Propagacion de Ondas en Medios Elasticos

ÍNDICE RESUMEN..................... ................................ ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... ............................ ................. 2 INTRODUCCIÓN.................... ............................... ..................... ..................... ..................... ........................................ .............................. 4 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO...................................................................6 2. ONDAS.................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... .............................. ................... 7 2.1. Ondas mecánicas.......................................................................................8 2.2. Ondas elect!ma"n#ticas...........................................................................8 $. Re%esentaci&n de 'na Onda ....................................................................10 (. CARACTER)STICAS *ENERALES *ENERALES DE LAS ONDAS .................................11 +. MA*NITUDES CARACTER)STICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.................... ............................... ...................... ..................... ..................... .................................... ......................... 11 ,. -RO-A*ACIÓN -RO-A*ACIÓN DE LAS ONDAS MECNICAS MECNICAS........................................12 /. VELOCIDAD DE -RO-A*ACIÓN -RO-A*ACIÓN DE LAS ONDAS ONDAS MECNICAS.............12 8. ECUACIÓN DE -RO-A*ACIÓN -RO-A*ACIÓN DE UNA ONDA MECNICA...................14 0. ONDAS ONDAS ARMÓ ARMÓNICA NICAS S.................... ............................... ..................... ..................... ...................................... ........................... 16 8.1. -ARMETROS -ARMETROS DE UNA ONDA ARMÓNICA............................. ARMÓNICA...................................... .............18 ....18 8.2. Relaci!nes de inte#s ente l!s %aámet!s............................................10 8.$. ECUACION DE UNA ONDA ARMÓNICA................................................10 8.(. ENER*)A TRANSMITIDA -OR -OR LAS ONDAS ARMÓNICAS...................2 1. -RINCI -RINCI-IO -IO DE DE U3*EN U3*ENS S.....................................................................21 11. EL SONI SONIDO DO..................... ................................ ..................... ..................... ..................... ....................................... ............................. 23 12. ONDAS ONDAS ESTAC ESTACIONAR IONARIAS IAS.................... ............................... ..................... ..................... ............................. .................. 23 12.1. Ec'aci&n de !nda estaci!naia..............................................................2( 12.2. L!cali4aci&n de n!d!s............................................................................2+ CONCLUSIONES..................... ................................ ..................... ..................... ............................................... .................................... 29 5I5LIO*RA6)A..................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... .............................. .................... 30

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RESUMEN El m!7imient! !nd'lat!i! es el 'e se %!d'ce en 'na s'%e9icie li'ida ! en las %at:c'las de 'n medi! elástic! al %as! de las !ndas. Las !ndas mecánicas se !i"inan c'and! 'na %ate de ciet! medi! elástic! se des%la4a de s' %!sici&n. Es im%!tante este tema de las !ndas; %!'e 7eem!s 'e c!nce%t!s de la mecánica !nd'lat!ia están :ntimamente li"ad!s a la 9:sica c'ántica. Un a't!  se!; de all: 'e las !ndas c'ánticas se"'ián las mismas e"las 'e las !ndas en "eneal. La ma=!:a de las %es!nas ?a tenid! e@%eiencia e @%eiencia c!n las !ndas; %! eem%l! al lan4a 'na %ieda en 'n %!4! de a"'a se 9!man !ndasB si %!nem!s 'n c!c?! 7eem!s 'e el mism! se m'e7e ?acia ai>a = ?acia a>a! %e! 'e n! se taslada en la diecci&n 'e 7em!s se tasladan las !ndas; c!m! c:c'l!s 'e se a>e a>en n desd desde e el cent cent! ! d!nd d!nde e ca=& ca=& la %ied %ieda a.. Esta Estass !nda !ndass ac'á ac'átic ticas as c!nstit'=en 'n eem%l! de 'na am%lia 7aiedad de 9en&men!s 9:sic!s 'e %esentan caacte:sticas anál!"as a las !ndas. El m'nd! está llen! de !ndas !ndas s!n!as; mecánicas; tales c!m! la !nda 'e se %!%a"a en 'na c'eda de 'na "'itaa; !ndas s:smicas 'e %'eden tans9!mase en teem!t!s; !ndas de c?!'e 'e se %!d'cen c'and! %!  eem eem%l %l! ! 'n a7i& a7i&n n s'%e s'%ea a la 7el! 7el!ci cida dad d del del s!nid !nid!; !; = !ta !tass !nda !ndass más más %atic'laes %!'e n! s!n tan 9ácilmente ca%tadas c!n l!s sentid!s ! n! es tan sencill! inte%eta s' !i"enB s!n las !ndas elect!ma"n#ticas. Ente estas están la l'4 7isi>le; las !ndas de adi!; las sele; etc. El c!nce%t! de !nda es a>stact!. Las !ndas 'e 7iaan en 'n medi! mateial se den!minan !ndas mecánicas. C'and! se !>se7a l! 'e den!minam!s 'na 2

RESUMEN El m!7imient! !nd'lat!i! es el 'e se %!d'ce en 'na s'%e9icie li'ida ! en las %at:c'las de 'n medi! elástic! al %as! de las !ndas. Las !ndas mecánicas se !i"inan c'and! 'na %ate de ciet! medi! elástic! se des%la4a de s' %!sici&n. Es im%!tante este tema de las !ndas; %!'e 7eem!s 'e c!nce%t!s de la mecánica !nd'lat!ia están :ntimamente li"ad!s a la 9:sica c'ántica. Un a't!  se!; de all: 'e las !ndas c'ánticas se"'ián las mismas e"las 'e las !ndas en "eneal. La ma=!:a de las %es!nas ?a tenid! e@%eiencia e @%eiencia c!n las !ndas; %! eem%l! al lan4a 'na %ieda en 'n %!4! de a"'a se 9!man !ndasB si %!nem!s 'n c!c?! 7eem!s 'e el mism! se m'e7e ?acia ai>a = ?acia a>a! %e! 'e n! se taslada en la diecci&n 'e 7em!s se tasladan las !ndas; c!m! c:c'l!s 'e se a>e a>en n desd desde e el cent cent! ! d!nd d!nde e ca=& ca=& la %ied %ieda a.. Esta Estass !nda !ndass ac'á ac'átic ticas as c!nstit'=en 'n eem%l! de 'na am%lia 7aiedad de 9en&men!s 9:sic!s 'e %esentan caacte:sticas anál!"as a las !ndas. El m'nd! está llen! de !ndas !ndas s!n!as; mecánicas; tales c!m! la !nda 'e se %!%a"a en 'na c'eda de 'na "'itaa; !ndas s:smicas 'e %'eden tans9!mase en teem!t!s; !ndas de c?!'e 'e se %!d'cen c'and! %!  eem eem%l %l! ! 'n a7i& a7i&n n s'%e s'%ea a la 7el! 7el!ci cida dad d del del s!nid !nid!; !; = !ta !tass !nda !ndass más más %atic'laes %!'e n! s!n tan 9ácilmente ca%tadas c!n l!s sentid!s ! n! es tan sencill! inte%eta s' !i"enB s!n las !ndas elect!ma"n#ticas. Ente estas están la l'4 7isi>le; las !ndas de adi!; las sele; etc. El c!nce%t! de !nda es a>stact!. Las !ndas 'e 7iaan en 'n medi! mateial se den!minan !ndas mecánicas. C'and! se !>se7a l! 'e den!minam!s 'na 2

!nda en el a"'a; l! 'e en ealidad se c!ntem%la es 'na n'e7a dis%!sici&n de la s'%e9icie del a"'aB sin la %esencia del a"'a n! e@isti:a las !ndas. Si 9iam!s el e@tem! de 'na c'eda = m!7em!s el !t! e@tem! ?acia ai>a = ?acia a>a!; 7em!s c!m! a l! la"! de la c'eda se m'e7e 'na !nda. Si n! e@istiea la c'eda n! e@isti:a la !nda. Las !ndas s!n!as 7iaan %! el aie c!m! 'n es'ltad! de las 7aiaci!nes de %esi&n en el aie de %'nt! a %'nt!. En t!d!s l!s cas!s; l! 'e se %'ede deci 'e 'na !nda c!es%!nde a la %et'>aci&n de 'n c'e%! ! 'n medi!. Una !nda mecánica l! es el s!nid!. C'and! 'na 9'ente %!d'ce 'n s!nid!; #ste se %!%a"a "acias al medi! mateial. El ti%! de !nda al 'e %etenece el s!nid! es el tans7esal; =a 'e las %at:c'las del medi! alcan4adas %! el s!nid! se m'e7en en 9!ma 7eticalB la !scilaci&n de la %at:c'la n!s %emite a9ima 'e el m!7imient! es %ei&dic!.

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INTRODUCCIÓN C'and! se %et'>a 'n sistema %ediend! s' %!sici&n de e'ili>i! esta>le; se %!d'cen !scilaci!nes. La caacte:stica más 9ácilmente ec!n!ci>le del m!7imient! !scilat!i! es 'e se e%ite a si mism!; es deci es %ei&dic!. !=; es indis%ensa>le; %aa c!m%ende la 9:sica de n'est!s d:as; la idea de !nda.

Una onda representa el movimiento de propagación de una perturación de un punto a otro sin !ue e"ista transporte neto de materia# El s!nid!; la l'4; la adiaci&n t#mica; l!s a=!s

; l!s a=!s  etc; s!n 'n!s

c'ant!s eem%l!s de la 6:sica de n'est!s d:as; 'e n! %!d:an se descit!s = est'diad!s sin c!n!ce = e@%esa la idea de !nda. Desde 1.02+; se 'tili4an las !ndas %aa desci>i el c!m%!tamient! de las %at:c'las 'e c!nstit'=en la mateia. En 1.02, ERINFSCRÓEDIN*ER %esent& la ec'aci&n de !nda; mediante la c'al se esta>lece la elaci&n ente la ene":a de 'n elect&n = s's %!%iedades !nd'lat!ias. 8π  2 m $

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2

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V 

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(OUIS DE )RO*(IE a7an4& la ?i%&tesis c!m%lementaia de 'e la mateia ten:a %!%iedades de !nda. -!st'la; 'e t!da %at:c'la en m!7imient! lle7a h

as!ciada 'na adiaci&n c'=a l!n"it'd de !nda es λ G

mv

E@isten 7ai!s ti%!s de !ndas; = en este tema 7am!s a est'dia las !ndas elásticas = elect!ma"n#ticas; ! sea !ndas 'e se %!%a"an en 'n medi! mateial; 'e se %!%a"an de>id! a las %!%iedades elásticas del medi!; ! c!m! las elect!ma"n#ticas; 'e s!n !ndas 'e se %!%a"an en el 7ac:!. L!s as%ect!s más im%!tantes de las !ndas; s!n s' 7el!cidad de %!%a"aci&n = las m!di9icaci!nes 'e s'9en c'and! cam>ian las %!%iedades 9:sicas del medi! en el c'al se %!%a"an; c'and! se les inte%!nen di9eentes clases de !>stác'l!s; ! c'and! 7aias !ndas c!inciden en la misma e"i&n del es%aci!.  A'n'e l!s 9en&men!s !nd'lat!i!s s!n "eneales; n!s limitaem!s a c!nsidea el cas! de las ondas senoidales; es deci; a'ellas !ndas; 'e al %!%a"ase %!d'cen a cada 'na de las %at:c'las del medi! 'n m!7imient! 4

am&nic!. H'i4ás %ae4ca est! 'n cas! e@cesi7amente %atic'la; %e! n! l! es si tenem!s en c'enta 'e c'al'ie %et'>aci&n; c'al'ie 9'nci&n %'ede e@%esase c!m! s'%e%!sici&n de 9'nci!nes am&nicas sen!idales. Esta a9imaci&n n! es !ta c!sa 'e el TEOREM+ DE ,OURIER 'e n!s ase"'a 'e c!m>inand! !ndas sen!idales; estam!s en c!ndici!nes; al men!s te&icamente; de desci>i c'al'ie ti%! de !nda. L'e"! c'al'ie m!7imient! %ei&dic! %'ede e@%esase c!m! 'na c!m>inaci&n de n m!7imient!s am&nic!s. Siend! la seie de 6!'ie 1 2

-.t/ & ao%a0cos1t%a$cos1t%a2cos1t%###%0sen1t%$sen1t%2sen1t%3% T!d! m!7imient! %ei&dic! %'ede c!nsidease c!m! s'ma de m!7imient!s 7i>at!i!s am&nic!s de 9ec'encias mlti%les de la del m!7imient! %ei&dic! c!nsidead!; 9ec'encia 9'ndamental. De9in:am!s 'e 'n c'e%! eali4a 'n movimiento periódico c'and! a inte7al!s e"'laes de tiem%!; llamad!s periodos t!das las 7aia>les; de s' m!7imient!; %!sici&n; 7el!cidad = aceleaci&n t!man el mism! 7al!. Ente l!s m!7imient!s %ei&dic!s eci>en el n!m>e de m!7imient!s !scilat!i!s; a'ell!s c'=! es%aci! ! distancia al %'nt! de e'ili>i! %asan %!  'n 7al! má@im! = 'n 7al! m:nim!

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4RO4+*+CIÓN DE OND+S EN MEDIOS E(5STICOS 0# MO6IMIENTO ONDU(+TORIO Si s!>e las m!l#c'las de 'n medi! elástic!; aie; a"'a; >!nce etc; actan 9'e4as elásticas; de tal m!d! 'e si en 'na de ellas se !i"ina 'na %et'>aci&n; #sta se tansmite a las demás m!l#c'las. As: si 'na %at:c'la 7i>a aasta c!nsi"! a las m!l#c'las %&@imas !>li"ánd!las a 7i>a; = #stas !>li"an a las si"'ientes = as: s'cesi7amente. S'etem!s 'n e@tem! de 'na c'eda en 'na %aed = t!mem!s el !t! e@tem! de la c'eda c!n la man! = 'na 7e4 tensada %e%endic'lamente a la %aed; le dam!s 'na sac'dida. A l! la"! de la c'eda se 7a %!%a"and! 'na !scilaci&n; 'na !nd'laci&n. En 'n medi!; la c'eda; se ?a %!d'cid! 'na %et'>aci&n; sac'dida; = #sta se tansmite; se %!%a"a; a7an4and! a l! la"! de la c'eda.

C'and! deam!s cae 'na %ieda en 'na s'%e9icie en e%!s! de 'n estan'e; la %et'>aci&n %!d'cida se tansmite %! la s'%e9icie del estan'e; se 9!ma 'na %e'eaci&n; = el c!n'nt! de t!das ellas; 7i>and! sim'ltáneamente; c!nstit'=e el m!7imient! !nd'lat!i!. Es la %!%a"aci&n de 'n m!7imient! 7i>at!i! en el sen! de 'n medi! elástic! a ta7#s de s's %at:c'las; las c'ales 7i>and! = !>li"and! a 7i>a a 6

las %at:c'las %&@imas; tansmiten la 7i>aci&n de 'n cent! emis!a "andes distancias. Cada m!l#c'la ! %at:c'la del medi! !scila aleded! de s' %!sici&n de e'ili>i! = la %et'>aci&n se %!%a"aá ?asta el l:mite del sistema; a n! se  'e se disi%e a ca'sa del !4amient!. Las %at:c'las del medi! mateial en 'e se tansmite la %et'>aci&n; se %!nen en m!7imient! c'and! %asa %!  ellas la %et'>aci&n; %e! n! 7iaan %! el medi!. En el cas! de la c'eda de est'di!; n! s!n l!s element!s de masa de la c'eda l!s 'e se tans%!tan sin! la %et'>aci&n en la 9!ma %!d'cida %!  la sac'dida en 'n e@tem!. L!s element!s de masa de la c'eda; de ?ec?! se m'e7en en diecci&n %e%endic'la a la c'eda; = %! tant! %e%endic'laes a la diecci&n de %!%a"aci&n del %'ls!. Ot! eem%l! l! tenem!s c'and! 'n c!c?! 9l!ta en la s'%e9icie de 'n estan'e en e%!s!; = se 7e a9ectad! %! la %et'>aci&n %!d'cida %! 'na %ieda 'e se ?a dead! cae s!>e el estan'e; al lle"a la %et'>aci&n al %'nt! d!nde está sit'ad! el c!c?!; #ste se des%la4a 7eticalmente %e! n! l! ?ace ?!i4!ntalmente; c!m! l! ?ace la %et'>aci&n. De>em!s distin"'i d!s m!7imient!s di9eentes 'n! es el de las %at:c'las del medi!; %at:c'las de la c'eda 'e s'>en = >aan; m!l#c'las de a"'a 'e se ele7an s!>e la s'%e9icie en e'ili>i! del estan'e; = el !t! es el de la %et'>aci&n 'e a7an4a.

$# OND+S Se den!mina !nda a t!da %et'>aci&n 'e se %!%a"a. Dec:am!s 'e 'na !nda e%esenta el m!7imient! de %!%a"aci&n de 'na %et'>aci&n de 'n %'nt! a !t! sin 'e e@ista tans%!te de ene":a. Esta %et'>aci&n 'e se %!%a"a en la c'eda; se den!mina !nda ! %'ls!; = %'ede %!%a"ase más de 'na; es deci c'and! se está %!%a"and! 'n %'ls! %!dem!s %!d'ci !t! = as: s'cesi7amente. Al c!n'nt! de %'ls!s 'e se %!%a"an se den!mina tren de ondas#

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L!s tenes de !ndas %'eden se %ei&dic!s ! n! %ei&dic!s. Un ten de !ndas es %ei&dic! si el tiem%! tansc'id! ente la %!d'cci&n de 'n %'ls! = el si"'iente es siem%e el mism!. A este tiem%! se le den!mina %ei!d! del ten de !ndas.  Atendiend! al medi! de %!%a"aci&n; las !ndas se clasi9ican en

$#0# Ondas mec7nicas H'e s!n a'ellas 'e necesitan 'n medi! mateial %aa tansmitise. Un eem%l!

de !ndas mecánicas es el s!nid!; 'e c!nsiste en la

%!%a"aci&n de 7aiaci!nes de densidad a ta7#s de 'n medi! s&lid!; l:'id! ! "ase!s!; %e! 'e n! se tansmite a ta7#s del 7ac:!.

$#$# Ondas electromagn8ticas S!n a'ellas 'e n! e'ieen 'n medi! mateial %aa s' %!%a"aci&n = %'eden tansmitise en el 7ac:!. S!n eem%l! las !ndas de adi!; las mic!!ndas; la l'4 7isi>le etc. JH'# es ealmente l! 'e se tansmite en 'na !ndaK En 'na !nda se %!%a"a ene":a; as: en las !ndas mecánicas se tansmite ene":a mecánica = en las !ndas elect!ma"n#ticas; ene":a elect!ma"n#tica %!d'cida %! !scilaci!nes de cam%!s el#ctic!s = ma"n#tic!s. De>em!s ecalca 'e 'na !nda a %esa de n! se 'n ente mateial; si es 'na entidad 9:sica eal; %'es tans%!ta ene":a e inteacci!na c!n la mateia. De ?ec?!; el m'nd! eal se desci>e >ásicamente en 9'nci&n de l!s c!nce%t!s; mateia = !ndas; = de la inteacci&n ente am>!s. Se"n la elaci&n 'e e@ista ente la diecci&n de %!%a"aci&n = la diecci&n de 7i>aci&n de cada %at:c'la; ! sea ente la diecci&n elati7a de la %et'>aci&n = el a7ance de esa %et'>aci&n; las !ndas %'eden se 8

a/ Ondas longitudinales#9S!n las !ndas en las 'e las %at:c'las 7i>an en la misma diecci&n de la %!%a"aci&n. Las !ndas s!n!as ! la !nda 'e se %!%a"a a ta7#s de 'n m'elle. / Ondas Transversales#9S!n a'ellas !ndas en las 'e las %at:c'las 7i>an %e%endic'lamente a la diecci&n de %!%a"aci&n. Las !ndas 'e se %!%a"an en 'na c'eda; la %!%iedad %et'>ada es la %!sici&n de las %at:c'las de la c'eda; 'e !scilan en la diecci&n %e%endic'la a la de des%la4amient! de la !nda. Las !ndas tans7esales más im%!tantes s!n las elect!ma"n#ticas; en las 'e la %!%iedad %et'>ada; es el cam%! el#ctic! = el ma"n#tic!. E@isten !ndas; c!m! las 'e se %!%a"an en la s'%e9icie del a"'a; las !las; 'e n! s!n estictamente tans7esales. Las m!l#c'las de a"'a de la s'%e9icie e9ectan; al %as! de la !nda; m!7imient!s casi cic'laes; es deci; ?acia ai>a = ?acia a>a!; tans7esales; %e! tam>i#n ?acia delante = ?acia atás; l!n"it'dinales. Se"n el nme! de dimensi!nes en 'e se %!%a"a la !nda; estas %'eden se  Unidimensionales.FSi se %!%a"a en 'na nica diecci&n; c!m! 

es el cas! de la tansmisi&n de 'na !nda en 'na c'eda. )idimensionales.FSi se %!%a"a en d!s diecci!nes; c!m! las



!ndas de a"'a de 'n estan'e. Tridimensionales .FSe %!%a"a en t!das las diecci!nes. Un eem%l! de estas !ndas es9#icas; 'e se tansmiten en 'n medi! is&t!%!; a'el c'=as %!%iedades s!n id#nticas en t!das las diecci!nes;

es

el

s!nid!;

la

l'4

=

las

adiaci!nes

elect!ma"n#ticas en "eneal.

9

2# Representación de una Onda Una !nda 'e se tansmite %! la s'%e9icie del a"'a ! %! 'na c'eda tensa se e%esenta mediante 7aiaci!nes de la %!sici&n de las %at:c'las del medi!. En est!s cas!s; la e%esentaci&n de la !nda es%!nde 9ielmente a la %ece%ci&n 7is'al del 9en&men! 'e se m'esta en la 9i"'a

Sin em>a"!;

en el

cas!

las

de

!ndas más c!m'nes en la nat'ale4a n! se %eci>e 7is'almente nin"n ti%! de !nd'laci&n. S&l! se a%ecia el 9en&men! !nd'lat!i! c'and! l! e%esentam!s "á9icamente l!s cam>i!s de la ma"nit'd %et'>ada en 9'nci&n del tiem%!. C'and! n!s e9eim!s a la tansmisi&n del s!nid! %! el aie; l! 'e en ealidad e%esentam!s es la 7aiaci&n de la %esi&n del aie; mediante c!m%esi!nes = enaecimient!s; =a sea en 9'nci&n de la distancia al 9!c! emis! ! del tiem%!. C'and! esa 7aiaci&n es %ei&dica; la e%esentaci&n "á9ica se asemea a la de las !ndas 'e se %!%a"an en 'na c'eda. Tatánd!se de al"n ti%! de adicaci&n elect!ma"n#tica; c!m! la l'4; c'and! decim!s 'e se %!%a"a en 9!ma de !ndas; l! 'e 'eem!s indica es 'e 'n cam%! el#ctic! = ma"n#tic! 7a:an de 9!ma !scilat!ia c!n el tiem%! = la distancia. Al e%esenta dic?as 7aiaci!nes; !>tenem!s esa e%esentaci&n 'e n!s es'lta tan 9amilia; %e! 'e n! tiene nada 'e 10

7e c!n nin"n m!7imient! de %at:c'las del medi! mateial; 'e; además; en el cas! de la adiaci&n elect!ma"n#tica n! tiene %! '# e@isti.

:# C+R+CTERÍSTIC+S *ENER+(ES DE (+S OND+S -!dem!s c!nsidea d!s cate"!:as de !ndas a !ndas 7iaeas 'e %'eden de9inise c!m! %!%a"aci&n de ene":a sin %!%a"aci&n de mateia; = > !ndas estaci!naias 'e están c!n9inadas mediante 9!nteas a 'na e"i&n es%ec:9ica del es%aci!. -! eem%l!; al ?ace s!na la c'eda de 'na "'itaa; se %!d'cen !ndas estaci!naias =a 'e la ene":a as!ciada a dic?a !nda %emanece ac!tada ente l!s e@tem!s 9i!s de la c'eda. Ot! análisis n!s %emite ?a>la de !ndas tans7esales = !ndas l!n"it'dinales. C'and! l!s des%la4amient!s de las %at:c'las del medi! s!n %e%endic'laes a la diecci&n en 'e la !nda 7iaa en el medi!; se tata de 'na !nda tans7esalB en cam>i! c'and! las %at:c'las del medi! se m'e7en en la misma l:nea en 'e 7iaa la !nda; se tata de 'na !nda l!n"it'dinal. Las !ndas s!n!as; !ndas en c'edas = !ndas en el a"'a s!n eem%l!s t:%ic!s de !ndas mecánicas. Las !ndas %'eden se 'nidimensi!nales >idimensi!nales = tidimensi!nales se"n se %!%a"'en en 'na s!la diecci&n; en 'n %lan! ! en las tes dimensi!nes del es%aci!. Unidimensi!nal !nda tans7esal en 'na c'edaB >idimensi!nal !las c!nc#nticas en la s'%e9icie de 'n estan'eB tidimensi!nal el s!nid! en el aie.

;# M+*NITUDES C+R+CTERÍSTIC+S DE( MO6IMIENTO ONDU(+TORIO ,ase#9 La 9ase de 'n %'nt! 7i>ante es 'n instante dad!; es s' estad! de m!7imient!; de9inid! %! la el!n"aci&n; diecci&n; sentid!

= 7el!cidad.

Se"n ell! diem!s a D!s %'nt!s tiene igual -ase< si se m'e7en en el mism! sentid!; = s's el!n"aci!nes s!n i"'ales en 7al! = si"n! > D!s %'nt!s tienen -ase opuesta si s's el!n"aci!nes s!n i"'ales en 7al!; %e! de si"n! !%'est!. 11

El l'"a "e!m#tic! de t!d!s l!s %'nt!s 'e en 'n instante deteminad! se enc'entan en i"'aldad de 9ase se den!mina s'%e9icie de !nda ! -rente de

onda# (ongitud de onda . / es la distancia 'e se%aa d!s %'nt!s c!nsec'ti7!s 'e tienen i"'al 9ase.

4eriodo .T/ es el tiem%! 'e tada la 7i>aci&n 'e se %!%a"a en ec!e  'n es%aci! i"'al a la l!n"it'd de !nda.

,recuencia . / es el nme! de !ndas 'e se %!%a"an en la 'nidad de 1

tiem%!; siend! T G

ν 

=# 4RO4+*+CIÓN DE (+S OND+S MEC5NIC+S -aa 'e 'na !nda mecánica se %!%a"'e; el medi! en el 'e se %!%a"a de>e c'm%li d!s c!ndici!nes de>e tene elasticidad e inecia.

(a elasticidad del medi! da l'"a a la a%aici&n de 9'e4as esta'ad!as c'and! 'na %!ci&n del mism! es a%atada de s' %!sici&n de e'ili>i!

(a inercia del medi! es la 'e en ltima instancia e@%lica el ti%! de m!7imient! de>id! a la %et'>aci&n. Am>as %!%iedades del medi! s!n las 'e deteminan 9inalmente la 7el!cidad a la 'e se %!%a"a 'na !nda.

># 6E(OCID+D DE 4RO4+*+CIÓN DE (+S OND+S MEC5NIC+S Una %!%iedad "eneal de las !ndas es 'e s' 7el!cidad de%ende de las %!%iedades del medi! = 'e es inde%endiente del m!7imient! de la 9'ente elati7! al medi!. -! eem%l!; la 7el!cidad de 'na !nda en 'na c'eda de%ende s!lamente de las %!%iedades de la c'eda; la 7el!cidad de 'na !nda s!n!a %!d'cida %! la >!cina de 'n ten de%ende s&l! de las %!%iedades del aie = n! del m!7imient! del ten. C'and! 'n %'ls!; ! sea 'na !nda s!litaia; %!d'cida %! 'na %et'>aci&n instantánea; tans7esal se %!%a"a a l! la"! de 'na c'eda tensa; s' 7el!cidad de %!%a"aci&n es

12

 propiedad  elástica

T 

 propiedad  inercial  v =

v =

T= tensión de la cuerda

= masa por unidad de longitud, densidad lineal

De%ende de la tensi&n de la c'eda = de la densidad lineal la 7el!cidad de %!%a"aci&n. En las !ndas l!n"it'dinales se %!d'cen c!ndensaci!nes = enaecimient!s de la mateia; l! 'e lle7a c!nsi"! 'nas "andes 7aiaci!nes de la densidad en el medi! d!nde se %!%a"an. Ondas l!n"it'dinales s!n las !ndas del s!nid!; las emitidas %! el tam>! c'and! "!l%eam!s la mem>ana.

Teniend! en c'enta las caacte:sticas de l!s estad!s de a"e"aci&n de la mateia; se c!m%ende 9ácilmente; 'e las !ndas tans7esales s&l! %'eden %!%a"ase en l!s medi!s s&lid!s; en cam>i! las !ndas l!n"it'dinales %'eden %!%a"ase en c'al'ie medi!. As: diem!s

Ondas longitudinales



 cual!uier medio

Ondas transversales



  medio sólido

En l!s medi!s s&lid!s la 7el!cidad de %!%a"aci&n de las !ndas l!n"it'dinales 7iene dada %! la e@%esi&n  E 

7G

D!nde E G m&d'l! de 3!'n" = ρ G densidad del medi!  F  S  ∆

Siend! E G



el m&d'l! de 3!'n" e%esenta la 9'e4a %! 'nidad de

secci&n necesaia %aa c!nse"'i 'n ala"amient! i"'al a la l!n"it'd inicial. Siend! las 'nidades Nm 2. 13

En el cas! de l!s 9l'id!s; las !ndas l!n"it'dinales %!d'cen 7aiaci!nes %ei&dicas de %esi&n 'e c!es%!nden a las s'cesi7as c!ndensaci!nes; -

= enaecimient!s; -P del medi! = 7iene dada la 7el!cidad de

%!%a"aci&n %! la e@%esi&n  K 

7G

D!nde Q Gm&d'l! de c!m%esi>ilidad = ρ G densidad del 9l'id! ∆ P 

QGF

∆V  / V 

 El c!e9iciente de c!m%esi>ilidad Q e%esenta la s!>e%esi&n

necesaia %aa c!nse"'i 'na 7aiaci&n elati7a de 7!l'men i"'al a la 'nidad. Cp

S's 'nidades s!n las de %esi&n. En cas! de "ases Q G γ -; siend! γ  G

Cv

el

c!e9iciente adia>átic!. La elaci&n ente l!s cal!es es%ec:9ic!s a %esi&n = 7!l'men c!nstante del "as; de%ende s' 7al! del nme! de át!m!s de la m!l#c'la "ase!sa. γ  G1;,, %aa m!l#c'las monoatómicas γ  G1;( %aa m!l#c'las diatómicas γ  G1;$$ %aa m!l#c'las triatómicas

La 7el!cidad de las !ndas l!n"it'dinales %aa "ases n!s 'eda  K 

 ρ 

7G

 P 

v G

 RT 

 RT 

 M 

 M 

-G

 "ases ideales

Diem!s 'e la 7el!cidad de %!%a"aci&n de 'n m!7imient! !nd'lat!i! l!n"it'dinal en 'n "as es diectamente %!%!ci!nal a la a:4 c'adada de la tem%eat'a a>s!l'ta e inde%endiente de la %esi&n. Siend! γ   G c!e9iciente adia>átic! R G c!nstante de l!s "ases T G tem%eat'a a>s!l'ta M G más m!lec'la 

?# ECU+CIÓN DE 4RO4+*+CIÓN DE UN+ OND+ MEC5NIC+

14

 Anali4aem!s a?!a el m!7imient! de 'n %'ls! 'e se tansmite %! 'na c'eda. Tataem!s

de enc!nta 'na e@%esi&n matemática 'e n!s

desci>a la %!%a"aci&n de dic?! %'ls!. C!m! se !>se7a en la 9i"'a; la c'eda %esenta 'na !nd'laci&n en 'na 4!na; mientas 'e el est! de la c'eda %emanece ecta. En c!nsec'encia; l!s 7al!es de 3 de%enden de l!s 7al!es de . -e!; además; la !nda a7an4a; %! l! 'e dic?!s 7al!es de 3 seán tam>i#n 9'nci&n del tiem%!. C!n ell! %!dem!s deci La e@%esi&n matemática 'e e%esenta la %!%a"aci&n de 'na !nda es 'na 9'nci&n de la c!!denada de la diecci&n de a7ance = del tiem%!. 3 G 9@; t Dic?a 9'nci&n se den!mina 9'nci&n de !nda.

-aa tata de detemina la 9!ma en 'e a%aecen elaci!nadas las 7aia>les @; t en la 9'nci&n de !nda; anali4aem!s el m!7imient! de 'na !nda 'e se m'e7a ?acia la deec?a; 7ist! desde d!s sistemas de e9eencia distint!s 'n! 9i!; O; = !t!; O; 'e a7an4a c!n el %'ls! = c!n s' misma 7el!cidad. -aa el !>se7ad! sit'ad! en el sistema O; l!s 7al!es de 3 s!n 9'nci&n de @; t. Sin em>a"!; %aa el !>se7ad! 'e se m'e7e c!n el %'ls!; l!s 7al!es de 3 s&l! s!n 9'nci&n de @; %'es en s' sistema la !nda %emanece estática. A?!a >ien en am>!s cas!s se está desci>iend! la misma !nda; %! l! 'e 9@;tG 9@ C!m! %'ede c!m%!>ase en la 9i"'a; las c!!denadas de am>!s sistemas de e9eencia se elaci!na del si"'iente m!d! 3 G 3 = @G @F7t  As:; la 9'nci&n del m!7imient! de 'na !nda 'e a7an4a ?acia la deec?a es 3 G9@F7t 15

-! 'n a4!namient! semeante; %'ede dem!stase 'e la 9'nci&n 'e desci>e 'na !nda 'e se des%la4a ?acia la i4'ieda tiene esta !ta 9!ma 3 G9@7t. Res'miend!; %!dem!s deci 'e La 9'nci&n 'e e%esenta 'n !nda c'al'iea 'e se des%la4a en la diecci&n del ee @ tiene la 9!ma "eneal 3 G 9@ 7t El si"n! es ne"ati7! c'and! la !nda se des%la4a ?acia la deec?a; ! sea en el si"n! %!siti7! del ee @. El si"n! es %!siti7! c'and! la !nda se des%la4a ?acia la i4'ieda; ! sea el si"n! ne"ati7! del ee @ En am>!s cas!s; 7 es la 7el!cidad de %!%a"aci&n de la !nda.

@# OND+S +RMÓNIC+S E@iste 'n ti%! m'= im%!tante de !ndas 'e se den!minan ondas

armónicas; de>id! a 'e la 9'nci&n de !nda 'e las desci>e es 'na 9'nci&n sin's!idal; sen! ! c!sen!; de @ diecci&n de %!%a"aci&n = t. La e@%esi&n de dic?as !ndas; c!m! detallaem!s a c!ntin'aci&n; %'ede se de d!s ti%!s

 A."< t/ & + sen B."vt/

A."< t/ &+ cos B."vt/

D!nde A es la am%lit'd 'e caactei4a a la !nda;  es 'n c!nstante 'e se den!mina nme! de !nda; = 7 es la 7el!cidad de %!%a"aci&n de la !nda. S' e%esentaci&n "á9ica es la 'e n!s m'esta la 9i"'a; = 'e n!s es'lta 9amilia; %'es se asemea a la "á9ica @Ft de 'n !scilad! am&nic!; si >ien en esta !casi&n se ?a e%esentad! la am%lit'd 9ente a la diecci&n de %!%a"aci&n @ %aa e7idencia 'e se tata de 'na !nda. En c'al'iea de 16

l!s cas!s e@iste la si"'iente elaci&n claa ente 'n !scilad! am&nic! = 'na !nda am&nica La perturbación que se propaga en forma de onda armónica es producida  por un oscilador armónico. Un eem%l! de !nda mecánica am&nica es la

'e se tansmiti:a a ta7#s de 'na c'eda 'nida a 'n !scilad! am&nic!. Raa 7e4 enc!ntam!s !ndas %e9ectamente am&nicas. A %esa de ell!; s' est'di! es de "an 'tilidad; %'es m'c?as de las !ndas !dinaias %'eden c!nsidease c!m! 'na c!m%!sici&n de di7esas !ndas am&nicas; c!m! %'ede 7ese en la 9i"'a. ec?! 'e 9'e %'est! de mani9iest! en 1.822 %!   .6!'ie.

Las

!ndas

am&nicas tienen 'na seie de %aámet!s c!nstantes 'e las caactei4an =

17

'e a%aecen im%l:citamente en la ec'aci&n ! 9'nci&n de !nda 'e las e%esenta.

?#0# 4+R5METROS DE UN+ OND+ +RMÓNIC+ Dad! el caácte %ei&dic! 'e %esenta 'na !nda am&nica; %!dem!s de9ini 'na seie de %aámet!s 'e %emanecen c!nstantes d'ante s' %!%a"aci&n.

(ongitud de onda . /#9Es la distancia ente d!s %'nt!s c!nsec'ti7!s 'e se enc'entan en id#ntic! estad! de %et'>aci&n; ! sea ente d!s %'nt!s c!nsec'ti7!s en id#ntica 9ase.

4eriodo .T/#9Es el tiem%! 'e tada 'n %'nt! c'al'iea en e%eti 'n deteminad! estad! de %et'>aci&n ' !scilaci&n.

,recuencia .-/#9Es el nme! de 7eces 'e 'n deteminad! %'nt! e%ite ciet! estad! de %et'>aci&n ' !scilaci&n %! 'nidad de tiem%!. La 1

9ec'encia es la in7esa del %e:!d! 9 G

T 

6elocidad de propagación .v/#9Teniend! en c'enta 'e

es el

des%la4amient! e9ect'ad! %! la !nda en 'nidad de tiem%!; si c!nsideam!s l!s %aámet!s 'e ?em!s de9inid! ?asta el m!ment!; !>se7am!s 'e la !nda ec!e 'na distancia λ en 'n tiem%! T; %! l! λ 

'e 7 G

T 

Nmero de onda .B/#9 Se de9ine c!m! el nme! de l!n"it'des de !nda 2π 

'e ?a= en 'na distancia 2 π; es deci  G

λ 

El nme! de !nda   en el cam%! de la es%ect!sc!%:a a%aece tam>i#n el %aámet! 'e ?em!s den!minad! nme! de !nda. En este

18

cas! es c!mn de9inil! c!m! el nme! de l!n"it'des de !nda 'e ?a= v

1

%! 'nidad de l!n"it'd; de m!d! 'e

?#$# Relaciones de inter8s entre los par7metros Una 7e4 'e ?an sid! de9inid!s l!s %aámet!s caacte:stic!s de 'na !nda am&nica; estam!s en c!ndici!nes de esta>lece deteminadas elaci!nes im%!tantes ente al"'n!s de ell!s. As: sa>em!s 'e  v & #- < 2

B&

<

O sea  G

& v#T < B & w v

2π vT

2π 

 < 1 &

T 

<

B&

w v

; el nme! de !nda es'lta se la elaci&n ente 9ec'encia

an"'la = la 7el!cidad de %!%a"aci&n.

?#2# ECU+CION DE UN+ OND+ +RMÓNIC+ C!nsideem!s 'na !nda am&nica 'e se %!%a"a ?acia la deec?a a l! la"! del ee ; tal = c!m! n!s m'esta la 9i"'a antei!. La ec'aci&n 'e e%esenta dic?a !nda 7iene dada %! la e@%esi&n; 'e %aa este cas! es  A."< t/ &+ sen B."9vt/ Rec!dem!s 'e tam>i#n %!dem!s esci>ila c!m! 9'nci&n c!sen!. Al est'dia las !scilaci!nes am&nicas; 7im!s 'e la elecci&n de 'na ' !ta 9'nci&n s'ele ?acese se"n el estad! inicial de la %et'>aci&n.

19

Teniend! en c'enta las elaci!nes antei!es ente %aámet!s; = dad!

'e  G

w

w

w

v

k 

k 

; %!dem!s esci>i v G

 %! l! 'e 3."< t/ & + sen B."9

t 

/

De este m!d!; se !>tiene c!m! ec'aci&n e%esentati7a de 'na !nda am&nica 'e se m'e7e ?acia la deec?a la si"'iente

 A."< t/& + sen.B"9Wt/; c'and! la !nda se des%la4a ?acia la deec?a; si l! ?iciea ?acia la i4'ieda  A."< t/ & + sen.B"%Wt/ Es m'= %!>a>le enc!nta la ec'aci&n de 'na !nda am&nica escita de di7esas maneas tales c!m!  A."
! >ien A."
+sen.Wt  B"/ π 

C!m! sen.a%/ & sen.%a/ =; %! !ta %ate< sen.a9/ & sen.9a /< %!dem!s deci 'e las ec'aci!nes A sen@F Wt

=

A senWtF@

e%esentan 'na !nda am&nica 'e se des%la4a ?acia la deec?a; mientas 'e las ec'aci!nes similaes c!n si"n! %!siti7! e%esentan 'na !nda 'e se des%la4a ?acia la i4'ieda. C!n la 9'nci&n c!sen! n!s !c'e al"! %aecid! 3@;t G A c!s@X W t 3@;t G A c!sW t X@ C!m! cos.a9/ &cos.9a/< las ec'aci!nes +cos.B"91t/ =

+cos.1t9

B"/ e%esentan; en am>!s cas!s; 'na !nda am&nica 'e se des%la4a ?acia la deec?a. En t!das las ec'aci!nes %'ede a%aece tam>i#n en el a"'ment! del sen! ! del c!sen! 'na %!si>le c!ecci&n de 9ase; <  'e se mide en adianes. 2π 

Rec!dand! 'e. W G

T 

2π 

= G

λ 

?#:# ENER*Í+ TR+NSMITID+ 4OR (+S OND+S +RMÓNIC+S Las !ndas; c!m! =a ?em!s dic?!; %!%a"an ene":a; est! se %eci>e de 'n m!d! c'alitati7! al !>se7a c&m! 'n !>et! 'e 9l!ta en el a"'a c!mien4a a !scila c'and! lle"a a #l la %et'>aci&n %!d'cida %! la %ieda a!ada.

20

Tam>i#n se a%ecia el tans%!te de ene":a %! las !ndas en el cas! de las !ndas s:smicas %!d'cidas en l!s teem!t!s; as: c!m! en las !ndas elect!ma"n#ticas %!cedentes del S!l. En este tema n!s 9iam!s en las !ndas mecánicas; 'e se %!%a"an %!  'n medi!. En este cas!; c!nsideaem!s 'e la !nda mecánica es; además; am&nica. C!m! 7am!s a 7e; el 9en&men! del tans%!te de ene":a en las !ndas am&nicas

es

c'alitati7amente

distint!

se"n

la

!nda

sea

'nidimensi!nal; >idimensi!nal ! tidimensi!nal.

EnergFa en una onda armónica unidimensional# Un !scilad! am&nic! 'nid! al e@tem! de 'na c'eda %'ede %!d'ci  'na !nda am&nica 'e se des%la4a %! dic?a c'eda; tal c!m! n!s m'esta la 9i"'a.

D'ante la %!%a"aci&n de la !nda; cada %'nt! de la c'eda e9ecta m!7imient!s am&nic!s sim%les 'e !scilan 7eticalmente; en la diecci&n %e%endic'la a la de %!%a"aci&n de la !nda. La ene":a 'e ?ace 'e cada %'nt! de la c'eda !scile c!n cieta am%lit'd %!7iene del !scilad! 'e %et'>a el estad! de la c'eda = se tansmite %! t!da la c'eda; %'es t!d!s l!s %'nt!s de ella aca>an !sciland!. La ene":a t!tal de 'n !scilad! am&nic! 7iene dada %! la e@%esi&n 1

E&

2

B+$<

d!nde B & m1$ 21

Se"n esta e@%esi&n; la ene":a c!es%!ndiente a 'n se"ment! de 1

c'eda de l!n"it'd ∆@ = masa ∆m seá desi"nam!s %!

E&

2

m1$+$

Si

a la masa %! 'nidad de l!n"it'd; densidad lineal; 1

%!dem!s deci 'e m & # " = %! tant! E &

2

"1$+$; e@%esi&n

'e c!es%!nde a la ene":a de 'n se"ment! de c'eda de l!n"it'd ∆@.

0'#4RINCI4IO DE GUA*ENS  Anali4aem!s cada 9en&men!; ?aciend! 's! de 'n m#t!d! %!%'est! %! CHristian Gugens# En 1,0; '="ens %'>lica s' Tratado sore la

luJ#  En #l e@%!ne 'n sencill! m!del! de %!%a"aci&n de !ndas 'e %emite e@%lica l!s 9en&men!s !nd'lat!i!s; se"n el c'al 'na !nda se %!%a"a en 9!ma de -rente de onda; entendiend! %! tal la s'%e9icie 'e 'ne t!d!s l!s %'nt!s del medi! alcan4ad!s %! el m!7imient! !nd'lat!i! en el mism! instante.

,rente de una onda es-8rica  c'=! 9!c! emis! está a m'c?a distancia de 'n !>se7ad! %'eden c!nsidease %lan!s c'and! lle"an a dic?! !>se7ad!. -aa e@%lica la %!%a"aci&n de l!s 9entes de !nda; %at:a de 'na s'%!sici&n >ásica 'n 9!c! emis! %'nt'al emite !ndas es9#icas en 'n medi! is&t!%!. A %ati de esta s'%!sici&n; '="ens %!%!ne l! si"'iente a T!d! %'nt! de 'n medi! ?asta el c'al lle"a 'na %et'>aci&n se c!m%!ta c!m! 'n 9!c! emis! de !ndas sec'ndaias 'e se %!%a"an en la diecci&n de %et'>aci&n. > La s'%e9icie en7!l7ente a t!das las !ndas sec'ndaias; tan"ente; en 'n instante dad! c!nstit'=e el si"'iente 9ente de !ndas. S'%!n"am!s 'n 9ente de !ndas S; tal c!m! n!s m'esta la 9i"'a; l!s %'nt!s A; 5 = C de este 9ente se c!m%!tan c!m! 9!c!s emis!es de 22

!ndas sec'ndaias 'e se %!%a"an en la diecci&n del a7ance de la !nda. Si la !nda se %!%a"a en 'n medi! is&t!%! c!n 7el!cidad 7; el adi! de las !ndas sec'ndaias; en 'n instante t c'al'iea; seá 7.t El n'e7! 9ente de !ndas S seá la s'%e9icie tan"ente a t!das las semicic'n9eencias ' !ndas sec'ndaias. A s' 7e4; l!s %'nt!s A; 5 = C se c!n7ieten en 9!c!s emis!es 'e daán l'"a al 9ente S; = as: s'cesi7amente.  A la l'4 de l! e@%licad!; 'n 9ente de !ndas es9#ic! %!d'ciá %!stei!es 9entes de !ndas tam>i#n es9#ic!s; mientas 'e 'n 9ente de !ndas %lan!; !i"inaá s'cesi7!s 9entes de !nda %lan!s.

00# E( SONIDO El s!nid!; es la sensaci&n s!n!a 'e e@%eimente el ne7i! acstic! %!  medi! de l!s di9eentes &"an!s del !:d!. El s!nid!; es el m!7imient! 7i>at!i! l!n"it'dinal 'e da l'"a a la sensaci&n s!n!a. Las !ndas s!n!as s!n !ndas mecánicas l!n"it'dinales !ndas mecánicas; %!'e necesitan de 'n medi! mateial %aa s' %!%a"aci&n; = l!n"it'dinales; %!'e las %at:c'las del medi! !scilan en la misma diecci&n en 'e se %!%a"a la !nda. Una dem!staci&n %al%a>le del caácte mecánic! de estas !ndas es 'n e@%eiment! 'e se eali4a c!n m'c?a 9ec'encia en m'c?!s m'se!s de ciencia = 'e c!nsiste en ?ace  el 7ac:! en 'na cam%ana de 7idi! en c'=! intei! ?a= 'n des%etad!  s!nand!. A medida 'e el aie se e@tae del intei! de la cam%ana; el 23

s!nid! 7a e@tin"'i#nd!se ?asta desa%aece %! c!m%let! a'n'e el des%etad! si"a 7i>and!. Las !ndas s!n!as se %!%a"an en medi!s s&lid!s; l:'id!s = "ase!s!s. En l!s tes cas!s; las %at:c'las mateiales del medi! !scilan en la misma diecci&n de %!%a"aci&n de la !nda. El %!ces! 'e en"l!>a la %!d'cci&n; tansmisi&n = ece%ci&n de las !ndas s!n!as %! el !:d! es l! 'e de n&mina s!nid!. T!d! este %!ces! e'iee a Una 9'ente %!d'ct!a de !ndas s!n!as. S!n 9'entes s!n!as; %!  eem%l!; l!s alta7!ces; el matill! ne'mátic!; l!s inst'ment!s m'sicales; el dia%as&n etc. > Un medi! tansmis! %! el 'e se %!%a"an las !ndas s!n!as. Este medi! de>e %esenta %!%iedades elásticas. En n'est! ent!n! es el aie. c Un ece%t! ! detect! de s!nid!s; 'e tans9!me la ene":a tansmitida %! las 7i>aci!nes mecánicas %!d'cidas %! las !ndas s!n!as en !tas 9!mas de ene":a. Se"n t!d! est!; %!dem!s c!ncl'i 'e el s!nid! es la %!%a"aci&n de la 7i>aci&n de 'n c'e%! elástic! a ta7#s de 'n medi! mateial.

0$#OND+S EST+CION+RI+S Un 9en&men! %ec'lia de s'%e%!sici&n de !ndas; de "an tascendencia en el m'nd! de la msica %! eem%l!; es el 'e da l'"a a las den!minadas !ndas estaci!naias. En las 9i"'as se !>se7a 'na c'eda 9ia en s's d!s e@tem!sB en 'n! de ell!s se 7i>a la c'eda c!n di7esas 9ec'encias de !scilaci&n. -aa 'nas 9ec'encias de !scilaci&n adec'adas; el es'ltad! 'e se a%ecia es de 'na !nda c!n9inada ente l!s e@tem!s; ! n! 7iaea; en la 'e e@isten 'n!s %'nt!s deteminad!s 'e !scilan c!n am%lit'd má@ima; llamad!s

vientres !  antinodos; = !t!s %'nt!s 9i!s 'e n! !scilan = 'e se den!minan nodos#

El nme! de nodos  vientres  de%ende de la

9ec'encia de !scilaci&n; c!m! 7am!s a 7e. Se %!d'cen !ndas estaci!naias de>id! a '# c'and! se %!d'ce 'na %et'>aci&n c!ntin'ada en 'n! de l!s e@tem!s; se "enea 'n ten de 24

!ndas 'e se e9lea en el !t! e@tem!; de m!d! 'e l! 'e s'cede en ltima instancia es 'n 9en&men! de s'%e%!sici&n ente !ndas id#nticas 'e se %!%a"an en el mism! medi! en sentid!s !%'est!s.  Al anali4a el 9en&men! a %ati de esta idea; c!m%!>aem!s 'e las c!ncl'si!nes 'e se !>tienen c!nc'edan c!n la !>se7aci&n de este ?ec?!. -aa ell! c!nsideaem!s d!s !ndas id#nticas 'e se m'e7en en sentid!s !%'est!s.

 A0 &+ sen.B"%1t/

A$ & + sen.B"91t/

 A & A0%A$ & + sen.B"%1t/%sen.B"91t/ C!nsideand!. a G @Yt = >G @FYt a

 A%licand! la elaci&n ti"!n!m#tica sen asenG 2c!s 

b

2

). sen(

a

b

2

)

!>tenem!s la ec'aci&n de !nda es'ltante  A&$+sen.B"/#cos.1t/

0$#0# Ecuación de onda estacionaria  A %ati de esta ec'aci&n; = dad! 'e en la !nda 'e se %!%a"a %! 'n medi! t!d!s l!s %'nt!s !scilan c!n la misma am%lit'd; %!dem!s c!ncl'i 'e 'na !nda estaci!naia a La am%lit'd es 9'nci&n de la %!sici&n

@; de m!d! 'e

deteminad!s %'nt!s !scilan c!n am%lit'd má@ima = !t!s n! !scilan > La 9ec'encia es i"'al a la de las !ndas am&nicas 'e se s'%e%!nen La am%lit'd de 'na !nda estaci!naia es 9'nci&n de @; de m!d! 'e ?a= %'nt!s 'e n! !scilan

25

em!s enc!ntad! 'na e@%licaci&n al ?ec?! 'e 7em!s en la 9i"'a s'%ei! aceca de la e@istencia de n!d!s = antin!d!s. Tataem!s a?!a de detemina la %!sici&n de dic?!s n!d!s = antin!d!s.

0$#$# (ocaliJación de nodos En l!s n!d!s; la am%lit'd de !scilaci&n es ce!; c!sa 'e !c'iá

 A & $#+#sen.B"/#cos1t c'and! sen B" & '< %! l! 'e l!s 7al!es 2π 

%!si>les de @ G; π;2π; $π;(π etc. 3 %'est! 'e  G

λ 

; %!dem!s

enc!nta la elaci&n ente las %!sici!nes @ = la l!n"it'd de la !nda λ 

estaci!naia; de m!d! 'e @ G;

2

, λ ,

3λ  2

,2λ 

etc. λ 

Es deci; l!s n!d!s se enc'entan '>icad!s en @ G n.

2

(ocaliJación de los vientres o antinodos L!s 7ientes ! antin!d!s s!n l!s %'nt!s d!nde la am%lit'd es má@ima; %! l! 'e satis9aán 'e sen B" &0 Ell! !c'e c'and! @

G

2

,

3 2

,

5 2

,

7 2

, etc

λ 

O sea las 7ientes se enc'entan '>icad!s en " & .$n%0/

4

26

 A?!a >ien; al c!mien4! ?em!s a9imad! 'e; al %!7!ca  !scilaci!nes c!n 9ec'encias deteminadas en 'na c'eda 'e ten"a

s's

d!s

e@tem!s

9i!s;

%!dem!s

c!nse"'i

el

esta>lecimient! de !ndas estaci!naias. Analicem!s c'áles de>en se esas 9ec'encias

,recuencias de ondas estacionarias en una cuerda -iKa por  amos e"tremos 

C!nsideem!s 'na c'eda de l!n"it'd ; 9ia %! am>!s e@tem!s; c!m! n!s m'esta la 9i"'a; l!s e@tem!s 9i!s c!nstit'=en n!d!s; λ 

%! l! 'e la c!ndici&n 'e de>e c'm%lise es 'e



2

G n  d!nde n

v

G1;2;$Z; = dad! 'e λ G

 f  

  d!nde 7 es la v

%!%a"aci&n de la !nda; n!s 'eda [ Gn

7el!cidad de v

2  f   

- &n

2

Es deci; dand! a n l!s 7al!es 1;2;$Z; !>tenem!s las %!si>les 9ec'encias 'e da:an l'"a al esta>lecimient!s de !ndas estaci!naias.

Dic?as

9ec'encias

eci>en

el

n!m>e

de

armónicos# Las e@%esi!nes 'e se !>se7an en la 9i"'a de ai>a n!s %emiten entende el mecanism! %! el 'e se La-inan\ las c'edas de l!s inst'ment!s m'sicales al tensalas ! destensalas. A %ati 

de la e@%esi&n 7 G

T 

v

 µ 

2

= 9 G n.

n

-

&

T 

2  µ 

(uego el sonido emitido por las cuerdas camia al variar su n

tensión -&

T 

2  µ 

27

E"plicación gr7-ica del aspecto de una onda estacionaria Tenem!s 'e e@%lica "á9icamente %! '# en 'na !nda estaci!naia se %!d'cen n!d!s = 7ientes; %atiend! de d!s !ndas similaes 'e 7iaan en sentid!s !%'est!s. -aa ell!; anali4aem!s la 9!t!"a9:a instantánea de la !nda estaci!naia en di9eentes tiem%!s. C!nsideem!s 'e en t G las !ndas 'e se s'%e%!nen tienen el as%ect! 'e se a%ecia en la 9i"'a ad'nta.

La !nda es'ltante de la s'%e%!sici&n es la 'e a%aece di>'ada en ne"! = c'=a am%lit'd es de 2 A

28

T 

4

En 'n instante t G ; las !ndas se ?an des%la4ad! elati7amente media l!n"it'd de !nda; %! l! 'e en ese instante se enc'entan en !%!sici&n de 9ase = la inte9eencia es dest'cti7a. T 

Sin em>a"!; !t! c'at! de %ei!d! des%'#s; es deci c'and! t G

2

; las !ndas

7'el7en a esta en c!ns!nancia de 9ase; %e! in7etidas c!n es%ect! a la sit'aci&n inicial. Se %!d'ce ent!nces la !nda es'ltante de am%lit'd 2 A; %e! in7etida c!n es%ect! al tiem%! inicial. 3T 

 Al ca>! de !t! c'at! de %ei!d!; c'and! t G

4

; las !ndas 7'el7en a esta en

!%!sici&n de 9ase = a %!d'ci 'na inte9eencia dest'cti7a. El cicl! se e%ite de n'e7! a %ati de a':. Sin em>a"!; al c!m%aa t!das las 9i"'as de las !ndas es'ltantes en cada inte7al! de tiem%!; !>se7am!s 'e ?a= %'nt!s 9i!s 'e n'nca !scilan; nodos; = !t!s 'e !scilan c!n am%lit'd má@ima de ai>a a>a!; vientres# -! tant!; ca>e ima"ina 'e 'na !nda estaci!naia es el es'ltad! de 'na sec'encia de inte9eencias c!nst'cti7as = dest'cti7as. Sin em>a"!; ?a= 'n im%!tant:sim! detalle 'e n! %!dem!s !>7ia

(a e"istencia de nodos o puntos !ue no oscilan implica !ue una onda estacionaria< a di-erencia de las viaKeras< no transporta energFa de un punto a otro# En 'na !nda estaci!naia; la ene":a n! se tansmite de 'n %'nt! a !t!; sin! 'e se c!n9ina. A l!s 7ientes le c!es%!nden má@im!s de ene":a mientas 'e l!s n!d!s tienen ene":a n'la. Sin em>a"!; la ene":a t!tal es la s'ma de las ene":as de las !ndas 'e dan l'"a a la !nda estaci!naia.

29

CONC(USIONES F

En c!nsec'encia; 'na !nda %'ede c!nsidease c!m! 'na %et'>aci&n 'e %!d'ce 'n m!7imient! !nd'lat!i! en el am>iente %et'>aci&nF el estad! del medi! ! la !nda en s: mismaF n! de>e c!n9'ndise c!n el m!7imient! de las %at:c'las. En el cas! %atic'la de las !ndas mecánicas; estas e'ieen %aa s' e@istencia de 'na 9'ente de %et'>aci&n; 'n medi! 'e %'eda se %et'>ad! = al"'na c!ne@i&n 9:sica ! mecanism! mediante el c'al las %!ci!nes ad=acentes del medi! ] las 'e están en c!ntact!F ee4an in9l'encia ente s:.

F

En el cas! de las !ndas elect!ma"n#ticas; d'ante m'c?!s aa>aB se ?a>la>a del #te c!m! medi! de tans9eencia de estas !ndas. != en d:a se sa>e 'e las !ndas llamadas elect!ma"n#ticas n! necesitan de nin"n medi!; es deci; se %'eden %!%a"a a ta7#s del es%aci! 7ac:!.

F

El est'di! de las !ndas se ?ace s!>e 'na e%esentaci&n "á9ica de la misma 'e es la 9!ma de la 9'nci&n sen!idal ! sen!. Si >ien n! t!das las !ndas si"'en esta 9'nci&n; el te!ema de 6!'ie dem!st& 'e c'al'ie  !nda %'ede se desc!m%'esta c!m! 'na s'ma nica de !ndas c!m%!nentes sen!idales. Este te!ema además de 9acilita el est'di! %!9'nd! de la mecánica !nd'lat!ia; %emite tam>i#n e%esenta  "á9icamente c!n 9acilidad l! 'e es 'na !nda; dad! 'e la 9'nci&n sen! ! sen!idal es la 'e se 9!ma en 'na c'eda c'and! m!7em!s s's e@tem!s ?acia ai>a = a>a! e%etidamente.

F

El s!nid! es ca'sad! %! 'na seie de 7i>aci!nes = se disti>'=e a ta7#s de !ndas. En la act'alidad e@iste 'n %!>lema a ni7el m'ndial este en la c!ntaminaci&n s&nica 'e se %esenta c'and! e@isten 'id!s m!lest!s 'e %'eden lle"a a dalemas a ni7el cee>al. El s!nid! es 'tili4ad! en la 7ida diaia a 7eces sin dan!s c'enta c!m! l! es el cas! de l!s ele9antes 'e en s' len"'ae 'tili4an el ti%! de s!nid! in9as&nic! es deci es im%ece%ti>le %aa el !:d! ?'man!. 30