Problemas Primera Semana EP II
1. Una fábrica fábrica de componentes componentes electrónic electrónicos os sabe, por el número número de equipos equipos que reparan reparan en periodo de garantía, que de cada 1000 equipos que pasan los controles de calidad y se ponen en el mercado, 12 1 2 de ellos sufrirán un fallo en las 100 primeras horas de ida. ida. !a empr empres esaa se plan plante teaa afro afront ntar ar un proc proces eso o de cert certif ific icac ació ión n por por el que que la enti entida dad d certificadora e"aminará un lote de 200 equipos. a# $%uál $%uál es el número número medio medio de equipos equipos defectuo defectuosos sos que se an a encontr encontrar ar en el lote e"aminado& b# $'u( probabilidad hay ha y de que en el lote apare)can apare)ca n 0 equipos defectuosos& defectu osos& c# $'u( $'u( probabili probabilidad dad hay de que apare)c apare)can an más de * equipos equipos defectuo defectuosos& sos& d# +i tomásem tomásemos os infinitos infinitos lotes lotes de 200 equipos, equipos, $qu( número número de equipos equipos defectuo defectuosos sos tendría tendrían n el 10 de los lotes con menos menos equipos equipos defectuoso defectuosos& s& - $qu( número número de equipos defectuosos tendrían el 10 con más equipos defectuosos& 2. Un sericio sericio t(cnico t(cnico de una una empresa empresa de telecomunic telecomunicaciones aciones atiende atiende fallos fallos proocados proocados en antenas de telefonía por descargas el(ctricas causadas por tormentas. l número de incidencias mensuales sigue una distribución de /oisson con media de 2,* incidencias al mes. a# epre epresen senta tarr gráfic gráficam ament entee un diagram diagramaa de barras barras con la proba probabil bilid idad ad de 0 a 10 incidencias en un mes. b# $'u( probabilidad hay ha y de que haya menos de * incidencias incid encias en un mes& c# $'u( número número de incidencias incidencias sufrirán como má"imo má"imo el 0 de los meses& meses& d# $'u( probabilida probabilidad d hay de que sufran sufran entre 1 y incidencias incidencias en un mes& mes& . 3tra 3tra forma de entender entender el e4ercici e4ercicio o anterior anterior es modeli)ar modeli)ar el tiempo tiempo entre inciden incidencias cias consec consecuti utias as.. l tiemp tiempo o entre entre inci inciden denci cias as conse consecut cuti ias as sigue sigue una una distr distribu ibuci ción ón e"ponencial de media 12 días. 3 lo que es lo mismo en 0 días tendrán lugar, por t(rmino medio, 2,* incidencias. a# $'u( probabilida probabilidad d hay de que se produ)can produ)can dos incidencias incidencias en en el mismo mismo día& día& b# $'u( probabilidad pro babilidad hay de que el tiempo entre en tre incidencias inc idencias consecutias sea superior a un mes& c# l tiempo tiempo entre incidencias incidencias que delimitar delimitaráá el * de las las que se producirán, producirán, $entre $entre 0 y cuántos días& d# +i despreciamos despreciamos el * de las las incidencias incidencias con tiempo tiempo entre entre ellas inferior, inferior, $a partir de qu( instante de tiempo se producen el * de las incidencias restantes& 5. Una empresa empresa fabric fabricaa fuentes fuentes de alimentaci alimentación ón de *0 6. +e ha obserado obserado que el dise7o dise7o usado para fabricar estas fuentes de alimentación da como resultado que la potencia final de las unidades fabricadas sigue una distribución normal de media *0 6 y desiación típica típ ica 1,8 6. a# $'u( $'u( porcenta4 porcenta4ee de fuentes fuentes fabricada fabricadass generarán generarán alores alores fuera fuera del rango *0 *0 9 1,8 6& b# $'u( porcenta4e de fuentes fabricadas generarán alores fuera del rango *0 9 5,: 6& c# +i se decid decidee retirar retirar el 10 de fuente fuentess que más poten potencia cia gener generan an y el 10 que menos generan, $entre qu( alores habría que fi4ar los límites de potencia& d# $'u( $'u( porcenta4 porcenta4ee de fuentes fuentes producir producirán án *0 6&, $qu( $qu( produ)can produ)can *0,0 *0,0 6& y que produ)can e"actamente e"acta mente *0 6.
*. Una fábrica produce artículos defectuosos con una probabilidad del *. $%uántos tornillos habría que inspeccionar para tener al menos un : de seguridad de que la frecuencia relatia de tornillos defectuosos f D diste de 0,0* en menos de 0,02& %ontestar a la pregunta anterior si la probabilidad real de 0,0* es desconocida. 8. +upóngase que el número de llamadas telefónicas que recibe una operadora desde las ;00 horas hasta las ;0* horas sigue una distribución de /oisson con λ < 5. =allar; a# /robabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada al día siguiente en ese interalo de tiempo. b# /robabilidad de que en los dos pró"imos días la operadora reciba un total de llamadas en ese interalo de tiempo. >. Un almac(n suministra un determinado tipo de grúa. l número de pedidos por día se a4usta a una distribución de /oisson con parámetro λ < 2. ?res de estas grúas por lo general se tienen disponibles en el almac(n. +i se piden más de tres, el comprador debe despla)arse a una distancia considerable hasta una empresa de ingeniería. a# n un día cualquiera, $cuál es la probabilidad de que se realice un ia4e a la empresa de ingeniería& b# $%uál es el número medio de pedidos por día& c# $%uántas grúas de repuesto deben permanecer en el almac(n para despachar a los compradores el 0 de las eces& d# $%uál es el número medio de compradores atendidos diariamente en el almac(n& e# $%uál es el número esperado de eces que el comprador reali)ará el ia4e a la empresa de ingeniería& :. Un lote de 10 motores el(ctricos se debe recha)ar totalmente o ender, según el resultado de la siguiente operación; se escogen dos motores al a)ar sin sustitución y se inspeccionan. +i uno o más son defectuosos, el lote se recha)a@ en otro caso es aceptado. +upongamos que cada uno de los motores cuesta >*A y se ende por 100A. +i el lote contiene un motor defectuoso, $cuál es beneficio neto esperado del fabricante& . +e sabe que la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por parte de una empresa te"til tiene distribución uniforme y no supera la tonelada. Beterminar para dicho periodo de tiempo; a# /robabilidad de que la cantidad demandada no supere los 00 Cg. b# /robabilidad de que la cantidad demandada est( comprendida entre :00 y 00 Cg. c# !a demanda esperada. 10. Una empresa tiene una función de costes que iene dada por % < 100000 D 2 X . n el mercado ende cada unidad a * euros y la demanda X del citado artículo tiene una distribución uniforme entre 2*000 y 0000 unidades. $%uál será el beneficio esperado& 11. +e supone que el número de accidentes por semana que ocurren en una fábrica sigue una distribución de /oisson, con parámetro λ < 2. +e pide; a# /robabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente. b# /robabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran accidentes en tres semanas distintas@ esto es un accidente por semana.
c# /robabilidad de que en una semana haya más de accidentes. 12. Un instrumento electrónico está formado por tres componentes. Bos formas posibles de disponer estas componentes son; i# en serie, ii# en paralelo. +i los tiempos de fallo de cada componente son independientes y siguen una distribución e"ponencial con función de densidad; f Et # < 0,01eF0,01t , se desea saber; a# /robabilidad de que el instrumento funcione despu(s de *0 horas en el caso del arreglo en serie. b# +i el sistema no ha fallado durante 20 horas, $cuál es la probabilidad de que falle en las 0 horas siguientes& 1. %alcular la probabilidad de reali)ar cierto tipo de e"perimento con ("ito, si se sabe que si se repite 15 eces es igual de probable obtener 2 ("itos como tambi(n . 15. Un equipo se sire con > tornillos para ser montados por el cliente, pero el equipo solo necesita 5 para funcionar. +i la proporción de tornillos defectuosos es del 10, $%uál es la probabilidad de que un equipo pueda montarse& $%uál es la probabilidad de que si compramos equipos no podamos hacer funcionar ninguno, por culpa de los tornillos& E!os tornillos de un equipo no siren para el otro#. 1*. +e sabe que el 1 de los artículos importados de un cierto país tienen algún defecto. +i tomamos una muestra de tama7o 0 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto. 18. !os accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de /oisson de λ
=
0,5
parámetro . %alcular las probabilidades; a# de que en un determinado día se produ)can dos@ a lo sumo dos@ por lo menos dos accidentes. b# de que haya 5 accidentes en una semana. c# de que haya un accidente hoy y ninguno ma7ana. 1>. Un cierto componente electrónico sigue una distribución /oisson de parámetro λ < 0,00*, a# =allar E X # y GarE X #. b# /E X H *00#. 1:. +i el 0.: de los fusibles depositados en un lote están defectuosos, use la apro"imación de /oisson para estimar la probabilidad de que cuatro fusibles est(n defectuosos en una muestra aleatoria de 500. 1. l número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radiactia es una ariable aleatoria que sigue la distribución de /oisson con λ < *.:. +i un detector de4a de operar cuando hay más de 12 rayos por segundo, $%uál es la probabilidad de que este instrumento de4e de funcionar durante un segundo cualquiera& 20. ntre los 18 colectores solares en e"hibición en una feria comercial, son planos y los otros son curos. +i una persona que ista la feria selecciona aleatoriamente cuatro para e"aminarlos, $cuál es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores planos&
21. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de acumuladores de cada lote de 25 que están listos para ser embarcados. +i un lote contiene seis acumuladores con defectos ligeros, $cuáles son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga a# Iinguno de los acumuladores con defectos b# +olamente uno de los acumuladores defectuoso c# Jl menos dos de los acumuladores con defectos lees 22. n 1* e"perimentos que estudian las características el(ctricas de celdas fotoel(ctricas, 11 usan microelectrodos de metal y los otros 5 emplean microelectrodos de idrio. +i dos de los e"perimentos, elegidos al a)ar, son cancelados por ra)ones financieras, $cuáles son las probabilidades de que a# Iinguno de los dos e"perimentos utili)ase microelectrodos de idrio@ b# +olamente uno de los que empleaban microelectrodos de idrio fue cancelado@ c# Jmbos e"perimentos cancelados utili)aban microelectrodos de idrio. 2. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene * defectuosas. +i tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utili)ando a# !a fórmula para la distribución hipergeom(trica@ b# !a fórmula de la distribución binomial como una apro"imación. 25. Una empresa recibe un lote de 100 componentes, de los cuales * son defectuosos. +uponga que la empresa acepta todos los 100 componentes si ningún defectuoso es encontrado en un lote de 10 componentes aleatoriamente seleccionados para inspección. Betermine la probabilidad de este lote pueda ser aceptado. 2*. Un procesador de alimentos debe enasar su caf( instantáneo en frascos de 500 g, y para ello considera que la operación de llenado está funcionando adecuadamente si el peso medio de cada frasco es de 50* g y la desiación estándar de 1 g. $Jpro"imadamente cuántos frascos contienen menos de 500 g& 28. Un taller de mecánica acepta una orden por 10000 ruedas de 2 pulgadas de diámetro. !as especificaciones de tama7o del producto podrán ser mantenidas solo si el diámetro medio es de 2 pulgadas y la desiación estándar es muy peque7a. n este caso, $cuál es el margen de tolerancia permitido para la desiación estándar& 2>. Una compa7ía que fabrica latas informa que el número medio de descomposturas por turno de : horas en su línea de ensambla4e operada por máquinas es de 1,*. +uponga que la probabilidad de una descompostura es constante para todos los turnos. a# $'u( probabilidad hay que ocurran e"actamente dos descomposturas durante el turno de la medianoche& b# $'u( probabilidad hay de que ocurran menos de dos descomposturas durante el turno de la tarde& c# $'u( probabilidad hay de que no ocurra alguna descompostura durante tres turnos consecutios de ocho horas cada uno& Esuponga que la máquina opera independientemente de un turno al siguiente.# 2:.
