PROBLEMAS REOLOGÍA Dr. Albert Ibarz Departamento Tecnología Alimentos Universitat de Lleida
Problema 1 Se ha determinado el comportamiento al flujo de un zumo clarificado de kiwi de 47,3°Brix, que posee cierto contenido en pectinas; obteniéndose que el mejor modelo que describe dicho comportamiento es la ecuación de la potencia. Las constantes reológicas obtenidas, a distintas temperaturas, se indican en la tabla adjunta
a).- Determinar la energía energía de activación activación al flujo en kJ/mol. kJ/mol. b).- Estimar Estimar qué viscosida viscosidad d aparente aparente presen presenta ta un zumo de kiwi de 47,3ºBrix a 37ºC, para un gradiente de velocidad de 100 s -1.
Problema 1 T (°C) 4 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
k (mPa.sn) 2780 2287 1740 1247 1146 859 678 654 557 515 467 404 402
n 0,68 0,68 0,68 0,71 0,68 0,71 0,73 0,71 0,73 0,73 0,74 0,75 0,74
Problema 1 DATOS Tabla adjunta Zumo clarificado kiwi 47,3ºBrix Ley de la potencia
σ =
n
k (γ &)
Obtener Ea;
Viscosidad a 37ºC, 100 s-1
Problema 1 Ecuación de Arrhenius Se representa ln k & 1/T
E a = exp k K 0 RT
ln k
Pendiente Ea/R
ln K0
1/T
Problema 1 Ecuación de Arrhenius Resultado del ajuste
E k = K 0 exp a RT
Ordenada en el origen
ln K 0 = -3,3524
Pendiente
Ea/R = 3097 K
K0 = 3,5x10-2 mP·sn Ea = 25,75 kJ/mol
Problema 1 Viscosidad aparente η a
n −1
η a =k (γ &)
E a n −1 (γ & ) = K 0 exp R T
Para 37ºC n = 0,72 η a
3097 (100 0, 72−1 ) = 210 mPa·s 310
= (3,5 × 10 − 2 )exp
Problema 2 Las industrias que procesan zumos clarificados y despectinizados suelen concentrarlos hasta contenidos en sólidos solubles cercanos a 70ºBrix, en un sistema de evaporación múltiple. El zumo abandona la etapa de evaporación a 60ºC, y debe ser enfriado hasta la temperatura de almacenamiento de 5ºC, para lo que se utiliza un intercambiador de calor de placas, seguido de una de configuración en espiral. El intercambiador de placas únicamente permite el paso de fluidos cuya viscosidad sea inferior a 1500 mPa.s. La variación de la viscosidad con la temperatura, para un zumo clarificado y despectinizado de melocotón de 69ºBrix puede expresarse mediante la ecuación: η = 7,76.10-11 exp(6690/T) en la que h es la viscosidad en Pa.s, y T la temperatura absoluta. a).- Calcular la energía de activación al flujo. b).- ¿Cuál sería la temperatura mínima a la que podría enfriarse un zumo de 69 °Brix, utilizando el intercambiador de placas?.
Problema 2 DATOS
Zumo clarificado melocotón 69ºBrix
6690 η = 7,76·10 exp T Viscosidad de trabajo de un Intercambiador de calor de placas 1500 mPa·s −11
Obtener Ea;
Temperatura mínima operación
Problema 2 Ec. Arrhenius
E a RT
η = K 0 exp
η =
6690 T
7,76·10 −11 exp
Ea/R = 6690 K R = 8,314x10 -3 kJ·mol-1·K-1
Ea = 55,62 kJ/mol
Problema 2 Viscosidad máxima permitida η = 1500 mPa·s = 1,5 Pa·s
6690 T
1,5 = 7,76·10−11exp
T = 282,5 K = 9,5 ºC
Problema 3 Se ha estudiado la influencia del contenido en sólidos solubles sobre el comportamiento reológico de un zumo clarificado y despectinizado de pera. Para ello, se ha tomado un zumo concentrado industrial de 70ºBrix y, mediante dilución con agua destilada, se han obtenido zumos en el intervalo de concentraciones de 30 a 70ºBrix. Se ha encontrado que a 25ºC todos ellos presentan un comportamiento newtoniano, obteniéndose las siguientes viscosidades de cada muestra: C
(ºC)
30
40
45
50
55
60
65
70
η
(mPa·s)
3
5
8
13
19
41
74
233
Obtener una expresión que describa la influencia del contenido en sólidos solubles sobre la viscosidad.
Problema 3 En una de las etapas de un proceso industrial debe circular un zumo de pera a través de una conducción, disponiéndose de una bomba centrífuga que puede impulsar fluidos que posean como máximo una viscosidad de 100 mPa·s. ¿Serviría esta bomba para hacer circular un zumo de 68°Brix a 25ºC?. ¿Qué concentración máxima puede hacer circular esta bomba?.
Problema 3 DATOS C
Zumo clarificado 30 a 70ºBrix Temperatura medición 25ºC
(ºC)
30
40
45
50
55
60
65
70
η (mPa·s)
3
5
8
13
19
41
74
233
Existe bomba con viscosidad máxima 100 mPa·s ¿Sirve la bomba con zumos 60ºBrix y 25ºC?
Concentración máxima a 25ºC
Problema 3 Variación de la viscosidad con el contenido en sólidos solubles η =
K 1 exp(a1 C )
lnη =ln K 1 + a1 C
η =
a2
K 2 (C )
lnη =ln K 2 + a 2 ln C
Ec. (1)
Ec. (2)
Problema 3 Ajuste de los datos a la Ecuaciones (1) y (2)
lnη =ln K 1 + a1 C
η = 7,9 × 10
−5
lnη =ln K 2 + a 2 ln C
exp(0,106 C )
R2 = 0,975 Viscosidad en Pa·s
η =
4 ,89
9,1×10 −11(C )
R2 = 0,940 Concentración ºBrix
Problema 3 η = 7,9 × 10
−5
exp(0,106 C )
Para C = 68ºBrix η
= 106 mPa·s
La bomba no puede impulsar el zumo de 68ºBrix
Problema 3 η = 7,9 × 10
−5
exp(0,106 C )
Para η = 0,1 Pa·s C = 67,4 ºBrix
Problema 4 Se ha estudiado el comportamiento reológico al flujo de un zumo clarificado de frambuesa. Para ello, a partir de un zumo concentrado de 41°Brix, cuyo contenido en pectinas es 0,5 g de ácido galacturónico/kg de zumo, se han preparado, por dilución con agua destilada, distintas muestras hasta 15°Brix. El comportamiento reológico de estas muestras se ha estudiado en el intervalo de temperaturas de 5 a 60°C. Se ha obtenido que la ley de la potencia es el modelo que mejor describe dicho comportamiento, obteniéndose que el índice de consistencia y el índice de comportamiento al flujo varían con la temperatura y contenido en sólidos solubles según las expresiones:
4560 +0,196C T
k = 1,198·10 −10 exp
n = 1,123 − 8,52·×10 -3 C
en la que k viene expresada en Pa·s n , T en kelvin y C en °Brix.
Problema 4 ¿Cuál es el valor de la energía de activación al flujo, expresada en kcal/mol y kJ/mol?. Una industria que concentra zumos clarificados de frambuesa necesita conocer la viscosidad de un zumo de 27°Brix, que debe circular a 50°C a través de una conducción de acero inoxidable. Si el gradiente de velocidad que se ejerce sobre dicho zumo a lo largo de la conducción es 100 s-1 , ¿cuál es su viscosidad en mPa·s?.
Problema 4 DATOS
Zumo clarificado frambuesa C 15 – 41 ºBrix
T 5 - 60 ºC
4560 +0,196C T
k = 1,198·10 −10 exp
n = 1,123 − 8,52 × 10 −3 C η
en Pa·sn
C en Brix
T en K
Problema 4 Calcular
Energía de activación al flujo Zumo C = 27 ºBrix
T = 50 ºC a 100 s-1
Viscosidad del zumo
Problema 4
Energía de activación al flujo k = 1,198·10
−10
4560 +0,196C T
exp
Ea =
E k = K 1 exp a + K 2 C RT Ea = (4560 K)(8,314·10 -3 kJ/(mol.K))
4560· R
= 37,91 kJ/mol
Ea = (4560K) (1,987·10 -3 kcal/(mol.K))
= 9,06 kcal/mol
Problema 4 Zumo C = 27 ºBrix
T = 50 ºC = 323 K
4560 +0,196C = 32,2 mPa·s n T
k = 1,198·10 −10 exp
n = 1,123 − 8,52 × 10 − C = 0,893 3
( )n −1 = (32,2 mPa·s n )(100 s −1 )
ηa = k γ&
0 , 893−1
= 19,7 mPa·s
Problema 5 Para obtener los parámetros reológicos del comportamiento al flujo de un fluido no newtoniano, de densidad 1100 kg/m 3 , se ha utilizado un dispositivo con tubo capilar de 1,25 mm de diámetro interno y de 20 cm de longitud. Se han realizado diferentes experimentos, variando la presión aplicada en el tanque de muestra, habiendo obtenido diferentes caudales de circulación del fluido a través del tubo capilar para diferentes caídas de presión. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos.
(-∆ P) (kPa) q (L/h)
2300 1,2
1900 1,0
1300 0,75
850 0,49
300 0,23
50 0,06
Densidad del fluido: 1100 kg/m 3
Viscosímetro Capilar Problema 5 ∆P
1 h
L
-∆ P (kPa)
q (L/h)
2300
1,2
1900
1,02
1300
0,75
850
0,49
300
0,23
50
0,06
2
= 1100 kg/m3 d i = 1,25 mm L = 20 cm ρ
Viscosímetro Capilar Problema 5 (− ∆ P )
ˆ = g L + E f
σ W
=
v=
ρ
ˆ ρ d E f 4 L
4q 2
π d
Viscosímetro Capilar Problema 5 -∆ P (Pa)
q (m3 /s)
ˆ (J/kg) E f
v (m/s)
σ σW
(Pa)
8v / d (s-1)
2300000 3,33E-07
2092,87
0,272
3597,1
1738,40
1900000 2,78E-07
1729,23
0,226
2972,1
1448,66
1300000 2,08E-07
1183,78
0,170
2034,6
1086,50
850000
1,36E-07
774,69
0,111
1331,5
709,85
300000
6,39E-08
274,69
0,052
472,1
333,19
50000
1,67E-08
47,41
0,014
81,5
86,92
Viscosímetro Capilar Problema 5 3,5
n = n’ = 0,787
3,0 )
W
σ σ ( g o l
2,5 2,0
k = 2,525 Pa·sn
1,5 1,0
y = 0,787x + 0,4246
0,5
R2 = 0,9987
0,0 0
1
2
3
4
log (8v /d )
Problema 6 Una industria produce un puré de melocotón concentrado que desea bombearlo desde la salida del evaporador hasta su punto de envasado. Para determinar su comportamiento se utiliza un viscosímetro de cilindros concéntricos, cuyo rotor posee un radio de 5 cm, y una altura de 10 cm, mientras que el vaso posee un radio interno de 5,1 cm. El viscosímetro es de esfuerzo controlado, y se ha observado que el rotor no gira si el par de torsión aplicado es inferior a 0.05 N·m, mientras que si el par de torsión es de 1.0 N·m, el rotor gira a una velocidad de 10 rpm. Determinar la ecuación que describe el comportamiento al flujo de este derivado de melocotón.
Viscosímetro Cilindros Concéntricos
Problema 6 DATOS
Puré melocotón Viscosímetro cilindros concéntricos Rotor.
Ri = 5 cm
H = 10 cm
Copa: Re = 5 cm Par de torsión 0,05 N·m el rotor no gira
Par de torsión 1,0 N·m el rotor gira a 10 rpm
Obtener: Comportamiento al flujo
Problema 6 Par de torsión T = 0,05 N·m el rotor no gira Indica que existe un esfuerzo umbral σ 0
=
T 2 1
2π R L
=
0.05 N·m 2
2 π (0.05 m ) (0.1 m )
= 31.8 Pa
Problema 6 No se dispone de más datos y se supone comportamiento al flujo de Plástico de Bingham
σ = σ 0
+ η ' &
Problema 6 Cálculo: esfuerzo cortante velocidad de deformación σ =
&W γ
T 2 1
2π R L
=
=
2π R1 N R2 − R1
1.0 N·m 2
2 π (0.05 m ) (0.1 m )
10 -1 s 60 = 52.4 s -1
2 π (0.05 m )
=
= 636.6 Pa
0.05 - 0.051
Problema 6 Cálculo: Viscosidad plástica η '
=
σ − σ 0
& γ
=
(636.6 − 31.8) Pa 52.4 s
-1
= 11,5 Pa·s
Ecuación de comportamiento al flujo
σ =
31,8 + 11,5 &
σ σ en Pa·s
Problema 7 En un laboratorio se dispone de un viscosímetro que consta de un rotor de 2.9 cm de radio y de altura 4 cm, que se halla inmerso en un vaso cuyo radio es muy superior al del rotor. Este viscosímetro se utiliza para determinar las características reológicas de una pasta de tomate. Para ello, se varía la velocidad de giro del rotor midiendo el par de torsión creado, habiéndose obtenido los siguientes resultados:
N (rpm)
60
120
210
350
420
490
T · (N·m)
0.21
0.315
0.45
0.48
0.62
0.68
Viscosímetro Cilindros Concéntricos
Problema 7 DATOS
Pasta de tomate Viscosímetro cilindros concéntricos Rotor.
Ri = 2,9 cm
Copa:
Re >>>> Ri
H = 4 cm
N (rpm)
60
120
210
350
420
490
T (N·m)
0.21
0.315
0.45
0.48
0.62
0.68
Obtener: Comportamiento al flujo
Problema 7 Esfuerzo cortante σ W
=
T
2π R12 L
Velocidad de deformación
&W γ
= 4π N
d (log N ) d (log T )
Problema 7 10 y = 15,284x - 2,6893 R2 = 0,9732
8
) s (
1 -
6
N
4
d (log N )
2
d (log T )
= 15,28
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
T (N·m)
Problema 7 N
N
T
σ W
(rpm) 60 120 210 350 420 490
(s-1) 1,00 2,00 3,50 5,83 7,00 8,17
(N·m) 0,21 0,315 0,45 0,58 0,62 0,68
(Pa) 994 1490 2129 2744 2933 3217
& γ (s-1)
192 384 672 1120 1344 1569
Problema 7 4000 3500
) a P ( W
σ σ
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
500
1000
1500
2000 -1
γ γ (s )
Problema 7 Ajuste de datos
R2 = 0,996
Esfuerzo umbral
σ σ0 = 24,2 Pa
Índice consistencia
k = 55,8 Pa·sn
Índice comportamiento al flujo n = 0,551
σ =
0 , 551
24,2 + 55,8 (γ &)
