CENTRO EDUCATIVO PEUMAYEN Profesor: Francisco Valenzuela C.
P otencias y radicales radica les Antes de empezar Propiedades de las potencias de exponente entero
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores
x2·x7 = x2 +7 = x9
El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes. an·am = an+m
8
2 8 −5 = 23 5 = 2 2
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes. an n −m m = a a
3
( x7 )
= x7·3 = x21
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente el producto de los exponentes. m
( an ) 70 = 1
= an·m
Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad. a0 = 1
5
25·35 = (2·3) = 65
El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases. n
an·bn = ( a·b ) 6
86 ⎛ 8 ⎞ 6 6 = ⎜ ⎟ =2 4 ⎝ 4⎠
El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases. n
an ⎛ a ⎞ = bn ⎜⎝ b ⎟⎠
P otencias y radicales radica les
1. Radicales Definición Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a. n
2 por ser 23 = 8
38 =
a = b ⇔ bn = a
3
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando. n
p
5
5
1 = 53
2
x =
2 x5
p n
a =a
Radicales equivalentes Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.
Introducción y Extracción de factores Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribe dentro. Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
3
x2 = 6 x 4
son equivalentes por ser:
2 4 = 3 6
Amplificar:
3
x2 = 3·2 x2·2 = 6 x 4
Simplificar:
6
x 4 = 6:2 x 4:2 = 3 x2 3
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducir
x3 x = 3 x3 ·x = 3 x 4 23 3 = 3 23·3 = 3 8·3 = 3 24 Extraer: 5 13
x
5
= x2 x 3
13 5 3 2
P otencias y radicales radica les
Cálculo de raíces
172 1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1
3
1728 = 3 26·3 ·33 = = 22·3 = 12
Reducir a índice común 6
2 ;
10
Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
Reducción a índice común Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.
3
m.c.m(6,10)=30 6
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores.
2 = 30 25 = 30 32
El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices.
3 = 30 33 = 30 27
El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
10
Los siguientes radicales son semejantes: 3
3
3
2 4 ; 7 4 ; 5 4 Los siguientes siguientes radicales no son son semejantes:
23 4 ; 2 5 4 El índice es distinto
Radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el
mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
P otencias y radicales ra dicales EJERCICI OS resueltos 1.
Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: a)
53
b) 5 X3 2.
53 = 5 3 X
Escribe las siguientes potencias como radicales: 1
1
a) 72
72 = 7
2
2
53 = 3 52 = 3 25
b) 53 3.
4.
Escribe un radical equivalente, amplificando el dado: a) 3 5
3 5 = 3·2 51·2 = 6 52 = 6 25
b) 5 x 4
5
b)
6.
35 28
x
8.
6
35 28
x
=
35:7 28:7
x
=
5
x4
a) 2·4 3
2·4 3 = 4 24·3 = 4 16·3 = 4 48
b) x2 7 x3
x 2 7 x3 = 7 (x 2 )7·x 3 = 7 x14·x 3 = 7 x17
Extrae los factores del radical: 4
128 = 4 27 = 24 23 = 24 8
7
x30 = 7 x28 +2 = 7 x28 ·x2 = x4 7 x2
a) 5 1024
5
1024 = 5 210 = 22 = 4
b) 7 x84
7
x84 = 7 x12·7 = 7 (x12)7 = x 7
Calcular las siguientes raíces:
Reduce a índice común 2 = 6 23 = 6 8 ;
a) 3; 3 5 b) 4 x3 ; 6 x5 9.
49 = 6 72 = 6:2 72:2 = 3 7
Introduce los factores dentro del radical:
4 a) 128 b) 7 x30
7.
x 4 = 5·3 x 4·3 = 15 x12
Escribe un radical equivalente, simplificando el dado. a) 6 49
5.
1 35
4
x3 = 12 x9 ;
6
3
5 = 6 52 = 6 25
x 5 = 12 x 10
Indica que radicales son semejantes a) 4 3;54 3 b) 4 x; 3 x
4
3 y 54 3 Son semajentes 4 x y 3 x No son semajentes,tienen distinto indice
P otencias y radicales radica les
2. Propiedades Raíz de un producto 3
La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores .
2·5 = 3 2·3 5
n 7
2
4
7
2 7
a ·b = a · b
4
Demostración:
n
a·b = n a·n b 1 n
1 n
1 n
a·b = (a·b) = a ·b ·b = n a·n b
Raíz de un cociente 5
2 52 = 3 53 5
4
5
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor. 4
a a 3 = 5 3 b b
n
Demostración: n
a na = b nb 1 n
1 ⎞n
n a ⎛a a a =⎜ ⎟ = 1 = n b ⎝b⎠ b bn
Raíz de una potencia 3
5
8 = 2 = ( 2)
3
x = ( x)
5
7
3
3
5
7
Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada. n
ap =
(
n
p
a)
p
p n
⎛ n1 ⎞ n p Demostración: a = a = ⎜ a ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(
n
p
a)
Raíz de una raíz 5 3
2 = 15 2
La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la raíz nm-ésima de dicho número. nm
a= 1
n·m
a
1 ⎛ m1 ⎞n nm n · Demostración: a = ⎜⎜ a ⎟⎟ = a m = n·m a ⎝ ⎠
P otencias y radicales radic ales
3. Simplificación Racionalización Racionalizar una expresión con un radical en el
denominador, consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.
Para ello se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada para que, al operar, la raíz desaparezca. Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado * del denominador.
El conjugado de
a+b
es
Cuando el denominad or es un radical 3 2 3 1 1·3 52 5 25 = = = 3 5 5 3 5·3 52 3 53
1 7 4 x
=
1·7 x3 7 4 7 3 x · x
7
=
=
Simplificar un radical es escribirlo en la forma más
• •
El índice y el exponente sean primos entre sí. No se pueda extraer ningún factor del radicando. El radicando no tenga ninguna fracción.
x3 x
5+ 3 5+ 3 = 5−3 2
Simplificar un radical
•
7
=
Cuando el denominad or es un binomio 1 5+ 3 = = 5 − 3 ( 5 − 3 ) ( 5 + 3)
a−b
sencilla, de forma que:
x3 7 7 x
6
8 = 6 23 = 2
7 30 30
a = a4 7 a2
P otencias y radicales radica les EJERCICI OS resueltos 10.
11.
12.
Escribe con una sóla raíz: a) 5 3 b) 7 X 4 x
7
Escribe con una sóla raíz: a) 4 3·4 27 b) 5 x·5 x2
4
b)
14.
X4 x =
7
x8·x = 14 x9
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3 5 x·5 x2 = 5 x3
3
3
5
5
16 3 2
x4 5 3 x
16 3 1 6 3 = = 8 =2 3 2 2
x4 5 x4 5 = = x 5 3 x3 x
Racionaliza. a)
1 5 9
5 2 5 1 1 1·5 32 3 9 = = = = 5 3 9 5 32 5 32 ·5 33 5 35
b)
2 5·3 4
2 2 2·3 2 2·3 2 2·3 2 3 2 = = = = = 5·2 5 5·3 4 5·3 22 5·3 22 ·3 2 5·3 23
Racionaliza: 1 7 4 x 1 b) 2 7 3 x x
a)
15.
3 = 10 3
Escribe con una sóla raíz: a)
13.
5
7 3 7 3 1 1·7 x3 x x = = = 7 4 7 4 7 3 7 7 x x x · x x 7 4 7 4 7 4 1 1·7 x4 x x x = = = 2 = 3 x2 7 x3 x2 7 x3 ·7 x 4 x2 7 x7 x ·x x
Racionaliza: a) b) c)
1
1
3− 2
3− 2
2
2
5+2
5 +2
1
1
3− x
3− x
=
=
=
1·( 3 + 2 )
(
3 − 2 )·( 3 + 2 ) 2·( 5 − 2)
(
5 + 2)·( 5 − 2) 1·(3 + x )
(3 −
x )·(3 + x )
=
=
=
(
3 + 2) = ( 3 + 2) 3−2
10 − 2 2 = 10 − 2 2 5−4 3+ x 9−x
P otencias y radicales radica les
4. Operaciones con radicales Suma y Resta de Radicales
Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los coeficientes de fuera y se deja el radical.
8 + 2 = 23 + 2 = =2 2+ 2 =3 2
x + 6 x3 = x + x = 2 x
Producto de Radicales
Para multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.
3
3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72
5
x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7
Cociente de Radicales
Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicandos.
2 6 23 6 = = 2 3 2 6 22
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.
x 8 x2 8 = = x 8 x 8x 4
P otencias y radicales ra dicales EJERCICI OS resueltos 16.
17.
Calcular la suma: a) 40 + 90 b) 2 32 − 8 c) 3 4 + 6 16 1 d) 2 + 5 8 2
40 + 90 = 4·10 + 9·10 = 2 10 1 0 + 3 10 1 0 = 5 10 10 2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2 3 4 + 6 16 = 3 4 + 6 42 = 3 4 + 3 4 = 23 4 1 4·1 + 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2 2 +5 8 = 2 2
Calcular y simplificar: a) 4 3·5 27 b) 3 x·9 x2
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3 5 x·5 x2 = 5 x3
c) 5 x3 x · x d) 3 2· 2·4 8 18.
x3 x · x = 5 x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9 3 2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27 5
Calcular y simplificar: 3
7
7
x4 b) 14 3 x 6
84 a) 8 3 4 b)
16 3 24 15 220 15 17 = 5 = = 2 = 215 22 = 215 4 5 15 3 2 2 2
3
16 a) 5 2
19.
4
3
X4 x 4 x
x 4 14 x8 14 5 = = x 14 3 14 3 x x 6
84 = 8 3 4 3
6 8
x4 x = 4 x
(23 )
4
3
(22 ) 3
6
212 = = 8 6 2
(212 )
24 24
4
3
24
=
(26 )
248 24 30 4 5 = 2 = 2 = 24 2 2 4 18 2
x·x8 6 x9 12 x18 12 15 = 4 = = x = x12 x3 4 12 3 x x x
Calcular y simplificar 2·3 4 2·3 22 = = 4 4 3 8 2
2·3 4 4 8
a)
5
b)
5
2 2 ·3 4 8
2 2 ·3 4 = 8
5
12
26 ·12 28 12 224 12 15 4 5 = = 2 = 2 = 24 2 12 9 12 9 2 2
2·22 ·3 22 = 23
1 = = 3 0 16 2
30
10
23 ·3 22 = 23
214 = 3 0 16 30 14 2 · 2
30
30
29 ·30 220 = 30 45 2
214 = 3 0 30 2
30
30
229 = 30 45 2
214 15 27 = 2 2
P otencias y radicales radica les P ara practicar practicar
1.
2.
Escribe como potencia de exponente fraccionario: b) x
c) a3
d) 5 a3
1 2
d) x·3 2x2
e) 2ab·4 8a3
f) 4 2x2y3 ·6 5x2
b) 5
1 5
d) x
14
x6
d)
30
16·x8
c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2
10 .
b) 3 16
c) 9a3
d) 98a3b5c7
23
9x 3 3x
d) f)
3
8a3b 4 4a2
6
x5 8 3 x
Calcula: a) 5 2 4 2
2
d) ab a b
a) 5; 4 3
b) 3 4; 4 3; 2
c) 4 3; 8 7; 2
d)
c)
6
12 .
3
3; 32 ; 5
Suma los siguientes radicales indicados. a) 45 − 125 − 20 + 675 − 12
c) 175 + 63 − 2 28 d) 20 +
c)
75x2 y3 b) 5 3xy
a
Reduce al mínimo común índice los siguientes radicales.
75 − 147
a)
6x 3x
9 e) 9 3 11 .
b) 2·
Divide los siguientes radicales
3
Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él.
b)
2 − 3 )· 2
d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )
a) 18
c) 3a· 2a
(
b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales
2
5· 2 ·3· 5
Multiplica los siguientes radicales a)
5 3
b) 8 82
a) 3· 5
7.
c) 3 12·3 9
Simplifica los siguientes radicales:
c)
6.
b)
9.
3 2
a) 4 25
5.
a) 3· 6
Escribe como un radical:
c) x
4.
2
a) 5
a) 3
3.
3
Multiplica los siguientes radicales
8.
1 45 + 2 12 125 3
13 .
4
x3 3 x 2 x
b) 5 x2 4 x3 d)
6
23 2 2
Racionaliza. a)
2 7
b)
c)
2a 2ax
d)
1 3 5
1 x3
Racionaliza. a) c)
2 3 −1
5 4-
11
b) 3 + 5 3− 5
d)
2 2 +1
P otencias y radicales radic ales P ara saber saber más
1
n = a1 +
a2 +
1 a3 +
1 a4 +
1 ...
Aproximación de una raíz cuadrada mediante fracciones Cualquier número irracional se puede aproximar mediante una fracción, que se obtiene a partir de su desarrollo en fracción continua. Mediante las fracciones continuas se puede aproximar cualquier raíz a una fracción.
Desarrollo de: 2 = 1 ' 4142
1+ 1+
Algoritmo
1 3 = = 1'5 2 2 1 1 2+ 2
7 = 1' 4 5
=
1
1+
=
1
2+
2+
La primera cifra a 1 es la parte entera de la raíz
1 2 =
2+
99 = = 1'4142 70
1 1
2+
1
2+
2+
2 =1+
1 x2 1 1 1 ⇒ 2−1= ⇒ x2 = = 2 +1 x2 x2 2 −1
a2 = ⎡⎣x2 ⎤⎦ = ⎡⎣ 2 + 1⎤⎦ = 2
1 2
1 2+
41 = 1 ' 4167 29
1
2+
La segunda cifra a 2 es la parte entera de x2 x1 = 1 +
1
2+
1+
a1 = ⎡⎣x1 ⎦⎤ = ⎡⎣ 2 ⎤⎦ = 1
17 = 1 ' 4 166 12
1
1+
x1 = 2
La tercera cifra a 3 es la parte entera de x 3 x2 = 1 +
1 x3
2 +1 = 2+
1 2
1 1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x3 = = 2 +1 x3 x3 2 −1
a3 = ⎡⎣x3 ⎤⎦ = ⎡⎣ 2 + 1⎤⎦ = 2 Otros desarrollos
3 = ⎡⎣1, 12⎤⎦ 5 = ⎡⎣2, 4⎤⎦ 6 = ⎡⎣2, 24⎤⎦
No es necesario hacer más cálculos por repetirse periódicamente los cocientes.
7 = ⎡⎣2, 1114⎤⎦ 8 = ⎡⎣2, 14⎤⎦ 10 = ⎡⎣3, 6⎤⎦
2 = ⎡⎣1, 2⎤⎦ = 1 +
1 1
2+ 2+
1 2 + ...
P otencias y radicales radica les Recuerda lo más importante Potencia de exponente fraccionario
Radicales
Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que elevado a n nos da al primero.
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario donde el numerador de la fracción es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz.
La expresión es n a un radical de índice n y radicando a . n
a = b ⇔ a = bn
n
m
m n
a =a
Propiedad fundamental
El valor de un radical no varía si se multiplican ó se dividen por el mismo número el índice y el exponente del radicando. n
n·p m·p am = n·p a
Reducir a índice común
Operaciones con radicales
Reducir a índice común dos radicales dados es encontrar dos radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.
Para multiplicar(o dividir) radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican(o dividen) los radicandos. Si tienen índice distinto, primero se reduce a índice común.
Radicales semejantes
Para hallar la raíz de un radical se deja el radicando y se multiplican los índices.
Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando, pudiendo diferir en el coeficiente que los multiplica.
Para sumar (o restar) radicales semejantes se suman (o restan) los coeficientes y se deja el radical
Racionalizar
Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.
P otencias y radicales radica les Autoevaluación 1 . Calcula la siguiente raíz: 7 78125
2 . Escribe en forma de exponente fraccionario: 10 x3
3 . Calcular:
18 − 98
4 . Introduce el factor en el radical: 6 4 5
5 . Calcula, simplifica y escribe con un solo radical:
6 . Extrae los factores del radical: radical:
7 . Racionaliza:
4
7
73 3
243
45 25
3
8 . Calcular y simplificar:
9 . Calcular y simplificar:
4
2·5 4
7
125 3 5
1 0 . Cuánto mide la arista de un cubo si su volumen es
1331m3
ACTIVIDADES
Matemáticas B
1.
Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias: 5
a) c)
2 =
5
2=
b)
3 25
=
d)
1 53
=
2.
Calcula: 4 2
3.
Calcula expresando el resultado como una potencia de exponente fraccionario lo más simplificado posible: 3
9
⋅
4
12
6
4.
−
9 18
+
15 50
=
Racionaliza y simplifica: a)
2 2
=
b)
4 5
−
1
