“Año de la Unión Nacional Frente a la Crisis Externa”
FACULTAD
:
ADMINISTRACIÓN, MARKETING Y NEGOCIOS INTERNACIONALES
PROFESOR
:
JUAN CARLOS PÉREZ PÉREZ
CURSO
:
MATEMÁTICA II
TEMA
:
LAS CONICAS
CICLO
:
II
ALUMNO
:
JORGE LUIS ENCALADA CAMPOS
2009
INDICE
1. ¿Qué es una cónica? 2. Etimología 3. Tipos 4. Expresión algebraica 4.1 Características 5. Importancia y Aplicación de las cónicas
Dedicatoria El presente trabajo monográfico esta dedicado al esfuerzo y amor de mis padres, a esa lucha constante por hacer de mi una persona de bien, por ese apoyo que me brindan en cada una de las decisiones que tomo, también quiero dedicarlo a una persona que ya no esta presente físicamente, pero que sin embargo dejo un gran legado de amor, valores y perseverancia en mí, a ese gran hombre que sin tener responsabilidades algunas se puso la “cinta de capitán” y condujo al equipo familiar; esta monografía esta dedicada a Oscar Julián Encalada Sanchez, mi tío, mi padre, siempre estaré agradecido por todo lo que me diste, por eso amor interminable que demostrabas no solo hacia mi si no a toda la familia y aunque ya no estés presente físicamente, siempre estarás presente en mi corazón y en el de todos los que te queremos.
Introducción a las cónicas Las cónicas son curvas que tienen propiedades interesantes y las podemos descubrir en multitud de objetos y situaciones. Las elipses corresponden con las trayectorias de los planetas. Las parábolas están en las trayectorias de los cuerpos sometidos a la gravedad, en los espejos de los faros o en los perfiles de las antenas, que aprovechan los rayos paralelos al eje de una parábola que son reflejados por las superficies parabólicas y concentradas en su foco.
¿Qué es una Cónica? Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
Las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse.
Etimología La primera definición conocida de cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones “de un cono circular recto”. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática (como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.)
Tipos En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (á) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (â), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: • â < á : Hipérbola (celeste) • â = á : Parábola (verde) • â > á : Elipse (amarillo) • â = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Esquema de las tres secciones cónicas.
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: • Cuando â > á la intersección es un único punto (el vértice). • Cuando â = á la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). • Cuando â < á la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida â disminuye, hasta alcanzar el máximo (á) cuando el plano contenga al eje del cono (â = 0).
Expresión algebraica En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
a x2 + 2hxy
+ by2 + 2 gx + 2 fy + c = 0
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: h² > ab: hipérbola. h² = ab: parábola. h² < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de elipse).
Características La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: • Centro, O • Eje mayor, AA´ • Eje menor, BB´ • Distancia focal, OF 2
La elipse tiene la siguiente expresión algebraica: x + y
2
=1 2 a2 b
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos: • Centro, O • Vértices, A y A • Distancia entre los vértices • Distancia entre los focos 2
La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es: x - y
2
=1 a 2 b2
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos: • Eje, e • Vértice, V • Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: y
=ax 2
Importancia y Aplicación de las cónicas. La importancia de las cónicas radica en su aplicación al estudio del movimiento de los planetas,
debido a que estos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol, característica utilizada por Kepler en su estudio sobre los planetas y por Newton en Ley de Gravitación Universal. Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según
la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser
repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Otra aplicación de las cónicas es al estudio de los movimientos de los proyectiles, tiro horizontal y parabólico.
Asimismo se utilizan las propiedades de las cónicas para la construcción de antenas y radares,
sabiendo que cualquier onda que incide sobre una superficie parabólica, se refleja pasando por el foco.
Conclusión En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un
espacio bidimensional y en relación a sistema de coordenadas ortonormales, con la relación y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.
APÉNDICES
• Circunferencia • Elipse • Parábola • Hipérbola • Cuádrica • Aerodinámica • Morfología (diseño) • Gravitación • Geometría proyectiva BIBLIOGRAFIA
Wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/Conicas
El Rincón del Vago. http://html.rincondelvago.com/conicas_1.html
