RA ´ICES UNITARIAS ESTACIONALES Y TEST HEGY Estad´ Estad´ıstica III - 3009137, Nel fi Gonzalez ´ A. ´ 1. Definicion Un proceso ARMA tendr´a ra´ız unitaria estacional de periodo s si su polinomio AR tiene como ra´ıces una o m´as as ra´ıces del polinomio 1 xs , donde s es un n´umero par (por ejemplo on s = 4, 12). En particular, suponga que Y t es invertible y por tanto tiene una representaci´on ϕ (B ). Entonces en esta representaci´on AR se tiene que AR ( ) con polinomio autorregresivo ϕ( ∞ ∞ 2 j (1) ϕ(B )Y t = E t , E t un R.B N (0 N (0,, σ ), ϕ(B ) = 1 φj B con φj2 < ,
−
∞
∼
−
j =1
∞
j=1
s
y si c k es una ra´ız del polinomio 1 x , con s par, y tal que ϕ( en es ϕ (ck ) = 0, es decir, ck tambi´en ra´ız del polinomio ϕ(B ), por tanto Y t tiene ra´ız unitaria estacional y ser´a necesario aplicar la diferencia estacional s = 1 B s sobre Y t . Considera Consideraremos remos solo ´ dos casos s = 4 (caso trimestral) trimestral) y s = s = 12 (caso mensual).
−
∇
−
´ de las ra´ıces del polinomio 2. Rela Relaci ci´ on ´ riodicos
1
−
s
x
´ , s par, con fenomenos pe-
√ −
+ bi , a, b R, i = 1, est´a asociado a una onda sinusoidal Todo numero ´ complejo z = a + bi arm´onica onica o peri´odica, pues admite la siguiente representaci´on:
∈
z = a + a + bi bi = = z (cos θ + i + i sin θ) = z exp(iθ exp(iθ)) ,
|z| = √ a (b/a) b/a) y |
||
||
i =
√ −1
(2)
2 donde θ = tan−1 odulo de + b2 (el m´odulo de z ). En la Figura 1 se ilustra el m´odulo un n´ umero complejo z y el fen´omeno omeno ondulatorio asociado.
z =
d u t i l p m A
a bi
bi
1
Fcia. angular: tan b a=2 j S
2
m I
2
z
a
b
Período
1
tan
b a a Re
(a)
(b)
Figura 1: (a)
Representaci´on o n de un n´umero complejo en el plano angular θ radianes.
I
× R. (b) Onda sinusoidal en frecuencia
Luego, el n´ umero complejo z = a + bi est´a asociado a una frecuencia angular θ y a un numero ´ de ciclos ciclos j por unidad de tiempo, as´ı,
tan−1
b a
= θ = θ =
2πj , con s la longitud del per´ıodo de la onda peri´odica, s
(3)
por tanto tanto,, el n umero ´ de ciclos por unidad de tiempo se puede expresar como,
j = j =
θ 2π 1
× s
(4)
2.1.
Ra´ıces del polinomio 1
4
−x
(caso s = 4)
En total son cuatro ra´ıces que denotaremos por c k , k = 1, 2, 3, 4. a) c1 = 1. Ver Figura 2(a). Para este n umero ´ en la representaci´on a + bi se tiene a = 1 y b = 0, entonces su frecuencia angular θ = 0 radianes, y de (4), el n umero ´ de ciclos por a˜ no es j = 0. Por tanto, c 1 es una ra´ız unitaria no estacional, tambi´en llamada ra´ız unitaria regular, y de frecuencia angular 0. b) c2 = 1. Ver Figura 2(b). Para este n umero ´ en la representaci´on a + bi se tiene a = 1, ´ de ciclos por a˜ no es j = 2, y cada ciclo durando b = 0 y θ = π , por tanto, de (4), el numero 2 trimestres = 1 semestre. Entonces c 2 est´a asociado a un fen´omeno estacional que dura 1 semestre y y en consecuencia ocurre 2 veces al a˜ no. Esta ra´ız es llamada ra´ız unitaria estacional semestral o en la frecuencia angular π .
−
−
c) Par conjugado c3 , c4 : i. Ver Figura 2(c). Estas ra´ıces est´an asociadas a θ = π/2, por tanto de (4), el n´umero de ciclos por a˜ n o es j = 1. Luego c3 , c4 son ra´ıces unitarias estacionales anuales (es decir, su per´ıodo es 4 trimestres); tambi´en son denominadas ra´ıces unitarias estacionales en frecuencias angulares π/2 .
±
±
±
j 2 ciclos/año j 0 ciclos/año m I
m I
0
1 0i
1 0i
Re
Re
(a)
(b)
0 1i
j 1 ciclo/año
m I
2
Re
(c) Figura 2: Ra´ıces
2.2.
Ra´ıces del polinomio 1
caso s = 4. (a) Ra´ız c 1 . (b) Ra´ız c 2 . (c) Ra´ız c 3 . 12
−x
(caso s = 12)
Son 12 ra´ıces que tambi´en denotaremos por c k , k = 1, 2, . . . , 12. a) c1 = 1. Ver Figura 3(a). Igual que en el caso trimestral, es una ra´ız no estacional o regular, con θ = 0 radianes y j = 0 ciclos por a˜ no. b) c2 = 1. Ver Figura 3(b). Al igual que en el caso trimestral, θ = π , pero el numero ´ de ciclos por a˜ no seg´ un (4) es j = 6 y por tanto cada uno dura 2 meses. Luego, c 2 est´a asociado a un fen´omeno estacional de per´ıodo 2 meses y es por tanto una ra´ız unitaria estacional bimensual o ra´ız unitaria estacional en la frecuencia π .
−
c) Par conjugado c3 , c4 : i. Ver Figura 3(c). tambi´en como en el caso trimestral, este par est´a asociado a θ = π/2, pero el numero ´ de ciclos por ano ˜ de acuerdo a (4) es j = 3 y cada uno dura 4 meses, de donde c3 , c4 son ra´ıces unitarias cuatrimestrales o en frecuencias angulares π/2 o de 3 ciclos por a˜ no.
±
±
±
2
j 6 ciclos/año j 0 ciclos/año m I
m I
0
1 0i
1 0i
Re
Re
(a)
(b)
1 2 3i 2
j 4 ciclos/año
j 3 ciclos/año
0 1i m I
m I
2 3
2
Re
Re
(c)
(d)
1 2 3i 2 j 5 ciclos/año m I
j 2 ciclos/año
3 2 i 2 m I
5 6
3
Re
Re
(e)
(f)
j 1 ciclo/año
3 2 i 2 m I
6
Re
(g) Figura 3: Ra´ıces
caso s =
12.
(a) Ra´ız c 1 . (b) Ra´ız c 2 . (c) Ra´ız c 3 . (d) Ra´ız c 6 . (e) Ra´ız c 7 . (f) Ra´ız c 10 . (g) Ra´ız c 11
√ 3 d) Par conjugado c5 , c6 : 12 i. Ver Figura 3(d). En este caso θ = 23π y por tanto de (4), 2 j = 4. Luego, las ra´ıces c5 , c6 son ra´ıces unitarias estacionales trimestrales (cada ciclo dura 3 meses) o en frecuencia angular 23π o de 4 ciclos por a˜ no. √ 3 i. Ver Figura 3(e). Se tiene en este caso θ = π3 y de (4), j = 2 e) Par conjugado c 7 , c8 : 21 2 ciclos al a˜ no, luego cada ciclo dura 6 meses, de aqu´ı que c7 , c8 son denominadas ra´ıces unitarias estacionales semestrales o en frecuencia angular π3 o de 2 ciclos por a˜ no.
− ∓
∓
∓
±
±
±
3
√ 3 1 f) Par conjugado c 9 , c10 : i. Ver Figura 3(f). Para este caso encontramos que θ = 56π 2 2 y de (4), j = 5. Es decir, cada ciclo dura 12/5 meses y por tanto c 9 , c10 son ra´ıces unitarias estacionales en la frecuencia 56π o de 5 ciclos al a˜ no. √ g) Par conjugado c 11 , c12 : 23 12 i. Ver Figura 3(g). En estas ra´ıces θ = π6 y de (4) obtenemos j = 1, es decir c 11 , c12 son ra´ıces unitarias estacionales anuales o en la frecuencia angular π o de 1 ciclo por a˜ no. 6
− ∓
∓
∓
±
±
±
3. El test HEGY Corresponde a un test tipo Dickey Fuller aumentado o´ ADF, pero aqu´ı se parte de una representaci´ on de Y t (o de log Y t si fuese el caso multiplicativo) como un AR( ), asumiendo que el proceso es invertible, como previamente se especifico´ en la ecuaci´on (1). Para deducir un MRLM como en los tests ADF, se realiza una re-expresi´on del polinomio AR, ϕ(B), en t´erminos de una aproximaci´on denominada la representaci´ on de Lagrange (ver en Cap´ıtulo 10 de notas de clase, la ecuaci´on (10.11) caso s = 4) y luego se construye el MRLM, de la siguiente manera,
∞
a) Caso s = 4:
∇ Y = π X 4
t
p−1
−1 +π2 X 2,t−1 +π3 X 3,t−2 +π4 X 3,t−1 +
1,t
1
b ∇ Y − +E , con E un R.B ∼ N (0, σ ). 2
i
4
t i
t
t
i=1
(5)
a) Caso s = 12:
∇
12
Y t =π1 X 1,t−1 + π2 X 2,t−1 + π3 X 3,t−1 + π4 X 3,t−2 + π5 X 4,t−1 + π6 X 4,t−2 + π7 X 5,t−1 p−1 + π8 X 5,t−2 + π9 X 6,t−1 + π10 X 6,t−2 + π11 X 7,t−1 + π12 X 7,t−2 + bi 12 Y t−i + E t ,
i=1
con E t un R.B
∇
2
∼ N (0, σ ).
(6)
En las dos ecuaciones anteriores, p es el grado de un polinomio AR(p) y hay que seleccionar este orden autorregresivo de acuerdo a un criterio de informaci´on (AIC o BIC); las variables X j,t resultan de aplicar filtros (factores en los que se descompone el polinomio 1 B s ) que generan un tipo de diferencia y que son construidos de forma tal que los coeficientes de regresi´on π i en cada modelo, resulten asociados a las ra´ıces c k descritas previamente, as´ı,
−
En el caso trimestral (recuerde que ϕ(B) es el polinomio AR( la serie como un proceso invertible): a) π1 est´a asociado a la ra´ız c 1 y es tal que π 1 = 0 b) π2 est´a asociado a la ra´ız c 2 y es tal que π 2 = 0
⇐⇒ ⇐⇒
∞) en la representaci´on de
ϕ(c1 ) = 0 . ϕ(c2 ) = 0 .
c) π3 , π4 est´an asociados al par de ra´ıces conjugadas (c3 , c4 ) y tales que π 3 = π 4 = 0 ´ complejo resultante al ϕ(ck ) = 0, k = 3, 4, donde ϕ(ck ) es el m´o dulo del numero evaluar el polinomio ϕ(B) en B = c k .
|
|
|
⇐⇒
|
En el caso mensual, adicional a lo especificado en el caso trimestral para los coe ficientes π1 , π2 y el par (π3 , π4 ) , se tiene lo siguiente: d) π5 , π6 est´an asociados al par conjugado (c5 , c6 ), tales que π 5 = π 6 = 0 k = 5, 6.
⇐⇒ |ϕ(c )| = 0 ,
e) π7 , π8 est´an asociados al par conjugado (c7 , c8 ), tales que π 7 = π 8 = 0 k = 7, 8.
⇐⇒ |ϕ(c )| = 0 ,
k
f) π9 , π10 est´an asociados al par conjugado (c9 , c10 ), tales que π 9 = π 10 = 0 0, k = 9, 10
k
⇐⇒ |ϕ(c )| = k
g) Finalmente, π 11 , π12 est´an asociados al par conjugado (c11 , c12 ), tales que π 11 = π 12 = 0 ϕ(ck ) = 0, k = 11, 12.
⇐⇒ |
|
El test HEGY procede entonces formulando las siguientes tres pruebas en el caso trimestral (s = 4): 4
Tabla 1: Pruebas
Test 1 2 3
en Test HEGY con s =
4
´ Hipotesis ra´ız unitaria regular o no estacional) hay ra´ız unitaria regular o no estacional) : π 2 = 0 (Hay ra´ız unitaria estacional semestral) : π 2 < 0 (No hay ra´ız unitaria estacional semestral) H 0 : π 3 = π 4 = 0 (Hay ra´ız unitaria estacional anual)
H 0 H 1 H 0 H 1
: π 1 = 0 (Hay
Frecuencia angular ( θ) 0
˜ o ( j ) Ciclos/a n
π
2
0
: π 1 < 0 (No
H 1 : π 3 <
0
±
π
1
2
o´ π 4 = 0 (No hay ra´ız unitaria estacional anual)
Para el caso mensual (s = 12) se realizan las siguientes siete pruebas, Tabla 2: Pruebas
Test 1 2 3
en Test HEGY con s =
12
´ Hipotesis ra´ız unitaria regular o no estacional) hay ra´ız unitaria regular o no estacional) : π 2 = 0 (Hay ra´ız unitaria estacional bimensual) : π 2 < 0 (No hay ra´ız unitaria estacional bimensual) H 0 : π 3 = π 4 = 0 (Hay ra´ız unitaria estacional cuatrimestral)
H 0 H 1 H 0 H 1
: π 1 = 0 (Hay
Frecuencia angular ( θ) 0
˜ o ( j ) Ciclos/a n
π
6
0
: π 1 < 0 (No
±
π 2
3
= 0 (No hay ra´ız unitaria estacional cuatrimestral) H 1 : π 3 < 0 o´ π 4
4
H 0 : π 5
= π 6 = 0 (Hay
ra´ız unitaria estacional trimestral)
∓
2π 3
= 0 (No hay ra´ız unitaria estacional trimestral) H 1 : π 5 < 0 o´ π 6
5
H 0 : π 7
= π 8 = 0 (Hay
ra´ız unitaria estacional semestral)
±
π 3
4 2
H 1 : π 7 < 0 o´ π 8 = 0 (No hay ra´ız unitaria estacional semestral)
6
H 0 : π 9
= π 10 = 0 (Hay
ra´ız unitaria estacional de cinco ciclos al a˜no)
∓
5π
H 1 : π 9 < 0 o´ π 10 = 0 (No hay ra´ız unitaria estacional de cinco ciclos al a˜no)
7
H 0 : π 11
= π 12 = 0 (Hay
ra´ız unitaria estacional anual)
±
6
π 6
H 1 : π 11 < 0 o´ π 12 = 0 (No hay ra´ız unitaria estacional anual)
Estad´ısticos de prueba: En los tests 1 y 2 (tanto en el caso trimestral como el mensual) el estad´ıstico de prueba es similar en su forma al estad´ıstico T 0 en un test de significancia individual de un coeficiente de regresi´on, sin embargo, su distribuci´on bajo H 0 no es una t-student sino la de un proceso estoc´astico mucho m´as complejo. En los tests No.3 y en adelante, como cada una de estas hip´otesis involucran de a dos par´ametros, los estad´ısticos de prueba se asemejan a los estad´ısticos F 0 de la prueba de signi ficancia parcial de dos coeficientes en un modelo de regresi´on, aunque sus distribuciones no siguen la de una variable f ν ,ν sino la de un proceso estoc´astico tambi´en complejo. 1
2
Criterios de rechazo: En todas las pruebas se usan valores P y por tanto se rechaza H 0 si el valor P correspondiente es peque˜ no. Conclusiones 1. Si se rechaza H 0 en todos los tests (tests 1 a 3 en el caso trimestral y tests 1 a 7 en el caso mensual) se concluye que el proceso del cual proviene la serie es estacionario y por tanto no requiere ningun ´ tipo de filtro diferencia (ni la diferencia regular ni la diferencia estacional). 2. Si s´olo en el test No. 1 no se rechaza H 0 , entonces la serie proviene de un proceso no estacionario por tener ra´ız unitaria regular (pero no tiene ra´ıces unitarias estacionales) y por tanto, s´olo se requiere aplicar sobre la serie la diferencia regular, = (1 B).
∇
−
5
5 1
3. Si s´o lo en uno o m´as de los tests 2 en adelante no se rechaza H 0 , el proceso del que proviene la serie es no estacionario por tener ra´ıces unitarias estacionales (aunque no tiene ra´ız unitaria regular) y por tanto s´olo se requiere aplicar la diferencia estacional, s = 1 B s , (s = 4 en el caso trimestral y s = 12 en el caso mensual).
∇
−
4. Si no se rechaza H 0 en el test 1 y en uno o m´as de los tests 2 en adelante, el proceso del cual proviene la serie es no estacionario por presentar ra´ıces unitarias regular y estacionales y se requiere aplicar el filtro o diferencia mixta B)(1 B s ) s = (1 (s = 4 en el caso trimestral y s = 12 en el caso mensual).
∇∇
−
−
Nota: 1. Antes de aplicar el Test HEGY verifique si Y t es de varianza constante, de lo contrario, deber´a transformar la serie con una transformaci´on estabilizadora de varianza (en este curso estamos asumiendo la transformaci´on logaritmo natural) y sobre los datos transformados realizamos el test como tambi´en la modelaci´on ARIMA estacional o SARIMA. 2. El orden p que aparece en los modelos de regresi´on del Test (ecuaciones (5) y (6)) es seleccionado usando algun ´ criterio de informaci´on, en particular, en la librer´ıa R pdR donde se encuentra implementado este test en la funci´on HEGY.test(), se puede usar AIC. 3. Ver en ultimo ´ Taller del monitor y taller de repaso la aplicaci´on del Test HEGY.
6
