Probleme Camp Electric

5/12/2018

Proble me Ca mp Ele c tr ic - slide pdf.c om

I

. Câmpul electric I.1. Câmpul electric în vid departe de conductori

I.1.

Într-o sfer ă dielectrică cu raza a densitatea volumetrică de sarcină

variază cu raza conform relaţiei, ρ(r ) = 6 + 2 r 2 C/m3. Calculaţi valoarea medie a densităţii de sarcină electrică din sfer ă. Solu ţ ie

Conform definiţiei valorii medii, ρmediu =

1 V

∫∫∫ ρd

unde, în coordonate sferice, d V = r 2sinθdr dθdϕ şi

V

=

V

,

4π

r 3 . Astfel,

3

ρmediu =

3 2 2 3 ∫∫∫ ( 6 + 2r ) r sinθdr dθdϕ = 4πa

=

π 2π 3 a 2 2 ( 6 + 2 ) d sin θ d θ r r r ∫0 ∫0 dϕ = 6 + 1,2a 2 C/m3. 4πa 3 ∫0

Un conductor liniar de lungime a este încărcat electric neuniform cu o sarcină cu densitatea liniar ă I.2.

π a a ρl = ρ0 ⎛⎜1 − cos x ⎞⎟ , pentru − ≤ x ≤ . 2 2 a ⎠ ⎝ Calculaţi: a). sarcina electrică totală de pe conductor; b) densitatea liniar ă medie a sarcinii electrice.

2

http://slide pdf.c om/re a de r/full/proble me -c a mp-e le c tr ic

1/63

5/12/2018


Solu ţ ie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu a

∫∫

q=

ρl dl = ρ0

2

π ⎞

⎛

⎛

2⎞

∫ ⎜⎝1 − cos a x ⎟⎠dx = ρ a ⎜⎝ 1 − π ⎠⎟ . 0

−a 2

lungimea conductorului

b). Conform definiţiei valorii medii, q

ρmediu = = a

1

a

2

⎛

2⎞ 1

2⎞

⎛

∫ ρ dl = ρ a ⎜⎝1 − π ⎟⎠ ⋅ a = ρ ⎜⎝1 − π ⎟⎠ .

a −a 2

l

0

0

I.3. Densitatea de sarcină electrică superficială de pe un strat sferic de raz ă a

are expresia: σ = σ0 sin θ , unde θ este coordonata unghiular ă uzuală ( θ∈ [ 0, π] ), iar

σ0 este o constantă. Calculaţi sarcina electrică totală distribuită pe suprafaţa stratului sferic. ţ

Solu ie

Conform relaţiei de definiţie a densităţii superficiale de sarcină electrică, q=

2π

π

0

0

∫∫ σdS = ∫∫ σ0sinθ a 2sinθ dθ dϕ = σ0a2 ∫ dϕ∫ sin 2θdθ =

π 1 1 1 2π = σ0 a 2 ⋅ϕ 0 .∫ (1 − cos2θ ) dθ = σ0 a 2 ⋅ 2π⋅ ⎛⎜ θ − sin 2θ ⎟⎞ π = σ0 π2 a 2 . 2 2 ⎝ 2 ⎠0 0

I.4. Într-o sfer ă

izolatoare cu raza R sarcina electrică este distribuită izotrop. Densitatea volumetrică de sarcină variază cu distanţa r faţă de centrul sferei conform

relaţiei,

⎧ ⎛ r 2 ⎞ ⎪ ρ0 ⎜1 − 2 ⎟ , pentru r < R R ⎪ ρ = ⎨ 0, ⎝pentru r⎠ ≥ R . ⎪ ⎪⎩ Calculaţi

3


2/63

5/12/2018


a). sarcina electrică totală din sfer ă; b). valoarea medie a densităţii volumetrice de sarcină electrică din sfer ă. Solu ţ ie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu

⎛

R

q=

r 2

∫∫∫ ρdV = ∫ ρ ⎜⎝1 − R 0

volumul sferei

0

2

⎞ 2 8π 3 ⎟4πr dr = 15 ρ0 R . ⎠

b). Conform definiţiei valorii medii a densităţii de sarcină electrică, 1 3 2 q 8π ρmediu = ∫∫∫ ρdV = = ρ0 R3 ⋅ 3 = ρ0 , V V 15 4π R 5 unde V =

4π 3 r . 3

I.5.

În atomul de hidrogen sarcina electronică are o distribuţie sferică

omogenă, cu densitatea é 2r ù r (r )= C exp êê- úú, ë a0 û unde a0 = 52,9 pm este o constantă (prima rază Bohr), iar r este distanţa de la un punct oarecare din volumul sferei la centrul acesteia. Calculaţi constanta C astfel încât sarcina electronică să fie egală cu q=

- e.

Solu ţ ie

Conform relaţiei de definiţie q = −e =

R ⎡ 2r ⎤ ρ d V = C exp ⎢ − ⎥ 4πr 2dr . ∫∫∫ ∫ ⎣ a0 ⎦ volumul 0

sferei

Integr ăm prin păr ţi,

4


3/63

5/12/2018


∞ ∞ ⎧⎪ a0 2 ⎡ 2r ⎤ ⎡ 2r ⎤ ⎫⎪ −e = 4πC ⎪⎨⎩− 2 r exp ⎣⎢ − a0 ⎦⎥ 0 + a0 ∫0 exp ⎣⎢ − a0 ⎦⎥ rdr ⎪⎬⎭ =

∞ ⎡ 2r ⎤ = 4πCa0 ∫ exp ⎢− ⎥ rdr = ⎣ a0 ⎦ 0 ∞ ⎧⎪ a0 ⎡ 2r ⎤ a0 ∞ ⎡ 2r ⎤ ⎫⎪ = 4πCa0 ⎨−r exp ⎢− ⎥ + ∫ exp ⎢ − ⎥ dr ⎬ = πCa03 , ⎣ a0 ⎦ 0 2 0 ⎣ a0 ⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ 2

de unde e

C = −

3 a0

,

π iar

r (r )= -

I.6.

e

p

a03

é 2r ù exp êê- úú. ë a0 û

Densitatea volumetrică de sarcină electrică ρ a unui strat sferic de raz ă

R şi grosime a are expresia

⎪⎧ρ0 , pentru R− a2 < r< R+ a2 ρ = ⎨ 0, în rest . ⎪ ⎩ a). Determinaţi expresia sarcinii electrice totale în funcţie de raportul

a R

;

b). În ce condiţii distribuţia de sarcină considerată este superficială şi care este în acest caz densitatea superficială medie de sarcină?

Solu ţ ie

a). Conform relaţiei de definiţie a densităţii volumetrice de sarcină electrică, R + a

q=

∫∫∫

ρdV = ρ0

volumul stratului sferic

∫

R − a

2

4πr 2dr = 2

3 3 4π ⎡⎛ a a ⎤ ρ0 ⎢⎜ R + ⎞⎟ − ⎛⎜ R − ⎞⎟ ⎥ = 3 ⎣⎢⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

2 ⎛ a ⎞ = 4πρ0aR 2 ⎜1 + 2 ⎟. ⎝ 12 R ⎠

5


4/63

5/12/2018


b). Distribuţia de sarcină electrică poate fi considerată superficială dacă a R

<< 1 . În acest caz, q = 4πρ0 aR 2

iar

= 4πρS R 2 ,

ρ S = ρ0 a .

I.7.

Calculaţi rata de variaţie în timp a densităţii de sarcină electrică într-un

punct în care densitatea de curent electric are expresia J = sin (10 x) u x+ yu

2 + e−3 z u z(A/m )

y

Solu ţ ie

Conform legii de conservare a sarcinii electrice,

⎛ ∂ J ∂ J ∂J ⎞ ∂ρ = −∇ =J− ⎜ x + y + z ⎟ = 10cos (10 ) +x1 − 3 ∂t ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

I.8.

−3 z

3

e(A/m

).

Trei sarcini electrice sunt aşezate ca în figura I.8. Acestea au valorile:

q1 = 6 ⋅10−6 C, q2

= −q1 = −6 ⋅10−6 C şi q3 = 3 ⋅10−6 C, iar a = 0,02 m.

Calculaţi vectorul for ţă care acţionează asupra sarcinii electrice q3 .

Fig. I.8

Fig. I.8a

6


5/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Conform principiului superpoziţiei, for ţa care acţionează asupra sarcinii q3 este egală cu (fig. 8a),

F3 = F13 + F23

=

⎞ 1 ⎛ q1q3 q2 q3 ⎜ 13 + 2 u 2 u23 ⎟ , r 23 4πε0 ⎝ r13 ⎠

unde u13

= cos θ i + sin θj =

2 ( i + j ) , iar u23 = i . 2

Astfel,

⎡ ( −q ) q 1 ⎢ q1q3 2 F ( i+ j) + 12 3 3 = 2 ⋅ ⎢ a 4πε0 ( a 2 ) 2 ⎣⎢

⎤ ⎞ q q ⎡⎛ 2 2 ⎤ i⎥ = 1 3 2 ⎢⎜ − 1 i+ j⎥ . ⎟ ⎟ ⎥ 4πε0 a ⎢⎜⎝ 4 4 ⎦⎥ ⎠ ⎣ ⎦⎥

Modulul for ţei F 3 este egal cu 12

⎡⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ − 1⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = 219 N, F 3 = 4πε0a 2 ⎢⎜⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎣ q1 q3

iar direcţia vectorului face cu axa O x unghiul F 3 y

ϕ = arctg

I.9.

F 3 x

= arctg

2 = 151,3 . 2 −4 o

Pământul are o sarcină electrică netă care produce un câmp electric în

punctele din apropierea suprafeţei acestuia egal cu E p = 150 N/C şi are liniile de câmp orientate spre centrul Pământului (fig. I.9).

Fig. I.9

7


6/63

5/12/2018


a) Care este mărimea şi semnul sarcinii cu care trebuie s ă fie încărcat un om având masa m = 75 kg astfel încât greutatea acestuia s ă fie echilibrată de for ţa electrică? b) Care va fi for ţa de respingere dintre doi oameni, fiecare încărcat cu sarcina electrică calculată la punctul a) şi aflaţi la distanţa d = 50 m? c). Poate fi utilizat câmpul electric al P ământului pentru zbor? Solu ţ ie

a) Notăm cu q sarcina electrică a omului. Condiţia de echilibru a celor dou ă for ţe se scrie sub forma F el

= q E p = mg ,

de unde rezultă q =

mg E p

= 4,9 C.

Valoarea obţinută este foarte mare, astfel că sarcina nu mai poate fi considerată punctuală. b) F el =

q2

= 8,6 ⋅ 10 7 N.

4πε 0 r 2 Am obţinut o valoare a for ţei electrice mult mai mare ca greutatea, G = mg = 7,4 ⋅ 10 2 N, adică

F el G

= 1,2 ⋅ 105 .

c). Sarcina electrică necesar ă pentru a echilibra greutatea unui avion astfel încât acesta să poată zbura, trebuie să fie foarte mare. Pentru a încărca un strat metalic conductor de formă sferică cu raza R = 20m, cu o sarcină electrică q0

= 5 ⋅ 10 4 C, trebuie aplicată o tensiune U = 2,5 ⋅1012 V ceea ce necesită o energie

foarte mare. În acest caz, sarcina nu mai este punctuală. Aceasta va reduce câmpul electric pământesc necesitând o sarcină şi mai mare pe suprafaţa conductorului. I.10.

Calculaţi for ţa cu care acţionează sarcinile electrice q1 şi q2 asupra

sarcinii q3 din figura I.10.


8

7/63

5/12/2018


Se cunosc: q1 = −4 ⋅10−6 C, q2 = 3 ⋅10−6 C, q3 = −2 ⋅10−6 C, r 13 = 0,08 m, r 23

= 0,12 m,

α = 45 şi o

1 = 9 ⋅109 Nm 2 C2 . 4πε0

Fig. I.10

Solu ţ ie

Conform F 23

=

q2 q3 2 0 r 23

legii

lui

Coulomb,

F 13

=

q1 q3

4πε0 r 132

= 11,25

N,

iar

= 3,75 N.

4πε Pentru calcularea rezultantei celor două for ţe descompunem for ţele în

componente de-a lungul celor două axe şi apoi recompunem componentele rezultantei ca în figura I.10a

Fig. I.10a Observăm că R x= F13 R

+ F23 x= F13 cos θ + F23 = 11,7 N,

x

= F 13 y+ F23 y= F 13 sin θ + 0 = 7,95 .

y

9


8/63

5/12/2018


Astfel, R =

R x2 + Ry2

= 14,15

N, iar θ =

R

y arctg =

arctg 0,68=34,20 . o

R x

I.11.

Trei sarcini electrice punctuale se află în vârfurile unui dreptunghi

aşezat în vid, ca în figura I.11. Calculaţi for ţa care acţionează asupra sarcinii q3 . Se

cunosc:

q1 = 3 ⋅10−6 C,

q2

= −2 ⋅10−6 C,

q3

= 5 ⋅10−6 C,

laturile

dreptunghiului sunt a = 3 cm, b = 4 cm şi 4πε 1 = 9 ⋅109 Nm2 C2 . 0

Fig. I.11 Solu ţ ie

Alegem un sistem de coordonate cu originea în q1 , în raport cu care,

F3

= F13 + F23 .

Din legea lui Coulomb, 13F =

iar

23F =

q1q3

4πε0 ( a 2 + b 2 ) q2 q3

4πε0b 2

( cos θ i+ sin θ )j = 43, 2 i+ 32, 4 j ,

i= −56,25 i.

Prin urmare, F3

a

F 3 y

b

F 3 x

= ( −13,1i + 32,4 j ) N, iar tgθ = =

= −2,47 şi θ = 112 . o

10


9/63

5/12/2018


I.12.

Două particule, încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn, sunt

fixate într-un tub de plastic înclinat cu unghiul α = π3 rad faţă de planul orizontal (figura I.12). Particula de sus are sarcina electric ă q = 3μ C şi masa m = 1 g şi se poate deplasa f ăr ă frecare în tub, iar cea de jos are sarcina electric ă q0 = 2 nC şi este fixă în tub. Calculaţi distanţa r dintre particule pentru care particula de sus se află în echilibru. ( g = 10 m s2 ) (20 puncte)


Echilibrul se stabileşte când for ţa de respingere electrostatică dintre particule este echilibrată de componenta greutăţii particulei de sus pe direcţia lui r , adică qq0

4πε0 r 2

= mg sin α ,

−2 qq0 de unde r = 4πε mg sin α = 6 ⋅10 m. 0

I.13.

Consider ăm o baghetă subţire, cu lungimea L , pe care este distribuită

uniform o sarcină electrică q (figura I.13). Calculaţi for ţa cu care această sarcină electrică acţionează asupra unei sarcini electrice punctiforme q0 aflată la distanţa a de capătul din dreapta al baghetei, pe direcţia lungimii acesteia.


Alegem un element d x din lungimea baghetei aflat la distanţa x de sarcina

11


10/63

5/12/2018


q

electrică q0 , pe care se află sarcina electrică dq = d x . For ţa cu care această L

sarcină electrică elementar ă acţionează asupra sarcinii q0 este egală cu

d F=

q0 2

4πε0 x

d =q

q0

q

2

4πε0 x

⋅ d =x L

q0 q

⋅

d x

4πε0 L x2

.

For ţa totală cu care acţionează sarcina q asupra sarcinii q0 se obţine adunând toate contribuţiile sarcinilor dq , adică prin integrare, a+ L

a+L

F =

∫ a

q0 q

q0 q

q0 q dx 1 . 4πε0 L ⋅ x2 = 4πε0 L ⎛⎜⎝ − x ⎞⎟⎠a = 4πε0 a( a + L)

Tipul for ţei, de atracţie sau de respingere, depinde de semnul celor dou ă sarcini electrice.

I.14.

Bila din figura I.14 are masa m = 1 g şi culege prin contact o sarcină

electrică egală cu 1% din sarcina aflată pe o baghetă subţire de ebonită. Sarcina electrică este concentrată pe unul din capetele baghetei care se află la distanţa l = 0,1 m de bilă. Calculaţi sarcina electrică aflată pe bilă şi tensiunea mecanică din firul de care este legată bila.

Fig. I.14

12


11/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Bila fiind într-un echilibru mecanic, rezultanta for ţelor care acţionează asupra sa este nulă, adică

şi

T cos30o

= m g

T sin30o

= F .

Din cele două ecuaţii, F = mgtg30 o

= 5,65 ⋅10−3 N.

Dar, conform legii lui Coulomb, qq′ , 4πε0 r 2

F =

unde q′ =

q

100

. Prin urmare, q = 7,9 ⋅10−7 C şi q′ = 7,9 ⋅10−9 C. Rezultatul obţinut

este aproximativ deoarece legea lui Coulomb este verificat ă doar pentru sarcini electrice punctiforme. Tensiunea mecanică din fir este F

T =

o

= 11,3 ⋅10−3 N.

sin30

I.15.

Un inel semicircular aflat în planul y 0 z este încărcat electric cu

densitatea de sarcină liniar ă ρl = ρ0 cos θ (C/m), unde θ este unghiul măsurat faţă de axa 0 z (figura I.15). Calculaţi intensitatea câmpului electric într-un punct de coordonate ( x,0,0 ) .

Fig. I.15

13


12/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Conform definiţiei, 1 ρ ( r ′ )( r − r ′ ) (E ,0,0 x )= d ′ .l 4πε0 ∫ r − r ′ 3

Conform figurii I.7, vectorul de poziţie r ′ al unui punct de pe semiinel este egal cu r ′ = R cos θk

iar

r

+ R sin θj ,

= xi .

dl ′ = Rdθ este elementul de lungime de arc. Prin urmare,

( E,0,0x ) =

=

1 π ρ0 cos θ ( xi − Rsin θ j − Rcos θ k) dθR= 3 4πε0 ∫0 x2 + R2 sin 2 θ + R2 cos2 θ

(

)

π ⎛π ρ0 R ⋅ cos xi θ d θ − ⎜ ∫0 4πε0 x 2 + R 2 3 ⎝ ∫0

(

π

sinRjθ cos θ dθ − ∫

)

0

⎞ cos Rk2 θd θ ⎟ , ⎠

unde π

∫ xi cos θdθ = 0 ; 0

π

∫ Rj sin θ cos θdθ = 0 0

π

∫

2 cos Rk θdθ =

0

π k . R 2

Prin urmare, (E ,0,0 x )=−

R 2 ρ0 ⋅ .k 2ε0 ( x 2 + R 2 )3 2

14


13/63

5/12/2018


I.16.

Trei sarcini electrice egale cu +5q , −5q şi +3q sunt aşezate pe axa y

în punctele de coordonată y = +4a , y = 0 şi respectiv y = −4a . Alegem un punct P aşezat pe axa x în x = 3a . Calculaţi: a). energia electrică înmagazinată în sistemul de sarcini electrice; b). componentele vectorului intensitate câmp electric generat în P; c). O a patra sarcin ă electrică q este adusă de la infinit în punctul P. Calculaţi componentele for ţei cu care acţionează cele trei sarcini asupra sarcinii din P.

d). Calculaţi lucrul mecanic efectuat pentru a aduce sarcina a patra de la

infinit până în punctul P. Solu ţ ie

În figura I.16 sunt reprezentate sarcinile electrice din enun ţ şi vectorii intensitate câmp electric generaţi de sarcinile electrice în punctul P. a). Energia înmagazinată în sistemul de sarcini electrice este egală cu 3

3

qq 2 ∑∑ 4πε r

E pot = 1

j =1 k =1 k≠ j

=

j

= 1 ⎛⎜ q1q2 + q1q3 + q2 q3 ⎞⎟ = 4πε0 ⎝ r12 r13 r23 ⎠ jk

k

0

1 ⎛ 25q 2 15q 2 15q 2 ⎞ 65q 2 − + − =− . ⎜ ⎟ 4πε0 ⎝ 4a 8a 4a ⎠ 4πε0 ⋅ 8a

15


14/63

5/12/2018


Fig. I.16 4 3 b). Observ ăm din figura 4 că sin α = , iar cos α = . 5 5 E1 = E1 cos α i − E1 sin α j =

= E2

=−

5q 2

5q 3 5q 4 i− j= 2 ⋅ 2 ⋅ 4πε0 ⋅ 25a 5 4πε0 ⋅ 25a 5

3q 4q j, 2 i − 4πε 0 ⋅ 25a 4πε0 ⋅ 25a 2

,

i

0

iar

4πε ⋅ 9a 3q 3 3q 4 3q 12q 3E= +i =j +i j. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 4πε0 ⋅ 25a 5 4πε0 ⋅ 25a 5 4πε0 ⋅125a 4πε0 ⋅125a 2 Astfel, EP

⎛ ⎞ 3q 5q 3q =⎜ 2 − 2 + 2 ⎟i + ⎝ 4πε0 ⋅ 25a 4πε0 ⋅ 9a 4πε 0 ⋅125a ⎠ ⎛ ⎞ 4q 12q +⎜. 2 + 2 ⎟i = ⎝ 4πε0 ⋅ 25a 4πε0 ⋅125a ⎠

=−

⎛ 409 i + 8 4πε0 ⎜⎝ 1125a 2 125a 2 q

c). F= qE P =− d). L = q4VP =

q2

⎞ ⎠

j ⎟.

⎛ 409 +i 72 4πε0a ⎜⎝ 1125 1125 2

⎞j . ⎟ ⎠

⎛ q1 q 2 q3 ⎞ q ⎛ 5q 5q 3q ⎞ q2 + + = − + = − ⎜ ⎟ 4πε0 ⎝ r14 r24 r34 ⎠ 4πε0 ⎜⎝ 5a 3a 5a ⎠⎟ 60πε0 a q4

Am notat cu q1 = 5q ; q2 = −5q ; q3 = 3q ; q4 = q , iar r14 = 5a ; r24 = 3a ; r34

= 5a .

I.16. În vârfurile B şi C ale unui triunghi echilateral având latura l = 1 cm se

află două sarcini electrice egale cu q = 10-9 C, iar în vârful A se află sarcina punctiformă q0 = 2.10-9 C.


16

15/63

5/12/2018


Calculaţi lucrul mecanic necesar deplasării sarcinii q0 în următoarele poziţii: a) în punctul D situat la distanţa l de A, pe prelungirea laturii BA ; b) în punctul E situat la distan ţa l de A dar pe paralela prin A la latura BC . Solu ţ ie

a) Lucrul mecanic necesar deplasării sarcinii electrice q0 între punctele A şi D este LAD = q0 ( VA − VD ) , unde potenţialele electrice în punctele A şi, respectiv, D au expresiile (fig. I.16):

V A

=

2q 4πε 0 l 4πε 0 l 4πε 0 l

şi

V D

=

⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ + ⎟ 4πε0 ⎜ 2l (2l ) 2 − l 2 ⎟ ⎝ ⎠

q

q

+

=

q

Astfel, rezultă: LAD

=

⎛3 1 ⎞ −7 ⎜ − ⎟ = 16,6 ⋅10 J. 4πε0l ⎝ 2 3⎠ qq0

Fig. I.16 b) Analog, se calculează: V E

=

q

4πε0l 3

+

q

4πε0l

=

⎛ 1 ⎞ + 1⎟ ⎜ 4πε0l ⎝ 3 ⎠ q

şi rezultă:

17


16/63

5/12/2018


LAE

qQ

=

⎛

4πε0l ⎝⎜

I.17.

1−

1 ⎞

= 7,59 ⋅10−7 J

3 ⎠⎟

Sistemul de sarcini electrice q1 , q2 , q0 este dispus ca în figura I.17.

Sarcina q1 = 3 mC este aşezată în punctul de coordonate ( x1 , y1 ) = ( −2m,0 ) , sarcina q2

= −3 mC este aşezată în punctul de coordonate ( x2 , y2 ) = ( 2m,0 ) , iar sarcina

q0

= 1 mC aşezată în punctul de coordonate ( x0 , y0 ) = ( 0,3m ) . Calculaţi: a) modulele şi direcţiile for ţelor exercitate de sarcinile electrice q1 şi q2

asupra sarcinii q0 ; b)modulul şi direcţia vectorului intensitate câmp electric produs de sarcinile electrice q1 şi q2 în punctul în care se află sarcina q0 .


a) For ţa F 1 exercitată de sarcina q1 asupra sarcinii q0 are modulul egal cu F 1 =

F 2

=

q1 q0

4πε0 d 2 q2 q0

4πε0 d 2

, iar for ţa F 2 exercitată de sarcina q2 asupra sarcinii q0 are modulul .

18


17/63

5/12/2018


Cele două for ţe au modulele egale deoarece sarcinile q1 şi q2 au acelaşi modul. Deci, F1 = F 2 = 2077 N. Din figura II.17 observăm că sin θ =

3 2 , iar cos θ = . 13 13

Astfel, F1 = 2077 ( cos θ i + sin θj ) şi respectiv 2F= 2077 ( cos θ i− sin θ )j . Suma vectorială a celor doi vectori va fi egală cu F0 = F1 + F2 = 2 ⋅ 2077cos θ i = 2304 i N.

b) Vectorul intensitate câmp electric cerut este E =

F 0

= 2,3 ⋅106 i N/C.

q0

I.18.

Trei corpuri punctiforme având sarcinile electrice q1 = q2 = q3 = 2μ C

se află în vârfurile unui triunghi echilateral cu latura egal ă cu a = 4 3 cm. Calculaţi intensitatea câmpului electric generat în centrul triunghiului.

Solu ţ ie

Conform figurii I.18, E1 = E2 = E3 =

q1 2

4πε0 r

, unde r =

a

π 2cos 6

=

a

3

.

Fig. I.18

19


18/63

5/12/2018


Unghiurile dintre vectorii E 1 şi E 2 , E 2 şi E 3 respectiv E 1 şi E 3 sunt egale cu

2π . Rezultanta vectorilor E 1 şi E 2 este un vector egal şi de sens opus cu 3

vectorul E 3 , astfel că rezultanta celor trei vectori este nulă.

I.19. Un inel izolator cu raza R

este încărcat electric uniform cu o sarcină q,

repartizată cu densitatea liniar ă λ . Inelul este aşezat în planul xOy ca în figura I.19.

Fig. I.19

Fig. I.19a

a). Calculaţi intensitatea câmpului electric într-un punct P aflat pe axa O z la distanţa z de planul inelului. b). Reprezentaţi grafic modulul vectorului obţinut în funcţie de raportul z R .

Solu ţ ie

a). Consider ăm un element de lungime dl din inel pe care se află sarcina dq = λdl = λRdϕ . Contribuţia acestei sarcini electrice la intensitatea câmpului electric din punctul P este egală cu

d E =

dq r λ Rd ϕ = ⋅ u . 2 ⋅ 4πε0 r r 4πε0 r 2 r

Din considerente de simetrie, conform figurii I.19a, vectorul intensitate câmp electric în punctul P este orientat de-a lungul axei O z , adică

20


19/63

5/12/2018


2π

E z

= dE = z

∫

λ

⋅ 2

dϕ =

2 32

∫ 4πε ( R + z ) 0

0

b). Notăm cu E 0 =

q

4πε0 R

2

λ

Rz

4πε0

2π

⋅

( R2 + z2 )3 2

Rz

=

1

4πε0

. În figura I.19b este reprezentată curba

qz

⋅

.

( R2 + z2 )3 2 z = f ⎛⎜ ⎞⎟ . E0 ⎝R⎠ E z

Fig. I.19b

I.20.

E =

Într-un spaţiu vidat se manifestă câmpul electric de intensitate

(sin x u x + cos x u y )e − y . Calculaţi densitatea volumetrică de sarcină electrică într-un punct din spaţiul

vidat. Solu ţ ie

Conform

teoremei

lui

Gauss

în

vid,

∇ E =

ρ , ε0

adică

∂ E x + ∂ E y + ∂ E z = ρ , ∂ x ∂ y ∂ z ε 0 sau

∂ (sin x e − y ) + ∂ (cos x e − y ) = ρ , de unde ρ = ε 0 e − y cos x(1 − 1) = 0 . ∂ x ∂ y ε0

21


20/63

5/12/2018


I.21. Într-o zonă din spaţiu există o distribuţie de sarcini electrice cu simetrie

sferică a cărei densitate volumetrică este egală cu é r ù q0 ú. r (r )= 2 exp êêë a úû 4 p a r Calculaţi: a). sarcina electrică conţinută într-o sfer ă centrată în originea axelor de coordonate şi cu raza r . Ce devine această sarcină electrică dacă r → 0 sau r → ∞ ? b). intensitatea câmpului electric radial generat de aceast ă distribuţie de sarcină. Solu ţ ie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu q=

∫∫∫

ρdV =

volumul sferei

=

r

r

1

q0 ⎡ r⎤ 2 ⎡ r⎤ 2 ∫ exp ⎢ − ⎥ 4πr dr = 2 ∫ r exp ⎢ − ⎥ dr = . 4πa 0 r a 0 ⎣ a⎦ ⎣ a⎦ q0

r r ⎧⎪ ⎫⎪ r⎤ r ⎧ a r ⎫ ⎡ − ar − exp ⎢ ⎥ − ∫ −a exp ⎡⎢ − ⎤⎥ dr ⎬ = q0 ⎨1 − ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ exp ⎡⎢ − ⎤⎥ ⎬ . 2 ⎨ a ⎪ ⎣ a⎦ 0 0 ⎣ a ⎦ ⎪⎭ ⎩ ⎝ r ⎠ ⎣ a ⎦⎭ ⎩

q0

q = ∞ şi lim q = q0 Observăm că lim r →0 r →∞

b). Conform legii lui Gauss, 4πr 2 E =

q

ε0

,

de unde E =

ïìï í 14 pe0 r ïîï

I.22.

Patru sarcini electrice, fiecare având sarcina electrică q , sunt fixate în

q0

2

æ çç1 + èç

é r ùï ü ÷÷exp ê- úï ý ur . êë a úûï þï aø rö ÷

cele patru colţuri ale unui pătrat cu latura egală cu 2a (fig. I.22).


22

21/63

5/12/2018


a). Calculaţi potenţialul electric generat de cele patru sarcini electrice într-un punct P aflat la distanţa z de planul acestora pe dreapta care trece prin centrul pătratului. b). Determinaţi expresia vectorului intensitate câmp electric în punctul P.

Fig. I.22 Solu ţ ie 2

a). Fiecare sarcină electrică se află la distanţa r = generează în punctul P potenţialul electric V 0 P =

q

4πε0 r

(

a

2

2 ) + z şi

, astfel că potenţialul electric

total în P este V P =

4q q = . 4πε0r πε0 2a 2 + z 2

b). Intensitatea câmpului electric din punctul P are componentă doar după axa z , aceasta având modulul,

E z = −

∂V = ∂ z πε

qz 0

( z 2 + 2a 2 )

3

,

astfel că vectorul intensitate câmp electric are expresia E

=

qz 3

πε0 ( z 2 + 2a 2 )

u z .

23


22/63

5/12/2018


I.23.

Sarcina electrică pozitivă q0 este distribuită uniform de-a lungul axei

O x pozitivă între x = 0 şi x = a. O altă sarcină electrică pozitivă q este aşezată pe axa O x în punctul de abscisă x = a + r , la distanţa r de capătul din dreapta a lui q0 (fig. I.23).

Fig. I.24 a) Calculaţi componenta E x a vectorului intensitate câmp electric produs de sarcina q0 în punctele de pe axa O x cu x > a . b) Calculaţi vectorul for ţă exercitată de distribuţia de sarcină q0 asupra lui q. c) Ar ătaţi c ă dacă r

a,

modulul for ţei este aproximativ egal cu

qq0 2

.

4πε0 r

Justificaţi de ce se obţine acest rezultat. Solu ţ ie

Consider ăm un element de lungime d x, aflat la distanţa x < a de origine, care este încărcat cu sarcina d q = λ d x , unde λ este densitatea liniar ă de sarcină electrică (fig. I.23a), adică q0

q0

λ = a , de unde d q = a d x . Sarcina infinitezimală dq se află la distanţa d = a + r − x de sarcina q şi are o contribuţie la intensitatea câmpului electric produs de distribuţia de sarcină q0 în punctul de abscisă x = a + r , egală cu d E =

dq 2

4πε0 d

=

d x 4πε0 a (a + r − x )2 q0

⋅

24


23/63

5/12/2018


care este orientat pe direcţia axei O x.

Fig. I.23a Deci vectorul intensitate câmp electric produs de toată distribuţia de sarcină q0 în punctul de abscisă x = a + r , va fi egal cu E = u x

a

q0

d x

4πε0 a ∫0 (a + r − x )2

Pentru calculul integralei facem schimbarea de variabil ă u = a + r − x , adică

d u = − d x . Limitele de integrare devin: la x = 0, u1 = a + r şi la x = a, u2 = r . Deci r

du

a

q0 ⎛1⎞ x x 2 E= u4πε0 a a +r − u = u4πε0 a ⎝⎜ u ⎠⎟ a+r = 4πε0 r ( a + r ) u ∫ q0

q0

x

b) For ţa exercitată de distribuţia de sarcină q0 asupra lui q va fi egală cu F =

qq0

4πε0 r (a + r )

u x

qq0

=

2 ⎛

ux

4πε0 r ⎜1 + ⎟ ⎝ r ⎠

a

a

r

r

c) Dacă << 1 , atunci 1 + F= qE=

a ⎞

≅ 1 şi

qq0

xu. 4πε0 r 2 În cazul a r , sarcinile se află la distanţă mare şi se vă d una pe alta ca

fiind punctuale, deci se poate utiliza expresia for ţei lui Coulomb.

25


24/63

5/12/2018


I.24. Într-o regiune din spaţiu se află câmpul electric E

= 200 i N/C, unde i

este versorul axei O x. Calculaţi fluxul electric printr-o suprafaţă S = 1 cm2 aşezată în: a) planul xO z ; b) planul xO y; c). planul yO z . Solu ţ ie

Conform definiţiei, fluxul electric Φe = E ⋅ S = ES cos α , unde α este unghiul dintre vectorul E şi normala la suprafaţă. π =0; a) S = Sk şi Φe = ES cos ( i , k ) = ES cos 2

π = 0; b) S = Sj şi Φ e = ES cos ( i , j ) = ES cos 2 c) S = Si şi Φ e = ES cos ( i , i ) = ES cos0 = ES = 2 ⋅ 10−2 Vm.

I.25.

Un cilindru cu lungimea l şi raza b are axa orientată de-a lungul axei

O x. În regiunea în care se află cilindrul există un câmp electric de intensitate E = 200 i N/C, unde i este versorul axei O x. Calculaţi fluxul electric bazele cilindrului, prin suprafaţa laterală şi fluxul total. Solu ţ ie

Notăm cu n versorul direcţiei normale la suprafaţa cilindrului. În cazul celor două baze, n = i şi respectiv n′ = − i , astfel că

Φ e1 = E ⋅ S = ES cos ( i , i ) = E πb 2 = 200πb 2 Vm, iar

Φ e 2 = E ⋅ S = ES cos ( i , − i ) = − Eπb 2 = −200πb 2 Vm. Pentru suprafaţa laterală, versorul n este orientat pe direcţia razei care este

π perpendicular ă pe axa cilindrului astfel că α = şi Φ e,lateral = 0 . Prin urmare, 2 Φ e,total = Φ e,1 + Φ e,2 + Φ e,lateral = 0 .


26

25/63

5/12/2018


I.26.

O cutie are forma unui cub şi se află într-un câmp electric uniform ca

cel din figura I.26. Calculaţi fluxul electric prin suprafaţa cubului.


Observăm că n′ = −n . Fluxul electric este nenul doar pe feţele cubului normale pe direcţia vectorului E , adică pe feţele superioar ă şi inferioar ă. Pe aceste feţe valoarea fluxului este egală şi de semn opus. Prin urmare, fluxul total prin suprafaţa cubului este nul.

I.27.

Calculaţi vectorul intensitate a câmpului electric generat de o

distribuţie liniar ă de sarcină electrică ρ l de-a lungul unui cilindru de rază r . Solu ţ ie

Conform desenului din figura I.27, contribu ţie la fluxul electric are doar suprafaţa laterală a cilindrului. Pe bazele cilindrului vectorul E este perpendicular pe normala la suprafaţă deoarece acesta este radială conform simetriei cilindrice, astfel că produsul scalar este nul. Deci,

2πrlE =

ρ l l ρ l , de unde E = . ε0 2 πε 0 r

27


26/63

5/12/2018


Fig. I.27

I.28. Calculaţi vectorul E

al câmpului electric generat de o sarcină electrică

distribuită pe un plan infinit cu densitatea ρ S . Solu ţ ie

Consider ăm aria S din planul infinit Σ , care are două feţe (fig. I.28). Observăm că n = − n ′ şi E P = − E P ′′ .

Fig. I.28

Scriem legea lui Gauss: Φ e = S E P ⋅ n + S E P ′′ ⋅ n ′ = 2 S E P ⋅ n =

ρ S S ε

, de

0

unde E P =

ρ S n. 2ε 0

28


27/63

5/12/2018


I.29.

Între doi cilindri lungi şi paraleli, situaţi la o distanţă l unul de celălalt,

se crează o diferenţă de potenţial U 0. Razele conductorilor fiind r 1 şi respectiv, r 2, să se determine intensitatea câmpului electric într-un punct situat la jumătatea distanţei dintre conductori. Solu ţ ie

Intensitatea câmpului electric într-un punct situat la distan ţa x de unul din cilindri, se determină cu ajutorul teoremei superpoziţiei, ca suma dintre intensităţile câmpului electric produse de fiecare din cei doi cilindri (fig. I.29).

Fig. I.29

Aplicând

teorema

lui

Gauss,

E ⋅ 2π xL =

rezultă:

1

E 2 ⋅ 2π(l − x ) L =

q

q

ε

şi

0

, unde L este lungimea cilindrilor.

ε0

ql ⎛ 1 + 1 ⎞ = . ⎜ ⎟ 2πε 0 L ⎝ x l − x ⎠ 2πε 0 Lx (l − x ) q

Atunci, E x = E 1 + E 2 =

Diferenţa de potenţial dintre cilindri este dată de l − r2

U0

=

ql

∫ E dx = x

2πε

r1

=

q

ln

2πε0 L

l −r2

∫

0 L r 1

1

dx=

q

2πε

x( l − x)

ln 0L

x l− x

l − r 2

= r 1

( l − r1 )(l − r2 ) , 1 2r r

de unde rezultă densitatea liniar ă de sarcină q L

2 πε 0U 0

= ln

(l − r 1 )(l − r 2 )

,

r 1 r 2

29


28/63

5/12/2018


iar

E x

=

q

l

L 2πε 0 x (l − x )

Pentru x =

l

2

U 0 l

=

.

x (l − x ) ln (l − r 1 )(l − r 2 ) r 1 r 2

, se obţine intensitatea câmpului electric într-un punct situat la

jumătatea distanţei dintre cei doi cilindri, E = l ln

4U 0 , (l − r 1 )(l − r 2 ) r 1 r 2

iar pentru r 1 = r 2 = r , se obţine

E =

2U 0 . l − r l ln r

I.30. Un corp sferic încărcat electric se află în vid. Densitatea sa volumetric ă

de sarcină electrică are expresia

⎧ ⎛ r 2 ⎞ ⎜ ⎟ ρ = ⎪⎨ρ 0 ⎜⎝ 1 − a 2 ⎠⎟, ⎪0 ⎩

r < a

,

r > a

unde ρ 0 este constant, iar a este raza corpului. Găsiţi expresia vectorului intensitate câmpul electric într-un punct oarecare din spaţiu. ţ

Solu ie

Scriem teorema lui Gauss pentru câmp electric printr-o suprafa ţă sferică concentrică cu corpul, de rază r < a:

∫∫

E ⋅ dS u r =

S

1 ε0

∫∫∫ V

⎛ r 2 ⎞ ρ 0 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dV . ⎝ a ⎠

30


29/63

5/12/2018


Datorită simetriei sferice, E = E u r , cu E = constant, iar dV = 4πr 2 dr . Deci,

E 4πr 2

=

r ⎛ r 2 ⎞ ⎛ r 3 r 5 ⎞ 1 1 4πρ0 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟r 2 dr = 4πρ0 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ , de unde rezultă ε0 ε0 ⎝ 3 5a ⎠ 0 ⎝ a ⎠

∫

ρ r ⎛ 1 E = 0 ⎜

r 2 ⎞ ⎟u . − ε 0 ⎜⎝ 3 5a 2 ⎠⎟ r

I.31.

Calculaţi fluxul de inducţie electrică ce traversează suprafaţa reprezentată în figura I.31, unde inducţia câmpului electric este egală cu

Fig. I.31 − D= ( yu x + xu y ) ⋅10

2

C/m2.

Dimensiunile suprafeţei sunt măsurate în unităţi SI. Solu ţ ie

Fluxul de inducţie electrică prin suprafaţa din figura I.31 este egal cu

31


30/63

5/12/2018


2

3

3

2

3

Φ = D⋅ d S = 10−2 d x yu + xu ⋅ u d z = 10−2 xd x d z = 2 ⋅10−2 xd x = 9 ⋅10−2 C . D

∫ ∫(

∫∫

0

S

0

x

y

)

y

∫ ∫ 0

0

∫ 0

I.32. Un cub cu latura de 1 mm este încărcat electric uniform cu o sarcină cu

densitatea de 10−6 C/m3. Cubul este introdus într-un înveliş sferic cu raza de 1 m. Centrele cubului şi sferei coincid. Calculaţi fluxul de inducţie electrică care traversează suprafaţa sferei. Solu ţ ie

În cub se găseşte o sarcină electrică egală cu produsul dintre densitatea de sarcină şi volumul cubului, adică q = ρV

= ρl 3 = 10−15 C.

Conform legii lui Gauss, fluxul electric care str ă bate suprafaţa sferei este egal cu sarcina electrică inclusă în volumul acesteia, care este egală chiar cu sarcina electrică in interiorul cubului, adică

Φ el = ∫∫ D ⋅ dS = q = 10−15 C. Σ

Observaţie. Valoarea fluxului electric prin suprafaţa sferei nu depinde de poziţia cubului în interiorul acesteia atâta timp cât volumul cubului se află tot în interiorul sferei.

I.33.

Cilindrul din figura I.33 are în ălţimea egală cu unitatea de lungime.

Acesta se află în vid, în câmpul electric de intensitate E = E0 ⎡ xu x+ yu y+ ( z2 − 1) u ⎤z , ⎣ ⎦ unde E 0 este constant. Calculaţi fluxul inducţiei electrice prin suprafaţa cilindrului.

32


31/63

5/12/2018


Fig. I.33

Solu ţ ie

Putem calcula fluxul inducţiei electrice prin suprafaţa cilindrului direct cu ajutorul relaţiei de definiţie a fluxului sau cu ajutorul legii lui Gauss. Prin definiţie, fluxul inducţiei electrice este egal cu

Φ el = ∫∫ D⋅ d S = ε0 ∫∫ E⋅ d S , S

S

unde S este atât suprafaţa laterală a cilindrului cât şi suprafeţele bazelor. În coordonate cilindrice, pentru baza de sus, dS = u z dS , pentru cea de jos, dS = −u z dS , iar pentru aria laterală, dS = a ( u x cos ϕ + u y sin ϕ ) dϕdz . Astfel,

Φ el = ε0 ∫∫ E0 ⎡⎣ xux + yuy + ( z2 − 1) uz ⎤⎦

z =1

⋅ uz d S −

S baz ă

2 ⎡ ⎤ x y −ε S ∫∫ ⎣ xu + yu + ( z − 1) uz⎦ 0

baz ă

E0

2π

1

0

0

z=0

⋅ uzd S −

−ε0 ∫ dϕ∫ E0 ⎡⎣ xu x+ yu y+ ( z2 − 1) u z⎤⎦ ⋅ a( u xcos ϕ + u ysin ϕ ) d z = = 0 + ε0 E0 π a2 + 2ε0 E0 π a2 = 3ε0 E0 π a2 . Cu ajutorul legii lui Gauss se obţine acelaşi rezultat, adică

33


32/63

5/12/2018


Φ =q= el

ρ dV = ε 0 Vol . cil .

∫∫∫

0 Vol . cil .

∫∫∫

Vol . cil .

⎛ ∂ E x

∇E dV = ε

∫∫∫ ⎝⎜ ∂ x

+

∂ E y ∂y

a

2π

1

0

0

0

+

∂E z ⎞

dV = ∂ z ⎠⎟

= ε0 E0 ∫∫∫ (1 + 1 + 2 z)d V = ε0 E0 ∫ rd r ∫ dϕ∫ ( 2 + 2 z)d z = 3ε0 E0 π a2 . Vol . cil .

I.34.

Ar ătaţi în ce mod trebuie s ă varieze permitivitatea într-un mediu

neomogen neîncărcat electric astfel încât ecuaţia lui Laplace să r ămână valabilă. Solu ţ ie

Într-un spaţiu f ăr ă sarcini electrice libere, legea lui Gauss se scrie,

∇ D = 0 . Ştiind că D = εE , rezultă că

∇ ( ε E ) = 0 . Dar, E = −∇V , astfel că

∇ ( ε∇V ) = 0 , unde ε este variabil, adică

∇ ( ε∇V ) = ( ∇V ) ⋅∇ε + ε∇ 2V = 0 . Pentru ca să fie adevărată ecuaţia lui Laplace, ∇ 2V = 0 , trebuie ca

( ∇V ) ⋅∇ε = 0 , adică gradientul lui ε trebuie să fie perpendicular pe intensitatea câmpului electric.

I.35.

Calculaţi cu ajutorul ecuaţiei lui Laplace intensitatea câmpului electric

între două suprafeţe sferice concentrice, având razele de 0,5 m şi respectiv 2 m. Suprafaţa interioar ă are potenţialul electric egal cu 0 V, iar cea exterioar ă are potenţialul egal cu 100 V.

34


33/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Suprafeţele având o simetrie sferică, potenţialul electric nu depinde de direcţie, astfel că ecuaţia lui Laplace se scrie 1 d ⎛ 2 dV ⎞ ⋅ ⎜ r ⎟=0, r 2 dr ⎝ dr ⎠

de unde r2

iar

dV = C =constant , dr 1

dV = C 1 . dr r 2

După integrare, V

=−

C 1 r

+ C 2 .

Condiţiile la limită ne dau ecuaţiile, 0=− şi

C 1

0,5

+ C 2 , în r = 0,5 m şi V = 0

100 = − C 1 + C 2 , în r = 2 m şi V = 100 V. 2 Din cele două ecuaţii rezultă că C 1 =

200 400 Vm şi C 2 = V. 3 3

Astfel, V ( r ) = −

200 400 + . 3r 3

Intensitatea câmpului electric va fi dV 200 E= −∇ V= − = − 2 r u. dr 3r

35


34/63

5/12/2018


I.36. Calculaţi expresia potenţialului electric în exteriorul unei sfere metalice

de rază a, încărcată electric şi având potenţial V 0 integrând ecuaţia lui Laplace ţinând cont de simetria sferică a câmpului electric din jurul sferei încărcată electric. Solu ţ ie

Scriem ecuaţia lui Laplace, ΔV = 0 , în coordonate polare sferice, unde r este distanţa faţă de centrul sferei: 1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂ 2V r + sin θ + =0. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝

Datorită simetriei sferice, V este funcţie doar de r , astfel că ecuaţia devine, 1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞ ⎜ r ⎟=0, r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠

care înseamnă că r 2

∂V dr = constant = C 1 , sau, dV = C 1 2 care la rândul său, după ∂r r

integrare, devine C V = − 1 r

+ C 2 .

Din condiţia ca V = 0, pentru r → ∞ , rezultă că C 2 = 0, iar din condiţia ca V = V 0, pentru r = a, rezultă că C 1 = − aV 0. Astfel, potenţialul la distanţa r de centrul sferei este egal cu: V (r ) =

a

V 0 . r

Dacă în expresia găsită înlocuim pe V 0 cu expresia sa în funcţie de sarcina electrică q de pe sfera metalică, V 0 = V 0

=

a

q

r 4πε 0 a

I.37.

=

q

4πε 0 r

q

4πε 0 a

, obţinem relaţia cunoscută

.

Potenţialul electric produs de o distribuţie de sarcini are expresia în

coordonate carteziene, V ( x, y, z ) = Axy 3 z + Bx 2 y .


36

35/63

5/12/2018


Calculaţi expresia vectorului intensitate câmp electric asociat acestui potenţial. Solu ţ ie

Cele trei componente ale vectorului intensitate câmp electric sunt

şi

xE= −

∂V = − Ay3 z− 2 Bxy, ∂ x

yE = −

∂V = −3 Axy2 z− Bx2 ∂ y

= E− ∂V = − ∂ z Astfel,

z

3

Axy .

E = − ( Ay3 z+ 2 Bxy) i − ( 3 Axy2 z+ Bx2 ) j − Axy3 k .

I.38.

Consider ăm că potenţialul electric generat de un sistem de sarcini

electrice variază de-a lungul axei x ca în figura I.38. Potenţialul electric este constant de-a lungul celorlalte direcţii.

Fig. I.38 Determinaţi intervalul în care intensitatea câmpului electric E x a). are modulul maxim;

37


36/63

5/12/2018


b). are valoarea cea mai mică; c). Reprezentaţi grafic modulul lui E x în funcţie de x ; d). Ce distribuţie de sarcini produce astfel de salturi de potenţial? Solu ţ ie

a). Conform relaţiei, E x = −

∂V , panta cea mai mare apare în intervalul ab ∂ x

care are valoarea 25 V/m. b). Conform aceleaşi relaţii, E x este nul în intervalul cd . c). Graficul este reprezentat în figura I.38a d). Astfel de salturi de poten ţial sunt determinate de distribu ţii de sarcini plane (straturi subţiri plane încărcate electric) paralele cu planul yO z care intersectează axa x în punctele b, c, d .

Fig. I.38a

38


37/63

5/12/2018


I.39.

Potenţialul electric produs de o distribuţie de sarcini are expresia în

coordonate carteziene, V ( x, y , z ) = Ax 2 y 2 + Bxyz . Calculaţi expresia vectorului intensitate câmp electric asociat acestui potenţial. Solu ţ ie


x

∂V E = − ∂ x = −2

yE = − şi

z

=E−

2

Axy −

Byz ,

∂V = −2 Ax2 y− Bxz ∂ y ∂V =− ∂ z

.Bxy

Astfel, E= − ( 2 Axy2 + Byz) i − ( 2 Ax2 y+ Bxz) j− Bxyk.

I.40. Consider ăm un sistem de două sarcini electrice ca cele din figura I.40.

Fig. I.40 Calculaţi potenţialul electric generat de cele dou ă sarcini într-un punct de pe axa x , aflat la distanţa x de originea axelor şi reprezentaţi grafic funcţia obţinută.

39


38/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Potenţialul electric într-un punct este egal cu suma algebric ă a potenţialelor generate de fiecare sarcină electrică ca şi cum ar fi singur ă, adică V ( x) =

1 q 1 −q 1 ⎛ q q ⎞ ⋅ + ⋅ = − = ⎜ 4πε 0 x − a 4πε 0 x + a 4πε0 ⎝ x − a x + a ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎜ 1 q ⎟ = = V 0 ⎜ − ⎟, 2πε0 ( x 2 − a 2 ) ⎜⎜ x − 1 x + 1 ⎟⎟ a ⎝a ⎠ qa

q

unde V 0 = 4πε0 a . În figura I.40a este reprezentată funcţia

V ( x) V 0

în funcţie de

Observăm că funcţia V ( x ) este discontinuă în

x a

x a

.

= ±1 unde sunt localizate

cele două sarcini.

I.41.

Calculaţi potenţialul electric generat de o distribuţie de sarcină

electrică cu densitatea volumetrică ρ aflată într-o sfer ă de rază a şi reprezentaţi grafic funcţia V ( r ) .

40


39/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Folosim expresia calculată pentru vectorul E la seminarul anterior (fig. I.41), E =

şi

ρr n , r < a 3ε 0

ρ R 3 E = 2 n , r > a . 3r ε 0

Fig. I.41 Astfel,

şi

V 1

= − ∫ E ⋅ dr = −

ρ r 2 d = − ρ + C 1 , pentru r < a r r 3ε 0 ∫ 6ε 0

V 2

= − ∫ E ⋅ dr = −

ρa 3 dr a3 = ρ + C , pentru r > a . 3ε 0 ∫ r 2 3ε 0 r 2

Pentru a determina cele două constante punem condiţia ca în r = 0 , V 1 = 0 , astfel că C 1 = 0 . Cele două expresii trebuie să fie egale în r = a , adică V 1 (a ) = V 2 (a ) , sau

Prin urmare,

−ρ

a2

6ε 0

=ρ

a3

3ε 0 a

+ C 2 , de unde C 2 = −

ρa 2 . 2ε 0

ρ ⎧⎪⎪ − 6ε 0 r 2 , r ≤ a V (r ) = ⎨ 2 . ρ a ⎛ a 1 ⎞ ⎪ − , r > a ⎪⎩ ε 0 ⎜⎝ 3r 2 ⎠⎟

În figura I.41a este reprezentată dependenţa V (r ) .

41


40/63

5/12/2018


Fig. I.41a

I.42.

Trei sarcini electrice q , 2q şi − q sunt aşezate în vârfurile unui

triunghi dreptunghic isoscel ca cel din figura I.42. a). Calculaţi potenţialul electric produs de cele trei sarcini electrice în punctul P aflat la jumătatea ipotenuzei triunghiului dreptunghic isoscel. b). Calculaţi energia potenţială înmagazinată în sistemul de sarcini electrice. Consideraţi că V ( ∞ ) = 0 . Care este semnificaţia semnului r ăspunsului obţinut? c). A patra sarcină electrică egală cu +3q este adusă de la infinit până în punctul P. Calculaţi lucrul mecanic efectuat. Care este semnifica ţia semnului r ăspunsului obţinut?

Fig. I.42

42


41/63

5/12/2018


Solu ţ ie

a). V P =

b). W = r 23

q

2 4πε0 a 2

+

2q 2 4πε0 a 2

−

q

2 4πε0 a 2

=

q

2πε0a

.

1 ⎛ q1q2 q1q3 q2 q3 ⎞ + + ⎜ ⎟ , unde q1 = q , q2 = 2q , q3 = − q , r12 = a , 4πε0 ⎝ r12 r13 r 23 ⎠

= a şi r13 = a 2 . Astfel, W =

2 1 ⎛ 2q 2 q 2 2 q 2 ⎞ q − − =− . ⎜ ⎟ 4πε0 ⎝ a a 2 a ⎠ 4 2πε0a

Semnul minus are semnificaţia faptului că lucrul mecanic este efectuat asupra celui care formează ansamblul de sarcini electrice aducându-le de la infinit până în poziţiile ocupate de acestea. c). L= 3 qV=

3q 2 . 2πε0 a

Semnul plus are semnificaţia faptului că lucrul mecanic este efectuat asupra ansamblului de sarcini electrice de către cel care aduce sarcinile electrice de la infinit până în poziţiile ocupate de acestea.

I.43. În figura I.43 este reprezentată

dependenţa potenţialului electric produs

de un ansamblu de sarcini electrice de coordonata z .

Fig. I.43

43


42/63

5/12/2018


Potenţialul electric nu depinde de coordonatele x şi y . În intervalul

−1 ≤ z ≤ 1 , potenţialul electric variază conform relaţiei, V ( z ) = 15 − 5 z 2 . În afara acestui interval potenţialul variază liniar cu z . a). Stabiliţi dependenţa de z a intensităţii câmpului electric în domeniul

−1 ≤ z ≤ 1 . b). Calculaţi componenta E z pentru z > 1 . c). Calculaţi componenta E z pentru z < −1 . d). Reprezentaţi grafic rezultatele obţinute la punctele a, b şi c. Solu ţ ie

a). În intervalul −1 ≤ z ≤ 1 , E z = −

∂V = 10 z . ∂ z

b). Pentru z > 1 , conform figurii I.43,V ( z ) = 20 − 10 z , în unităţi S.I. Astfel, E z = −

∂V V = 10 . ∂ z m c). Pentru z < −1 , conform figurii I.43, V ( z ) = 20 + 10 z , în unităţi S.I.

Astfel, E z = −

∂V V = −10 . ∂ z m

d). În figura I.43a este reprezentată întreaga dependenţă a lui E z de z .

Fig. I.43a

44


43/63

5/12/2018


a). Calculaţi potenţialul câmpului electric generat de patru sarcini identice q dispuse pe laturile unui pătrat de latur ă 2a (vezi figura I.44), în punctul M I.44.

al planului xO y aflat în apropierea punctului O, astfel încât x << a şi y << a . Scrieţi ecuaţia suprafeţelor echipotenţiale. b). Calculaţi pentru acelaşi sistem de sarcini electrice intensitatea câmpului electric în punctul M şi scrieţi ecuaţia liniilor de câmp.


a).Potenţialul electric, V ( M ) =

unde

⎛ 1 − 1 + 1 − 1 ⎞, 4πε0 ⎜⎝ AM BM CM DM ⎟⎠ q

2

AM= ( x- a) + y2 , iar

1 1 = ⋅ AM a

1 ⎛ x 2 x2 − y2 ⎞ ≅ ⎜1 + + 2a 2 ⎟ . 2 x x2 + y2 a ⎝ a ⎠ 1− + 2 1

a

a

Schimbând a în −a şi x în y obţinem

1 1 ⎛ x 2 x2 − y2 ⎞ ≅ ⎜1 − + , CM a ⎝ a 2a 2 ⎟⎠ 1 1 ⎛ y 2 y2 − x2 ⎞ ≅ ⎜1 + + , BM a ⎝ a 2a 2 ⎟⎠ 1 1 ⎛ y 2 y2 − x2 ⎞ ≅ ⎜1 − + . DM a ⎝ a 2a 2 ⎟⎠

45


44/63

5/12/2018


Prin urmare, V ( M) =

⎛ 2 x2 − y 2 − 2 y 2 − x 2 ⎞ = 3q ( x 2 − y 2 ) . ⎟ 4πε a 3 4πε0 ⎜⎝ a3 a3 ⎠ 0 q

Suprafeţele echipotenţiale au ecuaţia x 2 − y 2

= constant.

Acestea sunt hiperbole cu asimptotele dreptele y = ± x . b). Componentele vectorului intensitate câmp electric sunt, E x

=−

∂V 6qx =− , ∂ x 4πε a 3 0

E y

=−

E z = −

∂V 6qy = , ∂ y 4πε0 a 3

∂V =0. ∂ z

Ecuaţia liniilor de câmp se scrie d x E x

sau

=

dy E y

,

− d x = dy , adică xy = constant, care sunt hiperbole perpendiculare pe x

y

suprafeţele echipotenţiale.

I.45.

Calculaţi diferenţa de potenţial electric generată de sarcina electrică

distribuită de-a lungul unui conductor lung cu densitatea ρ l între punctele P1 şi P2 din figura I.45.

Fig. I.45

46


45/63

5/12/2018


Solu ţ ie

Folosim expresia pentru vectorul E din cazul unei distribuţii cilindrice (fig.I.45), E =

ρ l u . 2πε 0 r r

Potenţialul electric în punctul P1 are expresia, V 1

= − ∫ E ⋅ dr = −

ρ l dr ρ = − l lnr + C . ∫ 2πε 0 r 2πε0

Diferenţa de potenţial între punctele P şi P este egală cu 1 P 2

V 1 − V 2

= − ∫ E ⋅ dr = P 1

I.46.

2

ρ l r ln 1 . 2πε0 r 2

Calculaţi potenţialul electric generat de sarcina electrică distribuită pe

un disc circular de rază a cu densitatea superficială ρ S Solu ţ ie

Desenăm mintal pe suprafaţa discului un inel de grosime d s cu raza s (figura I.46). Sarcina electrică de pe suprafaţa inelului este egală cu dq = ρ 2 π sd s . S

Fig. I.46

47


46/63

5/12/2018


Distanţa de la un punct de pe inel şi punctul P exterior discului este egală cu r = s 2 + y 2 . Astfel, potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electric ă

de pe suprafaţa discului este egal cu

V P =

a a ρ ρ 1 dq 2 πρ S sd s = = S y 2 + s 2 = S y 2 + a 2 − y . 0 2ε 0 4πε 0 r 4 πε 0 0 y 2 + s 2 2ε 0

∫

(

∫

Observăm că în y = 0 , V (0) =

I.47.

)

ρ S a . 2ε 0

Calculaţi potenţialul electric generat de sarcina electrică distribuită cu

densitatea superficială ρ S pe o pătur ă sferică de rază a. Solu ţ ie

Pe suprafaţa sferei se află sarcina electrică q = 4πa 2 ρ S . Potenţialul electric generat în punctul P de această sarcină electrică este egal cu

ρ S dS ρ S 2πa 2 sinθdθ ρ S a 2 sinθdθ V P = ∫∫ = = , r 4πε0 r ∫∫ 4πε 0 r 2ε 0 ∫∫ S S S unde dS = 2πa 2 sinθdθ , asinθ fiind raza calotei sferice, iar adθ înălţimea acesteia (fig. I.47).

Fig. I.47

48


47/63

5/12/2018


Observăm că r 2 = R 2 + a 2 − 2aRcosθ , iar 2r dr = 2aRsinθdθ , de unde r r sinθdθ = d . aR

Astfel, V P =

ρ S a 2 2ε 0

r dθ

∫∫ raR S

=

ρ S a R + a ρ S a 2 ⋅ r = . 2ε 0 R R − a ε 0 R

Pe suprafaţa sferei, R = a şi V P =

ρ S R . ε0

I.48.

l

O bar ă izolatoare de lungime

este încărcată cu o sarcină electrică de

densitate liniar ă λ distribuită uniform pe suprafaţa barei. a). Calculaţi potenţialul electric în punctul P aflat pe perpendiculara pe axa barei în centrul acesteia, la distan ţa y . b). Reprezentaţi grafic funcţia V ( y ) . c). Calculaţi expresia intensităţii câmpului electric în punctul P în limita l

>> y .

Solu ţ ie

a). Consider ăm un element d x din lungimea barei, aflat la distanţa x de mijlocul barei şi care este încărcat cu sarcina electrică dq = λdx , ca în figura I.48. Coordonatele elementului d x sunt ( x,0) , iar ale punctului P sunt ( 0, y) , astfel că distanţa de la elementul d x la punctul P este egală cu x 2 + y 2 . Sarcina dq contribuie la potenţialul electric din punctul P cu

dV P =

dq λdx = . 4πε0 r 4πε0 x 2 + y 2

Potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electrică de pe toată bara va fi egal cu

49


48/63

5/12/2018


V

( y) =

P

λ

2

l

d x x 2

4πε0 − ∫ 2 l

+

λ

= y2

⎛ l ⎜ + λ ⎜ 2 = ln ⎜ 4πε0 ⎜ l ⎜−2+ ⎝

ln x + x 2 + y 2

4πε0

(

l

)

⎛ l ⎞ + y 2 ⎞⎟ ⎜2⎟ ⎟. ⎝ ⎠ ⎟ 2 ⎛ l ⎞ + y 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠

2 l

=.

− 2

2

Fig. I.48

Fig. I.48a

b). În figura I.48a este reprezentată funcţia V ( y ) V 0 , unde V 0 = λ , în 4πε0 funcţie de y l . c). Dacă l >> y , expresia potenţialului electric în punctul P devine

⎛ l ⎜ + λ ⎜ 2 V P ( y ) = ln ⎜ 4πε0 ⎜ l ⎜−2+ ⎝

2

⎛ l ⎞ + y 2 ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ l ⎞ + y 2 ⎜2⎟ ⎝ ⎠

2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 + 1 + ⎛⎜ 2 y ⎞⎟ ⎟ ⎟ = λ ln ⎜ ⎝ l ⎠ ⎟≅ ⎟ 4πε ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ −1 + 1 + ⎛ 2 y ⎞ ⎟ ⎜ l ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ 2

⎛l⎞ ⎛l⎞ λ λ ≅ ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ , 4πε0 ⎝ y ⎠ 2πε0 ⎝ y ⎠ 2

2

2 y 1 2y 2 y 2 unde am folosit dezvoltarea 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ ≅ 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ = 1 + 2 şi am considerat că 2⎝ l ⎠ l ⎝ l ⎠ 2+

2 y2 l

2

≅ 2 , deoarece

y l

<< 1.

50


49/63

5/12/2018


Din cauza simetriei, vectorul intensitate câmp electric va avea componentă doar după direcţia y , astfel că l

∂V λ 2 E y = − P = ⋅ . ∂ y 4πε0 ⎛ l ⎞2 2 ⎜ 2 ⎟ + y ⎝ ⎠

I.49.

Un inel izolator cu raza R este încărcat electric uniform cu densitatea

liniar ă λ . a). Calculaţi potenţialul electric într-un punct P aflat pe perpendiculara dusă în centrul inelului, la distanţa z de centru (figura I.49). b). Calculaţi expresia intensităţii câmpului electric în punctul P în limita z >> R şi comparaţi cu rezultatul obţinut în problema I.19.


a). Consider ăm un element de lungime de arc de cerc dl = Rdϕ pe care se află sarcina electrică dq = λdl = λRdϕ . Contribuţia acestei sarcini electrice la poten ţialul electric din punctul P este dV P =

dq λRdϕ = . 4πε0r 4πε0 R 2 + z 2

Potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electric ă de pe întregul inel va fi egal cu

51


50/63

5/12/2018


V

λ R

2π

4πε0 R2 + z2

∫

( y) =

P

2πλR

dϕ =

unde q = 2πλR .

4πε0

0

R2

q

= + z2

4πε0

,

R2 + z 2

La limita z >> R , expresia potenţialului electric în punctul P devine identică cu cea pentru o sarcină electrică punctuală, V P ( y ) ≅

q

4πε0 z

.

b). Vectorul intensitate câmp electric va avea componentă doar după direcţia z din cauza simetriei, astfel că

E z = −

∂V P q z = ⋅ . ∂ z 4πε0 R 2 + z 2 3 ( )

I.50.

Într-o regiune din spaţiu potenţialul electric are expresia

V ( x, y, z ) = V0 − E0 z +

E0a 3 z

( x2 +

y2 + z2 )

32

, unde a este o constantă cu dimensiunea

fizică de lungime. Calculaţi componentele x , y şi z ale vectorului intensitate câmp electric. Solu ţ ie


şi

E x

=−

∂V 3E0 a3 xz = , ∂ x ( x2 + y2 + z2 ) 5 2

E y

=−

∂V 3E0 a 3 yz = ∂ y ( x2 + y2 + z2 ) 5 2

E z = −

3 2 2 2 E0 a ( x + y − 2 z ) ∂V . = E 0 − 52 ∂ z ( x2 + y2 + z2 )

52


51/63

5/12/2018


I.51.

Într-un sistem de axe carteziene, se consider ă trei puncte de

coordonate: A (1, 2, 3), B (0, -1, 2) şi C (1, 2, 4). În acest spaţiu se manifestă un câmp electrostatic cu intensitatea exprimată prin vectorul: E = 3u x + u y + 4u z . a) Calculaţi diferenţele de potenţial electric V AB, V BC, V AC; b) Calculaţi potenţialele electrice ale punctelor A, B şi C, considerând ca punct de referinţă cu potenţial nul originea axelor de coordonate. Solu ţ ie

Prin definiţie: A

V AB

∫

= − E ⋅ d r şi, în mod similar, se exprimă şi V BC şi V AC. Condiţia de B

echilibru electrostatic a sistemului se scrie V AB + V BC + V AC = 0. a) Astfel, prin explicitarea relaţiilor de definiţie se obţine, în situaţia câmpului electric omogen: A

V AB

∫

= − E d r = − E ( r A − r B ) = B

= −( xA − xB ) E x − ( yA − yB ) E y − ( z A − z B ) E z = = −(1 − 0) ⋅ 3 − (2 + 1) ⋅ 1 − (3 − 2) ⋅ 4 = −10 (V) În mod similar se obţine: B

V BC

A

∫

∫

= − E ⋅ d r = +10 (V) şi V AC = − E ⋅ d r = 0 (V) . C

C

Rezultă că vectorul E este perpendicular pe segmentul AC , iar punctele A şi C se află la acelaşi potenţial electrostatic.

b) Dacă potenţialul originii este zero, calculăm potenţialele punctelor A, B şi C prin integrale de forma: A

V A

∫0

= − E ⋅ d r = −17 V şi, similar, rezultă V B = - 7 V şi V C = 17 V.

53


52/63

5/12/2018


I.52.

O sarcină electrică q1 = 5 μC este localizată în originea axelor de

coordonate, iar altă sarcină electrică q2 = - 3 μC în punctul de coordonate (10,0). Calculaţi potenţialul electric şi vectorul intensitate câmp electric în punctul de coordonate (0,30). Coordonatele sunt exprimate în metri. Solu ţ ie

În fig. I.52 sunt reprezentate pozi ţiile celor două sarcini electrice şi punctul P(0,30) în care vom calcula potenţialul electric creat de cele dou ă sarcini şi vectorul intensitate câmp electric corespunzător. Vom calcula mai întâi potenţialul electric produs de cele două sarcini electrice într-un punct oarecare A( x, y):

Fig. I.52

V A

=

q1 2

4πε 0 x + y

2

+

q2 2

4πε 0 ( x − 10) + y

2

=

⎛ 5 ⎞ 3 ⎟ = 646V , = 9 ⋅ 10 3 ⎜ 2 − 2 ⎜ x + y 2 2 ⎟ ( x − 10) + y ⎠ ⎝ unde x = 0 şi y = 30. Conform relaţiei între potenţialul electric şi vectorul intensitate câmp electric, E = −

adică: E x = −

∂V ∂V ∂V = − u x − u , ∂r ∂ x ∂ y y ∂V 10 −6 = ∂ x 4 πε0

⎡ ⎤ 5 x 3( x − 10) V − = 8 , 5 , ⎢ 2 ⎥ 3 2 3 2 m ⎢⎣ ( x + y 2 ) [( x − 10)2 + y 2 ] ⎥⎦

54


53/63

5/12/2018


⎤ ∂V 10 −6 ⎡ 5 y 3 y V y 2 2 3 2 2 3 2 iar E = − ∂ y = 4πε 0 ⎢⎣ ( x + y ) − [( x − 10) + y 2 ] ⎥⎦ = 24,4 m . Astfel, E = E x u x + E y u y

I.53.

V ⎞ = 8,5u x + 24,4u y ⎛ ⎜ ⎟. ⎝ m ⎠

Două sarcini electrice q1 = 3μ C şi q2 = −4μ C se află iniţial la distanţa

Sub acţiunea unui câmp extern sarcinile electrice ajung la distan ţa r 1 = 5 cm. Calculaţi: a). lucrul mecanic efectuat de câmpul exterior pentru a r 0 = 2 cm.

îndepărta cele două sarcini electrice; b). energia sistemului de sarcini electrice în starea iniţială când se află la distanţa r 0 ; c). variaţia energiei potenţiale electrice a sistemului de sarcini electrice la îndepărtarea acestora de la distanţa r 0 la distanţa r 1 . Solu ţ ie

a). L = q1q2 ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ = 3,24 J. 4πε0 ⎝ r1 r 0 ⎠ b). W 0 =

q1 q2

4πε0 r 0

c). ΔW p = −

= −5,4 J.

⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ = −3,24 J. 4πε0 ⎝ r1 r 0 ⎠ q1 q2

I.2. Câmpul electric din jurul conductoarelor. Condensatori I.54.

Un condensator plan are capacitatea egal ă cu 112 pF, aria suprafeţei

unei armături 96,5 cm2 şi este umplut cu mică care are constanta dielectrică egală cu 5,40. Condensatorul este alimentat la o tensiune continuă egală cu 55 V. Calculaţi: a). intensitatea câmpului electric din condensator;

55


54/63

5/12/2018


b). sarcina electrică de pe armăturile condensatorului; c). polarizaţia electrică indusă în dielectricul dintre plăcile condensatorului. Se cunoaşte ε0 = 8,85 ⋅10−12 F/m. Solu ţ ie

a). Din E =

U l

şi C =

ε0ε r S

q = CU = 6,16 b).

l

, rezultă E =

CU

ε0εr S

= 13,35 kV/m.

nC; 2

, rezultă P = ε ( ε − 1) E = 520 nC/m c). Din D= ε ε E= ε E+ P 0 r

I.55.

0

0

r

Deduceţi expresia capacităţii unui cablu coaxial utilizând ecuaţia lui

Laplace în coordonate cilindrice. Solu ţ ie

Ecuaţia lui Laplace în coordonate cilindrice se scrie sub forma 2V 2V V ∇ 2V = 1 ⋅ ∂ ⎛⎜ r ∂ ⎞⎟ + 12 ⋅ ∂ 2 + ∂ 2 = 0 . r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂ϕ ∂z

Cablul coaxial având o simetrie cilindrică, potenţialul V nu depinde de direcţii, adică depinde doar de coordonata r , astfel că ecuaţia r ămâne

1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ ⋅ ⎜ r ⎟ = 0 , r ∂r ⎝ ∂r ⎠

sau 1 d ⎛ dV ⎞ r ⋅ dr ⎜⎝ r dr ⎟⎠ = 0 . Multiplicăm cu r şi integr ăm, adică

d ⎛ dV ⎞ r = 0 dr ⎜⎝ dr ⎟⎠

şi

r

dV dr = A sau, după separarea variabilelor, dV = A dr r

După încă o integrare,

56


55/63

5/12/2018


V

= A ln r + B .

Suprafeţele echipotenţiale sunt date de ecuaţia r = constant şi sunt suprafeţe cilindrice. Pentru condensatorul cilindric alegem o diferenţă de potenţial egală cu V 0 între cele două suprafeţe cilindrice. Astfel, V = V 0 în r = a şi V = 0 în r = b , un de b>a.

Astfel, condiţiile la limită se scriu

V0

şi

0 = Aln b + B ,

= A ln a + B V 0 V ln b şi B = 0 , iar b b

de unde A = −

ln a V

ln

= V 0

ln

ln a

b r . b a

Atunci, intensitatea câmpului electric E

=−

dV V = 0 ur . dr r ln b a

Sarcina electrică este egală cu q = 2πaLD ⋅ ur

r =a

= 2πaLε

V 0 a ln

b a

.

Prin urmare, capacitatea C =

q V

=

2πεL ln

b

a

I.56.

Consider ăm un strat sferic conductor cu raza interioar ă a şi raza

exterioar ă c . Spaţiul dintre cele două suprafeţe este umplut cu doi izolatori diferi ţi astfel încât constanta dielectrică între a şi b este εr 1 , iar între b şi c este εr 2 . (figura I.56). a). Calculaţi capacitatea sistemului.

57


56/63

5/12/2018


b) Ce devine relaţia de la punctul a) dacă εr1 , ε r 2 → 1 .

Fig.I.56 Solu ţ ie

a). Sistemul poate fi considerat ca fiind format din doi condensatori legaţi în serie deoarece tensiunea electrică aplicată pe sistem este egală cu suma dintre tensiunile electrice aplicate pe fiecare din cei doi condensatori. Pentru un condensator sferic cu razele interioar ă r 1 şi exterioar ă r 2 , umplut cu un izolator cu constanta dielectrică ε r , capacitatea este egală cu

⎛ r1r 2 ⎞ ⎟, ⎝ r2 − r 1 ⎠

C = 4πε0ε r ⎜

iar capacitatea a doi condensatori C 1 şi C 2 , legaţi în serie este egală cu

C serie

=

C1C 2 C1 + C 2

.

Astfel, ab ⎞ bc ⎞ 4πε0ε r1 ⎛⎜ ⋅ 4πε0ε r 2 ⎛⎜ ⎟ ⎟ 4πε ε ε abc b−a c−b r r serie C = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ab ⎞ ⎛ bc ⎞ εr 2c ( b − a0 ) +1 ε2r 1a ( c − b ) . 4πε0ε r1 ⎛⎜ + 4 πε ε 0 r 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝b−a⎠ ⎝ c−b ⎠

b). Dacă ε r1 , ε r 2 → 1 , C serie

=

4πε0 abc c (b − a ) + a (c − b)

=

4πε0 ac . c−a

58


57/63

5/12/2018


I.57.

Calculaţi capacitatea echivalentă a sistemului de condensatori din

figura I.57.

Fig..I.57

Solu ţ ie C 1 şi C 2

sunt legaţi în paralel astfel că C12 = C1 + C 2 ,

iar C 12 şi C 3 sunt legaţi în serie , Prin urmare, C 123

I.58.

=

C12C 3 C12 + C3

=

( C1 + C2 ) C 3 . C1 + C2 + C3

Calculaţi capacitatea echivalentă a configuraţiei de condensatoare din

figura I.58.


Condensatorii de pe fiecare ramur ă sunt legaţi în serie astfel că valoarea capacităţii echivalente pe fiecare din acestea este cea din figura I.58a. Ramurile sunt legate în paralel şi capacitatea echivalentă totală este egală cu


59

58/63

5/12/2018


Cechiv

1 1 11 = C ⎛1 + + ⎞ = C . ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟ 6

Fig. I.58a

I.59.

O baterie cu tensiunea electromotoare de 12 V alimentează electric

patru condensatori legaţi ca în figura I.59. Se cunosc valorile: C 1 = 1μ F, C 2 = 2μ F, C 3

= 3μ F şi C 4 = 4μ F. a). Calculaţi capacitatea echivalentă a condensatoarelor C 1 şi C 2 dacă

întrerupătorul S este deschis; ţi sarcina electrică de pe fiecare condensator dacă întrerupătorul S b).C alcula este deschis;

c). Calculaţi sarcina electrică de pe fiecare condensator dacă întrerupătorul S este închis.


a). Dacă S este deschis, C 1 şi C 2 sunt legate în serie şi capacitatea echivalentă este


60

59/63

5/12/2018


C 12

=

2 = μ F; C1 + C 2 3 C1C 2

b). q1 = q2 = EC 12 = 8μ C, iar q3 = q4 = EC34 = E

C3C 4

C3 + C 4

= 20,57μ C;

c). Dacă S este închis C 1 şi C 3 , şi respectiv C 2 şi C 4 sunt legate în paralel, Din

E = U1 + U2 ,

ecuaţiile

U 1 =

q1 C1

=

q3 C 3

şi

U 2

=

q2 C2

=

q4 C 4

,

iar

q1 + q 3 = q2 + q4 , rezultă U1 = 3 U 2 şi

2

q2

apoi U 1 = 7, 2 V, iar U 2 = 4,8 V. Astfel, q1 = 7 ,2μ C,

= 9,6μ C, q3 = 21,6μ C şi q4 = 19,2μ C.

I.60.

Un condensator plan cu armături circulare paralele, de rază R = 6 cm,

aflate la o distanţă x1 = 1 mm, dielectric fiind aerul, este conectat la tensiunea V = 3000 V. Calculaţi: a) for ţa de atracţie dintre armăturile condensatorului; b) variaţia energiei electrice din condensator la deplasarea armăturilor condensatorului la distanţa x2 = 5 mm una faţă de cealaltă, menţinând constantă tensiunea electrică aplicată. Solu ţ ie

Lucrul mecanic d Lmec ce trebuie efectuat în câmp electrostatic pentru deplasarea uneia dintre armături cu distanţa elementar ă d x (fig. I.60), la aplicarea for ţei F mec, este o măsur ă a variaţiei energiei electrostatice dW a ansamblului celor două ar mături ale condensatorului:

⎧d Lmec = F mec d x ⎨ ⎩ d Lmec = d W

61


60/63

5/12/2018


Energia electrostatică a unui condensator de capacitate C cu sarcina q pe fiecare dintre armături, între care este aplicată diferenţa de potenţial ΔV, are expresia: W =

2 1 1 2 1q q ⋅ ΔV = C (ΔV ) = ; 2 2 2 C

ε S C = 0 x1

, unde x1 este distanţa

iniţială dintre armături, iar S = π R 2 este aria suprafeţei fiecărei armături.

Fig. I.60 La deplasarea relativă infinitezimală a armăturilor, menţinând constantă diferenţa de potenţial dintre armături, energia electrostatică a condensatorului variază prin modificarea infinitezimală a capacităţii electrice: F mec d x =

1 (ΔV )2 d C 2

a) For ţa de atracţie electrostatică F el ce se opune deplasării mecanice relative din exterior a armăturilor are expresia: F mec

= − F el = 1 (ΔV )2 d C = − 1 (ΔV )2 ε 02S = 0,45 N 2 d x 2 x1

de unde rezultă lucrul mecanic necesar deplasării relative a armăturilor: x2

b) Lmec = ∫

x1

2

2

( ΔV ) ε0 πR 2 x d x ( ΔV ) ε0 πR 2 ⎛ 1 1 ⎞ Fmec d x= − ⎜ x− x⎟ . ∫ 2x = 2 2 2

x1

⎝

2

1

⎠

Prin efectuarea acestui lucru mecanic are loc o variaţie a energiei câmpului

62


61/63

5/12/2018


electrostatic al condensatorului, ΔW el = Lmec = 3,6×10−4 J. I.61.

Patru condensatori, cu ca pacitatea de 1 μ F fiecare, sunt legaţi în

paralel, încărcaţi la 200 V şi descărcaţi printr-un fir de cupru cu lungimea de 5 mm. Firul are rezistenţa de 4 Ω pe metru şi masa egală cu 0,045 g pe metru. Ce se întâmplă cu firul? Se topeşte? De ce ? Temperatura de topire a cuprului este egală cu 1356°C, căldura specifică c = 380 J/kgK, iar temperatura mediului ambiant este de 25°C. Solu ţ ie

Capacitatea echivalentă a condensatorilor este egală cu C p

= nC = 4μ F,

astfel că energia electrică înmagazinată în aceştia este egală cu

W

1 = CV 2 = 0,08 J. 2 −6

Rezistenţa electrică a firului este R = 0,02Ω şi masa sa m = 0,0225 ⋅10 kg. Căldura necesar ă pentru atingerea temperaturii de topire este egală cu Q = mc ( ttopire − tmediu ) = 0,11 J.

Deoarece Q > W rezultă că firul nu se va topi.

I.62.

a

Calculaţi energia înmagazinată în jurul unui strat sferic metalic de rază

încărcat cu sarcina electrică q . Solu ţ ie

Intensitatea câmpului electr ic generat de o sarcină electrică q , distribuită pe un strat sferic metalic de rază a , este egală cu


63

62/63

5/12/2018


⎧ q u , r>a ⎪ 2 r E = ⎨ 4πε0 r . ⎪ 0, r < a ⎩ Densitatea de energie înmagazinată în sistem este egală cu wel =

1 q2 ε0 E 2 = , 2 32π2ε0 r 4

în exteriorul sferei şi zero în interiorul sferei. Energia înmagazinată în spaţiul din jurul stratului sferic este egală cu ∞

∞

∞

dr

= ∫a w 4πr dr = ∫a 32π ε0 4πr dr = 8πε0 ∫a

r2

2

el

W

q2 2

el

2

q2

r4

unde 4πr 2dr este elementul de volum, iar V =

q

4πε0a

q2

1 = 8πε0 a = 2 qV , este potenţialul electric pe

suprafaţa stratului sferic. Am ţinut cont că V ( ∞ ) = 0 . De fapt, energia sistemului calculată este egală cu lucrul mecanic efectuat pentru a încărca sistemul cu sarcina electrică q , adică q

W

= Vdq =

∫

q

∫ 4πε0a 0

dq =

q2

.

8πε0 a

64


63/63

Probleme Camp Electric

Recommend Documents