¿Qué es una sucesión numérica?
Much uchos han han sid sido los los inve invest stig igad ador ores es y mat matemát emátic ico os que han incu incurs rsio iona nado do en el trat tratam amie ient nto o de las las suce sucesi sion ones es numé numéri rica cas, s, abor aborda dand ndo o prev previa iame ment nte e su defn defnici ición ón.. M. Go Gonz nzále álezz (!" (!"#$ #$%% &'na &'na sucesión numérica es un conunto cuyos elementos están numerados, esto es, puestos en correspondencia biun)voca o coordinación con los n*me n*mero ross natu natura rale les, s, de modo modo que que en el con conun unto to hay hay un prim primer er elemento, un segundo elemento, etc. +os elementos que la orman se llaman términos y suelen indicarse con una misma letra aectada por un sub)ndice que indica el n*mero de orden de cada término-% a, a, a/, a0, ..., an, ... u, u, u/, u0, ..., un, ... 'na sucesión es defnida o establecida si y sólo si e1iste una regla dada que determina el término n2 simo (léase enésimo$ correspondiente a un n entero positivo3 esta regla puede estar dada por la órmula del término n2ésimo. 4l elemento n2 simo del conunto se le denomina también término general de la sucesión o ley de ormación de la sucesión. 4s la regla que permite calcular un término cualquiera de la sucesión. 5or eemplo, 4emplo% un6 n u
n
=
1 n
'na sucesión se representa como a, a, a/, a0, ..., an, ... +as a son n*meros o cantidades, distintas entre s) o no3 a es el primer término, a el segu segund ndo, o, y as) as) suce sucesiv sivam amen ente te., ., es infni infnita ta.. +as +as suce sucesi sion ones es pueden ser% • • • •
7initas, si el *ltimo término aparece en la e1presión. 8nfnitas si el *ltimo término no aparece. 9recientes si el primer término es el menor. menor. :ecrecientes si el primer término es el mayor. mayor.
4emplos% $ ;3 3 3 /3 03... n3... (8nfnita 2 creciente$ $, 0, ", <, ... n, ... (8nfnita 2 creciente$ /$3 /3 =3 #3...n>3... (8nfnita 2 creciente$ 0$, ?, @/, A, B, @n, B(infnita 2 decreciente$ =$;, , , /, =, <, B(infnita 2 creciente$ "$ ;, !, <, #, ". (7inita 2 decreciente$
+as sucesiones pueden ser% Critméticas% un 6 , =, !, /, ... Geométricas% un 6 0, , /", !<, ... Crmónicas% , @=, @!, @/, ... Progresión aritmética.
M. González (!"#$ defne% una progresión aritmética o por dierencia es una sucesión cuyos términos son tales que cada uno de ellos, a partir del segundo, es igual al término precedente aumentado en un n*mero fo que se llama dierencia o razón aritmética de la progresión, la cual se representa por% d +a dierencia puede ser negativa, positiva o nula. Di la dierencia es positiva la progresión es creciente y si es negativa, es decreciente. 4. , /, =, #,... , n E , ... 4sta defnición tiene una gran importancia en la enseFanza primaria por la aplicación que de ella se hace en la solución de eercicios relacionados con sucesiones numéricas pertenecientes al dominio variacional. 5ara el maestro resulta signifcativo proundizar en aspectos relacionados con este dominio cognitivo, undamentalmente en la determinación del término general o ley de ormación, as) como un término cualquiera de una progresión aritmética, con el obetivo de poder diseFar eercicios en correspondencia con el grado en que trabae. 9ómo calcular un término cualquiera de una progresión aritméticaH un 6 a > ( n E $ d a% primer término de la sucesión, n% término ené2simo buscado, d% dierencia 4emplo% 4n una progresión para la cual a6 0 y d 6 /, el séptimo término o sea n 6# es% u# 6 0 > ( #E $ / 6 y u; 6 0 > ( ; E $ / 6 / Progresión geométrica o por cociente.
De considera oportuno por el obetivo que se persigue en la enseFanza primaria tener en cuenta la defnición abordada por M. González(!"#$%una progresión geométrica o por cociente es una
sucesión cuyos términos son tales que uno cualquiera de ellos, después del primero, es igual al término anterior multiplicado por un n*mero fo r, el cual se halla dividiendo un término por el que le precede. Di r I es creciente, de lo contrario es decreciente. 4emplo% +a sucesión% , ", <, =0. 4s una progresión geométrica creciente cuya razón o cociente r 6 / +a sucesión , ?, A, @<,... 4s geométrica decreciente cuya razón es ?, 9ómo calcular un término cualquiera de una progresión geométricaH
un 6 a r n2 a% primer término de la sucesión, n% término n2simo buscado, r% razón o cociente 4n la progresión geométrica /, ", ,...calcular el ". Jérmino si a 6 /, r 6 y n6" '" 6 /. "2 6 !" De considera necesario delimitar la dierencia entre conceptos, que relacionados con las sucesiones numéricas se emplean como sinónimos, lo cual sucede con sucesión y serie. 4n tal sentido se asume el concepto del citado autor M. González (!"#$. Derie. De llama serie a la suma indicada de los términos de una sucesión. Cs) por eemplo. :ada la sucesión% a, a, a/, a0, ..., an, ... +a serie correspondiente es% a> a> a/> a0> ...>an> ... 4s la regla que permite calcular un término cualquiera de la sucesión. 4emplo% un6 n un 6 @n +os eercicios de sucesiones numéricas están comprendidos dentro del dominio variacional y contribuyen efcazmente a la puesta en práctica de los procesos del pensamiento análisis, s)ntesis, abstracción, comparación y generalización. 4n cada una de las comprobaciones de conocimientos que se aplican sistemáticamente para medir la calidad del aprendizae de los alumnos aparecen eercicios de este dominio en dierentes niveles de desempeFo. Cl realizar un análisis de los resultados se observa que no se ha logrado el é1ito deseado debido, entre otras cuestiones, a la insufciente orientación para su tratamiento metodológico y solución. 4n este sentido se orece una v)a para dar tratamiento a la comprensión de los eercicios de sucesiones. 9ómo dar tratamiento a la comprensión y solución de los eercicios del dominio variacionalH 4l tratamiento a la comprensión y solución de los eercicios debe estar precedido de un análisis de los conceptos que se relacionan con el concepto sucesión.
4l alumno debe comprender que toda sucesión numérica está ormada por términos, que puede ser fnita o infnita3 que tiene un primer término y puede o no tener un *ltimo
" término, por lo que puede ser fnita o infnita3 que puede ser descendente y que en ella e1iste una regularidad o patrón. 4emplo% 9ompleta la siguiente sucesión% ", ;,KKK, KKK, , ", KKK. 4l maestro aplicando la heur)stica debe eercicio, busquen la v)a de la solución y orientará% L +ee detenidamente el te1to del eercicio. ué palabra o e1presiones aparecen en él que puedan ayudar (o entorpecer$ la b*squeda de la idea de la solución y solución del eercicioH N Ducesión N Dubraya la palabra o la copia en un lugar del pizarrón., Dolamente la palabra sucesión es la que puede ayudarnos a buscar la idea de la solución y solución del eercicioH N Oo N 9uál otraH N 9ompleta N. Dubraya la palabra o la copia debao de la palabra sucesión escrita antes. L L L 5or qué está compuesta la sucesiónH N 5or términos. Dubraya la palabra o la copia debao de la palabra completa, antes escrita. . 9ual es el primer términoH 9uál es el *ltimo términoH 4s fnita o infnitaH 5or quéH 4s ascendente o descendenteH 5or quéH 9omo tenemos una sucesión constituida por sus términos, qué debe e1istir entre estosH N :ebe e1istir una regularidad o patrón. Dubraya la palabra o la copia debao de las palabras sucesión, completa y término antes escritas. . L L L L 9onocemos el patrónH N Oo. ué debemos hacerH N Puscarlo. 9ómo buscamos el patrónH 4l maestro e1plica que en este caso particular se toman dos términos consecutivos. " y ; ó y ". Qace que busquen regularidades mediante conteo o la aplicación de alguna de las operaciones de cálculo. +o alumnos deben percatarse que a " le altan 0 para llegar a ; (">06; ó que ;2" 6 0$3 procederán de igual manera con el otro par de términos >06 " ó " E 0 6 , llegando a la conclusión que 0 es la regularidad o patrón. L 4l maestro destaca que ya se ha trabaado con las palabras sucesión, término, patrón y que solamente alta trabaar con la palabra% completa para dear solucionado el eercicio. L Dabemos como completar la sucesiónH C través de preguntas hace que los alumnos analicen que si hay una regularidad o patrón esa debe cumplirse en lograr que los alumnos comprendan el que solucionen el mismo, para lo cual ascendente o
# toda la sucesión. De invita a buscar la orma de completar lo términos que altan. +os alumnos determinan que adicionando el patrón a cada término se obtiene el siguiente (+a sucesión es ascendente$ y de esa manera completan lo términos que altan. 4emplo . 9ompleta la siguiente sucesión% !, KKK,.KKK, //.KK. 0=,KK,=# 4n este caso se procede en orma análoga al eemplo anterior3 pero como no hay dos términos consecutivos (pero se aprecia que es ascendente y fnita$, se invita a los alumnos a buscar regularidades. 4llos se percatarán que siempre entre dos términos conocidos ! y , hay otro que desconocemos3 y el que alta se halla a igual distancia de los dos% del ! y del . Mediante preguntas o impulsos el maestro debe lograr que los alumnos reRe1ionen lógicamente y descubran que es el =. De hará que seleccionen otro par de términos no consecutivos, caso (sucesión aritmética$. 5or *ltimo aritmética (!>$% 6 =. 4emplo /. De presenta la siguiente la sucesión , 0, <, KK, KK, "0, <, KKK, KKK en la cual se aplica el mismo proceso para la comprensión del eercicio. De invita a que determinen los términos que altan. +os alumnos tratarán de aplicar el mismo procedimiento, pero notarán que mediante la adición o la sustracción no se obtiene una regularidad o patrón (esta es una sucesión geométrica$, a través de preguntas e impulsos hace que busquen otras v)as para hallar el patrón% lo cual podrán hacer mediante el conteo a saltos regulares% dos, cuatro, ocho, dieciséis, treinta y dos, etc. 5uede que un alumno al analizar el eercicio o sucesión se percate que el segundo término se obtiene al multiplicar el primero por 3 semeanzas y dierencias entre esta sucesión y el tercero, al multiplicar el segundo por y as) sucesivamente. 4l maestro hace que los alumnos establezcan las trabaadas anteriormente. 9onocido el patrón, cada 41plica que en este caso se está en presencia de una sucesión geométrica y que el patrón se halla dividiendo cada término por el anterior. uno de los términos que altan en la sucesión se determina multiplicando el término anterior por el patrón y se obtiene as) el término desconocido buscado. C continuación se orece un sistema de eercicios relacionados con las sucesiones numéricas y de fguras geométricas, agrupadas por niveles de desempeFo los con la participación que reRe1ionen, determinen regularidades y establezcan la conclusión correspondiente para este de los alumnos se ayuda a deducir, el procedimiento matemático a aplicar en estos casos% la media
< cuales pueden ser empleados por los docentes durante el desarrollo de sus clases o como trabao independiente en correspondencia con el grado en que trabae. .2. Cqu) se muestra una parte de una tabla donde se representan los n*meros del al ;;. / / / 0 0 0 = = = " " # # < < ! ! ; ; C continuación se ve otra parte de la misma tabla. 4l n*mero que le corresponde al rectángulo vac)o es% 0= == $ KKKK "= $ KKKK/= /$ KKSK/" 0$ KKKK 0" .2 . 9ompleta la siguiente sucesión en orma de columna% +a fgura que corresponde es% $ KKK $ KKK /$ KKK 0$ KKSK /. Tubén orma la sucesión de n*meros que te damos a continuación% KKK3 KKK3 ,3 ,=3 ,<
! +a sucesión de n*meros inició con el n*mero% $ KKK ,; $ KKK,! D4G'O:U O8V4+ 0. 4n la sucesión de n*meros% 0,=3 #,=3 ;,=3 /,=3 ",= los n*meros que la orman se obtienen de% $ KKK adicionar ;,/. $ KKK multiplicar por /. /$ KSK adicionar /. 0$ KKK multiplicar ;,/. =. Cnaliza la sucesión de los siguientes n*meros. ;,;3 KKKK3 ;,;3 KKKK3 ;,< /$ KSK," 0$ KKK Oo lo puedo determinar. +os n*meros que altan son% $ KKK ;,;0 y ;, 0 $ KKK ;,;" y ;," /$ KSK ;,;" y ;,0 0$ KKK ;,;0 y ;," ". +as fguras C, P y 9 están ormadas por triángulos pequeFos iguales y se van comportando regular. de una orma 9uántos triángulos pequeFos habrá en la fgura :H
; $ KKK < $ KKK0 /$ KSK" 0$KKK ! #. 9ompleta la siguiente sucesión de n*meros% #! !!!3 <; ;;03 KKKKK3 <; ;03 <; ;!3 KKKKK3 <; ;!3 KKKK +os n*meros que altan son% $ KKKKK <; ;;!3 $ KKKKK <; ;;<3 /$ KKSK <;; ;;!3 0$ KKKKK <; ;;!3 <. 4n la sucesión ,3 ;,""3 ;,!<3B 5ara obtener cada n*mero del anterior% $ KKK De sustrae ,;; $KSK De multiplica por ;,/ /$ KKK De sustrae ,=0 0$ KKK De adiciona ;,0 <; ;3 <; ;03 <;; ;03 <; ;03 <; ;/ <; ;/0 <;; ;/0 <; ;/0 ! . Cnaliza la sucesión de los siguientes n*meros. !03 KKKK3 ;3 KKKK3 ;3 03 < +os n*meros que altan son% $ KKK !" y ;0 $ KKK !< y ;0 /$ KKK !" y ;" 0$ KSK !< y ;" ;. 4n los 4stados 'nidos, la cuarta parte de los ciudadanos que no tienen seguros de cobertura médica son niFos. Di hay 0/ millones de ciudadanos sin seguro médico, los niFos que tienen esa situación apro1imadamente son% $ KKKK #=; ;;; $ KKKK ;# =;; ;;; /$ KKKK # =;; ;;; 0$ KKSK ; #=; ;;;.
. 4n la sucesión de n*meros% ";, ;, <;,KKK, <;; los n*meros que la orman cumplen las siguientes condiciones% $ KK Dólo son m*ltiplos de ;. /$ KK Don m*ltiplos de =;. J4T94T O8V4+ . +as fguras , y / están ormadas por triángulos pequeFos iguales y se van comportando de una orma regular. $ KK Dólo son m*ltiplos de /;. 0$ SKDon m*ltiplos de ; y /;. Deg*n la cantidad de triángulos pequeFos en cada una de ellas, cuántos triángulos pequeFos hay en la fgura que ocupa el lugar =H $ KKSK = $ KKKK " /$ KKKK / 0$ KKKK 0 /. +a empresa de cultivos varios y el sector cooperativo en 9uba desarrollan en el aFo ;;0 uno de sus más amplios planes de siembra de hortalizas. +a superfcie que se contempla sembrar en el equivale a # ;;; caballer)as. 41presa en metros cuadrados a cuánto equivale la superfcie a en el segundo semestre. Tespuesta correcta% K!/! 00 ;;; metros cuadrados. 0. 4labora una sucesión de siete n*meros que cumpla las siguientes condiciones% W 8nicie con el n*mero 0;, y cada n*mero es el doble del siguiente. Tespuesta% K0;, 0<;, !";, !;, /<0;, #"<; y = /";. sembrar segundo semestre del aFo
=. 4labora una sucesión de siete n*meros que cumpla las siguientes condiciones% W ue sean racciones comunes, en orma ascendente. Tespuesta% K@!3 @!3 /@!3 0@!3 =@!3 "@! y #@!. +a inclusión del dominio variacional como auste curricular en los programas de los dierentes grados de la enseFanza primaria, sirvió para 9uba se incluyera entre los pa)ses participantes en los 4ventos Tegionales de medición de la calidad de la 4ducación3 posibilitando con ello la solución e1itosa, por parte de los alumnos, de variados y compleos eercicios de sucesiones numéricas pertenecientes a este dominio cognitivo. +a solución de los eercicios de sucesiones numéricas y de fguras geométricas contribuyen decisivamente al desarrollo de los procesos del pensamiento% análisis, s)ntesis, abstracción y generalización. +a carencia o alta de materiales de corte metodológico que ilustre a los maestros la meor manera de orecer tratamiento a estos eercicios demanda que se elaboren materiales o art)culos como éste. P8P+8UGTC7XC . González3 Mario. Clgebra 4lemental Moderna V 9urso. +a Qabana, 5ueblo y 4ducación, !"#. . Prehmer, Diegried y /. Ducesiones Qarry Cpelt. Ducesiones. Cnálisis Matemático. +a numéricas. 4n Qabana, 5ueblo y 4ducación. !<0. http%@@
[email protected]@economat@test @test ;suce.htm . 9onsultado 0 de mayo del ;;! 3 ;%/; a.m.
