Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 1. BIL BILANG ANGAN AN BULAT BULAT A. Penjum Penjumlaha lahan n dan Pengu Penguran rangan gan Pen Penjuml umlahan : a + b = c Contoh : 5+3=8 • Pen Pengurangan : c – b = a atau a atau c – a = b (lawan/kebaliakan b (lawan/kebaliakan dari penjumlahan Contoh : 8!5=3 8!3=5 ". Perkal Perkalian ian dan Pembagi Pembagian an • Perkalian : Penjumlahan berulang# a x 3 = a + a + a Contoh : 5 $ 3 = 5 + 5 + 5 = %5 1 • Pem Pembagi agian : Pen Pengurangan berula ulang# a : 3 = a x 3 (lawan/kebalikan penjumlahan •
Contoh
: %5 : 5 = %5 $
1 5 = 3
C. Perpan Perpangkat gkatan an dan Penar Penarika ikan n Akar Akar • Pangkat &ebagai perkalian berulang '5 = ' $ ' $ ' $ ' $ ' • Perkalian bilangan bulat berpangkat a p $ a = a(p+ )ont )ontoh oh : 53 $ 5' = 5(3+' • Pembagian bilangan bulat berpangkat a p : a = a(p* )ont )ontoh oh : 58 : 5 =(8* • Perpangkatan bilangan bulat berpangkat po&iti, (a p = a (p$ )ontoh : (53' = 5(3$' • Penarikan akar
ab= √ a x √ b √ ab √ a ' b = √ a
'
x √ b =a √ b
-. P" P" dan dan P P • P" (aktor Per&ekutuan 0erbe&ar dari %'a' b) dan a3 b' adalah a' b • P (elipatan Per&ekutuan 0erke)il dari %'a' b) dan a3 b' adalah %'a3 b') • Contoh : P" dan P dari '5 dan %1 adalah ... 2awab : '5 '5 = 5' %1 = 5 $ ' P" = 5 P = 5' $ ' = 51 . Contoh Contoh 4oal dan Pembaha Pembaha&an &an %. a&il a&il dari dari 31 ! 31 31 : 3 + (*3 (*3 $ 5 = ... ... a. 5 ). *5 b. *%5 d. %5 Pembaha&an : 31 ! 30 : 3 + (-3) x 5 31 ! %1 ! %5 = = 5 '. "u 6inda 6inda mempun7ai mempun7ai % kw gula gula 7ang akan akan dijual dijual &e)ara &e)ara e)eran e)eran di dalam dalam kantong kantong pla&tik pla&tik 7ang ma&ing*ma&ing berkapa&ita& kg. 2umlah kantong pla&tik 7ang dibutuhkan adalah... a. ). '5 b. 11 d. '51 Pembah Pembaha&a a&an n : jumlah jumlah pla&ti pla&tik k = jumlah jumlah gula gula : kapa&it kapa&ita& a& pla&ti pla&tik k = % kw : kg %11 k k
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 2. BILANGAN PECAHAN A. "ent "entuk uk umum umum •
a ≠ 1 a# b b dengan b
∈
" &erta b bukan ,aktor a. a di&ebut pembilang b di&ebut
pen7ebut. ". Penjum Penjumlaha lahan n dan Penguran Pengurangan gan pada pada Pe)ahan Pe)ahan • Pen7ebut haru& &ama • Penjumlahan : a 3 c ad + bc Contoh : 6 + bd b + d = 39 30 = •
1
9 30 =
Pengurangan : c a b - d =
3 42 =
1
4 5 =
15 + 24 = 30
3 x 5 + 4 x 6
=
6 x 5
3 10
ad −bc bd
Contoh :
3 6 *
4 9
=
3 x 9− 4 x 6 = 6 x 9
27 −24
=
42
1 14
C. Perkal Perkalian ian dan Pembagi Pembagian an • Perkalian : Pembilang dikalikan dikalikan dengan pembilang# pen7ebut dikalikan dengan pen7ebut. a 6 1 c axc ac 2 3 Contoh : 3 x 4 = 12 = 2 b x d = b x d = bd •
Pembagian : ebalikan dari perkalian. c ax d ad a Contoh : b : d = b x c = bc
3
2 x 4
3
2
:
4
=
3 x 2
8
=
6
=
4 3
-. Contoh Contoh 4oal dan Pemb Pembaha aha&an &an %.Pe)ahan 7ang terletak di antara pe)ahan
a.
2 5
b.
4 3 2
Pembaha&an
benar
:
3
...
4 5
→
2 3 dan ).
11 15
d.
3 5
10 ; … ; 12 15
11 15
'.Pe)ahan 7ang bernilai paling ke)il adalah... 5555
a.
6666
).
666 777
4 5
→
adalah...
10 ; 11 ; 12 15
→
2awaban 7ang
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 Pembaha&an
:
6666
=
5
6 7
6
9
77 88
5
5555
6
9
7 8 9
666
7
=
8
=
777
8 9
6 7
2awaban 7ang benar
8 9
2 3. 3
$
9 5 =
4 6
5 :
∆
;ilai dari ∆ adalah...
a. < b. 2
Pembaha&an
:
3
9
$
5
). %8 d. 3 5
4
=
:
6
2 3
∆
$
9 5
=
=
36 20
18 15
=
=
9 5
6 5 6
5
:
9
∆ = 9
5
6 x 6
4 6
∆
=
5
=
4 x 5
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 3. SKALA DAN PERBANDINGAN A. Pengertian 4kala • Perbandingan ukuran pada gambar dengan ukuran &ebenarn7a.
jarak pada peta jarak sebenarnya
•
4kala =
•
4kala peta % : 511.111 artin7a jarak % )m pada peta &ama dengan 511.111 )m (511 km
jarak &ebenarn7a. ". Perbandingan 4enilai • Perbandingan 7ang mempun7ai &i,at jika be&aran 7ang &atu bertambah be&ar# be&aran lain juga bertambah be&ar. • Contoh : 51 : 81 = 5 : 8 %'5 : '11 = 5 : 8 2adi 51 : 81 = %'5 : '11 = 5 : 8 C. Perbandingan "erbalik ;ilai • Perbandingan 7ang mempun7ai &i,at jika be&aran 7ang &atu bertambah be&ar# be&aran lain ju&tru bertambah ke)il. • Contoh : Kecepatan (km!am) "akt# (!am)
31 '
'1 3
%5
%' 5
%1
%1
-. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. ota A dan kota " berjarak 31 km# jarak dari kota A ke kota " pada peta adalah #5 )m. 4kala peta ter&ebut adalah> a. % : ? ). % : ?11.111 b. ? : % d. ?11.111 : % Pembaha&an : 4kala = 2arak pada peta : 2arak &ebenarn7a = #5 )m : 311.111 km = 1 : 700.000 '. 2umlah &i&wa di &ebuah kela& adalah 31 anak. 2ika di kela& ter&ebut terdapat %' &i&wa laki* laki# maka perbandingan jumlah &i&wa perempuan terhadap jumlah &eluruh &i&wa di kela& ter&ebut adalah> a. 5 : 3 ). 5 : 3 b. ' : 5 d. 3 : 5 Pembaha&an : 2umlah &i&wa perempuan : 2umlah &eluruh &i&wa (2. &lrh &i&wa ! 2. &i&wa laki*laki : 31 31*%' = %8 : 31 3 : 5 3. 4eorang peternak a7am memiliki per&ediaan makanan untuk %51 ekor a7am &elama hari. 2ika ia membeli 31 ekor a7am lagi# maka per&ediaan makanan akan habi& dalam waktu> a. < hari ). 5 hari b. hari d. 3 hari nhari 150 ekor Pembaha&an : 180 ekor = 6 hari %81 n
=
n
=
%51 $ 150 x 6 180
n
=
5 hari
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 4. ARITMATIKA SOAL A. arga beli# arga 2ual# @ntung dan ugi • arga beli (" : nilai uang untuk membeli barang. • arga jual (2 : uang 7ang diterima dari ha&il menjual barang. • @ntung (@ : jika " B 2. • ugi ( : jika 2 B ". • mpa& ( : jika 2 = ". • Pre&enta&e keuntungan terhadap harga pembelian :
D keuntungan = •
Pre&enta&e kerugian terhadap harga pembelian : D kerugian =
•
R HB $ %11D
Pre&enta&e keuntungan terhadap harga penjualan : D keuntungan =
•
U HB $ %11D
U HJ $ %11D
Pre&enta&e kerugian terhadap harga penjualan : D keuntungan =
U HJ $ %11D
". abat# "ruto# 0ara# ;etto • abat (potongan harga/di&kon/korting# bia&an7a din7atakan dengan (D. → arga bruto : harga 7ang haru& diba7ar → arga di&kon : potongan harga → arga neto : harga 7ang diba7arkan &etelah dipotong di&kon • 0ara (potongan jumlah/berat → "ruto = ;eto + 0ara → ;eto = "ruto ! 0ara → 0ara = "ruto ! ;eto C. "unga 0unggal • "e&ar bunga tabungan maupun pinjaman pada &etiap bank atau kopera&i din7atakan dalam per&en# bunga bank %'D artin7a per&en bungan7a %8D dalam waktu % tahun. • "unga % tahun = per&en bunga $ modal • "unga n bulan = per&en bunga $ modal $ n : %' -. Pajak • Pajak pengha&ilan (PPh : Eaji 7ang diterima = gaji awal * PPh • Pajak pertambahan nilai (PP; : arga beli kon&umen = harga awal * PP; . Contoh 4oal dan Pembaha&an %. 4ebuah tape re)order dibeli dengan harga p '11.111#11. arga jual tape re)order ter&ebut &upa7a untung 35D adalah . . . a. p '11.111#11 ). p 31.111#11 b. p ?1.111#11 d. p '?1.111#11 Pembaha&an : arga jual = harga beli + untung (@ntung = 35D dari harga beli = 35/%11 $ p '11.111#11 + p '11.111#11 = p ?1.111#11 + p '11.111#11 $p 270.000%00
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 Pembaha&an
: ;etto = bruto ! tara = '5#51 kg * '/%11 F '5#51 kg = '5#51 kg * 1#5% kg = '#<< kg Gang haru& diba7ar = '#<< kg F p 3.111#1 = $p 7&.970%00 3. Paman memperoleh gaji &ebulan p %.111.111#11 dengan pengha&ilan tidak kena pajak p 31.111#11. 2ika pajak pengha&ilan adalah %1D gaji paman adalah... a. p <3.111#11 ). p 1.111#11 b. p .111#11 d. p 31.111#11 Pembaha&an : gaji paman = pengha&ilan awal * %1D $ pengha&ilan kena pajak = p %.111.111#11 ! %1D (p %.111.111#11 * p 31.111#11 = p %.111.111#11 ! %1D (p 1.111#11 = p %.111.111#11 * p .111#11 = $p 93'.000%00
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 5.
o.
ama ola
ola *ilangan
%. '. 3. . 5.
Pola "ilangan Eanjil Pola "ilangan Eenap Pola "ilangan 4egitiga Pola "ilangan Per&egi Pola "ilangan Per&egi Panjang
%# 3# 5# ?# <# ... '# # # 8# %1# ... %# 3# # %1# %5# ... %# # <# %# ... '# # %'# ...
$#m#s +#k# ke-n
'n ! %# n ϵ A 'n# n ϵ A J n(n + % # n ϵ A n'# n ϵ A n(n + % # n ϵ A
BAR ISA N
BILANGAN DAN DERET A. Pola "ilangan
". "ari&an "ilangan dan -eret • "ari&an bilangan adalah &ederetan bilangan 7ang diatur menurut aturan (pola tertentu. • "ari&an dan deret aritmatika %. "ari&an aritmatika adalah bari&an bilangan 7ang &etiap &uku# ke)uali &uku pertama# diperoleh dari &uku &ebelumn7a ditambah dengan bilangan tetap. umu& &uku ke*n : @n = a + (n ! %b '. -eret aritmatika adalah jumlah n &uku pertama bari&an aritmatika. umu& jumlah &uku ke*n : 4n = n/' ('a + (n ! %b atau 4n = n/' (@% + @n umu& &uku ke*n jika jumlah n &uku pertama (4n dan jumlah (n ! % &uku pertama (4n ! % diketahui : 4n = 4n * 4n ! % umu& bari&an aritmatika tingkat dua : @n = a% + (n ! % Ha ' + %/' b(n ! 'I • "ari&an dan -eret Eeometri %. "ari&an geometri adalah &uatu bari&an bilangan 7ang &etiap &uku# ke)uali &uku pertama# diperoleh dari &uku &ebelumn7a dikalikan dengan bilangan 7ang tetap. umu& &uku ke*n : @n = ar n ! % '. -eret geometri adalah jumlah n &uku pertama bari&an geometri. Rn – 1 { } umu& jumlah n &uku pertama : 4n = a R −1 umu& &uku ke*n jika 4n dan 4n ! % : @n = 4n * 4n ! % C. "ari&an "ilangan 2eni& 6ain %. "ari&an bilangan ibonan)i# adalah bari&an bilangan 7ang &etiap &ukun7a ke)uali dua &uku pertama# diperoleh dari jumlah dua &uku &ebelumn7a. Contoh : %# %# '# 3# 5# 8#> '. 4egitiga Pa&)al % n*% % % @n = ' % ' % % 3 3 % (dan &eteru&n7a
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 @%< = ' + %<. @%< = ' + ? = 7, '. 4eorang petani menanami ladangn7a &elua& %1 m' dengan jagung# dalam % m' terdapat jagung 7ang ditanam di &etiap &udutn7a. "an7ak jagung 7ang bi&a ditanam di ladang ter&ebut adalah... a. %< ). %'% b. % d. %11 ' Pembaha&an : pola bilangann7a (n + % = (%1 + %' = %%' = 121 3. 4uku ke*%5 dari bari&an 1# 5# 8# '# 3# ... adalah... a. * ). *%8 b. *%' d. *' Pembaha&an : a : @% = 1 @' = 5 b : @' !@% = 5 ! 1 = (* @n = a + (n ! %b @%5 = 1 + (%5 ! % (* = 1 + %(* = 1 ! 8 = -2&
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 6. ALJABAR A. Penjumlahan dan pengurangan (han7a berlaku pada &uku 7ang &ejeni& Contoh : ?$ + 5$ + $ = (? + 5 + %$ = %3$ 3a ! (*'a = 3a + 'a= 5a ". Perkalian Contoh : F a = a + a + a + a = a C. Perpangkatan Contoh : p5 = p F p F p F p F p -. Pem,aktoran %. 4i,at di&tributi, ax + ay = a(x+ y) di mana a adalah P" &uku aljabar Contoh : $ + %'7 = ($ + 37 8$7 ! %'$' = $ ('7 ! 3$ '. 4eli&ih ' kuadrat a2 – b2 = (a + b) (a – b) Contoh : $' ! < = ($ + 3($ ! 3 ' 3. "entuk a$ + b$ + )# dimana a = % x2 + bx + c = (x + p)(x + q) di mana p + q = b dan p x q = c ' Contoh : $ + ?$ + %' = ($ + ($ + 3 ' . "entuk a$ + b$ + )# dimana a K %
( ax + p ) ( ax + q ) 2
ax + bx + c =
a
di mana ac = pq dan b = p + q
( 3 x + 6 ) ( 3 x −5 ) Contoh :
'
3$ + $ ! %1 =
3
= ($ + '(3$ * 5 . Contoh 4oal dan Pembaha&an %. a&il dari (3a + ' ('a ! 5 adalah... a. a' * %%a ! %1 b. a' + %%a ! %1 Pembaha&an : 3a('a ! 5 + '('a ! 5 a' ! %5a + a ! %1 'a2 11a 10 '. Pem,aktoran dari $' ! $ + 8 adalah... a. ($ + ($ ! ' b. ($ ! ($ ! ' Pembaha&an : $' ! $ + 8 ($ * ...($ * ...
). a' * %
). ($ + %($ ! 8 d. ($ * %($ + 8
(x – 4)(x – 2)
3. 4alah &atu ,aktor dari '$' + 5$ ! %' adalah... a. '$ *8 ). '$ * 3 b. '$ + 3 d. $ ! ' Pembaha&an : '$ + 5$ ! %' ( 2 x + 8 ) ( 2 x −3 ) = ($ + 8(2x 3) 2
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 7. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL A. Per&amaan 6inear 4atu Lariabel (P64L P64L adalah per&amaan 7ang han7a mempun7ai &atu Mariabel dan Mariabeln7a berpangkat &atu# ditandai dengan tanda N=O. "entuk umum : ax + b = c 4uatu per&amaan akan tetap ekuiMalen bila : 1. edua rua& ditambah atau dikurangi dengan bilangan 7ang &ama. 2. edua rua& dikali atau dibagi dengan bilangan 7ang &ama dan bukan nol. B. Pertidak&amaan 6inear 4atu Lariabel (Pt64L • Pertidak&amaan linear &atu Mariabel (Pt64L adalah kalimat terbuka 7ang memuat Mariabel berpangkat %(&atu 7ang memiliki hubungan ketidak&amaan (/ dan . • 4i,at*&i,at Pt64L : %. Pertidak&amaan akan tetap ekuiMalen jika kedua rua& ditambah atau dikurangi dengan bilangan 7ang &ama. '. Pertidak&amaan akan tetap ekuiMalen jika kedua rua& dikali atau dibagi dengan bilangan po&iti, 7ang &ama. 3. Pertidak&amaan akan tetap ekuiMalen jika kedua rua& dikali atau dibagi dengan bilangan negati, 7ang &ama# a&alkan tanda ketidak&amaann7a dibalik. C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. 2ika 5 + x = %'# maka nilai x adalah .... a. %? ). ? b. *? d. *%? Pembaha&an : 5 + x = %' x = %' ! 5 x = 7 '. 2umlah dua bilangan bulat adalah %53. "ilangan 7ang &atu be&arn7a dua kali bilangan lain. edua bilangan itu ma&ing*ma&ing adalah ... a. %11 dan 53 ). %1% dan 5' b. <1 dan 3 d. %1' dan 5% Pembaha&an : %53 = x + ' x %53 = 3 x x = %53 : 3 x = 51 ' x = '(5% ' x = 102 3. eliling &ebuah per&egi lebih dari 3'# jika panjang &i&in7a b )m. ;ilai b adalah ... a. b B 8 ). b 9 8 b. b B 8 d. b 9 8 Pembaha&an : eliling = &i&i 93' = b b = 93' : b = 98 ,
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 ,. HIMPUNAN A. Pengertian impunan • impunan adalah kumpulan benda*benda atau ob7ek 7ang dide,ini&ikan dengan jela&. • Contoh : imp#nan
*#kan imp#nan
umpulan negara*negara anggota P"" umpulan hewan pemakan daging
umpulan negara*negara maju umpulan hewan bua&
arna*warna pelangi
arna*warna menarik
"an7ak anggota &uatu himpunan dituli& NnO. "an7ak anggota himpunan A dituli& Nn(AO. ". 6ambang*6ambang pada impunan amang ϵ
∉ HI atau ∅ 4
⊂
4rti
anggota himpunan. bukan anggota himpunan. himpunan ko&ong# himpunan yang tidak memiliki anggota. himpunan &eme&ta# himpunan yang memuat semua anggota yang
terdapat suatu himpunan. himp!a! "a#ia!$ jika setiap anggota himpunan A adalah angota himpunan B ( A
B). umu!nya : 2n " dengan n = #umlah anggota
himpunan. iri&an himpunan " i$i!an da$i himpunan A dan B adalah himpunan yang ∩
anggotanya te$di$i ata! anggota–anggota A #uga anggota–anggota B (A ∩ B). gabungan himpunan# gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang ∪
P
anggotanya me$upakan anggota%anggota A atau anggota%anggota B (A ∪ B). kopmlemen himpuan P# yang bukan anggota himpunan &.
C. Qen7atakan Anggota impunan ara
ontoh
-engan kata*kata -engan nota&i pembentuk himpunan
A = Hbilangan prima kurang dari %1I A = H$ R $ bilangan prima kurang dari %1I
Qenda,tar &emua anggota
A = H'# 3# 5# ?I
-. -iagram Lenn • -iagram Lenn merupakan gambar himpunan 7ang digunakan untuk men7atakan •
hubungan beberapa himpunan. impunan &eme&ta din7atakan dengan daerah per&egi panjang# himpunan lain din7atakan dengan kurMa.
. umu& "an7ak Anggota ri&an atau Eabungan • n (A ∩ " = n (A + n (" ! n (A ∪ " • n (A ∪ " = n (A + n (" ! n (A ∩ " • n (A ∪ " = n (4 * n (A ∪ " I
Contoh 4oal dan Pembaha&an
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 Pembaha&an
:
S
B
v
a8 3 o1 l2 7 s i k et "an7ak &i&wa 7ang han7a men7ukai ba&ket = 31 * (%' + 3 + ? = 31 ! '' =, '. A = Hhuru, pen7u&un kata NakuOI dan " = Hpen7u&un kata NkamuOI. A∩ " adalah... a. Ha# k# uI ). Ha# a# k# k# u# u# mI b. Ha# k# u# mI d. Ha# a# k# k# u# uI Pembaha&an
: A ∩ " adalah anggota A 7ang juga menjadi anggota " 7aitu 6a% k% #.
3. 2ika P = H,aktor prima dari I# maka ban7ak himpunan bagian dari P adalah... a. ' ). b. % d. Pembaha&an : P = H,aktor prima dari I P = H'# 3I n (⊂ P = 'n(P = '' = &
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 9. RELASI DAN FUNGSI A. ela&i • ela&i adalah pema&angan anggota &uatu himpunan dengan anggota himpunan lain. • -in7atakan dengan : %. -iagram panah
% 5 & '
B 2 ( )
'. -iagram )arte&iu&
) ( 2 5
& '
3. impunan pa&angan berurutan H(5# '# (5# # (# '# (?# I ". ung&i (Pemetaan • ung&i (pemetaan adalah rela&i antara dua himpunan 7ang &etiap anggota himpunan pertama dipa&angkan dengan tepat &atu anggota himpunan kedua. • Contoh :
% *( *) *5 •
•
B 5 &
etera!#a!
'
impunan pertama (A# di&ebut dae$ah a!al'domain. impunan kedua ("# di&ebut dae$ah kaan'kodomain. H5# ?I di&ebut ha!il'$ange.
2ika ban7ak anggota himpunan C adalah n(C = $ dan ban7ak anggota himpunan adalah n(- = 7# maka : ban7ak ,ung&i dari C ke - = 7$ dan ban7ak ,ung&i dari - ke C = $7 ung&i dapat din7atakan dalam nota&i ,ung&i dan rumu& ,ung&i# )ontoh : ;ota&i ung&i
umu& ung&i
: $ '$ + ?
($ = '$ + ?
: x 8 x2 2
($ = $' + '
C. ore&ponden&i 4atu*&atu • ore&ponden&i &atu*&atu adalah rela&i antara dua himpunan 7ang &etiap anggota himpunan pertama dipa&angkan dengan tepat &atu anggota himpunan kedua dan &etiap anggota himpunan kedua dipa&angkan dengan anggota himpunan pertama.
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 b. *3 d. 3 Pembaha&an : (x) = 2x + * ,( = '( + 5 ,( = 8 + 5 ,( = 13 '. ung&i , dide,ini&ikan dengan rumu& ,($ = p$ + . 2ika ,(3 = *%1 dan ,(*' = 1# maka nilai ,(*? adalah.... a. *%8 ). %1 b. *%1 d. %8 Pembaha&an : (x) = px + q ,(3 = 3p + = *%1 ,(*' = *'p + = 1 T T 5p = *%1 p = *' ,(3 = 3p + = *%1 3(*' + = *%1 * + = *%1 = ,(*? = *?p + = *?(*' + = % + = 1,
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 10. PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A. Pengertian Per&amaan 6inear -ua Lariabel • 4i&tem per&amaan linear dua Mariabel adalah dua per&amaan linier dan dua Mariabel 7ang •
han7a memiliki &atu titik pen7ele&aian. "entuk umum : a%$ + b%7 = )% a'$ + b'7 = )'
". Pen7ele&aian Per&amaan 6inear -ua Lariabel • Qetode gra,ik Qenggambar kedua per&amaan# kemudian menentukan titik potongn7a. • Qetode &ub&itu&i Qengganti &atu Mariabel dengan Marial dari per&amaan lainn7a. • Qetode elimina&i Qenghilangkan &alah &atu Mariabeln7a# &ehingga menemukan nilai Mariabel 7ang lain. C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. eliling &ebuah per&egi panjang adalah 1 )m. Panjangn7a )m lebihn7a dari lebarn7a. 6ebar per&egi panjang ter&ebut adalah... )m. a. %5 ). %8 b. ? d. ' Pembaha&an : '6 + 'p = 1 '6 + '(6 + = 1 '6 + '6 + %' = 1 6 = 1 ! %' 6 = '8 : =7 '. 2umlah &i&wa kela&
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 11. GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS A. Eradien • Eradien adalah perbandingan antara &umbu y dengan &umbu x.
y Eradien din7atakan dengan : m = komponen x . ika ra;ien
•
osisi garis
-
Condong ke kanan Condong ke kiri
1
4ejajar dengan &umbu x
0ak terde,ini&i
4ejajar dengan &umbu y
Eradien &uatu gari& luru& ditentukan &bb : o . 1.
aris
ra;ien
Qelalui titik (1#1 dan ($# 7
y m = x
2.
Qelalui titik ($%# 7% dan ($'# 7'
y 2− y 1 m = x 2− x 1
3.
-engan per&amaan 7 = m$ + )
Q
&.
-engan per&amaan a$ + b7 + ) = 1
−koefisien x m=
koefisien y
a =* b B. Per&amaan Eari& 6uru& • "entuk umum : y = mx + c m adalah gradien# gari& ter&ebut memotong &umbu 7 di (1# ) • ' gari& 7ang &ejajar memiliki gradien 7ang &ama atau m = m2 • a&il kali gradien ' gari& 7ang tegak luru& = *% atau m $ m2 = *% • Per&amaan gari& 7ang melalui titik ( x " y ) dengan gradien m adalah : y – y = m ( x – x C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. Eradien gari& dengan per&amaan '$ ! 37 = adalah... a. *3 ). '/3 b. *' d. 3/' Pembaha&an : '$ ! 37 = a$ + b7 = ) gradien : *a/b = *'/*3 = 23 '. Eradien gari& 7ang tegak luru& dengan gari& 7ang mempun7ai per&amaan *3$ * 57 * '1 = 1 adalah... a. *5/3 ). 5/3 b. *3/5 d. 3/5 Pembaha&an : m = *a/b (*% = 3/*5 (*% = 53
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 12. BANGUN DATAR DAN TEOREMA PHYTAGORAS A. "angun -atar o . %.
*ent#k *ang#n
ama *ang#n
Per&egi Panjang
$#m#s #as
$#m#s Keliling
p$l
'(p + l
&'
&
'. Per&egi
3. 1 2 $ a $ t
4egitiga
a+b+)
. 2ajargenjang
5.
a$t
' (a + b
"elah etupat
1 2 $ d% $ d'
a
6a7ang*6a7ang
1 2 $ d% $ d'
' (a + b
.
?. 0rape&ium
( a + c ) x t 2
a+b+)+d
". 0eorema Ph7tagora& • -alil teorema Ph7tagora& : Nkuad$at !i!i mi$ing (hipotenu!e) !ama dengan kuad$at !i!i !iku%!ikunyaO. a2 + b2 = c2
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 %. 6ua& per&egi 7ang lua&n7a 81 )m adalah... a. 11 )m' ). 11 )m' b. 3'1 )m' d. %1 )m' Pembaha&an : 6ua& per&egi = &' = (eliling )m : ' = (81 )m : ' = ('1 )m' = &00 cm2 '. eliling belah ketupat 7ang mempun7ai diagonal %1 )m dan ' )m adalah... a. %3 )m ). 8 )m b. 31 )m d. 5' )m Pembaha&an : 0riple ph7tagora& = 5# %' dan %3 eliling belah ketupat = & = . %3 )m = 52 cm
5 ,m *2 ,m
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 13. A. 4udut
SUDUT, HUBUNGAN ANTARSUDUT DAN GARIS SEJAJAR
•
})
,
0
(¿ ) (¿ ) 4atuan &udut adalah derajat menit ¿ ¿ dan detik
¿¿ ¿ . ¿
•
%1 = 1U %U = 1O. @ntuk menjumlahkan dan mengurangkan &atuan &udut# maka &atuan derajat# menit dan
•
detik ma&ing*ma&ing haru& diletakkan dalam &atu &atuan 7ang &ama. 4udut dapat diberi nama dengan menggunakan &atu huru, 7ang diambil dari titik
•
&udutn7a. Atau dengan tiga huru, 7ang nama titik &udutn7a diletakkan diantara dua huru, lainn7a. ". ubungan Antar&udut enis ##ngan
Keterangan
*esar Ke;#a +#;#t
*erkomplemen *ers#plemen
4aling berpen7iku 4aling berpeluru&
2umlah : <11 2umlah : %811
*ertolak elakang
4aling bertolak belakang
4ama
C. 2eni&*jeni& 4udut enis +#;#t #r#s ?k#ran
%811
+ik#-sik#
ancip
#mp#l
$e>leksi
<11
911# B<11
9<11# B%811
9%811
-. Eari& Ke;#;#kan ;#a garis
se!a!ar
*erpotongan
Keterangan
0idak memiliki titik potong
Qemiliki &atu titik potong
erimpit
Qemiliki lebih dari &atu titik potong
. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. Perhatikan gambar berikutV /
.
2ika be&ar &udut -C = 2x dan be&ar &udut "C = ,x maka be&ar &udut -C adalah... ). ?11 d. <11
a. '11 b.% %11 B Pembaha&an : ∠-A = ∠-" = <11 @ntuk men)ari be&ar ∠-C kita gunakan perbandingan. 1 ∠-C + ∠"C = <1 2x + ,x = <11 -x = <11 = <11 : < x x = %11 ∠-C = 2x ∠-C = ' . %11
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 A. "angun ! bangun 7ang &ebangun • 47arat dua bangun 7ang &ebangun %. 4udut*&udut 7ang ber&e&uaian &ama be&ar '. 4i&i*&i&i 7ang ber&e&uaian &ebanding
Pada bangun 6Q; dan PW4 :
! !# #% % = = = "R $R &$ &" •
47arat dua &egitiga 7ang &ebangun %. "e&ar &udut ! &udut 7ang ber&e&uaian &ama. '. Panjang &i&i ! &i&i 7ang ber&e&uaian &ebanding.
0"1 2
0"1 * Pada gambar % berlaku :
a c p = = b d q − p
A"C &iku*&iku
di " dan "-
dan
a
Pada gambar ' jika ∆
c
0"1 )
0"1 (
⊥
AC# maka berlaku :
Pada gambar 3 Pada gambar jika &udut "C berlaku : a c dan &udut -C = b d &aling perpeluru&# maka berlaku : dan
(B *B (* = = () +) (+
B.2 = ./1.% 2 =
". 4egitiga ongruen • 47arat dua &egitiga kongruen : %. 4atu &i&i dan dua &udut pada &i&i itu &ama A= P A" = PW
(&udut (&i&i
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 6Q = (&i&i 2adi X 6Q kongruen X - 3. -ua &i&i dan &udut 7ang diapit &ama
0 = (&i&i = (&udut = 4 (&i&i 2adi X 0 Y X 4
C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. Perhatikan gambar berikutV 4egitiga PW kongruen dengan &egitiga 6Q. "erikut 7ang benar# ke)uali > a. = Q b. P= 6 ). Panjang Q = panjang W d. Panjang P = %8 )m
Pembaha&an : Pada &egitiga 6Q# be&ar
Q6 = 11 = 11 dan
Q = 11# jadi 4udut = &udut Q
P = 11 dan 6 = 11# jadi n P = 6 Panjang Q = W P = Q6 PW = 6 = %8 )m 2adi panjang $ = 1, cm adalah &alah.
'. Pada gambar di&ing# be&arn7a x adalah > a. % )m ). % )m b. %5 )m d. %? )m Pembaha&an : 12 12 + x = 8 18 8 (%'+ x < + x x x
= = = =
%' . 8 %% %'1 15
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 1. LINGKARAN A. @n&ur ! un&ur 6ingkaran •
Z : pu&at lingkaran ZA#Z"#Z- : jari*jari A-# "C# A" : tali bu&ur A" : diameter ". eliling dan 6ua& 6ingkaran • eliling lingkaran : ' [r atau [d 6ua& lingkaran :
Z -aerah "C -aerah ZAC ∩AC# ∩"C# ∩A-# ∩"-
: : : :
apotema tembereng juring bu&ur lingkaran
1 '
[r •
atau
4
[d'
-engan : [ = 3#% atau
22 7
d = diameter ('r 1 r = jari*jari ( 2 d C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. 4ebuah lingkaran diketahui diametern7a % )m.eliling lingkaran ter&ebut adalah... -iketahui : d = % )m r = ? )m -itana7a : =>\ 2awab : % = 'πr atau = πd% = '. ''/? . ? )m = ' . '' )m = && cm '. 4ebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter '% m. -i tepi taman ter&ebut akan dipa&angi lampu dengan jarak 3 m &etiap lampu. 6ampu 7ang dibutuhkan ada berapa buah\ -iketahui : d = '% m -itana7a : /3 =>\ 2awab : /3#5 = π.d/3 = ''/? . '%/3 = 22 #ah.
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 16. A. 0abung
BANGUN RUANG LINGKARAN
Volume tabung v = π r2 t
".
eru)ut
C. "ola • @n&ur*un&ur bola Z = pu&at bola Z" = jari*jari bola A" = diameter bola
Volume bola : 4
= - r 3 Luas bola : L = 4π r2
-. Contoh 4oal dan Pembaha&an %.
4ebuah tenda berbentuk keru)ut dengan tinggi 3 m dan jari*jari ala&n7a m. untuk membuat tenda digunakan kain dengan harga p. ?.111#11 tiap meter per&egi. "e&arn7a dana 7ang diperlukan untuk pembelian bahan tenda adalah >
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 = p. ?.111#11 .
22 7 . . 5
= $p. &&0.000%00 '. 4ebuah drum berbentuk tabung berjari*jari ' )m dan tinggin7a ?1 )m# beri&i penuh min7ak. emudian min7ak dalam drum ter&ebut &eluruhn7a akan ditaruh dalam kaleng* kaleng ke)il ma&ing*ma&ing berjari*jari )m dan tinggin7a %1 )m# &ehingga &etiap kaleng penuh min7ak. "an7akn7a kaleng ke)il 7ang diperlukan adalah > a. %1< buah ). %%1 buah b. %%% buah d. %%' buah Pembaha&an :
o./0 dr/0 1 = o./0 ka.en1 2 2
¿
- r t 1 2
- r t 2 2
¿
24 .70 2
6 .10
= 112 #ah
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 17. STATISTIKA A. Pemu&atan -ata •
Qean (
x´
adalah nilai rata*rata.
2ika terdapat data $%# $'# $3# > $n# maka nilai rata*rata adalah :
x + x + x + …+ x n x´ = 1 2 3 n
•
eterangan : $n = data ke n n = ban7ak data Qedian adalah nilai tengah dari &ekumpulan data 7ang &udah diurutkan -alam men)ari median# ada dua kemungkinan : % 2ika ban7akn7a data gan!il # maka median dari kumpulan data terebut data 7ang terletak di tengah*tengah. Qi&aln7a data 7ang &udah diurutkan ter&ebut adalah $%# $'# $3# $# dan $5. Qaka mediann7a adalah $3. ' 2ika ban7akn7a data genap# maka median dari kumpulan data ter&ebut jumlah data 7ang ditengah dibagi dua. Qi&alkan data 7ang &udah diurutkan itu ada 7aitu $%# $'# $3# $# $5 dan $ maka
x 3 + x 4 mediann7a adalah • •
2
.
Qodu& adalah data 7ang &ering mun)ul. Wuartil (W berarti pengelompokkan empat*empat# membagi data 7ang telah diurutkan
menjadi empat bagian 7ang &ama. W% = uartil awal / uartil bawah W' = uartil tengah / median W3 = uartil ata& ". Qen7ajikan -ata • 2ika data : 0erdapat anak mendapat nilai terdapat ? anak mendapat nilai 5 terdapat anak mendapat nilai terdapat 5 anak mendapat nilai ? ' anak mendapat nilai 8. •
•
0abel rekuen&i ;ilai
5
?
8
rekuen&i
?
5
'
-iagram "atang
frekuensi
3 ' & 5 ) ( 2 * 4
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25 -ari data diata& &ebelum dibuat diagram lingkaran terlebih dahulu dihitung be&ar &udut pada &etiap juring lingkaran &ebagai penempatan &etiap bagian data. ilai
@rek#ensi
*esar s#;#t p#sat
/' $ 311 = <11
5
?
?/' $ 311 = %151
/' $ 311 = 11
?
5
5/' $ 311 = ?51
8
'
'/' $ 311 = 311
-iagram lingkarann7a adalah &ebagai berikut :
ilai 36 37 ilai )6 257 ilai &6 *'7
ilai '6 2*7
ilai 56 287
C. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. -iagram lingkaran di bawah data tentang pekerjaan orang tua murid.
2ika ban7akn7a orang tua murid 8 orang#
I )54
tentukan ban7akn7a orang tua murid 7ang pekerjaann7a 2awab : &wa&ta V &wa&ta = 311 ! (51 + %151
Portofolio Matematika_Vita Bakti Rafadilla_IX F_25
1!. PELUANG A. uang 4ampel dan 0itik 4ampel • uang &el adalah ha&il 7ang mungkin diperoleh pada &uatu per)obaan himpunan &emua. • Contoh : per)obaan pelemparan &ebuah dadu# ha&il 7ang mungkin diperoleh mata dadu %# '# 3# # 5# atau . 2adi dalam hal ini ruang &eln7a adalah 4 = H%# '# 3# # 5# I. 0iap* tiap anggota pada ruang &el di&ebut titik &el. • -ua logam 7ang &ama dilempar ber&ama*&ama. uang &eln7a adalah : mata uang C g n a u E a t a mA
E
A
(E# E
(E# A
(A# E
(A# A
uang &eln7a H EE# AE# EA# AA I. Ada anggota ruang &el1 ". Qenghitung Peluang
& ( ( )=
n ( ( ) n ( $)
n(4 = ban7akn7a anggota ruang &el n(A = ban7akn7a kejadian pada per)obaan 7ang ber&angkutan P(A = nilai peluang mun)uln7a kejadian A
C. rekuen&i arapan rekuen&i harapan kejadian A dituli& (A dari n kali per)obaan dirumu&kan : (A =P(A $ n -. Contoh 4oal dan Pembaha&an %. 4ebuah dadu dilempar &ekali. Peluang mun)uln7a mata dadu ,aktor dari %' adalah... a. 5/%' ). 5/ b. /%' d. 5/%8 Pembaha&an : aktor %' = H%# '# 3# # I jadi n(A = 5 n ( ( ) 5 & ( ( )= n ( $ ) = 12
'. 4ebuah dadu dilempar %'1 kali. 0entukan ,rekuen&i harapan mun)ul mata dadu prima V 2awab :
* ( pri0a )= & ( pri0a ) x n * ( pri0a )
1
120
Portofolio Matematika_Vita Bakti R_IX F_25
Ri!#ka
Pa#e 23
