UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Campus Pato
DISCIPLINA: SISTEMAS DE CONTROLE 2
Branco
PROFESSOR: RAFAEL CARDOSO
Helder Sherer Marcos Pistori Filho Rafael Lira Bolzan Victor Hugo
Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de Imã Permanente
Pato Branco 2012
Helder Sherer Marcos Pistori Filho Rafael Lira Bolzan Victor Hugo
Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de Imã Permanente APS da disciplina de Sistema de Controle 2 apresentada no curso de Engenharia Elétrica, na Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR, Campus Pato Branco. Orientador: Rafael Cardoso.
Pato Branco 2012
Sumário Introdução .........................................................................................................................4 Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de imã Permanente ......................5 Simulação do Motor CC .................................................................................................5 Modelagem da Planta ....................................................................................................8 Projeto do Controlador ................................................................................................12 Análise do Sistema com Distúrbio de Carga ...............................................................17 Projeto Circuito Eletrônico do Controlador ................................................................23 Análise do Diagrama de Bode .....................................................................................24 Conclusão ........................................................................................................................27 Referências ......................................................................................................................28
Introdução. O projeto em estudo é um servo de velocidade para um motor CC de imã permanente. O motor utilizado é um Maxon F2260 com enrolamento 815, a velocidade será medida a partir de um taco-gerador da Faulhaber modelo 2225. Será desenvolvido um sistema de controle a partir de simulações feitas do motor em estudo, após o desenvolvimento do controlador o sistema deverá satisfazer as especificações do projeto. Comparações entre o sistema desenvolvido a partir de simulações de desempenho do motor e feitas a partir da função de transferência serão detalhadas. O controlador será projetado com o motor a vazio, posteriormente um distúrbio de carga será aplicado no sistema. As simulações serão feitas utilizando o software Matlab (Simulink), o software Multisim também será utilizado para gerar o diagrama de Bode do circuito do compensador. A validação do motor será feita pelo Simulink. Todos os detalhes e gráficos de desempenho do sistema serão avaliados e comparados com os resultados a partir da função de transferência do sistema, conclusões e observações do projeto também serão detalhadas.
Projeto de um Sevo de Velocidade Para Motor CC de Imã Permanente. Simulação do Motor CC. Primeiramente foi simulado o motor em estudo (motor Maxon F2260 enrolamento 815), foi usado o software Simulink para tal. Para do desenvolvimento dessa simulação foram obtidos dados e especificações do motor através do datasheet referente ao mesmo. O esquemático e os parâmetros utilizados podem ser observados nas figuras a seguir.
Figura 1: Esquemático do Motor CC.
Figura 2: Parâmetros do Motor CC.
Os parâmetros exigidos para a simulação são: resistência e indutância de armadura, constante de torque, inércia do motor e coeficiente de atrito viscoso. Todos os dados foram retirados do datasheet do motor CC. Para a simulação foi utilizado uma fonte CC de 36 volts (tensão nominal do motor), primeiramente a simulação foi feita com o motor a vazio, ou seja, sem carga. Após a simulação foram obtidos os gráficos referentes à: velocidade, corrente de armadura e torque elétrico. Os resultados e analises feitas a partir dos gráficos obtidos são mostradas no decorrer das visualizações.
velocidade 500 X: 0.4 Y: 479.6
450 400
velocidade(rad/s)
350 300 250 200 150 100 50 0
0
0.05
0.1
0.15
0.2 tempo(s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 3: Velocidade a Vazio.
Ao analisar a Figura 3 percebesse que a velocidade do motor simulado é de 479,6 rad/s, em regime permanente, o que resulta em aproximadamente 4580,2 rpm, esse resultado esta de coerente pois o datasheet informa que a velocidade a vazio do motor é de 4580 rmp [3]. Cabe resaltar que o gráfico mostra gradativamente o aumento da velocidade do motor e que entorno de 0.2 segundos o motor já se encontra em regime permanente.
Corrente de Armadura 14
12
Corrente(A)
10
8
6
4
2
0 0
X: 0.4 Y: 0.3443
0.05
0.1
0.15
0.2 tempo(s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 4: Corrente de Armadura.
O gráfico da corrente de armadura mostra que inicialmente a corrente é de aproximadamente 12.5 A e vai caído gradativamente, isso ocorre, pois inicialmente não há tensão induzida ou força contraeletromotriz, e ao decorrer do tempo essa tensão vai aumentando e a queda de tensão encima da armadura diminui, consequentemente a corrente diminui da mesma forma. No datasheet do motor mostra que a resistência de armadura é de 2.87 ohms, e a tensão nominal do motor é de 36 volts [3], assim pela lei de Ohm, temos:
Ou seja, tensão é igual a corrente vezes resistência, assim simplificando a equação:
Observasse que a corrente calculada confere com a simulada, também pode ser afirmado que em regime permanente a corrente de armadura é de 0.3443 A e que a força contraeletromotriz é de aproximadamente 35.0147 volts.
Torque Eletrico 1 0.9 0.8
Torque eletrico(N.m)
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.05
0.1
0.15
0.2 tempo(s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 5: Torque elétrico.
O comportamento do torque elétrico é similar ao da corrente de armadura, para melhor entendimento analisasse a equação do torque elétrico:
Percebesse que o toque é a corrente de armadura vezes a constante de torque, isso explica o comportamento similar de ambos. Percebesse também que em regime permanente o torque se estabiliza em um valor próximo de zero. Como o motor esta a vazio esse torque em regime permanente é devido ao atrito do sistema.
Modelagem da Planta. Para a determinação da função de transferência do motor CC (planta do sistema) utilizasse uma serie de equações retiradas do circuito equivalente de tal. O circuito equivalente da planta do sistema pode ser visualizado na figura 6.
Figura 6: Circuito Equivalente do Motor CC.
Assim podem ser encontradas as equações que representam o comportamento do motor. A equação (1) é obtida pela lei das tensões de Kirchhoff. (1) Onde:
: Tensão na armadura; : Resistência de armadura; : Corrente da armadura; : Indutância de armadura; : Tensão induzida ou Força contraeletromotriz; Com base na lei de Faraday determinasse a equação (2) da tensão induzida. (2) Onde:
: Constante da tensão induzida. : Velocidade Angular.
Se um condutor (armadura do motor CC) através do qual circula uma corrente corta as linhas de campo magnético [1], será produzido um torque, o qual é representado pela equação (3). (3) Onde:
: Torque gerado pelo motor; : Constante de torque; Como a soma dos torques do sistema é igual ao torque gerado pelo motor [1], é possível escrever a equação (4). (4) Mas como o a inércia do sistema é dada por: (5) Assim simplificando a equação (4), temos: (6) Onde:
: Torque produzido pela carga; : Momento de inércia total do rotor e da carga em relação ao eixo do motor; : Coeficiente viscoso; A partir da equações (1), (2), (3), e (6) é possível determinar a planta do sistema, mas primeiramente devemos passar tais equações para o domínio da frequência (s), aplicando o transformada de Laplace. (7) (8) (9) (10)
A partir das equações é possível montar a planta do sistema, foi utilizado um diagrama de blocos no para a representação.
Figura 7: Planta do Sistema.
Com o auxilio do MATLAB é possível determinar a função de transferência do sistema:
Simulando G(s), temos:
Velocidade a Partir da F.T 500 System: untitled1 Time (sec): 0.198 Amplitude: 478
450 400
velocidade(rad/s)
350 300 250 200 150 100 50 0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
tempo(s) (sec)
Figura 8: Velocidade a Partir da Função de Transferência G(s).
0.2
Percebesse que ambos os gráficos, da velocidade a partir do esquemático do motor e velocidade a partir da função de transferência, estão de acordo. Concluísse que as simulações estão coerentes com os dados específicos do motor, e o sistema montado disponibilizará resultados satisfatórios com a prática.
Projeto do Controlador. Primeiramente é simulado o sistema a malha fechada, figura 9, e analisasse as especificações do projeto.
Resposta do Sistema a Malha Fechada 450 400 System: untitled1 Rise Time (sec): 0.00443
350
System: untitled1 Time (sec): 0.0119 Amplitude: 445
velocidade(rad/s
300 250 200 150 100 50 0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
tempo(s) (sec)
Figura 9: Resposta do Sistema a Malha Fechada.
Especificações do projeto:
Erro em regime permanente nulo para uma entrada degrau; Sobressinal nulo; Tempo de subida menor ou igual a 0.2 segundos;
Percebe que a resposta do sistema não tem sobre sinal e o tempo de subida é adequado com as especificações do projeto, porem o erro em regime permanente não esta de acordo para uma entrada degrau de 479 rad/s (4580 rpm). Lembrando que a resposta do sistema na figura 9 é a vazio (motor sem carga). O controlador adequado para o projeto é um controlador proporcional integrativo (PI), pois o PI melhora a resposta em regime permanente e faz com que o erro seja nulo [2].
Primeiramente analisasse o lugar das raízes do sistema não compensado.
L.R do Sistema não Compensado 1000
800
600
Eixo Imaginario
400
200
System: Gs Gain: 0 Pole: -3.09e+003 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 3.09e+003
System: Gs Gain: 1.98 Pole: -1.56e+003 + 346i Damping: 0.976 Overshoot (%): 0.0001 Frequency (rad/sec): 1.6e+003
0 System: Gs Gain: 0.0173 Pole: -37.3 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 37.3
-200
-400
-600
-800
-1000 -3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
Eixo Real
Figura 10: Lugar das Raízes do Sistema não Compensado.
Os polos do sistema se encontram em -30,2 e -3090,0, para anular o erro devesse colocar um polo encima da origem e para não modificarmos o L.R atual, para que não ocorra sobressinal ou que aumente o tempo de subida, colocasse um zero entre a origem e -30,2. Percebesse também, na figura 10, que o valor máximo de ganho para que não ocorra sobressinal deve ser 1,98. Com essas informações já é possível determinar as constantes e o zero do controlador. Para não alterar o L.R não compensado foi escolhido um zero próximo do polo da planta.
(valor do zero escolhido).
E como o ganho máximo para que não ocorra sobressinal é de 1,98, a constante deve ser menor que esse valor máximo. Então o valor escolhido é de:
Consequentemente:
Com o novo zero e o polo do compensador o L.R compensado será:
L.R do Sistema Compensado
0.6
Eixo Imaginario
0.4 System: untitled1 Gain: Inf Pole: -29 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 29
0.2
System: untitled1 Gain: 6.97e-006 Pole: -0.0053 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0.0053
0 System: untitled1 Gain: 0.000715 Pole: -30.2 -0.2 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 30.2 -0.4
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Eixo Real
Figura 11: L.R do Sistema Compensado.
Lembrando que na figura 11 não mostra o outro polo da planta, localizado em 3090,0. Assim o compensador é dado por:
A equação do sistema compensado a malha aberta é:
Fechando a malha do sistema:
A resposta do sistema compensado pode ser visualizada na figura 12.
Resposta do Sistema a Malha Fechada 500
System: untitled1 Peak amplitude >= 479 Overshoot (%): 0 At time (sec) > 0.012
450 System: untitled1 400 Time (sec): 0.00211 Rise System: untitled2 Rise Time (sec): 0.00443
System: untitled2 Peak amplitude >= 445 Overshoot (%): 2.22e-014 At time (sec) > 0.012
velocidade(rad/s
350
300
250
200
150
100
50
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
tempo(s) (sec)
Figura 12: Sistema Compensado e Sistema não Compensado.
Após a compensação do sistema percebesse que o erro zerou o tempo de subida diminuiu (o sistema se tornou mais rápido), e não houve sobressinal.
Abaixo o esquemático sistema compensado:
Figura 13: Esquemático do Sistema Compensado.
A Resposta do Sistema: Resposta Compensada a Partir do Esquematico do Motor 500 X: 0.0119 Y: 479.4
450 400
velocidade(rad/s)
350 300 250 200 150 100 50 0
0
0.002
0.004
0.006 tempo(s)
0.008
0.01
0.012
Figura 14: Resposta do Sistema Compensado a Partir do Simulink.
Ambas as simulações estão coerentes, tanto a obtida a partir da F.T como a obita através do Simulink. Notasse também estão com erro nulo, ou seja, se estabilizam em 479 rad/s, o que equivale a 4580 rpm.
Abaixo o gráfico da ação de controle do sistema: Ação de Controle 900 800 700
ganho
600 500 400 300 200 100 0
0
0.002
0.004
0.006 tempo(s)
0.008
0.01
0.012
Figura 15: Ação de Controle.
A figura 15 mostra que para o sistema manter o equilíbrio o controlador PI deve fornecer inicialmente um ganho de 900. Percebesse que ao decorrer do tempo a sistema tente a entrar em regime permanente e consequentemente o ganho necessário para o sistema se estabilizar é menor que o inicial. Em outras palavras, o controlador libera mais ganho inicialmente pois o motor esta parado, e a partir do momento que o motor se encontra em regime estacionário o controlador liberará somente um ganho necessário para o mesmo manter a velocidade.
Análise do Sistema com Distúrbio de Carga. Outra etapa do projeto é a analise do motor com distúrbio carga, primeiramente usasse um distúrbio de torque Gaussiano, com média de 200mNm e variância de 1mNm. A resposta é obtida a partir da F.T do sistema.
Teoricamente o a resposta do sistema deve se manter de acordo com as especificações do projeto, independentemente se o motor esta a vazio ou com carga.
Com o distúrbio de carga Gaussiano (figura 16) é analisado a resposta o sistema o qual é observado na figura 17. Disturbio Gaussiano de Carga 0.3 0.28 0.26
amplitude
0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12
0
1
2
3
4
5 tempo(s)
6
7
8
9
10
Figura 16: Distúrbio Gaussiano de 200 mNm e Variância de 1 mNm. Sistema com Disturbio de Carga 500 X: 1.973 Y: 479
400
sistema compensado sistema não compensado
velocidade (rad/s)
300
200
100
0
-100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 tempo(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 17: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 1mNm.
Após o distúrbio de carga no sistema o sistema compensado mostrou-se satisfatório, o erro em regime estacionário foi nulo, ou seja, o sistema se estabilizou em 479 rad/s (aproximadamente 4580 rpm) e o tempo de subida foi muito inferior a 0,2 segundos e também não teve nenhum sobressinal, o qual era especificado no projeto. Comparando as duas respostas do sistema percebesse claramente que o sistema compensado teve melhor comportamento em regime estacionário e a oscilações devido ao distúrbio da carga praticamente sumiram. Agora alterasse o distúrbio de carga para 200 mNm e variância de 30 mNm.
Disturbio Gaussiano de Carga 0.6 0.5 0.4
amplitude
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2
0
1
2
3
4
5 tempo(s)
6
7
8
9
10
Figura 18: Distúrbio Gaussiano de 200 mNm e Variância de 30 mNm.
Notasse que o agora o distúrbio de carga mudou, para uma variância de 30 mNm, ou seja, a carga no motor é aumentada. Analisaremos se mesmo com o aumento da carga no motor o sistema se comportara da mesma forma.
As duas respostas (compensada e não compensada) podem ser obsevadas na figura 19.
Sistema com Disturbio de Carga 500 X: 1.982 Y: 479
400
velocidade (rad/s)
300 sistema compensado sistema não compensado 200
100
0
-100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 tempo(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 17: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 30mNm.
Com o aumento da variância do distúrbio da carga, as oscilações foram mais bruscas, o qual é bem notável no sistema não compensado. O sistema compensado se mostrou mais uma vez satisfatório, e todas as especificações do projeto foram atendidas, há alguma pequena oscilação ainda em regime permanente, devido à carga, porem isso é insignificante para o desempenho do sistema. Em sequencia simulasse a resposta compensada com o distúrbio de carga a partir do esquemático do motor (figura 18), utilizasse o simulink para tal.
Figura 18: Esquemático do Sistema Compensado.
Primeiramente simulasse com distúrbio Gaussiano de 200mNm e variância 1mNm (figura 19), em seguida mudasse a variância para 30mNm (figura 20). Sistema com Disturbio de Carga a Partir do Esquematico do Motor 500 X: 1.771 Y: 479
450 400
velocidade (rad/s)
350 300 Sistema Compensado sistema Não Compensado
250 200 150 100 50 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 tempo(s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 19: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 1mNm. Sistema com Disturbio de Carga a Partir do Esquematico do Motor 500 X: 1.984 Y: 479
450 400
velocidade (rad/s)
350 300 250
Sistema Compensado sistema Não Compensado
200 150 100 50 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 1.2 tempo(s)
1.4
1.6
1.8
2
Figura 20: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 30mNm.
Após simulações, notasse que as respostas do sistema compensado a partir da F.T e A partir do esquemático do motor são exatamente iguais. Isso prova que as F.T do motor e do compensador estão fiéis ao modelo pratico.
Projeto Circuito Eletrônico do Controlador. Para o projeto eletrônico do controlador, devesse partir da função de transferência do controlador em estudo.
Simplificando a equação:
Comparando a equação da F.T do controlador com a equação genérica do controlador PI, temos:
Comparando as duas equações, e analisando os valores comerciais de resistores e capacitores:
= 3,3
Ω
= 6,2
Ω
= 5,6
Assim o circuito pode ser projetado e dimensionado com precisão. Lembrando que a equação genérica do controlador PI foi obtida através do circuito equivalente do controlador, o qual pode ser visualizado na figura 18.
Figura 21: Circuito Eletrônico do Controlador PI.
Obsevasse também no circuito do controlador usa um amplificador operacional (AmpOp), para esse projeto utilizamos o CI TL084, o qual possui 4 AmpOp e tem alimentação simétrica de 15 volts [5]. Para a analise do diagrama de Bode do controlador usasse o software Multsim para simular o circuito de tal e a geração do diagrama de Bode, em seguida, analisaremos o diagrama de Bode a partir da F.T do compensador. As comparações e analises dos dois diagramas estão ao decorrer das simulações.
Análise do Diagrama de Bode. Primeiramente foi simulado o diagrama de bode a partir do circuito da figura 18 (circuito do comparador PI), para a simulação foi utilizado o software Multisim. Abaixo foi simulado o a curva de ganho do diagrama de Bode.
Figura 22: Ganho do Diagrama de Bode a partir do Circuito do Compensador.
Percebesse que a curva do diagrama de bode de ganho se estabiliza em aproximadamente 5,48 dB. Abaixo foi simulado o a curva de fase do diagrama de Bode.
Figura 23: Fase do Diagrama de Bode a partir do Circuito do Compensador.
A partir da F.T do compensador, simulasse o diagrama de Bode de ganho e fase, para a simulação foi utilizado o software Matlab.
Bode Diagram 35
Magnitude (dB)
30 25 20 15 System: Cs Frequency (rad/sec): 300 Magnitude (dB): 5.48
10
Phase (deg)
5 0
-45
-90 0
10
1
2
10
10 Frequency (rad/sec)
Figura 24: Diagrama de Bode de Ganho e Fase a partir da F.T do Compensador.
3
10
Ao analisarmos ambos os gráficos (obtidos a partir do circuito eletrônico e a partir da F.T) percebesse que ambos estão muito semelhantes, isso mostra que o dimensionamento dos resistores e do capacitor para a foram feitos de acordo, e o comportamento do circuito eletrônico do compensador vai responder com exatidão, notasse também que o diagrama de Bode de ganho de ambos os gráficos se estabiliza em aproximadamente 5,48 dB, isso mostra mais uma vez que os resultados estão coerentes.
Conclusão. Ao termino deste projeto concluísse que os experimentos e resultados foram satisfatórios e o sistema comportou-se como esperado. Primeiramente foi realizado simulações de desempenho do motor, as quais tiverem resultados compatíveis com o datasheet do mesmo. O desenvolvimento do compensador foi feito com exatidão, após a analise da resposta em M.F do sistema, concluísse que o compensador adequado para o sistema seria um Proporcional Integrativo (PI). Foi usada a técnica do lugar das raízes para a obtenção da função de transferência do compensador. O projeto de controle foi realizado com o motor a vazio, posteriormente foi colocado um distúrbio de carga no sistema compensado, o qual o sistema se mostrou como o esperado e os resultados satisfizeram as especificações do projeto. Para todo o processo foi realizado ensaios a partir da F.T do sistema e a partir do esquemático do sistema no Simulink. Ambos os ensaios tiveram os mesmo resultados, isso comprova que os cálculos teóricos mantiveram a fidelidade com sistema mecânico. Cabe resaltar que o desempenho real do sistema também teve grande desempenho, ao simularmos o diagrama de Bode do compensador os resultados a partir do circuito projetado (Multisim) e através da F.T do compensador tiveram o mesmo comportamento, isso comprova que o circuito eletrônico do compensador trabalhará com fidelidade ao modelo teórico.
Referências.
a
[1]-Nise, Norman S., Engenharia de Sistemas de Controle, 3 Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2002. a
[2]-Ogata, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 3 Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 1998. [3]-Datasheet Motor Maxon F2260 enrolamento 815. [4]-Datasheet Taco-Gerador Faulhaber 2225. [5]-Datasheet Tl084 Texas Instruments.
