República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental del la Fuerza Armada UNEFA Núcleo Merida – Sede Merida
PROGRAMACION GEOMETRICA
Integrantes: Jose Wladimir Davila Peña C.I: 19.751.566 Javier Enrique Hernandez C.I: 17.523.309 Jose Sulbaran C.I: 18.966.052
Sección: ING-S-6S-D-01
PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA
La programación geométrica se ha utilizado ampliamente en los últimos años como herramienta para la formulación de numerosos modelos de optimización que surgen en diferentes campos de aplicación. Consecuentemente se han desarrollado y comparado varios métodos numéricos de resolución de problemas de programación geométrica
PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA SIN RESTRICCIÓN:
Dado un problema de la forma: Min Z=ax₁ ᶜx₂ ᵈ + bx₁ ᵉx₂ ᶠ+…+nx₁ ᶢx₂ ᶻ
Paso 1: Hacer cambio de variable y transformar el problema a la forma: Min Z= U₁ + U₂ +…+ Un
Donde Uj= ajx₁ ᵝʲ¹ x₂ ᵝʲ² … x₁ ᵝʲᵏ αji= Exponentes aj=términos de los monomios.
Paso 2: Formar la función dual: H( ɤ)= (a₁ /ᵞ¹)ᵞ¹ (a₂ /ᵞ²)ᵞ²…(an/ᵞᵏ)ᵞᵏ
Paso 3: Formamos el sistema de ecuación lineal simultaneo, utilizando las siguientes formulas:
Paso 4: Resolver el sistema de ecuación del paso 3 para obtener los valores ɤ j. Σ(aji y = 0) , Σ(yj = 1) Paso 5: Sustituir los valores de ɤ j en la función dual para saber si el valor de h obtenido es correcto, debe coincidir con la función objetivo.
Paso 6: hallar las valores de Uj mediante la expresión: Uj= ɤ j.h(ɤ); ya aquí podemos obtener el valor de Z.
Paso 7: Igualamos los valores de Uj a cada termino que le corresponde a la función objetivo para asi hallar los valores de X.
Paso 8: Sustituir los valores hallados en la función objetivo y compararlos con h.
EJERCICIO N°1
Min Z= 2X₁ ³X₂ ¯³ + 4X₁ ¯²X₂ + X₁ X₂ Min Z=U₁ + U₂ + U₃ Donde:U₁ = 2X₁ ³X₂ ¯³
h(ɤ)= 6,7266
U₂ =4X₁ ¯²X₂ U₃ = X₁ X₂
3 ɤ1 - 2 ɤ2+ ɤ3 =0 -3 ɤ1 + ɤ2 + ɤ3 =0 ɤ1 + ɤ2 + ɤ3 =1 ɤ₁ = 0,25; ɤ₂ = 0,50, ɤ₃ =0,25
⑤→
U₁ = ɤ₁ * h(ɤ)= 0,25*6,7266 → U ₁ = 1,6816
U₂ = ɤ₂ * h(ɤ)=0,50*6,7266 → U₂ =3,3633
U₃ = ɤ₃ * h(ɤ)=0,25*6,7266 → U₃ =1,6816
2X₁ ³X₂ ¯³= 1,6816
4X₁ ¯²X₂ = 3,3633 X₁ X₂ = 1,6816 De X₁ X₂ = 1,6816; X₁ = 1,6816/X₂ sustituyendo este valor en: 2X₁ ³X₂ ¯³= 1,6816 → 2( 1,6816/X₂ ) ³.(X₂ )¯³ = 1,6816 → X ₂ = 1,3347 X₁ = 1,6816/1,3347 → X₁ = 1,2599 Z = 2(1,2599) ³ * (1,3347)¯³ + 4( 1,2599)¯² ( 1,3347) + ( 1,2599)( 1,3347) Z= 6,727.
EJERCICIO N°2 Min X₁ ³X₂ ¯³ + 2X₁ ¯²X₂ + 2X₁ X₂ Min Z= U₁ + U₂ + U₃ Donde: U₁ = X₁ ³X₂ ¯³ U₂ =2X₁ ¯²X₂ U₃ = 2X₁ X₂ 3 ɤ1 - 2 ɤ2+ ɤ3 =0 -3 ɤ1 + ɤ2 + ɤ3 =0 ɤ1 + ɤ2 + ɤ3 =1
ɤ₁ = 0,25; ɤ₂ = 0,5625, ɤ₃ =0,1875 → h(ɤ) = 4,4994 U₁ = ɤ₁ * h(ɤ)= 0,25*4,4994 → U ₁ = 1,1248
U₂ = ɤ₂ * h(ɤ)=0,5625*4,4994 → U₂ =2,5309
U₃ = ɤ₃ * h(ɤ)=0,1875*4,4994 → U₃ =0,8449
X₁ ³X₂ ¯³=1,1248 2X₁ ¯²X₂ = 2,5309 2X₁ X₂ =0,8449
De 2X₁ X₂ =0,8449; X₁ = 0,8449/2X₂
Sustituyendo X₁ en 2X₁ ¯²X₂ = 2,5309
2(0,8449/ 2X₂ ) * (X₂ ) = 2,5309 → X₂ = 0,6089; por lo tanto
X₁ = 0,8449/2(0,6089) 0,6937 → X ₁ = 0,6937
Z= (0,6937) ³ * ( 0,6089)¯³ + 2(0,6937)¯²(0,6089)+2(0,6089)
Z= 4,8541.
PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA CON RESTRICCIÓN
Dado un problema de la forma:
Min Z=ax₁ ᶜx₂ ᵈ + bx₁ ᵉx₂ ᶠ+…+nx₁ ᶢx₂ ᶻ
S.A.: R₁ X₁ ᶢX₂ ᶠ +…+ RnX₁ ᵏX₂ ʲ ≤ r
Paso 1: Transformamos el problema a la forma:
Min Z=U₁ + U₂ +…+ Un S.A.: Un+₁ + Un+₂ +…+ Un ≤ 1 Uj= ajx₁ ᵝʲ¹ x₂ ᵝʲ² … x₁ ᵝʲᵏ
Paso 2: Formar la función Dual. H( ɤ)= (a₁ /ᵞ¹)ᵞ¹ (a₂ /ᵞ²)ᵞ²…(an/ᵞᵏ)ᵞᵏ . ƛ₁ ^ƛ
Paso 3: Formar el sistema de ecuación lineal simultaneo con las siguientes formulas. Σ(aji y = 0) , Σ(yj = 1)
Paso 4: a) Resolver el sistema de ecuaciones para hallar los valores de ɤ j. b) Hallar los valores de ƛ donde ƛ₁ =∑ɤ j para cada restricción.
Paso 5: Sustituimos los valores de ƛ y ɤ en la función dual para hallar h, dicho valor debe coincidir co el valor de la función objetivo primal.
Paso 6: Hallar los valores de Uj dependiendo del caso. a) Para la función Objetivo. Uj=h(ɤ)ɤj ; j=1,2,3,…n b) Para las restricciones Uj= ɤj/ƛi
; j=n+1, n+2,…,n
Paso 7: Igualamos los valores de Uj a cada termino que le corresponde a la función objetivo para así hallar los valores de X.
Paso 8: Sustituir los valores hallados en la función objetivo y compararlos con h.
EJERCICIO N°1
Min Z= 5X₁ ¯³X₂ X₃ + X₁ X₂ X₃
S.A.: 4 X₁ X₃ ¯² + 6 X₂ ¯²X₃ ¯¹ ≤ 2 dividir la restricción entre 2 2 X₁ X₃ ¯² + 3 X₂ ¯²X₃ ¯¹ ≤ 1
Min Z= U₁ + U₂ S.A.: U₃ + U₄
Donde: U₁ = 5X₁ ¯³X₂ X₃ U₂ = X₁ X₂ X₃
U₃ = 2 X₁ X₃ ¯² U₄ =3 X₂ ¯²X₃ ¯¹
-3 ɤ1 + ɤ2+ ɤ3 + 0ɤ4=0 ɤ1 + ɤ2 + 0ɤ3 - ɤ4=0 ɤ1 + ɤ2 -2ɤ3 - ɤ4 =0 ɤ1 + ɤ2 +0ɤ3 +0ɤ4 =1 ɤ₁ = 0,3125; ɤ₂ = 0,6875, ɤ₃ =0,25, ɤ₄ =0,50 ; ƛ = 0,750 h(ɤ) = 10,2150
U₁ = 10,2150*0,3125 → U ₁ = 3,1921
U₂ = 10,2150 *0,6875 → U ₂ = 7,0228
U₃ =(0,25/0,75) → U₃ =0,333
U₄ = (0,50/0,75) → U ₄ =0,666
5X₁ ¯³X₂ X₃ =0,3125
X₁ X₂ X₃ =0,6875
2 X₁ X₃ ¯²=0,25
3 X₂ ¯²X₃ ¯¹=0,50
De 5X₁ ¯³X₂ X₃ =0,3125
→ X₂ X₃ = (0,3125/5)X₁ ³
De X₁ X₂ X₃ =0,6875 → X₂ X₃ = (0,6875/X₁ ) sustituyendo
(0,3125/5)X₁ ³ = (0,6875/X₁ ) → X₁ =1,8211
Sustituyendo el valor de X ₁ en 2 X₁ X₃ ¯²=0,25 obtenemos X₃ . X₃ ¯² = (0,25/2X₁ ) donde X₃ ¯²= (0,25/2(1,8211)) → X₃ =3,8169
Sustituyendo el valor de X ₃ en 3 X₂ ¯²X₃ ¯¹=0,50
3 X₂ ¯² = (0,50/X₃ ¯¹) → X₂ = 1,2537
Z= 5(1,8211)¯³*(1,2537)(3,8169)+(1,8211)(1,2537)(3,8169)
Z=10,2166.
EJERCICIO N°2
Min Z= 4 X₁ X₂ X₃ + 2X₁ ¯¹X₂ X₃ S.A.: 4X₁ X₃ ¯² + 6X₂ ¯²X₃ ¯¹ ≤2 se divide la restricción entre 2. 2X₁ X₃ ¯² + 3X₂ ¯²X₃ ¯¹ ≤1 Min Z= U₁ + U₂ S.A.: U₃ + U₄ Donde: U₁ = 4 X₁ X₂ X₃ U₂ =2X₁ ¯¹X₂ X₃ U₃ =2X₁ X₃ ¯² U₄ =3X₂ ¯²X₃ ¯¹ ɤ1 - ɤ2 + ɤ3 + 0ɤ4=0 ɤ1 + ɤ2 + 0ɤ3 – 2ɤ4=0 ɤ1 + ɤ2 - 2ɤ3 - ɤ4 =0 ɤ1 + ɤ2 + 0ɤ3 + 0ɤ4 =1
ɤ₁ = 0,375; ɤ₂ = 0,625, ɤ₃ =0,250, ɤ₄ =0,500 ; ƛ = 0,750
h(ɤ) → 16,6842
U₁ = 16,6842 * 0,375 → U ₁ = 6,2565
U₂ = 16,6842 * 0,625 → U ₂ = 10,4276
U₃ = (0,25/0,75) → U ₃ =0,333
U₄ = (0,50/0,75) → U ₄ =0,666
4 X₁ X₂ X₃ = 0,375
2X₁ ¯¹X₂ X₃ = 0,625
2X₁ X₃ ¯²= 0,250
3X₂ ¯²X₃ ¯¹= 0,500
De 4 X₁ X₂ X₃ = 0,375 despejamos X₂ X₃ = (0,375/4X₁ )
De 2X₁ ¯¹X₂ X₃ = 0,625 despejamos X₂ X₃ = (0,375/2X₁ ¯¹) ; despejamos de ambas ecuaciones lo siguiente:
(0,375/4X₁ ) = (0,375/2X₁ ¯¹) y hallamos X₁ ; Donde
X₁ = 2,2738
De 2X₁ X₃ ¯²= 0,250 despejamos X₃ y sustituimos el valor de X ₁ ;
2(0,2738)X₃ ¯² = 0,250;
X₃ =1,48
Calculamos el Valor de X ₂ de:
4 X₁ X₂ X₃ = 0,375 → 4(0,2738) X₂ (1,48)=0,375 → X₂ = 0,2313.
Z= 4(0,2738)*(0,2313)(1,48)+2(0,2738)¯¹(0,2313)(1,48)
Z= 16,6868
CONCLUSIÓN
La Programación geométrica soluciona un caso especial de problemas de Programación No lineal. Este método resuelve al considerar un problema dual asociando los siguientes dos tipos de Programación No lineal: Problema geométrico no restringido: Problema geométrico restringido. Permitiendo obtener excelentes resultados con muy pocos pasos y fácil comprensión a simple vista, aunque tenga algunas deficiencias que solo se pueden usar para la función objetivo de minimizar. A pesar de esto es muy completo al igual que los demás métodos de programación tanto lineal como los que no son lineales buscan lo mismo acercar a una optimización de los recursos
