Regla de Simpson
La función
(azul) es aproximada por una función cuadrática
(rojo).
En análisis numérico, numérico, la regla o método de Simpson, nombrada así en honor ahomas ahomas !impson (" !impson (" a #eces llamada re$la de %epler ), ), es un método de inte$ración numérica para numérica para obtener el #alor aproximado de inte$rales definidas definidas&& específicamente es la aproximación'
comparación comparación de la re$la del trapecio, trapecio, esté método de inte$ración resulta ser mas exacto, "a ue se utilizan polinomios de se$undo o tercer $rado para su aproximación.
Índice *ocultar + •
-ntr -ntroducc oducción ión
•
/is /isto toria ria
•
0 1e$la de !imp !impson son 20 !imple o
0. 3álculo del error 4 1e$la de !impson 20 3ompuesta
•
o
4. 3álculo del error 5 1e$la de !imp !impson son 026 !imple
•
o
5. 3álculo del error 7 1e$la de !impson 026 3ompuesta
•
o
7. 3álculo del error
•
8 9éas 9éase e tambi también én
•
6 1efe 1eferenci rencias as
•
: Enlaces externos
Introducción*editar + En inte$ración numérica, una forma de aproximar una inte$ral definida en un inter#alo
es mediante la re$la del trapecio, es decir, ue sobre cada
subinter#alo en el ue se di#ide se aproxima una función por un polinomio de primer $rado, para lue$o calcular la inte$ral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subinter#alos . El método utilizado para la re$la de !impson si$ue la misma idea, pero aproximando los subinter#alos de mediante polinomios de se$undo $rado para la re$la de 20 " polinomios de tercer $rado para la re$la de 026.
Historia*editar + La fórmula fue utilizada por primera #ez por E#an$elista orricelli, pero debe su nombre al matemático -n$lés homas !impson. 3orresponde a la re$la del tonel ue ;ohannes %epler "a había formulado en 75. !obre la historia de su sur$imiento, %epler la describe en la dedicatoria de su publicación posterior.
en Linz, donde ahora trabajaba> en 70. =ara la boda compró al$unos toneles de #ino. =uesto "a el #ino en la bode$a, el #endedor concurrió con una #ara de medir " determinó el contenido para todos los barriles sin calcular, utilizando un mismo método, consistente en introducir la punta de metal de la #ara de medir a tra#és de la piuera, en dia$onal hacia los bordes de ambos fondos, la marca en la piuera arrojaba la medida del #olumen del contenido. %epler se sorprendió con auello de ue una dia$onal a tra#és del medio del barril pudiera dar una medida sobre el #olumen contenido " puso en duda la exactitud de este método, debido a ue, por ejemplo, un barril mu" bajo ue tu#iera una base al$o más ancha " por eso un #olumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la #ista. raíz de esto, %epler formuló en 75 el escrito Nova Stereometria doliorum vinariorum (?@ue#o cálculo del contenido de barriles de #ino?), en el ue buscaba métodos #erificables para el cálculo del contenido de los toneles de #ino. Ano de estos métodos consistió en aproximar la cur#atura del barril por una parábola, dado ue los cálculos con a"uda de parábolas "a se podían realizar mu" exactamente desde ruímedes. Entre otras cosas, %epler describió en ese texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del #olumen) de barriles de #ino con formas irre$ulares. Esta fórmula arroja #alores exactos para el tronco de la pirámide (incluida la pirámide), la esfera, el paraboloide elíptico, el hiperboloide de una hoja " todas las demás superficies de un cuerpo ue pueden ser $eneradas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo.
Regla de Simpson 1/3 Simple *editar +
cuadráticas, consideramos el polinomio interpolante de se$undo orden aproxima la inte$ral " además tomando en cuenta ue tenemos ue la expresión de ese polinomio interpolante expresado a tra#és de la interpolación polinómica de La$ran$e es'
, ue ,
sí, la inte$ral buscada es eui#alente a'
!e conoce como la re$la de !impsons 20 porue en la ecuación resultante esta di#idida por 0.
Cálculo del error *editar + l ser una estimación de la respuesta #erdadera, esta re$la tiene un mar$en de error ue #iene dado por'
donde es un #alor perteneciente al inter#alo #alor medio.
, $eneralmente el
=odemos notar ue para el cálculo del error es necesario obtener la cuarta deri#ada de la función, pero, si la función fuera un polinomio de tercer $rado esta deri#ada sería B, entonces el error también sería del BC, por lo tanto la regla de Simpsons obtiene la integral exacta para polinomios de tercer grado.
Regla de Simpson 1/3 Compuesta *editar + En el caso de ue el inter#alo no sea lo suficientemente peueDo, el error al calcular la inte$ral puede ser mu" $rande. =ara ello, se recurre a la fórmula compuesta de !impson o de se$mentos mltiples, ue consiste en di#idir el inter#alo manera ue por'
en
subinter#alos i$uales (con
par), de
. Entonces la re$la compuesta #iene dada
F en su forma $eneral'
Cálculo del error *editar +
se debe encontrar dentro del inter#alo
.
Regla de Simpson 3/8 Simple *editar +
Esta forma es mu" similar a la re$la de !impson de 20, pero se usa polinomios de La$ran$e de tercer orden. !e tiene en consideración ue ahora si$uiente re$la'
se define la
Cálculo del error *editar + El error al usar la re$la de !impson de 026 se puede obtener usando'
donde
se encuentra dentro del inter#alo
.
Regla de Simpson 3/8 Compuesta*editar + Es mas exacto ue la 1e$la de !impson 026 !imple, "a ue di#ide el inter#alo de inte$ración en subinter#alos. !e expresa de la si$uiente forma'
F de la si$uiente manera, tomando donde es el nmero de subinter#alos, con la condición de ue sean mltiplo de 0 " ue en cada sumatoria se tomen los #alores de .
Cálculo del error *editar + !e obtiene la cuarta deri#ada de la función " tomando en cuenta ue debe pertenecer al inter#alo de inte$ración, se aplica la si$uiente fórmula'
Véase también