FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO TEMA 10:
Raíces Raíces Unitarias Unitarias (Introducción) (Introducción) Miguel Ataurima Arellano1
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1
MINISTERIO DE ECONOMÍA Y FINANZAS Dirección General de Políticas Macroeconómicas
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas
ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO INDICE
Raíces Unitarias
Índice 1. Series de Tiempo No Estacionarias Univariadas
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1.1. Proceso Estacionario en Tendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Procesos Integrados
3
7
2.1. Proceso integrado de orden 1: I (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Proceso integrado de orden 0: I (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Proceso integrado de orden 0: I (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 11 12
3. Series de Tiempo de Larga y Corta Memoria
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4. Referencias
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2
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1. Series de Tiempo No Estacionarias Univariadas Un proceso univariado de series de tiempo {yt } es no estacionario si éste posee algunos momentos dependientes del tiempo. Las fomas mas comunes de no estacionariedad son las causadas por la dependencia del tiempo en media y varianza.
1.1. Proceso Estacionario en Tendencia {yt } es un proceso estacionario en tendencia si tiene la forma yt = T Dt + xt
donde •
T Dt representa los términos de tendencia determinística que dependen de t: T Dt µ µ + δt Dt µ + δt + Dt
•
: : : :
Solo Constante (drift) Constante y Tendencia Solo Dummie Estacional Constante, Tendencia y Dummie Estacional
donde E [T Dt ] = T Dt . {xt } es un proceso estacionario con media cero.
(1)
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La serie yt yt = T Dt + xt
es no estacionaria porque E [yt ] depende de t E [yt ] = E [T Dt + xt ] = E [T Dt ] + E [xt ] = T Dt
Como x t es estacionario, y t nunca se desvía demasiado de su tendencia determinística T Dt . Por lo tanto, yt exhibe reversión en tendencia . Si T Dt es conocido, yt puede ser transformado a un proceso estacionario restándole los términos de tendencia determinística (esto es, realizando un detrending ) xt = y t − T Dt
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EJEMPLO: AR(1) estacionario en tendencia Un proceso AR(1) estacionario en tendencia puede expresarse como yt = T Dt + ut ut = φu t
−1
+ t
con t ∼ W N (0, σ2 ) y |φ| < 1 ; donde ut hace el papel del proceso estacionario xt de (1). Si T Dt posee la forma T Dt = µ + δt
entonces, el proceso AR(1) puede expresarse como yt = µ + δt + ut ut = φu t
−1
+ t
(2) (3)
Este proceso AR(1) estacionario en tendencia también puede expresarse en forma equivalente. •
Hacemos un detrending a yt yt − T Dt = y t − (µ + δt ) = u t
•
Reemplazamos (4) en (3) yt − (µ + δt ) = φ [yt − (µ + δt )] + t
(4)
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•
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Simplificando llegamos a: yt = c + βt + φyt 1 + t −
donde:
|φ| < 1 c = δφ + (1 − φ) µ β = δ (1 − φ) t ∼ W N (0, σ 2 )
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2. Procesos Integrados 2.1. Proceso integrado de orden 1: I (1) Un proceso {yt } es integrado de orden 1 si este tiene la forma yt = y t 1 + ut −
donde ut es una serie de tiempo estacionaria; y se suele denotar mediante yt ∼ I (1)
La primera diferencia de yt es estacionaria
∆yt = y t − yt
−1
= u t
Un proceso I (1), se dice que es un proceso estacionario en diferencia.
(5)
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Iniciando en y0 , mediante sustitución recursiva yt tiene la presentación de una suma integrada de innovaciones estacionarias t
yt = y 0
+
(6)
u j
j =1
donde, la suma integrada
t j =1
u j se denomina Tendencia Estocástica (T S t ) t
T S t
t−1
= = u j
j =1
ut
j
−
j =0
observándose que T S t = T S t
−1
+ ut
donde T S 0 = 0. En contraste con una tendencia determinística , los cambios en una tendencia estocástica no son perfectamente predecibles.
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EJEMPLO: Proceso I (1) con drift Un proceso I (1) con drift (deriva) tiene la forma yt = µ + yt
−1
+ ut
(7)
donde ut ∼ I (0). Iterando hacia adelante y considerando y0 dado, observamos que y1 = µ + y0 + u1 y2 = 2µ + y0 + u1 + u2 y3 = 3µ + y0 + u1 + u2 + u3
.. . esto es
t
yt = y 0 + µt
+
j =1
u j
(8)
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Observando (8) podemos identificar 2 componentes •
Una Tendencia Determinística Lineal, debido a la presencia de µ en (7) T Dt = y 0 + µt
•
Una Tendencia Estocástica, debido a que el proceso es I (1). t
T S t
=
j =1
u j
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2.2. Proceso integrado de orden 0: I (0) Como el proceso estacionario ut no necesita ser diferenciado, éste es llamado un proceso integrado de orden 0 y es denotado como ut ∼ I (0)
Recuerde que a partir de la representación de Wold, un proceso estacionario yt tiene una representación MA(∞) donde todos los pesos móviles tienden a cero a una tasa geométrica. ∞
yt = µ
+
ψ j ut
j
−
j =0
NOTA: Un proceso I (1) yt = y t 1 + ut −
tiene una representación MA( ∞) con pesos sobre las innovaciones son igual a 1. yt
=
1 ut = u t + ut 1 + ut 2 + · · · 1−L
−
y con su primera diferencia es un proceso estacionario
∆yt ∼ I (0)
−
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2.3. Proceso integrado de orden 0: I (d) Un proceso {yt } es un proceso integrado de orden d si
∆d yt ∼ I (0) y se denota mediante yt ∼ I (d)
En finanzas y economía, las series de datos son raramente modeladas como proceso I (d) con d > 2 . •
Si el proceso es I (1) con drift yt = µ + yt 1 + ut −
contendrá una Tendencia Deterministica Lineal •
Si el proceso es I (2) con drift
∆yt = µ + ∆yt 1 + ut −
contendrá una Tendencia Deterministica Cuadrática
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3. Series de Tiempo de Larga y Corta Memoria Si una serie de tiempo yt es integrada de orcen cero yt ∼ I (0)
entonces su ACF decae a una tasa geométrica . Un proceso I (0) se dice que tiene Corta Memoria debido a que las observaciones distantes en el tiempo no están correlacionadas (son esencialmente independientes). Si una serie de tiempo yt es integrada de orden 1 yt ∼ I (1)
entonces su ACF decae a una tasa lineal . Un proceso I (1) es aquel en el que las observaciones distantes en el tiempo están correlacionadas (no son independientes). En medio de los procesos I (0) e I (1) se encuentran los procesos integrados fraccionalmente yt ∼ I (d) con 0 < d < 1 , cuya ACF decae a una tasa polinómica (hiperbólica). Un proceso I (d) se dice que tiene Larga Memoria debido a que las observaciones distantes en el tiempo pueden exhibir una correlación débil pero distinta de cero.
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EJEMPLO: Proceso Ruido Blanco Integrado Fraccionalmente Un proceso {yt } Ruido Blanco Integrado Fraccionalmente tiene la forma
(1 − L)d yt = t , donde el operador en rezagos
t ∼ W N (0, σ2 )
Φ(L) = (1 − L)d
se puede representar como una expansión de series binomiales (válido para cualquier d > −1)
) = (− ) ∞
Φ(L) = (1 − L
d
k =0
d k
= 1 − dL +
L
k
d (d − 1)
2!
L2 −
Se observa que: •
Para d = 0 , entonces yt es un Ruido Blanco.
•
Para d = 1, entonces yt es un Random Walk.
d(d − 1)(d − 2)
2!
L3 + · · ·
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Para 0 < d < 1 , se puede demostrar que ρk ∝ k 2d
−1
conforme k → ∞ de modo que la ACF de yt decae hiperbólicamente a cero y a una velocidad que depende de d. Mas aún, puede mostrarse que yt es estacionario y ergódico para
0 < d < 0 .5 y que la varianza de yt es infinita para
0.5 ≤ d < 1 .
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4. Referencias Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis , Princeton University Press. Zivot, E. y J. Wang (2006), Modelling Financial Time Series with S-PLUS , 2da. Edición, Princeton University Press.
