Corrigé de l’examen de Février 2002 Exercice Exer cice 1 :
1.
M=
0 1 2 1 8 0 0 1 3
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1 4
2
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
2
8
6 2 3
3
0
2
1 2 0 0 0 0 1
2
2.
Le grap graphe he est est con conve vexe xe.. Che Cherc rcho hons ns les les com compo posa sant ntes es forte forteme ment nt conn connex exes es : 1 2 3 4 5 6 pred. 1 préd. 3 X X 1 0 X X 2 1 X X X X 3 1 0 X 4 X X X 5 2 1 X X 6 1 succ. 1 0 1 1 succ. 3 1 1 0 1 1 2 t(1) = {1, 2, 6} ∩ {1, 2, 3, 5, 6} = {1, 2, 6} La composante fortement connexe de 1 comprend les éléments 1, 2 et 6. t(3)= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {3, 5} = {3, 5} La composante fortement connexe de 3 comprend les éléments 3 et 5. La composante fortement connexe de 4 est composée du singleton 4. D’où trois classes :
3.
Posons
{1, 2, 6} = {3, 5}= {4} = Etudions la sous-chaîne {1, 2, 6}
0 P' = 1 2 1 3
1
classe récurrente, non périodique classe transitoire classe récurrente.
1 2 0 1
2
0 2 3
2
. Cherchons Π * = (a, b, c), la matrice matrice des probabilités probabilités de l’état stationnaire stationnaire (a=
proba d’avoir 1, b d’avoir 2, c d’avoir 6)
On doit avoir
b + c = a 2 3 a + 2 c = b 3 Π * P’ = Π * d’où 2 a + b = c 2 2 a + b + c = 1
⇔a
8 =
27
, b
10 =
27
, c
1 =
3
Nouveau flot optimal : 71 En modifiant d’abord A 1B :
+ A1
13/30
7/8
6/23 15 déb. +
23
6 13/23
10/11
8/11 15/25 Nouveau flot optimal : 59 unités En modifiant d’abord FQ315 : A4 11 + A1 +
déb. +
-
Q3 Q1 6
A3 15/25
11
8
9/15 11
8/11
39/45
Q2
F
23
18/23 18
D
+ A4
Q3
Nouveau flot optimal : 57 unités. Il vaut mieux améliorer d’abord A 1B puis FQ 3. Exercice Exerc ice 4 : Recherche d’une solution initiale par la méthode de Balas-Hammer : 180 10 Cette solution coûte 25130 21 110 260 Calculons les regrets : -7 160 180 21 0 Comme un des regrets est négatif, la solution n’est pas optimale. Nouvelle répartition : 180 10 Prenons x= 110. 21 x 110-x 260 La nouvelle solution coûte : 28 160-x 180+x 24360 21 Calculons les regrets : 0 Cette solution est optimale. Elle n’est pas unique (il y a un regret nul). Bilan : les deux solutions optimales optima les sont : 180 10 110 260 110 50 290 50 180 Pour un coût total de 24360.
fin
30
23 8
15
9/23
E 11/23
8 15
23
6/23 6
B
A2
-
+ F
D+
7/8
Q2
45 23
fin
30
23 8
A3
15
13/15
C
15
-
23
E
+
8
10/11
+
8
A2 -
4/23
Q1 +
+
B
190 260 11 110
21 7 0 7
42 63 49 28
28 7 42 -28
14 35 21
21 14 0 7
42 63 49 28
35 7 49 -35
14 28 21
