Problemario de Fenómenos de Transporte
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA
PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA
FENÓMENOS DE TRANSPORT TRA NSPORTE E
ELABORADO POR: M. EN C. MARÍA GUADALUPE GUADA LUPE ORDORICA ORDORICA MORALES
2008
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
1. Estimación de viscosidad de un gas denso Estimar la viscosidad del nitrógeno a 68 °F y 1000 psig N2 Pc = 33.5 atm T = 68 F Tc = 126.2 K P = 1000 psig -6 μc = 180 x10 g/cms 1000 psi
T r Pr
T T c
1 at m 14.6061 psi
293.15 K
68 atm
P Pc
126.2 K 33.5 atm
=
68 atm
C
68 32
20 C 1.8 20 C 20 273.15 293 .15 K
2.3229 Con los valores obtenidos de Tr y Pr, se obtiene el valor de μr (Gráfico Uyehara)
2.029
r 1.12 r
c
r c
1.12180 10 6
g cm s
2.016 x10-4
g g 4 2.016 10 cm s cm s
1 lbm 0.453593 kg
1 kg 1000 g
1 cm 0.0328 ft
=
1.355 x10-5
lbm ft s
2.0269 x10-5
lbm ft s
2. Estimación de viscosidad de fluoruro de metilo (CH3F) a 370 °C y 120 atm. CH3F 3 M = 34 g/mol ρc = 0.300 g/cm Pc = 58.0 atm T = 370 °C = 643.15 K Tc = 4.55 °C =277.7 K P = 120 atm T 643.15 K 2 3 1 6 2.3159 T r c 7.70 M 1 2 Pc T c T 277 . 7 K c 12 23 1 6 c 7.7034 58 277.7 P 120 atm Pr 2.206 c 263.38 106 poise Pc 58 atm Con los valores obtenidos de T r y Pr, se obtiene el valor de μr (Gráfico Uyehara)
r 1.145 r
c
r c
1.145 263.38 10 6
3.015 x10-4
g cm s
g
4
g
3.015 10 cm s cm s
1 lbm 0.453593 kg
1 kg 1000 g
1 cm 0.0328 ft
=
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Problemario de Fenómenos de Transporte
3. Viscosidad de gases de baja densidad Predecir la viscosidad de oxígeno molecular, nitrógeno y metano a 20 °C y a presión atmosférica, expresar los resultados en mPa·s.
Compuesto
M
Oxígeno Nitrógeno Metano
T (K)
m
(Å)
32.00 293.15 3.433 28.02 293.15 3.681 16.04 293.15 3.822
O2 KT
σ
/ K (K)
113 91.5 137
KT
(y) (x) 2.5924 1.0818 3.2038 1.0217 2.1397 1.1488
N2
y 2 y1 x 2 x1
293.15 113
2.5924
KT
(poise)
(cpoise)
2.0277 x10 -4 1.7475 x1 x10 -4 1.0907 x10 -4
0.0202 0.0174 0.0109
CH4
293.15 90.1
3.2536
KT
293.15 137
2.1397
y y1 x x1 y1 y y1 m x x1 y 2 x x 2 1
2.6693 10 5
MT
2
O2
1.081 1.093 1.0818 2.5934 2.50 1.093 2.6 2.5 2.6693 10 5
32 293.15 2.0277 10 4 poise 2 3.433 1.0818
N2
1.014 1.022 1.0217 3.2038 3.20 1.022 3.3 3.2 2.6693 10 5
28.02 293.15 4 1.7475 10 poise 2 3.681 1.0217
CH4
1.138 1.156 1.1488 2.1397 2.1 1.156 2 . 2 2 . 1 2.6693 10 5
16.04293.15 4 10 poise 1.0907 2 3.822 1.1488
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Problemario de Fenómenos de Transporte Utilizando nomogramas para viscosidad de gases
O2 2000 107 poise 0.02 centipoise N 2 1760 10 7 poise 0.0176 centipoise CH 4 1000 107 poise 0.01 centipoise
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Problemario de Fenómenos de Transporte 4. Flujo de una película descendente Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando en el origen de coordenadas de forma que x se mida a partir de la pared (es decir x = 0 corresponde a la pared y x = σ a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada por
x 1 x 2 g 2 cos v z 2 Demostrar como se puede llegar a la distribución de velocidad de la ecuación anterior a partir de ecuación: z z max
2 g cos x 1 v z 2 2
x
0
x x
x
x
L
z 0 x 0
max
v z 0
x 0 v z 0
Transporte viscoso
Entradas xz L W x
Salidas
Transporte cinético
v z W x
xz L W x x
2
v z W x 2
z 0
z L
W x L g cos
Volumen
xz L W x xz L W x x v z W x 2
v z W x 2
z 0
z L
W x L g cos 0
1 xz L W x xz L W x x W x L g cos xz L W x x xz L W x L W x
xz
x x
xz x
W x L g cos
g cos
L W x d xz
x d xz g cos dx
dx
g cos
xz g cos x C 1 Condiciones de frontera : xz 0 x
C 1 g cos
xz g cos x g cos Ecuación de Newton dv xz z dx
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Problemario de Fenómenos de Transporte igualando
ecuaciones
dv z
g cos x g cos dx dv z g cos x dx
dv z
g cos
x d x
x 2 x g cos 2 C v z 2
Condiciones de frontera : v z 0 x 0
x 2 x g cos 2 C 2 0 v z
2 g cos x 2 2 v z 2 x 2 2 2 g cos 2 x x v z 2 2 x 1 x 2 g 2 cos v z 2
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Problemario de Fenómenos de Transporte
5. Flujo laminar en una rendija estrecha Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad.
P0 P L x L
xz v z
P0 P L B 2
x 1 B
2 L
2
en las que P p g h p g z
Entradas
Salidas
Transporte viscoso
xz L W x
xz L W x x
Transporte cinético
v z W x
xz L W x xz L W x x v z W x
Volumen
W x L g
v z W x 2
z 0
W x L
x
xz
x x
xz x
x
d
xz
p 0 p L
g
L
P0 P L L
de
L
frontera
z L
v z W x
xz 0
d xz dx
xz
p 0 x W p L x W W x L g 0
W x L g W x L
p 0 p L L
p 0 p L
x 0
L
z L
P L x W
g
p 0 p L
p p L 0 g dx L
Condiciones
xz
z 0
P0 x W
xz L W x xz L W x x p 0 x W p L x W
xz x xz x x
2
Presión
2
1
2
g
x g x C 1
C 1 0
x
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Problemario de Fenómenos de Transporte Ecuación
xz
dv z
dv
dx P0 P L
L P0 P L
L
z
dv z
dx
dv z
de Newton
C 2
L
P0 P L L
v z
x dx
P0 P L
Condicione s
P0 P L L
x dx
v z v z 0
frontera :
de
x
P0 P L L
x
2
2
C 2
x 2 B
4 B 2 2
x
2
2
P0 P L L
4 B 2 2
P0 P L 4 B 2 x 2 2 L
v z
B 2 B 2 P0 P L 2 2 v z 2 4 B x B 2 2 L B P0 P L 2 x 2 B 4 v z 2 L B
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Problemario de Fenómenos de Transporte
6. Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo circular En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de entrada de cantidad de movimiento se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendiente (despreciando los efectos finales) es: v2
g R
2
4
r 2 r 1 2 a 2 ln R R
Entradas
Salidas
Transporte viscoso
rz L 2 r r
rz L 2 r r r
Transporte cinético
v z 2 r r 2
2
z 0
Fuerza de gravedad
2 r r L g
rz L 2 r r rz L 2 r r r v z 2 r r
v z 2 2 r r
2
rz L 2 r r rz L 2 r r r 2 r L
rz r r rz r r r
1
r
r g
z 0
v z 2 r r
z L
2 r r L g 0
2 r r L g 2 r L
r d rz dr
z L
r g
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Problemario de Fenómenos de Transporte
r d rz g r dr r rz g
rz g
r 2
2
r 2
2 r
C 1
C 1 r
g aR
2
Condiciones
de
rz 0
frontera
r aR
C 1
2
g r g aR
2
rz
2 r de Newton
2 Ecuación rz
dv rz dr
dv rz dr
dv rz dr
g r g aR
2
2
2 r
g r g aR
2
2
2 r
dvrz dr
2 g aR
r 2 r
r dr 2 r 2 g r 2 vrz aR ln r C 2 2 2 dv rz
2 g aR
Condiciones
de
g
2
vrz
frontera
aR ln r
v z 0
2 r g
r R
C 2
g
aR ln R
2
2
2 R
2
2 R
2 aR ln R 2 2 2 g r R 2 2 aR ln r aR ln R vrz 2 2 2 2 2 g r R r 2 aR ln vrz 2 2 R 2 2 g R 2 r r 2 2 a ln 1 vrz 4 R R 2
2
2
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Problemario de Fenómenos de Transporte
7. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro exterior Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario y la velocidad volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz
1 v z 1 2 v z 2 v z v z v v z v z p v z vr vr 2 g z r 2 2 r r r r r r z z z t vr 0
v 0
v z ?
1 v z r r r r
0
1 d dv z r 0 r dr dr
d dv z r 0 dr dr
dv z 0 dr dr
d r
r
dv z
C 1
dr
dv z
C 1 r
dv
dr
z
C 1
dr r
v z C 1 ln r C 2 1 Condiciones
de
frontera
CL1
v z V max v z 0
CL 2
r KR r R
C 1 ln KR C 2 V max 2 C 1 ln R C 2 0 3 Se
despeja
C 2
de
3
C 2 C 1 ln R se
sustituye
en
2
V max C 1 ln KR C 1 ln R
KR V max C 1 ln K R V ln R C 2 max
V max C 1 ln C 1 v z
v z V max
V max
ln K V max ln K
ln K
ln r
V max ln R
ln K
v z
V max
ln K
ln r ln R
r ln ln K R
V max
r R
ln
ln K
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Problemario de Fenómenos de Transporte Para obtener rz Ecuación de Newton rz
dv z dr
r V max ln d R rz ln K dr V max d rz ln r ln R ln K
dr
rz
V max d r ln ln K dr R
rz
V max 1 ln K r
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Problemario de Fenómenos de Transporte 8. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto de 18 in de diámetro. Calcule la caída de presión en un tramo de 1 milla de longitud debido a la fricción en la pared del conducto, si éste transporta 15.0 ft 3/s de agua a 50 °F. A 50 y 60 °F el peso específico de H 2O es 62.4 lbf /ft3. Se analiza la ecuación general de energía P1
P1
z1
P2
V 1
2
2g
h A hr h L
P2
z 2
V 2
2
2g
h L
P1 P 2 h L Datos del problema concreto 42 10 2 ft H 2O 62.4 lb f ft 3
5280 ft 5280 ft 1 milla 1 ft 1.5 ft D 18 in 12 in 1 ft 0.75 ft r 9 in 12 in 3 15 ft s T 50 F z 1 milla
Cálculo de viscosidad, # de Reynolds y velocidad de flujo.
2.20 10 3 lbm 30.48 cm lb 8.53 10 4 m 1.27 10 cm s 1g ft s 1 ft 2 2 2 A r 0.75 ft 1.7671 ft g
2
3
V
15
ft
s 8.4882 ft A 1.7671 ft 2 s
Re
Re
V D P
lb ft 8.4882 s 1.5 ft 62.4 f 3 ft
8.53 10
4
lbm
930513 flujo turbulento
ft s
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Problemario de Fenómenos de Transporte Del diagrama de Moody
D
f 0.06
h L f h L
L V
1.5 ft 42 10 ft 2
3.57
2
D 2 g
5280 ft 8.4882 ft s 2 0.06 236.2866 ft 1.5 ft 2 32.2 ft s 2
P h L lb f lb f P 236.2866 ft 62.4 3 14744 .2891 2 ft ft
P 105.34
1 ft 12 in
2
lb f in
2
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Problemario de Fenómenos de Transporte 9. En la figura se observa una parte del sistema de protección contra incendios en el cual una bomba saca agua a 60 °F de un recipiente y la transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcule la altura h, requerida para el nivel del agua en el tanque, con el fin de mantener 5.0 lb/pulg2 relativa presión en el punto A. A 50 y 60 °F el peso específico del agua es de 63.4 lbf /ft3 Para tubo de acero calibre 40 de 8 in el diámetro interno es 0.6651 ft Para tubo de acero calibre 40 de 10 in el diámetro interno es 0.8350 ft.
P1 V 1500 gal min P2 5.0 lb in
2
D1 0.8350 ft D2 0..6651 ft
62.4 lb f ft 3 z 2 25 ft z1 ?
z1
z1
V 1
2
2g
h A hr h L
P2
z 2
V 2
2
2g
P2
3
lb f 1 ft lb f 62.4 3 0.03611 3 ft 12in in
5.0
z1
lb
1 ft in 2 138.4657 in 11.53 ft lb f 12 in 0.03611 3 in
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Problemario de Fenómenos de Transporte 10. Predicción de conductividades caloríficas de gases a baja densidad. a) Calcular la conductividad calorífica del argón a 100 °C y 1 atm de presión, utilizando la teoría de Chapman-Enskog y las constantes de Lennard-Jones deducidas de los datos de viscosidad. M Ar
39.944
k
(Å) 3.418
(°K) 124
k
T
k
3.00
1.039
T 100 C 373.15 K k 1.9891 10
4
k 1.9891 10
4
k 5.008 10
5
T M
2 k 373.15
39.944 3.4182 1.039 cal
cm s K
b) Calcular las conductividades caloríficas de óxido nítrico (NO) y del metano (CH4) a 300 °K y presión atmosférica, utilizando los siguientes datos para las mismas condiciones 10 7 (g/cm s) 1929 1116
M (g/mol) 30.01 16.04
NO CH4
Cp (g/mol °K) 7.15 8.55
5 k Cp R 4 M R 1.987
k NO
5 1929 10 7.15 1.987 4 30.01
k NO 619.34 10
7
cal cm s K
cal mol K
7
k CH 4
5 1116 10 8.55 1.987 4 16.04
k CH 4 767.68 10
7
7
cal cm s K
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Problemario de Fenómenos de Transporte
11. Predicción de la conductividad calorífica de un gas denso. Predecir la conductividad calorífica del metano (CH 4) a 110.4 atm y 52.8 °C por los dos métodos siguientes: a) Utilizando el diagrama de Owens, tomando las propiedades críticas que sean necesarias T 52.8 C 325.95 K P 110.4 atm
CH4 T r T r
T
Pr
T c
325.95 190.7
1.709
Pr
Tc (°K) 190.7
Pc (atm) 45.8
kc x10-6 (cal/s cm °K) 158
P Pc
110.4 45.8
2.41
Diagrama de Owens k r 0.77 k r
k k c
k k r k c
s cm K 3600 cal s cm K 1 h
k 0.77 158 10 6 k 1.2166 10 k 0.04379
4
cal
s 100 cm 1 Kcal
1 m 1000 cal
Kcal h m K
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Problemario de Fenómenos de Transporte 12. Conducción de calor desde una esfera a un fluido estancado Una esfera caliente de radio R esta suspendida en una gran masa de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de calor en el fluido que rodea la esfera. Se supone que los efectos de la convección libre son despreciables. a) Plantear la ecuación diferencial que describe la temperatura T del fluido circundante en función de r , la distancia desde el centro de la esfera. La conductividad calorífica k del fluido es constante. b) Integrar la ecuación diferencial y utilizar las siguientes condiciones límite, para determinar las constantes de integración. T T R CL1: para r R
CL2:
para
r
Entradas 2 4 r qr
4 r 2 q r 4 r 2 q r r
2 2 4 r qr 4 r q r r
r r
r r
4 r
T T
Salidas
4 r 2 q r
r
r r
0 0
r 2 q r r 2 qr r r r 0 1 r r q r 2
r r
r 2 q r
r
r
0
d r 2 q r dr
0
Se sustitye qr por la ley de Fourier q r k
dT dr
d 2 dT r k 0 dr dr
dT
d r k dr 0 dr 2
2 r k
dT
dT dr C 1
C 1
k r C 1
2
dr
dT k r T
C 1 k r
2
dr
C 2
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte Se aplican las condiciones iniciales CL1:
para
r R
T T R
CL2:
para
r
T T
T R T
C 1
k R C 1
k C 1
C 2
C 2
T C 2
T R
T k R C 1 T T R k R
T
T T R k R k r
T
R r
T T T T R
Se sustituye en la ley de Fourier para obtener una ecuación para qr dT qr k dr qr k
d R T T T R dr r
R 2 r
qr k T T R
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
13. Calentamiento viscoso en el flujo a través de una rendija Deducir una expresión para la distribución de temperatura T(x) en un fluido viscoso que circule con flujo laminar por el espacio comprendido entre dos grandes láminas paralelas tal como se indica en la figura. Ambas láminas se mantienen a temperatura constante T 0. Téngase en cuenta el calor generado por disipación viscosa. Desprecie la variación de k y μ con la temperatura.
De las ecuaciones de variación (coordenadas rectangulares)
v 2 v y 2 v 2 2T 2T 2T T T T T z k 2 2 v x v y v z 2 x pC v 2 x y z y z t x x y z 2 2 2 v v v v v v y y x z x z x z x z y y quedando 2
2T v k 2 z 0 x x v z V b x v z V b x b b 2T V k 2 b x b
V b 2 T k b x C 1 x
2
T V b k b x x V T x k bb
Se aplican condiciones límite
2
V T b x C 1 x k b
2
T
V b
2
x 2 C 1 x C 2 2k b
2
x CL1
x 0
T T 0
CL2
x b
T T 1
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Problemario de Fenómenos de Transporte CL1 T o C 2 CL2 T 1
C 1 C 1
V b
2
b 2 C 1b T o 2k b
T 1 T o
V 2k 2
b
b 2 V b
T T b o
2k b
b
C 1
2 V b
2k b
Se sustituyen valores de C1 y C2 2 V b x T o T x 2k b 2k b
V b
T T o
2
2
1 2 x x V b 1 2 k b b
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Problemario de Fenómenos de Transporte
14. Temperatura máxima de un lubricante Un aceite actúa como lubricante de dos superficies cilíndricas como las de la figura. La velocidad angular del cilindro exterior es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5.06 cm y la luz entre los 2 cilindros, 0.027 cm ¿Cuál es la máxima temperatura en el aceite si se sabe que la temperatura de ambas paredes es de 70 °C? Las propiedades físicas del aceite son: Viscosidad 92.3 cp Densidad 1.22 g/cm 3 Conductividad calorífica 0.0055 cal/s cm °C Del problema anterior, aplicando las ecuaciones de variación se obtiene 2
2T v k 2 z 0 x x v z V b x v z V b B b x 2T V k 2 b x b
2
T T o
CL2
x b
T T b
T o C 2
C 1
2
x
2
V b 2 x C 1 x T k b T
x o
2
T V b x C 1 k b x
V b
CL1
T b
T V b x x k b V b T x k b
Se aplican condiciones iniciales
2
C 1
V b
2
b 2 C 1b T o 2k b
T b T o
V 2k 2
b
b 2 V b
T T b o
2k b b Se sustituyen valores de C1 y C2
C 1
2 V b
2k b
2 V b x T o T x 2k b 2k b
V b
T T o
2
2
1 2 x x V b 1 2 k b b
x 2 C 1 x C 2 2k b
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
15. Transmisión de calor en el acoplamiento de una barra de combustible nuclear. Considere una barra larga de combustible nuclear que esta rodeada por una plancha anular de un revestimiento de aluminio, tal como se indica en la figura. Debido al proceso de fisión, se produce calor en el interior de la barra de combustible; el desarrollo de calor depende de la posición, variando la intensidad del manantial calorífico de acuerdo con la expresión aproximada: 2 r S n S n 0 1 b R F
Siendo Sn0 el calor producido por unidad de volumen y unidad de tiempo para r=0, y r la distancia desde el eje de la barra de combustible, si la superficie externa de la vaina de aluminio esta en contacto con un liquido regrigerante cuya temperatura es T r y el coeficiente de transmisión de calor en la interfase vaina-refrigerante es hL. Las conductividades caloríficas de la barra y la vaina son k F y k C.
Balance 1 (Barra de combustible) Entradas 2 r L qr r
Salidas 2 r L qr r r 2 r L r Sn
Volumen
2 r L q r r 2 r L q r r r 2 r L r Sn 0 2 r L q r r 2 r L q r r r 2 L r
2 r L r Sn 2 L r
r qr r r q r r r r Sn 1 r r 2 qr
r r
r 2 qr
r
r Sn
r
r r dq Sn r dr
dq r dr
r Sn
r
r qr Sn
r 2
2
r
C 1
2
r
C 1 q r Sn
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
Se aplican condiciones límite
CL1
r 0
CL2
r R f
q r 0 T T F
C 1 0 q r Sn
r
2
q r . k
k
dT dr
dT dr
Sn
k dT T
Sn
r
2 Sn 2
r dr
r C 2 2
4k Sn
T F
RF C 2 4k Sn 2 C 2 T F R F 4k Sn 2 Sn 2 T r T F RF 4k 4k Sn 2 2 T T F RF r 4k 2
Balance 2 (Revestimiento de Aluminio)
Entradas 2 r L qr r
Salidas 2 r L qr r r
2 r L q r r 2 r L qr r r 0 2 r L qr r 2 r L q r r r 2 L r
0
r qr r r qr r r 0 1 r r 2 q r
r r
r 2 qr
r
r r dq 0 dr
0
r
dq r dr
0
r
r qr C 3
q r
C 3 r
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
q r k
k
dT
dr dT C 3 dr
r
k dT C 3 T
C 3 k
dr r
ln r C 4
Se aplican condiciones límite T F T c
C 3 k C 3
CL3
r R f
T T F
CL4
r Rc
T T c
ln R f C 4
ln Rc C 4 k Despenjand o C 4 de ambas ecuaciones C 4 T F C 4 T c T F
C 3 k
k C 3 k
ln R f ln Rc
ln R f T c
T F T c C 3
C 3
C 3 k
ln Rc
C 3 k C 3 k
ln Rc ln R f
C 3 k
ln R
c
ln R f
k T F T c
R ln c
R f k T F T c
R ln c C 4 T F C 4 T F
R f ln R k
T F T c
f
ln R f
R ln c R f T T c T F T c T F ln r T F ln R f Rc Rc ln ln R f R f T F T c R f T T F ln Rc r ln R f
Balance 3 (Refrigerante)
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
16. Conducción de calor un anillo circular El calor fluye a través de una pared anular cuyo radio interno es r 0 y el externo r 1. La conductividad calorífica varía linealmente con la temperatura desde k 0 a la temperatura T 0 hasta k 1 a la temperatura T 1. Deducir una expresión para el flujo de calor a través de la pared situada en r = r 0.
Entradas 2 r L qr r
Salidas 2 r L qr r r
2 r L q r r 2 r L qr r r 0 2 r L qr r 2 r L qr r r 2 L r
0
r q r r r qr r r 0 1 r r 2 q r
r
r 2 q r r
r
r r dq 0 dr
0
r
dqr dr
0
r
r qr C 1 q r
q r k
k
C 1 r
dT
dr dT C 1 dr
r
k dT C 1 T
C 1 k
dr r
ln r C 2
Se aplican condiciones límite
CL1
r r o
T T o
k k o
CL2
r r 1
T T 1
k k 1
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
T o
C 1
T 1
C 1
k o k 1
ln r o C 2 ln r 1 C 2
Despenjand o C 2 de la segunda ecuación C 2 T 1
C 3 k 1
ln r 1
Se sustituye en la primer ecuación T o
C 1 k o
ln r o T 1
T o T 1 C 1
C 1 k 1
C 3 k 1
ln r 1
ln r 1 ln r o
k 1 T o T 1 r ln 1 r 0 k T o T 1
C 2 T 1 C 2 T 1
r ln 1 r 0 k 1
T o T 1
ln r 1
ln r 1
r ln 1 r o T T 1 k T T 1 T 1 0 ln r T 1 o ln r 1 r 1 r 1 k ln ln r o r o T T 1 k T o ln r 1 1 ln r T 1 r k ln 1 r 0 q r k
dT dr
k 1 T 0 T 1 T o T 1 d q r k ln r T 1 ln r 1 r 1 r 1 dr ln k ln r r o o T T 1 k q r o r 1 r ln r o
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte Q q A A 2 r L Q
T o T 1 k 2 r L
r r ln 1 r o
1
Q k T o T 1 2 L ln r 1 ln r o k
k 1 k 2
2 k 1 k 2
Q
r 1 r o r o r 1 r o
1
T o T 1 2 L ln r 1 ln r o 2
0
1
r 1 r o
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
17. Estimar DAB para el sistema argón-oxígeno a 293.2 K y 1 atm de presión total. Utilizar
Tc (K) 151 154.4
A- Argón B - Oxigeno
Pc (atm) 48 49.7
M 39.94 32
/ K
(Å) 3.418 3.433
(K) 124 113
a) La ecuación de Slattery P D AB 1 3
PcA PcB T cA T cB
D AB
5 12
1 1 M M A B
T 2.745 10 4 T T cA cB
293.2 2.745 10 151 154 . 4
D A B 0.1888 cm
2
1.823 1 3
PcA PcB T cA T cB
5 12
1.823
1 1 M M A B
1
2
P
1.823
4
D AB
1
T 2.745 10 4 T T cA cB
1
48 49.7 3 151 154.4
5 12
1 1 39.94 32
1
2
2
s
b) La ecuación de Chapman - Enskog
D AB 0.0018583
1 3 1 T M M B A
AB
P AB AB 2
AB
Donde :
AB
AB K
K
A B
2
3.4255
124 114 118.3722
K T
2
A B K
3.418 3.433
AB
293.2 118.3722
2.4769
K
Se interpola con los valores siguientes K T
AB
2.40 2.50
AB 1.012 0.9996
AB
0.9996 1.012 2.50 2.40
2.4769 2.40 0.9996 1.002464
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
293.23
D AB
1
1
39.94 32 0.0018583 1 3.42552 1.0024644
D AB 0.1881 cm
2
s
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte 18. Estímese DAB para una mezcla constituida por 80 moles por ciento de metano y 20 moles por ciento de etano a 136 atm y 313 K. El valor experimental de (PDAB)° a 293 K es 0.163 atm cm 2/s.
A-Metano B -Etano
Tc (K) 190.5 305.4
Pc (atm) 45.8 48.2
xi 0.8 0.2
Datos T 313 K P 136 atm
P D AB 293 K 0.163
atm cm
2
s
T P D AB T P D AB 293 K 293
b
0.1823
313 atm cm 0.1838 P D AB 313 K 0.163 s 293 Pc ' xi Pci 46.28 atm T c ' Pr ' T r '
x T i
P Pc ' T T c '
ci
2
213.4 K
136 46.28 313 213.4
2.938 1.4667
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte P D AB
P D AB D AB
0.73
2 atm cm 0.73 0.1838 2 s 4 cm 9.8657 10
136 atm
s
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte 19. Se conoce el valor de D AB (0.151 cm2/s) para el sistema CO2 –aire a 293 K y 1 atm. Extrapólese DAB para 1500 K utilizando los métodos siguientes.
Tc (K) 304.2 132
A- CO2 B - Aire
Pc (atm) 72.9 36.4
M 14.01 28.91
/ K
(Å) 3.996 3.617
(K) 190 97.0
a) Ecuación de Slattery. P D AB 1 3
PcA PcB T cA T cB
D AB D AB
5 12
1 1 M M A B
T 2.745 10 4 T T cA cB
2
1.823 1 3
PcA PcB T cA T cB
5 12
1.823
1 1 M M A B
1
2
P
1500 2.745 10 304 . 2 132
1.823
4
D A B 2.2956 cm
1
T 2.745 10 4 T T cA cB
72.9 36.4
1 3
304.2 132
5 12
1 1 14.01 28.91
2
s
b) Ecuación de Chapman - Enskog
D AB 0.0018583
1 3 1 T M M B A
AB
P AB AB 2
AB
Donde :
AB
AB K
K
A B
2
3.8065
190 97 135.7571
K T
2
A B K
3.996 3.617
AB
293.2 118.3722
11.0491
K
Se interpola con los valores siguientes K T
AB
10.0 20.0
AB 0.7424 0.6640
AB
0.6640 0.7424 20 10
11.0491 10 0.7424 0.7341
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
1 2
Problemario de Fenómenos de Transporte
1500 3
1 28.91
44.01 1 3.80652 0.7341
D AB 0.0018583 D AB 2.4297 cm
1
2
s
c) Gráfico de Slattery
x P T ' x T Pc ' c
Pr ' T r '
P Pc ' T T c '
i
ci
0.5 72.9 0.5 36.4 54.65 atm
i
ci
0.5 304.2 0.5 132 218.1 K
1 54.65 1500 218.1
0.1829 6.8775
No es posible obtener un valor para
P D AB
P D AB
ya que la gráfica es para gases densos, y se está
trabajando con un gas ideal, además de que el valor de Tr obtenido no se encuentra en el gráfico.
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
20. Difusión de metano a través de helio Un tubo contiene CH4 y He gaseoso a 101.32 kPa de presión y 298 K. En un punto, la presión parcial del metano es PA1 = 60.79 kPa y en otro 0.02 m de distancia P A2 = 20.26 kPa. Si la presión total es contante en todo el tubo. Calcule el flujo específico de CH4 (metano) en estado estacionario para contradifusión equimolar. Z2= 0.02 m PA1 = 20.26 kPa Z1= 0 PA1 = 60.71 kPa
P1 = 101.32 kPa = 1 atm T = 298 K
Tc (K) 190.7 5.26
A- CH4 B - He
Pc (atm) 45.8 2.26
M 16.04 4.003
P D AB 1 3
PcA PcB T cA T cB
D AB
5 12
1 1 M M B A
T 2.745 10 4 T T cA cB
1
2
/ K
(Å) 3.822 2.576
(K) 137 10.2
T 2.745 10 4 T T cA cB
1.823 1 3
PcA PcB T cA T cB
5 12
1.823
1 1 M A M B
1
2
P
1.823
1 5 298 1 1 D AB 2.745 10 45.8 2.26 3 190.7 5.26 12 16.04 4.003 190.7 5.26 2 2 2 cm 1 m 5 m 7.6334 10 D A B 0.76334 s 10000 cm 2 s
4
1 2
P P A2 ln R T z2 z1 P P A1 7.6334 10 5 101325 101325 20260 4 kg mol ln N A 1.0818 10 2 m s 8314.32980.02 101325 60790 N A
D AB P
J A N A
C A
N A N B C J A N A x A N A
J A 1.0818 10
4
0.51.0818 10 5.409 10 4
5
kg mol A m s 2
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
21. Contradifusión equimolar de NH3 y N2 en estado estable. A través de un tubo recto de vidrio de 2.0 ft (0.610 m) de longitud con diámetro interno de 0.080 ft (24.4 mm). Se produce una contradifusión de amoniaco gaseoso (A) y nitrógeno gaseoso (B) a 298 K y 101.3 kPa. Ambos extremos del tubo están conectados a grandes cámaras de mezclado colocadas a 101.32 kPa. La presión parcial de NH 3 en una cámara es constante e igual a 20.0 kPa y en la otra cámara la presión es 6.666 kPa. La difusividad a 298 K y 101.32 kPa es 2.30 x10-5 m2/s. L NB ←
PA2 PB2
PA1 PB1
x
→
NA z1
z z2
P A1 20.0 kPa P A2 6.666 kPa L 0.61 m
a) Calcule la difusión del NH3 en lb mol/h y kg mol/s
P P A2 ln R T z 2 z1 P P A1 2.30 10 5 101325 101325 6666 7 kg mol ln N A 2.3411 10 2 8314.32980.61 101325 20000 m s 2 2 2 4 A r 0.0122 4.6759 10 m N A
D AB P
1.0946 10 10
kg mol
kg mol
4 2 10 4.6759 10 m 1.0946 10 2 m s kg mol 2.2046 lb 3600 s lb mol 8.688 10 7 s h 1 kg 1 h
N A A 2.3411 10
7
s
b) Calcule la difusión del N2 N A N B
c) Calcule las presiones parciales en un punto situado a 1.0 ft (0.305 m) en el tubo y grafíquese PA, PB y P en función de la distancia z
P
6.666 20 0.61
0.305 20 13.333 kPa
P 13333 Pa 1.33 10 Pa 4
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
22. Difusión de A a través de B en reposo y efecto del tipo de límite sobre el flujo específico. Se difunde amoniaco gaseoso a través de N 2 en estado estacionario, donde N2 es el gas que no se difunde, puesto que es insoluble en uno de los límite. La presión total es 1.013 x10 5 Pa y la temperatura marca 298 K. La presión parcial de NH3 e un punto es 1.333 x104 Pa y en el otro punto, situado a una separación de 20 mm es 6.666 x10 3 Pa. El valor de DAB para la mezcla a 1.013 x105 Pa es 2.30 x10-5 m2/s. a) Calcule el flujo específico de NH3 en kg mol/s m2 Datos : D AB 2.30 10
5
m
2
s
P 1.013 10 Pa 5
T 298 K P A1 1.333 10 Pa 4
P A2 6.666 103 Pa
P P A 2 ln R T z 2 z1 P P A1 2.30 10 5 101325 101325 1.333 10 4 kg mol 3.4332 10 6 ln N A 3 2 8314.32980.02 101325 6.666 10 m s N A
D AB P
b) Haga lo mismo que en (a) pero suponiendo que el N2 tambien se difunde, esto es, ambos límites son permeables a los dos gases y el flujo específico es una contradifusión equimolar. ¿En qué caso es mayor al flujo específico? d x A C A N A cD AB N A N B d z C D d P N A AB A N A N B 0 RT d z z2
N A d z z1
D AB RT
N A z 2 z1 N A N A
D AB RT
P A 2
d P
A
P A1
D AB
P A2 P A1 RT P A2 P A1 z 2 z1
2.30 10 6.666 10 5
8314.3298
3
1.333 10 4
0.02
3.0931 10 6
kg mol m s 2
La difusión es mayor en el caso planteado en el primer inciso.
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
23. Sublimación de pequeñas esferas de yodo en aire estático Una esfera de yodo, 1 cm de diámetro, se encuantra en aire estático a 40 °C y a 747 mmHg de presión. A esta temperatura la presión de vapor del yodo es de 1.03 mmHg. Se desea determinar la difusividad del sistema yodo-aire midiendo el índice de sublimación. Estimar la difusividad para el sistema aire-yodo a la temperatura y presión dadas anteriormente. Datos : T 40 C 313.15 K P 747 mmHg 0.9828 atm
Tc (K) 132 800
A-Aire B - Yodo
D AB 0.0018583
M 28.7 253.82
1 3 1 T M M A B P AB AB 2
AB K
/ K
(Å) 3.617 4.982
(K) 97.0 550
AB
AB
Donde :
AB
K
A B
2
4.2995
97 550 230.9761
K T
2
A B K
3.617 4.982
AB
313.15 230.9761
1.3557
K
Se interpola con los siguientes valores K T
AB
AB
1.35 1.40
AB
1.253 1.233
313.153 D AB 0.0018583 D AB 0.08925 cm
1
28.7
1.233 1.253 1.40 1.35
1.3557 1.35 1.253 1.25072
253.82 1
0.9828 4.2995 2 1.25072 2
s
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
24. Deducción alternativa de la difusión a través de una película estancada. En las ecuaciones (1) se obtuvo una expresión para calcular la velocidad de evaporación al diferenciar el perfil de concentración encontrado anteriormente. Demostrar que los mismos resultados pueden deducirse sin tener que encontrar el perfil de concentración. Nótese que en estado estacionario NAz es una constante según la ecuación (2), luego la ecuación (3) puede integrarse para obtener la ecuación (1). N Az z z 1
d N Az
cD AB d x A
1 x A1 d z
0
d z
N Az
z z1
cD AB d x B x B1
d z
z z1
cD AB z2 z1
x B 2 x B1
ln
--------- (1)
------- (2)
cD AB d x A
--------- (3)
1 x A d z
Balance Entradas S N Az z
-
1 S N 0 Az z Az z z S z N Az z z N Az z d N AZ 0 0 lim z 0 d z z d N Az 0 d z
S N
N AZ C 1 N AZ
Por Ley de Fick
C 1
cD AB d x A
1 x A d z
cD AB d x A
= =
0 0
C 2 C 1 z1 cD AB ln 1 x A1 C 2 C 1 z 2 cD AB ln1 x A 2 C 1 z 2 z1 cD AB ln 1 x A 2 ln 1 x A1 x A x B 1 x B 1 x A C 1 z 2 z1 cD AB ln x B 2 ln x B1 C 1
x B 2 z 2 z1 x B1 cD AB
N Az
1 x A d z
C 1 d z cD AB
Salidas S N Az z z
ln
x B 2 z 2 z1 x B1 cD AB
ln
d x A
1 x
A
C 1 z cD AB ln 1 x A C 2 Condiciones C 1
z z1
x A x A1
C 2
z z 2
x A x A2
C 1 z1 cD AB ln1 x A1 C 2 4 C 1 z 2 cD AB ln 1 x A 2 C 2 5 Se despeja C 2 de ambas y se igualan
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
25. Efecto de la transferencia de masa en perfiles de concentración a) Combine los resultados de las siguientes ecuaciones para obtener N z z1 1 x A exp Az 2 1 x A1 cD AB (1) ------- N Az
cD AB z 2 z1
x B 2 x B1
1 x A 1 x A2 1 1 x x A1 A1
ln
1 x A 1 x A2 z z1 ln 1 x 1 x z z 1 A1 A1 2
ln
N Az z 2 z1
1 x A 1 x A1
1 x A 2 1 x z z1 A1 z z 1 2
ln
De la ecuación 1
x B 2 cD AB 1 x A2 ln z 2 z1 x B1 z 2 z1 1 x A1 1 x A 2 N Az z 2 z1 ln 1 x cD AB A1
N Az
cD AB
ln
Se igualan ambas ecuaciones
---------- (2)
1 x A 1 x A1
ln
z z1 z z 1 2 1 x A N Az z 2 z1 z z 1 ln cD AB 1 x A1 z 2 z1 1 x A N Az z z 1 ln 1 x cD AB A1 cD AB
ln
z z1 z 2 z1
Aplicando e xponentes
1 x A N z z1 exp Az 1 x cD A1 AB 1 x A N z z1 exp Az 1 x cD A1 AB exp ln
b) Obtener el mismo resultado del inciso anterior integrando: cD AB d x A N Az
N Az d z cD AB
d x A
1 x
1 x A d z Aplicando e xponenciales
A
N Az z cD AB ln 1 x A C 1 Condiciones z z1
x A x A1
C 1 N Az z 1 cD AB ln 1 x A1
1 x A N z z1 exp Az 1 x cD A1 AB 1 x A N z z1 exp Az 1 x A1 cD AB exp ln
N Az z cD AB ln 1 x A N Az z1 cD AB ln1 x A1
1 x A N Az z z 1 cD AB ln 1 x A1 1 x A N Az z z1 cD AB 1 x A1
ln
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
Problemario de Fenómenos de Transporte
26. Determinación de la difusividad de un gas mediante dos bulbos (Análisis en estado cuasiestático) Una manera de medir las difusividades de un gas es mediante dos bulbos. El bulbo izquierdo y el tubo desde z=-L hasta z=0 son llenados con gas A. El bulbo derecho y el tubo desde z=0 hasta z=+L son llenados con el gas B. Al tiempo t=0, la valvula es abierta, y la difusión empieza, luego la concentración de A en ambos bulbos cambia. Uno mide x A+ en función del tiempo, y de esta manera se deduce DAB. Se desea encontrar las ecuaciones que describan dicha difusión. Ya que los bulbos son largos en comparación con el tubo, xA+ y xA cambian lentamente con el tiempo. Por lo tanto la difusión en el tubo puede ser tratada como un problema de estado cuasiestático, con las condiciones de frontera xA=xA- z=-L y xA=xA+ z=+L
-
z=-L
+
x =1-x A
z=0
z=+L
+
x A (t)
a) Escriba un balance molar de A en un segmento Δz del tubo (de un área transversal S) y demuestre que NAz=C1 S N Az z S N Az z z 0 1 S z lim
N Az z z N Az z
z d N Az 0 d z
z 0
0
d N AZ 0 d z
N AZ C 1
b) Demuestre que la ecuación N Az cD AB problema en N Az cD AB
x A x A N Az N Bz se simplifica, para este z
d x A
d z De acuerdo con la Ley de Fick 0 x A x A N Az N Bz N Az cD AB z d x A N Az cD AB d z c) Integre la ecuación del inciso b), usando respuesta de a) obtenga C2 d x A C 1 cD AB d z
C 1 d z cD AB d x A C 1 z cD AB x A C 2 C 2 C 1 z cD AB x A
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Problemario de Fenómenos de Transporte
d) Evalue la constante con la condiciones de frontera.
x A x A
z L
x A x A 1 x A
z L
C 2 C 1 z cD AB x A C 2 C 1 L cD AB x A
C 2 C 1 L cD AB 1 x A
C 1 L cD AB x A C 1 L cD AB 1 x A
2 L C cD 1 x x 2 L C cD 1 2 x cD 1 2 x C
C 1 L C 1 L cD AB 1 x A cD AB x A 1
AB
1
AB
AB
1
C 1
A
A
A
A
2 L cD AB 1
x A L 2
N Az c1 N Az
cD AB 1
x A L 2
M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
