Problemario Fenomenos Transporte1

Problemario de Fenómenos de Transporte

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA

FENÓMENOS DE TRANSPORTE

ELABORADO POR: M. EN C. MARÍA GUADALUPE ORDORICA MORALES

2008

M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales

Problemario de Fenómenos de Transporte 1. Estimación de viscosidad de un gas denso Estimar la viscosidad del nitrógeno a 68 °F y 1000 psig N2 Pc = 33.5 atm T = 68 F Tc = 126.2 K P = 1000 psig -6 μc = 180 x10 g/cms 1000 psi

Tr 

1 atm 14.6061 psi

=

T 293.15 K   2.3229 Tc 126.2 K

P 68 atm Pr    2.029 Pc 33.5 atm r  1.12

r 

68 atm

68  32  20 C 1 .8 20 C  20  273.15  293.15 K

C 

Con los valores obtenidos de Tr y Pr, se obtiene el valor de μr (Gráfico Uyehara)

     r  c c

g  g  4   1.12180  10 6   2.016  10 cm  s  cm  s  2.016 x10-4

g cm s

1 lbm 0.453593 kg

1 kg 1000 g

1 cm 0.0328 ft

=

1.355 x10-5

lbm ft s

2.0269 x10-5

lbm ft s

2. Estimación de viscosidad de fluoruro de metilo (CH3F) a 370 °C y 120 atm. CH3F ρc = 0.300 g/cm3 M = 34 g/mol T = 370 °C = 643.15 K Pc = 58.0 atm Tc = 4.55 °C =277.7 K P = 120 atm

c  7.70M 1 2 Pc 2 3Tc 1 6 c  7.70341 2 582 3 277.7 1 6 c  263.38  106 poise

Tr 

T 643.15 K   2.3159 Tc 277.7 K

Pr 

P 120 atm   2.206 Pc 58 atm

Con los valores obtenidos de Tr y Pr, se obtiene el valor de μr (Gráfico Uyehara)

 r  1.145     r  c r  c

g  g  4   1.145 263.38  10 6   3.015  10 cm  s  cm  s  3.015 x10-4

g cm s

1 lbm 0.453593 kg

1 kg 1000 g

1 cm 0.0328 ft

=


Problemario de Fenómenos de Transporte 3. Viscosidad de gases de baja densidad Predecir la viscosidad de oxígeno molecular, nitrógeno y metano a 20 °C y a presión atmosférica, expresar los resultados en mPa·s.

Compuesto

M

T (K)

σ (Å)

 /K

Oxígeno Nitrógeno Metano

32.00 28.02 16.04

293.15 293.15 293.15

3.433 3.681 3.822

113 91.5 137

O2

(K)

KT 



(y) (x) 2.5924 1.0818 3.2038 1.0217 2.1397 1.1488

N2





(poise)

(cpoise)

2.0277 x10-4 1.7475 x10-4 1.0907 x10-4

0.0202 0.0174 0.0109

CH4

KT 293.15 KT 293.15 KT 293.15   2.5924   3.2536   2.1397  113  90.1  137  y  y1  y  y1  x  x1   y1 m 2 y  y1  m x  x1   y   2 x 2  x1  x 2  x1  MT   2.6693 10 5  2   O2

 1.081  1.093     2.5934  2.50  1.093  1.0818  2.6  2.5  32293.15   2.6693 10 5   2.0277 10 4 poise 2 3.433 1.0818

N2

 1.014  1.022     3.2038  3.20  1.022  1.0217  3.3  3.2 

  2.6693 10 5 

28.02 293.15  1.7475  10  4 poise 2 3.681 1.0217 

CH4

 1.138  1.156     2.1397  2.1  1.156  1.1488  2.2  2.1 

  2.6693  10 5 

16.04293.15  1.0907  10  4 poise 3.8222 1.1488


Problemario de Fenómenos de Transporte Utilizando nomogramas para viscosidad de gases

O  2000 107 poise  0.02 centipoise 2

 N  1760 10 7 poise  0.0176 centipoise 2

CH  1000 10 7 poise  0.01 centipoise 4


Problemario de Fenómenos de Transporte 4. Flujo de una película descendente Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando en el origen de coordenadas de forma que x se mida a partir de la pared (es decir x = 0 corresponde a la pared y x = σ a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada por

 x  1  x  2     cos              2    

   g  2 v z    

Demostrar como se puede llegar a la distribución de velocidad de la ecuación anterior a partir de ecuación: zz max

2   g   2  cos    x   vz   1     2     

x 

 0 x 

x  x x

L

z0 x0 vz  0

   max x0 vz  0



Entradas Transporte viscoso

 xz  L  W

Transporte cinético

v z  W  x  

 xz  L  W x   xz  L  W



 xz

 v z  W  x   2

x  x

  xz  L  W

x

x  x



L  W  x   xz x x  x    g  cos  x

 d

xz

x x

 v z  W  x   2

z 0

z L

W  x  L    g  cos 

 1   xz  L  W x   xz  L  W x  x

  xz  L  W

x

2

Volumen

 xz  L  W

Salidas

 v z  W  x   2

z 0

 W  x  L    g  cos 



z L

 W  x  L    g  cos   0

W  x  L    g  cos  L  W  x 

d xz    g  cos  dx

  g  cos    dx

 xz    g  cos   x  C1 Condiciones de frontera :  xz  0 x   C1     g  cos      xz    g  cos   x    g  cos   



Ecuación de Newton

 xz   

dv z dx



igualando ecuaciones dv    z    g  cos   x    g  cos    dx    dv z    g  cos    x     dx

 dv

z



  g  cos    x     d x 

 x2    g  cos       x   2  C vz   2  Condiciones de frontera : v z  0 x  0  x2    g  cos       x   2  C2  0  vz     2 v z   2 

   g  cos   x 2   2        x    2  2       g  cos    2  x x2      vz  2     2      g  2 v z    

  

 x 1  x 2     cos           2     


Problemario de Fenómenos de Transporte 5. Flujo laminar en una rendija estrecha Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad.

P P   xz   0 L   x  L  vz

2 P0  PL   B 2   x      1

 

2 L

en las que P  p    g  h  p    g  z

    B  

Entradas Transporte viscoso

 xz  L  W


v z  W  x  

 xz  L  W x   xz  L  W

x  x

 p0  x  W  p L  x  W

x

  xz x



 xz

x  x

  xz



z 0

W  x  L    g

2

 v z  W  x   2

z 0



zL

x  x

 v z  W  x   2

Volumen

 v z  W  x  

  xz

2

P0  x  W

x  x

W  x  L

  xz  L  W

x

Presión

 xz  L  W x   xz  L  W

 1  

Salidas

 PL  x  W

 p 0  x  W  p L  x  W  W  x  L    g  0

W  x  L    g W  x  L

 p0  p L    g   L 

p0  p L d xz p  pL   0 g x L dx L  p0  p L   p0  p L   d xz    L    g   dx   xz  L  x    g  x  C1  xz  0 Condiciones de frontera x0 C1  0 x  x

 xz 

x

P0  PL  L

zL

 g 

x



Ecuación de Newton dv  xz     z dx P  PL   x dv  z  0 dx L P  PL   x  dx dv z   0 L

 dv  

P0  PL  

L Condiciones de z

C2 

 x  dx



frontera :

P0  PL   4  B

vz  

P0  PL   x 2  C

vz  0

L x  2 B

2

2

2

L 2 P  PL  x 2 P0  PL  4  B 2    vz   0 L L 2 2  P  PL    4  B2  x2 vz   0   2   L   B 2    P  PL    4  B2  x2 v z   2     0   B   2  L 







vz

   BB  

2 2

  

2 P0  PL  2   x     B  4

2  L

 

    B  


Problemario de Fenómenos de Transporte 6. Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo circular En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsérvese que las flechas de entrada de cantidad de movimiento se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendiente (despreciando los efectos finales) es:

  g  R2 v2  4

  r 2  r   1     2  a 2  ln   R    R 

Entradas

Salidas

Transporte viscoso

 rz  L  2    r r

  rz  L  2    r r  r


v z  2    r  r   2

zL

2  r  r  L    g

Fuerza de gravedad

 rz  L  2    r r   rz  L  2    r r r  v z  2    r  r  

 v z  2    r  r   2

z 0

2

 v z  2    r  r   2

z 0

z L

 2  r  r  L    g  0

 rz  L  2    r r   rz  L  2    r r  r 2  r  r  L    g  2    r  L 2    r  L     r   r r  d rz  1   rz r rz r r  r    g    rg dr r  



r   d rz    g   r  dr r2  C1 2 r 2 C1   rz    g  2 r r r  rz    g 

Condiciones

de

frontera

 rz  0

  g  r   g  aR 2  2 2r Ecuación de Newton dv  rz     rz dr dv   g  r   g  aR 2    rz   dr 2 2r dvrz   g  r   g  aR 2    dr 2 2 r

r  aR



C1  

  g  aR 2 2

 rz 

2  dvrz   g  aR    r  dr 2  r 

  g  aR 2   r   dr  2   r  g  r2  2  aR   ln r    C 2 vrz  2  2

 dvrz 

Condiciones

de

frontera

vz  0

rR



vrz 

g  r2    g  R2  2 2  aR   ln r     aR   ln R   2  2  2  2 

vrz 

g  r2 R2  2 2  aR   ln r   aR   ln R  2  2 2 

g  R2  2  aR   ln R   C2   2    2 

2 g  r2  r R 2  aR   ln     2  2 R 2 2   g  R2  r r  2 vrz   2  a  ln   1     4  R  R   

vrz 


Problemario de Fenómenos de Transporte 7. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro exterior Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario y la velocidad volumétrica de flujo. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz

 1   v z  1  2 v z  2 v z  v v v v  p  v  2   g z   z  vr z   z  vr z       r  2 2 z z  r r  z   t  r r  r  r  vr  0 v  0 vz  ?  1   v z  1 d  dv z  0    r  r 0 r dr  dr   r r  r   dv   d  r drz   0   dr dv r z  C1 dr C dr  dv z  1 dr dv z  C1    r r v z  C1  ln r  C 2        1 Condiciones

de

frontera

CL1 v z  Vmax CL 2 vz  0

C1  ln KR  C 2  Vmax      2 



d  dv z  r 0 dr  dr 

r  KR rR

C1  ln R  C 2  0        3 Se despeja C 2

de

3

C 2  C1  ln R      se

sustituye en

2 

Vmax  C1  ln KR  C1  ln R  KR  Vmax  C1  ln   Vmax  C1  ln K  R  V V  ln R  C1  max C 2   max ln K ln K V V  ln R V V r v z  max  ln r  max  v z  max  ln r  ln R   max  ln  ln K ln K ln K ln K  R  r ln  vz R    Vmax ln K


Problemario de Fenómenos de Transporte Para obtener  rz

Ecuación de Newton dv  rz     z dr   r   Vmax  ln   d  R  rz        ln K dr       Vmax d  rz   ln r  ln R  dr ln K





 rz 

  Vmax d   r     ln   dr   R   ln K

 rz 

  Vmax  1    ln K r


Problemario de Fenómenos de Transporte 8. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto de 18 in de diámetro. Calcule la caída de presión en un tramo de 1 milla de longitud debido a la fricción en la pared del conducto, si éste transporta 15.0 ft3/s de agua a 50 °F. A 50 y 60 °F el peso específico de H2O es 62.4 lbf/ft3. Se analiza la ecuación general de energía 2

2

P1 V P V  z1  1  h A  hr  hL  2  z 2  2 2g 2g   P1 P2   hL   P1  P 2  hL   Datos del problema

concreto  42  10 2 ft

 H O  62.4 lb f ft 3 2

 5280 ft    5280 ft z  1 milla  1 milla   1 ft    1.5 ft D  18 in   12 in    1 ft    0.75 ft r  9 in    12 in    15 ft 3 s T  50  F Cálculo de viscosidad, # de Reynolds y velocidad de flujo.

  1.27  10  2

g  2.20  10 3 lbm  30.48 cm   4 lbm    8 . 53 10     1g cm  s  ft  s  1 ft 

A    r 2    0.75 ft   1.7671 ft 2 2

V 

3 15 ft

s  8.4882 ft s 1.7671 ft 2 V DP Re   A



  8.4882 ft 1.5 ft  62.4 lb f 3 s ft     Re   930513  flujo turbulento  4 lbm 8.53  10 ft  s


Problemario de Fenómenos de Transporte Del diagrama de Moody

D 1.5 ft   3.57  42  10  2 ft

f  0.06

hL  f 

L V2  D 2g

hL  0.06  

5280 ft   8.4882 ft s 2  236.2866 ft 1.5 ft  2  32.2 ft s 2 

P  hL   lb f  lb f  1 ft   P  236.2866 ft    62.4 3   14744.2891 2   ft  ft  12in   lb f P  105.34 2 in

2


Problemario de Fenómenos de Transporte 9. En la figura se observa una parte del sistema de protección contra incendios en el cual una bomba saca agua a 60 °F de un recipiente y la transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcule la altura h, requerida para el nivel del agua en el tanque, con el fin de mantener 5.0 lb/pulg2 relativa presión en el punto A. A 50 y 60 °F el peso específico del agua es de 63.4 lbf/ft3 Para tubo de acero calibre 40 de 8 in el diámetro interno es 0.6651 ft Para tubo de acero calibre 40 de 10 in el diámetro interno es 0.8350 ft.

2

V  1500 gal min P2  5.0 lb in 2 D1  0.8350 ft D2  0..6651 ft

  62.4 lb f ft 3 z 2  25 ft z1  ?

2

P1 V P V  z1  1  hA  hr  hL  2  z 2  2   2g 2g P z1  2 

lb f lb f  1 ft  3   62.4 3    0.03611 3 in ft  12in  lb 5.0 2  1 ft  in z1   138.4657 in   11.53 ft lb f  12in  0.03611 3 in


Problemario de Fenómenos de Transporte 10. Predicción de conductividades caloríficas de gases a baja densidad. a) Calcular la conductividad calorífica del argón a 100 °C y 1 atm de presión, utilizando la teoría de Chapman-Enskog y las constantes de Lennard-Jones deducidas de los datos de viscosidad. M Ar

39.944



k

(Å) 3.418

(°K) 124

k

T 

3.00

k 1.039

T  100 C  373.15  K T

k  1.9891  10

4

k  1.9891  10

4

M   k 2

373.15

k  5.008  10 5

39.944 3.418  1.039 cal cm  s   K 2

b) Calcular las conductividades caloríficas de óxido nítrico (NO) y del metano (CH4) a 300 °K y presión atmosférica, utilizando los siguientes datos para las mismas condiciones

NO CH4

M (g/mol) 30.01 16.04

 10 7 (g/cm s) 1929 1116

Cp (g/mol °K) 7.15 8.55

5   k   Cp  R  4 M  cal R  1.987 mol   K 7 5   1929  10 k NO   7.15  1.987  4   30.01 cal k NO  619.34  10 7 cm  s   K

7 5   1116  10 k CH 4   8.55  1.987  4   16.04 cal k CH 4  767.68  10 7 cm  s   K


Problemario de Fenómenos de Transporte 11. Predicción de la conductividad calorífica de un gas denso. Predecir la conductividad calorífica del metano (CH4) a 110.4 atm y 52.8 °C por los dos métodos siguientes: a) Utilizando el diagrama de Owens, tomando las propiedades críticas que sean necesarias

T  52.8 C  325.95  K P  110.4 atm

CH4

Tc (°K) 190.7

Pc (atm) 45.8

Tr 

T Tc

Pr 

P Pc

Tr 

325.95  1.709 190.7

Pr 

110.4  2.41 45.8

kc x10-6 (cal/s cm °K) 158

Diagrama de Owens

k r  0.77 kr 

k kc

k  kr  kc cal   k  0.77   158  10 6  s  cm   K   k  1.2166  10  4 k  0.04379

cal s  cm   K

 3600    1h

s   100 cm   1 Kcal           1 m   1000 cal 

Kcal h  m  K


Problemario de Fenómenos de Transporte 12. Conducción de calor desde una esfera a un fluido estancado Una esfera caliente de radio R esta suspendida en una gran masa de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de calor en el fluido que rodea la esfera. Se supone que los efectos de la convección libre son despreciables. a) Plantear la ecuación diferencial que describe la temperatura T del fluido circundante en función de r, la distancia desde el centro de la esfera. La conductividad calorífica k del fluido es constante. b) Integrar la ecuación diferencial y utilizar las siguientes condiciones límite, para determinar las constantes de integración. T  TR CL1: para rR CL2:

r 

para

Entradas

4    r  qr

Salidas

 4    r 2  qr

2

4    r 2  qr  4    r 2  qr

r  r

4    r 2  qr  4    r 2  qr

r  r

r

r

4    r  r 2  qr  r 2  qr  r  r  r 2  qr

r  r

r  r

 r 2  qr

r

r

r

r  r

0 0

  0  1   0



Se sustitye qr por la ley de Fourier

q r  k

T  T





d r 2  qr 0 dr

dT dr

d  2 dT   r  k    0 dr  dr  dT    d  r  k  dr   0 dr 2

r 2  k 

dT  C1 dr C dT   1 2 dr k r C1  2  dT   k  r dr C T  1  C2 k r


Problemario de Fenómenos de Transporte Se aplican las condiciones iniciales CL1:

para

CL2:

para

rR r 

T  TR T  T

C1  C2 kR C T  1  C 2  T  C 2 k  C TR   1  T kR C1  T  TR   k  R

TR  

T 

T  TR   k  R  T k r



R T  T  T  TR   r Se sustituye en la ley de Fourier para obtener una ecuación para qr

dT dr d   R  q r  k  T  T  TR    dr   r  q r  k

R q r  k T  TR  2  r 


Problemario de Fenómenos de Transporte 13. Calentamiento viscoso en el flujo a través de una rendija Deducir una expresión para la distribución de temperatura T(x) en un fluido viscoso que circule con flujo laminar por el espacio comprendido entre dos grandes láminas paralelas tal como se indica en la figura. Ambas láminas se mantienen a temperatura constante T0. Téngase en cuenta el calor generado por disipación viscosa. Desprecie la variación de k y μ con la temperatura.

De las ecuaciones de variación (coordenadas rectangulares)

 v  2  v y   2T  2T  2T   T T T T    k  2  2 pCv   vx  vy  vz  2  x    2  x y z  y z   t  x  x   y 2  v v y  x     x   y

2 2   v z          z   2 2  v x v z   v y v z          x   z y    z 

quedando

  2T   v  k  2    z   0  x   x  v z Vb x v z  Vb   b b x 2

 2T V   k 2   b  x b 

 V    T    b   kb  x  x 

Se aplican condiciones límite

2

   Vb  2      x  C1 x   T   k  b    

2

  Vb   T    x    k  b 

T  V     b  x  C1 x kb

2

2

 V  T    b  x 2  C1 x  C 2 2k  b  2

 x CL1

x  0 T  T0

CL2

x  b T  T1



CL1 To  C 2 CL2

 V  T1    b  b 2  C1b  To 2k  b  T1  To    Vb 2 2k C1  b 2 2   Vb  Tb  To    Vb  C1    C1  2k  b  b 2k  b  2

 

Se sustituyen valores de C1 y C2 2 2   Vb  2   Vb  T    x   x  To 2k  b  2k  b 

T  To 

1  2  x  x  Vb   1   2k  b  b 


Problemario de Fenómenos de Transporte 14. Temperatura máxima de un lubricante Un aceite actúa como lubricante de dos superficies cilíndricas como las de la figura. La velocidad angular del cilindro exterior es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5.06 cm y la luz entre los 2 cilindros, 0.027 cm ¿Cuál es la máxima temperatura en el aceite si se sabe que la temperatura de ambas paredes es de 70 °C? Las propiedades físicas del aceite son: Viscosidad 92.3 cp Densidad 1.22 g/cm3 Conductividad calorífica 0.0055 cal/s cm °C Del problema anterior, aplicando las ecuaciones de variación se obtiene

  2T   v  k  2    z   0  x   x  v z Vb x v z  Vb   B b x 2

T V   k 2   b  x b 2

2

 V    T     b  kb x  x    Vb   T    x    k  b 

 x

 V  T    b  x  C1 kb x 2

   Vb  2   T     k  b  x  C1 x  

 V  T    b  x 2  C1 x  C 2 2k  b  2

x  o T  To

CL1

CL2 x  b T  Tb To  C 2

 V  Tb    b  b 2  C1b  To 2k  b  Tb  To    Vb 2 2k C1  b 2 2   Vb  Tb  To    Vb  C1    C  1 2k  b  b 2k  b  2

 

2

2

Se aplican condiciones iniciales

Se sustituyen valores de C1 y C2 2 2   Vb  2   Vb  T    x   x  To 2k  b  2k  b 

T  To 

1  2  x  x  Vb   1   2k  b  b 


Problemario de Fenómenos de Transporte 15. Transmisión de calor en el acoplamiento de una barra de combustible nuclear. Considere una barra larga de combustible nuclear que esta rodeada por una plancha anular de un revestimiento de aluminio, tal como se indica en la figura. Debido al proceso de fisión, se produce calor en el interior de la barra de combustible; el desarrollo de calor depende de la posición, variando la intensidad del manantial calorífico de acuerdo con la expresión aproximada:

  r S n  S n 0 1  b   RF

  

2

  

Siendo Sn0 el calor producido por unidad de volumen y unidad de tiempo para r=0, y r la distancia desde el eje de la barra de combustible, si la superficie externa de la vaina de aluminio esta en contacto con un liquido regrigerante cuya temperatura es Tr y el coeficiente de transmisión de calor en la interfase vaina-refrigerante es hL. Las conductividades caloríficas de la barra y la vaina son kF y kC.

Balance 1 (Barra de combustible) Entradas

Salidas

2    r  L  qr Volumen

2    r  L  qr r  2    r  L  qr

r  r

2    r  L  qr r  2    r  L  qr

r  r

 r  qr    r 2  qr

r

2    L  r   r  q r r  r  r  Sn  1  r 

r  r

 r 2  qr

r

 r  dq

r

r

 r  Sn

r

 2    r  L  qr

r  r

2    r  L  r  Sn

 2    r  L  r  Sn  0 

 2    r  L  r  Sn 2    L  r

 r

dqr  r  Sn dr

  Sn   r  dr

r  qr  Sn

r2 r C  C1  q r  Sn  1 2 2 r




CL1

r  0 qr  0

CL2

r  Rf

T  TF

C1  0 q r  Sn

r 2

qr  .  k

dT dr

dT r  Sn dr 2 Sn  k   dT  r  dr 2  Sn T   r 2  C2 4k Sn 2 TF   RF  C 2 4k Sn 2 C 2  TF  RF 4k Sn Sn 2 T   r 2  TF  RF 4k 4k Sn 2 T  TF  RF  r 2 4k k





Balance 2 (Revestimiento de Aluminio) Entradas

2    r  L  qr 2    r  L  q r r  2    r  L  qr

r  r

2    r  L  qr r  2    r  L  q r

r  r

 r  qr    r 2  qr

r

2    L  r   r  qr r  r  0  1  r 

r  r

 r 2  qr

r

r

 r  dq

r

0

Salidas

 2    r  L  qr

r

 r

r  r

0 0

dqr 0 dr

 0 dr

r  q r  C3  q r 

C3 r



dT dr dT C3 k  dr r

qr  k

 k   dT  C3  T 

dr r

C3 ln r  C 4 k


CL3

r  Rf

T  TF

CL4

r  Rc

T  Tc

C3 ln R f  C 4 k C Tc   3 ln Rc  C 4 k Despenjando C 4 de ambas ecuaciones TF  

C3 ln R f k C C 4  Tc  3 ln Rc k C C TF  3 ln R f  Tc  3 ln Rc k k C C C TF  Tc  3 ln Rc  3 ln R f  3 ln Rc  ln R f  k k k k TF  Tc  C3  R  ln c  R f   k TF  Tc   R ln c  R f   ln R f C 4  TF  k T  Tc  ln R C 4  TF  F f  Rc  ln  Balance 3 (Refrigerante)  Rf  T  Tc  ln r  T  TF  Tc  ln R T  F f F  Rc  R  ln c ln  R   f    Rf  T  Tc   ln R f  T  TF  F R   r  ln c    Rf  C 4  TF 


Problemario de Fenómenos de Transporte 16. Conducción de calor un anillo circular El calor fluye a través de una pared anular cuyo radio interno es r0 y el externo r1. La conductividad calorífica varía linealmente con la temperatura desde k0 a la temperatura T0 hasta k1 a la temperatura T1. Deducir una expresión para el flujo de calor a través de la pared situada en r = r0.

Entradas

2    r  L  qr 2    r  L  qr r  2    r  L  qr

r  r

2    r  L  qr r  2    r  L  qr

r  r

 r  qr   

r

r 2  qr

2    L  r   r  qr r r  0  1  r 

r  r

 r 2  qr

r

r

 r  dq

r

0

Salidas

 2    r  L  qr

r

r  r

0 0

 r

dqr 0 dr

CL1

r  ro

T  To

k  ko

CL2

r  r1 T  T1

k  k1

 0 dr

r  qr  C1  q r 

C1 r

dT dr dT C1 k  dr r

qr  k

 k   dT  C1  T 

dr r

C1 ln r  C 2 k




To  

C1 ln ro  C 2 ko

T1  

C1 ln r1  C 2 k1

Despenjando C 2 de la segunda ecuación C 2  T1 

C3 ln r1 k1

Se sustituye en la primer ecuación C C To   1 ln ro  T1  3 ln r1 ko k1 To  T1  

C1 ln r1  ln ro  k1

k1 To  T1  r ln 1   r0  k To  T1  r ln 1  r0   C 2  T1  ln r1 k1 C1 

C 2  T1 

To  T1  ln r

ln r1   ro  T  T  k T  T  T   1 0 1 ln r  T1  o 1 ln r1 k ln r1  ln r1  r  o  ro  T  T   k  T  o 1  ln r1  1 ln r   T1 k  ln r1   r  0 dT qr  k dr     To  T1  d  k1 T0  T1  qr  k  ln r  T1  ln r1  dr  k ln r1   ln r1   r    r  o  o   T  T   k  qr  o 1    ln r1   r   ro  1



Q  q A A  2   r  L Q

To  T1    k   2    r  L

  r1   r   ln   ro 

Q   k To  T1  2    L ln r1  ln ro 

1

k1  k 2 2 k k  1 Q   1 2 To  T1  2    L ln r1  ln ro   2  k

r1  ro 0 ro r1 1 ro r1  ro



17. Estimar DAB para el sistema argón-oxígeno a 293.2 K y 1 atm de presión total. Utilizar Pc (atm) 48 49.7

Tc (K) 151 154.4

A- Argón B - Oxigeno



M 39.94 32

(Å) 3.418 3.433

/ K (K) 124 113

a) La ecuación de Slattery

P  D AB

PcA  PcB 

1 3

 TcA  TcB 

5 12

 1 1    MA MB

 T 2.745  10   T T  cA cB  4

D AB

   

 293.2   2.745  10    151  154.4  2  0.1888 cm s

D AB

  

1

2

1.823

 PcA  PcB   TcA  TcB  1 3

5 12

   

1.823

 1 1      MA MB 

1

2

P 1.823

4

D AB

 T  2.745  10   T T  cA cB 4

 48  49.7  3  151  154.4  1

5 12

1   1     39.94 32 

1

2

b) La ecuación de Chapman - Enskog

D AB

 1 1 T 3    MA MB  0.0018583  2 P   AB   AB

Donde :  B  AB  A 2 AB A B   K K K

  

 AB 

3.418  3.433  3.4255 2

AB  124  114  118.3722 K  K T 293.2   2.4769 AB 118.3722

Se interpola con los valores siguientes

K T

AB

2.40 2.50

 AB 1.012 0.9996

 AB 

0.9996  1.012  2.4769  2.40  0.9996  1.002464 2.50  2.40



293.23  

D AB

1 1     39.94 32   0.0018583  1  3.42552  1.0024644 

D AB  0.1881 cm

2

s


Problemario de Fenómenos de Transporte 18. Estímese DAB para una mezcla constituida por 80 moles por ciento de metano y 20 moles por ciento de etano a 136 atm y 313 K. El valor experimental de (PDAB)° a 293 K es 0.163 atm cm2/s.

A-Metano B -Etano

Tc (K) 190.5 305.4

Pc (atm) 45.8 48.2

xi 0.8 0.2

Datos T  313 K P  136 atm

P  DAB  293 K

 0.163

atm  cm 2 s

P  DAB T  P  D AB  293 K

 T     293 

P  DAB 313 K  0.163   313 

b

0.1823

 293  Pc '   xi  Pci  46.28 atm

 0.1838

atm  cm 2 s

Tc '   xi  Tci  213.4 K Pr ' 

136 P   2.938 Pc ' 46.28

Tr ' 

313 T   1.4667 Tc ' 213.4



P  DAB  0.73 P  DAB 

DAB

 atm  cm 2    0.73   0.1838 2 s    9.8657  10 4 cm  136 atm s


Problemario de Fenómenos de Transporte 19. Se conoce el valor de DAB (0.151 cm2/s) para el sistema CO2 –aire a 293 K y 1 atm. Extrapólese DAB para 1500 K utilizando los métodos siguientes. Pc (atm) 72.9 36.4

Tc (K) 304.2 132

A- CO2 B - Aire



M 14.01 28.91

(Å) 3.996 3.617

/ K (K) 190 97.0

a) Ecuación de Slattery.

P  D AB

PcA  PcB 

1 3


5 12

 1 1    MA MB

 T 2.745  10   T T  cA cB  4

D AB D AB D AB

 T  2.745  10   T T  cA cB 4

   

  

1

2

1.823

 PcA  PcB   TcA  TcB  1 3

5 12

   

1.823

 1 1      MA MB 

1

2

P

1500    2.745  10    304.2  132  2  2.2956 cm s

1.823

4

 72.9  36.4 

1 3

 304.2  132 

5 12

1   1     14.01 28.91 

b) Ecuación de Chapman - Enskog

D AB

 1 1 T 3    MA MB  0.0018583  2 P   AB   AB


  

 AB 

3.996  3.617  3.8065 2

 AB  190  97  135.7571 K  293.2 K T   11.0491  AB 118.3722

Se interpola con los valores siguientes

K T

AB

10.0 20.0

 AB 0.7424 0.6640

 AB 

0.6640  0.7424  11.0491  10  0.7424  0.7341 20  10


1

2


1500 3  

1 1     44.01 28.91 

D AB  0.0018583  D AB  2.4297 cm

1  3.80652  0.7341

2

s

c) Gráfico de Slattery

Pc '   xi  Pci  0.5  72.9   0.5  36.4   54.65 atm

Tc '   xi  Tci  0.5  304.2   0.5  132   218.1 K Pr ' 

1 P   0.1829 Pc ' 54.65

Tr ' 

T 1500   6.8775 Tc ' 218.1

No es posible obtener un valor para

P  D AB ya que la gráfica es para gases densos, y se está P  D AB 

trabajando con un gas ideal, además de que el valor de Tr obtenido no se encuentra en el gráfico.


Problemario de Fenómenos de Transporte 20. Difusión de metano a través de helio Un tubo contiene CH4 y He gaseoso a 101.32 kPa de presión y 298 K. En un punto, la presión parcial del metano es PA1 = 60.79 kPa y en otro 0.02 m de distancia PA2 = 20.26 kPa. Si la presión total es contante en todo el tubo. Calcule el flujo específico de CH4 (metano) en estado estacionario para contradifusión equimolar. Z2= 0.02 m PA1 = 20.26 kPa Z1= 0 PA1 = 60.71 kPa

P1 = 101.32 kPa = 1 atm T = 298 K Pc (atm) 45.8 2.26

Tc (K) 190.7 5.26

A- CH4 B - He

16.04 4.003

P  D AB

PcA  PcB 

D AB

1 3


5 12

 1 1    MA MB

 T 2.745  10 4   T T  cA cB 

298    2.745 10    190.7  5.26  4

DAB  0.76334

NA  NA 

cm 2 s

(Å) 3.822 2.576

/ K (K) 137 10.2

 T  2.745  10   T T  cA cB 4

   

  

1

2

1.823

1.823

DAB



M

 PcA  PcB   TcA  TcB  1 3

5 12

   

1.823

 1 1      MA MB 

1

2

P

 45.8  2.26  190.7  5.26 1 3

5 12

1   1     16.04 4.003 

1

2

2  1 m2  5 m     7 . 6334  10 2  s  10000 cm 

 P  PA2  DAB  P   ln R  T   z2  z1   P  PA1 

7.6334  10 101325  ln 101325  20260   1.0818  10 5

8314.32980.02

 101325  60790 

4

kg  mol m2  s

CA N A  N B  C J A  N A  xA  N A JA  NA 









J A  1.0818  10  4  0.5 1.0818  10  4  5.409  10  5

kg  mol A m2  s


Problemario de Fenómenos de Transporte 21. Contradifusión equimolar de NH3 y N2 en estado estable. A través de un tubo recto de vidrio de 2.0 ft (0.610 m) de longitud con diámetro interno de 0.080 ft (24.4 mm). Se produce una contradifusión de amoniaco gaseoso (A) y nitrógeno gaseoso (B) a 298 K y 101.3 kPa. Ambos extremos del tubo están conectados a grandes cámaras de mezclado colocadas a 101.32 kPa. La presión parcial de NH3 en una cámara es constante e igual a 20.0 kPa y en la otra cámara la presión es 6.666 kPa. La difusividad a 298 K y 101.32 kPa es 2.30 x10-5 m2/s. L NB ← PA2 PB2

PA1 PB1

x

→ NA z1

z z2

PA1  20.0 kPa PA 2  6.666 kPa L  0.61 m

a) Calcule la difusión del NH3 en lb mol/h y kg mol/s

NA  NA 

 P  PA2  D AB  P   ln R  T   z 2  z1   P  PA1 

2.30 10 101325  ln 101325  6666   2.341110 5

8314.32980.61  101325  20000  2 A    r 2    0.0122  4.6759  10 4 m 2

7

kg  mol m2  s

kg  mol   4 2 10 kg  mol N A  A   2.3411 10 7  4.6759  10 m  1.0946  10 2 s m s   kg  mol  2.2046 lb   3600 s  lb  mol      8.688 10 7   1.0946  10 10 s h  1 kg   1 h 





b) Calcule la difusión del N2

N A  N B

c) Calcule las presiones parciales en un punto situado a 1.0 ft (0.305 m) en el tubo y grafíquese PA, PB y P en función de la distancia z

6.666  20  0.305  20  13.333 kPa 0.61 P  13333 Pa  1.33  10 4 Pa P


Problemario de Fenómenos de Transporte 22. Difusión de A a través de B en reposo y efecto del tipo de límite sobre el flujo específico. Se difunde amoniaco gaseoso a través de N2 en estado estacionario, donde N2 es el gas que no se difunde, puesto que es insoluble en uno de los límite. La presión total es 1.013 x105 Pa y la temperatura marca 298 K. La presión parcial de NH3 e un punto es 1.333 x104 Pa y en el otro punto, situado a una separación de 20 mm es 6.666 x103 Pa. El valor de DAB para la mezcla a 1.013 x105 Pa es 2.30 x10-5 m2/s. a) Calcule el flujo específico de NH3 en kg mol/s m2

Datos : m2 D AB  2.30  10 s 5 P  1.013  10 Pa T  298 K 5

PA1  1.333  10 4 Pa PA 2  6.666  103 Pa NA   NA  

 P  PA 2  D AB  P   ln R  T   z 2  z1   P  PA1 

2.30  10 101325  ln 101325  1.333  10 5

8314.32980.02 

 6 kg  mol  101325  6.666  10 3   3.4332  10 m2  s   4

b) Haga lo mismo que en (a) pero suponiendo que el N2 tambien se difunde, esto es, ambos límites son permeables a los dos gases y el flujo específico es una contradifusión equimolar. ¿En qué caso es mayor al flujo específico?

d xA C A N A  N B   C dz D d PA NA  NB  0  N A   AB RT d z N A  cDAB

z2

D N A  d z   AB RT z1

PA 2

d P

A

PA1

N A  z 2  z1   

DAB PA2  PA1  RT D P  PA1  N A   AB A 2 RT  z 2  z1  NA  

2.30  10   6.666  10 5

8314.3298

 1.333  10 4 kg  mol  3.0931  10 6 0.02 m2  s 3

La difusión es mayor en el caso planteado en el primer inciso.


Problemario de Fenómenos de Transporte 23. Sublimación de pequeñas esferas de yodo en aire estático Una esfera de yodo, 1 cm de diámetro, se encuantra en aire estático a 40 °C y a 747 mmHg de presión. A esta temperatura la presión de vapor del yodo es de 1.03 mmHg. Se desea determinar la difusividad del sistema yodo-aire midiendo el índice de sublimación. Estimar la difusividad para el sistema aire-yodo a la temperatura y presión dadas anteriormente.

Datos : T  40 C  313.15 K P  747 mmHg  0.9828 atm Tc (K) 132 800

A-Aire B - Yodo

D AB



M 28.7 253.82

 1 1  T 3   MA MB  0.0018583  2 P   AB   AB

  


(Å) 3.617 4.982

 AB 

/ K (K) 97.0 550

3.617  4.982  4.2995 2

 AB  97  550  230.9761 K  313.15 K T   1.3557  AB 230.9761

Se interpola con los siguientes valores

K T

 AB

AB

1.35 1.40

 AB 

1.253 1.233

1.233  1.253  1.3557  1.35  1.253  1.25072 1.40  1.35

313.153   D AB  0.0018583  D AB  0.08925 cm

1 1     28.7 253.82 

0.9828  4.29952  1.25072 2

s


Problemario de Fenómenos de Transporte 24. Deducción alternativa de la difusión a través de una película estancada. En las ecuaciones (1) se obtuvo una expresión para calcular la velocidad de evaporación al diferenciar el perfil de concentración encontrado anteriormente. Demostrar que los mismos resultados pueden deducirse sin tener que encontrar el perfil de concentración. Nótese que en estado estacionario NAz es una constante según la ecuación (2), luego la ecuación (3) puede integrarse para obtener la ecuación (1).

N Az z  z   1

cDAB d x A 1  x A1 d z

 z  z1

cDAB d xB xB1 d z

 z  z1

cDAB  xB 2   ln z2  z1  xB1 

--------- (1)

d N Az  0 ------- (2) dz cD d x A --------- (3) N Az   AB 1  xA d z



Balance

S  N lim

 S  N Az

Az z

N Az

z  z

z

z

z 0

 dN

 N Az

z  z

Az

Entradas

-

S  N Az

-

z



1    0    S  z 

0



d N AZ 0 dz

 0d z

N AZ  C1 N AZ  

Por Ley de Fick  C1  

cDAB d x A 1  xA d z

cDAB d x A 1  xA d z

C1  d z  cDAB 

Salidas

S  N Az

z  z

=

0

=

0

C 2  C1  z1  cD AB ln 1  x A1 

C 2  C1  z 2  cD AB ln1  x A 2 

C1   z 2  z1   cD AB  ln 1  x A 2   ln 1  x A1  x A  xB  1  xB  1  x A

C1   z 2  z1   cD AB  ln  x B 2   ln  x B1  C1 

x cD AB ln B 2 z 2  z1   x B1

  

 N Az 

x cD AB ln B 2 z 2  z1   x B1

  

d xA 1  xA

C1  z  cDAB ln 1  x A   C 2 Condiciones C1 z  z1

x A  x A1

z  z2

x A  x A2

C2

C1  z1  cDAB ln 1  x A1   C2  4

C1  z 2  cDAB ln 1  x A 2   C 2  5 Se despeja C 2 de ambas y se igualan


Problemario de Fenómenos de Transporte 25. Efecto de la transferencia de masa en perfiles de concentración a) Combine los resultados de las siguientes ecuaciones para obtener

 N  z  z1   1  xA   exp Az 2 cD 1  x A1 AB  

(1) ------- N Az

cD AB  x B 2  ln z 2  z1  x B1

 1  xA   1  x A2   ln ln  1  x A1   1  x A1  1  x A2 ln  1  x A1

  

 1  x A   1  x A2      1  x A1   1  x A1

 1  xA   ln  1 x N Az  z 2  z1  A1    cD AB  z  z1     z 2  z1 

  z  z1        z 2  z1 

 1  xA   ln  1 x  A1       z  z1  z z  1   2

 1  x A  N Az  z 2  z1   z  z1       ln   1 x cD z z   2 A1  AB 1 

De la ecuación 1

 x  cD AB  1  x A2 cD AB ln B 2   ln z 2  z1  x B1  z 2  z1  1  x A1  1  x A 2  N Az  z 2  z1    ln cD AB  1  x A1  N Az 

 z  z1   

  z 2  z1   ---------- (2) 

  

 1  x A  N Az  z  z1    ln cD AB  1  x A1  Aplicando e xponentes

  1  xA   N  z  z1      exp Az  exp ln   cD AB    1  x A1  

 1  xA   N  z  z1      exp Az   1  x A1   cD AB 

Se igualan ambas ecuaciones

b) Obtener el mismo resultado del inciso anterior integrando:

N Az  

N

Az

d z   cD AB 

d xA 1  xA

cD AB d x A 1 x A d z Aplicando exponenciales

N Az z  cD AB ln 1  x A   C1 Condiciones z  z1 x A  x A1

C1  N Az z1  cD AB ln 1  x A1 

  1  xA   N  z  z1       exp Az exp ln  1 x cD  A AB 1        N  z  z1    1  xA     exp Az    cD AB  1  x A1 

N Az z  cD AB ln 1  x A   N Az z1  cD AB ln 1  x A1 

 1  xA   N Az  z  z1   cD AB ln  1  x A1   1  x A  N Az z  z1    ln cD AB  1  x A1 


Problemario de Fenómenos de Transporte 26. Determinación de la difusividad de un gas mediante dos bulbos (Análisis en estado cuasiestático) Una manera de medir las difusividades de un gas es mediante dos bulbos. El bulbo izquierdo y el tubo desde z=-L hasta z=0 son llenados con gas A. El bulbo derecho y el tubo desde z=0 hasta z=+L son llenados con el gas B. Al tiempo t=0, la valvula es abierta, y la difusión empieza, luego la concentración de A en ambos bulbos cambia. Uno mide xA+ en función del tiempo, y de esta manera se deduce DAB. Se desea encontrar las ecuaciones que describan dicha difusión. Ya que los bulbos son largos en comparación con el tubo, xA+ y xA cambian lentamente con el tiempo. Por lo tanto la difusión en el tubo puede ser tratada como un problema de estado cuasiestático, con las condiciones de frontera xA=xA- z=-L y xA=xA+ z=+L

z=-L x-=1-xA+

z=0

z=+L

xA+(t)

a) Escriba un balance molar de A en un segmento Δz del tubo (de un área transversal S) y demuestre que NAz=C1

S  N lim

 S  N Az

Az z

N Az

z  z

z

z 0

 dN

 N Az

Az

z  z

z



1    0    S  z 

0 

d N AZ 0 dz

 0d z

N AZ  C1 b) Demuestre que la ecuación N Az  cD AB problema en N Az  cDAB

d xA dz

De acuerdo con la Ley de Fick

N Az  cDAB N Az  cDAB

x A  x A  N Az  N Bz  se simplifica, para este z

x A  x A  N Az  N Bz  z d xA dz 0

c) Integre la ecuación del inciso b), usando respuesta de a) obtenga C2

C1  cDAB

d xA dz

C1  d z  cD AB  d x A C1  z  cDAB  x A  C 2 C 2  C1  z  cDAB  x A M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales


d) Evalue la constante con la condiciones de frontera.

x A  x A

z  L

x A  x A  1  x A

z  L

C 2  C1  z  cD AB  x A C 2  C1  L  cD AB  x A



C 2  C1  L  cD AB  1  x A  A





C1  L  cD AB  x  C1  L  cD AB  1  x A



 



C1  L  C1  L  cD AB  1  x A  cD AB  x A

  2  L  C  cD 1  2  x  cD 1  2  x  C 

2  L  C1  cD AB 1  x A  x A  A

AB

1

AB

 A

2 L cD AB  1  C1    xA  L 2  N Az  c1 1

N Az 

cD AB  1    xA  L 2 


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Problemario Fenomenos Transporte1

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