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Mathématiques pour l’Economie et la Gestion

Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1

Séance d’exercices dirigés Leçon 1 Exercice 1 : On donne, dans le plan, 5 points A(2,5), B(3,7), C(6,4),D(4,3), E(2,3) question 1 Représentez 1 Représentez ces 5 points sur un graphique . question 2 Caractérisez 2 Caractérisez par des inéquations le pentagone délimité par ces 5 points. question 3 Placez 3 Placez dans le dessin le point F(3, 4). On décide de retirer du pentagone précédent le carré de diagonale EF. On obtient ainsi une nouvelle figure à 7 cotés. Est il possible de caractériser cette figure par des inégalités ? Exercice 2 : question 1 Tracer dans le plan les droites d’équations y = 2x + 5 y = 1.5x - 6 question 2 Calculer 2 Calculer les coordonnées du point d’intersection M(x0, y0) de ces deux droites Exercice 3 : a) Les a) Les droites d’équations 3x + 5y = 5 6x + 10y = 9 sont-elles parallèles ? Si non, calculez les coordonnées de leur point d’intersection. b) Même question pour les droites d’équations 2x + 7y = 9 1.4x + 4.9y = 14 c) Même question pour les droites d’équations 5x + 7y = 6 4x + 5.2y = 12 Exercice 4 a) Calculez la pente de la droite droite d’équation 3x + 7y = 18 b) Parmi les 8 droites dont les équations sont les suivantes, lesquelles sont parallèles entre elles ? 12.6x - 8.8y = -7

1.5x + 2y = 14

3x + 5y = 19

9x - 6y = -3

1.2x + 4.2y = 12

1.8x + 3y = 12

2x + 7y = 21

5.4x - 3.6y = +6

Exercice 5 Représentez sur un plan l’ensemble des points M(x, y) tels que 3x + 5 y

3000

6x + 2y

3600

3x + 2y

2400

12x + 8y

12000

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Exercices dirigés Leçon 2 Exercice 1 Dans chacun des deux questions suivantes, la variable B représente le bénéfice d’une fruitière la variable x représente la quantité x de yaourts maison vendus et la variable y la quantité de tome de Savoie. B = 5x + 20y a) Représentez sur un plan les courbes d’iso-bénéfice. b) B = 6x + 15y Représentez sur le graphique suivant les courbes d’iso-bénéfice

y

100

75

50

25

0

x 0

20

40

60

80

100

Exercice 2 Résoudre

par la méthode graphique le programme maximiser B = 5x + 4y 2x + 4y ≤ 36 2x + 3y ≤ 30 x≥ 0 , y ≥ 0

Exercice 3 Résoudre

par la méthode graphique le programme : minimiser A = 4x + 6y x + 3y ≥ 9 4x + 2y ≥ 16 16 x ≥ 0 , y ≥ 0 0

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120



Exercice 4 On se donne dans le plan, le polygone convexe OABCDE. On sait simplement que y 18 16

A B

14 12

C

10 8

D

6 4 2

x

E

0 -2

O

3

8

13

18

coordonnées

pente des droites

A(0,15)

droite AB pente -2/5

B(5,13)

droite BC pente -2/3

C(11,9)

droite CD pente -3/2

D(13,6)

droite DE pente -3

E(15,0) Cherchez, dans ce domaine, le ou les points qui maximisent les fonctions a) 4x + 4y b) 2x + 2y c) 3x + 2y d) 5x + 2y Exercice 5 : Des militaires doivent organiser au moindre coût un pont aérien entre le centre de Durlaboue (Guyane) et le poste de Mollaboue (dans la forêt où une zone a été dégagée pour l’atterrissage d’hélicoptères) pour transporter des hommes et du matériel : Ils ont en effet 90 tonnes de matériel à transporter 140 personnes à transporter Ils disposent pour cela de 2 hélicoptères , l’Avette et la Colombe qui pourront effectuer autant de voyages que nécessaire. Chaque hélicoptère dispose de deux soutes : dans la première on ne peut mettre que des hommes, dans la seconde que du matériel. L’ Avette peut transporter en un seul voyage 20 personnes accompagnées de 6 tonnes de matériel. La Colombe peut transporter en un seul voyage 10 personnes accompagnées de 15 tonnes de matériel . Le prix de revient d’un voyage aller retour avec l’ Avette est de 2 écus (la monnaie locale à peu prés équivalente à 1000 francs), il est de 3 écus avec la Colombe. question 1 : On désigne par x le nombre de voyages qu’effectue l’Avette et y le nombre de voyages qu’effectue la Colombe. Les militaires doivent déterminer un couple de nombres (x, y), ce que l’on appellera un plan de manœuvre.

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a) Donner en fonction de x et y coût de revient de x voyages effectués par l’Avette et de y voyages effectués par la Colombe. b) Les militaires envisagent le plan de manœuvre (6,9) : l’Avette effectuera 9 voyages et la Colombe 6 voyages, quel est le coût associé ? Quelle relation lie x et y si le plan de manœuvre (x, y) coûte autant que le plan de manœuvre (6,9) ? c) Représentez sur un graphique l’ensemble des plans de manœuvre qui coûtent autant que le plan de manœuvre (6,9) . Désignez sur ce graphique les plans de manœuvre qui coûtent plus cher que le plan de manœuvre (6,9) et ceux qui coûtent moins cher . d) Représentez sur le même graphique l’ensemble des plans de manœuvre (x, y) qui coûtent autant que le plan de manœuvre (5,7). question 2 a) A quelle condition le plan de manœuvre (x, y) permet-il de transporter tous les hommes ? A quelle condition le plan de manœuvre (x, y) permet-il de transporter tout le matériel ? b) Représentez sur un dessin l’ensemble des plans de manœuvre (x, y) qui permettent de transporter tous les hommes et tout le matériel. c) En vous servant des résultats de la question 1, quel est le plan de manœuvre qui permet de réaliser le transport des hommes et du matériel au moindre coût ? question 3 L’état major décide de réaliser le transport des hommes et du matériel dans le temps le plus court possible (il n’est plus question de coût, il faut faire vite). Une rotation de l’Avette (un voyage aller retour) prend 5 heures, une rotation de la Colombe prend 7 heures. Quel plan de manœuvre permet d’assurer le transport des hommes et du matériel le plus vite possible. Dans la suite des exercices sur la leçon 2, nous allons insister sur les problèmes de « mise en équation ». En effet, une des grandes difficultés de cette partie du cours est qu’il faut passer d’un problème posé en termes « économiques », c’est à dire en langage ordinaire à un problème mathématique. L’épreuve de mise en équation étant passée, il faudra tenter de répondre aux questions posées, On pourra s’appuyer, pour ce faire, sur les problèmes « a moitié résolus » donnés plus bas . Nous nous restreignons ici à des problèmes comportant deux variables. Nous verrons plus loin d’autres problèmes de « mise en équations » comportant 3 variables ou plus .

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A Exercices portant sur la production Exercice 6 Une entreprise vend deux produits A et B à 205 et 216 F l’unité. La fabrication de chacun de ces produits entraîne les charges suivantes :

A

B

Matière première

50 F

85 F

Opération n°1

1h

1.5 h

Opération n°2

0.5 h

1h

opération n°3

2h

1h

L’opération n°1 est menée sur une machine M 1, l’opération n°2 est menée sur une machine M2, l’opération n°3 est menée sur une machine M3. L’entreprise dispose de 2 machine M1, d’une seule machine M2 et de 2 machines M 3. Chaque machine fonctionne au plus 120 h par mois. Le coût horaire de fonctionnement de chaque machine est de 20 F pour M 1, 30 F pour M2, et 40 F pour M 3. question 1 : déterminer les profits unitaires pour un produit de type A et pour un produit de type B. question 2 : déterminer le programme de production qui maximise le profit total du mois. question 3 : les machines de type M1 doivent souvent être mises en réparation : du coup, ce ne sont plus 240 heures au total que l’on dispose pour faire l’opération n° 1, mais T heures , T étant inférieur ou égal à 240 . On envisage de faire décroître T vers 0. A partir de quelle valeur de T va t’on devoir modifier la production. Décrire alors qualitativement comment va se réorganiser la production. Y a t-il une valeur de T pour laquelle on ne produira plus qu’un seul produit ? Lequel ? Exercice 7 Une entreprise fabrique des magnétophones et des postes de télévision. 150 ouvriers travaillent à la fabrication. Le prix de revient, pièces et main d’œuvre d’un magnétophone est de 400 F et celui d’un poste de télévision est de 450 F. Les services comptables de l’entreprise donnent la consigne de ne pas dépasser la somme de 360 000 F par semaine, pièces et main d’œuvre. Chaque ouvrier travaille 40 heures par semaine, et les chefs de service estiment qu’il faut 10 heures de main d’œuvre d’ouvrier pour fabriquer un magnétophone, et 5 heures de main d’œuvre d’ouvrier pour fabriquer un poste de télévision. question 1 Les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 500 magnétophone et 500 postes de télévision par semaine. Les prix de vente sont tels que l’entreprise, tous frais payés, fait un bénéfice de 240 F par électrophone et de 160 F par poste de télévision. Déterminer la fabrication qui assure un bénéfice maximum à l ’entreprise. question 2 par suite de l ’arrivée d’un nouveau concurrent qui casse les prix, les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 300 magnétophone et 250 postes de télévision par semaine. Les prix de vente restent inchangés. Déterminer la fabrication qui assure un bénéfice maximum à l ’entreprise.

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Exercice 8 Une usine est spécialisée dans la fabrication de deux types de chaises longues : des chaises longues de luxe et des chaises longues modernes. Une chaise longue de luxe nécessite 3 m2 de toile et une chaise longue moderne 2 m 2 de toile; le stock journalier de toile est de 36 m2. 10 ouvriers travaillant 6 heures par jour sont affectés à la fabrication des chaises longues, et il faut 6 heures pour la fabrication d’un chaise longue de luxe et 2 heures pour celle d’un chaise longue moderne. Les montants de chaises longues sont en bois : il faut compter 6 mètres de tasseaux pour faire une chaise longue de luxe et 8 mètres de tasseaux pour faire une chaise longue moderne : le stock journalier de l’entreprise est de 120 mètres. Le bénéfice sur un chaise longue de luxe est de 200 F et celui d’un chaise longue moderne est de 240 F. question 1 Rechercher la combinaison des productions qui maximise la bénéfice de l’entreprise si elle peut écouler sans contrainte toute sa production. question 2 A la suite d’un accord avec les fabricants de chaises longues, l’entreprise accepte de limiter sa production : elle ne vendra pas plus de F0 chaises longues en tout. A partir de quelle valeur de F0 devra-t’elle limiter le travail de ses ouvriers ? Exercice 9 Une compagnie minière possède deux puits différents d’extraction d’un certain minerai. Les puits sont en deux lieux distincts et n’ont pas la même capacité de production. Le minerai est d’abord concassé, puis rangé dans l’une des trois qualités : minerais riche, moyen, pauvre. Les trois qualités sont demandées par le marché. La compagnie minière n’a qu’un seul client : une fonderie auprès de laquelle elle s’est engagée à fournir au moins 12 tonnes de minerai riche, au moins 8 de moyen et au moins 24 tonnes de minerai pauvre par semaine. L’exploitation du premier puits coûte à la compagnie 200 écus par jour et celle du second puits 160 écus par jour. Mais, en un jour d’exploitation, le premier puits produit 6 tonnes de minerai riche, 2 tonnes de minerai moyen et 4 tonnes de minerai pauvre.; le second puits fournit en un jour d’exploitation 2 tonnes de minerai riche, 2 tonnes de minerai moyen et 8 tonnes de minerai pauvre. question 1 Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus économiquement possible ? question 2 On suppose maintenant que, en plus des coûts d’exploitation, la compagnie minière doit supporter des coûts de transport : toute la production des puits est envoyée à la fonderie . Le coût de transport est de 10 écus par tonne de minerai transportée du premier puits vers la fonderie et de 20 écus par tonne de minerai transportée du second puits. Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus économiquement possible ?

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B Exercices comportant 3 variables que l’on ramène à 2 variables Exercice 10 Les halles d’une ville reçoivent des pommes de terre de 3 kolkhozes ; celles du premier coûtent 4 kopecks le kg, celles du second 3 kopecks le kg et celles du troisième, 5 kopecks. Pour transporter les pommes de terre, chaque kolkhoze est relié aux halles par un transporteur à bandes. Pour transporter une tonne de pommes, il faut une minute au premier kolkhoze, 4 minutes au second et 3 minutes au troisième. Pour que le produit arrive à temps aux halles, il faut que les 12 tonnes nécessaires chaque jour ne soient pas transportées en plus de 40 minutes. Le premier kolkhoze peut fournir chaque jour au plus 10 tonnes au plus, le second 8 tonnes au plus et le troisième au plus 6 tonnes ? Combien faut-il amener de pommes de terre de chaque kolkhoze pour que le prix global des pommes de terre soit minimum, sachant que question 1 les trois transporteurs à bande peuvent fonctionner simultanément question 2 Supposons maintenant que les trois transporteurs à bande peuvent fonctionner simultanément et que le coût d’approvisionnement depuis le premier kolkhoze augmente fortement : décrire qualitativement comment va varier la solution optimale en fonction de ce prix. question 3. Par pénurie d’électricité, un seul transporteur peut fonctionner à la fois, et les coûts sont ceux de la question 1

Pour résoudre cet exercice, on appellera x la quantité fournie par le premier kolkhoze, y celle fournie par le second, puisque le total fourni est de 12 tonnes, la quantité fournie par le troisième kolkhoze est donc égale à ( 12 – x – y ) Exercice 11 Pour cet exercice, on ne donne pas de graphique d’aide Un fermier élève des poulets, des canards et des dindons. Il veut avoir 500 volatiles, mais pas plus de 300 canards à la fois. Supposons que l’élevage d’un poulet revienne à 15 francs, celui d’un canard à 10 F celui d’un dindon à 40 F. Admettons que le fermier puisse vendre ses poulets à 30 F pièce, les canards à 20 F pièce et les dindons à D francs. Il voudrait savoir quelles volailles il faut élever pour réaliser le profit maximum. question 1 Soit x le nombre de poulets et y le nombre de canards. Le nombre de dindons est donc 500 - x - y. Quelles contraintes portent sur x et y ? Représentez sur un graphique l’ensemble des couples (x, y) possibles. question 2 donnez en fonction de D, x et y l’expression du profit. question 3 Dans chacune des hypothèses suivantes, donnez la politique d’élevage optimale du fermier : a) D = 60 F b) D = 50 F c) D = 55 F

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C Exercices comportant une utilisation forcenée de la règle de trois Pour les exercices suivants, on ne donne pas de graphique d’aide Exercice 12 On dispose d’un camion de 7 tonnes de charge utile, et d’une capacité maximale de 12 m3. Il s’agit de transporter à une même destination des marchandises en vrac dont le nom est secret et que nous désignerons par leur code X33 et Y25 avec les frets unitaires suivants : 30 F par tonne pour le X33 et 20 F par m 3 pour le Y25 . Le poids spécifique du X33 est de 1 tonne par m3, celui du Y25 est de 0.25 tonnes par m 3. question : Le camion ne peut effectuer qu’un seul voyage : comment doit-on composer le chargement pour obtenir le meilleur chiffre d’affaires ? Exercice 13 Un fabricant de plats cuisinés commercialise des cannelloni et des ravioli présentés en barquettes de 500 g, vendues respectivement aux prix de 42 F et 33 F l’unité. Ces barquettes doivent être stockées au froid dès leur fabricat ion. Les quantités d’ingrédients disponibles permettraient de fabriquer jusqu’à 600 barquettes de cannelloni et 500 barquettes de ravioli lors de la prochaine préparation, mais les réfrigérateurs , déjà chargés, ne peuvent accueillir que 350 barquettes au maximum. Toutefois, certains ingrédients sont eux-mêmes conservés au froid, de sorte que leur utilisation libère les espaces de stockage réfrigérés qu’ils occupent. Ainsi, la fabrication de deux barquettes de cannelloni libère la place de stockage d’une barquette, de même, la fabrication de quatre barquettes de ravioli libère la place de stockage de trois barquettes. Sachant que les coûts unitaires de fabrication des cannelloni et des ravioli sont respectivement de 40 F et 33 F le kilo, et que le coût des barquettes vides est de 2 F pour une barquette de cannelloni et de 1,50 F pour une barquette de ravioli, on souhaite déterminer le programme de fabrication qui maximise le bénéfice du fabricant. question 1 Le fabricant décide de produire un nombre x de barquettes de cannelloni et un nombre y de barquettes de ravioli. Donnez en fonction de x et y le nombre de barquettes d’ingrédients qu’il utilisera question 2 Compte tenu de la réponse à la question 1 et des 350 places vides dans le réfrigérateur, quelle contrainte porte sur x et y pour que le fabriquant puisse mettre au frais sa production ? question 3 Résoudre le problème du fabricant par la méthode graphique.

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D Exercice dit « de programmation dynamique Exercice 14 Un élevage de poules possède 10 poules et 32 œufs. Dans une période donnée, une poule peut, soit couver 4 œufs (jamais 3, ni 5 ), soit en pondre 6. Un œuf couvé une période donnée donne naissance à une nouvelle poule ( c’est étrange, mais c’est comme ça). Le fermier veut utiliser tout ce dont il dispose durant deux périodes, à la fin desquelles il vendra toutes ses poules et tous ses œufs Il pourra utiliser au cours de la seconde période les produits de la première : en particulier, un œuf non couvé à la première période pourra être couvé en seconde, un œuf jamais couvé peut être vendu en fin de seconde période. Son problème est de maximiser son revenu en vendant , en fin de seconde période œufs et poules.

question 1 On note x le nombre de poules qui couvent en première période et y le nombre de celles qui couvent en seconde période. a) donnez les contraintes qui portent sur x et y b) combien d’œufs et de poules obtient-on en fin de deuxième période question 2 Les œufs se vendent 2 F pièce et les poules 10F. Pour quelles valeurs de x et de y le revenu du fermier est-il maximum ?

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programmes « a moitie résolus » problème 1

(M1)

deux produits A et B

x1

+ 1.5 x2 ≤ 240

(M2) 0.5x1 +

x2

(M3)

x2

2x1 + x1≥ 0,

≤ 120 ≤ 120

x2 ≥ 0

x2 280 M3

M2

240

200

160 M1

120

80

40 x1

0 0

60

120

180

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240

300


problème 2


magnétophone et télévision

(M1)

10x1

+

5 x2

(M2)

400x1

+

450x2

x1≥ 0,

≤ 6 000 ≤ 360 000

x2 ≥ 0

x2 1400 M1 1200

1000 M2

800

600

400

200

0 0

200

400

600

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800

1000



problème 3 chaise longue

(M1)

2x1

+

3x2

(M2)

6x1

+

8x2

(M3)

6x1

+

2x2

x1≥ 0,

≤ 36 ≤ 120 ≤ 60

x2 ≥ 0

x2 30 M1 27 24 M3 21 18

M2

15 12 9 6 3 0

x1 0

2

4

6

8

10

12

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14

16

18

20



problème 4 mines

(M1)

+ 2x2 ≤ 12

6 x1

(M2) 2x1 + (M3)

≤ 8 8x2 ≤ 24 x2 ≥ 0

2x2

4x1 + x1≥ 0,

x2 7 M1 6 M2

5

M3

4 3 2 1 0

x1 0

1

2

3

4

Page 13

5

6

7



problème kolkhoze

(M1)

4x1

+

x2

(M2)

x1

+

x2

x1≥ 0,

x2 ≥ 0

≥ 4 ≤ 12

x2 24 M1 20 M2

16

12

8

4

0

x1 0

2

4

6

8

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10

12

14



Séance d’exercices dirigés Leçon 3 Le but de cette séance est de s’exercer à utiliser la méthode du Pivot de Gauss Exercice 1 : A l’aide de la méthode du pivot, résoudre les trois systèmes suivants :

a)

2 x +5 y = 9  3 x −4 y = 6

b)

3 x +9 y −7 z = 12  5 x −6 y + z = 5  x + y + z = 4 

c)

 x  x    x 2 x

+y −y +2 y +2 y

+z +z −z −3 z

+ t = − t = +2 t = +4 t =

5 2 3 6

Souvent, on doit résoudre plusieurs fois le même système, mais avec des valeurs différentes. la tentation est alors forte de résoudre une « version paramétrée des systèmes ». Supposons, par exemple que nous devions résoudre les trois systèmes :

2 x −6 y = 9   x −4 y = 5

et

2 x −6 y = 6   x −4 y = 2

et

2 x −6 y = −4   x −4 y = 1

Il apparaît que nous allons recommencer plusieurs fois le même type de calculs. Aussi, on peut décider de résoudre un seul système « paramètre » :

2 x −6 y = a   x −4 y = b On résout ce système avec les nombres a et b comme « des paramètres », puis on remplacera a et b par leurs valeurs pour obtenir les solutions des trois systèmes proposés : le système précédent peut se réécrire sous la forme : (notez que l’on a rajouté deux colonnes pour les « paramètres » a et b ; bien entendu , le trait vertical qui sépare les colonnes « x, y » / « a, b » est à la place du signe « = »

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x

y

a

b

2 1

-6 -4

1 0

0 1


Prenons comme ligne pivot la ligne du bas ( L2 ), on obtient : x

y

a

b

x

2 (1)

-6 -4

1 0

0 1

l 1 = L1-2l p 0 l2 = l p 1

1

-4

0

1

y

a

b

2 -4

1 0

-2 1

l p = L2

Prenons comme ligne pivot la ligne du haut ( L1 ), on obtient : x

y

a

b

0 1

(2) -4

1 0

-2 1

0

1

0.5

-1

x

y

a

b

l1 = l p 0 l 2 = L2+4l p 1

1 0

0.5 2

-1 -3

l p =(1/2) L1

le système se réécrit :

 y = 0.5a −b   x = 2a −3b la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par 9 et b par 5 : x=8 y = -0.5 la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par 6 et b par 2 : x=6 y=1 la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par -4 et b par 1 : x = -11 y = -3 Exercice 2 : En vous servant de raisonnements analogues trouvez les solutions des systèmes :

a)

2 x − y = 5 et  x y 9 + = 

2 x − y = 7 et  x y 11 + = 

2 x − y = −5   x + y = −4

b)

 x + y + z = 9  x + y + z = 11  x + y + z = 0    3 x +2 y − z = 5 et 3 x +2 y − z = −4 et 3 x +2 y − z = −1  x − y − z = −4  x − y − z = +6  x − y − z = +1    Page 16



Séance d’exercices dirigés Leçon 4 exercice 1 Mettez les programmes linéaires suivants sous forme canonique, puis sous forme de tableaux a) Maximiser S S = 9x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5 (u1) 4x1 + 2x2 + 8x3 + 9x4 - 5x5

25

(u2) 5x1 + 4x2 + 6x3 - 8x4 + 5x5

34

(u3) 7x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 + 3x5

46

(u4) 3x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 + 2x5

29

(u5) 6x1 + 7x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5

32

x1

0, x2

0, x3

0, x4

0, x5

0

b) maximiser T

(x)

a

0, b

T = 12a + 4b - 9c + 6d + 2e + 5f + 7g 32a + 24b + 5c + 9d + 5e + 14f + 4g 543

(y)

23a + 31b - 9c

(z)

17a - 18b - 8c + 7d

0, c

0, d

0, e

+ 6d + 0, f

-

9e + 11f - 12g

245

8e - 21f + 17g

351

0, g

0

exercice 2 a) Donnez les programmes linéaires, sous forme canonique, puis sous forme « initiale » correspondants aux tableaux suivants :

H

a

b

c

d

u

v

w

x

0 0 0 0

4 5 7 4

5 7 -4 2

2 3 2 5

6 5 8 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

19 24 34 38

1

-15

-18

-14

-18

0

0

0

0

0

H

x

y

z

t

u1

u2

u3

u4

0 0 0 0

3 4 2 4

0 1 0 0

0 0 0 1

5 6 3 5

2 -6 0 5

0 0 2 3

0 0 1 0

1 0 0 0

29 17 12 23

1

26

0

0

28

-13

-7

0

0

149

b) Pour chacun de ces programmes dire sur quelle colonne on pivote, et pivotez. La solution obtenue est-elle optimale ? Dans le cas d’une réponse affirmative, donnez cette solution.

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exercice 3 résoudre les problèmes suivants :

a) maximiser S S = 10x + 13y + 2z + 3t

b) maximiser T T = 2a + 4b + 5c

( h1) 5x 4y 2z 3t

22

(u)

a + 2b + 6c

42

( h2) 4x 5y 2z 5t

25

( v ) 2a + 5b + 3c

25

( h3) 3x 4y 5z 2t

35

( w ) 4a + 2b + 6c

26

x

0, y

0, z

0, t

0

a

Page 18

0, b

0, c

0



Séance d’exercices dirigés Leçon 5 exercice 1 On donne ici les tableaux initiaux et finaux obtenus par application de la méthode du simplex. tableau initial :

H 0 0 0 0 1

x 2 3 5 4 -10

y 6 7 6 3 -15

z 12 2 8 6 -21

t 1 0 0 0 0

u 0 1 0 0 0

v 0 0 1 0 0

z 1 0 0 0 0

t 0.085 0.070 -0.220 0.160 0.635

u -0.090 0.220 -0.120 0.360 0.210

v 0.020 -0.160 0.360 -1.080 1.620

w 0 0 0 1 0

13 14 17 21 0

tableau final :

H 0 0 0 0 1

x 0 0 1 0 0

y 0 1 0 0 0

w 0 0 0 1 0

0.185 1.270 1.580 9.760 38.735

a) Donnez le programme linéaire de maximisation que ce tableau est censé résoudre( forme canonique et forme initiale), ainsi que sa solution. b) On suppose maintenant que les contraintes du problème sont changées et que le nouveau tableau initial est : nouveau tableau initial : x y z t

H u v w 0 2 6 12 1 0 0 0 0 3 7 2 0 1 0 0 0 5 6 8 0 0 1 0 0 4 3 6 0 0 0 1 1 -10 -15 -21 0 0 0 0 Donnez le nouveau programme posé par ce tableau ainsi que sa solution .

exercice 2 On considère le tableau suivant :

H 0 0 0 1

m 1 2 4 -8

n 3 6 2 -12

p 2 7 6 -13

q 4 3 5 -7

r 1 0 0 0

s 0 1 0 0

Page 19

t 0 0 1 0

230 170 250 0

12 15 18 22 0



a) Quel programme de maximisation ce tableau est il censé poser ? ( forme canonique et forme initiale), b) Après application de la méthode du pivot, on obtient : H 0 0 0 1

m 0 0 1 0

n 0 1 0 0

p -1.5 0.8 1.1 5.4

q 2.5 0.1 1.2 3.8

r 1 0 0 0

s t -0.5 0.0 0.2 -0.1 -0.1 0.3 1.6 1.2

127 9 58 572

Quelle est la solution du problème de maximisation ? c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du nouveau problème : Maximiser H H = 8x + 12y + 13z + 7t (u)

x + 3y +

2z +

4t

220

(v)

2x + 6y +

7z +

3t

190

(w) 4x + 2y +

6z +

5t

210

x

0, y

0, z

0, t

0

d) On s'intéresse maintenant encore à un nouveau problème : Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 21t (u)

x + 3y +

2z +

4t

220

(v)

2x + 6y +

7z +

3t

190

(w) 4x + 2y +

6z +

5t

a

x

0, y

0, z

0, t

0

Pour quelle valeur du paramètre a la solution de ce problème est – elle obtenue "presque directement" par application du tableau précédent ? exercice 3 On considère le tableau suivant :

H 0 0 0 1

a 2 5 3 -10

b 3 2 5 -25

c 4 6 2 -32

d 3 7 4 -21

e 1 0 0 0

f 0 1 0 0

g 0 0 1 0

a) Quel programme de maximisation ce tableau est il censé b) Après application de la méthode du pivot, on obtient : H a b c d e f 0 2/3 1 4/3 1 1/3 0 0 11/3 0 10/3 5 -2/3 1 0 -1/3 0 -14/3 -1 -5/3 0 1 20/3 0 4/3 4 25/3 0

Page 20

10 14 18 0 poser g 0 0 1 0

10/3 22/3 4/3 250/3



Quelle est la solution du problème de maximisation ?

c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problème : Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 19t (x)

2x + 3y +

4z +

3t

10

(y)

5x + 2y +

6z +

7t

14

(z)

3x + 5y +

2z +

4t

18

x

0, y

0, z

0, t

0

d) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problème : Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 21t (u)

2x + 3y +

4z +

3t

10

(v)

5x + 2y +

6z +

7t

14

(w)

3x + 5y +

2z +

4t

18

x

0, y

0, z

0, t

0

exercice 4 On considère les deux tableaux suivants utilisés pour résoudre un problème de programmation linéaire. tableau initial

H

x

y

z

t

u

v

0

2

4

1

0

0

0

24

0

3

1

0

1

0

0

15

0

4

3

0

0

1

0

24

0

2

3

0

0

0

1

30

1

-20

-10

0

0

0

0

0

Page 21



tableau final

H

x

y

z

t

u

v

0

0

0

1

2

-2

0

6

0

1

0

0

3/5

-1/5

0

21/5

0

0

1

0

-4/5

3/5

0

12/5

0

0

0

0

6/5

-7/5

1

72/5

1

0

0

0

4

2

0

108

a) quel programme ces tableaux sont-ils censés résoudre ?(forme canonique et forme initiale) b) quelle est la solution de ce programme ?

c) utiliser le graphique suivant pour résoudre ce programme par la méthode graphique.

y

16

3x + y = 15

14 12

2x + 4y = 24

10 8

4x + 3y = 24

6 2x + 3y = 30

4 2 0

x 0

6

12

18

d) on envisage maintenant de modifier la fonction de coût : les paramètres de coût sont remplacés par H = 25x + 15y

donnez la nouvelle solution de ce programme en utilisant d'une part la technique des tableaux, d'autre part la technique (l'astuce ! ) vue dans la leçon 2.

Page 22



Séance d’exercices dirigés Leçon 6 Vous trouverez ci-aprés 5 couples de tableaux : les tableuax initiaux et finaux obtenus en adoptant l'algorithme du simplex. On demande pour chacun de ces couples : a) donnez le programme de maximisation associé b) donnez son programme dual c) donnez la solution du programme intial et du programme dual. exercice 1

A 0 0 0 1

A 0 0 0 1

q 2 3 4 -21

q 0 0 1 0

r 3 4 2 -24

r 1 0 0 0

s 6 2 6 -32

s 3/2 -25/4 3/4 79/4

tableau initial 1 t u v 7 1 0 5 0 1 3 0 0 -18 0 0

w 0 0 1 0

21 43 17 0

tableau final 1 t u v w 11/4 1/2 0 -1/4 25/4 -33/8 -5/4 1 -1/8 117/8 -5/8 -1/4 0 3/8 9/8 279/8 27/4 0 15/8 1389/8

exercice 2

Z 0 0 0 1

Z 0 0 0 1

a 3 -8 2 -12

a 0 0 1 0

b -12 5 4 -15

b 0 1 0 0

c 45 32 16 -4

tableau initial 2 d e f 24 1 0 15 0 1 15 0 0 -9 0 0

c 241/2 -7/6 31/3 205/2

tableau final 2 d e f 307/4 7/6 1 -1/12 -1/18 0 23/3 1/9 0 327/4 1/2 0

Page 23

g 0 0 1 0

15 26 32 0

g 9/4 231/2 1/12 11/6 1/3 37/3 21/4 351/2



exercice 3

Q 0 0 1

Q 0 0 1

u1 4 3 -24

u1 9/14 1/14 60/7

u2 5 2 -20

tableau initial 3 u3 u4 u5 2 6 1 6 4 0 -24 -48 0

u2 13/14 -2/7 124/7

u3 0 1 0

tableau final 3 u4 u5 1 3/14 0 -1/7 0 48/7

u6 0 1 0

12 18 0

u6 -1/14 3/14 12/7

9/7 15/7 792/7

exercice 4

H 0 0 1

H 0 0 1

x1 2 4 -16

x1 -2/3 4/3 56/3

x2 3 5 -30

tableau initial 4 x4 x5 7 5 2 4 -28 -40

x3 5 3 -30

x2 x3 -13/18 5/18 29/18 11/18 128/9 20/9

u 1 0 0

tableau final 4 x4 x5 u 1 0 2/9 0 1 -1/9 0 0 16/9

v 0 1 0

18 14 0

v -5/18 1/9 7/18 31/9 70/9 1268/9

exercice 5

M 0 0 0 0 1

M 0 0 0 0 1

x 4 3 2 5 -12

x 0 0 0 1 0

y 5 7 8 4 -20

y 0 0 1 0 0

tableau initial 5 z1 z2 z3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

z1 1 0 0 0 0

z4 0 0 0 1 0

tableau final 5 z2 z3 z4 0 -9/32 -11/16 1 -23/32 -5/16 0 5/32 -1/16 0 -1/8 1/4 0 13/8 7/4

Page 24

20 21 20 18 0

5/8 3/8 15/8 5/2 135/2

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