Radiación Del Cuerpo Negro

LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA El término radiación se refiere a la emisión continua de energía desde la superficie de cualquier cuerpo, esta energía se denomina radiante y es transportada por las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío a la velocidad de 3 × 10 8 m/s. Las ondas de radio, las radiaciones infrarrojas, la luz visible, los rayos ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma (γ), constituyen las distintas regiones del espectro electromagnético. Recordemos que una onda electromagnética consiste en la oscilación de un campo eléctrico y otro magnético en direcciones perpendiculares, entre sí, y a su vez, perpendiculares ambos a la dirección de propagación. La radiación electromagnética viene determinada por su frecuencia “ ν” o por su longitud de onda “ λ “ λ”, ”, relacionadas

entre sí por: ν = c/ λ  λ

Espectro de la radiación electromagnética Entre 1850 y 1870 James Clerk Maxwell desarrolló la teoría electromagnética la que condujo a la predicción y posterior descubrimiento de las llamadas ondas electromagnéticas. A la emisión de esta clase de ondas se le da el nombre de radiación electromagnética. Una onda electromagnética se caracteriza por las vibraciones de su campo eléctrico E  y   y su campo magnético B , que oscilan en planos mutuamente perpendiculares. La dirección de propagación, y por lo tanto su velocidad de propagación, es perpendicular a las direcciones de los dos campos, tal como se ilustra en la figura 1.

Figura 1. Representación de una onda electromagnética donde E  es  es el campo eléctrico, B  es  es el campo magnético y c es la velocidad de propagación. Una característica espacial de la onda electromagnética es su longitud de onda  λ y su frecuencia de oscilación  . Como  para las demás ondas, el producto de su frecuencia por su longitud de onda es igual a su velocidad de propagación, que  para la onda electromagnética en el vacío vacío es:  = c  λ∙   λ∙  = donde c tiene el valor de 3 × 10 8 m/s, lo que corresponde, nuevamente, a la velocidad de la luz en el vacío. Si se supone una onda electromagnética viajando en el vacío en la dirección  x, se puede recurrir a la siguiente expresión general: E  =  = E 0 sen(kx –   +  ) kx – ωt  ωt  + 1

con k  =  = 2π /λ , ω = 2π    un ángulo de fase arbitrario. E 0 representa la amplitud.   y   un Por consiguiente, la relación entre frecuencia y longitud de onda es inversa: a mayor frecuencia menor longitud de onda y viceversa. La longitud de onda (o frecuencia) de una onda electromagnética puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado. Al conjunto de posibles valores de la longitud de onda (o frecuencia) llamamos espectro de la radiación electromagnética (figura 2). Con el nombre de espectro   designamos, en general, la distribución de valores que puede tomar cualquier cantidad física. El espectro electromagnético   es el conjunto de todas las radiaciones electromagnéticas desde muy bajas 12 longitudes de ondas como los rayos γ (10 – 12 m) hasta kilómetros (ondas de radio). Las ondas electromagnéticas más conocidas son las que ocupan una región muy pequeña del espectro, denominada región visible , que corresponde a las frecuencias (o longitudes de onda) que puede resolver el ojo humano y que llamamos colores. El rango de valores de la longitud de onda en esta región va desde 7 × 10 – 7 m (rojo) hasta 4 × 10 – 7 m (violeta). Cuando vemos un arco iris estamos e stamos observando la parte visible del espectro electromagnético. A ambos lados de la región visible del espectro se encuentran otras regiones. A medida que la longitud de onda disminuye ( λ → ∞) encontramos primero la región ultravioleta , luego la región de los rayos X y finalmente la región de 12 los rayos gamma (γ) cuya longitud de onda es del orden de 10 – 12 .m.

Figura 2. Espectro de la radiación electromagnética (figura no hecha a escala). A la izquierda de la región visible ( λ → ∞ ) se encuentra primero la región del infrarrojo, que se divide en tres subregiones: infrarrojo cercano , mediano y lejano ; luego está la región de las microondas y al final del espectro está la región de las ondas de radio cuyas longitudes de onda son del orden de 10 3 m. En la figura 2 se muestran estas regiones o bandas como también suelen llamarse. En el espectro de las ondas electromagnéticas no es posible separar una región de otra. Por ejemplo, en el arco iris no podemos decir exactamente en qué  punto termina un color y comienza el siguiente. Un espectro con esta característica se denomina espectro continuo; todos los valores de la cantidad física que se emplea para describir el espectro son posibles. Cada una de las regiones antes mencionadas tiene diferente origen y aplicabilidad. De acuerdo con la fuente que  produce la radiación electromagnética, ésta tendrá una longitud de onda que se localizará en alguna de las regiones del d el espectro. En la tabla 1 se encuentran las principales fuentes de radiación electromagnética y la región en la cual se encontrará la radiación correspondiente. 2

Finalmente, para terminar este breve repaso sobre la radiación electromagnética, hay que recordar que una onda electromagnética transporta energía y una medida de ésta es el denominado vector de Poynting. Además, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional a la amplitud de oscilación, como en cualquier movimiento ondulatorio. Tabla 1. Principales fuentes de radiación electromagnética Ondas de radio

Microondas

Infrarrojo

Luz visible

UV

Rayos X

Rayos γ

 λ (nm)

> 1×106

< 1×10 – 2

700 - 1×106 

380 – 750

20 - 380

0,01 - 20

< 0,01

ν (Hz)

> 300×106

> 3×108

> 120×1012

> 384×1012

> 1,5×1015

> 30×1015

> 30×1018

 E  (J)

> 20×10 – 26

> 2×10 – 24

> 255×10 – 21  >993×10 – 21 Estrellas Estrellas calientes y muy frías, Gigancalientes tes rojas

> 20×10 – 18

> 20×10 – 15 Reacciones nucleares,  Núcleos estelares Transiciones en el núcleo atómico o radiación emitida por núcleos atómicos

Fuentes Astr. Típicas

  s   e    t   n   e   u    F

> 79×10 – 21 Planetas,  polvo, nubes  E  en campos magnéticos del medio interestelar Osciladores Transiciones de electrones electrónicas dentro de una en moléculas cavidad

Osciladores eléctricos

(Klystron) magetrón

Gas en cúmulos

Cargas elécTransiciones electrónicas tricas bruscaen átomos mente desceleradas (radia ción de frena do). TransiRadiación emitida por moléculas y átomos ciones electrónicas profundas

El ser humano puede ver el color de los objetos porque al incidir sobre ellos luz blanca, reflejan luz de cierta frecuencia. Recuerden que la luz blanca (radiación electromagnética visible) está compuesta por luz de todas las frecuencias posibles que van desde el rojo hasta el violeta. Entonces, un objeto se verá blanco cuando refleja toda la luz que incide sobre él; se verá verde cuando refleja luz cuya frecuencia corresponde a ese color; y cuando absorbe toda la luz que incide sobre él se verá negro. Un objeto que absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él es un “cuerpo negro”.

Radiación térmica Un cuerpo, por el hecho de estar a una determinada temperatura, emite radiación. Se sabe que la radiación es emitida en todas las frecuencias pero emite más intensamente para una frecuencia específica que se puede calcular sabiendo su temperatura. Es por eso que vemos las estufas de resistencia ponerse al rojo cuando las encendemos. El análisis de la radiación térmica es uno de los temas importantes en la física ya que su estudio crítico llevó a la necesidad de postular nuevos conceptos que a su vez abrieron el camino hacia la física moderna. Para com prender esta radiación se va a utilizar un ejemplo claro y sencillo.

Figura 3. Resistencia de una estufa eléctrica

Consideremos una estufa eléctrica común: una resistencia por la que pasa una corriente cuya intensidad aumenta según la posición del interruptor (bajo, medio y alto). Sabemos que al pasar corriente por la resistencia se disipa en ella energía en forma de calor (Figura 3). 3

Cuando el interruptor se coloca en bajo, después de cierto tiempo se puede notar fácilmente que la resistencia se ha calentado; es decir, se encuentra a una temperatura que llamaremos T b. Al pasar el interruptor a la segunda posición (medio), se aumenta la corriente que pasa por la resistencia y se disipa más calor que en el caso anterior. Además, la resistencia toma un color rojizo. Entonces, la resistencia se encuentra a una temperatura T m, T m > T b, y hay emisión de luz en el rango visible. Al pasar a la última posición (alto), la corriente en la resistencia es todavía mayor y, por lo tanto, también lo es la cantidad de calor disipado. Ahora la resistencia se encuentra a una temperatura T a, T a > T m > T b, y toma un color rojo amarillento que significa que la luz emitida es de mayor frecuencia que en los casos anteriores. Si la resistencia  permitiera el paso de una corriente todavía mayor, sin quemarse, observaríamos que además de la disipación de calor la resistencia tomaría un color azuloso tendiendo a blanco. Resumiendo los resultados obtenidos en nuestro experimento, vemos que al aumentar la intensidad de la corriente que pasa por la resistencia aumenta la temperatura de la misma y la frecuencia de la luz a la cual se emite radiación. En realidad se está emitiendo radiación cuya distribución es continua. La manifestación de lo “caliente” que se pone la resistencia de la estufa, es una clara demostración de emisión en el infrarrojo. También se encontrará emisión por encima del visible. Esto es, al calentar un cuerpo hay emisión de radiación electromagnética cuya frecuencia aumenta al aumentar la temperatura. En el primer paso de nuestro experimento no se ve emisión de luz; pero esto se debe a que la frecuencia de la radiación emitida se encuentra en la región del infrarrojo y no la podemos ver (pero si detectar). Al graficar la intensidad de la luz emitida en función de la frecuencia para cada temperatura considerada, se obtienen curvas como las mostradas en la figura 4. Como el ojo humano discrimina solamente el color más intenso presente en una radiación de varios colores, en el experimento sólo vemos un color a una temperatura dada; pero con el instrumento adecuado se la puede descomponer en las diferentes frecuencias presentes, obteniéndose las curvas continuas mostradas en la figura. Se puede concluir, entonces, que los cuerpos materiales a una temperatura diferente de 0 K emiten ondas electromagnéticas. Tal emisión se denomina radiación térmica.

Figura 4. Curvas típicas de la radiación térmica.

RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO La radiación del cuerpo negro fue un problema teórico puntual que estudiaba la interacción del campo electromagnético con la materia. Para su resolución se necesitó el uso de la termodinámica y de la mecánica estadística. Su importancia radica en ser el precursor de la teoría cuántica ya que para su correcta solución se hizo necesaria la cuantificación de la energía lo cual dio origen a dicha teoría, que tanto revolucionó la ciencia del siglo XX. Durante la segunda mitad del siglo XIX, se estudió extensamente la radiación emitida por cuerpos calientes y para ello se utilizó cierta clase de objetos que tienen la propiedad de emitir la misma radiación térmica cuando se encuentran a la misma temperatura, independientemente del material que los compone. A estos objetos se llamó cuerpos negros y a la radiación térmica que emiten, radiación del cuerpo negro.

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El nacimiento de la cuántica generalmente se sitúa el 14 de Diciembre de 1900. Ese día Max Planck dio una charla acerca del cuerpo negro donde había que cambiar la visión que se tenía hasta el momento de la interacción de la materia con la radiación. El cuerpo negro es un sistema físico (ideal) que absorbe toda la  luz y toda la energía radiante (en todas las frecuencias) que incide sobre él. Nada de la radiación incidente se refleja o pasa a través del cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro emite luz y constituye un  sistema físico idealizado para el estudio de la emisión de radiación electromagnética. El problema del cuerpo negro fue enunciado por Gustav Kirchhoff en 1859, que demostró usando sólo conceptos termodinámicos que la emisividad de un cuerpo caliente en equilibrio debe ser igual a la absorbancia y que ésta sólo dependerá de la temperatura absoluta del cuerpo y no de la naturaleza ni del tamaño de éste. Debemos recalcar que en aquella época aún no se había descubierto ni la existencia de loa radiación electromagnética (por lo que se desconocía la naturaleza de la radiación térmica) ni la constitución de la materia. Idealizando este caso, podemos denominar cuerpo negro a un sistema cuya emisividad y absorbancia sea iguala uno.  No obstante, Kirchhoff no pudo llegar a obtener una función de esta radiación con respecto a la frecuencia o longitud de onda, dejando el problema abierto para la búsqueda de una solución. El cuerpo negro imaginario de Kirchhoff era un simple recipiente oscuro con un pequeño orificio en una de sus  paredes. Una vez en el interior, la radiación sufre diversas reflexiones en las paredes de la cavidad hasta que acaba siendo completamente absorbida. El agujero también actúa como emisor perfecto, puesto que las radiaciones que escapan a través de él muestran todas las longitudes de onda presentes, a esa temperatura, en el interior del recipiente. A partir de esta construcción mental y valiéndose de las matemáticas, Kirchhoff demostró que el rango y la intensidad de la radiación en el interior del recipiente únicamente dependían de su temperatura. La tarea que se impuso consistía en dar con la fórmula que reprodujese la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a cada temperatura y acabó conociéndose como problema del cuerpo negro. Él mismo, muy pronto fue consciente de que sin poder experimentar con un cuerpo negro real no podría avanzar más a nivel teórico en su reto, pero su trabajo fue de gran ayuda para aquellos que pudiesen disponer de él. Si, tal y cómo había probado, la distribución sólo dependía de la temperatura, la ansiada fórmula sólo debía tener dos variables: la temperatura del cuerpo negro y la longitud de onda de la radiación emitida.

a. Absorbedor perfecto (pequeño  b. Al incidir la radiación electromag- c. Calentamiento del cuerpo anterior orificio), reflector perfecto (el nética el cuerpo se comporta como resto del cubo de cartulina un cuerpo negro Figura 6. Esquema de un reflector perfecto y un cuerpo negro. Evidentemente este sistema tiene que estar cerrado para que el equilibrio térmico sea posible. Sin embargo, podemos  pensar que hacemos un agujero minúsculo por el que la radiación escapa de muy poco en poco y eso nos permite ver qué frecuencias y con qué intensidad está la radiación dentro del cuerpo negro. 5

Así como un objeto blanco es un reflector perfecto de luz, un cuerpo negro es un absorbedor perfecto; pero también puede ser un emisor perfecto. Si en un cubo de cartulina blanca hacemos un pequeño orificio, éste se verá negro debido a que la radiación electromagnética que entra por él no puede volver a salir; pero el resto del cubo refleja toda la radiación que incide sobre él. Por lo tanto, tenemos al mismo tiempo un absorbedor perfecto (el pequeño orificio) y un reflector perfecto (el resto del cubo de cartulina) (figura 6a.). Ahora consideremos un material cualquiera dentro del cual hay una cavidad conectada al exterior mediante un  pequeño orificio, sobre el cual incide un haz de luz (figura 6b.). Al entrar la radiación en la cavidad, choca contra su pared y es en parte absorbido por la pared y en  parte reflejado hacia otro punto de la cavidad donde nuevamente es en parte absorbido y en parte reflejado. Este proceso se repite hasta que toda la radiación es absorbida por el material. Entonces, el orificio se verá Figura 7. Curvas del espectro de radiación del cuerpo negro negro porque por él no sale radiación electromagnética, Densidad de energía (luminosidad) E ( λ) vs. Longitud de y por consiguiente, se comporta como un cuerpo negro. onda (λ ) Al calentar este mismo material (figura 6c.), la cavidad emitirá radiación electromagnética que saldrá por el orificio. Como este se comporta como un cuerpo negro la radiación que sale por él se denomina radiación del cuerpo negro.  Necesariamente la cantidad de energía emitida en forma de radiación electromagnética será igual a la cantidad de energía suministrada al calentar el material. En estas condiciones el sistema está en equilibrio térmico y la radiación emitida sólo dependerá de la temperatura del material. En consecuencia, se puede definir una estrella, el sol por ejemplo, como un cuerpo negro. A baja resolución espectral, el espectro del sol se superpone al de un cuerpo negro de temperatura 5777 K. Sin embargo, ¡nada es menos negro que el sol! Es necesario hacer una definición más precisa del cuerpo negro... en la que éste pueda tener color. Al graficar la densidad de energía (energía por unidad de volumen), en función de la frecuencia se obtienen las curvas típicas de la radiación térmica (figura 8).

Figura 8. Curvas del espectro e la radiación del cuerpo negro

Figura 9. Una estrella como nuestro sol tiene características de cuerpo negro como emisor de energía que se libera en un proceso de fusión nuclear en su interior.  Nótese que a medida que aumenta la temperatura del cuerpo, el máximo de la densidad de energía va siendo mayor, tanto en el valor de la densidad de energía emitida, como en el valor de la frecuencia a la que ocurre el máximo.

De los resultados experimentales se dedujeron tres leyes empíricas, que son las siguientes: 6

Ley de Rayleigh-Jeans En física,  la Ley de Rayleigh-Jeans, primeramente propuesta por los comienzos del siglo XX, obedece a los intentos de describir la radiación espectral de la radiación electromagnética de todas las longitud de onda de un cuerpo negro a una temperatura dada. Para deducir la ley que rige el comportamiento de la radiación del cuerpo negro, el barón de Rayleigh, Lord John James Strutt y Sir James Hopwood Jeans hicieron cálculos sobre la densidad de energía de radiación del cuerpo negro partiendo de las siguientes consideraciones: 1. La física clásica debe poder describir teóricamente la distribución espectral emitida por un cuerpo negro.

Lord Rayleigh

2. El cuerpo negro y la radiación que emite deben estar en equilibrio térmico. 3. Al calentar un cuerpo negro, los electrones de los átomos que lo constituyen, oscilan alrededor de su posición de equilibrio y, de acuerdo con la teoría electromagnética, estas cargas en movimiento emiten radiación electromagnética de igual frecuencia a la frecuencia de oscilación.

Sir Jeans Grosso modo, esta ley nos dice que la forma de emitir el cuerpo negro es el producto de la frecuencia de la radiación al cuadrado por la temperatura del cuerpo ( ν2T ) Para la longitud de onda λ, es:

donde c es la velocidad de la luz, k  es la constante de Boltzmann y T  es la temperatura absoluta. En términos de frecuencia  , la radiación es: . La ley es derivada de argumentos de la Física clásica. El barón de Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900. Unos años más tarde, llegaron a otra expresión por medio de un  procedimiento distinto. Aunaron la física de Newton, Maxwell y Boltzmann para dividir la energía de la radiación del cuerpo negro entre las diferentes longitudes de onda presentes dentro de la cavidad. El uso del  teorema de equipartición no satisfacía demasiado a Rayleigh que creía que sólo era válido en ciertas condiciones, sin embargo reconocía que “aunque la doctrina falla, en general, por alguna raz ón aún sin explicar, parece posible que pueda aplicarse a los modos más graves” donde por “modos más graves”  ser refería a las vibraciones de longitud de onda largas, las únicas a las que en su opinión podía aplicarse la ecuación. Según el teorema de equipartición, la energía de un gas debe hallarse equitativamente distribuida entre sus moléculas y repartida de igual modo entre las diferentes formas en las que estas pueden moverse. Los átomos sólo son libres para moverse en tres direcciones diferentes y ca da una de ellas, denominadas “grado de libertad”, es una forma indepen diente en la que puede recibir y almacenar energía. En el caso de una molécula compuesta de dos o más átomos, a parte de estos tres movimientos de “traslación” existen tres tipos de “rotación” en torno a los ejes imaginarios que unen los

átomos. Así pues, se obtienen un total de 6 grados de libertad. La ley clásica de la equipartición de la energía dice que la energía promedio, , de cada uno de estos osciladores, que se encuentran en equilibrio térmico dentro del cuerpo negro a una temperatura T , es igual a: = k ∙T donde k  B es la constante de Boltzmann cuyo valor es 1,38 × 10 – 23 J/K y T la temperatura absoluta del cuerpo negro. 7

Haciendo un desarrollo matemático y teórico riguroso y teniendo en cuenta la equipartición de la energía, Rayleigh y Jeans encontraron la siguiente relación para la densidad de energía radiada por un cuerpo negro:  ρ( ) = (8π/c3)(k  B∙T∙  2)

Una derivación más completa, la cual incluía una constante de proporcionalidad, fue presentada por Lord Rayleigh y Sir James Jeans en 1905; ésta agregaba unas medidas experimentales para longitudes de onda, sin embargo, ésta  predecía una producción de energía que tendía al infinito ya que la longitud de onda se hacía cada vez más pequeña. Esta ley predice una producción de energía infinita a longitudes de onda muy pequeñas. El resultado indica que para frecuencias altas la emisión de energía se va a infinito. Lo cual va en contra de toda evidencia experimental y cotidiana. De ser esto cierto, cualquier cuerpo emitiría una energía infinita. La fórmula anterior conduce a un resultado absurdo  para frecuencias grandes. Se preveía un aumento infinito de la energía en la región del ultravioleta que sería conocido, años más tarde, como “catástrofe ultravioleta”. Hay que señalar que tanto Rayleigh como Jeans se dieron cuenta en

seguida que aquello no tenía ningún sentido. Entre otras cosas porque la vida humana no hubiese sido posible en un universo sumido en un océano de radiación ultravioleta . Esta situación que no se corrobora experimentalmente es conocida como la catástrofe ultravioleta1 (nombre puesto por Eherenfest).

Figura 9. Curvas del espectro de radiación del cuerpo negro. Radiación de Planck y la “Catátrofe ultravioleta ” La línea punteada nos muestra que yendo a frecuencias más altas (longitudes de onda más bajas) la ley de RayleighJeans implica un comportamiento catastrófico.

Hipótesis de Planck En el año 1900 Max Planck formuló que la energía asociada a la radiación electromagnética viene en pequeñas unidades indivisibles llamadas cuantos. Avanzando en el desarrollo de esta teoría, descubrió una constante de naturaleza universal que se conoce como la constante de Planck. La ley de Planck establece que la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por la constante universal. Se trata de una ley fundamental de la teoría cuántica, ya que con ella se describe la cuantificación de la radiación electromagnética. Lo que hizo Planck fue simple y llanamente interpolar entre las fórmulas de Rayleigh-Jeans y la de Wien. Literalmente forzó la máquina para encontrar la “joroba” de la curva del cuerpo negro . 1

La denominación que le puso el físico austríaco Paul Ehrenfest de “catástrofe ultravioleta” puede parecer un tanto exagerada pero no dejaba de ser bastante catastrófico que el empleo del modelo teórico establecido hasta entonces diese una predicción totalmente errónea que nada tenía que ver con la realidad.

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Simple, efectivo y maravilloso. Pero claro, toda acción tiene una consecuencia y cuando uno tiene una fórmula nueva tiene que intentar explicar por qué es así. Y el problema es que para lograr encontrar esta “ joroba”, Planck tuvo que hacer dos cosas: 1. Meter una constante nueva que tenía que ser universal, la misma para todos los materiales y  para todas las formas del cuerpo negro. La conocida como constante de Planck. 2. Para interpretar esta fórmula que obtuvo tuvo que admitir que la radiación se comportaba como paquetes de energía cuando interaccionaba con la materia. Es decir, la materia sólo  podía tragar (absorber) o vomitar (emitir) radiación en energías que eran el producto de su constante por la frecuencia de la radiación ( h∙ν). Esto tiene dos consecuencias. Primera consecuencia: Hasta ese día todo el mundo creía que la radiación vendría descrita por las leyes de Maxwell del electromagnetismo clásico y que sería emitida y absorbida de forma continua. Y eso era consistente con una visión  puramente ondulatoria de la radiación. Con la nueva imagen, había que entender por qué algo que debería de ser ondulatorio al interaccionar con la materia se comportaba como partículas de una energía muy definida. Segunda consecuencia: Aparece una constante universal nueva y eso implica que hay que entender su significado y la física que se esconde detrás de su rango de aplicabilidad. Hasta la fecha nadie había necesitado esa constante y eso se entiende porque dicha constante (con dimensiones de Energía × Tiempo) es muy muy pequeña (en las unidades normales del sistema internacional). Por lo tanto, todo esto abría una nueva ventana de la física que nos mostraba un nuevo paisaje que todavía no hemos explorado del todo, la mecánica cuántica. Sin embargo algo sí sabemos, la cuántica no deja de sorprendernos. Desde la antigüedad se había podido observar en la vida cotidiana que los cuerpos calientes emitían luz de diferentes colores en función de su temperatura. Sin ir más lejos, los alfareros contaban con una guía que determinaba las diferentes tonalidades que se obtenían conforme calentaban los materiales. Pero fue a finales del siglo XIX, que el a uge de la astrofísica junto al incipiente alumbrado público hizo que el interés por encontrar la base científica de esta relación se incrementase. La constante de Planck, simbolizada con la letra h (o bien ħ = h /2π , en cuyo caso se conoce como constante reducida de Planck), es una constante física que representa al cuanto elemental de acción. Es la relación entre la cantidad de energía y de frecuencia asociadas a un cuanto o a una partícula. Desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. La constante de Planck relaciona la energía  E   de los fotones con la frecuencia de la onda lumínica (letra griega ni ó nu) según la fórmula:  E = h∙  Dado que la frecuencia ν, longitud de onda  λ, y la velocidad de la luz c están relacionados por   ∙ λ = c, la constante de Planck también puede ser expresada como:

Ley de Planck (Modelo cuántico) La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro, con una temperatura T en la frecuencia  , viene dada por la ley de Planck:

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donde I ( , T ) ∙ δ  es la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias entre   y   + δ  ; h es una constante que se conoce como constante de Planck; c es la velocidad de la luz; es una constante, llamada constante de Planck, cuyo valor es 6,626 × 10 – 34 J∙s y k   es la constante de Boltzmann2. Se llama  Poder emisivo de un cuerpo  E ( , T ) a la cantidad de energía radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias   y   + δ 

La longitud de onda en la que se produce el máximo de emisión viene dada por la  ley de Wien; por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta, el brillo de un cuerpo va sumando longitudes de onda, cada vez más pequeñas, y pasa del rojo al blanco según va sumando las radiaciones desde el amarillo hasta el violeta. La  potencia emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann.

Figura 10. Espectro de emisión del cuerpo negro, mostrando un máximo según la fórmula de Wien En la figura 11 se encuentran resumidos en forma gráfica los resultados teóricos que se tenían a fines del siglo XIX  para la radiación del cuerpo negro. En 1900 Max Planck obtuvo una relación diferente, conocida como la  Ley de Planck. Esta Ley expresada en términos de longitud de onda  λ = c /ν. La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T  viene dada por la ley de Planck:

2

 La constante de Boltzmann ( k  B) es la constante física que relaciona temperatura absoluta y energía. Se llama así por el físico  austriaco Ludwig Boltzmann, quien hizo importantes contribuciones a la teoría de la  mecánica estadística,  en la que esta constante desempeña un papel fundamental. Su valor es (en SI): k ≈ 1,3806504 × 10 – 23 J/K = 1,3806504 × 10 – 16 ergios/K.

10

donde  I ( )∂   es la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de  ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias entre   y  +∂ , h es la constante de Planck.

La ley de Planck no sufre la catástrofe ultravioleta siguiendo los datos experimentales, pero su pleno significado sólo se aprecia desde hace varios años más tarde. En el límite de temperaturas muy altas o largas longitudes de onda, en el término exponencial se convierte en el pequeño, por lo que el denominador se convierte en aproximadamente hc/kTλ serie de potencias de expansión, al contrario que la ley de Rayleigh-Jeans.

Figura 11. Comparación de la Ley de Rayleigh-Jeans con la Ley de Wien y la Ley de Planck, por un cuerpo de temperatura de 8 m⋅K. Aquí representamos la energía radiada en función de la longitud de onda de la radiación. Recordemos que el producto de la longitud de onda por la frecuencia de la radiación nos da la velocidad de la luz. A mayor frecuencia menor longitud de onda y viceversa. Se observa que hay una emisión continua en todas las frecuencias (longitudes de onda) y que hay un máximo de intensidad de la radiación (el pico de la joroba de las curvas (que depende de la temperatura del cuerpo). En el siglo XIX los físicos ya tenían a su disposición el electromagnetismo de Maxwell y la termodinámica. Esto es lo que hace falta para estudiar el equilibrio de un sistema con radiación electromagnética, como es el caso. Así que se  pusieron a buscar fórmulas que dieran el comportamiento que vemos en el cuerpo negro, a saber: 1

Emite en todas las frecuencias de forma continua.

2

Tiene un pico de emisión (máximo de intensidad) que se desplaza a frecuencias más altas (longitudes de onda más  bajas) conforme mayor es la temperatura del cuerpo.

3

El sistema cuerpo-radiación está en equilibrio.

Esto es todo lo que necesitaban para aplicar sus teorías y encontrar la fórmula que nos diera la intensidad para cada frecuencia emitida, por ejemplo. 11

Ley del desplazamiento de Wien En febrero de 1893, el físico alemán Wilhelm Wien, con 29 años, no dio con la fórmula pero descubrió una sencilla relación matemática que describía el efecto del cambio de temperatura en el espectro de la radiación emitida por el cuerpo negro. En un principio empleó “experimentos mentales” pero  viendo que no le aportaban información suficiente, incorporó el uso de métodos y

conceptos estadísticos. Como resultado de su estudio encontró que conforme el cuerpo negro se va calentando, el máximo del espectro de la distribución se desplaza hacia longitudes de onda más cortas. Esto significaba, algo tan revelador como que la longitud de onda del máximo de radiación multiplicada por la temperatura de un cuerpo negro es siempre una constante. Es decir, que una vez calculada la constante numérica, midiendo la longitud de onda del pico de emisión a una determinada temperatura,  podía calcularse la longitud de onda máxima para cualquier otra temperatura. El resultado de Wien se denomina ley del desplazamiento porque muestra cómo la curva de densidad de energía se desplaza a medida que cambia la temperatura de la cavidad. Los físicos dieron por bueno el razonamiento de Wien y la ley del desplazamiento se convirtió en una herramienta de uso común en la primera década del siglo. No deja de ser sorprendente que tuviese tan buena acogida ya que por aquel entonces mucha gente no acababa de entender el segundo principio de termodinámica, las ecuaciones de Maxwell justo empezaban a establecerse entre la comunidad científica y la radiación de cuerpos calientes era terreno exclusivo de los físicos experimentales. La aproximación de Wien es una ley de la física utilizada para describir el espectro de la  radiación térmica (a menudo llamada la función de cuerpo negro). Mientras diseñaba junto a Otto Lummer un nuevo y mejorado cuerpo negro vacío capaz de calentarse a temperatura uniforme, buscaba por su cuenta la fórmula de Kirchhoff. Finalmente, en 1896 vio la luz su ecuación para la distribución de la radiación del cuerpo negro. Poco después, Friedrich Paschen confirmó que coincidía con los datos experimentales que podían obtenerse por aquel entonces, para las longitudes de onda cortas. Sin embargo, se requerían mediciones en un rango más amplio y elevado de temperaturas y para ello era imprescindible construir un cuerpo negro mejor. Otto Lummer trabajando en un primer momento con Ferndinand Kurlbaum y,  posteriormente, con Ernst Pringsheim, tardó dos largos años en obtener un cuerpo negro perfeccionado de última generación. Con él obtuvieron el espectro para estudiar la validez de la ley de desplazamiento así como la ley de distribución de Wien. Esta ecuación encaja con precisión los fenómenos, en una longitud de onda corta (de alta frecuencia) del espectro de emisión térmica de los objetos. Pero no describe con exactitud los datos experimentales  para longitudes de onda larga (baja frecuencia) de emisión. Ambos presentaron sus resultados en un encuentro celebrado el 3 de febrero de 1889 en la Sociedad de Física Alemana de Berlín. Explicaron que, si bien los descubrimientos parecían confirmar la ley del desplazamiento de Wien, existían ciertas discrepancias en la región infrarroja del espectro. Estas podían deberse a errores experimentales pero sólo había una manera de saberlo a ciencia cierta, ampliar aún más el intervalo de longitudes de onda y temperaturas. Tres meses más tarde, Friedrich Paschen anunció triunfante que sus datos, a temperaturas inferiores a las de Lummer y Prignsheim, coincidían con las predicciones de la ley de distribución de Wien. Como se puede observar en la figura 6, a medida que aumenta la temperatura absoluta del cuerpo negro, el máximo de densidad de energía se va corriendo hacia frecuencias mayores. Esto es, la frecuencia para la cual la densidad de energía radiada es máxima, es proporcional a la temperatura absoluta T . Este resultado se conoce como la Ley del desplazamiento de Wien y generalmente se expresa en la siguiente forma:  λmax∙T  = constante

El valor de la constante se determina experimentalmente y es igual a 0,2898 × 10 – 2 m∙K.

Ley de Wien En 1893 Wilhelm Wien estableció la siguiente relación para calcular la densidad de energía radiada por un cuerpo negro en función de la frecuencia y a una temperatura dada: 12

 ρ( ) = C 1∙  3/e

C    /T

2

donde C 1 y C 2 son dos constantes arbitrarias que se ajustan de tal manera que la curva teórica y la curva experimental coincidan lo mejor posible. La  Ley de Wien  es una ley de la física. Especifica que hay una relación inversa entre la longitud de onda en la que se  produce el pico de emisión de un cuerpo negro y su temperatura.  λmax = (0,0028976 m∙K)/T

donde T  es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y λmax es la longitud de onda del pico de emisión en metros. fórmula funciona bastante bien para frecuencias grandes; pero para frecuencias pequeñas la curva teórica se aleja de la curva experimental (figura 9b.). Como ya se dijo, las tres leyes anteriores fueron deducidas empíricamente aunque para la última se utilizaron algunos elementos de la termodinámica. Pero en 1899 por primera vez se trató de deducir las leyes que rigen el comportamiento de la radiación del cuerpo negro, a partir de las leyes físicas establecidas. Las consecuencias de la ley de Wien es que cuanta mayor sea la temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite. Por ejemplo, la temperatura de la fotosfera solar es de 5.780 K y el pico de emisión se produce a 475 nm = 4,75 × 10 – 7 m. Como 1 angstrom (1 Å) = 10 – 10 m = 10 – 4 micras resulta que el máximo ocurre a 4.750 Å. Como el rango visible se extiende desde 4.000 Å hasta 7.400 Å, esta longitud de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde. Sin embargo, debido a la  Dispersión de Rayleigh de la luz azul por la atmósfera, la componente azul se separa distribuyéndose por la bóveda celeste y el   Sol aparece amarillento.

Deducción de la Ley de Wien Se llama  Poder emisivo espectral   de un cuerpo  E ( , T ) a la cantidad de energía radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias   y  + ∂ . Se trata por tanto de una potencia.

Consideremos el intervalo de frecuencias entre   y  + ∂  y sea dE  el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias. dE  = E ( , T ) d   considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia:

y, por tanto

Esta ley fue formulada empíricamente por   Wien. Sin embargo, hoy se deduce de la ley de Planck para la radiación de un cuerpo negro de la siguiente manera:

donde las constantes C 1 y C 2 valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS: C 1 = 2πhc2 = 3,724 × 10 – 16 W·m2

13

Para hallar el máximo la derivada de la función con respecto a λ tiene que ser cero.

Basta con utilizar la regla de derivación del cociente y como se tiene que igualar a cero, el numerador de la derivada será nulo es decir: Si definimos entonces

Esta ecuación no se puede resolver mediante funciones elementales. Como una solución exacta no es importante  podemos optar por soluciones aproximadas. Se puede hallar fácilmente un valor aproximado para  x: Si x es grande resulta que aproximadamente e –  x = 0 así que x está cerca de 5. Así que aproximadamente x = 5(1 – e – 5) = 4,9663. Utilizando el método de Newton o de la tangente:  x = 4,965114231744276…

De la definición de x resulta que:

Así que la constante de Wien es 2.897,6 μm  por lo que: λ máx ∙ T = 2.897,6 μm ∙ K 

La ley de Wien nos dice cómo cambia el color de la radiación cuando varía la temperatura de la fuente emisora, y ayuda a entender cómo varían los colores aparentes de los cuerpos negros. 



Los objetos con una mayor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes de onda más cortas; por lo tanto parecerán ser más azules. Los objetos con menor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes de onda más largas; por lo tanto parecerán ser más rojos.

Además, en cualquiera de las longitudes de onda, el objeto más caliente irradia más (es más luminoso) que el de menor temperatura. La ley de Wien se utiliza para determinar las temperaturas de las estrellas a partir de los análisis de su radiación. Puede utilizarse también para representar las variaciones de temperaturas en diferentes regiones de la superficie de un objeto, lo que constituye una termografía. Si la densidad de energía radiada fuera proporcional al cuadrado de la frecuencia a grandes valores de ésta, la densidad de energía sería gigantesca, lo que contradice la realidad, puesto que para  →∞, se tiene ρ( ) → 0. Como se muestra en la figura 10, la curva teórica y la curva experimental sólo coinciden para valores pequeños de la frecuencia; por lo tanto sólo es válida para frecuencias pequeñas. 14

a. Todo rango de frecuencias. La región 1 corresponde a bajas frecuencias, la Región 2 al ultravioleta, y la región 3 a las altas frecuencias.

 b. Para bajas frecuencias.

Figura 12. Resultado teórico de Wien y curva experimental para radiación del cuerpo negro. Referente a la llamada “catástrofe ultravioleta”, Wien se empeñó en encontrar un resultado mejor que valiera para

frecuencias altas (longitudes de onda bajas). Y lo consiguió, pero no del todo. El caso es que lo que Wien encontró es que al bajar en frecuencias (subir en longitudes de onda) otra vez se producía una catástrofe y se encontraba una emisión infinita de energía de nuevo. A esta se la llamó Catástrofe Infrarroja:

Figura 13. Catástrofe ultravioleta e infrarroja frente al comportamiento real de un cuerpo negro. Esto era una clara evidencia que con la física conocida, lo que hoy llamamos física clásica, no había forma de entender este sistema a priori tan simple. Tendríamos que esperar a que alguien llegara y lo desbaratara todo. : Ejemplo  El Tungsteno (wolframio) es el metal que tiene a la vez la temperatura más alta de fusión 3.680 K y el menor grado de evaporación. El carbono soporta temperaturas más elevadas antes de fundirse pero se evapora rápidamente. En la práctica, la temperatura más alta que soporta una lámpara incandescente ordinaria fabricada con filamento de volframio es de 2.900 K. A estas temperaturas solamente, una pequeña fracción de de la energía emitida está en la región visible, menos del 11%, la mayor parte es radiación infrarroja. Por lo que las lámparas incandescentes son poco eficientes en la emisión de luz visible. 15

El siguiente paso en la resolución del problema vino de la mano del físico, matemático y poeta Josef Stefan. Este  propuso en 1879 una relación que establecía que la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro era proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Dicha expresión se había extrapolado a partir de experimentos  preliminares y mostraba una buena correlación con los resultados que se obtenían para un amplio intervalo de temperaturas.

El gran físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann fue el encargado de conferir cuerpo teórico a la ley de Stefan  basándose en el segundo principio de la termodinámica y en la teoría electromagnética de la luz de Maxwell. Por esta razón, la ley obtenida por Stefan se conoce como ley de Stefan-Boltzmann.

Ley de Stefan-Boltzmann En 1878 el físico esloveno Josef Stefan y el físico austriaco Ludwig Edward Boltzmann, a partir de las curvas experimentales del espectro de la radiación del cuerpo negro, establecieron la siguiente fórmula para calcular teóricamente la energía total radiada por un cuerpo negro por unidad de superficie y por unidad de tiempo (intensidad) que se encuentra a la temperatura absoluta T , es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:  E  = σ ∙ T e4

Donde T e  es la temperatura efectiva o sea la temperatura absoluta de la superficie y σ   es la constante de Stefan-Boltzmann y su valor es igual a 5,67 × 10 – 8 W/(m2 ∙ K 4). La energía total radiada por unidad de área y tiempo para cada temperatura T   absoluta de la superficie, es simplemente el área debajo de las curvas correspondientes en la figura 6. Esta energía se denomina radiancia y su relación con la densidad de energía es:

Ahora, la radiancia, en función de esta energía, por unidad de área y tiempo, viene dada por:

La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un  cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por:  E = ε∙σ∙T e4

16

Donde épsilon ( ε) es una propiedad radiactiva de la superficie: es la distribución espectral de la energía que fluye por unidad de área, en función de la longitud de onda, denominada emisividad espectral, también llamada emitancia espectral , y con frecuencia, radiación espectral . Con valores en el rango 0 ≤ ε ≤ 1, esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la

emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie. La ley de Stefan-Boltzmann establece también que un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva superficial (W/m²) proporcional a la cuarta potencia de su temperatura. La intensidad total  I  de la energía irradiada por unidad de área, por unidad de tiempo y por unidad de longitud de onda para la longitud de onda  λ, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T , viene dada por la expresión:

La potencia total por unidad de área de la radiación de un cuerpo negro, se puede obtener integrando la fórmula de radiación de Planck sobre todas las longitudes de onda. La potencia irradiada por unidad de área como función de la longitud de onda es La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la longitud de onda  λ, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T , viene dada por la expresión.

Su unidad es W/m2∙m Ahora, La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia  , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T , viene dada por la expresión.

2

0

Su unidad es W∙s/m . Demostración matemáti ca

Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda:

Donde las constantes valen en el  Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS: C 1 = 2π∙h∙c2 = 3,742  10 – 16 W∙ m2 C 2 = h∙c/k = 1,439  10 – 2 m∙K 

Puede demostrarse haciendo la integral que:

17

Por lo que la constante de Stefan-Boltzmann depende de otras constantes fundamentales en la forma:

Ex per imento del cubo de Leslie 3

La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del  cubo de Leslie: En general en la emisión radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la temperatura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta práctica estudia esta ley a bajas temperaturas para las cuales no se puede obviar la temperatura ambiente. Esto hace ver que como el detector del sensor de radiación (una termopila no está a 0 K) irradia energía radiante y una intensidad  proporcional a ésta es la que mide, luego si la despreciamos estamos falseando el resultado. Su radiación se puede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia:

De esta forma podemos conocer la radiación neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que es  proporcional a la diferencia de radiación entre la absorbida y la emitida, es decir:  Rnet  = Rrad  –  Rdet  = σ∙(T 4 – T det 4)

Por último haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la radiación del cubo de Leslie cuando no sea necesario, tomar mediciones (podemos alejarlo), y sólo entonces podremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta hipótesis puede ser suficiente.

Figura 14. Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo negro  j*, proporcional a su temperatura termodinámica T . En azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien,  jW *= j*/ζ(4) = 0,924∙σ∙T  4.

El cubo de Leslie es un artefacto que se usa para medir, o simplemente mostrar, la energía radiada por distintas superficies. El cubo fue inventado en 1804 por   John Leslie (*1766  –  + 1832), físico y matemático escocés. También sirve para comparar las  emisividades de caras de distintos colores o de caras pulidas y ásperas. El físico irlandés John Tyndall describió un experimento en el que de las cuatro caras verticales del cubo, una estaba cubierta por una capa de oro, otra por plata, otra por cobre y la cuarta estaba barnizada con cola.  Cuando el cubo se llenó con agua caliente, el detector térmico (a la derecha en la figura) mostró que la cara barnizada con cola emitía mucho más que las otras tres. Una cara del cubo es blanca, otra negra, una brillante y otra áspera. Exponiendo las caras a la radiación térmica, el termómetro mide los distintos poderes d e absorción de las superficies.

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Ejercicios

Una superficie metálica de 10 cm 2 de área, se encuentra a una temperatura de 2.500 K y emite durante un minuto una energía térmica de 4  104 J. Encuentre: a) la energía emitida por la superficie si fuera un cuerpo negro, y b) la razón de la radiancia de esta superficie a la de un cuerpo negro de igual área y a la misma temperatura. 

Solución: a) Si se comporta como un cuerpo negro σ  = 5,67 × 10 -8 W/(m2∙K 4)  –   A = 10 cm2 = 10 3 m2 T = 60 s  E  = σ ∙ t ∙ A ∙ T 4 = (5,67 × 10 – 8)(60)(10 – 3)(2.500)4 = 1,33  105 J

 b) Energía térmica emitida por la superficie: 4 × 10 4 J Energía térmica emitida si se comporta como un cuerpo negro: 1,328906250  105 J Porcentaje: 

Pr im er a determi nación de la temper atur a del Sol

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos del físico-químico suizo Charles Soret (*1854 – +1904) quien determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó que la temperatura de la placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber 29  3/2 = 43,5. Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904.  La temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, 1.950 °C (2.223 K). Como  X 4 = 43,5 ⇒ X = 2,57 , la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de una placa de metal, así que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la superficie del Sol de 5.713 K (el valor moderno es 5.780 K). Éste fue el  primer valor sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como 1.800 °C o tan altos como 1,3 × 107 °C. El valor de 1800 °C fue hallado por  Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los 1.800 °C. L as temper aturas y radios de las estr ellas

La temperatura de las estrellas  puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol. La Luminosidad L de la estrella vale:

 L = 4π∙r 2∙σ∙T 4

Donde σ  es la constante de Stefan-Boltzmann, r  es el radio estelar y T  es la temperatura de la estrella. Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la  secuencia principal y por tanto similar al Sol: 19

Donde r ⊙ es el radio solar. Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Stephen Hawking. I ntensidad de la radi ación solar en l a ór bita terr estr e

Se puede considerar el Sol como un cuerpo negro de radio 6,96 × 10 8 m cuya superficie está a una temperatura de 6.500 K. Calcular la energía emitida por el Sol en cada segundo. -

Constante de Stefan-Boltzmann σ  = 5,67 × 10 – 8 W/m2 ∙K 4 Radio del Sol, r  = 6,96 × 108 m Distancia entre la Tierra y el Sol, d  = 1,49 × 1011 m Intensidad de la radiación solar medida en la órbita terrestre supuesta circular

Para determinar la temperatura de la radiación de un cuerpo negro o de una estrella de la misma temperatura se mide la longitud de onda  λm a la cual el cuerpo negro emite con intensidad máxima. Aplicando la ley de Wien  λm ·T = 2,898  10 – 3 m·K

se determina la temperatura de dicho cuerpo. Por ejemplo, si el máximo está en la longitud de onda  λm = 0,5  10 – 6 m , la temperatura del cuerpo negro es de 5.800 K, tal como se muestra en la figura. 

La radiación Sol es absorbida por la atmósfera de la Tierra, por lo que no es fácil determinar la longitud de onda a la cual se produce la máxima intensidad.

Otra forma de medir la temperatura del Sol, es la aplicación de la ley de Stefan-Boltzmann. La energía emitida por unidad de tiempo en todo el espectro por un cuerpo negro a la temperatura T  es  P = σ∙A∙T 4

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donde A es el área de la superficie del cuerpo. La temperatura T efectiva del Sol será la de un cuerpo negro de la misma área A que emita la energía P  por unidad de tiempo del Sol. Supongamos que el Sol es una esfera de radio r , y que medimos la intensidad de la radiación solar a una distancia r  del centro del Sol, por ejemplo en la Tierra. La energía emitida por el Sol, supuesto un cuerpo negro a la temperatura T  es  P = 4π∙ r 2∙σ∙T 4

Si suponemos que el Sol emite en todas las direcciones de forma isótropa. La intensidad de la radicación solar a una distancia r  del centro del Sol es

Según la ley de Stefan-Boltzmann la energía que emite un cuerpo negro a la temperatura T  por unidad de tiempo y por unidad de área es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.  I  = σ∙T 4  (W/m2)

Sustituyendo las variables por los valores, se obtiene  I t = 2.205,7 W/m2 L a temper atura de la Ti er ra

Se puede calcular la temperatura de la Tierra T e igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura T  s. A la distancia de la Tierra a 0 (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a0. Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura T con lo que dicha  potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello: Donde r  s es el radio del Sol. Por ello

Resulta una temperatura de 5 °C. La temperatura real es de 15 °C. Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es 215 veces el radio del Sol, reduciendo la energía por metro cuadrado  por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir 46.225. Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la energía tiene un área que es 1/4 de su superficie, vemos que disminuye en 184.900 veces. La relación entre la temperatura del Sol y la Tierra es por tanto 20,7, ya que (20,7) 4 es 184.900 veces. Esto muestra aproximadamente por qué T   ~ 278 K es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la distancia del Sol podría cambiar la temperatura media de la Tierra. En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta  – 18 °C y parte de la energía radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre 3 y 80 micras, es absorbido por los gases de efecto invernadero 21

calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El efecto invernadero es en principio bueno, no lo es el efecto invernadero causado por el hombre que nos lleva a un calentamiento global de efectos imprevisibles. Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energía por 46.225 resulta: Rta.: T  = 5.790 K Var iación de la temperatur a de un pequeñ o cuerpo en el seno de un a cavidad

Suponiendo un pequeño cuerpo esférico de radio r , suspendido en el interior de una gran cavidad en la que se ha hecho el vacío y cuyas paredes se encuentran a la temperatura T 0. Si la temperatura inicial de la bola esférica es T   al cabo de un cierto tiempo, se habrá alcanzado el equilibrio en el que la temperatura de la esfera será la misma que la de las  paredes de la cavidad. Como se ha visto al estudiar las propiedades de la  superficie de un cuerpo, el valor del coeficiente de absorción a está comprendido entre 0 (para un reflector perfecto) y 1 (para una superficie idealmente negra). En vez de a, se suele emplear la denominada emitancia relativa e de la superficie que es numéricamente igual a a. 1. Ener gía r adiante emiti da por el pequeñ o cuerpo 

La cantidad de energía radiante emitida por unidad de área y por unidad de tiempo desde la superficie de un cuerpo a temperatura T , viene dada por la expresión  I = e∙σ∙T 4  (W/m2) La ley de Stefan-Boltzmann es también válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda. Multiplicando por el área de la superficie del pequeño cuerpo, obtenemos la energía  P e  que pierde el cuerpo en la unidad de tiempo debido a la emisión de la radiación. Pe = 4π∙r 2∙e∙σ∙T 4 2. En ergía radian te absorbida por el cu erpo 

También incide energía radiante sobre la superficie del cuerpo. Una parte de la energía incidente es absorbida  P a que se obtiene multiplicando la intensidad de la radiación por el área de su superficie, por la fracción a de la energía incidente que es absorbida. Como hemos dicho, este factor a es numéricamente igual a e. Pa = 4π∙r 2∙e∙σ∙T 04 3. Var iación en l a temper atur a del cuerpo con el ti empo 

La cantidad de energía neta por unidad de tiempo (perdida o ganada) es igual a la diferencia entre la energía radiante absorbida y la emitida.

La cantidad de energía radiante ganada (perdida) se emplea en aumentar (disminuir) la temperatura del cuerpo. Si el calor específico del cuerpo cv es y su masa m, escribimos dQ = m∙cv∙dT 

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La temperatura del cuerpo varía con el tiempo hasta que se establece el equilibrio térmico a la temperatura T 0 de las  paredes de la cavidad.

donde se ha sustituido la masa m por el producto de la densidad r  por el volumen de la pequeña esfera de radio r . 4. I ntercambios r adiactivos entr e cuerpos negros

El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera: q = A1· E = A·ε·σ ·T e2

Para el cálculo de intercambios radiactivos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el llamado factor de forma  F , el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es de la forma: q1-2 = A1 ∙ F 12 ∙ σ ∙ T 14 q2-1 = A2 ∙ F 21 ∙ σ ∙ T 24 q12 = q1-2 - q2-1 = A1 ∙ F 12 ∙ σ ∙ (T 14 - T 24)

Hay que tener en cuenta que se cumple  A1 ∙ F 12 = A2 ∙ F 21

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja energía, para ello se define J  como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada. q1-2 = A1 ∙ F 12 ∙ J 1 q2-1 = A2 ∙ F 21 ∙ J 2 q12 = q1-2 - q2-1 = A1 ∙ F 12 ∙ ( J 1 - J 2)

En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que  J  = E.

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