Questões Resolvidas Do Concurso EsPCEx

11/01/2016

Questões Resolvidas do Concur so EsPCEx

Questões Resolvidas do Questões do Concurso EsPCEx THIERES MACHADO

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PROVAS E RESOLUÇÕES

Para se tornar um Oficial do Exército Brasileiro, uma das formas de ingresso é feita através da Escola Preparatória de Cadetes do Exército, EsPCEx. É a forma mais tradicional de se tornar Oficial. Atualmente o concurso é feito em várias etapas e uma delas é a prova escrita, onde é necessário além do mais conhecimentos de Matemática de nível fundamental e médio. Iniciamos no blog uma série de artigos com c om questões resolvidas dos últimos concursos no intuíto de ajudar a todos que almejam uma vaga no Exército. Veja abaixo onde apresentamos um pouco sobre a escola, as questões e sua resoluções. Lembre-se também de ler a conclusão, pois fornecemos dicas para uma melhor aprendizagem.

Sobre a EsPCEx A EsPCEx tem por missão selecionar e preparar o fututo cadete da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN), dando início a formação do futuro oficial do Exército Brasileiro. A escola está localizada na cidade de Campinas, SP. A seleção é feita anualmente. Algumas das principais condições para inscrição: ser brasileiro nato, do sexo masculino; possuir idade idad e de no mínimo 17 e, no máximo 22 anos, completados até 31 de dezembro do ano da matrícula; ter concluído ou estar cursando a 3ª série do ensino médio, no ano da inscrição. Verifique mais informações junto ao site da EsPCEx.

Sobre as Questões Resolvidas http://w ww .calculobasico.com .br /questoes- r esolvi das- do- concur so- espcex- par te- 1/

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Questões Resolvidas do Concurso EsPCEx

Os assuntos abordados nas questões abaixo são, geralmente, aprendidos no ensino médio. Claro, é necessário dominar também o conteúdo do ensino fundamental. A primeira questão aborda temas da geometria analítica, equação da circunferência, retas e distâncias. Na segunda questão, é necessário saber geometria espacial do cone, em particular e um pouco sobre semelhança de triângulos. A terceira questão é sobre probabilidade, mas antes terá que aplicar o princípio fundamental da contagem, isto é, a base da análise combinatória. Na quarta, você precisará estudar sobre números complexos e saber algumas das diversas formas de se calcular a área de um triângulo. A última questão aborda o tema logaritmos e suas propriedades, bem como mudança de base. Sugerimos que caso ainda não domine muito bem estes assuntos, procure aprendê-los de forma eficaz antes. Veja logo abaixo as questões.

Enunciados das Questões 1. Considere a circunferência (l) x2 + y2 – 4x = 0 e o ponto P(1, ). Se a reta t é tangente a l no ponto P, então a abscissa do ponto de interseção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é A) –2 B) 2 + C) 3 D) 3 + E) 3 + 3 2. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

3. A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é A) 1/5 B) 2/5 C) 3/4 D) 1/4 E) 1/2 4. A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação x3 – 8 = 0 tem área igual a A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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E) 3 5. Se [ (6 – loga m) / (1 + loga² m) ] = 2 com a > 0, a ¹ 0, então o valor de é

A) 4 B) 1/4 C) 1 D) 2 E) 1/2

Soluções das Questões Questão 1

Este problema aborda conceitos de geometria analítica na sua resolução. Apresentaremos dois modos para chegar a resposta, pois nossa intenção aqui não é somente resolver o problema, mas também e principalmente ensinar. Vejamos! 1º Modo: Vamos inicialmente determinar o centro e o raio da circunferência, para isso usaremos o processo de completar os quadrados, veja abaixo. (l) x2 + y2 – 4x = 0 ® x2 – 2.x.2 + 22 – 22 + y2 = x2 – 4x + 4 – 4 + y2 = 0 ® ® (x – 2)2 + y2 – 4 = 0 ® (x – 2)2 + y2 = 4. Logo, a equação reduzida de l é

(l) (x – 2)2 + y2 = 4. http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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Centro (2,0) e (raio)2 = 4, então raio = 2. Com este dados, já podemos fazer um esboço da situação.

Neste esboço, temos que t é a reta tangente a circunferência no ponto P e x é a abcissa procurada. Não se preocupe com a reta s, ela não será usada para este 1º modo. Como P pertence a t, vamos determinar a equação de t utilizando a equação y – y0 = m( x – x0), onde x0 e y0 são as coordenadas do ponto pertencente a reta, no caso, P(1, ) e m o coeficiente angular de t. Substituindo os valores: (t) y –

= m( x – 1) Û (t) mx – y – m +

=0.

Mas, observe que ainda precisamos saber o valor de m, certo? Então vamos lá! Como a distância do centro até o ponto P pertencente a t é 2 (veja que é a medida do raio), vamos uitlizar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Na fórmula acima, temos que dc,t é distância entre o centro e a reta, a = m, b = –1 e c = – m + são os coeficientes da reta t e xc , yc são as cordenadas do centro (2,0).

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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Resolvendo a equação do 2º grau.

Agora que já sabemos o valor de m, vamos substituir na equação de t.

Bem, o problema pede a abcissa (x) do ponto de interseção de t com o eixo horizontal, então a ordenada deste ponto de interseção é 0 (zero), isto é, (x,0). Substituindo y = 0 na equação de t:

Concluímos portanto, o 1º modo (ufa!). Vejamos o segundo! Tenha fé! 2º Modo: Acreditamos que a resolução deste segundo modo, exige menos “cálculos”, porém leia com bastante atenção a linha de raciocínio, caso fique com dúvidas, comente. Vamos lá! Sabemos da geometria plana (axiomas) que por dois pontos passa uma única reta, então pelo centro da circunferência e pelo ponto P passa uma reta, que no caso, chamamos de s, veja o esboço acima. Agora, como t é tangente a circunferência no ponto P, também da geometria plana, temos que s é perpendicular a t em P (guarde está informação!). Desse modo, podemos encontrar a equação geral de s e já sabendo que as duas retas são perpendiculares, determinaremos o coeficiente angular de t através da retas s, pois se duas retas são perpendiculares, o produto de seus http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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coeficientes angulares deve ser igual a –1. Encontrando a equação geral de s utilizando a condição de alinhamento de três pontos, isto é,

“Resolvendo” o determinante:

O coeficiente angular de s é ms =

.

Como as retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser igual a –1.

Substituindo mt na equação y – y0 = mt( x – x0) já usada no 1º modo.

Agora, basta fazer y = 0, pois a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo horizontal é 0 (zero) e encontraremos, novamente o valor de x. Veja:

Esperamos que tenha percebido os conceitos envolvidos nos dois modos apresentados, caso encontre uma outra maneira de resolver mais simples, fique a vontade para comentar! Questão 2

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Sabemos que o volume de óleo (Vo) será igual ao volume total (Vt) menos o volume de água (Va), concorda? Ok! Sabendo que o raio do cone é R e a altura h, temos o volume total:

A altura da água está na metade da altura h, então o raio do “cone de água” será R/2. Logo, o volume de água será

Assim podemos calcular o volume de óleo! Vo = Vt – Va

Determinamos o volume do óleo, mas queremos saber a altura do “cone de óleo” formado após a água escoar. Isto é, após a água escoar, o óleo assumirá a forma de um cone com uma nova altura (hn) e um novo raio (Rn), então temos que descobrir hn. Observe a figura abaixo:

Ela representa um corte vertical feito no cone passando pelo seu eixo, chamamos de secção meridiana. Veja que quando a água sai, o óleo assume a forma de um cone. Temos dois triângulos ABC e ADE (óleo), observando que DE é paralelo BC, da http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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geometria plana temos que os triângulos são semelhantes e daí podemos escrever

O que foi feito? Bem, usamos semelhança de triângulos (lados proporcionais) para encontrar um relação entre as medidas do raio e altura do cone com as medidas do “cone de óleo”. Além do mais escrevemos o raio do “cone de óleo” em função das outras medidas. Você pode verificar que o volume do “cone de óleo” não mudou certo? Logo, podemos escrever este volume em função de Rn e hn.

Fazendo as devidas substituições.

Questão 3

Para obtermos a probabilidade pedida, devemos antes saber a quantidade total de números formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5. Como são 5 algarismos, a quantidade de números formada por eles será dada pela permutação dos 5 algarismos. P5 = 5! = 120 números. Agora, precisamos verificar a quantidade de números para o evento desejado, isto é, quantos números pares poderemos formar. Sabemos que um número para ser par, nas condições acima, deverá terminar em 2 ou 4.


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A quantidade de números terminados em 2, isto é, o quinto algarismo deverá necessariamente ser 2, será: o primeiro algarismo pode ser qualquer um dos outros 4. Já o segundo, qualquer um dos 3 que sobraram, o terceiro, qualquer um dos dois e para o quarto só resta um opção, sendo o quinto o número 2. Pelo princípio multiplicativo, temos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números pares terminados em 2. Veja que também temos a mesma quantidade de números pares terminados em 4, o processo é o mesmo, com o 4 no último algarismo. Portanto, temos um total 24 + 24 = 48 números pares. Probabilidade = 48/120 = 2/5. Questão 4

O afixo é o ponto correspondente ao número complexo, sua imagem geométrica. Veja, a cada número complexo z = a + bi corresponde um único ponto P(a,b) do plano Argand-gauss. P é chamado de afixo ou imagem geométrica de z. Precisamos então descobrir as raízes complexas da equação dada. Mas antes, vamos relembrar sobre fatoração, isto é, a3 – b3 pode ser escrito como a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ). Daí, vem que x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2).(x2 + 2x + 4) = 0, então x – 2 = 0 ou x2 + 2x + 4 = 0. x – 2 = 0, então x = 2. x2 + 2x + 4 = 0, resolvendo esta equação no conjunto dos complexos, encontramos para raízes http://www.calculobasico.com.br/questoes-resolvidas-do-concurso-espcex-parte-1/

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Temos então 3 números complexos: x1 = 2, x2 = –1 + i e x3 = –1 – i . Seus afixos, respectivamente, são (2,0), (-1, ) e (-1, – ). Representando no plano:

Repare que temos um triângulo e as coordenadas de seus vértices, da geometria analítica, temos como obter a área deste triângulo (utilizando determinante). Veja:

Observação: há outra forma de se obter as raízes fazendo uso do módulo e argumento de um número complexo, bem como a área do triângulo obtido. Verifique! Questão 5

Para a resolução deste problema, faremos uso das propriedades de logaritmos e mudança de base, verifique antes, caso não saiba.

Fazendo uma mudança de base no primeiro log, isto é, vamos mudar para base a, pois é a que nos interessa.


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Agora, vamos substituir o valor de a.

Conclusão Com estas questões e suas resoluções acreditamos estar contribuíndo para sua aprendizagem. Na questão 1, mostramos dois modos de resolução, fica a seu critério aplicá-los, mas lembre-se que o fator tempo de prova é importante no momento da realização. Para “encarar” um prova como esta é necessário ter um bom embasamento dos assuntos, não adianta querer aprender tudo na véspera da prova, é necessário dedicação com antecedência! Reparou que uma única questão pode abordar mais de um tema dentro da Matemática? Então, deve-se ter em mente dominar todo o programa de Matemática. Bem, estas foram algumas dicas. Continue acompanhando o blog que em breve publicaremos novos artigos.


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