MÉDIA GEOMÉTRICA (Simples e ponderada) Publicado em 08/02/2019 por Diego Oliveira
Para dominar o conteúdo de média geométrica você tem de decorar três fórmulas bastante simples. A primeira delas você usará para calcular a média geométrica simples. X g =
1 × 2 × ... × n
Onde são os dados cuja média é requerida, ƒ é a frequência em que cada dado aparece e n é o número de dados. As outras fórmulas são usadas para o cálculo da média geométrica ponderada e são as seguintes: X g = n
onde =
ƒ 1
1
×
ƒ 2
2
×
ƒ n
... × n
ƒ
= 1
e também
ogX g =
n
1 ×
n
ƒ
ƒ × og ( )
= 1
= 1
Essa ultima fórmula é usada quando os valores das frequências são muito grandes.
Exemplo Resolvido: 1. Dada Dada a sequên sequência cia numér numérica ica:: 2, 5, 7, 9, 13, 16, 17, 21 determin determine ea média geométrica simples. Resolução:
Nesse caso temos n = 8, pois são oito números que compõem o nosso conjunto conjunto.. E como nos é requerid requerida a a média média simples vamos vamos usar a primeira primeira fórmula. g =
n
1 · 2 · · · n =
8
2 · 5 · 7 · 9 · 13 · 16 · 17 · 21 = 9 , 09
Interpretação: O valor médio geométrico da série é 9,09.
1
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Exemplo Resolvido: 2. Numa certa certa prova foram acertad acertadas as 12 questões questões com peso 6, 14 com peso peso 5, 8 com com peso peso 3, 9 com com peso peso 2 e 10 com com peso peso 1. Com Com base base nessa nessas s informações determine a média geométrica ponderada. Resolução:
Nesse caso nós é requerida a média ponderada sendo assim temos de recorrer a segunda ou terceira fórmula (normalmente a que for mais fácil), mas aqui faremos com ambas. X g =
ƒ
ƒ
ƒ n
11 · 22 ...n n
Como =
ƒ = 12 + 14 + 8 + 9 + 10 = 53 então:
= 1
53
X g = 53
=
612 · 514 · 38 · 29 · 110
612 · 514 · 38 · 29 · 110
≈
3, 048
Simple Simples s não é mesmo! mesmo! Mas e se usásse usássemos mos a segun segunda da fórmula fórmula como como ficaria?
og X g =
n
1 ×
n
ƒ
ƒ × og ( )
=1
= 1
og X g = ⇒ ⇒
og X g X g
≈
1 53 ≈
·
( 12 × og (6) + 14 × og (5) + 8 × og ( 3) + 9 × og ( 2) + 10 × og ( 1))
0, 4840
10 0,4840
≈
3, 048
Interpretação: O valor médio geométrico da série é de aproximadamente 3,05.
Exemplo Resolvido: 3. Uma aplicação aplicação muito frequente frequente da média geométric geométrica a é quando quando queremos determinar a média de valores que se alteraram de forma contínua, como em situações que envolvem finanças. Considere um investimento que rendeu no primeiro ano 5%, no segundo ano 7% e no terceiro ano 6%. Qual o rendimento médio desse investimento?
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1◦ ano: rendimen rendimento to de 5% implica em um fator fator de cresciment crescimento o de 1,05 (100% + 5% = 105%) 2◦ ano: rendimen rendimento to de 7% implica em um fator fator de cresciment crescimento o de 1,07 (100% + 7% = 107%) 3◦ ano: rendimen rendimento to de 6% implica em um fator fator de cresciment crescimento o de 1,06 (100% + 6% = 106%)
g =
3
1, 05 × 1, 06 × 1, 07 = 1 , 05996
Finalmente, para encontrar o rendimento médio devemos fazer: 1, 05996 − 1 = 0 , 05996
Assim, o rendimento médio dessa aplicação, no período considerado, foi de aproximadamente 6%.
Exemplo Resolvido: 4. Os índices anuais anuais de inflação inflação registrado registrados s no Brasil Brasil nos anos de 2011, 2012 2012 e 2013 2013 respect respectiva ivamen mente te foram 6,5%, 6,5%, 5,84% 5,84% e 5,91 5,91%. %. Qual Qual a taxa taxa média anual de inflação no país nesse período? Resolução:
De acordo com a observação acima, devemos primeiramente calcular a média geométrica das taxas acrescidas de uma unidade: X g =
3
(1 + 0 , 065 ) × ( 1 + 0 , 0584 ) × ( 1 + 0 , 0591 ) = 1 , 0608
Basta subtrairmos um da média geométrica encontrada e teremos a taxa média ≈ 1, 0608 − 1 = 0 , 0608 = 6 , 08%
Portanto, a taxa média anual de inflação no Brasil nos anos de 2011, 2012 e 2013 foi de aproximadamente 6,08%.
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