113
CAPÍTULO 2
PROBLEMAS* Piense en el proceso de cocción de un trozo de carne de res en un horno. ¿Consideraría éste como un problema de régimen estacionario o transitorio de transferencia de calor? Tam bién, ¿consideraría que este problema es unidimensional, bidimensional o tridimensional? Explique. 2-7 C
Introducción ¿La transferencia de calor es una cantidad escalar o vectorial? Explique. Dé respuesta a la misma pregunta para la temperatura. 2-1 C
¿En qué difiere la transferencia transitoria de calor de la estacionaria? ¿En qué difiere la transferencia unidimensional de calor de la bidimensional? 2-2 C
Considere una bebida enlatada fría que se deja sobre la mesa de un comedor. ¿Consideraría la transferencia de calor hacia la bebida como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para analizar este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-3 C
Considere una papa que se está horneando. ¿Describiría la transferencia de calor hacia la papa como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-4 C
Considere un huevo que se cuece en agua hirviendo en una cacerola. ¿Describiría la transferencia de calor hacia el huevo como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Ex plique. 2-5 C
Considere una salchicha que se cuece en agua hirviendo en una cacerola. ¿Describiría la transferencia de calor hacia la salchicha como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-6 C
Considere la pérdida de calor de un tanque cilíndrico de 200 L de agua caliente. ¿Describiría éste como un problema de régimen estacionario o transitorio de transferencia de calor? También, ¿consideraría que este problema es unidimensional, bidimensional o tridimensional? Explique. 2-8 C
2-9 C ¿El vector de flujo de calor en un punto P de una su perficie isotérmica de un medio tiene que ser perpendicular a la superficie en ese punto? Explique.
Desde el punto de vista de la transferencia de calor, ¿cuál es la diferencia entre los materiales isotrópicos y los anisotrópicos? 2-10 C
2-11 C
¿Qué es generación de calor en un sólido? Dé ejem-
plos. La generación de calor también se conoce como generación de energía o como generación de energía térmica. ¿Qué piensa de estas frases? 2-12 C
Con el fin de determinar el tamaño del elemento de calentamiento de un horno nuevo, se desea determinar la razón de la pérdida de calor a través de las paredes, la puerta y las secciones superior e inferior de éste. En su análisis, ¿consideraría éste como un problema de transferencia estacionaria o transitoria de calor? Asimismo, ¿consideraría que la transferencia de calor es unidimensional o multidimensional? Ex plique. 2-13 C
La resistencia de alambre de una plancha de 100 W tiene 15 in de largo y un diámetro de D = 0.08 in. Determine la velocidad de la generación de calor en el alambre por unidad de volumen, en Btu/h · ft 3 y el flujo de calor en la superficie exterior de dicho alambre, en Btu/h · ft 2, como resultado de esta generación de calor. 2-14 I
Agua hirviendo q
Salchicha D
e· gen
FIGURA P2-6C FIGURA P2-14I
*Los problemas designados por una “C” son son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un icono de CD-EES, , se resuelven usando el EES, y las soluciones completas, junto con estudios paramétricos, se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un icono de computadora-EE computadora-EES, S, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software de EES que acompaña a este texto.
Vuelva a considerar el problema 2-14I. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica del flujo de calor en la sup erficie en función del diámetro del alambre, conforme este diámetro varía de 0.02 hasta 0.20 in. Discuta los resultados. 2-15 I
En los medidores de flujo de calor se usa un dispositivo muy sensible, conocido como termopila, que sirve para medir la diferencia de temperatura de uno a o tro lado de una película 2-16
114
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
delgada conductora del calor, hecha de kaptón (k = 0.345 W/m · K). Si la termopila puede detectar diferencias de temperatura
de 0.1°C o más y el espesor de la película es de 2 mm, ¿cuál es el flujo mínimo de calor que puede detectar este medidor? Respuesta: 12.3 W/m2.
L
En un reactor nuclear se genera calor uniformemente en las barras cilíndricas de uranio de 5 cm de diámetro a razón de 7 × 107 W/m3. Si la longitud de las barras es de 1 m, determine la velocidad de la generación de calor en cada una de esas barras. Respuesta: 137 kW 2-17
2-18 En un estanque solar, la absorción de la energía solar se puede considerar como generación de calor y se puede aproximar por e·gen = e· 0e—bx, donde e· 0 es la velocidad de absorción de calor en la superficie superior por unidad de volumen y b es una constante. Obtenga una relación para la velocidad total de generación de calor en una capa de agua de área superficial A y es pesor L, en la parte superior del estanque.
0
Haz de radiación Energía que se está solar absorbiendo
0 r
r + r r
FIGURA P2-23
Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de capa esférica, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una esfera con conductividad térmica constante y sin generación de calor. 2-24
L
x
Estanque solar r + r r
0
R r
FIGURA P2-18
Considere una placa grande de acero inoxidable con es pesor de 3 cm en la cual se genera calor de manera uniforme a razón de 5 × 106 W/m3. Suponiendo que la placa está perdiendo calor por ambos lados, determine el flujo de calor en la superficie de ella durante una operación estacionaria. Respuesta: 75 kW/m2 2-19
FIGURA P2-24
Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-25
&2T
Ecuación de la conducción del calor 2-20 Escriba la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y generación de calor, en su forma más simple, e indique qué representa cada una de las variables. Escriba la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio para un cilindro largo, con conductividad térmica constante y generación de calor, e indique qué representa cada una de las variables. 2-21
Partiendo de un balance de energía sobre un elemento rectangular de volumen, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y sin generación de calor. 2-22
Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de casco cilíndrico, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en estado estacionario para un cilindro largo, con conductividad térmica constante, en ·. el cual se genera calor con una velocidad egen 2-23
& x2
=
1 &T a &t
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o va- riable? Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como dT 1 d · rk r dr e dr + gen = 0 2-26
(
)
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o va- riable?
115
CAPÍTULO 2
Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-27
r 2 &r
1&
(
r2
&r
&T
)
=
Disco
Aislamiento A = constante
a &t 1 &T
0 e· gen z + z z
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o va- riable?
z
FIGURA P2-31
Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-32
Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-28
r
d 2T dr
&2T
+ 2
& x
+
dT
=
&2T 2
& y
1 &T &t
=a
0
2 dr
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o va- riable? Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en régimen transitorio, en coordenadas rectan gulares, para T ( x, y, z ), para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor.
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-33
2-29
Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de anillo, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en estado estacionario, en coordenadas cilíndricas para T (r , z ), para el caso de conductividad térmica constante y sin gen eración de calor. 2-30
1 &
&T r &r kr &r
(
)
+
& &T · k + egen = 0 & z & z
(
)
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2-34
1 & r 2 &r r
r + r
(r
2 &T
&t )
+
2
r
&2T 1 1 &T = 2 2 a &t sen u & f
r
FIGURA P2-30
Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de disco, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio, para T ( z , t ), en un cilindro de diámetro D con una superficie lateral aislada, para el caso de conductividad térmica constante y con generación de calor.
a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable?
2-31
Condiciones de frontera e iniciales; Formulación de problemas de conducción de calor ¿Qué es una condición de frontera? ¿Cuántas condiciones de frontera se necesita es pecificar para un problema bidimensional de transferencia de calor? 2-35 C
116
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
¿Qué es una condición inicial? ¿Cuántas condiciones iniciales se necesita esp ecificar para un problema bidimensional de conducción de calor? 2-36 C
¿Qué es condición de frontera de simetría térmica? ¿Cómo se expresa matemáticamente? 2-37 C
¿Cómo se expresa matemáticamente la condición de frontera sobre una superficie aislada? 2-38 C
Se afirma que el perfil de temperaturas en un medio debe ser perpendicular a una superficie aislada. ¿Es ésta una afirmación válida? Explique. 2-39 C
¿Por qué se trata de evitar las condiciones de frontera de radiación en el análisis de transferencia de calor? 2-40 C
Considere una cacerola de acero usada para hervir agua colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene un espesor L = 0.5 cm y un diámetro de D = 20 cm. La unidad eléctrica de calentamiento que está en la parte superior de la estufa consume 1 250 W de potencia durante la cocción y 85% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere de manera uniforme hacia la cacerola. La transferencia de calor desde la superficie superior de la sección del fondo hacia el agua es por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor durante una operación estacionaria. No resuelva. 2-46
Considere un recipiente esférico de radio interior r 1, radio exterior r 2 y conductividad térmica k . Exprese la condición de frontera sobre la superficie interior del recipiente para conducción unidimensional estacionaria, para los casos siguientes: a) temperatura específica de 50°C, b) flujo específico de calor de 30 W/m2 hacia el centro, c) convección hacia un medio que se encuentra a una temperatura T con un coeficiente de transferencia de calor de h. 2-41
Cacerola de acero
Agua x
œ
L
0 Recipiente esférico FIGURA P2-46
Un alambre calentador por resistencia de 2 kW, cuya conductividad térmica es k = 10.4 Btu/h · ft · °F, tiene un radio de r 0 = 0.06 in y una longitud de L = 15 in, y se usa para calentamiento espacial. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor durante operación estacionaria. No resuelva. 2-47I
r 1
r 2
r
FIGURA P2-41
Considere una cacerola de aluminio usada para cocinar estofado colocada sobre la parte s uperior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene un espesor L = 0.25 cm y un diámetro de D = 18 cm. La unidad eléctrica de calentamiento que está en la parte superior de la estufa consume 900 W de potencia durante la cocción y 90% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere hacia la cacerola. Durante la operación estacionaria se mide la temperatura de la superficie interior y resulta ser de 108°C. Si se supone una conductividad térmica dependiente de la temperatura y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación mate2-48
Se genera calor en un alambre largo de radio r 0 a una razón constante de e·0 por unidad de volumen. El alambre está cubierto con una capa de aislamiento plástico. Exprese las condiciones de frontera de flujo de calor en la interfase, en términos del calor generado. 2-42
Considere un tubo largo de radio interior r 1, radio exterior r 2 y conductividad térmica k . La superficie exterior del tubo está sujeta a convección hacia un medio a una temperatura T , con un coeficiente de transferencia de calor de h, pero no se conoce la dirección de esa transferencia. Exprese la condición de convección de frontera sobre la superficie exterior del tubo. 2-43
œ
Considere una capa esférica de radio interior r 1, radio exterior r 2, conductividad térmica k y emisividad e. La superficie exterior de la capa está sujeta a radiación hacia las superficies circundantes que se encuentran a la temperatura T alred, pero no se conoce la dirección de la transferencia de calor. Exprese la condición de radiación de frontera sobre la superficie exterior de la capa. 2-44
Un recipiente consta de dos capas esféricas, A y B, que están en contacto perfecto. Si el radio de la interfase es r 0, ex prese las condiciones de frontera en la interfase.
Cacerola de aluminio
Estofado x
108C
L
2-45
0 FIGURA P2-48
117
CAPÍTULO 2
mática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor en operación estacionaria. No resuelva.
T alred Radiación
Fluye agua por un tubo a una temperatura promedio de T = 70°C. Los radios interior y exterior del tubo son r 1 = 6 cm y r 2 = 6.5 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo está envuelta con un calentador eléctrico delgado que consume 300 W por m de longitud del tubo. La superficie expuesta del calentador está fuertemente aislada, de modo que todo el calor generado en él se transfiere al tubo. El calor se transfiere de la superficie interior del tubo al agua por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h = 85 W/m2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de la conducción de calor en el tubo durante una operación estacionaria. No resuelva. 2-49
œ
Convección T
Bola metálica
h
r 0
0
r
T i FIGURA P2-51
manece a T 2. El cielo, el suelo y las superficies de las estructuras circundantes en este lugar se pueden considerar como una superficie a una temperatura efectiva de T cielo, para el intercam bio de radiación sobre la superficie exterior. El intercambio de radiación entre la superficie interior de la pared y las superficies de las paredes, piso y techo que tiene enfrente es despreciable. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior son h1 y h2, respectivamente. La conductividad térmica del material de la pared es k y la emisividad de la superficie exterior es e2. Si se supone que la transferencia de calor a través de la pared es estacionaria y unidimensional, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales) de este problema de condu cción de calor. No resuelva. œ
Aislamiento
h
T
r 1 0 Agua
r 2 r
Calentador eléctrico FIGURA P2-49
Una esfera metálica de radio r 0 se calienta en un horno hasta una temperatura de T i en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja caer en una gran masa de agua que está a la temperatura T , donde se enfría por convección con un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de h. Si se supone una conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor en régimen transitorio, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor. No resuelva. 2-50
T cielo
œ
Una esfera metálica de radio r 0 se calienta en un horno hasta una temperatura de T i en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja enfriar en el aire ambiental, que está a una temperatura T , por convección y radiación. La emisividad de la superficie exterior del cilindro es e y la temperatura de las superficies circundantes es T alred. Se estima que el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es h. Si se supone una conductividad térmica variable y transferencia unidimensional de calor en régimen transitorio, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales) de este problema de conducción de calor. No resuelva.
Pared
h1
h2
T 1
T 2
2-51
0
œ
2-52 Considere la pared este de una casa, de espesor L. La su perficie exterior de la pared intercambia calor tanto por convección como por radiación. El interior de la casa se mantiene a T 1, en tanto que la temperatura del aire ambiente de afuera perœ
L
x
FIGURA P2-52
Solución de problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario C Considere la conducción unidimensional de calor, sin generación de calor, a través de una pared plana grande que está perfectamente aislada sobre uno de sus lados y está sujeta a convección y radiación en el otro. Se afirma que, en condicio2-53
118
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
nes estacionarias, la temperatura en una pared plana debe ser uniforme (la misma en todas partes). ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? C Se expresa que la temperatura en una pared plana con conductividad térmica constante y sin generación de calor varía linealmente durante una conducción unidimensional de calor en estado estacionario. ¿Será éste todavía el caso cuando la pared pierde calor por radiación desde sus superficies? 2-54
peratura de la superficie exterior de la placa es de 85°C. Descartando cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la placa base, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie interior. Respuesta: c) 100°C
C Considere una varilla cilíndrica sólida cuyos extremos se mantienen a temperaturas constantes pero diferentes, en tanto que la superficie lateral está perfectamente aislada. No hay generación de calor. Se afirma que la temperatura a lo largo del eje de la varilla varía linealmente durante una conducción estacionaria de calor. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? 2-55
Considere una varilla cilíndrica sólida cuya superficie lateral se mantiene a una temperatura constante, en tanto que las superficies de los extremos están perfectamente aislados. La conductividad térmica del material de la varilla es constante y no hay generación de calor. Se afirma que la temperatura en la dirección radial dentro de la varilla no variará durante una conducción estacionaria de calor. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? 2-56
Placa ase 85C
C
2-57 Considere una pared plana grande de espesor L = 0.4 m, conductividad térmica k = 2.3 W/m · °C y área superficial A = 30 m2. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de T 1 = 90°C, en tanto que el derecho pierde calor por convección hacia el aire circundante que está a T = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 24 W/m2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones en la frontera para una conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la pared, mediante la solución de la ecuación diferencial y c) evalúe la razón de la transferencia de calor a través de la misma. Respuesta: c) 9 045 W œ
0
L
x
FIGURA P2-60
2-61
Repita el problema 2-60 para una plancha de 1 200 W.
Vuelva a considerar el problema 2-60. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en la base de la placa, trace la gráfica de la temperatu ra en función de la distancia x en el rango de x = 0 hasta x = L y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-62
2-63 Considere un tubo de agua fría de longitud L, radio interior r 1, radio exterior r 2 y conductividad térmica k . El agua fluye en el tubo a una temperatura T f y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior es h. Si el tubo está bien aislado en su superficie exterior, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional estacionaria del calor a través del tubo y b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el tubo, al resolver la ecuación diferencial.
Considere una varilla cilíndrica sólida de 0.15 m de longitud y 0.05 m de diámetro. Las superficies superior e inferior de la varilla se mantienen a las temperaturas constantes de 20°C 2-64 I Considere un tubo de vapor de agua de longitud L = 30 y 95°C, respectivamente, en tanto que la superficie lateral está ft, radio interior r 1 = 2 in, radio exterior r 2 = 2.4 in y conduc perfectamente aislada. Determine la razón de la transferencia de tividad térmica k = 7.2 Btu/h · ft · °F. El vapor está fluyendo por calor a través de la varilla, si está hecha de a) cobre, k = 380 el tubo a una temperatura promedio de 250°F y el coeficiente sobre la suW/m · °C, b) acero, k = 18 W/m · °C y c) granito, k = 1.2 W/m promedio de transferencia de calor por convección 2 perficie exterior se da como h = 1.25 Btu/h · ft · °F. Si la tem· °C. peratura promedio sobre la superficie exterior del tubo es T 2 = 2-59 Vuelva a considerar el problema 2-58. Usando el 160°F: a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de software EES (o cualquier otro semejante), trace la frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de gráfica de la razón de la transferencia de calor en función de la calor a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación conductividad térmica de la varilla en el rango de 1 W/m · °C a de la temperatura en éste, resolviendo la ecuación diferencial, y 400 W/m · °C. Discuta los resultados. c) evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor a través del mismo. Respuesta: c) 33 600 Btu/h Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W 2-60 con un espesor de L = 0.6 cm, área de la base de A = 160 cm2 2-65 Un recipiente esférico de radio interior r 1 = 2 m, radio y conductividad térmica de k = 20 W/m · °C. La superficie in- exterior r 2 = 2.1 m y conductividad térmica k = 30 W/m · °C terior de la placa base se s ujeta a un flujo uniforme de calor ge- está lleno de agua con hielo a 0°C. El recipiente está ganando nerado por los calentadores de resistencia del interior. Cuando calor por convección del aire circundante que está a T = 25°C, se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, la temcon un coeficiente de transferencia de calor de h = 18 W/m2 · °C. 2-58
œ
119
CAPÍTULO 2
la temperatura de la superficie superior de la placa es de 75°F. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine el valor de la temperatura de la superficie inferior de la misma, en x = 0.
L
Vapor de agua h 250F 0 r 1 h
T 2 = 160F T cielo r 2
Radiación
r
x FIGURA P2-64I
h, T Convección
75F L
Si se supone que la temperatura de la superficie interior del recipiente es de 0°C, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del recipiente, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en él, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la ganancia de calor del agua con hielo. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.3 m, conductividad térmica k = 2.5 W/m · °C y área superficial A = 12 m2. El lado izquierdo de la pared, en x = 0, está sujeto a un flujo neto de calor de q·0 = 700 W/m2 al mismo tiempo que la temperatura en esa superficie es T 1 = 80°C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través de ella, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la misma, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie derecha, en x = L. Respuesta: c) —4°C 2-66
q· 0 T 1 0
L
x
Placa 0
Suelo
FIGURA P2-68I
Repita el problema 2-68I descartando la transferencia de calor por radiación. 2-69 I
Cuando una sección larga de una línea de suministro de aire comprimido pasa a través del exterior, se ob serva que la humedad que existe en el aire comprimido se congela cuando el clima es frío, perturbando e incluso bloqueando por completo el flujo de aire en el tubo. Con el fin de evitar este problema, la superficie exterior del tubo se envuelve con calentadores eléctricos de cinta y, a continuación, se aísla . Considere un tubo de aire comprimido de longitud L = 6 m, radio interior r 1 = 3.7 cm, radio exterior r 2 = 4.0 cm y conductividad térmica k = 14 W/m · °C equipado con un calentador de cinta de 300 W. El aire está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de —10°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es h = 30 W/m2 · °C. Suponiendo que 15% del calor generado en el calentador de cinta se pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del tu bo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material del tubo, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe las temperaturas de las superficies interior y exterior del propio tubo. Respuesta: c) —3.91°C, —3.87°C 2-70
FIGURA P2-66 r
Repita el problema 2-66 para un flujo de calor de 1 050 W/m y una temperatura superficial de 90°C en la superficie de la izquierda, en x = 0.
r 2
Una placa grande de acero que tiene un espesor de L = 4 in, conductividad térmica de k = 7.2 Btu/h · ft · °F y una emisividad de e = 0.7 está tendida sobre el suelo. Se sabe que la su perficie expuesta de la placa, en x = L, intercambia calor por convección con el aire ambiente que está a T = 90°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h = 12 Btu/h · ft2 · °F, así como por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura equivalente del cielo de T cielo = 480 R. Asimismo,
0
2-67
2
Calentador eléctrico
r 1
2-68 I
Aire comprimido
œ
Aislamiento FIGURA P2-70
– 10C
120
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Vuelva a considerar el problema 2-70. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en el material del tubo, trace la gráfica de la temperatura en función del radio r , en el rango de r = r 1 hasta r = r 2 y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro seme jante). 2-71
dentro de la plancha será igual a la razón de la pérdida de calor de ésta? Considere el calentamiento uniforme de una placa en un medio a una temperatura constante. ¿Es posible que parte del calor generado en la mitad izquierda de la placa salga de ésta a través de la superficie derecha? Explique. 2-77 C
En una instalación de procesamiento de alimentos se usa 2-78 C Considere la generación uniforme de calor en un cilinun recipiente esférico de radio interior r 1 = 40 cm, radio extedro y una esfera de radio igual, fabricados del mismo material, rior r 2 = 41 cm y conductividad térmica k = 1.5 W/m · °C para en el mismo medio. ¿En cuál configuración geométrica se tenalmacenar agua caliente y mantenerla a 100°C en todo momendrá una temperatura más alta en el centro? ¿Por qué? to. Para realizar esto, la superficie exterior del recipiente se envuelve con un calentador eléctrico de cinta de 500 W y, a con- 2-79 Se usa un alambre calentador de resistencia de 2 kW, con tinuación, se aísla. Se observa que, en todo instante, la tempera- conductividad térmica de k = 20 W/m · °C, un diámetro de D = tura de la superficie interior del recipiente está cercana a 100°C. 5 mm y una longitud de L = 0.9 m, para hervir agua. Si la te mSi se supone que 10% del calor generado en el calentador se peratura de la superficie exterior del alambre de resistencia es T s pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferen- = 110°C, determine la temperatura en el centro del mismo. cial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del recipiente, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material de ese recipiente, resolviendo la ecuación diferencial, y 110C c) evalúe la temperatura de la superficie exterior del propio recipiente. También determine cuánta agua a 100°C puede suministrar este tanque de manera estacionaria, si el agua fría entra a 0 20°C. r 2-72
D
Aislamiento Calentador eléctrico
Agua caliente 0
Calentador de resistencia FIGURA P2-79
r 1
r 2
r
100C
Recipiente esférico
FIGURA P2-72
Considere un cilindro sólido largo de radio r 0 = 4 cm y conductividad térmica k = 25 W/m · °C. Se genera calor uniformemente en el cilindro a razón dee0· = 35 W/cm3. La superficie lateral del cilindro se mantiene a una temperatura constante de T s = 80°C. La variación de la temperatu ra en ese cilindro se ex presa por 2 e· r 2 gen 0 — — 1 — r T (r ) = — + T s r 0 k 2-80
[ () ]
2-73
Vuelva a considerar el problema 2-72. Usando la
relación obtenida para la variación de la temperatura en el material del recipiente, trace la gráfica de la temperatura en función del radio r en el rango de r = r 1 hasta r = r 2 y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante).
Generación de calor en un sólido ¿La generación de calor en un sólido viola la primera ley de la termodinámica, en la cual se afirma que la energía no se puede crear ni destruir? Explique. 2-74 C
Con base en esta relación, determine a) si la conducción de calor es estacionaria o transitoria, b) si es unidimensional, bidimensional o tridimensional y c) el valor del flujo de calor en la superficie lateral del cilindro, en r = r 0. Vuelva a considerar el problema 2-80. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en el cilindro, trace la gráfica de la temperatura e n función del radio r en el rango de r = 0 hasta r = r 0 y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-81
Considere una placa grande de espesor L en la cual se · . Uno de los lados de genera uniformemente calor a razón de egen la placa está aislado en tanto que el otro está expuesto a un am2-75 C ¿Qué es generación de calor? Dé algunos ejemplos. biente a T , con un coeficiente de transferencia de calor de h. a) Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera 2-76 C Una plancha se deja desatendida y la temperatura de su base se eleva como resultado del calentamiento por resistencia para la conducción unidimensional estacionaria del calor a desde su interior. ¿Cuándo la velocidad de generación de calor través de la placa, b) determine la variación de la temperatura 2-82
