UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
MÉTODO SIMPLEX EN PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DEL TIPO DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO ” “
HÉCTOR AQUILES LLANOS VALENCIA JULIO 2013 CALLAO – PERÚ
ÍNDICE
Resumen……………………………………………………………………………………….…...2 Resumen……………………………………………………………………………………….…...2 Introducción……………………………………………………………………………………..…..3 Introducción……………………………………………………………………………………..…..3 1. Capítulo I…………………………………………………………………………………………4 I…………………………………………………………………………………………4 Marco Teórico 1.1. Red Dirigida………………………………………………………………………………..…..4 Dirigida ………………………………………………………………………………..…..4 1.1.1. Tipos de Red Dirigida……………………………………………………………………….4 Dirigida ……………………………………………………………………….4 Trayectoria……………………………………………………………………………………….…..4 Trayectoria……………………………………………………………………………………….…..4 Cadena………………………………………………………………………………………………..5 Cadena ………………………………………………………………………………………………..5 Circuito………………………………………………………………………………………………..5 Circuito………………………………………………………………………………………………..5 Ciclo……………………………………………………………………………………………..….…6 Ciclo……………………………………………………………………………………………..….…6 Árbol………………………………………………………………………………………………..…6 Árbol………………………………………………………………………………………………..…6 1.2. Espacio Vectorial Euclidiano n-dimensional……………………………………………..….6 n-dimensional ……………………………………………..….6 1.3. Combinación Lineal………………………………………………………………………...…..7 Lineal ………………………………………………………………………...…..7 1.4 Independencia Lineal………………………………………………………………………..….7 Lineal ………………………………………………………………………..….7 1.5 Matriz No Singular …………………………………………………………………………..…..7 …………………………………………………………………………..…..7 1.6 rango de una Matriz…………………………………………………………………………..…7 Matriz …………………………………………………………………………..…7 2. Capítulo II………………………………………………………………………………………….8 Flujo con Costo Mínimo 2.1. Introducción……………………………………………………………………………………..8 2.2. Definiciones……………………………………………………………………………………..8 2.2.1. Flujo……………………………………………………………………………………………8 2.2.2. Matriz de Incidencia Nodo- Arco…………… Nodo- Arco……………………………………… ………………………………………………8 ……………………8 2.2.3. Modelo General de un Problema de Flujo con Costo Mínimo…………………………..9 2.2.4. Árbol Generador……………………………………………………………………………..11 2.2.5. Rango de una Matriz de Incidencia Nodo- Arco…………… Nodo- Arco…………………………………… ……………………………..12 ……..12 2.2.6. Variable Artificial……………………………………………………………………………..13 Artifici al……………………………………………………………………………..13 2.2.7. Método de los Ciclos………………………………………………………..………………14 2.3. Solución Inicial Básica Factible………………………………………………………………16 2.4. Cálculo de los ………………………………………………………………………..21 2.5. Determinación de la Columna de Salida…………………………………………………....23
Conclusiones………………………………………………………………………………………..28 Bibliografía…………………………………………………………………………………………..29
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RESUMEN
A partir de la necesidad necesidad de transportarse cierto cierto recursos disponibles disponibles a través de un red, para satisfacer la demanda a un costo mínimo, nace el Problema de Flujo con Costo Mínimo (PFCM), en el presente trabajo se dará a entender que este tipo de problema es un tipo más de los Problemas de Programación Lineal y por tanto podrán ser resueltos mediante un algoritmo Simplex para Redes el cual podremos entenderlo como una especialización del Método Simplex Primal. Pues se requerirán de nuevas definiciones como Red Dirigida, Matriz de Incidencia, I ncidencia, Árbol Generador Enraizado, Enraizado, etc. Pudiendo concluir así, que el Método Simplex para Redes es bastante poderoso en la resolución de Problemas de Flujo con Costo mínimo.
ABSTRACT
From the need for certain resources transported through a network to meet the demand at minimum cost, the problem arises with Minimum Cost Flow (PFCM), in the present work given to understand that this type of problem is one more type of linear programming problems and therefore can be solved by simplex algorithm for network swhich we can understand as a specialization of the Primal Simplex method. As new definitions are required as Red Directed, Incidence matrix, Generator Rooted Tree, etc.. We can conclude thus that the Simplex Method for Networks is quite powerful in solving flow problems with minimum cost.
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INTRODUCCIÓN
Los problemas de programación lineal son modelos lineales que tiene por característica surgir con frecuencia de diferentes aspectos de la vida real y tener una representación natural mediante un modelo de red.
Los problemas en redes dirigidas que estudiaremos aquí, están relacionados con la existencia de un flujo a lo largo de los arcos de la r ed que generalmente generalmente se refiere al envío o circulación de unidades homogéneas de algún producto desde un nodo de origen hasta un nodo de destino, a través de nodos intermedios. Por lo tanto veremos aquí que los problemas de flujos en redes poseen una importante estructura especial que permite la simplificación del procedimiento simplex (primal) hasta un punto en el que se puede aplicar directamente a la red sin necesidad de un tableu simplex.
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CAPÍTULO I MARCO TEÓRICO
1.1.-RED DIRIGIDA
Diremos que una red dirigida
es el par
, donde:
; es un conjunto finito de nodos, es decir:
; es una relación binaria sobre que unen parejas de nodos en de arcos dirigidos (flechas), es decir:
. es un conjunto
Como podemos ver los elementos del conjunto , son arcos.
Sea el arco al nodo .
, diremos que es incidente con los nodos y , y que está dirigido del nodo
Por lo tanto una red dirigida, está compuesta por 2 entes:
Nodos, y Arcos Dirigidos.
1.1.1.-TIPOS DE RED DIRIGIDA a) Trayectoria: Es una sucesión de arcos con los que el nodo inicial de cada arco es el mismo que el nodo terminal del arco que le precede en la sucesión, es decir:
( )
es es una trayectoria. t rayectoria.
Gráficamente:
4
b) Cadena:
Es una estructura similar a una trayectoria con la particularidad que no todos los arcos están necesariamente dirigidos hacia el nodo . Es decir, donde el nodo inicial no necesariamente es el mismo que el nodo terminal del arco que le precede en la sucesión. Gráficamente:
c) Circuito:
Es una trayectoria con la característica que el nodo inicial la sucesión, es decir: También se puede definir como una trayectoria cerrada. Gráficamente:
5
sea igual al nodo terminal
de
d) Ciclo: Es una cadena cerrada. Claramente se puede notar que todo circuito es un ciclo. Gráficamente:
e) Árbol: Es una estructura donde existe una cadena que une a todos los nodos de a red sin formar ciclos. Gráficamente:
1.2.- ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEANO n-DIMENSIONAL Es un conjunto que se simboliza por secuencias finitas de números reales
¸
Aquí están definidas definidas dos operaciones: operaciones:
, cuyos
La adición, que a cada par de vectores vector: llamado suma de y , y
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elementos llamados vectores son
le hace corresponder un nuevo
∑
La multiplicación por un número real ya a cada vector corresponder corresponder un vector: llamado producto de por .
le hace
1.3.- COMBINACIÓN LINEAL Diremos que el vector , sí:
es una combinación lineal de los vectores
Donde
,
1.4.-INDEPENDENCIA LINEAL
Sean los vectores independientes
Implica que
. Diremos que estos vectores son linealmente
sí:
para
Si los vectores dependientes.
no son
se dicen que son linealmente
1.5.-MATRIZ NO SINGULAR
Diremos que una matriz matriz tal que:
, es no singular si tiene inversa, es decir, si existe una
y
Denotaremos a
Una condición para que la matriz de sean
tenga inversa es que sus columnas vistas como vectores
1.6.- RANGO DE UNA MATRIZ
Sea la matriz que tiene la matriz.
, definiremos al rango de
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como el número máximo de columnas
CAPÍTULO II FLUJO CON COSTO MÍNIMO
2.1.-INTRODUCCIÓN El algoritmo Simplex para redes puede ser entendido como una especialización del Método Simplex para la aplicación en problemas de programación lineal del tipo de Flujo de Costo Mínimo. El Simplex para redes, explora, por tanto, las características específicas de la red que ilustra el problema y se muestra extremadamente más eficiente que el método simplex. Esta mayor eficiencia del Simplex para Redes se dará por el menor número de iteraciones necesarias para encontrar el óptimo, por tanto, se trata de un método bastante poderoso en la resolución de PFCM (Problemas de Flujo de Costo Mínimo).
2.2.-DEFINICIONES 2.2.1.- FLUJO
Es el número de unidades homogéneas transportadas a lo largo del arco transportadas del origen hacia el destino
2.2.2.-MATRIZ DE INCIDENCIA NODO ARCO
Sea la matriz que la definen los
, que está asociada a los de la misma.
es decir,
(columnas) de la red dirigida
Se define de la siguiente manera:
{
Por tanto, la estructura de una red dirigida puede ser descrita en una matriz de incidencia.
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Por ejemplo, sea la red dirigida G.
Entonces, la matriz de incidencia nodo arco de esta red, será:
[
]
Tabla 2.1
2.2.3.-MODELO GENERAL DE UN PROBLEMA DE FLUJO CON COSTO MÍNIMO El PFCM nace a partir del siguiente enunciado: “Debe transportarse los recursos disponibles a través de una red, para satisfacer la demanda a un costo mínimo”. Matemáticamente, este problema se puede plantear de la siguiente manera: Sujeto a
(()) Donde:
: Vector que representa el costo unitario de transporte a los largo del arco . : Matriz de Incidencia Nodo-Arco. : Vector que representa la oferta o la demanda de cada nodo de la red. : Vector que representa la cantidad de flujo sobre el arco : Vector que representa la capacidad máxima de flujo que puede ser transportado por el arco
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Consideremos la red de la figura 2.1 y asignemos valores
Tenemos que nuestra función a minimizar es la siguiente:
Sujeto a
[
*+ ] []
Tabla 2.2
Donde los valores de color verde pertenecen al vector y los valores de color rojo pertenecen al vector . De la figura 2.2 y de la definición del vector , se concluye que a cada nodo de a red se le asocia el número ; donde:
Si , entonces en el nodo conoce como “nodo de origen”.
se tiene una oferta disponible de un artículo. Se le
Si , entonces en el nodo se tiene una demanda requerida del artículo. Se le conoce como “nodo de destino”
Si , entonces en el nodo no se dispone ni se requiere de ningún artículo. Se le conoce como “nodo de transbordo”.
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Además para este problema debemos suponer que la oferta total en la red es igual a la demanda total, es decir:
Pues así, el PFCM siempre tendrá una solución factible.
∑ ∑
De no ser el caso, es decir sí , entonces se añade un nodo ficticio con demanda y arcos con costo cero desde cada nodo de oferta al nuevo nodo.
2.2.4.-ÁRBOL GENERADOR
Dada la red dirigida y sea una subgráfica de la red. Diremos que generador, sí conecta a todos los nodos de la red sin formar ciclos. Es decir, un árbol generador corresponde a un conjunto de vectores Por ejemplo, tomemos dos subgráficas de la red
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de la figura 2.1
es un árbol
Como vemos la fig. 2.2 es un árbol generador de la red G definida en la figura 2.1, además los vectores que representan a esos arcos son pues de su combinación lineal nula
Donde:
Obtenemos un sistema de ecuaciones, donde los valores de
Sin embargo vemos que el conjunto de arcos definido en la fig. 2.3 corresponde a la primera y las tres últimas columnas de la red de la fig. 2.1 y es posible obtener la siguiente igualdad
Y de acuerdo con la definición escrita anteriormente tenemos que estos vectores son linealmente dependientes.
2.2.5.- RANGO DE UN MATRIZ DE INCIDENCIA NODO-ARCO Consideremos la tabla 2.1que representa la matriz de incidencia de la red de la figura 2.1, como podemos ver esta matriz no tiene rango total.
*
+
Tabla 2.3
Pues efectuando las siguientes operaciones filas
Obtenemos que
se convierte en el vector nulo.
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Proposición 2.2.5.-
La matriz de Incidencia de una red de
Prueba:
Consideremos un árbol generador de la red de la matriz de incidencia .
Como , entonces el árbol que incide a él.
y a su submatriz
tiene al menos un nodo
Con este hecho se observa que en la diferente de cero.
tiene rango igual a
.
, obtenida
que tiene exactamente un arco
fila de la matriz
solo haya un elemento
Realizando operaciones elementales de permutación entre filas y columnas de de modo que este elemento diferente de cero quede en la 1º fila y 1º columna. Entonces la matriz equivalente a , que denotaremos de la misma manera tendrá la siguiente forma:
Tabla Tabla 2.4
Analicemos ahora la matriz que representa a otro árbol, por lo tanto también debe contener al menos un nodo donde un arco incida en él, supongamos que eso sucede en la fila de , entonces realizando operaciones elementales de permutación entre filas y columnas de de modo que este elemento diferente de cero quede en la 1º fila y 1º columna. Entonces la matriz equivalente a, que denotaremos de la misma manera tendrá la siguiente forma:
Tabla Tabla 2.5
Donde
.
Reemplazando la tabla 2.4 en la tabla 2.3, vemos que
se puede escribir como
Tabla Tabla 2.6
Como tiene columnas entonces podemos repetir este procedimiento procedimiento esa cantidad de veces. Luego eliminando la última fila de obtenemos una matriz triangular inferior con elementos en su diagonal diferentes de cero y, por lo tanto, hemos conseguido una matriz no singular con rango igual a .
2.2.6.-VARIABLE 2.2.6.-VARIABLE ARTIFICIAL
Debido a que el Método simplex siempre se inicia con una matriz de restricciones con rango total y además sabemos que el rango de es , requerimos de una variable artificial de manera que el rango de la nueva matriz sea , es decir que el vector que representa esta variable sea con los vectores columna de
Al introducir una variable artificial correspondiente correspondiente al nodo (se puede escoger cualquier otro nodo), es decir, cuando se aumenta la matriz con el vector canónico , se obtiene la matriz de restricciones
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Esta nueva columna se le puede ver en la red como un arco que empieza en el nodo (llamado nodo raíz) y termina en el espacio, a este arco con un solo extremo se le llamará . Y como cualquier solución básica debe contener columnas , la variable ar c o r aí z artificial debe aparecer en cada solución básica.
2.2.7.- MÉTODO DE LOS CICLOS
Consideremos una subgráfica básica de una red, correspondiente a un árbol generado enraizado, seleccionemos un arco no básico cualquiera . Debido a que es un árbol, entonces existe una cadena única entre los nodos y . Esta cadena, junto al arco no básico forma un ciclo.
Gráficamente podemos ver este hecho en la figura 2.6
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( ) ( ) ( ) ( )
Asignando al ciclo una orientación orientación consistente consistente
se tiene:
Entonces:
Este hecho nos lleva al siguiente procedimiento el cual nos servirá para representar cualquier columna no básica en términos de las columnas básicas. Los pasos a seguir son: 1. Determinar el ciclo único formado al adjuntar el arco no básico a la subgráfica básica. 2. Darle al ciclo una orientación orientación consistente con con la variable variable no básica. básica. 3. Las columnas básicas en el ciclo a lo largo de su orientación orientació n reciben un coeficiente de , y las columnas básicas en el ciclo opuesto a su orientación reciben un coeficiente de en la representación. representación. 4. Otras columnas columnas básicas reciben coeficientes cero.
Por ejemplo, tomemos la subgráfica básica de la figura 2.2
De la figura 2.7, se tiene:
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2.3.- SOLUCIÓN INICIAL BÁSICA FACTIBLE Como ya vimos, para poder aplicar el método Simplex en nuestro PFCM necesitamos de una matriz de rango total, es decir, de un árbol generador enraizado. La solución a un PFCM será dado siempre por un árbol generador enraizado, el cual consiste en partir de un árbol generador generador inicial (solución (solución básica inicial) ejecutar una serie de pivoteamientos, los cuales mantiene la estructura de árbol generador (pues toda solución básica corresponderá a un árbol generador enraizado) hasta encontrar la solución óptima que corresponderá al árbol generador enraizado óptimo. El primer paso que debemos realizar para aplicar el Método simplex en el PFCM es determinar un árbol generador enraizado inicial cualquiera. Para esto consideremos la matriz de incidencia de la tabla 2.1 sin el arco raíz. Entonces ningún árbol que se pueda obtener de la red de la figura 2.1 formará una base para el PFCM.
Luego supongamos que se añade una columna artificial por cada nodo de la red con la siguiente condición Si Si
, se añade la columna
,y
, se añade la columna -
Asimismo añadamos un renglón debajo de la matriz formada por las variables artificiales dado por el negativo de la suma de los renglones de esta matriz, resultando así una nueva matriz que tendrá la siguiente forma:
[
]
Tabla Tabla 2.7
Como esta nueva matriz tiene exactamente un y un , puede verse como un matriz de incidencia nodo-arco de una nueva red, esta nueva red tendrá todos los nodos y arcos iguales que la red original y además tendrá un nuevo nodo y m-nuevos arcos(un arco entre cada nodo original y el nuevo nodo). Estosm- nuevos arcos más un raíz formarán un árbol generador generador enraizado(es enraizado(es decir una base factible para este nuevo problema), como se puede apreciar de la figura 2.8 a la figura 2.9. Empezando con esta base artificial y aplicando la fase 1 del Método de las 2 Fases, las variables artificiales artificiales tendrán coeficientes de costo iguales a 1 mientras que todas las otras variables tendrán coeficientes de costo cero.
16
17
Entonces la función objetivo original
Se transforma a
Es decir la función objetivo artificial es
Se tiene así, el problema artificial siguiente
Sujeto a
Donde
y
Obviamente, el óptimo de este problema artificial se obtendrá cuando
Lo cual implica que
Tomando la forma de la tabla 2.7 se obtiene el siguiente cuadro
Tabla 2.8
1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0
s a c i s á B
0 1 0 -1 0 0
0 0 1 -1 0 0
0 0 1 0 -1 0
0 0 -1 1 0 0
0 0 0 1 -1 0
0 1 0 0 -1 0
-1 1 0 0 0 -1
-1 0 1 0 0 -1
-1 0 0 -1 0 1
Antes de continuar, continuar, primero eliminemos eliminemos de la función función objetivo objetivo artificial artificiales.
Para esto realicemos las siguientes operaciones elementales filas
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-1 0 0 0 -1 1
0 0 0 4 0 2 0 -1 0 -5 1 0
las las variables
Obtendremos así, la Tabla 2.9
1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0
s a c i s á B
2 1 0 -1 0 0
2 0 1 -1 0 0
2 0 1 0 -1 0
-2 0 -1 1 0 0
0 0 0 1 -1 0
-2 1 0 0 -1 0
0 1 0 0 0 -1
0 0 1 0 0 -1
0 0 0 -1 0 1
La solución no es óptima pues existen coeficientes positivos en del Método Simplex para el caso de minimización, obtenemos que:
0 0 0 0 -1 1
. Usando El algoritmo
Pívot está en la La variable que entra es La variable que sale es Por lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variable
1 12 0 4 0 2 0 -1 0 -5 1 0
Obtendremos así, la Tabla 2.10
s a c i s á B
1 2 0 1 0 -1 0 -1 0 0 0 0
2 1 0 -1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0
0 0 -1 0 0 0
0 0 0 1 -1 0
-2 -1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 -1
La solución no es óptima pues existen coeficientes positivos en
0 0 0 -1 0 1
0 0 0 0 -1 1
. Entonces:
Pívot está en la La variable que entra es La variable que sale es Por lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variable
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1 8 0 4 0 2 0 1 0 -5 1 0
Obtendremos así, la Tabla 2.11
s a c i s á B
1 2 0 1 0 0 0 -1 0 -1 0 0
2 1 1 -1 -1 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 -1 0 0 0
0 0 -1 1 0 0
-2 -1 0 0 1 0
La solución no es óptima pues existen coeficientes positivos en
0 1 0 0 0 -1
0 0 0 0 -1 1
. Entonces:
Pívot está en la La variable que entra es La variable que sale es Por lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variable
1 8 0 4 0 1 0 1 0 -4 1 0
Obtendremos así, la Tabla 2.12
s a c i s á B
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 -1 0 -1 0
0 0 -1 1 0 0
0 -1 0 -1 0 0
0 0 0 0 -1 1
1 0 0 0 0 1
0 4 1 5 0 0
Este cuadro (Tabla 2.12) es óptimo. Las variables artificiales son y de la misma Tabla 2.12 se tiene que
En consecuencia
Aquí se tiene el final de la primera primera fase pues hemos hemos encontrado una una solución factible, entonces se pueden eliminar todos los arcos (variables) artificiales y el nodo 5.
Obteniendo así un árbol generador de la red de la figura 2.2 con los valores siguientes.
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El cual aún no forma una solución factible para el problema original, para esto enraicemos el árbol generador de la figura 2.10, tomemos al nodo 1 como nodo-raíz.
Entonces la solución básica factible inicial para el problema original es:
2.4.-CÁLCULO DE LOS
Teniendo una subgráfica básica de la red, como la figura 2.9, calcularemos los para cada variable no básica y, o el proceso finaliza, o si no se introduce una variable no básica con un , igual que en el algoritmo del Método Simplex está variable no básica corresponderá corresponderá al
21
Para determinar que variable no básica entra, usaremos el Método de los Ciclos, además debemos recordar que igual que en el Método Simplex, se tiene que
Donde:
;
y
Entonces para calcular los , debemos primero adjuntar el arco y después de darle una orientación consistente con el arco .
a la subgráfica básica
Por lo tanto, se obtiene que los , es la suma de los costos de los arcos básicos en el ciclo opuesto a la orientación menos la suma de los costos de los arcos básicos en el ciclo a lo largo de la orientación. En nuestro ejercicio, la figura 2.11 es una subgráfica básica de la figura 2.2, entonces
[ ] * +
Como el árbol generador enraizado es:
Tabla 2.13
Entonces la matriz inversa de B es:
Tabla Tabla 2.14
Y
;
Entonces para el arco
, lo obtenemos de la Tabla 2.1
, tenemos:
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2.5.- DETERMINACIÓN DE LA COLUMNA DE SALIDA
De nuestro ejercicio, tenemos que , entonces la variable puede entrar a la base y para saber que arco básico debe salir de la base, se sigue lo siguientes pasos. 1. 2. 3. 4.
Incrementar Ajustar las variables básicas para seguir manteniendo la factibilidad. factibilid ad. Determinar cuál es la primera variable básica que alcanza el valor cero. La cual se convierte en la variable que sale de la base.
Este proceso, se puede ver como el envío de una cantidad adicional ( de flujo a través del ciclo único creado cuando el arco no básico se añade al árbol generador enraizado. Además, el envío envío de flujo contra la la dirección de un arco corresponde corresponde a disminuir disminuir el flujo sobre el arco. En nuestro ejercicio, suponiendo que el arco
entra a la base, entonces de la figura 2.12
Tenemos que, al incrementar por , las variables básicas que disminuyen son Ahora para mantener mantener la factibilidad factibilidad se debe cumplir cumplir que:
Entonces
Por lo tanto sale la variable básica
.
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y
.
Sabiendo ya, como determinar que arco no básico entra a la base y que arco básico sale de la base. Resolvamos nuestro ejercicio, de la figura 2.2 para el cual obtuvimos la solución básica inicial factible siguiente siguiente
Para la cual los valores de los
Entonces entra
Por lo tanto sale
.Ahora
de lo arcos no básicos son:
.
Ahora el nuevo nuevo árbol generador generador enraizado enraizado lo da la figura figura 2.13
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Para la cual los valores de los
Entonces entra
Por lo tanto sale
Ahora Ahora
de lo arcos no básicos son:
.
Ahora el nuevo nuevo árbol generador generador enraizado enraizado lo da la figura figura 2.15
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Para la cual los valores de los
Entonces entra
Por lo tanto sale
, Ahora
de lo arcos no básicos son:
Ahora el nuevo nuevo árbol generador generador enraizado enraizado lo da la figura figura 2.17
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Para la cual los valores de los
de lo arcos no básicos son:
Como todos los , entonces hemos encontrado el árbol óptimo, el cual está dado por el árbol generador enraizado de la figura 2.17. Entonces la solución óptima es:
Todas las demás variables
, entonces el valor óptimo es:
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CONCLUSIONES
1. El PFCM es un programa lineal y para su resolución se puede aplicar el algoritmo Simplex primal, encontrando así una simplificación del Método Simplex que se puede aplicar directamente a l red sin la necesidad de un tableau simplex.
2. Para resolver estos estos PFCM, se debe suponer suponer que la oferta oferta total en la red es igual igual a la demanda total, así obtendremos un Problema de Programación Lineal Acotado el cual siempre tendrá solución factible.
3. Una base para el PFCM está caracterizado caracteri zado por un árbol generador enraizado.
4. Antes de aplicar aplicar el algoritmo Simplex Simplex Primal al PFCM, PFCM, primero se debe encontrar encontrar una solución factible básica inicial, para esto se debe crear un nuevo nodo (artificial) en la red, el cual llevará a la red original con un arco raíz a una red con estructura de árbol generador enraizado.
5. Para encontrar la la solución factible factible básica inicial inicial no solo se puede puede usar el Método de Dos Fases, sino también el Método de Penalización (Big M). 6. Los PFCM ocurren en el análisis y diseño de sistemas sistemas de comunicación, comunicación, sistemas de oleoductos, logística militar, etc.
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BIBLIOGRAFÍA 1.- “Programación Lineal y Flujo en Redes” Autor: Mokhtar S. Bazaraa. Bazaraa. John J. Jarvis Jarvis Editorial: LIMUSA S.A.-Distrito Federal-México. Edición: 4º Reimpresión - 1989 Páginas: 531 2.- “Investigación Operativa: Operativa: Modelos Determinísticos y Estocásticos” Autor: Sixto Ríos Insua. Alfonso mateos caballero. Concepción Concepción Bielza Lozoya. Antonio Jiménez Martín. Editorial: CENTRO DE ESTUDIOS RAMÓN ARECES S.A.-Madrid-España. S.A.-Madrid-España. Edición: 2º - 2004 Páginas: 547 3.-“Introducción 3.-“Introducción a la Optimización e Investigación de Operaciones. Tomo 1” Autor: Pedro canales canales García Editorial:HOZLO Editorial:HOZLO S.R.L. Páginas:150 4.-“Algebra 4.-“Algebra Lineal” Autor: ElonLages ElonLages Lima Editorial: HOZLO S.R.L. Páginas. 407
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