Distribución Geometrica

Distribuciones de probabilidad discretas.

Distribución Geométrica.

Distribución Geométrica. La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.

Distribución Geométrica. Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el numero de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1.

- P (x=x) : función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica. - X : Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito. - p : probabilidad de éxito

Distribución Geométrica. Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de bernouilli en el que tengamos las siguientes características:

- El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito). - Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A. - La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1).

Distribución Geométrica. - Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído). - (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.

Distribución Geométrica. La media y varianza de esta variable aleatoria son respectivamente:

Distribución Geométrica. Ejemplo 1:

Del salón el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.

Distribución Geométrica. Ejemplo 1: Solución. Definir éxito: sea hombre. x=4 p = 0.60 q = 0.40

Distribución Geométrica. Ejemplo 2:

Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado.

Distribución Geométrica. Ejemplo 2: Solución. Definir éxito: sale No. 5 x=3 p = 1/6 = 0. 1666 q = (1 - 0.16660) = 0.8333 P(X=3) = (0.8333) ^ (3-1)*(0.1666) =0.1156

Distribución Geométrica. Ejemplo 3:

Calcular la probabilidad de que salga águila la 6ta ocasión que lanzamos una moneda.

Distribución Geométrica. Ejemplo 3: Solución. Definir éxito: salga águila. x=6 p = 1/2= 0.5 q = 0.5 P(X=6) = (0.5)5(0.5)= 0.0156

Distribución Geométrica. Ejemplo 4:

En el salón hay 8 alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos, calcular la probabilidad de que este ultimo tenga los ojos claros.

Distribución Geométrica. Ejemplo 4: Solución. Definir éxito: tenga ojos claros. X=6 p = 0.5588 q = 1- 0.5588 = 0.4412 P(X=6) = (0.4412)5(0.5588) = 0.0093 = 9.3418 x 10

Distribución Geométrica. Ejemplo 5:

Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección.

Distribución Geomét Ejemplo 5: Solución. Definir éxito: salga defectuoso el producto.