Recherche Opérationnelle - Transparents

Recherche Opérationnelle Introduction Générale


Ces transparents utilisent du matériel issu de plusieurs supports et de cours de recherche opérationnelle par exemples :

Recherche Opérationnelle : aspects mathématiques et applications, J. Frédéric Bonnans & Stéphane Gaubert, Septembre 2016. Méthodes et modèles de la recherche opérationnelle, A. Kaufmann Recherche Opérationnelle – Cours de N. B Elhadji Elhadji 2016. Recherche Opérationnelle Cours de H. MASRI


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Recherche Opérationnelle : aspects mathématiques et applications, J. Frédéric Bonnans & Stéphane Gaubert, Septembre 2016. Méthodes et modèles de la recherche opérationnelle, A. Kaufmann Recherche Opérationnelle – Cours de N. B Elhadji Elhadji 2016. Recherche Opérationnelle Cours de H. MASRI

Recherche Opérationnelle Introduction générale - La Fédération Fédération Européenne Européenne de Recherche Recherche Opérationnelle Opérationnelle définit la RO comme étant étant la science de de la Scie ienc nce e of be bett tter er » bonne gestion « Sc

Recherche Opérationnelle Introduction générale ROADEF

de méthodes scientifiques, essentiellement mathématiques, en vue de prendre la meilleure décision possible. -La recherche opérationnelle (RO) peut se définir comme la mise en œuvre

Remarque: Établir plus précisément quand entre en jeu la recherche opérationnelle dans un processus de prise de décision est une tâche plus difficile.

-L’expert en recherche opérationnelle exploite des connaissances provenant de sources particulièrement variées qu’on peut classer en trois grandes catégories : les mathématiques appliquées, l’informatique et les modèles métiers.

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ROADEF 2011

www.roadef.org

Recherche Opérationnelle Introduction générale - les problèmes de RO remontent au XVIème siècle (Blaise Pascal, Euler,...) avec les jeux en Mathématiques. - Réellement l'utilisation de la RO a commencé vers la seconde guerre mondiale. -Traditionnellement on fait remonter l’histoire de l'apparition de la RO à l'organisation, par l'armée rassemblée des Alliés, du débarquement en Normandie. Pb: il fallait gérer au mieux l'implantation rapide de radars L’acheminement de troupes la gestion de leur alimentation les contacts entre unité … etc. L'armée alliée a fait appel à des mathématiciens (et quelques premiers informaticiens) pour aider à ces décisions.

Recherche Opérationnelle Introduction générale Le mot « Opérationnel » viendrait, probablement, du terme militaire « les opérations ». Mais de manière plus sure on peut dire que le mot Opérationnel désigne l'aspect appliqué des décisions prises ou dit autrement les opérations effectives à suivre. Il ne suffit pas de dire approximativement où placer des radars Mais il faut Indiquer avec précision le lieu de leur emplacement

+ S’assurer du bon fonctionnement du système !

Les organisations ou entreprises ont parfois ce que l’on nomme une Division Opérationnelle ou un Conseil Stratégique qui appuie (ou oriente) les décisions de la direction en mettant à sa dispositions des outils d’aide à la décision.

Recherche Opérationnelle Introduction générale

Aspect continu : Optimisation continue, Programmation Linéaire, Théorie des jeux continues,... Optimisation stochastique …. Aspect discret ou combinatoire :

• Théorie des graphes, Programmation dynamique, Optimisation combinatoire exacte combinatoire heuristique, Processus markovien, file d'attente,... Plus général : Complexité et Décidabilité des problèmes ...

Optimisation

Recherche Opérationnelle Introduction générale Les outils de la RO

Il existe de nombreux outils logiciels payants ou libr es pour la résolution des problèmes de la Recherche Opérationnelle.

• Logiciel d'aide à la décision : SAP, Produit ILOG …. • Logiciels d'optimisation (interactif ou modeleur) : cplex, xpress, glpk, excel, gurobi,… • Logiciels de simulation qnap, simula,... • Les API C++ ou java,...


Il existe de nombreux problèmes de la pratique de la RO : En industrie : Les choix d'investissements , Les Choix d'une implantation et dimensionnement d'un parc immobilier ou bien d'une flotte de véhicules, Minimisation de distance totale parcourue selon les quantités de matériaux à transporter, capacité des transporteurs, ravitaillement en carburant. En informatique : Choix de la localisation et du nombre de serveurs à mettre en place, de la capacité de stockage, de la puissance de calcul et du débit du réseau, le choix d'une architecture informatique etc. Problèmes d'ordonnancement, de gestion de stock. d'affectation de moyens (humains ou matériels) à des taches, des prévisions de ventes, diminution du


Le «Bin Packing» ou comment utiliser le moins de boîtes possibles pour y loger des objets


Recherche Opérationnelle Introduction générale Les Méthodes les plus courantes en RO:

Recherche Opérationnelle 3ème Année Chapitre 1. Modélisation et Formulation d’un P.L.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1 – Modélisation et Formulation d’un P.L. Programmation linéaire.

( Formulation d’un programme linéaire (PL ))

Les problèmes de programmation linéaires sont généralement liés à : des problèmes d’allocations de ressources limitées, de la « meilleure » façon possible, afin de maximiser un profit ou de minimiser un coût.

Le terme « meilleur » fait référence à la possibilité d’avoir un ensemble de décisions possibles qui réalisent la même satisfaction ou le même profit. Ces décisions sont en général le résultat d’un problème mathématique .

Recherche Opérationnelle Chapitre 1 – Modélisation et Formulation d’un P.L. Programmation linéaire.

( Formulation d’un programme linéaire (PL ))

La programmation linéaire comme étant un modèle a des hypothèses (ou d es conditions) que le décideur doit valider avant de pouvoir les utiliser pour modéliser son problème. Ces hypothèses sont :

• Les variables de décision du problème sont positives • Le critère de sélection de la meilleure décision est décrit par une fonction linéaire de ces variables, c’est à dire, que la fonction ne peut pas contenir par exemple un produit croisé de deux de ces variables. La fonction qui représente le critère de sélection est dite fonction objectif (ou fonction économique).

• Les restrictions relatives aux variables de décision (exemple: limitations des ressources) peuvent être exprimées par un ensemble d’équations linéaires. Ces équations forment l’ensemble des contraintes.

• Les paramètres du problème en dehors des variables de décisions ont une valeur connue avec certitude

Recherche Opérationnelle Chapitre 1 – Modélisation et Formulation d’un P.L. Les étapes de formulation d’un PL: Généralement il y a 3 étapes à suivre pour pouvoir construire le modèle d'un programme linéaire :

• Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de décision) et les représenter sous forme symbolique (exp. x 1, y 1 ). • Identifier les restrictions (les contraintes) du problème et les exprimer par un système d’équations linéaires.

• Identifier l’objectif ou le critère de sélection et le représenter sous une forme linéaire en fonction des variables de décision. Spécifier si le critère de sélection est à maximiser ou à minimiser.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Rappel

Recherche Opération Opérationnelle nelle Modélisation ation P.L. Chapitre 1- Modélis Exemple 1 (Modélisation):

Recherche Opération Opérationnelle nelle Modélisation ation P.L. Chapitre 1- Modélis Exemple 2 – Formula Formulation tion d’un P.L. P.L. Problème d’agriculture Un agriculteur veut allouer 150 hectares de surface irrigable entre culture de tomates et celles de piments. piments. - Il dispose dispose de de 480 heures de main d’œuvre d’œuvre et de 440 m3 d’eau. d’eau et donne un bénéfice net de 100 Unité - Un hectare hectare de tomates tomates demande 1 heure de main d’œuvre, 4 m3 d’eau Monnaie. d’œuvre, 2 m3 d’eau d’eau et donne un bénéfice net de 200 Unités - Un hectare hectare de piments piments demande demande 4 heures de main d’œuvre, Monnaie. - Le bureau du périmètre périmètre irrigué irrigué veut protéger protéger le prix des tomates tomates et ne lui lui permet pas de cultiver cultiver plus de 90 hectares de tomates. - Quelle Quelle est est la meilleur meilleure e allocat allocation ion de de ses ressour ressources ces ?

Recherche Opérationn Opérationnelle elle Modélisation ation P.L. Chapitre 1- Modélis Exemple 2 – Formulation d’un P.L. P.L.

Problème d’agriculture

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 2 - Problème d’agriculture

Recherche Opérationnelle Modélisation P.L. Exemple 2 - Problème d’agriculture Etape 2 (Suite)

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 2 - Problème d’agriculture

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 3 – Problème usine de meubles Une usine de meubles dispose d’un temps libre

On veut l’exploiter en production de deux nouveaux modèles de meubles: 1 et 2 (des bureaux par exemples). Les temps de réalisation des deux modèles dans les ateliers de sciage, d’assemblage et de sablage et les temps libres sont donnés (voir tableau).

Les bénéfices nets que l’usine peut réaliser sont: 300 u.m. pour 1 et 200 u.m. pour 2 Quel est le meilleur plan de production qui maximise les bénéfices de l’usine ?

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 3 - Problème d’usine de meubles Choix des variables: Identification des paramètres: il y a 3 types

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 3 - Problème d’usine de meubles La fonction Objectif Les contraintes

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Forme générale du P.L. - Variables de décision – Ressources – paramètres:

- Données du Problème:

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Forme générale du P.L. (Formulation en équations) - Fonction Objectif :

- Sous les contraintes:

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Forme générale du P.L.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Forme générale du P.L.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 4 (Problème de médecine).

Un spécialiste en médecine a fabriqué un médicament (des pilules) pour guérir les sujets atteints d’un rhume. Ces pilules sont fabriquées selon deux formats : Petite taille : elle contient 2 grains d’aspirine, 5 grains de bicarbonate et 1 grain de codéine. Grande taille : elle contient 1 grain d’aspirine, 8 grains de bicarbonate et 6 grains de codéine. 



Pour guérir la maladie, le sujet a besoin de 12 grains d’aspirine, 74 grains de bicarbonate et . . 24 grains de codéine. .

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L.

.

Exemple 4 Modélisation (Problème de médecine). -

Les variables de décision: qui représentent des valeurs inconnues par le décideur qui est dans ce cas le spécialiste en médecine sont :

x 1 : le nombre de pilules de petite taille à prescrire. x 2 : le nombre de pilules de grande taille à prescrire. On vérifie bien que les variables de décision x 1 et x 2 sont positives

- Les contraintes: - La prescription doit contenir des pilules avec au moins 12 grains d’aspirine. Sachant qu’une petite pilule contient 2 grains d’aspirine et qu’une grande pilule contient un seul grain d’aspirine, on obtient la contrainte . 2 x 1  x 2  12 suivante : .

- La prescription du spécialiste en médecine doit contenir au. moins 74 grains de bicarbonate: - La prescription doit contenir au moins 24 grains de codéine:

x

1

 6 x 2  24

5 x 1  8 x 2  74

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 4: Pb de médecine La fonction objectif: .

Il y a plusieurs couples de solutions ( x 1 ,

x

2

) qui peuvent satisfaire les contraintes spécifiées à l’étape 2.

La prescription doit contenir le minimum possible de pilules. Donc le critère de sélection de la quantité de pilules à prescrire est celle qui minimise le nombre total des pilules z  x 1  x 2

Le programme linéaire qui modélise ce problème médical est donc le suivant :

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 5: Problème de production Pour fabriquer deux produits P1 et P2 on doit effectuer des opérations sur trois machines M1, M2 et M3, successivement mais dans un ordre quelconque. Les temps unitaires d’exécution sont donnés par le tableau suivant :

- On supposera que les machines n’ont pas de temps d’inactivité. Les disponibilités pour chaque machine sont : 165 heures (9900 minutes) pour la machine M1 ; 140 heures (8400 minutes) pour la machine M2 ; 160 heures (9600 minutes) pour la machine M3 .   

- Le produit P1 donne un profit unitaire de 900 u.m. et le produit P2 un profit unitaire de 1000 u.m.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 5 : Modélisation Les variables de décisions

• x 1 : le nombre d’unités du produit P 1 à fabriquer • x 2 : le nombre d’unités du produit P 2 à fabriquer Les contraintes :

outre les contraintes de non-négativité on a

La fonction Objectif : est Le profit à maximiser

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 5 : Formulation en P.L.

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 6 : Problème d’alimentation On se propose de réaliser une alimentation économique pour des bestiaux, qui contient obligatoirement 4 sortes de composants nutritifs, A, B, C et D. L’industrie alimentaire produit précisément deux aliments M et N qui contiennent ces composants : - 1 Kg d’aliment M contient 100 g de A, 100 g de C, 200 g de D ; - 1 Kg d’aliment N contient 100 g de B, 200 g de C, 100 g de D. - Un animal doit consommer par jour au moins : 0.4 Kg de A ; 0.6 Kg de B ; 2 Kg de C ; 1.7 Kg de D. - L’aliment M coûte 10 u.m le Kg et N coûte 4 u.m le Kg. Pb. : Quelles quantités d’aliments M et N doit-on utiliser par jour et par animal pour réaliser l’alimentation la moins coûteuse ?

Recherche Opérationnelle Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 6 : Modélisation. On peut résumer toutes les données du problème dans le tableau suivant M

N

Quantités prescrites

A

0.1

0

0.4

B

0

0.1

0.6

C

0.1

0.2

2

D

0.2

0.1

1.7

Coût

10

4

Ce genre de tableau peut aider à mieux analyser le problème et ainsi formuler le programme linéaire correspondant. Les variables de décision : x : la quantité d’aliments M à utiliser pour l’alimentation des deux bestiaux 

ec erc e p ra onne e Chapitre 1- Modélisation P.L. Exemple 6 : Formulation en P.L.

Recherche Opérationnelle 3ème Année Chapitre 2. Modélisation et Formulation d’un P.L.

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L.

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Exemple 1 (Modélisation):

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Exemple 1 - Résolution graphique:

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Exemple 1 - Résolution graphique:

Chapitre 2 Résolution graphique d’un d ’un P.L. P.L. Exemple Exe mple 1 - Résol Résolution ution graphique: graphique:

Chapitre 2 Résolution graphique d’un d ’un P.L. P.L. Exemple Exe mple 1 - Résol Résolution ution graphique: graphique:

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. P.L. Généralisation Généralisatio n de la résolution graphique

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Résolution graphique :

1. Système d’axes

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. 2. Région réalisable:




3. Iso - objectif

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. détermination graphique d e l’optimum : Exemple usine meubles


Exemple Usine à meubles


Pb usine meubles


Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Résolution graphique : Méthode de l’énumération

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Résolution graphique : Contraintes saturées et contraintes marginales

Chapitre 2 Résolution graphique d’un P.L. Résolution graphique : Des cas particuliers






Recherche Opérationnelle 3ème Année Chapitre 3 – Simplexe (Max)

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Introduction La méthode du simplexe est une méthode de résolution algébrique d’un P.L. Qui peut traiter des problèmes avec un nombre de variables très grand C’est une méthode itérative

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Introduction Description générale

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Approche par un exemple (le problème de l’usine des meubles)

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 1. (Ecriture du Pb sous forme standard)

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 2 : (Identification de la 1ère solution de base et Tableau de départ )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 2 : (Identification de la 1ère solution de base et Tableau de départ )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 2 : ( 1ère solution de base et Tableau de départ )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 2 : ( 1ère solution de base et Tableau de départ )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 2 : (Forme standard d’un Tableau simplexe )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3

Variable Entrante

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : (Variable Entrante)




Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Variable Sortante )



Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Amélioration de la solution )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Amélioration de la solution )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Retour au Tableau du simplexe )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Retour au Tableau du simplexe )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( Le Nouveau Tableau du simplexe )

Itération 1

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe 2ème Itération

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( 2ème Itération )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Etape 3 : ( 2ème Itérartion )

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Principe du simplexe Interprétation: On est parti d’un premier sommet 0(0,0 ) …….. On a évolué vers un deuxième sommet D (11,0 ) c’est la 1 ère itération…….En 2ème itération on est arrivé à un autre sommet C(10,2 ) qui est l’optimum.

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Procédé général du simplexe

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Interprétation du simplexe On sait que la solution optimale du P.L.

se trouve en un sommet de l’ensemble convexe des solutions admissibles.

Définition : Deux sommets A et B sont dits adjacents si les vari ables de base ne diffèrent que d’un seul élément.

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Exemple - simplexe

Pb. Quelles seront les quantités de crème glacéé et de beurre qu’il faut produire pour maximiser les profits?

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Exemple Interprétation - simplexe

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Exercice 1 - simplexe




Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Exercice 2 - Simplexe

Chapitre 3 Résolution d’un P.L. par la méthode du simplexe Exercice - simplexe











Recherche Opérationnelle 3ème Année Chapitre 4 – Simplexe (Cas Général)

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Introduction Dans le chapitre précédent tous les programmes linéaires qu’on a traité sont du type : Maximiser une fonction linéaire sous contraintes de type inférieur ou égale (et avec un second membre positif).

Or dans beaucoup de problèmes réels, on peut retrouver des contraintes de type supérieur ou égale et/ou de type égale, ainsi que des problèmes où on a à minimiser au lieu de maximiser. Dans ce qui suit, on étudiera les modifications à apporter à la méthode du simplexe pour qu’elle puisse résoudre tous ces types de programmes

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Introduction Considérons l'exemple suivant:

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Introduction La différence essentielle est que le polyèdre ne contient plus l'origine du repère comme sommet. Plus généralement, aucune des solutions de base n'est située à l'origine du repère. Nous allons voir maintenant que cette remarque géométrique a pour conséquence de rendre impossible la mise sous forme standard sans introduire de nouvelles variables d'écart pour transformer les contraintes inégalités en égalité. En donnant aux variables X1 et X2 la valeur nulle, on trouve que la variable S1 est négative. De la sorte, une des règles de mise sous forme standard n'est pas respectée; et on ne peut plus utiliser l'algorithme du simplexe.

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Variables artificielles

Pour palier à ce problème, on introduit dans l'expression des contraintes des variables artificielles positives Le système s'écrit alors :

On veut bien entendu que l'introduction des variables artificielles ne change pas le problème. Il suffit pour cela d'imposer aux coefficients des variables artificielles de prendre une valeur négative très

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Variables artificielles

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général.


Remarque: Il est important de distinguer entre : une Vraie solution réalisable Et une solution du P.L avec variables artificielles pour la mise en œuvre du simplexe!!

Donc : Tant que les solutions dans le simplexe contiendront des variables artificielles, elles ne seront pas des Vraies Solutions de notre Problème !!


Pour s’assurer que ces variables artificielles sortent de la base avant d’atteindre la solution optimale : On peut leur associer un grand coût -M dans la fonction objectif. Alors : si ces variables restent dans la base elles vont causer une diminution importante de la valeur de la fonction objectif . Ce qui nous contraint à les faire sortir le plutôt possible de la base.


Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Itération 1.

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas génér général. al. Itération 2.



Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Itération 4.

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L. de Minimisation





Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L. de Minimisation 2ème manière de faire

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L. Irréguliers

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L. Irréguliers – Variables négatives ou sans contraintes de signe

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L. Irréguliers – Second membre des contraintes (disponibilité ressource) négatif

Chapitre 4 La méthode du simplexe – Cas général. Les P.L particuliers : Problèmes non bornés et Solutions multiples

Chapitre 4

La méthode du simplexe – Cas général.

Récapitulatif – Etapes du Simplexe

Exercices La méthode du simplexe Exo 1 (variables négatives et sans contraintes de signe) Mettre les problèmes linéaires suivants sous forme canonique

Problème 2 Problème 1

Solution - Problème 1

Solution - Problème 2

Exercices La méthode du simplexe Exo 2 (Simplexe – P.L. Max classique) Résoudre par le simplexe le problème suivant

Problème

Solution

Forme standard

Exercices : La méthode du simplexe Exo 3 – Méthode du Simplexe Résoudre le problème linéaire suivant à l’aide de la méthode du simplexe

Exercices : La méthode du simplexe Exo 4 – Problème non borné Résoudre le problème linéaire suivant à l’aide de la méthode du simplexe

Problème non borné

Exercices : La méthode du simplexe Exo 5 – Méthode du Simplexe – Problème dégénéré Résoudre le problème linéaire suivant à l’aide de la méthode du simplexe

forme standard

Recherche Opérationnelle 3ème Année Chapitre 5 – Problème Dual

Chapitre 5 : Problème Dual Introduction

Chapitre 5 : Problème Dual Primal / Dual P.L. Primal

Chapitre 5 : Problème Dual Contraintes Duales

Chapitre 5 : Problème Dual Formulation du PL Dual

Chapitre 5 : Problème Dual Relation Primal/Dual




Chapitre 5 : Problème Dual





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