Progresion Aritmetica y Geometrica

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Una progresión es aritmética  si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una diferencia constante (razón) Esta diferencia constante se llama diferencia aritmética de la progresión (razón aritmética) y se designa con la letra “r” Si a1; a2 y a3  son términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia r,  entonces se cumple que:

r = a3 – a2 = a2 – a1 TERMINO ENÉSIMO

an = a1 + (n-1)·r donde: a1 : Primer termino r : Razón n : número de términos de la P.A. an : Termino enésimo de la P.A.

ejemplo 01 calcular el término que ocupa el lugar 15 en la P.A. 7; 11; 15; …

Solución r = 11- 7 = 4 a1 = 7 n = 17 an = a15 aplicando la formula

an = a1 + (n-1)·r

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA P.A. 1)

 = +  · 

2)

−·] ·]·  = [+− 

Ejemplo 01 Hallar la suma de los veinte primeros términos de la P.A.: 6; 9; 12; 15; …

Resolución Aplicando la formula a1 = 6 n = 20 r = 12 – 12 – 9  9 = 3 an = a20 = ¿? an = a1 + (n-1)·r a20 = 6 + ( 20 – 20 – 1)  1) · 3 a20 = 63

 = (  ) ·   = (663 2   )· 20 S20 = 690

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Una progresión es geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una razón constante denominada factor o razón geométrica de la

progresión (r) a15 = 7 + (15 – (15 – 1)·4  1)·4 a15 = 7 + 14 · 4 a15 = 63

ejemplo 02 se sabe que en una P.A. el termino que ocupa el lugar 12 es 24 y que la razón es 2. Hallar el primer término de la progresión aritmética

resolución a12 = 24 r=2 a1 = ¿? n = 12

an = a1 + (n-1)·r a12 = a1 + ( 12 -1)·2 24 = a1 + 11 · 2 a1 = 2

Si a1; a2 y a3  son términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia r , entonces se cumple que:

 =  =  

TERMINO ENÉSIMO DE UNA P.G.

 =  ·  − Donde: a1 : Primer termino r : Razón n : número de términos de la P.G. an : Termino enésimo de la P.G.

Ejemplo 01  Calcular el termino 24 de la progresión geométrica: 4; 12; 26; …

Resolución

  =  ·  −  = · −  = ·   = · 

Ejemplo 02 En una progresión geométrica, el termino que ocupa el quinto lugar es 48 y la razón es 2. Hallar el primer término de la progresión.

Resolución a5 = 48 r=2 n=5 a1 =?

 =  ·  − 5 =  · 25− 48 =  · 2  =  48 16 a1 = 3 PRODUCTO DE LOS “n”

TÉRMINOS DE UNA P.G.

El producto de los “n” términos de una progresión geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado al número de términos. Sea la P.G. a1; a2; a3; …; an

 = √  ·  Ejemplo 01 calcular el producto de los 6 primeros términos de la P.G.: 2; 6; 18; …

Resolución

 = 62 = 3 a1 = 2 an = a6 =?? n=6

 =  ·  −  = 2 ·3 − = 2 ·3 5 = 486 Aplicando

 = √  ·    = √ 2·486 = 972 el producto de los 6 primeros términos de la P.G. es : 9723