84
C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H YP E R S T A T IQ U E S
∂W =0 ∂X i
(5.1)'
Le théorème découle de celui de Castigliano (1ère forme). Ce résultat est évident dans le cas d'une inconnue hyperstatique externe (c'est-à-dire une réaction), puisque le déplacement est nul dans la direction de la réaction. Nous reviendrons plus loin sur la signification de ce résultat [(5.1)'] dans le cas d'une inconnue hyperstatique interne.
Chapitre 5 CALCUL DES SYSTÈMES PLANS PAR LA MÉTHODE DES FORCES
Le théorème de Menabrea signifie que les forces hyperstatiques prennent des valeurs qui rendent minimale l'énergie potentielle interne exprimée en fonction des sollicitations, dont les forces hyperstatiques, appliquées au système considéré. Ainsi, pour chaque inconnue hyperstatique Xi le théorème de Menabrea fournit une équation (de continuité). La résolution du système d’équations ainsi obtenu permet de trouver les inconnues hyperstatiques et de résoudre le problème qui devient isostatique.
5.1 SYSTEME CONCORDANT - MANQUE DE CONCORDANCE DÉFINITION : On dit qu’un système hyperstatique est concordant quant à ses appuis, ou encore que les appuis d’un système hyperstatique sont concordants, lorsque les composantes de réaction sont toutes nulles en l’absence de sollicitations extérieures (Figure 5.1a).
Dans le cas d’un système linéaire L plan dont les éléments de réduction sont désignés par M, N et T (Mt=0), l’expression générale de W (voir chapitre 3) est de la forme :
W=
1 2
M2 1 ds + EI 2
∫ L
N2
∫ EA ds
+
L
1 T2 κ ds 2 GA
∫ L
Si le système est constitué de plusieurs barres (poutres) Li l’intégrale est étendue à chacune d’elles : Manque de concordance a) Système concordant
b) Système non concordant
Figure 5.1 Dans le cas contraire - Figure 5.1b - les appuis sont dits non concordants (les composantes de réaction ne sont pas toutes nulles). Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement linéaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa position réelle. 5.2 THEOREME DE MENABREA THÉORÈME : La dérivée partielle de l’énergie potentielle interne (W) d’un système par rapport à une inconnue hyperstatique externe ou par rapport à la valeur commune de deux inconnues hyperstatiques internes Xi dégagées par une coupure, est égale au manque de concordance correspondant ci.
∂W = ci ∂X i
W=
(5.1)
Dans le cas d’un système concordant cette dérivée est toujours nulle, soit :
1 2
∑∫ i
Li
M2 1 ds + EI 2
N2
T2
1
∑ ∫ EA ds + 2 ∑ ∫ κ GA ds i
i
Li
Li
Si la flexion est prépondérante par rapport aux autres sollicitations, l’expression de l’énergie se réduit au premier terme :
W=
1 2
∑∫ i
Li
M2 ds EI
Même lorsque le symbole de la sommation n’est pas porté, pour simplifier l'écriture des expressions, on sait que l’intégration est étendue à la totalité du système, donc à toutes ses parties. Pour des systèmes plans constitués de barres droites articulées (treillis) avec des charges appliquées aux nœuds (treillis chargés indirectement), l’énergie est donnée par :
W=
1 2
N2
1
dx
∑ ∫ EA dx = 2 ∑ N ∫ EA i
Li
2 i
i
Li
Et si la rigidité extensionnelle EA est constante sur chaque barre, il vient :
C a l c u l d e s s y s t è m e s p l a n s p a r l a m é t h o d e d e s fo r c e s
W=
1 2
85
C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H YP E R S T A T IQ U E S
On peut montrer que chacune de ces équations peut se mettre sous la forme ci-après, connue sous le nom de formule de Müller - Breslau (ou de Bertrand De Fonviolant),
N i2 Li
∑ ( EA )
i
i
86
5.3 PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES Pour calculer un système hyperstatique d’ordre n (H = n), on le transforme en un système isostatique en supprimant les n liaisons surabondantes. Cela revient à pratiquer n coupures, une par inconnue hyperstatique. Pour que le système isostatique soit équivalent au système initial, il faut remplacer chaque liaison supprimée par la force qui lui correspondant (Figure 5.2). P
P
X1 X2
n
∂W = 0, ⇔ ∂X j
∑X δ i
u ji
+ δ jF = 0
j = 1, 2, ...,n
(5.2)
i =1
et le système des n équations de continuité peut se mettre sous la forme explicite suivante : u u u δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ...+ δ 1n X n + δ 1F = 0 u u u X n + δ 2F = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ...+ δ 2n ....................................................... δ u X + δ u X + ...+ δ u X + δ = 0 n2 2 nn n nF n1 1
(5.3)
ou sous la forme matricielle :
h
[δ ]{ X } = {−δ u
(a) l/2
}
l/2
5.4.1 Démonstration de la formule de Müller - Breslau
Figure 5.2 Les inconnues hyperstatiques X1 et X2 de l’exemple considéré sont obtenues en utilisant l’équation (5.1)’ ci-dessus. Le système d’équations s’écrit :
(a)
Le système isostatique obtenu par suppression des liaisons surabondantes (Figure 5.2b) est désigné par système de base, système fondamental ou encore système principal.
Considérons un système plan. Soient MiF, NiF et TiF les éléments de réduction dans la section courante i du système de base sous l’action de la sollicitation globale F(F1, F2, ..., Fj, ...). Si on note par mij, nij, et tij les éléments de réduction dans la même section i sous l’action d’une sollicitation unitaire appliquée dans la section j (du système de base), alors la contribution de l’inconnue hyperstatique Xj aux éléments de réduction s’écrit :
Xj mij pour le moment fléchissant ; Xj nij pour l’effort normal et Xj tij pour l’effort tranchant. Les éléments de réduction qui apparaissent en i sous l’action conjuguée de la sollicitation globale F et des inconnues hyperstatiques X1, X2, ..., Xn, s’obtiennent par superposition : n
Une fois l’hyperstaticité levée, c’est-à-dire lorsqu’on a déterminé les inconnues hyperstatiques, la construction des diagrammes M, N, T revient à tracer les diagrammes d’un système isostatique (en l’occurrence le système de base) soumis - simultanément - aux charges données (la sollicitation globale F) et aux forces calculées (X1, X2, ... Xn). L’application du principe de superposition (voir § 5.4.1) simplifie quelque peu ce travail.
M iF +
Pour un système concordant d’ordre n, on aura un système de n équations :
∑X
j mij
j =1 n
N iF +
∑X
j nij
j =1 n
TiF + 5.4 EQUATIONS DE CONTINUITE
∂W ∂W ∂W ∂W = 0, = 0, ..., = 0, ..., =0 ∂X 1 ∂X 2 ∂X j ∂X n
(5.4)
Les équations du système (5.3) [ou (5.4)] sont appelées équations canoniques de la méthode des forces.
(b)
∂W ∂X = 0 1 ∂W ∂X = 0 2
F
∑X
j t ij
j =1
L’expression de l’énergie potentielle s’écrit alors :
C a l c u l d e s s y s t è m e s p l a n s p a r l a m é t h o d e d e s fo r c e s n
(MiF + W=
1 2
∫
2
(NiF +
j ij
j =1
ds +
EI
L
n
∑X m )
1 2
∫
2
(TiF +
j ij
ds +
EA
L
n
∑X n ) j =1
1 κ 2
∫
n
n
∑X m )m
∫
j ij
j =1
ds +
EI
L
(NiF +
ik
∫
∫
GA
L
n
∫ L
MiF mik NiF nik T t ds + ds + κ iF ik ds+ EI EA GA
∑
∫
∫
∫
L
L
L
∑X t )t j ij
C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H YP E R S T A T IQ U E S
u X 2 + δ 2F = 0 δ u21 X 1 + δ 22 u Les coefficients δ 11 et δ u21 sont obtenus en appliquant au système de base la
∂W = 0 , s’écrit: ∂X k
j =1
ds + κ
EA
L
(TiF +
ik
j =1
ds
n
∑X n )n j ij
2
j ij
GA
L
88
u u X 1 + δ 12 X 2 + δ 1F = 0 δ 11
∑X t ) j =1
L’équation de continuité relative à la coupure k, c’est-à-dire
(MiF +
87
ik
u sollicitation unitaire X1=1 tandis que δ 12 et δ u22 s’obtiennent sous l’effet de la seule sollicitation X2=1. Quant aux déplacements δ1F et δ2F, ils se calculent sous l’effet des charges extérieures (ici la force P) appliquées au système isostatique de base. Les diagrammes permettant le calcul de ces coefficients (cas où l'influence de M est prépondérante) sont montrés à la figure 5.3.
ds=0 Pl/2 l
n
∑
X j mijmik
j =1
EI
ds +
∫
X j nijnik
j =1
L
EA
P
X1=1 X2=1
ds +
n
∑X t t ∫
+ κ
GA
L
mi2
mil
j ij ik
j =1
ds = 0 (a)
h n
δ kF +
∑ j=1
MiF
mij mik nij nik t ij t ik Xj ds+ ds+ κ ds = 0 EI EA GA L L L
∫
∫
∫
soit :
(c)
(b)
l
Figure 5.3 : Diagrammes des moments M et m On trouve, avec h=l=a :
n
∑X
u j δ kj
+ δ kF = 0
j=1
u δ11 =
a3 3EI
u δ12 = δ u21 =
a3 2EI
δ u22 =
4a 3 3EI
δ1F = -
Pa 3 4EI
δ 2F = -
29Pa 3 48EI
La figure 5.4 montre la signification de ces coefficients. 5.4.2 Signification et calcul des coefficients u δ 11
La signification et le calcul des coefficients δ iju et δ iF ont été exposés dans le
u δ 12
X1=1
même chapitre 3. Leur matrice δu est appelée matrice de souplesse.
P
δ u22
δ u21
chapitre 3. Les coefficients δ iju sont les coefficients d’influence définis dans ce
δ2F
X2=1
Le coefficient général δiF représente le déplacement de la section i du système de base (dans la direction i, qui est aussi la direction de l’inconnue hyperstatique Xi) sous l’effet des charges appliquées (données) (F). 5.5 EXEMPLES D’APPLICATION
(a)
(b)
Exemple 1 : inconnues hyperstatiques externes. Soit à résoudre le portique de la figure 5.2. Pour les calculs, on considère h=l=a. Les équations canoniques du système s’écrivent :
Figure 5.4 : Signification des coefficients δ Et à partir des équations du système on tire :
δ1F
(c)
C a l c u l d e s s y s t è m e s p l a n s p a r l a m é t h o d e d e s fo r c e s
X1 =
89
9 22 P et X 2 = P 56 56
Les diagrammes M, N, T peuvent être construits maintenant (Figure 5.5).
90
C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H YP E R S T A T IQ U E S
u δ11 =
2h3 l2(12h + l ) h2 u u u ; δ12 = δu21 = 0 ; δu22 = ; δ13 = δu31 = − ; δ23 = δu32 = 0 ; 3EI 24EI EI
δu33 =
(4h + l) qh4 qh3l qh3 ; δ1F =; δ2F = ; δ3F = 2EI 8EI 12EI 6EI
34
1
6
X1
X1=1
X2=1
l/2
l/2
X2 9 22
11 M(xPa/56)
mi1=m1
h
(b)
(c)
h (a)
34
9 (c)
(b)
(a)
X3=1 mi3=m3
T(xP/56)
N(xP/56)
3
X3
mi2=m2
Figure 5.5 : Diagrammes M, N, T MiF
Exemple 2 : inconnues hyperstatiques internes (Figure 5.6).
(d) qh2/2
X2 q
X1
X1
2EI X2
X3 h
X3
EI
EI
(a)
(b) l/2
l
Figure 5.7 : Diagrammes des moments M et m
l/2
Figure 5.6 Les équations canoniques du système s’écrivent : u u u X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + δ 1F = 0 δ 11 u u X 2 + δ 23 X 3 + δ 2F = 0 δ u21 X 1 + δ 22 u u X 2 + δ 33 X 3 + δ 3F = 0 δ u31 X 1 + δ 32
A partir des diagrammes de la figure 5.7, on calcule les coefficients du système obtenu.
En prenant h = l, il vient : u δ 11 =
2h3 u 13h3 u h2 ; δ 12 = δ u21 = δ u23 = δ u32 = 0 ; δ u22 = ; δ 13 = δ u31 = − ; 3 EI 24 EI EI
δ u33 =
5h qh4 qh4 qh3 ; δ 1F = − ;δ 2F = ;δ 3F = 2 EI 8 EI 12 EI 6 EI
La résolution du système d’équations donne : X1 =
91 2 1 qh = 0.22 qh ; X 2 = qh = 0.15 qh ; X 3 = − qh 2 = −0.02 qh 2 416 13 48
Le signe moins (–) devant X3, signifie que le sens réel de ce moment est contraire au sens choisi arbitrairement. 5.6 CONTROLE DES RESULTATS Le contrôle des résultats peut se faire à trois niveaux : sur les coefficients δiju et δiF ; sur les diagrammes M, N, T et sur les déplacements. 5.6.1 Vérification des coefficients Considérons un système hyperstatique d’ordre n. Pour alléger les expressions, nous supposons que l’influence des efforts normal et tranchant est négli-
C a l c u l d e s s y s t è m e s p l a n s p a r l a m é t h o d e d e s fo r c e s
91
geable. Soit mit le moment (par unité de force) dans la section courante i du système de base sous l’effet de : X1=1, X2=1, ..., Xn=1 ; c’est-à-dire :
a) Somme des coefficients de chaque ligne de la matrice δ u
k =n j =n
Considérons la kième ligne (équation relative à la coupure k).
∑δ
u kj
mik .mij
∑∫
=
j =1
EI
j =1 L
∫
=
L
ds =
∫ L
mik .mi1 mik .mi2 mik .min ds + ds+ ... + ds EI EI EI
∫
∫
L
mik (mi1 + mi2 +...+min )ds = EI
∫ L
L
mik (mit )ds = EI
∫ L
mik . mit ds EI
∑ ∑δ
u kj
=
k =1 j =1
29 h3 2h2 5h 177 − + = 24 EI EI 2 EI 8 EI
Le diagramme mit nécessaire au calcul du second membre de l'équation (5.6) est représenté à la figure 5.8. Le calcul de l'intégrale de Mohr donne :
mit2
1
39
∫ EI ds = 2 EI ( 8
Soit :
+
L
j=n
∑
sera amené à vérifier le calcul des différents coefficients ainsi que les diagrammes MiF et mik si on a utilisé la méthode de Verescheaguine. Vérifions les coefficients de la matrice δu du cas traité dans l'exemple 2. Pour les besoins de l'application numérique on prend h=3 m. Le premier membre de l'équation (5.6) vaut :
en vertu du principe de superposition.
j =n
C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H YP E R S T A T IQ U E S
Exemple
mit = mi1 + mi2 + ... + min
j =n
92
δ ukj
=
j =1
=
mik . mit ds EI
∫ L
(5.5)
La longueur L désigne la longueur totale du système (toutes les barres s’il en comporte plusieurs).
1 1 1 125 1 57 )+ ( ) + + + 3 24 EI 24 24 4
1 63 1 468 531 177 ( )+ ( )= = 2EI 12 EI 24 24 EI 8 EI
1.0
2.5
0.5
b) Somme des coefficients de la matrice δ u j =n
k =n
∑∑ k =1
k =n
δ ukj =
j =1
∑∫ k =1 L
=
∫ L
mik (mi1 + mi2 + ...+min )ds = EI
mit (mi1 + mi2 +...+min )ds = EI
∫ L
k =n
∑∫ k =1 L
mik . mit ds EI
0.5 l/2=1.5 m
j =n
∑ ∑δ k =1
u kj
=
j =1
∫ L
mit2 ds EI
∑δ k =1
k =n
kF
=
∑∫ k =1 L
MiF .mik ds = EI
3.5 1.5 m
(5.6) 5.6.2 Vérification des diagrammes
c) Somme des coefficients δiF k =n
Figure 5.8 : Diagramme mit, sous l'action simultanée de X1=1, X2=1 et X3=1
mit2 ds EI
Soit : k =n
mit
h=3 m
MiF
∫ EI (m +m + ... +m )ds = ∫ i1
L
i2
in
L
MiF .mit ds EI
(5.7)
Aussi, avant de passer à la résolution du système d’équations, il est prudent de procéder aux vérifications indiquées. En pratique, on trace le diagramme mit et on applique la relation (5.6). Si le résultat donné par cette dernière est identique à la somme de tous les termes de la matrice δu, on peut passer à l’étape suivante de l’étude. Dans le cas contraire, on procède au contrôle de chaque ligne de la matrice selon l’expression (5.5) et des coefficients δiF d’après la relation (5.7). On
La vérification de l’équilibre des nœuds et de parties entières de la structure étudiée, à partir des diagrammes des efforts, fournit un bon moyen de contrôler les résultats obtenus. Chaque nœud ou partie de la structure isolé par des coupures, doit être en équilibre sous l’action des forces qui lui sont directement appliquées et des efforts internes (M, N, T) 6Pa/56 agissant aux lèvres des coupures et qu’on lit directement sur les diagrammes à contrôler. 9P/56 34P/56 6Pa/56
9P/56
Exemple 34P/56
Figure 5.9 : Vérification de l'équilibre d'un nœud
C a l c u l d e s s y s t è m e s p l a n s p a r l a m é t h o d e d e s fo r c e s
93
On veut vérifier l'équilibre du nœud de la structure considérée dans l'exemple 1 précédent. La figure 5.9 représente le nœud avec les efforts agissant sur les sections coupées et dont les valeurs sont lues directement sur les diagrammes des efforts de la figure 5.5. On peut constater que les efforts agissant sur le nœud vérifient les trois équations d'équilibre de la statique. 5.6.3 Vérification des déplacements On peut appliquer la vérification aux déplacements connus, principalement ceux qui sont nuls. Le calcul doit être effectué à partir des efforts trouvés (notamment le diagramme final du moment). 5.7 SIGNIFICATION DES EQUATIONS DE CONTINUITE Comme le montrent les deux exemples traités, chaque équation de continuité exprime que le déplacement relatif des lèvres de la coupure libérant l’inconnue hyperstatique considérée est égal au manque de concordance correspondant. Dans le cas d’un système concordant, ce déplacement (relatif) est nul. Quand il s'agit d'une inconnue hyperstatique externe, le déplacement relatif est en fait le déplacement réel.
