Problemas_Inv_Op1 Auto Guard Ado) 03082010 (2) FINAL

Problemas para clase

Investigación de Operaciones 2010 02

1. Distribuidora Distribuidora del Sur vende vende automóviles automóviles y vagonetas. vagonetas. La compañía compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 300 automóviles automóviles ni más de 200 vagonetas vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores distribuidores es de 2 horas para cada automóvil automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades. Objetivo: Zmax= 300x1+400x2 Sujeto a: 2x1+3x2 < 900 x1 < 300 x2 < 200 x1,x2 > 0

2. “Dulces “Dulces y bombones” bombones” fabrica fabrica tres product productos os que han causado causado revuelo revuelo entre entre los niños de México, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Bad, Bud y Bid. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes (cuyos nombres en código son Alfa, Beta y Gamma. Las cantidades cantidades en gramos de cada ingrediente que se requieren para fabricar una unidad de estos productos .se muestran en la siguiente tabla: Tabla

Producto Bad Bud Bid

Alfa 4 3 2

Ingrediente Beta 7 9 2

Gamma 8 7 12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800 y 1000 kilogramos de los ingredientes Alfa, Beta y Gamma. Bajo las condiciones condiciones actuales actuales del mercado, las contribuciones contribuciones a las utilidades para los productos son $1.80 para Bad, $1.00 para Bud y $1.20 para Bid. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos que deben fabricarse. Objetivo: Zmax = 1.8 x1+1x2+1.20x3 Sujeto a: 4x1+3x2+2x3<400,000 7x1+9x2+2x3<800,000 8x1+7x2+12x3<1,000,000 X1,x2,x3>0

3. “Ele “Elect ctró róni nica ca Feli Feliz” z” fabr fabric icaa part partes es elec electr trón ónic icas as para para apar aparat atos os de radi radiof ofón ónic icos os.. La compañía ha decidido decidido fabricar fabricar y vender radios de AM/FM AM/FM y tocacintas. tocacintas. Ha construido una planta que puede operar operar 48000 horas semanales. La producción de un radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de Pedro R. Alvarez Paz



mano de obra. Cada radio contribuye contribuye con $20 a las utilidades utilidades y cada tocacintas con $25. El departamento de mercadotecnia ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana semana son 15000 radios radios y 10000 10000 tocacinta tocacintas. s. Plantee Plantee un problema problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades. Zmax= 20x1+25x2 Sujeto a: 2x1+3x2<48,000 X1<15,000 X2<10,000 X1,x2>0

4. Manzana Manzana Computer Computer fabrica fabrica 3 productos productos para el creciente creciente mercado mercado de las computado computadoras: ras: CD’s, Diskettes y paquetes de limpieza. La contribución unitaria a las utilidades para cada producto se muestra en la tabla 1. Tabla 1

Producto CD’s Diskettes Paquete de limpieza

Contribución a las utilidades $2 $1 $3.50

Cada uno de estos productos pasa a través de tres centros de manufactura y prueba como parte del proceso de producción. producción. Los tiempos que se requieren requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los productos, así como la cantidad de horas disponibles en cada centro se muestran en la tabla 2: Tabla 2

Producto CD’s Diskettes Paquete de limpieza Disp Dispoonibil bilidad dad de tiempo

Centro 1 3 4 2 600

Horas por unidad Centro 2 2 1 2 400

Centro 3 1 3 2 800

Plantee un problema de PL para programa la producción de manera que se maximice la contribución a las utilidades. Zmax 2x1+1x2+3.5 2x1+1x2+3.5x3 x3 Centro 1 =3x1+4x2+ =3x1+4x2+2x3<600 2x3<600 Centro 2 = 2x1+1x2+2x3<400 Centro 3= 1x1+3x2+2x 1x1+3x2+2x3<800 3<800 X1,x2,x3>0

Pedro R. Alvarez Paz



5. La Cooperativa Zapata, cerca de Cuernavaca, cultiva brócoli y coliflor en 500 hectáreas de terreno en el valle. Una hectárea de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de una hectárea de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 hectáreas de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada hectárea de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada hectárea de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántas hectáreas de brócoli y cuántas de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

Zmax: 500x1+1000x2 Sujeto a X1<200 2.5x1+5.5x2<1200 X1+x2<500 X1,x2>0

6. Deportes de América fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C. A es una raqueta “estándar”, B y C son raquetas “profesionales”. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones producción; todas las raquetas pasa a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B de 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee un problema como un modelo estándar de PL. Zmax: 7x1+8x2+8.5x3 Sujeto a: Operación 1= 3x1+3x2+3x3<50 Operación 2= 2x1+4x2+5x3<80 X1<25 X2+x3>10 X2+x3<30 X1,x2,x3>0

7. Metales Borrego fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de Pedro R. Alvarez Paz



cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra de mineral tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la compañía le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL. Zmin=20x1+30x2+60x3+50x4 Sujeto a: 4x1+2x2+1x3+1/2x4>40 (restricción de plomo) 2x1+6x2+4x3+1x4>48 (restricción de cobre) 2x1+6x2+4x3+8x4>60 (restricción de hierro colado) X1,x,2,x,x3,x4>0

8. Cereales México fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas, los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son Maní: $0.90 por libra Pasas: $1.60 por libra Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son: Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema PL para maximizar utilidades. RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades Variables: X1= SEMILLA NORMAL X2= SEMILLA ESPECIAL X3= SEMILLA EXTRA Parametros: NOLMAL X1 = $1.50 ESPECIAL X2 = $2.20 EXTRA X3 = $3.50




Zmax = 1.50X1 + 2.20X2 + 3.50X3 Sujeto a: (MANI) .05X1 + .05X2 + .05X3 < 1000 (PASAS) .20X1 + .20X2 + .20X3 < 2000 (ALGARROBO) .25X1 + .25X2 + .25X3 < 3000 9. PEMEX refinería debe programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso de 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso 1 genera, 4000 galones de gasolina y 1750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso 2 genera 3500 galones de gasolina y 2250 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1200 barriles de petróleo nacional y 1800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28000 galones de gasolina y 12000 galones de petróleo para consumo doméstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1000 y $1100 para los procesos 1 y 2, respectivamente. a. Plantee un modelo de programación lineal para determinar el programa de producción que maximice la contribución total. b. La secretaría de energía ha emitido un dictamen que limita la producción total de petróleo doméstico a no más de la mitad de la gasolina que se fabrique. ¿Qué restricción debe añadirse para representar esta condición? RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades Variables: X1= BARRILES DE PETROLEO NACIONAL X2= BARRILES DE PETROLEO IMPORTADO Parametros: Horas de producción. Cantidad de barriles de petróleo a producir Zmax: 1000Y1+ 1100Y2 Sujeto a: Y1 Proceso 1: 100X1 + 300X2 100X1 + 300X2 Y1 Proceso 1: 100X1 + 200X2 100X1 + 300X2

< < < <

4000 GALONES GASOLINA 1750 GALONES PETROLEO 3500 GALONES GASOLINA 2250 GALONES PETROLEO

X1 + X2 < 14000 GALONES GASOLINA




10. Maderas del Soconúsco opera un avión que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto de Chiapas y Bonn, en Alemania Occidental. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas: inferior, medio y superior. Debido a limitaciones en el espacio de las bodegas, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 50 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar cuando mucho un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar cuando mucho dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo, no deben llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Las utilidades por el transporte son de $8 por toneladas de carga en la bodega inferior, $10 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos necesarios. Plantee un problema de PL para determinar la forma de cargar el avión que proporciones las mayores utilidades. Objetivo: ZMAX= 8X1+10X2+12X3 Sujeto a : 50X1+16.66X2+20X3>100 16.66X2+20X3>60 X1, X2,X3 >0

11. Soony es un fabricante importante de equipo estereofónico. En la actualidad, los administradores de Soony están considerando añadir una nueva línea de productos a su grupo existente de sistemas estereofónicos. La nueva línea incluirá cuatro nuevos productos. El proceso de manufactura en la planta no. 1 tiene una estructura algo diferente al de la planta no. 2. En la planta no. 1 se requieren tres procesos de fabricación, en la planta no. 2 sólo se requieren dos procesos. Debido a que las operaciones de manufactura de las dos plantas difieren, sus costos variables son también diferente. Por tanto, tal vez reditúe más fabricar un artículo de la línea de una de las plantas y uno o más de los restantes en la otra. El precio de venta y los costos variables, así como también la demanda máxima para los nuevos productos, se muestran en la tabla 3. En la tabla 4 se describen las operaciones de manufactura para las dos plantas (los números de la tabla expresan horas de tiempo de fabricación). El gerente de la planta no. 1 ha señalado que pueden dedicarse las siguientes horas de capacidad mensual de producción para la nueva línea de productos: operación A 30’000 horas; operación B 100’000 horas; operación C 16’000 horas. En cada una de las dos operaciones de la planta no. 2 existen disponibles 20’000 horas de tiempo de producción. A Soony le gustaría determinar la cantidad de cada uno de los 4 tipos de productos que deben fabricarse cada mes en las dos plantas, de manera que se maximice la contribución de las utilidades de la compañía. a. Plantee el problema como modelo de PL. b. Suponga que los administradores de primer nivel de la Soony han decidido que cada planta fabrique el 50% de la demanda para cada producto. Plantee dos modelos que pudieran representar esta política. Tabla 3

Precio de venta y demanda Pedro R. Alvarez Paz

no. 1

Producto no. 2 no. 3

no. 4



Precio de venta Costos variables: planta no. 1 Costos variables: planta no. 2 Demanda (unidades)

$200 $160 $220 1000

$300 $270 $300 3000

$250 $240 $200 4000

$280 $270 $220 6000

Tabla 4

Planta no. 1: Operación A Operación B Operación C Planta no. 2: Operación X Operación Y

no.1

Producto no.2 no.3

no. 4

6.0 18.0 2.0

7.2 20.0 2.0

4.0 16.0 1.0

7.0 18.0 1.0

8.0 10.0

8.0 16.0

4.0 8.0

8.0 6.0

RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades Variables:

X1= PRODUCTO NO. 1 X2= PRODUCTO NO. 2 X3= PRODUCTO NO. 3 X4= PRODUCTO NO. 4

Parametros:

Cantidad de producción de cada producto en cada planta. Horas de producción de cada producto.

Zmax = 200X1 + 300X2 + 252X3 + 280X4 Sujeto a: PLANTA 1 OPERACIÓN A: 6X1 + 7.2X2 + 4X3 + 7X4 < 30,000 OPERACIÓN B: 18X1 + 20X2 + 16X3 + 18X4 < 100,000 OPERACIÓN C: 18X1 + 20X2 + 16X3 + 18X4 < 100,000 PLANTA 2 OPERACIÓN X: 5X1 + 5X2 + 4X3 + 8X4 < 20,000 OPERACIÓN Y: 10X1 + 16X2 + 8X3 + 6X4 < 20,000 X1 = 500 X2 = 1500

X3 = 2000 X4 = 3000

12. Campesinos de Morelos es una cooperativa agrícola grande. La compañía tiene 130 hectáreas en los que produce tres artículos principales: fríjol de soya, trigo y maíz. Los productos de la cooperativa son para consumo de sus miembros y para ventas al exterior. La cooperativa está organizada de tal manera que deben satisfacerse primero las




demandas de sus miembros antes de vender al exterior cualesquiera de los artículos. Todos los excedentes de producción se venden al precio de mercado. LA tabla 5 resume para cada producto, durante la temporada de cultivo, el rendimiento proyectado por hectárea, el número de kilogramos que los miembros solicitan, la demanda máxima del mercado (en kilogramos), y la utilidad estimada por kilogramo. Plantee un modelo de PL para el problema que permita a la cooperativa determinar el número de hectáreas que deben asignarse a cada producto para que se maximicen las utilidades. Tabla 5

Cultivo Fríjol de soya Trigo Maíz

Rendimiento (Kgs por acre) 420 200 70

Demanda de los miembros (kgs) 2000 5000 1000

Demanda del mercado (Kgs) 10’000 8’000 3’000

Utilidad ($/Kgs) 1.50 1.80 2.50

RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades. Variable: X1= FRIJOL DE SOYA X2= FRIJOL X3= MAIZ Parametros: no. de hectareas a asignar a cada producto Zmax:1.50X1 + 1.80X2 + 2.5X3 Sujeto a: X1 + X2 +X3 < 130 420X1 (10,000 – 2,000) < 130 HECTAREAS 200X2 (8,000 – 5,000) < 130 HECTAREAS 70X3 (3,000 – 1,000) < 130 HECTAREAS

13. La Bud Get acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para adquisición de la licencia, la Bud Get está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos: vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestran en la Tabla 6. El consejo de administración de la Bud Get ha autorizado $500’000 para la adquisición de vehículos. La Bud Get ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda Pedro R. Alvarez Paz



financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1½ vagonetas y cada autobús grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Bud Get determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas. Tabla 6

Tipo de vehículos

Precio de compra

Vagoneta Autobús pequeño Autobús grande

$ 6’500 10’500 29’000

Utilidad anual neta esperada $2’000 2’800 6’500

Objetivo: ZMAX= 2,000X1+2,800X2+6,500X3 Sujeto a: 6,500x1+10,500x2+29,000x3<500,000 X1<30 X2<1.5 X3<3 X1,X2,X3>0

14. Mario’s Camisería es un expendio exclusivo al menudeo, en el que se venden trajes y abrigos para caballeros. La Mario’s vende tres líneas de ropa: deportiva, para ejecutivos jóvenes y de lujo. En general, estas líneas pueden caracterizarse como de precio moderado, ligeramente costosas y costosas. Las líneas más costosas exigen exhibiciones más complicadas y una mayor calidad de tiempo del personal de ventas; sin embargo, con éstas se obtienen mayores utilidades. Para propósitos de planeación, la Mario’s ha determinado que la utilidad promedio por artículo en la línea deportiva es $6.50, en tanto que la utilidad unitaria para las líneas de ejecutivos jóvenes y de lujo son $13.70 y $23.25, respectivamente. Las utilidades dentro de cada una de las líneas no difieren entre los trajes y los abrigos. De experiencias pasadas, la Mario’s ha determinado que se requieren 200 pie 2 para exhibir 1000 unidades de la línea deportiva, en tanto que se requieren 400 pie 2 para 1000 artículos de la línea de ejecutivos jóvenes y 690 pie 2 por cada 1000 artículos que se exhiben de la línea de lujo. Experiencias previas señalan que las horas-hombre de personal de ventas que se requieren por 1000 artículos que se venden para las líneas respectivas son 250, 650 y 1800. Para mantener una variedad razonable de abrigos y trajes, la Mario’s ordena cuando menos 1000 artículos de cada línea. Para reflejar el hecho de que se venden más trajes que abrigos, la Mario’s mantiene una proporción de 80 a 20 en cada una de las líneas cuando hace sus pedidos. La Mario’s tiene 65’000 pie 2 de espacio en la sala de exhibición. Los administradores han determinado que la estación en la que los artículos son comercializables dura aproximadamente 16 semanas. En estos momentos la Mario’s tiene una fuerza de venta de 8 personas. La semana normal de trabajo para todo el




personal de ventas es de 48 horas. Plantee un modelo de programación lineal para el problema que pueda utilizarse para determinar el número de trajes y abrigos de cada línea que el personal de compras de la Mario’s debe ordenar con el objeto de maximizar las utilidades. RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades Variables:

X1= ROPA DEPORTIVA EJECUTIVOS X2= ROPA JOVENES X3= ROPA DE LUJO

Parametros: Determinar no. de trajes y abrigos la cantidad a ordenar para maximizar utilidades Zmax = 6.50X1 + 13.70X2 + 23.25X3 Sujeto a: X1 < 200pie 2 X2 < 400pie 2 X3 < 690 pie2 Horas hombre 250X1 + 650X2 + 1800X3 < 3,000 ARTICULOS 200X1 + 400X2 + 690X3 < 65,000 pie2

15.

El distrito del Temixco tiene dos escuelas en nivel medio superior que atienden las necesidades del condado. La escuela no. 1 tiene una capacidad de 6’500 estudiantes y las escuela no. 2 tiene una capacidad para 4500. El distrito escolar está subdividido en 6 áreas. Cada una de ellas tiene tamaño diferente (población de estudiantes) y una combinación distinta de alumnos de minorías. En la tabla 7 se describen las seis áreas respectivas: Tabla 7

Área A B C D E F

Población total de estudiantes 1900 2475 1000 2150 1800 1400

Número de estudiantes de minorías 200 1600 490 450 870 590

Un plan en contra de la discriminación, ordenado por un tribunal, ha llegado al distrito y especifica que cada escuela debe tener inscritos por lo menos 32% de alumnos de Pedro R. Alvarez Paz



minorías. Ninguna escuela puede tener inscritos más del 45% de alumnos de minorías. Para tratar de cumplir con el dictamen del tribunal, el distrito desea minimizar el número de millas que deben viajar en autobús escolar los estudiantes. En la tabla 8 se muestran datos que indican las distancias (millas) entre las diversas áreas y las escuelas correspondientes. Si es posible, al distrito le gustaría evitar que los estudiantes viajaran más de 2.8 millas. Plantee un modelo de PL que le permita al distrito cumplir con el plan de no discriminación y la restricción del transporte. Tabla 8

Área A B C D E F

Escuela no. 1 1.5 1.8 2.2 2.5 2.9 2.8

Escuela no 2 2.5 1.9 2.6 2.3 1.8 1.1

RESPUESTA Objetivo: Cumplir porcentaje de alumnos, minimizar distancias (millas) Variables:

X1= AREA A X2= AREA B X3= AREA C X4= AREA D X5= AREA E X6= AREA F

Parametros: Cumplir min, de 32% estudiantes minoría Reducir distancias (millas) Zmax = 200X1 + 1600X2 + 490X3 + 450X4 + 870X5 + 590X6 Sujeto a: ESTUDIANTE 1 1.5X1 + 1.8X2 + 2.2X3 + 2.5X4 + 2.9X5 + 2.8X6 < 2.8 MILLAS. ESTUDIANTE 1 2.5X1 + 1.9X2 + 2.6X3 + 2.3X4 + 1.8X5 + 1.1X6 < 2.8 MILLAS. 16. 5 Hermanos es un fabricante grande de zapatos, ubicado en la región del medio oeste en los Estados Unidos de Norteamérica. 5 Hermanos se especializa en la fabricación de botas vaqueras y no vende en forma directa al público sino que, en cambio, vende a través de expendios al menudeo. Según las fluctuaciones en los costos de los diversos componentes, la compañía ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a estas variaciones en los costos (y al bajo costo de manejo y almacenamiento que es de $1.00 por mes por para de botas), 5 Hermanos considera que resulta conveniente fabricar pares de botas en exceso en algunos meses para venderlas en meses posteriores. Los administradores de 5 Hermanos han pronosticado la demanda y Pedro R. Alvarez Paz



los costos para los siguientes siete meses como se muestra en la tabla 9. La compañía desea programar la producción para minimizar los costos totales de la producción y manejo. Plantee un modelo de PL para el problema. (No existe restricción de capacidad sobre la producción o sobre el almacenamiento) Tabla 9

Mes 1 2 3 4 5 6 7

Demanda pronosticada 150,000 110,000 180,000 100,000 200,000 180,000 110,000

Costo proyectado (por par) 36.00 42.00 38.00 40.00 35.00 39.00 37.00

Objetivo: Zmin= 36X1+42X2+38X3+40X4+35X5+39X6+37X7 Sujeto a: 150,000X11+110,000X12+180,000X13+100,000X14+200,000X15+180,000 X16+110,000X17 110,000X22+180,000X23+100,000X24+200,000X25+180,000X26+110,000 X27 150,000X21 180,000X33+100,000X34+200,000X35+180,000X36+110,000X37+150,000 X31+110,000X32 100,000X44+200,000X45+180,000X46+110,000X47+150,000X41+110,000 X42+180,000X43 200,000X55+180,000X56+110,000X57+150,000X51+110,000X52+180,000 X53+100,000X54 180,000X66+110,000X67+150,000X61+110,000X62+180,000X63+100,000 X64+200,000X65 110,000X77+150,000X71+110,000X72+180,000X73+100,000X74+200,000 X75+180,000X76 X1, X2,X3,X4,X5,X6,X7 >0

17. Una cooperativa agrícola grande del sureste mexicano opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla 10 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla 11 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5, y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200, respectivamente. Pedro R. Alvarez Paz



Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL, para el problema, que permita a la cooperativa determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades totales esperadas para la cooperativa. Tabla 10

Granja

Disponibilidad de agua (pies cúbicos) 480,000 1,320,000 370,000 890,000

1 2 3 4

Disponibilidad de tierra (acres) 450 650 350 500

Tabla 11

Cultiv o A B C

Granja 1

Granja 2

Granja 3

Granja 4

200 150 500

300 200 350

100 150 200

250 100 300

RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades Variables:

Cultivos A, B Y C X1= CULTIVO A X2= CULTIVO B X3= CULTIVO C DISPONIBILIDAD AGUA DISPONIBILIDAD TIERRA (ACRES)

Parametros: Cantidad de acres para cada cultivo en cada granja Zmax = 500X1 + 350X2 + 200X3 Sujeto a: GRANJA 1: GRANJA 2: GRANJA 1: GRANJA 1:

200X1 + 150X2 + 500X3 300X1 + 200X2 + 350X3 100X1 + 150X2 + 200X3 250X1 + 100X2 + 300X3




18. La Cultiflor fabrica y vende un fertilizante de aplicación general (10-10-10). La compañía fabrica el fertilizante en tres plantas distintas y envía el producto final a cuatro almacenes diferentes, ubicados en diversos puntos de México. Puesto que algunas operaciones fabriles han existido durante más tiempo que otras, hay diferentes costos de producción en las distintas plantas. (Las plantas más recientes utilizan procesos más modernos y actualizados que dan como resultado menores costos de producción.) En la tabla 12 se presentan los costos de producción en pesos por tonelada y la capacidad en toneladas para las plantas. Tabla 12

Planta 1 2 3

Costos $38 $45 $30

Capacidad 650 600 600

Los requerimientos en toneladas de los cuatro almacenes son 300, 450, 500 y 600 respectivamente. Debido a que cada almacén opera en forma separada, los precios por tonelada en los respectivos almacenes difieren un poco. Los precios de venta son $62, $63, $64 y $64. El objetivo de los administradores de Cultiflor es maximizar las utilidades totales para la compañía. Por ello, deben considerar los costos de transporte asociados con el envío del producto de una planta determinada a un almacén específico. Los costos de transporte (expresados en pesos por tonelada) para las diferentes rutas de transporte se muestran en la tabla 13. Plantee un modelo de PL que le permita a la Cultiflor satisfacer su objetivo de maximizar las utilidades. Tabla 13

Almacén Producto 1 2 3

1

2

3

4

23 21 18

18 24 221

21 23 27

25 18 23

RESPUESTA Objetivo: Maximizar utilidades, costos transorte Variables:

Costo de producción x ton. Capacidad de toneladas en las plantas X1= PLANTA 1 X2= PLANTA 2 X3= PLANTA 3

Y1 = ALMACEN 1 Y2 = ALMACEN 2 Y3 = ALMACEN 3 Y4 = ALMACEN 4

Parametros: Costos más capacidad de producción Costos de transporte.




Zmax = 62Y1 + 63Y2 + 64Y3 + 64Y4 Sujeto a: Y1< 300 TONS Y2< 450 TONS

Y3< 500 TONS Y4< 600 TONS

19. El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla 15). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. Tabla 15

Número de Trabajo

Número operador 1 2 3 4 5

de 1 12 6 10 2 7

2 16 8 6 4 10

3 24 20 16 2 6

4 8 14 18 24 6

5 2 6 12 20 18

ZMAX=37X1+44X2+68X3+70X4+58X5 Sujeto a: 12X11+16X12+24X13+8X14+2X15 8X22+20X23+14X24+6X25+6X21 16X33+18X34+12X35+10X31+6X32 24X44+20X45+2X41+4X42+2X43 18X55+7X51+10X52+6X53+6X54 X1,X2,X3,X4,X5>0

20. Servicio Rapi di Simo se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domésticas. La compañía da servicio a clientes en toda la ciudad. Tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el objeto de ahorrar tiempo de manejo y costos al inicio de cada día, el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La tabla 16 presenta las distancias asociadas con los primeros cinco trabajos que deben llevarse a cabo. A cada empleado de servicio se le paga por conducir; por ello, la Rapi di Simo desea minimizar la distancia extra de traslado. Plantee el modelo apropiado de PL. Tabla 16 Empleado de servicio

1


Número de trabajo 2 3 4

5


1 2 3 4 5


20 16 8 20 4

14 8 6 22 16

6 22 24 2 22

10 20 14 8 6

22 10 12 6 24

RESPUESTA Objetivo: MINIMIZAR COSTOS (DISTANCIA/TIEMPO) Variables:

X1= EMPLEADO 1 X4 = EMPLEADO 4 X2= EMPLEADO 2 X5 = EMPLEADO 5 X3= EMPLEADO 3

Parametros: Minimizar costos de tiempo transporte Zmax 20X1 + 16X2 + 8X3 + 20X4 + 4X5 14X1 + 8X2 + 6X3 + 22X4 + 16X5 6X1 + 22X2 + 24X3 + 2X4 + 22X5 10X1 + 20X2 + 14X3 + 8X4 + 6X5 22X1 + 10X2 + 12X3 + 6X4 + 24X5 Sujeto a: X1 < 72 X2 < 76 X3 < 64 X4 < 58 X5 < 72 21. Carlos Pozole es un restaurante que funciona 24 horas al día. En la empresa trabajan diversas personas, y cada una de ellas lo hace 8 horas consecutivas por días. Debido a que la demanda varía durante el día, el número de empleados que se requiere varía con el tiempo. Con base en experiencias pasadas, la compañía ha proyectado el requerimiento mínimo de mano de obra para cada período de 4 horas del día. Plantee un modelo de PL que indique el número mínimo de empleados que se requerirán para atender las operaciones durante las 24 horas. Tabla 17

Tiempo 12:00 p.m. a 4:00 a.m. 4:00 a.m. a 8:00 a.m.


Número mínimo de empleados que se requieren 3 5


8:00 a.m. a 12:00 m 12:00 m a 4:00 p.m. 4:00 p.m. a 8:00 p.m. 8:00 p.m. a 12:00 p.m.


10 6 10 8

22. La Tejidos del Norte está considerando ampliar la capacidad de su planta para los próximos ocho trimestres. El objetivo de la compañía es hacer que su capacidad fabril sea tan amplia como sea posible al final de dos años (al final de los ocho trimestres). La compañía fabrica un solo producto. Los costos de materias primas y otros costos variables son de $120 por unidad. Cada unidad que se fabrica requiere 1.2 unidades de capacidad de producción. Todos los costos y requerimientos de producción ocurren en un solo período; las ventas ocurren en el período inmediatamente posterior. Cada unidad se vende en $175. Por propósitos de expansión (en cualquier período) la compañía tiene dos políticas; pueden utilizarse una o ambas de ellas. Bajo la política 1, cada unidad de capacidad adicional requiere $24,000 al principio del período; la capacidad nueva está disponible al principio del siguiente período. Cada unidad de capacidad adicional bajo la política 2 requiere $18,000 al principio del período en el que se comienza la ampliación; pero esta capacidad no está disponible sino hasta el principio del período siguiente al primero. La compañía tiene $320,000 al principio del período 1. Ese dinero debe utilizarse para financiar la producción y la expansión de la planta. Después del período 1 no existen fondos “externos” disponibles. Tanto la producción como la expansión de la planta, después del período 1, deben financiarse del fondo para materiales o de fondos generados con ventas. A principios del período 1, resultan funcionales un total de 960 unidades de capacidad. Todas las ampliaciones deben estar en condiciones de operarse hacia finales del período 8. Plantee un modelo de PL que señale el número de activos de capacidad que la Riccardo debe adicionar en cada trimestre y la política o políticas de construcción que debe emplear en la ampliación. ZMAX= 120X1(1.2)+175X2(1.20) Sujeto a: 300x1+18000x2+(960/1.20)X3<960 300X1+20000X2+(960/1.20)X3<8000 300X1+18000X2+(960/1.20)X3<24000 X1,X2,X3>0

23. Divina Blancura fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel “estándar” de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos más angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos Tabla 18

Ancho del rollo 80 plg. 70 plg. 60 plg. Pedro R. Alvarez Paz

Pedidos 1800 500 1200



50 plg.

1400

A Divina Blancura gustaría determinar el número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema. ZMAX= (8)55X1+(7)55X2+(6)55X3 Sujeto a: 120 80X1 70+50=120X2 60+50=120X3 X1>1,800 X2>500 X3>1,200 X1,X2,X3>0

24. Novedades Tepito vende al menudeo productos novedosos. La compañía está considerando añadir dos nuevos productos a la línea que ya tiene. La empresa ha decidido trabajar los productos, a prueba, durante dos años. Adquirirá ambos productos con un mayorista. El costo por unidad para cada producto para el horizonte de tiempo de dos años se muestra en la tabla 19. El producto 1 se venderá en $1.20 y el producto 2 en $1.05. El precio de venta será fijo para el período de dos años. La compañía reconoce que la venta de los nuevos productos dependerá en gran medida de la publicidad. El departamento de publicidad ha proyectado las ventas para los próximos dos años. Estas proyecciones, expresadas en unidades vendidas por dólar de publicidad, se muestran también en la tabla 19. EL departamento de publicidad ha pronosticado también que en ambos años cuando menos el 30%, pero no más del 60% del total de unidades vendidas (de ambos productos), serán del producto tipo 2. A principios del año 1, la compañía tenía $12,000 disponibles para publicidad y compras. Los productos pueden comprarse un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en costos de mantenimiento. La publicidad en cualquier año tiene efecto sólo sobre las ventas de ese año. Los gastos de compras y publicidad en el año 2 pueden financiarse con las utilidades del año 1. A Novedades Tepito le gustaría desarrollar un modelo que refleje la cantidad de dinero de publicidad y compras que deben invertirse en cada uno de los dos siguientes años con el objeto de maximizar las utilidades totales para los dos años. Tabla 19

Producto 1 2

Costo Año 1 Año 2 $0.75 $0.80 $0.70 $0.85

Ventas Año 1 Año 2 6 unidades 7 unidades 9 unidades 12 unidades

RESPUESTA Objetivo: MAXIMIZAR UTILIDADES A FINAL DEL AÑO



Variables:


CUANTOS PRODUCTOS 1 VOY A VENDER CON EL AÑO 1 CUANTOS PRODUCTOS 2 VOY A VENDER CON EL AÑO 1 CUANTOS PRODUCTOS 1 VOY A VENDER CON EL AÑO 2 CUANTOS PRODUCTOS 2 VOY A VENDER CON EL AÑO 2

CUANTO $ INVERTIRE EN PUBLICIDAD EN EL AÑO 1 PARA P1 CUANTO $ INVERTIRE EN PUBLICIDAD EN EL AÑO 1 PARA P2 CUANTO $ INVERTIRE EN PUBLICIDAD EN EL AÑO 2 PARA P1 CUANTO $ INVERTIRE EN PUBLICIDAD EN EL AÑO 2 PARA P2 DISPONIBLE AL INICIO DEL PERIODO 1 DISPONIBLE AL INICIO DEL PERIODO 2 DISPONIBLE AL INICIO DEL PERIODO 3 D1 = 12,000 Parametros: Costo de productos 1 y 2 en año 1 y 2 Precios de productos 1 y 2 en año 1 y2 Disponible en año 1 Zmax = d3 (disponible 3er. Año) Sujeto a: D1 = 12,000 0.75X11 + 0.7Y11 + P12 + P21 < 12,000 X PRODUCTO1 Y PRODUCTO 2 P PUBLICIDAD AÑO 1

6 X11 < P11 gy11 < P21 d2 = d1 – (0.75X1 + 0.7Y11 + P11 + P 21) + 1.2X11 + 1.05 Y11 0.8X12 + 0.85Y12 + P12 + P22 < d2

25. Techos Rosas es un contratista grande que realiza trabajos en techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuándo las hay adquirido. La tabla 20 refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacenan. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220,000 piezas; esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha Pedro R. Alvarez Paz



fijado una política que señala que no se conservan materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que le permita a Techos Rosas maximizar sus utilidades para el período de cuatro temporadas. Tabla 20

Temporada

Precio de compra ($por pieza)

Verano Otoño Invierno Primavera

21.00 22.00 26.00 24.00

Precio de mercado ($ por pieza) 22.00 23.25 28.50 25.50

Ventas (millares de piezas) 100 140 200 160

RESPUESTA Objetivo: MAXIMIZAR UTILIDADES Variables:

Xij = Cantidad de tejas producidas en el periodo i y vendidas en el periodo j

D1 = 12,000 Parametros: Costo de productos 1 y 2 en año 1 y 2 Precios de productos 1 y 2 en año 1 y2 Disponible en año 1 Zmax = d3 (disponible 3er. Año) Sujeto a: D1 = 12,000 0.75X11 + 0.7Y11 + P12 + P21 < 12,000 X PRODUCTO1 Y PRODUCTO 2 P PUBLICIDAD AÑO 1

6 X11 < P11 gy11 < P21 d2 = d1 – (0.75X1 + 0.7Y11 + P11 + P 21) + 1.2X11 + 1.05 Y11 0.8X12 + 0.85Y12 + P12 + P22 < d2


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