INGENIERÍA ECONÓMICA Profesor Guillermo Restrepo G. 12 noviembre 2012
TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS 1. Suponga qua la tasa de usura en Colombia es del 24% anual. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual equivalente?
√
Efectivo mensual
2. Se tiene una tasa nominal anual del 20% con capitalización de interés trimestral (anual tv). ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente? c=4 r= 20% nominal anual tv
[ ]
Efectivo anual
3. Se tiene una tasa efectiva anual del 18%. ¿Cuál es la tasa semestral mes vencido? (nominal)
* + √
Efectivo semestral
r= 8.3% Semestral mes vencido
4. En un periódico salieron 2 avisos de 2 empresas que reciben a usted dinero a interés. Suponga que tiene el mismo bajo riesgo. En la primera, pagan un interés del 7% efectivo anual. En la segunda, pagan un interés de 6.8% anual, pero pagando los intereses al final del mes. ¿En cuál de los dos usted colocaría el dinero? Opción 1: 7% efectivo anual Opción 2: 6.8% anual mes vencido (nominal)
Efectivo anual
Se elige la opción 2
5. ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente a una tasa de 20% anual que capitaliza cada instante vencido? r= 20% anual instante vencido (nominal)
El resultado de la expresión anterior fue calculada por un famoso matemático:
; Lo que se conoce como el número e (uno más
infinitésimo, elevado al inverso del infinitésimo) La expresión para la tasa de interés, se puede escribir de manera similar haciendo un pequeño artificio:
.
Efectivo anual
6. Suponga que se hace un préstamo y los intereses se descuentan al 20% por todo el año (por anticipado) ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente? ra= 20% anual anticipado i=?
7. Suponga que una entidad financiera cobra al 20% nominal anual con descuento de interés anticipado (anual T.A.) ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente?
*+ []
8. Suponga que se tiene una tasa del 12% Efectivo Anual Calcular los siguientes tasa equivalentes.
a) Semestral anticipada (
Pasar de i a ra
+ * [] √ √ √
)
Pasar de ra a
b) Mensual efectiva (ic)
√ c) Anual trimestre anticipado (ra)
+ * [] √ √ 9. Se tiene una tasa del 5% efectivo trimestral. Calcular las siguientes tasas equivalentes: a) Efectiva anual
b) Anual trimestre vencido
Anual T.V.
c) Semestral mes vencido
Efectivo anual
) (√
Efectivo semestral
Semestral Mes Vencido
10. Se tiene una tasa efectiva del 1% mensual. ¿Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente? i = (1 + ic)^ c - 1 c=6 ic = 1% i = (1 + 0,01)^6 – 1 = 6,15% efectivo semestral.
11. Si un préstamo se cobra al 30% efectivo anual. ¿cuál sería la tasa efectiva trimestral equivalente? i = 30% c=4 0,30 = (1 + it )^4 – 1 it = (1,3)^(1/4) – 1 = 6,77% efectivo trimestral.
12. Se tiene una tasa efectiva anual del 30% ¿cuál es la tasa anual trimestre vencido equivalente? i = 0,3 c=4 i = [1 + (r/c)]^c – 1 0,30 = [1 + (r/4)]^4 – 1 (1,3)^ (1/4) = 1 + (r/4) r = [(1,3)^(1/4) – 1] * 4 = 27,11% anual trimestre vencido
13. Se tiene una tasa efectiva anual del 30%. ¿Cuál es la tasa anual trimestre anticipada equivalente? ra =? anual trimestre anticipada. i = 0,3
c=4 i = [c /(c - ra)]^c – 1 0,3 = [4 / (4 - ra)]^4 – 1 (1,3)^(1/4) = 4 / ( 4 – ra ) 1 / [(1,3)^(1/4)] = ( 4 – ra) / 4 4 – ra = 4 / [(1,3)^( 1/4)] ra = 4 – {4 / [(1,3)^(1/4)]} = 25,39% anual trimestre anticipada.
14. Se tiene una tasa del 24% anual trimestre vencido. ¿Cuál es la tasa trimestral efectiva equivalente? r = 0,24 anual trimestre vencido. r = ic * c 0,24 = it * 4 it = 0,24 / 4 = 6% efectivo trimestral.
15. Se tiene una tasa del 24% anual trimestre vencido. ¿Cuál es la tasa anual trimestre anticipada? i = [1 + ( r/c)]^c – 1 i = [c/(c - ra)]^c – 1 Igualando [1 + (r/c)]^c = [c/(c - ra)]^c [1 + (0,24/4)]^4 = [4/(4 - ra)]^4 Despejemos ra 1,2624 = [4/(4-ra)]^4 (1,2624)^(1/4) = 4/(4-ra) ra = 22,63% anual trimestre anticipada.
16. Se tiene un tasa efectiva trimestral del 6%. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual equivalente? i = (1 + ic)^c – 1 c=3 ic = ? i = 6%
0,06 = (1 + im)^3 – 1 im = (1,06)^(1/3) – 1 = 1,96% efectivo mensual.
17. En una cooperativa le prestaron a un socio $1.200.000 y le cobraron 20% por anticipado para el plazo de un año. Deberá pagar mensualmente $100.000. ¿Cuál es la tasa efectiva anual?, Este caso es de tasas “camufladas”, el problema es: Préstamo real= $960.000 Cuota mensual= $100.000 Tasa mensual =? Plazo = 12 meses P = A(P/A,im,n) 960.000 = 100.000 {[(1 + im)^12 - 1]/[im * (1 + im)^n]} En el computador: VA = 960.000 n = 12 Pago = 100.000 Tasa = 3,611% efectivo mensual, es decir = (1 + 0,03611)^12 – 1 = 53,07% efectivo anual.
18. Se tiene una tasa efectiva anual del 30%. ¿Cuál es la tasa nominal anual con capitalización continua equivalente? i = 30% anual efectivo r =? anual con capitalización constante i = ℮^r – 1 0,3 = ℮^r – 1 ℮^r = 1,3 Ln ℮^r = ln (1,3) r = ln (1,3) = 26,23% anual con capitalización continua.
19. Se tiene una tasa efectiva semestral del 12%. ¿Cuál es la tasa anual trimestre vencido? is = 0,12
i anual = (1,12)^2 – 1 = 0,2544, luego i = [(1 + (1/c)]^c – 1 0,2544 = [(1 + (r/4)]^4 – 1 R = 23,32% anual trimestre vencido.
20. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1 %. Calcular las siguientes tasas equivalentes: a. efectiva anual. b. anual T.V c. anual TA d. anual con capitalizacion continua. solucion: a. i=(1+ic)^c -1 i= (1+0,01)^12-1 i= 0,12682503 efectiva anual en el computador 0,12682503 b. i=(1+(r/c))^c-1 i= 0,12682503 igual (1+(r/4))^4-1 r=4*((1,12682503)^1/41) 0,121204 en el computador= 0,121204 c. i=(c/c-ra)^c-1 ra=4-(4/(1,12682503^(0,25))) 0,11763941 d. i=e^r-1 r=ln(1,12682503) 0,11944712 en el computador
0,11946
INTERACCIÓN DE TASAS, INFLACIÓN, DEVALUACIÓN, TASAS CAMUFLADAS, TASA CORRIENTE Y REAL 21. Un empresario colombiano recibe en préstamo en dólares al 7% Efectivo Anual en dólares. Cuando la tasa de cambio era $ 2000. Al año lo paga cuando el dólar estaba a $1800. ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalentes en pesos?
Análisis: por cada $100 se está ganando $3.7
22. Suponga que a un usuario del sistema UVR le cobran un interés del 13% Efectivo Anual en UVR`s. si la inflación proyectada es del 0.5% Efectiva Mensual. ¿Cuál es el costo del préstamo para el usuario en pesos efectivo anual?
Pasar de efectivo mensual a efectivo anual
Análisis: por cada $100 prestados, se pagan $19.89 al año
23. Un negocio internacional desea saber ¿Cuál es la tasa dura en Colombia? Encuentra que los bancos cobran al 24% Efectivo Anual y que la inflación anual es del 4% ¿Cuál es el calor de la tasa dura efectiva anual?
24. Electrodoméstico $ 2 000 000 Financiado así: -Cuota inicial $ 100 000 - Resto $ 1 900 000 dividir en 10= $ 190 000 (cuota mensual) Otra persona adquiere el mismo electrodoméstico, pero lo quiere pagar de contado. El almacén le hace un descuento del 25%. Si es a plazos, que préstamo recibió el empleado del almacén?
[ ] Préstamo almacén
25. Un pequeño comerciante no tiene capital de trabajo. Un prestamista “gota a gota” le ofrece $300 000 al 20% mensual, con la condición que en la tarde le cobrara la cuota diaria. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual y mensual?
26. Suponga que se quiere proyectar el precio de un artículo a 5 años, considerando la inflación. Si la inflación mensual es de 0.3%. ¿Cuál será el precio al final del periodo?
Proyección 5 años (60 meses)
27. Suponga que un huevo el 31 de agosto de 2011 valía 250. ¿Cuánto valía el 31 de agosto de 2009? Suponga que en el año 2011, la inflación anual es del 4%, en el 2010 fue del 3.20% y en el 2009 fue de 3%
√ ∏ 28. Suponga que un exportador colombiano observa una inflación en EEUU del 1% anual y la inflación colombiana del 4%, pero el dólar, en ese mismo año paso de $ 2000 a $ 1800 ¿Cuál es la devaluación real anual?
Análisis: por cada $100 que se explota, se está perdiendo casi $13. Hay revaluación del peso frente al dólar. Se puede superar si el precio de venta del artículo aumenta.
29. A un pequeño comerciante le prestan con el sistema paga diario. El préstamo fue de $500 000 a 60 días al 20% mensual, de tal manera que la cuota liquidada fue $11 666. 666 aproximadamente $11 667
Se quiere calcular la tasa efectiva anual equivalente
[ ] Tasa efectiva diaria= 1.1772% Tasa efectiva anual
Efectiva anual
30. Suponga que un exportador colombiano se enfrenta a las siguientes condiciones: Durante el año 2010 Inflación anual Tasa de cambio 1 de enero de 2010 Tasa de cambio 31 de diciembre de 2010 Inflación anual en Estados Unidos
3,17% 2044,23 1913,98 1,5%
interpretar la situación económica de esté exportador a partir de los cálculos de la devaluación real, teniendo en cuenta: a) Que el precio de la mercancía exportada se incremento en la inflación de los Estados Unidos b) Que el precio de la mercancía exportada aumento el 5 % en dólares c) cuando el precio de la mercancía permanece constante en dólares
Solución a) Devaluación nominal año 2010: Devaluación Real año 2010:
(1913,98-2044,23) 6,37159% 2044,23
?
1+dev. nom.=(1+dev. ef) [(1 + inf. Col)/(1+inf. ext.)] (1+ dev. Efe)= (1+dev. Nom)*[(1+inf. ext.)/(1 + inf. Col)] (1+ dev. Efe)= dev. Real =
92,113% -7,887%
Interpretación: El exportador colombiano se ve afectado negativamente ya que la devaluación real es negativa lo que quiere decir, que por 100 pesos pierde 7,88 pesos. Esto se explica por la revaluación del peso ( paso de 2044 a 1913), además, la inflación Colombiana fue mayor que la inflación Americana (con la cual se ajusto el precio de la mercancía en Estados Unidos)
COMBINACIÓN DE PRÉSTAMOS Y TASAS 31. Se quiere calcular A en el siguiente diagrama, aplicando la ingeniería económica i= 2% efectivo mensual
Estrategia: Por el principio de equivalencia, todo lo colocado es equivalente a todo lo retirado, quiere decir que: en el punto 0 el valor presente de todos los retiros es igual 50.000.000 (lo colocado), de esa ecuación se despeja A. Llevar cada serie a cero
Serie gradiente
Con g=A
* +
Con esto, se lleva P2 a 0
Con esto, se lleva P3 a 0
Nota: Ver problemas resueltos en otro archivo sobre las series gradiente y gradiente porcentual.
