G E M
K O S Á D L O
Részletes megoldások
Részletes megoldások Póda László és Urbán János
Fizika 10. című tankönyvéhez
R.sz.: RE 16205
1
Részletes megoldások Póda László és Urbán János
Fizika 10. című tankönyvéhez
R.sz.: RE 16205
1
Tartalomjegyzék:
1. lecke 2. lecke 3. lecke 5. lecke 6. lecke 7. lecke 8. lecke 9. lecke 10. lecke 11. lecke 12. lecke 13. lecke 14. lecke 16. lecke 18. lecke 19. lecke 20. lecke 21. lecke 22. lecke 23. lecke 24. lecke 25. lecke 26. lecke 27. lecke 28. lecke
A hőmérséklet és a hőmennyiség A szilárd testek hőtágulása A folyadékok hőtágulása A gázok állapotváltozása állandó h őmérsékleten Gázok állapotváltozása állandó nyomáson Gázok állapotváltozása állandó térfogaton Egyesített gáztörvény, az ideális gáz állapotegyenlete Kinetikus gázelmélet, a gáz nyomása és hőmérséklete A gázok belső energiája. A hőtan I. f őtétele A termodinamikai folyamatok energetikai vizsgálata A hőtan II. f őtétele Olvadás, fagyás Párolgás, forrás, lecsapódás Kalorimetria Az elektromos állapot Coulomb törvénye Az elektromos mező Az elektromos erővonalak Az elektromos mező munkája, a feszültség A vezetők az elektrosztatikus térben. Kapacitás, kondenzátorok Az elektromos áram, az áramerősség, az egyenáram Az elektromos ellenállás, Ohm törvénye Az áram hő-, és élettani hatása Fogyasztók kapcsolása A vezetők az elektrosztatikus térben. Kapacitás, kondenzátorok
2
A hőmérséklet és a hőmennyiség
1. lecke
Hogyan befolyásolja a hőmér ő tömege és hőmérséklete az 1 dl víz hőmérsékletének mérését? 1.
Attól függ, hogy mekkora a tömege és h őmérséklete a hőmér őnek. Mivel az 1 dl víz tömege viszonylag kicsi egy nagy tömeg ű hőmér ő, amelynek a hőmérséklete is nagyon eltér a víz hőmérsékletétől teljesen hibás mérést eredményez. Megoldás:
2.
A Celsius-skála és a Kelvin-skála közötti összefüggés: T(K) = T(0C) + 273 a) 41 0C ; (- 23 0C) ; 128 0C hőmérséklet, hány K? b) 236 K ; 418 K hőmérséklet, hány 0C? c) Hány fok volt a fotók készítésekor?
Megoldás: Alkalmazzuk: T(K) = T( 0
0
C) + 273 !
a) 41 C = 314 K (-23 0C) = 250 K b) 236 K = (-37 0C) 418 K = 145 0C c) A felső fotón: 32 0C = 90 0F, az alsó fotón: -20C = 29 0F. 3.
A Réaumur-skála és a Celsius-skála közötti összefüggés: x 0C = 0,8⋅x 0R. a) 30 0C hőmérséklet, hány 0R? b) 150 0R hőmérséklet, hány 0C? c) A fotón látható hőmér őn melyik beosztás a Cesius- és melyik a Réaumur-skála?
Megoldás: Alkalmazzuk: x
0
C = 0,8⋅x 0R.
a) 30 0C = 24 0R b) 150 0R = 187,5 0C c) A bal oldalon van a Réaumur-, jobb oldalon a Celsius-skála. 4.
A Fahrenheit-skála és a Celsius-skála közötti összefüggés: x 0C = (1,8⋅x + 32) 0F. a) Hány 0F a 20 0C hőmérséklet? b) Hány 0C a 180 0F hőmérséklet?
Megoldás: Alkalmazzuk: x
0
C = (1,8⋅x + 32) 0F.
a) 20 0C = ( 20⋅1,8 + 32 ) = 68 0F b) 180 0F = (180 − 32) :1,8 = 82,2 0C
3
2. lecke
A szilárd testek hőtágulása
Egy alumíniumból készült elektromos távvezeték hossza 80 km. 20 0C volt a hőmérséklet, amikor építették. Milyen hosszú lesz nyáron 42 0C hőmérsékleten, illetve télen −20 0C-on? 1 -5 (α = 2,4⋅10 K ) 1.
Megoldás:
l0 = 80 km = 80000 m 1 -5 0 α = 2,4·10 C l42 = ? l(-20) = ? Alkalmazzuk az ℓ0 = ℓ0 (1 + α ⋅ ∆T ) összefüggést! l42 = l0⋅( 1 + α⋅ΔT) = 80004,2 m l(-20) = = l0⋅( 1 + α⋅ΔT) = 79923,2m Nyáron a vezeték 80004,2 m, télen 79923,2 m hosszú lesz.
Az Eiffel torony 320 m magas 20 0C hőmérsékleten. Szegecseléssel úgy szerelték össze, hogy még 32 cm magasságnövekedést is kibír. Mekkora h őmérséklet-változást tervezett Eiffel 1 -5 mérnök? (α = 1,17⋅10 K ) 2.
Megoldás:
l0 = 320 m Δl = 32 cm = 0,32 m 1 -5 0 α = 1,17·10 C
ΔT = ? Alkalmazzuk a Δl = l0⋅α⋅ΔT összefüggést! Fejezzük ki a ΔT-t, majd az ismert adatokat helyettesítsük be: Δl 0,32m ΔT = = = 85,47 0 C −5 l 0 ⋅ α 1 320m ⋅ 1,17 ⋅ 10 0 C
A tervezett hőmérséklet-változás 85,47 0C.
4
3. Télen a raktárban tárolt rézcsövek sűr űsége 0
kg
0
C hőmérsékleten 8920 3 . Mennyi lesz a m 1 sűr űségük, ha 250 0C-ra melegítjük a csöveket? (α = 1,6⋅10-5 K ) Megoldás:
= 8920
ρ 0
kg m3
ΔT = 250 0C 1 -5 α = 1,6·10 K -5
1
β = 3·α = 4,8·10 K ρ 250 ρ 0
=
=? m V 0
és ρ 250 =
m V 250
Osszuk el egymással a két egyenletet! Alkalmazzuk a V = V0 (1 + β ⋅ ∆T) összefüggést! ρ 250 ρ 0
=
V 0
=
V 250
V 0 V 0 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT )
Fejezzük ki ρ250-t, majd helyettesítsük be az ismert mennyiségeket! ρ 250
=
8920
ρ 0
1 + β ⋅ ΔT
= 1 + 4,8 ⋅ 10
A csövek sűr űsége 8814
kg m3
−5
kg m3
1 0
C
= 8814 ⋅ 250
0
C
kg m3
lesz.
4. Nyáron nagy melegben a villamos-, illetve vasúti sínek hőtágulás következtében. Vízzel kell hűteni a sínszálakat,
elhajlanak, felpúposodnak a hogy ne történjen baleset. 0 Hajnalban 12 C-on pontosan 1,4 km hosszú volt a sínszál. Mekkora volt az acélsín hőmérséklete a nap legmelegebb órájában, amikor 1400,5 méter hosszúnak mérték a 1 -5 sínszálat? (α = 1,17⋅10 K ) Megoldás:
l0=1400 m lT=1400,5 m T1=12 0C -5
α = 1,17⋅10
1 K
T2 = ? 5
Számítsuk ki a Δl-t! Δl = 14000,5m – 1400m = 0,5 m Alkalmazzuk a Δl = l0⋅α⋅ΔT összefüggést! Fejezzük ki a ΔT-t, helyettesítsük be az ismert 0,5m Δl adatokat. ΔT = = 30,50 C = 1 l 0 ⋅ α 1,17 ⋅ 10 −5 ⋅ 1400m 0
0
C
A nap legmelegebb órájában 42,5 C volt a hőmérséklet.
Építkezésnél használt gerenda hosszúságának megváltozása 60 0C hőmérséklet-változás hatására 0,078 % lesz. Mekkora anyagának a h őtágulási együtthatója? Milyen anyagból készülhetett a gerenda? ( Használjunk a Négyjegyű függvénytáblázatokat!) 5.
Megoldás:
ΔT = 60 0C 0,078 Δl = l0· 100 α=? Alkalmazzuk a Δl = l0⋅α⋅ΔT összefüggést! Δl
0,078 100 l 0 Fejezzük ki az α-t, majd helyettesítsük be az ismert mennyiségeket! 1 0,078 -5 0 = 1,3⋅10 C α = 0 100 ⋅ 60 C
= α ⋅ ΔT =
A gerenda betonból készült.
6. Gépelemek egymáshoz való rögzítésénél mélyh űtéses eljárást is alkalmaznak. Az eljárás lényege az, hogy a szegecsek átmér ő je kicsit nagyobb, mint a furatoké. A szegecseket ezért le kell hűteni, hogy illeszthetők legyenek a furatokba. Egy acélszegecs átmér ő je 22 0C-on 80 mm. Minimum hány 0C-ra kell lehűteni, ha 79,8 mm átmér ő jű furatba kell belehelyezni? -5
1
(α = 1,2⋅10 K ) Megoldás:
T1 = 22 0C d1 = 80 mm = 0,08 m d2 = 79,8 mm = 0,0798 m 1 -5 α = 1,2·10 0 C
6
T2 = ? A szegecs az átmér ő je mentén lineárisan tágul! Alkalmazzuk az lt = l0⋅( 1 + α⋅ΔT) összefüggést! Helyettesítsük be az ismert mennyiségeket! 1 -5 0 79,8 mm = 80 mm ⋅ ( 1 + 1,2⋅10 C ⋅ΔT) Számítsuk ki a ΔT értékét! ΔT = − 208,3 0C
ΔT = T2 − T1 összefüggésből: T2 = − 186,3 0C A szegecset −186,3 0C-ra kell lehűteni.
7
A folyadékok hőtágulása
3. lecke
A gyógyszertár raktárában 10 0C-on 2 liter glicerint öntöttek egy tartályba. Mekkora lesz a glicerin térfogata a 22 0C-os laboratóriumban? Ne vegyük figyelembe a tartály térfogatának megváltozását! 1.
Megoldás:
T1 = 10 0C T2 = 22 0C V0 = 2 liter -4
β = 5⋅ 10
1
0
C
V=?
Alkalmazzuk a V = V0 (1 + β ⋅ ∆T) összefüggést! 1 -4 0 V = V0 ⋅ (1+ β ⋅ ΔT) = 2 l·( 1 + 5⋅ 10 0 C ·12 C) = 2,012 l A glicerin térfogata 2,012 liter lesz.
Üvegpalackba 24 0C-os hőmérsékleten benzint töltünk. Mekkora h őmérsékleten lesz a térfogata 3 %-kal kisebb? Az üveg hőtágulását ne vegyük figyelembe! 2.
Megoldás:
T1= 24 0C Használjuk a V = V0 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT) összefüggést. V1 = 0,97 V0 Helyettesítsük be az adatokat. 1 -3 β = 1 ⋅ 10 0 C 0,97 ⋅ V0 = V0⋅ (1 + β ⋅ ΔT) β ⋅ ΔT = - 0,03 1 -3 1 ⋅ 10 0 C ⋅ ΔT = 0,03
ΔT = -300C T2 = ? A ΔT ismeretében a T2 könnyen kiszámítható: T2 = 24 0C – 30 0C = (-6) 0C A benzin hőmérséklete -6 0C-on lesz 3%-kal kisebb.
8
3. Ismeretlen folyadék hőtágulási együtthatóját szeretnénk meghatározni. Ezért az anyagból 200 ml-t töltünk 5 0C hőmérsékleten egy mér őhengerbe.
Ha 40 0C – ra melegítjük, a térfogata 210 ml lesz. Számítsuk ki, hogy mekkora a folyadék hőtágulási együtthatója! A mér őhenger hőtágulását ne vegyük figyelembe! Keressük meg a folyadék nevét a Négyjegyű függvénytáblázatok segítségével! Megoldás:
V0 = 200 ml T1 = 5 0C T2 = 40 0C β=? Alkalmazzuk a V = V0 (1 + β ⋅ ∆T) összefüggést! Helyettesítsük be az ismert adatokat! 210 ml = 200 ml (1 + β ⋅ 350C) -3
a β az egyenlet rendezése után: β = 1,428 ⋅ 10
1 0
C
A folyadék az aceton.
4. A Fertő - tó átlagos vízmélységét tekintsük 2,5 m-nek. Jelent ősen változik-e a vízszintje, ha a napi hőmérséklet - ingadozás 6 0C? Megoldás:
h = 2,5 m ΔT = 6 0C Δh = ? Alkalmazzuk a ΔV = β ⋅ V0 ⋅ ΔT képletet! Jelöljük A-val tó felületét! Térfogata: V0 = A ⋅ h ΔV = A ⋅ Δh 1 -4 β = 1,3 ⋅ 10 0 C A ⋅ Δh = β ⋅ A·h⋅ ΔT 1 -4 Δh = 1,3 ⋅ 10 0 C ⋅ 2,5 m ⋅6 0C
Δh = 1,95·10-3 m A vízszint ingadozása 1,95 mm, amely nem tekinthető jelentősnek.
9
5.
A tanulók kémia órán a sósav s űr űségét 18 0C-on 1190
sűr űsége 80 0C-on? Megoldás:
T1 = 18 0C T2 = 80 0C
ρ1 = 1190 β = 3 ⋅ 10
kg m3
-4
1
0
C
ρ2 =? Alkalmazzuk a V2 = V1 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT) összefüggést! A sűr űség kiszámítása: ρ =
m
⇒ V=
V
m ρ
Táguláskor a sósav tömege nem változik. m = ρ1·V1 = ρ2·V2 = ρ2· V1 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT) Fejezzük ki ρ2-t! Helyettesítsük be az ismert adatokat!
ρ2 =
ρ 1
1190
=
kg m3
1 + β ⋅ ΔT 1 + 3 ⋅ 10 −4 1 ⋅ 62 0 C 0
A sósav sűr űsége 1168,27
= 1168,27
C kg
m3
lesz.
10
kg m3
kg m3
-nek mérték. Mekkora lesz a
5. lecke
A gázok állapotváltozása állandó hőmérsékleten
Kompresszor 100 m3 normál nyomású levegőt ( 100 kPa ) 8 m 3-es tartályba sűrít. Mekkora a nyomás a tartályban, ha a h őmérsékletet állandónak tekintjük? 1.
Megoldás:
V1 = 100 m3 V2 = 8 m3 T = állandó, izoterm állapotváltozás. p1 = 100 kPa p2 = ? Alkalmazzuk a p2 V2 = p1 V1 összefüggést! Fejezzük ki a p 2 –t! p1 ⋅ V 1 100 kPa ⋅ 100 m 3 = = 1250 kPa p2 = V 2 8 m3 A tartályban 1250 kPa a nyomás. Orvosi fecskendő dugattyúját a 20 cm3-es jelhez állítottuk. A végét gumidugóval lezárjuk. A dugattyú lassú lenyomásával a térfogatot 5 cm 3-re nyomjuk össze. A kezdeti nyomást vegyük 100 kPa-nak. Ábrázoljuk a folyamatot nyomás – térfogat grafikonon, ha a hőmérséklete nem változik! 2.
Megoldás:
V1 = 20 cm3 V2 = 5 cm3 T = állandó, izoterm állapotváltozás. p1 = 100 kPa p2 = ? Az ábrázoláshoz számítsuk ki a p 2 –t! Alkalmazzuk a p2 V2 = p1 V1 összefüggést! p1 ⋅ V1 100 kPa ⋅ 20 cm 3 = p2 = = 400 kPa V2 5 cm 3
11
3. Nyomásmér ővel ellátott autóspumpában 500 cm
3
levegő van. Pumpáláskor a szelep 180 kPa nyomásnál nyit. Mekkora ebben az esetben a pumpában lev ő levegő térfogata? ( A hőmérséklet legyen állandó, a kezdeti nyomás 100 kPa.) Megoldás:
T = állandó, izoterm állapotváltozás. V1 = 500 cm3 p1 = 100 kPa p2 = 180 kPa V2 = ? Alkalmazzuk a p2 V2 = p1 V1 összefüggést! Fejezzük ki a V2-t! Helyettesítsük be az ismert adatokat! p1 ⋅ V 1 100 kPa ⋅ 500 cm 3 = V2 = = 277,78 cm3 180 kPa p 2 A pumpában lévő levegő térfogata 277,78 cm3. Orvosi fecskendőt gumicsővel nyomásmér őhöz csatlakoztatunk. A dugattyú kihúzásával a levegő térfogatát 20 %-kal megnöveljük. Hány %-kal csökken, vagy n ő a nyomása, ha a hőmérséklet állandó? 4.
Megoldás:
T = állandó, izoterm állapotváltozás. V2 =1,2 V1 p2 = ? Alkalmazzuk a p2 V2 = p1 V1 összefüggést! Fejezzük ki a p 2 –t! p ⋅ V p2 = 1 1 = 0,83 ⋅ p1 V 2
A nyomás 17 %-kal csökken. Egyik végén zárt, 35 cm 2 keresztmetszetű hengerben könnyen mozgó dugattyú 40 cm hosszú 100 kPa nyomású leveg őoszlopot zár be. A dugattyúra ható 120 N er ővel lassan, állandó hőmérsékleten összenyomjuk a leveg őt. Milyen hosszú lesz a leveg őoszlop? 5.
Megoldás:
A = 35 cm2 l = 40 cm F = 120 N p1 = 100 kPa Izoterm állapotváltozás. l2 = ? Először a dugattyú által létrehozott nyomást számítjuk ki:
12
p =
F
= 34,28 kPa
p2 = 134,28 kPa Alkalmazzuk a p2 V2 = p1 V1 összefüggést! A térfogatot V = A·l –lel számítjuk: p2 A ⋅ l2 = p1 A ⋅ l1 Fejezzük ki az l2 –t, helyettesítsük be az ismert adatokat! p ⋅ l 100 kPa ⋅ 40 cm l2 = 1 1 = = 29,79 cm 134,28 kPa p 2 A levegőoszlop 29,79 cm hosszú.
13
6. lecke
Gázok állapotváltozása állandó nyomáson
1. Egy szoba vagy tanterem f űtésekor a levegő hőmérséklete emelkedik, a térfogata n ő. A „plusz” térfogat (térfogatváltozás) a nyílászárókon távozik a helyiségből. A szoba alapterülete 5 m x 6 m, magassága 3 m. Mekkora térfogatú leveg ő távozott a
szabadba, ha 10 0C-ról 22 0C-ra melegítettük? Megoldás:
p = állandó, izobár állapotváltozás. T1 = 10 0C → T1 = 283 K T2 = 22 0C → T2 = 295 K V1 = 5 m x 6 m x 3 m = 90 m 3 ΔV = ? Alkalmazzuk a
V 2 T 2
=
V 1 T 1
Fejezzük ki a V2-t: V2 =
összefüggést! V 1 ⋅ T 2 T 1
90m 3 ⋅ 295 K = = 93,8 m3 283 K
ΔV = V2 - V1 = 3,8 m3 3,8 m3 levegő távozott a szobából.
A félig megtöltött műanyag palack a h űtőszekrényben behorpad. A jelenség magyarázata, hogy a palackban lévő levegő lehűl, a nyomása csökken. Mivel a palack nem szilárd anyagból készült, ezért a küls ő, nagyobb nyomás behorpasztja. A 20 0C-os raktárban 25 literes, műanyagból készült palackokat tároltak. Télen szállításkor azt tapasztalták, hogy behorpadtak és térfogatuk 10 % - kal csökkent. Mekkora volt a h őmérséklet szállítás közben? 2.
Megoldás:
p = állandó, izobár állapotváltozás. T1 = 20 0C → T1 = 293 K V1 = 25 l T2=? Alkalmazzuk a
V 2 T 2
=
V 1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a T2-t, helyettesítsük be az adatokat! V ⋅ T T2 = 2 1 = 263,7 K V 1
9 T2 = 263,7 K – 273 = - 9,3 0C ⋅ 25 l = 22,5 l 10 Szállítás közben a hőmérséklet: - 9,3 0C volt.
V2 =
14
Egy léggömbben lévő levegő hőmérséklete kelvinben mérve, állandó nyomáson, 40 %- kal csökkent. Mekkora lett a térfogata, ha kezdetben 3,2 dm 3 volt? 3.
Megoldás:
p = állandó, izobár állapotváltozás. V1 = 3,2 dm3 T2 = 0,6 T1 V2 = ? Alkalmazzuk a
V 2 T 2
=
V 1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a V2-t, helyettesítsük be az adatokat! V 1 ⋅ T 2 3,2dm 3 ⋅ 0,6 ⋅ T 1 = = 1,92 dm3 V2 = T 1
T 1
A léggömb térfogata 1,92 dm3 lett.
Állandó nyomáson a normál állapotú gázt 150 0C-ra melegítjük. Ábrázoljuk a folyamatot térfogat – hőmérséklet grafikonon! 4.
Megoldás:
p = állandó, izobár állapotváltozás. T1 = 273 K T2 = 423 K V1 = 22,4 dm3 V2 = ? Alkalmazzuk a
V 2 T 2
=
V 1 T 1
összefüggést!
Az ábrázoláshoz számítsuk ki a V 2-t: V ⋅ T V2 = 1 2 = 34,71 dm3 T 1
15
5. Vízszintes, egyik végén zárt hengerben könnyen mozgó dugattyú leveg őt zár be. Ha h űtjük, azt tapasztaljuk, hogy a Kelvinben mért h őmérséklete 0,82-szorosára változik. A térfogata 0,46 literrel csökken. Mekkora volt a levegő térfogata a hűtés előtt? Megoldás:
p = állandó, izobár állapotváltozás. T2 = 0,82 ⋅ T1 V1 = ? Alkalmazzuk a
V 2 T 2
=
V 1 T 1
összefüggést!
ΔV = 0,46 l = V 1 - V2 V1= 0,46 + V2 Helyettesítsük be V1-t: V 2 0,46 + V 2 = ! T 2
T 1
V 2
0,82 ⋅ T 1
=
0,46 + V 2 T 1
Egyszer űsítsünk T1-gyel! V2 = 2,09555 l V1 = 0,46 l + V2 = 2,55 l A levegő térfogata 2,55 liter volt.
16
7. lecke
Gázok állapotváltozása állandó térfogaton
Egy szagtalanító anyagot tartalmazó hajtógázzal m űködő palackot reggel 7 0C-on kint hagytunk a kerti asztalon. Napközben a t űző napra került, a hőmérséklete 40 0C lett. Mennyi lett a palackban a nyomás, ha kezdetben 100 kPa volt? 1.
Megoldás:
V = állandó, izochor állapotváltozás. p1 = 100 kPa T1 = 280 K T2 = 313 K p2 = ? Alkalmazzuk a
p 2 T 2
=
p1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a p 2 –t, helyettesítsük be az adatokat! p ⋅ T 100kPa ⋅ 313 K = 111,79 kPa p2 = 1 2 = 280 K T 1 A palackban a nyomás 111,79 kPa lett.
Zárt gázpalackot télen a 27 0C-os lakásból kivisszük a szabadba. A nyomásmér ő azt mutatja, hogy a nyomás 2,4 ⋅105 Pa-ról 2,08⋅105 Pa-ra csökkent. Mennyi volt a küls ő hőmérséklet? 2.
Megoldás:
V = állandó, izochor állapotváltozás. T1 = 300 K p1 = 2,4 ⋅ 105 Pa p2 = 2,08 ⋅ 105 Pa T2 = ? Alkalmazzuk a
p 2 T 2
=
p1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a T2 , helyettesítsük be az adatokat! p 2 ⋅ T 1 2,08 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 300 K = = 260 K T2 = p1 2,4 ⋅ 10 5 Pa T2 = 260 K – 273 = -13 0C A külső hőmérséklet -13 0C volt.
17
Gázpalackot biztonsági szeleppel szereltek fel. 10 0C-on a túlnyomás 160 kPa. Mekkora nyomásértékre tervezték a biztonsági szelepet, ha az 80 0C-on nyit? ( A levegő nyomása 100 kPa. ) 3.
Megoldás:
V = állandó, izochor állapotváltozás. T1 = 283 K T2 = 353 K p1 = 100 kPa + 160 kPa = 260 kPa p2 = ? Alkalmazzuk a
p 2 T 2
=
p1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a p 2 –t, helyettesítsük be az adatokat! p1 ⋅ T 2
260kPa ⋅ 353 K = 324,31 kPa 283 K T 1 A szelepet 324,31 kPa nyomásra tervezték.
p2 =
=
A munkások azt tapasztalták, hogy a gáztartályban a nyomás 30 %-kal csökkent. Mekkora lett a hőmérséklete, ha kezdetben 12 0C volt és jól szigetelt kamrában volt? 4.
Megoldás:
V = állandó, izochor állapotváltozás. p2 = 0,7 ⋅ p1 T1 = 285 K T2 = ? Alkalmazzuk a
p 2 T 2
=
p1 T 1
összefüggést!
Fejezzük ki a T2 -t, helyettesítsük be az adatokat! T2 =
p 2 ⋅ T 1 p1
=
0,7 ⋅ p1 ⋅ 285 K p1
= 199,5 K
T2 = 199,5 K - 273 = -73,5 0C A tartály hőmérséklet -73,5 0C lett.
18
Egy tartályban lévő normál állapotú gázt 400 0C-ra melegítünk. Ábrázoljuk a folyamatot nyomás – hőmérséklet grafikonon! 5.
Megoldás:
V = állandó, izochor állapotváltozás. T1 = 273 K T2 = 673 K p1 = 100 kPa p2 = ? Alkalmazzuk a
p 2 T 2
=
p1 T 1
összefüggést!
Az ábrázoláshoz számítsuk ki a p 2 -t! p2 =
p1 ⋅ T2 100kPa ⋅ 673K = = 246,52 kPa T1 273K
19
8. lecke
Egyesített gáztörvény, az ideális gáz állapotegyenlete
Egy tartályról leesett a térfogatot jelz ő cimke. A fizika szakkör tanulói azt a feladatot kapták, hogy határozzák meg a térfogatát! Tudták, hogy 1,4 kg nitrogén van benne, a hőmérsékletét 27 0C-nak, a nyomását 3 MPa-nak mérték. Mekkora a tartály térfogata? 1.
Megoldás:
m = 1,4 kg Nitrogén: M = 28
g mol
T = 300 K R = 8,314 p = 3 MPa V=?
J mol ⋅ K
Számítsuk ki a mólok számát: n =
m
= 50 mol
Alkalmazzuk az állapotegyenletet: p ⋅ V =n ⋅ R ⋅ T! Fejezzük ki a térfogatot, helyettesítsük be az ismert adatokat!
V=
n ⋅ R ⋅ T p
50mol ⋅ 8,314
=
J mol ⋅ K 6 N
3 ⋅ 10
A tartály térfogata 41,57 dm3.
⋅ 300 K
= 41,57 dm3
m2
2. Állandó tömegű ideális gáz térfogata 15%-kal csökken, nyomása 20%-kal n ő. Mekkora lesz a hőmérséklete, ha eredetileg 16 0C volt? Megoldás:
T1 = 289 K p2 = 1,2 ⋅ p1 V2 = 0,85 ⋅ V1 T2 = ? Alkalmazzuk az egyesített gáztörvényt:
p1 ⋅ V 1 T 1
=
p 2 ⋅ V 2 T 2
!
Fejezzük ki a T2 –t, helyettesítsük be az ismert adatokat! T2 =
p 2 ⋅ V 2 ⋅ T 1 p1 ⋅ V 1
=
1,2 ⋅ p1 ⋅ 0,85 ⋅ V 1 ⋅ 289 K = 294,78 K = 21,78 0C p1 ⋅ V 1
A gáz hőmérséklete 21,78 0C lesz. 20
A motorkerékpár tömlő jében reggel 12 0C-on mért nyomás 160 kPa. Tulajdonosa a forró aszfaltúton hagyta, ahol a h őmérséklet 48 0C. A gumitömlő ben mért nyomás 170 kPa. Hány százalékkal nőtt meg a térfogata? 3.
Megoldás:
T1 = 285 K p1 = 160 kPa T2 = 321 K p2 = 170 kPa V 2 V 1
⋅ 100 % = ?
Alkalmazzuk az egyesített gáztörvényt:
p1 ⋅ V 1 T 1
=
p 2 ⋅ V 2 T 2
!
Fejezzük ki a térfogatok arányát, helyettesítsük be az ismert adatokat! V 2 V 1
=
p1 ⋅ T 2 p 2 ⋅ T 1
=
160kPa ⋅ 321 K =1,06 azaz 106 % 170kPa ⋅ 285 K
A térfogata 6 %-kal n őtt.
A 30 l-es oxigénpalackon lév ő nyomásmér ő elromlott. A helyiség hőmérséklete 20 0C, az oxigén tömege 0,4 kg. Számítsuk ki a nyomását! 4.
Megoldás:
V = 30 l = 30 dm 3 = 3 ⋅ 10-2 m3 Oxigén: M = 32
g mol
T1 = 293 K R = 8,314
J mol ⋅ K
m = 0,4 kg = 400 g p = ? Számítsuk ki a mólok számát: n =
m
= 12,5mol !
Alkalmazzuk az állapotegyenletet: p ⋅ V =n ⋅ R ⋅ T! Fejezzük ki a nyomást, helyettesítsük be az ismert adatokat!
p =
n ⋅ R ⋅ T V
12,5mol ⋅ 8,314
=
J
mol ⋅ K −2 3 3 ⋅ 10 m
⋅ 293 K = 1015 kPa
Az oxigén nyomása 1015 kPa.
21
Meteorológiai vizsgálatokhoz használt rugalmas h őlégballont héliummal töltöttek meg. Nagy magasságban lévő felhő ben haladva, ahol a hőmérséklet –30 0C, térfogata 6 m3, a hélium nyomása 1,4⋅104 Pa. Mekkora a térfogata a Földre való visszatéréskor, ha a hőmérséklet 24 0C, a nyomás pedig 10 5 Pa? 5.
Megoldás:
T1 = 243 K V1 = 6 m3 p1 = 1,4 ⋅ 104Pa p2 = 105 Pa T2 = 297 K V2 = ? Alkalmazzuk az egyesített gáztörvényt:
p1 ⋅ V 1 T 1
=
p 2 ⋅ V 2 T 2
!
Fejezzük ki a V2 térfogatot, helyettesítsük be az ismert adatokat! p1 ⋅ V 1 ⋅ T 2
1,4 ⋅ 10 4 Pa ⋅ 6m 3 ⋅ 297 K V2 = =1,027 m3 = 5 p 2 ⋅ T 1 10 Pa ⋅ 243 K A hőlégballon térfogata 1,027 m3.
22
9. lecke
Kinetikus gázelmélet, a gáz nyomása és hőmérséklete
A kémiaszertárban azt hitték, hogy az egyik gázpalack teljesen kiürült. Pontos mérések után kiderült, hogy még 6 g héliumot tartalmaz. a) Mennyi a gáz anyagmennyisége? b) Hány atom van a palackban? 1.
Megoldás:
g
A hélium moláris tömege: M = 4 m=6g 23
mol
1
NA = A = 6 ⋅ 10 mol a.) n=? A mólok száma: n =
m
= 1,5 mol
A gáz anyagmennyisége 1,5 mol. b.) N=? Használjuk fel az Avogadro számot! N = n ⋅ NA = 9 ⋅ 1023 db atom A palackban 9 ⋅ 1023 db atom van.
A fizikaszakkörön a tanulók kiszámították, hogy egy oxigén tartályban 3,8 ⋅1026 db molekula van. Mekkora a gáz tömege? 2.
Megoldás:
Az oxigén moláris tömege: M = 32 N = 3,8 ⋅ 1026 db molekula 1 23 NA = 6 ⋅ 10 mol
g mol
.
m=? Használjuk fel az Avogadro számot! N = n ⋅ NA Fejezzük ki az n-t! n=
N N A
továbbá n =
m
, ezért:
N N A
=
m
.
Fejezzük ki a tömeget, helyettesítsük be az adatokat! N g 3,8 ⋅ 10 26 m=M⋅ = 32 ⋅ = 20,27 kg N A mol 23 1 6 ⋅ 10 mol
A gáz tömege 20,27 kg. 23
Az Avogadro-szám ismerete érdekes feladatok megoldását teszi lehet ővé. Hogyan lehet kiszámítani a héliumatom tömegét? ( Vegyünk 1 mol héliumot! ) 3.
Megoldás:
A hélium atomtömege: M = 4
g mol
Vegyünk 1 mol héliumot! 1 mol hélium tömege 4 g, mert m = n ⋅ M! 1 molban, azaz 4 g héliumban 6 ⋅ 1023 atom van (Avogadro szám). Jelöljük m0-lal 1hélium atom tömegét! 4 g m0 = = 6,67 ⋅ 10-24 g = 6,67 ⋅ 10-27 kg egy hélium atom tömege. 23 6 ⋅ 10
24
10. lecke
A gázok belső energiája. A hőtan I. f őtétele
1. Mekkora a hőmérséklete 60 g héliumnak, ha bels ő energiája 45 kJ? Megoldás:
m = 60 g A hélium atomtömege: M = 4
g mol
. Szabadsági fokok száma: 3
Számítsuk ki az anyagmennyiséget! n = R = 8,314
m
= 15 mol
J molK
E b = 45 kJ = 45000 J T=? Alkalmazzuk a belső energia kiszámítására kapott összefüggést! 3 ⋅ n ⋅ R ⋅ T 2 2 Fejezzük ki a h őmérsékletet, helyettesítsük be az adatokat! 2 ⋅ E b 2 ⋅ 45000 J T= = 240,56 K– 273 = -32,44 0C = 3 ⋅ n ⋅ R 3 ⋅ 15mol ⋅ 8,314 J mol ⋅ K A hélium hőmérséklete -32,44 0C.
E b =
f
⋅ n ⋅ R ⋅ T =
2. A búvárok oxigénpalackjában 4 kg 17
0
C-os gáz van. Mekkora a bels ő energiája?
Megoldás:
Az oxigén moláris tömege: M = 32
g mol
f=5 R = 8,314
J molK
m = 4 kg = 4000 g Számítsuk ki az anyagmennyiséget! n =
m
= 125 mol
T = 290 K E b = ? Alkalmazzuk a belső energia kiszámítására kapott összefüggést! f J 5 ⋅ 290 K = 753,46 kJ E b = ⋅ n ⋅ R ⋅ T = ⋅ 125 mol ⋅ 8,314 molK 2 2 Az oxigén belső energiája 753,46 kJ.
25
A tanulók - a fizika szakkörön - kísérletezéskor azt tapasztalták, hogy a 2 kg nitrogént tartalmazó palack belső energiája hűtés közben 5%-kal csökkent. Mekkora a gáz bels ő energiája a hűtés megkezdésekor? Mekkora lett a nitrogén h őmérséklete a hűtés után, ha előtte 22 0C-volt? 3.
Megoldás:
E b2=0,95 E b1 A nitrogénmolekulák szabadsági foka: f = 5 m = 2 kg A nitrogén moláris tömege: M = 28 R = 8,31
g mol
J molK
Számítsuk ki az anyagmennyiséget: n =
m M
=
2kg mol = 71,43 mol 28 g
T1 = 293 K ΔE b1 = ? T2 = ? Alkalmazzuk a ΔE b1 =
f
2
⋅ n ⋅ R ⋅ T 1 összefüggést! Helyettesítsünk be az ismert adatokat!
J 5 ⋅ 71,43mol ⋅ 8,31 ⋅ 293 K = 434,8 kJ molK 2 A nitrogén belső energiája 434,8 kJ volt a h űtés kezdetekor.
ΔE b1 =
A belső energia változása és a Kelvinben mért h őmérséklet változása között egyenes arányosság van, ha a gáz tömege állandó. T2 =0,95 ⋅ T1 = 278,35 K = 5,3 0C A hűtés után a hőmérséklet 5,3 0C lett.
Az ábrán 2,4 mol mennyiség ű kétatomos molekulákból álló gáz állapotváltozása látható. A gáz hőmérséklete az (1) állapotban 300 K. Számítsuk ki, hogy: a) Mennyivel változik a belső energiája? b) Mennyi hőt vett fel a környezetéből? 4.
Megoldás:
n = 2,4 mol Izochor állapotváltozás, V = állandó Kétatomos gáz: f = 5 R = 8,31
J molK
A grafikonról leolvasható adatok: p1 = 100kPa; T1 = 300 K; p2 = 200 kPa Alkalmazzuk Gay-Lussac II. törvényét:
T 2 T 1
=
p 2 p1
26
! Ebből T2 = 600 K
ΔE b = ? a.) ΔT = TB- TA= 600 K – 300 K = 300 K Helyettesítsük be: ΔE b =
ΔE b = 2,5 ·2,4 mol · 8,31
f
2
⋅ n ⋅ R ⋅ ΔT összefüggésbe!
J molK
·300 K = 14958J = 15 kJ
A belső energia változása 15 kJ. a) Q = ? Alkalmazzuk a hőtan I. f őtételét! ΔE b = Q - p ⋅ ΔV ΔV = 0 ! Mivel V = állandó Q = ΔE b = 15 kJ A környezettől felvett hő 15 kJ.
Egy súrlódásmentes dugattyúval elzárt hengerben ideális gáz van, nyomása 120 kPa. Állandó nyomáson 800 cm3 térfogatról 200 cm3-re összenyomjuk. A folyamat közben a gáz 1400 J hőt ad át a környezetének. a.) Mennyi a térfogati munka értéke? b.) Mennyivel változott meg a gáz belső energiája? 5.
Megoldás:
p = 120 kPa = állandó V1 = 800 cm3 V2 = 200 cm3 Q = 1400 J a.) W=? ΔV = V2 - V1 = - 600 cm3 = -6 ⋅ 10-4 m3 Alkalmazzuk a térfogati munka kiszámítására kapott képletet! 5
N
W = - p ⋅ ΔV = (-1,2) ⋅ 10 m 2 ⋅ (-6) ⋅ 10-4 m3 = 72 J A térfogati munka 72 J. b.) ΔE b = ? Alkalmazzuk a hőtan I. f őtételét! ΔE b = - Q + W = - 1328 J A gáz belső energiájának változása -1328 J.
27
11. lecke
1.
A termodinamikai folyamatok energetikai vizsgálata
Súrlódásmentesen mozgó dugattyúval hengerbe zárt oxigén tömege 80 g. Melegítés
hatására hőmérséklete 20 0C-ról 80 0C-ra nő. Az oxigén fajh ő je állandó nyomáson 920 a) Mekkora hőmennyiséget vett fel az oxigén a környezetétől? b) Mennyi a belső energia megváltozása? c) Mekkora a térfogati munka? Megoldás:
m = 80 g = 8 ⋅ 10-2 kg ΔT = 60 0C C p = 920
J kg ⋅0 C
p = állandó a) Q=? Alkalmazzuk a hőmennyiség kiszámítására kapott összefüggést! Q = C p ⋅ m ⋅ ΔT = 920
J kg ⋅ 0 C
·0,08 kg · 60 0C = 4416 J
Az oxigén 4416 J hőmennyiséget vett fel. b)
M = 32
R = 8,314
g mol
J molK
f=5 ΔE b = ? Számítsuk ki az anyagmennyiséget: n =
m
= 2,5 mol !
Alkalmazzuk a belső energia kiszámítására kapott összefüggést! J 5 ΔE b = ⋅ n ⋅ R ⋅ ΔT = 2,5 · 2,5 mol· 8,314 · 600C = 3117,75 J molK 2 A belső energia változása 3117,75 J. c) W = ? Alkalmazzuk a hőtan I. f őtételét: ΔE b = Q – p ⋅ ΔV = Q + W ! Fejezzük ki a munkát, helyettesítsük be az ismert adatokat! W = ΔE b – Q = - 1298,25 J A térfogati munka -1298,25 J.
28
J kg 0 C
.
A 100 g tömegű 17 0C-os hidrogéngáz adiabatikus összenyomásakor 40 kJ munkát végeztünk. a.) Mekkora a belső energia megváltozása? b.) Mekkora a hőmérséklet az új állapotban? 2.
Megoldás:
m = 100 g A hidrogén moláris tömege: M = 2 0
g mol
T1 = 17 C W = 40 kJ Adiabatikus állapotváltozás: Q = 0 ! a) ΔE b = ? ΔE b = W = 40 kJ b) f = 5 R = 8,314
J molK
T2 = ? Számítsuk ki az anyagmennyiséget! n=
m
= 50 mol
Alkalmazzuk a belső energia kiszámítására kapott összefüggést!
ΔE b =
f
⋅ n ⋅ R ⋅ ΔT 2 Fejezzük ki a h őmérsékletet-változást! Írjuk be az ismert adatokat! 2 ⋅ Δ E b 80kJ = 38,49 K = 38,49 0C ΔT = = 5 ⋅ n ⋅ R 5 ⋅ 50mol ⋅ 8,314 J mol ⋅ K ΔT = T2 – T1 T2 – 17 0C = 38,49 0C T2 = 55,49 0C Az új állapotban a h őmérséklet 55,49 0C.
3.
Jól hőszigetelt falú hengerben 2 kg 17 0C-os levegő van. Adiabatikus folyamatban a
hőmérséklete −17 0C-ra csökken. A leveg ő fajhő je állandó térfogaton 710 a.) Mekkora a belső energia megváltozása? b.) Mekkora a munkavégzés?
29
J 0
kg C
.
Megoldás:
m = 2 kg T1 = 17 0C ΔT = 34 0C T2 = - 17 0C CV = 710
J kg ⋅0 C
a) ΔE b = ? Alkalmazzuk a belső energia kiszámítására kapott összefüggést! Helyettesítsük be az adatokat!
ΔE b =cV ⋅ m ⋅ ΔT = 710
J 0
kg ⋅ C
· 2 kg · 34 0C = 48,28 kJ
A belső energia változása 48,28 kJ. b) W = ? Adiabatikus állapotváltozás: Q = 0. ΔE b = W = 48,28kJ A munkavégzés 48,28 kJ.
4.
Zárt tartályban 15 kg neon gáz van. Szállítás közben a h őmérséklete megemelkedett. A
neon állandó térfogaton mért fajhő je 620
J kg 0 C
. A hiányzó adatokat olvassuk le a
grafikonról! a.) Mennyi hőt közöltünk a gázzal melegítés közben? b.) Mennyivel nőtt a neon belső energiája? Megoldás:
m = 15 kg T1 = 22 0C T2 = 40 0C ΔT = 18 0C V = állandó CV = 620
J kg ⋅0 C
a.) Q=? Alkalmazzuk a hőmennyiség kiszámítására kapott összefüggést! Q = CV ⋅ m ⋅ ΔT = 620
J 0
kg ⋅ C
· 15 kg · 18 0C = 167,4 kJ
A gázzal 167,4 kJ h őt közöltünk. b.) ΔE b = ? V = állandó → ΔV = 0 → A térfogati munka nulla. ΔE b = Q = 167,4 kJ A belső energia 167,4 kJ-al nőtt.
30
5. Ideális gáz izoterm folyamat közben 12 kJ h őmennyiséget adott át a) Mekkora a gáz bels ő energiájának megváltozása?
b.) Hogyan változott a térfogata? c.) Hogyan változott a nyomása? Megoldás:
T = állandó Qle = 12 kJ a) ΔE b =
f
⋅ n ⋅ R ⋅ ΔT = 0, mert T = állandó → ΔT = 0. 2 A gáz belső energiája nem változik! b) ΔV = ? Izoterm összenyomás történt, W >0, mert Q<0. ΔE b = Q + W = 0 A térfogat csökken! c) p ⋅ V = állandó, mert izoterm állapotváltozás. Ha a térfogat csökken, akkor a nyomás n ő.
31
környezetének.
12. lecke
A hőtan II. f őtétele
1. Mondjunk példákat reverzibilis folyamatokra. Indokoljuk
választásunkat!
Megoldás: I. Fonalinga lengése légüres térben. A lengést végz ő test helyzeti energiája mozgási
energiává alakul, majd a mozgási energia visszaalakul helyzeti energiává. Az energia átalakulásának folyamata megfordítható. II. Golyók rugalmas ütközése. A golyók mozgási energiája rugalmas energiává alakul, majd
a
rugalmas energia visszaalakul mozgási energiává. A folyamat megfordítható. A példák nem tökéletesek, hiszen a végtelenségig nem ismételhet ők a jelenségek. Az energiaveszteség teljesen nem küszöbölhet ő ki.
2. Mondjunk példákat irreverzibilis folyamatokra. Indokoljuk
választásunkat!
Megoldás: I. Golyók rugalmatlan
ütközése. A mozgási energia egy része, bizonyos esetekben az egész, arra fordítódik, hogy deformálódnak a golyók. A folyamat nem fordítható meg. Olyan folyamatok, amikor a mozgási energia h ővé alakul a súrlódás következtében. A mozgó vonat fékez, majd megáll. A vonat energiája h ővé alakul. A keletkezett h őt elnyeli a környezet, nem alakítható vissza a vonat energiájává. II.
A meleg tenger vizének hőmérséklete a felszín közelében 27 0C, a mélyebb részen 7 0C. Számítsuk ki, mekkora lenne a tengervíz h ő jét hasznosító hőer őgép hatásfoka! 3.
Megoldás:
T1 = 300 K T2 = 280 K η= ? Használjuk a hőer őgépek hatásfokára kapott összefüggést! T − T 2 300 K − 280 K = = 0,067 η = 1 300 K T 1 A hőer őgép hatásfoka 6,7 % lenne.
32
4. Egy hőer őgép hidegebb tartályának h őmérséklete 300 K. A magasabb h őmérsékletű tartály hőmérsékletének 25 %-os növelésekor a hatásfok 15 %-kal n ő. Mekkora a nagyobb hőmérsékletű tartály hőmérséklete. Mennyi volt a gép eredeti hatásfoka? Megoldás:
T2 = 300 K η → 1,15· η T1 → 1,25·T1 T1 = ? η =? Alkalmazzuk a hőer őgép hatásfokának kiszámítására kapott összefüggést! 1,25 ⋅ T 1 − 300 K T − 300 K 1,15 ⋅η = (1) η = 1 és (2) 1,25 ⋅ T 1 T 1 Osszuk el egymással a két egyenletet! 1,25 ⋅ T 1 − 300 K 1,15 = 1,25 ⋅ (T 1 − 300 K ) Az egyenlet megoldása: T1 = 700 K, a nagyobb hőmérsékletű tartály hőmérséklete. A 700 K h őmérsékletet helyettesítsük be az (1) egyenletbe, kiszámíthatjuk a hatásfokot. 700 K − 300 K = 0,57 700 K A hőer őgép hatásfoka 57 %. η =
A 20 0C hőmérsékletű tantermet a 0 0C–os külső levegővel szeretnénk f űteni. Elektromotorral működtetett hűtőgépet használunk. Mekkora a h űtőgép jósági tényező je? Miért nem terjedt el a mindennapi életben ez az elméletileg nagyon gazdaságos f űtés? 5.
Megoldás:
T1= 293 K T2 = 273 K η=? Alkalmazzuk a hatásfok kiszámítására kapott képletet! T 2 273 K = = 13,65 η = T 1 − T 2 293 K − 273 K A hűtőgép hatásfoka 13,65. Jelenleg még drágák és nagyméret űek az ilyen gépek, ezért nem terjedtek el.
33
13. lecke
Olvadás, fagyás
Mennyi 0 °C-os jeget kell beledobni 3 dl 22°C-os üdít ő be, hogy 8 °C h őmérsékletű italt kapjunk? Lo=334 kJ c jég= 2100 J 0 cvíz=4200 J 0 1.
kg
kg C
kg C
Megoldás:
T jég = 0 0C mvíz =0,3 kg (3dl víz) Tk = 8 0C Tvíz = 22 0C m jég = ? Az üdítő által leadott hőt a jég felveszi. Qle = Qfel A jég az olvadásponton megolvad. cvíz ⋅ mvíz ⋅ (Tvíz - Tk )= L0 ⋅ m jég + cvíz ⋅ m jég ⋅ Tk m jég ⋅ (L0 + cvíz ⋅ Tk )= cvíz ⋅ mvíz ⋅ (Tvíz - Tk ) Fejezzük ki a jég tömegét, írjuk be az ismert adatokat! m jég =
cvíz ⋅ mvíz ⋅ (T víz − T k ) L0
+ cvíz ⋅ T k
4200
= 334
J 0
kg ⋅ C kJ kg
⋅ 0,3kg ⋅ 14 0 C
+ 4200
J 0
kg ⋅ C
= 47,99 g ≈ 48g
⋅8 0 C
Az üdítő be 47,99 g jeget kell dobni.
Egy termoszban 4 kg −120C-os jég van. Melegedés közben 2000 kJ h őt vesz fel a környezetéből. Elolvad-e a jég? Ha elolvad, mekkora lesz a víz h őmérséklete? Lo=334 kJ c jég= 2100 J 0 cvíz=4200 J 0 2.
kg
kg C
kg C
Megoldás:
m jég = 4 kg T jég = -12 0C Q = 2000 kJ Tvíz= ? Qfel = c jég ⋅ m jég ⋅ Δt + L0 ⋅ m jég = 1436,8 kJ Az összes jég felmelegszik az olvadáspontra, elolvad és marad még 563,2 kJ h ő. Ez a hőmennyiség felmelegíti a 0 0C-os vizet. 563,2 kJ = cvíz ⋅ m jég ⋅ tx Fejezzük ki a h őmérsékletet! 563,2kJ 563,2kJ Tvíz = = 33,52 0C = J c víz ⋅ m jég 4200 0 ⋅ 4kg kg ⋅ C 0 33,52 C-os víz lesz a termoszban. 34
3. Mekkora tömegű vizet hűt le 30
Lo=334 kJ
kg
0
C-ról 12 0C-ra 2db 30 g-os, 0 0C-os jégkocka? cvíz=4200 J 0 kg C
Megoldás:
Tvíz =30 0C Tk = 12 0C ΔT = 18 0C m jég = 60 g = 6 ⋅ 10-2 kg T jég = 00C mvíz =? A víz által leadott hőt a jég felveszi és megolvad! Q le = Qfel Helyettesítsük be a fajhőt és olvadásh őt! cvíz ⋅ mvíz ⋅ 18 0C = L0 ⋅ m jég+ cvíz ⋅ m jég ⋅ 12 0C Fejezzük ki a tömeget! mvíz =
m jég ( L0
+ cvíz ⋅ 12 C ) = cvíz ⋅ 18 0 C 0
0,06kg ⋅ (334
kj kg
4200
+ 4200 J
J 0
kg ⋅ C
⋅ 12 0 C ) =0,305 kg = 305 g
0
kg ⋅0 C
⋅ 18 C
A jégkocka 305 g tömeg ű vizet hűt le.
Egy termoszban 1,5 l 10 0C hőmérsékletű víz van. Beledobunk 300 g tömeg ű, −8 0C-os jégdarabot. Mi történik a folyamat során? Lo=334 kJ c jég= 2100 J 0 cvíz=4200 J 0 4.
kg
kg C
kg C
Megoldás:
mvíz =1,5 kg Tvíz = 10 0C m jég =300g = 0,3 kg T jég = - 8 0C Mi történik? Készítsünk energiamérleget!
A jeget felmelegítjük az olvadáspontra: A felvett hőmennyiség Leadott hőmennyiség A jeget próbáljuk megolvasztani A víz lehűl 0 0C-ra Q1 = c jég ⋅ m jég ⋅ Δt = 5040 J Q1 = cvíz ⋅ mvíz ⋅ Δt = 63000 J Q2 = L0 ⋅ m jég = 100200 J Az összes jég nem olvad meg Az összes jég felmelegszik az olvadáspontra és marad 63000 J – 5040 J = 57960 J Ez a hőmennyiség a 00C-os jég egy részét megolvasztja: 57960 J 57960J = L0 ⋅ mx mx = = 173,5 g J 334000 kg
A termoszban 1,673 kg 0 0C-os víz és 0,126 kg 0 0C-os jég lesz! 35
Mennyi hőt kell közölnünk 380 g, −18 0C-os jéggel, ha azt szeretnénk, hogy az olvadás után 28 0C-os víz keletkezzen? Lo=334 kJ c jég= 2100 J 0 cvíz=4200 J 0 5.
kg
kg C
kg C
Megoldások
m jég =380 g = 0,38kg Tvíz = 28 0C T jég = - 18 0C Q=? A jeget fel kell melegíteni az olvadáspontra, meg kell olvasztani, majd a 0C-os vizet melegíteni kell 28 0C-ra! Helyettesítsük be a fajhőket és az olvadásh őt! Q = c jég ⋅ m jég ⋅ ΔT jég + L0 ⋅ m jég + cvíz ⋅ m jég ⋅ ΔTvíz Q = 2100 J 0 ⋅ 0,38 kg ⋅ 18 0C +334 kJ ⋅ 0,38 kg +4200 J 0 ⋅ 0,38 kg ⋅ 28 0C = 185,97 kJ kg C
kg
kg C
A jéggel 185,97 kJ h őt kell közölni.
36
14. lecke
Párolgás, forrás, lecsapódás
1. Hány gramm 100 °C-os vízgőzt kell a 35 °C-os 1,5
60 °C-os forró kávét kapjunk? cvíz=4200 J 0 ; cgőz=1900 kg C
J 0
kg C
dl térfogatú kávéban lecsapatni, hogy
Lf =2256 kJ ;
;
kg
c jég= 2100
J 0
kg C
;
Lo=334 kJ
kg
Megoldás:
cvíz=4200
J 0
kg C
; cgőz=1900
J 0
kg C
;
Lf =2256 kJ ; kg
c jég= 2100
J 0
kg C
;
Lo=334 kJ
kg
mvíz = 0,15 kg Tvíz = 35 0C Tgőz = 100 0C Tk = 60 0C mgőz = ? A vízgőz lecsapódik, lehűl, hőt ad le, amit a kávé felvesz. A víz felmelegszik ΔTvíz = 25 0C, a gőz lehűl ΔTgőz= 40 0C. Qle = Qfel Helyettesítsük be a forráshőt és a fajhőt! Lf ⋅ mgőz + cvíz ⋅ mgőz ⋅ ΔTgőz = cvíz ⋅ mvíz ⋅ ΔTvíz Fejezzük ki a g őz tömegét! Helyettesítsük be az adatokat!
mgőz =
cvíz ⋅ mvíz ⋅ ΔT víz
L f
+ cvíz ⋅ ΔT g őő
4200
= 2256
J 0
kg ⋅ C kJ kg
⋅ 0,15kg ⋅ 25 0 C
+ 4200
= 6,5 g
J
0
kg ⋅0 C
⋅ 40 C
A kávéban 6,5 g vízg őzt kell lecsapatni.
0
2. Mekkora tömegű vizet párologtat el egy 60 kg-os tanuló, hogy testh őmérséklete 0,8 C-kal csökkenjen. A megoldásnál vegyük figyelembe, hogy az emberi test nagyrészt vízb ől áll, és kJ testhőmérsékleten a víz párolgásh ő je 2400 . cvíz=4200 J 0 kg kg C Megoldás:
M = 60 kg ΔT = 0,8 0C L p = 2400 cvíz = 4200
kJ kg J kg 0C
m=?
37
Az elpárolgó víz hőt von el a környezettől, a tanuló testét ől. cvíz ⋅ M ⋅ ΔT = L p ⋅ m Fejezzük ki a tömeget! Helyettesítsük be az adatokat! m=
cvíz ⋅ M ⋅ ΔT L p
4200
=
J 0
kg ⋅ C
⋅ 60kg ⋅ 0,8 0 C
2400000
= 84 g
J kg
A tanuló 84 g vizet párologtat el.
0
3. A 8 m x 6 m x 3 m-es terem leveg ő jének hőmérsékletét 6 C-kal emeljük gőzf űtéses f űtőtesttel. A f űtőtestbe vezetett 100 °C-os vízg őz 50 °C-ra hűl le. A felszabaduló hőmennyiség 30%-a melegíti a levegőt. Számítsuk ki, mekkora tömeg ű gőzre van szükség! kg kJ J
Lf =2256
cvíz=4200
kg
ρlevegő=1,29
0
kg C
A levegő állandó nyomáson mért fajhő je: 997
J kg 0C
m3
.
Megoldás:
ρlevegő =1,29
kg m3
Tgőz = 100 0C η =30 % = 0,3 c p = 997
J kg 0C
ΔT =6 0C 0 ΔTvíz = 50 C mgőz = ? Számítsuk ki a térfogatot! V = 8 m x 6 m x 3 m = 144 m 3 A sűr űség felhasználásával kiszámítjuk a leveg ő tömegét!
ρlevegő =
m V
⇒
mlevegő = ρ ⋅ V =185,76 kg
A vízgőz lecsapódik, lehűl és közben h őt ad át a környezetének! Qfel = 0,3 ⋅ Qle c p ⋅ mlevegő ⋅ ΔT = 0,3 ⋅ (Lf ⋅ mgőz + cvíz ⋅ mgőz ⋅ ΔTvíz) Fejezzük ki a tömeget! Helyettesítsük be az adatokat! mgőz =
c p⋅ ⋅ mleveg ő ⋅ ΔT
0,3 ⋅ ( L f + cvíz ⋅ ΔT víz )
997
=
J 0
⋅ 185,76kg ⋅6 0 C
kg ⋅ C J
0,3 ⋅ (2256000
kg
+ 4200
A f űtéshez 1,5 kg g őzre lesz szükség. 38
J
= 1,5 kg 0
50 C
kg ⋅0 C
4. A 120 g tömeg ű 80 °C-os vízzel 300 kJ h őmennyiséget közlünk állandó nyomáson, jól szigetelt tartályban. Mi történik? Ábrázoljuk a folyamatot h őmérséklet ─ hőmennyiség
grafikonon! Megoldás:
mvíz =120 g = 0,12 kg Tvíz = 80 0C Q = 300 kJ cvíz = 4200 Lf = 2256
J kg 0C
kJ kg
cgőz = 1900
J kg 0C
A víz felmelegszik 100 0C-ra. Q1 = cvíz ⋅ mvíz ⋅ 20 0C = 10,08kJ A 100 0C-os vízből 100 0C-os vízgőz lesz. Q2 = Lf ⋅ mvíz =270,72 kJ Marad: (300 – 10,08 – 270,72)kJ = 19,2 kJ Ez a hőmennyiség felmelegíti a vízgőzt. cgőz ⋅ mvíz ⋅ ΔT = 19 200J Fejezzük ki a h őmérséklet megváltozását! Helyettesítsük be az adatokat! ΔT =
19200 J 19200 J 0 = = 84,21 C J c g ⋅ mvíz 1900 0 ⋅ 0,12kg kg ⋅ C
A kaloriméterben 120 g 184,21 0C-os gőz lesz.
39
5. A desztilláló berendezésbe 3 kg 100 °C-os vízg őzt vezettünk. A desztillált víz h őmérséklete 35 °C. Hány kg 15 °C-os h űtővizet használtunk fel, ha az 35 °C-ra melegedett fel? Megoldás:
mgőz =3 kg Tgőz =100 0C T1 = 15 0C T2 = 35 0C = tdeszt Lf = 2256
kJ kg J
cvíz = 4200
kg 0C
mhűtő = ? A gőz lecsapódik, majd leh űl. A felszabaduló hőt a hűtővíz veszi fel. Qfel = Qle cvíz ⋅ mhűtő ⋅ 20 0C = Lf ⋅ mgőz + cvíz ⋅ mgőz · 65 0C Fejezzük ki a h űtővíz tömegét! Helyettesítsük be az adatokat! mhűtő =
0
+ cvíz ⋅ 65 C ) = cvíz ⋅ 20 0 C
m g ( L f
3kg ⋅ (2256000
J
+ 4200
kg J
4200
kg ⋅0 C
A hűtővíz tömege 90,3 kg.
40
J 0
kg ⋅ C 0
⋅ 20 C
⋅ 650 C ) = 90,3 kg
16. lecke
Kalorimetria
Hány kg 80 °C-os termálvizet kell töltenünk a 40 kg 10 °C-os vízhez, ha azt szeretnénk, hogy a közös hőmérséklet 28 °C legyen! A környezettel való h őcserét ől eltekintünk. 1.
Megoldás:
T1 = 80 0C T2 = 10 0C m2 = 40 kg Tk = 28 0C m1 = ?
Alkalmazzuk a kalorimetria egyenletét: Qfel = Qle c ⋅ m1 ⋅ Δt1 = c ⋅ m2 ⋅ Δt2 Egyszer űsítsünk a fajhővel! m1 ⋅ 52 0C = 40 kg ⋅ 18 0C Fejezzük ki a tömeget! m1 = 13,85 kg A termálvíz tömege 13,85 kg.
2. A fizika szakkörön az egyik tanuló 40
g-os rézgolyót melegített gázlánggal. Az izzó golyót fél liter 18 °C-os vízbe tette. A közös h őmérséklet 20 °C lett. Mekkora volt a gázláng hőmérséklete? cvíz=4200 J 0 créz=385 J 0 kg C
kg C
Megoldás:
mréz = 40 g = 0,04 kg mvíz = 0,5 kg Tvíz = 18 0C Tk = 20 0C 0 ΔTvíz= 2 C Tx = ? A gázláng hőmérséklete egyenlő a rézgolyó hőmérsékletével. Alkalmazzuk a kalorimetria egyenletét: Qfel = Qle ! Helyettesítsük be az adatokat! cvíz ⋅ mvíz ⋅ ΔTvíz = créz ⋅ mréz ⋅ (Tx-20 0C) 4200 = 15,4 ⋅ (Tx - 20) Fejezzük ki a h őmérsékletet! Tx = 292,7 0C A gázláng hőmérséklete 292,7 0C volt.
41
3. Kaloriméterben lévő 8 °C-os 3 l vízbe 355 g tömeg ű 400 °C-os fémkockát teszünk, a közös hőmérséklet 17,6 °C lesz. Számítsuk ki a fémkocka fajh ő jét! Keressük meg a Négyjegyű függvénytáblázatokból , milyen fémből készült a kocka! Megoldás:
mvíz = 3 kg cvíz = 4200
J kg 0C
Tvíz = 8 0C mx = 355g = 0,355 kg Tx = 400 0C Tk = 17,6 0C cx = ? Alkalmazzuk a kalorimetria egyenletét: Qfel = Qle cx ⋅ mx ⋅ ΔTx = cvíz ⋅ mvíz ⋅ ΔTvíz Fejezzük ki az ismeretlen fajh őt! Helyettesítsük be az adatokat! cx =
cvíz ⋅ mvíz ⋅ ΔT víz
⋅ ΔT x 0 ΔTvíz= 9,6 C 0 ΔTx=382,4 C m x
4200
=
J 0
kg ⋅ C
⋅ 3kg ⋅ 9,6 0 C
0,355kg ⋅ 382,4 0 C
= 891
J kg 0C
Alumíniumból készült a kocka.
4. A jól szigetelt tartályban összekeverünk 500 g 100 vasreszeléket. Mekkora lesz a közös h őmérséklet?
cAl= 900
J kg 0C
cFe= 465
°C-os alumíniumport és 200 g 20 °C-os
J kg 0C
Megoldás:
mAl = 0,5 kg TAl = 100 0C mFe = 0,2kg TFe = 20 0C Tk = ? Alkalmazzuk a kalorimetria egyenletét: Qfel = Qle Az alumíniumpor hőt ad le, a vasreszelék hőt vesz fel. cAl ⋅ mAl ⋅ ΔTAl = cFe ⋅ mFe ⋅ ΔTFe Helyettesítsük be az adatokat! 450 (100 - Tk ) = 93 ⋅(Tk - 20) Fejezzük ki a h őmérsékletet! Tk = 86,3 0C A közös hőmérséklet 86,3 0C lesz. 42
5. A kaloriméterben 180 g 25 °C-os víz van. Beletöltünk 80 g hőmérséklet 32 °C lesz. Számítsuk ki a kaloriméter h őkapacitását!
85 °C-os vizet. A közös
Megoldás:
m1 = 180 g = 0,18 kg T1 = 25 0C m2 = 80g = 0,08 kg T2 = 80 0C Tk = 32 0C 0 ΔT1= 7 C 0 ΔT2 = 48 C cvíz = 4200
J kg 0C
Ck = ? Alkalmazzuk a kalorimetria egyenletét: Qfel = Qle ! (Ck + cvíz ⋅ m1) ⋅ ΔT1 = cvíz ⋅ m2 ⋅ ΔT2 Fejezzük ki a kaloriméter kapacitását! Helyettesítsük be az adatokat!
C k
=
cvíz ⋅ m2
Ck = 1788
⋅ ΔT 2
ΔT 1 J 0
C
4200
− cvíz ⋅ m1 =
J 0
kg ⋅ C
⋅ 0,08kg ⋅ 530 C
7 0 C
a kaloriméter hőkapacitása
43
− 4200
J kg ⋅0 C
⋅ 0,18kg
18. lecke
Az elektromos állapot
1. Az 5. kísérletben az ingák
kitérésének távolság függését vizsgáltuk. a. Mikor nagyobb az ingák fonalának a függőlegessel bezárt a szöge: az azonosan, vagy az ellentétes el ő jelűen töltött ingák esetén? (Azonos nagyságú töltéseket feltételezünk, és az állványok távolsága is azonos) b. Hogyan befolyásolja az inga egyensúlyi helyzetében a fonál kitérésének mértékét a golyó tömege, ha adott a töltése? c. Hogyan befolyásolja az inga kitérésének mértékét a golyó töltésének nagysága adott tömegű inga esetén? Megoldás:
a) Az elektrosztatikus er ő iránya a töltések elő jelétől, nagysága pedig (adott töltések esetén) a töltések távolságától függ. Ellentétes el ő jelű töltések esetén a habszivacs golyók között fellépő F vonzóer ő hatására az ingák közelednek, azonos el ő jelű töltések esetén pedig távolodnak egymástól.
Az ingák fonalának a függőlegessel bezárt szöge ellentétesen töltött ingák között nagyobb, mint azonos elő jelűek között.
b), c) Az inga tömegének növelése a G gravitációs er ő nagyságát növeli, az inga töltésének növelése pedig az F er ő nagyságát. Ezért a golyó tömegének növelése csökkenti az inga kitérésének mértékét, a töltés növelése pedig növeli.
44
2. Megváltozik-e az ebonitrúd tömege, ha sz őrmével megdörzsölve negatív töltést kap? Megoldás:
Negatív töltés esetén a rúdon elektrontöbblet van. A rúd tömege a rávitt elektronok tömegével megnő. (Elektrononként kb. 10 −30 kg-mal.)
3. Ékszíjhajtás alkalmazásakor a
forgódob felületét sokszor a szíjjal azonos anyagú bevonattal látják el. Mi lehet ennek az eljárásnak a célja? Megoldás:
Azonos anyagok esetén nem lép fel a dörzsölés miatti feltölt ődés, ezért nem keletkezik robbanásveszélyes szikra.
4. Elektrosztatikai kísérletek gyakran jól sikerülnek az üres tantetemben, az egész osztály el őtt
bemutatva viszont kevésbé. Mi lehet ennek az oka? Megoldás:
A zsúfolt teremben nagyobb a levegő páratartalma, és így a vezetőképessége is. Ilyenkor a feltöltött testekr ől töltések vezetődnek el. Az elektrosztatikai kísérletek sikerességét nagyban befolyásolja a levegő páratartalma. 5. Ha felfújt léggömbre töltéseket viszünk, a gömb
mérete kissé megváltozik. Hogyan és
miért? Megoldás:
Az azonos töltések egymást taszító hatása miatt a léggömb mérete kismértékben megn ő.
45
19. lecke
Coulomb törvénye
1. Láttuk, hogy 1 coulomb rendkívül nagy töltés, a valóságban csak a töredéke fordul el ő.
A leckenyitó kérdésbeli fémgömbökre viszont egyáltalán nem lehetne töltést vinni. Miért? Megoldás:
A leckenyitó kérdésbeli fémgömbök a Szabadság híd pillérjein találhatóak. A híd fémszerkezete leföldeli fémgömböket, így ezeket nem lehet feltölteni.
2. Mekkora töltés vonzza vele er ővel?
megegyező nagyságú töltést 1 méter távolságból 10 −3 N
Megoldás: F = 10 −3 N r =1m Q=?
A Coulomb törvény szerint egyenl ő nagyságú töltések között fellép ő er ő F Q2 10−3 N 1 −6 nagysága: F = k ⋅ 2 . Ebből Q = r ⋅ =1m ⋅ = ⋅ 10 C 2 Nm k 3 r 9 ⋅109 2 C 1 1 méter távolságból 10 −3 N nagyságú er ővel Q= ⋅ 10 −6 C nagyságú töltések vonzzák 3 egymást.(ha ellentétes el ő jelűek)
3. Milyen távolságból taszítaná egymást 10 N er ővel két darab 1 C
nagyságú töltés?
Megoldás: Q1 = Q2 = Q = 1 C F = 10 N r =?
A Coulomb törvény szerint egyenl ő nagyságú töltések között fellép ő er ő 2 9 Nm 9 ⋅10 k Q2 C2 =3 ⋅ 10 4 m = 30 km (!) nagysága: F = k ⋅ 2 . Ebből r = Q ⋅ =1C ⋅ 10N F r Két egymástól 30 km távolságra lév ő 1-1 C nagyságú töltés taszítaná egymást 10 N nagyságú er ővel. (A feltételes mód használatát az indokolja, hogy a valóságban 1C er ő nem fordul elő.)
46
4. Két kisméretű golyó egymástól 20 cm. Mindkett ő töltése -2 ⋅ 10 −6 C. a. Mekkora és milyen irányú a közöttük fellépő er ő?
b. Hogyan változassuk meg a két golyó távolságát, ha azt szeretnénk, hogy a köztük fellépő er ő fele akkora nagyságú legyen? Megoldás: Q1 = Q2 = Q = −2 ⋅ 10 −6 C
r 1 =0,2m F 2
=
F 1
2 a. F 1 =? b. r 2 =? a. A Coulomb törvény szerint egyenl ő nagyságú töltések között fellép ő er ő 2 4 ⋅10−12 C2 Q2 9 Nm nagysága: F = k ⋅ 2 = 9 ⋅10 ⋅ = 0,9 N C2 0, 22 m 2 r b. A töltések közötti er ő a távolság négyzetével fordítottan arányos, ezért fele akkora er ő egymástól 2 -szer nagyobb távolságra lévő töltések között lép fel. r2 = 2 ⋅ r 1 ≈ 0,28m A két töltés távolságát 20 cm-r ől 28 cm-re kell növelni ahhoz, hogy a köztük fellépő er ő fele akkora nagyságú legyen.
5. Hogyan
változna a torziós szál elcsavarodásának szöge a Coulomb-féle kísérletben, minden egyéb körülmény változatlansága esetén, ha megkétszereznénk a. a torziós szál hosszát; b. a torziós szál átmér ő jét; c. a torziós szál hosszát és átmér ő jét? Megoldás:
A Négyjegyű függvénytáblázatok Rugalmas alakváltozások című fejezetében található összefüggés szerint: az R sugarú, l hosszúságú, henger alakú, G torziós modulusú rúd végeire kifejtett M forgatónyomaték és a hatására létrejövő ϕ elcsavarodás közti kapcsolat: π R 4 ϕ M = G 2 l a. Minden egyéb körülmény változatlansága esetén, a torziós szál ϕ elcsavarodása és l hosszúsága között egyenes arányosság van.. A szál hosszának megkétszerezése esetén tehát az elcsavarodás szöge is kétszerez ődik. b. Minden egyéb körülmény változatlansága esetén, a torziós szál ϕ elcsavarodása és átmér ő jének negyedik hatványa között fordított arányosság van.. Az átmér ő megduplázása az elcsavarodás szögét a tizenhatod részére csökkenti. c. Ha a torziós szál hosszát és átmér ő jét is megkétszerezzük, akkor az elcsavarodás mértéke a nyolcad részére csökken.
47
20. lecke
Az elektromos mező
1. Mekkora és milyen irányú az elektromos térer ősség a pontszer ű 10−8 C töltéstől 1 m távolságban? távolságban? Mekkora er ő hat az ide elhelyezett 2 ⋅ 10−8 C töltésre? Hol vannak azok a pontok, amelyekben amelyekben a térer térer ősség ugyanakkora? Megoldás: − Q = 10 8 C =1m r =1m 10−8 C q = 2 ⋅10
=? E =? =? F =? Nm2 10−8 C N = 90 Q ponttöltés terében a térer ősség E = k ⋅ 2 = 9 ⋅10 ⋅ 2 2 C 1m r C Az E térer ősségű pontba helyezett q töltésre ható er ő: N F = E ⋅ q = 90 ⋅ 2 ⋅10 −8 C = 1, 8 ⋅10 −6 N C Q
9
Ponttöltés terében az elektromos térer ősség nagyságát az E = k ⋅
Q r 2
adja. Az E térer ősség
nagysága állandó azon pontokban melyek a Q ponttöltéstől adott r távolságban vannak, vagyis egy r sugarú gömbfelületen, melynek középpontjában középpontjában a Q töltés van.
2. Ha Q töltés a töltést ől r távolságban E térer ősséget kelt, mekkora a térer ősség a. 2Q töltéstől 2r távolságban? b. 2Q töltéstől r/ 2 távolságban? Megoldás:
Q ponttöltés terében a töltést ől r távolságban a térer ősség E = k ⋅
Q r 2
összefüggés szerint a Q
töltéssel egyenesen, az r távolság négyzetével fordítottan arányos. a. Ha a Q töltést és az r távolságot egyszerre kétszerezzük, kétszerezzük, akkor a térer ősség egyszerre duplázódik és negyedelődik, vagyis felez ődik. b. Ha a Q töltést kétszerezzük az r távolságot pedig felezzük, akkor a térer ősség egyszerre duplázódik és négyszerez ődik, vagyis nyolcszorozódik. nyolcszorozódik.
48
nagysá ságú gú tölt töltés ések eket et 10−6 C és - 10−6 C nagy helyezünk el. Mekkora és milyen irányú a térer ősség a szakasz a) F felező pontjában b) felezőmer őlegesének az F ponttól 1 m távolságra lév ő X pontjában? c) Van-e olyan pont, ahol a térer ősség zérus? 3. Egy Egy 2 m ho hoss sszú zúsá ságú gú szak szakas aszz végp végpon ontj tjai aiba bann
Megoldás: 2a=2m
Q = 10−6 C E=?
a) A szakasz F felező pontjában az egyes töltések töltések által keltett E1 = k ⋅
Q a2
térer ősség-
vektorok nagysága és irány megegyezik. Az F pontbeli eredő térer ősség: 2 10−6 C N Q 9 Nm ⋅ 2 = 1, 8 ⋅104 EF = 2 ⋅ E1 = 2k ⋅ 2 = 2 ⋅ 9 ⋅10 2 C 1m C a Az E F vektor iránya párhuzamos a szakasszal, a pozitív el ő jelű töltéstől a negatív el ő jelű felé mutat. b)
Az X pont d távolsága a szakasz két végpontjától egyenl ő: d = a ⋅ 2 Az egyes töltések által keltett térer ősség-vektorok nagysága: E1 = k ⋅
Q
= k ⋅
Q
2a 2 Az X pont a szakasz két végpontjával derékszög ű háromszöget alkot, ezért az ered ő térer ősség-vektor Pitagorasz-tétele szerint az E 1 nagyságának 2 - szerese. Q N EX = 2 ⋅ E 1 = 2 ⋅ k ⋅ 2 = 6,36 ,36 ⋅103 2a C Az eredő térer ősség-vektor a töltéseket összeköt ő szakasszal párhuzamos.
c) A térer ősség nagysága csak a végtelen távoli pontban lesz zérus.
49
d 2
4. Az alábbi ábra (122.oldal) egy ponttöltés terében a töltést ől való r távolság függvényében ábrázolja az E térer ősséget. a) Mekkora a teret keltő ponttöltés? b) Mekkora a térer ősség a töltést ől 3 m távolságban?
c) Hol van az a pont, ahol a térer ősség 9 ⋅103
N ? C
Megoldás:
a) A grafikonról leolvasható, hogy a töltéstől r =1m =1m távolságban lév ő pontban a N térer ősség nagysága E 1 = 3,6 ⋅10 4 . Ponttöltés terében a térer ősség C távolságfüggését távolságfüggését az E = k ⋅
Q r 2
összefüggés adja meg. Ebb ől
N 2 1 m ⋅ E ⋅ r C = = 4 ⋅10 Q= 10 −6 C 2 Nm k 9 ⋅109 2 C b) A térer ősség nagysága a töltést ől 3 m távolságban 9-ed annyi, mint 1m távolságban. E N Numerikusan: E 3 = 1 = 4 ⋅103 9 C 2 −6 9 Nm ⋅ ⋅ ⋅ 9 1 0 4 1 0 C 2 k ⋅Q Q C = c) Az E = k ⋅ 2 összefüggésb ől r = =2 m E r 3 N 9 ⋅10 C 2
3, 6 ⋅10 10 4
50
21. lecke
Az elektromos erővonalak
1. Rajzoljuk meg az ellentétesen egyenlő töltésű fémlemezek közti elektromos mező er ővonalábráját a pozitívan, illetve a negatívan töltött fémlemez er ővonalábrájának ismeretében! Miért nincsenek er ővonalak a két ellentétesen töltött lemezen kívüli
térrészekben? Megoldás:
A lemezeken kívüli térrészekben nincs elektromos mez ő, mert a két lemez által keltett térer ősségek kioltják egymást
2. Nagy hosszúságú vezet őre töltést viszünk. Milyen lesz a kialakult tér er ővonalrendszere? Milyen alakú az a felület, amely minden pontjában mer őleges az er ővonalakra? Hogyan változik az er ővonalak sűr űsége a vezetőtől távolodva? Megoldás:
Az er ővonalak egyenesek, mer őlegesek a vezet őre. A keresett felület egy olyan henger palástja, amelynek tengelye a vezető.
Az er ővonalak sűr űsége a vezetőtől távolodva csökken.
51
22. lecke
Az elektromos mező munkája, a feszültség
1. Mennyivel nő egy elektron energiája, ha 1V
feszültségű pontok között gyorsul fel?
Megoldás: U =1V − Q = e = 1,6 ⋅10 19 C
W =? W = U ⋅ e = 1V ⋅1,6 ⋅10-19C=1,6 ⋅10-19J =1eV 2. Mekkora gyorsító feszültség hatására lesz 500 eV mozgási energiája egy elektronnak?
Mekkora a sebessége? Ez hány százaléka a fénysebességnek? Megoldás: E kin = 500eV
q = e = 1,6 ⋅10−19 C m = 9,1 ⋅10−31 kg U =? v=?
Az eV fogalmából következik, hogy 500 eV mozgási energiája 500 V gyorsító feszültség hatására lesz. 2 ⋅ 500V ⋅1,6 ⋅10−19 C 2 ⋅U ⋅ e 1 2 7 m Az U ⋅ e = mv összefüggésb ől v = = =1,33 ⋅ 10 9,1⋅10−31 kg 2 m s m 1,33⋅107 s = 4,4% -a Ez a fénysebességnek m 3 ⋅108 s 3. Egy töltés elektromos mez ő ben mozog. A mező munkavégzése nulla. Milyen felületen helyezkedik el a mozgás pályája, ha a mező
a) homogén b) ponttöltés tere? Megoldás: Ha a mező munkavégzése nulla, akkor a W = U ⋅ Q
összefüggés alapján a mozgás
pályájának pontjai ekvipotenciális felület pontjai. a) homogén mező ben ekvipotenciális felületek az er ővonalakra mer őleges síkok. b) Ponttöltés terében ekvipotenciális felületek olyan gömbfelületek melyek középpontja a mezőt keltő töltés
52
Milyen mozgást végez homogén elektromos mez ő ben egy +q töltéssel rendelkező, álló helyzetből induló, szabadon mozgó, m tömeg ű részecske? Milyen er ő mozgatja? Hogyan alakul a sebessége? 4.
Megoldás:
A töltött részecskét F = Eq állandó nagyságú elektrosztatikus er ő gyorsítja. Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Gyorsulása állandó: a = Sebessége az idővel arányosan növekszik: v = at =
Eq m
F m
=
Eq m
.
t
u r
5. Milyen pályán és hogyan mozog az E térer ősségű homogén
u u r
elektromos mező ben v0 kezdősebességgel elindított, +q töltéssel és m tömeggel rendelkező, szabadon mozgó test, ha az E és v0 vektorok a) azonos irányúak b) ellentétes irányúak c) mer őlegesek egymásra? u r
u u r
Megoldás:
Mivel a töltés pozitív el ő jelű a térer ősség-vektor elő jele megegyezik a testre ható elektrosztatikus er ő irányával a) a test a =
F m
=
Eq
állandó gyorsulással egyenes vonalú pályán mozog.
m v = v0 + at összefüggés szerint egyenletesen n ő.
Sebessége a A mozgás idő beli alakulása olyan, mint a kinematikában tanult lefelé hajítás gravitációs térben. b) A test egyenes vonalú mozgást végez. Egy ideig egyenletesen lassul, majd megáll, ezután egyenletesen gyorsul. A mozgás id ő beli alakulása olyan, mint a függőleges hajítás fölfelé. c) A mozgás pályájának alakja és id ő beli lefolyása olyan, mint a vízszintesen elhajított testé: A pálya parabola alakú. A sebességvektor E irányú komponense egyenletesen nő, v0 irányú komponense idő ben állandó. u r
u u r
6. Milyen mozgást végez + Q rögzített töltés terében egy +q töltéssel rendelkező, álló helyzetből induló, szabadon mozgó test? Milyen er ő mozgatja? Hogyan alakul a sebessége? Megoldás:
Az azonos el ő jelű töltések között fellépő taszító Coulomb er ő miatt er ő miatt a rögzítetlen q töltés gyorsuló mozgással távolodik a rögzített Q töltéstől. A Coulomb er ő a távolság növekedésével csökkenő, ezért a töltés csökken ő gyorsulással, de növekv ő sebességgel távolodik a Q töltéstől.
53
23. lecke
A vezetők az elektrosztatikus térben. Kapacitás, kondenzátorok
1. Hogyan változik a lemezek közti térer ősség és feszültség, valamint a
kondenzátor kapacitása, töltése és energiája az elektromos haranggal végzett kísérlet során? Megoldás:
Az egyszer feltöltött kondenzátor lemezei között pattogó golyó a lemezek között töltést szállít mindaddig, amíg a lemezek töltése ki nem egyenlítődik; a kondenzátor töltése tehát csökken. A kapacitás a kondenzátor geometriai méreteitől függ; ez nem változik. Mivel a töltés csökken, miközben a kapacitás állandó a kondenzátor feszültsége és energiája is csökken.
2. A fémburkolatba bezárt üregbe nem hatol be a küls ő elektromos tér, mint ahogy egy
elsötétített szobába sem jut be a napfény. A fény útját elzáró árnyékolás mindkét irányban akadályozza a fény terjedését. Vajon kétirányú-e az elektromos árnyékolás is? Vizsgájuk meg, hogy megvédi-e a gömbhéj a külső teret a fémburkolattal körülvett töltés elektromos mező jétől! Megoldás:
Az ábrán egy feltöltött testet vesz körbe egy töltetlen üreges fémtest. Az er ővonal ábra szerint a burkoló fémen kívüli térrészben észlelhető er ővonalkép ugyan olyan, mintha nem burkoltuk volna be a töltött fémtestet. Ezzel az eljárással tehát nem lehet a fémtesten belülre korlátozni az elektromos mezőt.
54
3. Rögzítsünk két fémgömböt a sugarukhoz képest nem nagy távolságban! Ha a gömbökre + Q és – Q töltést viszünk, akkor a köztük fellépő er ő nagyobb, mintha mindkettőre azonos, például +Q töltést viszünk. Miért? Megoldás:
Az ellentétesen, illetve az azonosan töltött fémgömbökön létrejöv ő kölcsönös megosztást az ábra szemlélteti. Az egymást vonzó ellentétes el ő jelű töltések (a. ábra) távolsága kisebb, mint az egymást taszító azonos el ő jelű töltések (b ábra) távolsága.
a) ábra
b) ábra
4. Működne-e légüres térben a locsoló berendezéseknél használt vizes Segner-kerék? Működne-e légüres térben az elektromos Segner-kerék? Megoldás:
A locsoló berendezéseknél használt Segner-kerék a hatás-ellenhatás elvén m űködik. Itt a kölcsönhatás a víz és a locsoló berendezés között valósul meg; tehát légüres térben is működne. Az elektromos Segner-kerék szintén a hatás-ellenhatás elvét használja: a leveg ő molekuláinak vonzásával majd eltaszításával jön forgásba. Légüres térben tehát nem m űködik.
5. Néhány benzinkútnál árusítanak propán-bután gázt tartalmazó gázpalackot. Tárolásukat fémből készült, rácsos szerkezetű tárolókkal oldják meg. Miért? Megoldás:
A villámcsapás elleni védelem céljából alkalmazott fémburkolat Faraday-kalitkaként működik.
55
6. Mekkora töltés tölti fel a 20 μ F kapacitású kondenzátort 12V
feszültségre?
Megoldás: C = 12μF U =12V Q=?
Q = C ⋅U = 20μF ⋅12V = 2, 4 ⋅10−4 C
7. Két párhuzamos fémlemez töltése + Q és – Q. Kezdeti, közel nulla távolságukat a két lemez távolításával növeljük. A lemezek mozgatásához le kell gy őznünk a két lemez közti vonzóer őt, munkát kell végeznünk. Mire fordítódik ez a munka? Megoldás:
A lemezek között homogén elektromos mez ő épül fel. A lemezek közti vonzóer ő a lemezek távolítása közben állandó. (Nem csökken!) A vonzóer ő és a lemezek elmozdulásának szorzata megadja a végzett munkát. A lemezek távolodásakor egyre nagyobb méret ű és ezért egyre nagyobb energiájú az elektromos mező. Erre fordítódik a végzett munka.
56
24. lecke
Az elektromos áram, az áramerősség, az egyenáram
1. Elektromos meghajtású vonatok, villamosok vontatási árama a felső vezetéken érkezik az áramszed őkhöz, és a kerekeken keresztül távozik a sínekbe. A Combino villamos legnagyobb áramfelvétele 1200A. Hány elektron halad át ekkora áramer ősség esetén az áramszed őkön
másodpercenként? Megoldás: I =1200A t =1s − e = 1,6 ⋅10 19 C
n=? I =
Q t
=
n⋅e t
. Ebből n =
I ⋅ t e
=
1200A ⋅1s =7,5 ⋅1021 -19 1,610 C
2. 1 mm 2
keresztmetszetű szigetelt vörösréz vezeték legnagyobb megengedhető terhelése 11 A. Számítsuk ki ebben a vezetékben az elektronok átlagos rendezett haladási sebességét! (Atomonként egy vezetési elektront feltételezünk) Megoldás: A=1 mm 2 I =11A
kg (A réz moláris tömege) mol kg ρ = 8920 3 (A réz sűr űsége) m e = 1,6 ⋅10−19 C v=?
M = 0,063
kg 23 1 6 10 8920 ⋅ ⋅ N ⋅ ρ mol m3 =8, 5 ⋅1028 1 A térfogategységre jutó atomok száma: n = A = 3 kg m 0,063 mol Ennyi a térfogategységre jutó vezetési elektronok száma is. Az 1. kidolgozott feladat 160. oldali megoldása szerint az elektronok átlagos sebessége: I 11A m mm =8 ⋅10−4 = 0,8 v= = 1 s s A ⋅ n ⋅ e 10−6 m 2 ⋅ 8,5 ⋅10 28 3 ⋅1,6 ⋅10 −19 C m
57
3. Készítsük el a 126. oldalon
látható egyszer ű áramkör bővített változatait! a) Kétkapcsolós ÉS kapcsolás: az izzó akkor világít, ha a két kapcsoló mindegyike zárva van! b) Kétkapcsolós VAGY kapcsolós kapcsolás: az izzó akkor világít, ha a két kapcsoló közül legalább az egyik zárva van! c) Alternatív kapcsolás: két kapcsolót tartalmazó áramkörben bármelyik kapcsoló állapotának az izzó állapotának megváltozását eredményezze! (Az áramkörben használjunk alternatív kapcsolót) Megoldás:
a)
b)
c)
58
25. lecke
Az elektromos ellenállás, Ohm törvénye
1. Hogyan jelenik meg a vezet ő ellenállása az alábbi I-U grafikonokban? Az ábra A és B pontjához azonos áramer ősség-és különböző feszültségértékek, a B és C pontjához azonos feszültségérték- és különböző áramer ősség-értékek tartoznak. Fogalmazzunk meg egy-egy
mondatot ezen értékek összehasonlítására!
Megoldás:
Az ellenállást definiáló R =
U I
összefüggés szerint az I-U grafikon meredeksége
1 R
Az A és B pontokat összehasonlító mondat: nagyobb ellenálláson nagyobb feszültség hajt át nagyobb áramot. A B és C pontokat összehasonlító mondat: nagyobb ellenálláson ugyanakkora feszültség kisebb áramot hajt át.
2. Egy fémhuzal hossza rugalmas er ő hatására 10%-kal megnőtt. Hogyan változott az ellenállása? (Feltételezzük, hogy sűr űsége nem változik) Megoldás: l2 = 1,1 ⋅ l 1
ρ1 = ρ2 ( ρ1 és ρ 2 itt sűr űség) R2 R1
=?
l 2 R A Adott anyagú ellenálláshuzalok esetén 2 = 2 l 1 R1 A1
=
l2 ⋅ A1 l1 ⋅ A2
A sűr űség változatlanságából a térfogat állandósága is következik: l1 ⋅ A1 = l2 ⋅ A2 l2
= 1,1 ⋅ l 1 -ből A2 =
Így
R2 R1
=
l2 ⋅ A1 l1 ⋅ A2
=
A1
1,1 1,1 ⋅ l 1 l 1
A1
= 1,21
1,1 Az ellenállás értéke tehát 1,21-szeresére, azaz 21%-kal n ő.
59
3. Egyik
végüknél összeer ősítünk két egyenlő hosszúságú és keresztmetszet ű sárgaréz és acélhuzalt, majd a szabad végeikre 36V-os feszültségforrást kapcsolunk. Mekkora feszültség mérhető a sárgaréz, illetve az acélhuzal végpontjai között? A sárgaréz fajlagos ellenállása 10 −7 Ω ⋅ m , az acélé 8 ⋅10−7 Ω ⋅ m . Megoldás: l1 = l 2
A1 = A2 U=36V
ρ1 = 10−7 Ω ⋅ m ρ2 = 8 ⋅10−7 Ω ⋅ m
=? U 2 = ? U 1
Az azonos geometriai méretek miatt
R1 R2
=
ρ1 1 = A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik ρ2 8
át, ezért feszültségeik aránya egyenl ő a két ellenállás arányával:
U1 U2
=
R1 R2
. Az áramforrás
feszültsége a két ellenálláson oszlik el: U 1 +U 2 = 36V A két feszültség összegének és arányának ismeretében U 1 = 4V és U 2 = 32V
4. Mekkorának kell választani a 3. feladatbeli huzalok hosszának arányát ahhoz, hogy a huzalokon eső feszültségek értéke egyenl ő legyen? Megoldás: A1 = A2
U 1 = U 2
ρ1 = 10−7 Ω ⋅ m ρ2 = 8 ⋅10−7 Ω ⋅ m l 1 12
=?
A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik át, ezért feszültségeik aránya egyenl ő a két ellenállás arányával, ezért esetünkben R1 = R2 Az azonos keresztmetszetek miatt: l ρ ρ1 ⋅ l1 = ρ2 ⋅ l 2 . Ebből 1 = 2 = 8 . A rézhuzal hossza 8-szorosa az acélénak l 2 ρ1
60
5. Mekkorának kell választani a 3. feladatbeli huzalok keresztmetszetének arányát ahhoz, hogy a huzalokon eső feszültségek értéke egyenl ő legyen? A huzalok hossza egyenl ő marad. Megoldás: l1 = l 2
U 1 = U 2
ρ1 = 10−7 Ω ⋅ m ρ2 = 8 ⋅10−7 Ω ⋅ m A1 A2
=?
A két huzal-ellenálláson azonos áram folyik át, ezért feszültségeik aránya egyenl ő a két ellenállás arányával, ezért esetünkben R1 = R2 Az azonos huzal-hosszak miatt: ρ 1 A ρ1 ρ2 . Ebből 1 = 1 = . A rézhuzal keresztmetszete 8-adrésze az acélénak = A2 A2 ρ2 8 1
6. Egy tanya és egy
város közti elektromos vezetéket rézr ől alumíniumra cserélik. Hogyan változik a vezeték tömege, ha az a feltétel, hogy az új vezeték ellenállása a régiével megegyez ő legyen? Megoldás: l1 = l 2
R1 = R2
Sűr űségadatok: ρAl = 2,7kg/dm 3 ρCu = 8,9kg/dm3 Fajlagos ellenállás adatok. ρAl = 2, 67 ⋅10−8 Ωm ρCu = 1,69 ⋅10−8 Ωm m2 m1
=?
Az azonos ellenállások és hosszúságok miatt:
ρ1 1
=
ρ2
A2
ρ2 2,67 ⋅10−8 Ωm = 1,58 Ebből = = A1 ρ1 1,69 ⋅10−8 Ωm A2
kg ρ ⋅A m dm3 ⋅1, 58 = 0, 48 . Az alumínium vezeték tömege A tömegek aránya: 2 = 2 2 = kg ρ1 ⋅ A1 m1 8,9 3 dm Kb. fele az azonos hosszúságú és ellenállású rézvezetékének. 2,7
61
26. lecke
Az áram hő-, és élettani hatása
1. Egy 1800W-os elektromos f űtőtest 230V-os hálózatról üzemeltethet ő. Számítsuk ki a f űtőtest ellenállását és a felvett áramot! Megoldás: P = 1800W U =230V R=? I =?
U 2
U 2
(230V)2 A P = összefüggésb ől R = = ≈ 30Ω R P 1800W U 230V Ohm törvénye miatt: I = = = 7,7A R 30Ω A f űtőtest ellenállása 30 Ω , a felvett áram 7,7 A.
2. Egy mosógép ökoprogramja szerint 5,5 kg ruha
mosását 150 perc alatt végzi el. Közben 1,5 kWh áramot fogyaszt, és 58 liter vizet használ, melyb ől 20 litert melegít fel 15 °C- ról 60 °C- ra. a) Mennyibe kerül egy ilyen mosás? b) Hány százalékát fordítja a víz melegítésére a felhasznált energiának? (1 kWh elektromos energia árát vegyük 35 Ft-nak) Megoldás: W =1,5kWh V =20 l víz Δ T = 45 °C
J kg ⋅ K 1 kWh elektromos energia ára 35 Ft Mosás ára? cvíz
= 4180
Hány százalékát fordítja a víz melegítésére a felhasznált energiának? 1,5kWh elektromos energia ára: 1,5 ⋅ 35Ft = 53Ft A víz melegítésére fordított energia: J ⋅ 20kg ⋅ 45O C = 3, 76 ⋅106 J Q = cvíz ⋅ m ⋅ ΔT = 4180 kg ⋅ K A felhasznált energia: W =1,5kWh= 1,5 ⋅ 3, 6 ⋅106 J = 5, 76 ⋅106 J 3, 76 ⋅106 J Ennek = 0,65 =65%-át fordítja a mosógép a víz melegítésére. 5, 76 ⋅106 J
62
Ha egy fogyasztó feszültségét növeljük, akkor n ő a teljesítménye és az általa –adott id ő alatt- elfogyasztott elektromos energia is. Hány százalékkal n ő a fogyasztás, ha a feszültségnövekedés 4,5%-os? 1999-ben a hálózati feszültség értékét 4,5%-kal növelték:220V-ról 230V-ra. A villanyszámlákon megjelenő fogyasztás százalékos növekedése azonban lényegesen elmaradt az előző kérdésre adott – helyes- válasz értékét ől. Miért? 3.
Megoldás: U 2 = 1,045 ⋅ U 1
W 2 W 1
=?
Azonos ellenállások és azonos idej ű fogyasztásokat feltételezve: 2 W2 P 2 ⎛ U 2 ⎞ = = ⎜ ⎟ = 1, 0452 = 1, 09 W1 P 1 ⎝ U 1 ⎠ Azonos ellenálláson ugyanannyi idő alatt a fogyasztás 9%-kal nő, A hálózati feszültség 4,5%-os növelése nem okoz a fenti feladat alapján várt 9%-os fogyasztásnövekedést. Az el ő bb feltételeztük, hogy azonos ideig használjuk a megemelt feszültségű hálózatot. A felhasznált elektromos energiának melegítésre (f űtés, vasalás, vízmelegítés) fordított hányada nem változik. Az elektromos vízmelegítő például rövidebb ideig üzemel magasabb feszültség esetén. 4. Egy háztartásban személyenként és naponta átlagosan 40 liter 40°C-os meleg vízre van szükség. Mennyi idő alatt és milyen költséggel állíthatjuk ezt el ő 1,8kW teljesítményű vízmelegítőnkkel, ha a melegítés hatásfoka 80% ? Ez a melegvíz- igény 20 liter víz 60°C-osra melegítésével és hideg vízzel való keverésével is kielégíthet ő. Ekkor azonban a nagyobb hőveszteség miatt a melegítés hatásfoka csak 60%. Melyik megoldás olcsóbb?
(A hideg csapvíz 18°C-os, az elektromos energia ára 35Ft/kWh) Megoldás: V 1 = 40 l víz
P =1,8 kW cvíz
= 4180
J kg ⋅ K
η1 = 0,8 T 1 = 18°C T 2 = 40°C T 3 = 60°C V 2 = 20 l η2 = 0,6 t1 =? W 1 =? t2 =? W 2 =?í
63
W 1 =
c ⋅ m1 ⋅ ΔT η1
4180
=
J ⋅ 40kg ⋅ 22 O C kg ⋅ K =4,6 ⋅106 J =1,27 kWh . 0,8
Ennek ára 44 Ft. A melegítés ideje: t1 =
W 2 =
c ⋅ m2 ⋅ ΔT η1
4180
=
1,27kWh = 0,7h = 42 min 1,8kW P
W 1
=
J ⋅ 20kg ⋅ 42 O C kg ⋅ K =5,85 ⋅106 J =1,62 kWh . 0,6
Ennek ára 57 Ft. A melegítés ideje: t2 =
W 2 P
=
1,62kWh = 0,9h = 54 min 1,8kW
5. Egy hagyományos, 60watt teljesítményű izzólámpa átlagos élettartama 1000 óra,
ára 66 Ft. Egy 12 wattos kompakt izzó hasonló fényer őt biztosít, üzemideje 8000 óra, ára 2100 Ft. A kompakt izzó élettartama alatt tehát átlagosan 8 db hagyományos izzót használunk el. Hasonlítsuk össze a két fényforrás beszerzési és üzemeltetési költségeit ez alatt a 8000 óra alatt! Határozzuk meg –grafikusan vagy számításokkal- azt az üzemidőt, amely után már megtakarítást jelent a kompakt izzó használata! (1 kWh elektromos energia árát vegyük 35 Ft-nak.) Megoldás: P 1 = 60W
P 2 = 12W a1 = 66Ft a2 =2100 Ft t =8000 h
A hagyományos izzó fogyasztása 8000 óra alatt: W1 = P1 ⋅ t = 60W ⋅ 8000h = 480kWh Ez 480 ⋅ 35Ft = 16 800Ft -ba kerül. 8000 óra alatt 8db izzót használunk el, ezek ára 8 ⋅ 66Ft = 528Ft . A hagyományos izzókkal kapcsolatos összes költség tehát 16800Ft+528Ft=17 328 Ft. A kompakt izzó teljesítménye és ezért fogyasztása is ötöde a hagyományos izzóénak: 96kWh, ára 3 360 Ft. Beszerzési költségével együtt 3 360Ft+2 100Ft=5 460 Ft.
64
27. lecke
Fogyasztók kapcsolása
1. Számítsuk ki az első kidolgozott feladat háromszögében az A és C , valamint a B és C pontok közti eredő ellenállást! Megoldás: R1 = 10Ω
= 20Ω R3 = 30Ω RAC = ?, RBC = ? R2
A kidolgozott feladat megoldását követve: R AC =
R BC =
R2,3 ⋅ R1 R2,3 + R1 R1,3 ⋅ R2 R1,3 + R2
=
=
(R2 +R3 )R1 R2 + R3 + R1 (R1 +R3 )R2 R1 + R3 + R2
=
(20Ω + 30Ω) ⋅10Ω = 8,3Ω 20Ω + 30Ω + 10Ω
=
(10Ω + 30Ω) ⋅ 20Ω = 13,3Ω 10Ω + 30Ω + 20Ω
2. 9 V feszültségű áramforrásra egy 60 Ω-os és egy 30 Ω-os fogyasztót kapcsolunk
párhuzamosan. Mekkorák a mellékágak áramai? Megoldás: U = 9V
R1 = 60Ω
= 30Ω I 1 = ? I 2 = ?
R2
U 9V = = 0,15A R1 60Ω U 9V = = 0,3A I 2 = R 2 30Ω I 1
=
65
3. A második kidolgozott feladat szerinti kapcsolásban cseréljük ki a feszültségforrást! Az ellenállások értéke továbbra is R1 = 60 Ω, R2 = 20 Ω és R3 = 30 Ω. Az árammér ő által jelzett érték I 2 = 0,45 A. a) Milyen értéket jelez a feszültségmér ő? b) Mekkora a f őág árama és az R3 ellenálláson átfolyó áram? c) Mekkora a telep feszültsége? Megoldás: R1 = 60 Ω, R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω I 2 = 0,45 A. U1 =?
=? I 3 = ? U =? I 0
Az R2 ellenálláson eső feszültség U 2 = I 2 ⋅ R 2 = 20Ω ⋅ 0, 45A = 9V . Ugyanekkora az R3 ellenállás feszültsége is. Az R 3 ellenálláson átfolyó áram er őssége: U 9V =0,3A I 3 = 3 = R3 30Ω A f őág árama két mellékág áramának összege: I0 = I2 + I3 =0,45A+0,3A=0,75 A feszültségmér ő a f őágban lévő ellenállás feszültségét méri: U1 = R1 ⋅ I 0 = 60Ω ⋅ 0,75A = 45V A telep feszültsége U= U1 + U 2 =45V+9V=54V 4. Két fogyasztó közül az egyik 1 k Ω ellenállású és 40 W névleges teljesítmény ű, a másik 6 k Ω-os és 60 W névleges teljesítményű. a) Határozzuk meg az egyes fogyasztók névleges feszültségét és áramer ősségét! b) Mekkora feszültséget kapcsolhatunk a rendszer sarkaira, ha a két fogyasztót sorosan
kapcsoljuk? c) Mekkora áram folyhat át a rendszeren, ha a két fogyasztót párhuzamosan kapcsoljuk? Megoldás:
R1 = 1k Ω P1 = 40W R 2 = 6k Ω P2 = 60W U1 = ? U2 = ? I1 = ? I2 = ? U max = ? I max = ?
66
U2 A P= összefüggésb ől a névleges feszültségek: U1 = P1 ⋅ R 1 = 40W ⋅1000Ω = 200V és R U 2 = P2 ⋅ R 2 = 60W ⋅ 6000Ω = 600V P1 40W P 60W = = 0,2A és I 2 = 2 = = 0,1A R1 1000Ω R2 6000Ω A fogyasztók soros kapcsolása esetén közös az áramer ősségük, ezért a két névleges áramer ősségből kiválasztjuk a kisebbet: I2 = 0,1A A sorosan kapcsolt fogyasztók ellenállása összeadódik: R e = R1 + R 2 = 7kΩ . A fogyasztókra kapcsolható maximális feszültség: U max = I2 ⋅ R e = 0,1A ⋅ 7000Ω = 700V A fogyasztók párhuzamos kapcsolása esetén közös a feszültségük, ezért a két névleges feszültségből kiválasztjuk a kisebbet: U1 = 200V A párhuzamosan kapcsolt fogyasztók R ⋅ R ellenállása: R e = 1 2 = 0.857kΩ . A fogyasztókra kapcsolható maximális áramer ősség: R1 + R 2 U 200V =0,233A Imax = 1 = R e 857Ω A P = I2 ⋅ R összefüggésből I1 =
5. Számítsuk ki a telep
által szolgáltatott teljesítményt az ábra szerinti áramkörben!
Megoldás: U =24V R1 = 12 Ω, R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω P =?
Az áramkör eredő ellenállása: R e = R1 +
R 2 ⋅ R 3 20Ω ⋅ 30Ω = 12Ω + = 24Ω R 2 + R3 20Ω + 30Ω
U2 (24V) 2 = = 24W Az áramkör teljesítménye: P = R e 24Ω
67
6. Gépkocsiban használt 12 V-os izzók közül az egyik 60 W-os, a másik 20 W-os. Tudva,
hogy a sorba kapcsolt fogyasztók feszültsége összeadódik, a két izzót sorosan kapcsoljuk, és egy 24 V feszültségű áramforrással akarjuk üzemeltetni. Az egyik izzó azonban igen gyorsan kiég. Melyik és miért? Megoldás:
U1 = U 2 = 12V =12V P1 = 60W P2 = 20W U = 24V U 2 (12V) 2 U 2 (12V)2 = = 2, 4Ω és R 2 = = = 7, 2Ω Az izzók ellenállása: R1 = P1 60W P2 20W Sorba kötve őket az eredő ellenállás: R e = R1 + R 2 = 9,6 Ω Az izzókon átfolyó áram er őssége: U 24V = 2,5A I= = R 9,6Ω Az egyes izzókra es ő feszültség: U1 = I ⋅ R1 = 2,5A ⋅ 2, 4 Ω = 6V és U 2 = I ⋅ R 2 = 2,5A ⋅ 7, 2 Ω = 18V A 24V-os feszültség tehát nem 12V-12V arányban esik az ellenállásokon, hanem 6 V-18 V arányban. A 20 W-os izzó kiég.
68
28. lecke
A vezetők az elektrosztatikus térben. Kapacitás, kondenzátorok
2. Figyeljük meg, hogy az elemtartóba helyezett ceruzaelemek pólusai hogyan vannak kapcsolva! Mekkora a két darab ceruzaelemb ől összeállított telep feszültsége? Megoldás:
A két ceruzaelem feszültsége összeadódik.
3. Egy U max = 10 V méréshatású voltmér ő belső ellenállása RV = 2 k Ω. A műszerrel sorosan kapcsolunk egy Re = 18 k Ω nagyságú ellenállást. a) Mekkora áram folyik át a m űszeren, amikor 10 V feszültséget jelez? b) Mekkora a feszültség az Re ellenállás sarkain ( U BC) az előző áramer ősség esetén? Hányszorosa ez a m űszerre eső U AB feszültségnek? c) Mekkora az U AC feszültség? Hányszorosa ez a műszer által jelzett feszültségnek? d) Hogyan változik ez az arány akkor, ha a m űszer 8 V feszültséget jelez? e) A műszer elé kapcsolt ellenállás neve el őt ét-ellenállás ( Re). Alkalmazásával U AC nagyságúra növeltük a műszer U AB = 10 V méréshatárát. Hányszoros méréshatár-növelést
jelent ez? f) Mekkora előtét-ellenállást alkalmazzunk egy adott RV ellenállású feszültségmér ő méréshatárának n-szeresre növeléséhez? Megoldás: U max = 10 V RV = 2 k Ω Re = 18 k Ω
U 10V = = 5mA R 2k Ω b) U BC = I ⋅ R e = 5mA ⋅18kΩ = 90V Ez a műszer által jelzett érték 9-szerese. c) U AC = U AB + UBC = 100V Ez a műszer által jelzett érték 10-szerese. d) Ha műszerre kisebb feszültség jut, akkor a m űszeren átfolyó áram is arányosan kisebb lesz. Az előtét ellenállás feszültsége is arányosan kisebb lesz. Az U AC érték most is tízszerese a műszerre jutó feszültségnek. e) 10-szeres méréshatár növekedést. f) R e = (n − 1) ⋅ R V
a) I =
69
