Problemas de sedimentacion PROBLEMA 11-1.- Una esfera sólida, de diámetro 0,006 m y densidad 1.800 kg/m3, sedimenta en un líquido de densidad 1.000 kg/m3 y viscosidad 0,7 cp. a) Suponer que la esfera sedimenta en régimen de Stokes. Calcular su velocidad de sedimentación. Vericar si el resultado corresponde al rango de validez de este régimen. b) Suponer ahora que la esfera sedimenta en el régimen de transición: Reper como en (a). c) Suponer ahora que la esfera sedimenta en régimen de Newton: Reper como en (a). Solución: a) Se aplica la ec. (9) para régimen de Stokes. Reemplazando los datos se obene para la velocidad de sedimentación: wSt = 22,4 m/s. Para vericar la validez del cálculo anterior, se calcula el número de Reynolds mediante (8). Se obene Re = 1,92 x 105. Como la fórmula de Stokes es válida sólo para Re < 1, el resultado es totalmente inválido. b) En la misma forma, se calcula la velocidad de sedimentación w mediante la ec. (11), obteniéndose w = 0,835 m/s, que conduce a Re = 7,16 x 103.Como el rango de validez del régimen de transición está entre Re = 1 y Re = 1.000, el resultado nuevamente es inválido. c) En la misma forma, se calcula ahora con ec. (13), obteniéndose w = 0,396 m/s. El número de Reynolds es 3,39 x 103, que está dentro de su rango de validez, según ec. (12): 103 < Re < 105. Por lo tanto, éste es el resultado correcto. PROBLEMA 11-2.- Considerar la sedimentación de parculas esféricas de tamaño 0,5 mm y densidad 1030 kg/m3, que caen en un líquido de densidad 1000 kg/m3 y viscosidad 1,5 cp. a) Calcular la velocidad de sedimentación, suponiendo que es régimen de Stokes y vericando este supuesto. b) Suponer que la parcula inicia su movimiento parendo del reposo. Esmar el empo t1 necesario para alcanzar el 90% de la velocidad de sedimentación, en base al supuesto simplicatorio que, en cada instante, la fuerza de resistencia toma el valor dado por la solución de Stokes para régimen estacionario.
Solución: a) Al suponerse régimen de Stokes, la velocidad de sedimentación se calcula mediante ec. (9): wSt = *pic+ = *pic+ = 0,00272 m/s
Vericación de que este resultado corresponde a régimen de Stokes: Se calcula Re: Re = *pic+ = *pic+ = 0,907 Como este valor es < 1, efecvamente la parcula sedimenta en régimen de Stokes. b) Período de aceleración desde velocidad cero hasta wSt: Se pide una solución aproximada en base a la solución analíca de Stokes para ujo estacionario, dada por ec. (7): FD = 3 ( ( d V. NOTAR: Al aplicar esta fórmula a una velocidad V(t) que varía con el empo, se está extrapolando un resultado sin juscación válida. De hecho, la aceleración de la parcula implica que el uido que la rodea también experimenta aceleración, y esto se traduce en un término adicional en la ecuación, término que, en este problema, no estamos considerando. Con la hipótesis indicada, se aplica la ecuación (5): ( F = (masa de la esfera) (aceleración). Se ene entonces: ( F = W - E - FD = (s (( d3/6) (dV/dt) en que las fuerzas están dadas por ecuaciones (7) y (4): FD = 3 ( ( d V (solución de Stokes); W = (s g (( d3/6) (peso); E = ( g (( d3/6) (empuje) *pic+ Reemplazando y reordenando, se obene la ecuación diferencial: dV/dt = *pic+ = a - b V (para abreviar la escritura) Se integra con la condición inicial: t = 0: V = 0, y se determina t = t1 tal que V = 0,9 wSt. La integral es: t1 = *pic+*pic+ Reemplazando los datos, se obene: a = 0,2854 m/s2; b = 104,9 s -1; t1 = 0,022 s PROBLEMA 11-3.- La medición de la velocidad de sedimentación de una esfera puede ulizarse para determinar experimentalmente la viscosidad de un líquido, bajo ciertas condiciones, en la forma siguiente:
a) Calcular la viscosidad del líquido A (densidad 980 kg/m3) si una esfera de 4 mm de diámetro y densidad 1120 kg/m3 sedimenta en él con velocidad 0,9 cm/s. b) Calcular la viscosidad del líquido B (densidad 1045 kg/m3) si una esfera de 8 mm de diámetro y densidad 1200 kg/m3 sedimenta en él con velocidad 9 cm/s.. c) Explique por qué no se puede aplicar este método en régimen de Newton. Solución: a) Se postula régimen de Stokes, con lo cual se aplica ec. (9) y se calcula (: ( = ((s - () g d2 / 18 wA = (1120 - 980) (9,8) (0,0042) / *(18) (0,009)+ = 0,1355 Pa-s. Se verica que el régimen de Stokes es válido, calculando Re: Re = ( wA d / ( = (980) (0,009) (0,004) / (0,1355) = 0,260 Como Re < 1, el régimen es efecvamente de Stokes. b) Se postula régimen de transición. Se aplica ec. (11) con wB conocido y se resuelve para calcular la viscosidad (. Se obene: ( = 0,01716 Pa -s. Se verica que el régimen de transición es válido, calculando Re: Re = ( wB d / ( = (1045) (0,09) (0,008) / (0,01716) = 43,8 Como se cumple 1 < 43,8 < 1000, el régimen es efecvamente de transición. NOTAR: La fórmula de Stokes se cumple con mucha precisión, por lo cual la medición en la parte (a) es muy conable. La fórmula de transición es bastante menos precisa y puede involucrar un error considerable, por lo cual es deseable en la prácca no ulizar el método de medición para este rango de valores.
PROBLEMA 11-4.- Una esfera de acero, de diámetro 0,5 cm, densidad 7800 kg/m3 y calor especíco 460 J/(kg K), está a temperatura 150ºC. Se la enfría haciendo pasar una corriente de aire a 15ºC con velocidad 12 m/s. Calcular el empo necesario para que se enfríe hasta 140ºC, suponiendo que el ujo de calor se manene constante durante el período; considerar que la esfera se manene a la temperatura promedio del intervalo.
Solución. Para el intervalo en que varía la temperatura de la esfera, 150 -140ºC, se toma el promedio Tw = 145ºC, como se indica en el enunciado. Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura del lm Tf que es el promedio entre la temperatura en la pared de la esfera y la temperatura en el innito: Tf = (Tw T( )/2 = 80ºC. De la Tabla de Propiedades para aire a 80ºC se lee: ( = 1,00 kg/m3; ( = 20,91 x 10-6 Pa-s; Pr = 0,705; k = 29,89 x 10 -3 W/(m K). Con esto se calcula el número de Reynolds: Re = *pic+ = *pic+ = 2869 Se aplica la correlación indicada para el caso de la esfera, ec. (14): Nu = h d /kf = 2,0 0,60 Ref0,53 Prf1/3 = 2,0 (0,60) (2869)0,53 (0,705)1/3 = 38,3 De aquí se calcula el coeciente de transferencia de calor: h = 229,0 W/(m2 K) El ujo total de calor de la esfera al aire es: Qw = h Aw (Tw - T(), donde Aw = ( d2. Qw = (229,0) ( (0,005)2 (145 - 15) = 2,337 W Suponiendo que este ujo promedio de calor se manene durante un intervalo (t, la candad de calor que pierde la esfera es: Qw (t = (s (( d3/6) cps (T donde cps es el calor especíco del sólido. Se obene: (t = (7800) ( (0,0053/6) (460) (10) / 2,337 = 1,006 s. PROBLEMA 11-5.- Gotas esféricas de agua (de diámetro 3 mm y temperatura 20ºC) sedimentan en una atmósfera de aire a 60ºC y presión atmosférica. Calcular el incremento de temperatura que experimenta cada gota durante un período de empo de 2 s, suponiendo que la gota cae con su velocidad de sedimentación y el ujo de calor calculado para las condiciones iniciales se manene durante los 2 s de calentamiento. Solución: a) Calcular la velocidad de sedimentación, en la forma establecida. Postular régimen de Newton, con las propiedades del aire evaluadas a la
temperatura del lm (o película) Tf: Tf = (Tw T()/2 = (20 60)/2 = 40ºC. De la Tabla de Propiedades para aire a 40ºC se lee: ( = 1,128 kg/m3; ( = 19,11 x 10-6 Pa-s; Pr = 0,709; k = 27,09 x 10 -3 W/(m K). Se aplica ec. (13) y se obene: w = 9,31 m/s. Se verica el resultado, calculando Re = 1648. Este valor está dentro del rango de validez del régimen de Newton, ec. (12) y, por lo tanto, el resultado es correcto. b) Calcular la candad de calor transferido desde el aire a la gota durante 2 segundos. Se calcula el ujo de calor en la supercie de la esfera, según ec. (14). Con las propiedades a la temperatura Tf y con el valor de Re ya calculado, se obene: Nu = 29,1. hw = Nu kf / d = 262,8 W/(m2 K) Qw = hw ( d2 (T( - Tw) = 0,297 W. Se iguala la candad de calor transferido durante 2 segundos con la candad de calor que recibe la gota: Qw (t = (masa de la gota) (calor especíco del agua) (aumento de temperatura) Qw (t = (( ( d3 / 6) (cp) ((T) Reemplazando valores se obene: (T = 10,1ºC. PROBLEMA 11-6.- Una gota esférica de agua A, de diámetro 5 mm, sedimenta en aire B a 10ºC. Se supone el aire en reposo. La fracción molar de equilibro del vapor en la supercie de la gota es 0,14; la fracción molar del vapor lejos de la gota es 0,05. Ulizar en los cálculos las propiedades del aire según la Tabla de Propiedades. La difusividad del vapor de agua en aire es DAB = 2,5 x 10-5 m2/s. La concentración molar total de la atmósfera es 0,045 kmol/m3. El peso molecular del agua es 18. a) Calcular el ujo molar total de vapor en la supercie de la gota. b) Calcular el intervalo de empo necesario para que el diámetro de la gota se reduzca a 4,8 mm, suponiendo que el ujo molar calculado en (a) se manene durante este intervalo. NOTA: Aunque el aire se supone en reposo, la gota cae con su velocidad de sedimentación, lo que hace inaplicable el modelo de difusión a través de una capa de gas en reposo.
Solución: 1) Calcular la velocidad de sedimentación. Se postula que la gota sedimenta en régimen de Newton. Con ec. (13) se calcula w = 11,44 m/s, con las propiedades del aire a 10ºC. Se verica la validez de la hipótesis, calculando Rew = 4030, que sasface el rango de validez de la solución según ecn. (12). Por lo tanto, el valor de w es correcto. 2) Calcular el coeciente de transferencia de masa en la supercie de la gota, según ec. (15). Se obene: Sh = 42,5. Con la denición Sh = (kLy d)/(c DAB), según ec. (4) del formulario "Coeciente de Transferencia de Masa", se obene: kLy = 9,56 x 10 -3 kmol/(m2 s). 3) Calcular el ujo de vapor en la supercie de la esfera. Con la ec. (1) del mismo formulario, y con la indicación NB0 = 0, se obene NA0 = 0,00100 kmol/(m2 s). 4) Calcular el volumen de agua evaporada por segundo. Del ujo molar especíco calculado antes se obene el ujo molar total evaporado desde la esfera: *pic+ = NA0 ( d2 = 7,85 x 10 -5 kmol/s Este valor se convierte a ujo másico mulplicando por el peso molecular 18 (kg/kmol), y se convierte a ujo volumétrico dividiendo por la densidad del agua (líquida), de modo de obtener la pérdida de volumen por evaporación que experimenta la gota. Se obene FV = 1,413 x 10 -9 m3/s. 5) Calcular el empo para reducir el diámetro de 5 a 4,8 mm: la pérdida de volumen es: (V = (( di3 /6) - (( df3 /6) en que di = 5 mm; df = 4,8 mm. Resulta: (V = 7,544 x 10-9 m3 Con FV (t = (V, se obene (t = 5,34 s.
