(19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) A quantidade de combustível gasto por um veículo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo C(d) em relação à distância percorrida?
MATEM TICA QUESTÃO 1
C (litros)
Se n é um número inteiro positivo, então o valor de n
(-2) + (-2)
75
n+1
será sempre igual a: a) zero b) 2 c) 2n, para todo n. d) (-2)n, se n for ímpar. e) -2n se n for par.
0
RESOLUÇÃO
Considerando n um número inteiro positivo, a expressão (-2)n + (-2)n+1
RESOLUÇÃO
pode ser fatorada em (-2) .[ 1 + (-2)] = (-2) .(-1) Assim, se n é par então (-2)n = 2 n, logo nossa expressão ficará (-1).2n = -2n.
QUESTÃO 2 Um satélite será levado ao espaço por um foguete que tem seu consumo de combustível calculado pela função
QUESTÃO 4
1 , 7
O valor de revenda de um carro é dado por V(t) = V0(0,8)t, em que V 0 é o valor inicial e V(t) é o valor após t anos de uso. A alternativa que mais se aproxima do percentual de desvalorização desse carro, em relação ao valor inicial, após 3 anos exatos de uso, é a) 24% b) 47% c) 49% d) 50% e) 51%
em que C é o consumo em toneladas e t é o tempo em horas. Para colocar o satélite em órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de 56 000 km a uma velocidade de 8 000 km/h. Com base nessas informações, o físico responsável pelo cálculo chegou à conclusão de que o foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível igual a a) 1 tonelada. b) 2 toneladas. c) 6 toneladas. d) 7 toneladas e) 8 toneladas.
RESOLUÇÃO
Alternativa A
O gráfico Cxd representa uma função do 1° grau, assim, podemos fazer C(d)=a.d+ b, com C(0) = 0 e C(100) = 75. Substituindo os valores, temos: (i) C(0) = a.0 + b 0=b Assim, temos b=0. (ii) C(100) = a.100 + 0 = 100.a 75 = 100.a Assim, temos a = 0,75. Logo, C(d) = 0,75.d
n
C(t)=log2(t2+7)2+2log2
d (Km)
a) C(d) = 0,75d b) C(d) = 0,25d c) C(d) = 1,75d d) C(d) = 1,25d e) C(d) = 1,20d
Alternativa E
n
100
RESOLUÇÃO
Alternativa C
Após 3 anos de uso, o preço do automóvel é dado por V (3) = V 0 .(0,8)3 = 0,512.V 0 = 51,2%.V 0 . Assim, decorridos 3 anos, temos que o valor do automóvel é 51,2% do valor inicial, o que mostra uma desvalorização de 48,8%. Portanto, a alternativa que mais se aproxima é a C, com 49%.
Alternativa C
De acordo com o enunciado, o foguete possui velocidade média de 8000km e precisa percorrer uma distância de 56000 km.
∆S ∆S 56000 ⇒ ∆t = = = 7h . ∆t 8000 v O consumo é C (t ) = log 2 (t 2 + 7) 2 + 2. log 2 (1/ 7) . Rearranjando essa
Assim, temos v =
QUESTÃO 5 Uma tropa realizou um exercício em que soldados, sargentos e oficiais executaram módulos padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o número de munição estabelecido conforme seu nível hierárquico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e 4 oficiais, totalizando 96 munições; no segundo dia, 5 soldados, 4 sargentos e 3 oficiais, totalizando 38 munições; no terceiro dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizando 78 munições. Quantas munições foram usadas no quarto dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais? a) 78 b) 80 c) 82 d)84 e)86
equação, temos:
1 1 C (t ) = log 2 (t + 7) + 2. log 2 = log 2 (t 2 + 7) 2 + log 2 7 7 2
2
2
(t 2 + 7) 2 t 2 + 7 . ⇒ C (t ) = log 2 = 2. log 2 2 7 7 Assim, para t = 7 h:
7 2 + 7 56 = 2. log 2 = 2. log 2 8 = 2. log 2 2 3 7 7
C (7) = 2. log 2
⇒ C (7) = 2.3 = 6 toneladas.
RESOLUÇÃO
QUESTÃO 3
1
Alternativa D
(19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) Seja x o número de munições para cada soldado, y o número estabelecido para cada sargento e z o número para cada oficial. Pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema linear:
escolher 6 questões em 10 na prova de Inglês e 8 questões em 10 na prova de Matemática). (iii) 7 acertos em cada matéria (nesse caso, temos que escolher 7 questões em 10 em cada uma das provas). Essa escolha é independente de ordem, o que caracteriza COMBINAÇÕES SIMPLES. Assim, temos que o total de possibilidades é dado por: T = C 10,6 .C 10,8 + C 10,8 .C 10,6 + C 10,7 .C 10,7 = 33300
16 x + 8 y + 4 z = 96 5 x + 4 y + 3 z = 38 16 x + 4 y + z = 78 O nosso objetivo é encontrar o valor de 14 x + 8 y + 2 z , que corresponde ao número de munições utilizados no quarto dia. Observe as equações (1) e (3). Fazendo (1) - (3), temos 4 y + 3 z = 18 , obtém-se justamente uma das parcelas da segunda equação. Substituindo em (2), temos 5 x + 18 = 38 ⇒ x Substituindo esse valor na equação (3), temos:
QUESTÃO 8 A análise do solo de certa região revelou a presença de 37,5 ppm (partes por milhão) de uma substância química. Se a densidade do solo analisado é de 1,2 toneladas por metro cúbico, então a quantidade dessa substância, presente em 1 ha do solo, considerando uma camada de 30 cm de profundidade é:
= 4.
64 + 4 y + z = 78 ⇒ 4 y + z = 14 ⇒ 8 y + 2 z = 28 Assim, 14 x + 8 y + 2 z = 14.4 + 28 = 84. Portanto, foram
Dados:
1 tonelada vale 1000 kg; 1 ha (hectare) é 10 000 m2. massa Densidade = volume a) 125 kg. b) 135 kg. c) 1250 kg. d) 1350 kg. e) 3750 kg.
usadas 84 munições no quarto dia.
QUESTÃO 6 Uma cooperativa compra a produção de pequenos artesãos e a revende para atacadistas com um lucro de 40%. Por sua vez, os atacadistas repassam esse produto para os lojistas com um lucro de 40%. Os Lojistas vendem o mesmo produto para o consumidor e lucram, também, 40%. Considerando que o lucro é a diferença entre o preço de venda e o preço de compra, pode-se afirmar que os preços de compra do produto, efetuados pela cooperativa, pelos atacadistas, pelos lojistas e pelo consumidor, nessa ordem, a) formam uma progressão aritmética de 0,4. b) formam uma progressão geométrica de 1,4 c) formam uma progressão aritmética de 40. d) formam uma progressão geométrica de razão 0,4. e) não formam uma progressão aritmética nem geométrica.
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
Podemos considerar o solo como um paralelepípedo cuja base mede 1 ha (10000 m2) e cuja altura mede 0,3 m. Assim, o volume dessa camada é dado por V = 0,3.10000 = 3000 m3. Como a densidade é de 1,2 toneladas/m3, temos:
d =
M ⇒ M = d .V = 1,2.3000 = 3600 toneladas V
A concentração da substância é de 37,5 ppm. Assim, denotando por q a quantidade dessa substância, temos: 37,5.................106 kg q .................. 3600.103 kg Logo, temos q = 37,5.3600.103/106 = 135 kg.
Alternativa B
Seja p o preço de compra do produto efetuado pela cooperativa. Assim, o preço de compra repassado para os atacadistas é 40% maior, ou seja, vale 1,4p. Como o repasse para os lojistas também sofre aumento de 40%, o preço para os lojistas é 1,4(1,4p) = (1,4) 2p. Novamente, os lojistas repassam um aumento de 40%. Assim, o preço para os consumidor é 1,4[(1,4)2p] = (1,4)3p. Como uma progressão geométrica assume a forma: An = An-1.q, podemos dizer que os preços estão numa PG de razão 1,4.
QUESTÃO 9 A água utilizada em uma fortificação é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água localizada a 50 m de distância da bomba. A fortificação está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções bomba caixa d’água e caixa d’água fortificação é de 60º, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a fortificação, quantos metros de tubulação são necessários?
QUESTÃO 7 Uma prova de um concurso público engloba as disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova, quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice mínimo de aprovação? a) 18 900. b) 33 300. c) 38 760. d) 77 520. e) 125 790.
RESOLUÇÃO
Alternativa B
rio
fortificação
60º 80 m
bomba 50 m caixa d’água
a) 54 metros b) 55 metros c) 65 metros d) 70 metros e) 75 metros
Alternativa B
De acordo com o enunciado, cada prova consiste de 10 questões; temos, portanto, 20 questões. Considerando-se que o mínimo necessário para a aprovação de um candidato é 70% de acertos (14 questões), e que em cada disciplina também é necessário um índice de acertos maior ou igual a 60% (6 questões), temos então 3 casos a considerar: (i) 6 acertos em Matemática, 8 em Inglês (nesse caso, temos que escolher 8 questões em 10 na prova de Inglês e 6 questões em 10 na prova de Matemática). (ii) 6 acertos em Inglês, 8 em Matemática (nesse caso, temos que
RESOLUÇÃO
Alternativa D
Seja d a distância entre a fortificação e a bomba. Pela lei dos cossenos, temos:
d 2 = 50 2 + 80 2 − 2.50.80.cos60 ° =
= 2500 + 6400 − 2.4000.0,5 2
(19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) Pelo gráfico, temos que as alturas dos retângulos, são, respectivamente, log 2 2 e log 2 3 , e as bases valem 1. Assim, a
⇒ d 2 = 8900 − 4000 = 4900 ⇒ d = 70 m.
soma das áreas é S = log 2 2 + log 2 3 = log 2 6 . Mudando para base decimal, temos S = log 2 6 =
QUESTÃO 10 Um topógrafo, querendo conhecer a altura de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi:
pelo
exercício,
log
12
temos
= 1 , 08
log 6 log 2
. Com os dados fornecidos
log 2 = 0,3
que
.
Aplicando
as
propriedades
e de
logaritmos, temos:
log12 = log(2.6) = log 2 + log6 =
= 0, 3 + log 6 = 1, 08 ⇒ log 6 = 0, 78 Assim, temos S = 300
600
log 6 log 2
=
0,78 0,3
= 2,60
QUESTÃO 12 a) 15 3 m
2
A função
b) 12 3 m c) 10 3 m
1 1 − sen 2x + f (x) = sen 2x . 2 cos x 2 sen x
é definida para todo x real e x ≠
d) 20 3 m
pode-se afirmar que: a) f(2006) = f(2004) + f(2005) b) f(2005) = f(2006) - 2f(2003) c) f(2006) = f(2005) + f(2004) + f(2003) d) f(2005) = f(2006) - f(2004) e) f(2006) = f(2003) + f(2004) - f(2005)
e) 40 3 m
RESOLUÇÃO
k π , com k inteiro. Nessas condições, 2
Alternativa C
RESOLUÇÃO
Alternativa E
Pelo enunciado, temos: 2
1 1 + f(x) = sen2x − sen 2x 2 cos x 2senx Simplificando a expressão trigonométrica:
Pelo enunciado, temos que o ângulo AÊC = 120º. Assim, o triângulo AEC é isósceles de base AC, e AE = EC = 20 m . O triângulo EBC é retângulo em B, e sua hipotenusa mede 20 m. Assim, temos: sen 60° =
2
senx + cos x − sen 2x f(x) = sen2x 2senx cos x
h 3 h ⇒ = ⇒ 2h = 20 3 ⇒ h = 10 3 m 20 2 20
2
senx + cos x f(x) = sen2x − sen 2x sen2x 2
sen2x (senx + cos x) − sen 2x f(x) = sen2x 2 2 f(x) = sen x + cos + 2 sen x cos x - sen 2x f(x) = 1 + sen 2 x - sen 2 x = 1. Assim, independente do valor de x, temos f(x) = 1. Por exclusão, temos f(2006) = f(2003) + f(2004) - f (2005). Para tanto, basta observar que 1 = 1 + 1 – 1.
QUESTÃO 11 A curva da figura representa o gráfico da função f(x) = log2 x. Dados: log10 2 0,30 e log10 12 1,08. f(x ≈
≈
QUESTÃO 13 Na figura, as circunferências são tangentes entre si e seus raios estão 1 na razão . Se a reta r passa pelos centros O e O’ das duas 3 circunferências, e a reta s é tangente a ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede
0
x 1 2 3 4 Com base nesses dados, a soma das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproximadamente: a) 1,60. b) 2,10. c) 2,08. d) 2,60. e) 3,60.
RESOLUÇÃO
Alternativa D 3
(19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE ESPCEX 2006 – MATEMÁTICA (MODELO A) a) arc sen b) arc tg
1 3
1 2
c) 60º d) 45º e) 30º
RESOLUÇÃO
COMENT RIOS
Alternativa E
A prova de matemática estava simples, sem maiores surpresas para os candidatos bem preparados. A ressalva principal fica por conta da questão de matemática inserida na prova de geografia (sob o pretexto de se tratar de uma questão de cartografia) que possuía um enunciado pouco claro. Algumas questões apresentaram um nível de complexidade médio, como a 13 e a 14.
α
Pela figura, podemos perceber que os triângulos ABO e ACO’ são semelhantes, logo: r 1 = ⇒R =3r R 3 Seja x a distância entre A e a circunferência de raio menor. Assim: r ∆ ACO' ⇒ sen α = r + x R 3 r ∆ ABO ⇒ sen α = = R + 2 r + x 5r + x
r 3 r = r + x 5r + x 3 r + 3 x = 5 r + x ⇒ r = x ∆ ACO' ⇒ sen α =
r 1 = ⇒ α = 30o 2 x 2
QUESTÃO 14 O hexágono regular ABCDEF é uma secção plena de um cubo de aresta 2a 3 . Cada vértice do polígono divide ao meio a aresta na qual está apoiado.
A área do hexágono é: 2 b) 3a 3 a) 9a2 3 2
2 c) 2a 3
3
RESOLUÇÃO
d) 4a2 3
2 e) 5a 3 4
Alternativa A
Pelo enunciado, cada aresta mede 2a 3 Eis a visão FRONTAL da face superior do CUBO. a 3 a 3
B
6l
(6)
A
Considerando ℓ (6) a diagonal de um quadrado, temos: ℓ (6) =
a 3 . 2 = a 6
4
