Cál cul o de Reator es 2 – UNAE U NAE RP - Prof. Prof. Mur ilo D.M. I nnoc nnoce entini
UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO – UNAERP CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Cálculo de Reatores 2 Apostila Teórica 1
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - REGRA DE SIMPSON APLICADA A REATORES QUÍMICOS
Prof. Dr. Murilo Daniel de Mello Innocentini http://lattes.cnpq.br/5681181471077426 http://lattes.cnpq.br/568118147107742 6
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Ribeirão Preto – SP Agosto de 2015 1
Cálcul o de Reator es 2 – U NAE RP - Prof. Mur ilo D.M. I nnocentini
1.1. INTRODUÇÃO
Existem diversas situações na Engenharia Química nas quais a resolução de um problema passa pelo cálculo da integral de uma função complexa, cuja resposta algébrica não pode ser obtida facilmente. É comum também o caso em que uma curva é obtida experimentalmente em laboratório, e, embora não se conheça a equação geradora, deseja-se obter a área limitada pela curva e pelo eixo x. Nesses casos, uma das alternativas é a utilização de métodos numéricos para o cálculo da integral. Dentre os métodos para a resolução numérica de uma integral, o método de Simpson tem a vantagem de ser simples e de dar resultados mais precisos do que outros métodos. O princípio do método consiste em dividir o intervalo de x, no qual se quer fazer a integração, em um certo número de intervalos, e, em cada um deles, assimilar a curva real a uma parábola do segundo ou do terceiro grau, da qual serão obtidos os coeficientes. Calcula-se, assim, facilmente a área compreendida entre cada um desses intervalos e o eixo x. A soma das áreas individuais de cada trecho dará a área total (integral) da função desejada. Embora as demonstrações não sejam realizadas aqui, sugere-se a leitura de material didático específico para a compreensão do método (livros de cálculo numérico, Thomas, Cálculo, p. 415; Manual do Engenheiro Globo, volume 1, tomo 2, p.83).
1.2. REGRA GERAL DE SIMPSON f(x) Integral área A1 A 2 A n 1 A n
f(x1)
f(x2)
f(xo)
f(xn-2) f(xn-1)
A1
xo x
Área n f (x) dx xo
A2
x1
A3
x2
An-2 An-1
. . . .
xn-2
f(xn)
An
xn-1
xn
x
h f(x o ) 4f (x 1 ) 2f (x 2 ) 2f (x n2 ) 4f (x n1 ) f (x n ) (1.1) 3 2
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sendo:
h
xn x o ; x i x o ih para i = 1 a n n
1.3. REGRA DE SIMPSON DE 3 PONTOS
f(x) f(x1)
Integral área A1 A 2
f(xo) f(x2) A1
A2
x xo
x1
x h Área 2 f (x) dx f(x o ) 4f (x1) f (x 2 ) xo 3
x2
(1.3)
sendo:
h
x2 xo ; x1 x o h ; x 2 x o 2h 2
3
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1.4. REGRA DE SIMPSON DE 5 PONTOS
f(x) Integral área A1 A2 A3 A4
f(x2)
f(x1) f(xo)
f(x3) f(x4)
A1
A2
A3
A4
x xo
x
Área 4 f (x) dx xo
x1
x2
x3
x4
h f(x o ) 4f (x 1 ) 2f (x 2 ) 4f (x 3 ) f (x 4 ) 3
(1.4)
sendo:
h
x4 xo ; x 1 x o h ; x 2 x o 2h ; x 3 x o 3h ; x 4 x o 4h 4
1.5. EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcule a integral da função
f (x) log10 (x) para x entre 1 e 2, usando a Regra de Simpson (3
e 5 pontos). Compare com a solução analítica.
Resolução:
xn
x o
f ( x ) dx
2
1 log10 (x) dx
- Pela Regra de Simpson de 3 pontos: 4
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xn
xo
h
log10 (x) dx
x2 xo 2
h log10 (x o ) 4 log10 (x 1) log10 (x 2 ) 3
h
2 1 h = 0,5 2
Logo:
x o x o 0h x 1 1,0 x 1 x o h x 1 1 0,5 x 1 1,5 x 2 x o 2h x 2 1 2(0,5) x 1 2 Preparando tabela:
Ponto
x
log(x)
xo
1,0
0,0000
x1
1,5
0,1761
x2
2,0
0,3010
Logo:
x2
xo
x2
xo
log10 (x) dx
0,5 log10 (1,0) 4 log10 (1,5) log10 (2,0) 3
log10 (x) dx
0,5 0 4(0,1761) 0,3010 3
2
1 log10 (x) dx 0,16757
- Pela Regra de Simpson de 5 pontos:
x4
h
xo log10 (x) dx 3 log10 (x o ) 4 log10 (x 1) 2 log10 (x 2 ) 4 log10 (x 3 ) log10 (x 4 )
5
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h
x4 xo 4
h
2 1 h = 0,25 4
Logo:
x o x o 0h x 1 1,0 x 1 x o h x 1 1 0,25 x 1 1,25 x 2 x o 2h x 2 1 2(0,25) x 1 1,50 x 3 x o 3h x 3 1 3(0,25) x 1 1,75 x 4 x o 4h x 4 1 4(0,25) x 1 2,00 Preparando tabela:
Ponto
x
log(x)
xo
1,00
0,0000
x1
1,25
0,0969
x2
1,50
0,1761
x3
1,75
0,2430
x4
2,00
0,3010
Logo: x4
xo
x4
xo
log10 (x) dx
h log10 (1,0) 4 log10 (1,25) 2 log10 (1,5) 4 log10 (1,75) log10 (2,0) 3
log10 (x) dx
0,25 0 4(0,0969) 2(0,1761) 4(0,2430) 0,3010 3
2
1 log10 (x) dx 0,16775 Comparando com a solução analítica:
2
log10 (x) dx log10 (e)x ln( x ) x log10 (x) dx log10 (e)2ln(2) - 2 1ln(1) 1 1
6
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2
1 log10 (x) dx 0,16777
Erro em relação à fórmula de 3 pontos: Erro(%)
0,16777 0,16757 Erro(%) 0,12% 0,16777
Erro em relação à fórmula de 5 pontos: Erro(%)
0,16777 0,16775 Erro(%) 0,009% 0,16777
2) Determine pela regra de Simpson de 5 pontos o valor da integral da função:
f (x)
1 , x(x 1)
para x entre 10 e 2. Compare com a solução analítica.
Resolução:
x4
xo
1 dx 10 x(x 1)
f (x )dx
2
- Pela Regra de Simpson de 5 pontos:
1 h 1 1 1 1 1 dx 4 2 4 xo x(x - 1) 3 x o (x o - 1) x 1(x 1 - 1) x 2 (x 2 - 1) x 3 (x 3 - 1) x 4 (x 4 - 1) x4
h
x4 xo 4
h
2 10 h = - 2,0 4
Logo:
x o x o 0h x 1 10 x 1 x o h x 1 10 2 x 1
8,0
x 2 x o 2h x 2 10 2(2,0) x 2 6,0 7
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x 3 x o 3h x 3 10 3(2,0) x 3 4,0 x 4 x o 4h x 4 10 4(2,0) x 4 2,0 Preparando tabela:
1
Ponto
x
x(x 1)
xo
10,0
0,01111
x1
8,0
0,01786
x2
6,0
0,03333
x3
4,0
0,08333
x4
2,0
0,50000
Logo:
1 2 0,01111 4(0,01786) 2(0,03333) 4(0,08333) 0,5 dx 10 x(x - 1) 3 2
1 10 x(x - 1) dx 0,65503 2
Solução analítica:
1 x dx ln x(x - 1) x 1
1 10 x(x - 1) dx 0,58779 2
1 2 10 dx ln ln 10 x(x - 1) 2 1 10 1 2
Erro = 11,4%
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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Determine o tempo de residência em um reator de fluxo pistonado (PFR) para as reações químicas e condições operacionais apresentadas abaixo. Sempre que possível, compare com a solução analítica.
a) reação: A B, com (r A ) k 3C A 3 , k3 = 0.5 L2.mol-2min-1, CAo = 2 M e x A = 60%.
b) reação: A + B
C,
com (r A ) k 2 C A C B , com k2 = 1.0 L2.mol-1min-1, CAo = 1 M, CBo = 3 M e
xA = 70%.
c) reação: A + 2B C, com (r A ) k 3C A C B 2 , com k3 = 0.1 L 2.mol-2min-1, CAo = 2 M, CBo = 5M e xB = 50%.
d) reação: A + B 1,
C + D, com (r A ) k d C A C B k i C C C D , com kd = 0.26 L.mol-1min-
ki =0.13 L.mol-1min-1, CAo = 1 M, CBo = 1 M, CCo = CDo= 0 e xA = 40%.
2) Considere a reação irreversível elementar em fase líquida 2A + B
C,
com constante de
velocidade de 0,08 L 2.mol-2.min-1. Dimensione o volume de um reator de fluxo pistonado para produzir 1000 L/min do produto C em concentração de 2 M. Considere que as concentrações dos reagentes A e B na alimentação sejam respectivamente de 5 M e 3 M. Utilize o método de Simpson de 5 pontos.
3) Uma enzima catalisa a fermentação do reagente A no produto R conforme a reação abaixo: A
Enzima
R
(-r A )
0,1C A mol 1 0,5 C A litro min
(a) Encontre o volume necessário do reator de fluxo pistonado para converter 95% do reagente, considerando uma corrente de alimentação de 25 L/min em fase líquida contendo enzima e o reagente A em concentração de 2 mol/L.
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4) Um reator de fluxo pistonado (2 m 3) processa uma alimentação aquosa (100 L/min), contendo o reagente A (C Ao = 0,1 M). A reação é reversível e representada por: A R para a qual: (-r A ) 0,04 C A - 0,01 C R
mol litro min
Qual a conversão na saída do reator?
5) Uma reação reversível de ordem 3, tipo A + 3B
3C
+ D tem sua equação de velocidade
representada a 45°C por: (-r A) = kdCA2CB – k iCCCD2, com kd = 0.3 L2.mol-2.min-1 e ki = 0.05 L2.mol2.min-1.
Qual deverá ser o tempo de residência em um reator PFR, alimentado com reagentes A
e B puros, em proporção estequiométrica, C Ao = 1 M e C Bo = 3 M, para que a conversão do reagente A atinja 45%?
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