40 j cos 40 cos 45 k cos 40sen45) 16.07 i 13.54 j 13, 54 k N .m
Por lo tanto el par resultante al sumar los términos de i,j y k de los cuatro M es
M 49.4i 90.5 j 24.6k N .m M 49.42 90.52 24.62 106 N .m Resp.
BIBLIOGRAFÍA. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática , 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2010. Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática , 11 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, 2010.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
ESTÁTICA HUGO PAVEL DE LA CRUZ ORIUNDO
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA LLAVE DE TORSIÓN O TORSOR
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RAMOS CANDIA, Reyder 07 de diciembre del 2015. AYACUCHO – PERÚ 2015
