PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON "No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba. Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vacío de conocimientos en el tema y da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de fácil entendimiento. Son problemas de las físicas de Sears – Zemansky, Halliday – Resnick, Serway, Finn y otros grandes profesores en el tema. Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
[email protected] [email protected] [email protected] 0HU
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Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
1
PROBLEMA DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY Pág. 132 de la cuarta edición Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2.
Bloque 2m N1
Bloque 2m
T2
W1X
ΣFx = 0 T1 – W1X = 0
m
T1 θ
Pero: W1X = W1 sen θ W1 = (2m) * g W1X = (2m * g) sen θ
T1 T1
2m
W1Y
T2
M θ W1 = 2m*g
Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2m * g) sen θ
= 0 (Ecuación 1)
Bloque m
Bloque m
ΣFx = 0 T2 - T1 – W2X = 0
N2
Pero: W2X = W2 sen θ W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = 0 T2 - T1 – (m*g) sen θ
T2 T1
W2 = m * g
W2X θ
=0
W2Y
(Ecuación 2)
Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) T2 - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 2) T2 – (2 m * g) sen θ – (m * g) sen θ T2 – (3 m * g) sen θ = 0
W2 = m*g
=0
T2 = (3 m*g) sen θ T1 – W1X = 0 T1 = W1X = (2 m * g) sen θ T1 = (2 m*g) sen θ
Bloque M T2
Bloque M ΣFY = 0 T2 – W3 = 0 T 2 = W3
W3 = M * g
2
W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen θ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen θ M = (3m) sen θ a) La masa M M = 3 m sen θ Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque. d) Las tensiones T1 y T2.
T2
La masa es M = 3 m sen θ
m T1
El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen θ) M = 6 m sen θ
T1
2m
T2
M Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha.
Bloque 2m
N1 W1X
ΣFx = (2 m) * a T1 – W1X = 2 m * a
θ
Bloque 2m
T1 θ
Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen θ
W1Y
W1 = 2m*g
Reemplazando T1 – W1X = 2 m * a T1 – (2 m * g) sen θ = 2 m * a (Ecuación 1)
Bloque m
Bloque m ΣFx = (m) * a T2 - T1 – W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen θ W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = m * a
N2 W2 = m*g
T2 T1
W2X θ
W2 = m*g
W2Y
3
T2 - T1 – (m * g) sen θ
= m * a (Ecuación 2)
Bloque M ΣFY = (6 m sen θ) * a W3 - T2 = 6 m sen θ * a
T2
Bloque M
W3 = 6 m sen θ * g Reemplazando 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2m * g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T2 - T1 – (m*g) sen θ = m * a (Ecuación 2) 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3)
W3 = 6 m sen θ * g
– (2m*g) sen θ – (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = 2m * a + m * a – (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a 3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a
+ 6 m sen θ * a
Cancelando las masas m m g sen θ = m * a + 2 m sen θ * a g sen θ = a + 2 sen θ * a a + 2 sen θ * a = g sen θ Factorizando la aceleración a(1 + 2 sen θ) = g sen θ
a=
g senθ 1 + 2 senθ
Despejando la ecuación 3 para hallar T2 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) 6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = T2 6 m sen θ ( g - a ) = T2 Pero: a =
g senθ 1 + 2 senθ
Reemplazando
g senθ ⎤ ⎡ 6 m sen θ ⎢g = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥⎦
Factorizando g
4
senθ ⎤ ⎡ 6 m g sen θ ⎢1 = T2 1 + 2 sen θ ⎥⎦ ⎣ ⎡ 1 + 2senθ - senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ ⎥⎦ = T2 1 + 2 sen θ ⎣ ⎡ 1 + senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ ⎥ = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎦ ⎡ (6 m g sen θ ) * (1 + senθ ) ⎤ T2 = ⎢ ⎥⎦ 1 + 2 sen θ ⎣ Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 – (2m*g) sen θ = 2m * a
(Ecuación 1)
T1 = 2m * a + 2m*g sen θ Pero: a =
g senθ 1 + 2 senθ
⎛ g sen θ ⎞ T1 = 2 m ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠
⎛ (2 m ) g sen θ ⎞ T1 = ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠
⎛ 2 m g sen θ + [(2 m g senθ )(1 + 2senθ )] ⎞ T1 = ⎜ ⎟ 1 + 2 sen θ ⎝ ⎠
⎛ 2 m g sen θ + 2 m g sen θ + 4 m g sen 2 θ T1 = ⎜ ⎜ 1 + 2 sen θ ⎝ ⎛ 4 m g sen θ + 4 m g sen 2 θ ⎞ ⎟ T1 = ⎜ ⎜ ⎟ 1 + 2 sen θ ⎝ ⎠ Factorizando
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 4 m g sen θ ( 1 + sen θ ) ⎞ T1 = ⎜ ⎟ 1 + 2 sen θ ⎝ ⎠
Si el coeficiente de fricción estática entre m y 2m y el plano inclinado es μS y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mínimo de M. f) El valor máximo de M. T2 g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo m
T1 T1
2m
θ
FR
T2 FR M
5
Para hallar el valor mínimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto.
Bloque 2m ΣFx = 0 T1 + FR – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen θ
Bloque 2m FR
N1 W1X
T1
Reemplazando T1 + FR – W1X = 0 T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1)
ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0
θ
W1Y
W1 = 2m*g
Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g W1Y = 2 m g cos θ N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR = μS * N1 (Ecuación 3) FR = μ *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0 T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4)
Bloque m ΣFx = 0 T2 + FR - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m * g) sen θ T2 + FR - T1 – W2X = 0 T2 + FR - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 5)
ΣFY = 0 N2 – W2Y = 0
Bloque m N2
T2
FR
T1 W2X θ
W2Y
W2 = m*g
W2Y = W2 cos θ
6
Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ Pero: FR = μ * N2 FR = μ * m g cos θ (Ecuación 6) Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 5 T2 + FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7)
Bloque M
Bloque M ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3
T2
W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8)
W3 = M * g
Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ
+ μ * m g cos θ
Sumado términos semejantes μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ
+M*g =0
– (m*g) sen θ
+M*g =0
M * g = 3 m g sen θ - 3 μ m g cos θ Se cancela la g (gravedad) como termino común M = 3 m sen θ - 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ - μ cos θ ) (Este es el valor mínimo de M para que el sistema se mantenga en equilibrio) Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ )* g
Este es el valor de T2, cuando M es mínimo
f) El valor máximo de M. Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto.
Bloque 2m ΣFx = 0
7
T1 - FR1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ
Bloque 2m N1
Reemplazando T1 - FR1 – W1X = 0 T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 9)
ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0
W1X
T1
FR θ
W1Y
Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g
W1 = 2m*g
N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 10) Pero: FR = μ * N1 FR = μ *2 m g cos θ (Ecuación 11)
Reemplazando la ecuación 11 en la ecuación 9, tenemos T1 - FR – (2m*g) sen θ = 0 T1 - μ * 2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12)
Bloque m
Bloque m
ΣFx = 0 T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13) Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m*g) sen θ Pero: W2 = m g Pero: W2Y = W2 cos θ W2Y = m g cos θ
ΣFY = 0 N2 – W2Y = 0 N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 14)
N2
T2
T1 W2X FR
θ
W2Y
W2 = m*g
Pero: FR = μ * N2 FR = μ * m g cos θ (Ecuación 15) Reemplazando la ecuación 15 en la ecuación 13 T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13) T2 - FR - T1 – (m*g) sen θ = 0 T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16)
8
Bloque M
Bloque M
ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3
T2
W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 17)
W3 = M * g
Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12) T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16) M * g - T2 = 0 (Ecuación 17) - μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ - μ * m g cos θ – (m * g) sen θ + M * g = 0 - μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ
+M*g =0
Se cancela la g (gravedad) como termino común M * g = 3 m g sen θ + 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ + 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ + μ cos θ ) El valor máximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la derecha Reemplazando M en la ecuación 17, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 17) 3 m (sen θ + μ cos θ )* g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g
Este es el valor de T2, cuando M es máximo.
g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g
Este es el valor de T2, cuando M es mínimo
Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. Problema 5 – 1 Edición cuarta; Problema 5 – 1 Edición quinta Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2 La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 . a) Cual es el valor de la proporción m1 / m2 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. a) Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos: a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2
9
F = m1 * a1 (Ecuación 1) F = m2 * a2 (Ecuación 2) Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2
m1 a 2 1 = = m2 a1 3 m1 1 = m2 3 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. MT = m1 + m2 F = (m1 + m2) * a
a =
F (Ecuación 3) m1 + m 2
Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3
m1 =
F 3
F = m2 * a2 = m2 * 1
m2 =
F = F 1
Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos:
a =
F F F 3F 3 = = = = F 4F 4F 4 m1 + m 2 + F 3 3
a = ¾ m/seg2 a = 0,75 m/seg2 Problema 5 – 2 Edición cuarta; Problema 5 – 20 Edición quinta Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i -3j )N, y F3 = (-45i) N actúan sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2 a) Cual es la dirección de la aceleración? ∑F = m * a ∑F = F1 + F2 + F3 θ - 42 ∑F = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a
-1
Donde a representa la dirección de a ∑F = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a
F = 42 Newton 10
(- 42)2
F =
tg θ =
+ (- 1)2 = 1765 = 42 Newton
-1 = 2,3809 * 10 - 2 - 42
Θ = arc tg 2,3809 * 10-2 Θ = 181,360 42 = = m * (3,75 ) a La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x. b) Cual es la masa del objeto? 42 = m * (3,75 )
m=
42 = 11,2 Kg 3,75
c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg? VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 3,75 m/seg2 Θ = 1810 VF = a * t = 3,75 m/seg2 * 10 seg VF = 37,5 m/seg 1810
VX
VY VF = 37,5 m/seg
d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg. VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg Problema 5 – 4 Edición Cuarta Serway Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la acción de una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza? m = 3 Kg. X = 4 metros T = 2 seg.
X = V0 t + X=
1 2 a t pero; V0 = 0 2
1 2 at 2
2 X = a t2
a=
2 X 2*4 8 m = = =2 4 t2 22 seg 2
F=m*a F = 3 * 2 = 6 Newton.
11
Problema 5 – 4 Edición quinta serway Un tren sorprendentemente pesado tiene una masa de 15000 toneladas métricas. Si la locomotora puede arrastrar con una fuerza de 750000 Newton. Cuanto tarda en incrementar su rapidez 0 a 80 km/hora. m = 15000 toneladas. = 15000000 KG F = 750000 Newton.
VF = 80
V0 = 0
VF = 80 km/hora.
km 1000 m 1 hora m * * = 22,22 hora 1 km 3600 seg seg
F=ma
a=
F 750000 Newton m = = 5 * 10 -2 m 15000000 kg seg 2
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t
V 22,22 t= F = = 444,4 seg a 5 *10 - 2 Problema 5 – 5 serway Edición Cuarta; Problema 5 – 5 serway Edición quinta Una bala de 5 gr sale del cañón de un rifle con una rapidez de 320 m/seg. Que fuerza ejercen los gases en expansión tras la bala mientras se mueve por el cañón del rifle de 0,82 m de longitud. Suponga aceleración constante y fricción despreciable. m = 5 gr. VF = 320 m/seg X = 0,82 m 0
2
2
(VF) = (V0) + 2 a X 2 a x = (VF)2
a=
(VF )2 2X
m = 5 gr *
= -
(320)2 2 * 0,82
= -
102400 m = 62439,02 1,64 seg 2
1 kg = 0,005 kg 1000 gr
F=m*a F = 0,005 * 62439,02 = 312,91 Newton. Problema 5 – 6 serway Edición cuarta; Problema 5 – 6 serway Edición quinta Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbol de 1,4 Newton de peso a una velocidad de 32 m/seg. Al acelerar uniformemente su brazo durante 0,09 seg Si la bola parte del reposo.
12
a) Que distancia se desplaza antes de acelerarse? b) Que fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota. W = 1,4 Newton t = 0,09 seg. V0 = 0 VF = 32 m/seg VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t
V m 32 a= F = = 355,55 t 0.09 seg 2 W=mg
m=
W 1,4 Newton = = 0,142 kg m g 9,8 seg 2 0 2
2
(VF) = (V0) – 2 * a * X 2 a x = (VF)2
X=
(VF )2 2a
=
(32)2 2 * 355,55
=
1024 = 1,44 metros 711,11
FX = m a = 0,142 * 355,55 FX = 50,79 Newton. Problema 5 – 7 Serway Edición Cuarta; Problema 5-3 Serway Edición quinta Una masa de 3 kg se somete a una aceleración dada por a = (2 i + 5 j) m/seg2 Determine la fuerza resultante F y su magnitud. F=ma F = 3 * (2 i + 5 j) F = (6 i + 15 j) Newton
FR = (15)2 + (6 )2
FR = 16,15 N = 261 = 16,15 Newton
15 j
6i Problema 5 – 8 Serway Edición cuarta Un tren de carga tiene una masa de 1,5 * 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un jalón constante de 7,5 * 105 Newton. Cuanto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/hora. m = 1,5 * 107 kg. V0 = 0 VF = 80 km/hora. F = 7,5 * 105 Newton.
VF = 80
km 1000 m 1 hora m * * = 22,22 hora 1 km 3600 seg seg 13
F=ma
a=
F 7,5 * 10 5 Newton m = = 5 * 10 - 2 m 1,5 * 10 7 kg seg 2
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t
V 22,22 t= F = = 444,4 seg 2 a 5 *10 Problema 5 – 9 Serway Edición Cuarta Una persona pesa 125 lb. Determine a) Su peso en Newton. b) Su masa en kg.
W = 125 lb *
4,448 Newton = 556 Newton 1 lb
W=mg
m=
W 556 N = = 56,73 kg m g 9,8 seg 2
Problema 5 – 22 Serway Edición quinta Una masa de 3 kg se mueve en un plano, con sus coordenadas x,y dadas por X = 5t2 -1 Y = 3t2 +2 donde x,y esta en metros y t en segundos. Encuentre la magnitud de la fuerza neta que actua sobre esta masa en t= 2 seg.
vx =
dx dt
vx =
d (5t 2 - 1) dt
Vx = 10 t
d vx dt d (10t) ax = dt ax =
ax = 10 m/seg2 si t = 2 seg. FX = m ax
14
FX = 3 * 10 = 30Newton
vy =
vy =
dy dt d (3t 3 + 2) dt
Vy = 9 t2
ay = ay =
d vy dt d (9t 2 ) dt
ay = 18 t ay = 18 t = 18 * 2 ay = 36 m/seg2 FY = m a Y FX = 3 * 36 = 108 Newton
F=
(FX )2
+ (FY )2
F=
(30)2
+ (108)2
= 12564 = 112,08 Newton
Problema 5 – 23 Serway Edición quinta La distancia entre dos postes de teléfono es 50 metros. Un pájaro de 1 kg. Se posa sobre el cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,2 metros. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del ave cuanta tensión produce el ave sobre el alambre. Ignore el peso del cable.
Tg θ =
0,18 = 0,008 22,5
TX
TX TY
θ = arc tg 0,008
TY m = 1 Kg W=m*
θ = 0,45830
50 metros 25 metros
∑ FY = 0 ∑ F Y = T Y + TY - W = 0
25 metros θ
θ
Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton
0,2 m
25 metros m = 1 Kg W=m*g
15
T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8
T=
9,8 9,8 = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2
Problema 5 – 24 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 11 Serway Edición quinta; Problema 5 – 7 Serway Edición sexta Un electrón de masa 9,11 * 10 – 31 kg tiene una rapidez inicial de 3 * 105 m/seg. Viaja en línea recta y su rapidez aumenta a 7 * 105 m/seg. En una distancia de 5 cm. Suponiendo que su aceleración es constante, a) determine la fuerza ejercida sobre el electrón b) Compare esta fuerza con el peso del electrón, la cual se ha despreciado
5 cm
V0 = 3 * 105 m/seg. VF = 7 * 105 m/seg
(VF)2 = (V0)2 + 2 * a * X (VF)2 - (V0)2 = 2 * a * X (7 * 105)2 - (3 * 105)2 = 2 * a * X (49 * 1010) - (9 * 1010) = 2 * a * X (40 * 1010) = 2 a X Pero: X = 5 cm = 0,05 metros
a=
40 * 1010 2 X
=
m 40 *1010 40 *1010 = = 4 *1012 0,1 2 * 0,05 seg 2
F=ma Pero: m = 9,11 * 10 – 31 kg F = 9,11 * 10 – 31 * (4 * 1012) F = 3,644 * 10 – 18 Newton b) Compare esta fuerza con el peso del electrón, la cual se ha despreciado Peso del electrón = masa del electrón * gravedad Peso del electrón = 9,11 * 10 – 31 kg * 9,8 m/seg2 Peso del electrón = 8,9278 * 10 – 30 Newton
fuerza del electron 3,644 * 10 - 18 = = 0,4081 * 10 9 -30 peso del electron 8,9278 * 10 El electrón es 408 mil millones de veces más pequeño con respecto al valor de la fuerza ejercida sobre el electrón.
16
Problema 5 – 24 Serway Edición quinta; Problema 5 – 18 Serway Edición Sexta Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura. Dos de los alambres forman ángulos θ1 = 600 θ2 = 250 con la horizontal. Si el sistema esta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3 T1Y = T1 . sen 60
T2Y = T2. sen 25
T1X = T1 . cos 60
T2X = T2 . cos 25
600
250
Σ FX = 0 T1X - T2X = 0 (ecuación 1) T1X = T2X T2 . cos 25 = T1 . cos 60 T2 . 0,9063 = T1 . 0,5
T1
0,5 * T1 = 0,5516 T1 (Ecuación 1) T2 = 0,9063
T2 T3 W = 325 N
Σ FY = 0 T1Y + T2Y – W = 0 T1Y + T2Y = W pero: W = 325 N T1Y + T2Y = 325 T1 . sen 60 + T2. sen 25 = 325
0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 0,866 T1 + 0,4226 *(0,5516 T1) = 325
T1
0,866 T1 + 0,2331 T1 = 325 1,099 T1 = 325
325 = 295,72 Newton 1,099 T1 = 295,72 N. T1 =
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. T2 = 0,5516 T1
T1Y
T2 60
25 0
T1X
T2X
0
T 2Y
W = 325 N
T2 = 0,5516 * (295,72)
T2 = 163,11 Newton.
Problema 5 – 26 Serway Edición Cuarta Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas. ∑ FX = 0 ∑ FX = T2X – T1X = 0 T2X = T1X
17
Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40
400
Reemplazando T2X = T1X
T1
T2 T3
T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766
m = 5 Kg
T 0,766 T2 = 1 = T1 1,1918 0,6427 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)
500
T1Y
∑ FY = 0 ∑ FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50 T1y = T1 sen 40 W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton
T1 400 T1X
T2
T3
T2Y
500 T2X
m = 5 Kg W=m*g
Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 – 49 = 0 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2. pero: T2 = 1,1918 T1 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0
T1 =
49 = 31,5 Newton 1,5556
Se reemplaza en la ecuación 1 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton T2 = 37,54 Newton.
18
∑ FX = 0 ∑ FX = T2 – T1X = 0
600
T2 = T1X
T1
T1
Pero: T1X = T1 cos 60
T2
T1Y 600
Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60 T2 = T1 0,5
T1X
T3 T2
T3
T T1 = 2 (Ecuación 1) 0,5
T3 m = 10 Kg
∑ FY = 0 ∑ FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60 W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 – 98 = 0 T1 sen 60 = 98
(ecuación 2)
98 98 T1 = = = 113,16 Newton 0,866 sen 60 Reemplazando en la ecuación 1
T 113,16 T1 = 2 = = 56,58 Newton 0,5 0,5 Problema 5 – 28 Serway Edición quinta Un helicóptero contra incendios transporta un recipiente de 620 kg en el extreme de un cable de 20 metros de largo. Al volar de regreso de un incendio a rapidez constante de 40 m/seg, el cable forma un ángulo de 400 respecto de la vertical. a) Determine la fuerza de la resistencia del aire sobre el recipiente b) Después de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma rapidez, pero ahora el recipiente forma un angulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del agua en el recipiente? ∑ FY = 0 TY = T cos 40 TX = T sen 40 TY – W = 0 TY – m g = 0
19
T cos 40 – m g = 0 T cos 40 = m g T=
mg 620 * 9,8 6076 = = = 7931,65 Newton cos 40 0,766 0,766
TY 400
T
T
TY
FR TX
TX W=mg
∑ FX = 0 T X - FR = 0 T sen 40 – FR = 0 FR = T sen 40 Pero: T = 7931,65 Newton FR =7931,65 sen 40 FR = 7931,65 * 0,6427 FR = 5098,369 Newton (Fuerza de rozamiento) c. Después de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma rapidez, pero ahora el recipiente forma un ángulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del agua en el recipiente? Hallamos la nueva tensión en la cuerda ∑ FX = 0 T X - FR = 0 Pero: TX = T sen 7 FR = 5098,369 Newton T sen 7 – FR = 0 T sen 7 – 5098,369 = 0 T sen 7 = 5098,369
T=
5098,369 = 41834,63 Newton sen 7
∑ FY = 0 TY = T cos 7 TY – Wt = 0 T cos 7 – Wt = 0
T
TY
FR
Tx
Wt = m g + peso del agua de mar
20
Wt = T cos 7 Wt = 41834,63 cos 7 Wt = 41522,8 Newton Wt = 41522,8 = mt *g
mt =
41522,8 = 4237,02 kg (La masa del recipiente + la masa del agua de mar) 9,8
mt = La masa del recipiente + la masa del agua de mar La masa del recipiente = 620 Kg masa del agua de mar = mt - masa del recipiente masa del agua de mar = 4237,02 – 620 = 3617,02 kg masa del agua de mar = 3617,02 kg Problema 5 – 29 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 17 Serway Edición sexta La distancia entre dos postes de teléfono es 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensión en el cable (Ignore el peso del cable).
45 metros 22.5 metros Tg θ =
0,18 = 0,008 22,5
22.5 metros 0,18 m
θ
θ
θ = arc tg 0,008 θ = 0,45830
m = 1 Kg W=m*g
∑ FY = 0 ∑ F Y = T Y + TY - W = 0 Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton
TX
TX
TY
TY
m = 1 Kg W=m*g
T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8
T=
9,8 9,8 = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2
21
Problema 5-30 Serway cuarta edición; Problema 5 – 27 Serway Quinta edición; Problema 5-21 Serway sexta edición Los sistemas que se muestran en la figura están en equilibrio. Si la balanza de resorte esta calibrada en Newton. Que lectura indica en cada caso? Ignore las masas de poleas y cuerdas y suponga que el plano inclinado es sin fricción. Bloque m1 Σ FY = m1 a
Bloque m1
pero el sistema esta en equilibrio, luego la aceleración es cero.
T1
T1
g = 9,8 m/seg2 m1 = 5 kg
W 1 - T1 = 0 m 1 g = T1
m2 = 5 kg m1 = 5 kg W1 = m1 * g
T1 = 9,8 * 5 = 49 Newton T1 = 49 Newton
Problema 5 - 32 Serway cuarta edición; Problema 5 – 44 Serway Quinta edición; 5-40 Serway sexta edición Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg a una rapidez constante y su correa forma un ángulo θ respecto de la horizontal (figura p5 – 44). Ella jala la correa con una fuerza de 35 Newton y la fuerza de fricción sobre la maleta es de 20 Newton. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la maleta. a) Que ángulo forma la correa con la horizontal? b) Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta? ∑ FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante) FX – FR = 0 F X = FR
F = 35 N θ Maleta
Pero: FX = F cos θ F cos θ = FR 35 cos θ = 20
cos θ =
FR = 20 N
20 = 0,5714 35
N
θ = arc cos 0,5714 θ = 55,150 Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta? ∑ FY = 0 N + FY – W = 0 N = W - FY
F = 35 N
FY θ FR
FX W=mg 22
Pero: FY = F sen θ FY = 35 sen 55,150 FY = 28,7227 N = W - FY N = m g – FY N = 20 * 9,8 - 28,7227 N = 196 - 28,7227 N = 167,27 Newton PROBLEMA 5 – 33 Serway CUARTA EDICION Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 600 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 – 33. a) Determine el valor de F, la magnitud de F. b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). Σ FX = 0 FX – WX = 0 (Ecuación 1) FX = WX
F
Pero: FX = F cos 60 WX = W sen 60 F cos 60 = W sen 60
sen 60 F=W = W tg 60 = m g tg 60 = 2 * 9,8 *1,732 = 33,94 Newton cos 60 F = 33,94 Newton Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).
W 0
60
FX
WX
FY 300 600
F
300
Σ FY = 0 N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) Pero: FY = F sen 60 WY = W cos 60
EJE X
N
WY
W
Reemplazando en la ecuación 2 N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) N – W cos 60 – F sen 60 = 0 N – m g cos 60 – F sen 60 = 0 N – 2 * 9,8 * 0,5 – 33,94 * 0,866 = 0 N – 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39 N = 39,19 Newton
23
Problema 5 – 33 Serway Quinta edición; Problema 5-25 Serway sexta edición A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/seg. Hacia arriba de un plano sin fricción con una inclinación de 200 Cuan alto se desliza el bloque sobre el plano antes de que se detenga Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen 20 W sen 20 = m a
N N
m g sen 20 = m a g sen 20 = a
X
WX
a = 9,8 sen 20
700 W
WY 200
a = 3,351 m/seg2
200
W
Pero; V0 = 5 m/seg 0
2
(VF) = (V0)2 - 2 * a * X (V0)2 = 2 * a * X (V )2 52 25 X= 0 = = = 3,729 metros 2a 2 * 3,351 6,703 X = 3,729 metros Problema 5 – 34 Serway quinta edición; Problema 5 – 26 Serway sexta edición Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. y θ = 550 encuentre: a) Las aceleraciones de las masas b) La tensión en la cuerda c) La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo. m1 = 2 kg. m2 = 6 kg. θ = 550 Pero: P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = 19,6 Newton
Bloque m1
Σ Fy = m1 a T – P1 = m1 a T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1)
T
T
m1 = 2 kg
m2 = 6 kg
Bloque m1 T
550 m1 = 1 kg
24
Pero: P2 = m2 g P2 = 6 * 9,8 = 58,8 Newton P2 = 58,8 Newton
Bloque m2
Bloque m2
P2X = P2 sen 55 P2X = 58,8 sen 55 P2X = 48,166 Newton Σ FX = m2 a P2X – T = m2 a 48,166 – T = 6 a (Ecuación 2) T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1) 48,166 – T = 6 a (Ecuación 2)
T
N2 P2X
P2Y 550 P2 = m2 g
- 19,6 + 48,166 = 2a + 6a 28,566 = 8a 28,566 = a(8 )
a =
28,566 m = 3,57 8 seg 2
b) La tensión en la cuerda T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1) T – 19,6 = 2 * 3,57 T – 19,6 = 7,14 T = 7,14 + 19,6 T = 26,74 Newton La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo. 0
VF = V0 + a t VF = a t VF = 3,57 * 2 VF = 7,14 m/seg. Problema 5.34 Serway cuarta edición La bala de un rifle con una masa de 12 gr viaja con una velocidad de 400 m/seg Y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Determine la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que actúa sobre la bala. X = 15 cm = 0,15 m
m = 12 gr *
1 kg = 0,012 kg 1000 gr
V0 = 400 m/seg VF = 0
25
0 2
(VF) = (V0)2 + 2 a X - 2 a x = (V0)2
a=-
(V0 )2 2X
= -
(400 )2 2 * 0,15
= -
160000 m = - 533333,33 0,3 seg 2
F = m a = 0,012 * (-533333,33) = - 6400 Newton F =- 6400 Newton Problema 5.34 Serway quinta edición; Problema 5 – 26 Serway sexta edición Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. Y θ = 550 encuentre: d) Las aceleraciones de las masas e) La tensión en la cuerda f) La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo. m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. Bloque m1 Σ Fy = m1 a T – P1 = m1 a T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2
T
T m1 = 2 kg
m2 = 6 kg
550
Pero: P2 = m2 g P2 = 6 * 9,8 = 19,6 Newton P2 = 58,8 Newton
Bloque m2
P2X = P2 sen 55 P2X = 58,8 sen 55 P2X = 48,166 Newton Σ FX = m2 a P2X – T = m2 a 48,166 – T = m2 a (Ecuación 2) T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) 48,166 – T = m2 a (Ecuación 2)
T
N2 P2X
Bloque m1
P2Y 550
T
P2 = m2 g m1 = 1 kg
48,166 -– m1 g = m1 a + m2 a 48,166 – 2* 9,8 = a(m1 + m2 ) 48,166 – 19,6 = a(2 + 6 )
26
28,566
a =
= a(8 )
m 28,566 = 3,57 8 seg 2
b) La tensión en la cuerda T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) T – 2 * 9,8 = 2 * 3,57 T – 19,6 = 7,14 T = 26,74 Newton La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo. 0
VF = V0 + a t VF = a t VF = 3,57 * 2 VF = 7,14 m/seg. Problema 5.36 Serway cuarta edición La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y dirección de su aceleración?
FR =
(390)2 + (180)2
Tg θ =
390 = 2,1666 180
θ = arc tg 2,1666 θ = 65,220 FR = m * a Pero: m = 270 Kg.
390 N
FR θ 180 N
F 430 m a = R = = 1,59 m 270 seg 2 Problema 5.37 Edición cuarta Serway; Problema 5 – 37 Edición quinta; Problema 5-31 edición sexta Una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg... a) Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?. b) Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. c) Grafique la aceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 100 N. y FX = 100 N
27
Bloque m1 Bloque m1 Σ FY = m1 a Σ FY = T – P1 = m1 a T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 a FX - T = m2 a (Ecuación 2)
a
T
m2 = 8 kg T
FX
T P1 = m1 g
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. (Ecuación 1) T – m 1 g = m1 a (Ecuación 2) F X - T = m2 a
m1
- m1 g + FX = m1 a + m2 a a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX 10 a + 19,6 = FX Si a = 0 FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. Despejando la aceleración en la ecuación 1 T – m1 g = m1 a T – 2g = 2 a
a=
T - 2g 2 Despejando la aceleración en la ecuación 2 F X - T = m2 a FX - T = 8 a
a =
Bloque m2 N T
FX
FX - T 8
Igualando las aceleraciones.
T - 2g FX - T = 8 2
P2 = m2 g
8 * (T – 2g) = 2 * (FX – T) 8T – 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g
T =
2Fx + 16g 1 = (FX + 8g ) 10 5 28
T =
FX 8 g + 5 5
Si T = 0
FX 8g = 5 5 FX = - 8 g Problema 5.38 Edición cuarta Serway; Problema 5.35 Edición quinta Dos masas m1 y m2 situadas sobre una superficie horizontal sin fricción se conectan mediante una cuerda sin masa Una fuerza F se ejerce sobre una de las masas a la derecha Determine la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda. Bloque m1 ∑ FX = m1 a T = m1 a (Ecuación 1)
m1 T
T
m2
F
Bloque m2 ∑ FX = m2 a F - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T = m1 a (Ecuación 1) F - T = m2 a (Ecuación 2)
T
T
F
F = m1 a + m2 a F = (m1 + m2 ) a
a=
F m1 + m 2
Reemplazando en la ecuacion1 T = m1 a (Ecuación 1)
F m1 + m 2 m1 F T= m1 + m 2 T = m1 *
Problema 5.40 Edición cuarta Serway; Problema 5-32 quinta edición; Problema 5 – 22 sexta edición Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la aceleración del bloque? a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente?
Σ FY = 0 WY – N = 0
29
Pero: WY = W cos θ
WY = N W cos θ = N
V0 = 0
Σ FX = m a WX = m a X = 2 metros
Pero: WX = W sen θ W sen θ = m a
θ = 150
Pero: W = m g
N
m g sen θ = m a g sen θ = a a = 9,8 * sen 15 a =9,8 * 0,258 a = 2,536 m/seg2
WX
150
0 2
WY
2
(VF) = (V0) + 2 * a * X
W=mg
2 a x = (VF)2
VF = 2 a X =
2 * 2,536 * 2 = 3,18
m seg
Problema 5.40 Serway Edición quinta El coeficiente de fricción estática es 0,8 entre las suelas de los zapatos de una corredora y la superficie plana de la pista en la cual esta corriendo. Determine la aceleración máxima que ella puede lograr. Necesita usted saber que su masa es 60 kg? ∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) ∑FY = 0 N–W=0 N=W N=mg Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuacion1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μ g=a a = 0,8 * 9,8 = 7,84 m/seg2 a = 7,84 m/seg2
30
No se necesita saber la masa, como pueden ver se cancelan en la ecuación, es decir la masa no tiene relación con la aceleración Problema 5.41 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 62 Serway Edición quinta Un bloque de masa m = 2 kg se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo θ = 300 como se ilustra en la figura 5 – 41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta fricción. a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. e) La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.
D
h = 0,5 θ = 300
VX V0Y
V0 = - 3,13 m/seg
Y=2m
VX VY
X
V a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente PX = P sen 30º ∑ FX = m a PX = m a PX = m g sen 30 PX = m a
PX PY
m g sen 30 = m a g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5
300
P
a = 4,9 m/seg2 La aceleración del bloque cuando se desliza hacia abajo por el plano inclinado sen 30 =
h D
D=
h 0,5 = = 1 metro sen 30 0,5
D = 1 metro
31
Cual es la velocidad del bloque cuando deja el plano inclinado 0
2
2
(VF) = (V0) + 2 * a * X 2 a x = (VF)2
VF = 2 a X =
2 * 4,9 * 1 = 3,13
m seg
b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. La velocidad con la cual llega al final del plano inclinado, es la misma velocidad que el cuerpo inicia el tiro parabólico. (Ver grafico.) Es decir la velocidad inicial en el tiro parabólico es 3,13 mseg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. (V0 = - 3,13 m/seg) V0Y = Vo sen 30 V0Y = 3,13 sen 30 V0Y V0Y = - 1,565 m/seg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo.
VX 300 V0 = - 3,13 m/seg
d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el plano inclinado. VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t 3,13 m VF seg t= = = 0,638 seg m a 4,9 2 seg
t = 0,638 seg. (tiempo del cuerpo en el plano inclinado) Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el tiro parabolico Pero Y = 2 metros (V0Y = - 1,565 m/seg) g*t2 2 2 g*t
- Y = - V0Y t Y = V0Y t +
Multiplicando la ecuación por (-1)
2
9,8 * t 2 2 2 = 1,565 t + 4,9 t 2
2 = 1,565 t +
Ordenando la ecuación, hallamos el tiempo que el cuerpo demora en el aire. 4,9 t2 + 1,565 t – 2 =0 a = 4,9 b = 1,565 c = - 2
2 - b ± b 2 - 4 a c - (1,565) ± (1,565) - 4 * 4,9 * (-2) - 1,565 ± 2,4492 + 39,2 t= = = 2a 2 * 4,9 9,8
32
t=
- 1,565 ± 41,6492 9,8
t1 =
-1,565 + 6,4536 4,88 = 9,8 9,8
t=
- 1,565 ± 6,453 9,8
t = 0,4988 seg. (tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO) Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico Tiempo total = 0,638 seg. + 0,4988 seg. Tiempo total = 1,137 seg. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. X = VX * t t es el tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO = 0,4988 seg VX = Vo cos 30 VX = 3,13 * 0,866 VX = 2,71 m/seg.
VX V0Y
Esta velocidad es positiva por que va dirigida hacia la derecha. X = VX * t X = 2,71 * 0,4988
300 V0 = - 3,13 m/seg
X = 1,351 metros La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores. No, la masa se cancela y por lo tanto no influye en los calculos. Problema 5.42 Serway Edición quinta Un auto de carreras acelera de manera uniforme de 0 a 80 millas/hora en 8 seg. La fuerza externa que lo acelera es la fuerza de fricción entre los neumáticos y el camino. Si los neumáticos no derrapan, determine el coeficiente de fricción mínima entre los neumáticos y el camino. ∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μg=a a = 9,8 μ VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 9,8 μ
33
VF = 80
millas 1609 metros 1 hora m = 35,555 * * hora 1 milla 3600 seg seg
35,555 = 9,8 μ * 8 35,555 = 78,4 μ
μ=
35,555 = 0,45 78,4
Problema 5.43 Serway Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. a) Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1. b) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
V0 = 50
millas 1609 metros 1 hora m = 22,34 * * hora 1 milla 3600 seg seg
∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μg=a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,1 = 0,98 a = 0,98 m/seg2 0 2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 (22,34)2 499,0756 = = = 254,63 metros 2a
2 * 0,98
1,96
Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6 ∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μg=a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,6 = 5,88
34
a = 5,88 m/seg2 0
(VF)2 = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2 X=
(V0 )2 = (22,34)2 2a
2 * 5,88
=
499,0756 = 42,43 metros 11,76
Problema 5.47 Serway cuarta edición Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 – 47). Si el coeficiente de fricción durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda? Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton N1 = 60,76 Newton FR = μ N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton. FR = 12,152 Newton.
Σ FX = m1 * a T - FR = m1 * a (Ecuación 1)
m1 = 6,2 Kg.
Bloque m2 Σ FY = m 2 * a m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2)
T FR
T
Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: T - FR = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) -
m2 = 8,5 Kg.
F R + m 2 * g = m1 * a + m 2 * a
a (m1 + m2) = - FR + m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton. m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148
a =
Bloque m1
Bloque m2 N1 T
FR
T
71,148 m m = 4,84 2 14,7 seg seg 2
a = 4,84 m/seg2
W1 = m1 g
W2 = m2 g 35
Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2. m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) m2 * g - m2 * a = T T = 8,5 * 9,8 – 8,5 * 4,84 = 83,3 – 41,14 = T = 42,16 Newton Problema 5.47 quinta edición Serway Un muchacho arrastra un trineo de 60 Newton con rapidez constante al subir por una colina de 150 Con una cuerda unida al trineo lo jala con una fuerza de 25 Newton. Si la cuerda tiene una inclinación de 350 respecto de la horizontal. a) Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve. b) En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente ∑ FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante) FX – FR – WX = 0 (Ecuación 1) Pero: FX = F cos 20 FX = 25 cos 20 FX = 23,492 Newton WX = W sen 15 WX = 60 sen 15 WX = 15,529 Newton ∑ FY = 0 N – WY + F Y = 0 N = WY - FY (Ecuación 2)
F = 25 N 350 150
FR 150
Pero: WY = W cos 15 WY = 60 cos 15 WY = 57,955 Newton FY = F sen 20 FY = 25 sen 20 FY = 8,55 Newton N = WY - FY (Ecuación 2) N = 57,955 - 8,55 N = 49,405 Newton FR = μ N FR = μ 49,405 Reemplazando en la ecuación 1 FX – FR – WX = 0 (Ecuación 1)
F FY 350 200 150 FX
N
WY
FR
150 WX W
36
23,492 - μ 49,405 - 15,529 = 0 μ 49,405 = 23,492 – 15,529 μ 49,405 = 7,963 μ =
7,963 = 0,161 49,405
μ = 0,161 coeficiente de friccion cinetica En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente. ∑ FX = m a WX – FR = m a
WX
Pero: WX = W sen 15 WX = 60 sen 15 WX = 15,529 Newton ∑ FY = 0 N – WY = 0
N
FR
(Ecuación 1)
WY 0
15
W
Pero: WY = w cos 15 WY = 60 cos 15 WY = 57,955 Newton. N = WY = 57,955 Newton. FR = μ N = 0,161 * 57,955 FR = 9,33 Newton W=mg m=
W = g
60 N = 6,122 Kg m 9,8 seg 2
m = 6,122 kg (masa del trineo.) Reemplazando en la ecuación 1 WX – FR = m a (Ecuación 1) 15,529 - 9,33 = 6,122 a 6,199 = 6,122 a a=
m 6,199 = 1,01 6,122 seg 2
a = 1,01 m/seg2 (aceleración del trineo cuando va bajando por la colina) Problema 5.48 Serway Edición cuarta; Problema 5.41 Serway Edición quinta Un bloque de 25 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se necesita una fuerza horizontal de 75 Newton para poner el bloque en movimiento. Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta información.
37
∑FX = 0 F - FR = 0 (Ecuación 1) ∑FY = 0 N–W=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton N = 245 Newton
F = 75 N
m = 25 kg
FR = μCINET N FR = 245 μCINET Reemplazando en la ecuación 1 F - FR = 0 (Ecuación 1) 75 - 245 μCINET = 0 245 μCINET = 75 μ CINET =
75 = 0,306 245
Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática El cuerpo se desplaza a velocidad constante, entonces la aceleración es cero ∑FX = 0 F - FR = 0 (Ecuación 1) ∑FY = 0 N–W=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton N = 245 Newton FR = μESTAT N FR = 245 μESTAT Reemplazando en la ecuación 1 F - FR = 0 (Ecuación 1) 60 - 245 μESTAT = 0 245 μESTAT = 60 μ ESTAT =
60 = 0,244 245
PROBLEMA 5.49 cuarta edicion Serway Suponga que el coeficiente de fricción entre las ruedas de un auto de carreras y la pista es 1. Si el auto parte del reposo y acelera a una tasa constante por 335 metros. Cual es la velocidad al final de la carrera? Σ FX = m a FR = m a (Ecuación 1) µN=ma Pero:
38
Σ FX = 0 N-mg=0 N=mg µN=ma µmg=ma µ g=a a = 1 * 9,8 m/seg2 0
(VF )2
= (V0 )2 + 2 a X
(VF )2
=2 a X
VF = 2 a X =
2 * 9,8 * 335 = 81
m seg
VF = 81 m/seg Problema 5.52 serway Edición cuarta; Problema 5.43 serway Edición quinta Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. c) Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1. d) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
V0 = 50
millas 1609 metros 1 hora m * * = 22,34 hora 1 milla 3600 seg seg
∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μg=a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,1 = 0,98 a = 0,98 m/seg2 0 2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 (22,34)2 499,0756 = = = 254,63 metros 2a
2 * 0,98
1,96
Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
39
∑FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = μ N FR = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 FR = m a (Ecuación 1) μ mg=ma μg=a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,6 = 5,88 a = 5,88 m/seg2 0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2 X=
(V0 )2 = (22,34)2 2a
2 * 5,88
=
499,0756 = 42,43 metros 11,76
Problema 5.55 cuarta edición Serway; Problema 5.51 quinta edición; Problema 5.45 sexta edición Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Suponga F = 68 Newton m1 = 12 kg m2 = 18 kg y que el coeficiente de fricción cinético entre cada bloque y la superficie es 0,1. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la tensión T y la magnitud de la aceleración del sistema. Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 m1 * g = N1 = 12 * 9,8 = 117,6 Newton N1 = 117,6 Newton
m1
T
m2
T
F
FR1 = μ N1 = 0,1 * 117,6 = 11,76 Newton. FR1 = 11,76 Newton.
Σ FX = m1 * a T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = 0 m2 * g – N2 = 0 m2 * g = N2 = 18 * 9,8 = 176,4 Newton
N1 T
FR1 W1
N2 F
T
FR2
W2
N2 = 176,4 Newton FR2 = μ N1 = 0,1 * 176,4 = 17,64 Newton.
40
FR2 = 17,64 Newton.
Σ FY = m 2 * a F - FR2 – T = m2 * a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1) F - FR2 – T = m2 * a (Ecuación 2) F - FR2 - FR1 = m1 a + m2 a F – 17,64 – 11,76 = a ( 12 + 18) 68 – 29,4 = 30 a 38,6 = 30 a
a=
38,6 m = 1,286 30 seg 2
T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1) T – 11,76 = 12 * 1,286 T – 11,76 = 15,44 T = 11,76 + 15,44 T = 27,2 Newton Problema 5.56 Serway edición quinta: Problema 5.54 Serway sexta edición Tres bloques están en contacto entre si sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura 5 – 56. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1. Si m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 4 kg y F = 18 Newton. Dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada bloque y encuentre. a) La aceleración de los bloques b) La fuerza resultante sobre cada bloque. c) Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques. La aceleración de los bloques mT = m1 + m2 + m3 = 2 + 3 + 4 = 9 kg mT = 9 kg F = mT a
a=
F 18 Newton m = =2 mT 9 kg seg 2
Bloque m1 Σ FX = m 1 a F – FC1 = m1 a 18 - FC1 = 2 * 2 = 4 18 - FC1 = 4 FC1 = 18 - 4 FC1 = 14 Newton
FC2 FC1 F = 18 N
m1
m2
m3
m2
m1 FC1
FC2
FC1 F
La fuerza resultante en el bloque m1 es: F1 = F – FC1
41
F1 = 18 – 14 = 4 Newton Bloque m2 Σ FX = m 2 a FC1 - FC2 = m2 a 14 - FC2 = 3 * 2 = 6 14 - FC2 = 6 FC1 = 14 - 6
m3
FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m2 es: F2 = FC1 - FC2
FC2
F2 = 14 – 8 = 6 Newton Bloque m3 Σ FX = m 3 a FC2 = m3 a FC2 = 4 * 2 = 8 FC2 = 14 - 6 FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m3 es: F3 = FC2 F2 = 8 Newton Problema 5.57 Edición cuarta Serway; Problema 5 – 45 edición quinta; Problema 5-41 Edición sexta Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300 Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 seg. Encuentre: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros. N La magnitud de la aceleración del bloque. m = 3 Kg. X = 2 metros t = 1,5 seg. V0 = 0
X = V0 t + X=
V0 = 0 X = 2 metros t = 1,5 seg.
1 2 at 2
1 2 at 2
600 W
300
2 X = a t2
a=
2 X 2*2 4 m = = = 1,77 t 2 1,5 2 2,25 seg 2
a = 1,77 m/seg2
42
El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. ∑ FX = m a WX – FR = m a (Ecuación 1) Pero: WX = W sen 30 WX = m g sen 30 WX = 3 * 9,8 * 0,5 WX = 14,7 Newton.
N FR WX
∑ FY = 0 N – WY = 0 N = WY = W cos 30 N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866 N = 25,461 Newton
300
WY
W
FR = μ * N FR = μ * 25,461 Reemplazando en la ecuación 1 WX – FR = m a (Ecuación 1) 14,7 – μ * 25,461 = 3 * 1,77 14,7 - μ 25,461 = 5,31 μ 25,461 = 14,7 - 5,31 μ 25,461 = 9,39 μ=
9,39 = 0,368 25,461
μ = 0,368 coeficiente de friccion cinetica La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. FR = μ N FR = 0,368 * 25,461 FR = 9,36 Newton La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros. VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 t = 1,5 seg. pero: a =1,77 m/seg2 VF = a * t VF = 1,77 * 1,5 VF = 2,65 m/seg Problema 5.59 Serway cuarta edicion; Problema 5.50 quinta edición; 5.44 Serway Sexta edición En la figura p5 – 59 se muestran tres masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un coeficiente de fricción de deslizamiento 0,35 . Las tres masas son de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas son sin fricción. a) Determine la aceleración de cada bloque y sus direcciones. b) Determine las tensiones en las dos cuerdas. HAY ROZAMIENTO Bloque m1
43
Σ FY = m1 a W1 - T1 = m1 a m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 a T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuación 2)
T1
Σ FY = 0 N2 – W = 0 N2 – m2 g = 0 N2 = m2 g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton N2 = 9,8 Newton
m2 = 1 kg T2 T2
T1
T2
FR
g = 9,8 m/seg2 m1 = 4 kg
m3 = 2 kg
FR = μ * N2 FR = 0,35 *(9,8) FR = 3,43 Newton Bloque m3 Σ FY = m3 a T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3)
Bloque m1 T1
a=
N2 T2 T1
Sumando las tres ecuaciones m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1) T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuación 2) (Ecuación 3 T 2 - m3 g = m3 a m1 g - FR - m3 g = m1 a + m2 a + m3 a m1 g - FR - m3 g = ( m1 + m2 + m3 ) a 4 * 9,8 – 3,43 – 2 * 9,8 = ( 4 + 1 + 2 ) a 39,2 – 3,43 – 19,6 = ( 7 ) a 16,7 = 7 a
Bloque m3
Bloque m2
T2 FR
m1 = 4 kg W1 = m1 * g
m 2 = 1 kg W2 = m2 * g
m3 = 2 kg W3 = m3 * g
16,7 m = 2,31 7 seg 2
Hallar la tensión T1 m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1) 4 * 9,8 - T1 = 4 * 2,31 39,2 - T1 = 9,24 39,2 - 9,24 = T1 T1 = 29,96 Newton Hallar la tension T2 T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3) T2 – 2 * 9,8 = 2 * 2,31 T2 – 19,6 = 4,62 T2 = 19,6 + 4,62
44
T2 = 24,22 Newton Problema 5.59 Serway Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se ilustra en la figura p5 – 59 . Las poleas tienen masa y fricción despreciables. Encuentre: a) La tensión en cada sección de la cuerda T1 T2 T3 T4 y T5 Bloque M Σ FY = 0 (Por que la fuerza F aplicada mantiene el sistema en equilibrio.) Σ FY = M g – T5 = 0 M g = T5
T4
POLEA 1 Σ FY = 0 T5 – T2 – T3 = 0
Polea 2 T3
PERO: T2 = T3 T5 – T2 – T2 = 0 T5 – 2 T2 = 0 T 5 = 2 T2 y T5 = 2 T3
T2 =
T5 M g = 2 2
y T3 =
T1
T5 M g = 2 2
Σ FY = 0 F–Mg=0 F=Mg Σ FY = 0 F = T1 T1 = M g
T2
T3
T2
Polea 1
F
T5 W=Mg
POLEA 2 Σ FY = 0 T 1 + T2 + T3 = T4 M g + Mg/2 + Mg/2 = T4 T4 = 2 M g Problema 5.7 Serway quinta edición. Un bloque de 2 kg. se sitúa sobre la parte superior de un bloque de 5 kg. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 5 kg. y la superficie es 0,2. Una fuerza horizontal F se aplica al bloque de 5 kg. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de 3 m/seg2 c) Encuentre el coeficiente mínimo de fricción estática entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se deslice menos de una aceleración de 3 m /seg2
45
a. Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de 3 m/seg2 ∑FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 5 kg) N2 – m1 g - m2 g = 0 N2 = 2 kg * 9,8 m/seg2 + 5 kg * 9,8 m/seg2 N2 = 19,6 Newton + 49 Newton N2 = 68,6 Newton
m1 = 2 kg.
m2 = 5 kg. FR
FRE es la fuerza de rozamiento estática entre Los 2 cuerpos. F FR es la fuerza de rozamiento cinético entre El cuerpo de 5 kg y el piso.
La fuerza de rozamiento FR siempre se opone al movimiento, por eso FR se dibuja en sentido contrario al movimiento μ = 0,2 coeficiente de fricción cinética, Se utiliza para hallar FR FR = μ * N2 FR = 0,2 * 68,6 Newton FR = 13,72 Newton
m2 = 5 kg. N2 FR
F W2 = m2 g W1 = m1 g
mT = m1 + m2 = 2 kg + 5 kg mT = 7 kg. se suman las masas, por que un cuerpo esta encima del otro y se mueven a la vez, como un solo cuerpo a = 3 m/seg2 ∑FX = mT * a F - FR = mT * a F – 13,72 = 7 * 3 F – 13,72 =21 F = 21 + 13,72 Newton F = 34,72 Newton c) Encuentre el coeficiente mínimo de fricción estática entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se deslice menos de una aceleración de 3 m /seg2 FRE = Fuerza de rozamiento debido al coeficiente de fricción estática. μE = Coeficiente de fricción estática.
46
∑FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 2 kg) N1 – m1 g = 0 N1 = 2 kg * 9,8 m/seg2 N1 = 19,6 Newton ∑FX = m1 * a FRE = m1 * a FRE =2 Kg * 3 m/seg2 FRE = 6 Newton
m1 = 2 kg. FRE
N1
FRE = μE * N1 6 Newton = μE * 19,6 Newton
W1 = m1 g
6 Newton μE = = 0,3 19,6 Newton μE = 0,3
Coeficiente de fricción ESTATICA, esto sirve para evitar que la masa de 2 kg. Se deslice sobre la masa de 5kg cuando se aplique la tensión F en la cuerda. Problema 5.74 Serway cuarta edición. Un bloque de 5 kg. se coloca sobre de 10 kg. Una fuerza horizontal de 45 Newton se aplica al bloque de 10 kg. y el bloque de 5 kg. se amarra a la pared. El coeficiente de fricción cinética entre las superficies móviles es 0,2 . a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre para cada bloque e identifique las fuerzas de acción y reacción entre los bloques. b) Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la aceleración del bloque de 10 kg?
m2 = 5 kg. T m1 = 10 kg.
FR1 es la fuerza de rozamiento cinético entre Los 2 cuerpos. F = 45 Newton
FR2 es la fuerza de rozamiento cinético entre La masa inferior y el piso.
Diagrama de cuerpo libre para m2 La fuerza de rozamiento FR2 es contrario a la fuerza T (tensión de la cuerda). Además la masa m2 no se desplaza por que la tensión de la cuerda se lo impide.
N2
∑FY = 0 N2 – m2 g = 0 N2 = m2 g N2 = 5 kg * 9,8 m/seg2 N2 = 49 Newton
T
FR1 W2 = m2 g 47
μC = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2 FR1 = μC N2 FR1 = 0,2 * 49 Newton FR1 = 9,8 Newton Consideramos que hacia la derecha es positivo. ∑FX = 0 FR1 - T = 0 FR1 = T T = 9,8 Newton Diagrama de cuerpo libre para m1 Para el cuerpo m1 actúan las dos fuerzas de rozamiento y en sentido contrario a la fuerza de 45 newton. La normal N1 es la suma de los pesos de los dos cuerpos.
N1 FR2
∑FY = 0 N1 – m2 g – m1 g = 0 N1 = m2 g + m1 g N1 = (5 kg * 9,8 m/seg2 ) + (10 kg * 9,8 m/seg2) N1 = 49 Newton + 98 Newton N1 = 147 Newton
FR1
F W2 = m2 g W1 = m1 g
μC = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2 FR2 = μC N1 FR2 = 0,2 * 147 Newton FR2 = 29,4 Newton Consideramos que hacia la derecha es positivo. El cuerpo de masa m1 se desplaza hacia la derecha, ocasionando una aceleración al sistema. Como existe un coeficiente de fricción
cinético es indudable que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y origina una aceleración al sistema. ∑FX = m1 * a F - FR1 - FR2 = m1 * a Pero: F = 45 Newton FR1 = 9,8 Newton
FR2 = 29,4 Newton
m1 = 10 kg.
F - FR1 - FR2 = m1 * a 45 – 9,8 – 29,4 = 5 * a 5,8 = 10* a a=
58 Newton m = 0,58 10 kg seg 2
Problema 5.83 Cuarta edición Serway; Problema 5-69 quinta edición; Problema 5-61 sexta edición Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura 5 – 83 con el propósito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro?
48
Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción (sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1.
T m1 T
M
F
Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0
N2
m2
a = aceleración
(La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleración igual a la del carro) Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace) m2 * g – T = 0 (Ecuación 2)
Bloque m2
Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = 0 (Ecuación 2) m2 * g = m1 * a
m *g a = 2 m1 Todos los bloques unidos MT = (M + m1 + m2) (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto)
N2
T
Bloque m1 N1
W2 = m2 g
Σ FX = mT * a F = mT * a
T
F = (M + m1 + m2) * a
W1 = m1 g 49
Pero : a =
m2 * g m1
Reemplazando tenemos:
F = (M + m1 + m 2 ) *
m2 * g m1
Problema 5.84 cuarta edición Serway; Problema 5.70 quinta edición; Problema 5.63 sexta edición Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig se mantiene inmóvil. Todas las superficies, poleas y ruedas son sin fricción. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere, encuentre: a) La tensión T en la cuerda? La aceleración de m2 ? b) La aceleración de M. c) La aceleración de m1. Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 (La aceleración resultante del sistema es la diferencia entre las aceleraciones, es decir el bloque m1 tiene una aceleración diferente a la del carro)
T
Σ FX = m1 * (a – A) Σ FX = m1 * a – m1 * A T = m1 * a – m1 * A (Ecuación 1) Para el carro M Σ FX = M * A T = M * A (Ecuación 2)
a-A
a
m1 T
A
Bloque m2 Σ FY = m2 * a (La masa m2 se desplaza hacia abajo con aceleración = a) m2 * g – T = m2 * a m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3) En la ecuación 1, despejamos la aceleración : T = m1 * a – m 1 * A
M
m2
A = aceleración Bloque m1 N1 T T
T+ m1 * A = m1 * a
W1 = m1 g
W2 = m2 g
50
a =
T + m1 * A T = + A (Ecuación 1) m1 m1
En la ecuación 2, despejamos la aceleración : T=M* A
A=
T M
(Ecuación 2)
Reemplazamos (ecuación 1) y (ecuación 2) en la (ecuación 3) para hallar la tensión en función de la masa y gravedad. m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3)
T + m1 * A T = + A (Ecuación 1) m1 m1 ⎡ T ⎤ + A⎥ = T m2 * g - m2 * ⎢ ⎣ m1 ⎦
pero: a =
A=
T M
(Ecuación 2)
⎡ T T⎤ m2 g - m2 ⎢ + ⎥ = T M m ⎣ 1 ⎦ ⎡ T T⎤ m2 g = m2 ⎢ + ⎥ + T ⎣ m1 M ⎦
⎛ T ⎞ ⎡ T⎤ ⎟⎟ + m 2 ⎢ ⎥ + T m 2 g = m 2 ⎜⎜ ⎣ M⎦ ⎝ m1 ⎠ ⎛ m T ⎞ ⎡ m T⎤ m 2 g = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎢ 2 ⎥ + T ⎝ m1 ⎠ ⎣ M ⎦
⎡ m M T + m 2 m1 T + m1 M T ⎤ m2 g = ⎢ 2 ⎥ m1 M ⎦ ⎣
( m1
M)* m 2 g =
[ m2
M + m 2 m1 + m1 M ] T
(m1
M) * m2 g = T m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎤ ⎡ m1 M T = ⎢ ⎥ * m2 g ⎣ m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎦
51
Problema 5.85 serway cuarta edición Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ para ambos bloques) Datos: m1 = 10 kg.
a = 2,35 cm/seg2
m2 = 5 kg. m3 = 3 kg
g = 9,8 m/seg2
Bloque m1
Bloque m1
∑ FY = m1 a P1 – T1 = m1 a (Ecuación 1) P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton P1 = 98 Newton 98 - T1 = m1 a 98 - T1 = 10 * 2,35 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton
T1
m2 T1
T2 T2
T1
m3
FR2
P1 = m1 g
FR3 250
m1 Bloque m2
∑ FX = m2 a T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) ∑ FY = 0 P2 – N2 = 0 P2 = N2 m2 g = N2 P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 49 Reemplazando en la ecuación 2 T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) 74,5 - μ 49 – T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - μ 49 – T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - μ 49 = T2
Bloque m2 N2
T2
T1
FR2
P2 = m2 g
N3
Bloque m3 T2
P3X FR3
P3Y
62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) 250
Bloque m3 ∑ FX = m3 a T2 – P3X – FR3 = m3 a
P3 = m3 g
52
Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25 P3X = 12,42 Newton ∑ FY = 0 P3Y – N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25 P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = μ N3 FR3 = μ 26,64 Reemplazando en: T2 – P3X – FR3 = m3 a T2 – 12,42 - μ 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + μ 26,64 + 7,05 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) 62,75 - μ 49 = 19,47 + μ 26,64 62,75 – 19,47 = μ 26,64 + μ 49 43,28 = 75,64 μ μ =
43,28 = 0,572 75,64
Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton
53
Problema 5.86 Serway cuarta edición El coeficiente de fricción cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y las poleas son sin fricción y las masas se liberan desde el reposo. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la aceleración de cada bloque c) Encuentre la tensión en las cuerdas? m1 = 2 kg m2 = 3 kg
m3 = 10 kg
T1
Bloque m1 ∑ FX = m1 a T 1 - FR = m 1 a
m1
FR
T1
T2
m2
FR
∑ FY = 0 P1 – N1 = 0 P1 = N1 m1 g = N1
N1 T1
P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = N1 = 19,6 Newton Pero: FR = μ N1 FR = 0,3 * 19,6 FR = 5,88 Newton.
T2 T2
FR
m3 m1 g
m3 g
N2 T1
T2
FR m2 g
Reemplazando T 1 - FR = m 1 a T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) Bloque m2 ∑ FX = m2 a T 2 - FR – T 1 = m 2 a Reemplazando T 2 - FR – T 1 = m 2 a T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m 3 a m 3 g – T2 = m 3 a 10 * 9,8 – T2 = 10 a 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleración del sistema
54
T1 - 5,88 = 2 a
(Ecuación 1)
T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) - 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a 86,24 = 15 a
a=
86,24 m = 5,749 15 seg 2
Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T1 - 5,88 = 2 * 5,749 T1 = 5,88 + 11,498 T1 = 17,378 Newton Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T2 T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) T2 – 5,88 – 17,378 = 3 * 5,749 T2 = 17,247 + 23,258 T2 = 40,5 Newton Problema 5.87 Serway cuarta edición; Problema 5.72 Serway quinta edición; Problema 5.68 Serway sexta edición Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 – 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a) La magnitud de la aceleración de cada bloque? b) La tensión en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton
T
T
m1 350
m2
350
NO HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FX = m1 * a Σ FX = T – P1X = m1 * a
55
T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 * a P2X – T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 35 = 44,96 Newton 44,96 – T = 8 a (Ecuación 2)
Bloque m1 N1
T Bloque m2
P1X
P1Y 350
N2
T
P2X
P1 = m1 g
P2Y
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1)
350
44,96 – T = 8 a (Ecuación 2)
P2 = m2 g
-19,67 + 44,96 = 11,5a 11,5a = 25,29
a =
25,29 m 2,2 11,5 seg 2
a = 2,2 m/seg2 b) La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) T -19,67 = 3,5 * 2,2 T = 7,7 + 19,67 T = 27,37 Newton Problema 5.88 cuarta edición Serway; Problema 5-73 quinta edición El sistema mostrado en (figura p5 – 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a) El coeficiente de fricción cinético. b) La tensión en la cuerda?
T
T
m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha.
350
FR1
FR2 350
Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton
56
Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X - FR1 = m1 * a T – 19,67 - FR1 = 3,5 * 1,5 T – 19,67 - FR1 = 5,25
Bloque m1 N1
Σ FY = 0 P1Y – N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 9,8 * 0,8191 P1Y = 28,09 Newton
T
P1X
P1Y 350
FR1
P1 = m1 g
P1Y = N1 = 28,09 Newton Pero: FR1 = μ N1 FR1 = 28,09μ T – 19,67 - FR1 = 5,25 T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) Pero: P2X = P2 sen 35 P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 P2X = 44,96 Newton Bloque m2 Σ FX = m2 * a P2X – T - FR2 = m2 * a 44,96 – T - FR2 = 8 * 1,5 44,96 – T - FR2 = 12
Bloque m2 FR2
Σ FY = 0 P2Y – N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * 0,8191 P2Y = 64,21 Newton
T
N2 P2X
P2Y 350 P2 = m2 g
P2Y = N2 = 64,21 Newton Pero : FR2 = μ N2 FR2 = 64,21μ 44,96 – T - FR2 = 40 44,96 – T – 64,21μ = 12 (Ecuación 2)
57
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) 44,96 – T – 64,21μ = 12 (Ecuación 2) -19,67 – 28,09μ + 44,96 – 64,21μ = 5,25 + 12 25,29 -92,3μ = 17,25 92,3μ = 25,29 -17,25 92,3 μ = 8,04
μ =
8,04 = 0,087 92,3
μ = 0,087 coeficiente de friccion cinetica La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) T – 19,67 – 28,09* 0,087 = 5,25 T – 19,67 – 2,44 = 5,25 T = 19,67 +2,44 + 5,25 T = 32,51 Newton Problema 1.2 Sears – Zemansky Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de 300 con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical. FX = F cos 30 FX = 20 cos 30 FX = 17,32 Kg.
F 300
FY = F sen 30 FY = 20 * (0,5) FY = 10 Kg.
FX 300
FY
F
Problema 1.3 Sears – Zemansky Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo de 300 con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente FY FX = 8 Kg FX = F cos 30 8 = F cos 30 8 = F 0,866 FX F = 9,23 Kg.
300
FY = F sen 30 FY = 9,23 * (0,5) FY = 4,61 Kg.
300
FY
200
58
Problema 2.3 Sears – Zemansky Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo. a) Cual es la tensión de la cuerda? b) Cual es la tensión de la cadena? T3 = tensión de la cuerda T1 = 10 Kg. T2 = 10 kg.
T3 Σ FY = 0 T 1 + T2 - T3 = 0 T 1 + T 2 = T3 T3 = 10 kg. + 10 kg. T3 = 20 kg.
T1
T2
10 Kg
10 Kg
Problema 2.4 sears – zemansky El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 Si θ2 = θ3 = 60 T1Y = T1 . sen 60 T2X = T2 . cos 60
C 60 0
60 0
T2Y = T2. sen 60
T1X = T1 . cos 60
Σ FX = 0 T2X - T1X = 0 (Ecuación 1) T2X = T1X T2 . cos 60 T2 = T1
A
= T1 . cos 60
T1 T1Y
T2 60 0 T1X
Σ FY = 0 T1Y + T2Y – W = 0 (Ecuación 2)
T 2Y
T2
T1
60 0
B
T2X W
W = 50 kg
θ2 = 60 0
T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg. T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 T1 . sen 60
+ T2. sen 60 = 50
T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50 2T1 . sen 60 = 50 T1 =
T2
θ3 = 00 T3
W = 50 kg
50 50 = 2 sen 60 1,732
59
T1 = 28,86 Kg. T2 T2
= T1 = 28,86 Kg.
C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60
Σ FX = 0 T2X - T3 = 0 T2X = T3 T2 . cos 60 = T3 (Ecuación 1)
T 2Y T3
Σ FY = 0 T2Y – W = 0 (Ecuación 2) T2Y = W pero: W = 50 kg. T2 . sen 60 = 50 (Ecuación 2) T2 =
T2 600
T 2X W = 50 kg
50 = 57,73 kg. sen 60
T2 = 57,73 Kg. Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 T2 . cos 60 = T3 (57,73) . cos 60 = T3 T3 = (57,73) * 0,5 T3 = 28,86 Kg. Problema 2-5 sears – zemansky Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 siA el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg.
C
0
0
30
Caso a
45
TA
TB
W = 200 kg
Caso a) Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos
60
Figura 2.14 ∑ FX = 0 TBX – TAX = 0
∑ FY = 0 TAY + TBY – W = 0
Pero: TBX = TB cos45 TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA sen 30
∑ FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0
∑ FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 – W = 0
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1)
0,5 TA + 0,707 TB = 200
(Ecuac 2)
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,707 TB = 0,866 TA TB = 0,866 TA / 0,707 TB = 1,25 TA Reemplazando en la ecuac 2 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200 0,5 TA + 0,8837 TA = 200 1,366 TA = 200 TA = 200 / 1,366 TA = 146,41 Kg.
TB
TA TAY 300
T BY
450
TAX
TBX
TB = 1,25 TA TB = 1,25 * (146,41) TB = 183,01 Kg.
W = 200 kg
Caso b)
∑ FX = 0 TBX – TA = 0 Pero: TBX = TB cos 45
∑ FY = 0 TBY - W = 0 Pero: TBY = TB sen 45
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 – W = 0
0,707 TB = TA
(Ecuac 1)
0,707 TB = 200
(Ecuac 2)
61
0,707 TB = 200 (Ecuac 2) TB = 200 / 0,707 TB = 283 Kg.
450 Caso b
TB
Reemplazando en la ecuac 1 0,707 TB = TA
TB
Ecuac 1
TA
0,707 * (283 Kg.) = TB
T BY TA
TC
200 Kg. = TB
450 TBX
TC
W = 200 kg
W = 200 kg
Caso c)
450 Caso c TB TB
0
T BY
30 TA
450
TAX
300
TAY
300
TA
W = 200 kg
TBX W = 200 kg
∑ FX = 0 TBX – TA = 0
∑ FY = 0 TAY + TBY – W = 0
Pero: TBX = TB cos 45 TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45 TAY = TA sen 30
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 –TA sen 30 – W = 0
∑ FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 0
0,707 TB - 0,5 TA = 200
0,707 TB = TA 0,866
(Ecuac 2)
(Ecuac 1)
Nótese que tomamos 300 ya que este es el ángulo que TA forma con el eje de las x. Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) (TA 0,866) - 0,5 TA = 200
62
0,366 TA = 200 TA = 200 / 0,366
370
TA = 546,45 Kg. Pero:
0,707 TB = TA 0,866
370
TB
A 530
TB = TA 0,866 / 0,707
C
TB = 669,34 Kg.
TC
530
M
Caso d) TAY TA
TB
530
TC
TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707
TA
W
370
TAX
530
TCY TCX
FIGURA 2.8
Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, en este caso el nudo o entre C y A tenemos: De la figura 2.8 ∑ FX = 0 TAX – TB – TCX = 0
∑ FY = 0 TAY – TCY = 0
Pero: TAX = TA cos 37 TCX = TA cos 53
Pero: TAY = TA sen 37 TCY = Tc sen 53
∑ FX = TAX cos 37 – TB – TCX cos 53 = 0
∑ FY = TA sen 37 – TC sen 53 = 0
Ecuac 1 De la figura 2.9 tenemos: ∑ FX = 0 TCX - TCX = 0 ∑ FX = Tc cos 53 – Tc cos 53 = 0
TA sen 37 = TC sen 53
(Ecuac 2)
∑ FY = 0 TCY + TCY – W = 0 Pero: TCY = TC sen 53 ∑ FY = TC sen 53 + TC sen 53 – W = 0 ∑ FY = 2 TC sen 53 – W = 0
(Ecuac 3)
63
De la ecuac 3 tenemos: 2 TC sen 53 – W = 0 2 TC sen 53
= 200
2 TC (0,799)
= 200
TC 1,598
Ecuac 3
= 200
TC = 200 / 1,598 TC = 125 Kg. Reemplazando en la ecuac 2 TA sen 37 – TC sen 53 = 0 Pero:
TC = 125 Kg.
TA sen 37 = TC sen 53 TA sen 37 = (125) * sen 53
TC TCY 0
53
TCX
TC
TCY 0
53
TCX W
FIGURA 2.9
TA sen 37 = (125) * 0,799 TA sen 37 = 99,875 TA = 99,875 / sen 37 TA = 99,875
/ 0,602
TA = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0 TA cos 37– TC cos 53 = TB Pero: TC = 125 Kg. TA = 165,88 Kg. TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53 TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602 TB = 57,29 Kg.
64
Problema 2.6 sears – zemansky Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ? Caso a Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exigen para cada punto. Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda.
∑ FX = 0 pero: TCX = T cos 30
∑ FY = 0 pero: TCY = T sen 30
∑ FX = C - TCX = 0 ∑ FX = C - T cos 30 = 0
∑ FY = TCY – W = 0 ∑ FY = T sen 30 – W = 0
C = T cos 30
(Ecuac 1)
T sen 30 = W T = 1000 / 0,5
Ecuac 2
T sen 30 = W
T
(Ecuac 2)
TCY
0
30
T = 2000 KG.
TCX Reemplazando C = T cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866
Caso a
C
C W
W
C = 1,732 KG. Caso b ) ∑ FX = 0 pero: CX = C cos 30
∑ FY = 0 pero: CY = C sen 30
∑ FX = CX - T = 0 ∑ FX = C cos 30 - T = 0
∑ FY = CY – W = 0 ∑ FY = C sen 30 – W = 0
T = C cos 30
(Ecuac 1)
T
C sen 30 = W
(Ecuac 2)
C sen 30 = W (Ecuac 2) C = W / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando T = C cos 30 T = 2000 * 0,866 T = 1732 kg.
65
T 300T
Caso b
T C
C
CY
300
W
Cx
300
W
Caso C)
∑ FX = 0
∑ FY = 0
∑ FX = C cos 30 - T cos 45 = 0
∑ FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0 C sen 30 + T sen 45 - W = 0 Ecuac 2 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2
Ecuac 1 T cos 45 = C cos 30 T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 Igualando las ecuaciones T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1
T
T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 C 0,866 C 0,866 1,366 C
= W - C 0,5 = 1000 - C 0,5 + C 0,5 = 1000 = 1000
TY 30
0
450
CY 0
45
C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg
C
T
300 TX
CX W
Caso C
C 300
W
Reemplazando T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = (732,7) * 0,866 Ecuac 1 T = (732,7) * 0,866 / 0,707 T = 896,7 Kg.
66
Caso d)
T
C
CY 0
W C 300
450
45
TX 300
CX TY
T
30
0
W ∑ FX = 0 Pero: CX = C cos 45 TX = T cos 30
∑ FY = 0 Pero: CY = C sen 45 TY = T sen 30
∑ FX = CX - TX = 0 ∑ FX = C cos 45 - T cos 30 = 0
∑ FY = CY
T cos 30 = C cos 45 T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) Igualando las ecuaciones T 0,866 = C 0,707 C 0,707 = W + T 0,5
– TY - W = 0
∑ FY = C sen 45 – T sen 30 - W = 0 C 0,707 = W + T 0,5
(Ecuac 2)
(Ecuac 1) (Ecuac 2)
T 0,866 = W + T 0,5
T 0,866 - T 0,5
=W
T 0,366 = 1000 T = 1000 / 0,366 T = 2720 kg. Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = T 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG Problema 2.8 S sears – zemansky Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál será la altura mínima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared.
67
b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga).
Σ FY = 0 TY – W = 0 (Ecuación 1) TY = W pero: W = 500 kg. TY = 500
h
TY = T sen θ Pero T = 1000 Kg.
T = 1000 kg T
Reemplazando en la ecuacion1 TY = T sen θ 500 = (1000) * sen θ 500 sen θ = = 0,5 1000
TY
X = 80 cm
θ P = 500 kg
TX
sen θ = 0,5 θ = arc sen 0,5 θ = 300
P = 500 kg
h h = X 80 h tg 30 = 80 tg θ =
h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm Problema 2.9 Sears – Zemansky Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil? sen θ =
Y 0,6 = = 0,08 X 7,5
sen θ = 0,08
D = 15 metros X = 7.5 metros X = 7.5 metros
T1X T1
θ
T1Y
T2Y
θ T2X
Y = 60 cm
F = 50 Kg
68
Σ FX = 0 T2X -T1X = 0 T2X = T1X Pero T1X = T1 cos θ T2X = T2 cos θ T1 cos θ = T2 cos θ (Ecuación 1) T 1 = T2 Σ FY = 0 T 2y + T1y - F = 0 (Ecuación 1) T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg. T 2Y + T1Y = 50 T 2Y = T2 sen θ T 1Y = T1 sen θ T 2Y + T1Y = 50 T2 sen θ + T1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1) T1 = T2 T2 sen θ + (T2 ) sen θ = 50 2T2 sen θ = 50 T2 =
50 50 50 = = = 312,5 Kg. 2 sen θ 2 * 0,08 0,16
T2 = 312,5 Kg T1 = T2 = 312,5 Kg
Problema 2.10 Sears – Zemansky Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. CX = C . cos 45 CY = C . sen 45
T = 1000 kg TY
TX = T . cos 30 TY = T . sen 30
300
T = 1000 kg 300
Σ FX = 0 CX – TX = 0 (Ecuación 1)
45
C
CY
450
TX
CX
0
W
CX = TX C . cos 45 = T . cos 30 C. 0,707 = (1000) . 0,866
C
W
69
C. 0,707 = 866
C=
866 = 1224,89 Kg. 0,707
Σ FY = 0 CY + TY – W = 0 (Ecuación 2) CY + TY = W C . sen 45 + T . sen 30 = W (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W 865,99 + 500 = W
W = 1365,99 Kg. CONCLUSION: Nótese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. Problema 2.11 Sears – Zemansky El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. BLOQUE WA = 100 Kg. Σ FX = 0 T2 – FR = 0 (Ecuación 1) T 2 = FR
Σ FY = 0 N – WA = 0 (Ecuación 2) N = WA Pero: WA = 100 Kg. N = 100 Kg. Pero: μ = 0,3 FR = μ * N (Ecuación 3) FR = (0,3) * 100 FR = 30 Kg.
N T2
FR
Pero: T2 = 30 Kg. T1X = 30 Kg. T1X = T1 cos 45 T1 =
T1X 30 = = 42,426 Kg cos 45 0,707
450
WA W2
Pero: T2 = FR T2 = 30 Kg. BLOQUE W2 Σ FX = 0 T1X – T2 = 0 T1X = T2 (Ecuación 4)
T1
T2
WA
W2 N
FR
T2
T1Y T2
WA
T1 450
T1X W2
70
T1 = 42,426 Kg.
Σ FY = 0 T1Y – W2 = 0 T1Y = W2 (Ecuación 5) Pero T1Y = T1 sen 45 T1Y = W2 = T1 sen 45 W2 = T1 sen 45 W2 = (42,426) sen 45 W2 = 30 kg. Problema 2.12 Sears – Zemansky Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. BLOQUE W = 100 Kg. Σ FX = 0 FR - FX = 0 (Ecuación 1) F R = FX
N F 300
Pero: FX = F cos 30 FX = 10 . 0,866 FX = 8,66 kg. Pero FR = FX 8,66 Kg. FR = μ N (Ecuación 2) FR = 0,5 N = 8,66 Kg
W
N FR
F = 10 Kg F
300
FY
FX
W
F 8,66 N= R = = 17,32 Kg. 0,5 0,5
N = 17,32 KG.
Σ FY = 0 N + FY – W = 0 (Ecuación 3) Pero: FY = F sen 30 FY = (10) 0,5 FY = 5 Kg. Reemplazando en la ecuación 3 N + FY – W = 0 Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG. W = N + FY W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg. W = 22,32 Kg.
71
Problema 2.13 Sears – Zemansky Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. Bloque P1 = 14 Kg. Σ FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen θ P1X = 14 sen θ
Bloque m1
Pero: P1Y = P1 cos θ P1Y = 14 cos θ
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos θ
P1 = 14 kg
N1
T
T
T
FR P1X
FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 1/7 * (14 cos θ) FR = 2 cos θ Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T = 0 (Ecuación 4) P2 = T Pero: P2 = 10 kg T = P2 = 10 kg
P1Y
FR
θ0 θ0 P1 = m1 * g P1 = 14 kg
P2 = 10 kg
Bloque m2 T
Reemplazando en la ecuación 1 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 pero : sen2 θ + cos2 θ = 1 1/ 2 cosθ = 1 - sen 2θ = ⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟ ⎝ ⎠
P2 = m2 * g P2 = 10 kg
Reemplazando 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0 5– 5–
7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0 7 senθ = (1-sen2 θ)1/2
Elevando al cuadrado en ambos lados
72
1/ 2 ⎤ ⎡ [5 − 7 senθ ]2 = ⎢⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦
2
25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ 49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0 50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. a = 5 b =-70 c= 24 sen θ =
- (- 70) ±
( - 70) 2 - 4 (50) 24 2 (50)
sen θ =
70 ± 100 70 ± 10 = 100 100
sen θ1 =
70 + 10 80 = = 0,8 100 100
=
70 ± 4900 - 4800 100
T θ1 = arc sen 0,8
sen θ 2 =
70 − 10 60 = = 0,6 100 100
T
P1 = 14 kg
θ1 = 53,130
FR
θ2 = arc sen 0,6
θ2 = 36,860
53,130
θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha.
P2 = 10 kg
θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. Problema 2.14 Sears – Zemansky Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la derecha) Σ FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30
73
P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.
La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento.
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.
T
P1 = 100 kg T FR
Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinetico FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg.
300
Bloque P1
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg.
W= ?
N1 T FR P1X
P1Y 300
Bloque W T
P1 = 100 kg
W = m2 * g W= ?
Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la izquierda) Σ FX = 0 - T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.
74
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.
T
P1 = 100 kg
Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinetico FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg.
T FR
300
W= ?
Bloque P1
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
N1
-T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 25,98 T = 24,02 Kg.
T
FR
P1X
P1Y
La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Bloque W
0
30
BLOQUE W (por que se desplaza a velocidad constante) Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4)
T
P1 = m1 * g P1 = 100 kg
W = m2 * g W= ?
Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg.
Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI el cuerpo intenta moverse hacia la derecha, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P1 (Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la derecha) Σ FX = 0 T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Bloque P1 Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0
(Ecuación 2)
N1 T FR P1X
La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico
P1Y 300
P1 = 100 kg 75
N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. Bloque W T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T T = 84,64 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0
W = m2 * g W= ?
T = W (Ecuación 4) Pero T = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg.
SI el cuerpo intenta moverse hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha
Σ FX = 0 Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la izquierda) T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Bloque P1
Pero: P1X = P1 sen 30
N1
Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0
T
FR
P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg.
P1X
P1Y 300
(Ecuación 2)
N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.
P1 = m1 * g P1 = 100 kg
FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg.
La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
76
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0
Bloque W
T = 50 - 34,64 T = 15,36 Kg.
T
BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4)
W = m2 * g W= ?
Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg.
Problema 2.15 Sears zemanski El bloque A pesa 4 kg y el bloque B pesa 8 kg. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es 0,25. Calcular la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante. a) Si A queda sobre B y se mueve con el? Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. ∑ FY = 0 NB - WB – WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Pero: μC = 0,25 FR1 = μC NB FR1 = 0,25 * 12 kg FR1 = 3 kg. B
B
B
B
B
B
B
B
Bloque B
B
B
NB B
FR1 B
B
B
B
P
B
A = 4 kg.
WA B
WB B
P
B = 8 kg.
FR1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. B
B
0 B
∑ FX = ma (por que se desplazan a velocidad constante, no existe aceleración) ∑ FX = 0 B
B
B
B
77
P - FR1 = 0 P = FR1 B
B
B
B
P = 3 kg. b) Si A se mantiene en reposo?
A = 4 kg. T
Bloque A P
NA B
FR2
FR2 es la fuerza de rozamiento cinético entre los 2 cuerpos. B
B = 8 kg.
B
T
B
WA B
Bloque A 0
B
FR1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. B
B
B
∑ FX = ma B
(por que el bloque “A” no se desplaza, por que esta atado a la cuerda)
B
∑ FX = 0 FR2 - T = 0 FR2 = T B
B
B
B
B
B
∑ FY = 0 NA – WA = 0 NA = WA NA = 4 kg B
B
B
B
B
B
B
Bloque B
B
B
B
B
NB
B
B
FR1 B
Pero: μC = 0,25 FR2 = μC NA FR2 = 0,25 * 4 kg FR2 = 1 kg. B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
P
FR2 B
WA B
WB B
Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. ∑ FY = 0 NB - WB – WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: μC = 0,25 FR1 = μC NB FR1 = 0,25 * 12 kg FR1 = 3 kg. B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
78
0
B
B
∑ FX = ma B
(por que el bloque “B” se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante)
B
∑ FX = 0 P - FR2 – FR1 = 0 P = FR2 + FR1 P = 1 kg + 3 kg P = 4 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
c) Si A y B están unidos por una cuerda ligera flexible que pasa por una polea fija sin rozamiento.
FR2 es la fuerza de rozamiento cinético entre los 2 cuerpos. B
A = 4 kg.
B
T
P B = 8 kg.
T
FR1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. B
B
Bloque A 0
B
B
∑ FX = ma B
(por que el bloque “A” se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE)
B
∑ FX = 0 FR2 - T = 0 FR2 = T B
B
B
B
B
B
∑ FY = 0 NA – WA = 0 NA = WA NA = 4 kg B
B
B
B
B
B
B
B
NA
B
B
B
B
B
B
B
B
FR2
T
B
B
B
B
WA
FR1
P
B
B
Pero: μC = 0,25 FR2 = μC NA FR2 = 0,25 * 4 kg FR2 = 1 kg. B
NB
B
B
B
Bloque B
Bloque A
B
T
WA
FR2 B
B
B
B
WB B
FR2 = T T = 1 kg. B
B
Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. ∑ FY = 0 NB - WB – WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
79
Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: μC = 0,25 FR1 = μC NB FR1 = 0,25 * 12 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
FR1 = 3 kg. B
B
0
B
B
∑ FX = ma B
(por que el bloque “B” se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante)
B
∑ FX = 0 P - FR2 – FR1 – T = 0 P = FR2 + FR1 + T P = 1 kg + 3 kg + 1 kg P = 5 kg B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Problema 2.16 Sears zemanski El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 370 mientras la tabla B, también de peso W, descansa sobre la parte superior de A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto mas alto del plano. a) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque A. b)Si el coeficiente cinético de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determinar su valor. sen 37 =
WBX WB
T
WBX = WB sen 37 = m g sen 37 WAX = WA sen 37= m g sen 37 cos 37 =
FR1 = fuerza de rozamiento entre los B dos bloques FR2 = fuerza de A rozamiento entre el bloque B y el 370 plano inclinado
WBY WB
WBY = WB cos 37 = m g cos 37 WAY = WA cos 37 = m g cos 37
Bloque B
∑ FX = 0 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite. T - WBX – FR1 = 0 Pero: FR1 = μ NB
T
NB
∑ FY = 0 NB – WBY = 0 NB = WBY = m g cos 37
NA
∑ FY = 0 NA – WAY – WBY = 0 NA = WAY + WBY
FR2
FR1 WBY
WBX
Bloque A
Bloque A
Bloque B
37
0
WAX WBX
FR1 WAY
WA = m g
WBY
WB = mB g WB = m g
80
NA = WB cos 37 + WB cos 37 NA = m g cos 37 + m g cos 37 NA = 2m g cos 37 Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE, la aceleración es cero. ∑ FX = 0 FR1 + FR2 - WBX – WAX = 0 WBX = WB sen 37 = m g sen 37 WAX = WA sen 37= m g sen 37 Pero : WAX = WBX FR1 + FR2 = WBX + WAX FR1 + FR2 = m g sen 37 + m g sen 37 FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 FR1 = μ NB FR2 = μ NA
(Ecuacion 1)
(+)
FR1 + FR2 = μ NB + μ NA FR1 + FR2 = μ (NB + NA)
(Ecuacion 2)
Pero: NA = 2m g cos 37 NB = m g cos 37 Reemplazando en la ecuacion 2 (Ecuacion 2) FR1 + FR2 = μ (NB + NA) FR1 + FR2 = μ (m g cos 37 + 2m g cos 37 ) FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación 3 FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 (Ecuacion 1) FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) 2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) Cancelando los terminos semejantes 2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) 2 sen 37 = μ (3 cos 37 ) Despejamos μ μ=
2 sen 37 2 = tg 37 3 cos 37 3
81
μ = 0,666 tg 37 Problema 2 – 17 Sears - Zemansky Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? Bloque A ∑ FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero. T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1) T1 = FR1 ∑ FY = 0 WA – N1 = 0 WA = N1 WA = N1 = 20 Newton Pero: FR1 = μ N1 FR1 = μ 20 = 0,5 * 20 FR1 = 10 Newton
T2 T1
Bloque A
FR1
Bloque C
FR2
T1
370 Bloque A
N1 T1
T1 = FR1 T1 = 10 Newton
FR1
Bloque B
T1 WA
FR1
Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FX = 0 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) Pero: WBX = WB sen 37 WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton WBX = 12,036 Newton
T2
Bloque B
WA
N2 T2
FR2 Bloque B
T1 = 10 Newton ∑ FY = 0 WBY – N2 = 0 WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37 WBY = N2 = 15,972 Newton
T1 WBX
370
WBY
WB
Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972 FR2 = 7,986 Newton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2
82
T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) T2 = WBX + T1 + FR2 T2 = 12,036 + 10 + 7,986 T2 = 30 Newton
Bloque C
Bloque C
T2
Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FY = 0 W C – T2 = 0 WC = T2 = 30 Newton
WC
WC = 30 Newton Problema 2.18 Sears - Zemansky Una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la horizontal a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la izquierda? b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo?
θ
∑ FX = 0 FX – FX = 0
θ
F
FY
F
θ
∑ FY = 0 W – FY – F Y = 0 W – 2FY = 0 W = 2FY
θ
FX
W
FY FX
W
Pero: FY = F sen θ W = 2FY = 2(F sen θ) W = 2 F sen θ
F =
θ
T
θ
W 2 sen θ
∑ FX = 0 T - FX = 0 T = FX
F
FY T w/2
FX w/2
Pero: FX = F cos θ T = FX = F cos θ T = F cos θ Pero:
F =
W 2 sen θ 83
Reemplazando T = F cos θ
⎛ W ⎞ T =⎜ ⎟ cos θ ⎝ 2 sen θ ⎠ ⎛ W ⎞ cos θ T=⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sen θ ⎛W⎞ T = ⎜ ⎟ ctg θ ⎝2 ⎠ Problema de Sears – Zemansky Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Calcular: a) La aceleración del sistema? b) La tensión de la cuerda c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta.
T1
∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a m 2 g - T = m2 a
(Ecuación 1) (Ecuación 2)
T
m1
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a 156,8 – 78,4 = 24 a 78,4 = 24 a
m2 T
T
a = 3,266 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W1 = m1 g
W2 = m2 g
T = m1 a + m1 g T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8 T = 26,128 + 78,4 T = 104,528 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528
84
T1 = 209,056 Newton Problema 5.9 Resnick – Halliday Pág. 139 Dos bloques están en contacto como se muestra en la figura 5-14 en una mesa sin fricción. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque. Si m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. y F = 3 Newton. Encuentre la m2 = 2 kg fuerza de contacto entre los dos bloques?.
m1 = 1 kg
mT = m1 + m2 = 1 + 2 = 3 kg. mT = 3 kg.
Bloque m2
F = mT * a kg F 3 Newton a = = =1 mT 3 kg
m
F=3N
FC
seg 2 m =1 kg seg 2
La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques? Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a
Bloque m1
donde FC es la fuerza de contacto.
FC
F – FC = m1 a FC = 3 - 2 * 1
F=3N
FC = 1 Newton. Problema 5.10 Resnick – Halliday Pág. 139 Tres bloques están conectados como muestran en la figura 5 – 15 en una mesa horizontal sin fricción y se jalan a la derecha con una fuerza T3 = 60 Newton. Si m1 = 10 kg. m2 = 20 kg. m3 = 30 kg. Encuentre las tensiones TA y TB.
TA
m1 = 10 kg Bloque m1 TA
TB
TA
TB
T3 = 60 N
m2 =Bloque 20 kg m2 TA
TBm3 = 60 kg
Bloque m3 TB
T3
mT = m1 + m2 + m3 = 10 + 20 + 30 = 60 kg. mT = 60 kg.
85
F = mT * a kg a =
F 60 Newton = =1 mT 60 kg
m seg 2 m =1 kg seg 2
Bloque m1 Σ FX = m1 * a TA = m1 * a (Ecuación 1) TA = 10 * 1 = 10 Newton
Bloque m2 Σ FX = m2 * a TB - TA = m2 * a (Ecuación 2) Reemplazando el valor de TA = 10 N, se halla TB TB - T A = m 2 * a TB - 10 = 20 * 1 TB = 20 + 10 = 30 TB = 30 Newton. Problema 5.11 Resnick – Halliday Pág. 139 Una esfera cargada de masa 3 * 10-4 kg. esta colgada de un hilo. Una fuerza eléctrica actúa horizontalmente sobre la esfera, de tal manera que el hilo hace un ángulo de 370 con la vertical cuando queda en reposo. Encuentre: a) La magnitud de la fuerza eléctrica. a) La tensión del hilo?
FE = Fuerza eléctrica Σ FX = 0 Σ FX = FE – TX = 0 FE = TX Pero: TX = T * cos 53
Σ FY = 0 Σ FY = TY – m g = 0 TY = m g Pero: TY = T * sen 53
370 T 530
Fuerza eléctrica
P=m*g
Remplazando se halla la tensión del hilo. T * sen 53 = m g 86
⎛⎜ 3 *10 - 4 ⎞⎟ * 9,8 m g 29,4 *10 - 4 ⎠ ⎝ T= = = 3,681 * 10 - 3 Newton = 0,7986 sen 53 0,7986
T = 3,681 * 10-3 Newton
Esfera T
Remplazando se halla la magnitud de la fuerza eléctrica FE = TX = T * cos 53 FE = (3,681 * 10-3 Newton) * cos 53
TY 530
Fuerza eléctrica
TX
FE = (3,681 * 10-3 Newton) * 0,6018 P=m*g
FE = 2,215 * 10-3 Newton
PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 12 Calcúlese la aceleración inicial ascendente de un cohete de masa 1,3 * 104 kg. Si el empuje inicial hacia arriba de su motor es 2,6 * 105 Newton. Puede ud. Omitir el peso del cohete ( la atracción hacia debajo de la tierra sobre el?)
Σ FY = 0 Σ FY = F – m g = m * a
2,6 * 105 Newton. – (1,3 * 104 kg.) * 9,8 = (1,3 * 104 kg.) * a 2,6 * 105 – (12,74 * 104 kg.) = (1,3 * 104 kg.) * a 260000 – 127400 = 132600 = (1,3 * 104 kg.) * a a =
F = 2,6 * 105 N
m 132600 = 10,2 4 seg 2 1,3 * 10
P=m*g
a = 10,2 m/seg2
El peso del cohete no se puede omitir por que es una fuerza que se opone al despegue del cohete.
Problema 5.13 Resnick – Halliday Pág. 139 Un bloque de masa m1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de 300 esta unido mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m2 = 29,2 kg que cuelga verticalmente (Figura 5 – 17). a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo? b) Cual es la tensión en la cuerda? Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = 43,8 * 9,8 * 0,5 P1X = 214,62 Newton Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X = m1 * a T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1)
T
Bloque m1 T
m1 = 43,8 kg
T
P1X 300
P1Y
300
m2 = 29,2 kg
P1 = m1 * g 87
Bloque m2
Bloque m2
Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a
T
P2 = m2 * g P2 = 29,2 * 9,8 P2 = 286,16 Newton Reemplazando P2 - T = m2 * a 286,16 - T = 29,2 * a (Ecuación 2)
P2 = m2 * g
Resolviendo la ecuación 1 y ecuación 2, hallamos la aceleración del sistema. T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1) 286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2) -214,62 +286,16 = 43,8a + 29,2a 71,54 = 73 a
a =
71,54 m = 0,98 73 seg 2
a = 0,98 m/seg2 Cual es la tensión en la cuerda?
Reemplazando 286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2) 286,16 - T = 29,2 * 0,98 286,16 - T = 28,61 T = 286.16 – 28,616 T = 257,54 Newton Problema 5.20 Resnick – Halliday Pág. 141 Remítase a la figura 5 -5. Sea la masa del bloque 29,2 Kg. (2 slugs) y el ángulo θ = 300 . a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque. b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = 29,2 * 9,8 * 0,5 P1X = 143,08 Newton
Bloque m Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) T – 143,08 = 0 T = 143,08 Newton.
T
N T
m = 29,2 kg
P1X 0
30
P1Y
300
P1 = m1 * g 88
Σ FY = 0 N – P1Y = 0 N = P1Y Pero: P1Y = P1 * cos 30 P1 = m1 * g P1Y = m1 * g * cos 30 N = P1Y = m1 g cos 30 N = 29,2 * 9,8 * 0,866 N = 247,82 Newton c) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción
Σ FX = m a P1X = m a (Ecuacion 1)
N
Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 (Ecuacion 2)
P1X
Reemplazando la ecuacion 2 en la ecuacion1 P1X = m a (Ecuacion 1) m1 * g * sen 30 = m a
300
P1Y
P1 = m1 * g
Cancelando terminos semejantes m1 * g * sen 30 = m a g * sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg2
Problema 5.21 Resnick – Halliday Pág. 141 Remítase a la figura 5 – 7 a. Sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg. Encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción. Bloque m1 Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1)
m1
T
T T
m2 g m2
89
Sumando las ecuaciones, hallamos la aceleración.
T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1)
N1
m2 g = m1 a + m2 a m2 g = (m1 + m2 ) a
a=
T
m2 g 0,5 * 9,8 4,9 = = m1 + m 2 1 + 0,5 1,5
m1 g
a = 3,26 m/seg2 Problema 5.22 Resnick – Halliday Pág. 141 Remítase a la figura 5 -8 a. sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg Encuentre la aceleración de los dos bloques y la tensión de la cuerda ∑ FY = m1 a m1 g - T = m1 a (Ecuación 1)
T1
∑ FY = m2 a T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones
T
m1 g - T = m1 a (Ecuación 1) T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) m 1 g – m 2 g = m1 a + m2 a m1 g – m2 g = (m1 + m2 ) a
T
m2
m1
1 * 9,8 – 0,5 * 9,8 = (1 + 0,5) a 9,8 – 4,9 = 1.5 a 4,9 = 1,5 a a = 3,26 m/seg2
T T
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W2 = m2 g
T - m2 g = m2 a T - 0,5 * 9,8 = 0,5 * 3,26 T – 4,9 = 1,63
W1 = m1 g
T = 4,9 + 1,63 T = 6,53Newton
90
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC y BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio.
A
TAY = TA . sen 30 TCY = TC. sen 53
C 300
530
TAX = TA . cos 30 TCX = TC . cos 53
TC
Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX
TA
B
W = 40 N
TC . cos 53 = TA . cos 30 TC . 0,601 = TA . 0,866
TC =
0,866 * TA = 1,44 TA (ecuación 1) 0,601
Σ FY = 0 TAY + TCY – TAY + TCY = TAY + TCY = TA . sen 30
W = 0 (ecuación 2) W pero: W = 40 N 40 + TC. sen 53 = 40
0,5 TA + 0,798 TC = 40 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,5 TA + 0,798 TC = 40
0,5 TA + 0,798 * (1,44 TA ) = 40
0,5 TA + 1,149 TA = 40 1,649 TA = 40
TA =
40 = 24,25 Newton 1,649
TA = 24,25 N.
TA TAY 0
30
T AX
TC
T CY
530 TCX
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 1,44 TA TC = 1,44 * (24,25)
TC = 34,92 Newton. En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. TAY = TA . sen 65
TCY = TC. sen 60
TAX = TA . cos 65
TCX = TC . cos 60
Σ FX = 0
91
TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX
C
TC . cos 60 = TA . cos 65 TC . 0,5 = TA . 0,422
0
60
0,422 TC = * TA = 0,845 TA (ecuación 1) A 0,5 Σ FY = 0 TAY + TCY – TAY + TCY = TAY + TCY = TA . sen 65
650 250
W = 0 (ecuación 2) W pero: W = 70 N 70 + TC. sen 60 = 70
TA
TC
B W = 70 N
0,906 TA + 0,866 TC = 70 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TAY
0,906 TA + 0,866 TC = 70
0,906 TA + 0,866 * (0,845 TA ) = 70
T CY
TA
0,906 TA + 0,731 TA = 70 1,638 TA = 70
TA =
TC
650
TAX
70 = 42,73 Newton 1,638
600
TCX
W = 70 N
TA = 42,73 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,845 TA TC = 0,845 * (42,73)
TC = 36,11 Newton. En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. TAY = TA . sen 60 TAX = TA . cos 60
TCY = TC. sen 30 TCX = TC . cos 30
Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 30 = TA . cos 60 TC . 0,866 = TA . 0,5
TC =
0,5 * TA = 0,577 TA (Ecuación 1) 0,866
A
600
TA
300
C
TC B W = 100 N
Σ FY = 0
92
TAY + TCY – TAY + TCY = TAY + TCY = TA . sen 60
W = 0 (Ecuación 2) W pero: W = 100 N 100 + TC. sen 30 = 100
0,866 TA + 0,5 TC = 100 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 TA + 0,5 TC = 100 0,866 TA + 0,5 *(0,577 TA) = 100
TA TAY
0,866 TA + 0,288 TA = 100 1,154 TA = 100
TA =
100 = 86,6 Newton 1,154
TC
0
60
300
TAX
TCX
T CY
W = 100 N
TA = 86,6 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,577 TA TC = 0,577 * (86,6)
TC = 50 Newton.
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. TAY = TA . sen θ
TCY = TC. sen θ
TAX = TA . cos θ
TCX = TC . cos θ
A
θ
TC
TA B
TCX = TAX
TC =
TA TAY
Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (Ecuación 1)
TC . cos θ = TA . cos θ
C
θ
W
TC
T CY
θ0
θ0
TCX
TAX W
cos θ * TA = TA (Ecuación 1) cosθ
TC = TA Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2) TAY + TCY = W TA . sen θ + TC. sen θ = W (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
93
TA . sen θ + TC. sen θ = W TA . sen θ + TA. sen θ = W 2 TA sen θ = W
TA =
W 2 sen θ
Pero TC = TA Tc =
W 2 sen θ
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. CY = C. sen 60 CX = C. cos 60
AY = A. sen 45 AX = A. cos 45
Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 60
A =
cos 60 * C = 0,707 C (Ecuación 1) cos 45
C C
Σ FY = 0 CY + AY – W = 0 (Ecuación 2) CY + AY = W pero: W = 50 kg-f
CY 60
A
AY
0
300
CY + AY = 50 C. sen 60 + A. sen 45= 50
0
60
45
CX
AX
0
W = 50 Kg-f
0,866 C + 0,707 A = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 C + 0,707 A = 50
C B
0,866 C + 0,707 (0,707 C) = 50 0,866 C+ 0,5 C = 50 1,366 C = 50
C =
50 = 36,6 Kg - f 1,366
450 A
C = 36,6 Kg-f.
W = 50 Kg-f
A
Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,707 C A = 0,707 * (36,6) A = 25,87 Kg- f.
94
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C CY = C. sen 65
AY = A. sen 40
CX = C. cos 65
AX = A. cos 40
Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX
650
400
CY
650
C
AX
CX
A
A. cos 40 = C. cos 65
cos 65 A = * C = 0,551 C (Ecuación 1) cos 40
C
250
B
500
AY 60 Kg-f
Σ FY = 0 CY - AY – W = 0 (Ecuación 2) CY - AY = W pero: W = 60 kg-f
400 A
60 Kg-f
CY - AY = 60 C. sen 65 - A. sen 40 = 60
0,906 C - 0,642 A = 60 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,906 C- 0,642 A = 60 0,906 C - 0,642 (0,551 C) = 60 0,906 C - 0,354 C = 60 0,551 C = 60 C =
60 = 108,89 Kg - f 0,551
C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,551 * (108,89) A = 60 Kg - f. A = 0,551 C En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. CY = C. sen 32
AY = A. sen 45
CX = C. cos 32
AX = A. cos 45
C
Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 32
B
W = 50 Kg-f C
320
A
450
A
95
A =
cos 32 * C = 1,199 C (Ecuación 1) cos 45
Σ FY = 0 AY – CY - W = 0 (Ecuación 2) AY – CY = W pero: W = 50 kg-f AY – CY = 50 A. sen 45 - C. sen 32 = 50
AY
A 450
CX
0,707 A - 0,529 C = 50 (Ecuación 2)
320
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,707 A - 0,529 C = 50
CY
AX
C W = 50 Kg-f
0,707 (1,199 C) - 0,529 C = 50 0,848 C - 0,354 C = 50 0,318 C = 50
C =
50 = 157,23 Kg - f 0,318
C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 1,199 C A= 1,199 * (157,23)
A = 188,51 Kg - f. Se muestran 3 bloques de masas m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. m3 = 8 kg. Si se supone nulo el roce, calcular la aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas. Bloque m1 T1 – W1 = m1 * a T1 – m 1 g = m 1 * a Bloque m2 W2 – T2 = m2 * a m 2 g – T2 = m 2 * a
Bloque m1 T1
Bloque m2
Bloque m3 N3
(Ecuación 1)
T2 T1
T2
(Ecuación 2)
Bloque m3 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g T2 – T1 = m3 * a (Ecuación 3)
m1 = 2 kg W1 = m1 * g
m 2 = 2 kg W2 = m2 * g
m3 = 8 kg W3 = m3 * g
T1 – m 1 g = m 1 * a m 2 g – T2 = m 2 * a T 2 – T1 = m 3 * a m 2 g - m1 g = m 1 * a + m 2 * a + m3 * a
96
m2 g - m1 g = (m1 + m2 + m3) * a a =
(m 2 - m1 ) g = (3 - 2) 9,8 = (1)9,8 (m1 + m 2 + m 3 ) (2 + 3 + 8) 13
a = 0,75 m
= 0,75 m
T1
seg 2
seg 2
T1
Para hallar la tensión T1 se reemplaza en la Ecuación 1. T1 – m1 g = m1 * a (Ecuación 1) T1 = m1 * a + m1 g
T2
m3 = 8 kg
T2
m1 = 2 kg
m2 =3 kg
T1 = 2 * 0,75 + 2 * 9,8 = 1,5 + 19,6 = 21,1 Newton T1 = 21,1 Newton Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la Ecuación 3. T2 – T1 = m 3 * a T2 = m3 * a + T1 T2 = 8 * 0,75 + 21,1 T2 = 6 + 21,1 T2 = 27,1 Newton. En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante, en el sentido indicado. a) No hay rozamiento b) Existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie (μ = 0,24)
T1
T2
Bloque m1 T1
T1
m2 = 15 kg
N2 T2
T2 T1
g = 10 m/seg2 m1 = 20 kg
Bloque m3
Bloque m2
T2
m3 = ? m1 = 20 kg W1 = m1 * g
m 2 = 15 kg W2 = m2 * g
m3 = ? W3 = m3 * g
No hay rozamiento, como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0
(Ecuación 1)
97
T1 = m1 g
Bloque m1 T1
T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T1 = 0 T2 = T1 (Ecuación 2) T2 = 200 Newton
m1 = 20 kg W1 = m1 * g
Bloque m3 Σ FY = 0 W3 – T2 = 0 (Ecuación 3) W 3 = T2 m3 g = T2 T 200 Newton m3 = 2 = = = m g 10 seg 2
kg m m
seg 2
= 20 Kg
seg 2
m3 = 20 Kg. W3 = m3 * g W3 = 20 * 10 = 200 Newton HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0
Bloque m3
Bloque m2 N2
T2 (Ecuación 1)
T1 = m1 g T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T 1 - FR = 0
T1
T2 FR
m 2 = 15 kg W2 = m2 * g
m3 = ? W3 = m3 * g
Σ FY = 0 N2 – W = 0 N2 – m2 g = 0 N2 = m2 g = 15 * 10 = 150 Newton N2 = 150 Newton
98
FR = μ * N2 FR = 0,24 *(150) FR = 36 Newton T 2 – T 1 - FR = 0 T2 = T1 + FR pero: T1 = 200 Newton FR = 36 Newton T2 = 200 +36 T2 = 236 Newton Bloque m3 Σ FY = 0 m3 g - T2 = 0 m3 g = T2 W3 = m3 g = T2 W3 = 236 Newton En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.
T1 m1 = 15 kg
Bloque m1
T1
Σ FX = 0 T1 – P1X = 0
Pero: P1X = P1 sen 40
400
P1 = m1 g
T1 – P1 sen 40 = 0 (Ecuación 1) T1 – m1 g sen 40 = 0 T1 = m1 g sen 40 T1 = 15 * 9,8 * 0,642 T1 = 94,374 Newton
Bloque m2
Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 2) P2 = T1 P2 = 96,418 Newton
SI HAY ROZAMIENTO μ = 0,24
m2 = ? P2 = m2 * g
Bloque m1
N1 T1
Bloque m2 T1
P1X 400
m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g
P1Y
m2 = ? P2 = m2 * g
Bloque m1 Σ FX = 0 T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
99
Pero: P1X = P1 sen 40 P1X = m1 g sen 40 P1X = 15 * 9,8 * 0,642 P1X = 94,37 Newton
P1 = m1 g
Pero: P1Y = P1 cos 40 P1Y = m1 g cos 40 P1Y = 15 * 9,8 * 0,766 P1Y = 112,6 Newton
P1 = m1 g
Bloque m1
N1 T1 FR P1X
400
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 112,6 Newton
m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g
μ = 0,24 FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 0,24 * 112,6 FR = 27,02 Newton T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) T1 = P1X + FR
P1Y
Bloque m2
Pero: P1X = 94,37 Newton
T1
T1 = 94,37 + 27,02 T1 = 121,39 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 4) P2 = T1 P2 = 121,39 Newton
m2 = ? P2 = m2 * g
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.
Bloque m1
Bloque m1
Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g T – P1 sen 30 = 0 T – m1 g sen 30 = 0 T = m1 g sen 30 T = 60 * 9,8 * 0,5 = 300 Newton T = 294 Newton
m1 = 60 kg
N1
T
T
T
P1X
P1Y 0
30
300
P2
530
m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g 100
Bloque m2
Bloque m2 Σ FY = 0 P2x – T = 0 (Ecuación 2) P2x = T = 294 Newton P2x = P2 sen 53
T
N2 P2X
P2Y
P 294 P2 = 2X = = 368,14 Newton sen 53 0,7986
530
P2 = 368,14 Newton
m2 = ? P2 = m2 * g
SI HAY ROZAMIENTO
T
Bloque m1 Σ FX = 0 T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = m1 g sen 30 P1X = 60 * 9,8 * 0,5 P1X = 294 Newton Pero: P1Y = P1 cos 30
FR1
P1 = m1 g
300
N1 FR1
P2
530
La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento.
P1Y 300
Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 509,2 Newton
m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g
μ = 0,24 FR1 = μ * N1 (Ecuación 3) FR1 = 0,24 * 509,2 FR1 = 122,2 Newton
Bloque m2 Σ FY = 0 N2 – P2Y = 0
T
P1X
P1Y = m1 g cos 30 P1Y = 60 * 9,8 * 0,866 P1Y = 509,2 Newton
T = 294 + 122,2 T = 416,2 Newton
FR2
Bloque m1
P1 = m1 g
T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) T = P1X + FR1 Pero: P1X = 294 Newton
T
m1 = 60 kg
Bloque m2 T
FR2
N2 P2X
P2Y 530
m2 = ? P2 = m2 * g
(Ecuación 4)
101
N2 = P2Y Pero: P2Y = P2 cos 53 P2 = m2 g N2 = P2Y = P2 cos 53 FR2 = μ * N2 (Ecuación 5) FR2 = 0,24 * P2 cos 53 FR2 = 0,24 * P2 * 0,6018 FR2 = 0,144 P2 Pero: P2X = P2 sen 53 T = 416,2 Newton FR2 = 0,144 P2
Σ FX = 0 P2X – T - FR2 = 0 (Ecuación 6) P2 sen 53 - 416,2 - 0,144 P2 = 0 0,7986 P2 - 0,144 P2 = 416,2 0,654 P2 = 416,2
P2 =
416,2 = 636,39 Newton 0,654
Un cuerpo esta apoyado sobre un plano inclinado de coeficiente de rozamiento dinámico μK . Al dejarlo libre baja con velocidad constante. Cual es el coeficiente de rozamiento. SI HAY ROZAMIENTO Bloque m Σ FX = 0 PX – FR = 0 (Ecuación 1) FR = μK N (Ecuación 2) N – PY = 0 (Ecuación 3) N = PY Pero: PY = P cosθ N = PY = P cosθ
θ0
Reemplazando en la ecuación 2 FR = μK N FR = μK P cosθ Reemplazando en la ecuación 1 PX – FR = 0
P
N FR
PX
PY
θ0
Pero: PX = P senθ
P
102
P senθ - μK P cosθ = 0 P senθ = μK P cosθ μK =
sen θ = tgθ cos θ
μK = tgθ Un cuerpo de peso W suspendido de un hilo forma un ángulo θ con la vertical. Cuando esta sometido a una fuerza horizontal F. Cual es el valor de F?
Σ FY = 0 TY – W = 0 TY = W Pero: TY = T cos θ T cos θ = W (Ecuación 1)
Σ FX = 0 F – TX = 0 F = TX
β0
Pero: TX = T sen θ T sen θ = F (Ecuación 2) T =
θ0
Bloque m
T F
T
W cos θ
θ0
Reemplazando en la ecuación 2 T sen θ = F
TY F
TX
⎛ W ⎞ ⎜ ⎟ * sen θ = F ⎝ cos θ ⎠
W
m= ? W = m* g
F = W * tag θ Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 20 newton con un Angulo de inclinación con respecto a la horizontal de 300. Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo no se mueva? T = 20 N 300
FR
FR
TX 300
TY ∑ FX = 0 Pero: TX = T cos 30 = (20) * 0,866 TX = 17,32 Newton ∑ FX = TX - FR = 0
T W
103
∑ FX = 17,32 - FR = 0 17,32 = FR Si el bloque A de la figura se encuentra en equilibrio, entonces Cual es el valor de la fuerza de rozamiento?
W2 = 16 Newton
∑ FX = 0 ∑ F X = T - FR = 0 T = FR (Ecuación 1)
T
FR
T
∑ FY = 0 ∑ F Y = W1 - T = 0 W1 = T
(Ecuación 2)
Pero: W1 = 24 Newton T = 24 Newton
W1 = 24 Newton
Reemplazando en la ecuacion1 T = FR (Ecuación 1) FR = 24 Newton Cual es el valor en Newton de la fuerza normal ejercida por una superficie plana sobre un objeto de 500 gr de masa. m = 0,5 Kg.
W = m*g W = 0,5 * 9,8 W = 4,9 Newton
Bloque W1
Bloque W2 N
T F R1
T
N
W2 = 16 N
W1 = 24 N
∑ FY = 0 W–N=0 W=N N = 4,9 Newton Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al clocarle un peso de 2 Newton se estira 5 cm. Cual es su constante de elasticidad? Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. F= K*Y Pero: F = W = 2 Newton Y = 5 cm = 0,05 metros K =
F 2 Newton = = 40 Y 0,05 metro
Y = 5 cm W= 2 Newton 104
Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. F= K*Y Un bloque cuyo peso es 400 Newton se encuentra en reposo sobre un plano inclinado. Encuentre el valor de la fuerza normal y el valor de la fuerza de rozamiento. Bloque W = 400 Newton. Σ FX = 0 P1X - FR = 0 (Ecuación 1) P1X = FR Pero: P1X = P1 sen 60 P1X = 400 * (0,866)
Bloque W N
FR
FR
P1Y P1X
600 600
P1X = 346,4 kg. Pero: P1Y = P1 cos 60 P1Y = 400 * (0,5)
W
P1Y = 200 Kg.
Σ FY = 0 N - P1Y = 0 N = P1Y
(Ecuación 2)
N = 200Kg.
P1X = FR Pero: P1X = 346,4 kg.
FR = 346,4 kg.
Que fuerza se debe ejercer sobre un cuerpo de 15 kg. de masa para que acelere a 4 m/seg2 F = m * a = 15 * 4 = 60 Newton. F = 60 Newton. Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman entre si un ángulo de 900 . Calcular la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimentan?
FR
F1 = 5 N
900
FR = Fuerza resultante FR =
(F1 )2
FR =
(5)2
+ (F2 )2
F2 = 12 N
F1 = 5 N
F2 = 12 N
+ (12 )2 = 25 + 144 = 169
FR = 13 Newton FR = m * a
105
a =
FR 13 = = m 8
1,625
m seg 2
Sobre un cuerpo de 4 kg inicialmente en reposo actúa una fuerza resultante de 32 newton. Que velocidad lleva el cuerpo cuando ha recorrido 100 metros.
VO = 0
F = 32 Newton
VF = ?
F=m*a a =
F m
=
32 = 4
8
X = 100 metros
m seg 2
El cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero. Vo = 0 Vf 2 = Vo2 + 2 a x Vf 2 = 2 a x VF =
2*a *x =
2 * 8 * 100 = 1600 = 40
VF = 40 m/seg2 Sobre los bloques de la figura, se aplica una fuerza horizontal F = 60 Newton . Considerando que no existe rozamiento, calcular: a) aceleración del conjunto b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A?
m1
TA
aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg.
m2
TA
TB
m3
TB
m1
F = 60 Newton
m2 TA
TA
m3 TB
TB
F = 60 N
mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. F = mt * a a =
F mt
=
60 = 12
5
m seg 2
tensión de la cuerda A? Bloque m1 Σ FX = 0 F = m1 * a
106
TA = m1 * a TA = 2 * 5 = 10 Kg. TA = 10 Kg. Tensión de la cuerda B? Bloque m2 Σ FX = 0 F=m*a TB - TA = m * a Pero: TA = 10 Kg. m2 = 4 Kg. TB - 10 = m2 * a TB - 10 = 4 * 5 TB = 20 + 10 TB = 30 Newton Si entre los bloques y la superficie del problema anterior existe un coeficiente de rozamiento de 0,25. Calcular: a) aceleración del sistema b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A?
m1
TA
m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. Bloque m1 Σ FY = 0 N1 – W1 = 0 N1 = W1 = m1 * g N1 = m1 * g = 2 * 10 = 20 Newton N1 = 20 Newton.
m2
TA
TB
Bloque m1 N1 FR1
m3
TB
F = 60 Newton
Bloque m2 N2
TA
TA
FR2
W1 = m1 g
TB
W2 = m2 g
FR1 = μ * N1 FR1 = 0,25 * 20 FR1 = 5 Newton.
Σ FX = m1 * a TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = 0 N2 – W2 = 0 N2 = W2 = m2 * g N2 = m2 * g = 4 * 10 = 40 Newton N2 = 40 Newton.
Bloque m3 TB
N3 F = 60 N
FR3 W3 = m3 g
FR2 = μ * N2 FR2 = 0,25 * 40
107
FR2 = 10 Newton.
Σ FX = m2 * a TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2) Bloque m3 Σ FY = 0 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g N3 = m3 * g = 6 * 10 = 60 Newton N3 = 40 Newton. FR3 = μ * N2 FR3 = 0,25 * 60 FR3 = 15 Newton. a) aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. FR1 = 5 Newton. FR2 = 10 Newton.
FR3 = 15 Newton.
mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. FX = mt * a Σ FX = F - FR1 - FR2 - FR3 FX = 60 – 5 – 10 – 15 = 30 Newton. FX = 30 Newton. a =
FX 30 = = 12 mt
2,5
m seg 2
Resolviendo la ecuación 1 y la ecuación 2 hallamos TB TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) TB – FR2 - TA = m2 * a
(Ecuación 2)
TB – FR2 – FR1 = m1 * a + m2 * a TB – 10 - 5 = a ( 2 + 4 ) pero a = 2,5 m/seg2 TB – 15 = 2,5 *(6) TB = 15 + 15 TB = 30 Newton c) tensión de la cuerda A? Reemplazando en la ecuación 1 TA – FR1 = m1 * a TA – 5 = 2 * 2,5 TA – 5 = 5 TA = 5 + 5 = 10 Newton. Un cuerpo de masa m = 1 kg. se empuja mediante una fuerza horizontal F de modulo 15 Newton , desde el pie de un plano inclinado áspero que forma un ángulo de 370 con la
108
horizontal y cuyo coeficiente de roce cinético es 0,2. Si La fuerza F solo actúa durante 3 segundos, determine: a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? b) El tiempo que demora en volver al punto de partida?
X1
Datos: m = 1 kg F = 15 Newton θ = 370 μ = 0,2 t = 3 seg. a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? Σ FX = m * a Σ FX = FX – FR – WX = m * a
X
Pero: FX = F cos θ WX = W sen θ W = m g F = 15 N Σ FX = F cos θ - FR - m g sen θ = m * a F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1)
θ = 370
Σ FY = 0 Σ FY = N – FY – W Y = 0 Pero: FY = F sen θ WY = W cos θ Σ FY = N - F sen θ - m g cos θ = 0 N = F sen θ + m g cos θ
N
FX
W=mg
Pero: FR = μ * N FR = μ *( F sen θ + m g cos θ ) FR = 0,2 ( 15 sen 37 + 1 * 10 cos 37) FR = 0,2 ( 9.0272 + 7,9863) FR = 0,2 ( 17,0135) FR = 3,4 Newton.
θ
FY FR
F
θ
WY W=mg
WX
Despejando la ecuación 1, hallamos la aceleración. F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1) 15 cos 37 - 3,4 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a 11,9795 – 3,4 - 6,0181 = a a = 2,56 m/seg2 durante los 3 seg. Que el bloque sube por el plano inclinado. El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 3 seg. X = V0 t +
1 a t2 2
Pero: V0 = 0 arranca del reposo. X =
1 1 1 a t2 = 2,56 * (3)2 = 2,56 * 9 = 11,52 metros 2 2 2
X = 11,52 metros
109
VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (2,56 m/seg2 ) 3 seg = 7,68 m/seg VF = 7,68 m/seg Como la fuerza de 15 Newton desaparece a los 3 seg. el cuerpo empieza a perder velocidad hasta detenerse. Por lo tanto es necesario hallar la nueva aceleración después de los 3 seg.
N
Σ FX = m * a1 Σ FX = – FR – WX = m * a1 Pero: WX = W sen θ W=mg Σ FX = - FR - m g sen θ = m * a1 - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3)
FR
Σ FY = 0 Σ FY = N – WY = 0
θ
WY
Pero: WY = W cos θ W=mg Σ FY = N - m g cos θ = 0 N = m g cos θ N = 1 * 10 cos 37 N = 7,9863 Newton.
WX W=mg
Pero: FR = μ * N FR = 0,2 * 7,9863 FR = 1,5972 Newton Reemplazando en la ecuación 3, hallamos la aceleración retardatriz, hasta que el cuerpo se detiene. - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3) - 1,5972 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a1 - 1,5972 – 6,0181 = a1
a1 = - 7,6153 m/seg2 Enseguida se halla el tiempo hasta que el cuerpo se detiene VF = V0 – a2 t2 pero VF = 0 V0 = 7,68 m/seg V0 = a2 t2 t1 =
V0 7,68 = = 1,01 seg a2 7,6153
Hallamos la distancia que recorre hasta detenerse X1 = V0 (t1 ) +
1 a 1 (t1 ) 2 2
Pero: V0 = 7,68 m/seg X1 = 7,68 * 1,01 -
1 1 7,6153 (1,01) 2 = 7,7568 7,6153 = 7,7568 - 3,8841 = 3,8727 metros 2 2
110
X1 = 3,87 metros
La distancia total es = X + X1 = 11,52 + 3,87 = 15,39 metros XT = 15,39 metros Hallar el tiempo de bajada. TB ? Pero: XT = 15,39 metros a1 = - 7,6153 m/seg2 V0 = 0 (parte del reposo hacia abajo). 1 a 1 (TB ) 2 2 1 XT = a 1 (TB ) 2 = 15,39 2 (TB )2 = 15,39 * 2 = 30,78 a1 7,6153 X T = V0 (TB ) +
30,78 7,6153
TB =
4,041 = 2,01 Seg.
TB = 2,01 Seg. (Tiempo de bajada) El tiempo de subida TS = t + t1 = 3 + 1,01 = 4,01 seg. El tiempo que demora en volver al punto de partida = Tiempo de subida + tiempo de bajada El tiempo que demora en volver al punto de partida = 4,01 + 2,01 = 6,02 seg. Dos personas halan un cuerpo de 20 kg. apoyado en una mesa con fuerzas de 100 Newton y 200 Newton. Calcular la aceleración y el espacio recorrido en 6 seg. a) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en el mismo sentido.
Σ F X = F1 + F 2 = m * a 100 + 200 = 20 * a 300 = 20 * a a =
300 m = 15 20 seg 2
El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. X = V0 t +
1 a t2 2
Pero: V0 = 0 (arranca del reposo). X =
M = 20 Kg
F1 = 100 N
1 1 1 a t 2 = 15 * (6)2 = 15 * 36 = 270 metros 2 2 2
F2 = 200 N
X = 270 metros
b) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en sentido contrario.
111
Σ F X = - F1 + F 2 = m * a - 100 + 200 = 20 * a 100 = 20 * a a =
100 m = 5 20 seg 2
El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. X = V0 t +
1 a t2 2
Pero: V0 = 0 (arranca del reposo). X =
F1 = 100 N
M = 20 Kg
1 1 1 a t2 = 5 * (6 )2 = 5 * 36 = 90 metros 2 2 2
F2 = 200 N
X = 90 metros
Un carro de masa 2000 kg viaja sobre un camino horizontal con una velocidad de 72 km/hora. Que fuerza ejercen los frenos si se detiene en una distancia de 25 metros. v = 72
km 1000 m 1 hora m * * = 20 hora 1 km 3600 seg seg
VF2 = V 2 - 2 a X Pero: VF = 0 0 2 V = 2 a X 0 m2 400 2 V2 seg 2 m 0 = (20 ) = 8 a = 50 m 2 * 25 2*X seg 2
F=m *a F = 2000 * 8 F = 16000 Newton Dos bloques de 3 Kg. y 2 kg están en contacto entre si sobre una superficie horizontal (el mayor a la derecha del menor). Si se aplica una fuerza de 20 Newton horizontal sobre el menor y hacia la derecha. Encontrar: b) Aceleración del sistema
Bloque m1
Bloque m2
mT = m1 + m2 = 2 + 3 = 5 Kg. mT = 5 kg.
F = 20 N
F = mT * a kg a =
20 Newton F = = 4 5 kg mT
m seg 2 m = 4 kg seg 2
b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques?
112
Bloque m1
Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a donde FC es la fuerza de contacto. F – FC = m1 a
Bloque m2 FC
F = 20 N
FC
FC = 20 - 2 * 4 FC = 12 Newton. Una fuerza de 6 Newton empuja un cuerpo de 3 kg. Cual es la aceleración del cuerpo. Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo?
m1 = 3 kg
F=m*a kg a =
6 Newton F = = 2 3 kg m
V0 = 0
m seg 2 m = 2 kg seg 2
F=6N t = 10 seg
Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo? 1 a (t )2 pero : V0 = 0 2 1 1 * 2 * (10 )2 = 100 metros a (t )2 = X = 2 2
X = V0 +
X = 100 metros Un objeto de masa 5 kg tiene una aceleración de 8 m/seg2 en la dirección X y una aceleración de 6 m/seg2 en la dirección Y. Cual es la fuerza total que actúa sobre el?
aR =
(a X )2 (a Y )2
=
82 + 62 =
64 + 36 = 10
m seg 2
aY = 6 m/seg2
aR
F = m * aR F = 5 * 10 = 50 Newton
aX = 8 m/seg2
F = 50 Newton
Un bloque de masa 2 kg. Parte con velocidad de 10 m/seg sobre una superficie rugosa horizontal y cuando recorre 16 metros, su velocidad es 6 m/seg. Calcular la aceleración del bloque y el coeficiente de rozamiento? m = 2 kg V0 = 10 m/seg VF = 6 m/seg V0 = 10 m/seg X = 16 metros VF = 6 m/seg
X = 16 m
113
La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo.
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
Despejamos la aceleración
(V0 )2 - (VF )2 (V0 )2 - (VF )2
2aX = a =
2 X
=
(10)2
- (6 )2 m 64 100 - 36 = = = 2 32 32 2 * 16 seg 2
a = μ * g μ =
2 a = = 0,2 10 g
μ = 0,2 Cual es la distancia que recorre un auto con velocidad de 72 Km/hora hasta detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera es de 0,4. V = 72
m 1000 metros 1 hora km * * = 20 seg 1 km hora 3600 seg
V0 = 20 m/seg. a = μ * g a = 0,4 * 10 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 20 m/seg. a = 4 m/seg2 VF = 0 X = Distancia recorrida.
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
0 = 202 – 2 * 4 * X 0 = 400 – 8 X 8X = 400 X = 50 Metros. El sistema de la figura esta formado por los bloques A, B, C ligados por las cuerdas de masa despreciable e inextensibles. La cuerda que une los cuerpos A y B, pasa por una polea de masa y roce despreciable. El coeficiente de roce cinético entre el bloque A y el plano es 0,5 y la masa de A y B es de 2 kg. c/u. y el ángulo del plano inclinado es de 300. Calcule a) El valor de la masa del bloque C para que el bloque A suba con aceleración de modulo 2 m/seg2. b) La tensión que actúa sobre el bloque C? c) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8.
114
Bloque A Σ FX = mA * a T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) Pero: WAX = WA sen 30 WAX = mA g sen 30
Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WA = mA * g
N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30
T
T
mA = 2 kg
FR = μ N FR = μ (mA g cos 30) Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton
B
A
mB = 2 TC
300
WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = mB * a + mC * a (Por que existe una aceleración) WB + WC – T = mB * a + mC * a
mc N WAX
T
FR 300
Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) Resolviendo la ecuación 1 con la ecuación 2, hallamos mC
WA
T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) – FR – WAX + (mB g) + (mC g) = (mA * a) + (mB a) + (mC a) - 8,66 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = (2 * 2) + (2 * 2) + 2 mC - 18,66 + 20 + 10 mC = 8 + 2 mC 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 8 mC = 8 - 1,34 8 mC = 6.66 mC = 0,83 KG
T
TC
c) La tensión que actúa sobre el bloque C? BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g
WAY WC = mC g WB + WC 115
mC g – TC = mC a (Ecuación 3) mC g - mC a = TC (0,83 * 10) – (0,83 * 2) = TC 8,3 – 1,66 = TC TC = 6,64 Newton d) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8. (El sistema esta en reposo, con tendencia a deslizar hacia la derecha, por lo tanto la fuerza de rozamiento esta hacia la izquierda y se opone al movimiento)
Σ FX = 0 T - FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4) Pero: WAX = WA sen 30 WAX = mA g sen 30
WA = mA * g
WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30
Bloque A
WAX = 10 Newton
Bloque C
N
Σ FY = 0 N - WAY = 0
TC
TB FR
Pero: WAY = WA cos 30 WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WAY WA
WC = mC g
300
N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR2 = μE N
μE = COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTATICO = 0,8
FR2 = μE (mA g cos 30)
Bloque B
FR2 = 0,8 (2 *10 cos 30) FR2 = 13,85 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = 0 (Por que el sistema esta en equilibrio) W B + WC – T = 0 Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = 0 (Ecuación 5)
TB
TC
WB = mB g
116
Resolviendo la ecuación 4 con la ecuación 5, hallamos mC T – FR2 – WAX = 0 m B g + mC g – T = 0
(Ecuación 4) (Ecuación 5)
– FR2 – WAX + (mB g) + (mC g) = 0 - 13,85 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = 0 - 23,85
+ 20 + 10 mC = 0
- 3,85 + 10 mC = 0 10 mC = 3,85 mC = 0,385 kg. Otra forma de resolver el problema Bloque A
Σ FX = mA * a TB – FR – WAX = mA * a Pero: WAX = WA sen 30 WAX = mA g sen 30
Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WA = mA * g
N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR = μ N FR = μ (mA g cos 30)
mA = 2 kg
Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton Reemplazando TB – FR – WAX = mA * a TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA * a (Ecuación 1)
TB
TB
A
0
30
B
C
mB = 2 TC
mc
TC
117
BLOQUE B Σ FY = mB * a (Por que existe una aceleración) WB + TC – TB = mB * a Pero: WB = mB * g m B g + TC – T B = m B a
(Ecuación 2)
BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g mC g – TC = mC a (Ecuación 3) Sumando las 3 ecuaciones, se simplifican las tensiones y se halla mC TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA a (Ecuación 1) m B g + TC – T B = m B a m C g – TC = m C a
(Ecuación 2) (Ecuación 3)
– μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 + mB g + mC g = mA a + mB a
+ mC a
g (– μ mA cos 30 – mA sen 30 + mB + mC ) = a (mA + mB + mC) 10 (- 0,5 * 2 cos30 – 2 sen 30 + 2 + mC) = a (2 + 2 + mC) 10 (- 0,866 – 1 + 2 + mC ) = 2 (4 + mC) 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 10 mC - 2 mC = 8 + 1,34 8 mC = 6,66 mC =
6,66 = 0,832 Kg 8
Un bloque de 10 kg parte del reposo, arriba de un plano inclinado de longitud 4 metros y de altura 0,8 metros. Que tiempo emplea el bloque para recorrer el plano. (No hay rozamiento). sen θ =
0,8 = 0,2 4
V0 = 0
sen θ = 0,2
θ = arc sen 0,2 θ = 11,530 a = g * senθ a = 10 * sen 11,53
m = 10 kg
X = 4 metros 0,8 metros θ 118
a = 2 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: 1 a (t )2 2 1 a (t )2 X = 2
X = V0 +
pero : V0 = 0
2 * X = a * t2 t=
2X = a
2*4 = 2
4 = 2 seg.
t = 2 seg. 0
VF = V0 + a * t VF = a * t VF = 2 * 2 VF = 4 m/seg En la parte superior de una calle inclinada a 300 y de longitud de 90 metros. Se deja libre un carrito de masa de 8 kg. Calcular la aceleración del carrito al dejarlo libre y el tiempo empleado en recorrer el plano?. Datos: θ = 300 a = g * senθ a = 10 * sen 30 a = 5 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: 1 X = V0 + a (t )2 2 1 a (t )2 X = 2
2*X=a*t t=
2X = a
V0 = 0
pero : V0 = 0
X = 90 metros
2
2 * 90 = 5
36 = 6 seg.
300
t = 6 seg. Con que aceleración baja un cuerpo por un plano inclinado de 300. No hay rozamiento? Datos: θ = 300 PX = m g sen 30 Σ FX = m a m a = m g * senθ a = g sen 30 a = 10 * sen 30 a = 5 m/seg2
PX PY 300
300 119
Un bloque se desliza por un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/seg2. Que ángulo forma el plano con la horizontal? Datos: a = 6,4 m/seg2 Σ FX = m a m a = m g * senθ a = g * senθ
PX PY
6,4 a sen θ = = = 0,64 10 g
θ0
sen θ = 0,64 θ = arc sen 0,64 θ = 39,790
Un cuerpo de masa m = 16 kg. se encuentra sobre una superficie horizontal áspera cuyos coeficientes de roce estático y cinético son respectivamente 0,3 y 0,25. Si sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal F, durante 4 seg solamente. Determine: a) La fuerza neta sobre el cuerpo si F = 45 Newton. b) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. c) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton
N
Σ FY = 0 N–W=0 N=W=m*g
FR EST
N = 16 * 10 = 160 Newton N = 160 Newton Pero: FR EST = μEST * N FR EST = 0,3 * 160 FR
W=m*g m1 = 16 kg
EST = 48 Newton
Σ FX = m * a Σ FX = F – FR
EST
F = 45 N
V0 = 0
F = 45 N t = 4 seg
Como F = 45 Newton y la Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque es de 48 Newton, Se puede decir que la fuerza neta sobre el cuerpo es cero. Se necesita que F sea mayor que la fuerza de rozamiento para que exista desplazamiento del bloque y por lo tanto fuerza neta sobre el cuerpo. c) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. Si la F = 48 Newton, el bloque esta en equilibrio. Si F > FR EST se puede decir que el bloque se desplaza. d) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton N
FR cin
F = 50 N
Σ FY = 0 N–W=0
W=m*g
120
N=W=m*g N = 16 * 10 = 160 Newton N = 160 Newton FR cin = μ cin * N FR cin = 0,25 * 160 FR cin = 40 Newton
V0 = 0 m1 = 16 kg F = 50 N
VF = V01 = 2,5 m/seg2 t = 4 seg
Σ FX = m * a Σ FX = F – FR cin = m * a
X
50 – 40 = 16 * a 10 = 16 a a =
VF1 = 0
X1
A partir de los 4 seg, se quita la F = 50 N. Es necesario encontrar la velocidad en esta posición y la distancia que recorre hasta detenerse.
m 10 = 0,625 16 seg 2
a = 0,625 m/seg2 (Esta es la aceleración que tiene el bloque, mientras se ejerce la fuerza de 50 Newton.) Ahora se calcula la velocidad final que alcanza el bloque cuando se le retira F = 50 Newton, que es la misma velocidad inicial para el ultimo desplazamiento del bloque. 0
VF = V0 + a * t pero a = 0,625 m/seg2 VF = a * t VF = 0,625 *4
t = 4seg.
VF = 2,5 m/seg La ecuación tiene signo (+) por que el cuerpo va ganando velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 0 m/seg. 0
(VF )2
a = 0,625 m/seg2
VF = 2,5 m/seg.
X = Distancia recorrida.
= (V0 )2 + 2 a X
(2,5)2 = 2 * 0,625 * X 6,25 = 1,25 X X = 6,25/1,25 X = 5 Metros.
Cuando se le retira F = 50 newton, el bloque empieza a perder la velocidad hasta que la vF1 = 0, Es necesario encontrar la nueva aceleración para este movimiento. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 Pero: FROZAMIENTO CINETICO = μ cin * N = μ cin * mg = 0,25 * 160 FROZAMIENTO CINETICO = 40 Newton. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 40 = 16 * a1
121
a1 =
m 40 = 2,5 16 seg 2
a1 = 2,5 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: VF1 = 0 m/seg. a = 2,5 m/seg2 V01 = 2,5 m/seg. X1 = Distancia recorrida. 0
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
0 = (2,5)2 – 2 * 2,5 * X 0 = 6,25 - 5 X 5X = 6,25 X = 6,25/5 X = 1,25 Metros. La distancia total recorrida por el bloque = X +X1 = 1,25 + 5 = 6,25 Metros. Un cuerpo de 6 kg, se lanza hacia arriba en la parte inferior de un plano inclinado 300 y sube 30 metros hasta detenerse. Con que velocidad se lanzo y el tiempo empleado en alcanzar este punto.
Σ FX = m a WX = m a
Pero: WX = W sen 30
W=mg WX = m g sen 30 m g sen 30 = m a g sen 30 = A
WX
WY 300
a = 10 sen 30 a = 5 m/seg2 0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2 V0 = 2 a X =
2 * 5 * 30 = 300 = 17,32
m seg
W
X = 30 metros
0
VF = V0 – a * t V0 = a * t t=
300
V0 17,32 = = 3,46 seg. 5 a
Un cuerpo de 16 kg. esta apoyado sobre una mesa horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2. Que fuerza horizontal debe aplicarse para que se mueva con aceleración constante de 3 m/seg2
122
Σ FY = N – m g = 0 N =mg N = 16 * 10 = 160 Newton. FR = μ N FR = 0,2 * 160 = 32 Newton FR = 32 Newton
m = 16 kg.
N
F
FR
Σ FX = F - FR = m * a F - 32 = 16 * 3 F - 32 = 48 F
F
mg
= 48 + 32
F = 80 Newton. Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg. unidos por un hilo. Uno de ellos esta unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de rozamiento de los bloques con la mesa es 0,2. a) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento b) Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? Bloque m ∑ FX = m a T1 – FR1 = m a
m = 2 kg
∑ FY = 0 W – N1 = 0 W = N1 W = m g = N1
FR2 T1
FR1 = μ N1 FR1 = μ m g T1 – FR1 = m a T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) Bloque m ∑ FX = m a T2 - T1 – FR2 = m a ∑ FY = 0 W – N2 = 0 W = N2 W = m g = N2 FR2 = μ N2 FR2 = μ m g
T2
N2 T2
W= mg m = 2 kg T1
W3 = m3 g
m = 2 kg T1 T2
FR1
FR2 T2
W3 = m3 g 123
T2 - T1 – FR2 = m a T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m3 a W 3 – T2 = m 3 a m3 g – T2 = m3 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a T 2 - T1 – μ m g = m a m3 g – T2 = m 3 a
(Ecuación 1) (Ecuación 2) (Ecuación 3)
– μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento. En el momento en que el sistema se pone en movimiento a = 0 – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a – 2 μ m g + m3 g = 0 m3 g = 2 μ m g
(Ecuación 4)
2 μ m g = 2 μ m = 2 * 0,2 * 2 = 0,8 kg g m3 = 0,8 kg. m3 =
N1 T1 FR1 W= mg
Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? m = 2 kg m3 = 0,8 kg. M3 = 0,8 kg. + 1 kg = 1,8 Kg. Las ecuaciones siguen iguales, la única que cambia es la tercera ecuación Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a T 2 - T1 – μ m g = m a m3 g – T2 = M3 a
(Ecuación 1) (Ecuación 2) (Ecuación 3)
– μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (Ecuación 4)
T2 m3 = 0,8 kg 1 kg
124
Reemplazando los valores, se halla la aceleración – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (– 2 * 0,2 * 2 * 9,8) + 1,8 * 9,8 = (2 * 2 + 1,8 ) a - 7,84 + 17,64 = 5,8 * a 9,8 = 5,8 a
a =
9,8 m = 1,69 5,8 seg 2
a = 1,69 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T1 = μ m g + m a T1 = (0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T1 = (3,92) + 3,38 = 7,3 Newton T1 = 7,3 Newton Se reemplaza en la ecuación 2 para hallar la tensión T2 T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) T2 = T1 + μ m g + m a T2 = 7,3 + ( 0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T2 = 7,3 + 3,92 + 3,38 T2 = 14,6 Newton Que aceleración horizontal hay que proporcionar al sistema de la figura para que la masa no deslice?. Aplicarlo al caso en que el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies sea de 0,15 y el ángulo de inclinación sobre la horizontal 300 ∑ F X = m aX NX – FRX = m a Pero: NX = N cos 60 FR = μ N FRX = FR cos 30 FRX = μ N cos 30
FR FRY
N NY
300 FRX
NX – FRX = m a N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1)
NX
EJE X
P 300
∑ FY = m aY = 0 Si queremos que el cuerpo no deslice, aY = 0 P - NY - FRY = 0 Pero: NY = N sen 60 FR = μ N
125
FRY = FR sen 30 FRY = μ N sen 30 P - NY - FRY = 0 m g - N sen 60 - μ N sen 30 = 0 N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2) Dividiendo las ecuaciones N cos 60 - μ N cos 30 = m aX N sen 60 + μ N sen 30 = m g
(Ecuación 1) (Ecuación 2)
m ax N cos 60 - μ N cos 30 = N sen 60 + μ N sen 30 mg
N
FRY
a cos 60 - μ cos 30 = x sen 60 + μ sen 30 g
600
FRX
EJE X
NX
0
60
300
NY
600
300
g * (cos 60 - μ cos 30 ) 9,8 (0,5 - 0,15(0,866)) ax = = sen 60 + μ sen 30 0,866 + 0,15(0,5) ax =
300
FR
Aceleración horizontal
P
9,8 * (0,3701) 3,62698 m = = 3,83 0,947 0,947 seg 2
Sobre un cuerpo de 5 kg, se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 70 Newton b) 35 Newton c) 50 Newton Calcular en cada caso la aceleración del cuerpo. Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 70 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg
F = 70 N
W = 5 * 10 = 50 Newton ∑ FY = m a F–mg=ma 70 – 50 = 5 a 20 = 5 a a = 20/5 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2
a W=mg
Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 35 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton
F = 35 N
∑ FY = m a
W=mg
a
126
F–mg=ma 35 – 50 = 5 a - 15 = 5 a a = - 15/5 = - 3 m/seg2 a = - 3 m/seg2 Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 50 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg F = 50 N W = 5 * 10 = 50 Newton ∑ FY = m a F–mg=ma 50 – 50 = m a 0=ma No hay desplazamiento.
W=mg
Un cuerpo de masa M y peso W se encuentra dentro de un ascensor. Calcular la fuerza que ejerce el ascensor sobre el cuerpo. a) Si el ascensor sube con aceleración a ∑ FY = m a F–W=Ma F=W+Ma
F a
b) Si el ascensor baja con aceleración a
W
∑ FY = m a F+W=Ma F= Ma-W Ascensor
a
F W Si el ascensor sube o baja con velocidad constante. Cuando un cuerpo se mueve a velocidad constante, se dice que la aceleración es cero. En el caso que baja ∑ FY = m a = 0 F+W=0 F= -W
Ascensor F
a W
De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija, penden dos cuerpos de 60 kg y otro de 100 kg. respectivamente. Calcular: a) La aceleración de los cuerpos? b) La tensión de la cuerda ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
127
∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
T1
Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a m 2 g - T = m2 a
(Ecuación 1) (Ecuación 2)
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a
T m1
T
100 * 10 – 60 * 10 = (60 + 100) a
m2
1000 – 600 = 160 a 400 = 160 a
T
T
a = 2,5 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W1 = m1 g
W2 = m2 g
T = m1 a + m1 g T = 60 * 2,5 + 60 * 10
T1
T = 150 + 600 T = 750 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528
T
T
T1 = 209,056 Newton Un cuerpo de 10 kg, cuelga de una bascula de resorte fijada al techo de un elevador. Cual es el peso que marca la bascula a) b) c) d)
Ascensor
Si el elevador esta en reposo. Si el elevador sube a 3 m/seg2 Si el elevador baja a 2,5 m/seg. Si el elevador sube y baja con velocidad constante.
Bascula
Si el elevador esta en reposo. ∑ FY = m a = 0 F–W=0
F
F=W
m = 10 kg
Si el elevador sube a 3 m/seg2 ∑ FY = m a F–W=ma
W=m g
128
F=W+ma F = 10 * 10 + 10 * 3 F = 100 +30 F = 130 Newton Si el elevador baja a 2,5 m/seg. ∑ FY = m a -F–W=ma F=-W-ma F = - 10 * 10 - 10 * 2,5 F = - 100 - 25 F = - 75 Newton Si el elevador sube y baja con velocidad constante. Si el elevador sube ∑ FY = m a = 0 F–W=0 F=W F = - 10 * 10 F = 100 Newton Entre los bloques y la mesa de la figura no hay rozamiento., hallar? a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda A? c) Tensión de la cuerda B? d) Tensión de la cuerda C? TA e) Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg. Bloque m1 ∑ FY = m1 a TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
TA
m2
TA m1
TA
m1 g
TB
TB
m4
m3 TB
m2 g
N2 TB
TC
TC
TD
TD m5
Bloque m2 ∑ FX = m2 a TB – TA = m2 a (Ecuación 2) Bloque m3
129
∑ FX = m3 a TC – TB = m3 a (Ecuación 3) Bloque m4 ∑ FX = m4 a TD – TC = m4 a (Ecuación 4)
TB
Bloque m5 ∑ FY = m5 a
N3 TC TC
m5 g - TD = m5 a (Ecuación 5)
m3 g
N4 TC m4 g
TD TD m5 g
Sumando las 5 ecuaciones, hallamos la aceleración del sistema. m1 = 4 kg m2 = 2 kg m3 = 3 kg m4 = 5 kg m5 = 16 kg TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TB – T A = m 2 a
(Ecuación 2)
T C – TB = m 3 a
(Ecuación 3)
T D – TC = m 4 a
(Ecuación 4)
m 5 g - TD = m 5 a
(Ecuación 5)
- m1 g + m5 g = (m1 + m2 + m3 + m4 + m5 ) a - 4 * 10 + 16 * 10 = (4 + 2+ 3 + 5+ 16 ) a - 40 + 160 = (30) a 120 = 30 a a = 120/30 a = 4 m/seg2 Tensión de la cuerda A? TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TA = m1 a + m1 g TA = 4 * 4 + 4 * 10 TA = 16 +40 TA = 56 Newton Tensión de la cuerda B? TB – TA = m2 a (Ecuación 2) TB – 56 = 2 * 4 TB = 56 + 8 TB = 64 Newton Tensión de la cuerda C? TC – TB = m 3 a (Ecuación 3) TC = TB + m3 a TC = 64 + 3 * 4 TC = 64 + 12 TC = 76 Newton
130
Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg.
1 a * t2 2 1 1 X = a * t 2 = * 4 (3)2 = 18 metros 2 2 X = V0 * t +
X = 18 metros Entre el bloque y la mesa de la figura no hay rozamiento m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. Calcular: a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda c) Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo. Bloque m1 T = m1 * a T = m1 * a
(Ecuación 1)
Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
T T = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
m1 = 2 kg
m 2 g = m1 * a + m2 * a m2 g = (m1 + m2 ) * a a =
(m 2 ) g = (3 )10 = 30 (m1 + m 2 ) (2 + 3) 5
a =6 m
=6 m
T
m2 =3 kg
seg 2
seg 2
Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T = m1 * a (Ecuación 1) T = 2 * 6 = 12 Newton T = 12 Newton
Bloque m1 N
VF = 30 m/seg
T T
Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo.
VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (6 m/seg2 ) 5 seg = 30 m/seg
Bloque m2
m1 = 2 kg W1 = m1 * g
m 2 = 3 kg W2 = m2 * g
131
Si entre el bloque de 2 kg y la mesa de la figura anterior existe una fuerza de rozamiento de 6 Newton, Calcular: a) El valor del coeficiente de rozamiento b) Aceleración del sistema c) Tensión de la cuerda Debemos hacer un diagrama que nos represente las condiciones del problema que m1 ∑ FX = m1 * a T - FR = m1 * a T - FR = m1 * a T – 6 = m1 * a
T (Ecuación 1)
m1 = 2 kg
T
∑ FY = 0 m1 * g – N = 0 m1 g = N N = 2 * 10 = 20 Newton
m2 =3 kg
Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) T - 6 = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) - 6 + m 2 g = m 1 * a + m2 * a - 6 + m2 g = (m1 + m2 ) * a a =
− 6 + (m 2 ) g - 6 + 3 * 10 24 = = = 4,8 m 5 (2 + 3) (m1 + m 2 ) seg 2
a = 4,8 m
seg 2
Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T – 6 = m1 * a (Ecuación 1) T – 6 = 2 * 4,8 T = 9,6 + 6 T = 15,6 Newton El valor del coeficiente de rozamiento FR = μ * N PERO: FR = 6 Newton N = 20 Newton 6 = μ * 20
μ =
6 = 0,3 20
Bloque m1
Bloque m2
N
T T
FR
m1 = 2 kg W1 = m1 * g
m 2 = 3 kg W2 = m2 * g
132
Bloque m1 Σ FY = m1 a pero el sistema esta en equilibrio, luego la aceleración es cero. W 1 - T1 = 0 T m 1 g = T1 T1 = 9,8 * 5 = 49 Newton T1 = 49 Newton ∑ FY = m1 a T - T 1 - T1 = m a pero el sistema esta en equilibrio, luego la aceleración es cero. T - 2T1 = 0 pero: T1 = 49 Newton T – 2*49 = 0
Bloque m1
T
T1
m1 = 5 kg W1 = m1 * g
T1
T1
m2
m1
T1
T1
m1
m2
T = 98 Newton WX = W sen 30 WX = m g sen 30 WX = 5 * 9,8 sen 30
N WX
WX = 24,5 Newton
Σ FX = 0 por que el sistema esta en equilibrio T – WX = 0 T – 24,5 = 0
T 300
T
5 kg
WY
300
W1 = m*g
T = 24,5 Newton La figura muestra dos bloques de igual masa M, unidos mediante una cuerda ligera inextensible que pasa por una polea inextensible sin fricción. El bloque se desliza sobre la superficie horizontal con coeficiente de rozamiento µ
FR
Bloque M
T
M
Bloque M
N T
M
T T
FR
M W1 = M * g
M W2 = M * g 133
Bloque M Este bloque se desplaza horizontalmente hacia la derecha y la única fuerza que se opone al movimiento, es la fuerza de rozamiento. ∑ FX = M * a T - FR = M * a T - FR = M * a
(Ecuación 1)
∑ FY = 0 m*g–N=0 Mg =N pero: FR = µ N FR = µ M g Bloque M (Vertical) ∑ FY = 0 M g – T = M * a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones (Ecuación 1) T - FR = M * a Mg–T=M*a (Ecuación 2) - FR + M g = M * a + M * a - µ M g + M g = (M + M ) * a - µ M g + M g = (2M ) a - µ g + g = (2 ) a 2a = g - µ g
a =
g - μ g g (1 - μ ) = 2 2
Reemplazando la aceleración en la ecuación 2, hallamos la tensión Mg–T=M*a (Ecuación 2)
⎛ g(1 - μ ) ⎞ Mg-T =M⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛1 - μ ⎞ Mg-T=Mg⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛1 - μ ⎞ T=-Mg⎜ ⎟+Mg ⎝ 2 ⎠ M g M g μ T=+ +Mg 2 2 T=
- M g+ Mgμ +2Mg 2
Mgμ+ Mg 2 M g (μ + 1) T= 2 T=
134
Entre el bloque m1 = 12 kg. Y el plano de la figura no hay rozamiento. Φ = 370 Calcular: a) Aceleración del conjunto. b) Tensión de la cuerda c) Cuanto sube el cuerpo de 12 kg en 4 seg. NO HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FX = m1 a T – P1X = 0 Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g T – P1 sen 37 = m1 a T – m1 g sen 37 = m1 a (Ecuación 1)
T m1 = 12 kg T
370
m2 = 20 kg P2 = m2 * g
Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T – m1 g sen 37 = m1 a (Ecuación 1) P2 – T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 37 + P2 = m1 a + m2 a – 12 * 10 sen 37 + 20 * 10 = 12 * a + 20 * a -72,217 + 200 = 32 a 127,78 = 32 a
Bloque m1
127,78 m a = = 4 32 seg 2
N1 T
Tensión de la cuerda? Para hallar la tensión de la cuerda, se reemplaza en la ecuación 1. T – m1 g sen 37
370
= m1 a (Ecuación 1)
T – 12 * 10 sen 37
= 12 * 4
T – 72,217= 48
P1X P1Y
Bloque m2 T
m1 = 12 Kg. P1 = m1 * g
T = 72,217 + 48 T = 120,21 Newton Cuanto sube el cuerpo de 12 kg en 4 seg.
1 a * t2 2 1 1 64 2 X = a * t 2 = * 4 (4) = = 32 metros 2 2 2
X = V0 * t +
m2 = 20 kg P2 = m2 * g
X = 32 metros
135
La constante de elasticidad de un resorte es 28 N/cm y del resorte se suspende una masa de 14 kg. Determinar la deformación del resorte?
Y=? m = 14 kg Σ FY = m a (pero como el resorte esta en equilibrio, la aceleración es cero) F-W=0 F=W=mg F = 14 * 10 = 140 Newton F =140 Newton F= K*Y 140 = K Y
Y =
F 140 = = 5 cm K 28
Una persona de 60 kg se encuentra dentro de un ascensor sobre ella. a) Si el ascensor sube con una aceleración de 3 m/seg2
F
Σ FY = m a F-W=ma Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton F-W=ma F - 600 = 60 * 3 F = 180 + 600 F = 780 Newton
mg
a
mg
b) Si el ascensor baja con una aceleración de 2 m/seg2 Σ FY = m a F+W=ma Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton F+W=ma F + 600 = 60 * 2 F = 120 - 600
F
mg
F mg
a
F = - 480 Newton C ) Si el ascensor sube o baja con movimiento uniforme? Si sube y el movimiento es uniforma, la aceleración es cero
136
Σ FY = 0 F-W=ma
F F
Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton F-W=0 F - 600 = 0 F = 600 Newton Si baja y el movimiento es uniforma, la aceleración es cero Σ FY = 0 F+W=0 Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton F+W=0 F + 600 = 0 F = - 600 Newton
mg
mg
mg
F
a
F mg
a
Para que el bloque de la figura, se mueva hacia la derecha con aceleración de 5 m/seg2 . El valor de F1 en Newton es: Σ FX = m a F – F1 = m a 20 – F1 = 3 * 5 20 – F1 = 15 F1 = 20 -15
m = 3 kg F = 20 N
F1
F1 = 5 Newton En la parte superior de un plano inclinado 370 se coloca un cuerpo de masa 5 kg. No existe rozamiento. (g = 10 m/seg2) a) La fuerza en Newton que el cuerpo ejerce sobre el plano es: b) La aceleración en m/seg2 con que baja el cuerpo por el plano es: c) La distancia en metros que baja el cuerpo en 4 seg es? d) Si entre el bloque y el plano existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25. La fuerza en newton con que baja el cuerpo por el plano es ? La fuerza en Newton que el cuerpo ejerce sobre el plano es: En este caso la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano es P1Y P1y = P1 cos 37 P1y = m1 g cos 37 P1Y = 5 * 10 * cos 37 P1Y = 50 * 0,7986 P1Y = 40 Newton La aceleración en m/seg2 con que baja el cuerpo por el plano es: Σ FX = m1 a P1X = m a
m1 = 5 kg
P1 = m1 * g 370
137
Pero : P1X = P1 sen 37 P1 sen 37 = m1 a m1 g sen 37 = m1 a g sen 37 = a
N
a = 10 * 0,6018 a = 6 m/seg2
P1X
La distancia en metros que baja el cuerpo en 4 seg es? 1 X = V0 + a (t )2 2
X =
FR
pero : V0 = 0
1 1 16 2 2 a (t ) = * 6 * (4 ) = 6 * = 48 metros 2 2 2
X = 48 metros
P1Y 370
m1 = 5 Kg. P1 = m1 * g
Si entre el bloque y el plano existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25. La fuerza en newton con que baja el cuerpo por el plano es ? µ = 0,25
P1Y = 40 Newton
P1X = P1 sen 37 = m1 g sen 37 P1X = 5 * 10 * 0,6018 =30 Newton P1X = 30 Newton Σ FY = 0 N - P1Y = 0 N = P1Y = 40 Newton FR = µ * N = 0,25 * 40 = 10 Newton FR = 10 Newton F = P1X - FR F = 30 Newton - 10 Newton F = 20 Newton Un carro de masa M viaja con una velocidad V sobre un piso horizontal. Al dejarlo libre se detiene debido al rozamiento en una distancia X. a) El valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es? b) El valor de la fuerza de rozamiento es? c) El tiempo que emplea el carro en detenerse es? El valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es? Σ FX = M a FR = M a (Ecuación 1) Σ FY = 0 N-P =0 N =P =Mg
138
FR = µ * N = µ M g FR = µ M g Reemplazando en la ecuacion 1 FR = M a (Ecuación 1) µMg=Ma µ g= a
μ =
a (Ecuación 2) g
Pero:
FR
N
Mg 0
(VF)2 = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2
a =
(V0 )2 2X
Reemplazando la aceleración en la ecuación 2.
μ =
a (Ecuación 2) g
(V0 )2
μ = 2X g
=
(V0 )2 2Xg
El valor de la fuerza de rozamiento es? FR = µ * N = µ M g reemplazando la ecuación 2 en esta ecuación
⎛a⎞ FR = μ M g = ⎜⎜ ⎟⎟ M g ⎝g⎠ FR = a M Pero a =
(V0 )2
2X (V )2 FR = a M = 0 M 2X 2 (V0 ) M FR = 2X
El tiempo que emplea el carro en detenerse es?
VF = V0 – a t V0 = a t
pero VF = 0
139
V0 V0 V 2X 2X = = 0 2 = 2 a (V0 ) (V0 ) V0 2X 2X t = V0
t =
Una polea fija cuelga del techo del salón, una cuerda de peso despreciable pasa por la garganta de la polea. Los extremo de la cuerda se suspenden y no hay rozamiento entre la cuerda y la polea. Calcular: a) La aceleración de los cuerpos? b) La tensión de la cuerda ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a m 2 g - T = m2 a
T1
(Ecuación 1) (Ecuación 2)
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 8 * 10 – 2 * 10 = (2 + 8) a 80 – 20 = 10 a 60 = 10 a a = 6 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
T T
m1 = 2 kg
m2 = 8 kg T
T
T = m1 a + m1 g T = 2 * 6 + 2 * 10 T = 12 + 20 T = 32 Newton
T1 W1 = m1 g
W2 = m2 g
T1 = 2 T = 2 * 32 T1 = 64 Newton
T
T
Los cuerpos de la figura, tienen masa de: m1 = 4 kg m2 = 10 kg m3 = 6 kg. En ausencia de rozamiento, al aplicar una fuerza horizontal F = 60 Newton . calcular: a) aceleración del conjunto b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A?
140
m1
TA
TA
TB
m2
aceleración del conjunto m1 = 4 kg. m2 = 10 kg. m3 = 6 kg.
m3
TB
m1
mt = m1 + m2 + m3 mt = 4 + 10 + 6 = 20 kg.
F = 60 Newton
m2 TA
TA
m3 TB
TB
F = 60 N
F = mt * a
a =
F mt
=
60 = 20
3
m seg 2
tensión de la cuerda A? Bloque m1 Σ FX = 0 F = m1 * a TA = m1 * a TA = 4 * 3 = 20 Kg. TA = 12 Kg. tensión de la cuerda B? Bloque m2 Σ FX = 0 F=m*a TB - TA = m * a Pero: TA = 12 Kg. m2 = 10 Kg. TB - 12 = m2 * a TB - 12 = 10 * 3 TB = 12 + 30 TB = 42 Newton La cuerda se rompe para una tensión de 1000 N. Calcular la fuerza con la que hay que tirar de m 1 , para que se rompa la cuerda si μ2 = 0.1 entre los dos cuerpos, y μ1 = 0.2 entre m 1 y la superficie. El rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos. El bloque inferior de masa m1 es halado por una fuerza F hacia la izquierda, pero la fuerza de rozamiento entre el piso y los dos bloques se denomina FR1 y es sentido contrario al movimiento del bloque.
FR2 F
m2
T FR2
m1 T
FR1 141
Masa m1 (BLOQUE INFERIOR) Σ FX = F – T – FR1 – FR2 = m1 a
a =
Bloque inferior
F - T - FR1 - FR2 (Ecuación 1) m1
N F
Datos: m 1 = 10 kg m 2 = 1 kg
FR1
Masa m2 (BLOQUE SUPERIOR)
Bloque superior
Σ FX = T – FR2 = m2 a
T - FR2 a = (Ecuación 2) m2
FR2
T
FR2
N
W2 = m2 g W1 = m1 g
T W2
Hay una fuerza de rozamiento FR2, sobre el bloque de masa m2 (el de arriba) en dirección contraria al desplazamiento del bloque y una fuerza de reacción en sentido contrario sobre el bloque inferior m1 . Igualando las ecuaciones 1 y 2 hallamos la fuerza F necesaria para que la cuerda se rompa cuando T = 1000 Newton.
F - T - FR1 - FR2 (Ecuación 1) m1 T - FR2 a = (Ecuación 2) m2 F - T - FR1 - FR2 T - FR2 = m1 m2 m 2 (F - T - FR1 - FR2 ) = m1 (T - Fr2 )
a =
Σ FY = 0 (BLOQUE INFERIOR). La normal total es la suma de los pesos de los bloques 1 y bloque 2. NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 = N1 NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 - m1 g - m2 g = 0 NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 = m1 g + m2 g N1 = m1 g + m2 g N1 = ( m1 + m2 ) g FR1 = μ1 N1 Pero: μ1 = 0.2 entre m 1 y la superficie. m 1 = 10 kg m 2 = 1 kg FR1 = μ1 N1 = 0,2 ( m1 + m2 ) g FR1 =0,2 (10 +1 ) 10 FR1 =0,2 (11 ) 10 FR1 = 22 Newton
142
Σ FY = 0 (BLOQUE SUPERIOR) N2 - m2 g = 0 N2 = m2 g FR2 = μ2 N2 = 0,1 (m2 g ) FR2 = 0,1 (1 * 10 )
Pero: μ2 = 0.1 entre los dos cuerpos, m 2 = 1 kg
FR2 = 1 Newton Pero: m 1 = 10 kg m 2 = 1 kg FR2 =1 Newton FR1 = 22 Newton T = 1000 N Reemplazando
m 2 (F - T - FR1 - FR2 ) = m1 (T - FR2 )
1* ( F – 1000 – 22 – 1) = 10 * (1000 – 1) F – 1023 = 10 * 999 F – 1013 = 9990 F = 9990 + 1013 F = 11003 Newton Calcular el peso del bloque, sabiendo que la tensión de la cuerda es de 100 Newton. Σ FY = 0 T–mg=0 T=mg 100 = m g = w
Bloque m T T = 100 Newton
W = 100 Newton.
w = m* g w = m* g
143
Determinar la tensión de la cuerda, si la esfera de 200 Newton de peso esta en equilibrio y no existe rozamiento. Σ FX = 0 Σ FX = WX – T X = 0
30
T
Pero WX = W sen 30 TX = T sen 60
TX
TY
0
N
600
T
WX
300
0
EJE X
WY
30
W = 200 Newton
W
W X – TX = 0 W sen 30 - T sen 60 = 0 200 * 0,5 – T * 0,866 = 0 0,866 T = 200 * 0,5 0,866 T = 100 T = 115,47 Newton En el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar Q ? Si w = 240 Newton
ECUACIONES PARA EL PUNTO B Σ FX = 0 TBX – TAX = 0
Pero: TBX = TB cos 30 TAX = TA cos 60 TB cos 30 - TA cos 60 = 0 cos 30 TB = cos 60 TA
3 1 TB = TA 2 2
→
3 TB = TA (Ecuacion 1)
Σ FY = 0 TAY - TBY - W = 0 Pero W = 240 Newton. TAY - TBY = W = 240 Pero: TBY = TB sen 30 TAY = TA sen 60
A
600
600 600 B
0
60
300 600
300
TAY - TBY = 240
TA sen 60 - TB sen 30 = 240
3 1 TA - TB = 240 2 2 3 TA - TB = 240 2
D
C
W
Q 144
3 TA - TB = 480 (Ecuacion 2) Reemplazando la ecuacion 1 en la ecuacion 2
3
(
)
PUNTO B
3 TB - TB = 480
TAX
3 TB – TB = 480 2 TB = 480
TB =
480 = 240 Newton 2
TA
TAY
600
ECUACIONES PARA EL PUNTO C
B
Σ FX = 0
TBX – TDX = 0
W
Pero: TBX = TB cos 30 TDX = TD cos 60
→
TBX
TBY
3 TB = TD (Ecuacion 3)
PUNTO C
TB
TBY
TB cos 30 - TD cos 60= 0 cos 30 TB = cos 60 TD
1 3 TB = TD 2 2
600
300
TB 300 TBX
TD
TDY
600 TDX Q
Σ FY = 0 TDY + TBY - Q = 0 Pero: TBY = TB sen 30 TDY = TD sen 60
TDY + TBY = Q
TD sen 60 + TB sen 30 = Q
1 3 TD + TB = Q (Ecuacion 4) 2 2 Reemplazando la ecuacion 3 en la ecuacion 4
3 1 ( 3 TB ) + TB = Q 2 2 3 1 ( TB ) + TB = Q 2 2 2 TB = Q Pero TB = 240 Newton 2 * 240 = Q Q = 480 Newton
145
Hallar F para que la cuña A suba con velocidad constante. Despreciar toda fricción. FC es la fuerza de contacto que ejercen los cuerpos NA es la fuerza normal de la cuña. WA = 200 Newton WB = 400 Newton
CUÑA A Σ FX = 0 (Por que el desplazamiento es a velocidad constante.) FCX - NA = 0 FCX = NA
300 300
F
300
Pero: FCX = FC cos 30 FC cos 30 = NA (Ecuacion 1)
WB
Σ FY = 0 (Por que el desplazamiento es a velocidad constante.) FCY - WA = 0 FCY = WA = 200 Newton BLOQUE B
Pero: FCY = FC sen 30 FC sen 30 = WA = 200
FCX
F FC sen 30 = 200 200 FC = = 400 Newton sen 30
300 WB
FCY
FC
BLOQUE B Σ FX = 0 (Por que el desplazamiento es a velocidad constante.) F - FCX = 0 Pero: FCX = FC cos 30 F - FC cos 30 = 0 F = FC cos 30 3 F= * 400 2 F = 200 3 Newton
CUÑA A FCY
FC 300 FCX
NA
WA
Si el bloque se desliza a velocidad constante, determine el coeficiente de rozamiento, peso del bloque 200 Newton FR Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque, actúa en sentido contrario al movimiento.
Σ FX = 0 (Por que el movimiento es a velocidad constante.) 146
FX – FR = 0
F = 100 N
F X = FR
Pero: FX = F cos 53
600
FX = FR = F cos 53 Pero: F = 100 Newton
N FR
FX = FR = 100 cos 53 FX = FR = 60,18 Newton
F
FY 530 FX
W = 200 N
FR
Σ FY = 0 FY + N – W = 0 Pero: FY = F sen 53 F sen 53 + N = 200 N = 200 - F sen 53 N = 200 – 100 sen 53 N = 200 – 79,86 N = 120,13 Newton FR = µ N Pero: FR = 60,18 Newton N = 120,13 Newton
μ=
FR 60,18 = = 0,5 N 120,13
Problema propuesto estatica jorge mendoza Dueñas El coeficiente de rozamiento entre la cuña y la superficie horizontal es de 0,5 y todas las demás superficies son lisas. Calcular la mínima fuerza P que levantara la carga Q.
Q = 1730 Newton Σ FX = 0 P – FR - FCX = 0
Q
FR Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque, actúa en sentido contrario al movimiento. FC es la fuerza de contacto que ejercen los cuerpos F sen 30 = CX FC
P
600 300
FCX = Fuerza de contacto en el eje “x”
Pero: FCX = FC sen 30
FR
147
P – FR - FCX = 0 P = FR + FCX P = FR + FC Sen 30 (Ecuacion 1) Diagrama cuerpo libre triangulo rojo
N = normal Σ FY = 0 N – FCY = 0 F cos 30 = CY FC
FCY = Fuerza de contacto en el eje “Y”
Pero: FCY = FC cos 30 N = FCY = FC cos 30 N = FC cos 30 (Ecuacion 2)
Diagrama cuerpo libre triangulo rojo N
Diagrama cuerpo libre Q
FR
Diagrama cuerpo libre “Q”
NQ = normal del cuerpo Q
Σ FX = 0 FCX – NQ = 0 FCX = NQ F sen 30 = CX FC
P
FC
300 0
60
NQ
FCY
FCX
Pero: FCX = FC Sen 30 FC Sen 30 = NQ (Ecuacion 3) Diagrama cuerpo libre “Q” Σ FY = 0 FCY – Q = 0 FCY = Q (Ecuacion 4)
FCY
600 FC
Q 0
60 FCX
F cos 30 = CY FC
Pero: FCY = FC cos 30 Pero: Q = 1730 Newton Reemplazando en la ecuacion 4 FC cos 30 = Q FC * 0,866 = 1997,63 Newton FC = 1997,63 Newton Reemplazando en la ecuacion 2 se halla la normal N N = FC cos 30 (Ecuacion 2) N = 1997,33 cos 30
148
N = 1997,33 * 0,866 N = 1730 Newton FR = µ N µ = 0,5 FR = 0,5 * 1730 FR = 865 Newton Reemplazando en la ecuacion 1 P = FR + FC Sen 30 (Ecuacion 1) P = 865 + 1997,63 * 0,5 P = 865 + 998,815 P = 1863,815 Newton Problema 4.24 Alonso Finn Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
A 500
TAY = TA . sen 50 TBY = TB. sen 50
TA
TAX = TA . cos 50 TBX = TB . cos 50
Σ FX = 0 TBX - TAX = 0 (ecuación 1) TBX = TAX
B
500
TB
500
500 C
W = 40 lb-f
TB . cos 50 = TA . cos 50 TB = TA (ecuación 1)
Σ FY = 0 TAY + TBY – TAY + TBY = TAY + TBY = TA . sen 50
W =0 W pero: W = 40 lb-f 40 + TB. sen 50 = 40 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA . sen 50 + TA. sen 50 = 40 2 TA . sen 50 = 40 TA =
40 20 20 = = = 26,1lb − f 2 * sen 50 sen 50 0,766
TA = 26,1 lb-f
TB TAY
T BY
TA 500 T AX
500 TBX W = 40 lb-f
Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1. TB = TA (ecuación 1)
149
TB = TA = 26,1 lb-f Problema 4.24 Alonso Finn Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f TAY = TA . sen 30 TBY = TB. sen 30 TAX = TA . cos 30 TBX = TB . cos 30
Σ FX = 0 TBX - TAX = 0 (ecuación 1) TBX = TAX
A
TB . cos 30 = TA . cos 30
0
30
TB = TA (ecuación 1)
Σ FY = 0 TAY + TBY – TAY + TBY = TAY + TBY = TA . sen 30
B 0
TA
TB
0
30 W =0 W pero: W = 40 lb-f 40 + TB. sen 30 = 40 (ecuación 2)
30
T CB
300
W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA . sen 30 + TA. sen 30 = 40 2 TA . sen 30 = 40 TA =
40 20 20 = = = 40 lb − f 2 * sen 30 sen 30 0,5
TA = 40 lb-f Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1. TB = TA (ecuación 1)
TAY
TB
TA
300
300 T AX
T BY
TBX W = 40 lb-f
TB = TA = 40 lb-f Problema 4.24 Alonso Finn Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f TAY = TA . sen 30 TBY = TB. sen 60 TAX = TA . cos 30 TBX = TB . cos 60
150
Σ FX = 0 TBX - TAX = 0 (ecuación 1) TBX = TAX
A
TB . cos 60 = TA . cos 30
0
30
T cos 30 (Ecuación 1) TB = A cos 60
Σ FY = 0 TAY + TBY – TAY + TBY = TAY + TBY = TA . sen 30
B 0
60
TA
TB 600
300 W =0 W pero: W = 40 lb-f 40 + TB. sen 60 = 40 (ecuación 2)
C W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA . sen 30 + TB. sen 60 = 40 ⎛ T cos 30 ⎞ TA sen 30 + ⎜⎜ A ⎟⎟ * sen 60 = 40 ⎝ cos 60 ⎠ ⎛ TA sen 30 cos 60 + TA cos 30 sen 60 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 40 cos 60 ⎝ ⎠
TAY 300
TA sen 30 cos 60 + TA cos 30 sen 60 = 40 cos 60
Pero: sen 30 =
1 2
cos 60 =
sen 60 =
3 2
⎛1⎞ TA ⎜ ⎟ * ⎝2⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ + TA ⎝2⎠
⎛3⎞ ⎛1⎞ TA ⎜ ⎟ + TA ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠
1 2
cos 30 =
TA
3 2
T AX
TB
T BY
600 TBX W = 40 lb-f
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ *⎜ ⎟ = 4 0* 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 20
TA = 20 lb-f Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1. T cos 30 (ecuación 1) TB = A cos 60
T cos 30 TB = A = cos 60
3 40 3 2 = 2 = 20 1 1 2 2
20 *
3
TB = 20 √3 lb-f
151
Problema 4.24 Alonso Finn Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
B 45 0
T BY
TB
TA
A
45 0
TA
C
TB 450
T BX W = 40 lb-f
W = 40 lb-f TBY = TB. sen 45 TBX = TB . cos 45
Σ FX = 0 TBX - TA = 0 (ecuación 1) TB . cos 45 = TA TB =
TA (Ecuación 1) cos 45
Σ FY = 0 TBY – W = 0 TBY = W pero: W = 40 lb-f TBY = 40 TB sen 45 = 40 (ecuación 2) TB =
40 sen 45
TB = 56,56 lb-f Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TB cos 45 = TA TA = 56,56 cos 45
TA = 40 lb-f Problema 4.24 Alonso Finn Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f TBY = TB sen 60
152
TBX = TB cos 60 TAX = TA cos 30 TAY = TA sen 30
B 0
60
Σ FX = 0 TBX - TAX = 0 (ecuación 1) TB cos 60 = TA cos 30
TB 600
T cos 30 (Ecuación 1) TB = A cos 60
300
Σ FY = 0 TBY – TAY - W = 0 TBY – TAY = W pero: W = 40 lb-f TBY – TAY = 40 TB sen 60 - TA sen 30 = 40 (ecuación 2)
TA
300 A W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TB sen 60 - TA sen 30 = 40 ⎛ TA cos 30 ⎞ ⎜⎜ cos 60 ⎟⎟ * sen 60 - TA sen 30 = 40 ⎝ ⎠ T cos 30 sen 60 - TA sen 30 cos 60 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = 40 cos 60 ⎝ ⎠
TA cos 30 sen 60 - TA sen 30 cos 60 = 40 cos 60
3 1 1 cos 30 = cos 60 = 2 2 2 3 ⎞⎟ 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ − TA ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ = 4 0 * ⎟ 2 ⎠ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
sen 60 =
Pero: sen 30 = ⎛ 3⎞ ⎛ ⎟* ⎜ TA ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
⎛3⎞ ⎛1⎞ TA ⎜ ⎟ - TA ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠
3 2
TB
= 20
T BY
½ TA = 20
TA = 40 lb-f Para hallar TB se reemplaza T cos 30 TB = A = cos 60
600
TAX 40 1 2
3 2 = 40
TAY 3
TBX
300
TA W = 40 lb-f
TB = 69,28 lb-f Problema 4.25 Alonso Finn El cuerpo representado en la figura 4-29 pesa 40 kg-f. Se mantiene en equilibrio por medio de una cuerda AB y bajo la acción de la fuerza horizontal F suponiendo que AB = 150 cm. y que la distancia entre la pared y el cuerpo es de 90 cm, calcular el valor de la fuerza F y la tensión de la cuerda.
153
cos δ =
90 = 0,6 150
A
δ = arc cos 0,6 δ = 53,130
150 cm
T δ0
TX = T cos δ TX = T cos 53,13
90 cm
W = 40 kg-f
Σ FX = 0 F - TX = 0 F - T cos 53,13 = 0 F = T cos 53,13 Ecuación 1 Σ FY = 0 TY – W = 0 T sen 53,13 – W = 0 T sen 53,13 = W T sen 53,13 = 40 Ecuación 2 T =
F
B
TY = T sen δ TY = T sen 53,13
TY
T δ
0
F
TX
40 = 50 lb - f sen 53,13
W = 40 kg -f
Reemplazando el valor de la tensión T en la ecuación 1, se halla F F = T cos 53,13 Ecuación 1 F = 50 cos 53,13 F = 30 lb - f 4.26 Alonso Finn Para la figura 4-30, calcular el ángulo υ y la tensión en la cuerda AB, si M1 = 300 lb-f M2 = 400lb-f. TX = T sen υ TY = T cos υ
Σ FX = 0 F - TX = 0 F - T sen υ = 0 F = T sen υ Ecuación 1 Σ FY = 0 TY – W = 0 T cos υ – W = 0 T cos υ = W T cos υ = 300 Ecuación 2
A
υ0 T β0
F
F
B
M1 = 300 kg-f
M2 = 400 kg-f
154
BLOQUE M2 La F tiene igual magnitud que M2 F = M2 = 400 lb-f. F = 400 lb-f.
Ecuación 3
υ0 TY
Reemplazar la ecuación 3 en la ecuación 1 F = T sen υ Ecuación 1
T β0
F
TX
400 = T sen υ Ecuación 4
M1 = 300 kg-f
Haciendo una relación entre la ecuación 1 y la ecuación 4 400 = T sen υ Ecuación 4 T cos υ = 300 Ecuación 2
F 400 T senθ = = tg θ 300 T cos θ 4 tg θ = 3
BLOQUE M2
M2 = 400 kg-f
υ = arc tg 1,333 υ = 53,130 Para hallar la tensión T se reemplaza en la ecuación 2. T cos υ = 300 Ecuación 2 T cos 53,130 = 300 T =
300 = 500 lb - f cos 53,13
T = 500 lb – f 4.27 Alonso Finn Un muchacho que pesa 120 lb-f se sostiene en una barra de levantamiento de pesas. ¿Qué fuerza ejerce cada uno de sus brazos sobre la barra cuando a) Sus brazos están en posición paralela. b) Cuando cada brazo hace un ángulo de 300 con la vertical. a) Sus brazos están en posición paralela.
Si los brazos están en posición paralela, cada brazo ejerce una fuerza igual a la mitad del peso de su cuerpo. F=
120 w = = 60 lb - f 2 2
300
300
155
b) Cuando cada brazo hace un ángulo de 300 con la vertical.
B
A
0
0
60
60
TAY = TA sen 60 TBY = TB sen 60
300
300
TAX = TA cos 60 TBX = TB cos 60
TB
TA
600
600
Σ FX = 0 TBX - TAX = 0
C
TA
W = 120 lb-f
TB cos 60 - TA cos 60 = 0
TB
T BY
TAY 0
60
T B - TA = 0 TB = TA Ecuación 1
T AX
Σ FY = 0 TAY + TBY – W = 0 TAY + TBY = W TA sen 60 + TB sen 60 = 120 Ecuación 2
0
60
TBX W = 120 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA sen 60 + TB sen 60 = 120 TB sen 60 + TB sen 60 = 120 2 TB sen 60 = 120 TB =
120 60 = = 69,28 lb - f 2 sen 60 sen 60
TB = TA = 69,28 lb-f 4.28 Alonso Finn Una cuerda ABCD cuelga de los puntos fijos A y D. En B hay un peso de 12 kg-f y en C un peso desconocido. Si el ángulo que hace AB con la horizontal es de 600 BC es horizontal y CD hace un ángulo de 300 con la horizontal, calcular el valor que P debe tener a fin de que el sistema se encuentre en equilibrio. TAX = TA cos 60 TAY = TA sen 60
Σ FX = 0 T – TAX = 0 T – TA cos 60 = 0 T = TA cos 60 Ecuación 1 Σ FY = 0 TAY – W = 0 TA sen 60 – W = 0
D
A
TD
TA 600
B
C
300
T
T P W = 12 kg-f
156 TA TAY
TA sen 60 = W TA sen 60 = 12 TA =
12 = 13,85 kg - f sen 60
TA = 13,85 kg-f
TD
Reemplazar en la ecuación 1 T = TA cos 60 Ecuación 1 T = 13,85 cos 60 T = 6,92 kg-f
300
TDY
TDX
T P
TDX = TD cos 30 TDY = TD sen 30
Σ FX = 0 TDX - T = 0 TD cos 30 – T = 0 TD cos 30 = T Ecuación 2 Reemplazar en la ecuación 2 TD cos 30 = T Ecuación 2 TD cos 30 = 6,92 TD =
6,92 = 8 kg - f cos 30
Σ FY = 0 TDY – P = 0 TD sen 30 = P 8 sen 30 = P P = 4 Kg-f
Ecuación 3
4.29 Alonso Finn Tres cuerdas, situadas en un plano en un plano vertical, están fijas a puntos diferentes sobre el techo. Los otros extremos están unidos en el nudo A y del cual cuelga un peso P. Los ángulos formados por las cuerdas con la horizontal son: 350, 1000, 1600 Las tensiones en las dos primeras cuerdas son de 100 kg-f y 75 kg-f. Calcular la tensión en la tercera cuerda y el peso P. T1X = T1 cos 35 T1Y = T1 sen 35
T1 = 100 kg-f
T2X = T2 cos 80 T2Y = T2 sen 80 T3X = T3 cos 20 T3Y = T3 sen 20
Σ FX = 0
T2
T3
1600 800
350
200
A P
T2X + T3X - T1X = 0
157
T2 cos 80 + T3 cos 20 - T1 cos 35 = 0 T2X
Pero T1 = 100 kg-f
T2 = 75 kg-f.
13,0236 + T3 cos 20 – 81,9152 = 0 T3 cos 20 = 81,9152 - 13,0236
T2
T2Y
75 cos 80 + T3 cos 20 - 100 cos 35 = 0 75 (0,1736) + T3 cos 20 - 100 (0,8191) = 0
T1 T1Y
35
200
T3X
T1X
P
T3 cos 20 = 68,8916 T3 =
T3
800
0
68,8916 68,8916 = = 73,31 kg - f 0,9396 cos 20
T3 = 73,31 kg-f.
Σ FY = 0 T1Y + T2Y + T3Y – P = 0 T1 sen 35 + T2 sen 80 + T3 sen 20 - P = 0 Pero T1 = 100 kg-f
T2 = 75 kg-f.
100 * sen 35 +75 * sen 80 + 73,31 * sen 20 - P = 0 100 * 0,5735 +75 * 0,9848 + 73,31 * 0,342 - P = 0 57,35 +75 * 73,86 + 25,072 = P P = 156,28 kg-f. 4.31 Alonso Finn Una esfera cuyo peso es de 50 kg-f descansa sobre dos planos lisos, inclinados respectivamente con respecto a la horizontal, ángulos de 300 y 450. Calcular las reacciones de los dos planos sobre la esfera. N1X = N1 cos 45 N1Y = N1 sen 45 N2X = N2 cos 60 N2Y = N2 sen 60
450
Σ FX = 0 N1X - N2X = 0 N1 cos 45 - N2 cos 60 = 0 N1 cos 45 = N2 cos 60
N1
N1 =
300
N2
P
300 450
600
N 2 cos 60 N 2 * 0,5 = = 0,7071 N 2 Ecuación 1 cos 45 0,7071
Σ FY = 0
450
300
N1
N2
P
158
N1Y + N2Y – P = 0 N1Y + N2Y = P
N1 sen 45 + N2 sen 60 = 50
N2
N2Y
N1Y + N2Y = 50
N1 450
0
60
Ecuación 2
N2X
(0,7071 N2) * sen 45 + N2 sen 60 = 50 (0,7071 N2) * sen 45 + N2 sen 60 = 50
N1Y
N1X
P
0,5 N2 + 0,866 N2 = 50 1,366 N2 = 50 N2 =
50 = 36,6 kg - f 1,366
N2 = 36,6 kg –f. Pero: N1 = 0,7071 N2 N1 = 0,7071 * 36,6 N1 = 25,88 kg – f. 4.32 Alonso Finn Una esfera (fig. 4-31) que pesa 50 lb-f descansa sobre una pared lisa, manteniéndose en esa posición mediante un plano liso que hace un ángulo de 600 con la horizontal. Calcular la reacción de la pared y el plano sobre la esfera. N2X = N2 cos 30 N2Y = N2 sen 30
Σ FX = 0 N1 - N2X = 0 N1 - N2 cos 30 = 0 N1 = N2 cos 30 Ecuación 1
N1
N2
P 300 0
Σ FY = 0 N2Y – P = 0 N2Y = P
60
N1 300
N2
P N2 sen 30 = 50 N2
50 50 = = = 100 lb - f sen 30 0,5
600
N2
N2Y 300
N2X P
N1
159
Reemplazando en la ecuación 1 N1 = N2 cos 30 Ecuación 1 N1 = 100 cos 30 N1 = 100 * 0,866 N1 = 86,6 lb - f 4.33 Alonso Finn Una esfera de peso W se sostiene mediante una cuerda AB. (fig. 4-32) y presiona una pared vertical lisa AC. Si δ es el ángulo entre la cuerda y la pared, determinar la tensión en la cuerda y la reacción de la pared sobre la esfera. TX = T sen δ TY = T cos δ
Σ FX = 0 N - TX = 0 N - T sen δ= 0
δ
T
TY
δ
N
N = T sen δ Ecuación 1
TX
W
Σ FY = 0 TY – W = 0 TY = W T cos δ = W T =
T
N
W
W cos δ
Reemplazando en la ecuación 1 N=
W * sen δ = W * tg δ cos δ
N = W tg δ 4.34 Alonso Finn Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa 40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables. TX = T cos 45 TY = T sen 45
C
Σ FX = 0 F - TX = 0 F - T cos 45 = 0 F = T cos 45 Ecuación 1
450
Σ FY = 0 TY – M = 0 TY = M T sen 45 = M
T F
T
TY
B
450
A
0
45
TX
F
M
M 160
T =
M 40 = = 56,56 kg - f. sen 45 0,7071
T = 56,56 kg – f. Reemplazando en la ecuación 1 F = T cos 45 Ecuación 1 F = 56,56 * cos 45 = 40 kg - f.
F = 40 kg –f. 4.34 Alonso Finn Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa 40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables. C TY = T sen 40 TX = T cos 40
500
FX = F cos 40 FY = F sen 40
Σ FX = 0 FX - TX = 0
T 400
T
TY
F
0
40
0
40
M
500
TX
B
Fx
F cos 40 - T cos 40= 0 F -T =0 F = T Ecuación 1
A
400
FY
M
0
40
F
Σ FY = 0 TY + F Y – M = 0 TY + F Y = M T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2 Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2 T sen 40 + T sen 40 = 40 2 T sen 40 = 40 T =
40 20 = = 31,11 Kg - f 2 sen 40 sen 40
T = F = 31,11 Kg – f. 4.34 Alonso Finn Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa 40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables. TY = T sen 60 TX = T cos 60
T
TY
FX = F cos 30
600
Fx
TX
300
M
161 FY
F
FY = F sen 30
Σ FX = 0 FX - TX = 0 F cos 30 - T cos 60 = 0 0,866 F – 0,5 T = 0
Ecuación 1
300
Σ FY = 0 TY + F Y – M = 0 TY + F Y = M T sen 60 + F sen 30 = 40
F
600
0,866 T + 0,5 F = 40 Ecuación 2 300
Resolver las ecuaciones 1 y 2. 0,866 F – 0,5 T = 0 Ecuación 1 * (0.866) 0,866 T + 0,5 F = 40 Ecuación 2 * (0,5)
0
60
T
300
300
A
0,75 F – 0,433 T = 0 0,433 T + 0,25 F = 40
M
0,75 F + 0,25 F = 40 F = 40 Kg – f. Reemplazar en la ecuación 1 0,866 F – 0,5 T = 0 Ecuación 1 0,866 * 40 – 0,5 T = 0 34,64 – 0,5 T = 0 0,5 T = 34,64 T =
34,64 = 69,28 Kg - f 0,5
4.45 Alonso Finn Calcular el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema mostrado en la figura 4 – 39, en la cual A pesa 100 kg-f. y Q = 10 kg-f. El plano y las poleas son lisas. La cuerda AC es horizontal y la cuerda AB es paralela al plano. Calcular también la reacción del plano sobre el plano A. (Normal N) Bloque C Σ FY = 0 T1 – Q = 0 pero: Q = 10 kg-f. T1 = Q = 10 kg-f. Ecuación 1 Bloque A T1X = T1 cos 30 T1Y = T1 sen 30
T2 T1
T1
C
T2
300
Q = 10 kg-f
T2
P
T1
AX = A sen 30
B
A = 100 kg-f
162
AY = A cos 30
Σ FX = 0 T2 – T1X - AX = 0 T2 – T1 cos 30 - A sen 30 = 0
Bloque A T2
N
Ecuación 2
T1
T2 = T1 cos 30 + A sen 30 pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f.
T1Y
300
T2 = 10 cos 30 + 100 sen 30 T2 = 8,66 + 50 T2 = 58,66 kg-f.
T1X
AY 0
A
30
AX
Σ FY = 0 N – AY + T1Y = 0 N – A cos 30 + T1 sen 30 = 0
Bloque C
pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f. N – 100 cos 30 + 10 sen 30 = 0 N – 86,6 + 5 = 0 N – 81,6 = 0 N = 81,6 kg-f
T1
Bloque B T2
Q
P
Bloque B Σ FY = 0 T2 – P = 0 Ecuación 2 T2 = P pero: T2 = 58,66 kg-f. P = 58,66 kg-f. 4.48 Alonso Finn Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado en la figura 4-42. Calcular las reacciones de las superficies sobre las esferas. Demostrar que cada esfera se encuentra independientemente en equilibrio. Esfera 2 ESFERA 2 Esfera 1 FY = F sen 20 FX = F cos 20 F1Y = F1 sen 45 F1X = F1 cos 45
F3
Σ FX = 0 FX – F1X = 0 F cos 20 - F1 cos 45 = 0 F1 cos 45 = F cos 20 F cos 20 F1 = = 1,33 F cos 45
200
F
F1 450
F2
163
F1 = 1,33 F
Ecuación 1
Esfera 1 F2
Σ FY = 0 F1Y + FY – W = 0
FX
F1 sen 45 + F sen 20 – W = 0 F1 sen 45 + F sen 20 = W
FY
Esfera 2 F1
F = 0,77 W
450
FY
200
F1X F1X Ecuación 2
W
FX
Pero: F = 0,77 W
- (0,77 W) * cos 20 = 0 - (0,77 W) * 0,9396 = 0 - 0,723 W = 0 = 0,723 W
Σ FY = 0 F 2 - FY – W = 0 F2 + F sen 20 – W = 0 F2 F2 F2 F2 F2
F
F1Y
ESFERA 1 FY = F sen 20 FX = F cos 20
F3 F3 F3 F3
F3 W
W = 0,77 W 1,2824
Σ FX = 0 F 3 - FX = 0 F3 - F cos 20 = 0
20
F
Pero: F1 = 1,33 F (1,33 F) * sen 45 + F sen 20 = W (1,33 F) * 0,7071 + F 0,342 = W 0,9404 F + 0,342 F = W 1,2824 F = w F =
0
Pero: F = 0,77 W
+ (0,77 W) * sen 20 = W + (0,77 W) * 0,342 = W + 0,263 W = W = W - 0,263 W = 0,737 W
Se reemplaza en la ecuación 1 F1 = 1,33 F Ecuación 1 Pero: F = 0,77 W F1 = 1,33 * (0,77 W) F1 = 1,024 W F1 = 1,024 W
F2 = 0,737 W
F3 = 0,723 W
4.47 Alonso Finn Una varilla de masa de 6 kg. y longitud 0,8 metros esta colocada sobre un ángulo recto liso como se muestra en la figura 4-41. Determinar la posición de equilibrio y las fuerzas de reacción como una función del ángulo δ.
164
T2Y = T2 sen δ T2X = T2 cos δ Pero: sen (90 - δ) = cos δ T1Y = T1 sen (90 - δ) T1Y = T1 cos δ
δ
Pero: cos (90 - δ) = sen δ T1X = T1 cos (90 - δ) T1X = T1 sen δ
Σ FX = 0 T2X – T1X = 0 T2 cos δ - T1 sen δ = 0
T2
φ
δ
φ W
Ecuación 1 90 - δ
T1
δ
90 - δ
Σ FY = 0 T1Y + T2Y – W = 0 T1 cos δ + T2 sen δ – W = 0 T1 cos δ + T2 sen δ = W Ecuación 2 Resolviendo las ecuaciones T2 cos δ - T1 sen δ = 0 * cos δ T1 cos δ + T2 sen δ = W * sen δ
Ecuación 1 Ecuación 2
T2 cos2 δ - T1 sen δ * cos δ = 0 T1 cos δ * sen δ + T2 sen2 δ = W sen δ T2 cos2 δ + T2 sen2 δ = W sen δ T2 (cos2 δ + sen2 δ) = W sen δ Pero: (cos2 δ + sen2 δ) = 1 T2 = W sen δ Reemplazando en la ecuacion 2 T1 cos δ + T2 sen δ = W Ecuación 2 T1 cos δ + (W sen δ) * sen δ = W T1 cos δ + W sen2 δ = W T1 cos δ = W - W sen2 δ T1 cos δ = W (1 - sen2 δ) Pero: (1 - sen2 δ) = cos2 δ 2 T1 cos δ = W cos δ T1 =
T2
T1
T1Y 90 - δ
δ
T1X
T2Y
T2X W
W cos 2 δ = W cos δ cos δ
T1 = W cos δ
165
166
