Solución del problema “Jugo de naranja en una jarra”.
Usaremos subíndice “1” para las variables del fluido en la superficie superior de jugo de naranja y el subíndice “2” para las variables en el orificio de salida. La presión externa en ambas superficies es la presión atmosférica: P 1 = P2 = P0 La superficie superior baja con velocidad de módulo v 1 mientras que la altura h va va disminuyendo. Por lo tanto: dh
h& (t ) =
dt
v (t )
(1)
= − 1
Por otro lado, entre el punto 1 y 2 se cumple la ecuación de continuidad, por lo que la masa adentro del tanque dismunuye a medida que sale el flujo por el punto 2: dmT dt
= −
& 2 / m& 2 m
y
A2 v 2
= ρ
& T d m dt
=
ρ A1
dh dt
(2)
y, siendo el fluido incompresible, de densidad ρ: A1 v1 = A2 v 2 .
Primer pregunta: ¿Se cumple la ecuación de Bernoulli? Apliquemos el principio de conservación de la energía, tomando en cuenta el que el trabajo que ejerce la presión en los puntos 1 y 2 (ambos a presión atmosférica) es nulo, dado que se verifica la ecuación de continuidad: dE T d W 1
d W 2
P1 A1
dt dv1
+
dE 2 dt P2 A2
=
d W 1
dt dv 2
+
d W 2 dt
P0 A1
dv1
A2
dv 2
=0 dt dt En otras palabras, la variación de la energía del fluido adentro del tanque se convierte en energía cinética del fluido de salida: dt
+
dt
dE T dt
=
&2 m
= −
dt
v 22
2
−
dt
=
−
(3)
La energía del fluido adentro del tanque, considerando que el centro de masa de dicho fluido se encuentra en el centro de la región que contiene jugo, se puede indicar cómo: v 2 g h(t ) E T (t ) = mT (t ) 1 + 2 2 & v 2 gh(t ) dE T + mT (t ) v1 dv1 + g h(t ) & T (t ) 1 + y por lo tanto, derivando todos los términos: = m dt 2 2 dt 2 Sustituimos por la ecuación (1), considerando, también, su derivada temporal: & v12 g h(t ) dE T + mT (t ) h&(t ) h&&(t ) + g h(t ) & T (t ) = m + dt 2 2 2 La ecuación (2) relaciona la masa del tanque con la altura de jugo. Re-agrupando términos, se tiene que la energía del tanque varía de acuerdo a:
v 2 g + ρ A1 h((t ) )h&(t ) h&&(t ) + = ρ A1 h& (t ) 1 + (g + h&&)h dt 2 2 2 Por último, considerando la ecuación (1), (2) y (3)... 2 2 v12 dE T v2 v2 & & &2 A1 v1 A2 v 2 = − ρ + (g + h ) h = −m = − ρ 2 2 dt 2 De donde surge una ecuación similar (pero no idéntica) a la ecuación de Bernoulli: dE T
2
v A h&(t ) 1 2
= ρ 1
+
g h (t )
v12
ρ
+
(g
+
)
&& h = ρ h
v 22
2 2 Si despreciamos la aceleración de la superficie superior, frente a la aceleración de la gravedad (h&& << g ) , el resultado que se obtiene es idéntico a la ecuación de Bernoulli, entre un punto 1 y un punto 2, que se encuentran a la misma presión P 0: 2 v12 v2 ρ + g h = ρ 2 2
Segunda pregunta: ¿Cuál es la ecuación diferencial que permite relacionar la altura del tanque con el tiempo? Considerando la ecuación de continuidad, y la ecuación (1) se tiene: 2 2 A1 2 g h(t ) = v1 2 A2
1
−
2 dh − 1 ⇒ dt
A 2 donde K = 2 g 12 A2
A12 dh h(t ) ⇒ = 2g − 1 2 dt A2
= −
⇒
K h
dh
= −
K dt
h
1
−
1
−
1
2 es una constante que representa la relación entre secciones.
Tercer pregunta: ¿Cuánto tarda en vaciarse la jarra? El primer vaso tarda t 1 = 12 s en llenarse y la jarra contiene en total, 15 vasos de jugo. Si integramos la ecuación diferencial, a ambos lados, desde que comienza a vaciarse la jarra (momento en que la altura de jugo en el tanque es h 0) hasta que se llena un vaso (y la altura del jugo en el tanque es 14/15 h 0), es posible determinar: 14 h 15 0
⇒
∫
dh
t 1
= −
h
h0
∫
K dt ⇒
2
(h
0 −
14 15
h0
)
=
K t 1
⇒
0
h0 K
=
(
t 1
2 1−
14 15
)
=
177 s
Entonces, el tiempo que demora en llenarse un vaso determina esta relación entre los parámetros geométricos de la jarra: h 0 y (A1 /A2). Si integramos a ambos lados, desde que comienza a vaciarse la jarra hasta que se vacía completamente, hallamos el tiempo t que tarda en vaciarse la jarra es: o
⇒
∫ h0
dh h
t
= −
∫ 0
K dt ⇒
2 h0
=
K t ⇒
t = 2
h0 K
=
354 s
Por lo que el tiempo que tardan en llenarse los últimos 14 vasos es: 342 s = 5min y 42seg.
