Control PID para la posición angular de un motor CD
Resumen: Analizar y aplicar un sistema de control analógico retroalimentado retroalimentado lineal en tiempo continuo mediante métodos de transformación, e implementar un controlador para un sistema lineal en tiempo continuo mediante la técnica del lugar de las raíces. El sistema de control analógico diseñado se pretende aplicar a un potenciómetro acoplado con un motor cd, con la opción de controlar la posición angular del motor cd. Justicación: Con el n de aplicar los conocimientos aduiridos durante el curso, relacionados con Circuitos !ntegrados "ineales se desarrollar# un proyecto con el cual podamos demostrar el funcionamiento de un sistema de control analógico implementado a un motor de cd acoplado con un potenciómetro. potenciómetro. $e desea construir un sistema de posición con elementos de f#cil consecución en el mercado local. Antecedentes: El control autom#tico desempeña un papel importante en los procesos de manufactura, industriales, na%ales, aeroespaciales, ro&ótica, ro&ótica, económicos, &iológicos, etc. Como el control autom#tico %a ligado a, pr#cticamente, todas las ingenierías 'eléctrica, electrónica, mec#nica, sistemas, industrial, uímica, etc.(, )a &uscado la comodidad para )acer la %ida muc)o m#s f#cil es por esto ue se desarrolló, con el n de entender el principio de funcionamiento de este sistema e implementar un sistema de control ue podamos usar para o&tener la posición deseada en la salida. *esarrollo: $e reuiere diseñar y construir un controlador +!* para regular la posición de un motor cd. "a gura siguiente muestra el diagrama a &loues del sistema a controlar.
$e puede analizar primero el actuador unto con el controlador con el n de regular la posición de un motor de corriente directa. -omando en cuenta lo anterior el diagrama a &loues del su&sistema a controlar nos ueda tal como se muestra a continuación:
"a señal de salida, y, corresponde a la salida del terminal mó%il del potenciómetro. $i éste se alimenta con %oltios en sus terminales os 'a y &(, producir# un %oltae en su terminal mó%il 'c( eui%alente a su posición. +odemos decir entonces ue cuando produce / %oltios esta en la posición eui%alente a / grados, 0.1 %oltios corresponder# a 2/ grados, 1. %oltios a 03/ grados, etc. "a señal de referencia, r, corresponde a la posición deseada. Es decir, si ueremos ue el motor alcance la posición 03/ grados de&emos colocar una referencia de 1. %oltios, si ueremos 14/ grados colocamos referencia de 5.4 %oltios, etc. "a señal de error, e, corresponde a la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida. +or eemplo, si ueremos ue el motor alcance la posición de 2/ grados colocamos una señal de referencia de 0.1 %oltios y esperamos dónde se u&ica e6actamente. $i se posiciona en 74. grados el potenciómetro entregar# una señal de salida de /.254 %oltios y la señal de error, e, ser# de /.501 %oltios '11. grados(. "a señal de control, u, corresponde al %oltae producido por el controlador para disminuir o anular el error. $i la señal de error es positi%a indica ue la referencia es mayor ue la salida real, entonces el controlador coloca un %oltae positi%o al motor para ue contin8e girando )asta minimizar o anular el error. $i por el contrario la señal de error resulta negati%a indica ue la salida so&repasó la referencia entonces el controlador de&e poner un %oltae negati%o para ue el motor gire en sentido contrario )asta minimizar o anular el error. "a gura siguiente muestra el sistema de posición al cual se le implementar# el controlador y consta, &#sicamente, de un motor de corriente directa 'cd( de im#n permanente, al cual se le )a acoplado en el ee un potenciómetro lineal de / a 0/ 9 . El potenciómetro es alimentado con %oltios de cd en sus
terminales os para o&tener, de su terminal mó%il, una señ al ue %aría de / a %oltios durante todo el recorrido en sentido de6trógiro 'asumamos 57/ grados(.
"o anterior uiere decir ue nuestro sistema de lazo cerrado respondería ante una orden de u&icación en cualuier posición angular, con gran e6actitud. En la pr#ctica no sería así por lo siguiente: imaginemos ue euremos cam&iar la posición del potenciómetro, ue est# en / grados, a la posición correspondiente a 03/ grados; aplicamos entonces un %oltae de referencia de 1. %olts. El sumador resta de 1. %olts, de la señal de referencia, la señal de %oltae de salida, pro%eniente del potenciómetro, produciendo la señal de error ue ser# el %oltae ue se aplicar# al motor. Como sa&emos ue e6iste un %oltae mínimo, superior a cero, el cual el motor no continuar# girando porue no es capaz de %encer su propia incercia, éste se detendr# sin lograr alcanzar el o&eti%o deseado, es decir, sin lograr un error nulo. -ampoco podemos decir ue el sistema de posición no es un sistema tipo 0 sino un sistema tipo /, ya ue en este 8ltimo el error en ante una señal de referencia escalón, es igual a E ( s )
1 1
+ K
R ( s)
*onde 9 es la ganancia del sistema en lazo a&ierto, lo ue signica ue el error en estado estacionario sería un porcentae constante de la señal de referencia. En nuestro sistema esto no ocurre ya ue si la señal de referencia es alta el %oltae inicial aplicado al motor tam&ién sería alto 'asumiendo error inicial alto(
de tal manera ue podría desarrollar una gran %elocidad inicial y, cuando alcance %alores cercanos a cero de error no ser detendría autom#ticamente , alcanzando %alores de error menores a lo esperado o %alores de error negati%os. "o mismo no ocurriría a %alores de referencia de magnitud media o &aa. Antes de iniciar con el diseño de un controlador es necesario conocer muy &ien la din#mica del proceso a controlar, por lo ue se tiene ue ) acer un estudio de los componentes del sistema. 0.
Al realizar el circuito mec#nico , eléctrico y electrónico de cada uno de los componentes del sistema, nos ueda de la siguiente manera al desglosar el diagrama de la gura siguiente:
*e la gura anterior o&tenemos el modelo matem#tico de cada uno de los &loues del sistema uedando:
Como se puede o&ser%ar sería muy complicado o&tener todas las constantes del sistema, por lo ue podemos o&tener de otra manera el modelo matem#tico del sistema de una forma m#s sencilla. "a función de transferencia de un sistema se dene como la relación entre la salida y la entrada del sistema en el dominio de la frecuencia asumiendo condiciones iniciales nulas. >as#ndose en la denición de la función de transferencia, aplicaremos una señal escalon al sistema, gracaremos la salida, )allaremos las ecuaciones de cada %aria&le en el dominio del tiempo, las lle%aremos al dominio de "aplace, y la relación salida?entrada ser# el modelo matem#tico del mismo. "a señal de salida correspondiente a una señal tipo rampa:
( )
c t
= m∗t
Cuya transformada de "aplace ser# C ( s )=
m 2
s
Entonces la señal de entrada ser# de tipo escalón, correspondiente a la amplitud de %oltae de cd ue est# suministrando
r't( @ Cuya transformada de "aplace es:
( )
R s
V =
s
+or lo tanto nuestra función de transferencia ser#: G ( s )=
C ( s ) m = R ( s ) Vs
"a ecuación de error es E ( s )=
1
+ G ( s ) H ( s )
1
R ( s )
*onde G ( s )=
m Vs
='s( @ 0 +or lo tanto y aplicando teorema de %alor nal )allamos ue el error en estado esta&le tiene forma: ess @ / "o anterior uiere decir ue nuestro sistema en lazo cerrado respondería ante una orden de u&icación en cualuier posición angular, con gran e6actitud. En la pr#ctica no sería así por lo siguiente: imaginemos ue ueremos cam&iar la posición del potenciómetro, ue est# en / grados, a la posición
correspondiente a 03/ grados; aplicamos entonces un %oltae de referencia de 1. %oltios. El sumador resta de 1. %oltios, de la señ al de referencia, la señal de %oltae de salida, pro%eniente del potenciómetro, produciendo la señal de error ue ser# el %oltae ue se aplicar# al motor.
Con la ayuda de
se encontraron el lugar de las raíces de nu estro sistema en lazo cerrado, conociendo ya el modelo matem#tico del sistema, como se muestra:
En la gura podemos apreciar ue el polo del sistema en lazo cerrado se traslada desde el origen )asta menos innito, so&re el ee real negati%o, a medida ue se aumenta la ganancia del sistema. Esto uiere decir ue el sistema responde m#s r#pido a ganancia altas lo cual es correcto ya ue la %elocidad del motor de cd de im#n permanente es proporcional al %oltae aplicado. Bn controlador +!* dispone de un componente proporcional '9p(, un componente integrati%o '-i( y un componente deri%ati%o '-d(, de tal manera ue produce una señal de control igual a: u= K p ( 1+
1
s T i
+ s T d )
donde la acción integrati%a del controlador tiene su mayor efecto so&re la respuesta estacionaria del sistema 'tratando de minimizar el %alor de ess( y la
acción deri%ati%a tiene su mayor efecto so&re la parte transitoria de la respuesta. *e la información o&tenida de la u&icación de los polos y ceros del sistema y del "ugar de las aíces del mismo podemos concluir: +or ser un sistema tipo 0, ue eui%ale a decir ue el modelo matem#tico del sistema incluye un integrador, el error en estado estacionario ante u na señal escalón ser# nulo por lo ue no necesitar# la parte integrati%a del controlador. Esta conclusión se tomar# como un punto de partida en el diseño del controlador ya ue se mencionó ue en la pr#ctica este error no ser# completamente nulo. El "ugar de las aíces nos muestra ue con solo un controlador proporcional nosotros podemos %ariar la rapidez de la respuesta del sistema, por lo cual la parte deri%ati%a tampoco ser# indispensa&le.
El sumador, o comparador, se puede construir con el amplicador operacional -"/31 conectado como muestra la gura 3, en la cual se puede apreciar ue el %oltae de salida 'terminal 7( es igual a la diferencia de los %oltaes de entradas 'aplicados a los terminales 5 y 1(, ue en n uestro caso ser#n la referencia, r, y la salida del potenciómetro y.
Bn amplicador in%ersor se implementa con una conguración como la gura siguiente. $e puede apreciar ue el %oltae de salida, o, es igual al %oltae de entrada, i, amplicado 1D0 %eces, pero con polaridad in%ersa.
+ara implementar un control proporcional se puede utilizar la conguración de la siguiente gura. +ara corregir la polaridad se emplea otro amplicador in%ersor, en cascada con ganancia igual a 0, es decir 1 @ 0.
+ara implementar un controlador integral se puede usar la conguración mostrada:
+ara implementar un control deri%ati%o se puede usar la conguración mostrada.
"os %alores y C par el control integral y el control deri%ati%o depender#n de los par#metros -i y -d calculados. +ara el circuito realizado en este proyecto -i es apro6imadamente igual a c y -d igual apro6imado a c.
Como sa&emos ue los amplicadores operacionales tra&aan en su zona de operación lineal solo si la corriente ue entra por su s terminales positi%a y negati%a es apro6imadamente cero entonces por esto se decidió poner tanto en el restador como en primer in%ersor con ganancia de 0 resistencias de %alor ele%ado y en el 8ltimo in%ersor se decidió ue este tu%iera una ganancia de 0.1 ya ue de esta forma podemos lograr ue cuando ocurra la m#6ima diferencia entre la señal deseada y la señal de retroalimentación el %oltae generado por controladro sea igual al %oltae de prue&a m#6imo para el ue encontramos ue el motor C* aun funciona&a como un elemento lineal.
Conclusiones: ernando -om#s +érez Famudio Este proyecto se implemento un control + a un sistema de lazo cerrado con el n de controlar la posición de un motor C* con un mo%imiento sua%e o &ruco dependiendo del tipo de mo%imiento realizado en el potenciómetro, ya ue es una característica del controlador por ser del tipo proporcional. En este proyecto se puso en pr#ctica lo %isto en clase relacionando así la teoría con la pr#ctica, al modelado de los Amplicadores Gperacionales ue este caso fue entendi&le y analizado de una manera correcta y concisa ya ue el controlador esta&a solo compuesto por un restador y dos in%ersores unos con ganancia 0 y el otro con una ganancia 0.1 pre%iamente se e6plicó las razones. -am&ién se utilizó un modelo matem#tico para el potenciómetro lineal compro&ando ue efecti%amente se comporta&a de una manera lineal. El pro&lema del motor fue ue no tu%imos tal %ez el tiempo suciente para analizarlo a detalle y profundamente, para de esta forma o&tener las constantes necesarias para escri&ir la función de transferencia de cada su&sistema y después realizar an#lisis matem#tico correspondiente para o&tener la función de transferencia general. Bn punto importante en el proyecto fue el reconocimiento del tipo de control suciente para realizar el posicionamiento correcto del potenciómetro ue fue con un control proporcional.
